Инвариантные подпространства в пространствах числовых последовательностей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Шагапов, Илдар Ахняфович

• Шагапов, Илдар Ахняфович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шагапов, Илдар Ахняфович

Содержание

Введение

1 Идеалы в пространствах периодических целых функций

1.1 Пространство Р

1.2 Построение целых периодических функций по заданным значениям в заданных точках

1.2.1 Множества А и 0

1.2.2 Построение целых периодических функций по заданному нулевому множеству

1.2.3 Построение целых периодических функций по заданным значениям в заданных точках

1.3 Описание замкнутых идеалов в Р

2 Пространства числовых последовательностей

2.1 Пространства А, А+, А~

2.2 Пространство А*

2.3 Изоморфизм между А~ и Р

3 Инвариантные подпространства в пространствах числовых последовательностей

3.1 Постановка задачи

3.2 Двойственность

3.3 Однородные уравнения свертки

3.4 Описание инвариантных подпространств в А

3.5 Базис в инвариантных подпространствах

Библиография

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Инвариантные подпространства в пространствах числовых последовательностей»

Введение

Диссертация посвящена описанию подпространств инвариантных относительно сдвигов в весовых пространствах двухсторонних числовых последовательностей комплексных чисел, а также вопросам описания замкнутых идеалов и интерполяции в алгебрах целых периодических функций.

Задача описания подпространств аналитических функций, инвариантных относительно оператора дифференцирования, впервые была поставлена в 1947 году Л. Шварцем в его известной работе о периодических в среднем функциях (см. [40]) : пусть О -открытое множество в комплексной плоскости; Н - пространство функций, голоморфных в С , с топологией равномерной сходимости на компактах С] верно ли, что каждое замкнутое инвариантное подпространство }¥ С Н допускает спектральный синтез, т. е. совпадает с замыканием линейной оболочки экспоненциальных одночленов, в нем содержащихся. Сам Л. Шварц рассмотрел в этой работе случай С = С и показал, что каждое инвариантное подпространство допускает спектральный синтез.

Задачей описания инвариантных подпространств в других пространствах аналитических функций занимались: Л. Эренпрайс (пространство целых функций в Сп, п > 1) [37], И.Ф. Красичков-Терновский (Н(В) - пространство голоморфных в И функций, где И -выпуклая область) [11] - [13], Леонтьев А.Ф. [18], Напалков В. В. [26] и другие математики.

При исследовании инвариантных подпрострванств аналитических

функций роль инструмента выполняют аннуляторные подмодули инвариантных подпространств - специальные классы целых функций, связанные с рассматриваемыми инвариантными подпространствами и обладающие структурой подмодулей в модуле целых функций экспоненциального типа над кольцом многочленов и, как следствие этого, задача сводится к исследованию аналитико-алгебраических свойств целых функций экспоненциального типа.

В ряде случаев замкнутые аннуляторные подмодули являются замкнутыми идеалами в некоторых пространствах целых функций. Так, например, в случае пространства целых функций Н(С) аннуляторные подмодули инвариантных подпространств являются замкнутыми идеалами в алгебре целых функций экспоненциального типа. Таким образом, задача описания инвариантных подпространств в пространстве Н(С) сводится к описанию замкнутых идеалов в алгебре целых функций экспоненциального типа.

Пусть I нетривиальный замкнутый идеал в алгебре целых фзшкций Н(С). Любая функция / Е Н(С) имеет нули (иначе I = Н(С')). Обозначим через А/ = {Апоследовательность нулей функции / - кратность Хк). Множество А = П А/ называется нулевым множе-

/е*

ством идеала I. Хорошо известно, что в Н(С) любой замкнутый идеал описывается нулевым множеством, т. е. любая функция, обращающаяся в нуль на А принадлежит I и любая функция из I обязательно обращается в нуль на А.

Оказывается, последнее справедливо и для более узких классов целых функций. Так, Л. Шварц ( см. [40]) доказал, что в алгебре целых функций экспоненциального типа любой замкнутый идеал однозначно описывается своими нулями. В 1965 году Рашевский Г1.К. (см. [33]) показал, что и в алгебре целых функций первого порядка минимального типа справедливо аналогичное утверждение. Более общий

случай в 1967 год}' рассмотрел Красичков - Терновский И.Ф. (см. [10]): здесь роль мажоранты играет достаточно произвольная монотонно возрастающая непрерывная функция M(i), t > 0. Он показал, что в алгебре целых функций, рост которых определяется такой мажорантой, любой замкнутый идеал однозначно определяется множеством своих нулей. Частный случай последней задачи, а именно случай M(t) = exp(atp), 0 < а < оо, q < оо, рассмотрел Никольский Н.К. (см. [30]). Он получил аналогичный результат, и в частности, указал условия, при выполнении которых замкнутый идеал будет главным. Для алгебры целых функций порядка q конечного типа (g — целое) этим

оо _

условием является сходимость следующего ряда: £ z^ q, где {¿¿j -

к—1

последовательность нулей идеала. Заметим, что при q нецелом идеал всегда главный.

Близкими к задаче об описании инвариантных подпространств аналитических функций являются задачи, связанные с решением однородного уравнения свертки, так как множество решений такого уравнения является инвариантным подпространством относительно оператора дифференцирования. Однородные уравнения свертки для аналитических функций подробно изучались в работах Л. Эренпрайса [37], Б. Мальгранжа [39], Коробейника Ю.Ф. [9], Красичкова - Терновского И. Ф. [14], Леонтьева А. Ф. [20], Напалкова В. В. [24], Юлмухаметова Р. С. [36] и т.д.

С указанными выше задачами тесно связаны задачи о базисе, интерполяции, представляющих системах и т.д.

В диссертации вместо пространств аналитических функций рассматриваются весовые пространства двухсторонних числовых последовательностей комплексных чисел. Решается следующая задача.

Для 1 < р < оо и вещест,венного cv < оо введем в рассмотрение

нормированное полное пространство числовых последовательностей комплексных чисел

Ар,а = {а = (а„)2°-со : \\а\\Р>а = ^Р \ап\ехр{-а\п\р) < оо}.

Рассмотрим теперь индуктивные и проективные пределы семейства (по а ) таких пространст.в:

А[р,оо) = = = []Ар-а,+Ь

а а а

А[р- оо] = о] = Г\Ар>спАр_ о,- = П^р-а-Ь

а а а

Снабдим их топологиями индуктивного и проективного пределов введенных банаховых пространств, соответсвенно.

Для удобства, в дальнейшем под А+ будем, подразумевать одно из пространст.в:

под А~ одно из пространств:

а под А будем понимать одно из пространств: А+, А~. В пространстве А рассмотрим оператор сдвига

Б : АА, (5а)„ = ап+ь а = {а„} Е А. ■

Замкнутое подпространство \¥ С А назовем подпространством инвариантным относительно сдвигов, если а Е IV тогда и только тогда, когда 5а Е V/.

Очевидно, подпространства ]¥ = А и ]¥ = {0} являются инвариант, ными. Они называются тривиальными инвариантными подпространствами. В дальнейшем рассматриваются только нетривиальные инвариантные подпространства, поэтому слово "нетривиальное" будем опускать.

Ставится задача: описать инвариантные подпространства в А.

Пусть Л - индексированное множество пар {Лгде лежат в полосе П = {г £ С : 0 < Яе(г) < 27г}, а т& - целые числа. Множество А называется спектром нетривиального инвариантного подпространства И7, если И/Г содержит все экспоненциальные последовательности вида

(е^^Л^е^^^.-ЛМ^^е^^ДЛьт,) е Л,

и не содержит других экспоненциальных последовательностей (число ???,£ называется кратностью точки А&).

Отметим, что пространства числовых семейств, операторы сдвига (вправо, влево) и операторы свертки на этих семействах изучались, например, в работах Ю.Ф. Коробейника (см. [8], там же можно посмотреть обзор литературы по этой теме). Указанная работа, в частности, посвящена представлению класса операторов, перестановочных с операторами сдвига, приведен общий вид нетривиального инвариантного относительно сдвига вправо подпространства пространства (односторонних) последовательностей в терминах степеней сдвигов вправо исходного пространства, когда выполняются следующие условия: 1). само пространство совершенно и инвариантно относительно правого и левого сдвигов; 2). пространство является алгеброй относительно свертки, в которой каждый элем.ент. имеет обратный (см. [8] , с. 81-82).

Основным методом исследования в диссертации является описание сопряженного пространства в терминах преобразования Лапласа функционалов. Особенностью метода является то, что преобразование Лапласа функционала из сопряженного пространства является целой периодической функцией определенного роста.

Получены следующие основные результаты:

• в алгебрах целых периодических функций показано, что любой замкнутый идеал описывается нулевым множеством и более того - является главным; в частности, дано построение целой периодической функции по заданному нулевому множеству, найдены условия разрешимости интерполяционной задачи в этих алгебрах (случай простых узлов интерполирования);

• доказано, что любое инвариантное подпространство пространства А+ допускает спектральный синтез и совпадает с решением некоторого одного однородного уравнения свертки в А+;

• в случае, когда характеристическая функция оператора свертки в А+ имеет только простые нули, указаны достаточные условия базисности системы элементарных решений в пространстве всех решений однородного уравнения свертки;

• показано, что в любом инвариантном подпространстве пространства А~ существует такой элемент, множество всевозможных сдвигов которого образует базис в этом подпространстве.

Структура диссертации.

В главе 1 вводятся пространства целых периодических функций конечного порядка, рассматривается задача построения функций из этого класса по заданным значениям в заданных точках, исследуются замкнутые идеалы в этих пространствах.

В главе 2 вводятся весовые пространства двухсторонних числовых последовательностей комплексных чисел, а также подпространства в этих пространствах, инвариантные относительно сдвигов.

Глава 3 посвящена описанию инвариантных подпространств в пространстве А.

Краткое содержание Главы 1.

П. 1.1 Для 1 < g < оо и 0 < а < оо рассмотрим банахово пространство

Р,„ = {/:/€ Я(С), f(z+2x) = /(*), II / ||,,= sup <

и ПОЛОЖИМ pk 01 = П Pq;e , Pg+0 = П Pq+e

£>0 £>0

Превратим P[g,o] и Pg+o в линейные локально-выпуклые пространства, снабдив их топологией проективного предела соответствующих банаховых пространств. Пусть РгоосЛ = U Ро,а - индуктивный пре-

U> ' (Т<00

дел банаховых пространств P5;(7-

Пространства Р[д,о], Р[?.оф Рд+о являются топологическими алгебрами. В дальнейшем через Р мы будем обозначать одну из алгебр:

P[g,0]> Р[5,оо)> Рд+0-

П. 1.2.1 Пусть последовательность комплексных чисел Л = {A¿}: к = 1,2,...,0 < Re(ЛА) < 2tt,Ai ф 0, |Ai| < |Л2[ < lim |А*| =

к—i- оо

оо имеет показателем сходимости число т > 0, а верхней плотностью число А. Построим множество Q = {Л + 2im}, п = 0, ±1, ±2,..., и через q обозначим показатель сходимости, а через Ai - верхнюю плотность этого множества. Справедливы следующие утверждения. Лемма 1 Числа т и q связаны соотношением: q = г + 1. Лемма 2 Числа А и Ai удовлетворяют неравенствам

(л/2)[~ТА < Ai < 2А.

П. 1.2.2 Согласно теореме Вейерштрасса о построении целой функции по заданной последовательности комплексных чисел, имеющей единственной предельной точкой бесконечность, по множеству О, (см. пункт 1.2.1) можно построить целую функцию так, чтобы Q было нулевым множеством построенной функции. Этой функцией является каноническое произведение множества Q. Но каноническое произведение, вообще говоря, не является периодической функцией.

Однако, в работе [32] посредством умножения а - функции Вейер-штрасса на специальную функцию, построена широко известная в теории эллиптических функций в - функция Якоби, которая является целой периодической. В данном случае а - функция является каноническим произведением множества {ik + п}, к.п = 0, ±1, ±2,... Возникает естественный вопрос: существует ли для произвольного (см. пункт 1.2.1) множества Q такая фзгнкция (не имеющая нулей), умножение которой на каноническое произведение множества Q, дает целую периодическую функцию с нулями в Q?

Оказывается, на этот вопрос всегда можно ответить положительно. Так, в работе [27], пользуясь упомянутой выше идеей Вейерштрас-са, удалось построить целую периодическую функцию по достаточно произвольному (см. пункт 1.2.1) нулевому множеству О. Что касается роста построенной функции, то порядок ее оказался выше показателя сходимости О. В работе [28] построенная этим же способом функция уже имела порядок равный показателю сходимости Q.

В этом пункте диссертации приведен другой метод построения целых периодических функций.

Теорема 1' По любой последовательности комплексных чисел Л = {А*}, к = 1,2,..., До = 0, 0 < Re{Хк) < 2тг, 0 < |Ai| < |Л2| < ..., lim = оо, с показателем сходимости 0 < т < оо и верх-

к—> оо

ней плотностью А, можно построить целую периодическую функцию, обращающуюся в нуль только на Л по формуле:

= п ^^ п п

im(\k)=0 п{лк) im{xk)<0 ^{-^k) /т(А*)>0 ri{Äk)

где h(z) = 1 — expiiz). Порядок этой функции равен q = т +1. Тип при порядке q будет минимальный, максимальный, нормальный в зависимости от того, будет ли число А равно нулю> бесконечности} числу отличному от нуля и бесконечности.

П. 1.2.3 Этот подпункт посвящен построению целых периодических функций по заданным значениям в заданных точках.

В пространствах целых функций задача интерполяции изучалась многими математиками (см., например, [1], [3], [4], [17], [19], [21], [23]). Например, в работе [19] А.Ф. Леонтьев рассмотрел алгебру целых функций порядка q конечного типа и, в частности, указал условия, при выполнении которых интерполяционная задача в этой алгебре разрешима. Эти условия касаются узлов интерполирования.

Оказалось, что для алгебры Р (q > 1) условия на узлы интерполирования можно ослабить, а именно: достаточно проверить их в полосе П•= {z Е С : 0 < Re(z) < 27г}. Справедлива следующая

Теорема 2 Пусть последовательность различных между собой комплексных чисел Л = {А&} : А& Е П, к — 1,2,...,О < |Ai| < [А2.| < ..., lim \Xk\ =00 удовлетворяет условиям:

fc—>оо

к . _ __ 1

1). lim-—г = А < оо; 2). lim ——ч ,Лп1 . 1= ар < со,

j Afe)rX ;fc-oo|Jm(Ajfc)|? '^'(А*) 1

где F(z) Е Р[д,оо) функция с нулями в {А^}. Пусть далее — последовательность комплексных чисел со свойством:

1п\ск

Тогда существует функция оо(г) Е Р[д,оо) — сь

Для алгебр Р[?)о],Рд+о справедливы аналогичные утверждения.

П. 1.3 Здесь рассматривается задача описания замкнутых идеалов в алгебре Р.

Впервые в таком классе задача описания замкнутых идеалов рассмотрена в работе [28]. Как известно (см., например, [10], [11]), описание замкнутых идеалов в основном сводится к следующему вопросу. Пусть I замкнутый идеал в некоторой алгебре целых функций и

Л/ = {Л&} нули этого идеала. Пусть f Е I и А{ = {Ат} нули /. Спрашивается: будет ли идеал содержать функцию f/(z — А;) Е I для любого Е Л/, Аг- 0 Л/?

Очевидно, в случае периодических функций делением периодической функции на непериодическую функцию —¿о) мы всегда выходим из класса периодических функций. Поэтому в работе [28] для алгебры Р вместо одночлена (г — го) предложена целая периодическая функция (1 — ехр{г{г — ¿о)))- После такого изменения, используя классическую схему (см. например, [37], [10]), удалось доказать, что любой замкнутый идеал из Р описывается нулевым множеством (см. [28]).

Отсюда, в частности следз'ет, что если каноническое произведение (построенное по нулям рассматриваемого идеала) принадлежит алгебре Р, то оно принадлежит и идеалу I. Можно показать, что в этом случае I будет главным идеалом. Но как было ранее замечено, в случае алгебры Р, каноническое произведение по нулям идеала не является периодической функцией. Поэтому в работе [28] был предложен один способ построения целой периодической функции по заданному нулевому множеству (например по нулям идеала). Там же указаны условия, при выполнении которых замкнутый идеал будет главным.

Как отмечалось ранее, в диссертации предлагается другой способ построения целой периодической функции. Следствием этого является то, что от условий, сформулированных в работе [28], удалось отказаться.

Теорема 5 В алгебре Р любой замкнутый идеал является главным.

Краткое содержание Главы 2.

П. 2.1 Этот пункт посвящен исследованию пространства А ( см.выше). В частности, показано, что это пространство является полным рефлексивным пространством.

П. 2.2 Данный пункт посвящен описанию пространства А* - сильного сопряженного к пространству А. Так, например, показано, что

А+* = А-, А-* = А+.

П.2.3 Преобразованием Лапласа функционала Ь ( в пространстве А+) называется функция

оо

Ь(\) = (Ь,{ехр(т\)})= Е ЬпегпХ.

п=—оо

Показано, что преобразование Лапласа устанавливает взаимнооднозначное соответствие между функционалами в пространстве А+ и целыми периодическими функциями.

Теорема 6 Пространства А~ и Р топологически изоморфны:

А[р,-оо\ - Р[д,0]5 А[р,-0) - Р[д,оо), А>-0- Рд+0,

где д, р > 1, и -р + ^ = 1.

Показано, что А~ является алгеброй с операцией свертки в качестве умножения. Пусть /, д £ А~. Тогда свертка (/ на а Е А+ действует следующим образом:

оо оо

(/ * 9, а) = X) /р Е 9пап+р-

р= — ОО П— — 00

Краткое содержание Главы 3.

П.3.1 В этом пункте вводятся инвариантные подпространства в пространстве А и ставится основная задача: описать эти подпространства. Показано, что задача описания инвариантных подпространств в пространстве А" сводится к задаче описания замкнутых идеалов в алгебре Р.

П.3.2 Здесь доказавыется следующий принципа двойственности: между совокупностью {И7} инвариантных подпространств в А+ и совокупностью {V} замкнутых идеалов в А~ имеет место взаимно

однозначное соответствие по правилу: Ж V тогда и только тогда. когда Цг — V = И^1.

В силу этого принципа описание инвариантных подпространств в пространстве сводится к описанию замкнутых идеалов в алгебре Р.

П.3.3 Пусть Ъ Е А". Он порождает следующий оператор:

Мь[а](р) = (Ь, {ап+р}) = (6,5ра), а = {а,,.} Е А, р - целое,

который называется оператором свертки в пространстве А+. Характеристической функцией оператора свертки называется функция Ь(А) -преобразование Лапласа функционала Ъ.

В данном пункте диссертации рассматривается однородное уравнение свертки в пространстве А+ :

Мъ[а)(р) =0, р - целое.

Теорема 7 Любое инвариантное подпространство V*/ С А+ является решением некоторого однородного уравнения свертки и решение любого однородного уравнения свертки является инвариантным подпространством.

П. 3.4 Пункт посвящен собственно описанию инвариантных подпространств.

Введем следующее обозначение:

е(А, т) = {{етеА}п, {(¿п)е'"пА}п, {(ш)УпА}„,{(т^У^},

где А Е П, а т целое неотрицательное число.

Теорема 8 Любое инвариантное подпространство V С А~~ имеет непустое "нулевое множество" А = [А/., ///;.} и имеет следующее описание

V = {Ье А~ : (Ъ,е(\к,тк)) = 0, У(Аьтк) е А].

Теорема 9 Любое инвариантное подпространство У/ С А+ имеет непустой спектр и допускает спектральный синтез.

П. 3.5 Данный пункт диссертации посвящен построению базисов в инвариантных подпространствах.

Теорема 10 Пусть У/ С -А^о] инвариантное подпространство и {Аь1} - спектр У/. Пусть далее выполнено условие

где £ I — Ж1, д = — 1)- Тогда система {е(А&,1)} является абсолютным базисом в У/ — зрап{е(Хк, 1)}, т.е. для любого а Е У/ верно представление

со

а = Е аке(Хк,1). к=1

Аналогичные утверждения справедливы и для пространств о,+ .

Для однородного уравнения свертки в А+ эти утверждения удобно формулировать в терминах характеристической функции. Приведем формулировку такого утверждения для пространства : если характеристическая функция Ь(А) оператора свертки Мъ[а](р) в пространстве Ау>оа) имеет только простые нули {А^}, А& £ П и удовлетворяет условию

_ 1 1

Ип! -1=0, где я = р/(р- 1),

1с->оо\1т{\]с)\ Ь'{ Хк)

то любое решение однородного уравнения свертки можно единственным образом представить в виде абсолютно сходящегося ряда элементарных решений.

Для пространства А~ справедлива следующая Теорема 13 Для любого инвариантного подпространства V С А~ существует такой элемент Ъ Е V , что система явля-

ется базисом, в этом подпространстве.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шагапов, Илдар Ахняфович, 1999 год

Библиография

[1] Братищев A.B. О разрешимости интерполяционной задачи в пространствах [р(г),Н(в)) и [р(г), Н(в)]. - Механика сплошной среды. Ростов н/Д. 1981. С.49-54.

[2] Драгилев M. М., Захарюта В.П., Коробейник Ю.Ф. Двойственная связь между некоторыми вопросами теории базиса и интерполяции. // ДАН СССР. 1974. Т.215. N 3. С.522-525.

[3] Евграфов М.А. Интерполяционная задача Абеля-Гончарова. М. Гостехиздат. 1954.

[4] Казьмин Ю.А. К вопросу о восстановлении аналитической функции по ее элементам. // Изв. АН СССР. сер. матем. N30. 1966. С.307-324.

[5] Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука. 1989.

[6] Коробейник Ю. Ф. Об одной двойственной задаче. I. Общие результаты. Приложения к пространствам Фреше. // Матем. сб. 1975. 97(139). N2(6). С.193-229.

[7] Коробейник Ю.Ф. Об одной двойственной задаче. И. Приложения к LN* - пространствам и другие вопросы. // Матем. сб. 1975. 98(140). N1(9). С.3-26.

[8] Коробейник Ю. Ф. Операторы сдвига на числовых семействах. Ростов н/Д. Издательство Ростовского университета. 1983.

[9] Коробейник Ю.Ф. О решениях некоторых функциональных уравнений в классах функций, аналитических в( выпуклых областях. // Матем. сб. 1968. Т.75(117). N2. С.225-234.

[10] Красичков И. Ф. О замкнутых идеалах в локально выпуклых алгебрах целых функций. // Изв. АН СССР. 1967. Т.31. N1. С.37-60.

[11] Красичков - Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. I. Спектральный синтез на выпуклых областях. // Матем. сб. 1972. Т.87. N4. С.359-489.

[12] Красичков - Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. II. Спектральный синтез на выпуклых областях. // Матем. сб. 1972. Т.88. N1(5). С.4-30.

[13] Красичков - Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. III. О распространении спектрального синтеза. // Матем. сб. 1972. Т.88. N3(7). С.331-352.

[14] Красичков - Терновский И.Ф. Однородное уравнение типа свертки на выпуклых областях. //ДАН СССР. 1971. Т.197. N1. С.29-31.

[15] Кривошеее А. С., Напалков В.В. Комплексный анализ и операторы свертки. // УМН. 1992. Т.47. N6. С.3-58.

[16] Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. - М.: Гостехиз-дат. 1956.

[17] Левин Б.Я., Любарский Ю.И. Интерполяция целыми функциями специальных классов и связанные с нею разложения в ряды экспонент. // Изв. АН СССР. сер. матем. 1975. Т.39. N3. С.657-702.

[18] Леонтьев А. Ф. Целые функции. Ряды экспонент. - М.: Наука. 1983.

[19] Леонтьев А.Ф. Ряды полиномов Дирихле и их обобщения. Труды математического института им. В. А. Стек лов а. 1951. т. 39.

[20] Леонтьев А.Ф. О свойствах последовательностей полиномов Дирихле, сходящихся на интервале мнимой оси. // Изв. АН СССР, сер. матем. 1965. Т.29. С.269-328.

[21] Леонтьев А.Ф. Об интерполировании в классе целых функций конечного порядка. // ДАН СССР. Т.61. N5. 1948. С.785-757.

[22] Луценко В.И. Безусловные базисы из экспонент в пространстве Смирнова. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Уфа. 1992.

[23] Любарский Ю.И. Ряды экспонент в пространствах Смирнова и рштерполяция целыми функциями специальных классов. // Изв. АН СССР. сер. матем. 1988. Т.52. N3. С.559-580.

[24] Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. - М.: Наука. 1982.

[25] Напалков В.В. О базисе в пространстве решенрш уравнения свертки. // Мат. заметки. Т.43. N1. 1988. С.44-55.

[26] Напалков В.В. О подпространствах аналитических функций, инвариантных относительно сдвига. //Изв. АН СССР. сер. матем. 1972. Т.36. N6. С.1269-1281.

[27] Напалков В.В., Шагапов И.А. Построение целой периодической функции заданного роста. - В кн. "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. I. Комплексный анализ." // ИМ с ВЦ РАН. Уфа. 1996. С.76-80.

[28] Напалков В.В., Шагапов И.А. Замкнутые идеалы в некоторых алгебрах целых периодических функций.// Доклады РАН. 1997. т.354. N6. С.739-741.

[29] Напалков В.В., Шагапов И.А. Об инвариантных подпространствах в некоторых пространствах числовых последовательностей. //Тезисы докладов междунар. конф. по комплексному анализу ... ННГУ. Нижний Новгород. 1997. С. 46-50.

[30] Никольский Н.К. О замкнутых идеалах в некоторых алгебрах целых функций. //СМЖ. 1968. Т.9. N1. С.211-215.

[31] Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Т.2. - М.: Наука. 1968.

[32] Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. - М.: Наука. 1984.

[33] Рашевский П. К. О замкнутых идеалах в одной счетно - нормированной алгебре целых аналитических функций. // ДАН СССР. 1965. Т.162. N3. С.513-515.

[34] Себаштъян-и-Сильва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях. Математика. 1957. Т.1 N 1. С.60-77.

[35] Эдварде Р. Функциональный анализ. - М.: Мир. 1969.

[36] Юлмухаметов P.C. Однородные уравнения свертки. //ДАН СССР. 1991. Т.316. N2. С.312-315.

[37] Ehrenpreis L. Mean periodic funetions. // Amer. J. Math. 1955. V.77. N2. P.293-326.

[38] Ehrenpreis L. Fourire analysis in several complex variables New York: Wiley-Intersci. publishers. 1970.

[39] Malgrange B. Existence et approximation des solutions aux des equations derivees partielles et des equations de convolution // Ann. Inst. Fourier 1955-56. V.6. P.271-355.

[40] L. Schwartz. Theorie generale des fonctions mogenne-periodique. Ann. Math. 48. N4 (1947). P.857-929.