Кратная полнота собственных и присоединенных элементов оператора кратного дифференцирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Казарьянц, Алексей Борисович
- Специальность ВАК РФ01.01.02
- Количество страниц 100
Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Казарьянц, Алексей Борисович
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ЛОКАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ ЗАМКНУТЫХ ПОДМОДУЛЕЙ
§1.1. Постановка задачи локального описания
§ 1.2. Локальные вопросы
§1.3. Критерий обильности
§ 1.4. Устойчивость
§1.5. Главные подмодули
ГЛАВА 2. СПЕКТРАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ ДЛЯ МАТРИЧНОГО
ОПЕРАТОРА КРАТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
§2.1. Постановка задачи спектрального синтеза
§2.2. Спектральные вопросы
§2.3. Двойственность
§2.4. Однородное уравнение g-свертки
§2.5. Системы однородных уравнений ^-свертки
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Дифференциальные уравнения», 01.01.02 шифр ВАК
Спектральный синтез для систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами2003 год, доктор физико-математических наук Шишкин, Андрей Борисович
Главные подмодули и инвариантные подпространства аналитических функций2010 год, кандидат физико-математических наук Письменный, Роман Геннадьевич
Конечно порожденные подмодули в модулях целых функций, определяемых ограничениями на индикатор2000 год, кандидат физико-математических наук Абузярова, Наталья Фаирбаховна
Однородные уравнения q-сторонней свертки2022 год, кандидат наук Татаркин Александр Александрович
Спектральный синтез для дифференциального оператора бесконечного порядка с постоянными коэффициентами2004 год, кандидат физико-математических наук Чернышев, Андрей Николаевич
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Кратная полнота собственных и присоединенных элементов оператора кратного дифференцирования»
Пусть G - выпуклая область в С; Я = H{G) - пространство голоморфных функций на G, с топологией равномерной сходимости на комdq пактах; q - фиксированное целое положительное число; Dq - ---оператор кратного дифференцирования в Я. Собственным значением оператора Dq называется комплексное число Л, удовлетворяющее уравнению (Dq - Xq )/ = 0, при каком-либо ненулевом /еЯ. Совокупность всех собственных значений оператора Dq называется его алгебраическим спектром. Корневым подпространством оператора Dq, соответствующим собственному значению Л, называется подпространство Я, состоящее из элементов /, каждый из которых при некотором удовлетворяет уравнению (Dq - Яр)к/ = О.
При всяком ЛеС экспонента еЛг <= Н удовлетворяет уравнению (Dq - Лq)f = 0. Значит, алгебраический спектр оператора Dq совпадает с С. Корневые элементы этого оператора, соответствующие собственному значению ЛеС имеют вид где гю - многочлены, Л - совокупность всех комплексных решений уравdzq е(2,Л) = ]Г r„(z)e»\ тел т где rk(z) = yYJak jzm'j - многочлены. Подбирая многочлены gk, степени
Jm О т, из условия
Элемент e0(z,X) = Лг является собственным элементом называются присоединенными к нему элементами. За счет выбора многочленов gk цепочка присоединенных элементов может иметь любую конечную длину т.
Пусть W - замкнутое подпространство в Я, инвариантное относительно оператора Dq. Корневые элементы оператора Dq, содержащиеся в подпространстве W, обладают важным свойством: элемент em(z,A),
Хф О, принадлежит инвариантному подпространству W тогда и только тогда, когда выполняются включения
Таким образом, всякий корневой элемент оператора D4, лежащий в инвариантном подпространстве W является либо собственным, либо присоединенным элементом этого оператора. элемент e(z) можно представить в виде оператора Dq. Элементы e0(z,A)efV, el(z,X)eWem(z,A)eW.
Согласно MJB, Келдышу [1], [2], система собственных и присоединенных элементов оператора Dq, лежащих в W, называется п-кратно полной в W, если любая система из п элементов fx,.,fn может быть представлена как предел линейных комбинаций N 1
Ы k iV
Задача о кратной полноте состоит в определении условий, при которых любая система из п элементов инвариантного подпространства W может быть представлена как предел линейных комбинаций собственных и присоединенных элементов оператора D9> лежа-щихв W.
Задача о кратной полноте является частной по отношению к более общей задаче, постановку которой рассмотрим ниже.
Пусть Gj,j = 1- совокупность выпуклых областей в комплексной плоскости; Я; = H(Gj) - пространство голоморфных функций на ; <? = (#1,- фиксированный набор целых положительных чисел;
Dq' dq> dzqi оператор кратного дифференцирования в Н j; Н - топологическое произведение Н1х.хНп;
Dqi О
Dq
О . Dq"
- оператор, действующий в Н, по правилу:
Dqi . . 0 fi Dqifi
0 . . Dq" fn Dq"fn
Dqf
Пусть р = Собственным значением оператора Dq называется комплексное число, удовлетворяющее уравнению (Dq -Ap)f = 0, при каком-либо ненулевом / е Н. Совокупность всех собственных значений оператора D4 называется его спектром. Корневым подпространством оператора Dq, соответствующим собственному значению Л, называется подпространство Н, состоящее из элементов, каждый из которых при некотором N удовлетворяет уравнению
Dq ~Лр)к/ = 0.
Пусть W - инвариантное относительно оператора Dq подпространство Н.
Задача спектрального синтеза для оператора Dq состоит в нахождении условий, при которых W совпадает с замыканием в Н линейной оболочки системы корневых векторов оператора
Dq.
Спектр оператора Dq совпадает с С, а корневые элементы этого оператора, соответствующие собственному значению ЯеС имеют вид
Ф)
Ф) • • •
Ф) где rj m - многочлены, - ;гу-слой ж~\Лр), жf - отображение, осуществляемое мономом zq'. Если ЛеС, то слой Лу исчерпывается элементами вида e)kPi* = {ekX)plq> , к = 0,.,p-lt отдельные из которых совпадают. Это позволяет представить элемент е{£) в другом виде e(z) = ri0)(z)em(z,Xplq) + -.+ r{p-l\z)e{p-x\z^plq), где emi ,kz sf/t^z V 0
•« • — • • • • ее"лг/ч"г 0
Vj - многочлены. Как и в скалярном случае можно показать, что любой корневой элемент оператора Dq, соответствующий собственному значению Я е С, допускает представление в виде def ( р-1 где v е N U {0}, g й) 0 0 к) о « £ = g(j ] - многочлены
5-1
Элемент e0(z,Z) = \gw(k)e(k)(z,A) является собственным элемено том оператора . Элементы def fp-1 ej(ztX) = Di
V*=o называются присоединенными к нему элементами. За счет выбора многочленов gjk) цепочка присоединенных элементов может иметь любую конечную длину т.
Присоединенный элемент ev(z,A) принадлежит инвариантному подпространству W тогда и только тогда, когда выполняются включения e0(z,A)eW, ex{z,X)^Wey(z,A)efF.
Таким образом, всякий корневой элемент оператора D4, лежащий в инвариантном подпространстве W, является либо собственным, либо присоединенным элементом этого оператора. Отсюда вытекает, что при п = \ задача спектрального синтеза и задача о кратной полноте эквивалентны, так как обе они вырождаются в задачу о полноте собственных и присоединен
При п> 1 задача спектрального синтеза - более общая. Действительно, пусть G, = . = Gn = G, W - замкнутое подпространство Я = H(G), инdq вариантное относительно оператора D4 -—. Тогда W" =Wx.xW clz замкнутое подпространство топологической степени Н = Н", инвариантное относительно оператора
Dq . . 0
0 . . Dq
Легко видеть, что задача спектрального синтеза для этого оператора, поставленная по отношению к инвариантному подпространству W" с Н, эквивалентна задаче о п -кратной полноте, поставленной по отношению к инвариантному подпространству W с Я.
Систематические исследования по спектральному синтезу в комплексной области инициированы И.Ф. Красичковым-Терновским. Его работы [3] - [9] по спектральному синтезу для операторов дифференцирования и покомпонентного дифференцирования являются отправными для всех последующих исследований в этом направлении. Задача спектрального синтеза для оператора покомпонентного кратного дифференцирования вытекает естественным образом из задачи спектрального синтеза для оператора покомпонентного дифференцирования и задачи спектрального синтеза для оператора кратного дифференцирования [10] - [20].
Спектральный синтез при n = q = \, W - пространство решений однородного уравнения свертки, изучался, в [21] - [27]. Для этих работ характерны ограничения типа оценок снизу для характеристической функции уравнения свертки. Эти ограничения отсутствуют в [3] - [5]. В этих работах случай n-q-\ исследован наиболее полно. Доказано, в частности, что пространство решений однородного уравнения свертки допускает спектральный синтез на любой выпуклой области.
Задача спектрального синтеза для оператора покомпонентного дифференцирования (случай п> 1, .~qn~\) рассматривалась в статьях [6], [7], [8], [9], [28]. В этих работах вскрывается и широко используется связь задачи спектрального синтеза с задачей локального описания замкнутых подмодулей. Задача локального описания имеет самостоятельное значение (см. [6], [7]), она затрагивает вопросы спектральной теории операторов, вопросы весовой аппроксимации многочленами (см. [29], [30]). В [6], [7] задача локального описания решается в общей постановке. Статья [6] содержит критерий обильности, т.е. необходимое и достаточное условие того, что замкнутый подмодуль допускает локальное описание. Это условие сводится к сочетанию двух условий - устойчивости и насыщенности, которые изучаются в [7]. Работы [8], [9], [28] содержат приложения к спектральному синтезу.
Перейдем к изложению основных результатов диссертации. Первая глава посвящена задаче локального описания.
Пусть Pj=P(Gj) - топологический C[z] -модуль целых функций экспоненциального типа, ассоциированный с Gy9 Р - топологическое произведение />(G1)x---xP(G„); C[ZЦ - совокупность всех диагональных матриц вида ф*) . 0
R = r{Zq) ■■
0 . r(zq*)
Г € C[z].
Отображение C[z]-»C[Z9] г -»R = r(Zq) является взаимно однозначным. Оно индуцирует в С[Z9] кольцевую структуру. Элементы / = (/,) из
Р трактуем как матрицы-столбцы, а элементы R из C[Zq] трактуем как левые мультипликаторы Р, с обычным матричным произведением, в качестве операции умножения на элементы из Р. Это позволяет рассматривать Р как топологический модуль над кольцом C[Z?].
Пусть Л е С; р = НОК^,); s, - фиксированные корни из единицы; nj - отображение, осуществляемое мономом z4'; - ;гу-слой я~}(Ар); Л=(Л1,.,Л„)', 0(ЛР) - кольцо ростков функций, аналитических в точке Лр; 0{Л}) - кольцо ростков функций u(Zj), аналитических в точках множества Л]; О (Л) = 0(Л1) х. х 0{Лп) - абелева группа матриц-столбцов и - (Uj(Zj)), иj е 0{Xj); Ор(Л) - кольцо диагональных матриц вида
C0irx(zx) . О С-сож= . . . ,сеО(Лр), О . с°жп(zn) с умножением, определяемым соотношением С1хСг = (с1хс2)°я, с нулевой и единичной матрицами, в качестве нулевого и единичного элементов, соответственно. Отметим, что элемент с о jtJ диагонали матрицы С определен в окрестности множества Д ,. и принадлежит кольцу 0(Aj). Отсюда
S»/ 1-W вытекает, что элементы О(Л) допускают умножение на элементы Ор(А). г*
Это позволяет рассматривать группу О(Л) как модуль над кольцом О (А).
Пусть / - множество в Р. Для любого АеС множество I порождает локальный подмодуль 1(A) с О (Я), состоящий из всевозможных конечных сумм вида С(1)/(1) +. + c{m)fim\ fu) е /, С{/) е Ор(А) .
Задача локального описания состоит в определении условий, при которых замкнутый C[Zq]-подмодуль /еР можно однозначным образом восстановить по набору {1(A)} , А е С, всех его локальных подмодулей. Элемент /е Р локально принадлежит I, в обозначениях / е / , если loc el (А) при любом Л. Подмодуль /€ Р называется обильным, если он содержит все элементы из Р, локально ему принадлежащие, то есть справедлива импликация: еР,/е/=>/е/. loc
Из определения обильных подмодулей следует, что только они допускают однозначное восстановление по своим наборам локальных подмодулей; таким образом, задача локального описания сводится к задаче: найти условия, при которых заданный подмодуль I является обильным.
Параграф 1.1 содержит постановку задачи. В параграфе 1.2 проведена характеризация локальных подмодулей. В параграфе 1.3 выводится критерий обильности, т.е. точное, необходимое и достаточное условие того, что заданный подмодуль в Р, допускает локальное описание. Как и в случае оператора покомпонентного дифференцирования, обильность эквивалентна выполнению двух условий - устойчивости и насыщенности. Исследование условия устойчивости содержатся в параграфе 1.4. В параграфе 1.5 доказывается обильность главных подмодулей в Р и автоматическое выполнение условия насыщенности для замкнутых подмодулей в Р ранга 1.
Вторая глава содержит приложение к задаче спектрального синтеза результатов первой главы.
Раскроем содержание второй главы. В параграфах 2.1- 2.3 рассмотрена двойственность задач спектрального синтеза и локального описания. Доказано, в частности, что подпространство инвариантное относительно оператора D4 допускает спектральный синтез тогда и только тогда, когда его аннуляторный подмодуль является обильным. В параграфе 2.4 подвергнуто исследованию пространство решений однородного уравнения q-сторонней свертки. В параграфе 2.5 рассмотрены некоторые системы однородных уравнений #-сторонней свертки, пространства решений которых допускают спектральный синтез. Отметим, что результаты второй главы получены главным образом благодаря теореме доказанной И.Ф. Кра-сичковым-Терновским [3, теорема 4.4]. Ее аналог играет ключевую роль при решении вопросов насыщенности, а значит, обильности рассматриваемых подмодулей.
Диссертация содержит следующие результаты, представленные к защите.
1. Точное, необходимое и достаточное условие положительного решения задачи локального описания для замкнутого C[Z?] -подмодуля в Р (критерий обильности).
2. Эквивалентность условий обильности и устойчивости для замкнутых подмодулей в Р ранга 1.
3. Связь задачи локального описания замкнутых подмодулей в Р и задачи спектрального синтеза для оператора Dq.
4. Исследование однородного уравнения q -сторонней свертки.
5. Точное необходимое и достаточное условие положительного решения задачи спектрального синтеза для систем однородных уравнений q -сторонней свертки, с характеристическими функциями, образующими систему ранга 1.
6. Положительное решение задачи спектрального синтеза для некоторых систем однородных уравнений q -сторонней свертки.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [35]
41].
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю А.Б. Шизшшну за постановку задачи и полезные консультации.
Похожие диссертационные работы по специальности «Дифференциальные уравнения», 01.01.02 шифр ВАК
Локальное описание конечно порожденных подмодулей целых функций ранга 12014 год, кандидат наук Волковая, Татьяна Анатольевна
Спектральный синтез для оператора дифференцирования и локальное описание подмодулей целых функций2023 год, доктор наук Абузярова Наталья Фаирбаховна
Инвариантные подпространства в пространствах числовых последовательностей1999 год, кандидат физико-математических наук Шагапов, Илдар Ахняфович
Уравнения свертки в пространствах числовых последовательностей2001 год, кандидат физико-математических наук Карпов, Александр Владимирович
Однородные уравнения 𝜋-свертки2024 год, кандидат наук Саранчук Юрий Сергеевич
Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Казарьянц, Алексей Борисович, 2003 год
1. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений. Доклады АН СССР, 1951. Т. 77, №1. С. 11-14.
2. Келдыш М.В., Лидский В.Б. Вопросы спектральной теории несамосопряженных операторов. Труды IV Всесоюзного математического съезда. Л.: Изд-во АН СССР, 1963. Т. 1, С. 101-120.
3. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. 1. Спектральный синтез на выпуклых областях//Мат. сб. 1972. Т. 87, №4. С. 459-489.
4. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. II. Спектральный синтез на выпуклых областях // Мат. сб. 1972. Т. 88, №1. С. 3-30.
5. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез аналитических функций на системах выпуклых областей // Мат. сб. 1980. Т. 3, №1. С. 3-41.
6. Красичков-Терновский И.Ф. Локальное описание замкнутых идеалов и подмодулей аналитических функций однрй переменной 1 // Известия АН СССР. Серия матем. 1979. Т. 43, №. С. 44-66.
7. Красичков-Терновский И.Ф. Локальное описание замкнутых идеалов и подмодулей аналитических функций одной переменной 2 // Известия АН СССР. Серия матем. 1979. Т. 43, №2. С. 309-341.
8. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез на системах выпуклых областей. Распространение синтеза // Мат. сб. 1980. Т. 112(154), №1(5). С. 94-114.
9. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез на системах неограниченных выпуклых областей // Мат. сб. 1980. Т. III, №3. С. 384401.
10. Мерзляков С.Г. Инвариантные подпространства оператора кратного дифференцирования//Мат. заметки. 1983. Т. 33, Вып. 5. С. 701-713.
11. Мерзляков С.Г. О подпространствах аналитических функций, инвариантных относительно оператора кратного дифференцирования // Мат. заметки. 1986. Т. 40, Вып. 5. С. 635-639.
12. Красичков-Терновский И.Ф., Шишкин А.Б. Спектральный синтез оператора кратного дифференцирования // Доклады АН СССР. 1989. Т. 307, №1. С. 24-27.
13. Шишкин А.Б. Локальное описание замкнутых подмодулей в специальном модуле целых функций экспоненциального типа // Мат. заметки. 1989. Т. 46, №6. С. 94-100.
14. Шишкин А.Б. Спектральный синтез для оператора, порождаемого умножением на степень независимой переменной // Мат. сб. 1991. Т. 182, №6. С. 828-848.
15. Шишкин А.Б. Спектральный синтез для систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Теорема двойственности//Мат. сб. 1998. Т. 189, №9. С. 143-160.
16. Шишкин А.Б. Спектральный синтез для систем дифференциальныхоператоров с постоянш»ти коэффициентами // Доклады АН РАН. 1997. Т. 355, №1. С. 28-30.
17. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. 1. Теорема двойственности//Мат. сб. 1991. Т. 182, №11. С. 60-77.
18. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. 2. Метод модулей И Мат. сб. 1992. Т. 183, №1. С. 3-19.
19. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. 3. Обильные подмодули//Мат. сб. 1992. Т. 183, №6. С. 5586.
20. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. 4. Синтез // Мат. сб. 1992. Т. 183, №8. С. 23-46.
21. Гельфонд А.О. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами бесконечного порядка и асимптотические периоды целых функций // Тр. Матем. ин-та им. В.АСтеклова. 1951. № 38. С. 42-67.
22. Леонтьев А.Ф. Ряды полиномов Дирихле и их обобщения // Тр. Матем. ин-та им. ВА.Стеклова. 1951. № 39. С. 1-215.
23. Леонтьев А.Ф. О представлении функций последовательностями полиномов Дирихле//Мат, сб. 1966. Т.70, № 1. С. 132-144.
24. Ritt J.E. Oil a general class of linear homogeneous differential equations of infinite order with constant coefficients // Trans. Amer. Mahtem. Soc. 1917. V. 18. P. 27-49.
25. Polya G. Eine verallgemeinerung des Fabryschen Zuckensatzes //Nachr. Gesell Sch. Wissensck. Gottingen. 1927. P. 187-195.
26. Valiron G. Sur les solutions des e'quations differentielles line'ares d'order infinit et a'coefficiens constants // Ann. Ec. Norm. Sup. 1929. T. 46. P. 25-53.
27. Dickson D.G. Jnfinit order differetial e'quations // Proc. Amer. Maht. Soc. 1964. V. 15, № 4. P. 638-641.
28. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез на системах выпуклых областей. Распространение синтеза // Мат. сб. 1980. Т. 112, №5. С. 94-114.
29. Никольский H.JI. Избранные задачи весовой аппроксимации и спектрального анализа // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 1974. №70.
30. Никольский Н.К. Инвариантные подпространства в теории операторов и теории функций // Сб. матем. анализа. Итоги науки 1974. № 12. С. 199-412.
31. Себастьян-и-Сильва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложении // Математика. 1957. 1:1. С. 6077.
32. Азарин B.C. О разложении целой функции конечного порядка на сомножители, имеющие заданный рост // Мат. сб. 1973. Т.90, №2. С. 229-230.
33. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Гос. изд. техн. литературы. 1956.
34. Дьедонне Ж., Шварц Л. Двойственность в пространствах (F) и (LF) // Математика. 1958. 2:2. С. 77-107.
35. Казарьянц А.Б. О совокупности всех подмодулей одного локального модуля // Развитие непрерывного педагогического образования в новых социально-экономических условиях на Кубани. Тезисы докладов. -Армавир. АГПИ. 1997. С. 63-64.
36. Казарьянц А.Б. Критерий обильности для подмодулей аналитических функций специального вида. // Армавир. 1998. 23 С. Деп. в ВИНИТИ 21.10.98, №3060-В98.
37. Казарьянц А.Б. Шишкин А.Б. Общее решение одного однородного уравнения типа свертки. // Развитие непрерывного педагогического образования в новых социально-экономических условиях на Кубани. Тезисы докладов. Армавир. АГПИ. 1999. С. 191-192.
38. Казарьянц А.Б. Общее решение одного однородного уравнения типа свертки. // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук. Нальчик. 2001. Т.5, №2. С. 23-28.
39. Казарьянц А.Б. К вопросу о кратной полноте собственных и присое
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.