Инвариантные подпространства в некоторых функциональных пространствах на однородных многообразиях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, доктор физико-математических наук Платонов, Сергей Сергеевич

• Платонов, Сергей Сергеевич
• доктор физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Платонов, Сергей Сергеевич

Введение.

Глава 1. Общие результаты об описании подмодулей в модулях

Хариш - Чандры.

Глава 2. Основные классы функциональных пространств и общие свойства инвариантных подпространств.

Глава 3. Подпространства, инвариантные относительно обобщенных сдвигов.

§3.1. Общие свойства обобщенных сдвигов и формулировка результатов.

§3.2. Доказательство теоремы 3.1.1 (случай оператора Бесселя)

§3.3. Доказательство теоремы 3.1.1 (случай оператора Якоби)

Глава 4. Инвариантные подпространства в функциональных пространствах на симметрическом пространстве ¿>00 (п, 1)/50(п).

§4.1. Формулировка результатов

§4.2. Ячейки инвариантных подпространств.

§4.3. Редукция задачи к описанию ячеек.

§4.4. Вычисление операторов Д,

§4.5. Доказательства теорем 1(1) и 2(1)

Глава 5. Инвариантные подпространства в функциональных пространствах на симметрическом пространстве

5?7(п, 1)/г7(п).

§5.1. Формулировка результатов

§5.2. Редукция задачи к описанию ячеек.

§5.3. Вид оператора А в пространстве

§5.4. Вычисление операторов У]А)

§5.5. Доказательства теорем 1(11) и 2(11).

Глава 6. Инвариантные подпространства в функциональных пространствах на симметрическом пространстве Sp(l,n)/Sp{l)xSp(n)

§6.1. Формулировка результатов

§6.2. Переход к пространствам

§6.3. Вид оператора А в пространстве Т^.

§6.4. Вычисление операторов и доказательства теорем 1(111) и 2(111).

Глава 7. Инвариантные подпространства в функциональных пространствах на особом симметрическом пространстве

§7.1. Формулировка результатов

§7.2. Переход к пространствам J7^.

§7.3. Вид оператора Лапласа - Бельтрами в пространстве J7^

§7.4. Вычисление операторов и доказательство теорем 1(IV) и 2(IV).

Глава 8. Инвариантные подпространства в функциональных пространствах на евклидовом пространстве.

§8.1. Формулировка результатов

§8.2. Доказательства теорем 8.1.1 и 8.1.2.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Инвариантные подпространства в некоторых функциональных пространствах на однородных многообразиях»

Общий тип задач, которые рассматриваются в диссертации можно описать следующим образом. Пусть группа Ли <2 транзитивно действует на гладком многообразии М. Для д £ С и любой функции ¡(х) на М положим я-Ы/).М = /(¿г1*). (0.1)

Локально выпуклое пространство (ЛВП) Т, состоящее из комплексно-значных функций на М (обычных или обобщенных), будем называть 7г-инвариантным, если из /(х) £ Т и д £ С следует, что тг(д)/ £ Т и отображение д 7г (g)f из Си ^ непрерывно. В этом случае операторы к(д)\т (будем обозначать их просто через 7Г(д)) определяют квазирегулярное представление группы в топологическом векторном пространстве Т. Линейное подпространство Н С. Т будем называть инвариантным подпространством (сокращенно ИПП), если оно замкнуто и 7Г-инвариантно. Одной из основных задач гармонического анализа на группах Ли является задача об описании всех ИПП для конкретных групп Ли и конкретных функциональных пространств, выделяемых различными условиями гладкости и роста функций.

Перечислим некоторые результаты ( здесь мы не будем касаться наиболее разработанных случаев, когда группа С компактная или когда Т - гильбертово пространство и квазирегулярное представление унитарно).

В работе Л. Шварца [1] рассматривался случай С = М — Е, причем Е действует на Е сдвигами, Т — С(Е) или Т — С°°(М.). Л. Шварц показал, что в этом случае любое ИПП совпадает с замыканием линейной оболочки квазимногчленов Р(х) еАж, где Р(х) - полином, А £ С. Эквивалентно можно сказать, что любое ИПП совпадает с замыканием конечной или счетной суммы подпространств вида У\>г, где Ул,г -г-мерное линейное подпространство, натянутое на функции или, что то же, Уд;Г ~ множество решений уравнения (^ — Л)г/ = 0. Контрпример Д. И. Гуревича [2] показывает, что этот результат не переносится на случай С — М = Еп (п > 2), т. к. при этом существуют

ИПП не содержащие квазимногочленов. Уже в этом случае не известно полное описание всех ИПП, хотя имеется большое количество работ различных математиков (Б. Мальгранж, Л. Эренпрейс, В. П. Паламо-дов, К. Беренстейн и др.) в которых описывается строение некоторых частных классов ИПП, например тех ИПП, которые являются множествами решений однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Л. Эренпрейс и Ф. Маутнер [3] получили описание ИПП в пространствах С(М) и С°°(М) для случая М = 2,М), С = ЗХ(2,Е) х 5Х(2,М.) относительно действия (дг,д2)х = д^гхд2 (т. е. ИПП - это подпространства, инвариантные относительно левых и правых сдвигов). Будем называть такие ИПП биинвариантными подпространствами. Для описания использовалось введенное авторами преобразование Фурье на группе 5Х(2, Е) и биинвариантные подпространства описывались нулями преобразования Фурье.

Для других функциональных пространств на группе 5Х(2,Е), состоящих из функций экспоненциального роста, биинвариантные подпространства описал П. К. Рашевский в [4]. При этом использовались совершенно другие методы, основным моментом которых является сведение задачи об описании замкнутых линейных подпространств в некотором функциональном пространстве на Е, инвариантных относительно обобщенных сдвигов ~ + а) + /(* - а)) V« € Е.

В последние годы активно-изучается задача об описании ИПП в случае, когда М - риманово симметрическое пространство некмпакт-ного типа, С - группа изометрий пространства М, Т = С°°(М) (см. обзор К. Беренстейна [5] и статью А. Ваврынчика [6]). Эта задача тесно связана с задачами о спектральном синтезе на симметрических пространствах, о структуре решений уравнений в свертках и с проблемой Помпейю на симметрических пространствах. Основной используемый в этих работах аппарат - введенное С. Хелгасоном преобразование Фурье на симметрических пространствах. Для симметрических пространств ранга > 2 пока нет подходов к описанию всех ИПП ( К. Беренстейн и Р. Гей в [7] перенесли на случай симметрических пространств ранга > 2 контрпример Д. И. Гуревича и тем самым показали, что в этом случае задача описания всех ИПП не менее сложна, чем задача об описании ИПП для М = G = IRn, п > 2). Для симметрических пространств ранга 1 А. Ваврынчиком [6] было получено описание ИПП "общего вида", но не было полного описания всех ИПП.

Пусть группа Ли G транзитивно действует на некомпактном многообразии М (действие всегда предполагается гладким), К — максимальная компактная подгруппа в группе G, о — фиксированная точка многообразия М. Будем называть М однородным многообразием ранга 1, если в группе G существует однопараметрическая подгруппа a(i), i G 1, такая, что любую точку х Е М можно представить в виде х = ua(t)o, где и Е К. Разложение х — ua(t)o, и Е К, i G 1, можно назвать полярным разложением точки х. Класс однородных многообразий ранга 1 достаточно широкий. Примерами таких многообразий являются римановы симметрические пространства некомпактного типа ранга 1 (см. [8]), полупростые псевдоримановы симметрические пространства ранга 1 (см. [9]). Частным случаем последнего примера является важный случай, когда М - вещественная полупростая группа Ли симметрического ранга 1, G = М х М и группа М х М действует на М левыми и правыми сдвигами, т. е.

9ъ92)х := gixg~\ х 6 М, (gu g2) е G = М х М.

Другим примером однородного многообразия ранга 1 является евклидово n-мерное пространство lRn, если в качестве группы G взять группу ISO(n) движений пространства Ш.п. Обобщением этого примера является случай, когда М — Т0Х является касательным пространством в некоторой точке о к риманову симметрическому пространству X ранга 1, а в качестве группы G берется картановская группа движений, т. е. полупрямое произведение векторной группы пространства М и компактной группы К изометрий пространства X, сохраняющих точку о (см., например, [10]). Существуют и другие примеры однородных многообразий ранга 1.

Однородные многообразия М ранга 1 являются, по видимому, наиболее перспективными для решения задач об описании строения инвариантных подпространств в функциональных пространствах на М. Для всех однородных многообразий ранга 1 решения задачи об описании строения ИПП пока нет, но в настоящей диссертации разработаны методы, которые позволяют решить эту задачу для многих однородных многообразий ранга 1. В диссертации задача об описании ИПП решена для случаев, когда М - риманово симметрическое пространство ранга 1 или М - евклидово п-мерное пространство. Разработанные методы применимы также и для некоторых других однородных многообразий ранга 1. Так в [П12] рассматривался случай, когда М - группа Ли 5Х(2,С), а группа (7 = М х М действует на М левыми и правыми сдвигами (т. е. описывались биинвариантные подпространства). Биин-вариантные подпространства в некоторых функциональных пространствах на группе движений евклидовой плоскости описывались в [П21]. Можно предположить, что разработанные методы могут быть применимы и для описания ИПП на псевдоримановых симметрических пространствах ранга 1, хотя, как показывает разобранный случай [П12], технически эта задача может быть довольно сложной.

В качестве функциональных пространств Т, в которых получено описание строения инвариантных подпространств, рассматриваются пространства из трех классов. Один класс состоит из пространств, состоящих из "всех" функций на М, удовлетворяющих некоторым условиям гладкости. Это пространства типа С = С(М) - непрерывных функций на М, Сл - ¿-раз непрерывно дифференцируемых функций (с1 = 0,1, 2,., оо, в частности С0 = С, С°° = 8 - пространство бесконечно дифференцируемых функций), £/ос - пространство локально интегрируемых на М функций (все пространства берутся с обычными топологиями). Более точно: пусть Т> - пространство бесконечно дифференцируемых функций на М с компактным носителем, V - пространство обобщенных функций на М, тогда в качестве Т можно взять любое полное 7г-инвариантное ЛВП такое, что С Т С V вложения предполагаются непрерывными). Будем называть такие пространства Т пространствами типа 1. Другой класс состоит из пространств, состоящих из функций экспоненциального роста (точное определение см. в гл. 2). Такие пространства Т будем называть пространствами типа 2, или пространствами экспоненциального роста. Третий класс пространств состоит из функциональных пространств полиномиального роста на М (точное определение см. в гл. 2). Примером пространства полиномиального роста является, например, пространство обобщенных функций умеренного роста на М. Пространства полиномиального роста будем называть пространствами типа 3.

Приведем основные результаты о строении ИПП для случая, когда М - риманово симметрическое пространство ранга 1. Как обычно, будем считать, что М реализуется как фактор-пространство G/K, G - вещественная полупростая группа Ли с конечным центром, К компактная подгруппа, риманова метрика на М порождается формой Киллинга на алгебре Ли группы G.

Из классификации симметрических пространств (см., например, [8]) известно, что все римановы симметрические пространства ранга 1 некомпактного типа исчерпываются следующими пространствами (всюду п > 2): (I) 5O0(n, l)/SO(n)] (И) S*7(n,l)/i7(n);

III) Sp(l,n)/Sp( 1) х Sp(n);

IV) особое симметрическое пространство (пространство Кэли).

Пусть Т - произвольное ЛВП, топология в котором задается семейством полунорм ра, Е - конечномерное векторное пространство (если не оговаривается противное, то все векторные пространства рассматриваются над полем С). Тензорное произведение векторных пространств Т (Э Е естественным образом снабжается структурой ЛВП. Топологию в этом пространстве можно задать, например, следующим образом. Пусть ел,., еп - базис в Е, тогда любой элемент F 6 Т ® Е единственным образом представим в виде F = fi ® е\ + • • • + /п 0 еп, где fj 6 Т. Полагаем pa(F) :=pa(/i) + ---+pa(/n).

Топология в Т ® Е задается семейством полунорм ра. Очевидно, что эта топология не зависит от выбора базиса в Е. Если ЛВП Т состоит из С-значных функций на М, то элементы из F®E мы будем обычным образом отождествлять с функциями на М со значениями в векторном пространстве Е полагая

F(x) := fi(x)ei Н-----Ь fn(x)en, где F = /i ® ег + • • • + /„ 0 еп в Е.

Пусть Л - множество классов эквивалентности неприводимых конечномерных представлений группы К. Для Л £ Л пусть Тх(и) - соответствующее неприводимое представление группы К, Ех - пространство представления, (,) - некоторая К-инвариантная эрмитова форма в Ех.

Для любого 7г-инвариантного ЛВП Т обозначим через множество функций Е Е Т ® Ех удовлетворяющих условию

Е{их) = Тх{и)Е{х) Уи е К. (0.2)

Очевидно, что является замкнутым линейным подпространством в Т (х) Ех. Пространство снабжается структурой ЛВП, индуцированной из Т ® Ех. В частности, возникают пространства и £(\) ^оо(л)^ ПуСТЬ д0 множество А € Л, для которых ф {0}.

Для любого ИПП Н С Т (везде будем считать, что Н ф Т) через Н^ обозначим множество всех функций Е(х) таких, что для всякого £ Е Ех функция /¿(ж) = € Н. Если Т - полное ЛВП, то подпространство Н однозначно восстанавливается по набору подпространств Н(х\ а именно Н совпадает с замыканием в Т линейной оболочки функций при Е Е Я(А), £ Е Ех, А Е А. Будем называть подпространства ячейками ИПП Н, или просто ячейками. Ненулевые ячейки могут быть только при А Е Л0. Общая схема описания ИПП следующая: описывается строение всевозможных ячеек и затем определяются условия при которых набор ячеек соответствует одному ИПП.

Напомним некоторые стандартные обозначения из теории симметрических пространств (см. [8, 10]). Пусть М = С/К - произвольное риманово симметрическое пространство некомпактного типа, С -связная полупростая группа Ли с конечным центром, К - ее максимальная компактная подгруппа. Пусть до и £о - алгебры Ли групп С и К соответственно, до = + Ро разложение Картана алгебры Ли 0о- Выберем в ро - максимальное абелево подпространство ао и дополним ее до максимальной абелевой подалгебры ^о в до- Пусть 0, р, а и () - комплексификации пространств до, ро, ао и 1)о соответственно. Обозначим через а^ вещественное сопряженное пространство к ао, т. е. множество линейных функционалов ¡л : ао ь-М, а через а* комплексное сопряженное пространство к а. Тогда {) является подалгеброй Картана в д. Относительно этой подалгебры Картана рассматриваются корни, ограниченные корни (т. е. ограничения корней на а). Обозначим через Е множество ограниченных корней (Е С а^ ), а через Е+ подмножество положительных ограниченных корней. Пусть Б0(Х, У) - форма Киллинга алгебры Ли д. Для любого функционала aGfl* существует единственный элемент На Е а, определяемый условием: Вд(На, Н) = а(Н) для всех Н Е а. Определим на а* билинейную форму {,), полагая (а,/3) BQ(Ha, Нр). Пусть pea* - полусумма положительных ограниченных корней, А - оператор Лапласа - Бель-трами на М (риманова метрика на М порождается формой Киллинга).

Далее будем считать, что М - симметрическое пространство ранга 1, тогда diniffi do = 1. Для любого функционала р Е а* и натурального г обозначим через V¡$ подпространство в состоящее из всех функций F(x), удовлетворяющих дифференциальному уравнению

Можно показать, что dimV^. — г при Л Е Л0 и в пространстве V¡$ можно выбрать жорданов базис, т. е. такой базис Fi,., Fr, что дЛ = -({p,p) + {p,p))Fi и AFk = -((/í,/í) + (frp^Fk+Fk-! для к > 2. Отметим, что V^ = V-^r- Определим еще подпространство оо

VW .= I I у(А) ц,оо Kj v fj-,г • г= 1

Пусть

- произвольная ячейка в pea*. Будем говорить, что р принадлежит спектру ячейки если V^ С Н^ при некотором г е N. Наибольшее из чисел г Е N U {оо}, для которых

V^ С Н^ назовем кратностью функционала р в спектре, обозначим эту кратность . Обозначим через а спектр ячейки , причем будем считать, что каждый функционал р входит в а с кратностью

Если Т - функциональное пространство типа 1 или 2, то точками спектра могут быть произвольные функционалы pea*. Для любой ячейки Н^ С Л Е Ао, ее спектр о не более чем счетный и для любого р Е (т его кратность конечная.

Если Т - функциональное пространство типа 3, то ячейки V^ содержатся в т{ а) только при pea о, поэтому спектр а любой ячейки содержится в üq. В этом случае спектр о может быть несчетным и кратность г^ может принимать бесконечные значения.

Оказывается, что для любого функционального пространства Т типа 1, 2 или 3 и любой ячейки И^ С ее спектр а полностью определяет ячейку. Более точно: справедлива следующая

ТЕОРЕМА 1. Пусть Т - функциональное пространство типа 1, 2 или 3, Л 6 А0. Любая ячейка Н^ С совпадает с замыканием в линейной оболочки подпространств , где /л пробегает спектр а, а г = Гц - кратность функционала ¡л в а.

Можно дать и полное описание спектров всевозможных ячеек. Так как сИта* = 1, то, выбрав в а* базис, можно отождествить множество а* с множеством С. Известно, что для симметрического пространства ранга 1 множество положительных ограниченных корней Е+ состоит из корней {/3,2/3} с некоторыми кратностями зависящими от пространства М (возможно, что гп2/з = 0). В качестве базиса в а* (и в йо) возьмем вектор (3. Тогда можно считать, что ^ 6 €. Чтобы из каждой пары чисел /1 и (—¡л) выбрать одно число будем считать, что ¡л Е С+, где С+ - множество комплексных чисел г, удовлетворяющих условию Кег > 0, а при Яе^ = 0, кроме того, 1т2 > 0. Таким образом можно считать, что спектр а является подмножеством в С+. При этом отождествлении множество Од отождествляется с множеством М.+ неотрицательных вещественных чисел. Для пространства Т типа 1 (типа 2) возможные спектры совпадают с конечными или счетными наборами с7 С С+ (каждое число ¡л может входить в о с конечной кратностью гм), удовлетворяющими следующему условию (А1) (соответственно условию (А2)):

А1) Существует целая ненулевая функция Ф(-г) для которой каждое число ¡л, входящее в набор а с кратностью г, является корнем функции Ф(<г) кратности г, причем

Ф(г)\<Аев\1тг\1 + \г\)с для некоторых А,В,С > 0 (такие функции Ф(^) являются преобразованиями Фурье обобщенных функций с компактными носителями).

А2) При каждом t > 0 набор сг^ = {// е сг : |1т//| < ¿} должен быть конечным или, после упорядочения чисел из а-1 в порядке возрастания Ие ¡л (0 < Ие ^х < Ке < •••)? должно выполняться условие Ие (Л]/ \ia.j —> оо при j оо.

Для функционального пространства Т типа 3 всевозможные спектры совпадают с подмножествами а С (каждое число ¡л может входить в а с кратностью г^ Е Ми {оо}), удовлетворяющими следующим условиям (А3.1) и (АЗ.2):

А3.1) Подмножество cr^ := {/i E а : = 00} замкнуто в R+.

A3.2) Подмножество а \ а^ не более чем счетное, причем все предельные точки этого множества (если они существуют) принадлежат множеству а^.

Опишем явный вид множества Л0 для каждого типа симметрических пространств ранга 1.

Для пространства типа I группа К = SO(n). Старший вес Л неприводимого представления группы SO{n) отождествляется с набором целых чисел Л — (Ai,.Am) (m = [n/2] - целая часть числа п/2), удовлетворяющих условиям

Ai > А2 > • • • > А то — 1 \/ym\i если п = 2т и

Ai > А2 > • • • > Ат > О, если п = 2т +1. Тогда Ло совпадает с множеством старших весов вида А = (/, 0,. . 0) (т. е. А2 = • • • = \т = 0), где / Е Z при п = 2 и / Е Z+ прип >3 (Z+ = {0,1,2,.}).

Для пространства типа II группа К = U(п). Старший вес А неприводимого представления группы U{n) задается набором целых чисел А = (Ai,. Ап), удовлетворяющих условию Ai > А2 > • • • > Ап. Тогда Ло совпадает с множеством старших весов вида А = (k,d,. .d, l) (т. е. Ai = к, А2 = • • • = Ani = d, Хп = /), где к, d, / - целые числа, такие, что k>d>ln3d = k + l

Для пространств типа III и IV группы К являются полупростыми и односвязными (в случае IV К = Spin{9) ), поэтому неприводимые представления группы К отождествляются с конечномерными неприводимыми представлениями соответствующей полупростой алгебры Ли Ь.

Пусть t - произвольная полупростая алгебра Ли над С, а\,. . ап - система простых корней алгебры uj\,. соп - соответствующее множество фундаментальных весов. Множество старших весов неприводимых конечномерных представлений алгебры Ли t совпадает с множеством линейных комбинаций А = A^i + • • • + \пшп с коэффициентами Аj Е Z+. Поэтому будем отождествлять старший вес А с набором неотрицательных целых чисел: А = (Ai,. An), Аj Е Z+.

Для пространства типа III алгебра t = sp(.1) х sp(n)i п > 2. Выберем простые корни o¿i, ■ • .ап алгебры t так, что а0 - корень подалгебры sp(l), а аь.ап - простые корни подалгебры sp(n) = Сп взятые в обычном порядке, который определяется, например,, диаграммой Дннкипа. .,,.;. . -=•.■'■ г ,, о — о--- • — о о

1 а.2 п „ 1 ап

В этом случае множество До состоит из всех, старших у весов алгебры t имеющих вид Л "= (к, к,1,0,. .0), где k,l G Z+- ( т. е. Л0 = Ai = к,

Х2 = 1, Л3'=--- = Ап = 0).

Для пространства типа IV алгебра t ~ so(9) = В4. Пусть а.\, аз, «4 - простые корни алгебры Ь, взятые в порядке, определяемом диаграммой Дынкина о — о — о =>- о . a i «2 аз 0С4

В этом случае Ло состоит из старших весов вида А = (А;, 0,0,/), где k,l Е

Пусть в каждом пространстве A £ Ло, зафиксирована ячейка некоторого ИПП, вообще говоря зависящего от А, и пусть а(Х) -спектр ячейки Следующие теоремы дают необходимые и достаточные условия для того, чтобы ячейки были ячейками одного

ИПП.

Теорема 2(случай I). Пусть М = SO0(n, l)/SO(n), А = (/, 0,. 0) е А0, 6 = (1,0,.0). Ячейки Н^ соответствуют одному ИПП тогда и только тогда, когда спектры А) удовлетворяют условиям:

1) При I > 0 спектры а(А) и сг(А + 6) должны совпадать или отличаться только кратностью числа ß(X) := ¿(/-Ь21^), i = у/— 1, причем в последнем случае кратность этого числа в наборе а(\ + 6) должна быть меньше кратности в наборе сг(А) на 1.

2) При I < 0 спектры <т(А) и сг(А — 6) должны совпадать или отличаться только кратностью числа i — /), причем в последнем случае кратность этого числа в наборе а(А — S) должна быть меньше кратности в а(А) на 1.

При п > 3 остается только условие (1).

Для симметрических пространств остальных типов предварительно введем целочисленные векторы ¿i, 62 и числа дх(Л),//2£ С.

Для пространства типа II пусть = (2,1,. . 1), ¿2 — (—1, • • • — 1, —2) (6иё2 Е л = (М,--Ч0 Е л0, ц 1(л) - г(п+-2(/г-<г)), д2(а) = г(п + 2{й — /)). Для пространства типа III пусть 6г — (1,1,0,. 0), ¿2 = (-1, -1,1,0,. .0) (6и62 .е ), Л = (к,к,1,0,.0) Е Ло,

А) = ¿(2к + 21 + 2п + 1), /¿2(Л) = i(2l + 2п - 1). Для пространства типа IV пусть ¿1 = (0,0,0,1), <52 - (1,0,0,-1), Л = (к, 0,0,1) Е Л0, ^(Л) = Ц2к + 2/ + 11), /12(Х) = г{2к + 5).

Теорема 2 (случаи II, III, IV). Для симметрических пространств типов И, III, IV ячейки А Е А0, соответствуют одному ИПП тогда и только тогда, когда выполняются условия:

1) Если А + 6\ Е Л0, то спектры а(А) и <т(А + 61) должны совпадать или спектр а(Х + ¿1) получается из сг(Л) уменьшением кратности числа ¡лх(Л) на 1.

2) Если А + 62 Е Ло, то спектры сг(Л) ?/, сг(Л + ¿2) должны совпадать или спектр а(Х + <52) получается из сг(Л) уменьшением кратности числа ^2{Х) на 1.

Если - функциональное пространство типа 3, то спектры сг(Л) ячеек Я^ С не могут содержать чисел ¿¿(А), /^(А) и ц2(Х), поэтому в этом случае справедливо

Следствие 1. Пусть Т - произвольное функциональное пространство типа 3. Ячейки Я(А), А Е А0, соответствуют одному инвариантному подпространству тогда и только тогда, когда все их спектры сг(А) совпадают.

Из теорем 1 и 2 можно получать описание строения различных частных ИПП. Так, например, можно получить описание неприводимых и неразложимых ИПП (см. §4.1, §5.1, §6.1 и §7.1). По терминологии К. Беренстейна [5] будем говорить, что ИПП Я С Т допускает спектральный синтез, если Я совпадает с наименьшим ИПП содержащим ячейку , где 0 = (0,. 0) - старший вес тривиального одномерного представления группы К (в этом случае Я совпадает также с наименьшим ИПП содержащим сферические функции Ф\(х) и их производные <9дФа(ж), к = 0,1,. г — 1, где А пробегает спектр <т(0), г - кратность числа А). Из теоремы 2 легко получить полное описание всех ИПП, допускающих спектральный синтез. Пусть Т ~ произвольное функциональное пространство типа 1 или типа 2. Если М - симметрическое пространство типа I, то ИПП Я допускает спектральный синтез тогда и только тогда, когда его спектры сг(А) удовлетворяют условиям:

1) при I > 0 набор сг(А + S) получается из набора сг(А) уменьшением кратности числа г (I + на 1 (если кратность равна 0, то предполагается, что наборы должны совпадать);

2) при I < 0 набор сг(А — 6) получается из набора сг(А) уменьшением (если это возможно) кратности числа — /) на 1.

Если М - симметрическое пространство типа II, III или IV, то ИПП Н допускает спектральный синтез тогда и только тогда, когда спектры сг(А) удовлетворяют условиям: если А + 6„ £ Ло (v = 1, 2), то спектр сг(А + öv) получается из спектра сг(А) уменьшением кратности числа ¡1У на 1 (если эта кратность равна 0, то предполагается, что a(\ + 6v) = а(Л)).

В частности получаем теорему Ваврынчика [6]: если спектр а(0) не содержит чисел ¡л вида: ¡л — г (т + для пространства типа

I, ¡л = i{2m + п) для пространства типа II, /л = г{2т + 2п — 1) для пространства типа III и fi = г(2m + 5) для пространства типа IV, т 6 Z+, то подпространство Н допускает спектральный синтез (Ваврынчик рассматривал пространство Т = S).

Если Т - функциональное пространство типа 3, то из следствия 1 вытекает, что любое ИПП Н С Т допускает спектральный синтез.

Опишем другие результаты диссертации по главам. В главе 1 изучается общая алгебраическая задача об описании подмодулей в модулях Хариш-Чандры. Пусть G - произвольная связная группа Ли, К ~ связная компактная подгруппа, д0 и {?о - соответствующие им алгебры Ли, 0и! - комплексификации алгебр go и Обозначим через А множество классов эквивалентности неприводимых представлений группы К; для А G А пусть ТА(м) соответствующее неприводимое представление группы К в векторном пространстве Ех. ^-модуль V называется (д, iQ-модулем Хариш-Чандры, если при ограничении на t он является прямой суммой примарных подмодулей УА, А Е А, где Vх - сумма всех ^-подмодулей в V, изоморфных Ех. ^-подмодуль Н в V называется подмодулем Хариш-Чандры, если

Н= 0ЯПУА. aga

Пусть = Нот$(Ех, V) - множество гомоморфизмов ^-модулей из Ех в V. Если Н - подмодуль Хариш-Чандры, то возникает набор линейных подпространств Я(А) = Нотt(Ex,H) С У(д). Подмодуль Н однозначно восстанавливается если известны все подпространства A G А (Н совпадает с линейной оболочкой всех векторов Ф(ж) при Ф G Н^х\ х G Ех, A G А), поэтому можно описывать подмодуль Хариш-Чандры Н в V через набор подпространств Н^ С Естественно возникает задача: пусть в каждом задано линейное подпространство при каких условиях на в V можно выбрать подмодуль Хариш-Чандры Н так, чтобы

Я(Л) =Но 1щ{Ех,Н).

Эта задача и решается в главе 1.

В главе 2 вводятся основные типы функциональных пространств, в которых описываются ИПП, и доказываются некоторые общие результаты, позволяющие установить взаимно однозначное соответствие между ИПП в некоторых функциональных пространствах.

В главе 3 рассматривается вспомогательная задача (представляющая и самостоятельный интерес) об описании замкнутых линейных подпространств в некоторых функциональных пространствах на К., инвариантных относительно обобщенных сдвигов Дельсарта-Левитана. Если V - дифференциальный оператор Штурма-Лиувилля 2-го порядка на Ш, то для любой функции f(t) на М, оператор обобщенного сдвига Дельсарта-Левитана Ts f(t) = u{t, s) (t, s G М.) определяется как решение следующей задачи Коши:

Vtu(t, s) = Vsu(t, s); ' u(f,0) =/(*), = 0.

OS

Получено описание замкнутых подпространств, инвариантных относительно обобщенных сдвигов соответствующих дифференциальным операторам

Бесселя V =. д\ + (г + l)*-1^ t (г G Z, г > —1) и Якоби V — dj+2m cth t dt + 2(r +1) cth2i dt + (m + r + 1)2 (m,r G Z, m > 0, r > -1) в некоторых функциональных пространствах на М.Используемый при этом метод является обобщением метода П.К.Рашевского [4] и состоит в редукции задачи к описанию замкнутых подпространств, инвариантных относительно обобщенного сдвига 1 h(t) ^ -(h(t + s) + h(t-s)), Vs G соответствующего оператору V = .

В главах 4-7 рассматривается задача об описании ИПП для случая, когда М = С/К - риманово симметрическое пространство ранга 1 некомпактного типа. Для каждого из типов симметрических пространств доказываются теоремы 1 и 2. Доказательство теоремы 1 проводится редукцией к задаче из главы 3 об описании подпространств, инвариантных относительно обобщенных сдвигов Якоби.

Пусть Тф - множество функций из пространства Т, которые являются аналитическими К-финитными векторами квазирегулярного представления 7Г. Пусть

4Л) = №) е Т(Х) ■ №)' 6т* еХУ

Если Я(А) - ячейка в Т{х\ то пусть Я^Л) = Я(л> П Используя методы главы 1 строятся дифференциальные операторы

Х^ : 4Л) « 4Л±Й) для симметрического пространства типа I и операторы

Х1А) : 4Л) ^ и У1Л) : 4Л) для симметрических пространств типов II - IV такие, что набор ячеек соответствует одному ИПП тогда и только тогда, когда выполняются условия н^) с я(л±^

I для пространства типа I и х£Л) (я£>) с я^ у!л) (я^л)) с для пространств типов II - IV. Эти операторы являются основными инструментами для доказательства теоремы 2. Наиболее сложной частью доказательств является нахождение явного вида операторов и У±А\ Явный вид этих операторов находится принципиально разными методами для симметрических пространств типов I - II и пространств типов III - IV. Для пространств типов I - II оказывается удобным использовать базис Гельфанда-Цетлина в пространстве Ех и воспользоваться явными формулами представления алгебры Ли в этом базисе. Для пространств типов III - IV приходится использовать весовой базис в что значительно усложняет вычргсления.

В главе 8 описываются ИПП в случае, когда М - п-мерное евклидово пространство, С - группа сохраняющих ориентацию изометрий. В частности, получено полное описание неприводимых и неразложимых ИПП.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Платонов, Сергей Сергеевич, 2001 год

1. Schwartz L. Théorie générale des fonctions moyenne-périodiques// Ann. of Math. 1947. V.48, №4. P.857-929.

2. Гуревич Д. И. Контрпримеры к проблеме Л. Шварца// Функц. анал. и прил. 1975. Т.9, №2. С.29-35.

3. Ehrenpreis L., Maytner F. J. Some properties of the Fourier transform on the semisimple Lie groups. Ill// Trans, of Amer. Math. Soc. 1959. V.90. P.431-484.

4. Рашевский П. К. Описание замкнутых инвариантных подпространств в некоторых функциональных пространствах// Труды ММО 1979. Т.38. С.139-185.

5. Berenstein С. A. Spectral synthesis on symmetric spaces// Contemp. math. 1987. V.63. P.l-25.

6. Wawrzynczyk A. Spectral analisis and synthesis on symmetric spaces// J. of Math. Anal, and Appl. 1987. V.127. P.l-17.

7. Berenstein C. A., Gay R. Sur la synthèse spectrale dans les espaces symmetriques// J. math, pures et appl. 1986. V.65. P.323-333.

8. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964.

9. Молчанов В, Ф. Гармонический анализ на однородных пространствах/ / Итоги науки и техники. Совр. пробл. матем. Фунд. напр. Т. 59. С. 5-144. М. ВИНИТИ, 1990.

10. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ. М.: Мир, 1987.

11. Гишарде А. Когомологии топологических групп и алгебр Ли. М.: Мир, 1984.

12. Желобенко Д. П., Штерн А. И. Представления групп Ли. М.: Наука, 1983.

13. Диксмье Ж. Универсальные обертывающие алгебры. М.: Мир, 1977.

14. Владимиров В. С. Обобщенные функции и их применения в математической физике. М.: Наука, 1979.

15. Гординг Л. Аналитические векторы в представлениях групп Ли// Сб. перев. "Математика". 1965. 9:5. С.78-94.

16. Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны. М.: Наука, 1982.

17. Gangolli R., Varadarajan V. S. Harmonie analysis of spherical functions on real reductive groups. Springer-Verland, 1988.

18. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967.

19. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций (Обобщенные функции. Вып. 2). М.: ГИФМЛ, 1958.

20. Земанян А. Г. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1974.

21. Соболев С. Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций. М.: Наука, 1989.

22. Макаров Б. М. О некоторых патологических свойствах индуктивных пределов В-пространств// Успехи мат. наук. 1963. Т. 18. Вып. 3. С. 171-178.

23. Гротендик А. О пространствах (F) и (DF)// Математика (Сб. переводов). 1958. Т. 2. Вып. 2. С. 81-127.

24. Левитан Б. М. Теория операторов обобщенного сдвига. М.: Наука, 1973.

25. Хинкис Л. А. К задаче об инвариантных подпространствах в пространстве функций на полупростой группе ранга 1. Части 1, 2.¡/ Депонировано в ВИНИТИ. 1983. №4980-83ДЕП и №7007-83ДЕП.

26. Trimeche К. Transformation intégrale de Weyl et théorème de Paley -Wiener associés á un opérateur différentiel singulier sur (0, oo)// J. Math, pures et appl. 1981. V.60. P.51-98.

27. Trimeche K. Fonctions moyenne-périodiques associeés a un opérateur différentiel singulier sur (0, oo) et développement en série de Fourier généralisée/ / J. Math, pures et appl. 1986. V.65, №1. P. 1-46.

28. Chebli H. Opérateurs de translation généraliseé et semi-groupes de convolution. Théorie du potentiel et analyse harmonique// Lect. Notes, in Math. 1974. V.404. P.35-59. '

29. Helgason S. Géométrie analysis on symmetric spaces. Amer. Math. Soc., 1997.

30. Мальгранж Б. Идеалы дифференцируемых функций. M. Мир, 1968.

31. Левитан Б. М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье/! умн- 1951- т-6> №2. С.102-143.

32. Koornwinder T. H. A new proof of a Paley Wiener type theorem for the Jacobi transform// Ark. Mat. 1975. V. 13. P. 145-159.

33. Koornwinder T. H. Jacobi functions and analysis on noncompact semisimple Lie groups// Spécial Functions: Group. Theor. Aspects andAppL, Dordrecht, 1984. P. 1-85.

34. Helgason S. A duality for symmetric spaces with applications to group representations. /// Adv. Math. 1970. V.5. P.l-154.

35. Виленкин H. Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965.

36. Климык А. У. Матричные элементы и коэффициенты Клебша -Гордана представлений групп. Киев: Наукова думка, 1979.

37. Ленг С. SL2(R) M.: Мир, 1977.

38. Kass N. Explicit decompositions of some tensor products of modules for semisimple Lie algebras// Commun. Alg. 1987. V.15. P.2251-2261.

39. Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления. М.: Наука, 1970.

40. Гото М., Гросханс Ф. Полупростые алгебры Ли. М.: Мир, 1981.

41. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Главы VII, VIII. М.: Мир, 1978.

42. Cartan Е. Sur la structure des groupes de transformations finis et continus. Thèse. 1914. In "Oeveres completes. Partie I. Vol. 1" Paris. 1952.