Некоторые вопросы асимптотической теории внутренних волн в пограничных слоях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Проценко, Игорь Геннадьевич

• Проценко, Игорь Геннадьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Проценко, Игорь Геннадьевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ОПИСАНИЮ ЭВОЛЮЦИИ ВОЗМУЩЕНИЙ И ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ПРИСТЕНОЧНОЙ СТРУИ. АСИМПТОТИКА ВЕРХНЕЙ И НИЖНЕЙ ВЕТВЕЙ НЕЙТРАЛЬНОЙ КРИВОЙ.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Трехпалубная теория свободного взаимодействия возмущений в плоской струе несжимаемой жидкости. Асимптотика нижней ветви нейтральной кривой.

1.2.1. Асимптотические разложения в основной части течения.

1.2.2. Асимптотические разложения в пристеночной нелинейной области.

1.2.3. Линейное приближение.

1.2.4. Неустойчивая мода в спектре собственных колебаний. Асимптотика нижней ветви нейтральной кривой.

1.2.5. Асимптотика функции Эйри в окрестности отрицательной вещественной оси.

1.2.6. Анализ бесконечного спектра собственных решений.

1.2.7. Некоторые решения дисперсионного соотношения.

1.3. Пятипалубная теория устойчивости пристеночной струи. Асимптотика верхней ветви нейтральной кривой.

1.3.1. Решение уравнений для возмущений в основной толще пограничного слоя.

1.3.2. Критические и вязкие критические слои.

1.3.3. Сращивание асимптотических разложений.

1.3.4. Вывод дисперсионных соотношений.

ГЛАВА 2. ЧЕТЫРЕХПАЛУБНАЯ АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В ПРИСТЕНОЧНОЙ СТРУЕ.

2.1. ЧЕТЫРЕХПАЛУБНАЯ АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СИЛЬНО НЕЛИНЕЙНЫХ возмущений.

2.1.1. Вывод уравнения Кортевега-де Вриза.

2.1.2. Фазовая плоскость автомодельных решений уравнения Кортевега - де Вриза.

2.1.3. Роль вязкого пристеночного подслоя.

2.2. Осциллирующая стенка.

2.2.1. Генерация солитонов на неоднородности поверхности.

ГЛАВА 3. О НЕЙТРАЛЬНЫХ КРИВЫХ В ЗАДАЧЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛОСКОГО ТЕЧЕНИЯ КУЭТТА-ПУАЗЕЙЛЯ.

3.1. Нелинейное взаимодействие пристеночных слоев с ядром течения Куэтта-Пуазейля.

3.2. Асимптотическая теория устойчивости течения Куэтта-Пуазейля

3.3. Свойства дисперсионного соотношения.

3.4. Предельный случай для дисперсионного соотношения.

ГЛАВА 4. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛОСКОГО ТЕЧЕНИЯ КУЭТТА-ПУАЗЕЙЛЯ.

4.1. Введение.

4.2. Ядро возмущенного течения Куэтта-Пуазейля.

4.3. Трехъяруснаясхемавозмущений: uw = 0(Re~2'7).

4.4. Многоярусная схема возмущений с отделенными от стенок критическими слоями: uw = 0(ReT2!11).

4.5. Структура возмущений с двумя критическими слоями, один из которых граничит с верхней стенкой: uw = 0(Re~2/13).

4.6. Структура возмущений с одним критическим и двумя пристеночными слоями: uw = 0(Re~^19).

ВЫВОДЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые вопросы асимптотической теории внутренних волн в пограничных слоях»

Введенная в конце шестидесятых годов концепция самоиндуцированного давления оказалась исключительно плодотворной и во многом определила облик современной теории пограничного слоя с взаимодействием и отрывом. Согласно этой концепции градиент давления, в отличие от классических представлений Прандтля [1], индуцируется самим пограничным слоем и не может быть вычислен по решению внешней задачи потенциального обтекания. Результат асимптотического анализа системы уравнений Навье-Стокса [2-8] состоит в выводе уравнений Прандтля с самоиндуцированным давлением для непосредственно прилегающей к обтекаемой поверхности узкой подобласти, которая оказывает преобладающее влияние на рост толщины вытеснения пограничного слоя.

Наиболее впечатляющим результатом названной теории явилось раскрытие внутренней структуры течения вязкого газа в окрестности точки отделения нулевой линии тока от тела, включая описание самой сложной из подобластей в глобальной картине поля скоростей, а именно, той подобласти, где меняется знак параболичности системы уравнений Прандтля. Применение метода внешних и внутренних асимптотических разложений [9-16] и построение решения уравнений Навье-Стокса в виде рядов по обратным степеням числа Рейнольдса в трех расположенных друг над другом слоях (палубах) фактически придавало совершенно иной, неклассический, смысл уравнениям для пристеночной зоны течения: хотя эти уравнения сохраняли вид уравнений Прандтля, градиент давления уже не являлся известной функцией и подлежал определению из решения нетривиальной краевой задачи.

Нелинейная теория возмущений, описывающая процесс свободного взаимодействия, допускает обобщение на нестационарные течения [17-20], причем производные по времени в уравнениях первого приближения следует удержать лишь в упомянутом пристеночном подслое, если скорость набегающего из бесконечности потока сверх- либо дозвуковая. В двух других подобластях, а именно, в основной толще пограничного слоя и внешнем потенциальном потоке, движение газа квазистационарно, а производные по времени входят лишь в асимптотические уравнения для высших приближений.

Наоборот, при трансзвуковых скоростях движения газа зависимость искомых функций от времени оказывается существенной именно во внешней потенциальной части течения. Последнее обстоятельство составляет важную особенность распространения предложенной в [21] асимптотической модели взаимодействия пограничного слоя с трансзвуковым потоком на нестационарные движения [22]. Здесь квазистационарными оказываются поля скоростей в основной толще пограничного слоя и в вязком подслое. Однако обобщение [22] асимптотической схемы [21] не является единственно возможным. Альтернативный подход [23] к построению трехслойной теории нестационарных трансзвуковых течений имеет следствием ситуацию (не встречавшуюся ранее в асимптотическом анализе), когда члены с производными по времени входят как в систему уравнений для вязкого пристеночного подслоя, так и в уравнение для внешних потенциальных возмущений (которое, в отличие от аналогичного уравнения [22], становится линейным).

Если амплитуды возмущений превышают порядки величин, диктуемые предположениями теории [2-8], то асимптотический анализ пульсационных полей базируется на более сложной структуре поля потока. Для сверх- и дозвукового диапазона такой анализ приводит к формулировке четырехслойной асимптотической теории [24, 25], существенным компонентом которой является обоснование применимости уравнений Бюргерса [26] и Бенджамина-Оно [27, 28] к описанию эволюции возмущений.

Развитые в [24, 25] представления позволили рассмотреть трансзвуковые течения с четырехслойной структурой области взаимодействия [29]. Как и в [22], волновая картина включает существенно нестационарные области в нижней пристеночной части пограничного слоя и в верхнем потенциальном поле потока. Однако само асимптотическое разделение области самоиндуцированного давления на четыре подслоя связано с рассмотрением класса возмущений, характеризующихся иной по сравнению с [22] нормировкой независимых переменных и искомых функций, в частности, большей относительной величиной амплитуд. Полученное в [29] интегро-дифференциальное уравнение, которое описывает процесс свободного взаимодействия, приводится к уравнениям Бюр-герса либо Бенджамина-Оно при выходе из трансзвукового диапазона (в сторону увеличения либо уменьшения числа Маха). В этом смысле развитая в [29] теория является аналогом подходов [24, 25], предложенных для отличающихся от единицы на конечную величину чисел Маха.

Если применимость концепции взаимодействия к внутренним течениям при больших числах Рейнольдса достаточно очевидна для задач о входе потока в канал или трубу [30], то в случае развитого невозмущенного течения в канале проявляется фундаментальное отличие внутренних течений от внешних: отсутствие примыкающего к вязким пограничным слоям основного невязкого потока. Тем не менее, как показано в [31], деформация стенок канала формирует градиент давления посредством имеющего невязкую природу смещения линий тока в ядре течения, которое взаимодействует с вязкими нелинейными пристеночными слоями. В результате, как и во внешних течениях [32], даже сравнительно тонкие, но длинные (по сравнению с толщиной канала) неровности на стенках могут приводить к большим локальным перепадам давления и вызвать отрыв вязкого потока. Дальнейшие асимптотические свойства и детали поля скоростей, присущие внутренним течениям, изучены в цикле работ [33-37].

Таким образом, разделение поля возмущенного потока на ряд расположенных друг над другом подслоев и последующее асимптотическое сращивание решений в каждом из них оказалось адекватным математическим приемом для асимптотического описания не только течений в пограничных слоях, но и внутренних течений в каналах и трубах. Элементы новизны по сравнению с известными результатами вносят выполненные в [38-42] исследования, в которых обнаружены явления и особенности движений вязкой жидкости, ранее остававшиеся вне поля зрения, но, как оказалось, поддающиеся анализу в рамках теории свободного взаимодействия.

Исследование коротких зон отрыва на передней кромке тонкого профиля потребовала существенной модификации математической теории течения жидкости в области взаимодействия [43-46]. В качестве одного из результатов проведенного анализа обращает на себя внимание обнаруженная неединственность решения интегро-дифференциального уравнения, к которому сводится данная задача при удовлетворении всех необходимых краевых условий. Более того, родственная по своей математической формулировке задача об отрыве обтекающей гиперболический профиль вязкой струи [47] обладает бесконечным числом решений. В связи с этим отметим, что движение в стационарном ламинарном двумерном конвективном течении около ориентированной вертикально нагретой пластины, а также в вязкой пристеночной струе аналогично пограничному слою, причем изменение на коротких расстояниях граничных условий (например, разрыв температуры либо излом поверхности) влечет за собой возникновение области взаимодействия с многослойной структурой [48-51].

Круг проблем неклассической теории пограничного слоя, который поддается исследованию посредством современных асимптотических методов, обрисован в обзорах [3, 5, 52-62] и в монографиях [8, 63, 64], по которым может быть восстановлена разработка интересных и важных вопросов, не затрагиваемых в дальнейшем изложении.

Как отмечено выше, нестационарный вариант трехпалубной теории свободного взаимодействия подразумевает введение временного члена в нелинейные уравнения для нижней палубы, где медленные пристеночные движения фактически определяют масштаб времени при условии непротиворечивости всей многослойной асимптотической конструкции. Впервые нестационарные эффекты рассмотрены в [17, 18, 22]; зависимость от времени включена в уравнения пограничного слоя для возмущений внутреннего течения в [31]. Однако начало исследований, в которых включение временной переменной в уравнения трехпалубной схемы трактуется не как реализация формальной возможности модификации некоторой известной асимптотической теории, а как принципиальный элемент для правильного описания нового класса физических механизмов, положено в работах [19, 20, 22]. Найденное в [20] для случая сверхзвукового внешнего потока решение линеаризованной системы уравнений в виде бегущей волны демонстрирует существование нестационарных движений газа, непрерывно примыкающих к невозмущенному пограничному слою на границе области взаимодействия. Направление распространения волны задается величиной градиента давления в начальных данных: волна бежит вверх по потоку, если градиент давления достаточно велик, и вниз по потоку, если инкремент роста градиент давления не превышает критической величины, найденной в ранней работе [65].

Дополнительный интерес к асимптотическим подходам при описании течений в случае больших чисел Рейнольдса придает достаточно глубокая связь между теорией устойчивости пограничного слоя и свободным взаимодействием [66, 67]. Классическая задача об устойчивости пограничного слоя уже в своей формулировке отражает асимптотическую природу объекта изучения, ибо сам пограничный слой существует для чисел Рейнольдса, стремящихся к бесконечности.

То обстоятельство, что рассмотрение нижней ветви нейтральной кривой устойчивости пограничного слоя Блазиуса приводит к трехпалубной структуре возмущенного поля скоростей, является, по сделанному в [66] замечанию, достаточно неожиданным. Для верхней ветви нейтральной кривой структура возмущений претерпевает дальнейшие усложнения и включает пять подобластей [68-72]. При этом именно асимптотическая трактовка задачи устойчивости, как подчеркивается в [70], имеет рациональный базис, поскольку только в пределе больших чисел Рейнольдса основное течение приобретает форму пограничного слоя.

Общие свойства выведенного в [20] дисперсионного соотношения исследованы в [73-75]. Предпринятый анализ показал, что для решений типа бегущих волн дисперсионная кривая обладает бесконечным количеством ветвей, хотя перемещающаяся вверх по потоку волна определяется единственным образом. Возмущения такого рода изучаются в теории критического слоя [76-78], понятие которого играет большую роль в теории устойчивости вязких течений. В рассматриваемом случае критический слой опускается на самое дно течения и сливается с нижней палубой; таким образом, как отмечается в [20], задача устойчивости формулируется совершенно аналогично задаче о свободном взаимодействии нестационарного пограничного слоя.

Следует отметить, что к обсуждаемому вопросу можно подойти с несколько иной точки зрения. Трехпалубная теория, представляя собой теорию малых возмущений, описывает реакцию пограничного слоя на внешние воздействия различной природы, учитываемые при формулировке соответствующих математических задач через начальные и граничные условия. Система уравнений свободного взаимодействия допускает тривиальное решение при однородных начально-краевых условиях, которое соответствует продолжению решения Блазиуса через всю рассматриваемую область. Естественный интерес представляет вопрос о степени отклонения решения от тривиального при наличии возмущающих факторов (амплитуда которых мала в исходных переменных и порядка единицы после нормировки в терминах фигурирующего в трехпалубной теории малого параметра). Найденное в [65] в рамках линейного приближения отличное от тривиального стационарное решение (являющееся частным случаем решения [20]), которое ответвляется от решения Блазиуса, экспоненциально растет вниз по потоку и переходит в задающее отрыв от гладкой поверхности нелинейное решение [2-3]. Последнее, таким образом, представляет собой нелинейную собственную функцию задачи для уравнений свободного взаимодействия со сверхзвуковым внешним потоком. В этом смысле отрыв пограничного слоя интерпретируется в [79] как специфическая форма потери устойчивости.

Решение задачи о вынужденных колебаниях газа в пограничном слое под действием гармонического осциллятора, расположенного на некотором расстоянии от передней кромки неподвижной плоской пластинки в сверхзвуковом потоке, изложено в [80]. Если против потока излучаемые осциллятором возмущения распространяются в виде одной внутренней волны, то вниз по потоку поле течения включает бесконечную систему внутренних волн.

Вековое уравнение в классической задаче Орра-Зоммерфельда [81] для возмущенного поля скоростей в несжимаемой жидкости в случае длинноволновых колебаний приводится к виду, в точности совпадающему с дисперсионным соотношением линейной теории свободного взаимодействия. Следовательно, внутренние волны в пограничном слое с самоиндуцированным давлением представляют собой асимптотику волн Толлмина-Шлихтинга [82] с прилегающими к стенке критическими слоями. Данное заключение сформулировано в [66, 67] применительно к внешним течениям ив [38, 83] к течениям в каналах. Именно в такую волну Толлмина-Шлихтинга вырождаются возмущения при удалении вниз по потоку от гармонического осциллятора на пластине, если скорость внешнего течения дозвуковая [84-86].

Плоское течение в пограничном слое нетривиальным образом зависит от двух координат (являясь "почти параллельным" лишь при стремлении к бесконечности числа Рейнольдса). Отмеченное усложняющее свойство основного течения обсуждается в [87]. Теория [66, 70], где эффекты непараллельности учитываются в нескольких старших членах асимптотических рядов, свободна от недостатка присущего исследованиям в предположении о плоскопараллельном невозмущенном течении, и в первом приближении воспроизводит обычные результаты устойчивости локально-одномерного потока.

Предлагаемая работа, основные результаты которой опубликованы в [8895] (еще три работы автора приняты к печати: Жук В.И., Проценко И.Г. Об устойчивости плоского течения Куэтта-Пуазейля // Доклады РАН. 2004; Жук В.И., Проценко И.Г. Асимптотическая теория устойчивости испускаемой вдоль стенки струи вязкой жидкости // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2004; Жук В.И., Проценко И.Г. Асимптотическая структура волновых возмущений в теории устойчивости плоского течения Куэтта-Пуазейля // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004) иллюстрирует возможность распространения основных представлений асимптотической теории свободного взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком на задачи устойчивости внутренних течений типа Куэтта-Пуазейля, а также устойчивости плоской струи, ограниченной снизу плоским экраном. Применение многоярусных асимптотических конструкций позволяет не только уточнить поведение нейтральных кривых и свойства собственных функций уравнения Орра-Зоммерфельда, но и установить асимптотическую структуру флуктуационных полей и указать физические механизмы неустойчивости.

Тот факт, что внутренние волны в пограничном слое с самоиндуцированным давлением представляют собой асимптотику волн Толлмина-Шлихтинга (собственных решений уравнения Орра-Зоммерфельда) в пределе больших чисел Рейнольдса, служит руководящим соображением для асимптотического описания как верхней, так и нижней ветвей нейтральной кривой. Дополнительный анализ исходной системы уравнений Навье-Стокса приводит к асимптотической теории, пригодной к предсказанию потери устойчивости плоской стуи и течения Куэтта-Пуазейля.

Применяемые асимптотические модели оказывается очень содержательными, что, в сочетании с возможностью получения точных аналитических решений, демонстрирует важную роль асимптотических подходов к исследованию вязких течений с большими локальными градиентами. В частности, увеличение амплитуды внешних возмущающих факторов приводит к доминированию нелинейных эффектов, что позволяет вывести локально-невязкие уравнений для возмущений. Что касается вязких напряжений, то они проявляются в тонких пристеночных подслоях (и в критическом слое) толщины обоих подслоев много меньше, чем толщины нелинейных областей. Поэтому в главном приближении механизм взаимодействия оказывается невязким. Данное обстоятельство служит математической основой описания класса нелинейных возмущений в виде солитонов и кноидальных волн.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Проценко, Игорь Геннадьевич

Выводы

1. Построена трех- и пятипалубная асимптотическая теория возмущений в струе вязкой жидкости, ограниченной снизу плоским экраном. В рамках трехпалубной теории получены асимптотические разложения нелинейного решения уравнений Навье-Стокса как в основной части течения, так и в пристеночной нелинейной области. Названные разложения описывают свободное взаимодействие основной толщи струи с ее нижней частью, соприкасающейся с твердой границей. Рассматривая асимптотические уравнения в линейном приближении, удалось получить дисперсионное соотношение, связывающее частоту свободных колебаний вязкой жидкости с волновым числом и соответствующее окрестности нижней ветви нейтральной кривой, асимптотика С = 0(Яе~117) которой также показана. Доказано существование неустойчивой моды в спектре собственных колебаний, а также то, что дисперсионная кривая обладает бесконечным (счетным) количеством ветвей.

2. При численном решении дисперсионного соотношения получены траектории, вычерчиваемые комплексными переменными £ = + , и = иг 4- щ и с = сг + щ, а также графики инкремента усиления и фазовой скорости сг, с,- в зависимости от действительного к 6 (0;+ оо). Показано решение дисперсионного соотношения для фиксированного к.

3. В рамках пятипалубной теории (соответствующей окрестности верхней ветви нейтральной кривой) получено точное выражение для нейтрального решения и нейтральное значение фазовой скорости, с которой распространяется волна Толлмина-Шлихтинга.

4. Построена четырехпалубная теория волновых движений для случая возмущений сравнительно большой амплитуды. Проиллюстрирована применимость к рассматриваемой задаче об эволюции возмущений в пристеночной струе солитонных решений, а также периодических решений уравнения Кортевега-де Вриза (кноидальных волн).

5. Показано что учет в четырехпалубной теории вязкого пристеночного подслоя уменьшает число независимых параметров в семействе периодических решений уравнения Кортевега-де Вриза.

6. Изучена задача о генерации волновых пакетов и волн Толлмина-Шлихтинга посредством установленного на обтекаемой поверхности гармонического осциллятора. Применением интегральных преобразований Фурье-Лапласа и метода перевала выведено выражение для пульсационных полей и их асимптотика.

7. Установлена асимптотическая структура линейных возмущений плоского течения Куэтта-Пуазейля в пределе стремящихся к бесконечности чисел Рейнольдса. Получено дисперсионное соотношение, связывающее частоту свободных колебаний вязкой жидкости в пристеночных слоях с волновым числом. Показано, что дисперсионное соотношение, связывающее параметры собственных линейных колебаний, приобретает качественно новые свойства, которые не имеют места в случае течения Пуазейля.

8. Доказано существование одного, двух, трех, четырех и пяти нейтральных решений при различных скоростях стенки в линейной задаче устойчивости течения Куэтта-Пуазейля. Получен вид решений дисперсионного соотношения на плоскости фазовой скорости при различных скоростях стенки. Найдены значения скорости стенок, при которых рождаются новые ветви нейтральной кривой.

9. Проанализирована асимптотическая структура линейных возмущений плоского течения Куэтта-Пуазейля в пределе стремящихся к бесконечности чисел Рейнольдса. Показано, картина флуктуационных полей существенно зависит от соотношения между числом Рейнольдса и скоростями стенок. Выделено четыре характерных режима, для которых существуют нейтральные моды в спектре собственных колебаний: построены трехъярусная схема возмущений для скорости стенки ию = 0( 11е~2/7) и многоярусные схемы возмущений с отделенными от стенок критическими слоями для ии, = 0(Ле~2^и), с двумя критическими слоями, один из которых граничит с верхней стенкой для ию — 0(Яе"2/13), с одним критическим и двумя пристеночными слоями для и» = 0(11е-^9).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Проценко, Игорь Геннадьевич, 2005 год

1. Prandtl L. Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung // Verhandl d. III Internat. Mathem. Kongr., Heidelberg, 1904. Verlag von B.G.Teubner, Leipzig, 1905. S.484-491.

2. Нейланд В.Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке // Изв. АН СССР. МЖГ. 1969. N.4. С.53-57.

3. Нейланд В.Я. Асимптотические задачи теории вязких сверхзвуковых течений // Труды ЦАГИ. М., 1974. Вып. 1529.

4. Stewartson К., Williams P.G. Self-induced separation // Proc. Roy. Soc. London. Ser.A. 1969. V.312. N.1509. P.181-206.

5. Stewartson K. Multistructured boundary layers on flat plates and related bodies // Adv. Appl. Mech. 1974. V.14. P. 145-239.

6. Messiter A F. Boundary layer flow near the trailing edge of a flat plate // SIAM J. Appl. Math. 1970. V.18. N.l. P.241-257.

7. Сычев B.B. О ламинарном отрыве // Изв. АН СССР. МЖГ. 1972. N.3. С.47-59.

8. Сычев В.В., Рубан А.И., Сычев Вик.В., Королев Г.Л. Асимптотическая теория отрывных течений / Под ред. В.В.Сычева. М.: Наука, 1987. 255 с.

9. Van Dyke M.D. Perturbation methods in fluid mechanics // New York: Academic Press, 1964. (Рус. пер.: Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967.)

10. Cole J.D. Perturbation method in applied mathematics // Waltham (Mass.): Blaisdell Publ. Co., 1968. (Рус. пер.: Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972.)

11. Lagerstrom P.A., Casten R.G. Basic concept underlying singular perturbation techniques // SIAM Review. 1972. V.14. N.l. P.63-120.

12. Eckhaus W. Matched asymptotic expansions and singular perturbations // Amsterdam-London, North-Holland Publ. Co., 1973.

13. Lagerstrom P.A. Solutions of the Navier-Stokes equation at large Reynolds number // SIAM J. Appl. Math. 1975. V.28. N.l. P.202-214.

14. Рыжов O.C. Асимптотические методы в динамике жидкости // Ж. вы-числ. матем. и матем. физ. 1980. Т.20. N 5. С.1221-1248.

15. Диесперов В.Н., Рыжов О.С. Асимптотические методы в механике жидкости // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1982. N 2. С.75-87.

16. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач // М.: Наука, 1989.

17. Schneider W. Upstream propagation of unsteady disturbances in supersonic boundary layers // J. Fluid Mech. 1974. V.63. N.3. P.465-485.

18. Brown S.N., Daniels P.G. On the viscous flow about the trailing edge of a rapidly oscillating plate // J. Fluid Mech. 1975. V.67. Pt.4. P.743-761.

19. Рыжов O.C. Уравнение нестационарного пограничного слоя с самоиндуцированным давлением // Докл. АН СССР. 1977. Т.234. N.4. С.780-783.

20. Рыжов О.С., Терентьев Е.Д. О нестационарном пограничном слое с самоиндуцированным давлением // ПММ. 1977. Т.41. N.6. С. 1007-1023.

21. Messiter A. F., Feo A., Melnik R.E. Shock-wave strength for separation of a laminar boundary layer at transonic speeds // AIAA Journal. 1971. V.9. N.6. P.l 197-1198.

22. Рыжов O.C. О нестационарном пограничном слое с самоиндуцированным давлением при околозвуковых скоростях внешнего потока // Докл. АН СССР. 1977. Т.236. N.5. С.1091-1094.

23. Рыжов О.С., Савенков И.В. Об устойчивости пограничного слоя при трансзвуковых скоростях внешнего потока // ПМТФ. 1990. N.2. С. 65-71.

24. Жук В. И., Рыжов О. С. О локально-невязких возмущениях в пограничном слое с самоиндуцированным давлением // Докл. АН СССР. 1982. Т.263. N.l. С.56-59.

25. Smith F.T., Burggraf O.R. On the development of large-sides short-scaled disturbances in boundary layers // Proc. Roy. Soc. London. Ser.A. 1985. V.399. N.1816. P.25-55.

26. Benjamin Т.В. Internal waves of permanent form in fluids of great depth // J. Fluid Mech. 1967. V.29. Pt.3. P.559-592.

27. Ono H. Algebraic solitary waves in stratified fluid // J. Phys. Soc. Japan. 1975. V.39.N.4. P.1082-1091.

28. Жук В.И. Нелинейные возмущения, индуцирующие собственный градиент давления в пограничном слое на пластине в трансзвуковом потоке // ПММ. 1993. Т.57. Вып.5. С.68-78.

29. Smith F.T. On entry-flow effects in bifurcating, blocked or constricted tubes // J. Fluid Mech. 1976. V.78. Pt.4. P.709-736.

30. Smith F.T. Flow through constricted or dilated pipes and channels: Parts 1 & 2 // Ouart. J. Mech. Appl. Math. 1976. V.29. Pt 3. P.343-364 & P.365-376.

31. Smith F.T. Laminar flow over a small hump on a flat plate // J. Fluid Mech. 1973. V.57. Pt.4. P.803-824.

32. Smith F.T. Pipeflows distorted by non-symmetric indentation or branching // Mathematika. 1976. V.23. Pt.l. N.45. P.62-83.

33. Smith F.T. Steady motion through a branching tube // Proc. Roy. Soc. London. Ser.A. 1977. V.355. N.1681. P.167-187.

34. Smith F. Т. Upstream interactions in channel flows // J. Fluid Mech. 1977. V.79. Pt.4. P.631-655.

35. Smith F.T. The separating flow through a severely constricted symmetric tube // J. Fluid Mech. 1979. V.90. N.4. P.725-754.

36. Smith F.T., Duck P.W. On the severe non-symmetric constriction, curving or cornering of channel flow I I J. Fluid Mech. 1980. V.90. Pt.4. P.727-753.

37. Жук В.И., Рыжов О.С. О свободном взаимодействии пристеночных слоев с ядром течения Пуазейля // Доклады АН СССР. 1981. Т.257. N.1. С.55-59.

38. Bogdanova E.V., Ryzhov O.S. Free and induced oscillations in Poiseuille flow // Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 1983. V.36. Pt.2. P.271-287.

39. Савенков И.В. Резонансное усиление двумерных возмущений в полубесконечном канале // ЖВМ и МФ. 1992. Т.32. N.8. С. 1332-1339.

40. Savenkov I.V. Wave packets, resonant interactions and soliton formation in inlet pipe flow // J. Fluid Mech. 1993. V.252. P. 1-30.

41. Савенков И.В. О нестационарных осесимметричных течениях в трубах с упругими стенками // ЖВМ и МФ. 1996. Т.36. N.2. С.147-163.

42. Рубан А.И. Особое решение уравнений пограничного слоя, непрерывно продолжимое через точку нулевого поверхностного трения // Изв. АН СССР. МЖГ. 1981. N 6. С.42-52.

43. Рубан А.И. Асимптотическая теория коротких зон отрыва на передней кромке тонкого профиля // Изв. АН СССР. МЖГ. 1982. N 1. С.42-51.

44. Stewartson К., Smith F.T., Kaups К. Marginal separation // Stud. Appl. Math. 1982. V.67. N.l. P.45-61.

45. Brown S.N., Stewartson К. On an integral equation of marginal separation // SIAM J. Appl. Math. 1983. V.43. N.5. P.l 119-1126.

46. Заметаев В.Б. Существование и неединственность локальных зон отрыва в вязких струях // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. N 1. С.38-45.

47. Messiter A.F., Linan A. The vertical plate in laminar free convection: effects of leading and trailing edges and discontinuous temperature // Z. angew. Math. Phys. (ZAMP). 1976. Vol.27. Fasc.5. P.633-651.

48. Smith F.T., Duck P.W. Separation of jets or thermal boundary layers from a wall // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1977. V. 30. Pt. 2. P. 143-156.

49. Merkin J.H., Smith F.T. Free convection boundary layers near corners and sharp trailing edges // Z. angew. Math. Phys. (ZAMP). 1982. Vol.33. N.l. P.36-52.

50. Merkin J.H. Free convection boundary layers over humps and indentations // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1983. Vol.36. Pt.l. P.71-85.

51. Brown S N., Stewartson K. Laminar separation // Ann. Rev. Fluid Mech. 1969. V.l. P.45-72.

52. Рубан А.И., Сычев B.B. Асимптотическая теория отрыва ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости // Успехи механики. 1979. Т.2. Вып.4. С.57-95.

53. Боголепов В.В., Елькин Ю.Г., Ермак Ю.Н., Липатов И.И. Некоторые проблемы теории вязких течений с взаимодействием. В сб.: Вихревые движения жидкости. Устойчивость и отрыв пограничного слоя, свободные и квантовые вихри. М.: Мир. 1979. С. 101-125.

54. Messiter A.F. Boundary-layer separation // Proc. 8th US Natl. Congr. Appl. Mech. 1979. P. 157-179. Western Periodicals, North Hollywood, California.

55. Adamson T.C., Messiter A.F. Analysis of two-dimensional interactions between shock waves and boundary layers // Ann. Rev. Fluid Mech. 1980. V.12. P.103-138.

56. Нейланд В.Я. Асимптотическая теория отрыва и взаимодействия пограничного слоя со сверхзвуковым потоком газа // Успехи механики. 1981. Т.4. Вып.2. С.3-62.

57. Stewartson К. D'Alembert's paradox // SIAM Review. 1981. V.23. N.3. P.308-343.

58. Smith F.T. On the high Reynolds number theory of laminar flows // IMA J. Appl. Math. 1982. V.28. N.3. P.207-281.

59. Сычев Вик.В. Теория нестационарного отрыва пограничного слоя и разрушения следа//Успехи механики. 1983. Т.6. Вып.1/2. С.13-51.

60. Messiter A.F. Boundary-layer interaction theory // Trans. ASME, J. Appl. Mech. 1983. V.50. N.4b. P.l 104-1113.

61. Smith F.T. Steady and unsteady boundary-layer separation I I Ann. Rev. Fluid Mech. 1986. V.l8. P. 197-220.

62. Жук В.И. Волны Толлмина-Шлихтинга и солитоны / М.: Наука, 2001, 167 с.

63. Нейланд С.Я., Боголепов В.В., Дудин Г.Н., Липатов И.И. Асимптотическая теория сверхзвуковых течений вязкого газа / М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, 456 с.

64. Lighthill M.J. On boundary layers and upstream influence. I.Supersonic flows without separation // Proc. Roy. Soc. London. Ser.A. 1953. V.217. N.1131. P.478-507.

65. Smith F.T. On the nonparallel flow stability of the Blasius boundary layer // Proc. Roy. Soc. London. Ser.A. 1979. V.366. N.1724. P.91-109.

66. Жук В.И., Рыжов О.С. Свободное взаимодействие и устойчивость пограничного слоя в несжимаемой жидкости // Докл. АН СССР. 1980. Т.253. N 6. С.1326-1329.

67. Lin С. С. On the stability of two-dimensional parallel flow. III. Stability in a viscous fluid // Quart. Appl. Math. 1946. V.3. N.4. P.277-301.

68. Михайлов В. В. Об асимптотике нейтральных кривых линейной задачи устойчивости ламинарного пограничного слоя // Изв. АН СССР. МЖГ. 1981. N.5. С.39-46.

69. Bodonyi В. J., Smith F. Т. The upper branch stability of the Blasius boundary layer, including non-parallel flow effect // Proc. Roy. Soc. London. Ser.A. 1981. V.375.N.1760. P.65-92.

70. Жук В. И., Рыжов О. С. Об асимптотике решений уравнения Орра-Зоммерфельда, задающих неустойчивые колебания при больших значениях числа Рейнольдса//Докл. АН СССР. 1983. Т.268. N.6. С.1328-1332.

71. Жук В. И. Об асимптотике решений уравнения Орра-Зоммерфельда в областях, примыкающих к двум ветвям нейтральной кривой // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. N.4. С.3-11.

72. Жук В. И., Рыжов О. С. Об одном свойстве линеаризованных уравнений пограничного слоя с самоиндуцированным давлением // Докл. АН СССР. 1978. Т.240. N 5. С.1042-1045.

73. Жук В. И., Рыжов О. С. О решениях дисперсионного уравнения из теории свободного взаимодействия пограничного слоя // Докл. АН СССР. 1979. Т.247. N 5. С.1085-1088.

74. Ryzhov O.S., Zhuk V.I. Internal waves in the boundary layer with the self-induced pressure // J.Mecanique. 1980. V.19. N.2. P.561-580.

75. Benney D.J., Bergeron R.F. A new class of nonlinear waves in parallel flows // Stud. Appl. Math. 1969. V.48. N.3. P.181-204.

76. Davis R.E. On the high Reynolds number over a wavy boundary // J. Fluid Mech. 1969. V.36. Pt.2. P.337-346.

77. Stuart J.T. Nonlinear stability theory // In: Annual Rev. Fluid Mech., Palo Alto, California, Annual Revs Inc. 1971. V.3. P.347-370.

78. Ryzhov O.S. Stability and separation of viscous flowsy // Laminar-Turbulent Transition. IUTAM Symposium 1984. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg,1985. P.337-347.

79. Терентьев Е.Д. Расчет давления в линейной задаче о вибраторе в сверхзвуковом пограничном слое // Прикл. матем. и механ. 1979. Т.43. Вып.6. С.1014-1028.

80. Линь Цзя-цзяо Теория гидродинамической устойчивости. М.: Изд.-во иностр. лит., 1958.

81. Tollmin W. liber die Enstehung der Turbulenz. I Mitteilung. Nachr. Ges. Wissenschaften Gottingen, Math. Phys. К1, 1929, H.l, p.21.

82. Богданова E.B., Рыжов O.C. О колебаниях, возбуждаемых гармоническим осциллятором в течении Пуазейля // Докл. АН СССР. 1981. Т.257. N.4. С.837-841.

83. Терентьев Е.Д. Линейная задача о вибраторе в дозвуковом пограничном слое // ПММ. 1981. Т.45. Вып.6. С. 1049-1055.

84. Терентьев Е.Д. Линейная задача о вибраторе, совершающем гармонические колебания на закритических частотах в дозвуковом пограничном слое//ПММ. 1984. Т.48. Вып.2. С.264-272.

85. Рыжов О.С., Терентьев Е.Д. О переходном режиме, характеризующем запуск вибратора в дозвуковом пограничном слое на пластинке // ПММ.1986. Т.50. Вып.6. С.974-986.

86. Smith F.T. Nonlinear stability of boundary layers for disturbances of various sizes // Proc. Roy. Soc. London. Ser.A. 1979. V.368. N.1735. P.573-589.

87. Жук В.И., Проценко И.Г. Асимптотические задачи теории устойчивости вязкой жидкости // Вычислительный центр им. A.A. Дородницына РАН. Сообщения по прикладной математике. Москва. 2003. 54 с.

88. Жук В.И., Проценко И.Г. Асимптотика решений уравнения Орра-Зоммерфельда в окрестностях двух ветвей нейтральной кривой // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2003. Т. 43. № 11. С. 1737-1753.

89. Жук В.И., Проценко И.Г. О нейтральных кривых в задаче устойчивости плоского течения Куэтта-Пуазейля // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики. Москва, изд-во МФТИ. 2004. С. 6174.

90. Жук В.И., Проценко И.Г. Осциллирующая стенка. // Труды XLVI научной конференции МФТИ, 2003. Ч. 7. С. 19-20.

91. Жук В.И., Проценко И.Г. Некоторые типы взаимодействия солитонов уравнений Кортвега де Вриза и Захарова - Кузнецова // Труды XLV научной конференции МФТИ, 2002. Ч. 7. С. 4-5.

92. Жук В.И., Проценко И.Г. Двухпалубная теория пограничного слоя. Асимптотика нижней ветви нейтральной кривой // Труды XLIV научной конференции МФТИ, 2001. Ч. 7. С. 32.

93. Гузаева К.В., Жук В.И. Об одном способе вывода уравнения Линя-Рейснера-Цзяня // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики. Москва, изд-во МФТИ. 2004. С. 45-60.

94. И.Г. Проценко, Гузева К.В. К вопросу асимптотической теории устойчивости плоского течения Куэтта-Пуазейля // Труды XLVII научной конференции МФТИ, 2004. Ч. 7. С. 88-90.

95. Von Schmidt Е., Beckmann W. Das Temperatur- und Geschwindigkeitsfeld von einer Wärme abgeben senkrechten Platte bei naturliche Konvektion //

96. Forsch, aus dem Gebiete des Ingenieurwesens. Tech. Mech. und Therm., 1930, Bd 1,N 10, 11.

97. Von Karman Th. Über laminare und turbulente Reibung // ZAMM, 1921, Bd l,Ht. 4.

98. Kohama Y. Some expectation on the mechanism of cross-flow instability in a swept-wing flows I I Acta Mech. 1987. V.66. P.21-38.

99. Cooke J.C. The boundary layer of a class of infinite yawed cylinders // Proc. Camb. Phil. Soc. 1950. V.46. P.645-648.

100. Бойко A.B., Грек Г.Р., Довгаль A.B., Козлов B.B. Возникновение турбулентности в пристенных течениях. Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН. 1999. 328 с.

101. Lingwood R.J. Absolute instability of the boundary layer on a rotating disk // J. Fluid Mech. 1995. V.299. P. 17-33.

102. Wernz S., Fasel H. Numerical investigation of resonance phenomena in wall jet transition // Laminar-Turbulent Transition. IUTAM Symposium Se-dona/AZ 1999. Springer-Verlag 2000. H.F.Fasel, W.S.Saric (Eds.). P.217-221.

103. Seidel J., Fasel H. Numerical investigation of heat transfer mechanisms in wall jet transition // Laminar-Turbulent Transition. IUTAM Symposium Se-dona/AZ 1999. Springer-Verlag 2000. H.F.Fasel, W.S.Saric (Eds.). P.652-656.

104. Messiter A. F., Li n an A. The vertical plate in laminar free convection: effects of leading and trailing edges and discontinuous temperature // ZAMP. 1976. V. 27. No.5. P. 633-651.

105. Amitay M., Cohen J. The mean flow of a laminar walljet subjected to blowing or suction // Phys. Fluids. A. 1993. V.5. P.2053-2057.

106. Рыжов О.С. Неустойчивость распространяющейся вдоль стенки струи вязкой жидкости // Прикл. механ. и техн. физ. 1982. №2. С.26-33.

107. Wasow W., Asymptotic Expansion for Ordinary Differential Equation, John Wiley and Sons Inc., New York London - Sydney, 1965.

108. Daniels P. G. The Flow About the Trailing Edge of a Supersonic Oscillation Airfoil. J. Fluid Mech., Vol. 72, part 3, 1975, pp. 541-557.

109. Справочник по специальным функциям / Под ред. Абрамовича М. и Стиган И. /М.: Наука, 1979, 832 с.

110. Drazin P.G. On the stability of cnoidal waves // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1977. V. 30. Pt.l. P.91-105.

111. Рыскин H.M., Трубецков Д.И. Нелинейные волны /М.: Наука, 2000. 272 с. (Сер. Современная теория колебаний и волн.)

112. Жук В.И., Попов С.П. О нелинейном развитии длинноволновых невязких возмущений в пограничном слое // Журнал прикладной механики и технической физики. 1989. N.3. С.101-108.

113. Жук В.И., Попов С.П. Моделирование нелинейных волн в пограничных слоях на основе уравнений Бюргерса, Бенжамина-Оно и Кортевига-де Вриза // Математическое моделирование. 1990. Т.2. N.7. С. 96-109.

114. Ю.В. Бибик, В.И. Жук, С.П. Попов Основные закономерности взаимодействия двумерных гидродинамических солитонов // Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН. Сообщения по прикладной математике. Москва. 2001. 59 с.

115. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике: Пер. с англ. М.:Мир, 1989, 326 с.

116. Tillmark N., Alfredsson Р.Н. Experiments of transition in plane Couette flow // J. Fluid Mech. 1992. V.235. P.89-102.

117. Романов В.А. Устойчивость плоскопараллельного течения Куэтта // Доклады АН СССР. 1971. Т. 196. № 5. С. 1049-1051.

118. Романов В.А. Устойчивость плоскопараллельного течения Куэтта // Функциональный анализ и его приложения. 1973. Т.7. Вып.2. С.62-73.

119. Thomas L.H. The stability of plaint Poiseuille flow // Phys. Review. 1953. V.91 P. 780-783.

120. Reid W.H. The stability of parallel flows // Basic Developments in Fluid Dynamics. Academic Press. 1965. Vol. 1.

121. Drazin P.G., Reid W.H., Gydrodynamik stability / Camabridge University Press. 1981.

122. Cowley S.J., Smith F.T., On the stability of Poiseuille-Couette flow: a bifurcation from infinity // J. Fluid Mech. 1985. V.156. P.83-100.

123. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М: Мир, 1968. 464 с.