Турбулентность и разрывы в сложных гидродинамических течениях жидкости и плазмы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Петросян, Аракел Саркисович

• Петросян, Аракел Саркисович
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Петросян, Аракел Саркисович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ И ЗАДАЧА РАСПАДА ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МЕЛКОЙ ВОДЫ НАД НЕОДНОРОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

1.1. Введение.

1.2. Инварианты Римана для уравнений мелкой воды над неоднородной поверхностью.

1.3. Частные решения УМВ на наклонной плоскости. Преобразование уравнений Сен-Венана к классическим уравнениям мелкой воды.

1.4. Задачи Римана для уравнений «мелкой воды» на наклонной плоскости.

1.5. Модернизированные уравнения мелкой воды. Инварианты Римана.

1.6. Непрерывные и разрывные решения модернизированных УМВ. Анализ полученных решений.!.

1.7. Задачи Римана для модернизированных уравнений мелкой воды.

1.8. Выводы.

ГЛАВА 2. ЗАДАЧА РИМАНА ДЛЯ ТЕЧЕНИЙ МЕЛКОЙ ВОДЫ НАД СТУПЕНЧАТЫМ ПРОФИЛЕМ ДНА

2.1. Введение.

2.2. Стационарные уравнения мелкой воды. Области допустимых решений.

2.3. Анализ возможных стационарных режимов обтекания ступеньки.

2.4. Формулировка квазидвухслойной модели течений на уступе дна.

2.5. Нестационарные волновые картины над уступом дна.

2.6. Результаты численного моделирования нестационарного обтекания уступа и сравнение с известными численными и точными решениями.

2.7. Обсуждение аналитического подхода и квазидвухслойной модели. Анализ численных решений.

2.8. Выводы.

ГЛАВА 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАЗИ-ДВУХСЛОЙНОГО ПОДХОДА ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕЧЕНИЙ МЕЛКОЙ ВОДЫ НАД СЛОЖНОЙ ПОСТИЛАЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ В ПРИСУТСТВИИ ВНЕШНИХ СИЛ

3.1. Введение.

3.2. Конечно-разностная схема для уравнений мелкой воды над подстилающей поверхностью произвольного профиля.

3.3. Численное моделирование течений жидкости над подстилающей поверхностью сложного профиля.

3.4. Представление силы Кориолиса в методах годуновского типа на основе квазидвухслойной модели.

3.5. Метод Годунова для уравнений вращающейся мелкой воды над ровной подстилающей поверхностью с применением квазидвухслойного метода.

3.6. Результаты численного моделирования вращающейся мелкой воды.

3.7. Метод Годунова для уравнений вращающейся мелкой воды над подстилающей поверхностью произвольного профиля в рамках квазидвухслойного приближения.

3.8. Исследование течений мелкой воды над произвольным профилем дна в присутствии внешней силы.

3.9. Выводы.

ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ И МОДЕЛИ МНОГОФАЗНЫХ И СДВИГОВЫХ ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ НЕЙТРАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

4.1. Введение.

4.2. Крупномасштабные структуры в жидкости с твердыми частицами.

4.3. Гидродинамический а-эффект в жидкости с осциллирующими пузырьками газа.

4.4. Односкоростная трехмерная модель переноса атмосферных примесей течением ветра в областях со сложной границей.

4.5. Рассеяние звука спиральной турбулентностью.

4.6. Генерация крупномасштабных структур на сдвиговых течениях.

4.7. Выводы.

ГЛАВА 5. ПОДСЕТОЧНЫЕ МОДЕЛИ СЖИМАЕМОЙ МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ В КОСМИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЕ

5.1. Введение.

5.2. Уравнения магнитной гидродинамики политропного газа. Формулировка метода крупных вихрей.

5.3. Параметризации подсеточных явлений в методе крупных вихрей.

5.4. Численные методы, используемые при моделировании сжимаемой МГД-турбулентности.

5.5. Результаты численного моделирования затухающей МГД-турбулентности методом крупных вихрей.

5.6. Выводы.

ГЛАВА 6. ИССЛЕДОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ СЖИМАЕМОГО ТЕПЛОПРОВОДНОГО ГАЗА И КОСМИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЫ МЕТОДОМ КРУПНЫХ ВИХРЕЙ

6.1. Введение.

6.2. Отфильтрованные уравнения магнитной гидродинамики теплопроводящей жидкости.

6.3. Параметризации подсеточных слагаемых для сжимаемой МГД-турбулентности теплопроводящего газа.

6.4. Численное моделирование и анализ результатов расчетов затухающей МГД-турбулентности теплопроводящего газа.

6.5. МГД-модель и численное исследование локальной межзвездной среды.

6.6. Анализ результатов моделирования и теоретическая интерпретация.

6.7. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Турбулентность и разрывы в сложных гидродинамических течениях жидкости и плазмы»

Турбулентность и разрывы являются характерными особенностями гидродинамических течений жидкости и плазмы. Хорошо развитая теория и методы численного моделирования таких течений, как правило, ограничиваются упрощенными моделями, не учитывающими реальные природные условия, такие как неоднородность границ, многофазность, совместное влияние магнитного поля и сжимаемости среды. Такие течения характерны для океана, атмосферы Земли и планет, а также для космической среды и требуют единых подходов для построения их теоретических моделей и для исследования их пространственно-временной динамики. Фактически речь идет об изучении многомасштабных процессов в реальных природных сплошных средах путем нестандартного усреднения исходных гидродинамических уравнений.

Многие известные течения атмосферы и океана в реальных условиях являются гетерогенными из-за наличия примеси и неоднородными из-за присутствия препятствий, неровностей подстилающей поверхности. Зачастую, хорошо развитая теория течений на ровной границе и модели, развитые на основе этой теории, не описывают адекватно физические процессы в таких потоках. Исследования динамики реальных природных течений является сложной и важной задачей. Особую роль играют точные решения для таких течений, поскольку позволяют исследовать их нелинейную динамику,и изучать пределы применимости идеализированных моделей. Точные решения являются фундаментальными также для разработки приближенных моделей и для изучения адекватности компьютерных расчетов реальным течениям. Наличие второй фазы, помимо традиционных проблем4 адекватности расчетов, делает актуальной задачу разработки моделей и алгоритмов, минимизирующих вычислительные ресурсы. Динамика атмосферных и океанических течений во многом определяется свойствами гидродинамической турбулентности. Классическая теория однородной турбулентности описывает диссипацию геофизических течений в то время как в реальных сложных природных течениях такое взаимодействие может быть нетривиальным.

Сжимаемая магнитогидродинамическая (МГД) турбулентность является широко распространенным состоянием космической плазмы во многих астрофизических, гелиофизических, геофизических процессах. Например, в аккреционных дисках МГД турбулентность вызвана магниторотационной неустойчивостью. Большинство турбулентных явлений в физике Солнца описываются в рамках МГД: солнечный ветер, расширение солнечной короны, конвективная зона, фотосфера, солнечный тахоклин. Явления турбулентности наблюдаются в околоземном пространстве как в солнечном ветре, так и в в различных областях магнитосферы Земли, в частности, в дальней области геомагнитного хвоста наблюдаемые спутниками свойства космической плазмы адекватно можно объяснить только в рамках теории и моделей сжимаемой турбулентности. Сжимаемые турбулентные течения в магнитном поле также широко распространены и в прикладных областях. Среди инженерных применений можно указать возможность управления пограничным слоем и снижение сопротивления потоку.

Нелинейная динамика таких течений в реальных физических условиях существенно усложняется при учете обсуждаемых факторов. Зачастую изучение таких явлений сталкивается с невозможностью разрешения полных систем гидродинамических уравнений, на всех описываемых ими масштабах, что делает актуальной задачу адекватного упрощения исходных моделей, привлечения новых теоретических идей и разработки новых методов численного моделирования. Именно решению этих вопросов и посвящена данная диссертация.

Задача об обтекании сложной границы течениями тяжелой жидкости со свободной поверхностью в присутствии источников является фундаментальной для моделирования крупномасштабных течений атмосферы и океана. Это, прежде всего, связано с тем, что улучшение разрешения таких моделей делает необходимым учет особенностей рельефа границы и поэтому требует глубокого понимания процессов на малых масштабах и их нетривиального влияния на крупном масштабе. Уравнения Эйлера, полностью описывающие гидродинамику природных и лабораторных течений идеальной жидкости, настолько сложны, что при наличии комплексной границы даже в предположении несжимаемости, баротропности и отсутствии вращения, не поддаются численному интегрированию в задачах с достаточно сильным изменением геометрии подстилающей поверхности. По этой причине разработка приближенных моделей и вычислительных методов, альтернативных решению исходных трехмерных уравнений гидродинамики, является актуальной проблемой.

Необходимость редукции исходных уравнений в классе задач со свободной поверхностью привела после предположения гидростатичности распределения давления, усреднению поля скорости по глубине потока и пренебрежения изменением горизонтальных скоростей вдоль линий коллинеарных вектору силы тяжести, к построению Стокером математической модели более низкого порядка. Впоследствии данная модель была названа моделью- «мелкой воды» [1,2], поскольку редукция осуществлялась асимптотическим разложением по малому параметру, определяемому отношением глубины жидкости к характерному линейному размеру. При наличии внешнего источника, например, силы Кориолиса, область применения модели не ограничена условием малости глубины жидкости по сравнению с характерными линейными размерами, поскольку в этом случае возможность редукции трехмерных уравнений к двумерным есть следствие вращения, а не тонкости слоя. Уравнения мелкой воды, являясь системой нелинейных гиперболических уравнений, аппроксимируют полную систему уравнений Эйлера, описывающую течения несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в поле силы тяжести при пренебрежении эффектами вертикальной неоднородности горизонтального поля скорости.

Уравнения мелкой воды широко используются для описания различных физических явлений. Примером применения- двухмерных уравнений мелкой воды к атмосферным течениям является классическая работа [3], в которой приближение мелкой воды используется для задач прогноза погоды. Авторы [3] проинтегрировали гидродинамические уравнения вдоль всей глубины атмосферы, пренебрегая стратификацией плотности и, тем самым, получили двухмерные баротропные уравнения. Уравнения- мелкой воды применяются для описания-, крупномасштабных атмосферных течений, где существенно ускорение Кориолиса и его широтные вариации. В частности динамические уравнения работы [3] сформулированы в терминах потенциальной завихренности и функции тока.

Традиционно, океанические течения являются важным направлением применения уравнений мелкой воды. Например, в работе [4] приведены результаты моделирования крупномасштабных течений на всем земном шаре, учитывающие влияние сил, вызываемых воздействием Солнца'и Луны. Интересный,пример применения приближения мелкой воды приведен в работе [5], в которой решены усредненные уравнения > мелкой воды для остаточных циркуляций. Уравнения работы [5] усреднялись по периоду течения, нелинейные члены при таком усреднении описывали суммарный- поток, импульса (радиационное напряжение), который определяется волновой компонентой течения. Важным приложением; уравнений мелкой воды является предсказание штормовой картины, а именно, генерация течений1 и вариаций уровня воды, вызванных отношением атмосферного давления, и напряжением ветра на водной поверхности [6,7].

Если жидкость расслаивается по причине разной солености, то полученный в результате слоистый поток очень похож на.течение мелкой воды. Пример использования многослойной модели мелкой воды приведен в работе [8]. Схожая многослойная модель использовалась в работе [9] для моделирования и описания Большого Красного Пятна в атмосфере Юпитера.

Также следует отметить актуальные применения приближений мелкой воды для описания гидравлических течений [10,11], береговых течений [12], течений в реках [13] и озерах [14], течений в водозаборниках, технических сужениях и лотках [1], моделирования, цунами [15,16], распространения волн прорыва и приливных бор в реках [17], распространения тяжелых газов и примесей в атмосферах планет [9], атмосферных движений крупных масштабов, используемых при предсказании погоды [3,18,19].

Нелинейный характер уравнений мелкой воды в случае неоднородной подстилающей поверхности означает, что использование аналитических методов решения может иметь успех только при очень специальных условиях и для их решения приходится использовать численные методы. Гиперболичность уравнений мелкой воды определяет кроме гладких также наличие и разрывных решений. Даже в случае, когда начальные условия являются гладкими, нелинейный характер уравнений, наряду с их гиперболичностью за конечное время может привести к разрывному решению. В газовой динамике разрывные решения ассоциируются с ударными волнами и контактными разрывами. В контексте уравнений мелкой воды разрывы связываются с гидравлическими прыжками, сильными приливными течениями с распространением быстрых атмосферных фронтов.

Приближение мелкой воды было разработано для моделирования течений над слабоменяющимся рельефом [20,21]. Наличие же препятствий, обусловленных резким изменением, подстилающей поверхности, требует разработки альтернативных приближений, учитывающих влияние вертикальной неоднородности течения, возникающего у препятствий, поскольку классические приближения мелкой воды на такой границе нарушаются.

Простые автомодельные решения гиперболических систем уравнений [16,22,23,24,25,26,27,28] являются основополагающими в исследовании нелинейных волновых явлений, поскольку позволяют найти точное решение задачи распада произвольного разрыва. Задача Коши о распаде произвольного разрыва кусочно-постоянных начальных условий, впервые возникшая в газовой динамике (задача Римана) [29,30], имеет фундаментальное, значение. Ее решение облегчает понимание множества нелинейных явлений в течениях несжимаемой жидкости со свободной границей в рамках приближения мелкой воды. Решение такой задачи на ступенчатой границе особенно важно при изучении течений над сложной подстилающей поверхностью, аппроксимируемой системой таких ступенчатых границ. Существующий аналитический подход для решения задачи Римана, основанный на предположении о наличии стационарной зоны в окрестности ступенчатой границы, с одной стороны не учитывает потери кинетической энергии на турбулентное перемешивание вблизи ступеньки, с другой - накладывает ограничения на возможные глубины натекающего потока для преодоления ступенчатой границы. Решение этой задачи является важнейшим компонентом в разработке численных методов сквозного счета, основанных, как на аналитических, так и на приближенных решениях задачи Римана. Основная идея методов [21,31,32,33,34,35,36] годуновского типа [37], основанных на решении задачи Римана, состоит в расщеплении решения многомерной задачи на набор одномерных подзадач, возникающих после разбиения расчетной области на ячейки и записи соответствующих интегральных соотношений для всех элементов (ячеек), посредством которых осуществлялось разбиение. Данные методы особенно часто находят применение в численном моделировании, поскольку позволяют получать решение, не только в области непрерывного течения, но и в областях разрыва решений, без специального выделения и отслеживания поверхностей разрыва [10,38,39,40,41,42,43,44,45,46]. Кроме того, эти методы хорошо адаптируются к сложным граничным условиям, характерным для большинства постановок задач, описывающих реальные природные течения [45].

При численном интегрировании гиперболической системы балансовых уравнений ключевой задачей является получение конечно-разностных схем, удовлетворяющих сохранению устойчивых состояний, таких как, например, равновесие покоящейся воды. Схемы, удовлетворяющие таким свойствам, называют well-balanced схемами. В'работе [47] для выполнения условий сохранения устойчивых состояний было предложено использовать модифицированную схему Роу [48]. Дальнейшее развитие идеи этой работы получило в статьях [49,50], в работах [51,52] рассмотрены явления турбулентности и массовые источники в задачах, включающих неоднородную топографию, в работах [53,54] применена улучшающая реконструкция. В-работах [34,35] было предложено использовать либо точные, либо модернизированные схемы годуновского типа (Riemann-solvers). Такой подход хорошо себя зарекомендовал, и данная идея получила широкое развитие для- решения задач с источниковыми членами различного происхождения. В частности, в работах [21,55] предложен метод, компенсирующий влияние подстилающей поверхности, изменением значений глубин жидкости. В работах [31,56,57] предложен метод, использующий схему гидростатической реконструкции подсчета потоков на гранях ячеек. С помощью этой схемы промоделированы явления, обусловленные наличием силы Кориолиса, в частности явление геострафической адаптации. Изучению этих же явлений посвящена работа [33], в которой применен метод Левека [34,35]. Распространение волн цунами и процессы затопления изучены в работах [58,59]. В работе [60] был предложен метод поверхностных градиентов -способ интерпретации источниковых членов в уравнениях мелкой воды, основанный на точной реконструкции консервативных переменных на гранях ячеек. Метод разделения потоковых величин, который, когда это необходимо, поддерживает точный баланс между градиентами потока и источниковыми членами, предложен в работе [61]. В работе [62] предложена нелинейная реконструкция параметров, обеспечивающая высокий порядок точности разностной схемы для уравнений мелкой воды. Точные частные решения задачи, включающую ступенчатую границу на дне, представлены в работах [63]. Точные частные решения для задачи, включающую неоднородную топографию, представлены в работе [64].

Также следует отметить работы [10, 32,36,41,56,65,66,67,68,69,70], внесшие существенный вклад в решение задач моделирования потоков жидкости над неоднородной поверхностью с источниковыми членами различного происхождения.

Для решения многих реальных задач недостаточно учитывать только неоднородность подстилающей поверхности. Необходимость рассмотрения дополнительных воздействий, определяемых конкретными условиями течения, приводит к появлению в системе уравнений мелкой воды дополнительных членов. В частности, для расчета крупномасштабных атмосферных и океанических задач следует принимать во внимание эффекты, определяемые планетарным вращением. Наличие хорошо разработанного и апробированного численного аппарата вкупе с многократно протестированной программной реализацией сделало особенно привлекательным сведение решения задачи о вращающейся «мелкой воде» над ровной подстилающей поверхностью к решению- задачи о течениях мелкой воды над комплексной нестационарной границей. Представление силы Кориолиса фиктивной нестационарной границей* создает важные преимущества при моделировании течений на неровной границе, сводя задачу к моделированию течений мелкой воды над нестационарной эффективной поверхностью [31,33,34,35,57]. Однако, применение такого представления в расщепляющихся численных методах затрудняется отсутствием одномерной постановки-задач для вращающейся жидкости. Формальное постановка одномерной задачи, определяемой' отказом от частных производных по одному из пространственных направлений, делает особенно актуальным нахождение горизонтальной неоднородности трансверсальной; составляющей вектора скорости, определяющей консервативность силы Кориолиса, в зависимости от вертикальной структуры течения;

В последнее время, большое внимание уделяется проблемам возникновения, структур в неравновесных средах. Особый интерес вызывают крупномасштабные вихри, возникающие в турбулентной Жидкости, - когерентные структуры. Такие структуры наблюдаются экспериментально [71, 72]. Когерентные структуры наблюдаются также и в природных овиях: вихри Россби в атмосфере Земли и Юпитера, тропические циклоны, [73-75]. При изучении явления, турбулентности важную роль играет модель однородной изотропной и стационарной турбулентности. Возникает вопрос, может ли такая турбулентность усиливать крупномасштабные возмущения: В магнитной гидродинамике развита теория усиления, и поддержания магнитных полей мелкомасштабной турбулентностью [76-80]. Краузе и Рэдлер [78] показали, что исходно однородная, изотропная и зеркально-симметричная турбулентность не может усиливать крупномасштабные магнитные поля. Однако, если зеркальная симметрия турбулентности нарушена, то такая среда может усиливать крупномасштабное магнитное поле. Это явление получило название магнитного динамо. Простейший пример нарушения зеркальной симметрии представляет собой поле скоростей, в котором величина средней спиральности отлична от куля. Такое турбулентное поле скоростей характерно тем, что правовинтовые и левовинтовые вихри наблюдаются с разной вероятностью, то есть вихрей одного знака больше, чем другого.

Хорошо известно, что уравнение для завихренности подобно уравнению индукции магнитного поля [81,82]. Поэтому вполне естественно желание изучать эволюцию крупномасштабных вихревых возмущений, тем более, что существование инварианта спиральности в невязкой гидродинамике обеспечивает ограничение потока энергии от крупных масштабов к меньшим [83,84]. Действительно, дробление масштабов определяется нелинейным слагаемым уравнения гидродинамики. В работе [85] показано, что увеличение спиральности уменьшает слагаемое, определяющее взаимодействие мод в гидродинамических уравнениях. Важную роль спиральности в возникновении крупномасштабных вихревых структур в атмосфере отмечают авторы [86]. Однако, несмотря на отмеченную выше аналогию между уравнением для-завихренности и индукции магнитного поля в работе [87] Краузе и Рюдигер в корреляционном приближении второго порядка исследовали напряжения Рейнольдса для- случая однородной, изотропной и спиральной турбулентности и показали, что в усредненных уравнениях мелкомасштабная турбулентность модифицирует вязкость. Этот результат является следствием симметрии напряжений Рейнольдса в несжимаемой жидкости. Тем* не менее обратный энергетический каскад в спиральной, турбулентности возможен. Для» этого требуется дополнительное нарушение симметрии напряжений Рейнольдса.-В работе [88]?(см. также [89, 90]) впервые получена генерация, крупномасштабных вихрей в сжимаемой жидкости и получено осредненное уравнение, описывающее эволюцию завихренности. В- [92] подробно исследуется роль сжимаемости среды на генерационные свойства турбулентности, а в [92] изучается усиление вихревых возмущений в сжимаемой самогравитирующей среде. Для описания крупномасштабных процессов в атмосфере представляет интерес эволюция вихрей в несжимаемой жидкости. В работе [93] исследована, возможность генерации вихрей в спиральной турбулентности с неоднородным потоком и показано, что добавления потенциального потока уже достаточно для появления нетривиальных слагаемых в усредненных уравнениях. Для бессдвигового и линейного по координатам потока найдено решение, описывающее растущие вихревые возмущения поля скорости. В* работах [94-96] исследовано вихревое динамо конвективной среде со спиральной турбулентностью и показано, что учет спиральной турбулентности приводит к существенному изменению характера конвекции и к положительной обратной связи тороидальных и полоидальных полей. В результате, при значениях спиральности выше критических возникает неустойчивость. Теория, изложенная в [94-96] имеет прямое отношение к зарождению тайфунов в атмосфере Земли. Для применения этой теории к описанию возникновения тропических циклонов в работе [97] изучается процесс зарождения крупномасштабной неустойчивости в конвективной турбулентности с учетом фазовых переходов влаги. Показано, что процесс развития при влажной конвекции существенно отличается от случая сухой конвекции. Учет фазовых переходов влаги уменьшает порог неустойчивости, то есть это эквивалентно появлению дополнительного источника эиергии.

Гидродинамика гетерогенных систем - обширная область современной науки. Описание различных природных процессов связано с гетерогенными системами как с сложными смесями, компоненты которых имеют разные физико-механические свойства. На сегодняшний день такие системы встречаются даже чаще нежели обычные гомогенные. Исследование гетерогенных систем серьезно затруднено по причине сложности структуры и процессов теплообмена, диффузии, фазовых и химических превращений, силового взаимодействия. Развитие- компьютерной техники в последнее время позволило сделать серьезный прорыв в области численного моделирование гетерогенных сред. Тем не менее, для задач со сложными и/или переменными границами даже революционно увеличившие вычислительные ресурсы не являются достаточными. Таким образом., абсолютно естественным подходом при разрешении указанной проблемы является создание математических моделей, которые с одной стороны отражают основные свойства гетерогенных сред, принимаемые во внимание в решаемой задаче, а с другой стороны, за счет пренебрежения несущественными для решаемой задачи свойствами многофазности позволяют эффективно экономить вычислительные ресурсы.

Система уравнений двухскоростного движения бесстолкновительной дисперсной смеси негиперболична вследствие недостаточно полного описания межфазного взаимодействия ц взаимодействия между дисперсными частицами. Но, несмотря на это, существует достаточно широкий класс задач, когда эта система уравнений правильно отражает физику процесса и физическую неустойчивость некоторых течений. Для таких задач постановка задачи Коши «условно корректна» в определенном классе функций, т. е. в этом классе функций решение задачи Коши существует, единственно и непрерывно зависит от начальных условий. Зависимость скорости развития неустойчивости от длины волны может накладывать ограничение снизу на выбор шага расчетной сетки при численном решении задачи на основе уравнений двухскоростного движения. Структура стационарных ударных волн с передним скачком в газе с твердыми частицами, когда отсутствует фазовый переход, была исследована в работе [98]. В работе [99] разработан алгоритм сквозного счета дифференциальных уравнений одномерного нестационарного движения двухскоростной среды в эйлеровых переменных с использованием разностных схем метода «крупных частиц» [100] и метода [101]. В литературе для расчета одномерных нестационарных течений газовзвесей рассмотрены различные методы [102]. В работе [103] предложен конечно-разностный метод интегрирования уравнений в лагранжевых переменных г, s газовой фазы, где г —• координата материальных точек газовой фазы в начальный момент времени. Естественно, что дисперсные частицы, имея отличную от газа скорость, перемещаются относительно лагранжевых координат газа. Некоторые результаты расчетов представлены также в статье [104].

Важное практическое значение имеют задачи определения динамики пылевых облаков в атмосфере, и их взаимодействия с подстилающей поверхностью. Наличие твердой примеси в погранслое атмосферы в корне меняет радиационный баланс в силу изменения прозрачности воздушных масс, что в свою очередь обуславливает изменение всей гидродинамики атмосферных потоков и ведет к созданию новых течений. Особую роль в динамике атмосферных потоков играет орография. Наличие изменений в геометрии подстилающей поверхности может принципиально изменить картину течения. Компактно распространяющаяся дисперсная фаза, занимающая односвязную область, может перейти в много связный режим либо сильно изменить размеры и геометрию области занимаемой твердыми частицами. Немаловажны также изменения скорости распространения и декремента затухания слабых возмущений в области двухфазного течения, которое в ряде задач имеет основополагающее значение.

Важнейшей особенностью турбулентности в космических условиях является наличие в ней случайных магнитных полей наряду со случайными значениями скорости. Для таких течений существенную роль играют эффекты нелинейности, вязкости, диффузии, сжимаемости, турбулентность является трехмерной, поэтому численное моделирование сжимаемой МГД является важным инструментом для исследования заряженной жидкости в таких МГД течениях. К тому же, плазма в космических условиях, как правило, не доступна для непосредственного экспериментального изучения.

Наиболее подробную информацию о турбулентном течении жидкости можно получить с помощью прямого численного моделирования - DNS (Direct numerical simulation) [89], которое заключается в численном решении полной нестационарной системы магнитогидродинамических уравнений. При таком подходе разрешаются все масштабы движения заряженной жидкости. Метод DNS не требует специальных замыканий для уравнений магнитной гидродинамики. Прямой численный расчет МГД турбулентности сталкивается с принципиальными трудностями, связанными с большими гидродинамическими и магнитными числами Рейнольдса, которые характерны для исследуемых процессов, так как в этом случае число степеней свободы турбулентного движения велико и минимальное количество узлов на численной сетке должно быть столь большим, что ограничивает применение прямого численного моделирования для изучения турбулентных течений с реальными характерными числами Рейнольдса.

Осборн Рейнольде предложил статистический подход для исследования турбулентных течений [105], который заключается в осреднении уравнений движения - RANS (Reynolds averaged Navier-Stokes). В методе RANS все параметры движения разлагаются на среднюю и турбулентную составляющие. В уравнении Навье-Стокса появляются рейнольдсовские напряжения, которые необходимо замкнуть. Следовательно, вся турбулентность моделируется (например, к-е модель [106,107]), а не высчитывается, как в методе DNS. Метод RANS обычно используется для теоретических исследований средних течений. Этот подход не содержит информации о динамике турбулентности.

Метод крупных вихрей LES (Large eddy simulation) - это метод, который описывает приближенную динамику турбулентности, где крупномасштабная часть турбулентного потока высчитывается непосредственно, а мелкомасштабная - моделируется, то есть LES является промежуточным подходом к изучению турбулентности между DNS и RANS. Это видно на рисунке 1, который показывает различие между тремя вычислительными методами, применяемыми для исследования турбулентности.

В методе LES используется операция фильтрации для разложения характеристик турбулентного движения на крупномасштабную и мелкомасштабную части, что связано с достаточной изотропностью, однородностью и универсальностью мелких масштабов турбулентного движения. Мелкомасштабное движение исключается из исходной системы уравнений движения с применением процедуры фильтрации и дальше их влияние на движение моделируется с использованием подсеточных моделей SGS (subgrid scale) (или, другое название, SFS (subfilter scale)), выраженных через отфильтрованные параметры турбулентных течений. Крупномасштабное движение рассчитывается из решения отфильтрованных нестационарных уравнений магнитной гидродинамики. LES является методом для моделирования течений с большими числами Рейнольдса, так как в методе крупных вихрей предполагается, что энергия переносится от больших масштабов к малым только внутри инерционного интервала, поэтому число степеней свободы будет меньше, чем в методе DNS, следовательно, LES требует значительно меньших вычислительных затрат по сравнению с DNS.

Изначально метод крупных вихрей развивался для моделирования гидродинамической турбулентности нейтральной жидкости [108, 109; 110, 111, 112, 113] для изучении задач метеорологии и океанологии. Большая часть работ была выполнена для несжимаемых течений. Использования LES к сжимаемым средам встречается значительно реже, вследствие увеличения сложности задачи из-за необходимости решения уравнения энергии. В отфильтрованном уравнении энергии появляются сразу несколько дополнительных подсеточных (SGS) слагаемых, которые необходимо параметризовать. Впервые LES рассматривался и использовался к сжимаемой жидкости в работе [114]. Первые применения метода LES к сжимаемым течениям рассматривали транспортное уравнения для внутренней энергии на единицу массы [115, 116], для давления [117] или для удельной энтальпии [118, 119]. В работах [120, 121] было предложено использовать уравнение полной энергии для замыкания системы гидродинамических уравнений нейтральной жидкости, причем некоторые подсеточные слагаемые имеют точно такой же вид, как и в уравнениях внутренней энергии или энтальпии. Подробная информация о различных подсеточных моделях метода крупных вихрей для случая сжимаемой жидкости содержится в работе [122]. В этой статье авторы рассматривают и тестируют параметризации для различных видов уравнений энергии: внутренней энергии, энтальпии и полной энергии.

Метод LES к течениям электропроводящей жидкости применялся и исследовался крайне мало. Все предыдущие работы в этом направлении ограничивались только рассмотрением несжимаемой жидкости для решения индустриальных задач. В работах [123, 124, 125, 126, 127, 128] авторы использовали LES для изучения несжимаемой МГД турбулентности, в статье [129] рассматривалось влияние магнитного поля в методе LES на течение несжимаемой проводящей жидкости при низких значениях магнитного числа Рейнольдса без использования уравнения для магнитной индукции. Во всех вышеупомянутых статьях несжимаемая система МГД уравнений рассматривалась без использования уравнения энергии. Для замыкания системы уравнений магнитной гидродинамики предполагалась политропность (или адиабатичность) процесса, или давление рассматривалось лишь как пассивная величина, которая обеспечивала несжимаемость МГД турбулентности. Тем не менее, многие течения электропроводящей жидкости не могут быть описаны в рамках несжимаемой среды, или сжимаемыми уравнениями в приближении политропии, а необходимо рассматривать теплопроводящую жидкость с использованием уравнения энергии. Применение LES для сжимаемой теплопроводящей МГД жидкости значительно усложняется из-за того, что нужно решать уравнение энергии, в котором появляются дополнительные слагаемые из-за наличия магнитного поля. К тому же, после фильтрации появляются добавочные подсеточные члены, требующие разработки теории для их параметризации.

Вообще, полные нелинейные трехмерные уравнения магнитной гидродинамики (включая диссипативные, тепловые, диффузионные и сжимаемые эффекты) столь сложны, что поддаются лишь приближенному численному решению. Однако, из-за того, что для космических МГД течений характерны большие числа Рейнольдса и числа Маха отличны от нуля, моделирование сжимаемой МГД турбулентности ограничено вычислительными ресурсами и встречается намного реже, чем для несжимаемых сред. Поэтому зачастую пользуются упрощенными моделями, пренебрегая некоторыми эффектами. Например, моделирования идеальных МГД течений, когда пренебрегают диссипацией и теплопроводностью и считают, что проводимость плазмы бесконечная [130]. В этом случае система МГД уравнений становится гиперболической, а не параболической, как для диссипативной системы уравнений, что упрощает численные решения, так как можно использовать хорошо развитые годуновские схемы различного порядка точности (в результате решение трехмерной задачи сводится к решению серии одномерных задач, численные потоки в каждом пространственном направлении вычисляются на основе соответствующей одномерной задачи Римана о распаде произвольного разрыва [55]). Существуют несколько работ, где используют TVD схемы, ENO/WENO схемы, схем на основе принципа минимального значения производной и т.д. для решения уравнений вязкого сжимаемого газа для МГД случая [131] путем добавления численных вязких потоков к соответствующим невязким потоках!, однако это часто нарушает монотонность разностной схемы и может привести к некорректным результатом, обычно подобного рода реконструкции используются для невязкой жидкости. Иногда используют квазиупругое приближение (anelastic approximation) [132, 133, 134] для МГД моделирования, когда предполагается, что звуковые моды отсутствуют или стационарны, однако такого рода приближение используются в основном только при моделировании конвективных зон Солнца и звезд. Часто межзвездную и межпланетную среду, а также солнечный и звездный ветер, рассматривают предполагая политропное (или адиабатическое) соотношение между плотностью и давлением для замыкания системы уравнений, в этом случае соображения о температуре процесса не являются основными и система сжимаемых МГД уравнений решается без уравнения энергии [135, 136, 137, 138, 139, 140]. Еще одним упрощением является рассмотрение сжимаемой двухмерной МГД турбулентности [141, 142, 143, 144], причем в работах [141, 142] в качестве начальных условий для скорости и магнитного поля использовалось детерминированное, неслучайное распределение (так называемый вихрь Орсзага-Танга [145, 146]), однако случайное распределение начальных значений скорости и магнитного поля является более подходящим условием для космических применений в МГД моделировании. Подробное влияние магнитного числа Рейнольдса на двумерное магнитогидродинамическое течение при различных начальных условиях описывается в работе [144]. Двухмерная МГД турбулентность существенно отличается от трехмерной турбулентности, так как в двухмерном потоке (если пренебречь вязкостью) сохраняется средняя завихренность, в то время как в трехмерном вихревые трубки деформируются и завихренность не является инвариантом движения, также турбулентные динамо-процессы и генерация крупномасштабного магнитного поля возможны только в трехмерном случае МГД турбулентности [147]. Иногда при вычислении космических течений предполагают, что плазменная бета (отношение давления плазмы к энергии магнитного поля) столь велико, что пренебрегают магнитным полем и задача сводится к гидродинамической и решается система уравнений для движения нейтральной жидкости [148, 149, 150].

Исследование сжимаемой турбулентности как в гидродинамике нейтральной жидкости, так и в магнитогидродинамике является трудной задачей, поскольку не существует аналитической или приближенной теории таких явлений. Однако, несмотря на существенную роль сжимаемости в космической плазме, целый ряд наблюдений показывает воспроизведение колмогоровского спектра флуктуаций плотности [151, 152, 153, 154] (этот факт продемонстрирован на рисунке 2). На рисунке 2 приведен трехмерный спектр плотности электронов в межзвездной среде, полученный с помощью различных прямых и косвенных наблюдений [151], в работе [151] поясняются различные наблюдательные методы, изображенные на этом рисунке. Для интерпретации таких наблюдений была предложена теория "почти несжимаемой" (nearly incompressible) среды, которая описывает флуктуации плотности в гидродинамике нейтрального [155] и магнитного [156] газа в режиме переноса пассивного скаляра. В работе [150] аналитическая теория для сжимаемого нейтрального газа была подтверждена прямым численным моделированием только для двухмерного случая. В работе [140] прямым численным моделированием было показано, что в сжимаемой магнитогидродинамике существует аналогичный эффект уменьшения локального турбулентного числа Маха со сверхзвукового режима в дозвуковой, что соответствует режиму преобразования сверхзвуковых турбулентных флуктуаций в дозвуковые. Однако в этой работе в силу ограничений метода прямого численного моделирования не удалось получить спектры плотности и кинетической энергий и показать их совпадения и реализацию пассивного режима для плотности в сжимаемой МГД турбулентности. Несмотря на это авторы этой работы [140] используют эти результаты для интерпретации спутниковых данных о солнечном ветре и локальной межзвездной среде.

Цель работы

Основной целью работы является теоретическое исследование и численное моделирование сложных гидродинамических течений жидкости и плазмы, содержащих турбулентность и разрывы. Решение данной проблемы включает: разработку упрощенных исходных моделей, привлечение новых теоретических идей и разработку новых методов численного моделирования.

В соответствии с поставленной целью в работе решаются следующие задачи:

1. Изучить точные нелинейные решения уравнений мелкой воды над неровной поверхностью pi над наклонным дном. Обобщить классическую теорию мелкой воды на случай неоднородных потоков.

2. Разработать теорию для течений мелкой воды на ступенчатой границе, найти решение задачи Римана для течений мелкой воды с учетом диссипации кинетической энергии на ступеньке. Исследовать возможность формирования стационарной зоны вблизи ступенчатой границы и проверить полученное решение на автомодельность. Построить на основе найденного решения задачи Римана численный алгоритм для исследования гидродинамических течений тяжелой невязкой жидкости со свободной поверхностью над сложным профилем дна.

3. Разработать конечно-разностное представление силы Кориолиса в моделях вращающейся мелкой воды и разработать численный метод расчета течений вращающейся мелкой воды над неоднородными подстилающими поверхностями. Провести численное исследование течения вращающейся жидкости над подстилающей поверхностью параболического профиля. Разработать алгоритм для решения уравнений мелкой воды с источниковым членом произвольной природы.

4. Исследовать влияние гетерогенности среды, наличия сдвигов поля скорости, распространения звуковых волн на свойства однородных турбулентных течений. Провести теоретическое исследование взаимодействия средних полей для перечисленных сложных течений. Исследовать возможность моделирования переноса твердых примесей ветровым потоком над сложной границей с препятствиями на основе невязких уравнений.

5. Разработать метод крупных вихрей для исследования сжимаемой магнитогидродинамической турбулентности политропной и плазмы. Расширить параметризации подсеточных явлений на случай присутствия эффектов сжимаемости и магнитного поля. Исследовать применимость различных подсеточных параметризаций для различных параметров подобия. Разработать метод крупных вихрей для теплопроводящей плазмы в сжимаемой МГД турбулентности и разработать теорию принципиально новых подсеточных слагаемых, возникающих в методе крупных вихрей из-за присутствия магнитного поля и флуктуаций температуры.

6. Осуществить численное моделирование методом крупных вихрей затухающей сжимаемой МГД турбулентности в политропном газе и теплопроводящей плазме. Сравнить результаты моделирования метода крупных вихрей с результатами, полученные методом прямого численного моделирования. Исследовать спектры флуктуаций плотности и энергии в сжимаемой магнитогидродинамической турбулентной плазме для политропного уравнения состояния. Показать возможность существования режима слабосжимаемых турбулентных пульсаций, когда флуктуации плотности являются пассивным скаляром. Исследовать свойства анизотропии сжимаемой турбулентности и намагниченности плазмы в слабосжимаемом режиме.

Научная новизна

Разработана теория для исследования гидродинамических течений тяжелой невязкой жидкости со свободной поверхностью над неоднородным профилем дна, учитывающая вертикальную неоднородность поля скорости. Решена задача Римана для течений мелкой воды над ступенчатой границей. Впервые в результате качественного учета диссипации поступательной механической энергии, как функции * крупномасштабных характеристик потока, класс полученных решений был расширен решениями, содержащими волны разряжения, проходящие через ступенчатую границу или примыкающие к ней. Классическая теория мелкой воды обобщена на случай неоднородных потоков. Найдены аналитические решения для уравнений мелкой воды над наклонной плоскостью и неоднородных потоков.

Разработан новый численный алгоритм, позволяющий вести сквозной расчет гидродинамических течений над сложной подстилающей поверхностью без специального выделения зон обмеления для нестационарной многосвязной расчетной области. Для расчета течений мелкой воды над произвольной поверхностью в присутствии силы Кориолиса, разработан модернизированный метод Годунова, основанный на квазидвухслойном представлении. В отличие от известных методов расчета течений вращающейся мелкой воды предложенный метод адаптируется к значению текущих параметров течения.

Построена теоретическая модель, описывающая крупномасштабную неустойчивость мелкомасштабной турбулентности в несжимаемой жидкости с твердыми частицами, с осциллирующими пузырьками газа и для однородного сдвигового течения. Предсказана возможность обратного каскада энергии в перечисленных течениях. Показана возможность трансформации звуковых волн турбулентностью в вихревые течения. Предложена физическая модель переноса твердой примеси ветровым потоком в областях над сложной границей с препятствиями.

В диссертационной работе впервые метод крупных вихрей сформулирован и реализован для изучения сжимаемых турбулентных течений космической плазмы, как в случае политропного газа, так и для теплопроводящей плазмы в магнитогидродинамическом приближении. Применение этого метода к изучению космической плазмы позволило впервые продемонстрировать наличие нетривиального режима, при котором спектры флуктуации плотности воспроизводят спектры кинетической энергии турбулентности, и сделать вывод о режиме пассивного переноса плотности в сжимаемой магнитогидродинамической турбулентности, а также изучить временную динамику намагниченности плазмы и свойств анизотропии. Эти результаты позволили подтвердить гипотезы относительно спектров флуктуаций турбулентности локального межзвездного газа.

Практическая и научная ценность работы.

Полученные теоретические результаты для течений мелкой воды над неровным дном являются основой для объяснения целого ряда атмосферных и океанических течений в поле силы тяжести. Частные аналитические решения и решение начальной задачи Римана для уравнений мелкой воды над наклонным дном позволяют исследовать работоспособность численных методов типа распада разрыва для предсказания нелинейной динамики таких течений. Полученные аналитические решения типа «простых волн» позволяют сделать выводы о динамике распространения тяжелых газовых облаков в атмосфере. Разработанная в диссертации квазидвухслойная теория мелкой воды и найденное на ее основе решение задачи Римана может быть использована для исследования нелинейных процессов в течениях тяжелой жидкости со свободной поверхностью на сложной границе, а также для разработки целого ряда численных алгоритмов годуновского типа. Найденное решение задачи Римана позволяет эффективно решать практические задачи о разрушениях дамб.

Полученные в диссертации результаты увеличивают потенциальные возможности для моделирования атмосферных и океанических течений и течений в береговых зонах. Разработанные численные модели течений мелкой воды на сложной подстилающей поверхности хорошо адаптируются к реальным границам и позволяют исследовать взаимодействие волн цунами с береговой линией, изучать распространение тяжелых газов в атмосферном пограничном слое. Предложенное в диссертации квазидвухслойное конечно-разностное представление силы Кориолиса и разработанный на ее основе численный метод моделирования крупномасштабных атмосферных и океанических течений может быть использован для изучения задачи геострофической адаптации на неоднородной границе, для изучения геофизических течений на границе с произвольной орографией. Разработанный алгоритм расчета течений вращающейся мелкой воды может быть использован для построения других численных методов, учитывающих консервативность силы Кориолиса.

Построенные теоретические модели, описывающим крупномасштабные неустойчивости мелкомасштабной турбулентности в несжимаемой жидкости с твердыми частицами, с осциллирующими пузырьками газа и для однородного сдвигового течения могут быть использованы для разработки нетривиальных параметризаций турбулентности в крупномасштабных моделях атмосферы и океана. Явление трансформации звуковых волн турбулентностью в вихревые течения может быть использовано для разработки методов диагностики атмосфер и океана. Предложенная физическая модель переноса твердой примеси ветровым потоком в областях над сложной границей с препятствиями может быть использована для исследования качества атмосферы в городской местности.

Полученные в диссертации результаты увеличивают потенциальные возможности для моделирования сжимаемых МГД течений, поскольку предложенный метод крупных вихрей позволяет исследовать турбулентные течения с существенно более высокими числами Рейнольдса, что особенно важно для проблем космической плазмы. В работе определены наилучшие подсеточные модели при различных числах подобия для моделирования сжимаемой политропной космической плазмы.

Предложенные новые параметризации подсеточных слагаемых для описания турбулентности теплопроводящей плазмы могут быть использованы для изучения процессов в различных инженерных течениях, например, возможность управления пограничным слоем и снижение сопротивления потоку, магнитогидродинамические течения в каналах, в процессах отливки стали и в трубах для охлаждения термоядерных реакторов. Результаты исследований слабосжимаемого режима МГД турбулентности объяснили имеющиеся данные наблюдений межзвездного газа и могут быть использованы для планирования их новых наблюдений в космических проектах.

Результаты могут найти применение в исследованиях атмосферы Земли и других планет, ведущихся в ИКИ РАН, ИПМ РАН, ФИ РАН, ИО РАН, ИФЗ РАН, ИФА РАН, ИВМ РАН, ИНАС РАН, ИЗМИР РАН, ИАЭ им. Курчатова, ИГ СО РАН, НИРФИ, МИФИ, МФТИ, МГУ, ИВТАН.

Обоснованность и достоверность полученных результатов.

Достоверность полученных в диссертационной работе результатов исследования течений мелкой воды обеспечивается использованием строгих математических методов анализа гиперболических уравнений в частных производных, а также сравнением с результатами известных численных и точных решений течений мелкой воды над подстилающими поверхностями сложного профиля. Достоверность результатов расчетов вращающейся мелкой воды обеспечивается сравнением с данными геофизических исследований и качественным согласием с представлениями геофизической гидродинамики.

Обоснованность полученных результатов для сложных турбулентных течений подтверждается тем, что при выводе усредненных уравнений для крупномасштабных полей использовалось корреляционное приближение второго порядка, хорошо зарекомендовавшее себя в задачах генерации крупномасштабных магнитных полей. Достоверность результатов расчетов переноса примеси вблизи поверхности планеты обеспечивается доказанностью устойчивости использованной разностной схемы, а также соответствием с имеющимися данными лабораторных и натурных экспериментов.

Достоверность полученных в диссертационной работе результатов исследования сжимаемой МГД турбулентности обеспечивается сравнением результатов, полученных методом крупных вихрей, с результатами исследования сжимаемой МГД турбулентности методом прямого численного моделирования, применением хорошо обоснованных численных методов, устойчивостью и сходимостью использованных разностных схем. Достоверность результатов исследования слабосжимаемого режима МГД турбулентности обеспечивается сравнением с имеющимися данными наблюдений и приближенными теориями.

Положения выносимые на защиту

1. Показано, что обобщение частных автомодельных решений уравнений мелкой воды над ровным- дном на случай неоднородной границы имеет место только для тех типов поверхностей, для которых существует решение типа «простой волны», а именно, для наклонной плоскости. Найдены все частные автомодельные решения уравнений Сен-Венана и показано, что характеристики уравнений мелкой воды на наклонной плоскости являются семейством парабол, имеющих точку касания 2-го порядка с соответствующими характеристиками классических уравнений мелкой воды над ровным дном. Решена задача о распаде произвольного разрыва для уравнений Сен-Венана на наклонной плоскости. Найденное решение описывает новые физические явления, определяемые дополнительной скатывающей силой. Для течений мелкой воды на ровной поверхности при наличии слабых вертикальных неоднородностей начальных условий предложены модифицированные уравнения "мелкой воды", найден новый безразмерный параметр, ограничивающий пределы применимости классических уравнений мелкой воды. Найдено решение задачи Римана для модифицированных уравнений "мелкой воды". Показано, что учет вертикальных неоднородностей исключает зону вакуума из конфигураций, реализуемых для классических уравнений "мелкой воды".

2. Решена задача о стационарном обтекании ступеньки потоком жидкости в приближении мелкой воды. Показано, что ограничения, накладываемые условием односвязности области, занимаемой жидкостью около ступеньки, определяет характер возможных течений. Установлена связь найденных ограничений с направлением потока жидкости, и определены характеристики задачи, обусловленные отношением глубины потока к высоте ступеньки. Получены аналитические выражения для ограничений значений гидродинамических параметров течения' в каждом режиме. Выявлена неоднозначность решения при сверхзвуковом стационарном обтекании ступенчатой границы, обусловленная пренебрежением адвективным переносом импульса вблизи резко меняющейся подстилающей поверхности.

3. Разработана теория для течений мелкой воды на ступенчатой границе, учитывающая-вертикальную неоднородность поля скорости, основанная на выделении области жидкости, в которой- происходит запирание потока массы. Разработана квазидвухслойная, модель для определения этой области в каждый момент времени и нахождения гидродинамических параметров исходного течения. Решена задача Римана для. течений мелкой воды на ступенчатой границе на основе, квазидвухслойной модели. Показано, что реализуется автомодельный режим течения-распада произвольного разрыва со• стационарным скачком вблизи уступа. Полученные решения- расширяют класс аналитически допустимых включением конфигураций, связанных с прохождением волны разрежения через уступ. Предложен численный метод для исследования гидродинамических течений тяжелой-невязкой жидкости со свободной поверхностью над произвольным профилем дна, основанный на найденных решениях задачи Римана.

4. Разработано квазидвухслойное представление течений вращающейся мелкой воды, описывающее силу Кориолиса в численных методах Годуновского типа. Определена структура вертикальной неоднородности течения под влиянием силы Кориолиса, представленной фиктивной подстилающей' поверхностью. Построена качественная интерпретация нелинейных процессов, вызванных таким представлением, и найдена соответствующая ей горизонтальная, неоднородность трансверсальной составляющей скорости, определяющая консервативность силы Кориолиса. Предложен численный алгоритм для изучения течений вращающейся мелкой воды для произвольной подстилающей поверхности. Осуществлено численное моделирование крупномасштабного течения атмосферы над подстилающей поверхностью параболического профиля и получено качественное согласие с представлениями геофизической гидродинамики. Предложенный алгоритм обобщен на случай произвольной внешней силы.

5. Выявлены нетривиальные режимы турбулентных течений при наличии многофазности, сдвигов и распространения звуковых волн. Показано, что при распространении звуковых волн в турбулентной среде возможна их трансформация в вихревые движения, наведенные вихревые движения обладают свойствами гиротропности, если спиральность рассеивающей звук турбулентности отлична от нуля. Для однородного турбулентного сдвигового течения с ненулевой спиральностью показана возможность обратного каскада энергии. Разработана теория среднего поля для многофазной среды, показано, что в несжимаемой жидкости с невмороженными твердыми частицами и в жидкости с осциллирующими пузырьками газа возможно усиление крупномасштабных вихревых возмущений исходно однородной, изотропной и спиральной турбулентностью. Предложена модель переноса твердых частиц течением атмосферы над сложной границей с препятствиями на основе решения уравнений идеального газа с переменным уравнением состояния конечно-объемными численными методами. Показано, что наличие двух механизмов схемной вязкости разработанного алгоритма, а именно, наличие неоднородностей поверхности и градиентов концентраций твердой примеси, позволяет воспроизвести динамику обтекания препятствий, атмосферным течением с примесью.

6. Сформулирован метод крупных вихрей для исследования сжимаемой МГД-турбулентпости политропной и теплопроводящей плазмы. Показано, что в случае политропной плазмы подсеточные модели получаются комбинацией и обобщением известных подсеточных слагаемых в гидродинамике сжимаемой нейтральной жидкости и несжимаемой магнитной жидкости. Предложена теория подсеточных турбулентных течений в теплопроводящей плазме для новых подсеточных слагаемых, возникающих из-за наличия магнитного поля в уравнении полной энергии. Показано, что расширенная модель Смагоринского и модель, основанная на перекрестной спиральности магнитного поля и скорости, обеспечивают наиболее точные численные результаты при моделировании турбулентности политропного газа. Проведено моделирование сжимаемой МГД-турбулентности теплопроводящей плазмы при различных числах Маха и показана применимость метода крупных вихрей при малых и умеренных числах Маха.

7. Исследована трехмерная динамика флуктуаций плотности в космической плазме методом крупных вихрей. Установлено, что существует режим, в котором исходно сильно сжимаемые флуктуации становятся слабосжимаемыми и спектр флуктуаций плотности воспроизводит спектр кинетической энергии. Это соответствует тому, что флуктуации плотности переносятся магнитогидродинамическим течением в режиме пассивной примеси.

Исследованы свойства полученных спектров энергии со временем. Установлено, что со временем уменьшаются энергосодержащие крупные масштабы турбулентности, амплитуда спектров также ослабевает. Показано, что увеличивается диссипативный интервал в энергетическом каскаде и уменьшается инерционный интервал. Исследованы свойства анизотропии МГД-турбулентности космической плазмы в слабосжимаемом режиме. Показано, что крупномасштабное магнитогидродинамическое течение является анизотропным, а мелкомасштабное - изотропным. .

Апробация работы.

Основные положения диссертационной работы и полученные результаты докладывались на российских и международных конференциях и симпозиумах: Всесоюзной научной конференции по нелинейным явлениям, Звенигород 1989; Всесоюзной школе-семинаре по нелинейной математической физике, Светлогорск, 1989; XLII научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» -1999; Международной конференции МСС-04 «Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность». Москва, 2004; XLVII научной конференции МФТИ. Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть VIII. Физика и энергетика. Москва, 2004; XLVIII научной конференции МФТИ. Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть VIII. Физика и энергетика. Москва, 2005; XVI Научная сессия Совета РАН по нелинейной динамике. Москва, 2007; XVII Научная сессия Совета РАН по нелинейной динамике. Москва, 2008; Международная конференция «Современные проблемы газовой и волновой динамики», Москва 2009; Международная конференция «Потоки и структуры в жидкостях: физика геосфер», Москва 2009; Kiev International Workshop on Non-linear and Turbulent Processes in Physics. 1989; International Symposium "Generation of large-scale structures in continuous media", Perm-Moscow, 1990; 1-st Liquid Matter Conference, Lyon , 1990; 4-st European Turbulence Conference, Delft , 1992; IUTAM Symposium " Eddy Structures Identification in Free Turbulent Shear flows, Poitiers, 1992; COSPAR assembly, Hamburg, 1994; EGS Assembly, Hamburg, 1995; ESA workshop on MARS, Capri, 1995; ERCOFTAC workshop on "Compressible turbulence". Chatillon sous Bagneux, France, 1995; EGS Assembly, the Hague, 1996; EUROMECH colloquium, Flow Control, Berlin 1997; EGS Assembly, Vienna, 1997; 2nd Int. Symposium on Turbulence, Heat and Mass transfer, Delft, 1997; EUROMEH colloquium on Statistics and Dynamics of Vorticity, Marseille, 1997; European Fluid Mechanics Conference, Gettingen, 1997; EGS Assembly, Nice, 1998; International Conference on Air Pollution Modelling, Champs-sur-Marne, 1998; International Conference on

Control in Fluid Dynamics, Cachan, France, 1998; EGS Assembly, Den Haag, 1999; International Conference " Systems Sciences 2000 " Osnabruek, 2000; EGS Assembly, Nice,2000; 8-th European Turbulence Conference, Barcelona, 2000; EGS Assembly, Nice, 2001; Second International Conference on Air Pollution Modelling, Champs-sur-Mame, 2001; Climate Conference 2001, Utrecht, 2001; EUROMRCH colloquium, Strongly Coupled Multiphase Flows, Grenoble, 2001; EGS Assembly, Nice,2002; EGS-AGU-EGU Assembly, Nice, 2003; EGU Assembly, Nice, 2004; EGU Assembly, Vienna, 2005; EMS meeting, Utrecht, 2005; EGU Assembly, Vienna, 2006; NATO Advanced Research Workshop on "Atmospheric Boundary Layers: Modelling and Applications for Environmental Security", Dubravnik, 2006; Workshop on Environmental fluid mechanics-as elements in agro meteorological modeling, As, Norway, 2006; International Conference " Turbulence and Interactions", Porqueroles, France, 2006; International Conference "Mathematical Hydrodynamics", Moscow, 2006; IUTAM Symposium " Hamiltonian Dynamics, Vortex Structures, Turbulrnce" Moscow 2006; EGU Assembly, Vienna 2007; 8th International.School/Simposium for Space Simulations (ISSS-8), Kauai, USA, 2007; EMS meeting, SanLorenzo, Spain 2007; International Sympoposium on " Environmental Hydraulics, Tempe, Arizona, 2007; EGU Assembly, Vienna 2008; EUROMECH Colloquium on " Mixing of Coastal , Estuarine andRiverine Shallow Flows", Ancona, Italy, 2008; Lecture Series 2008-06 Atmospheric boundary layer flows in air pollution modelling. Von Karman Instituten for fluid dynamics, Rhode Saint Genese - Belgium; ERCOFTAC workshop "Direct and*Large Eddy Simulations 7", Trieste, Italy, 2008; International conference "Meso-scale Meteorology and Air Pollution" Odessa, Ukraine, 2008; EUROMEH Fluid Mechanics Conference, Manchester, UK, 2008; EMS meeting, Amsterdam 2008!

Публикации по теме диссертации.

Основные результаты работы опубликованы в 21 статьях в реферируемых российских и международных журналах, рекомендованных ВАК, в 5 статьях опубликованных в рецензируемых трудах российских и международных конференций. Результаты работы представлены в 45 тезисах докладов российских и международных конференций.

Личный вклад автора

Все результаты, представленные в диссертационной работе, получены при определяющем участии диссертанта. Автором осуществлялись: физические и математические постановки всех задач, вошедших в диссертационную работу, проводились теоретические исследования, разрабатывались численные алгоритмы. Автор принимал участие в проведении численных исследований и в сравнении результатов моделирования с данными наблюдений.

Структура и объем диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения и списка цитированной литературы. Объем диссертации - 371 страница. Библиография включает 297 наименований. Диссертация содержит 157 рисунков, 2 таблицы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Петросян, Аракел Саркисович

6.7. Выводы

В данной главе разработан и изучен LES метод для магнитогидродинамической сжимаемой турбулентности электро- и теплопроводящей жидкости. Получена система отфильтрованных уравнений магнитной, гидродинамики при наличии уравнения полной энергии. В отличии от политропного случая (детально рассмотренного в главе ) вследствие присутствия уравнения энергии появляются новые подсеточные слагаемые в уравнении полной энергии. При рассмотрении полной системы уравнений сжимаемой МГД без предположении о политропности или адиабатичности.процесса, увеличивается количество подсеточных слагаемых, которые необходимо параметризовать. По сравнению с гидродинамикой нейтральной жидкости, в магнитогидродинамике появляются сразу несколько новых подсеточных членов. Предложены новые подсеточные модели для SGS слагаемых, появляющиеся после операции фильтрации, в уравнении полной энергии при наличии магнитного поля. Эти модели были применены для LES-расчетов со следующими числами Маха: Ms= 0.38, Ms= 0.65, Ms = 1.45 и результаты сравнивались с DNS результатами, а также с LES, но без использования подсеточных параметризаций в уравнении полной энергии, а только в уравнениях сохранения магнитной индукции и количества движения. На кинетическую и магнитную энергию учет подсеточных слагаемых в уравнении полной энергии почти не оказывает никакого эффекта, даже при высоких числах Маха, в то же время для температуры (соответственно и для внутренней энергии) наличие SGS моделей в уравнении полной энергии является важным условием для повышения точности вычислений термодинамических величин. При увеличении значения числа Маха увеличиваются осцилляции кинетической энергии и температуры.

Вообще, LES метод с использованием явной средневзвешенной фильтрацией демонстрирует хорошие результаты при моделировании электро- и теплопроводящей плазмы в сжимаемой магнитогидродинамической турбулентности при различных числах Маха.

В главе исследовалась сжимаемая МГД турбулентность в локальной межзвездной среде методом LES для решения системы магнитогидродинамических уравнений. Несмотря на то что для локальной межзвездной среды характерны сверхзвуковые течения с высокими крупномасштабными числами Маха, также существуют дозвуковые флуктуации слабосжимаемых компонент межзвездной среды. Именно эти слабосжимаемые дозвуковые флуктуации отвечают за появления спектра колмогоровского типа в локальной межзвездной турбулентности, который наблюдается из экспериментальных данных. В этой главе показано, что флуктуации плотности являются пассивным скаляром в поле скорости в умеренно сжимаемой магнитогидродинамической турбулентности и демонстрируют колмогоровский спектр в диссипативном интервале энергетического каскада. Показатель степенного спектра для плотности и кинетической энергии почти совпадают и близок к к~ъ для сжимаемой затухающей МГД турбулентности. Также продемонстрировано изменение со временем спектра кинетической энергии, показывающей уменьшение энергосодержащих крупных вихрей и инерционного интервала, и увеличение диссипативного масштаба. Показано, что турбулентное число Маха уменьшается значительно со сверхзвукового режима турбулентности (м5> 1), где рассматриваемая среда сильно сжимаемая до дозвукового значения (м5<1), характеризующее слабосжимаемое течение. Этот вывод, об уменьшении роли сжимаемости в турбулентных флуктуациях, подтверждается временной эволюцией дивергенции скорости, которая уменьшается и стремится к нулю (но не нуль). В локальной межзвездной среде переход плазмы от существенно сжимаемого МГД турбулентного течения к умеренно сжимаемому течению не только преобразовывает сверхзвуковое движение в дозвуковое, но также приводит к ослаблению намагниченности плазмы, что было показано в данной главе, так как плазменная бета р увеличивается со временем, таким образом роль магнитной энергии падает по сравнению с давлением плазмы.

Также рассматривалась анизотропия турбулентного течения и было показано, что крупномасштабное течение проявляет анизотропные свойства, в то время как мелкомасштабные структуры являются изотропными.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Показано, что обобщение частных автомодельных решений уравнений мелкой воды над ровным дном на случай неоднородной границы имеет место только для тех типов поверхностей, для которых существует решение типа «простой волны», а именно, для наклонной плоскости. Найдены все частные автомодельные решения уравнений Сен-Венана и показано, что характеристики уравнений мелкой воды на наклонной плоскости являются семейством парабол, имеющих точку касания 2-го порядка с соответствующими характеристиками классических уравнений мелкой воды над ровным дном. Как следствие, в отличие от классического случая, сильные разрывы распространяются по параболической траектории с постоянным ускорением. Показано, что конечно-разностные соотношения на поверхности разрыва не зависят от угла наклона плоскости. Найдено невырожденное преобразование зависимых и независимых переменных, сводящее уравнения Сен-Венана для наклонной плоскости к классическим уравнениям мелкой воды над ровным дном. Решена задача о распаде произвольного разрыва для уравнений Сен-Венана на наклонной плоскости. Найденное решение описывает новые физические явления, определяемые дополнительной скатывающей силой.

2. Исследованы течения мелкой воды на ровной поверхности при наличии слабых вертикальных неоднородностей начальных условий. Показано, что приближение мелкой воды к полным уравнениям гидродинамики в этом случае содержит дополнительные слагаемые, получаемые вследствие усреднения нелинейных членов в исходных гидродинамических уравнениях. Новые слагаемые описывают адвективный перенос импульса, возникающий вследствие зависимости горизонтальных течений мелкой воды от вертикальной координаты. Предложена параметризация адвективного слагаемого модифицированных уравнений мелкой воды, допускающая теоретический анализ. Получены основные частные решения для модифицированных уравнений "мелкой воды", проведен их сравнительный анализ и найден безразмерный параметр, ограничивающий пределы применимости классических уравнений мелкой воды. Найдено решение задачи Коши для уравнений "мелкой воды" с кусочно-постоянными начальными условиями. Показано, что учет вертикальных неоднородностей исключает зону вакуума из конфигураций, реализуемых для классических уравнений "мелкой воды".

3. Решена задача о стационарном обтекании ступеньки потоком жидкости в приближении мелкой воды. Показано, что ограничения, накладываемые условием односвязности области, занимаемой жидкостью около ступеньки, определяет характер возможных течений. Установлена связь найденных ограничений с направлением потока жидкости, и определены характеристики задачи, обусловленные отношением глубины потока к высоте ступеньки. Получены аналитические выражения для ограничений значений гидродинамических параметров течения в каждом режиме. Выявлена неоднозначность решения при сверхзвуковом стационарном обтекании ступенчатой границы, обусловленная пренебрежением адвективным переносом импульса вблизи резко меняющейся подстилающей поверхности.

4. Разработана теория для течений мелкой воды на ступенчатой границе, учитывающая вертикальную неоднородность поля скорости, основанная на выделении области жидкости, в которой происходит запирание потока массы. Разработана квазидвухслойная модель для определения этой области в каждый момент времени и нахождения гидродинамических параметров исходного течения. Решена задача Римана для течений мелкой воды на ступенчатой границе на основе квазидвухслойной модели. Показано, что реализуется автомодельный режим течения распада произвольного разрыва со стационарным скачком вблизи уступа. Полученные решения расширяют класс аналитически допустимых включением конфигураций, связанных с прохождением волны разрежения через уступ. Предложен численный метод для исследования гидродинамических течений тяжелой невязкой жидкости со свободной поверхностью над произвольным профилем дна, основанный на найденных решениях задачи Римана;

5. Разработано квазидвухслойное представление течений вращающейся мелкой воды, описывающее силу Кориолиса в численных методах Годуновского типа. Определена, структура вертикальной неоднородности течения под влиянием силы Кориолиса; представленной фиктивной подстилающей поверхностью. Построена качественная интерпретация нелинейных процессов, вызванных таким представлением, и найдена соответствующая ей горизонтальная неоднородность трансверсальной составляющей скорости, определяющая консервативность силы Кориолиса. Предложен численный алгоритм для изучения течений вращающейся мелкой воды для произвольной подстилающей поверхности. Осуществлено численное моделирование крупномасштабного течения атмосферы над подстилающей поверхностью параболического профиля и получено качественное согласие с представлениями геофизической гидродинамики. Предложенный алгоритм обобщен на случай произвольной внешней силы.

6. Выявлены нетривиальные режимы турбулентных течений при наличии многофазности сдвигов и распространения звуковых волн. Показано, что при распространении звуковых волн в турбулентной среде возможна их трансформация в вихревые движения, наведенные вихревые движения обладают свойствами гиротропности, если спиральность рассеивающей звук турбулентности отлична от нуля. Для однородного турбулентного сдвигового течения с ненулевой спиральностью показана возможность обратного каскада энергии. Разработана теория среднего поля для многофазной среды, показано, что в несжимаемой жидкости с невмороженными твердыми частицами и в жидкости с осциллирующими пузырьками газа возможно усиление крупномасштабных вихревых возмущений исходно однородной, изотропной и спиральной турбулентностью. Предложена модель переноса твердых частиц течением атмосферы над сложной границей с препятствиями на основе решения уравнений идеального газа с переменным уравнением состояния конечно-объемными численными; методами. Показано, что наличие двух механизмов схемной вязкости разработанного алгоритма, а именно, наличие неоднородностей поверхности и градиентов» концентраций' твердой примеси, позволяет воспроизвести динамику обтекания препятствий, атмосферным течением с примесью:

7. Исследованы свойства спиральной турбулентности в гетерогенных.средах. Показано, что в несжимаемой жидкости: с твердыми частицами возможно усиление. крупномасштабных вихревых возмущений:исходно однородной, изотропноши спиральной турбулентностью. Наличие твердых частиц, движение которых обеспечивает ненулевую дивергенцию - на пульсационном масштабе: и тем самым обеспечивает ненулевые значения напряжений? Рейнольдса, в усредненных уравнениях. Найдена: вихревая; неустойчивость спиральной турбулентности в несжимаемой; жидкости с осциллирующими пузырьками: газа по отношению к крупномасштабным возмущениям. Показано, что колебания; пузырька; обеспечивает асимметрию напряжений Рейнольдса в усредненных уравнениях и появление генерационных членов.

8: Предложена; модель обтекания атмосферным течением, нагруженным твердой дисперсной фазой сложной подстилающей поверхности. Эта модель базируется; на двух физических идеях, а именно, описание двухфазных атмосферных течений; на основе уравнений Нигматулина (уравнения идеального газа с пересчитанным уравнением состояния) и использование метода Годунова, обладающего схемной вязкостью, для численного решения модельных уравнений. На основе предложенной' модели; осуществлено моделирование двухфазных атмосферных течений в областях, в которых вертикальный, масштаб неоднородности больше: горизонтального масштаба: Показано, что наличие двух механизмов схемной вязкости разработанного алгоритма, а именно, наличие неоднородностей поверхности и градиентов концентраций твердой примеси, позволяет воспроизвести динамику переноса примеси. Результаты математического моделирования, приведенные в этой работе хорошо согласуются с имеющимися экспериментальными данными.

9. Исследована устойчивость однородного турбулентного сдвигового течения по отношению к крупномасштабным вихревым возмущениям. Замыкание системы проводилось в первом порядке теории возмущений в сопутствующей системе отсчета. Показано что, если при отсутствии спиральности крупномасштабные возмущения диссипировали, пополняя энергию фона, то в ее присутствии возможен обратный процесс, когда энергия возмущения растет за счет обратной перекачки из малых масштабов.

10. Показало, что при распространении звуковых волн в турбулентной среде возможна их трансформация в вихревые движения. Получено уравнение, описывающее такие вихревые движения, и вычислена их средняя энергия в рамках теории однократного рассеяния. Показано, что наведенные вихревые движения обладают свойствами гиротропности. если спиральность рассекаемой звук турбулентности отлична от нуля. Такой канал передачи энергии акустических волн в вихревые может иметь важное значение при сверхдальнем распространении звука.

11. Сформулирован метод крупных вихрей для сжимаемой МГД- турбулентности политропной космической плазмы, показано, что в этом случае подсеточные модели получаются комбинацией и обобщением известных подсеточных слагаемых в гидродинамике сжимаемой нейтральной жидкости и несжимаемой магнитной жидкости. Исследованы предложенные подсеточные параметризации и выявлены подсеточные модели, которые демонстрируют наиболее точные результаты при моделировании затухающей сжимаемой МГД- турбулентности при различных числах подобия. Показано, что расширенная модель Смагоринского для сжимаемого МГД-случая и модель, основанная на перекрестной спиральности магнитного поля и скорости, обеспечивают наиболее точные численные результаты.

12. Разработан метод крупных вихрей для сжимаемой МГД- турбулентности электро- и теплопроводящей жидкости и показано, что появляются принципиально новые подсеточные слагаемые в отфильтрованном уравнении полной энергии вследствие наличия магнитного поля. Предложена теория подсеточных турбулентных течений для новых подсеточных слагаемых для замыкания системы отфильтрованных по Фавру МГД-уравнений. Проведено моделирование сжимаемой МГД-турбулентности при различных числах Маха и показана применимость метода крупных вихрей к моделированию теплопроводящей плазмы при малых и умеренных числах Маха.

13. Исследована динамика флуктуаций плотности в космической плазме методом крупных вихрей. Установлено, что существует режим, в котором исходно сильно сжимаемые флуктуации становятся слабосжимаемыми и спектр флуктуаций плотности воспроизводит спектр кинетической энергии. Это соответствует тому, что флуктуации плотности переносятся магнитогидродинамическим течением в режиме пассивной примеси. Исследованы свойства полученных спектров энергии со временем. Установлено, что со временем уменьшаются энергосодержащие крупные масштабы турбулентности, амплитуда спектров также ослабевает. Показано, что увеличивается диссипативный интервал в энергетическом каскаде и уменьшается инерционный интервал. Исследованы свойства анизотропии МГД-турбулентности космической плазмы в слабосжимаемом режиме. Показано, что крупномасштабное магнитогидродинамическое течение является анизотропным, а мелкомасштабное — изотропным.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Петросян, Аракел Саркисович, 2009 год

1. Stoker J.J. Water Waves: The Mathematical Theory with Applications. New York: Interscience, 1957.

2. Овсянников Л. В. К обоснованию теории мелкой воды, Сборник «Динамика сплошной среды» вып. 15, СО АН СССР, 1973.

3. Charney J.G, Fjortoft R, J. Von Neumann. Numerical integration of the barotropic vorticity equation. Tellus. 1950. 2, 237-254.

4. Hendershott M.C. Long waves and ocean tides. Ch. 10 in: B.A. Warren & C. Wunsch (eds.) Evolution of physical oceanography, MIT Press, 1981. 292-341.

5. Nihoul J.C.J, Ronday F.G. The influence of tidal stresses on the residual circulation, Tellus 29 (1975) 484-490.

6. Dube S.K, Sinha P.C, Roy G.D. The numerical simulation of storm surgers along the Bangla Desh coast, Dyn. Atm. Oceans 9 (1985), 121-133.

7. Johns B, Dube S.K, Sinha P.C, Mohanty U.C, Rao A.D. The simulation of continuously deforming lateral boundaries in problems involving the shallow-water equations, Сотр. And' Fluids 10, 2,(1982) 105-116.

8. Garvine R.W. Estuary plume and fronts in shelf waters: a layer modele, J. Phys. Oceanogr. 17 (1987) 1877-1896.

9. Dowling T.E, Ingersoll A.P. Jupiter's Great Red Spot as a shallow-water system // Atmosph. Sci. 1989. 46, 21, P. 3256-3278.

10. Alcrudo F, Garcia-Navarro P. A high resolution Godunov-type scheme in finite volumes for the 2D shallow water equation, Int. J. Numer. Meth. Fluids 16 (1993) 489-505.

11. Stelling G.S. On the construction of the computational methods for shallow-water flow problems, PhD thesis Delft Univ. of Technology (1983).

12. Wind H.G, Vreugdenhil C.B. Rip-current generation near structures // J. Fluid Mech. 1986. 171,459-476.

13. Ogink H.J.M, Grijsen J.G. Wijbenga A.J.H. Aspects of flood level computations. Int. Symp. Flood Frequency and Risk Analysis, Baton Rouge, USA, 1986 (also Delft Hydraulics Comm. 357).

14. Platzman G.W. Two-dimensional free oscillations in natural basins // J. Phys. Oceanogr. 1972. 2, 2, 117-138.

15. Shokin Y.I, Chubarov L.B. Finite-difference simuletion of tsunami propogation, in (U. Muller et al, eds) Theoretical and experimental fluid mechanics, Springer, Berlin (1980) 599-606.

16. Марчук А.Г, Чубаров Л.Б, Шокин Ю.И. Численное моделирование цунами.17