Линейная устойчивость сдвиговых течений дисперсной жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Борд, Евгений Григорьевич

• Борд, Евгений Григорьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Борд, Евгений Григорьевич

Содержание

Введение

1 Модели и методы решения задач устойчивости течений дисперсной жидкости

1.1 Устойчивость течений однофазной жидкости

1.2 Уравнения движения дисперсных жидкостей

1.3 Уравнения линейной теории устойчивости течений дисперсных жидкостей

1.4 Устойчивость течения Пуазейля дисперсной жидкости

2 Устойчивость течений в струе и следе

2.1 Численные методы решения задачи устойчивости

2.2 Однородное распределение частиц

2.3 Неоднородное распределение частиц

3 Устойчивость плоского течения Куэтта

3.1 Однородное распределение частиц

3.2 Неоднородное распределение частиц

4 Трехмерные возмущения

4.1 Преобразование Сквайра

4.2 Численные иллюстрации. Течение Куэтта

4.3 Численные иллюстрации. Течение Пуазейля

4.4 Влияние на устойчивость различных течений характеристик дисперсной фазы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Линейная устойчивость сдвиговых течений дисперсной жидкости»

Введение

Моделирование устойчивости течений в большинстве известных в настоящее время работ, основано на представлениях о жидкости, как об однородном континууме. В то же время характерной физической ситуацией является смесь различных фаз. Исследование свойств устойчивости таких многофазных течений актуально, по крайней мере, в двух ситуациях, связанных с решением технических проблем. Во-первых, поведение многофазных сред представляет интерес в тех случаях, когда такие среды являются объектом транспортировки — как в технологических, так и в естественных условиях. Безусловно важными для исследования представляются такие явления, как перенос примесей с водными и воздушными потоками, процессы переноса массы и тепла при сезонном таянии снега, распространение выбросов технологических процессов как при регулярном поведении, так и в аварийных ситуациях. К этому же кругу задач относятся такие проблемы, как движение микроорганизмов в естественных потоках, движение клеток биологического происхождения в организме человека и высших животных. Во всех этих ситуациях необходимо предсказание турбулентных режимов течения, которые могут вызываться, в числе прочих причин, взаимодействием различных фаз среды.

С другой стороны, в настоящее время интенсивно развиваются технологии фильтрации и регенерации материалов, присутствующих в многофазных средах. Использование таких технологий необходимо как для создания экологически безопасной среды обитания, так и для выделения необходимых элементов, присутствующих в среде в виде фазы с низкой

концентрацией. В качестве одного из методов фильтрации и сегрегации неоднородной среды используется искусственная турбулизация, в этом случае представляет интерес создание условий, при которых скорости разных фаз могли бы быть существенно различны, а течение среды было бы неустойчивым. В различных химических технологиях возникает необходимость смешения или разделения фаз. Проведение таких технологических операций в химических реакторах, обычно сопровождается процессами тепло- и массопереноса. Характерным для химических реакций является процесс выделения одного из компонентов в виде дисперсной фазы. Обратный фазовый переход может быть связан с растворением дисперсных частиц в жидком реагенте. Исследование свойств химических реакций в этих случаях опирается на предположения о ламинарном либо турбулентном режиме течения смеси реагентов. Основанием для таких предположений должно быть, в частности, исследование задачи устойчивости течения.

Задача устойчивости течения — фундаментальная задача, решение которой, в частности, является критерием качества модели среды. Структурная неустойчивость уравнений движения [3, 5, 69] является признаком неадекватности модели описания движения. Влияние частиц дисперсной фазы приводит к изменению поля скоростей течения, которое может рассматриваться как возмущение поля скоростей течения чистой жидкости. В работе [134] построен пример отображения на четырехмерном многообразии, которое не является структурно устойчивым ни при каком бесконечно малом возмущении. Размерность задачи устойчивости течения вязкой несжимаемой жидкости не ниже четвертого порядка, соответственно данная задача находится вне поля использования теории структурной устойчивости.

С другой стороны, в работах [5, 7] исследуется подход к проблеме лами-

нарно-турбулентного перехода, как к задаче описания фазового пространства динамической системы, порожденной нестационарными уравнениями Навье-Стокса. Точками в этом фазовом пространстве являются кинематически возможные поля скоростей жидкости. Установившиеся течения представляют собой положения равновесия динамической системы. Циклы динамической системы (если они существуют) соответствуют периодическим движениям жидкости. В этом описании турбулентному течению соответствует конечномерное фазовое многобразие, к которому притягиваются фазовые кривые из некоторой окрестности многообразия. Известные попытки поиска таких притягивающих многообразий предполагают численное решение уравнений Навье-Стокса или их галеркинской аппроксимации. В рамках такого описания проблемы перехода развиваются численные методы — методы прямого численного моделирования полной системы уравнений движения [136].

Классические задачи устойчивости течений могут рассматриваться как развитие общей задачи об устойчивости движения и равновесия системы материальных объетов. В рамках таких представлений свойства устойчивости механической системы должны следовать из уравнений движения. В широком круге физически интересных ситуаций, адекватное описание течения может быть получено в рамках уравнений Навье-Стокса. Стандартным приемом решения задачи в такой ситуации является сужение множества допустимых решений. В частности, могут быть рассмотрены решения, которые являются линейной комбинацией установившегося течения и малых возмущений. Развитие возмущений в этом случае описывается уравнениями устойчивости, которые получаются линеаризацией уравнений Навье-Стокса по амплитуде. В работе [89] показано, что решение линеаризованых уравнений, устойчивое по отношению к бесконечно малым возмущениям, устойчиво и по отношению к малым

конечным возмущениям и, наоборот, неустойчивость к бесконечно малым возмущениям ведет к неустойчивости конечных возмущений. В зависимости от цели исследования, рассматривается временная устойчивость возмущений, периодических по пространственным переменным, или устойчивость возмущений, переносимых потоком — пространственная устойчивость возмущений. Для описания устойчивости течения могут быть построены кривые нейтральной устойчивости в плоскости параметров, определяющих течение, или получены зависимости коэффициентов нарастания амплитуды. Особый интерес представляет определение критических значений параметров, разделяющих устойчивые и неустойчивые возмущения. Обычно задача пространственной устойчивости оказывается значительно сложнее задачи временной устойчивости. В то же время, качественные закономерности, определяющие характер устойчивости, могут быть установлены не менее полно, чем в задаче пространственной устойчивости. При достижении некоторого уровня амплитуды, наложение возмущений приводит к существенному искажению исходного профиля и возникновению специфичного для данного возмущения вторичного течения. Изучение устойчивости вторичных течений предполагает решение нелинейной задачи устойчивости.

Изменение свойств устойчивости течения дисперсной жидкости по сравнению с чистой имеет принципиальное значение, в частности, потому что присутствие дисперсных частиц может быть причиной дестабилизации течения. Возникновение и развитие возмущений в двухфазном течении может быть связано с обменом энергией между отдельными фазами, поэтому при определенных условиях, возможна стабилизация течения в результате демпфирования возмущений "легкой" несущей фазы на "тяжелых" частицах. Исследование стабилизации течения дисперсной жидкости частицами представляет интерес в связи с задачами управле-

ни я устойчивостью течений. К числу известных технических проблем, в которых вопрос об устойчивости многофазных течений является критическим, можно отнести проблемы проектирования сопел и направляющих аппаратов твердотопливных реактивных двигателей, систем предотвращения обледенения летательных аппаратов, трубопроводов для пневмо-транспортировки экологически опасных сред, фильтров и устройств напыления, создания составов, применяемых для смазки механизмов и во многих других ситуациях. Многообразие возможных течений, которые реализуются в таких задачах, приводит к необходимости исследования их свойств устойчивости.

В связи с исследованиями устойчивости течений в условиях теплообмена между фазами следует упомянуть работы Курочкиной и Стронгина [55, 56]. Свойства устойчивости таких течений оказываются существенно различными в изотермических и неизотермических течениях.

В работе [49] приведены экспериментальные данные, свидетельствующие о специфичном поведении многофазных течений. В частности, говорится о снижении аэродинамического сопротивления в трубах течению газа, несущего твердые частицы по сравнению с течением чистого газа. В течениях чистого газа уменьшение сопротивления может быть связано с появлением турбулентного перехода. Одной из причин снижения сопротивления в случае дисперсной среды может быть дестабилизация такого течения по сравнению с течением чистого газа. Изменение характера устойчивости наблюдается при внесении частиц в пристенное течение. Следовательно, систематическое исследование свойств таких течений предполагает, в частности, решение задачи устойчивости. В то же время теория устойчивости течений дисперсных жидкостей до сих пор отсутствует. Первым шагом в построении такой теории должно быть построение линейной теории устойчивости. В рамках линейной теории

устойчивости может быть получен ответ на принципиальный вопрос об условиях возникновения турбулентных режимов течения и влиянии на ламинарно-турбулентный переход свойств дисперсной фазы.

Начало исследования задачи устойчивости течений дисперсных жидкостей относится к 1962 году и было положено в работе [155]. В работе сформулирована задача линейной устойчивости установившихся течений с параллельными линиями тока, дисперсная фаза считается равномерно распределенной в течении. В этом частном случае получены уравнения устойчивости течения по отношению к малым возмущениям. В качестве безразмерных параметров течения введены число Рейнольдса, концентрация частиц дисперсной фазы и время релаксации скорости частиц дисперсной фазы. Задача устойчивости в [155] сводится к задаче на собственные значения для оператора типа оператора Орра-Зоммерфельда с комплексным профилем скорости. Рассмотрена задача развития возмущений в неподвижной жидкости, занимающей полупространство. Установлена качественная зависимость устойчивости возмущений с различной длиной волны от концентрации частиц дисперсной фазы и времени релаксации. Показано, что в таком течении, присутствие частиц дисперсной фазы может приводить к дестабилизации возмущений с большой длиной волны и способно стабилизировать коротковолновые возмущения. Дестабилизация течения связана с увеличением плотности среды, стабилизирующее влияние вызывается увеличением вязкости дисперсной среды по сравнению с чистой жидкостью.

Известно, [61] что плоское течение Куэтта однофазной несжимаемой жидкости является устойчивым относительно бесконечно малых возмущений. В работе Д.Дрю [106] сформулирована задача устойчивости плоского течения Куэтта дисперсной среды. Исследуется устойчивость течения с однородным распределением частиц. Д.Дрю установил, что такое

течение может быть неустойчивым, причиной неустойчивости является подъемная сила, действующая на частицы дисперсной фазы и пропорциональная тензору скоростей деформации. Эффект дестабилизации, обнаруженный Д.Дрю имеет место лишь при достаточно больших скоростях деформации, когда действие подъемной силы представляется существенным.

Полученные в перечисленных работах результаты представляют интерес как решения отдельных проблем, но вместе с тем, они не могут рассматриваться, как основание для построения единой теории устойчивости двухфазных течений. Таким образом, построение такой теории устойчивости представляет собой новую, пока нерешенную задачу.

Основание такой теории было положено в работах [80, 79] исследованием устойчивости двухфазного течения Пуазейля. Рассматривается течение Пуазейля с различным распределением концентрации дисперсной фазы в канале. Для описания межфазного взаимодействия развивается модель, предложенная ранее в [130]. В работах [80, 79] проанализированы и исправлены ошибки, допущенные в работе [130], установлены независимые безразмерные комплексы, определяющие характеристики задачи устойчивости, сформулированы общие уравнения устойчивости, справедливые для произвольного распределения дисперсных частиц в течении.

В работах [80, 79] исследование устойчивости течения дисперсной проводится с помощью серии систематических вычислений. Для проведения расчетов используется метод ортогонализации, метод дифференциальной прогонки, отдельные решения тестируются с помощью метода Галеркина. Использованные в работах методы тестируются на известных решениях [135]. Для различных концентраций частиц дисперсной фазы, различных размеров частиц получены кривые нейтральной устойчивости. Соответствие между результатами, представленными в работе

[130] и физически корректным решением задачи устойчивости течения Пуазейля установлено в работе [147].

Результаты исследования течения Пуазейля, представленные в работах [80, 79] позволили обнаружить основные свойства дисперсных течений. Авторы установили, что влияние частиц дисперсной фазы может приводить как к увеличению устойчивости течения по сравнению с течением чистой жидкости, так и дестабилизировать течение. Качественное изменение характера влияния частиц на устойчивость зависит как от размеров частиц, так и от распределения концентрации частиц в потоке. В результате взаимодействия достаточно узких пылевых слоев с основным течением возможна дестабилизация антисимметричных возмущений, затухающих в течении чистой жидкости. Механизм такого влияния объясняется в работе [80, 144], где получено необходимое условие неустойчивости дисперсных течений, являющееся обобщением теоремы Рэлея.

Настоящая работа посвящена исследованию устойчивости модельных течений двухфазной среды и разработке методов решения задачи устойчивости таких течений. Дисперсная среда описывается в рамках модели многожидкостной гидродинамики. Взаимодействие между фазами зависит от относительных скоростей фаз и от времени релаксации скорости частиц дисперсной фазы. Время релаксации и концентрация частиц дисперсной фазы являются параметрами, характеризующими взаимодействие фаз. В этих предположениях получается система дифференциальных уравнений движения несущей фазы и частиц дисперсной фазы.

В работах [48, 79, 80, 81, 144, 146] начато систематическое изучение устойчивости двухфазных течений. Подробно изучено течение Пуазейля. Однако, чтобы цикл исследований сделать репрезентативным, необходимо рассмотреть и другие течения. Чрезвычайно важными с этой точки зрения являются свободные течения. Исследование устойчивости течений

этого класса, струи и следа, и является первой задачей данной диссертации. Задача устойчивости свободных сдвиговых течений, таких, как течение в следе и струе существенно отличается от задачи устойчивости течений в каналах. Принципиально различны в этих ситуациях граничные условия. Граничные условия для свободных сдвиговых течений формулируются как условия затухания возмущений на бесконечности. В работе [22] предложен метод решения задачи устойчивости основанный на методе прогонки. В настоящей работе, наряду с этим, реализована численная процедура решения задачи устойчивости, основанная на методе Галерки-на. Используются два известных приема — рациональное отображение полубесконечного интервала на отрезок [96], и т-метод [87], позволяющий построить функциональный базис для представления решения, элементы которого удовлетворяют сложным граничным условиям.

Течение Куэтта однофазной жидкости устойчиво относительно бесконечно малых возмущений [61, 22, 41]. С другой стороны, в работах [19, 48, 80, 81, 144] показано, что наличие частиц в потоке может радикально менять свойства устойчивости течении. С этой точки зрения чрезвычайно интересно было изучить линейную устойчивость течения Куэтта дисперсной жидкости. И это является второй задачей данной диссертации. Профиль течения Куэтта вязкой жидкости в канале не имеет точки перегиба и соответственно любые возмущения этого течения являются затухающими. Течение дисперсной жидкости кроме профиля течения, характеризуется профилем распределения частиц дисперсной фазы в течении. При неоднородном распределении частиц дисперсной фазы в течении можно ожидать качественного изменения устойчивости течения Куэтта.

Задача устойчивости течений дисперсной жидкости жидкости сводится к рассмотрению устойчивости двумерных возмущений, распростра-

няюгцихся в плоскости установившегося течения. Соответствие между трехмерными и двумерными возмущениями определяется преобразованием, аналогичным пребразованию Сквайра. Возмущениям, распространяющимся в плоскости основного течения соответствуют, в силу этого преобразования, трехмерные возмущения с большим числом Рейнольд-са. Это свойство преобразования Сквайра позволяет сделать вывод, что двумерные возмущения являются наиболее неустойчивыми в окрестности критического числа Рейнольдса. Последнее утверждение известно как теорема Сквайра.

Задачи линейной устойчивости течений дисперсной жидкости допускают преобразование, соответствующее преобразованию Сквайра в случае чистой жидкости. Применение этого преобразования позволяет установить соответствие между трехмерными и двумерными возмущениями. Топология областей неустойчивости течений дисперсной жидкости может иметь сложный характер и, следовательно, представляет интерес исследование устойчивости трехмерных возмущений. В работе получено преобразование, являющееся обобщением преобразования Сквайра для течений дисперной жидкости и исследуется устойчивость течений по отношению к трехмерным возмущениям.

Структура диссертации

Работа состоит из четырех глав, заключения и списка литературы. В главе I обсуждаются модели и уравнения движения двухфазной среды, формулируется задача устойчивости течения по отношению к малым возмущениям, обсуждается применение различных методов численного решения задачи устойчивости, формулируется т-метод для решения задачи устойчивости течений в каналах и неограниченных течений.

В главе II решена задача устойчивости течений в струе и следе. Показано, что параметры описания этих течений связаны преобразованием подобия. Рассматривается неустойчивость симметричных и антисимметричных возмущений. Показано, что влияние дисперсных частиц на устойчивость качественно зависит от положения пылевого слоя в течении. В частности, установлено, что наибольшее влияние на устойчивость оказывают частицы, локализованные в окрестности критического слоя.

В главе III исследуется устойчивость течения Куэтта. Течение Ку-этта чистой жидкости является устойчивым по отношению к любым малым возмущениям. Течение среды с равномерно распределенными частицами также остается устойчивым по отношению к возмущениям с любой длиной волны. Внесение тонких слоев дисперсных частиц приводит к появлению, при определенных условиях, неустойчивых мод. Исследуется влияние на устойчивость локализованных пылевых слоев. Обнаружена дестабилизация течения Куэтта, содержащего пылевые слои. Изучается зависимость свойств устойчивости от положения слоев и от их ширины.

В главе IV рассмотрены некоторые общие свойства устойчивости различных течений. Получены поверхности нейтральной устойчивости трехмерных возмущений, соответствующие преобразованию между задачами устойчивости трехмерных и двумерных возмущений. Установлено преобразование подобия между задачами устойчивости двумерных и трехмерных возмущений, аналогичное преобразованию Сквайра для задачи устойчивости чистой жидкости. Влияние концентрации дисперсной фазы на коэффициенты нарастания возмущений в различных течениях оказывается, в некоторых случаях универсальным. Рассматриваются общие для различных течений свойства задачи устойчивости. В заключении сформулированы основные выводы, полученные в диссертации.

Основные результаты, составляющие содержание диссертации опу-

бликованы в следующих работах: [15, 16, 17, 18, 19, 82, 83, 94, 144, 145], [146, 147, 148, 149].

Основные результаты работы докладывались и обсуждались в рамках Международной научной школы "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости XII" (Москва, 1996), "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости XIII" (Москва, 1998), на 1-ом (Новосибирск, 1994), П-ом (Новосибирск, 1995), Ш-ем (Новосибирск, 1996), IV-ом (Новосибирск, 1997) семинарах "Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей", на "European Aerosol Conference — 95" (Финляндия, 1995), на "9th European Drag Reduction Meeting" (Италия, 1995), на "1st International Conference on Nonequilibrium processes in Nozzles and Jets" (Москва, 1995), на "Sixth European Turbulence Conference " (Швейцария, 1996), на "Stability and Instabilities of Stratified and/or Rotating Flows" (Москва, 1997), на "7th European symposium particle characterization" (Германия, 1998).

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Борд, Евгений Григорьевич

Результаты исследования устойчивости течения Пуазейля дисперсной жидкости, представленные в работах [79, 80, 147] показывают, в частности, что влияние частиц дисперсной фазы различно для возмущений с симметричной и антисимметричной функцией тока. Следовательно, и в следовом течении должны быть отдельно рассмотрены задачи устойчивости симметричных и антисимметричных возмущений. Рассматриваются симметричные профили распределения концентрации частиц, профиль скорости следового течения также обладает симметрией, в этом случае краевая задача (1.46), (2.4), (2.5) допускает как симметричные, так и антисимметричные решения. Постановка условий и'у = и'у — 0 на оси течения приводит к задаче устойчивости возмущений с симметричной функцией тока, условия иу = и'у = 0 соответствуют задаче устойчивости возмущений с антисимметричной функцией тока.

Уравнение (1.46) содержит слагаемые, которые зависят от распределения массовой концентрации частиц и ее производных. В связи с этим характеристики устойчивости течений могут оказаться существенно различными при равномерном и неравномерном распределениях частиц в потоке. Поэтому случаи равномерного и неравномерного распределений частиц рассматриваются отдельно.

Результаты, представленные в настоящей главе, получены систематическими расчетами. Задача устойчивости решалась численно т-методом [87] и методом дифференциальной прогонки [22, 41, 80]. В расчетах использовалась численная процедура, описание и результаты тестирования которой представлены ниже.

2.1 Численные методы решения задачи устойчивости.

Решение уравнения (1.46) удовлетворяет граничным условиям, возникающим из условий на стенках канала или из условий поведения возмущений на бесконечности. На стенках канала, при у = ±1, течение вязкой жидкости удовлетворяет условиям непротекания = 0, (2.1) и прилипания их = uz = 0, откуда, в силу уравнения неразрывности (1.29), следует условие = 0. (2.2) dy

В свободных сдвиговых течениях формулируются условия затухания возмущений на бесконечности lim иу = lim их = lim uz — 0. (2-3) у—»±oo у—>±oо у—>±оо

Уравнения (1.46) с граничными условиями (2.1), (2.2) или (2.3) образуют задачу на собственные значения.

Метод прогонки традиционно применяется для решения краевых задач. Широта использования и многочисленные реализации метода прогонки позволяют считать его общепризнанным. Работа [39] часто цитируется как одна из первых работ посвященных методу прогонки, представленная одним из создателей этого метода. Современные учебники по численным методам не могут считаться полными без описания метода прогонки. Описание метода, представленное в учебнике [40] содержит формулировку эффективного численного алгоритма, описание границ применимости метода, обсуждение известных в настоящее время способов развития и обобщения. К числу нетривиальных способов реализации метода прогонки может быть отнесен алгоритм решения краевой задачи предложенный и обоснованный в работе [52] Использование метода прогонки для решения задач гидродинамической устойчивости обсуждается в работе [41].

Решение прогонкой задачи на собственные значения для уравнения (1.46) особенно эффективно в тех случаях, когда ищется решение симметричное или антисимметричное относительно оси у — 0. Краевая задача допускает решения с такой симметрией, если профили II(у), /(?/) заданы четными функциями. Условия симметрии на оси используются в этом случае в качестве граничных условий. Симметричные решения удовлетворяют условиям (2.1) или (2.3) при у = 1 (соответственно : у —» оо) и условиям симметрии при у = 0 : и'у = и'у = 0. Антисимметричные решения удовлетворяют условиям иу = и'у = 0. Решение представляется в виде комбинации двух линейно независимых решений задач Коши, формулируемых на внешней границе. Так как среди корней характеристического уравнения, соответствующего (1.46) есть два корня с положительной вещественной частью, каждое из решений содержит быстро растущие слагаемые. С ростом этих слагаемых нарушается ортогональность решений задач Коши. При интегрировании уравнений в некоторых (возможно во всех) узлах сетки интегрирования проводится ортогонализация базиса решений. Решение задачи на собственные значения строится итерациями метода Ньютона по искомому значению ш. В качестве уравнения для поиска принимается выражение для и>, следующее из уравнения (1.46) в некоторой точке. В качестве такой точки может быть выбрана у = 0, в этом случае, с учетом условий симметрии на оси, выражение для и упрощается. Универсальность и широкая область применимости метода прогонки и метода Ньютона позволяют использовать их для решения задачи. Вместе с тем, для применения указанных методов необходимо использование некоторого начального приближения для и. В качестве такого начального приближения в некоторых случаях может быть принято решение задачи, соответствующее течению чистой жидкости. Решение задачи для дисперсного течения строится затем продолжением по параметру /. В ряде случаев, свойства устойчивости течения дисперсной жидкости существенно отличаются от свойств течения чистой жидкости и соображения для выбора начального приближения неочевидны. Для получения начального приближения и решения, в этих случаях предпочтительней использовать методы дискретной аппроксимации операторов, определяющих краевую задачу и затем исследовать спектр дискретных операторов. Стандартным подходом здесь является применение спектральных методов.

Применение метода Галеркина для аппроксимации операторов краевой задачи эффективно в тех случаях, когда граничные условия краевой задачи достаточно просты и возможно построение базиса из функций, точно удовлетворяющих граничным условиям. В задачах устойчивости свободных течений граничные условия формулируются как условия затухания возмущений на бесконечности. Профили скорости и концентрации характеризуются простым предельным поведением: lim U = U+, lim U = U~, lim U'= 0, lim U" = О, у—>оо у—> — оо у—>±оо у—>±оо lim / = /+, lim / = /-, lim /' = 0. у—* оо у—* —ОО у—оо

Соответственно, при достаточно больших у уравнение (1.46) стремится к уравнению с постоянными коэффициентами, следовательно, решения уравнения (1.46) при у —±оо допускают асимптотичекое представление: lim и(у) = и+ = Ai ехр (ау) + А2 ехр (—ау) + у-> оо

А3 ехр (Т)+У) + А4 ехр {-г}+у) lim и(у) = и~ = Bi ехр (ау) + В2 ехр (—ау) + у-»— оо

Б3 ехр (т]~у) + В4 ехр (-77~у) Ц а2 + iaRe(U+ - с)

1 +

1 + iaSRe(U+ - с) г] — \1 а2 + iaRe(U ~ — с)

1 +

1 + iaSRe(U~ - с)

Знак квадратного корня в выражениях для г]+ и г)~ выбирается так, чтобы выполнялись условия : Ееа1(г)+) > 0, Яеа1(г]~) > 0 . Условия затухания возмущений сводятся к условиям на коэффициенты: А\ = О, А3 = О, В2 — О, В4 = 0. Неубывающие решения исключаются условиями

Mi (и) d2 dy*

- О/+)2) ( d dy а I и = 0, d

M2(u)=^- + V dy2

- а2 u = 0,

2.4) которым должно удовлетворять решение при у —> оо и условиями :

М*0 = (£ - ОТ)') -«)«-», щ{и) = й -"') (; dy а' \и = О,

2.5) при у —» — оо. Выбор естественного базиса, удовлетворяющего условиям (2.4)-(2.5) представляется сложным, поэтому необходимо построение процедуры аппроксимации граничных условий. В работе [117] исследованы различные способы построения отображения полубесконечного интервала на отрезок. Исследуются свойства решений краевой задачи для уравнения теплопроводности на полубесконечном интервале, полученные с помощью отображения на отрезок: х = 1 - ехр(-у/Ь) (2.6) и х = у/(у + Ь). (2.7)

Показано, что численное решение имеет более высокий порядок аппроксимации при ж~0в случае экспоненциального отображения, при х —> оо более высокий порядок аппроксимации достигается на рациональном отображении. Определяющим при этом оказываются не только характер сетки соответствующей равномерному разбиению отрезка-образа, но и свойства дифференциального оператора, который получается при переходе к новым независимым переменным. Производные отображения не-ограничены, по крайней мере в окрестности одной из границ отрезка, соответственно в дифференциальном уравнении появляются особые точки, характер которых определяется выбором отображения.

На решении задачи для уравнения Эрмита с граничными условиями при у —> —оо и у —> оо в [117] применяется алгебраическое отображение х = 2у1 ¡(у2 + Ь2) — 1,и пропорциональное сжатие области течения х = у/Ь.При использовании сжатия области, граничные условия ставятся при у = ±Ь, при этом предполагается, что при \у\ > Ь коэффициенты дифференциального уравнения могут считаться постоянными. В работе [117] показано, что лучшими свойствами сходимости обладает базис, состоящий из функций полученных с помощью алгебраического отображения, при этом существенным является одинаковое асимптотическое поведение решения и элементов базиса на бесконечности. В работах [87, 117, 8] отмечается, что скорость сходимости ряда определяется в частности дифференциальными свойствами решения, для ряда из полиномов Чебышева скорость сходимости может быть не выше О (И-2) если решение или коэффициенты уравнения разрывны или имеют разрывы производных, если решение является бесконечно-дифференцируемым то сходимость ряда из полиномов Чебышева выше любой степени ТУ-1.

В работе [96] предлагается способ аппроксимации краевой задачи на полубесконечном интервале с помощью построения алгебраического отображения на отрезок [—1,1]. На отрезке — образе полубесконечного интервала, решение представляется в виде разложения в ряд по полиномам Чебышева, в качестве точек коллокации выбираются нули полиномов Чебышева. Таким образом, границами интервала в физической области являются прообразы крайних точек коллокации. Такой способ представления решения позволяет получать равномерные асимптотические приближения уравнений с особенностями в бесконечно удаленной точке. В качестве примеров применения метода в работе [96] представлены решения спектральной задачи для уравнения Бесселя, уравнения Уиттеккера. В этих задачах базис из полиномов Чебышева на деформированном интервале точно удовлетворяет условиям затухания решения на бесконечности. Таким образом, использование отображения на конечный интервал позволяет получить естественный базис соответствующих краевых задач.

В задачах устойчивости течений соображения об ограниченности области, в которой решается краевая задача имеют под собой обоснование, основанное на некоторых физических представлениях. В действительности течение при физической реализации не может быть бесконечно протяженным в пространстве, представление о поведении на бесконечности основано на сохранении характеристик течения при вариации размеров области занятой течением. Естественным формальным выражением этого подхода является процедура ограничения области определения решения. Если при этом варьирование размеров области не приводит к изменению решения в пределах заданной точности, то можно считать вы-полнеными условия на бесконечности. При численной реализации, условия (2.4) - (2.5) формулируются при некотором конечном значении ушах. Ошибка аппроксимации уменьшается при ушах 00 ■ В монографии [41] отмечается, что в задачах устойчивости течений в следе и струе, в задачах устойчивости пограничного слоя, значение утах при котором достигается требуемая точность решения — величина порядка 5.

Для решения краевых задач с произвольными граничными условиями на конечном интервале применяется т-метод [87, 58]. Система функций, применяемых для разложения решения формируется с неопределенными коэффициентами Т{, выбор которых позволяет удовлетворить граничным условиям. Для решения краевой задачи на неограниченном интервале может быть использована комбинация r-метода и отображения области интегрирования на интервал [—1,1].

Пусть Х(у) отображение физической области на интервал [—1,1]. Решение аппроксимируется отрезком ряда по полиномам Чебышева N и(у) - щ i-о

2.8)

ЩХ(у)) + ^2^Т]ч+к(Х(у)) к= 1

Подстановка представления (2.8) в граничные условия (2.4) - (2.5) приводит к N + 1-системам алгебраических уравнений 4-го порядка относительно тц-:

Мк(Тм+к),.)\ т{к ) = [ -Мк(Тг) ), (2.9)

Система функций к-1 представляет собой базис, элементы которого представимы в виде рядов по полиномам Чебышева и удовлетворяют граничным условиям. Выбор для представления решения полиномов Чебышева позволяет получить численную процедуру с наибольшим, в классе полиномиальных разложений, порядком аппроксимации. Возможности решения системы уравнений (2.9) зависит от порядка аппроксимации N и ухудшаются с ростом N. Следовательно, необходимо оценить возможные значения N при которых может быть получено надежное решение системы алгебраических уравнений. Обозначим .Л^ — N + к. М< Щ < N + 3. Без ограничения общности для удобства дальнейших рассуждений крайними точками коллокации будем считать прообразы точек х = — 1 и ж = 1, Ык = 2^. Матрица системы уравнений (2.9) может быть представлена как операторный полином по Нк'

N14 „ , К6

154

З4

Л2 + ^УиЛз + л4

2.10) с матричными коэффициентами:

Лг =

Яз^к + З) \ Лз^к + З) 2) Лз(^ + 3) 2) Кз(Щ + 3) ) л2 = -щщ) ^{Мк + г) а(51№ + 1) аЯ2{Ык + 2) офз^ь + З) ^ 11+(3№к) 77+<51№ +1) 77+д2(^ + 2) 77+д3№ + з)

Ля = +2 / —7у от 2

77 V а п.2(^ + 1)2 Ч 2(Мк + 2)2 +2(Мк+3)2 \ лт9, Ч лг2 1

-V а ч а. а

Ла = 2 а.7] а2г]~

N1

2(Кк + 2)2

NI к

-2(Мк+2)2

Ч 2(^+2)2 Ч Ч а

2(Як+зу

2 .2 —аг)^ —агу а2Г1+ —а2г)+ 2 аг]

2 — —а г)

-1 а + 2 ч

-2(^+3)2 Ч

2(^ + 3)2

-ш/ 2, 2 аг/ а2т]~ ч 2 \

-а2г)+ 2 аг) а2г}~ ) (-^-г)2оог ад) = (?з0) = (т^)2«У).

7 — 1 и 7 — о 3

3 \6о/,Л ТУ /„Л ( 3 О /„Л / 3 \6

С ростом Л^ система уравнений (2.10) стремится к системе с вырожденной матрицей Ид при этом правая часть системы стремится к нулю, следовательно, коэффициенты тц. в арифметике с конечным числом знаков могут быть определены лишь при не слишком больших Л^. Правая граница интервала допустимых значений Л^ определялась в результате численных экспериментов по оценке относительной погрешности. В интервале допустимых значений Л^ погрешность аппроксимации достигает минимума.

После подстановки представления (2.8) в уравнение (1.46) формируется система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов щ. В качестве точек коллокации выбираются точки — где X] - нули полинома Чебышева порядка N.

В работе Орзага [135] приведена часть собственных чисел из спектра уравнения (1.46), полученная для течения Пуазейля. Эти значения используются для проверки результатов численных процедур решения задачи устойчивости. Данные Орзага используются для проверки результатов численных процедур в работах [122], [80]. В таблице 2.1 приводятся результаты тестирования численной реализации т-метода.

Можно видеть, что удовлетворительная точность решения достигается в достаточно широком диапазоне по порядку разложения. Для применимости численной процедуры важно, что ошибка в определении некоторых собственных значений не превышает 0.1% уже при 75 полиномах в разложении решения. Это обстоятельство особенно существенно, когда вычисления проводятся в условиях ограничения ресурсов оперативной памяти. Увеличение порядка в разложении позволяет получить приближение для высших собственных значений спектра. Возможности увеличения порядка разложения ограничены, как уже отмечалось выше, ростом числа обусловленности системы уравнений для определения т^.

Заключение

Результаты, представленные в работе позволяют сделать следующие выводы:

1. В рамках предложенной ранее модели течения дисперсной жидкости впервые проведены систематические расчеты устойчивости течения в следе и плоского течения Куэтта и установлены механизмы влияния частиц дисперсной фазы на устойчивость этих течений.

2. Разработан комплекс программ, позволяющий рассчитывать характеристики устойчивости течений с различными типами граничных условий, применимый для расчета течений в каналах и неограниченных течений, допускающий исследование двумерных и трехмерных возмущений. Впервые проведены систематические расчеты характеристик устойчивости течений в следе и струе и течения Куэтта.

3. Впервые исследована дестабилизация свободных сдвиговых течений дисперсной фазы. Течение в следе (струе) дисперсной жидкости дестабилизируется частицами при числах Рейнольдса близких к критическому. Степень дестабилизации определяется концентрацией частиц. При малых значениях числа Рейнольдса дестабилизировать течение могут как мелкие, так и достаточно крупные частицы. Так как критическое число Рейнольдса в свободных сдвиговых течениях мало, именно присутствие дисперсных частиц может быть причиной дестабилизации течения. В закритической области действие частиц является стабилизирующим. Стабилизация течения выражена тем сильнее, чем выше концентрация частиц. Наибольшая стабилизация наблюдается при 5-йе ~ 1.6 Ч-1.7. Устойчивость течений типа струи и следа определяется свойствами дисперсной фазы. В зависимости от характера распределения частиц в потоке течение может быть более устойчивым по сравнению с течением чистой жидкости и может быть неустойчивым.

При неоднородном распределении частиц в потоке наибольшее влияние на устойчивость оказывают узкие пылевые слои. Влияние частиц на устойчивость течения проявляется тем сильнее, чем ближе расположены пылевой слой и критический слой неустойчивой моды. Характер стабилизации и дестабилизации течения определяется, в частности, взаимным расположением пылевых слоев и критического слоя. Пылевые слои, расположенные ниже критического слоя приводят к дестабилизации течения. Течение в котором пылевые слои расположены выше критического слоя оказывается более устойчивым, чем течение чистой жидкости. Таким образом, обнаружена возможность управления течением с помощью перераспределения частиц дисперсной фазы. Добавление частиц в течение может способствовать как затягиванию ламинарно-турбулентного перехода, так и быть причиной его возникновения.

4. Впервые изучено влияние частиц дисперсной фазы на устойчивости течения Куэтта. Обнаружены механизмы дестабилизации связанные с взаимодействием различных фаз. Устойчивость течения Куэтта дисперсной жидкости качественно меняется по сравнению с течением Куэтта чистой жидкости. Исследована зависимость характеристик устойчивости течения Куэтта от размера частиц, концентрации и характера распределения частиц в течении. Установлена зависимость характеристик неустойчивости течения Куэтта от положения слоя частиц в течении. Течение Куэтта, несущее достаточно тонкие пылевые слои оказывается неустойчивым. В зависимости от положения пылевых слоев наиболее неустойчивыми оказываются различные моды возмущений. При расположении пылевого слоя в окрестности оси течения наиболее неустойчивой является осевая мода. При перемещении пылевых слоев от оси к границам течения обнаруживается неустойчивость неосевых мод, критический слой которых оказывается в непосредственной окрестности пылевого слоя.

5. Получено уравнение устойчивости для трехмерных возмущений течения. Построены поверхности нейтральной устойчивости возмущений течения Пуазейля. Проведены расчеты характеристик устойчивости трехмерных возмущений течения Куэтта. Результаты расчетов позволяют выделить ситуации в которых наиболее неустойчивыми являются трехмерные возмущения. Во всех случаях результаты прямых вычислений характеристик устойчивости удовлетворяют с высокой точностью преобразованию Сквайра.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Борд, Евгений Григорьевич, 1998 год

Библиография

[1] Алексеенко C.B., Кулебякин В.В., Маркович Д.М., Покрывайло H.A., Товчигречко В.В. Локальные характеристики осесимметричной им-пактной струи// Инж.-Физ. Журнал — 1996. — т. 96 — С. 615-624

[2] Алексеенко C.B., Маркович Д.М., Семенов В.И. Крупномаштабные структуры в импактной струе с газонасыщением/ Сб. науч. тр.// V Международный семинар по устойчивости течений гомогенных и гетерогенных жидкостей., Новосибирск 1998, с. 158-166.

[3] Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний — М., 1959 — 560 с.

[4] Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны// Труды Математического института им. В.А. Стеклова. — 1967. — 90 — С. 3-209

[5] Арнольд В.И. Условия применимости и оценка погрешности метода усреднения для систем, которые в процессе эволюции проходят через резонансы// ДАН СССР — 1965 — т. 161 — N 1. — С.9-12

[6] Афанасьев Е.Ф. и Николаевский В.Н. К построению асимметричной гидродинамики суспензии с вращающимися твердыми частицами//Сб. науч. тр./Проблемы гидродинамики и механики сплошной среды. Сборник статей к шестидесятилетию академика Л.И. Седова./ — М.: Наука, 1969 г. — 692 с.

[7] Бабенко К.И. и др. Об устойчивости и бифуркации течения Куэт-та между вращающимися цилиндрами/ М., 1981. (Препринт/ИПМ АН СССР N 99)

[8] Бабенко К.И. Основы численного анализа — М.:Наука, — 1986. — 744 с.

[9] Бердичевский B.JI. Вариационные принципы механики сплошной среды. — М.: Наука, — 1983 — 448 с.

[10] Бердичевкий B.J1. Уравнения механики жидкости с частицами// Сб. науч. тр.: Проблемы осреднения и построения континуальных моделей в механике сплошной среды. — М.: МГУ, — 1980. — 93 с.

[11] Боголюбов H.H., Проблемы динамической теории в статистической физике. — М.:Гостехиздат, — 1946.

[12] Божко A.A., Пилюгина Т.В., Путин Г.Ф., Шупеник Д.В., Нерегулярные режимы конвекции в ферроколоиде// V Международный семинар " Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей". — Новосибирск, — 1998. — С. 133-138

[13] Бойко A.B., Довгаль A.B., Козлов В.В. Нелинейные взаимодействия возмущений при переходе к турбулентности в зоне отрыва ламинарного пограничного слоя// Изв. СО АН СССР, Сер. техн. наук. — 1988. — N 18 вып. 5. — С.44-49

[14] Бойко A.B., Козлов В.В., Сызранцев В.В., Щербаков В.А., Управление при помощи риблет ламинарно-турбулентным переходом в стационарном вихре на скользящем крыле// ПМТФ. — 1996. — N 1. — С.82-94

[15] Борд Е.Г. Исследование устойчивости слоя сдвига методом Галер-кина// I семинар "Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей", Новосибирск — 1994. — С.5-6

[16] Борд Е.Г., Исаков Е.Б., Рудяк В.Я. Устойчивость течения Куэтта разреженной дисперсной жидкости относительно малых возмущений// III Международный семинар "Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей", 10-12 апреля 1996 г. — Новосибирск — 1996.

[17] Борд Е.Г., Исаков Е.Б., Рудяк В.Я. Устойчивость дисперсного течения Куэтта// IV Сибирский семинар "Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей", 23-25 апреля 1997 г. — Новосибирск

— 1997.

[18] Борд Е.Г., Исаков Е.Б., Рудяк В.Я., Суровцева Е.В. Устойчивость течений дисперсных жидкостей. IV. течение Куэтта. препринт НГАС N1(10) - 97, Новосибирск, 1997.

[19] Борд Е.Г., Исаков Е.Б., Рудяк В.Я. Устойчивость ламинарных течений разреженных дисперсных сред// Изв. АН Механика жидкости и газа. — 1997. — N 4. — С.32-38

[20] Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. — М.:Мир, 1967. — 310 с.

[21] Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. — М.:Мир, 1973. — 758 с.

[22] Бетчов Р. Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости.

— М.: Мир, 1971. — 350 с.

ского поля со слоем смешения // Моделирование в механике. - Новосибирск, 1987. - Т. 1/18/. - N 6. - С. 14-19.

[24] Веретенцев А.Н., Рудяк В.Я., Яненко H.H. О построении дискретных вихревых моделей течений идеальной несжимаемой жидкости// ЖВМ и МФ. - 1986. - Т. 26. - N 1. - С. 103-113.

[25] Веретенцев А.Н., Рудяк В.Я., Яненко H.H. Вариационный принцип построения дискретных вихревых моделей// Новосибирск, 1982. Препринт ИТПМ АН СССР, N 29-82.

[26] Веретенцев А.Н., Рудяк В.Я., Яненко H.H. Моделирование двумерных течений невязкой жидкости вихревыми частицами конечных размеров// Проблемы динамики вязкой жидкости. - Новосибирск, 1985. -С. 69-73.

[27] Веретенцев А.Н., Куйбин П.А., Рудяк В.Я., Савченко С.О. О развитии неустойчивости в отрывных течениях и кольцевых сдвиговых слоях// Моделирование в механике. - Новосибирск, 1990. - Т. 4. - N 3. - С. 39-45.

[28] Галкин B.C., Коган М.Н., Макашев Н.К., Обощенный метод Чепмена-Энскога. 4.2// Уч. зап. ЦАГИ, — 1975. — т. 6. — N 1. — С. 15-27

[29] Гапонов С.А., Маслов A.A., О численном и асимптотическом методах решения задачи о полной стабилизации пограничного слоя// ПМТФ — 1972. — N 3. — С. 39-43

[30] Гапонов С.А., Маслов A.A. Развитие возмущений в сжимаемых потоках. — Новосибирск:Наука, — 1980. — 144 с.

[31] Герценштейн С.Я. О трехмерных волнах в пограничном слое// Изв. АН СССР МЖГ. — 1968. — N 4. — С.98-102

[32] Герценштейн С.Я. Об устойчивости нестационарного прямолинейного плоскопараллельного потока идеальной жидкости// Изв. АН СССР МЖГ. — 1969. -N2.- С.5-10

[33] Герценштейн С.Я. О сходимости метода Рэлея// ДАН СССР. — 1969.

— т. 187. — N 5. — С.1012-1015

[34] Герценштейн С.Я., Шмидт В.М. Нелинейное развитие и взаимодействие возмущений конечной амплитуды при конвективной неустойчивости вращающегося плоского слоя// ДАН СССР. — 1974. — т. 219.

— N 4. — С.294-300

[35] Герценштейн С.Я., Штемлер Ю.М. О возмущениях конечной амплитуды в пограничном слое// Изв. АН СССР МЖГ. — 1976. — N 1. — С.150-152

[36] Герценштейн С.Я., Олару И.И., Рудницкий А.Я., Сухоруков А.Н. О развитии конечно-амплитудных двумерных и трехмерных возмущений в струйных течениях// Изв. АН СССР. МЖГ. — 1985. — N 5. — С.8-19

[37] Гладков М.Ю., Рудяк В.Я., Кинетические уравнения мелкодисперсной разреженной газовзвеси// Изв. РАН, МЖГ. — 1994. — N 2. — С.165-171

[38] Глухов А.Ф., Путин Г.Ф., К кинетике установления распределения концентрации магнитной фазы в силовом потоке// 12 Рижское совещание по МГД, Рига. — 1987. — С.46-49

[39] Годунов C.K. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений// Успехи мат. наук. — 1961.

— т. 16. — N 3. — С.171-174

[40] Годунов С.К. Обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, т. 1 Краевые задачи. — Новосибирск:НГУ — 1994. — 264 с.

[41] Гольдштик М.А., Штерн В.Н., Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. — Новосибирск:Наука — 1977. — 366 с.

[42] Гольдштик М.А. Об одном парадоксальном решении уравнений Навье-Стокса// Прикладная математика и механика. — 1960. — N 24.

— вып. 4.

[43] Грек Г.Р., Козлов В.В., Рамазанов М.П. Ламинарно-турбулентный переход при повышенной степени турбулентности набегающего потока// Сиб. физ.-техн. журнал. — 1991. — вып. 6. — С.1-31

[44] Дикий Л.А. Об устойчивости плоскопараллельного течения Куэтта// Прикл. матем. и мех. — 1964. — т. 28. — N 2. — С.389-392

[45] Довгаль A.B., Козлов В.В., Симонов O.A. Развитие пространственного волнового пакета возмущений в пограничном слое скользящего крыла// Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. — 1988. — N 11. — вып. 3.

— С. 43-47

[46] Зиглин С.Л. Неинтегрируемость задачи о движении четырех точечных вихрей// ДАН СССР. — 1980. — т. 250. — N 6. — С. 1296-1300

[47] Иванов A.B., Качанов Ю.С., Оболенцева Т.Г. Экспериментальное исследование восприимчивости пограничного слоя плоской пластины к

трехмерным вибрациям поверхности. IV Сибирский семинар "Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей." 23-25 апреля 1997 г. Новосибирск.

[48] Исаков Е.Б., Рудяк В.Я., Устойчивость течений разреженных газовзвесей и суспензий в плоском канале// Изв. РАН МЖГ. — 1995. — N 5. — С. 79-85

[49] Казакевич Ф.П., Крапивин A.M. Изв. ВУЗов. Энергетика. — 1986. — N 1. — С. 101

[50] Качанов Ю.С., Тарарыкин О.И., Федоров A.B. Экспериментальное моделирование пограничного слоя на скользящем крыле в области формирования вторичного течения// Изв. СО АН СССР, Сер. техн. наук. — 1989. — Вып. 3. — С.44-54

[51] Колобов Б.П., Слепцов А.Г., Новый метод построения разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений и его применение к решению задач гидродинамической устойчивости// Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск — 1972. — т. 3. — N 1. — С.61-77

[52] Кузнецов C.B. Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений// Труды Ин-та математики СО АН СССР, — 1985. — т. 6. — С. 85-110

[53] Куйбин П.А., Рудяк В.Я. Развитие неустойчивости в следе за пластиной, размещенной параллельно потоку// Изв. АН СССР., МЖГ. — 1992. — N1. —С.26-32

[54] Курочкин В.И., Маркеев Б.М. К вопросу об уравнениях переноса для

многожидкостной газовой смеси// ЖТФ. — 1979. — т. 49. — вып. 8.

— С.1772-1774

[55] Курочкина Е.П., Стронгин М.Н., Нелинейная устойчивость двухфазных струй// Изв. АН СССР, МЖГ. — 1985. — N 3. — С. 50-55

[56] Курочкина Е.П., Стронгин М.Н., Устойчивость неизотермической запыленной газовой струи// ПМТФ. — 1988. — N 5. — С.97-101

[57] Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. — М.:Наука. — 1970. — 203 с.

[58] Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. М.:ГИФМЛ.

— 1961. — 524 с.

[59] Латышев A.B., Орданович А.Е., Доклады АН СССР, — 1976. — т. 230. — N 2.

[60] Латышев A.B., Орданович А.Е., Вестник МГУ, Сер. мат. и мех. — 1977. — N 2.

[61] Линь Ц.Ц. Теория гидродинамической устойчивости. — М.: Мир. — 1958. — 369 с.

[62] Линь Цзя-цзияо, Винни Д.Дж., О неустойчивости течений с градиентом скорости. Гидродинамическая неустойчивость. — М.:Мир. — 1964.

— С. 9-36

[63] Нармуратов Ч.Б., Соловьев A.C. Устойчивость плоского течения Пу-азейля со взвешенными частицами, 1984, Препринт ИТПМ СО РАН N 19-84, Новосибирск, С. 19

[64] Нармуратов Ч.Б., Соловьев A.C. О влиянии взвешенных частиц на устойчивость плоского течения Пуазейля// Изв. АН СССР МЖГ. —

1986. — N 1. — С. 46-53

[65] Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. I. — М.: Наука. — 1987. — 464 с.

[66] Новиков Е.А., Седов Ю.Б. Стохастические совйства системы 4-х вихрей// Письма В ЖЭТФ. — 1983. — т. 75. — в. 9. — С.868-876

[67] Петров Г. И. Применение метода Галеркина к задаче об устойчивости течения вязкой жидкости// Прикл. матем. и мех. — 1940. — т. 4. — N 3. — С.3-12

[68] Пономаренко Ю.Б. Об устойчивости плоского течения Куэтта// Прикл. матем. и мех. — 1968. — т. 32. — N 4. — С.606-614

[69] Понтрягин Л.С. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных// Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1957. — т. 21. — N 5. — С. 627-654

[70] Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.:ГИФМЛ. — 1947. — 114 с.

[71] Рахматулин Х.А. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред// ПММ. — 1956. — т. 20. — N 2. — С. 184-195

[72] Рудяк В.Я. Статистическая теория диссипативных процессов в газах и жидкостях. — Новосибирск:Наука — 1987. — 272 с.

[73] Рудяк В.Я. Кинетическое описание разреженной мелкодисперсной газовзвеси// Письма в ЖТФ. — 1992. — т. 18. — в. 2. — С. 77-80

[74] Рудяк В.Я. Статистическая механика гетерогенных сред. IV. Принципы классификации, препринт НГАС N 3(8)—95, Новосибирск, 1995. 19 с.

[75] Рудяк В.Я. Модели механики сплошной среды: состояние и развитие, препринт НГАСУ Nl(ll)-98, Новосибирск, 1998. 28 с.

[76] Рудяк В.Я., Белкин A.A., Статистическая механика гетерогенных сред. III. Уравнения многожидкостной гидродинамики, препринт НГАС N2(7)-95, Новосибирск, 1995.

[77] Рудяк В.Я., Гладков М.Ю., Белкин A.A., Статистический вывод уравнений переноса механики дисперсных сред. I семинар "Устойчивость гомогенных и гетерогенных жидкостей", Новосибирск, НГАС, 1994, с.18-19.

[78] Рудяк В.Я., Гладков М.Я., Кинетические уравнения молекулярных и мелкодисперсных газовзвесей, препринт НИСИ N 2-93, Новосибирск, 1993. 30 с.

[79] Рудяк В.Я., Исаков Е.Б. Устойчивость плоского течения Пуазейля разреженных суспензий и газовзвесей// Известия ВУЗов, Авиационная Техника. — 1994. — N 4. — С.21-23

[80] Рудяк В.Я., Исаков Е.Б Устойчивость гетерогенных сред I. Устойчивость плоского течения Пуазейля препринт НГАС N2(4) - 94, Новосибирск, 1994.

[81] Рудяк В.Я., Исаков Е.Б. Устойчивость течения Пуазейля двухфазной жидкости с неоднородным распределением частиц// ПМТФ. — 1996. — т. 37. — N 1. — С.95-105

[82] Рудяк В.Я., Исаков Е.Б., Борд Е.Г. Неустойчивость плоского течения Куэтта двухфазных жидкостей// Письма в ЖТФ. — 1998. — т. 24. — N 5. — С.76-80

[83] Рудяк В.Я., Исаков Е.Б., Борд Е.Г. Устойчивость струйных течений двухфазной жидкости// Теплофизика и аэромеханика. — 1998. — т. 5. — N 1. — С.59 - 66

[84] Слепцов А. Г. Сходимость метода локальной ко л локации для обыкновенных дифференциальных уравнений// Журн. Выч. Матем. и Мат.Физ. — 1975. — т. 15. — N 6. — С. 1447-1456

[85] Coy С. Гидродинамика многофазных систем. — М.: Мир, 1971. — 536 с.

[86] Струминский В.В. Влияние диффузионной скорости на течение газовых смесей// ПММ. — 1974. — т. 38. — вып. 2. — С. 203-210

[87] К.Флетчер. Численные методы на основе метода Галеркина. — М.: Мир. — 1988. — 352 с.

[88] Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рей-нольдса. — М.: Мир. — 1976. - 360 с.

[89] Юдович В.И. Об устойчивости стационарных течений вязкой несжимаемой жидкости// ДАН СССР — 1965. — т. 161. — N 5. — С. 10371040

[90] Ahlers G., Canell D.S., Rayleigh-Benard convection in binary mixtures with separation ratios near zero// Phys. Rev. ser. E. — 1995. — v. 52. — N. 6. — P. 6159-6174

[91] Aref H., Pomphrey N. Integrable and chaotic motions of four vortices. I. The case of identical votices// Proc. Roy. Soc. — 1982. — Ser. A. — vol. 380. — P. 359-387

[92] Aref H. Integrable, chaotic and turbulent vortex motion in two-dimensional flows// Ann. Rev. Fluid Mech. — 1983. — vol. 15. — P. 345389

[93] Batchelor G.K. Transport properties of two-phase materials with random structure// Annual Review of Fluid Mechanics. — 1974. — vol. 6. — P. 227-255

[94] Bord E., Isakov E., Rudyak V. Instability of Two-Phase Plane Couette Flow. International conference : "Stability and Instabilities of Stratified and/or Rotating Flows", June 24-26, Moscow. — 1997. — P. 19-20

[95] Borodulin V.L., Gaponenko V.R., Kachanov Y.S. Method of introduction of normal instability modes into the 3D boundary layer// International Conference on the Methods of Aerophysical Research: Proc. Pt. 2., Novosibirsk. — 1996. — p. 39-45

[96] Boyd J.P. Orthogonal rational functions on a semi-infinite interval// Journal of Computational Physics. — 1987. — v. 70. — P. 63-88

[97] Boiko A.V., Westin K.J.A., Klingmann B.G. Experiments in a boundary layer subjected to free stream turbulence// J. Fluid Mech. — 1994. — vol. 281. — P.291-295

[98] Brandstater A., Swift J., Swinney H.L., Wolf A., Farmer D., Jen E., Crutchifield P. Low-Dimensional Chaos in a Hydro dynamic System// Phys. Rev. Lett. — 1983. — v. 51. — P. 1442

[99] Brenner H. Rheology of two-phase systems// Annual Review of Fluid Mechanics. — 1970. — vol. 2. — P. 137-176

Stokes flow// J. Fluid Mechanics. — 1972. — vol. 52. — part 4. — P. 781-793

[101] Davey A., DiPrima R.C., Stuart J.T. On the instability of Taylor vortices// J. Fluid Mech. — 1968. — v. 31. — P. 17-52

[102] Davey A. The growth of Taylor vortices in flow between rotating cylinders// J. Fluid Mech. — 1962. — v. 14. — P. 336-368

[103] Deardorff J.W. On the stability of viscous plane Couette flow// J. Fluid Mech. — 1963. — v. 15. — N 4. — P. 623-631

[104] DiPrima R.C., Habetler G.J. A completeness theorem for non-selfadjoint eigenvalue problems in hydrodynamic stability// Arch. Rath. Mech. and Anal.

[105] Drazin P.G., Howard L.N., The instability to long waves of unbounded parallel inviscid flow// J. Fluid Mech. — 1962. — v. 14. — P. 257-283

[106] Drew D.A. Lift-generated instability of the plane Couette flow of a particle-fluid mixture// Phys. Fluids. — 1975. — v. 18. — N 8. — P. 935-937

[107] Drew D.A. Two-phase flows: Constitutive equations for lift and Brownian motion and some basic flows// Arch. Rath. Mech. and Analysis. — 1976. — v. 62. — N 2. — P. 149-163

[108] Drew D.A. Stability of a Stokes layer of a dusty gas// Phys. Fluids. — 1979. — v. 22. — N 1. — P. 2081-2086

[109] Drew D.A., Cheng L.Y., Lahey R.T. The analysis of virual mass effects in two-phase flow// Int. J. Multyphase Flow. — 1979. — N 5. — P. 233242

[110] Drew D.A. Mathematical modeling of two-phase flow// Ann. Rev. Fluid Mech. — 1983. — N 15. — R 261-291

[111] Dubois M., Berge P., Groquette V. Study of the Steady Convective Regimes Using Poincare Sections// J. Phys. Lett. — 1982. — v. 43. — P. 295

[112] Fabre J., Line A. Modeling of Two-Phase Slug Flow// Annual Review of Fluids Mechanics. — 1992. — v. 24. — P. 2-1-46

[113] Gersting J.M., Jankowski D.F. Numerical methods for Orr-Sommerfeld problems// Int. J. Num. Meth. Eng. — 1972. — v. 4. — N 2. — P. 195-206

[114] Goldshmidt V.W., Housholder M.K., Chuang S.C. Turbulent diffusion of small particles suspended in turbulent jets// Heat and Mass Transfer. — 1971. — v. 6. — P. 487-508

[115] Gore R.A., Crowe C.T. Effect of particle size on modulating turbulent intensity// Int. J. Multyphase Flow. — 1989. — v. 15. — P. 279-285

[116] Griffiths R.W. Particle motions induced by spherical convective elements in Stokes flow// J. Fluid Mech. — 1986. — vol. 166. — P. 139-159

[117] Grosh C.E. and Orszag S.A. Numerical solution of problems in unbounded regions: coordinate transforms// Journal of Computational Physics. — 1977. — v. 25. — P. 273-296

[118] Hains F.D. Stability of plane Couette-Poisseuille flow with uniform crossflow// Phys. Fluids. — 1971. — v. 14. — N 8. — P. 1620-1623

[119] Joseph D.D. Renardy Y.Y., Foundamentals of Two-Fluid Dynamics. Parti: Mathematical Theory and Applications. Springer series: "Interdisciplinary Applied Mathematics". — 1993. — 576 p.

[120] Kachanov Y.S. Experimental studies of three-dimensional instability of boundary layers// AIAA Pap. — 1996. — P. 94-98

[121] Kida S. Statistics of the system line vortices// J. Phys. Soc. Japan. — 1975. — v. 39. — N 5. — P. 1395-1404

[122] Khorami R.M., Malik R.M., Ash R.L. Application of spectral collocation tehniques to the stability of swirling flows// J. of Computational Physics.

— 1989. — vol. 81. — P. 206-229

[123] Lagestrom P.A., Cole J.D. Examples illustrating expansion procedures for the Navier-Stokes equations// J. Rath. Mech. Anal. — 1955. — v. 4.

— P. 817-882

[124] Lighthill M.J. A new approach to thin aerofoil theory// Aero. Quart.

— 1951. — v. 3. — P. 193-210

[125] Laufer J. NACA Rept. 1053, 1951.

[126] Lorenz E.N. Deterministic Nonperiodic Flow// J. Atmos. Sci. — 1963.

— v. 20. — P. 130

[127] Mandelbrot B. The Fractal Geometry of Nature. — 1982. — Freeman, San Francisco.

[128] Marasli B., Champagne F.H., Wygnanski I.J. Modal decomposition of velocity signals in a plane, turbulent wake// J. Fluid Mech. — 1989. — v. 198. — P. 255-273

[129] Meksyn D., Stuart J.T., Proc. Roy. Soc. London, Ser. A. — 1951. — v. 208. — P. 517-526

[130] Michael D.H. The stability of plane Poiseuille flow of a dusty gas// J. Fluid Mech. — 1964. — V. 18. — part 1. — P. 19-32

[131] Miles J.W., Howard L.N. Note on a heterogeneous shear flow// J. Fluid Mech. — 1964. — v. 20. — part 2. — P. 331-336

[132] Milgram J.H. Mean flow in round bubble plumes// J. Fluid Mech. — 1983. — v. 85. — P. 345-376

[133] Mott J.E., Joseph D.D. Stability of parallel flow between concentric cylinders// Phys. Fluids. — 1968. — v. 11. — N 10. — P. 2065-2073

[134] Newhous S. Nondensity of Axiom A(a), Global Analysis// Proceed. Simp. Pure Math. AMS. — 1971. — v. 14. — P. 191-203

[135] Orszag S.A. Journal of Fluid Mechanics// — 1971. — v. 50. — P. 689703

[136] Orszag S. A. and Israeli M. Numerical simulation of viscous incompressible flows// Annual Review of Fluid Mechanics. — 1974. — vol. 6. — P. 281-318

[137] Peters G. Wilkinson J.H. The QR-Algorithms for real Hessenberg matrices// Num. Math. — 1970. — v. 14. — P. 219-231

[138] Pointin Y.B. Lundgren T.S., Statistical mechanics of two-dimensional vortices in bounded container// Phys. Fluid. — 1976. — v. 19. — N 10. — P. 1459-1470

[139] Probstein R.F. The Dusty Gasdynamics of Comet Heads// в сборнике : Проблемы гидродинамики и механики сплошной среды. Сборник статей к шестидесятилетию академика Л.И. Седова. — М.: Наука, 1969. — С. 397-409

[140] Richtmeyer R.D., Morton R.W. Difference methods for initial-value problems// Springer — 1967. — 355 P.

[141] Riis E. The stability of Couette-flow in non-stratified and stratified viscous fluids// Geofys. Publ. — 1962. — v. 23. — N 4. — P. 37

[142] Rudyak V.Ya., Gladkov M. Kinetic equations of gas suspension// J. Aerosol Sci. — 1993. — v. 24. — P. 517-518

[143] Rudyak V., Isakov E. The stability features of dispersed flows// International conference : "Stability and Instabilities of Stratified and/or Rotating Flows", June 24-26, Moscow — 1997. — P.94-95

[144] Rudyak V.Ya., Isakov E.B., Bord E.G. Heterogeneous media stability

II. Poiseuille flow with suspended particles, preprint NSACE Nl(6)-95, Novosibirsk, 1995.

[145] Rudyak V.Ya., Isakov E.B., Bord E.G., Stability of dispersed fluid flows.

III. Wake and jet, preprint NSACE Nl(9)-96, Novosibirsk, 1996.

[146] Rudyak V.Ya., Isakov E.B., Bord E.G. Instability of antisymmetric disturbances of the Poiseuille flow of an inhomogeneous fluid// Thermophysics and Aeromechanics. — 1996. — Vol. 3. — No. 1. — P. 51-56.

[147] Rudyak V. Ya., Isakov E.B., Bord E.G. Hydrodynamic stability of the Poiseuille flow of dispersed fluid, Journal Aerosol Science. — 1997. — Vol. 28. — No. 1. — P. 53-66

[148] Rudyak V., Isakov E., Bord E., Belkina E. Laminar-Turbulent transition in fluid-particles flows. 7th European symposium particle characterization, Nurnberg 10-12 March. — 1998. — P. 1119-1128.

[149] Rudyak V., Isakov E., Bord E., Belkina E. Laminar-Turbulent transition in fluid-particles flows. Abstracts of 7th European symposium particle characterization, Nurnberg 10-12 March. — 1998. — P. 123.

[150] Ruelle D. Strange Attractors// Math. Intellingecer. — 1980. — v. 2. — P. 126

[151] Ruelle D. Takens F. On the nature of the turbulence// Comm. Math. Phys. — 1971. — v. 20. — P. 167-192

[152] Russel W.B. Brownian motion of small particles suspended in liquids// Annual Review of Fluid Mechanics. — 1981. — v. 13. — P. 425-455

[153] Synge J.L. The stability of heterogeneous liquids// Trans. Roy. Soc. — 1933. — Can. — v. 27. — P. 1-18

[154] Synge J.L. On the stability of a viscous liquid between two rotating coaxial cylinders// Proc. Roy. Soc. — 1938. — v. 167. — ser. A. — P. 250-256

[155] Saffman P.G. On the stability of laminar flow of a dusty gas// J. Fluid Mech. — 1962. — V. 13. — part 1. — P. 120-128

[156] Saffman P.G. The lift on a small sphere in a slow shear flow// J. Fluid Mech. — 1965. — V. 22. — part 2. — P. 385-400

[157] Sato H., Kuriki K. Mechanism of transition in the wave of a thin flat plate placed parallel to a uniform flow// J. Fluid Mech. — 1961. — v. 11. — P. 321-352

[158] Schubauer G.B. Boundary layer research symposium// — 1957. — Freiburg. — P. 110-126

[159] Stuart J.T. On the stability of viscous flow between parallel planes in the presence of a complanara magnetic field// Proc. Roy. Soc. — 1954. — v. A221. — P. 189-206

[160] Stuart J.T. J. Fluid Mech. — 1958. — v. 4. — P. 1-21

[161] Soo S.L., Tien C.L. J. Appl. Mech. Trans. ASME, Series E. — 1960. — V. 27. — N 1. — P. 5-15

[162] Taneda S. Experimental investigation of the wake behind a sphere at low Reynolds numbers// Repts of Research Inst, for Appl. Mechs. IV. — 1956. — P. 99-105

[163] Thomas L.H. The stability of plane Poiseuille flow// Phys. Rev. — 1953. — v. 91. — N 4. — P.780-783

[164] Thwaites B. Incompressible aerodynamics. New York. — 1960.

[165] Wasow W. On small disturbances of plane Couette flow// J. Res. Nat. Bur. Stand. — 1953. — v. 51. — N. 4. — P.195-202

[166] Van Wijngaarden L. Hydrodynamics interaction between gas bubbles in liquid// J. Fluid Mech. — 1976. — vol.77. — part 1. — P. 27-44