Однородные уравнения q-сторонней свертки тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Татаркин Александр Александрович

• Татаркин Александр Александрович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Татаркин Александр Александрович

2.1 Дуальные аннуляторы

2.1.1 Дуальные подпространства и дуальные аннуляторы

2.1.2 Полиномиальные оболочки

2.1.3 Дуальный аннулятор пространства решений однородного уравнения ^-сторонней свертки

2.1.4 Полиномиальные ядра

2.2 Локальное описание дуальных аннуляторов

2.2.1 Постановка задачи локального описания

2.2.2 Двойственный переход

2.2.3 Замкнутые подмодули в О (С)

2.2.4 Локальное описание и полиномиальная аппроксимация

3. Аппроксимационная теорема и ее следствия

3.1 Аппроксимационная теорема для однородного уравнения

^-сторонней свертки

3.1.1 Независимое описание топологии пространства

3.1.2 Предварительные сведения

3.1.3 Доказательство аппроксимационной теоремы

Заключение

Список используемой литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Однородные уравнения q-сторонней свертки»

Введение

В математическую литературу операторы свертки были введены в 1888 году Пинкерле [28]. Оказалось, что многие дифференциальные операторы и дифференциально разностные операторы с постоянными коэффициентами и некоторые другие сводятся к операторам свертки. Например, дифференциальный оператор бесконечного порядка сводится к оператору свертки, если его характеристическая функция имеет экспоненциальный тип [5]. Эти операторы возникают в ходе решения многих прикладных задач. Кроме того, оператор свертки имеет высокое теоретическое значение. Он, например, представляет собой эффективное средство исследования рядов Дирихле. С этой целью он использовался в работах Пойа, Валирона, В. Бернштейна и др. (сводка результатов имеется в работе [27]). По этим причинам уравнения свертки выступали предметом в работах многих математиков (см., например, [5-7, 22-25, 54-65, 67-74].

Если С — открытое множество в комплексной плоскости С, то символом О (С) обозначаем пространство локально аналитических функций на множестве С с обычной топологией. Символом О*(С) обозначаем сильное сопряженное а О (С). Выберем в комплексной плоскости две выпуклые области По и П. Пусть ие — открытый круг | г | < £. Считаем, что выбранные области удовлетворяют условию По + ие с П. При фиксированном к е ие оператор

Тк : О (П)^ О (По) | / (/ (г + к),

принято называть оператором сдвига (на шаг к). Всякий функционал 5 е О*(По) порождает свертку Мз(f) := (5,Тк(f)). Ядро оператора свертки Ws С О (П) совпадает с множеством решений однородного уравнения вида

М5(/) := (5,Тк(/)) = 0. (0.0.1)

Любой элемент из Ws можно аппроксимировать в топологии простран-

ства О (О) экспоненциальными полиномами из ^ [5]. Этот факт принято называть аппроксимационнной теоремой для однородного уравнения свертки (0.0.1). Дальнейшие исследования в данном направлении связаны с переходом к уравнениям более общего вида.

Пусть q е N := ехр ^ и комплексные числа ао,..., ад-1 не все равны нулю. При фиксированном к е ие имеет смысл линейная комбинация сдвигов

АТН(/) := аоТ1 (/) + ...+«(/),

где Т^ — сдвиг на шаг ш^к = к ехр . Оператор / ^ АТк(/), действующий из пространства О (О) в пространство О (Оо), принято называть оператором -стороннего сдвига на шаг к. Уравнение

АМ3(/) := <5,АТк(/)> = 0 (0.0.2)

где 5 е О *( Оо), / е О (О) называется однородным уравнением д -сторонней свертки. В 1991 году А.Б. Шишкин [9] доказал аппрокси-мационную теорему для однородного уравнения (0.0.2) при условии ао = • • • = а д-1.

Цель настоящего исследования — найти общие условия, обеспечивающие справедливость аппроксимационной теоремы для уравнения (0.0.2) при произвольном выборе функционала 5 и выпуклой области О.

Обозначим множество решений однородного уравнения д-сторон-ней свертки символом . Задача экспоненциального синтеза (для уравнения (0.0.2)): при каких условиях любой элемент подпространства можно аппроксимировать в топологии пространства О (О) экспоненциальными полиномами, лежащими в подпространстве . В первой главе диссертации показано, что подпространство ^ с О (О) замкнуто и О4-инвариантно, где := . В работе [39] показано, что задача экспоненциального синтеза для уравнения (0.0.2) сводится к спектральному синтезу (для оператора О4). Таким образом вопрос о справедливости аппроксимационной теоремы для однородного уравнения -сторонней

свертки сводится к вопросу полноты в подпространстве Ws корневых элементов оператора О4. Случай д = 1 впервые рассмотрен в работе [40]. Более полно случай д = 1 рассмотрен в статьях [5,7]. Среди более поздних работ следует отметить статьи [38-43].

Первые исследования центрального для нас случая д > 1 были осуществлены в работах [41,42]. Более полные исследования проведены в работах [8,9,20,37]. Из этих работ вытекает, что аппроксимаци-онная теорема верна для однородного уравнения ^-сторонней свертки, например, в следующих ситуациях:

1) я < 2;

2) коэффициенты ао,.., ад-\ равны между собой;

3) выпуклая область П и характеристическая функция функционала 5 являются д-симметричными.

Общий случай остается открытым. Его исследование начинается с изучения взаимосвязи задач экспоненциального синтеза и спектрального синтеза. Это исследование сводит задачу экспоненциального синтеза (для уравнения (0.0.2)) к задаче спектрального синтеза для дуального оператора (г4)® (по отношению к оператору г4 : О (С) ^ О (С) умножения на одночлен г4). При этом дуальный оператор (г4) ® совпадает с сужением оператора кратного дифференцирования О4 на пространство Р(С). Здесь Р(П) := ЬП(О*(П)), где О*(П) — сильное сопряженное к О (П), П — преобразование Лапласа. Для решения этого вопроса потребовалось изучить структуру множества экспоненциальных полиномов, лежащих в подпространстве ^ с О (П). В статье [16] эта задача была решена. Отметим, что свойства дуального оператора г® в случае д = 1 были исследованы впервые в работах [ [10], [11]].

Решение задачи спектрального синтеза предполагает двойственный переход к задаче локального описания в пространстве Р(П). Двойственный переход осуществляется по «схеме двойственности», разработанной в работах [ [1], [12]].

Публикации исследований в области локального описания целых

функций появляются уже во второй половине XX века. Основные результаты в этой области получены в работах [2-4, 44-53]. Локальному описанию в С [г] -модулях аналитических функций посвящены работы [5, 7, 36, 38, 39, 41-43]. Локальному описанию С[п]-модулей целых функций, где п — многочлен или целая функция посвящены работы [15, 34, 37].

Дадим краткое описание содержания настоящей диссертации. В первой главе даны строгие определения операторов -стороннего сдвига, -сторонней сверки и однородного уравнения -сторонней свертки (раздел 1.1); проведена постановка задачи экспоненциального синтеза (раздел 1.2). В разделе 1.3 осуществлен переход от задачи экспоненциального синтеза к задаче спектрального синтеза для дуального оператора (по схеме из статьи [14]).

Если V с О(О) и для любого к е {0,1,...} выполняется включение ((гд)® - Л)к/ е V, то говорим, что / погружено в множество V. Если линейные комбинации корневых элементов дуального оператора ( гд ) ®, погруженных в замкнутое подпространство С О (О), плотны в этом подпространстве, то говорим, что подпространство ^ допускает спектральный синтез. В подразделе 1.3.5 показано, что аппроксимационная теорема для однородного уравнения -сторонней свертки справедлива тогда и только тогда, когда пространство его решений допускает синтез по корневым элементам дуального оператора (гд)® : Р(О) ^ Р(О).

Раздел 1.4 посвящен описанию совокупности элементарных решений однородного уравнения -сторонней свертки. Это описание сводится к описанию решений этого уравнения представимых в виде экспоненциального полинома. В подразделе 1.4.3 доказана теорема 1.4.1, описывающая запас элементарных решений однородного уравнения -сторонней свертки в терминах характеристической функции (р функционала .

Вторая глава диссертации посвящена задаче локального описания в топологическом С [гд]-модуле Р(О). В разделе 2.1 описан дуальный

аннулятор с Р(П) пространства Ws решений однородного уравнения ^-сторонней свертки. Показано, что обладает структурой подмодуля в С [ гУ ] -модуле Р (П) и совпадает с замкнутой полиномиальной оболочкой функции (р в пространстве Р (П). Отсюда следует, что пространство ^ совпадает с полиномиальным ядром функционала 5. В разделе 2.2 проведена постановка задачи локального описания и доказана теорема двойственности, сводящая наши исследования к проверке допустимости локального описания замкнутым подмодулем (обильности ). В подразделах 2.2.3 и 2.2.4 задача локального описания подмодуля сведена к вопросам аппроксимации полиномами в специальном пространстве целых функций.

у-функцию § := (gl,...,gv) называем целой, если все функции gl,...,gv являются целыми. Если целые функции gl,...,gv являются полиномами, то целую у-функцию § := (^1,...,^у) называем у-поли-номом. Символом обозначим пространство всех целых у-функций § := (#1,..., gv), для которых сумма

1П181 (г9) ч> (*) + ... + ^ 8у (^) ч> (¿)

принадлежит Р(П). Определим отображение и^: 0^ ^ Р(П) по правилу

§ ^ гИ181 (^)<р(г) + ... + ^(^)<р(г).

Отображение и^: 0^ ^ Р (П) является взаимно однозначным. Наделим пространство 0^ топологией, индуцированной из пространства Р(П) отображением и^. Так как (р е Р(П) и оператор умножения на многочлен является эндоморфизмом пространства Р(П), то пространство 0^ включает в себя все у-полиномы. В подразделе 2.2.4 доказана теорема 2.2.2, утверждающая, что замкнутая полиномиальная оболочка функции (р в пространстве Р(П) является обильной тогда и только тогда, когда у-полиномы плотны в пространстве 0^. Плотность у-полиномов в пространстве 0^, в свою очередь, связана с некоторым свойством периодичности коэффициентов а1,..., ад-1. Это основной результат настояще-

го исследования. Для его формулировки требуется определить понятие индикатора оператора ^-стороннего сдвига

АТк : f(z) ^ ао/(г + ш°дк) + ...+ад-^(г + к).

и описать условие его периодичности.

Семейство целых чисел пА := {п 1, ...,пу}, удовлетворяющее условиям:

1) 0 < щ < ... < пу < д - 1;

2) если п е пА, то ао<ш(^п + .. + ад-1ш(<?-1)и Ф 0;

3) если п е {0,..., д - 1} \ пА, то аош®п + .. + ад-1шдд-1^п = 0. будем называть индикатором оператора ^-стороннего сдвига АТк. Если каждый следующий элемент индикатора А получается из предыдущего сдвигом на П1 + д - иу, то говорим, что индикатор пА периодичен.

Аппроксимационная теорема для однородного уравнения ^-сторонней свертки справедлива при любом выборе выпуклой области О с С и функционала 5 е О *(О) тогда и только тогда, когда индикатор пА оператора ^-стороннего сдвига периодичен (теорема 3.1.1).

Научная новизна, результаты выносимые на защиту. В работе получены следующие результаты:

- получено необходимое и достаточное условие выполнимости аппроксимационной теоремы для однородного уравнения -сторонней свертки при произвольном выборе выпуклой области О и непрерывного линейного функционала 5;

- дано описание пространства элементарных решений однородного уравнения -сторонней свертки.

Практическая ценность. Все исследования относятся к теории спектрального синтеза в комплексной области и к теории локального описания целых функций экспоненциального типа. Они носят характер фундаментальных исследований по теории функций и продолжают исследования известных математиков. Этим обусловлена их теоретическая значимость. Результаты могут быть полезны на научно-

исследовательских семинарах, тематика которых связана с действительным, комплексным и функциональным анализом.

Апробация исследования. Результаты исследования докладывались:

- на семинаре по теории функций в ФГБОУ ВО «Кубанский государственный университет», филиал в г. Славянске-на-Кубани (руководитель семинара А.Б. Шишкин, 2015-2021 гг.);

- на ежегодной региональной научно-практической конференции «Инновационная деятельность в сфере естественнонаучного образования» (ФГБОУ ВО «Кубанский государственный университет», филиал в г. Славянске-на-Кубани 2015-2020 гг.);

- в ходе работы международной школы-конференции «Комплексный анализ и его приложения», посвященной 90-летию со дня рождения доктора физико-математических наук, профессора Игоря Петровича Ми-тюка (ФГБОУ ВО «Кубанский государственный университет», филиал в г. Геленджик, 2018 г.);

- на Воронежской весенней математической школе «Понтрягин-ские чтения - XXX» (Воронеж, 2019);

- в ходе работы всероссийской научно-практической конференции, посвященной юбилею филиала Кубанского государственного университета в г. Славянске-на-Кубани, «Педагогический вуз в социокультурном и образовательном пространстве региона» (ФГБОУ ВО «Кубанский государственный университет», филиал в г. Славянске-на-Кубани, 2019 г.);

- в ходе работы третьей международной научной конференции «Осенние математические чтения в Адыгее» (Адыгейский Государственный Университет, 2019 г.).

Публикации автора и личный вклад автора. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 научных статьях [16], [37], [38], [36] и 7 тезисах научных конференций [29-35]. Работа [16] опубликована в издании, входящем в международную наукометрическую базу данных Scopus, статьи [37], [38] опубликованы в журнале, рекомендованном

ВАК РФ.

Статьи [16], [38], [36] опубликованы в соавторстве. В работе [16] автору диссертации принадлежат Предложение 1, Предложение 2, Предложение 3 и Предложение 4. В диссертационную работу из публикации [16] включены Предложения 1 - 4 и Теорема 1, которая является следствием упомянутых предложений.

Из статьи [38] в диссертационную работу включен только раздел Преемственность определения, который получен автором диссертации лично.

В публикации [36] автору диссертации принадлежит Теорема 1. Из статьи [36] в диссертационную работу включена только Теорема 1.

Автор выражает благодарность А. Б.Шишкину за формулировку задач исследования и методов их решения.

Все результаты диссертационного исследования являются достоверными, поскольку приводятся со строгими доказательствами, основанными на известных фактах и методах теории функций и функционального анализа.

Глава 1

Однородные уравнения

д-сторонней свертки

1.1. Операторы q-стороннего сдвига и д-сторонней свертки

1.1.1. Оператор q-стороннего сдвига

1. Определение оператора. Пусть ие — открытый круг | г | < £; По, П — выпуклые области в С, По + ие с П. Считаем, что пространства аналитических функций О (По), О (П), О (и£) наделены обычной топологией. Оператор

Т- : О (П)^ О (По)| / (/ (г + -)

называется оператором сдвига (на шаг — е ие). Он является непрерывным и совпадает с дифференциальным оператором

О (П) ^ О (По) | /(г) ^ У -Т ()(г).

¿о п1

Характеристическая функция оператора Т^ совпадает с функцией ехр{Ы}, то есть

Тн (ехр Лг)

-= ехр{пЛ}.

ехр Л

Понятие ^-стороннего сдвига является естественным обобщением понятия сдвига. Пусть д е N и := ехр ^. Выберем произвольные комплексные числа ао, ...,ад-\, не все из которых равны нулю, и определим оператор

А : 8(Л) ^ ад(0)(Л) + ... + ад-18(д-1)(Л),

где 8(к)(Л) := 8(ы\Л), который действует в пространстве целых функций О (С) и является непрерывным. С оператором А тесно связан оператор

АТп : /(г) ^ яоТА(0)(/) + ...+Ад-1Т(д-1)(Л,

где тП^ — сдвиг на шаг ^П. Легко увидеть, что при любом П е ие оператор АТп действующий из пространства О (П) в пространство О (По). Оператор АТп : О (П) ^ О (По) принято называть оператором д-сто-роннего сдвига (на шаг П е ие).

2. Свойства оператора д-стороннего сдвига. Рассмотрим основные свойства оператора д-стороннего сдвига.

Свойство 1.1.1. Оператор д-стороннего сдвига АТп совпадает с дифференциальным оператором бесконечного порядка

(вп№), (1.1.1)

где

0 т

п=0

д-1

Ьп := п е {0,1,...}

к=0

и ряд (1.1.1) сходится равномерно на компактах из П0.

Доказательство. Пусть / е О (П). Тогда по определению оператора <-стороннего сдвига для любого г е По имеем

<-1 <7-1 АТк(Л^) = £ ак/(г + ы<к) = £ А*(ехры^кО)(/)(*).

&=0 &=0

Используя определение дифференциального оператора ехр ы^кО, получаем

АТк(/)(*) = ^ак X "V(О"/)(^) =

к=0 п=0 П'

= I !><Ь(°л(г) = £ ъ„-(°жг).

я=0 к=0 / ' я=0 '

При этом для любого к е {0,1,..., < - 1} ряд

^ ыкапкп

0

я=0

сходится равномерно на компактах из П0 к функции /(г + ы<к), значит, ряд (1.1.1) тоже сходится равномерно на компактах из П0. Свойство доказано. □

Свойство 1.1.2. Характеристическая функция оператора <-стороннего сдвига АТк : О (П) ^ О (П0) совпадает с функцией

7-1 кпЛп

А (ехр кЛ) := ^ аь ехр шккЛ = ^ Ьг

п! '

=0 =0

то есть

АТк (еХР Лг} = А (ехр кЛ).

ехр Л

Доказательство. С одной стороны, по определению оператора -стороннего сдвига для любого е П0 имеем

-1 -1 АТк (ехрЛг) = ^ ак ехрЛ (г + ы<к) = ^ ак ехры<кЛ ехр Лг.

=0 =0

Значит,

АТП (ехр Л1) V1 к

-= } а^ехр^дпЛ = А(ехр пЛ).

ехр Л =0

С другой стороны, по свойству 1.1.1

ч ^ , пп п ^ , ПпЛп

АТп(ехрЛг) = > Ьп—0 ехрЛг = > Ьп ——ехрЛг.

п\ ^0

и=0 я=0

Значит,

ехр Л г п\

п=0

АТН (ехр Лг) ^ , кпЛп

——--= > Ьп~

Свойство доказано. □

Свойство 1.1.3. Оператор д-стороннего сдвига АТп : О (П) ^ О (П0) является линейным и непрерывным.

Доказательство. В силу представления

АТп (/) = «0 Т(0)(/) + ... + а,-1 Тп(д-1)(/) (1.1.2)

линейность и непрерывность оператора д-стороннего сдвига АТп : О (П) ^ О (П0) на шаг к вытекает из линейности и непрерывности оператора сдвига Т^, к е {0,..., д - 1} на шаг □

Естественно считать, что среди коэффициентов а0,..., ад-1 есть отличные от нуля. По свойству 1.1.1 оператора д-стороннего сдвига среди коэффициентов

д-1

Ьп := п е {0,1,...}

к=0

есть отличные от нуля. Эти коэффициенты зависят от п периодическим образом, то есть для любого п е Ъ+ выполняется равенство

Ьп+а =Ьп. (1.1.3)

Значит, среди коэффициентов Ьп, п е {0,..., 1} есть отличные от нуля. Определитель

А0,...^-1 : =

1

1

1

7-1

1 ы

7-1

(7-1)( 7-1)

(1.1.4)

системы уравнений

а0 + а1 + ... + а7-1 -1

а0 + а1 + ад-1

а0 + а1 + ... + ад-1

= 0, = 1,

-1

совпадает с определителем Вандермонда. Он равен

Ц (4 - ^) ф о.

0<n<j<д-1

Значит, коэффициенты а0,..., а7-1 однозначно определяются по коэффициентам ¿>0,..., Ь д-1 с помощью формулы

А

0,...,7-1 ( Ъ0,...,Ъ7-1) А0,...^-1

(1.1.5)

где определитель А0 7-1 (Ь0,...,Ь7-1) получен из определителя (1.1.4) заменой -го столбца столбцом

/ Ь0, х

Ь :=

Ь1,

\ Ь7-1 )

Значит, справедливо следующее предложение.

Свойство 1.1.4. Оператор 7-стороннего сдвига АТк совпадает с дифференциальным оператором вида (1.1.1) удовлетворяющим услови-

ям:

1

7

1) коэффициенты Ь п удовлетворяют условию периодичности (1.1.3);

2) не все из коэффициентов Ьо,..., Ьд-1 равны нулю.

Коэффициенты ао,...,ад-1 будем называть определяющими коэффициентами оператора д-стороннего сдвига АТ^, а многочлен

р(г) := ао + ац + ... + а^-^-1

— определяющим многочленом оператора д-стороннего сдвига АТ^.

Коэффициенты Ьо, ...,Ьд-1 будем называть характеристическими коэффициентами оператора ^-стороннего сдвига АТ^, , а многочлен

д(г) := Ьо + Ьц + ... + Ьд-цд-!

— характеристическим многочленом оператора -стороннего сдвига АТк.

Соотношение (1.1.5) задает способ восстановления определяющих коэффициентов ао,...,ад-1 оператора ^-стороннего сдвига АТ^ по его характеристическим коэффициентам Ьо,..., Ьд-1. Этот способ допускает существенное упрощение. Справедливо следующее предложение.

Свойство 1.1.5. Определяющие коэффициенты ао,...,ад-1 однозначно восстанавливаются по характеристическим коэффициентам

Ьо,..., Ьд-1 с помощью следующей формулы

- <?-1

ап = -^ы-кпЬь пе{0,...,д - 1}.

1 к=о

Доказательство. Воспользуемся матричной записью

системы уравнений

/

ао + а1 + ... + ад-1 = Ьо, 1

ао + Щ а1 + ...шд ад-1 = 01,

ао + Щ а1 + ... + щ ад-1 = Ьд-1.

Получим Ло ^ ^а = Ь, где а — столбец из чисел ао,..., ад-\, а Ь — столбец из чисел Ьо,...,Ьд-\. Определитель матрицы Ло,...^-1 отличен от нуля, так как он совпадает с определителем Вандермонда Ао,...^-1. По свойствам целых степеней корня из единицы имеем

q-1

Е

к=о

0)тк = <

0, если т не делится на q, q, если т делится на q.

Используя последнее соотношение, легко убедиться, что матрица

Л-1 -Ло,...^-1

1

1 , г^-1)

\ 1 мq

1

—(q—l)(q—1)

является обратной к матрице Ло,...,(?-1. Значит, система Ло,...,(?-1а = Ь имеет решение при любом ненулевом Ь. Осталось отметить, что решение а этой системы определяется по правилу а := Л-11 ^Ь. Свойство доказано. □

3. Индикатор оператора АТп. Среди характеристических коэффициентов Ьо, ...,Ь(}-1 могут быть нули. Для их отслеживания введем понятие индикатора оператора q-стороннего сдвига. Этим термином мы назовем упорядоченное множество целых чисел п е {0, ...^ - 1}, для которых Ьп не равно нулю. Индикатор оператора АТ^ обозначим символом пА. Согласно этому определению пА = {п 1, ...,пу} и 0 < п1 < ... < Пу < q - 1. При этом целое п принадлежит пА тогда и только тогда, когда 0 <п<q- 1 иЬ пФ 0.

Дополним индикатор пА оператора q-стороннего сдвига АТ^ элементом п1 + q. Этот дополнительный элемент обозначим символом пу+1. Будем говорить, что индикатор пА периодичен, если

1

1

1

1

пк-пк-1 =п к+1 -п к, ке{2,..., у}.

Свойство 1.1.6. Периодичность индикатора пА оператора д-стороннего сдвига АТ^ эквивалентна выполнению следующих условий:

1) д = доУ при некоторых до, у е {1,..., д}/

2) ап+у = УП1ап для любого п е {0,..., д - у - 1} и некоторого гц е {0,..., до - 1}/

3) Ик=1 (и-1)+и 1)к^к ^ 0 для любого п е {1,..., у}.

Доказательство. Необходимость. Пусть индикатор п А оператора д-стороннего сдвига АТ^ периодичен. Следовательно найдется натуральное до такое, что для всякого пк е пА верны равенства

пк- Щ = (Пк - Пк-1) + (Пк-1 - Пк-2) + ... + (П2 - 11) = Чо (к- 1),

то есть индикатор пА состоит из целых чисел до (к - 1) + П1, где к е {1,..., у}. При этом по определению числа пу+1 имеем

д = п у+1 - щ = п у- щ + до = до (у - 1) + Чо = до у,

то есть д делится на у. Условие 1) выполнено.

По определению индикатора пА и свойству 1.1.5 имеем:

11

£ и~пкЪк = - £ , п е {0,..., д - 1};

« к=о « к=1

-1

1 1

аи+у = 1 ^ ш-п+у)кЬк = - ^ ^{п+г)пкЬПк, п е {0,..., д - у - 1}.

У к=о У к=1

Кроме того для любого пк е и А выполняются равенства

(п+^п к = = (к-1) = а)~ппка)-уп1.

Значит, для любого п е {0,..., д - у - 1} справедливы равенства

1 V 1 V

ап+у = 1 X ^(П+У)ПкЬпк = 1 2 <Пк^7П1Ьпк = п. =1 =1

При этом пу = до (у - 1) + щ е {0,..., д - 1}, значит, ^ е {0,..., до - 1}, то есть условие 2) тоже выполнено.

С другой стороны, по свойствам целых степеней корня из единицы ыд и по свойству 1.1.5

Ч У ыддо(и-1)+и 1)как = — Ьд0(л-1)+л!, п е {1,..., у}.

При этом ¿70 (и - 1) + П1 е и л, значит, ¿>^(п-1)+п 1 Ф 0. Это означает, что и условие 3) выполнено.

Достаточность. Предположим, что выполнены условия 1), 2) и 3). По условию 1) q = qо^ при некоторых qо, у е {1,..., q}. Пусть ыдо :=

Ъи 7о

выполняются равенства

ехр — и при некотором щ е {0,..., до - 1} для любого т е {0,1,...}

до

у-1 70-1

^ - V , "V / ^'(т-« 1)

^т = ^ Ы ак .

к=0 у=0

Тогда в силу свойств целых степеней корня из единицы ыд, если т - «1 не делится на qо, то Ьп = 0. Если же т - щ делится на qо, то т = qо (п - 1) + «1 при некотором и из множества {1,..., у}. Значит, в силу условия 3) Ь т отлично от нуля. Следовательно индикатор па будет периодичным. Таким образом, нам осталось доказать требуемое равенство. Это легко сделать. Действительно, в силу (1.1.1) и условия 2) при некотором П1 е {0,..., qо - 1} для любого т е {0,1,...} выполняются равенства

7-1 у-1 2у-1 7о у-1

Ьт = X Ыкдтак = X Ыкдтак + X Ыкдтак + ... + £ ыктак =

к=о к=о к=у к=( с[0—1)у

-1 -1 -1

^кт (к+у)т , V"1 (к+(до-1)у)т

ыд ак +( ) ак+у + ... + ( ^ )) ак+(до-1)у = к=о к=о к=о

-1 -1 -1

= V / £тп. V / ,кт+у(т-П1)^ V1 кт+(до-1)у(т-я 1) =

= ак + ак +... + ак =

=о =о =о

у-1 7о-1 у-1 7о-1

= к X <^ = к X Ыо"-.

=о =о =о =о

□

1.1.2. Оператор д-сторонней свертки

Пусть д е N := ехр и АТк — фиксированный оператор д-стороннего сдвига

/ ^ «о т(°\л + ...+«,-1Т/('?-1)(/), |«оI + • • • + 1«9-1| * 0

на шаг к. Здесь к е ие, Т/(к) : О (П) ^ О (По) — сдвиг на шаг ^к е ие. Образ АТк (/) для любого / е О (П) лежит в О (По). Значит, для любого Б е О*(По) определен оператор д-сторонней свертки

АМБ : < Б, АТк (Л).

Изучим свойства этого оператора.

Свойство 1.1.7. Оператор АМ$ : / ^ <5, АТк (/)) действует из О(П) в О(ие) и является непрерывным.

Доказательство. Для любого к е {0,1,..., д - 1} оператор свертки / ^ / Б, Т,(к)(/п действует из пространства О (П) в простран-

к

ство О(ие) и является непрерывным. Значит, оператор

я-1 /

/ ^ ф (к) := <5, АТк (/)) = £ а к (5, Т^/)

=о

тоже действует из пространства О(П) в пространство О(и£) и является непрерывным. Свойство доказано. □

Свойство 1.1.8. Оператор д-сторонней свертки АМ$ : О (П) ^ О(ие) перестановочен с оператором д-кратного дифференцирования Од. Точнее, в области По выполняется следующее соотношение

М I у

— <5,АТк(/)) = (Б, АТк(/(9))) .

Доказательство. По определению ^-стороннего сдвига имеем

ад ад 7-1 7-1

Ш = ^ ^ ^^ + = £ + ф).

к=о к=о

При этом = ехр2л7 = 1. Значит,

АТк (/) = АТг (/^.

В силу непрерывности функционала 5 имеем С

(Иг*

Свойство доказано. □

<5 ,АТг (/)> = 1(/)} = (5 ,АТЙ (/^

Свойство 1.1.9. Ядро оператора д-сторонней свертки АМ5 : О (П) ^ О ) является замкнутым О4-инвариантным подпространством в О (П).

Доказательство. По свойству 1.1.7 оператора д-сторон-ней свертки АМ$ : О(П) ^ О(ие) действует из пространства О(П) в пространство О(и£) и является непрерывным. Значит, ядро Ws оператора ^-сторонней свертки АМs : О(П) ^ О(и£) является замкнутым подпространством пространства О (П). По свойству 1.1.8 оператор АМ$ коммутирует с оператором О4. Следовательно, Ws является О4-инвариантным. □

1.2. Однородное уравнение д-сторонней свертки

Выберем произвольный линейный непрерывный функционал на пространстве О (По) и произвольный оператор ^-стороннего сдвига АТг.

Однородное уравнение

<5,АТк(/)) = 0, / еО(П),

(1.2.1)

называется однородным уравнением д-сторонней свертки. По свойству 1.1.9 совокупность решений однородного уравнения ^-сторонней свертки совпадает с ядром Ws оператора ^-сторонней свертки

и является замкнутым -инвариантным подпространством в О (П). Экспоненциальным полиномом называется целая функция вида

где Х^ е С, ру (г) — элементы кольца многочленов С [г] от г. Произвольный экспоненциальный полином является конечной линейной комбинацией экспоненциальных одночленов

Экспоненциальные полиномы, удовлетворяющие уравнению (1.2.1), принято называть элементарными (или экспоненциальными) решениями этого уравнения. Говорим, что для уравнения (1.2.1) справедлива аппроксимационная теорема, если любой элемент / е ^ допускает аппроксимацию в О (П) экспоненциальными полиномами из Ws. Аппроксимационная теорема для уравнения (1.2.1) справедлива, например, если только один из коэффициентов отличен от нуля. В этом случае однородное уравнение ^-сторонней свертки (1.2.1) [6]. Аппроксимационная теорема справедлива и в случае совпадения всех коэффициентов. В этом случае однородное уравнение ^-сторонней свертки (1.2.1) равносильно однородному уравнению

О (П)^О (ие )1/^<Б,АТк (/))

т

ехР{Х/z},

=1

1] ехрХг, У е := N и {0}, Х е С.

-1

=о

Справедливость аппроксимационной теоремы для таких уравнений доказана в работе [9].

Убедимся, что запас элементарных решений уравнения (1.2.1) не является пустым. Доказанное ниже предложение дает лишь частичное описание запаса элементарных решений уравнения (1.2.1). Полное описание этой совокупности будет дано позднее (теорема 1.4.1).

Предложение 1.2.1. Если Ло — нуль функции <(Я) кратности п, то экспоненциальные одночлены

ехрЛог, г ехрЛог,...,гп-1 ехр Лог

и их произвольные линейные комбинации являются элементарными решениями уравнения (1.2.1).

Доказательство. По свойству 1.1.2

<Б, АТг (ехр Лг)> = А (ехр Ы) <Б, ехр Лг> = А (ехр Ы) <(Л).

Значит, для любого у е {0,1, ...,п - 1} имеем

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Татаркин Александр Александрович, 2022 год

Список используемой литературы

[1] Шишкин А. Б. Экспоненциальный синез в ядре оператора симметричной свертки // Записки научных семинаров ПОМИ. - 2016. - Т. 447. - С. 129-170.

[2] Красичков-Терновский И. Ф. О замкнутых идеалах в локально выпуклых алгебрах целых функций. I // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1967. - Т. 31. — С. 37-60.

[3] Красичков-Терновский И. Ф. О замкнутых идеалах в локально выпуклых алгебрах целых функций. II // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1968. — Т. 32. — С. 1024-1032.

[4] Красичков-Терновский И. Ф. О замкнутых идеалах в локально выпуклых алгебрах целых функций. Алгебры минимального типа // Сиб. мат. журн. — 1968. — Т. 9., № 1 — С. 77-96.

[5] Красичков-Терновский И. Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. I. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сб. - 1972. - Т. 87(129), № 4. - С. 459-489.

[6] Красичков-Терновский И. Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. II. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сб. - 1972. - Т. 88, № 1. - С. 3-30.

[7] Красичков-Терновский И. Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. III. О распространении спектрального синтеза // Матем. сб. - 1972. - Т. 88, № 3. - С. 331-362.

[8] Красичков-Терновский И. Ф., Шишкин А. Б. Спектральный синтез оператора кратного дифференцирования // Докл. АН СССР. — 1989. -Т. 307, № 1. С. 24-27.

[9] Шишкин А. Б. Спектральный синтез для оператора, порождаемого умножением на степень независимой переменной // Матем. сб. -1991. - Т. 182, № 6. - С. 828-848.

[10] Ткаченко В. А. Спектральные разложения в пространствах аналитических функционалов // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1979. - Т. 43. № 3. - С. 654-713.

[11] Ткаченко В. А. Спектральная теория в пространствах аналитических функционалов для операторов, порождаемых умножением на независимую переменную // Матем. сб. - 1980. - Т. 112(154). №3(7). -С. 421-466.

[12] Шишкин А. Б. Спектральный синтез для систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Теорема двойственности // Матем. сб. - 1998. - Т. 189, № 9. - С. 143-160.

[13] Шишкин А. Б. Проективное и инъективное описания в комплексной области. Спектральный синтез и локальное описание аналитических функций. - Славянск-на-Кубани : Издательский центр филиала ФГБОУ ВПО «КубГУ», 2013.- 304 с.

[14] Шишкин А. Б. Проективное и инъективное описания в комплексной области. Двойственность // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2014. - Т. 14, № 1. - С. 47-65.

[15] Шишкин А. Б. Обильность главных С [л]-подмодулей // Изв. вузов Сев.- Кавк. регион. Естеств. науки. — 2009. — № 3. — С. 34 - 38.

[16] Tatarkin А. А., Saranchuk U. S. Elementary solutions of a homogeneous q-sided convolution equation // Пробл. анал. Issues Anal. - 2018. - Т. 7(25), спецвыпуск. - С. 137-152.

[17] Кривошеев А. С., Напалков В. В. Комплексный анализ и операторы свертки // УМН. - 1992. - Т. 47, № 6. - С. 3-58.

[18] Красичков-Терновский И. Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. I. Теорема двойственности // Матем. сб. - 1991. - Т. 182, № 11. - С. 1559-1588.

[19] Красичков-Терновский И. Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. III. Обильные подмодули // Матем. сб. - 1992. - Т. 183, № 6. - С. 55-86.

[20] Красичков-Терновский И. Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. IV. Синтез // Матем. сб. — 1992. — Т. 183, № 8. — С. 23-46.

[21] Красичков-Терновский И.Ф. Аппроксимационная теорема для однородного уравнения векторной свертки // Матем. сб. - 2004. - Т. 195, № 9. - С. 37-56.

[22] Леонтьев А. Ф. Ряды полиномов Дирихле и их обобщения // Тр. МИАН СССР. — 1951. — Т. 39.

[23] Леонтьев А. Ф. Об одном функциональном уравнении // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1965. — Т. 29. — С. 725-756.

[24] Леонтьев А. Ф. О представлении функций рядами полиномов Дирихле // Матем. сб. - 1966. - Т. 70. - С. 132-144.

[25] Леонтьев А. Ф. О суммировании ряда Дирихле с комплексными показателями и его применении // Тр. МИАН СССР. — 1971. — T. 112.-С. 300- 326.

[26] Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. - М. : Наука, 1976. - 536 с.

[27] V. Bernstein , Leçons sur les progrès recents de la theorie des series de Dirichlet, Paris, Gauthier—Villars, 1933.

[28] S. Pin^erie, Sur la resolution de l'equation fonctionnelle a coefficients constants, Acta Math., 48 (1926), 279—391

[29] Татаркин, А. А. Замкнутость полного образа одного отображения в пространстве целых функций / А. А. Татаркин, Ю. С. Саранчук // Инновационная деятельность в сфере естественнонаучного образования : Материалы VII региональной научно-практической конференции, Славянск-на-Кубани, 25 ноября 2017 года. - Славянск-на-Кубани: Межрегиональный центр инновационных технологий в образовании, 2018. - С. 119-123.

[30] Tatarkin, A. A. Elementary solutions of homogeneous q-sided convolution equation / A. A. Tatarkin, U. S. Saranchuk // Complex Analysis and its Applications : Материалы Международной школы-конференции, посвященной 90-летию со дня рождения И.П. Митю-ка, Геленджик, 02-09 июня 2018 года / Кубанский государственный университет. - Геленджик: Кубанский государственный университет, 2018. -P. 103.

[31] Татаркин, А. А. Аппроксимация решений однородного уравнения трехсторонней свертки / А. А. Татаркин, Ю. С. Саранчук // Инновационная деятельность в сфере естественнонаучного образования

: сборник трудов VIII Региональной научно-практической конференции, Славянск-на-Кубани, 24 ноября 2018 года / Филиал Кубанского государственного университета в г. Славянске-на-Кубани. -Славянск-на-Кубани: Межрегиональный центр инновационных технологий в образовании, 2019. - С. 82-85.

[32] Татаркин, А. А. Синтез в ядре оператора трехсторонней свёртки / А. А. Татаркин, А. Б. Шишкин // Современные методы теории краевых задач : Материалы Международной конференции Воронежская весенняя математическая школа ПОНТРЯГИНСКИЕ ЧТЕНИЯ - XXX, Воронеж, 03-09 мая 2019 года. - Воронеж: Воронежский государственный университет, 2019. - С. 266-268.

[33] Саранчук, Ю. С. Аппроксимационная теорема для однородного уравнения ^-сторонней свертки / Ю. С. Саранчук, А. А. Татар-кин, А. Б. Шишкин // Педагогический вуз в социокультурном и образовательном пространстве региона : Сборник научных трудов региональной научно-практической конференции, посвященной 25-летию филиала Кубанского государственного университета в г. Славянске-на-Кубани. В 2-х частях, Славянск-на-Кубани, 27-29 сентября 2019 года / Ответственный редактор М.Ю. Беляева. - Славянск-на-Кубани: Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Кубанский государственный университет"в г. Славянске-на-Кубани, 2020. - С. 224-228.

[34] Татаркин, А. А. Синтез в ядре оператора q-сторонней свертки / А. А. Татаркин, Ю. С. Саранчук // Осенние математические чтения в Адыгее : Материалы III Международной научной конференции, Майкоп, 15-20 октября 2019 года. - Майкоп: Адыгейский государственный университет, 2019. - С. 165-167.

[35] Татаркин, А. А. О дуальном операторе к одному оператору типа свертки / А. А. Татаркин // Инновационная деятельность в сфере естественнонаучного образования : сборник трудов IX Региональной научно-практической конференции, Славянск-на-Кубани, 21 ноября 2020 года. - Киров, 2021. - С. 159-161.

[36] Татаркин, А. А. Синтез в ядре оператора трехсторонней свертки / А. А. Татаркин, А. Б. Шишкин // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. - 2021. - Т. 193. - С. 130-141.

[37] Татаркин, А. А. О плотности многочленов в специальном пространстве целых функций экспоненциального типа / А. А. Татаркин // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки. - 2021. - № 2(210). - С. 34-41.

[38] Саранчук, Ю. С. Об одном обобщении оператора сдвига / Ю. С. Саранчук, А. А. Татаркин // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки. - 2021. -№3(211).-С. 32-36.

[39] Чернышев А. Н. Спектральный синтез для дифференциального оператора бесконечного порядка с постоянными коэффициентами : дис. ... канд. физ.- мат. наук: 01.01.01 / Чернышев Андрей Николаевич. — Армавир, 2004. — 100 с.

[40] Schwartz L. Theorie generale des fonctions moyenne-periodiques // Ann. Math. — 1947. — V. 48. — P. 857-929.

[41] Мерзляков С. Г. Инвариантные подпространства оператора кратного дифференцирования // Матем. заметки. — 1983. — Т. 33, № 5. — С 701-713.

[42] Мерзляков С. Г. О подпространствах аналитических функций, инвариантных относительно оператора кратного дифференцирования //Матем. заметки. - 1986. - Т. 40, № 5. - С. 635-639.

[43] Мерзляков С. Г. Спектральный синтез для оператора дифференцирования на системах криволинейных полос // Матем. сб. — 1995. — Т. 186, № 5. — С. 85 - 102.

[44] Шишкин А. Б. Локальное описание замкнутых подмодулей в специальном модуле целых функций экспоненциального типа // Матем. заметки. — 1989. Т. 46, № 6. — С. 94-100.

[45] Хабибуллин Б. Н. Замкнутые идеалы голоморфных функций с двумя порождающими // Матем. зам. — 2004. — Т. 76, № 4. — С. 604609.

[46] Хабибуллин Б. Н. Замкнутые подмодули голоморфных функций с двумя порождающими // Функциональный анализ и его приложения. — 2004. — Т. 38, № 1. — С. 65-80.

[47] Хабибуллин Б. Н. Спектральный синтез для пересечения инвариантных подпространств голоморфных функций // Матем. сб. — 2005. — Т. 196, № 3. — С. 119-142.

[48] Юлмухаметов Р. С. Спектральный синтез в ядре оператора свёртки в весовых пространствах // Алгебра и анализ. — 2009. — Т. 21, № 2. — С. 264-279.

[49] Калинин С. И. К вопросу об аппроксимации решения однородного уравнения свертки посредством элементарных // Матем. заметки. — 1982. — Т. 32, № 2. — С. 199-211.

[50] Абузярова Н. Ф. Об одном свойстве подпространств, допускающих спектральный синтез // Матем. сб. — 1999. — Т. 190, № 4. — С. 3-22.

[51] Cartan H. Idr eaux et modules de fonctions analytiques de variables complexes // Bulletin de la Socir etr e Mathematique de France. — 1950. — V. 78, № 1. — P. 29-64.

[52] Cartan H. Idr eaux et modules de fonctions analytiques de variables complexes // Bulletin de la Socir etr e Mathematique de France. — 1950. — V. 78, № 1. — P. 29-64.

[53] Beurling A. A critical topology in harmonic analysis on semigroups // Acta Math. — 1964. — V. 112, № 3-4. — P. 215-228.

[54] Рашевский П. К. О замкнутых идеалах в одной счетно-нормиро-ванной алгебре целых аналитических функций // Докл. АН СССР. — 1965. — Т. 162, № 3. С. 513-515.

[55] Taylor B. A., Williams D. L. Ideals in rings of analytic functions with smooth boundary values. // Canad. J. Math. — 1970. — V.12, № 6. — P. 1266-1283.

[56] Никольский Н. К. Замкнутые идеалы в некоторых алгебрах целых функций // Сиб. мат. журн. — 1968. — Т. 9., № 1 — С. 211-215.

[57] Шамоян Ф. А. О замкнутых идеалах в одной алгебре быстро растущих аналитических функций // Изв. АН Арм. ССР. Сер. «Математика». — 1969. — Т. 4, № 4. — С. 267-277.

[58] Kelleher J. J., Taylor B. A. Closed ideals in locally convex algebras of analityc functions // J. fbr die reine und angewandte Mathematik. — 1972. — V. 225. — P. 190-209.

[59] Коренблюм Б. И. Замкнутые идеалы кольца d835dc35 d835dc5c . // Функциональный анализ и его приложения. — 1972. — Т. 6, № 3. — С. 38-52.

[60] Мацаев В. И., Магульский Е. З. Теорема деления для аналитических функций с заданной мажорантой и некоторые ее приложения // Зап. научн. сем. ЛОМИ. - 1976. - Т. 56. - С. 73-89.

[61] Ritt J. E. On a general class of linear homogeneous differential equations of infinite order with constant coefficients // Trans. Amer. Mathem. Soc.

- 1917.-V. 18. - P. 27-49.

[62] Polya G. Eine Verallgemeinerung des Fabryschen Zbckensatzes // Nach. Gesell Sch. Wissensck. Gqttingen. - 1927. - P. 187-195.

[63] Valiron G. Sur les solutions des e'quations differentielles line'ares d'order infinit et a'coefficiens constants // Ann. Ec. Norm. Sup. - 1929.

- V. 46. - P. 25-53.

[64] Гельфонд А. О. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и асимптотические периоды целых функций // Тр. МИАН СССР. - 1951. - Т. 38. - С. 42-67.

[65] Ehrenpreis L. Mean periodic functions // Amer. J. Math. - 1955. - V. 77, № 2. - P. 293-326.

[66] Ehrenpreis L. Fourier analysis in several complex variables. - New-York: Wiley- Intersci. publishers. - 1970.

[67] Dickson D. G. Infinit order differential equations // Proc. Amer. Math. Soc. - 1964. - V. 15, № 4. - P. 638-641.

[68] Коробейник Ю. Ф. Существование аналитического решения дифференциального уравнения бесконечного порядка и характер его области аналитичности // Матем. сб. - 1969. - Т. 80(122), № 1(9). -С. 52-76.

[69] Коробейник Ю. Ф. Уравнения свертки в комплексной области // Матем. сб. - 1985. - Т. 127(169), № 2(6). - С. 173-197.

[70] Коробейник Ю. Ф. Нетривиальные разложения нуля по абсолютно представляющим системам. Приложения к операторам свертки // Матем. сб. - 1991. - Т. 182, № 5. - С. 661-680.

[71] Коробейник Ю. Ф. О разрешимости уравнения свертки в некоторых классах аналитических функций // Матем. заметки. — 1991. — Т. 49, № 2. — С. 74-83.

[72] Коробейник Ю. Ф. О правом обратном для оператора свертки, действующего в пространствах ростков на связных множествах в С // Матем. сб. — 1996. — Т 187, № 1. — С. 55-82.

[73] Коробейник Ю. Ф., Мелихов С. Н. Линейный непрерывный правый обратный для оператора представления и приложения к операторам свертки // Сиб. мат. журн. — 1993. — Т 34, № 1. — С. 70-84.

[74] Епифанов О. В., Коробейник Ю. Ф. Нормальная разрешимость одного класса дифференциальных уравнений бесконечного порядка // Матем. сб. — 1971. — Т. 84(126), № 3. — С. 378-405.

[75] Епифанов О. В. Разрешимость уравнения свертки в выпуклых областях // Матем. заметки. — 1974. — Т. 15, № 5. — С. 787-796.

[76] Епифанов О. В. К вопросу об эпиморфности оператора свертки в выпуклых областях // Матем. заметки. — 1974. — Т. 16, № 3. — С. 415-422.

[77] Епифанов О. В. Критерий эпиморфности свертки в произвольных областях комплексной плоскости // Матем. заметки. — 1982. — Т. 31, № 5. — С. 695-705.

[78] Моржаков В. В. Об уравнениях свертки в пространствах функций, голоморфных в выпуклых областях и на выпуклых компактах в С // Матем. заметки. — 1974. — Т. 16, № 3. — С. 431-440.

[79] Моржаков В. В. Об эпиморфности оператора свертки в выпуклых областях из Сл // Матем. сб. — 1987. — Т. 132(174), № 3. — С. 352370.

[80] Коробейник Ю. Ф., Мелихов С. Н. Линейный непрерывный правый обратный для оператора представления и приложения к операторам свертки // Сиб. мат. журн. — 1993. — Т 34, № 1. — С. 70-84.

[81] Мелихов С. Н., Момм З. О линейном непрерывном правом обратном для оператора свертки на пространствах ростков аналитических функций на выпуклых компактах в С // Изв. вузов. Матем. — 1997. — № 5. — С. 38-48.