Конечно порожденные подмодули в модулях целых функций, определяемых ограничениями на индикатор тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Абузярова, Наталья Фаирбаховна

• Абузярова, Наталья Фаирбаховна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Абузярова, Наталья Фаирбаховна

Введение.

Глава 1. Предварительные сведения.

Постановка задачи. Основные результаты.

§1.1. Предварительные сведения. Метод. Стр.

§1.2. Постановка задачи и применимость метода. Стр.

§1.3. Формулировка основных результатов. Стр.

Глава 2. Аналитические леммы.

§2.1. Определения и обозначения. Стр.

§2.2. Вспомогательные оценки в терминах 5П, Км- Стр.

§2.3. Оценки для подпоследовательности

Ь„Л*)}. СтР

Глава 3. Замкнутые подмодули в Р[р, Н) и в Р[р, Н]. Стр.

§3.1. Подмодули с двумя образующими. Стр.

§3.2. Подмодули с произвольным конечным числом образующих. Стр.

§3.3. Свойство обильных подмодулей в модулях Р[р, Н) и Р[р,Н]. Стр.

Глава 4. Применение полученных результатов к задаче спектрального синтеза в Р*[р, Н) и Р*[р, Н].

§4.1. Задача спектрального синтеза и ее двойственность с задачей локального описания. Стр.

§4.2. Утверждения, двойственные к теоремам 3.1-3.6. Стр.

§4.3. Некоторые аналитические реализации пространств Р*[р, Н) и Р*[р,Н]. Стр.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Конечно порожденные подмодули в модулях целых функций, определяемых ограничениями на индикатор»

1. Пусть (7 — область в комплексной плоскости, & — топологическая алгебра (или топологический модуль над кольцом многочленов С[У|) функций, аналитических в области

Замкнутый идеал (подмодуль) I в Р допускает локальное описание, если он однозначным образом определяется набором общих нулей (с учетом их кратностей) функций из I. Задача локального описания состоит в отыскании условий, при которых идеал (подмодуль) I допускает локальное описание.

Термин "локальное описание" объясняется постановкой задачи локального описания: пусть 0\ — локальное кольцо функций, голоморфных в точке Л £ С, 1\ — локальный идеал, порождаемый I в точке Л, т.е. 1\ — множество всевозможных конечных комбинаций + • • • + сп(рп, где С{ е 0\ а ^ е /; при каких условиях I полностью определяется своим набором локальных идеалов {1\ : Л € С?} (является обильным)?

Задача локального описания замкнутых идеалов и подмодулей аналитических функций была предметом исследований отечественных и зарубежных авторов (см. работы [8]-[10], [15]—[16], [20], [31], [33]—[35], [48]—[50] и библиографию в них). Эта задача связана с такими проблемами анализа, как спектральный синтез и уравнения свертки, слабая обратимость функций и весовая аппроксимация многочленами, проблема Помпейю. а). Связь с задачей спектрального синтеза.

Пусть Я(С) — пространство всех функций, голоморфных в области — замкнутое подпространство в Н(0), инвариантное относительно дифференцирования: / € \¥ =>• /' £ \¥. Задача спектрального синтеза в этом случае формулируется следующим образом: при каких условиях подпространство IV допускает спектральный синтез, т. е. совпадает с замыканием линейной оболочки множества всех экспоненциальных одночленов гкех* (корневых элементов оператора дифференцирования), содержащихся в IV?

Задачу спектрального синтеза, хотя и в других терминах, сформулировал Л. Шварц [52], а первый результат в этом направлении, относящийся к фундаментальной системе решений однородного дифференциального уравнения конечного порядка с постоянными коэффициентами, был получен Л. Эйлером [51] еще в 1743 году. Возможность аппроксимации решений однородных дифференциальных уравнений бесконечного порядка и однородных уравнений свертки исследовалась А. Ф. Леонтьевым [23], [25], А.О. Гельфондом [2], Л. Эренпрайсом [49], [50], Д. Диксоном [47], [48], И. Ф. Красичковым-Терновским [11]-[14], [17]-[19], В. В. Напалковым [30], Р. С. Юлмухаметовым [45] и другими авторами.

Критерии допустимости спектрального синтеза инвариантными подпространствами скалярных и векторных функций, аналитических в выпуклых областях комплексной плоскости, получены И. Ф. Красичковым-Терновским [11]—[14], [17]—[19]. В частности, им доказаны теоремы об условиях допустимости спектрального синтеза подпространством решений системы однородных уравнений свертки. Изучение задачи спектрального синтеза в работах [11]—[14], [17]—[19] проводилось с использованием аннуляторных подмодулей инвариантных подпространств в качестве инструмента исследований (в случае подпространства решений однородного дифференциального уравнения бесконечного порядка таким инструментом служит характеристическая функция уравнения).

Допустимость спектрального синтеза для инвариантного подпространства оказалась эквивалентной обильности аннулятор-ного подмодуля этого подпространства. Например, если в модуле, реализующем сопряженное к исходному пространству, обилен каждый главный (порожденный одной функцией) подмодуль, то в исходном пространстве возможен спектральный синтез для подпространства решений однородного уравнения свертки, т. е. множество элементарных решений этого уравнения полно в пространстве всех его решений.

Возможность локального описания каждого замкнутого идеала в весовой алгебре целых функций, установленная в [8]-[10], влечет наличие спектрального синтеза относительно оператора обобщенного дифференцирования, введенного в [8], в пространстве всех целых функций.

Двойственный переход от задачи спектрального синтеза к задаче локального описания, хотя в другом виде, использовался также В. А. Ткаченко при изучении подпространств аналитических функционалов, инвариантных относительно оператора, сопряженного к умножению на независимую переменную, в частности, подпространств решений систем однородных уравнений типа свертки в пространствах аналитических функционалов [39], [40], [42], [43]. б). Локальное описание идеалов и слабо обратимые функции.

Пусть / £ & — функция, нигде не обращающаяся в 0. / называют слабо обратимой в если тождественная единица является точкой прикосновения множества {pf : р £ С[г]} в топологии пространства Понятие слабо обратимого элемента было введено Г. Шапиро в [53]. Исследование различных пространств на наличие в них слабо обратимых функций проводилось также Н.К. Никольским [32]—[34], Ф.А. Шамояном [44] и автором [55].

Задача локального описания идеалов в некоторых случаях оказывается эквивалентной задаче о слабо обратимых функциях. В работе Н.К. Никольского [35] описана связь между этими задачами: применение прямого факторизационного метода Вейерштрасса [35, п. 8] к задаче локального описания в алгебре & приводит при определенных условиях к вопросу о слабой обратимости элементов в А именно, пусть & устойчивая алгебра функций, аналитических в области (9 комплексной плоскости, т.е. верна импликация: г — а г — а и пусть множество всех многочленов содержится и плотно в Предположим, что для любой ср Е & найдется последовательность функций {7га} (аналогов канонических произведений по множествам кратных точек Ла таким, что уЛа = Л а множество нулей функции ср), обладающая свойством:

КаР в ТОПОЛОГИИ функция фо € & не обращается в 0 в области (7. Существование таких {7га} называют "каноническим делением" в & (см. [35]).

В [35] доказано, что если алгебра & удовлетворяет указанным выше свойствам, то возможность локального описания любого замкнутого идеала в & эквивалентна слабой обратимости в & всех функций, не обращающихся в 0. Там же приведен пример алгебры для которой имеет место эквивалентность задач локального описания и слабой обратимости: такую алгебру образует множество Х\ функций, аналитических в единичном круге Ю) и ограниченных возрастающей последовательностью весов {А"}^^, где А(г) — положительная функция, определенная на промежутке [0; 1), имеющая "правильный рост" (условия типа выпуклости 1пА по 1п(1 — г)-1) и конечный экспоненциальный рост:

1п 1п А(г)

Ра = Ьт —-г^ < оо. г-> 11п(1 — г) 1 в). Связь с проблемой Помпейю (по работе [46]).

В 1929 году Д. Помпейю сформулировал следующую задачу: описать все ограниченные множества И на плоскости, для которых существует непрерывная функция /(ж, у) ф 0 такая, что

J ¡{х,у)(1х(1у = 0 для любого а £ Е, где Е — группа всех "жестких" преобразований (сдвигов и поворотов) плоскости. Про такие множества И говорят, что они не обладают свойством Помпейю.

Оказалось, что круг не обладает свойством Помпейю, а, например, треугольник и параллелограмм — обладают. Не доказанная пока гипотеза такова: множество на плоскости, не обладающее свойством Помпейю, является кругом. Рассматриваются и более абстрактные формулировки проблемы Помпейю.

Один из возможных методов исследования этой проблемы — сведение к изучению локальных свойств идеалов в алгебре, состоящей из преобразований Фурье-Лапласа распределений с компактным носителем [46, §§3, 4].

2. Пусть, как и выше, & — локально-выпуклое пространство функций, аналитических в области G комплексной плоскости, таковдЧто операция Л умножения на независимую переменную непрерывно действует из & в Другими словами, & — топологический модуль над кольцом многочленов С[А]. В работах [15]—[16] И.Ф. Красичкова-Терновского исследуется возможность локального описания замкнутых подмодулей модуля 0 при условии, что его топология не является слишком "жесткой". Рассматривается самая общая ситуация и не используется аналитическая структура элементов ЗР. Основным результатом в [15] является критерий обильности (допустимости локального описания) подмодулей: локальное описание допускают те и только те подмодули, которые обладают свойствами устойчивости и насыщенности.

Затем, в [16], проводится изучение этих свойств, опять в общих ситуациях, аналитический фактор используется минимально. Получен критерий устойчивости конечно порожденного подмодуля / С тождественный нуль должен быть предельной точкой специального множества функций, зависящего от образующих этого подмодуля. Одним из результатов является утверждение о том, что подмодули в аналитически уплотненном модуле насыщены. Свойство аналитической уплотненности модуля определяется его топологической структурой.

В данной работе результаты [15] и [16] используются для исследования конечно порожденных подмодулей в пространствах целых функций Р[р,Н) и Р[р,Н], ограниченных системой р-тригонометрически выпуклых весов, определяемых заданной р-тригонометрически выпуклой функцией Н. А именно, с помощью этих результатов будут получены достаточные условия обильности конечно порожденных подмодулей в

Р[р, Н) и Р[р, Н] в терминах взаимного расположения нулей образующих. В статье [12] построены необильные подмодули с двумя образующими в Р[1,#), эти построения основаны на факте разделенности нулей образующих. Оказывается, что, напротив, при определенном сближении части нулей функций • • • 5 фп из & порождаемый ими подмодуль будет обильным.

Известная схема двойственности (см., например, [11]) переносит результаты о возможности локального описания замкнутых подмодулей в & на инвариантные относительно оператора И = Л* подпространства в сильно сопряженном соответствуйте обильным подмодулям инвариантные подпространства Ш допускают спектральный синтез относительно оператора I), т. е. совпадают с замыканием линейной оболочки корневых элементов этого оператора в них содержащихся.

Как уже упоминалось, пространство Р[р, Н) и задача спектрального синтеза в сильно сопряженном к нему исследовалась при р = 1 в [11]-[14], при произвольном р > 0 — в [39], [40], [42], [43].

Сопряженным к умножению на целую функцию (р в & является оператор Т типа свертки. Множество решений системы однородных уравнений типа свертки в :

Т1/ = 0 является замкнутым подпространством, инвариантным относительно оператора Б. В силу упомянутой схемы двойственности ему соответствует конечно порожденный подмодуль с образующими (рх,., (рп, где Т* — оператор, сопряженный с умножением на г = 1 , .п. Так что полученные для конечно порожденных подмодулей условия обильности являются также условиями допустимости спектрального синтеза для подпространства решений системы (1) в терминах нулей ее характеристических функций ipi,., ipn.

Изложение проводится по следующему плану.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Абузярова, Наталья Фаирбаховна, 2000 год

1. Азарин B.C. О разложении целой функции конечного порядка на сомножители, имеющие заданный рост.// Матем. сб. 1973. Т. 90(132). № 2. С. 229-230.

2. Гелъфонд А.О. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и асимптотические периоды целых функций.// Тр. МИАН. 1951. Т. 38. С. 42-67.

3. Гелъфонд А.О., Леонтьев А.Ф. Об одном обобщении ряда Фурье.// Матем. сб. 1951. Т. 29(71). С. 477-500.

4. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представление функций в комплексной области. М.: Наука. 1966.

5. Епифанов О. В. Однородное уравнение типа свертки в пространстве аналитических функций.// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1985. Т. 49. № 4. С. 766- 783.

6. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз.1959.

7. Красичков-Терновский И.Ф. Сравнение целых функций конечного порядка по распределению их корней.// Матем. сб. 1966. Т. 70(112). № 2. С. 198-230.

8. Красичков-Терновский И.Ф. О замкнутых идеалах в локально-выпуклых алгебрах целых функций.// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1967. Т. 31. С. 37-60.

9. Красичков-Терновский И.Ф. О замкнутых идеалах в локально-выпуклых алгебрах целых функций. II// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1968. Т. 32. С. 1024- 1032.

10. Красичков-Терновский И.Ф. О замкнутых идеалах в локально-выпуклых алгебрах целых функций. Алгебры минимального типа.// Сиб. матем. ж. 1968. Т. IX. № 1. С. 77-96.

11. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций.1. Спектральный синтез на выпуклых областях.// Матем. сб. 1972. Т. 87(129). С. 459-489.

12. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций.И. Спектральный синтез на выпуклых областях.// Матем. сб. 1972. Т. 88(130). С. 3-30.

13. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций.III. О распространении спектрального синтеза.// Матем. сб. 1972. Т. 88(130). С. 331-352.

14. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. Аналитическое продолжение.// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1973. Т. 37. С. 931-945.

15. Красичков-Терновский И.Ф. Локальное описание замкнутых идеалов и подмодулей аналитических функций одной переменной. I.// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1979. Т. 43. №1. С. 44-66.

16. Красичков-Терновский И.Ф. Локальное описание замкнутых идеалов и подмодулей аналитических функций одной переменной. II.// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1979. Т. 43. №2. С. 309-341.

17. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез аналитических функций на системах выпуклых областей.// Матем. сб. 1980. Т. 111(153). С. 3-41.

18. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез аналитических функций на системах неограниченных выпуклых областей.// Матем. сб. 1980. Т. 111(153). С. 384-401.

19. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез аналитических функций на системах выпуклых областей. Распространение синтеза.// Матем. сб. 1980. Т. 112(154). С. 94-114.

20. Красичков-Терновский И.Ф. Абстрактные приемы локального описания замкнутых подмодулей аналитических функций.// Матем. сб. 1990. Т.181. № 12. С. 1640-1658.

21. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Гос-техиздат. 1956.

22. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М.: Наука. 1985.

23. Леонтьев А.Ф. Ряды полиномов Дирихле и их обобщения.// Тр. МИАН. 1951. Т. 39.

24. Леонтьев А.Ф. Об одном функциональном уравнении.// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1965. Т. 29. С. 725-756.

25. Леонтьев А.Ф. О представлении функций рядами полиномов Дирихле.// Матем. сб. 1966. Т. 70(112). С. 132-144.

26. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент.

27. Леонтьев А.Ф. Обобщения рядов экспонент. М.: Наука. 1981.

28. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент.

29. Леонтьев А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент.

30. Напалков В. В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука. 1982.

31. Никольский Н.К. Замкнутые идеалы в некоторых алгебрах целых функций.//Сиб. матем. ж. 1968. Т. 9. № 1. С. 211-215.

32. Никольский Н.К. Критерий слабой обратимости в пространствах аналитических функций, выделяемых ограничениями на рост.// Зап. науч. семин. ЛОМИ. 1972. Т. 30. С. 106-129.

33. Никольский Н.К. Избранные задачи весовой аппроксимации и спектрального анализа.// Тр. МИАН. 1974. Т. 120.

34. Никольский Н.К. Инвариантные подпространства в теории операторов и теории функций.//Матем. анализ. (Итоги науки и техники). М.: ВИНИТИ. 1974. С. 199- -412.

35. Никольский Н.К. Элементарное описание методов локализации идеалов.// В сб. Исследования по линейным операторам и теории функций. 17. Наука. Ленинград, отд. 1989.

36. Робертсон А. Робертсон В. Топологические векторные пространства. М.: Мир. 1967.

37. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир. 1973.

38. Себаштъян-и-Сильва Ж. О некоторых классах локально-выпуклых пространств, важных в приложениях.// Математика. Сб. переводов иностр. статей. 1957. 1:1. С. 60-77.

39. Ткаченко В.А. Об операторах типа свертки в пространствах аналитических функционалов.// ДАН СССР. 1974. Т. 219. № 3. С. 555-557.

40. Ткаченко В.А. О спектральном синтезе в пространствах аналитических функционалов.// ДАН СССР. 1975. Т. 223. № 5. С. 307-309.

41. Ткаченко В.А. Об операторах, коммутирующих с обобщенным дифференцированием, в пространствах аналитических функционалов с заданным индикатором роста.// Матем. сб. 1977. Т. 102(141). № з. С. 435-456.

42. Ткаченко В.А. Спектральные разложения в пространствах аналитических функционалов.// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1979. Т. 43. m 3. С. 654-713.

43. Ткаченко В.А. Спектральная теория в пространствах аналитических функционалов для операторов, порождаемых умножением на независимую переменную.// Матем. сб. 1980. Т. 112(154). № 3(7). С. 421-466.

44. Шамоян Ф.А. О слабой обратимости в весовых пространствах аналитических функций.// Изв. РАН. Сер. матем. 1996. Т. 60. № 5. С. 191-212.

45. Юлмухаметов P.C. Однородные уравнения свертки.// ДАН СССР. 1991. Т. 316. №2. С. 312-315.

46. Brown L., Schreiber В.M., Taylor В.A. Spectral synthesis and the Pompeiu problem.// Ann. Inst. Fourier, Grenoble. 1973. V.23. №3. P. 125-154.

47. Dickson D. G. Expansions in series of solutions of linear difference-differential and infinite order differential equations with constant coefficients.// Mem. Amer. Math. Soc. 1957. №23.

48. Dickson D.G. Analytic mean periodic functions.// Trans. Amer. Math. Soc.// 1964.V.110. №2. P.361—374.

49. Ehrenpreis L. Mean periodic functions.// Amer. J. Math. 1955. V.77. №2. P.293—326.

50. Ehrenpreis L. Fourier analysis in several complex variables. New-York: Wiley-Intersci. publishers. 1970.

51. Euler L. De integratione aequationum differentialum altiorum gradum.// Miscellanea Berol. 1743. №7. P.193-242.

52. Schwartz L. Theorie générale des fonctions moyenne-périodique. // Ann. Math. 1947. V.48. №4. P.857—929.

53. Shapiro H.S. Weakly invertible elements in certain functions spaces and generators in I1.//Michigan Math. J. 1964. V. 11. №2. P. 161-165.

54. Taylor B.A. Seminorm topology for some (.D.F)-spaces of entire functions.// Duke Math. J. 1971. V. 38. P. 379-385.

55. Абузярова Н.Ф. Слабая обратимость в весовых пространствах аналитических функций.// В сб. Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. I. Комплексный анализ. Уфа: ИМ с ВЦ РАН. 1996. С. 5-9.

56. Абузярова Н.Ф. Об одном условии обильности подмодуля сдвумя образующими.// Вестник Башкирского университета. 1999. №1. С. 13-18.

57. Абузярова Н.Ф. Об одном свойстве подпространств, допускающих спектральный синтез.// Матем. сборник. 1999. Т. 190. №4. С. 3-22.