Спектральный синтез для дифференциального оператора бесконечного порядка с постоянными коэффициентами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Чернышев, Андрей Николаевич

• Чернышев, Андрей Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чернышев, Андрей Николаевич

Введение

Глава 1. Схема двойственности

1.1 Постановка задач. Схема двойственности.

1.1.1. Оператор tt(D).

1.1.2. Постановка задачи спектрального синтеза

1.1.3. Постановка задачи локального описания

1.1.4. Двойственность

1.2 Спектральный синтез и индуктивное описание

1.2.1. Индуктивное описание

1.2.2. Пространство М\

1.2.3. Спектральные вопросы.

1.2.4. Спектральный синтез и индуктивное описание

1.3 От локального описания к проективному описанию

1.3.1. Проективное описание.

1.3.2. Пространство N\.

1.3.3. Локальные вопросы.

1.3.4. Локальное и проективное описания.

1.4 Теорема двойственности.

1.4.1. Принцип двойственности.

1.4.2. Схема двойственности.

1.4.3. Теорема двойственности.

Глава 2. Локальное описание и спектральный синтез

2.1 Аппроксимационные теоремы.

2.1.1. Аппроксимация субгармонических функций

2.1.2. Полиномиальная аппроксимация целых функ

2.2 Полиномиальная аппроксимация целых функций в специальном весовом пространстве.

2.2.1. Функция М1(|Л|).

2.2.2. Функция /л(\Х\).

2.2.3. Пространство Тф.

2.2.4. Полиномиальная аппроксимация.

2.3 Главные С[7г]-подмодули в Р.

2.3.1. Условия на выбор функции тт

2.3.2. Промежуточные оценки.

2.3.3. Обильность главных С[7г]-подмодулей в Р

2.3.4. Связь с задачей спектрального синтеза

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектральный синтез для дифференциального оператора бесконечного порядка с постоянными коэффициентами»

1. Пусть О — односвязная область в С; Н = H(Q) пространство функций, аналитических в наделенное топологией равномерной сходимости на компактах; D : Н —У H\f —> f - оператор дифференцирования. Подпространство W С Н называется инвариантным относительно оператора Z), если DW С W. Корневым подпространством оператора D, отвечающим собственному значению Л £ С, называется непустое подпространство {/ Е Н : (D — А)п/ = 0, п 6 N}.Элементы корневых подпространств принято называть корневыми элементами оператора. Говорят, что замкнутое инвариантное относительно оператора D подпространство W С Н допускает спектральный синтез, если замыкание линейной оболочки корневых элементов оператора D, лежащих в W, совпадает с W. Задача спектрального синтеза для оператора D состоит в нахождении условий, при которых замкнутое инвариантное подпространство W С Н допускает спектральный синтез.

Инвариантные подпространства W С Н оператора дифференцирования возникают естественным образом в той части комплексного анализа, которая имеет дело с задачами аппроксимации аналитических функций линейными комбинациями экспонент и которая возникла в классической теории рядов Дирихле. Задача спектрального синтеза для оператора D в комплексной области представляет собой перенос на аналитические функции известной задачи Берлинга о гармоническом синтезе на вещественной прямой [43]. Впервые задача спектрального синтеза для оператора D была сформулирована в 1947г. JI. Шварцем в его известной монографии о периодических в среднем функциях [51].

Центральная тема спектрального синтеза для оператора дифференцирования - задача аппроксимации для однородного еверточного уравнения: можно ли каждое решение такого уравнения аппроксимировать линейными комбинациями элементарных решений. Уравнения свертки и, в частности, уравнения бесконечного порядка, дифференциально-разностные уравнения с постоянными коэффициентами были предметом изучения многих математиков: Дж. Рит [50], Полиа [49], Валирон [54], Р. Боас [44], JI. Эренпрайс [46], [47], Д. Диксон [45], А. Мартино [48], А.О. Гель-фопд [4], А.Ф. Леонтьев [22] - [24], Ю.Ф. Коробейник [10], [11], И.Ф. Красичков-Терновский [12] - [14], В.В. Напалков [29], [21], О.В. Епифанов [5], С.В. Знаменский [6] [8] и др. Это объясняется, с одной стороны, прикладными задачами и, с другой стороны, тем, что многие чисто теоретические вопросы сводятся к изучению уравнений свертки.

Систематические исследования по спектральному синтезу для оператора дифференцирования инициированы в 1971 г. И.Ф. Красичковым-Терновским в статьях [12] - [14]. К этим работам примыкают работы В.А. Ткаченко [31], С.Г. Мерзлякова [28], С.И. Калинина [9], А.Н. Абузяровой [1] и др.

Дальнейшие исследования по спектральному синтезу в комплексной области связаны с переходом от оператора дифференцирования к оператору кратного дифференцирования Dq : Н —> H\f —» Первое исследование задачи спектрального синтеза для оператора кратного дифференцирования проведено С. Г. Мерзляковым [26], [27]. Более полное исследование Dq инвариантные подпространства получили в работах А. Б. Шишкина [34], [36] (см. также [15]) и в работе И.Ф. Красичкова-Терновского [19]. Последняя работа и работы [16], [17], [18] посвящены более общей задаче — задаче спектрального синтеза для дифференциального оператора 7r(D) = Dq + a\Dq~l + . + aqD°с постоянными коэффициентами. В работе [19] показано, например, что для выпуклой области инвариантной относительно поворота на угол у, задача спектрального синтеза для оператора 7t(D) равносильна, задаче спектрального синтеза для оператора кратного дифференцирования Dq.

Настоящее исследование посвящено спектральному синтезу для дифференциального оператора бесконечного порядка

00 тг(Я) = к=О с постоянными коэффициентами, где

00 n(o = Y^ckck к~0 целая функция минимального типа при порядке р = 1.

Хочется отметить, что направление математики, связанное с разработкой теории линейных дифференциальных операторов бесконечного порядка открыто в 60-ых годах XX века Ю.Ф. Коробейником (см., например, [10]). В частности, Ю.Ф. Коробейник нашел точные условия применимости таких операторов к различным классам аналитических функций и обосновал представимость любого непрерывного линейного оператора в пространстве функций, аналитических в круге, в виде дифференциального оператора бесконечного порядка. Для важного класса операторов бесконечного порядка с постоянными коэффициентами им исследованы граничные свойства аналитических решений неоднородного уравнения, задача Коши, представление и свойства беско-нечнодифференцирумых решений и т.д. В данной работе дифференциальный оператор бесконечного порядка с постоянными коэффициентами исследуется с точки зрения задачи спектрального синтеза.

2. Основной метод решения задач спектрального синтеза в комплексной области - метод аннуляторных подмодулей, развитый в работах И.Ф. Красникова-Терновского еще в 1971 году. Этот метод предполагает переход от задачи спектрального синтеза к эквивалентной двойственной задаче — задаче локального описания подмодулей целых функций.

Пусть Н* — сильное сопряженное к пространству Н. Обозначим Т преобразование, которое каждому функционалу S Е Н* ставит в соответствие целую функцию экспоненциального типа </?(£) = (5, exp (z). Пусть Р — полный образ отображения Т. Так как Q является односвязной областью в С, то отображение Т : Н* —>• Р взаимно однозначно [12, §2]; оно индуцирует в Р отделимую локально выпуклую топологию. Оператор умножения на функцию 7г(£) является непрерывным отображением из Р в Р. Это позволяет рассматривать Р как топологический модуль над кольцом С[7г] многочленов от 7г над полем С.

Пусть Л (Е С, Л — 7Г-СЛОЙ 7Г1(А). Функция с, голоморфная в окрестности 7г-слоя Л называется 7г-симметричной, если в некоторой окрестности Л имеет место представление с = С о 7г, где С некоторая функция, голоморфная в окрестности точки Л. Обозначим О(А) — кольцо ростков функций, голоморфных в окрестностях 7Г-СЛ0Я А, 07Г(А) — кольцо ростков функций, 7г-симметричных в окрестностях 7г-слоя А. Рассматриваем 0(А) как модуль над кольцом Отг(А).

Пусть / — замкнутый <С[7г]-подмодуль в Р, /(А) — подмодуль Оя-(А)-модуля 0(A), состоящий из ростков функций, голоморфных в окрестностях А и представимых в виде конечной суммы c№i в окрестности каждого конечного подмножества 7г~слоя А. Здесь q — 7г-симметричные в окрестностях А функции, (рг 6 /.

Подмодуль / допускает локальное описание (является обильным), если справедлива импликация р е P,ip е /(Л) VA е С (р е /.

Задача, локального описания состоит в нахождении условий, при которых замкнутый подмодуль / С Р допускает локальное описание.

Задача локального описания имеет самостоятельное значение и может исследоваться вне зависимости от спектрального сип-теза. Вместе с тем, связь этой задачи с задачей спектрального синтеза в комплексной области имеет для последней решающее значение. Теоремы двойственности, осуществляющие переходы от одной задачи к другой, лежат в основе всех современных исследований по спектральному синтезу в комплексной области.

Постановка и детальное исследование задачи локального описания для случая 7i(z) = z осуществлены в статьях И.Ф. Красич-кова-Терновского [12], [13]. К этим работам примыкает работа А.Н. Абузяровой [1]. Дальнейшие исследования по локальному описанию связаны с переходом к случаю п(z) = zq. Первое исследование этой задачи осуществлено А.Б. Шишкиным в работах [35], [36] (см. также [15]). Случай it(z) = zq + a\zq~l + . . . + aq исследован в работах [16] - [18].

Во всех известных исследованиях слои отображения тт : С —> С являются конечными. Это относится и к изученным ситуациям в условиях многих комплексных переменных. Отметим, что в условиях многих переменных к настоящему моменту получены относительно законченные результаты лишь по задаче спектрального синтеза для системы операторов частного дифференцирования D\,.,Dn и двойственной задаче — задаче локального описания C[zi,., ^-подмодулей целых функций (см., например, [37], [20] и [41J, [42], [21]). Настоящее исследование отличается от всех известных счетпостью слоев рассматриваемого отображения.

3. Рассмотрим основное содержание диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чернышев, Андрей Николаевич, 2004 год

1. Абузярова Н.Ф. Об одном свойстве подпространств, допускающих спектральный синтез // Мат. сб. 1999. Т. 190, Ш 4. С. 3 - 22.

2. Азарин B.C. О лучах вполне регулярного роста целой функции // Матем. сб. 1969.Т. 79 (121). № 4. С. 463 476.

3. Ганнинг Р., Росси X. Аналитические функции многих комплексных переменных. М. : Мир, 1969.

4. Гельфонд А.О. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и асимптотические периоды целых функций // Тр. МИАН. 1951. Т. 38. С. 42 67.

5. Епифанов О.В. Об эпиморфизме свертки в выпуклых областях // ДАН СССР 1974. Т.217. № 1. С. 18 19.

6. Знаменский С.В., Козловская Е.А. Критерий эпиморфности оператора свертки с точечным носителем в пространстве функций, голоморфных на связном множестве в С // Докл. РАН. Математика. Т.368, №6, 1999

7. Знаменский С.В., Знаменская Е.А. Сюръективность оператора свертки с точечным носителем в пространстве функций,голоморфных на произвольном множестве в С // Докл. РАН. 2001. Т. 376. № 5. С 588-590.

8. Калинин С.И. К вопросу об аппроксимации решения однородного уравнения свертки посредством элементарных // Мат. заметки. 1982. Т. 32, № 2. С. 199 211.

9. Коробейник Ю.Ф. О решениях дифференциального уравнения бесконечного порядка, аналитических в некруговых областях // Матем. сб. 1966. Т. 71(113), № 4. С. 535 544.

10. Коробейник Ю.Ф. О решении некоторых функциональных уравнений в классах функций, аналитических в выпуклых областях // Матем. сб. 1968. Т. 75(117), № 2. С. 225 234.

11. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. I. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сб. 1972. Т. 87(129), № 4. С. 459 -489.

12. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. II. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сб. 1972. Т. 88, № 1. С. 3 30.

13. Красичков -Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. III. О распространении спектрального синтеза // Матем. сб. 1972. Т. 88, № 3. С. 331 362.

14. Красичков-Терновский И.Ф., Шишкин А.Б. Спектральный синтез оператора кратного дифференцирования // Докл. АН СССР. 1989. Т. 307, № 1. С. 24 27.

15. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. I. Теорема двойственности // Матсм. сб. 1991. Т. 182, № 11. С. 1559 1588.

16. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. II. Метод модулей // Матем. сб. 1992. Т. 183, № 1. С. 3 19.

17. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. III. Обильные подмодули // Матем. сб. 1992. Т. 183, № 6. С. 55 86.

18. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. IV. Синтез // Матем. сб. 1992. Т. 183, № 8. С. 23 46.

19. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез и локальное описание для многих пременных // Матем. сб. 1999. Т. 63, № 4. С. 101 130.

20. Кривошеев А.С., Напалков В.В. Комплексный анализ и операторы свертки // УМН. 1992. Т. 47, № 6(288). С. 3 58.

21. Леонтьев А.Ф. Ряды полиномов Дирихле и их обобщения // Тр. МИАН. 1951. Т. 39.

22. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М. : Наука, 1976. 536 с.

23. Леонтьев А.Ф. О суммировании ряда Дирихле с комплексными показателями и его применениии // Тр. матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 1971. Т. 112. С. 300 326.

24. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент // М. : Наука. 1983. 175 с.

25. Мерзляков С.Г. Инвариантные подпространства оператора кратного дифференцирования // Мат. заметки. 1983. Т. 33, № 5. С 701 713.

26. Мерзляков С.Г. О подпространствах аналитических функций, инвариантных относительно оператора кратного дифференцирования // Матем. заметки. 1986. Т. 40, JY° 5. С. 635 639.

27. Мерзляков С.Г. Спектральный синтез для оператора дифференцирования на системах криволинейных полос // Мат. сб. 1995. Т. 186, № 5. С. 85 102.

28. Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982. - 240 с.

29. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. М. : Мир, 1967.

30. Ткаченко В.А. Спектральная теория в пространствах аналитических функционалов для операторов, порождаемых умножением на независимую переменную // Матем. сб. 1980. Т. 112(154). С. 421 466.

31. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. М.: Мир, 1980. 304 с.

32. Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М. : Мир, 1968.

33. Шишкин А.Б. Вопросы двойственности, связанные с задачей спектрального синтеза для оператора Dq . Современные проблемы математического анализа / М. : МОПИ, 1987. Деп. в ВИНИТИ 22. Об. 87. № 4489. С. 117 133.

34. Шишкин А.Б. Локальное описание замкнутых подмодулей в специальном модуле целых функций экспоненциального типа // Матем. заметки. 1989. Т. 46, № 6. С. 94 100.

35. Шишкин А.Б. Спектральный синтез для оператора, порождаемого умножением на степень независимой переменной // Мат. сб. 1991. Т. 182, № 6. С. 828 848.

36. Шишкин А.Б. Спектральный синтез для систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Теорема двойственности // Матем. сб. 1998. Т. 189, №9. С. 143 -160.

37. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М. : Мир, 1969.

38. Юлмухаметов Р.С. Асимптотическая аппроксимация субгармонических функций // ДАН СССР, 1982. Т. 264. С. 839 -841.

39. Юлмухаметов Р.С. Аппроксимация субгармонических функций // Anal. Math. 1985. Т. 11. № 3. С. 257 282.

40. Юлмухаметов Р.С. Однородные уравнения свертки // ДАН СССР, 1991. Т. 316. С. 312 315.

41. Юлмухаметов Р.С. Однородные уравнения свертки // препринт Инст. мат. с ВЦ БНЦ УрО АН СССР, Уфа, 1990. С. 15.

42. Beurling A. On the synthesis of bounded functions // Acta Math. 1949. V. 81, № 3-4. P. 225 238.

43. Boas R.P. Differential equations of infinite order // J. Indian Math. Soc. 1950. V. 14. №. P. 15 20.

44. Dickson D.G. Infinit order differential equations // Proc. Amer. Math. Soc. 1964. V. 15, № 4. P. 638 641.

45. Ehrenpreis L. Mean periodic functions // Amer. J. Math. 1955. V. 77, № 2. P. 293 326.

46. Ehrenpreis L. Fourier analysis in several complex variables. -New-York: Wiley-Intersci. publishers. 1970.

47. Martineau A. Equations differentielles d'order infini // Bull. Soc. Math. France 1967. V. 95. P. 109 154.

48. Polya G. Eine verallgemeinerung des Fabryschen Ziickensatzes //Nach. Gesell Sch. Wissensck. Gottingen. 1927. P. 187 195.

49. Ritt J.E. On a general class of linear homogeneous differential equations of infinite order with constant coefficients // Trans. Amer. Mathem. Soc. 1917. V. 18, P. 27 49.

50. Schwartz L. Theorie generale des fonctions moyenne-periodiques // Ann. Math. 1947. V. 48. P. 857 929.

51. Sibony N. Approximation polynomiale ponderee dans un domaine d'holomorphic de C" // Ann. Inst. Fourier 1976. V.26. №2. P. 71-99.

52. Taylor B.A. On weighted polynomial approximation of entire function // Pacific J. Math. 1971. V. 36. P. 523 539.

53. Valiron G. Sur les solutions des e'quations differentielles line'ares d'ordcr infinit et a'coefficiens constants // Ann. Ec. Norm. Sup. 1929. V. 46. P. 25 53.

54. Чернышев A.H. Пространство аналитических функционалов // Сб.: Развитие непрерывного педагогического образования в новых социально-экономических условиях Кубани (Сборник тезисов), Армавир, 1996. С. 83 85.

55. Чернышев А.Н. Спектральный синтез для бесконечного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. Теорема двойственности. М.: ВИНИТИ, Деп. 31.05.99. № 1732- В99.

56. Чернышев А.Н. Спектральный синтез для бесконечного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. Теорема двойственности // Труды ФОРА, № 6, 2001. С. 75- 87.

57. Чернышев А.Н. Инвариантные подпространства бесконечного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами // Материалы первой Международной научной конференции, 22 26 сентября 2003 г. — Махачкала, издательство ДГУ, 2003. - С. 119 - 122.

58. Чернышев А.Н. Полиномиальная аппроксимация целых функций в специальном весовом пространстве // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике: ТОМ I МАТЕМАТИКА. - Уфа: БашГУ, 2003. - 200 с.

59. Чернышев А.Н. К вопросу о полиномиальной аппроксимации целых функций // Изв. вузов Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Приложение. 2004. № 1.