Локальное описание конечно порожденных подмодулей целых функций ранга 1 тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Волковая, Татьяна Анатольевна

• Волковая, Татьяна Анатольевна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Волковая, Татьяна Анатольевна

Оглавление

Введение

1. Локальное описание целых функций

1.1. О двойственном переходе

1.2. Критерий обильности

1.3. Интенсивность

1.4. Устойчивость

1.5. Насыщенность подмодулей ранга 1

1.6. Обильность подмодулей ранга 1

2. Основные оценки

2.1. Определения и обозначения ключевых характеристик

2.2. Промежуточные оценки в терминах ключевых характеристик

2.3. Итоговые оценки в терминах ключевых характеристик

3. Замкнутые подмодули целых функций ранга 1

3.1. Пространство Р[р; Н)

3.2. Подмодули с двумя порождающими

3.3. Подмодули с конечным числом порождающих

3.4. Приложения к спектральному синтезу

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Локальное описание конечно порожденных подмодулей целых функций ранга 1»

Введение

Пусть Н — локально выпуклое пространство над полем С, тт — линейный непрерывный оператор, действующий в Н. Подпространство IV в пространстве Н называется инвариантным подпространством относительно тт (далее просто инвариантным или 7г-инвариантным), если 7ГИ7 С IV. Непустое подпространство

{х € Я : (тг - \)пх = 0,пеЩС Н.

называется корневым подпространством оператора тт, соответствующим собственному значению Л 6 С. Элементы корневых подпространств принято называть корневыми элементами оператора тт. Основной вопрос по отношению к произвольному замкнутому 7г-инвариантному подпространству IV С Н: возможно ли индуктивное (внутреннее) описание И7, например, в терминах корневых элементов оператора тт.

Принять говорить, что замкнутое 7г-инвариантное подпространство IV С Н допускает спектральный синтез, если замыкание линейной оболочки корневых элементов оператора тт, лежащих в подпространстве И7, совпадает с этим подпространством. Задачу спектрального синтеза для оператора тт можно сформулировать так: при каких условиях замкнутое 7г-инвариантное подпространство V/ С Н допускает спектральный синтез.

Любое инвариантное подпространство конечномерного пространства является прямой суммой конечной совокупности корневых подпространств. По теореме Гильберта-Шмидта о спектральном разложении самосопряженного компактного оператора в гильбертовом пространстве, любое инвариантное подпространство такого оператора является прямой суммой не более чем счетной совокупности корневых подпространств [77]. Так как уже среди компактных операторов, действующих даже в сепарабсльном гильбертовом пространстве, имеются такие, которые не имеют ни одного корневого элемента, то дальнейшие исследования по спектральному синтезу направлены, как правило, на изучением конкретных линейных непрерывных операторов и даже конкретных инвариантных подпространств.

Пусть Н{£1) — пространство функций, аналитических в выпуклой области

ПСС, с обычной топологией; и (г) — целая функция

ос

^скгк

к=О

минимального типа при порядке 1. Предполагаем, что область содержит ноль и функция 7г не совпадает с константой. Символом 7т(И) обозначим линейный дифференциальный оператор (конечного или бесконечного порядка)

00

к=О

с постоянными коэффициентами. Для всякого е > 0 найдется Се> О такое, что < СЕ ехр г12:| для всех г из С. Используя эту оценку и неравенства Коши, получаем оценку для коэффициентов \ск\ < г~кМ1Т(г) < С£г~к ехр ег. Функция г г~кехрег принимает минимальное значение в точке г — Значит, |с/с| < С£(к/е)~кек. Таким образом, для любого целого неотрицательного к выполняется оценка

Ы

Пусть /' 6 Я(П), (I — компакт в £ = |р(с/, <9Г2) > 0. Для всякого г € (1 имеем

1 =

к=О

2

ос

к=О

где М/(г,е) — максимум модуля функции / на круге радиуса £ с центром в точке г. Используя асимптотическую формулу Стирлинга делаем вывод, что ряд

Е^'м

сходится равномерно на компакте с/. Из произвольности выбора компакта й С Г2 вытекает, что сумма этого ряда является аналитической в области £7 функцией. Это означает, что результат действия 7г(£))/ оператора 7г(/)) на функцию / е Я(Г2) лежит в пространстве Н{0). Значит, оператор 7г(Г)) можно рассматривать как оператор, действующий в пространстве Н{С1). Линейность оператора тт(О) очевидна. Убедимся в его непрерывности. Пусть /п —> 0 в топологии Я(Г2), О — круговая окрестность начала радиуса е. Конечная совокупность кругов

О -f z\,..., О + zm с центрами в точках z\,..., zm € d покрывает компакт d. При этом

Mfnizh£) = sup |/п| О

O+zj

при п->оои для всякого z £ d выполняется неравенство

оо

к=О

00 к

Ь=0

где

Mfn(s)= max Mfn{zhe) -> О

при п —У оо. Следовательно, ^r(D)fn(z) —> 0 равномерно по z Е d.

Пусть Л Е С, Л — 7г-слой 7Г-1(А), £ Е А. Легко убедиться, что экспоненциальный одночлен ехр(г является корневым элементом оператора 7г(Б), соответствующим собственному значению Л. Действительно,

00

(тг(D) - = ckÇk - А = (тг(С) - = 0. \*=о /

По свойствам целых функций минимального типа 7г(С) = С, значит, 7г-слой Л содержит хотя бы один элемент. Значит, спектр оператора 7t(D) совпадает с С. Корневыми элементами оператора n(D) (соответствующими собственному значению Л € С) являются экспоненциальные одночлены вида z-7expÇz, Ç G А. Действительно, используя непрерывность оператора 7t(D), получаем

(7t(D) - \)nz* exp Çz = (тг(D) - X)n^expÇz =

dj dj = - A)nexpÇ* = оуШ - A)nexpÇz.

Следовательно, (тr(D) — X)nzj exp (z = 0, при n > j. Более того, в [59] показано, что корневое подпространство оператора 7r(D) (соответствующее собственному значению Л G С) совпадает с замыканием в топологии H(Q) подпространства, натянутого на совокупность всех экспоненциальных одночленов вида z-7expÇz, ( Е А. Значит, задача спектрального синтеза для оператора 7r(D) равносильна задаче экспоненциального синтеза: при каких

условиях, каждый элемент замкнутого 7г(1))-инвариантного подпространства W С H(Q) можно аппроксимировать в топологии пространства H(Q) линейными комбинациями экспоненциальных одночленов вида z^ expÇz, Ç G Л, Л G С, содержащихся в подпространстве W.

Исследования по спектральному синтезу для оператора дифференцирования D впервые были проведены JI. Шварцем в работе [82]. Эта работа содержит следующий результат: если Q = С, то любое замкнутое D-инвариантное подпространство в пространстве H(Q) допускает спектральный синтез. Основная проблема спектрального синтеза для оператора D — аппроксимационная проблема для системы однородных уравнений свертки: возможно ли произвольное решение таких системы аппроксимировать в топологии Я(П) линейными комбинациями элементарных решений. Сверточные уравнения (в частности, уравнения бесконечного порядка, дифференциально-разностные уравнения с постоянными коэффициентами и др.) изучались многими математиками: J. Е. Ritt [78], G. Polya [76], G. Valiron [81], A. Ф. Леонтьев [33]—[36], A. О. Гельфонд [3], L. Ehrenpreis [73], [74], D. G. Dickson [72], Ю. Ф. Коробейник [11]—[15], И. Ф Красичков-Терновский [20]—[22], О. В. Епифанов [4]-[7], В. В. Моржаков [42], [43], С. И. Мелихов [16], [38] и др. Большое число работ объясняется, с одной стороны, наличием связей спектрального синтеза с многими прикладными задачами и, с другой стороны, тем, что часто чисто теоретические вопросы допускают сведение к исследованию сверточных уравнений. Более полное исследование по спектральному синтезу для оператора дифференцирования было проведено И. Ф. Красичковым-Терновским в работах [20]—[22]. Среди последних работ по спектральному синтезу для оператора D можно выделить следующие работы: С. Г. Мерзляков [41], Б. Н. Хабибуллин [53]—[31], Р. С. Юлмухаметов [67], С. И. Калинин [8], Н. Ф. Абузярова [1].

Продолжение исследований по спектральному синтезу в комплексной области было связано с переходом от оператора дифференцирования D к оператору кратного дифференцирования Dq. Одно из первых исследований задачи спектрального синтеза для оператора Dq было проведено

С. Г. Мерзляковым [39], [40]. Более полное исследование -09-инвариантных подпространств было осуществлено в работах А. Б. Шишкина [61], [62] и в работах И. Ф. Красичкова-Терновского [25], [30]. В работах [27], [28], [29], [30] изучалась более общая задача — задача спектрального синтеза для линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами

7г(Л) = В4 + а\Вч~1 + ... + аяО°

конечного порядка. Задача спектрального синтеза для линейного дифференциального оператора бесконечного порядка впервые рассмотрена А. Н. Чернышевым [57]—[59]. Исследования по оператору бесконечного порядка были продолжены позднее Р. Г. Письменным [45]—[47].

Пусть 5 — линейный непрерывный функционал на Н(С1) (аналитический функционал). В 2004 г. А. Н. Чернышёв показал, что полиномиальное ядро (точнее, С[7г]-ядро)

И/5 = {/ б Н(П) : <5, тг*(£>)/) = 0, к = 0,1,...}

функционала Б допускает спектральный синтез, если выполнены следующие условия:

a) функция 7г(г) является целой функцией вполне регулярного роста при некотором уточненном порядке р(г) —> р, 0 < р < 1;

b) индикатор Нъ{в) функции 7г(г) при этом уточненном порядке р(г) —> р всюду больше нуля;

c) функция является вогнутой;

с!) для всякого е > 0 найдутся такие константы 5 > 0, /г > 0, что вне некоторого множества кружков, с линейной плотностью < £, выполняются неравенства

< \\А*)

С-2

равномерно по С из круга — г\ < ¡г.

В 2009 г. Р. Г. Письменный усилил этот результат, показав, что условия с)—с!) являются лишними.

Основной метод исследования проблемы спектрального синтеза в комплексной плоскости — метод аннуляторных подмодулей, получивший развитие в статьях И. Ф. Красичкова-Терновского в 70-х годах XX века. Этот метод основан на двойственном переходе от задачи спектрального синтеза к равносильной задаче локального описания замкнутых подмодулей в локально выпуклых пространствах Р целых функций, обладающих структурой топологического модуля над кольцом С[7г] многочленов от тт. Пусть тг — целая функция, А € 7г(С), А := 7Г—1(Л), О(А) — совокупность ростков функций, аналитических в точке А, О(А) — совокупность ростков функций, аналитических в точках 7Г-слоя А, Оп(\) — подмножество О(А), состоящее из композиций вида fon, где / е ^(А). Совокупность 07Т(А) является кольцом. Совокупность 0(А) рассматриваем как модуль над кольцом 07Г(А). Пусть Р — произвольный топологический С[7г]-модуль целых функций, / — фиксированный замкнутый подмодуль в Р. Символом /(А) обозначим минимальный подмодуль Ол-(А)-модуля О (А), включающий /. Говорят, что I допускает локальное описание, если имеет место равенство

i= п (^n/(Â)).

А£тг(С)

Задача локального описания: при каких условиях замкнутый подмодуль I в С[7г]-модуле Р допускает локальное описание.

Труды, посвященные локальному описанию целых функций, начинают появляться в открытой печати во второй половине прошлого века. В этих работах она формулировалась так: пусть Р — локально выпуклая алгебра аналитических функций одной комплексной переменной; при каких условиях замкнутый идеал I С Р однозначным образом определяется общими нулями функций из II Глубокие результаты в этой области получили: H. Cartan [71], W. Rudin [79], A. Beurling [70], П. К. Рашевский [49], И. Ф. Красичков [17]-[19], В. A. Teylor, D. L. Williams [80], H. К. Никольский [44], Ф. А. Шамоян [60], J. J. Kelleher [75], Б. И. Коренблюм [10], В. И. Мацаев, Е. 3. Магульский [37] и ДР-

Исследования по локальному описанию в С [^-модулях аналитических

функций инициированы И. Ф. Красичковым-Терновским [20]—[22] и продолжены С. И. Калининым [8], С. Г. Мерзляковым [41], Н. Ф. Абузяровой [1], Б. Н. Хабибуллиным [53]-[54], Р. С. Юлмухаметовым [67]. Дальнейшее решение задачи локального описания связано с изучением С[7г]-модулей аналитических функций, где тг — многочлен (С. Г. Мерзляков [39], А. Б. Шишкин [61], [64], И. Ф. Красичков-Терновский [28]—[29]). Случай, при котором в качестве тг берется целая функция, впервые рассмотрен А. Б. Шишкиным [65], [66]. Эти исследования продолжены позднее А. Н. Чернышевым [57] и Р. Г. Письменным [48]. Результат Р. Г. Письменного в терминах задачи локального описания принимает следующий вид: при выполнении условий а)-Ь) главные С[тг]-подмодули (замкнутые С[7г]-подмодули, порождаемые одним элементом) в пространстве Р(1,Нп) допускают локальное описание (то есть являются обильными). Здесь Р(П) := Р( 1, Hq) — интерпретация сильного сопряженного к пространству Я(П) в терминах преобразований Лапласа.

Настоящая диссертация посвящена следующей задаче: при каких условиях будут обильными конечно порожденные С[7г]-подмодули в пространстве Р(П) и в более общем пространстве Р(р, Н)1 При этом считаем, что 7Г — многочлен или целая функция, удовлетворяющая условиям: а)' функция 7Г(z) является целой функцией вполне регулярного роста при некотором уточненном порядке р(г) —» р 6 (0, р);

bУ индикатор hn(6) функции 7r(z) при этом уточненном порядке р(г) всюду больше нуля.

Цель работы — исследовать конечно порожденные подмодули в Р{р, Н) ранга 1 на предмет допустимости локального описания, а их аннуляторные подпространства — на предмет допустимости спектрального синтеза.

Метод исследования. Основным методом исследования проблемы спектрального синтеза в комплексной плоскости является метод аннуляторных подмодулей, восходящий к работам JI. Эренпрайса. Он основан на двойственном переходе от задачи спектрального синтеза к равносильной задаче локального описания подмодулей в топологических модулях целых функций. Основным методом исследования проблемы локального описания подмодулей целых

функций является метод резольвентной функции, получивший развитие в серии работ И. Ф. Красичкова-Терновского.

Научная новизна и основные результаты, выносимые на защиту.

Найдены достаточные условия, обеспечивающие допустимость локального описания конечно порожденными подмодулями в Р(р, И) и допустимость спектрального синтеза полиномиальными ядрами в пространстве Н{0) конечных систем аналитических функционалов (в терминах нулевых множеств их преобразований Лапласа).

В работе получены следующие новые результаты:

(1) Критерий обильности замкнутого подмодуля в абстрактном С[7г]-модуле Р целых функций (критерий обильности).

(2) Достаточные условия обильности конечно порожденных подмодулей в Р{р, Н) (теоремы 3.2.1, 3.2.2 и 3.3.1).

(3) Достаточные условия допустимости спектрального синтеза полиномиальным ядром Wg С H(Q) конечной системы S аналитических функционалов (теоремы 3.4.2, 3.4.3 и 3.4.4).

Практическая ценность. Все результаты диссертации относятся к области фундаментальных исследований по теории функций. Они носят чисто теоретический характер и дополняют многочисленные исследования проблемы спектрального синтеза для линейных дифференциальных операторов и проблемы локального описания подмодулей в топологических модулях целых функций.

Апробация работы. Полученные результаты докладывались на семинаре по теории функций в ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет», филиал в г. Славянске-на-Кубани (ранее — Славянский-на-Кубани государственный педагогический институт, руководитель семинара А. Б. Шишкин, 2010-2014 гг.), в ходе работы школы-конференции «X Владикавказская молодежная математическая школа» (июль 2014 г.), на международной научной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического .моделирования» (Владикавказ, июль 2013 г.), на международной научной конференции «Теория операторов, комплексный

анализ и математическое моделирование» (пос. Дивноморское, сентябрь 2014 г.), на кафедре математического анализа ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет» (апрель 2014 г.).

Публикации. Всего по теме диссертационного исследования опубликовано 10 работ. Основные результаты первой главы опубликованы в [83], [85]. [86], [89], второй главы - в [87]-[88], [92] и третьей главы - в [84], [90], [91]. Статьи [83], [84] опубликованы в журналах из перечня ВАК. В совместных с А. Б. Шишкиным публикациях научному руководителю принадлежат постановки задач и указание методов исследования, а Т. А. Волковой — основные результаты и их доказательства.

Все результаты исследований, сопровождаются строгими доказательствами, основанными па хорошо известных научных методах, широко используемых в теории функций и функциональном анализе и, следовательно, являются вполне достоверными.

Первая глава посвящена задаче локального описания в весовых пространствах целых функций.

В параграфе 1.1 изложена схема двойственного перехода. В параграфе 1.2 свойство обильности замкнутого подмодуля в Р расщепляется на три свойства: интенсивность, устойчивость и насыщенность (критерий обильности). В параграфе 1.3 исследованы интенсивные подмодули в Р. Показано, что всякий подмодуль в Р ранга 1 является интенсивным (предложение 1.3.1). В параграфе 1.4 исследованы устойчивые подмодули в Р. Получены ответы на естественные вопросы:

1) влечет ли устойчивость подмодуля I в одной точке устойчивость подмодуля I, то есть его устойчивость в любой другой точке (предложение 1.4.2)?

2) влечет ли устойчивость подмодуля / устойчивость его замыкания I в Р (предложение 1.4.3)?

В этом же параграфе исследованы на устойчивость конечно порожденные подмодули в Р (предложение 1.4.6, предложение 1.4.7). В параграфе 1.5 введено упрощенное определение насыщенности для подмодулей в Р ранга

1 (предложение 1.5.1). Рассмотрено влияние на насыщенность подмодулей свойства аналитической уплотненности пространства Р (предложение 1.5.2, следствие 1.5.1). Р1з этого свойства вытекает, что любой замкнутый подмодуль в Р ранга 1 является насыщенным. В параграфе 1.6 изучено влияние аналитической уплотненности пространства Р на свойство обильности замкнутых подмодулей в Р ранга 1 (предложения 1.6.2-1.6.5), доказано ключевое предложение: замкнутый подмодуль J С Р ранга 1, порожденный функциями У и Q, является обильным тогда и только тогда, когда существуют такие обобщенные последовательности полиномов Pn,Qn € С[7г], что Рп (zo) =

Qn Ы = 1 и

In := Pn7-QnG О

в топологии пространства Р (предложение 1.6.6).

Перейдем к содержанию второй главы. Пусть Т и Q — целые функции, допускающие представления

7 = сpfF, д = ygG,

где ip — целая функция, /, F,g,G — целые ^-симметричные функции, то есть

/ := / о тг, F := F о 7Г, д := д о 7г, G := G о 7Г,

где f,F,g,G — некоторые целые функции. В разделе 2.1.2 определена промежуточная функция Ln, зависящая от функций Т, Q и от полиномов Pn.Qn. В силу представления

In = Ln + А Ln,

где АЬп — разность ln — Ln, оценка функции 1п сводится к оценке функций Ln и АLn. Вторая глава посвящена процедуре выбора полиномов Рп, Qn и оценке функции Ln. В параграфе 2.1 определены полиномы PmQn, введены используемые далее обозначения и ключевые характеристики, среди которых основной является характеристика

& V Xi 12

близости нулевых последовательностей А := {Лг} и Г := {7^} функций F и G соответственно. В параграфах 2.2 и 2.3 осуществлена оценка функции Ln в терминах характеристики Sn (леммы 2.3.1-2.3.4).

Третья глава посвящена исследованию конечно порожденных подмодулей в Р(р, Н) ранга 1. В параграфе 3.1 рассмотрены свойства пространства Р(р,Н), обеспечивающие возможность применения к нему результатов первой главы. В параграфе 3.2 рассмотрены конечно порожденные подмодули в Р(р, Н) ранга 1 с двумя образующими F и Q (теорема 3.2.1, теорема 3.2.2). В параграфе 3.3 рассмотрены конечно порожденные подмодули в Р(р, Н) ранга 1 с произвольным числом образующих JPi, ..., Тп (теорема 3.3.1). В параграфе 3.4 рассмотрены приложения полученных результатов к спектральному синтезу (теоремы 3.4.2-3.4.4).

Пусть S := (Si, S2) — система двух линейных непрерывных функционалов на пространстве H(Q), (F, Q) — соответствующая система характеристических функций (преобразований Лапласа). С[7г]-ядром Ws системы функционалов S называется пересечение И/51 П W$2 С[7г]-ядер функционалов Si, S2.

Из теоремы 3.4.3, например, вытекает ряд простых следствий.

Следствие 1. Если F = G и (pfgF е Р(&), то С[тт]-ядро Ws С H(Q) допускает спектральный синтез.

Следствие 2. Если J- — (pf, Q = (pg и ipfg = ^ € то О{тг]-ядро

W^s С H(Q) допускает спектральный синтез.

Следствие 3. Если функции Т и Q являются и-симметричными и J-Q 6 Р(Г2), то С[к}-ядро Wg С Н(С1) допускает спектральный синтез.

Следствие 4. Если J- — ipf, Q — (pg, tp — целая функция вполне регулярного роста при порядке р = 1 и hp + ha — h^ < Hq, то С[тт]-ядро Ws С H(Q) допускает спектральный синтез.

Глава 1.

Локальное описание целых функций

1.1. О двойственном переходе

1.1.1. Спектральный синтез и локальное описание. Пусть Н(С1) — пространство функций, аналитических в выпуклой области ПСС, с обычной топологией; тг(г) — целая функция

минимального типа при порядке 1. Предполагаем, что она отлична от константы, значит, 7г(С) = С. Пусть 7г(£>) — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами

(конечного или бесконечного порядка). Пространство #(П) инвариантно относительно оператора 7г(1)) и сходимость последовательности //- к нулю в топологии пространства Н(П) влечёт сходимость последовательности к нулю в той же топологии. Значит, оператор 7г(Г)) можно рассматривать как линейный непрерывный оператор, действующий из пространства Н(С1) в пространство Р1{С1).

ос

оо

Комплексное число Л € С называется собственным значением оператора 7r(D), если оно удовлетворяет условию (tt(D) — А)/ = 0 при некоторой отличной от тождественного нуля функции / Е H (il). Множество всех собственных значений оператора 7r(D) называется (алгебраическим) спектром этого оператора. Подпространство H(Q), состоящее из функций /, каждая из которых при некотором натуральном к и некотором комплексном Л удовлетворяет условию (тг(D) — A)kf = 0, называется корневым подпространством оператора 7ï(D), отвечающим собственному значению Л Е С. Подпространство W С Я(Г2) называется инвариантным (или ir{D)-иивариантным), если для любой функции f £ W имеет место включение 7r(D)f Е W. Если замкнутое инвариантное подпространство W С Н(0) и замыкание в H(Q) линейной оболочки корневых элементов оператора 7i(D), содержащихся в подпространстве W, совпадают, то в этом случае говорят, что подпространство W допускает спектральный синтез.

Задача спектрального синтеза для оператора 7r(D): при каких условиях замкнутые n(D)-инвариантные подпространства в пространстве H(Çl) допускают спектральный синтез.

Согласно методу аннуляторных подмодулей решение этой задачи предполагает двойственный переход к равносильной задаче локального описания замкнутых подмодулей в некотором топологическом модуле целых функций. Обозначим H*(Q) — сильное сопряженное к пространству H (О,), Tq — преобразование Лапласа. Преобразование 7Ь элементу S Е H*(Q) ставит в соответствие целую функцию ip(z) = (5, expÇz), имеющую экспоненциальный тип при порядке 1. Пусть P(fl) :— T(H*(fl)). Выпуклая область Q является односвязной, значит, отображение Tq : H*(Q) —> является взаимно

однозначным [21, §2]. Отображение 7h : H*(Q) —> определяет в Р

некоторую отделимую локально выпуклую топологию и является линейным топологическим изоморфизмом пространства H*(Q) на пространство P(Q). Это позволяет относиться к пространству Р(Г2) как к интерпретации сильного сопряженного к пространству Я(П). Пространство H*(Q) является отделимым и рефлексивным локально выпуклым пространством, значит, пространство

Р(П) тоже является отделимым и рефлексивным локально выпуклым пространством.

Обозначим 7г(£))* сопряженный к оператору тг(£>). Он является непрерывным оператором из Я*(П) в Я* (Г2) [68, предложение 8.6.5]. Пусть € Р(П), 5 := Т^1 (</?). Из соотношений

= (5, тг(ф^) = тг(*)<£, е<*> -

вытекает, что ТЬ(7г(1))*5) € Р совпадает с произведением тг(г)(р(г). Значит, Р(Г2) выдерживает умножение на целую функцию 7г(г). По определению дуального оператора тг(1))0 имеет место равенство

Т^отгр)* = тг(£)0о7Ъ.

Отсюда вытекает, что дуальный оператор

тг (ИГ := ТЬ о тг(Р>)* о Т^1

совпадает с оператором Р(П) —> Р(П) умножения на функцию тт(г). Последний оператор является непрерывным, значит, локально выпуклое пространство Р(Г2) является топологическим модулем над кольцом С[7г] полиномов от тг.

Функция голоморфная в точках множества Е С С, называется 7т-симметричиой, если для каждого Л 6 7г(£7) найдутся такие открытое множество и Э тг~1(\) Г) Е и открытое множество V Э тс(II) э А, что сужение ф на множество II представляется в виде композиции Ф о г, где Ф — некоторая локально голоморфная на множестве V функция. Отображения, осуществляемые элементами кольца С [тг], являются простейшими тг-симмстричными функциями

Пусть Л 6 С, Л 7г_1(Л), и> — фиксированное (конечное или бесконечное) подмножество Л, {и}ш — фундаментальная система окрестностей и, 0(11) — кольцо голоморфных на Я € {Я}ш функций, Ож(и) — совокупность всех тг-симметричных на множестве и 6 {Я}ш функций. Совокупность Оп(и) является подкольцом кольца 0(11). Рассматриваем 0(11) как модуль над

кольцом Оп(и). Индуктивный предел модулей О (и), II £ {и}и, относительно гомоморфизмов сужения О (II') —> 0(11), и С и' обозначим символом О (и), а индуктивный предел колец Оп(11), и е {и}ш, относительно гомоморфизмов сужения 0^(11') —» Оп(и), II С [/' обозначим символом Оп(ш). Индуктивный предел Оп(со) обладает структурой кольца, а индуктивный предел О (со) является модулем над кольцом Оп(со) (и векторным пространством над полем комплексных чисел). Элементы модуля О (со) называются ростками функций, аналитических в окрестностях множества со, а элементы кольца Ож(со) — ростками 7Г-симметричных функций, аналитических в окрестностях множества со.

Легко увидеть, что имеют место естественные вложения (взаимно однозначные отображения)

0(\)-+0(со), 0,(А)->0,М-

При этом

0(А)= р|ОН,

где символ со <ё А означает, что перебираются лишь конечные подмножества со 7Г-слоя А. Кроме того, отображение 07Г(А) —» Оп(со) является кольцевым изоморфизмом. Значит, совокупность 0(со) можно рассматривать как модуль над локальным кольцом 0^(А).

Пусть А 6 С, А = 7г_1(А), со — конечное подмножество Л; / — фиксированный замкнутый С[тг]-подмодуль в пространстве Р(Г2); 1(со) — подмодуль 07Г(А)-модуля О (со), порождаемый подмодулем I. Подмодуль 1(со) исчерпывается всевозможными конечными суммами вида

/ = Сг в Оп(и), (рг € I. (1-1-1)

Пересечение

П

ы<Ш. А

принято называть локальным подмодулем (подмодуля / в 7г-слое А) и обозначать символом /(А). В силу этого определения, локальный

подмодуль /(А) совпадает с совокупностью ростков функций, аналитических в окрестностях Л и допускающих представление в виде (1.1.1) в окрестности любого конечного подмножества 7Г-слоя А. Представление (1.1.1) называется локальным представлением функции / в окрестности конечного множества и; С Л.

Целая функция / принадлежит I локально, в записи / G /, если / Е /(А)

loe

при любом А € С. Говорят, что замкнутый подмодуль I С Р(Г2) допускает локальное описание (является обильным), если выполняется импликация:

feP(n), fei=>fei.

loe

Задача локального описания: при каких условиях замкнутый подмодуль I С P(fi) допускает локальное описание.

1.1.2. Двойственность. Из теоремы о биполяре [68, теорема 8.1.5] вытекает, что правило ортогональности

W° = V, Vo = w

устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством {V} всех замкнутых подпространств в H*(Q) и множеством {W} всех замкнутых подпространств в Н(П). Здесь W0 — аннуляторное подпространство W С Я(П) в пространстве Я*, Vo — аннуляторное подпространство V С Я*(Г2) в пространстве H(Q). Пусть W — замкнутое 7г(/))-инвариантное подпространство в H(Q), тогда подпространство V = W0 замкнуто в Я*(Г2), а пространство / = Tn(W°) замкнуто в Р(П). Пусть ipE I, тогда T^l(íp) G V и тг(£>)* G V.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Волковая, Татьяна Анатольевна, 2014 год

Литература

[11 Абузярова Н. Ф. Об одном свойстве подпространств, допускающих спектральный синтез // Матем. сб. — 1999. — Т. 190, № 4. — С. 3-22.

[2] Абузярова Н. Ф. Конечно порожденные подмодули в модулях целых функций, определяемых ограничениями на индикатор : дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Абузярова Наталья Фаирбаховна. — Уфа, 2000. — 134 с.

[3] Гельфонд А. О. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и асимптотические периоды целых функций / / Тр. МИАН СССР. - 1951. - Т. 38. - С. 42-67.

[4] Епифанов О. В., Коробейник Ю. Ф. Нормальная разрешимость одного класса дифференциальных уравнений бесконечного порядка // Матем. сб. - 1971. - Т. 84(126), 3. - С. 378-405.

[5] Епифанов О. В. Разрешимость уравнения свертки в выпуклых областях // Матем. заметки. - 1974. - Т. 15, № 5. - С. 787-796.

[6] Епифанов О. В. К вопросу об эпиморфности оператора свертки в выпуклых областях // Матем. заметки. - 1974. — Т. 16, Лга 3. - С. 415-422.

[7] Епифанов О. В. Критерий эпиморфности свертки в произвольных областях комплексной плоскости // Матем. заметки. — 1982. — Т. 31, № 5. — С. 695705.

[8] Калинин С. И. К вопросу об аппроксимации решения однородного уравнения свертки посредством элементарных // Матем. заметки. — 1982.

- Т. 32, № 2. - С. 199-211.

[9] Келдыш М. В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений // Докл. АН СССР. — 1951. - Т. 77, № 1. — С. 11-14.

[10] Коренблюм Б. И. Замкнутые идеалы кольца Ап. // Функциональный анализ и его приложения. — 1972. — Т. 6, № 3. — С. 38-52.

[11] Коробейник Ю. Ф. Существование аналитического решения дифференциального уравнения бесконечного порядка и характер его области аналитичности // Матем. сб. — 1969. — Т. 80(122), № 1(9). — С. 52-70.

[12] Коробейник Ю. Ф. Уравнения свертки в комплексной области // Матем. сб. - 1985. - Т. 127(169), № 2(6). - С. 173-197.

[13] Коробейник Ю. Ф. Нетривиальные разложения нуля по абсолютно представляющим системам. Приложения к операторам свертки // Матем. сб. - 1991. - Т. 182, 5. - С. 661-680.

[14] Коробейник Ю. Ф. О разрешимости уравнения свертки в некоторых классах аналитических функций // Матем. заметки. — 1991. — Т. 49, № 2.

- С. 74-83.

[15] Коробейник Ю. Ф. О правом обратном для оператора свертки, действующего в пространствах ростков на связных множествах в С // Матем. сб. - 1996. - Т 187, № 1. — С. 55-82.

[16] Коробейник Ю. Ф., Мелихов С. Н. Линейный непрерывный правый обратный для оператора представления и приложения к операторам свертки // Сиб. мат. журн. — 1993. — Т 34, № 1. — С. 70-84.

[17] Красичков-Терновский И. Ф. О замкнутых идеалах в локально выпуклых алгебрах целых функций. I // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1967. — Т. 31.

- С. 37-60.

[18] Красичков-Терновский И. Ф. О замкнутых идеалах в локально выпуклых алгебрах целых функций. II // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1968. — Т. 32. - С. 1024-1032.

[19] Красичков-Терновский И. Ф. О замкнутых идеалах в локально выпуклых алгебрах целых функций. Алгебры минимального типа // Сиб. мат. журн.

- 1968. — Т. 9., № 1 - С. 77-96.

[20] Красичков-Терновский И. Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. I. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сб. - 1972. - Т. 87(129), № 4. - С. 459-489.

[21] Красичков-Терновский И. Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. II. Спектральный синтез на выпуклых областях и Матем. сб. - 1972. - Т. 88, № 1. - С. 3-30.

[22] Красичков-Терновский И. Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. III. О распространении спектрального синтеза // Матем. сб. - 1972. - Т. 88, № 3. - С. 331-362.

[23] Красичков-Терновский И. Ф. Локальное описание замкнутых идеалов и подмодулей аналитических функций одной переменной. I // Известия АН СССР. Сер. матем. - 1979. - Т. 43, № 1. - С. 44-66.

[24] Красичков-Терновский И. Ф. Локальное описание замкнутых идеалов и подмодулей аналитических функций одной переменной. II // Известия АН СССР. Сер. матем. - 1979. - Т. 43, № 2. - С. 309-341.

[25] Красичков-Терновский И. Ф., Шишкин А. Б. Спектральный синтез оператора кратного дифференцирования // Докл. АН СССР. — 1989. — Т. 307, 1. С. 24-27.

[26] Красичков-Терновский И. Ф. Абстрактные приемы локального описания замкнутых подмодулей аналитических функций // Матем. сб. 1990. — Т. 181, 12. С. 1640-1658.

[27] Красичков-Терновский И. Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. I. Теорема двойственности // Матем. сб. — 1991. — Т. 182, № И. — С. 15591588.

[28] Красичков-Терновский И. Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. II. Метод модулей // Матем. сб. - 1992. - Т. 183, № 1. — С. 3-19.

[29] Красичков-Терновский И. Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. III. Обильные подмодули // Матем. сб. — 1992. — Т. 183, № 6. — С. 55-86.

[30] Красичков-Терновский И. Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. IV. Синтез // Матем. сб. - 1992. - Т. 183, № 8. - С. 23-46.

[31] Кудашсва Е. Г., Хабибуллин Б. Н. Variation of subharmonic function under transformation its Riesz measure // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. - 2007. - T. 3, № 1. - C. 61-94.

[32] Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. — М. : Гостехиздат, 1956. - 632 с.

[33] Леонтьев А. Ф. Ряды полиномов Дирихле и их обобщения // Тр. МИАН СССР. - 1951. - Т. 39.

[34] Леонтьев А. Ф. Об одном функциональном уравнении // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1965. - Т. 29. - С. 725-756.

[35] Леонтьев А. Ф. О представлении функций рядами полиномов Дирихле // Матем. сб. - 1966. - Т. 70. - С. 132-144.

[36] Леонтьев А. Ф. О суммировании ряда Дирихле с комплексными показателями и его применении // Тр. МИАН СССР. — 1971. — Т. 112.

- С. 300 - 326.

[37] Мацаев В. И., Магульский Е. 3. Теорема деления для аналитических функций с заданной мажорантой и некоторые ее приложения // Зап. научн. сем. ЛОМИ. - 1976. - Т. 56. - С. 73-89.

[38] Мелихов С. Н., Момм 3. О линейном непрерывном правом обратном для оператора свертки на пространствах ростков аналитических функций на выпуклых компактах в С // Изв. вузов. Матем. — 1997. — № 5. — С. 38-48.

[39] Мерзляков С. Г. Инвариантные подпространства оператора кратного дифференцирования // Матем. заметки. — 1983. — Т. 33, К2 5. — С 701-713.

[40] Мерзляков С. Г. О подпространствах аналитических функций, инвариантных относительно оператора кратного дифференцирования // Матем. заметки. - 1986. - Т. 40, № 5. - С. 635-639.

[41] Мерзляков С. Г. Спектральный синтез для оператора дифференцирования на системах криволинейных полос // Матем. сб. — 1995. — Т. 186, № 5. — С. 85 - 102.

[42] Моржаков В. В. Об эпиморфности оператора свертки в выпуклых областях из С" // Матем. сб. - 1987. - Т. 132(174), № 3. - С. 352-370.

[43] Моржаков В. В. Об уравнениях свертки в пространствах функций, голоморфных в выпуклых областях и на выпуклых компактах в Сп // Матем. заметки. - 1974. - Т. 16, № 3. - С. 431-440.

[44] Никольский Н. К. Замкнутые идеалы в некоторых алгебрах целых функций // Сиб. мат. журн. - 1968. - Т. 9., № 1 - С. 211-215.

[45] Письменный Р. Г. Факторизационная теорема // Вестник Адыгейского государственного университета. — Майкоп: изд-во АГУ. — Вып. 9. — 2008.

- С. 27-33.

[46] Письменный Р. Г. О разложении целой функции конечного порядка на эквивалентные множители // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2009. - Т. 9, № 1. — С. 19-30.

[47] Письменный Р. Г. Главные подмодули и инвариантные подпространства аналитических функций : дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Письменный Роман Геннадьевич. — Славянск-на-Кубани, 2010. — 104 с.

[48] Письменный Р. Г., Шишкин А. Б. Расщепление целых функций конечного порядка на эквивалентные множители // Вестник Адыгейского государственного университета. — 2010. — № 2(61). — С. 23-28

[49] Рашевский П. К. О замкнутых идеалах в одной счетно-нормированной алгебре целых аналитических функций // Докл. АН СССР. — 1965. — Т. 162, 3. С. 513-515.

[50] Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. — М. : Мир. 1967.

[51] Ткаченко В. А. Спектральные разложения в пространствах аналитических функционалов // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1979. - Т. 43. № 3. -С. 654-713.

[52] Ткаченко В. А. Спектральная теория в пространствах аналитических функционалов для операторов, порождаемых умножением на независимую переменную // Матем. сб. - 1980. - Т. 112(154). №3(7). - С. 421-466.

[53] Хабибуллин Б. Н. Замкнутые идеалы голоморфных функций с двумя порождающими // Матем. зам. - 2004. - Т. 76, № 4. — С. 604-609.

[54] Хабибуллин Б. Н. Замкнутые подмодули голоморфных функций с двумя порождающими // Функциональный анализ и его приложения. — 2004. — Т. 38, № 1. - С. 65-80.

[55] Хабибуллин Б. Н. Спектральный синтез для пересечения инвариантных подпространств голоморфных функций // Матем. сб. — 2005. — Т. 196,

3. — С. 119-142.

[56] Себастьян-и-Сильва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // Математика (сб. переводов). — 1957. - 1:1. - С. 60-77.

[57] Чернышев А. Н. Спектральный синтез для бесконечного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. Теорема двойственности // Труды ФОРА. — 2001, № 6. — С. 75-87.

[58] Чернышев А. Н. К вопросу о полиномиальной аппроксимации целых функций // Изв. вузов Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Приложение.

- 2004, № 1.

[59] Чернышев А. Н. Спектральный синтез для дифференциального оператора бесконечного порядка с постоянными коэффициентами : дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Чернышев Андрей Николаевич. — Армавир, 2004. — 100 с.

[60] Шамоян Ф. А. О замкнутых идеалах в одной алгебре быстро растущих аналитических функций // Изв. АН Арм. ССР. Сер. «Математика». — 1969.

- Т. 4, .\« 4. - С. 267-277.

[61] Шишкин А. Б. Локальное описание замкнутых подмодулей в специальном модуле целых функций экспоненциального типа // Матем. заметки. — 1989. Т. 46, 6. - С. 94-100.

[62] Шишкин А. Б. Спектральный синтез для оператора, порождаемого умножением на степень независимой переменной // Матем. сб. — 1991. — Т. 182, 6. - С. 828-848.

[63] Шишкин А. Б. Спектральный синтез для систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Теорема двойственности // Матем. сб. - 1998. - Т. 189, № 9. - С. 143-160.

[64] Шишкин А. Б. Обильность главных С[тг]-подмодулей // Изв. вузов Сев,-Кавк. регион. Естеств. науки. — 2009. — № 3. — С. 34 - 38.

[65] Шишкин А. Б. Спектральный синтез и локальное описание аналитических функций. — Армавир : Издательский центр АГПИ, 1995. — 188 с.

[66] Шишкин А. Б. Проективное и инъективное описания в комплексной области. Спектральный синтез и локальное описание аналитических функций. — Славянск-на-Кубани : Издательский центр филиала ФГБОУ ВПО «КубГУ», 2013. - 304 с.

[67] Юлмухаметов Р. С. Спектральный синтез в ядре оператора свёртки в весовых пространствах // Алгебра и анализ. — 2009. — Т. 21, № 2. — С. 264279.

[68] Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. — М.: Мир, 1969.

[69] Энгелькинг Р. Общая топология. — М. : Мир. 1986. — 751 с.

[70] Beurling A. A critical topology in harmonie analysis on semigroups // Acta Math. - 1964. - V. 112, № 3-4. - P. 215-228.

[71] Car tan H. Idéaux et modules de fonctions analytiques de variables complexes // Bulletin de la Société Mathématique de France. — 1950. — V. 78, № 1. — P. 29-64.

[72] Dickson D. G. Infinit order differential équations // Proc. Amer. Math. Soc. — 1964. - V. 15, № 4. - P. 638-641.

[73] Ehrenpreis L. Mean periodic functions // Amer. J. Math. — 1955. — V. 77, j\a 2. - P. 293-326.

[74] Ehrenpreis L. Fourier analysis in several complex variables. — New-York: Wiley-Intersci. publishers. — 1970.

[75] Kelleher J. J., Taylor В. A. Closed ideals in locally convex algebras of analityc functions // J. für die reine und angewandte Mathematik. — 1972. — V. 225.

- P. 190-209.

[76] Polya G. Eine Verallgemeinerung des Fabryschen Zückensatzes // Nach. Gesell Sch. Wissensck. Göttingen. — 1927. — P. 187-195.

[77] Reilich F. Spektraltheorie in nichtseparablen Räumen // Math. Ann. — 1934.

- V. 110. - P. 342-356.

[78] Ritt J. E. On a general class of linear homogeneous differential equations of infinite order with constant coefficients // Trans. Amer. Mathem. Soc. — 1917.

- V. 18. - P. 27-49.

[79] Rudin W. The closed ideals in an algebra of analytic functions // Canad. J. Math. - 1957. - V.9, № 3. - P. 426-434.

[80] Taylor B. A., Williams D. L. Ideals in rings of analytic functions with smooth boundary values. // Canad. J. Math. - 1970. - V.12, № 6. - P. 1266-1283.

[81] Valiron G. Sur les solutions des e'quations différentielles line'ares d'order infinit et a'coefficiens constants // Ann. Ec. Norm. Sup. — 1929. — V. 46. — P. 25-53.

[82] Schwartz L. Theorie generale des fonctions moyenne-periodiques // Ann. Math.

- 1947. - V. 48. - P. 857-929.

Список работ по теме диссертации

[83] Волковая Т. А., Шишкин А. Б. Локальное описание целых функций. Подмодули ранга 1 // Владикавк. матсм. журн. — 2014. — Т. 16, № 2.

- С. 14-28.

[84] Волковая Т. А. Синтез в полиномиальном ядре двух аналитических функционалов // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2014. - Т. 14, Вып. 3. - С. 251-262.

[85] Волковая Т. А., Шишкин А. Б. Локальное описание целых функций // Исследования по математическому анализу, Итоги науки. Юг России. Мат. форум. - Т. 8, часть 1. - Владикавказ: ЮМИ ВИЦ РАН. - 2014. - С. 218230.

[86] Волковая Т. А., Шишкин А. Б. К вопросу о локальном описании замкнутых подмодулей целых функций // Сборник трудов студентов и аспирантов факультета математики, информатики и технологии. — Славянск-на-Кубани : Издательский центр СГПИ. - 2013. - С. 6-33.

[87] Волковая Т. А. Оценки полиномиальных комбинаций целых функций специального вида // Математика в современном мире: сборник трудов научно-практической конференции студентов и магистрантов. — Армавир : РИО АГПА. - 2013. - С. 15-20.

[88] Волковая Т. А., Шишкин А. Б. Некоторые оценки полиномиальных комбинаций целых функций специального вида // Известия Кубанского государственного университета. Естественные науки. — Вып. 1(2). — Краснодар : КубГУ. - 2013. - С. 61-66.

[89] Волковая Т. А., Шишкин А. Б. Локальное описание целых функций [Электронный ресурс] / / Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования: тезисы докладов международной научной конференции. (Владикавказ, 14-20 июля 2013 г.). — Владикавказ : ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А. - 2013. - С. 53-54. Режим доступа: http://smath.ru/files/Sborka_14_08_2013.zip

[90] Волковая Т.А. Достаточное условие обильности подмодулей ранга 1 с двумя образующими // Математический анализ и математическое моделирование: труды школы-конференции молодых ученых с международным участием «X Владикавказская молодежная математическая школа» (Владикавказ, 21-27 июля 2014 г.).— Владикавказ : ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А. - 2014.

[91] Волковая Т.А. Синтез в полиномиальном ядре двух аналитических функциональов, образующих систему единичного ранга [Электронный ресурс] // Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование: тезисы докладов международной научной конференции, (пос. Дивноморское, 7-13 сентября 2014 г.).—Владикавказ : ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А. - 2014. - С. 41-42. - Режим доступа: http://smath.ru/files/Abstract_TO-2014.rar.

[92] Волковая Т. А., Шишкин А. Б. Некоторые оценки полиномиальных комбинаций специального вида. // Наука Кубани. — 2013. — № 1. — С. 4-10.