Устойчивость равновесия и течений неоднородных сред в слоях и каналах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, доктор физико-математических наук Лобов, Николай Иванович

• Лобов, Николай Иванович
• доктор физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Лобов, Николай Иванович

ВВЕДЕНИЕ.

1. УСТОЙЧИВОСТЬ КОМБИНИРОВАННЫХ ТЕЧЕНИЙ.

1.1. Влияние продольной прокачки на устойчивость конвективного течения в плоском вертикальном слое.

1.1.1. Постановка задачи.

1.1.2. Гидродинамические механизмы неустойчивости.

1.1.3. Температурные волны.

1.1.4. Предельный случай больших чисел Рейнольдса. щ 1.2. Устойчивость комбинированного течения в вертикальном слое с движущимися границами.

1.2.1. Постановка задачи.

1.2.2. Гидродинамический механизм неустойчивости.

1.2.3. Тепловые механизмы неустойчивости.

1.3. Вторичные режимы конвекции в вертикальном слое при монотонной тепловой неустойчивости.

1.4. Влияние продольного градиента давления на устойчивость течещ ния в вертикальном слое с внутренними источниками тепла.

1.4.1. Основное течение. Задача устойчивости.

1.4.2. Гидродинамическое приближение.

1.4.3. Учет тепловых факторов.

1.5. Влияние движения границ на устойчивость течения в вертикальном слое с внутренними источниками тепла.

2. ВЛИЯНИЕ ТЕПЛОВЫХ УСЛОВИЙ НА МЕХАНИЗМЫ НЕУСТОЙЧИВОСТИ. 2.1. Устойчивость конвективного течения в вертикальном слое с теплоизолированными границами при нагреве сбоку.

2.2. Длинноволновая неустойчивость плоскопараллельного конвективного течения в наклонном слое в условиях фиксированного теплового потока.

2.3. Длинноволновая неустойчивость комбинированного течения в вертикальном слое с внутренними источниками тепла.

3. СИСТЕМЫ С ДЕФОРМИРУЕМОЙ ГРАНИЦЕЙ РАЗДЕЛА.

3.1. Конвективная устойчивость равновесия двухслойной системы жидкостей с близкими плотностями.

3.1.1. Обобщенное приближение Буссинеска.

3.1.2. Задача устойчивости конвективного равновесия двухслойной системы.

3.1.3. Устойчивость равновесия относительно ячеистых возмущений.

3.2. Устойчивость Бенара-Марангони в слое жидкости с деформируемой свободной поверхностью.

3.2.1. Постановка задачи. Определяющие уравнения. Граничные условия.

3.2.2. Предельный случай недеформируемой свободной поверхности.

3.2.3. Влияние деформаций свободной поверхности.

3.2.4. Колебательные моды неустойчивости.

3.2.5. Монотонная неустойчивость в слое с недеформируемой свободной поверхностью при линейном и газовом уравнениях состояния.

3.3. Конвективная неустойчивость в условиях микрогравитации при большом перепаде температур.

4. УСТОЙЧИВОСТЬ ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА ЖИДКОСТЬ

ВЗВЕСЬ В ВИБРАЦИОННОМ ПОЛЕ.

4.1. Система жидкость-взвесь в вибрационном поле.

4.1.1. Постановка задачи. Уравнения. Граничные условия.

4.1.2. Основное состояние.

4.1.3. Задача устойчивости основного состояния.

4.2. Влияние горизонтальных вибраций на устойчивость плоской поверхности раздела жидкость-взвесь.

4.3. Устойчивость плоской поверхности раздела жидкость-взвесь в поле нелинейно-поляризованных вибраций.

5. ВЛИЯНИЕ ВИБРАЦИЙ НА ТЕЧЕНИЕ И ТЕПЛОМАССООБМЕН В ПРОЦЕССАХ ВЫРАЩИВАНИЯ КРИСТАЛЛОВ.

5.1. Метод построения естественного базиса. Тестовая задача.

5.2. Влияние вибраций конечной частоты на морфологическую неустойчивость плоского бесконечного фронта кристаллизации.

5.2.1. Уравнения. Задача устойчивости.

5.2.2. Морфологическая неустойчивость фронта кристаллизации в присутствии вибраций.

5.3. Влияние вибраций на тепломассообмен при выращивании кристаллов методом Бриджмена.

5.3.1. Постановка задачи. Метод решения.

5.3.2. Система Al-Ni.

5.3.3. Система Ga-As.

6. ВЛИЯНИЕ ВИБРАЦИЙ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕРМОКОНЦЕНТРАЦИОННОГО ТЕЧЕНИЯ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ.

ВЫВОДЫ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость равновесия и течений неоднородных сред в слоях и каналах»

В диссертации исследуются механизмы неустойчивости равновесия и течений неоднородных сред и способы воздействия на эти механизмы.

Актуальность проблемы. Теория устойчивости равновесия и течений сплошной среды представляет собой бурно развивающуюся область физической гидродинамики. Необычайно возросший интерес к проблемам гидродинамической устойчивости связан, прежде всего, с исследованием закономерностей возникновения и развития турбулентности [1], с изучением гидродинамических процессов и процессов тепломассообмена в ламинарном и турбулентном режимах движения. В практическом плане этот интерес вызван различными приложениями результатов теории к решению многих технических и технологических задач.

Исследования гидродинамической устойчивости сталкивается с большими математическими трудностями. Академик Г.И. Петров в своем предисловии к переводу монографии Д.Джозефа [2] отмечал, что даже линейная теория устойчивости далека от завершения, не говоря уже о нелинейных аспектах этой проблемы. Не случайно, что успешное получение многих результатов возможно лишь с использованием вычислительной техники. Основные вопросы гидродинамической устойчивости освещены в монографиях Линь Цзя Цзяо [3], Г.Шлихтинга [4], в книгах Р.Бетчова и В.Криминале [5], М.А.Гольдштика и В.Н.Штерна [6].

В неравномерно нагретой жидкости, находящейся в поле тяжести, механическое равновесие, как правило, невозможно, и при любой сколь угодно малой неоднородности температуры возникает конвективное движение. Увеличение градиента температуры может привести к неустойчивости этого движения. При определенных условиях, а именно, когда градиент температуры вертикален и постоянен, механическое равновесие возможно. Однако, если градиент температуры достаточно велик, равновесие становится неустойчивым, развитие возмущений приводит к смене его конвективным движением (имеется в виду случай подогрева снизу). При дальнейшем увеличении неоднородности температурного поля это течение также может потерять устойчивость. Анализ конвективной устойчивости механического равновесия неравномерно нагретой жидкости и устойчивости конвективных течений содержится в книге Г.З.Гершуни и Е.М.Жуховицкого [7], в обзоре этих же авторов [8], в книге Г.З.Гершуни, Е.М.Жуховицкого и А.А.Непомнящего [9]. Специальные задачи конвективной устойчивости подробно исследованы в классической монографии С.Чандрасекара [10]. Вопросы конвективной устойчивости рассмотрены в книге А.В.Лыкова и Б.М.Берковского [11]. В уже упомянутой монографии Д.Джозефа обсуждается не только устойчивость различных изотермических течений, но и многие вопросы конвективной устойчивости.

Конвективная устойчивость равновесия и устойчивость конвективных течений являются частными случаями явления гидродинамической устойчивости. Развитие конвективной неустойчивости сопровождается изменением законов теплопередачи, знание которых необходимо при конструировании и проектировании различных объектов - от жилых зданий до атомных реакторов. Все это свидетельствует об актуальности изучения конвективной устойчивости, как в теоретическом плане, так и с точки зрения ее применения.

В отличие от устойчивости изотермических течений, конвективная устойчивость характеризуется наличием дополнительных специфических механизмов неустойчивости. Это связано с тем, что в конвективных ситуациях спектр возмущений более разнообразный. Наряду с гидродинамическими возмущениями в спектре присутствуют также тепловые возмущения. Гидродинамические и тепловые моды неустойчивости могут взаимодействовать, что приводит зачастую к сложной картине кризиса. Кроме того, взаимодействие возмущений различного типа может влиять на гидродинамические механизмы неустойчивости.

Знание закономерностей устойчивости равновесия и течений подводит нас к возможности управления механизмами кризиса. Имеется большое количество работ, в которых рассматривается воздействие различных факторов на механизмы неустойчивости: влияние магнитного поля, вращения, процессов диффузии, вибрации, присутствие в объеме, занятом жидкостью, пористой среды или твердых частиц и т.д. Новые факторы могут привести к появлению новых механизмов неустойчивости и, следовательно, к появлению новых рычагов управления устойчивостью. К числу таких факторов можно отнести и добавление к конвективному движению какого-либо течения не конвективной природы. При этом получается суперпозиция свободного и вынужденного течений - комбинированная (смешанная) конвекция.

Смешанная конвекция интересна и с теплофизической точки зрения, так как процессы, для которых характерен теплообмен в условиях комбинированной конвекции, встречаются часто в геофизике, атомной энергетике, в металлургии и др. Комбинированным конвективным течениям посвящена книга О.Г.Мартыненко и Ю.А.Соковишина [12]; вопросы устойчивости в этой работе не рассматриваются.

Научная новизна. В работе впервые получены следующие результаты.

Рассмотрено влияние продольного напорного течения на механизмы неустойчивости течения в плоском вертикальном слое, нагреваемом сбоку. Обнаружена взаимная стабилизация конвективного течения и вынужденного движения относительно гидродинамических механизмов неустойчивости. Установлено стабилизирующее действие (в целом) вынужденного течения на тепловой механизм кризиса течения. Получены асимптотические характеристики устойчивости течения при большой интенсивности вынужденного движения. Обнаружено уменьшение порогового числа Прандтля, при котором появляются нарастающие тепловые волны.

Рассмотрено влияние встречного движения границ на конвективные механизмы кризиса течения в нагреваемом сбоку вертикальном слое. Обнаружено стабилизирующее действие (в целом) вынужденного движения на тепловую колебательную моду неустойчивости. Обнаружено уменьшение порогового числа Прандтля, при котором появляются нарастающие тепловые волны. Обнаружено появление дополнительной моды неустойчивости, связанной с монотонными тепловыми возмущениями. Установлено, что монотонные тепловые возмущения приводят к понижению устойчивости течения. Рассмотрены вторичные конвективные режимы в области монотонной тепловой неустойчивости. Обнаружено мягкое возбуждение вторичных режимов на нижней границе области неустойчивости и жесткое - на верхней границе.

Рассмотрено влияние продольного градиента давления на устойчивость течения в вертикальном слое с равномерно распределенными внутренними источниками тепла. Обнаружено подавление конвективных механизмов кризиса попутным вынужденным движением слабой и умеренной интенсивности. Установлена возможность полной дестабилизации течения в присутствии интенсивного попутного вынужденного движения. Установлено, что при встречном вынужденном движении кризис течения связан с бегущими тепловыми возмущениями; порог устойчивости течения при этом повышается.

Рассмотрено влияние встречного движения границ на устойчивость течения в вертикальном слое с равномерно распределенными внутренними, источниками тепла. Обнаружено сильное стабилизирующее действие вынужденного движения.

Рассмотрено влияние тепловых граничных условий на механизмы неустойчивости свободно-конвективного течения в плоском вертикальном слое. В случае теплоизолированных границ обнаружено существенное понижение порогового числа Прандтля, при котором становится опасным вязкий тепловой механизм кризиса.

Обнаружена и изучена длинноволновая неустойчивость комбинированного течения в наклонном слое, нагреваемом сбоку, при совместном действии встречного движения границ слоя и продольного напорного движения.

Обнаружена и изучена длинноволновая неустойчивость комбинированного течения в вертикальном слое с равномерно распределенными внутренними источниками тепла при совместном действии встречного движения границ слоя и продольного напорного движения.

Изучена конвективная устойчивость равновесия двухслойной системы жидкостей с близкими плотностями и деформируемой поверхностью раздела. Обнаружена стабилизация монотонной неустойчивости при уменьшении числа Галилея. Обнаружена новая мода неустойчивости, связанная с бегущими волнами.

Изучена устойчивость Бенара-Марангони в горизонтальном слое жидкости со свободной недеформируемой поверхностью. Установлено, что последовательный учет эффектов плавучести приводит к меньшему понижению устойчивости равновесия, чем при использовании приближения Буссинеска. Установлено, что в условиях микрогравитации эффекты плавучести практически не влияют на монотонную неустойчивость Марангони. Обнаружено подавление релеевской неустойчивости плоского слоя, подогреваемого снизу, с уменьшением числа Галилея. Установлено, что подавление релеевской моды неустойчивости существует при различных уравнениях состояния. Изучена устойчивость Бенара-Марангони в горизонтальном слое жидкости с деформируемой свободной поверхностью относительно монотонных длинноволновых и ячеистых возмущений. Установлено, что приближение Буссинеска приводит к неправильному выводу об их относительной опасности. Изучена устойчивость слоя жидкости с деформируемой свободной поверхностью относительно колебательных возмущений. Показано, что учет плавучести при обычном знаке коэффициента теплового расширения приводит к стабилизации колебательной неустойчивости Марангони. Показано, что влияние подогрева на колебательную неустойчивость противоположное в приближении Буссинеска и при корректном учете плавучести.

Обнаружено подавление релеевской неустойчивости плоского горизонтального слоя жидкости между твердыми границами в условиях сильного подогрева снизу и пониженной гравитации.

Изучена устойчивость поверхности раздела системы жидкость-взвесь в высокочастотном вибрационном поле. Обнаружено образование стационарного рельефа на поверхности раздела при касательных вибрациях. Показано, что существует диапазон значений параметров задачи, при которых возможна и более опасна колебательная неустойчивость, приводящая к медленному дрейфу рельефа. Установлено, что поперечные колебания, совершаемые в фазе с продольными колебаниями, сначала приводят к некоторой дестабили-зизации (в целом) системы. Дальнейшее усиление поперечного вибрационного воздействия приводит к повышению устойчивости. Установлено, что наличие сдвига фаз колебаний может приводить к повышению порога устойчивости. Обнаружена неустойчивость системы при высокочастотных вертикальных вибрациях. Установлено, что при этом кризис обусловлен монотонными длинноволновыми возмущениями.

Изучено влияние вибраций на тепломассообмен в процессах выращивания кристаллов. Отлажен метод построения естественного базиса, как средства определения количественных характеристик линейной неустойчивости. Исследовано влияние поперечных вибраций конечной частоты на морфологическую неустойчивость плоского фронта кристаллизации. Обнаружено, что с увеличением морфологического параметра понижается порог параметрической неустойчивости. Установлено, что вибрации высокой частоты усиливают морфологическую неустойчивость фронта кристаллизации. Установлено, что вибрации низкой частоты приводят к ослаблению морфологической неустойчивости.

Изучено влияние вибраций на тепломассообмен при выращивании кристаллов вертикальным методом Бриджмена. Обнаружено увеличение интенсивности среднего течения и уменьшение прогиба фронта кристаллизации под действием высокочастотных аксиальных колебаний ампулы.

Изучено влияние высокочастотных поперечных вибраций на устойчивость термоконцентрационного течения в нагреваемом сбоку плоском вертикальном слое. Получена зависимость порогового числа Прандтля, при кото* ром становится опасным вязкий тепловой механизм кризиса, от параметра Соре. В случае нормальной термодиффузии обнаружено существование диапазона значений числа Прандтля, внутри которого тепловые волны полностью подавляются. Обнаружено, что нормальная термодиффузия ослабляет стабилизирующее воздействие вибраций.

Обзор литературы. Рассмотрим некоторые результаты исследований, имеющих непосредственное отношение к данной работе. Обзор литературы начнем с исследований устойчивости плоских течений Пуазейля и Куэтта. Обширную библиографию и обзор применяемых методов можно найти в книге [6]. Здесь укажем только на некоторые работы.

Теоретические исследования гидродинамической устойчивости начались с изучения плоского сдвигового течения Куэтта. Краевая задача для амплитуд малых нормальных возмущений была получена Орром и Зоммер-фельдом [13, 14]. Было показано, что с помощью введения новой функции, связанной с вихрем скорости, уравнение Орра-Зоммерфельда сводится к уравнению Эйри. Исследования последнего выполнялись в [15-17], каких-нибудь определенных результатов получить не удалось. Характеристическое соотношение для уравнения Эйри было исследовано в [18], где было показано, что монотонные возмущения должны затухать.

Из численных исследований уравнения Орра-Зоммерфельда для течения Куэтта укажем на работы [19, 20]. В работе [20] Р.В.Бирихом на примере течения Куэтта тестировалась методика, применяемая затем для анализа устойчивости конвективных течений [21]. Результаты сопоставлялись с данными из [19]. Для четырех нижних уровней спектра отмечено хорошее совпадение. Установлено, что при значениях числа Рейнольдса Re < 1000 нормальные возмущения в течении Куэтта затухают.

Наиболее подробное численное исследование спектра возмущений изотермического течения Куэтта было проведено В.Н.Штерном в [22, 23]. Показано, что для наиболее опасной спектральной моды величина декремента затухания не меньше 0.226. Результаты практически исчерпывающе свидетельствуют об абсолютной устойчивости течения относительно малых нормальных возмущений. Строгое доказательство этого вывода получено В.А.Романовым в [24, 25] на основе анализа дисперсионного соотношения для уравнения Эйри.

Плоское течение Пуазейля оказалось более удачным объектом для изучения явления гидродинамической устойчивости. Для него получены прекрасные аналитические и численные результаты; не случайно библиография исследований устойчивости течения весьма обширна, см. [3, 5,6].

Первые достаточно надежные аналитические результаты были получены Линь Цзя-Цзяо [3], который развил для исследования изотермических течений технику асимптотических разложений. Обобщение метода на случай течений с несимметрично расположенными критическими точками дано В.ИЛгодкиным [26]; подробные таблицы используемой в аналитической теории функции Титьенса можно найти в книге А.М.Басина, А.И.Короткова, Л.Ф.Козлова [27].

Первые численные результаты были получены Л.Томасом методом разностной прогонки [28]. Весьма точные численные исследования вблизи минимума нейтральной кривой выполнены в [29]. В работе [30] для анализа устойчивости использован метод Галеркина с базисом из полиномов Чебы-шева.

Подробный анализ спектра возмущений выполнен в [31, 32]. Установлено, что неустойчивость течения связана с первой спектральной модой; возмущения симметричны относительно оси канала. Построена нейтральная кривая в большом интервале чисел Рейнольдса, подтверждены асимптотические зависимости, полученные в [3] для ветвей нейтральной кривой. Минимальное критическое число Рейнольдса Rem = 7696 (при определении числа Рейнольдса через расход жидкости). При исследовании течений Куэтта и Пуазейля использованы эффективные методы исключения и дифференциальной прогонки [6].

Из работ, посвященных анализу ветвления в плоском течении Пуазейля, укажем на работы [33, 34]. Показано, что вблизи минимума нейтральной кривой ответвляющиеся автоколебательные режимы неустойчивы, для течения Пуазейля характерен жесткий тип ветвления. В [35] в рамках моногармонического приближения построена конечно-амплитудная нейтральная поверхность. Показано, что жесткое возбуждение неустойчивости возможно при Re > 3624. Отметим также работу [36], в которой предлагается модифицированный метод разложения по амплитуде малых возмущений и на его основе исследуются нейтральные возмущения в плоском течении Пуазейля.

Конвективная устойчивость. Конвекция в плоском вертикальном слое жидкости, параллельные границы которого поддерживаются при разных температурах (течение Гершуни), является типичным течением, на примере которого можно продемонстрировать основные особенности конвективной устойчивости. Если слой замкнут сверху и снизу, то в нем устанавливается стационарное течение, образованное двумя встречными потоками - восходящим у теплой стенки слоя и нисходящим у холодной стенки. Если слой достаточно вытянут по вертикали, то в его центральной части движение можно считать плоскопараллельным с нечетными (по поперечной координате) профилями скорости и температуры (бесконечный слой). Вследствие линейности распределения температуры теплоперенос при таком режиме движения осуществляется чисто теплопроводным путем. Параметром подобия этого конвективного течения является число Грасгофа Gr.

С увеличением разности температур при некотором критическом числе

Грасгофа течение становится неустойчивым. Линейная устойчивость такого течения впервые была исследована Г.З.Гершуни [37]. Спектральная краевая задача для амплитуд малых нормальных возмущений функции тока и температуры решалась с применением метода Галеркина. В качестве базисных функций выбирались полиномы; для аппроксимации возмущений функции тока использовалась одна базисная функция и две - для возмущений температуры. В работе рассматривались только нейтральные возмущения. Несмотря на небольшое число базисных функций, удалось сделать вывод о неустойчивости стационарного конвективного течения относительно колебательных возмущений. В работе получена оценка критических чисел Грасгофа. При больших числах Прандтля Рг имеет место зависимость Grm ~ Рг~1//2.

В совместной работе Г.З.Гершуни и Е.М.Жуховицкого [38] для анализа устойчивости этого течения применяется метод Галеркина с четырьмя полиномиальными базисными функциями - по четной и нечетной функции для функции тока и температуры. Для аппроксимации температурных возмущений привлекаются дополнительные граничные условия, вытекающие из уравнения переноса тепла и его граничных условий - равенство нулю на границах слоя второй производной температурных возмущений по поперечной координате. Использование большего числа базисных функций и более естественный их выбор привели к качественно новым результатам. Во-первых, выяснилось, что существуют два механизма неустойчивости - монотонный и волновой. Во-вторых, как выяснилось, "степень опасности" механизмов кризиса существенно зависит от соотношения вязкости и температуропроводности жидкости, т.е. от числа Прандтля. При малых числах Рг неустойчивость обусловлена развитием монотонных возмущений. Получены достаточно точные значения критических чисел Грасгофа (при изменении Рг минимальное критическое число Грасгофа Grm меняется в пределах 390 - 520). При Рг > Рг* появляются волновые возмущения, которые в дальнейшем становятся более опасными. Величина Рг* оказалась равной 1.8 (в [37]

Рг* = 0.96).

Получение более точных результатов, а также анализ всего спектра возмущений (в [37, 38] рассматривались лишь нейтральные возмущения) стало возможным лишь с применением вычислительной техники для выполнения гидродинамических расчетов. Стало возможным использование не только методов Галеркина с представительным базисом, но и эффективных методов пошагового интегрирования.

В работе [39] изучены общие свойства спектров возмущений плоскопараллельных течений с четными и нечетным профилями скорости; использован аппарат разложения по малому параметру, в качестве которого выбрана величина ikRe, где Re = Gr / б - число Рейнольдса, к - волновое число возмущений (техника разложения по малому параметру в задачах конвекции впервые была применена И.Г.Шапошниковым [40]). Рассмотрение проводилось в чисто гидродинамической постановке (Рг = 0). В этом предельном случае задача конвективной устойчивости плоскопараллельного течения сводится к решению краевой задачи Орра-Зоммерфельда для изотермического течениях выбранным профилем скорости. Показано, что в случае нечетного профиля при малых значениях числа Рейнольдса все нормальные возмущения монотонно затухают. Установлено, что простые пересечения декрементов запрещены; слияние двух вещественных уровней приводит к образованию комплексно-сопряженной пары декрементов (возникновение волновых возмущений). .

Решение задачи Орра-Зоммерфельда при произвольных значениях волнового числа и числа Рейнольдса (в том же предельном случае Рг = 0 ) проведено Р.В.Бирихом методом Галеркина [41, 42]. В качестве базиса принята полная система функций, описывающая возмущения в покоящейся жидкости. В вычислениях использовалось до 36 базисных функций. Высокий порядок метода Галеркина позволил с большой точностью определить 11 нижних уровней спектра декрементов при kRe < 1500. Подтвержден вывод работы

39] о существовании в спектре точек слияния вещественных уровней; показано, что колебательные возмущения затухают, обнаружены нарастающие монотонные возмущения, построена нейтральная кривая монотонной неустойчивости. Для минимального критического числа Грасгофа получена величина Grm = 498, при этом кт =1.3. В работе приводятся формы нарастающих монотонных и затухающих волновых возмущений. Показывается, что монотонная неустойчивость связана с образованием неподвижных вихрей на границе встречных потоков (неустойчивость границы их раздела), волновые возмущения локализованы в восходящем и нисходящем потоках.

Исследование спектров декрементов конвективного движения в вертикальном слое в полной постановке, т.е. с учетом тепловых факторов, проведено Р.Н.Рудаковым в [43, 44]. Методом Галеркина рассмотрено поведение спектра при изменении числа Прандтля (Рг < 10). С ростом числа Прандтля наблюдается существенная перестройка спектра; величина декрементов тепловых возмущений уменьшается, наблюдается сложная картина перецепле-ния различных уровней спектра. При этом критическое значение числа Грасгофа меняется мало, что позволяет сделать вывод о гидродинамической природе кризиса при малых и умеренных Рг. Для предельного случая Рг 1 получено Grm — 495. Форма возмущений при Рг = 1 получена в [45].

В [46] показано, что волновая неустойчивость конвективного течения появляется при Рг > Рг* =11.4 и становится наиболее опасной при Рг >12. Неустойчивость реализуется комплексно-сопряженной парой декрементов. Подтвержден вывод, сделанный в [37], что с увеличением числа Прандтля величина минимального критического числа Грасгофа монотонно падает по закону Grm = а Для коэффициента асимптотической зависимости получено значение а = 470.

В работе [47] для решения задачи конвективной устойчивости используется сведение спектральной краевой задачи для амплитуд малых нормальных возмущений к задаче Коши. Для численного решения задачи Коши применяется метод Рунге-Кутгы-Мерсона [48]. Впервые при решении задач конвективной устойчивости применяется техника ортогонализации векторов решений, причем выбран вариант, сохраняющий ориентацию векторов решений [5]. Такой способ ортогонализации в ряде случаев оказывается более выгодным, чем ортогонализация по Грама-Шмидту [49]. Принятая методика численного исследования позволила выполнить вычисления в большом диапазоне чисел Прандтля (Pr < 104). Для коэффициента а асимптотического закона убывания Grm получено значение а = 533. Необходимо отметить, что в работе [50] с использованием разложения по малой величине Рг~1/'2 получено а = 590, такое же значение получено и в [51]. В работе [47] показано также, что с уменьшением волнового числа к поведение нейтральных кривых волновой моды неустойчивости описывается асимптотическим законом Grm = с/к. Аналогичная асимптотика справедлива и для длинноволновой части нейтральных кривых невязких гидродинамических возмущений.

В предельном случае больших чисел Грасгофа, когда метод Галеркина с ограниченным числом базисных функций неприменим, японскими авторами использовался метод асимптотических разложений, аналогичный методу Линь Цзя-Цзяо. В работе [52] сделан вывод о колебательной неустойчивости конвективного течения в вертикальном слое. Эта неустойчивость, очевидно, связана с существованием волн Толлмина-Шлихтинга в каждом из встречных потоков. Построена нейтральная кривая бегущих возмущений; минимальное б критическое число Грасгофа оказалось очень большим (Grm 4.6-10 ) и достигается при к « 0.3. Существование еще одного гидродинамического механизма неустойчивости конвективного течения в нагреваемом сбоку вертикальном слое достаточно интересно. Позднее результаты этой работы были подтверждены в [53], где рассматривалась более общая ситуация с присутствием вертикального градиента температуры. Здесь же получена и неустойчивость, связанная с нарастающими тепловыми волнами.

Асимптотическими методами монотонная неустойчивость рассматриваемого конвективного течения была получена в [54]. Здесь для двух ветвей нейтральной кривой выведены разные зависимости критического числа Грас-гофа от волнового числа. Для Рг = 7.5 минимальное число Grm = 492 при к = 1.4.

Еще одним характерным примером может быть конвективное течение в вертикальном слое жидкости с однородно распределенными по объему внутренними источниками тепла. Вертикальный канал замкнут, ограничен параллельными плоскостями, которые поддерживаются при одинаковых температурах. Внутренний разогрев приводит к формированию подъемно-опускного течения. Течение состоит из восходящего центрального потока и двух конвективных потоков, нисходящих около границ слоя. Профили скорости течения и температуры являются четными функциями поперечной координаты.

Устойчивость такого течения исследовалась в ряде работ. Для течения также характерны конвективные механизмы кризиса - формирование вихрей на границе встречных потоков и бегущие температурные волны. В условиях четности профилей скорости и температуры действие этих механизмов весьма специфично. Приведем некоторые результаты исследований устойчивости течения. При числе Прандтля Рг — 0 (гидродинамическое приближение) кризис течения связан с развитием вихрей на двух границах встречных потоков. Решения спектральной амплитудной задачи устойчивости распадаются на два класса - четных и нечетных решений. Нижней моде неустойчивости соответствуют цепочки вихрей, сдвинутые относительно друг друга (четная относительно поперечной координаты функция тока возмущений скорости). Такая система вихрей медленно дрейфует вниз (возмущения с длинами волн, соответствующими минимуму нейтральной кривой). Интересно, что вдоль нейтральной кривой фазовая скорость вихрей меняет знак, и при к > 2.65 возмущения сносятся вверх. Существование стоячих нейтральных возмущений связано, очевидно, с замкнутостью слоя - хотя профиль скорости и четный по поперечной координате, тем не менее, расход жидкости через поперечное сечение слоя равен нулю.

С увеличением числа Прандтля тепловые факторы начинают играть все более и более существенную роль. В результате происходит смена типа неустойчивости, гидродинамическая неустойчивость сменяется неустойчивостью относительно бегущих тепловых волн. Из-за непрерывной деформации нейтральных кривых по мере роста числа Прандтля минимальное критическое число Грасгофа монотонно уменьшается, длина волны критических возмущений возрастает. В области коротковолновых возмущений возникает добавочный минимум; при Рг & 5.7 на нейтральной кривой появляется точка возврата, а с дальнейшим ростом Рг формируется замкнутая петля. При больших Рг коротковолновая часть нейтральной кривой соответствует неустойчивости, связанной с вихрями на границах встречных потоков. Длинноволновая часть нейтральной кривой отвечает бегущим тепловым волнам, их фазовая скорость при этом достаточно велика.

Как видно, течение в слое с внутренними источниками тепла может быть неустойчивым относительно волновых тепловых возмущений. Если для течения в нагреваемом сбоку вертикальном слое характерно появление тепловых волн пороговым образом, начиная с Рг*, то в рассматриваемом течении тепловая мода проявляется в ходе непрерывной деформации нейтральной кривой.

Первые результаты исследования устойчивости этого течения получены Г.З.Гершуни, Е.М.Жуховицким, А.А.Якимовым [55, 56]. Методом Галер-кина получены спектры возмущений, нейтральные кривые и фазовые скорости нейтральных возмущений для четной и нечетной моды неустойчивости. Использовалось до 16 базисных функций четного или нечетного типа. Декременты нормальных возмущений являются комплексными при любых малых числах Грасгофа, что приводит к дрейфу возмущений. В работе [57] А.А.Якимовым получена форма возмущений и структура вторичных течений. Значительно позднее и в меньшем объеме устойчивость течения была рассмотрена в [58] с применением метода степенных рядов. Нелинейные режимы, возникающие после потери течением устойчивости, изучены в [59]. Экспериментальные исследования устойчивости конвективного течения в слое с внутренними источниками тепла проведены В.Г.Козловым [60]. Использованы растворы медного купороса в воде и в смеси глицерина и воды. В достаточно широком диапазоне чисел Прандтля получено удовлетворительное согласие с результатами линейной теории устойчивости, наблюдались вторичное течение в виде дрейфующих вниз вихрей в шахматной упаковке.

Осложняющие факторы. Рассмотрим влияние на устойчивость течений в плоских слоях некоторых осложняющих факторов. Обзор исследований начнем с ситуаций, когда проявляется еще один, существенно конвективный механизм неустойчивости, связанный с вертикальной температурной стратификацией жидкости. Эта неустойчивость может появиться, если верхние слои жидкости имеют меньшую температуру, чем нижние. При подогреве сверху стратификация жидкости устойчива, что приводит к стабилизации.

Устойчивость конвективного движения в нагреваемом сбоку вертикальном слое с учетом влияния дополнительного вертикального градиента температуры рассматривалась в ряде работ [61-67]. Первое исследование выполнено В.М. Зайцевым и МП. Сорокиным в 1961 году [61]. Сделан вывод о повышении устойчивости относительно колебательных возмущений при нагреве сверху. В [62] методами Галеркина и Рунге-Кутта изучено влияние вертикального градиента температуры при умеренных числах Прандтля (Рг < 5). При подогреве снизу с увеличением числа Релея Rа устойчивость течения понижается и с Ra —» 7Г4 (критическое значение для равновесия в вертикальном слое, подогреваемом снизу; см., например, [7]) конвективное течение становится неустойчивым при сколь угодно малой разности температур на границах слоя; минимальное критическое число Грасгофа обращается в нуль. Неустойчивость имеет стратификационную природу, величина критического числа Релея слабо зависит от числа Прандтля. Обсужден случай нагрева сверху, показано, что с ростом вертикального градиента температуры устойчивость течения повышается вплоть до его полной стабилизации. При этом характерные значения \Ra\ невелики 100). Аналогичные вычисления для Рг = 0 выполнены в [63].

Случай нагрева сверху подробно рассмотрен в [64]. Использован метод Галеркина с большим числом базисных функций (24-30 функций в разложениях амплитуд функции тока и температуры). Вычисления проводились для различных чисел Прандтля в большом диапазоне значений безразмерного продольного градиента температуры 7. Утверждается, что при Рг <12.7 и 7 < 7] неустойчивость вызвана монотонными возмущениями, а при 7 > 7i - тепловыми волнами. Величина ^ убывает с увеличением числа Прандтля и при Рг = 12.7 оказывается равной нулю. Тем самым дается завышенная оценка (примерно на 10%) числа Прандтля Рг*, при котором в вертикальном слое, нагреваемом сбоку, появляются нарастающие температурные волны. Показано, что при Рг* < Рг < 50 наиболее опасны бегущие возмущения. Обнаружен новый тип неустойчивости: при Рг > 50 и 7 > j2 появляются и становятся наиболее опасными монотонные тепловые возмущения. С ростом числа Прандтля величина 72 уменьшается.

Сопоставление границ устойчивости относительно плоских и пространственных возмущений проведено в [65], гидродинамическая мода неустойчивости при Рг = 7.5 рассмотрена в [66]. В уже упоминавшейся работе [53] рассмотрено влияние продольного градиента температуры на волновые моды неустойчивости (температурные волны и волны Толлмина-Шлихтинга). Форма возмущений подробно проанализирована в [67].

Вертикальная составляющая градиента температуры и связанная с ним стратификация жидкости появляется также при наклоне нагреваемого сбоку плоского слоя жидкости. Исследования устойчивости в случае произвольной ориентации слоя начались с работы Г.З.Гершуни [68]. Для реализации метода Галеркина принят такой же базис, как и в [37]. Указано на существование двух механизмов кризиса: при горизонтальном расположении слоя и подогреве снизу — релеевская неустойчивость на фоне медленного конвективного движения (при слабой "негоризонтальности"); при вертикальном расположении слоя - гидродинамическая неустойчивость. Позднее [69, 70] численное исследование спектра декрементов было проведено методом Галеркина с базисом из функций, описывающих возмущения покоящегося слоя жидкости. Использованы высокие приближения метода Галеркина (до 24 базисных функций). Исследование [69] проведено для малых и умеренных чисел Прандтля. Публикация работы [46] инициировала анализ устойчивости наклонного слоя жидкости при больших числах Прандтля [70], при которых в вертикальном слое возможна и опасна вязкая тепловая мода неустойчивости. В работах [69, 70] показано, что при малых Рг неустойчивость имеет гидродинамическую природу. При умеренных и больших Рг с изменением ориентации слоя от горизонтальной (подогрев снизу) к вертикальной происходит смена механизмов кризиса. При небольшом наклоне слоя к горизонтали неустойчивость имеет релеевский характер; с изменением числа Прандтля критическое число Грасгофа меняется так, что параметром подобия является число Релея Ra = GrPr (как обычно бывает в задачах с релеевским механизмом кризиса). При ориентациях слоя, близких к вертикальной, неустойчивость вызвана либо вихрями на границе встречных потоков, либо температурным волнами и характеризуется числом Грасгофа. Приведена карта устойчивости на плоскости Gr — а (а - угол наклона слоя).

В работе [71] сделано обобщение преобразований Сквайра [72] на случай конвективного течения в наклонном слое. Эти новые преобразования позволяют по результатам решения плоской задачи сделать вывод об устойчивости относительно пространственных возмущений. Показано, что для рассматриваемого течения в общем случае теорема Сквайра не применима. Плоские возмущения наиболее опасны при любой ориентации слоя для Рг < 0.25; неустойчивость имеет гидродинамическую природу. В противном случае плоские возмущения являются более опасными только при малых углах отклонения слоя от вертикального положения. С достижением предельного угла наклона слоя к вертикали а* самыми опасными в смысле устойчивости становятся возмущения спиральной структуры. Величина а* зависит от числа Прандтля.

На характеристики устойчивости конвективного течения в нагреваемом сбоку вертикальном слое влияют и другие факторы. В [73] проведен учет зависимости вязкости от температуры при анализе устойчивости. С усилением зависимости вязкости от температуры увеличивается интенсивность встречных потоков, профиль скорости искажается и теряет свою антисимметричность, что приводит к понижению порога устойчивости. Задача устойчивости решалась и в [74]. Принимался линейный закон уменьшения вязкости с ростом температуры. Расчеты при больших числах Прандтля приведены в [51], где показано, что учет температурной зависимости вязкости не меняет характера асимптотики Pr 1; величина асимптотического коэффициента зависит от параметра, характеризующего температурную неоднородность вязкости в слое.

В работах О.Н.Дементьева [75-77] рассмотрено влияние на устойчивость конвективного течения твердых частиц примеси. Учитывался теплообмен между жидкостью и частицами; действие жидкости на частицы описывается законом Стокса. Инертные свойства частиц приводят к дополнительной диссипации энергии возмущений, что сказывается на количественных характеристиках устойчивости. Учет осаждения частиц приводит к стабилизации течения. Так, на гидродинамической моде неустойчивости наблюдается более чем двукратное повышение устойчивости. При этом характеристики неустойчивости резонансным образом зависят от степени дисперсности частиц. Тяжелая примесь при оседании увлекает за собой гидродинамические вихри, которые дрейфуют вниз со скоростью, которая на порядок меньше скорости оседания частиц. Оседание примеси приводит к добавочным эффектам. Вопервых, несколько снижается величина порогового числа Прандтля, при котором появляются нарастающие температурные волны. Во-вторых, снимается вырождение тепловых волн, бегущих вверх и вниз; с ростом числа Прандтля сначала наиболее опасны волны, бегущие вверх, а при Рг > 40 - волны, бегущие вниз. Кроме этого, обнаружена стабилизация вязкой тепловой неустойчивости по сравнению со случаем конвективного течения чистой жидкости.

При анализе устойчивости течения в нагреваемом сбоку вертикальном слое обычно предполагается высокая теплопроводность границ слоя, в результате чего на границах исчезают возмущения температуры. В работе Г.З. Гершуни, О.Н. Дементьева и Е.М. Жуховицкого [78] впервые рассмотрен противоположный вариант теплоизолированных границ. Как и следовало ожидать, изменение тепловых условий слабо сказывается на гидродинамическом механизме кризиса. Обнаружено понижение порогового числа Прандтля, начиная с которого становится опасной волновая мода неустойчивости. В случае наклонного слоя воздуха влияние тепловых условий на границах рассмотрено в [79, 80].

Естественно, существуют и другие факторы, влияющие на устойчивость конвективных течений. Здесь мы не останавливались на рассмотрении влияния магнитного поля, учета неньютоновских свойств жидкости, присутствия пористой среды и т.д. Остановимся лишь на влиянии вибраций и процессов диффузии.

Рассмотрению широкого круга проблем вибрационной конвекции посвящена книга Г.З.Гершуни и Д.В.Любимова [81]. Ограничимся здесь случаем высокочастотных вибраций. Если температурное поле в жидкости неоднородно, то модуляция силы тяжести приводит к конвективному течению, которое состоит из двух компонент - пульсационной составляющей и среднего течения. При этом среднее течение может отличаться от случая отсутствия вибраций. Наиболее ярко это проявляется в невесомости, когда обычная конвекция невозможна. Обзор исследований вибрационной конвекции в невесомости приведен в [82].

В предельном случае высоких частот период вибраций много меньше характерных вязких и тепловых времен. Это позволяет воспользоваться методом осреднения [83]. При решении конвективных задач метод осреднения впервые использован в работе С.М.Зеньковской и И.Б.Симоненко [84].

Влияние вертикальных вибраций на конвективное течение в нагреваемом сбоку вертикальном слое рассмотрено в работах А.Н.Шарифулина [85, 86]. Использовалась методика построения фундаментальной системы решений с применением процедуры ортогонализации. Построена карта устойчивости на плоскости число Грасгофа Gr - вибрационное число Релея Rav. При малых и умеренных числах Прандтля неустойчивость имеет монотонный характер. При больших числах Прандтля становится опасной волновая мода неустойчивости.

Горизонтальные вибрации, направленные поперек границ слоя, рассмотрены в работе [87]. Поперечные высокочастотные вибрации оказывают стабилизирующее действие на оба механизма кризиса течения. С увеличением вибрационного числа Грасгофа Grm = причем величина коэффициента асимптотической зависимости для гидродинамической моды не зависит от числа. Прандтля, а для волновой моды является монотонно убывающей функцией Рг.

Исследования конвекции бинарной смеси, состоящей из нереагирую-щих компонент, восходят к работе И.Г.Шапошникова [88], в которой получены уравнения свободной конвекции смеси в приближении Буссинеска. В присутствии процессов диффузии, термодиффузии и диффузионной теплопроводности как меняется действие обычных механизмов кризиса равновесия и течений, так и появляются новые моды неустойчивости.

Течение смеси в нагреваемом сбоку вертикальном слое рассматривалось Хартом [89]. В слое создан такой вертикальный градиент концентрации легкой примеси, что создается состояние устойчивой вертикальной стратификации смеси. К сожалению, работа содержит ошибки. Аккуратное рассмотрение устойчивости смеси выполнено Г.З.Гершуни, Е.М.Жуховицким и Л.Е.Сорокиным в работе [90]. Обнаружено несколько типов неустойчивости: гидродинамическая мода (вихри на границе встречных потоков), концентрационная волновая мода, длинноволновая термоконцентрационная мода, ячеистая термоконцентрационная мода неустойчивости. Волновая неустойчивость подробно рассмотрена Л.Е.Сорокиным [91]. Показано, что при больших числах Прандтля существует волновая тепловая мода кризиса.

В работе [92] рассмотрена устойчивость конвективного течения в нагреваемом сбоку вертикальном слое с учетом явления термодиффузии, создающего горизонтальный градиент концентрации легкой компоненты. Как и в [90], обнаружены гидродинамический, концентрационно-волновой, длинноволновой термоконцентрационный и ячеистый термоконцентрационный механизмы неустойчивости. Длинноволновые возмущения подробно изучены в [93]. Показано, что при аномальном эффекте термодиффузии возможно существенное понижение устойчивости течения (длинноволновая термоконцентрационная мода кризиса). С увеличением параметра Соре снижается устойчивость течения относительно гидродинамических возмущений. В присутствии термодиффузии существенно меняется устойчивость течения относительно бегущих тепловых возмущений. Кроме снижения порога устойчивости, как при нормальном, так и при аномальном эффекте термодиффузии, уменьшается также и величина порогового числа Прандтля Рг*, при котором появляются нарастающие температурные возмущения. Наибольшее уменьшение величины Рг* отмечено при нормальном эффекте термодиффузии (зависимость Рг* от параметра Соре в работе не получена).

В отличие от случая конвективного течения в вертикальном слое, нагреваемом сбоку, работы, в которых рассматривается влияние осложняющих факторов на устойчивость течения в вертикальном слое в присутствии равномерно распределенных внутренних источников тепла, немногочисленны (случаи неоднородного тепловыделения здесь не рассматриваются). В работе [94] рассмотрено влияние на устойчивость такого течения наклона слоя. При малых числах Прандтля (Рг < Prc ^ 0.6) плоские возмущения опасны при любых углах наклона слоя к вертикали. При Рг > Ргс плоские возмущения наиболее опасны, если угол наклона к вертикали а невелик, а < а^. Неустойчивость обусловлена развитием бегущих возмущений. При больших углах наклона слоя неустойчивость имеет релеевскую природу и вызывается спиральными возмущениями. Экспериментальное исследование устойчивости течения жидкости с внутренними источниками тепла в наклонном слое проведено В.Г.Козловым [60].

В работе [95] рассмотрена устойчивость течения в вертикальном слое с внутренними источниками тепла, когда вязкость зависит от температуры. Обнаружено понижение устойчивости относительно вихрей на границах встречных потоков (задача решалась в гидродинамическом приближении).

В упомянутых выше исследованиях анализ устойчивости (за редким исключением) выполнялся в линейном приближении. Линейная теория устойчивости позволяет определить характеристики критических возмущений, положение границы устойчивости, более или менее надежно установить природу того или другого механизма кризиса.

Нелинейные режимы. Для выяснения таких важных вопросов, как структура вторичных течений, их развитие, устойчивость в существенно надкритической области параметров, характер теплопередачи, необходимо использовать полные нелинейные уравнения конвекции. Здесь можно выделить три группы методов нелинейных исследований. Методы малого параметра позволяют определить характер ответвления вторичных режимов движения и их характеристики при небольшой надкритичности или подкритичности. Конечно-разностные методы (как и метод конечных элементов и др.) обладают большими преимуществами, так как они, в принципе, позволяют исследовать нелинейные режимы на большом удалении от границы линейной устойчивости. Основные трудности здесь связаны с выбором способа дискретизации уравнений конвекции и с ограничениями, накладываемыми как объемом оперативной памяти, так и быстродействием компьютеров. Сеточные методы позволяют проводить численные эксперименты, т.е. следить за судьбой конечно-амплитудных возмущений при различных начальных условиях, что представляет собой достаточно трудную задачу и для физического эксперимента. Нелинейную задачу с начальными данными позволяет решить и интенсивно разрабатываемый в последней четверти прошедшего века и в настоящее время подход, основанный на конечномерной аппроксимации полных уравнений конвекции (см., например, [96-98]).

В работах [99, 100] методом сеток исследованы вторичные конвективные движения в плоском вертикальном слое. Показано, что в подкритической области параметров существует устойчивое плоскопараллельное течение. В надкритической области развиваются возмущения в виде вихрей на границе встречных потоков. Получено удовлетворительное согласие с результатами линейной теории в значениях минимального критического числа Грасгофа. В районе минимума нейтральной кривой монотонной моды неустойчивости возбуждение вторичного движения происходит мягким образом.

Нелинейная волновая неустойчивость рассматривалась в [101, 102]. Показано, что в надкритической области параметров формируется автоколебательный режим; в потоках образуются бегущие волны, на оси канала устанавливаются пульсирующие вихри.

В работе А.А.Непомнящего [103] методом амплитудных уравнений исследованы на устойчивость конечно-амплитудные режимы. Показано, что вторичные течения устойчивы только в некоторой области параметров, расположенной внутри нейтральной кривой невязкой моды неустойчивости. Для плоских возмущений применение теории ветвления показало жесткий характер возбуждения вторичных режимов в длинноволновой области. Вблизи минимума нейтральной кривой невязких возмущений вторичные режимы возбуждаются мягко. В работе [104] при Рг = 0 обнаружено четыре типа нестационарных движений в надкритической области. В [105, 106] пространственно-периодические вторичные режимы рассмотрены на основе модели нелинейного взаимодействия возмущений с кратными волновыми числами. Результаты работ [101, 102] подтверждены экспериментами А.Г.Кирдяшки-на, А.И.Леонтьева, Н.В.Мухиной [107].

Конечно-амплитудные движения в наклонном слое изучались аналитически в [108] и численно в [109]. Для случая неустойчивой температурной стратификации обнаружены два типа вторичных режимов - вихри на границе встречных потоков и жестко возбуждаемые спиральные пространственные структуры. Области существования этих движений перекрываются; при переходах от одной моды неустойчивости к другой наблюдаются гистерезис-ные явления.

В работах Л.Е Сорокина [110, 111] рассмотрены конечно-амплитудные режимы течения смеси в вертикальном слое, нагреваемом сбоку. При нормальной термодиффузии получены конечно-амплитудные волны. В случае аномальной термодиффузии получены длинноволновые термоконцентрационные режимы. В области термоконцентрационной неустойчивости вторичные режимы возбуждаются жестким образом.

В работах С.В.Русакова и А.П.Шкарапуты [112-114] исследовано течение бинарной смеси нереагирующих компонент в подогреваемой снизу квадратной области. При подогреве снизу и нормальном эффекте термодиффузии наиболее интересные результаты получаются для жидкой смеси (малые числа Льюиса). Различие времен диссипации тепловых и концентрационных возмущений приводит к тому, что при малых числах Рэлея существует малоамплитудное движение, а при больших Ra - высокоамплитудное движение. Небольшой наклон полости приводит к их разделению и появлению бифуркации решения. В результате взаимодействия двух конвективных механизмов возникает сложная картина бифуркаций. Как для нормального, так и для аномального эффекта термодиффузии имеются области неоднозначности (гистерезиса) решения, при этом число решений для одного набора параметров может достигать пяти.

Комбинированная конвекция. Перейдем к рассмотрению ситуаций, для которых характерны процессы в условиях комбинированной конвекции. Несмотря на обилие данных по гидродинамике и режимам теплообмена при смешанной конвекции, публикации по устойчивости комбинированных конвективных течений немногочисленны. Исключение составляют бурно развивающиеся в последнее время исследования в области вибрационной конвекции. Как подчеркнуто в книге [9], "конвекция, состоящая из осредненной и колебательной компонент, может условно рассматриваться как комбинированное течение, в котором колебательная компонента играет роль вынужденного течения".

В работе Р.В.Бириха и Р.Н.Рудакова [115] рассмотрено влияние встречного движения границ на устойчивость конвективного течения в нагреваемом сбоку вертикальном слое. Вынужденное движение при этом является плоским течением Куэтта. Исследования проводились в гидродинамическом приближении (Рг =-0). Использована методика построения фундаментальной системы решений. Интенсивность вынужденного движения характеризуется числом Рейнольдса Re, определенным по полуширине слоя и скорости движения его границ. Показано, что слабое движение границ, когда вынужденное течение и свободно-конвективное движение направлены в одну сторону в каждой из половин слоя (Re > 0), приводит к небольшому понижению устойчивости. С дальнейшим увеличением числа Рейнольдса происходит повышение устойчивости. При движении границ, направленном навстречу конвективному течению (Re < 0), происходит резкая стабилизация невязкого монотонного механизма неустойчивости.

Е.Л.Таруниным [116] в том же предельном случае нулевых чисел

Прандтля методом сеток исследованы в нелинейной постановке надкритические режимы движений, возникающих после потери устойчивости исходным течением. Результаты счета показали, что в области параметров внутри нейтральной кривой развивается вторичное течение, характеризуемое образованием системы вихрей в центральной части слоя. Интенсивность вынужденного движения принималась такой, что и при Re> 0, и при Re < 0 циркуляция в центральной части канала имеет конвективный характер. Линии тока искривлены — течение существенно отличается от плоскопараллельного. Вблизи порога устойчивости амплитуда вторичного течения меняется по корневому закону; полученные результаты свидетельствуют о мягком возбуждении вторичных режимов.

Исследования влияния вынужденного движения на механизмы неустойчивости с учетом тепловых факторов в [115, 116] не проводились.

В 1982 г. появилась работа [117], в которой рассматривается влияние продольного напорного движения на устойчивость конвективного течения в нагреваемом сбоку вертикальном слое. Вынужденное течение является плоским течением Пуазейля. Приводятся результаты численного и экспериментального исследований лишь при небольших интенсивностях вынужденного движения; числа Рейнольдса Re < 100. Показано, что имеет место стабилизация невязкого механизма кризиса (влияние прокачки на тепловые волны в работе не исследовалось). В указанном диапазоне чисел Рейнольдса

Grm~Re2. .

В работах В.М.Шихова [118-120] исследовано влияние на устойчивость течения в нагреваемом сбоку вертикальном слое поперечного просачивания жидкости через границы слоя. Использовались методы исключения и составления фундаментальной системы с ортогонализацией векторов решений. Вынужденное течение реализуется путем однородного вдувания жидкости через холодную границу слоя и отсасывания с такой же скоростью через теплую границу. Как и в случае течения в слое с движущимися границами, вынужденное движение само по себе устойчиво, следовательно, приходится ожидать стабилизирующего влияния поперечного потока жидкости на механиз-. мы неустойчивости конвективного течения.

В такой ситуации профиль температуры становится нелинейным. Взаимодействие поперечного потока и конвективного течения приводит к искажению профиля скорости, который становится асимметричным, интенсивность конвективных потоков уменьшается, граница раздела встречных потоков сдвигается к нагретой стенке слоя. Поперечное просачивание повышает устойчивость течения относительно возмущений в виде вихрей на границе встречных потоков. При асимметричном профиле скорости эти вихри не могут оставаться неподвижным; они сносятся восходящим потоком со скоростью порядка разности максимальных скоростей восходящего и нисходящего потоков. При малых интенсивностях вынужденного течения фазовая скорость гидродинамических возмущений линейно увеличивается с ростом Re (число Рейнольдса Re определено по скорости поперечного движения жидкости). Минимальное критическое число Грасгофа Grm ~ Re .

В [118] рассмотрение проводилось в гидродинамическом приближении. Последовательный учет тепловых факторов проведен в [119, 120]. Поперечное вынужденное движение снимает вырождение тепловых волн, бегущих вверх и вниз по течению (такое вырождение имеет место в нагреваемом сбоку плоском вертикальном слое). Наиболее опасной оказывается волна, распространяющаяся вверх в восходящем потоке. При малых скоростях вынужденного движения происходит некоторое понижение устойчивости течения относительно возмущений с положительной фазовой скоростью. С увеличением интенсивности поперечного просачивания происходит подавление вязкого теплового механизма кризиса. Устойчивость относительно бегущих температурных волн с отрицательной фазовой скоростью всегда характеризуется большими числами Грасгофа, чем в чисто конвективном случае.

В работах [121, 122] исследовано влияние встречного движения границ на конвективную устойчивость подогреваемого снизу плоского горизонтального слоя жидкости. Вынужденное течение имеет линейный профиль скорости (течение Куэтта). Показано, что движение границ не меняет количественные характеристики неустойчивости относительно возмущений в виде валов, вытянутых вдоль направления движения границ слоя; для таких возмущений критическое число Релея не зависит от скорости движения границ слоя. При других ориентациях валов наблюдается сильная стабилизация равновесия. С ростом числа Прандтля эффект стабилизирующего действия вынужденного движения усиливается.

Влияние продольной прокачки жидкости на устойчивость равновесия плоского горизонтального слоя рассмотрено в [123]. В данном случае вынужденное движение является плоским течением Пуазейля. Так же, как и в [121, 122], вынужденное движение не влияет на возмущения в виде валов, ориентированных вдоль напорного градиента давления. При другой ориентации валов наблюдается повышение устойчивости. С ростом числа Рейнольд-са, характеризующего интенсивность вынужденного движения, увеличение критического числа Релея сначала замедляется, затем происходит резкая дестабилизация. При некотором значении Reсоответствующем неустойчивости течения Пуазейля относительно плоских возмущений, критическое число Релея уменьшается до нуля.

В заключение этой части обзора остановимся на работе [124], посвященной исследованию устойчивости погранслойного течения в условиях смешанной конвекции вблизи наклонной пластины. Характеристики устойчивости зависят от знака и величины параметра £ = Gr^ / Re+ (Grt и Re+ -локальные числа Грасгофа и Рейнольдса). При £ > 0 подъемная сила действует в направлении вынужденного течения. Установлено, что при любых углах наклона пластины к вертикали, кроме близких к 90°, подъемная сила повышает устойчивость течения при £ > 0 и понижает устойчивость при £ < 0, причем изменение порога устойчивости тем сильнее, чем меньше угол наклона. В случае горизонтальной ориентации пластины влияние подъемной силы на устойчивость обратное.

Длинноволновая неустойчивость. Рассмотрим некоторые результаты исследований, в которых встречается длинноволновая неустойчивость. В большинстве задач теории конвективной устойчивости длинноволновые возмущения затухают, однако в некоторых специальных ситуациях такие возмущения могут нарастать.

Обычно длинноволновая неустойчивость связана с существованием при любых параметрах нейтральных возмущений, не зависящих от продольной координаты. Наличие таких возмущений может быть связано, в частности, со специальными граничными условиями, например, с постоянством теплового потока через границы слоя или с непроницаемостью границ слоя для пассивной примеси. В этих случаях всегда существуют незатухающие возмущения температуры (концентрации), не зависящие от пространственных переменных; при этом возмущения скорости отсутствуют ("полутривиальное" решение). При переходе к возмущениям с очень большой, но конечной длиной волны их нейтральность, вообще говоря, нарушается. Конкретные особенности задачи определяют, будут ли эти возмущения нарастающими или затухающими.

В настоящее время имеется ряд работ, в которых рассматривается подобная неустойчивость. О такой моде неустойчивости уже говорилось выше в связи с исследованием поведения смеси нереагирующих компонент [90, 92, 93]. В работе [125] было показано, что в подогреваемом снизу плоском горизонтальном слое, ограниченном массивами с исчезающе малой теплопроводностью, возмущения с бесконечной длиной волны являются наиболее опасными. Аналогичная ситуация в пористой среде обсуждалась в работе О.Н.Дементьева и Д.В.Любимова [126]. Длинноволновая неустойчивость присутствует также и в случае плоского наклонного слоя, подогреваемого снизу [127] (теплопроводные границы). Если угол наклона слоя к вертикали меньше 26°46', то минимальное критическое число Релея соответствует плоскопараллельным возмущениям. При больших углах наклона длинноволновая неустойчивость присутствует, но не является наиболее опасной. Присутствие пористой среды в наклонном слое (при тех же тепловых граничных условиях) существенно меняет ситуацию [128]. Наиболее опасными длинноволновые возмущения являются лишь в случае строго вертикального слоя.

Исследования длинноволновой неустойчивости в условиях комбинированной конвекции ранее не проводились.

Системы с деформируемой поверхностью. Обычно, при исследовании проблем тепловой конвекции используется приближение Буссинеска (см., например, [7]). Суть приближения заключается в том, что зависимостью плотности от температуры пренебрегается всюду, за единственным исключением - эта зависимость учитывается в слагаемом с силой тяжести в уравнении движения. В большинстве случаев это бывает оправдано в силу малости параметра неоднородности плотности (параметра Буссинеска). Существует целый класс задач, когда применение приближения Буссинеска не является оправданным. К таким ситуациям относятся исследования конвекции в системах слоев жидкостей с деформируемой границей раздела.

Действительно (см., например, обзор [129]), правильное описание влияния деформаций свободной поверхности на тепловую гравитационную конвекцию невозможно в рамках стандартного приближения Буссинеска. Формально пренебрежение перепадами плотности означает, что предельный переход 6 = 8р / р О (<5/9- разность плотностей, р - характерная плотность) совершается одновременно с предельным переходом Ga—> оо (Ga-число Галилея), и произведение этих параметров 6Ga, равное числу Релея, остается конечным. Однако, как следует из условия баланса нормальных напряжений, в этом предельном случае свободная поверхность должна считаться недеформируемой, так что произведение GaC, (£ - характерная величина деформаций поверхности) остается ограниченным. Тогда последовательный учет деформаций свободной поверхности может быть сделан только без использования предельного перехода Ga —> оо, 6 —» 0. Но это означает, что изменения плотности должны учитываться в уравнениях везде, а не только в слагаемом с подъемной силой.

В некоторых работах [130-133] авторы рассматривают деформацию свободной поверхности в приближении Буссинеска. В действительности это означает, что некоторыми из малых слагаемых пренебрегают, а другие слагаемые того же порядка удерживаются в уравнениях, что может привести к физически неверным выводам о зависимости наблюдаемых эффектов от этих параметров.

Системы со свободной поверхностью раздела интересны также и тем, что в них возможно существование еще одного механизма неустойчивости, связанного с температурной зависимостью поверхностного натяжения. Исследования термокапиллярного механизма неустойчивости восходят к работе Пирсона [134]. Подробный анализ ситуаций, в которых проявляется термокапиллярная неустойчивость, содержит не так давно вышедшая книга Р.В.Бириха, В.А.Брискмана, М.Веларде и Ж.-К.Легро [135].

Задача о неустойчивости Релея-Бенара-Марангони исследовалась многими авторами. В классической работе Нилда [136] эта задача решена в рамках приближения Буссинеска в пренебрежении деформациями свободной поверхности. Построена карта устойчивости относительно монотонных ячеистых возмущений на плоскости число Марангони — число Релея. Показано, что плавучесть понижает порог термокапиллярной неустойчивости. Анализ влияния деформаций свободной поверхности был впервые осуществлен в 1964 г. Скривеном и Стерлингом [137]. Они показали, что в отсутствие поля тяжести чисто термокапиллярная длинноволновая конвекция возникает при нулевом числе Марангони.

Влияние силы тяжести на длинноволновую неустойчивость рассмотрено в 1966 г. Смитом [138], который показал, что критическое число Марангони при этом пропорционально силе тяжести. Такашима [139] в рамках приближения Буссинеска обнаружил колебательную неустойчивость, показав, что она существует при отрицательных числах Марангони. Девис и Хомси [140] расширили работу Нилда [136], включив деформируемость свободной поверхности, и нашли, что слабая деформируемость стабилизирует Релей-Бенаровскую неустойчивость и дестабилизирует неустойчивость Марангони.

В работе [141], по-прежнему в рамках приближения Буссинеска, определены диапазоны параметров, в которых длинноволновая мода неустойчивости является более опасной, чем монотонная ячеистая мода. Показано, что плавучесть, в целом, стабилизирует колебательную моду неустойчивости. Лебон и др. [142] рассмотрели влияние слабой плавучести на неустойчивость Релея-Бенара-Марангони для слоя с деформируемой свободной поверхностью при подогреве снизу в рамках приближения Буссинеска. Введя новый набор безразмерных параметров, они показали, что существует критическое значение безразмерного параметра Г0, характеризующего роль поверхностного натяжения, такое, что при Г > Г0 деформации оказывают стабилизирующее влияние, а при Г < Г0 - дестабилизирующее влияние.

Так как приближение Буссинеска несовместимо с предположением о деформируемости свободной поверхности, корректный учет деформационных мод неустойчивости при одновременном учете плавучести возможен лишь за рамками стандартного приближения Буссинеска, т.е. учет переменности плотности должен проводиться не только в слагаемом с подъемной силой. Отметим, что при этом результаты становятся (в целом) чувствительны к виду уравнения состояния. В работе [143] модель, предложенная Пухначе-вым (см., например, [144]) для описания "микроконвекции", применена для исследования неустойчивости Релея-Бенара-Марангони в слое жидкости с деформируемой свободной верхней поверхностью. Анализ выполнен для "газового" уравнения состояния (удельный объем является линейной функцией температуры). Рассматривается, только случай подогрева снизу и нормальный термокапиллярный эффект, поэтому колебательная мода нигде не является наиболее опасной. Даны оценки значений параметров, превышение которых требует учета плавучести и сжимаемости. К сожалению, в работе сделан ошибочный вывод о невозможности длинноволновой неустойчивости.

В последнее время интерес к исследованиям термокапиллярных явлений вырос в связи с различными технологическими трудностями, возникающими при выращивании кристаллов. Так, например, в методе жидкой зоны и в методе Чохральского термокапиллярное течение, возникающее в расплаве, может существенно повлиять на чистоту кристалла. Этим интересом обусловлено появление работ, в которых исследуются различные факторы воздействия на термокапиллярный механизм, см., например, [145, 146].

Выращивание кристаллов и морфологическая неустойчивость. Одним из методов выращивания кристаллов полупроводников, активно применяющихся в настоящее время, является метод Бриджмена. Небольшие кристаллы в настоящее время получают (в основном) по вертикальному методу Бриджмена. В цилиндрической ампуле находится исходный материал, со-, держащий некоторое количество примеси. Внешний нагреватель создает такие тепловые условия, что температура в одной части ампулы выше температуры плавления смеси, а в другой - ниже температуры плавления. Ампула равномерно движется относительно нагревателя, что приводит к перемещению относительно ампулы фронта кристаллизации.

Концентрация примеси в твердой фазе вблизи фронта кристаллизации меньше концентрации примеси в расплаве в меру величины коэффициента сегрегации. При движении фронта концентрация примеси перед фронтом оказывается большей, чем в расплаве на большом удалении от фронта и увеличивается в ходе процесса. Следствием этого является неоднородное распределение примеси вдоль образуемого кристалла. Кроме того, если поверхности одинаковой концентрации в расплаве не следуют форме фронта, то в ходе кристаллизации будет сформирован кристалл и с радиальной неоднородностью распределения примеси. Если учесть еще тот факт, что неоднородное распределение примеси в расплаве вдоль фронта является обстоятельством, провоцирующим морфологическую неустойчивость, то становится понятной сложность комплекса возникающих технологических проблем.

В процессе роста кристалла фронт кристаллизации может стать неустойчивым (мелкомасштабное изменение формы фронта), что приводит к ячеистому или дендритному росту кристалла - морфологическая неустойчивость фронта кристаллизации. Неустойчивость связана с тем, что температура плавления (кристаллизации) зависит от концентрации примеси. Неустойчивость наступает при некоторой критической скорости продвижения фронта. Впервые морфологическая неустойчивость была объяснена в работе Мул-лина и Секерки [147]. В теории Муллина и Секерки предполагается существование локального термодинамического равновесия (коэффициент сегрегации считается постоянным), температурное поле заморожено. Эти предположения хороши в меру малости скорости роста кристалла. В работе Т.В. Савиной и др. [148] рассматривался метод стабилизации фронта кристаллизации путем дополнительного нагрева (например, с помощью лазеров) расплава над поверхностью раздела фаз. Выяснено, что дополнительный нагрев может привести к подавлению неустойчивости.

В работах [149, 150] обнаружено, что конвективное движение может понизить порог морфологической неустойчивости. В работе [151] представлен линейной анализ морфологической неустойчивости для стремительной кристаллизации бинарной смеси, учитывающий локальное неравновесие в массе жидкости и на фронте кристаллизации. Результаты показывают, что при учете локального неравновесия откладывается наступление стационарной ячеистой неустойчивости, но ускоряется наступление колебательной ячеистой неустойчивости. В работе [152] рассматривают влияние плоской ячеистой конвекции на фронт кристаллизации.

В перечисленных выше работах исходная форма фронта кристаллизации предполагалась плоской. В вертикальном методе Бриджмена ситуация осложняется тем, что фронт кристаллизации искривлен, даже если по каким-либо причинам конвективное течение в расплаве отсутствует. При этом возникает радиальный градиент температуры. Такое распределение температуры приведет к конвективному движению, которое только ускоряет наступление морфологической неустойчивости (к выпуклым частям фронта течением будет доставляться расплав с меньшим содержанием примеси).

Лан в работе [153] получил глубокий локальный прогиб поверхности раздела при выращивании кристалла методом Бриджмена; исходный материал - сусинонитрил. При высокой концентрации примеси в расплаве на фронте кристаллизации образуется углубление (на оси кристалла). Рост углубления может привести к разрушению кристалла.

Влиянию вибраций на морфологическую неустойчивость посвящены работы [154-155]. В [154] рассматривается устойчивость плоского фронта кристаллизации в присутствии вибраций конечной частоты. Обнаружены параметрические зоны неустойчивости: синхронная зона и субгармоническая зона. В субгармонической зоне индуцируются колебания с частотой, в два раза меньшей, чем частота модуляции. В синхронной зоне происходят колебания с частотой внешнего воздействия. Обнаружено дестабилизирующее действие вибраций.

В работе [155] исследуется линейная устойчивость фронта кристаллизации бинарного расплава в присутствии периодического течения. Течение генерируется движением кристалла по эллиптической траектории, плоскость которой параллельна фронту кристаллизации (эллиптическая поляризация касательных вибраций). Нестационарное течение может либо стабилизировать, либо дестабилизировать систему в зависимости от частоты, амплитуды вибраций и свойств материала.

В работе [156] исследовалось влияние пульсирующего плоского течения на морфологическую неустойчивость плоского фронта кристаллизации.

41 РОССИЙСКАЯ

ГОСУДАРСТВЕННАЯ л/г БИБЛИОТЕКА

Основное течение имеет структуру слоя Стокса. Малые возмущения поверхности раздела приводят к вторичному не плоскому течению. Обнаружено понижение устойчивости системы.

Численному моделированию выращивания кристаллов GaAs, GaGe, GeZn и др. с помощью метода Бриджмада посвящено множество статей (см, например, [157-162]). Подробно исследованы влияние формы ампулы, толщины стенок и материала ампулы, тепловых условий на боковой стенке ампулы на процессы тепло и массопереноса. Понятно, что для получения более однородного кристалла необходимо реализовать эффективное перемешивание расплава, приводящее к уменьшению концентрации примеси вблизи фронта кристаллизации. Это накладывает определенные требования к структуре конвективного течения в расплаве. Эффективным средством воздействия на течение в расплаве, позволяющим существенно влиять на структуру и интенсивность течения, и, соответственно, на распределение примеси в получаемом кристалле, являются переменные поля: поступательные и вращательные вибрации, магнитное поле и т.д.

В работе [157] рассматривается выращивание кристаллов по вертикальному методу Бриджмена в длинной ампуле. Сделан вывод, что в достаточно длинной ампуле вертикальная сегрегация примеси отсутствует. Для бинарного расплава GaSe критическая длина ампулы составляет 20 калибров. В работе [158] выполнены расчеты трехмерной конвекции и распределения примеси в расплаве. Моделирование трехмерных режимов выполнялось методом конечных объемов. Показано, что трехмерное течение возникает даже при слабых нарушениях осевой симметрии задачи (например, с помощью добавочного нагрева с азимутальным градиентом температуры). Как и в [157], применяется квазистатический подход.

В работе [159] проведено численное моделирование процесса выращивания кристалла GaAs. В расчетах изменялась скорость перемещения ампулы. Нагрев ампулы имитируется с помощью задания распределения температуры на достаточно большом удалении от ампулы в радиальном направлении и линейного закона теплоотдачи с боковых стенок. Установлено, что увеличение скорости перемещения ампулы приводит к увеличению прогиба фронта кристаллизации. Прогиб фронта увеличивается и с ростом характерного вертикального градиента температуры нагревателя. —

В работе [160] представлены результаты численного трехмерного моделирования влияния постоянного магнитного поля на структуру течения и распределение температуры в расплаве. В работах [161, 162] изучалось влияние вращающегося магнитного поля на процессы кристаллизации и тепло-массопереноса. Вращающееся поле приводит к генерации азимутального течения, которое взаимодействует с конвективным течением в меридиональной плоскости. Обнаружено, что магнитное поле может, как ослабить, так и усилить меридиональное течение в зависимости от направления последнего. При усилении течения форма фронта кристаллизации становится более плоской.

Для управления процессами перемешивания расплава вблизи фронта кристаллизации могут быть размещены "разделители". В [163] показано, что вращение разделителя может привести к получению кристалла более высокого качества. В работе [164] для гомогенизации распределения примеси в нижней части ампулы на погруженном нагревателе создается горизонтальный градиент температуры.

В работе [165] приводятся результаты многопараметрического численного моделирования конвективного тепломассообмена при вибрационном воздействии на расплав в процессе выращивания монокристалла вертикальным методом Бриджмена. При действии погруженного вибратора возникает среднее вибрационное течение. Рассмотрены варианты вибрационного воздействия в земных условиях и в невесомости. Показано, что вибрации могут уменьшать толщину пограничных слоев у фронта кристаллизации. С помощью вибрационного воздействия на расплав можно менять величину градиента температуры на фронте кристаллизации, т.е. кинетику и скорость роста кристалла.

Системы, содержащие взвесь твердых частиц. И, наконец, рассмотрим (кратко) результаты некоторых исследований влияния вибраций на поведение взвеси твердых частиц в жидкости. Выше уже упоминались работы О.Н. Дементьева [75-77], в которых было рассмотрено влияние на устойчивость конвективного течения твердых частиц примеси.

Экспериментальные данные по зависимости пороговой амплитуды вибраций от длины волны рельефа при различных частотах приведены в работе В.Г.Козлова [167]. В работе изучалось поведение слоя взвеси песка в воде в поле горизонтальных вибраций. Эксперименты свидетельствуют о монотонном повышении пороговой амплитуды вибрации с ростом частоты. Образование волнового рельефа происходит монотонным образом при малых амплитудах вибраций (коротковолновой рельеф) и при больших амплитудах t вибраций (длинноволновой рельеф). В промежуточной области амплитуд в работе [168] обнаружен нестационарный бегущий волновой рельеф. Образование рельефа связано с неустойчивостью Кельвина — Гельмгольца. В работе Д.В.Любимова и А.А.Черепанова [166] получена бифуркационная кривая возбуждения квазистационарного волнового рельефа на поверхности раздела двух несмешивающихся жидкостей при нулевом поверхностном натяжении.

В работе [169] рассмотрено поведение слабо-неоднородной взвеси в условиях невесомости под действием линейно-поляризованных высокочастотных вибраций. Взвесь полностью занимает объем. Обнаружено, что при вибрациях вдоль градиента концентрации состояние квазиравновесия неустойчиво относительно колебательных возмущений.

Теоретические исследования влияния высокочастотных вибраций на устойчивость раздела в системе жидкость-взвесь ранее не проводились.

Краткое содержание диссертации.

В первой главе рассматривается устойчивость четырех комбинированных течений, которые являются суперпозицией двух свободно-конвективных и двух вынужденных гидродинамических течений. Анализ устойчивости проводится в предположении предельно высокой теплопроводности границ слоя.

В первом параграфе приводятся результаты исследования устойчивости комбинированного течения, возникающего в плоском вертикальном слое, нагреваемом сбоку, в условиях действия продольного вертикального градиента давления. Вынужденное движение жидкости является плоским течением Пуазейля. Применяются метод построения фундаментальной системы решений и метод дифференциальной прогонки. В п. 1.1.1 дана постановка задачи: выписаны уравнения тепловой конвекции в приближении Буссинеска, выбраны единицы измерения, получена краевая задача, описывающая малые нормальные возмущения. Выводятся преобразования, являющиеся аналогами преобразования Сквайра.

В п. 1.1.2 обсуждаются гидродинамические механизмы неустойчивости комбинированного течения (вихри на границе встречных потоков и волны Толлмина-Шлихтинга). Показано, что суперпозиция двух течений приводит к их взаимной стабилизации. Наиболее сильно подавляется невязкий механизм кризиса; в присутствии продольного градиента давления возможно почти 60-кратное повышение устойчивости. Получены характеристики возмущений, нейтральные кривые, карта устойчивости на плоскости Gr — Re в гидродинамическом приближении. Далее приводятся результаты решения полной задачи устойчивости с учетом тепловых факторов. Показано, что с изменением числа Прандтля количественные характеристики гидродинамических механизмов кризиса меняются незначительно.

В п. 1.1.3. обсуждается устойчивость комбинированного течения относительно возмущений типа бегущих температурных волн. Рассмотрение нейтральных кривых в координатах kGr — к позволяет уточнить величину порогового числа Прандтля Рг*, при котором в свободно-конвективном течении появляются нарастающие тепловые волны. Показано, что в присутствии вынужденного движения снимается вырождение тепловых волн. Возмущения, бегущие в направлении прокачки (попутные возмущения) опаснее возмущений, бегущих навстречу вынужденному движению. Установлено, что нарастающие тепловые волны в комбинированном течении возможны и при Рга < Рг < Рг* (при Re < 0). В этом случае область неустойчивости ограничена сверху и снизу на плоскости Gr — Рг; величина Рга является убывающей функцией интенсивности вынужденного движения. Построена карта устойчивости на плоскости Gr — Re. Слабая прокачка приводит к небольшому понижению устойчивости течения. С увеличением числа Рейнольдса наступает стабилизация, при этом характеристики неустойчивости выходят на асимптотические зависимости. При больших числах Рейнольдса минимальное критическое число Грасгофа Grm пропорционально Re.

В п. 1.1.4 рассматривается предельный случай высоких скоростей вынужденного движения (Re 1). Получены коэффициенты асимптотических зависимостей.

Во втором параграфе рассматривается устойчивость комбинированного течения в бесконечном плоском вертикальном слое, возникающего при совместном действии бокового нагрева и встречного движения границ в своих плоскостях. Для анализа устойчивости применяется метод дифференциальной прогонки. Течение является суперпозицией свободно-конвективного движения с кубическим профилем скорости и плоского сдвигового течения Куэтта. В п. 1.2.1 приводится постановка задачи. В п. 1.2.2 обсуждается влияние движения границ на гидродинамический механизм неустойчивости. В данном случае существует только один - невязкий - гидродинамический механизм кризиса, так как течение Куэтта абсолютно устойчиво относительно малых возмущений. Волны Толлмина-Шлихтинга в каждой из половин слоя не рассматриваются, неустойчивость течения относительно таких возмущений характеризуется очень большими числами Грасгофа. Показано, что движение границ слоя приводит к повышению устойчивости течения относительно возмущений в виде неподвижных вихрей на границе встречных потоков. Наиболее сильное стабилизирующее действие оказывает движение границ, препятствующее конвективному течению (Re < 0, "теплая" граница слоя движется вниз).

В п. 1.2.3 рассматриваются тепловые механизмы неустойчивости. Тепловые волны, бегущие вверх и вниз, в силу нечетности профиля скорости равноправны, как и в случае чистой конвекции. Приведены карты устойчивости на плоскостях Gi— Re и Gi— Рг. Движение границ в целом приводит к эффективному подавлению бегущих тепловых возмущений. Показано, что колебательная неустойчивость возможна и при Рг < Рг*. При больших скоростях движения границ величина Grm пропорциональна Re.

Обнаружен дополнительный тепловой механизм кризиса, связанный с нарастанием монотонных тепловых возмущений. Такая неустойчивость возможна только в присутствии вынужденного движения, характеризуемого отрицательными значениями Re. Монотонная тепловая неустойчивость реализована нижними тепловыми уровнями спектра декрементов. При фиксированном числе Рейнольдса неустойчивость появляется, начиная с некоторого числа Прандтля, при этом числа Grm невелики. С ростом числа Прандтля происходит объединение областей монотонной и волновой тепловой неустойчивости. Таким образом, движение границ при Re > 0 приводит к повышению устойчивости течения относительно тепловых возмущений; противоположный случай Re < 0 отличается резким понижением устойчивости течения.

В третьем параграфе первой главы область существования монотонной тепловой неустойчивости исследована в нелинейной постановке. Используется метод сеток. Показано, что в надкритической области развивается вторичный режим конвекции в виде системы вихрей в середине слоя. Направление циркуляции жидкости определяется движением границ слоя. Вблизи нижней границы области монотонной тепловой неустойчивости вторичные режимы возбуждаются мягко. На верхней границе происходит жесткое возбуждение нелинейного конечно-амплитудного движения.

В четвертом параграфе рассматривается влияние на устойчивость конвективного течения в бесконечном вертикальном слое с равномерно распределенными внутренними источниками тепла продольного градиента давления. Используется метод дифференциальной прогонки.

В п. 1.4.1 приводится постановка задачи. В п. 1.4.2 задача устойчивости решена в гидродинамическом приближении. Исследовано поведение четного и нечетного уровня неустойчивости в присутствии продольной прокачки. Показано, что вынужденное движение, усиливающее центральный восходящий поток свободно-конвективного течения, при малых значениях числа Рейнольдса приводит к небольшому понижению устойчивости течения относительно невязких гидродинамических возмущений. С увеличением интенсивности вынужденного движения устойчивость течения сначала увеличивается, а затем вновь наблюдается дестабилизация. При числах Рейнольдса, характерных для линейной неустойчивости плоского течения Пуазейля, комбинированное течение теряет устойчивость при Gr = 0. Напорное движение, препятствующее конвективному течению в центральной части слоя, эффективно подавляет развитие вихрей на границе встречных потоков, устойчивость течения повышается. При больших значениях числа Рейнольдса Grm~\Re\.

В п. 1.4.3 задача устойчивости решена в полной постановке, т.е. с учетом тепловых факторов. Показано, что количественные характеристики неустойчивости в присутствии сопутствующего вынужденного движения меняются (по сравнению с результатами, полученными в гидродинамическом приближении) лишь при слабой прокачке. При этом устойчивость течения монотонно понижается с ростом числа Прандтля. Встречное вынужденное движение приводит к сильной стабилизации комбинированного течения.

Кризис течения обусловлен развитием тепловых возмущений в виде бегущих температурных волн. При сильной прокачке Grm ~ \Re\. Внутреннее тепловыделение приводит к подавлению волн Толлмина-Шлихтинга. Построена карта устойчивости течения на плоскости Gr — Re при различных значения числа Прандтля. Область устойчивости комбинированного течения ограничена в размерах как при Re > 0, так и при Re < 0 при любых параметрах жидкости.

В последнем, четвертом параграфе первой главы рассматривается влияние сдвигового течения Куэтта на устойчивость свободно-конвективного течения в плоском бесконечном вертикальном слое с равномерно распределенными в жидкости источниками тепла. Установлено, что присутствие вынужденной компоненты повышает устойчивость комбинированного течения относительно гидродинамических и тепловых возмущений. Приведена карта устойчивости течения. Показано, что при малых скоростях движения границ природа кризиса определяется физическими параметрами среды (числом Прандтля). При больших интенсивностях вынужденной компоненты течения кризис имеет гидродинамическую природу (связан с развитием гидродинамических возмущений).

Во второй главе исследуется влияние тепловых граничных условий на устойчивость течений в вертикальном слое. Для анализа устойчивости применяется метод дифференциальной прогонки и метод разложения в ряд по малым волновым числам.

В первом параграфе исследуется устойчивость течения в плоском бесконечном вертикальном слое. Рассмотрены следующие варианты тепловых условий на границах слоя: обе границы теплоизолированные, смешанные условия - одна граница теплоизолированная, вторая граница теплопроводная. Показано, что варьирование тепловых граничных условий мало сказывается на неустойчивости течения относительно гидродинамических возмущений. При комбинировании тепловых условий на границах вихри на границе встречных потоков теряют монотонность и медленно дрейфуют.

В условиях фиксированного теплового потока через границы слоя резко меняется характер устойчивости течения относительно бегущих тепловых волн. Они являются опасными для конвективного течения при гораздо меньших значениях числа Прандтля, чем в случае теплопроводных границ; величина порогового числа Прандтля Рг* = 0.891. Зависимость минимального критического числа Грасгофа от числа Прандтля немонотонна; при Рг ~ 9 на зависимости имеется отчетливо выраженный максимум. Если реализован вариант смешанных граничных условий, то течение по-разному устойчиво к тепловым волнам, бегущим вверх и вниз. В силу локализации колебательных тепловых возмущений в восходящем и нисходящем потоках на количественных характеристиках устойчивости тепловых волн, бегущих около одной границы слоя, не влияют тепловые условия на противоположной границе слоя. Таким образом, с изменением числа Прандтля происходит смена характера неустойчивости конвективного течения. Так, при 0 < Рг < 0.981 неустойчивость вызывается вихрями на границах встречных потоках. В области 0.981 < Рг < 13.7 за кризис ответственны тепловые волны, распространяющиеся около теплоизолированной границы. При Рг >13.7 неустойчивость связана с развитием тепловых волн, бегущих около теплопроводной границы.

Параграф 2.2 содержит результаты исследования длинноволновой неустойчивости комбинированного течения в плоском бесконечном наклонном слое в условиях фиксированного теплового потока через границы слоя. В слое присутствует продольный градиент давления. Границы слоя имеют разные температуры (нагрев сбоку) и движутся "в себе". Таким образом, комбинированное течение является суперпозицией конвективного течения и двух вынужденных течений (течения Куэтта и Пуазейля). Задача устойчивости решается аналитически с использованием разложения в ряд по малому волновому числу. Во втором порядке разложения определяется граница области длинноволновой неустойчивости.

В отсутствие бокового нагрева длинноволновые возмущения затухают. Длинноволновая неустойчивость отсутствует также и в случае вертикального слоя с неподвижными границами. Продольная прокачка стабилизирует комбинированное течение, выражение для поправки к декременту во втором порядке содержит положительно определенное слагаемое, пропорциональное интенсивности прокачки. В случае горизонтального слоя заведомо найдутся такие значения числа Релея, при которых будет существовать длинноволновая неустойчивость.

Приведена карта длинноволновой устойчивости на плоскости число Релея Ra - число Пекле. В случае горизонтального слоя граница области является параболой. При ненулевых углах наклона слоя к горизонтали граница области неустойчивости является гиперболой. Неустойчивость возможна лишь, начиная с некоторого критического числа Пекле Ре* (Ре* является характеристикой интенсивности течения Куэтта). При малых углах а Ре^ < 0. Начиная с угла наклона а* = 16.48° длинноволновая неустойчивость существует лишь при Рес > 0. При а —»180° критическое значение Ре* неограниченно возрастает (при нагреве сверху длинноволновая неустойчивость отсутствует при любых скоростях движения границ).

Получено выражение для поправки к декременту в четвертом порядке разложения. Сделан вывод, что в широкой области параметров возмущения с нулевыми значениями волнового числа наиболее опасны, по крайней мере, среди длинноволновых возмущений.

В третьем параграфе обсуждается длинноволновая неустойчивость комбинированного течения в вертикальном слое с теплоизолированными движущимися границами. Течение является суперпозицией конвективного движения, вызываемого действием внутренних источников тепла, течения Пуазейля и течения Куэтта. Во втором порядке разложения по малому волновому числу получена граница области длинноволновой неустойчивости гипербола на плоскости Ra — Pe). Неустойчивость появляется пороговым образом, начиная с некоторой интенсивности продольного напорного движения жидкости; движение границ не приводит к неустойчивости.

В третьей главе рассматриваются две системы с деформируемой границей раздела. В этих условиях появляются дополнительные механизмы неустойчивости. Применяется нелинейный вариант метода дифференциальной прогонки.

Первый параграф содержит результаты исследования конвективной устойчивости равновесия двухслойной системы жидкостей с близкими плотностями на примере системы муравьиная кислота - трансформаторное масло. Так как в данной ситуации (деформируемая граница раздела) приближение Буссинеска неприменимо, для анализа устойчивости используется модель, предложенная Д.В.Любимовым. Суть приближения заключается в том, что различие плотностей жидкостей учитывается в условии баланса нормальных напряжений на границе раздела.

Построена карта устойчивости системы на плоскости число Релея Ra - число Галилея Ga при нулевой величине капиллярности Са. В случае подогрева снизу и отрицательных Ga (более тяжелая жидкость внизу) в широком интервале чисел Галилея неустойчивость имеет релеевскую природу, но в отличие от случая недеформируемой границы, критическое число Релея изменяется при изменении числа Галилея. При небольших отрицательных числах Галилея неустойчивость также определяется монотонными ячеистыми возмущениями. Отказ от приближения Буссинеска позволил обнаружить еще одну моду неустойчивости - бегущие волны. Обсуждается изменение параметров устойчивости при вариациях параметра капиллярности. В случае достаточно больших С а наиболее опасными являются монотонные длинноволновые возмущения.

Во втором параграфе главы 3 рассматриваются результаты исследований неустойчивости Бенара-Марангони горизонтального слоя со свободной деформируемой границей. Слой подогревается снизу. Нижняя граница слоя теплопроводная, на верхней границе выполняется условие теплоотдачи Био. Поверхностное натяжение зависит от температуры. В указанных условиях приближение Буссинеска неприменимо, моделью, примененной в предыдущем параграфе, пользоваться также нельзя. Поэтому анализ устойчивости ведется в рамках другой модели, предложенной Д.В.Любимовым. Согласно этой модели, жидкость является изотермически несжимаемой, но зависимость плотности от температуры учитывается везде, а не только в слагаемом с подъемной силой. Результаты оказываются чувствительными к виду уравнения состояния. В основном, данные получены при экспоненциальной зависимости плотности от температуры; некоторые результаты получены при линейном и газовом уравнении состояния. Используется методика построения фундаментальной системы решений с ортогонализацией векторов решений.

В п. 3.2.1 обсуждаются уравнения и граничные условия. В п. 3.2.2 рассмотрен предельный случай недеформируемой свободной поверхности (параметр капиллярности Сг = 0, Cr = 1 /Са). При небольших перепадах температуры поперек слоя нет необходимости отказываться от приближения Буссинеска. Однако при конечных числах Ga и не малых Ra точность приближения Буссинеска становится недостаточной. С ростом Ra устойчивость равновесия понижается, но эффект менее выражен, чем при Ga —> оо. В условиях микрогравитации эффекты плавучести при изменении параметра Буссинеска в разумных пределах практически не влияют на пороговое значение числа Марангони Ма. При конечных значениях числа Галилея и Ra > Ra^ имеет место обычная релеевская неустойчивость плоского слоя (Ма = 0). С уменьшением числа Галилея критическое число Релея Ra^ возрастает, и по достижении порогового значения Ga* « 765 релеевская неустойчивость исчезает.

В п. 3.2.3 рассмотрен более общий случай деформируемой поверхности. При небольших Ga, Во = GaCr = 0.1 во всем диапазоне чисел Ra наиболее опасной является длинноволновая мода. С увеличением числа Релея порог устойчивости относительно длинноволновых возмущений понижается. С ростом Ga возрастает роль ячеистых возмущений. Они становятся ответственными за срыв устойчивости равновесия при малых значениях числа Релея. При больших \Ra\ за кризис ответственны длинноволновые возмущения. С дальнейшим увеличением Ga длинноволновая мода на плоскости Ma — Ra вытесняется вверх. Приближение Буссинеска приводит к неправильному выводу об относительной опасности длинноволновых и ячеистых возмущений.

Усиление роли гравитационных сил в деформации поверхности приводит к тому, что при сильном нагреве сверху ячеистые возмущения являются более опасными, чем длинноволновые. Результаты вычислений при Во = 1.0 показывают, что небольшая отрицательная плавучесть приводит к подавлению развития, как длинноволновых возмущений, так и ячеистых возмущений. Обнаружена дестабилизация равновесия в случае небольших чисел Галилея и сильного нагрева сверху (потенциально устойчивая стратификация).

В п. 3.2.4 рассмотрено влияние эффектов плавучести на колебательную деформационную моду неустойчивости. Такая мода связана с термокапиллярной дестабилизацией поверхностных капиллярных волн, существует при отрицательных числах Ма, что при нормальном эффекте Марангони соответствует нагреву сверху. Показано, что учет плавучести при обычном знаке коэффициента теплового расширения приводит к стабилизации колебательной неустойчивости Марангони. Эффект стабилизации особенно ярко выражен при малых числах Ga. Так, например, при числах Галилея Ga ~ 100 — 200 уже при небольших Ra < 0 наступает абсолютная стабилизация колебательной неустойчивости. Показано, что знак эффекта в приближении Буссинеска и при корректном учете плавучести противоположен; кроме того, учет "небуссинесковских" эффектов приводит к более сильным изменениям количественных характеристик неустойчивости. При Ra > О слабый нагрев сверху дестабилизирует равновесие, но с дальнейшим увеличением числа Релея устойчивость снова повышается.

В п. 3.2.5 рассмотрена монотонная неустойчивость в слое с недефор-мируемой свободной поверхностью при линейном и газовом уравнениях состояния. Подавление релеевской неустойчивости существует при всех рассмотренных вариантах уравнения состояния; неустойчивость возможна при числах Галилея, больших некоторого порогового значения.

В третьем параграфе главы 3 рассмотрена конвективная неустойчивость плоского горизонтального слоя жидкости, ограниченного двумя твердыми плоскостями высокой теплопроводности. Рассматриваются случаи линейного, газового и экспоненциального уравнения состояния. Во всех трех вариантах связи плотности с температурой наблюдается подавление неустойчивости Релея с уменьшением числа Галилея; это происходит при достаточно большом относительном перепаде плотности и малых числах Галилея.

В четвертой главе приводятся результаты исследования устойчивости двухслойной системы однородная жидкость - взвесь твердых частиц с плоской поверхностью раздела. Система совершает высокочастотные колебания, как в горизонтальном, так и в вертикальном направлениях с одинаковой частотой, но произвольным сдвигом фаз.

В первом параграфе выводятся уравнения, описывающие пульсацион-ное и осредненное движение частиц и жидкости, а также обсуждаются граничные условия. Предполагается, что жидкость несжимаема, а твердые частицы сферические и недеформируемые, агломерацией и оседанием частиц пренебрегается. Предполагается, что сила межфазного взаимодействия содержит три составляющих обобщенной силы Стокса: собственно силу Сто-кса, силу инерции присоединенных масс и наследственную силу Бассе. Относительная роль слагаемых в силе межфазного взаимодействия определяется параметром Г2, который имеет смысл отношения времени релаксации скоростей фаз к периоду вибраций. В высокочастотном приближении различие пульсационных скоростей жидкостей и твердых фаз может быть велико. Ос-редненные же скорости достаточно мелких частиц и жидкости отличаются мало. Это позволяет пренебречь различием их средних скоростей всюду, кроме силы межфазного взаимодействия, т.е. перейти к одножидкостной модели для описания среднего движения.

В п. 4.1.2 обсуждается основное состояние системы, состоящей из двух бесконечных горизонтальных плоских слоев равной толщины. Взвесь расположена внизу, в верхнем слое находится однородная жидкость. Система совершает высокочастотные колебания как в горизонтальном, так и в вертикальном направлении с произвольным сдвигом фаз. В общем случае вибраций эллиптической поляризации состояние квазиравновесия невозможно и существует среднее течение, имеющее только горизонтальную составляющую. Существование среднего течения связано с различием пульсационных скоростей жидкости и твердых частиц. В предельном случае О, = 0, когда взвесь можно считать однородной жидкостью с перенормированной плотностью, среднее течение исчезает. Среднее течение отсутствует и в некоторых других случаях - при горизонтальных вибрациях и вертикальных вибрациях. Кроме того, при Q ^ 0 и в присутствии горизонтальных и вертикальных вибраций обязательно найдется такое значение сдвига фаз, при котором среднее течение исчезает в обоих слоях одновременно.

В п. 4.1.3 сформулирована задача устойчивости основного состояния. Для решения задачи устойчивости применяется метод дифференциальной прогонки.

Во втором параграфе рассмотрен случай строго горизонтальных вибраций. При этом существует состояние квазиравновесия с плоской горизонтальной границей раздела. В результате развития неустойчивости квазиравновесия на поверхности раздела образуется стационарный рельеф. Нейтральная кривая Fr(k)(Fr - число Фруда) монотонных возмущений является убывающей функцией волнового числа. Монотонная неустойчивость сохраняется при всех значениях параметра Г2, причем вид нейтральной кривой не претерпевает качественных изменений. Однако с ростом Q, наблюдается стабилизация квазиравновесного состояния с плоской поверхностью раздела. Причиной этого является уменьшение эффективной разности объемных скоростей в верхнем и нижнем слоях, что затрудняет возникновение неустойчивости Кельвина-Гельмгольца. Показано, что существует диапазон значений параметров задачи, при которых возможна и более опасна колебательная неустойчивость, приводящая к медленному дрейфу рельефа.

В третьем параграфе рассматривается вариант одновременного воздействия и вертикальных, и горизонтальных вибраций. В этом случае возникает среднее течение; численно, методом дифференциальной прогонки, определены количественные характеристики его устойчивости. В указанных условиях существование неподвижного волнового рельефа на границе жидкость-взвесь невозможно. Поперечные колебания, совершаемые в фазе с продольными колебаниями, сначала приводят к некоторой дестабилизизации (в целом) системы. Дальнейшее усиление поперечного вибрационного воздействия приводит к повышению устойчивости. Наличие сдвига фаз колебаний может приводить к повышению порога устойчивости; в зависимости от величины сдвига фаз направление движения волнового рельефа может быть различным. Обнаружена неустойчивость системы при вертикальных вибрациях, при этом кризис обусловлен монотонными длинноволновыми возмущениями.

В пятой главе рассмотрено влияние вибраций конечной частоты на течение и тепломассообмен в процессах выращивания кристаллов. В первом параграфе приводится описание нового метода решения задач устойчивости, которые содержат постоянные или периодически изменяющиеся со временем коэффициенты (метод построения естественного базиса). В этом методе решение задачи устойчивости представляется в виде суперпозиции ортонорми-рованных векторов. Для набора векторов решается эволюционная задача. Из исходных векторов решений и векторов, которые получаются в процессе временной эволюции, формируется матрица, собственные значения которой связаны с мультипликаторами задачи. Для тестирования метода решена задача устойчивости равновесия плоского слоя, подогреваемого снизу. Получено хорошее согласие в величинах показателей Ляпунова и инкрементов краевой задачи устойчивости.

Во втором параграфе рассмотрено влияние вибраций конечной частоты на морфологическую неустойчивость плоского бесконечного фронта кристаллизации. В п. 5.2.1 формулируется задача устойчивости; ее решение приводится в п. 5.2.2. Построены карты устойчивости на плоскости вибрационное число Релея Rav - обратная безразмерная частота вибраций ГГ*1. При небольших значениях морфологического параметра для системы характерна параметрическая неустойчивость, на карте устойчивости присутствуют области субгармонической и синхронной неустойчивости. При увеличении морфологического параметра поперечные вибрации приводят к стабилизации синхронной моды; низкочастотная и высокочастотная зона сближаются с образование впоследствии единой субгармонической области параметрической неустойчивости. Обнаружена умеренная дестабилизация такой моды неустойчивости. Показано, что в области высоких частот вибрации приводят к понижению порога морфологической неустойчивости плоского фронта кристаллизации. В области низких частот возможен обратный эффект.

В третьем параграфе главы 5 приводятся некоторые результаты исследований влияния высокочастотных аксиальных вибраций на теплоперенос, форму фронта кристаллизации и распределение примеси при выращивании кристалла полупроводника вертикальным методом Бриджмена. В п. 5.3.1 приведена постановка задачи. Численное решение нестационарной задачи осуществляется методом сеток в осесимметричной постановке с учетом движения и искривленности фронта кристаллизации. Физическая область с движущимся криволинейным фронтом с помощью преобразования координат приводится к прямоугольной вычислительной области с плоским неподвижным фронтом.

В п. 5.3.2 приводятся результаты описания нестационарного процесса продвижения фронта на примере системы Al-Ni (концентрационная задача не решается). Фронт кристаллизации обращен выпуклостью в сторону расплава. В отсутствие вибраций прогиб фронта, как и интенсивность конвективного течения в расплаве, уменьшаются с ростом скорости перемещения ампулы относительно нагревателя. Вибрации приводят к увеличению интенсивности среднего течения и к уменьшению прогиба фронта.

В п. 5.3.3 на примере арсенида галлия рассматривается процесс кристаллизации в земных условиях и невесомости. Получены поля скоростей расплава, температуры и концентрации примеси при различных частотах вибраций. Процессы, приводящие к морфологической неустойчивости, не рассматриваются. Увеличение частоты вибраций приводит к усилению среднего течения, уменьшается прогиб фронта кристаллизации (в рассматриваемой системе фронт вогнутый). При достаточно интенсивных вибрациях получается кристалл с более равномерным радиальным распределением примеси, хотя для достижения заметного эффекта необходимы большие частоты.

В последней, шестой главе рассматривается влияние высокочастотных поперечных вибраций на устойчивость термоконцентрационного течения в нагреваемом сбоку плоском вертикальном слое. Границы слоя обладают предельно высокой теплопроводностью, поток смеси через границы отсутствует. Вся система совершает высокочастотные гармонические вибрации в ортогональном к границам направлении. Используется приближение Буссинеска, диффузионной теплопроводностью пренебрегается.

В рассматриваемой ситуации существует плоскопараллельное среднее течение в вертикальном направлении с кубическим профилем скорости и линейными распределениями средней температуры и средней концентрации. Устойчивость течения исследуется численно с использованием метода диф- ференциальной прогонки.

Сначала задача устойчивости решается в отсутствие вибраций, вибрационное число Грасгофа Grv = 0. Получена зависимость порогового числа

Прандтля Рг*, при котором появляются нарастающие тепловые волны, от параметра Соре е. Обнаружен сложный сценарий изменения устойчивости течения относительно тепловых волн с изменением е. При е < 0.2634 вязкий тепловой механизм неустойчивости возможен лишь при Рг > Рг*. С увеличением параметра Соре нарастающие тепловые волны появляются и при Рг = 0. При £ > 0.2634 тепловая волновая мода существует при *

0 < Рг < Ргх и при Рг > Рг2 . При е > 0.278 волновая тепловая мода неустойчивости возможна при любых значениях числа Прандтля.

Обнаружено, что нормальная термодиффузия ослабляет стабилизирующее воздействие вибраций - коэффициент в асимптотической зависимости минимального критического числа Грасгофа от вибрационного числа

Грасгофа (Grm = aGr^4) является убывающей функцией параметра Соре.

Достоверность результатов обеспечивается сравнением с экспериментальными данными, аналитическими и численными решениями в предельных случаях, а также сопоставлением результатов, полученных с помощью различных методов и анализом сходимости численных результатов при повышении точности вычислений. '

Публикации и апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [170-191]. Результаты работы. докладывались на следующих конференциях: VII Всесоюзная Школа-семинар "Численные методы механики вязкой жидкости", Махачкала, 1978; Областная отчетная научная конференция, Пермь, 1980, 1981; III Школа-семинар МГУ "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости, Москва, 1980; III Всесоюзный семинар по гидромеханике и тепломассообмену, Черноголовка,

1984; Всесоюзная школа-семинар "Математическое моделирование в науке и технике", Пермь, 1986; IV Всесоюзный семинар по тепломассообмену в невесомости, Новосибирск, СО АН СССР, 1987; Ninth European Symposium "Gravity-dependent phenomena in physical sciences", Berlin, Germany, 1995; 31st Scientific Assembly of COSPAR, Birmingham, 1996; XI Международная зимняя школа по механике сплошных сред; Пермь, 1997; II Российская конференция по космическому материаловедению, КМ-2003, Калуга, 2003; International Conference "Advanced Problem in Thermal Convection", Perm, 2003; Международная конференция "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность", Москва, 2004 г.; International Marangoni Association Congress 2004 (IMA-2), Brussels, Belgium, 2004; 21st International Congress of Theoretical and Applied Mechanics, Warsaw, Poland, 2004; 14 Зимняя школа по механике сплошных сред, Пермь, 2005; отчетные научные конференции преподавателей и сотрудников Пермского госуниверситета. Кроме того, результаты работы докладывались на семинаре по вычислительной гидродинамике математико-механического факультета ЛГУ под руководством проф. ВЛ.Ривкинда (1984), на семинаре кафедры гидроаэродинамики Санкт-Петербургского государственного политехнического университета под руководством проф. Е.М.Смирнова (2004) и неоднократно на Пермском городском гидродинамическом семинаре имени Г.З.Гершуни и Е.М.Жуховицкого. Результаты, полученные в работе, были частично приведены в коллективной монографии Г.З.Гершуни, Е.М.Жуховицкого, А.А.Непомнящеш [9].

Личный вклад автора. Работы [170, 171, 174, 187] выполнены автором лично. Работы [172, 173, 177, 179, 180] выполнены совместно со студентами под руководством автора. В работе [175] автору принадлежат результаты определения границ устойчивости относительно плоских возмущений. В работах [178, 181, 185, 186, 189] автору принадлежат результаты численного определения границ устойчивости относительно ячеистых возмущений. В работе [190] автору принадлежат результаты, полученные методом построения естественного базиса. В работе [191] автору принадлежит зависимость порогового числа Прандтля от параметра Соре и зависимости коэффициентов асимптотик от параметра Соре. В работах [176, 182-184, 188] автору принадлежит проведение численных расчетов и участие в интерпретации результатов.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Лобов, Николай Иванович

выводы

1. Рассмотрено влияние продольного напорного течения на механизмы неустойчивости течения в плоском вертикальном слое, нагреваемом сбоку. Обнаружена взаимная стабилизация конвективного течения и вынужденного движения относительно гидродинамических механизмов неустойчивости. Установлено стабилизирующее действие (в целом) вынужденного течения на тепловой механизм кризиса течения. Получены асимптотические характеристики устойчивости течения при большой интенсивности вынужденного движения. Обнаружено уменьшение порогового числа Прандтля, при котором появляются нарастающие тепловые волны.

2. Рассмотрено влияние встречного движения границ на конвективные механизмы кризиса течения в нагреваемом сбоку вертикальном слое. Обнаружено стабилизирующее действие (в целом) вынужденного движения на тепловую колебательную моду неустойчивости. Обнаружено уменьшение порогового числа Прандтля, при котором появляются нарастающие тепловые волны. Обнаружено появление дополнительной моды неустойчивости, связанной с монотонными тепловыми возмущениями. Установлено, что монотонные тепловые возмущения приводят к понижению устойчивости течения. Рассмотрены вторичные конвективные режимы в области монотонной тепловой неустойчивости. Обнаружено мягкое возбуждение вторичных режимов на нижней границе области неустойчивости и жесткое - на верхней границе.

3. Рассмотрено влияние продольного градиента давления на устойчивость течения в вертикальном слое с равномерно распределенными внутренними источниками тепла. Обнаружено подавление конвективных механизмов кризиса попутным вынужденным движением слабой и умеренной интенсивности. Установлена возможность полной дестабилизации течения в присутствии интенсивного попутного вынужденного движения. Установлено, что при встречном вынужденном движении кризис течения связан с бегущими тепловыми возмущениями, устойчивость течения при этом повышается.

4. Рассмотрено влияние встречного движения границ на устойчивость течения в вертикальном слое с равномерно распределенными внутренними источниками тепла. Обнаружено сильное стабилизирующее действие вынужденного движения.

5. Рассмотрено влияние тепловых граничных условий на механизмы неустойчивости свободно-конвективного течения в плоском вертикальном слое. В случае теплоизолированных границ обнаружено существенное понижение порогового числа Прандтля, при котором становится опасным вязкий тепловой механизм кризиса.

6. Обнаружена и изучена длинноволновая неустойчивость комбинированного течения в наклонном слое, нагреваемом сбоку, при совместном действии встречного движения границ слоя и продольного напорного движения.

7. Обнаружена и изучена длинноволновая неустойчивость комбинированного течения в вертикальном слое с равномерно распределенными внутренними источниками тепла при совместном действии встречного движения границ слоя и продольного напорного движения.

8. Изучена конвективная устойчивость равновесия двухслойной системы жидкостей с близкими плотностями и деформируемой поверхностью раздела. Обнаружена стабилизация монотонной неустойчивости при уменьшении числа Галилея. Обнаружена новая мода неустойчивости, связанная с бегущими волнами. «

9. Изучена устойчивость Бенара-Марангони в горизонтальном слое жидкости с недеформируемой свободной поверхностью. Установлено, последовательный учет эффектов плавучести приводит к меньшему понижению устойчивости равновесия, чем при использовании приближения Буссинеска. Установлено, что в условиях микрогравитации эффекты плавучести практически не влияют на монотонную неустойчивость Марангони. Обнаружено подавление релеевской неустойчивости плоского слоя, подогреваемого снизу, с уменьшением числа Галилея. Установлено, что подавление релеевской моды неустойчивости существует при различных уравнениях состояния. Изучена устойчивость Бенара-Марангони в горизонтальном слое жидкости с деформируемой свободной поверхностью относительно монотонных длинноволновых и ячеистых возмущений. Установлено, что приближение Буссинеска приводит к неправильному выводу об их относительной опасности. Изучена устойчивость слоя жидкости с деформируемой свободной поверхностью относительно колебательных возмущений/Показано, что учет плавучести при обычном знаке коэффициента теплового расширения приводит к стабилизации колебательной неустойчивости Марангони. Показано, что влияние подогрева на колебательную неустойчивость противоположное в приближении Буссинеска и при корректном учете плавучести.

10. Обнаружено подавление релеевской неустойчивости плоского горизонтального слоя жидкости между твердыми границами в условиях сильного подогрева снизу и пониженной гравитации.

11. Изучена устойчивость поверхности раздела системы жидкость-взвесь в высокочастотном вибрационном поле. Обнаружено образование стационарного рельефа на поверхности раздела при касательных вибрациях. Показано, что существует диапазон значений параметров задачи, при которых возможна и более опасна колебательная неустойчивость, приводящая к медленному дрейфу рельефа. Установлено, что поперечные колебания, совершаемые в фазе с продольными колебаниями, сначала приводят к некоторой дестабилизизации (в целом) системы. Дальнейшее усиление поперечного вибрационного воздействия приводит к повышению устойчивости. Установлено, что наличие сдвига фаз колебаний может приводить к повышению порога устойчивости. Обнаружена неустойчивость системы при вертикальных вибрациях. Установлено, что при этом кризис обусловлен монотонными длинноволновыми возмущениями.

12. Изучено влияние вибраций на тепломассообмен в процессах выращивания кристаллов. Исследовано влияние поперечных вибраций конечной частоты на морфологическую неустойчивость плоского фронта кристаллизации. Обнаружено, что с увеличением морфологического параметра понижается порог параметрической неустойчивости. Установлено, что вибрации высокой частоты усиливают морфологическую неустойчивость фронта кристаллизации. Установлено, что вибрации низкой частоты приводят к ослаблению морфологической неустойчивости.

13.Изучено влияние вибраций на тепломассообмен при выращивании кристаллов вертикальным методом Бриджмена. Обнаружено увеличение интенсивности среднего течения и уменьшение прогиба фронта кристаллизации под действием высокочастотных аксиальных колебаний ампулы.

14. Изучено влияние высокочастотных поперечных вибраций на устойчивость термоконцентрационного течения в нагреваемом сбоку плоском вертикальном слое. Получена зависимость порогового числа Прандтля, при котором становится опасным вязкий тепловой механизм кризиса, от параметра Соре. В случае нормальной термодиффузии обнаружено существование диапазона значений числа Прандтля, внутри которого тепловые волны полностью подавляются. Обнаружено, что нормальная термодиффузия ослабляет стабилизирующее воздействие вибраций.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Лобов, Николай Иванович, 2005 год

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т. 6. Гидродинамика // М.: Наука, 1986. 736 с.

2. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости .// М.: Мир, 1981. 638 с.

3. Линь Цзя Цзяо. Теория гидродинамической устойчивости // М.: Иностранная литература, 1958. 194 с.

4. Шлихтинг Г. Возникновение турбулентности // М.: ИЛ, 1962. 203 с.

5. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости // М.: Мир, 1971.350 с.

6. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность // Новосиб.: Наука, 1977. 366 с.

7. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная неустойчивость несжимаемой жидкости .// М.: Наука, 1972. 392 с.

8. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная неустойчивость. В кн. Механика жидкости и газа (Итоги науки и техники) // М.: ВИНИТИ, 1978. Т. 11. С. 66-154.

9. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений // М.: Наука, 1989. 320 с.

10. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability // Oxford: Clarendon Press, 1961. 654 p.

11. Лыков A.B., Берковский Б.М. Конвекция и тепловые волны // М.: Энергия, 1974. 335 с.

12. Мартыненко О.Г., Соковишин Ю.А. Теплообмен смешанной конвекцией // Минск: Наука и техника, 1975. 256 с.

13. Orr W.McF. The stability or instability of the steady motion of a liquid // Proc. Roy. Irish. Acad. A., 1906-107. V. 27. P.9-27, 69-138.

14. Sommerfeld A. Ein Beitrag zur hydrodynamischen Erklarung der turbulenten Flussigkeitsbewegung // Proc. 4-th Intern. Congress math. Rome, 1908. P. 116

15. Mises R. Kleiner Swingungen und Turbulenz // Jahresbericht der Deutshen Matemathiker Vereiniguns, 1912. Bd. 21. S. 241-248.

16. Hopf L. Der Verlauf kleiner Swingungen auf einer Stromung reibender Flussigkeit // Ann. Phys., 1914. Bd. 44. N 1. S. 1-60.

17. Rayleigh. On the stability of the simple shearing motion of a viscous incompressible fluid // Scient. Papers, 1915. V. 6. P. 341-349.

18. Дикий JI.А. Об устойчивости плоскопараллельного течения Куэтта // ПММ, 1965. Т. 28. № 2. С. 398-392.

19. Deadorff J.W. On the stability of viscous plane Couette flow // J. Fluid Mech., 1963. V. 15. P. 623-631.

20. Бирих P.B. О спектре малых возмущений плоскопараллельного течения Куэтта // ПММ, 1965. Т. 29. № 4. С. 798-800.

21. Бирих Р.В. О малых возмущениях плоскопараллельного течения с кубическим профилем скорости // ПММ, 1966. Т.30. № 2. С. 356-361.

22. Штерн В.Н., Устойчивость плоского течения Куэтта // Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1969. № 5. С. 117-119.

23. Штерн В.Н., Спектр малых возмущений плоского течения Куэтта // Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1970. № 1. С. 189-190.

24. Романов В.А. Устойчивость плоскопараллельного течения Куэтта// Докл. АН СССР, 1971. Т. 196. №5. С. 1049-1051.

25. Романов В.А. Устойчивость плоскопараллельного течения Куэтта // Препринт. М.: ИПМ АН СССР, 1971. № 1. 26 с.

26. Ягодкин В.И. К теории устойчивости течения вязкой жидкости в каналах // ПММ, 1960. Т.24. № 5. С. 865-872.

27. Басин A.M., Короткин А.И., Козлов Л.Ф. Управление пограничным слоем судна// Л.: Судостроение, 1968. 491 с.

28. Thomas L.H. The stability of plane Poiseuille flow // Phys. Rev., 1953. V. 91. N4. P. 780-783.

29. Reynolds W.C., Potter M.C. Finite-amplitude instability of parallel shear flows // J. Fluid Mech., 1967. V. 27. N 3. P. 465-492.

30. Orzag S.A. accurate solution of the Orr-Sommerfeld stability equaton // J. Fluid Mech., 1971. V. 50. N 4. P. 689-704.

31. Сапожников В.А., Штерн B.H. Численный анализ устойчивости плоского течения Пуазейля // Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1969. № 4. С. 115-117.

32. Гольдштик М.А., Сапожников В.А., Штерн В.Н. Локальные свойства задачи гидродинамической устойчивости // Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1970. №2. С. 56-61.

33. Андрейчиков И.П., Юдович В.И. Об автоколебательных режимах, ответвляющихся от течения Пуазейля в плоском канале // Докл. АН СССР, 1965. Т. 162. № 5. С. 975-978.

34. Chen T.S., Joseph D.D. Subcritical bifurcation of plane Poiseuille flow // J. Fluid Mech., 1973. V. 58. N 2. P. 337-352.

35. Гольдштик M.A., Штерн B.H. Модельные автоколебания и турбулентность. В кн. Проблемы теплофизики и физической гидродинамики // Но-восиб.: Наука, 1974. С. 17-25.

36. Herbert Т. Noninear stability of parallel flow by high-order amplitude expansions // AIAA Journal, 1980. V. 18. N 3. P. 243-248.

37. Гершуни Г.З. Об устойчивости плоского конвективного движения жидкости // Ж. техн. физ., 1953. Т. 23. № 10. С. 1838-1844.

38. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. О двух типах неустойчивости конвективного движения меду параллельными вертикальными плоскостями // Изв. высш. уч. завед. Физика, 1958. № 4. С. 43-47.

39. Бирих Р.В., Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. О спектре возмущений плоскопараллельных течений при малых числах Рейнольдса // ПММ, 1965, Т. 29. № i.e. 88-98.

40. Шапошников И.Г. К теории слабой конвекции // Ж. техн. физ., 1952. Т. 22. № 5. С. 826-828.

41. Бирих Р.В. О малых возмущениях плоскопараллельного течения с кубическим профилем скорости // ПММ, 1966. Т.ЗО. № 2. С. 356-361.

42. Рудаков Р.Н. О малых возмущениях конвективного движения между вертикальными плоскостями // ПММ, 1966. Т.ЗО. № 2. С. 362-368.

43. Рудаков Р.Н. Спектр возмущений и устойчивость конвективного движения между вертикальными плоскостями // ПММ, 1967. Т.31. № 2. С. 349355.

44. Рудаков Р.Н. О форме нормальных возмущений в конвективном потоке между вертикальными плоскостями // Уч. зап. Пермск. ун-та, 1968. № 184. Гидродинамика. Вып. 1. С. 105-115.

45. Бирих Р.В., Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Рудаков Р.Н. О колебательной неустойчивости плоскопараллельного конвективного движения в вертикальном канале // ПММ, 1972, Т. 36. № 4. С. 745-748.

46. Бирих Р.В., Рудаков Р.Н. Применение метода ортогонализации в пошаговом интегрировании при исследовании устойчивости конвективных течений // Уч. зап. Пермск. ун-та, 1974. № 316. Гидродинамика. Вып. 5. С. 149-158.

47. Ланс Дж.Н. Численные методы для быстродействующих вычислительных машин // М.: ИЛ, 1962. 208 с.

48. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров // М.: Наука, 1973. 832 с.

49. Gill А.Е., Kirkham С.С. A note on the stability of convection in a vertical slot // J. Fluid Mech., 1970, V. 42. N 1. P. 125-127.

50. Бирих P.B., Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M., Рудаков Р.Н., Шихов В.М. Об устойчивости стационарного конвективного движения при большихчислах Прандтля // Уч. зап. Пермск. ун-та, 1975. № 327. Гидродинамика. Вып. 6. С. 63-72.

51. Gotoh К., Satoh М. The stability of natural convection between two parallel vertical planes // J. Phys. Soc. Jap., 1966. V. 21. N 3. P. 542-548. '

52. Mizushima J., Gotoh K. The stability of natural convection in a vertical fluid layer // J. Fluid. Mech., 1976. V. 73. N 1. P. 65-75.

53. Gotoh K., Ikeda N. Asymptotic solution of the instability problem of channel flows with antisymmetric velocity profile // J. Phys. Soc. Jap., 1972. V. 32. N 3. P. 845-850.

54. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M., Якимов A.A. Об устойчивости стационарного конвективного движения, вызванного внутренними источниками тепла // ПММ, 1970. Т.34. № 4. с. 700-705.

55. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Якимов А.А. Об двух типах неустойчивости стационарного конвективного движения, вызванного внутренними источниками тепла// ПММ, 1973. Т.37. № 3. С. 546-568.

56. Якимов А.А. О форме неустойчивости стационарного конвективного движения, вызванного внутренними источниками тепла // Гидродинамика. Вып. 4. Пермь: Перм. ун-т., 1972. С. 37-42.

57. Takashima М. the stability of natural convection in a vertical fluid layer with internal heat generation // J. Phys. Soc. Jap., 1983. V. 52. N 7. P. 2364-2370.

58. Якимов A.A. Вторичные конвективные движения в плоском вертикальном слое жидкости с внутренними источниками тепла // Гидродинамика. Вып. 7. Пермь: Перм. пед. ин-т., 1974. С. 53-64.

59. Козлов В.Г. Экспериментальное исследование устойчивости конвективного движения жидкости, вызванного внутренними источниками тепла // Изв. АН СССР. МЖГ, 1978. № 4. С. 23-27.

60. Зайцев В.М., Сорокин М.П. К вопросу об устойчивости теплового конвективного движения жидкости в вертикальной щели // Уч. зап. Пермск. ун-та, 1961. Т. 19. № 3. С. 29-32.

61. Бирих Р.В., Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Рудаков Р.Н. Устойчивость стационарного конвективного движения жидкостей с продольным градиентом температуры // ПММ, 1969, Т. 33. № 6. С. 958-968.

62. Мызников В.М. Об неустойчивости конвективного движения в плоском вертикальном слое при наличии продольного градиента температуры // Уч. зап. Пермск. ун-та, 1970. № 216. Гидродинамика. Вып. 2. С. 99-107.

63. Bergholz R.F. Instability of steady natural convection in a vertical fluid layer // J. Fluid Mech., 1978. V. 84. N 4. P. 743-768.

64. Gotoh K., Yanase S., Mizushima J. The instability of natural convection in a vertical fluid layer in the presence of adverce temperature gradient // J. Phys. Soc. Jap., 1977. V. 45. N 5. P. 1173-1882.

65. Gotoh K., Mizushima J. The stability of convection between two parallel vertical walls // J. Phys. Soc. Jap., 1973. V. 34. N 5. P. 1408-1413.

66. Бирих P.B., Рудаков Р.Н. О форме неустойчивости плоскопараллельного конвективного движения с продольным градиентом температуры // Уч. зап. Пермск. ун-та, 1971. № 248. Гидродинамика. Вып. 3. С. 56-63.

67. Гершуни Г.З. К вопросу об устойчивости плоского конвективного движения жидкости //Ж. техн. физ., 1955. Т. 25. № 2. С. 351-357.

68. Бирих Р.В., Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Рудаков Р.Н. Гидродинамическая и тепловая неустойчивость стационарного конвективного движения // ПММ, 1968, Т. 32. № 2. С. 256-263.

69. Бирих Р.В., Гершуни Г.З, Жуховицкий Е.М., Рудаков Р.Н. О колебательной неустойчивости стационарного конвективного движения в плоском наклонном слое // Уч. зап. Пермск. ун-та, 1974. № 316. Гидродинамика. Вып. 5. С. 138-148.

70. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Об устойчивости плоскопараллельного конвективного движения относительно пространственных возмущений // ПММ, 1969, Т. 33. № 5. С. 855-860.

71. Squire Н.В. On the stability for three dimensional disturbances of viscous fluidflow between parallel walls // Proc. Roy. Soc., 1933, A142, N 848. P. 621-628.

72. Гершуни Г.З. К вопросу об устойчивости стационарного конвективного движения вязкой жидкости // Уч. зап. Пермск. ун-та, 1961. Т. 19. № 3. С. 25-28.

73. Гершуни Г.З, Жуховицкий Е.М., Шихов В.М. Об устойчивости конвективного течения жидкости с вязкостью, зависящей от температуры // Те-плофиз. высоких температур, 1975. Т. 13. № 4. С. 771-778.

74. Дементьев О.Н. Устойчивость конвективного движения среды, несущей твердую примесь // Уч. зап. Пермск. пед. ин-та, 1974. Гидродинамика. Вып. 7. С. 3-15.

75. Дементьев О.Н. Конвективная устойчивость среды, содержащей тяжелую твердую примесь // ПМТФ, 1976. № 3. с. 105-115.

76. Дементьев О.Н. Об устойчивости конвективного движения запыленного газа // Уч. зап. Пермск. пед. ин-та, 1976. Гидродинамика. Вып. 9. С. 71-76.

77. Гершуни Г.З., Дементьев О.Н., Жуховицкий Е.М. О влиянии тепловых свойств границ на устойчивость конвективного течения в вертикальном слое // Инж.-физ. журнал, 1977. Т. 32. № 6. С. 1062-1064.

78. Ozisik M.N., Hassab М.А. Effects of convective boundary conditions on the stability of conduction regime in an inclined slender slot // Numer. Heat Transfer, 1979. V. 2. P. 251-260.

79. Hassab M.A., Ozisik M.N. Effects of thermal wall resistance on the stability of conduction regime in an inclined narrow slot // Int. J. Heat Mass Transfer, 1981. V. 24. N4. P. 739-747.

80. Gershuni G.Z., Lyubimov D.V. Thermal Vibrational Convection // N.Y.: Wiley, 1998. 358 p.

81. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Вибрационная тепловая конвекция в невесомости. // Гидромеханика и процессы переноса в невесомости. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. С. 85-105.

82. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т. 1. Механика // М.:1. Наука, 1988. 215 с.

83. Зеньковская С.М., Симоненко И.Б. О влиянии вибраций высокой частоты на возникновение конвекции // МЖГ, 1983. № 2. С. 51-55.

84. Шарифулин А.Н. Устойчивость конвективного движения в вертикальном слое при наличии продольных вибраций // МЖГ, 1983. № 2. С. 186-188.

85. Шарифулин А.Н. Волновая неустойчивость свободноконвективного движения в вибрационном поле // Нестационарные процессы в жидкостях и твердых телах. Сверловск: УНЦ АН СССР, 1983. С. 58-62.

86. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Шихов В.М. Устойчивость конвективного течения в вертикальном слое при наличии поперечной вибрации // Конвективные течения. Пермь: Перм. пед. ин-т, 1987. С. 18-24.

87. Шапошников И.Г. К теории конвективных явлений в бинарной смеси // ПММ, 1953. Т. 17. Вып. 5. С. 604-606.

88. Hart J.E. On sideways diffusive instability // J. Fluid Mech., 1971. V. 49. N 2. P. 279-288.

89. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M., Сорокин JI.E. Об устойчивости плоскопараллельного конвективного течения бинарной смеси // ПММ, 1980. Т. 44. Вып. 5. С. 823-830.

90. Сорокин JI.E. О колебательной неустойчивости плоскопараллельного конвективного течения бинарной смеси // Конвективные течения. Пермь: Перм. пед. ин-т, 1981. С. 69-75.

91. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Сорокин JI.E. Об устойчивости конвективного течения бинарной смеси с термодиффузией // ПММ, 1982. Т. 46. вып. 1. С. 66-71.

92. Сорокин JI.E. Устойчивость конвективного течения бинарной смеси с термодиффузией относительно длинноволновых возмущений // Конвективные течения. Пермь: Перм. пед. ин-т, 1983. С. 72-76.

93. Gershuni G.Z., Zhukhovitsky Е.М., Yakimov A.A. On stability of plane-parallel convective motion due to internal heat sources // Int. J. Heat Mass

94. Transfer. 1974. V. 17. N 7. P. 717-726.

95. Горлей B.B., Шендеровекий B.A. Исследование устойчивости конвективного течения вязкой жидкости методом локального потенциала // Инж.-физ. журнал, 1981. Т. 40. № 4. С. 673-677.

96. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // J. Atmos. Sci., 1963. V. 20. N 2. P. 130-141.

97. Герценштейн С.Я., Шмидт B.M. О взаимодействии волн конечной амплитуды в случае конвективной неустойчивости вращающегося плоского слоя // Докл. АН СССР, 1974. Т. 219. № 2. С. 297-300.

98. Любимов Д.В., Путин Г.Ф., Чернатынский В.М. О конвективных движениях в ячейке Хеле-Шоу // Докл. АН СССР, 1977. Т. 235. № з. с. 554-556.

99. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Тарунин Е.Л. Вторичные стационарные конвективные движения в плоском вертикальном слое жидкости // МЖГ, 1968. №5. С. 130-136.

100. Тарунин Е.Л. О вторичных стационарных конвективных течениях в вертикальном слое // Уч. зап. Пермск. ун-та, 1972. № 293. Гидродинамика. Вып. 4. С. 71-83.

101. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Сорокин Л.Е., Тарунин Е.Л. Вторичные колебательные конвективные движения в плоском вертикальном слое жидкости // МЖГ, 1974. № 1. С. 94-101.

102. Сорокин Л.Е. О нелинейном конвективном движении в плоском вертикальном слое в области колебательной неустойчивости // Уч. зап. Персмк. ун-та, 1974. № 316. Гидродинамика. Вып. 5. С. 127-137.

103. Непомнящий А.А. О вторичных конвективных движениях в плоском вертикальном слое // МЖГ, 1975. № 4. С. 3-11.

104. Непомнящий А.А. О нестационарных вторичных конвективных движениях в плоском вертикальном слое // Конвективные течения. Пермь: Пермск. пед. ин-т, 1979. С. 61-68.

105. Непомнящий А.А. О типах неустойчивости вторичных конвективныхтечений в вертикальном слое // Конвективные течения и гидродинамическая устойчивость. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1979. С. 17-23.

106. Возовой Л.П., Непомнящий А.А. Модель нелинейного взаимодействия возмущений с кратными волновыми числами для конвективного течения в вертикальном слое // Конвективные течения. Пермь: Пермск. пед. ин-т, 1981. С. 89-97.

107. Кирдяшкин А.Г., Леонтьев А.И., Мухина Н.В. Устойчивость ламинарного течения жидкости в вертикальных слоях при естественной конвекции//МЖГ, 1971, №5. С. 170-174.

108. Непомнящий А.А. О вторичных конвективных движениях в плоском наклонном слое // МЖГ, 1977. № 3. С. 3-9.

109. Непомнящий А.А. Вторичные конвективные движения в плоском наклонном слое // Уч. зап. Пермск. пед. ин-та, 1977. Гидродинамика. Вып 10. С. 94-102.

110. Сорокин Л.Е. О нелинейном конвективном движении бинарной смеси с термодиффузией // Гидродинамическая и конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1984. С. 19-26.

111. Сорокин Л.Е. Подкритическое конвективное движение бинарной смеси с термодиффузией // Неизотермические течения вязкой жидкости. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985. С. 19-23.

112. Русаков С.В., Шкарапута А.П. Численное исследование влияния эффекта термодиффузии на устойчивость равновесия бинарной смеси в замкнутой области / Межвуз. сб. науч. трудов. Пермь, 2004. Гидродинамика. Вып. 14. С. 200-214.

113. Бирих Р.В., Рудаков Р.Н. О влиянии движения границ на устойчивость конвективного течения между вертикальными плоскостями // Уч. зап. Пермск. ун-та, 1970. № 216. Гидродинамика. Вып. 2. С. 93-98.

114. Тарунин E.JI. Вторичное конвективное движение жидкости в вертикальном слое с подвижными границами // Уч. зап. Пермск. ун-та, 1974. № 316. Гидродинамика. Вып. 5. С. 115-126.

115. Fukui К., Nakajima М., Ueda Н., Mizushima Т. Flow instability and transport phenomena in combined free and forced convection between vertical parallel plates //J. Chem. Eng. Jap., 1982, V. 15. N 3. P. 172-180.

116. Шихов B.M. Об устойчивости конвективного движения в вертикальном слое с проницаемыми границами // Уч. зап. Пермск. пед. ин-та, 1974. Гидродинамика, вып. 7. С. 17-24.

117. Шихов В.М. Устойчивость конвективного движения в плоском вертикальном слое жидкости с проницаемыми границами // ПМТФ, 1976. № 1. С. 94-101.

118. Шихов В.М. Спектры возмущений и устойчивость конвективного движения в вертикальном слое с проницаемыми границами // Уч. зап. Пермск. ун-та, 1976. № 362. Гидродинамика, вып. 8. С. 69-78.

119. Gallagher А.Р., Mercer A.McD. On the behaviour of small disturbances in plane Couette flow with a temperature gradient // Proc. Roy. Soc., 1965. V. A286. N 1404. P. 117-128.

120. Dearorff J.W. Gravitational instability between horizontal plates with shear // Phys. fuids, 1965. V. 8. N 6. P. 1027-1030.

121. Gage K.S., Reid W.H. The stability of thermally stratified plane Poiseuille flow//J. Fluid. Mech., 1968. V. 33. N 1. P. 21-32.

122. Chen T.S., Moutsoglou A. Wave instability of mixed convection flow oninclined surfaces // Numer. Heat Transf., 1979. V. 2. N 4. P. 497-509.

123. Hurle D.T.J., Jakeman E., Pike E.R. On the solution of the Benard problem with boundaries of finite conductivity // Proc. Roy. Soc., 1967. V. A296. N 1477. P. 469-475.

124. Дементьев O.H., Любимов Д.В. О возникновении конвекции в горизонтальном слое пористой среды // Уч. зап. Пермск. ун-та, 1972. № 293. Гидродинамика. Вып. 4. С. 25-32.

125. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Рудаков Р.Н. К теории релеевской неустойчивости // ПММ, 1967. Т. 31. Вып. 5. С. 812-819.

126. Колесников А.К., Любимов Д.В. О конвективной неустойчивости жидкости в наклонном слое пористой среды // ПМТФ, 1973. № 3. С. 127-131.

127. Drasin P.G., Reid W.H. Hydrodynamic Stability // Cambridge: Cambridge University Press, 1981. 312 p.

128. Davis S.H., Homsy G.M. Energy stability theory for free-surface problems: buoyancy-thermocapillaiy layers // J. Fluid Mech., 1980. V.98. N 3. P. 527553.

129. Изаксон B.X., Юдович В.И. О возникновении конвекции в слое жидкости со свободной границей // МЖГ, 1968. № 4. С. 23-28.

130. Renardy Y., Joseph D.D. Oscillatory instability in a Bernard problem of two fluids // Phys. Fluids, 1985. V. 28. N 3. P. 788-793.

131. Renardy Y., Renardy M. Perturbation analysis of steady and oscillatory ' onset in a Bernard problem with two simila liquids // Phys. Fluids, 1985. V.28. N 9. P. 2699-2708.

132. Pearson J.K.A. On convection cells induced by surface tension // J. Fluid Mech., 1958. V. 4. N 5. P. 489-495.

133. Birikh R.V., Briskman V.A., Velarde M.G, Legros J.-C. Liquid Interfacial Systems: Oscillations and Instability // Surfactant science series. V. 113. New York-Basel, 2003. 367 p.

134. Nield D.A. Surface tension and buoyancy effects in cellular convection // J.

135. Fluid Mech., 1964. V. 19, 341-352.

136. Scriven L.E., Sterling C.V. On cellular convection driven by surface-tension gradients: Effects of mean surface tension and surface viscosity // J. Fluid Mech., 1964. V. 19,321-332.

137. Smith K.A. On convective instability induced by surface-tension gradients // J. Fluid Mech., 1966. V. 24, 401-414.

138. Takashima M. Surface-tension driven instability in a horizontal liquid layer with a deformable free surface. II. Overstability // J. Phys. Soc. Jap., 1981. V. 50, 2751-2756.

139. Davis S.H., Homsy G.M. Energy stability theory for free-surface problems: Buoyancy-thermocapillary layers // J. Fluid Mech., 1980. V. 98. Part 3. 527553.

140. Perez-Garcia C., Carneiro G. Linear stability analysis of Benard-Marangoni convection in fluids with a deformable free surface // Phys. Fluids, 1991. V. 3. P. 292-298.

141. Regnier V.C., Dauby P.C., Lebon G. Linear and nonlinear Rayleigh-Benard-Marangoni instability with surface deformations // Phys. Fluids, 2000. V. 12. P. 11-19.

142. Andreev V.K., Ryabitskii A.A. Onset of microconvection in a plane layer with free boundaiy // Zh. Prikl. Mekh. i Tekhn. Fiziki, 2004. V. 45. N 1. P.29-38.

143. Пухначев В.В. Микроконвекция в вертикальном слое // МЖГ, 1994ю № 5. G. 76-84.

144. Ben Hadid Н., Lyubimov V.D., Ма D.-J. Rotating magnetic field influence on a stability of thermocapillary flow in a liquid zone // Intern. Conference

145. Advanced Problem in Thermal Convection". Abstracts. Perm, 2003. P. 23-24.7

146. Berdnikov V.S., Vinokurov V.A., Vinokurov V.V., Gaponov V.A. Thermal gravitational-capillary convection in Czochralski crystal growth method witn motionless crucible // Intern. Conference "Advanced Problem in Thermal

147. Convection". Abstracts. Perm, 2003. P. 31-32.

148. Mullins W.W., Sekerka R.F. Stability of a planar interface during solidification binary alloy //J. Appl. Phys., 1964. N 35. P. 444.

149. Savina T.V., Nepomyashchy A.A., Brandon S., Lewin D.R., Golovin A.A. Suppressing morphological instability via feedback control // J. Crystal Growth, 2002. V. 240. P. 292-304.

150. Coriell S.R., Cordes M.R., Boetinger W.S., Sekerka R.F. Convective and interfacial instabilities during directional solidification // J. Crystal Growth, 1980. V. 49. P. 13-28.

151. Hurle D.T.J., Jakeman E., Wheeler A.A. Effect of solutal convection on the morphological stability of a binary alloy // J. Crystal Growth, 1982. V. 58. P. 163- 179.

152. Lee S.C., Hwang C.C., Hsieh J.Y., Lee K.Y. Morphological instabilities in rapid directional solidifications under local nonequilibrium conditions // J. Crystal Growth, 1999. V. 200. P. 305 320.

153. Biihler L., Davis S.H. Flow-induced changes of the morphological stability in directional solidification: localized morphology // J. Crystal Growth, 1998. V. 186. P. 629-647.

154. Lan C.W., Tu C.Y. Morphological instability due to double diffusive convection in directional solidification: the pit formation // J. Ciystal Growth, 2000. V. 220. P. 619-630.

155. Murray B.T., Coriell S.R., McFadden G.B. The effect of gravity modulation on solutal convection during directional solidification // J. Crystal Growth, 1991. V. 110. P. 713-723.

156. Schulze T.P., Davis S.H. Shear stabilization of morphological stability during directional solidification // J. Crystal Growth, V. 149. P. 253-265.

157. Volfson D., Vinals J. Morphological stability analysis of directional solidification into an oscillatory fluid layer // Phys. Fluids, 2001. V. 13, N 12. P. 3599-3609.

158. Lee H., Pearlstein A.J. Simulation of radial dopand segregation in vertical Bridgman growth of GaSe, a semiconductor with anisotropic solid-phase thermal conductivity III. Crystal Growth, 2001. V. 231. P. 148-170.

159. Liang M.C., Lan C.W. Tree-dimensional convection and solute segregation in vertical Bridgman crystal growth // J. Crystal Growth, 1996. V. 167. P. 320332.

160. Lan C.W., Ting C.C. Numerical Investigation on the bath characteristics of liquid encapsulated vertical Bridgman crystal growth // J. Grystal Growth, 1995. V. 149. P. 175-186.

161. Yao M., Chait A., Fripp A.L., Debnain WJ. Magnetically damped convection and segregation in vertical Bridgman crystal growth of PbSnT // J. Grystal Growth, 1997. V. 173. P. 467-480.

162. Lyubimova T.P., Dold P., Croell A., Khlybov O.A. Fayzrakhmanova I.S Numerical investigation of dynamic magnetic field influence on vertical Brdgman crystal growth // J. Grystal Growth, 2004. V. 266. P. 404-410.

163. Mayer S, Ostrogorsky A.G. Forced convection in vertical Bridgman configuration with the submerged heater // J. Crystal Growth, 1997. V. 171. P. 566-576.

164. Golyshev V.D., Gonik M.A. Terrestrial experimental research of new metod features of large single crystal growth // Proc. Microgravity sci. and applications session, Int. Aerospace Congr., Moscow< 1994. M., 1995. P. 167171.

165. Любимов Д.В., Черепанов А.А. О возникновении стационарного рельефа на поверхности раздела жидкостей в вибрационном поле // Изв. АН СССР. МЖГ, 1986. № 6. С. 8-13.

166. Kozlov V.G. Experimental investigation of vibrational convection in pseudoliquid layer // Rev. Proc. 1st Intern. Symp. on Hydromech. and Heat/Mass Transfer in Microgravity. Perm; Moscow: Gordon & Breach Sci. Publ., 1991. P. 57-61.

167. Ivanova A., Kozlov V., Evesque P. Patterning of "liquefied" sand surface in a cylinder filled with liquid and subjected to horizontal vibrations // Europhys. Lett., 1996. V. 35. N 3. P. 159-164.

168. D.V.Lyubimov, A.V.Straube. Numerical simulation of the behavior of suspension in high frequency vibrational field // 16th IMACS World Congress on the Scientific Computation, Applied Mathematics and Simulation. Proceedings, Lausanne, 2000. P. 411-417.

169. Лобов Н.И. Об устойчивости смешанного конвективного течения в плоском вертикальном слое // МЖГ, 1979. № 6. С. 130-132.

170. Лобов Н.И. Устойчивость комбинированного конвективного течения в вертикальном слое // Исследование тепловой конвекции и теплопередачи. Свердл.: УНЦ АН СССР, 1981. С. 9-11.

171. Лобов Н.И., Никитин А.И. О механизмах неустойчивости комбинированного конвективного течения // Пермь: Пермск. пед. ин-т. Пермь, 1981. Конвективные течения. С. 41-51.

172. Лобов Н.И., Никитин А.И. Влияние движения границ на устойчивость конвективного течения в вертикальном слое // Исследование тепловой конвекции и теплопередачи. Свердл.: УНЦ АН СССР, 1981. С. 12-15.

173. Лобов Н.И. Неустойчивость комбинированного конвективного течения в вертикальном слое // МЖГ, 1982. № 3. С. 3-9.

174. Лобов Н.И., Любимов Д.В. Длинноволновая неустойчивость плоскопараллельного конвективного течения в условиях фиксированного теплового потока // Пермь: Пермск. пед. ин-т. Пермь, 1983. Конвективные течения. С. 77-85.

175. Лобов Н.И., Тарунин Е.Л. Надкритический режим конвекции в вертикальном слое с движущимися границами // МЖГ, 1984. № 5. С. 10-14.

176. Липчин А.Т., Лобов Н.И. Влияние тепловых свойств границ на устойчивость конвективного течения в подогреваемом сбоку вертикальном слое // Пермь: Пермск. пед. ин-т. Пермь, 1987. Конвективные течения. С. 11-18.

177. Лобов Н.И., Любимов Д.В., Любимова Т.П. Конвективная устойчивость системы горизонтальных слоев несмешивающихся жидкостей с деформируемой границей раздела // МЖГ, 1996. № 2. С. 32-39.

178. Лобов Н.И., Шкляев С.В. Влияние движения границ на устойчивость конвективного течения в плоском слое с внутренними источниками тепла // Деп. ВИНИТИ, 1996. № 2004-В96. 17 с.

179. Лобов Н.И., Шкляев С.В. Влияние движения границ на устойчивость конвективного течения в вертикальном слое с внутренними источниками тепла // МЖГ, 1997. № 4. С. 3-8.

180. Lyubimov D.V., Lyubimova Т.Р., Alexander Iwan J.D. and Lobov N.I. On the Boussinesq approximation for fluid systems with deformable interfaces // Adv. Space Res., 1998. V. 22. N 8. P. 1159-1168.

181. Лобов Н.И., Любимов Д.В., Любимова Т.П. Поведение двухслойной системы жидкость-взвесь в вибрационном поле // МЖГ, 1999. № 6. С. 5562.

182. Василенко С.А., Лобов Н.И., Любимова Т.П. Влияние высокочастотных аксиальных вибраций на тепломассообмен при выращивании кристалловметодом Бриджмена // Пермь: Пермск. ун-т. Гидродинамика, 2004. Вып. 14. С. 62-77.

183. Лобов Н.И., Любимов Д.В., Любимова Т.П. Конвективная неустойчивость в условиях микрогравитации при большом перепаде температур // Пермь: Пермск. ун-т. Гидродинамика, 2004. Вып. 14. С. 140-147.

184. Лобов Н.И. Влияние продольного вынужденного течения на устойчивость конвекции в плоском вертикальном слое с внутренними источниками тепла // МЖГ, 2005. № 2. С. 14-17.

185. Лобов Н.И., Любимов Д.В., Любимова Т.П. Устойчивость границы раздела системы жидкость-взвесь под действием высокочастотных нелинейно-поляризованных вибраций // МЖГ, 2005 (принята к печати).

186. Лобов Н.И., Любимов Д.В., Любимова Т.П. Устойчивость Марангони -Бенара в слое жидкости с деформируемой свободной границей. // Итоги работы НОЦ. 2004 г. Пермь: Перм. гос. ун-т, 2005. С.

187. Васильев В.В., Лобов Н.И., Любимов Д.В., Любимова Т.П. Влияние вибраций на морфологическую неустойчивость фронта кристаллизации // 14 Зимняя школа по механике сплошных сред. Тезисы докл. Пермь, 2005. С. 54.

188. Лобов Н.И., Любимова Т.П., Мясникова И.Н. Влияние высокочастотных вибраций на устойчивость конвективного течения бинарной смеси ввертикальном слое //14 Зимняя школа по механике сплошных сред. Тезисы докл. Пермь, 2005. С. 194.

189. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений // М.: Мир, 1980. 279 с.

190. Воропаев В.Н., Ягодкин В.И. Об устойчивости некоторых непараллельных течений вязкой несжимаемой жидкости в канале // Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа, 1970. № 4. С. 125-129.

191. Кирдяшкин А.Г., Предтеченский А.А. Устойчивость режима пограничного слоя при свободной конвекции в плоской вертикальной щели // В кн.: Проблемы теплофизики и физической гидродинамики. Новосиб.: Наука, 1977. С. 111-119.

192. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных // М.: ИЛ, 1963. 487 с.

193. Том А., Эйплт К. Числовые расчеты полей в технике и физике // М.: Энергия, 1964. 208 с.

194. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости // М.: Мир, 1967.310 с.

195. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Семакин И.Г. О конвективной неустойчивости жидкости в горизонтальном слое, разделяющем массивы разной теплопроводности // Уч. зап. Пермск. ун-та, 1971. № 248. Гидродинамика. Вып. 3. С. 18-28.

196. Березовский Э.И., Перельман Т.Л., Ромашко Е.А. О конвективной неустойчивости в системе двух неограниченных горизонтальных слоев не-смешиваемых жидкостей // Инж.-физ. журн., 1974. Т. 27. № 6. С. 10981108.

197. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. О неустойчивости равновесия системы горизонтальных слоев несмешивающихся жидкостей при нагреве сверху // Из. АН СССР. Мех. жидк. и газа, 1980. № 6. С. 28-34.

198. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. О монотонной и колебательной неустойчивости двухслойной системы несмешивающихся жидкостей, подогреваемой снизу // Докл. АН СССР, 1982. Т. 265. № 2. С. 302-305.

199. Непомнящий А.А. О длинноволновой конвективной неустойчивости в горизонтальных слоях с деформируемой границей // Конвективные тече-нияю Пермь: Перм. пед. ин-т, 1983. С. 25-31.

200. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. О монотонной и колебательной неустойчивости двухслойной системы несмешивающихся жидкостей, подогреваемой снизу // Докл. АН СССР, 1982. Т. 265. № 2. С. 302-305.

201. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред // М.: Наука, 1978. 336 с.

202. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений // М.: Наука, 1970. 564 с.

203. Т.П. Любимова, Д.В. Любимов, Н.И. Лобов, А.А. Черепанов. Влияние вибраций на морфологическую неустойчивость // II Российская конференция по космическому материаловедению, КМ 2003. Тезисы докладов. Калуга, 2003. С. 40.