Главные подмодули и инвариантные подпространства аналитических функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Письменный, Роман Геннадьевич

• Письменный, Роман Геннадьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Письменный, Роман Геннадьевич

Введение

Глава 1. Полиномиальная аппроксимация целых функций экспоненциального типа

1.1 Теоремы сравнения.

1.1.1. Обозначения и основные результаты

1.1.2. Доказательство теоремы 1.

1.1.3. Доказательство теоремы 2.

1.2 Теорема о расщеплении.

1.2.1. Основная лемма.

1.2.2. Доказательство теоремы о расщеплении

1.3 Аппроксимационная теорема.

1.3.1. Формулировка теоремы.

1.3.2. Промежуточные результаты.

1.3.3. Доказательство аппроксимационной теоремы

Глава 2. Интерпретация результата в терминах задачи спектрального синтеза

2.1 Схема двойственного перехода.

2.1.1. Оператор тг(D).

2.1.2. Постановка задачи спектрального синтеза

2.1.3. Постановка задачи локального описания

2.1.4. Двойственность

2.2 Спектральный синтез и индуктивное описание

2.2.1. Индуктивное описание

2.2.2. Пространство М\.

2.2.3. Спектральные вопросы.

2.2.4. Спектральный синтез и индуктивное описание

2.3 От локального описания к проективному описанию

2.3.1. Проективное описание.

2.3.2. Пространство N\.

2.3.3. Локальные вопросы.

2.3.4. Локальное и проективное описания.

2.4 Теорема двойственности.

2.4.1. Принцип двойственности.

2.4.2. Схема двойственности.

2.4.3. Теорема двойственности.

2.5 Главные С[7г]-подмодули в?.

2.5.3. Обильность главных С[тг]-подмодулей в Р

2.5.4. Связь с задачей спектрального синтеза

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Главные подмодули и инвариантные подпространства аналитических функций»

1. Пусть Q, ~ односвязная область в С; Н = H(Q) — пространство функций, аналитических в Q, наделенное топологией равномерной сходимости на компактах; D — оператор дифференцирования действующий в Н. Подпространство W С Н называется инвариантным (относительно оператора D), если DW С W. Корневым подпространством оператора D, отвечающим собственному значению А 6 С, называется непустое подпространство оо

J{feH:(D-\)nf = 0}CH.

71=1

Элементы корневых подпространств принято называть корневыми элементами оператора D. Говорят, что замкнутое инвариантное подпространство W С Н допускает спектральный синтез, если замыкание линейной оболочки корневых элементов оператора D, лежащих в W, совпадает с W. Задача спектрального синтеза для оператора D состоит в нахождении условий, при которых замкнутое инвариантное подпространство W С Н допускает спектральный синтез.

Инвариантные подпространства W С Н возникают естественным образом в той части комплексного анализа, которая имеет дело с задачами аппроксимации аналитических функций линейными комбинациями экспонент и которая возникла в классической теории рядов Дирихле. Задача спектрального синтеза для оператора D в комплексной области представляет собой перепое на аналитические функции известной задачи Берлинга о гармоническом синтезе на вещественной прямой [72]. Впервые задача спектрального синтеза для оператора D была рассмотрена в 1947 г. JI. Шварцем в его известной монографии о периодических в среднем функциях [78].

Систематические исследования по спектральному синтезу для оператора дифференцирования инициированы в 1971 г. И.Ф. Кра-сичковым-Терновским в -статьях [16] - [18]. К этим работам примыкают работы В.А. Ткаченко [47], С.Г. Мерзлякова [36], Б.Н. Хабибуллина [53], Р.С. Юлмухаметова [71], С.И. Калинина [9], А.Н. Абузяровой [1] и др.

Центральная тема спектрального синтеза для оператора дифференцирования — задача аппроксимации для однородного уравнения свертки (ядра оператора свертки): можно ли каждое решение такого уравнения аппроксимировать линейными комбинациями элементарных решений (линейными комбинациями корневых элементов оператора D). Уравнения свертки и, в частности, уравнения бесконечного порядка, дифференциально-разностные уравнения с постоянными коэффициентами были предметом изучения многих математиков: Дж. Ритт [77], Полиа [76], Валирон [79], А.Ф. Леонтьев [28] - [30], А.О. Гельфонд [4], JI. Эренпрайс [74], [75], Д. Диксон [73], Ю.Ф. Коробейник [10] - [14], И.Ф. Красичков-Терновский [16] - [18], О.В. Епифанов [5] - [8], В.В. Моржаков [37], [38], С.Н. Мелихов [32], [33] и др. Это объясняется, с одной стороны, прикладными задачами и, с другой стороны, тем, что многие чисто теоретические вопросы сводятся к изучению уравнений свертки.

Пусть S — произвольный линейный непрерывный функционал на Н, f е Н, S * / — свертка функционала S и функции /. Для любого компакта К С £1 при достаточно малом |/i| ряд £~о сходится равномерно на К к сдвигу f(z + h). Поэтому

5 * /) (h) = (5, f(z + h))=J2 n\

71=0

Отсюда вытекает, что ядро оператора свертки f S*f совпадает с подпространством Ws С Я, определяемым следующим образом:

Ws := {/ G Я : (5, Dkf) = 0, к = 0,1,.}.

Оператор дифференцирования D : Я —»• Я является линейным и непрерывным. Значит, для любого к G N функционал действующий на элементы из Я по правилу (S^k\ f) := (S,Dkf), является линейным и непрерывным функционалом на Я. Его ядро является замкнутым подпространством в Я. Отсюда вытекает, что определенное выше подпространство Ws является замкнутым подпространством в Я. Если / е Ws, то для любого к G Z+ выполняются равенства

Это означает, что Df € Ws- Следовательно, подпространство Ws является замкнутым и инвариантным относительно оператора D. Допускает ли это подпространство спектральный синтез? Аналитический ключ к решению этой задачи представляет собой следующую аппроксимационную теорему: пусть Н(в) — ограниченная тригонометрически выпуклая функция, ip, Ф — целые функции экспоненциального типа с индикаторами h^Q), Лф(#) < h(9). Если существует целая функция /, для которой ftp — Ф, то найдется последовательность многочленов pk, сходящаяся к f равномерно на компактах, для которой выполняется равномерная по к оценка \pk{z)v(z)\ < const exp{h(9)\z\}.

Справедливость этого аналитического факта вытекает из теоремы 4.4, доказанной И.Ф. Красичковым-Терновским [16]. В статье [19, теорема 1] этот результат распространяется на случай, если с/р, Ф — векторные функции.

Одно из направлений развития задачи спектрального синтеза связано с переходом к произвольным дифференциальным операторам: оператору кратного дифференцирования

Dq : Я H\f /М

34], [35], [60], [62], [20]; дифференциальному оператору с постоянными коэффициентами тг(D) = Dq + aiL»9"1 + . + aqD°

21] - [24]; дифференциальному оператору с постоянными коэффициентами dk к—О где оо тг(с) = к=0 целая функция минимального типа при порядке р = 1 [56] - [58]. При этом формулировка аналитического факта несколько меняет свою форму: функция / и многочлены pk заменяются композициями /о7г и Pfc0 7r соответственно. Первый шаг в этом направлении сделан в работе А.Б. Шишкина [61, теорема 1]. В этой работе показано, что аналитический факт остается справедливым, если 7Г одночлен zn. В работе [23, предложение 3.1] этот результат распространен на случай 7Г — многочлен.

Естественная постановка задачи спектрального синтеза в условиях многих комплексных переменных предполагает замену одного оператора 7r(£>i,., Dn) системой операторов tti(£>I, ., Dn),., 7Г9(£>ь .,Dn).

Отметим, что в условиях многих переменных к настоящему моменту получены относительно законченные результаты лишь по задаче спектрального синтеза для системы операторов частного дифференцирования Di,. ,Dn (см., например, [25], [26], [63], [67] и [66]).

Другое направление развития задачи спектрального синтеза связано с переходом к более общим операторам 7Г*, сопряженным умножению на функцию 7Г. Формулировка аналитического факта продолжает свою трансформацию: </?, Ф — у лее целые функции конечного порядка. Это направление инициировано исследованием случая 7t(z) = z в работе В.А. Ткаченко [47]. Ситуация 7t(z) = zn исследована в работе А.Б. Шишкина [62, теорема 6.5]. Распространение этого результата на случай 7Г — многочлен осуществлено в [23, предложение 3.3] в векторной ситуации.

В диссертации рассматривается случай, частично исследованный ранее А.Н. Чернышевым: 7г — целая функция минимального типа при порядке р = 1. При этом рассмотрена векторная ситуация. Показано, что если функция 7г имеет вполне регулярный рост и всюду положительный индикатор при некотором порядке < 1, то аналитический факт (точнее его векторный аналог) остается справедливым. В частности, подпространство

Ws := {/ <= Я : (5, тr(D)kf) = 0, к = 0,1,.} для любого линейного непрерывного функционала S на Н допускает спектральный синтез.

2. Основной метод решения задач спектрального синтеза в комплексной области — метод аннуляторных подмодулей, развитый в работах И.Ф. Красичкова-Терновского еще в 1971 году. Этот метод предполагает переход от задачи спектрального синтеза к эквивалентной двойственной задаче — задаче локального описания подмодулей целых функций.

Пусть fii,., Г2П — выпуклые области в С; Hv = H{£lu) — пространство функций, аналитических топологией равномерной сходимости на компактах; Н — топологическое произведение Н\ х • • • х Нп. Символом tt(D) обозначим линейный дифференциальный оператор бесконечного порядка действующий на элементы / = (/i, •., fn) £ Н покомпонентно k(D) — линейный непрерывный оператор, действующий из Н в Н. Пусть Н* = Щ х . х Н* — сильное сопряженное к пространству Н. Обозначим Т преобразование, которое каждому функционалу S = (Su) Е Н* ставит в соответствие n-функцию </? — где фЛС) = ~~ целая функция экспоненциального типа.

Пусть Р — полный образ отображения Т. Отображение Т является линейным топологическим изоморфизмом пространства Н* на пространство Р. Оператор умножения на функцию 7Г(£) является непрерывным отображением из Р в Р. Это позволяет рассматривать Р как топологический модуль над кольцом С[7г] многочленов от 7г над полем С.

Множество U С С будем называть 7Г- симметричным, если найдется множество У С С такое, что U = 7Г1(У). Функция </?, аналитическая на открытом 7г-симметричном множестве U С С, называется 7г- симметричной, если она представляется в виде Ф о 7Г, где Ф — некоторая функция, аналитическая в точках множества

О (и) ~ кольцо ростков функций, аналитических в окрестностях

7Г (U).

Пусть ЛеС, Л — 7г-слой 7г 1(А), со — подмножество А, и, On{uj) — декартово произведение 0(и>) х • • • х О(со) п копий 0(u>), Ov(w) — кольцо ростков 7г -симметричных функций, аналитических в окрестностях и. Множество Оп(ш) рассматриваем как модуль над кольцом

Пусть I — замкнутый подмодуль в Р, w — конечное подмножество Л. Обозначим 1(и) минимальный подмодуль О7г(о;)-модуля Оп(и), включающий I. Ясно, что I{oj) состоит из всевозможных конечных сумм ьида а € (ЛгИ, <р® G I.

Если С о>2, ТО 1{ш2) с I(ui). Пересечение f| J(w) С 0»(А) wCA является 07Г(Л)-подмодулем в Оп(А) и называется локальным подмодулем /, ассоциированным с iv-слоем А, и обозначается /(А). Согласно этому определению, локальный подмодуль /(А) С Оп(А) исчерпывается ростками n-функций, аналитических в окрестностях А и представимых в виде ^ в окрестности каждого конечного подмножества w С I Здесь q — 7г-симметричные функции, аналитические в ^-симметричных окрестностях A, ip^ 6 I.

Подмодуль I допускает локальное описание (является обильным), если справедлива импликация: eP.^G 7(A) VA G С =>ip el.

Задача локального описания состоит в нахождении условий, при которых замкнутый подмодуль I С Р допускает локальное описание.

Задача локального описания имеет самостоятельное значение и может исследоваться вне зависимости от спектрального синтеза.

Вместе с тем, связь этой задачи с задачей спектрального синтеза в комплексной области имеет для последней решающее значение. Теоремы двойственности, осуществляющие переходы от одной задачи к другой, лежат в основе всех современных исследований по спектральному синтезу в комплексной области. Например, задача спектрального синтеза в отношении подпространства W$ эквивалентна задаче локального описания главного подмодуля С Р, определяемого как замыкание в Р множества

PV : р е С[ж}, <p(Q :=T(S)}.

Постановка и детальное исследование задачи локального описания для случая 7t{z) = z осуществлены в статьях И.Ф. Красич-кова-Терновского [16], [17]. К этим работам примыкает работа А.Н. Абузяровой [1]. Дальнейшие исследования по локальному описанию связаны с переходом к случаю тх(z) = zq. Первое исследование этой задачи осуществлено А.Б. Шишкиным в работах [61], [62] (см. также [20]).- Случай тг(z) = zq + aizq~l + . + aq исследован в работах [21] - [23].

В работе А.Н. Чернышева [58] впервые рассмотрен случай: п= 1, iv(z) — целая функция минимального типа при порядке р — 1. Обильность главных С [7г]-подмодулей в Р доказана им в предположении, что целая функция 7Г удовлетворяет следующим дополнительным условиям:

1) существует уточненный порядок р(г) —> р: 0 < р < 1 такой, что функция 7г является целой функцией вполне регулярного роста при этом уточненном порядке;

2) индикатор h{9) функции 7Г при уточненном порядке р{т) всюду положителен;

3) гр№ — вогнутая функция;

4) для любого е' > 0 найдутся положительные константы /3, h' такие, что вне некоторого множества кружков, линейная плотность которого не превосходит е', выполняются оценки

ИС)1 > Р,

-(О-К).^) ^'(01 равномерно по лежащем в круге — < Ы.

В настоящей работе рассмотрен случай: п > 1, ir(z) — целая функция минимального типа при порядке р = 1. Полученная аппроксимационная теорема позволяет доказать, в частности, обильность главных С[7г]-подмодулей в Р, при наложении на функцию 7г только двух первых из перечисленных выше дополнительных условий.

3. Рассмотрим основное содержание диссертации. Первая глава состоит из трех параграфов. Параграф 1.2 содержит развитие известной теоремы И.Ф. Красичкова-Терновского о расщеплении на случай уточненного порядка p(t) (теорема 1.2.1). При этом охватывается ситуация с нулевым порядком.

Выберем неотрицательную функцию р, определённую на луче t > 0. Считаем, что она возрастает, дифференцируема в окрестности Н-оо и

V МО V lim ^^ = +оо, lim . . = p < +oo. ' i^+oo In it t-*+oo fj,[t)

Две функции fi, /2 комплексной переменной называются р-эквивалентными (в обозначениях /1 ~ /2), если существует множество кружков Е = Ue^ нулевой линейной плотности такое, что n\fi{z)\-\n\f2(z)\ = o(p(\z\)), z~>oo, z<£E.

Пусть A = {А;} — последовательность отличных от нуля комплексных чисел-с единственной предельной точкой в бесконечности, n(t) = n(t; Л) — считающая функция, р = [/?]

G(Z,p-A) = YIg(J.>P) каноническое произведение. Справедлива следующая теорема о расщеплении: если где u(t) интегрируема по Риману, равна нулю в некотором полуинтервале [0, to) и подчинена условию < с (0 < с < +оо), то последовательность Л можно разбить на две подпоследовательности А = {«г} и В — {6г} таким образом, что при р £ N и некотором а£С.

Для случая fi(t) = t эта теорема доказана в работе И.Ф. Краси-чкова-Терновского [15, теорема 4.2].

Из теоремы о расщеплении и факторизационной теоремы Ада-мара для целых функций конечного порядка легко получить следующую факторизационную теорему: если целая функция f удовлетворяет условию а последовательность Л = {Ai} ее нулей удовлетворяет условию (0.1.1), то функцию f можно представить в виде произведения двух /л -эквивалентных множителей f = /1/2, где fi ~ /2.

0.1.1)

C(ziP]A)~G(z:P-B) при р £ N,

G{z,p- A)eazP ~ G{z,p- B)e~azP +00

В статье B.C. Азарина [2] эта теорема доказана для случая =tp,p> 0. В дальнейшем его результат неоднократно развивался, например, в статьях Б.Н. Хабибуллина [48], [50] и Р.С. Юл-мухаметова [65], [68]-[70]. Доказательство B.C. Азарина является альтернативным и опирается не на теорему о расщеплении, а на его результаты по аппроксимации субгармонических функций логарифмами целых функций. Приводимое ниже доказательство является более прозрачным и простым, так как является внутренним и не требует обращения к теории субгармонических функций.

Доказательство теоремы о расщеплении опирается на два промежуточных результата (теоремы 1.1.1 и 1.1.2). Их доказательству посвящен параграф 1.1.

Последовательность комплексных чисел Г = {7г-} называется d-близкой к последовательности А = {А^}, если ^ — Aj| < г — 1, 2,. Множество G называется а-удаленным от множества Р, если inf \h — z\ > a \z\ heP1 ' для любой точки z £ G. Символом 0(х) обозначаем произведение функции, модуль которой ограничен сверху положительным числом, на х. Множество кружков Е центрировано множеством Р, если каждая точка Р принадлежит по крайней мере одному кружку множества Е и каждый кружок множества Е содержит по крайней мере одну точку из Р.

Пусть р — 0. Тогда оказываются справедливыми две следующие теоремы. Для случая 0 < р < +оо аналогичные теоремы доказаны в статье И.Ф. Красичкова-Терновского [15, терема А, теорема В].

Теорема 1. Пусть целая функция f(z) удовлетворяет уеловию

- In Mfir) ^ /л lim -< с (0 < с < +oo), r->+oo fi[r) g(z) — целая функция с последовательностью корней Г = {7^} d -близкой к последовательности корней Л = {Аг-} функции f(z); Gcr — некоторое множество, а-удаленное от Л. Если In In MJr) lim —-< +00 r

In ll{r) и 0 < уз^ < cr < 1, то существует число I < +оо, зависящее от f(z) и g(z), такое, что при \z\ > I, z G Ga ln\g(z)\-ln\f(z)\=°^»(\z\). a l-d

Теорема 2. Пусть f(z) — целая функция, удовлетворяющая условию

In Mf(r) lim -/ < с (0 < с < +оо), r->+oo jj,{rj uO<a<l, О<!0<1. Тогда любой целой функции g(z), удовлетворяющей условию

In In Mg(r) lira "V""/9 'y < +00, r-*+oo In /i(r J с последовательностью корней Г = {7^} d -близкой (0 < d < к последовательности корней Л = {А^} функции f(z), можно поставить в соответствие множество кружков Е3 со свойствами:

1) Eg центрировано множеством Г (J А,

2) линейная плотность Ед не превосходит j3da2,

3) При Z £ Eg

Доказательства теорем 1 и 2 проводится по классической схеме, разработанной в [15]. Этих теорем достаточно, чтобы доказать теорему о расщеплении. Вместе с тем оценки из этих теорем можно уточнить, если опереться на результаты исследований зависимости возмущения субгармонической функции от возмущения ассоциированной с ней меры (см., например, [49], [54]).

Теорема о расщеплении является необходимым инструментом для доказательства аппроксимационной теоремы (теорема 1.3.1) — ключевой теоремы первой главы. Она доказана в параграфе 1.3. Отметим, что аппроксимационная теорема является развитием предложения 3.1 из статьи И.Ф. Красичкова-Терновского [23].

Вторая глава состоит из пяти параграфов и посвящена интерпретации полученных результатов в терминах задачи спектрального синтеза.

В первых четырех параграфах изложена схема двойственного перехода и основанное на этой схеме доказательство теоремы двойственности, утверждающей эквивалентность задачи спектрального синтеза для дифференциального оператора бесконечного порядка 7v(D) и задачи локального описания замкнутых С[7г]-подмодулей (п. 2.4.3).

В работе А.Б. Шишкина [63] развивается общий метод, позволяющий осуществлять двойственные переходы в задачах спектрального синтеза даже в условиях многих переменных. Следуя идеям из этой работы, двойственный переход разбивается на три отдельных шага. Два из них связаны с классическими задачами теории аналитических функций, и лишь один — с общей теорией двойственности. Специфика исследуемого двойственного перехода целиком определяется счетиостью слоев отображения 7Г : С —»■ С. При этом на функцию тт налагаются минимальные требования — минимальность типа при порядке р = 1.

Центральная теорема второй главы — теорема 2.5.1, которая утверждает, что главные С[7г]-подмодули в Р обильны. Стержнем доказательства является аппроксимационная теорема 1.3.1.

В конце второй главы (п. 2.5.2) приведена интерпретация основного результата по локальному описанию в терминах задачи спектрального синтеза. Возможность такой интерпретации предоставляет теорема двойственности (п 2.4.3).

Пусть S = (S,,) — фиксированный линейный непрерывный функционал на Я. Рассмотрим замкнутое 7г(.0)-инвариантное подпространство Ws С Я, определяемое следующим образом:

Ws:={feH: (S, тг (D)kf) = 0, к = 0,1,.}.

Из обильности главных С [7г]-подмодулей в Р следует положительное решение задачи спектрального синтеза в отношении подпространства Ws для любого S G Я* (теорема 2.5.2). Если тг — многочлен, то пространство Ws совпадает с ядром оператора 7Г-свертки или, другими словами, совпадает с подпространством решений однородного уравнения 7г-свертки [24]. Теорема 2.5.2 для этого случая доказана И.Ф. Красичковым-Терновским [24, теорема 3.2].

Значимость 7г(£))-инвариантных подпространств такого вида в большой степени определяется тем, что запас всех замкнутых 7г(.0)-инвариантных подпространств в Я исчерпывается пересечениями (возможно бесконечными) подпространств типа Ws. Так из теоремы Хана-Банаха вытекает, что любое замкнутое 7Г(D)-инвариантное подпространство W С Я можно представить в виде где W0 — аннулятор W в сопряженном пространстве Я*. Если 7Г — многочлен, то любое замкнутое 7г(1))-инвариаптное подпространство W С Н является подпространством решений системы однородных уравнений тг-свертки. Известно, например, что при 7г(£) = С любое замкнутое инвариантное подпространство, допускающее спектральный синтез, совпадает с множеством решений системы однородных уравнений свертки, содержащей не более двух уравнений [1], [51], [52], [53].

4. Основные результаты диссертации излагались на семинаре по теории функций в Славянском-на-Кубани государственном педагогическом институте (Славянск-на-Кубани, 2005 - 2009 гг.), в ходе работы Воронежской зимней математической школы (Воронеж, 2007, 2009 гг.), на «Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева» (Уфа, 2007 г.), на международной математической конференции «Теория операторов. Комплексный анализ и математическое моделирование» (Волгодонск, 2007 г.), на кафедре математического анализа южного федерального университета (Ростов-на-Дону, 2009 г.).

5. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [39] - [45]. В совместных работах А.Б. Шишкину принадлежат постановка задач и намеченная методика их решения.

Автору приятно выразить признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Андрею Борисовичу Шишкину за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Письменный, Роман Геннадьевич, 2010 год

1. Абузярова, Н.Ф. Об одном свойстве подпространств, допускающих спектральный синтез /Н.Ф. Абузярова // Мат. сб.- 1999. Т. 190, № 4. - С. 3-22.

2. Азарин, B.C. О разложении целой функции конечного порядка на сомножители, имеющие заданный рост / B.C. Азарин // Мат. сб. 1973. - Т. 90, № 2. - С. 229-230.

3. Ганнинг, Р. Аналитические функции многих комплексных переменных / Р. Ганнинг, X. Росси. — М. : Мир, 1969. — 315 с.

4. Гельфонд, А.О. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и асимптотические периоды целых функций / А.О. Гельфонд // Тр. МИАН. — 1951. — Т. 38. С. 42-67.

5. Епифанов, О.В. Нормальная разрешимость одного класса дифференциальных уравнений бесконечного порядка / О.В. Епифанов, Ю.Ф. Коробейник // Мат. сб. — 1971. — Т. 84(126), № 3. С. 378-405.

6. Епифанов, О.В. Разрешимость уравнения свертки в выпуклых областях / О.В. Епифанов // Мат. зам. — 1974. — Т. 15, № 5. С. 787-796.

7. Епифанов, О.В. К вопросу об эпиморфности оператора свертки в выпуклых областях / О.В. Епифанов // Мат. зам. — 1974.- Т. 16, № 3. С. 415-422.

8. Епифанов, О.В. Критерий эпиморфности свертки в произвольных областях комплексной плоскости / О.В. Епифанов // Мат. зам. 1982. - Т. 31, № 5. - С. 695-705.

9. Калинин, С.И. К вопросу об аппроксимации решения однородного уравнения свертки посредством элементарных /С.И. Калинин // Мат. зам. 1982. - Т. 32, № 2. - С. 199-211.

10. Коробейник, Ю.Ф. Существование аналитического решения дифференциального уравнения бесконечного порядка и характер его области аналитичности / Ю.Ф. Коробейник // Мат. сб. 1969. - Т. 80(122), № 1(9). - С. 52-76.

11. Коробейник, Ю.Ф. Уравнения свертки в комплексной области / Ю.Ф. Коробейник // Мат. сб. 1985. - Т. 127(169), № 2(6).- С. 173-197.

12. Коробейник, Ю.Ф. Нетривиальные разложения нуля по абсолютно представляющим системам. Приложения к операторам свертки / Ю.Ф. Коробейник // Мат. сб. — 1991. — Т. 182, № 5.- С. 661-680.

13. Коробейник, Ю.Ф. О разрешимости уравнения свертки в некоторых классах аналитических функций /Ю.Ф. Коробейник // Мат. зам. 1991. - Т. 49, № 2. - С. 74-83.

14. Коробейник, Ю.Ф. О. правом обратном для оператора свертки, действующего в пространствах ростков на связных множествах в С / Ю.Ф. Коробейник // Мат. сб. — 1996. — Т 187, № 1. С. 55-82.

15. Красичков, И.Ф. Сравнение целых функций конечного порядка по распределению их корней /И.Ф. Красичков // Мат. сб.- 1966. Т. 70(112), № 2. - С. 198-230.

16. Красичков-Терновский, И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. I. Спектральный синтез на выпуклых областях / И.Ф. Красичков-Терновский // Мат. сб. — 1972. Т. 87(129), №4. - С. 459 -489.

17. Красичков-Терновский, И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. II. Спектральный синтез на выпуклых областях / И.Ф. Красичков-Терновский // Мат. сб. — 1972. Т. 88, № 1. - С. 3-30.

18. Красичков-Терновский, И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. III. О распространении спектрального синтеза /И.Ф. Красичков-Терновский // Мат. сб. 1972. - Т. 88, № 3. - С. 331 -362.

19. Красичков-Терновский, И.Ф. Спектральный синтез аналитических функций на системах выпуклых областей / И.Ф. Красичков-Терновский // Мат. сб. — 1980. Т. 111(153), № 1. - С. 3-41.

20. Красичков-Терновский, И.Ф. Спектральный синтез оператора кратного дифференцирования / И.Ф. Красичков-Терновский, А.Б. Шишкин // Докл. АН СССР. 1989. -Т. 307, № 1. - С. 24-27.

21. Красичков-Терновский, И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. I. Теорема двойственности / И.Ф. Красичков-Терновский // Мат. сб. — 1991. — Т. 182, № 11. С. 1559-1588.

22. Красичков-Терновский, И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. II. Метод модулей / И.Ф. Красичков-Терновский // Мат. сб. — 1992. — Т. 183, № 1. С. 3-19.

23. Красичков-Терновский, И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. III. Обильные подмодули / И.Ф. Красичков-Терновский // Мат. сб. 1992. - Т. 183, № 6. - С. 55-86.

24. Красичков-Терновский, И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. IV. Синтез / И.Ф. Красичков-Терновский // Мат. сб. 1992. - Т. 183, № 8. - С. 23-46.

25. Красичков-Терновский, И.Ф. Спектральный синтез и локальное описание для многих пременных / И.Ф. Красичков-Терновский // Мат. сб. 1999. - Т. 63, № 4. - С. 101-130.

26. Кривошеев, А.С. Комплексный анализ и операторы свертки / А.С. Кривошеев, В:В. Напалков // УМН. 1992. - Т. 47, № 6(288). - С. 3-58.

27. Левин, Б.Я. Распределение корней целых функций / Б.Я. Левин. — М. : Гостехиздат, 1956. — 632 с.

28. Леонтьев, А.Ф. Ряды полиномов Дирихле и их обобщения / А.Ф. Леонтьев // Тр. МИАН. 1951. - Т. 39. - С. 93-118.

29. Леонтьев, А.Ф. Ряды экспонент / А.Ф. Леонтьев. — М. : Наука, 1976. 536 с.

30. Леонтьев, А.Ф. О суммировании ряда Дирихле с комплексными показателями и его применениии / А.Ф. Леонтьев // Труды математического института им. В.А. Стеклова. — 1971. — Т. 112. С, 300-326.

31. Леонтьев, А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент / А.Ф. Леонтьев. — М. : Наука, 1983. — 175 с.

32. Мелихов, С.Н. Линейный непрерывный правый обратный для оператора представления и приложения к операторам свертки / С.Н. Мелихов, Ю.Ф. Коробейник // Сибирский математический журнал. 1993. - Т 34, № 1. - С. 70-84.

33. Мелихов, С.Н. О линейном непрерывном правом обратном для оператора свертки на пространствах ростков аналитических функций на выпуклых компактах в С / С.Н. Мелихов, 3. Момм //. Известия вузов. Математика. — 1997. — № 5. — С. 38-48.

34. Мерзляков, С.Г. Инвариантные подпространства оператора кратного дифференцирования / С.Г. Мерзляков // Мат. зам.- 1983. Т. 33, № 5. - С. 701-713.

35. Мерзляков, С.Г. О подпространствах аналитических функций, инвариантных относительно оператора кратного дифференцирования / С.Г. Мерзляков // Мат. зам. — 1986. — Т. 40, № 5. С. 635-639.

36. Мерзляков, С.Г. Спектральный синтез для оператора дифференцирования на системах криволинейных полос / С.Г. Мерзляков // Мат. сб. 1995. - Т. 186, № 5. - С. 85-102.

37. Моржаков, В.В. Об эпиморфности оператора свертки в выпуклых областях из Сп / В.В. Моржаков // Мат. сб. — 1987.- Т. 132(174), № 3. С. 352-370.

38. Моржаков, В.В. Об уравнениях свертки в пространствах функций, голоморфных в выпуклых областях и на выпуклых компактах в Cn / В.В. Моржаков // Мат. зам. — 1974.- Т. 16, № 3. С. 431-440.

39. Письменный, Р.Г. Инвариантные подпространства дифференциального оператора бесконечного порядка / Р.Г. Письменный, А.Б. Шишкин // Воронежская зимняя мат. школа : тез. докл. — Воронеж : ВорГУ, 2007. С. 247-248.

40. Письменный, Р.Г. Инвариантные подпространства дифференциального оператора бесконечного порядка / Р.Г. Письменный, А.Б. Шишкин // Тез. докл. междунар. мат. конф. посвященной памяти А.Ф. Леонтьева. Т. 3. — Уфа: ИМВЦ, 2007. С. 36-37.

41. Письменный, Р.Г. Факторизационная теорема / Р.Г. Письменный // Вестник Адыгейского государственного университета.Серия "Естественно-математические и технические науки". — Майкоп: изд-во АГУ. — Вып. 9. — 2008. — С. 27-33.

42. Письменный, Р.Г. Теорема двойственности / Р.Г. Письменный // Дни науки: Сборник материалов научно-практической конференции преподавателей и студентов. — Славянск-на-Кубани, СГПИ. 2008. - С. 50-53.

43. Письменный, Р.Г. О плотности ^-симметричных многочленов / Р.Г. Письменный // Воронежская зимняя мат. школа : тез. докл. Воронеж: ВорГУ, 2009. - С. 137-138.

44. Письменный, Р.Г. Аппроксимация 7г-симметричными многочленами / Р.Г. Письменный // Современная математика и проблемы математического образования: труды Всероссийской заочной научно-практической конференции. — Орел: ОГУ, 2009. С. 86-89.

45. Письменный, Р.Г. О разложении целой функции конечного порядка на эквивалентные множители / Р.Г. Письменный // Известия Саратовского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. — Т. 9, № 1. - С. 19-30.

46. Робертсон, А. Топологические векторные пространства / А. Робертсон, В. Робертсон. — М. : Мир, 1967. — 259 с.

47. Ткаченко, В.А. Спектральная теория в пространствах аналитических функционалов для операторов, порождаемых умножением на независимую переменную / В.А. Ткаченко // Мат. сб. 1980. - Т. 112(154). - С. 421-466.

48. Хабибуллин, Б.Н. Разложение целых функций на эквивалентные множители / Б.Н. Хабибуллин // В сб. статей "Вопросы аппроксимации функций вещественного и комплексного переменных". Уфа. БФАН СССР. - 1983. - С. 161-181.

49. Хабибуллин, Б.Н. Сравнение субгармонических функций поих ассоциированным мерам / Б.Н. Хабибуллин // Мат. сб. — 1984. Т. 125(167), № 4(12). - С. 522-538.

50. Khabibullin, B.N. Decomposition of entire functions of finite order into equivalent factors / B.N. Khabibullin // Ten Papers in Russian. Transl., II. Ser., AMS, 1989, V. 142, P. 61-72

51. Хабибуллин, Б.Н. Замкнутые идеалы голоморфных функций с двумя порождающими / Б.Н. Хабибуллин // Мат. зам. — 2004. Т. 76, № 4. - С. 604-609.

52. Хабибуллин, Б.Н. Замкнутые подмодули голоморфных функций с двумя порождающими / Б.Н. Хабибуллин // Функциональный анализ и его приложения. — 2004. — Т. 38, № 1. -С. 65-80.

53. Хабибуллин, Б.Н. Спектральный синтез для пересечения инвариантных подпространств голоморфных функций / Б.Н. Хабибуллин // Мат. сб. 2005. - Т. 196, № 3. - С. 119142.

54. Хабибуллин, Б.Н. Variation of subharmonic function under transformation its Riesz measure / Б.Н. Хабибуллин, Е.Г. Куда-шева // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. 2007. - T. 3, № 1. - C. 61-94.

55. Хермандер, JI. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных/ JI. Хермандер. — М. : Мир, 1968. — 433 с.

56. Чернышев, А.Н. Спектральный синтез для бесконечного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. Теорема двойственности / А.Н. Чернышев. — М. : ВИНИТИ, Деп. 31.05.99. № 1732 -В99.

57. Чернышев, А.Н. Спектральный синтез для бесконечного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами.Теорема двойственности / А.Н. Чернышев // Труды ФОРА. 2001, № 6. - С. 75-87.

58. Чернышев, А.Н. К вопросу о полиномиальной аппроксимации целых функций // Изв. вузов Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Приложение. — 2004, № 1.

59. Чернышев, А.Н. Спектральный синтез для дифференциального оператора бесконечного порядка с постоянными коэффициентами : дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Чернышев Андрей Николаевич. — Армавир, 2004. — 100 с.

60. Шишкин, А.Б. Вопросы двойственности, связанные с задачей спектрального синтеза для оператора Dq. Современные проблемы математического анализа / А.Б. Шишкин. — М. : МОПИ, 1987. С. 117-133. - Деп. в ВИНИТИ 22.06.87. № 4489.

61. Шишкин, А.Б. Локальное описание замкнутых подмодулей в специальном модуле целых функций экспоненциального типа / А.Б. Шишкин // Мат. зам. 1989. - Т. 46, № 6. - С. 94-100.

62. Шишкин, А.Б. Спектральный синтез для оператора, порождаемого умножением на степень независимой переменной / А.Б. Шишкин // Мат. сб. 1991. - Т. 182, № 6. - С. 828848.

63. Шишкин, А.Б. Спектральный синтез для систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Теорема двойственности / А.Б. Шишкин // Мат. сб. — 1998. — Т. 189, № 9. С. 143-160.

64. Эдварде, Р. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Эдварде. М. : Мир, 1969. - 1672 с.

65. Юлмухаметов, Р.С. Аппроксимация субгармонических функций / Р.С. Юлмухаметов // Analysis Mathematica. — 1985. — Т. 11, № 3. С. 257-282.

66. Юлмухаметов, Р.С. Однородные уравнения свертки / Р.С. Юлмухаметов // Препринт : Инст. мат. с ВЦ БНЦ УрО АН СССР, Уфа, 1990. С. 15.

67. Юлмухаметов, Р.С. Однородные уравнения свертки / Р.С. Юлмухаметов // ДАН СССР. 1991. - Т. 316. - С. 312315.

68. Юлмухаметов, Р.С. Расщепление целых функций с нулями в полосе / Р.С. Юлмухаметов // Мат. сб. — 1995. — Т 186, № 7. С. 147-160.

69. Юлмухаметов, Р.С. Разложение целых функций на произведение двух функций эквивалентного роста /Р.С. Юлмухаметов // Мат. сб. 1996. - Т 187, № 7. - С. 139-160.

70. Юлмухаметов, Р.С. Решение проблемы JI. Эренпрайса о факторизации / Р.С. Юлмухаметов // Мат. сб. — 1999. — Т 190, № 4. С. 123-157.

71. Юлмухаметов, Р.С. Спектральный синтез в ядре оператора свёртки в весовых пространствах / Р.С. Юлмухаметов // Алгебра и анализ. 2009. - Т. 21, № 2. - С. 264-279.

72. Beurling, A. On the synthesis of bounded functions / A. Beurling // Acta Math. 1949. - V. 81, № 3-4. - P. 225-238.

73. Dickson, D.G. Infinit order differential equations / D.G. Dickson // Proc. Amer. Math. Soc. 1964. - V. 15, № 4. - P. 638-641.

74. Ehrenpreis, L. Mean periodic functions / L. Ehrenpreis // Amer. J. Math. 1955. - V. 77, № 2. - P. 293-326.

75. Ehrenpreis, L. Fourier analysis in several complex variables / L. Ehrenpreis. — New-York: Wiley-Intersci. publishers. 1970. — 215 p.

76. Polya, G. Eine verallgemeinerung des Fabryschen Zuckensatzes / G. Polya // Nach. Gesell Sch. Wissensck. Gottingen. — 1927. P. 187-195.

77. Ritt, J.E. On a general class of linear homogeneous differential equations of infinite order with constant coefficients / J.E. Ritt // Trans. Amer. Mathem. Soc. 1917. — V. 18. — P. 27-49.

78. Schwartz, L. Theorie g6nerale des fonctions moyenne-periodiques / L. Schwartz // Ann. Math. 1947. - V. 48. - P. 857-929.

79. Valiron, G. Sur les solutions des Equations differentielles lin6ares d'order infinit et &coefficiens constants / G. Valiron // Ann. Ec. Norm. Sup. 1929. - V. 46. - P. 25-53.