Влияние осложняющих факторов на устойчивость конвективных течений в слоях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Шкляев, Сергей Викторович

• Шкляев, Сергей Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шкляев, Сергей Викторович

Введение

Литературный обзор

Общая характеристика работы

1. Влияние акустического воздействия на возникновение конвекции

1.1. Акустическое воздействие на возникновение конвекции в горизонтальном слое при вертикальном градиенте температуры

1.2. Влияние акустического. «. воздействия на возникновение конвекции в вертикальном • круговом цилиндре, подогреваемом снизу

1.3. Влияние движения границ на устойчивость конвективного течения в вертикальном слое жидкости

Выводы

2. Акустическое воздействие на устойчивость адвективного течения

2.1. Линейная задача устойчивости

2.2. Слабо-нелинейный анализ адвективного термоакустического течения

2.3. Нелинейное исследование двумерной термоакустической конвекции

Выводы

3. Устойчивость виброконвективного течения в наклонном слое

3.1. Плоскопараллельное течение и задача устойчивости

3.2. Длинноволновая мода неустойчивости

-33.3. Численное исследование устойчивости 136 Выводы

4. Слабо-нелинейный анализ конвекции в двухслойной системе с деформируемой поверхностью раздела

4.1. Вывод амплитудного уравнения

4.2. Амплитудное уравнение общего вида

4.3. Предельный случай амплитудного уравнения 163 Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Влияние осложняющих факторов на устойчивость конвективных течений в слоях»

ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР

Задачи конвективной устойчивости представляют интерес ввиду разнообразия факторов, вызывающих кризис течений. Взаимодействие или конкуренция различных физических механизмов нередко порождают красивые и неожиданные явления. Таким образом, изучение задач устойчивости конвективных течений представляет общенаучный интерес, а также создает предпосылки для построения общей теории турбулентности.

С другой стороны, возникновение конвекции заметно изменяет характерные скорости многих процессов: значительно усиливаются теплообмен, диффузия и другие процессы переноса. Такого рода явления могут играть как положительную, так и отрицательную роль в ряде технологических процессов. Ввиду этого, задача управления конвекцией является актуальной. 1. Конвекция и конвективная устойчивость. Неравномерный нагрев жидкости приводит, в силу теплового расширения, к появлению неоднородностей плотности. В поле тяжести это является причиной возникновения переменной по пространству силы и, как следствие, движения жидкости.

В предположении слабой изотермической сжимаемости уравнение состояния связывает лишь две термодинамические величины (температуру и плотность). В большинстве случаев температурные неоднородности плотности являются малыми, и уравнение состояния линеаризуется вблизи характерной температуры Т0 и соответствующего ей значения плотности р0: р=р0 (1-/3(Т-Т0)).

Коэффициент объемного расширения /3 в этом случае является постоянным. Для описания конвекции используются уравнения несжимаемой жидкости с дополнительным слагаемым (архимедовой силой) в уравнении Навье-Стокса. Уравнения, получаемые таким путем, называются уравнениями тепловой (свободной) конвекции в приближениях Буссинеска [ 1 ].

С более строгой точки зрения для корректного получения уравнений Бус-синеска необходимо совершить двойной предельный переход:

O —^0, Ga . Gr=ßOGa - ограничено.

Здесь Ga=gh3 /v2 - число Галилея, v - коэффициент кинематической вязкости, g - ускорение свободного падения, 0 ий - характерные перепад температуры и размер системы. Произведение двух асимптотических параметров, называемое числом Грасгофа, остается в данном приближении конечной величиной. Следует также заметить, что сильное гравитационное поле приводит главным образом к возникновению гидростатического распределения давления р0 =-pQgz (ось z направлена вертикально вверх); конвективное движение является эффектом первого порядка по параметру Буссинеска ß6.

Возможна ситуация, в которой неоднородная архимедова сила вызывает лишь изменение давления, жидкость при этом остается в покое. Такое состояние называется состоянием механического равновесия (при неоднородном нагреве говорить о полном равновесии, разумеется, не имеет смысла).

Легко убедиться [1], что в отсутствие внешних сил иной природы (электрических, магнитных, инерционных и др.) механическое равновесие возможно лишь при строго вертикальном постоянном градиенте температуры. В иных условиях возникает конвективное движение жидкости.

Однако, даже при строго вертикальном нагреве состояние равновесия реализуется не всегда. Очевидно, что подогреваемая снизу жидкость стратифицирована потенциально неустойчиво: верхние, более плотные, слои лежат на менее плотных. Однако, при сравнительно слабом нагреве избыточной потенциальной энергии недостаточно для того, чтобы привести жидкость в движение. Конвекция в этом случае возникает пороговым образом, начиная с некоторого значения градиента температуры (обычно в качестве характеристики нагрева выступают числа Рэлея, Грасгофа или другой безразмерный параметр, пропорциональный перепаду температуры).

Условия возникновения конвекции в различных системах подробным образом изучены во многих работах. Первой работой в данной области является [2], где рассмотрена устойчивость механического равновесия в подогреваемом снизу горизонтальном слое с двумя свободными теплопроводными границами. Найдено критическое значение числа Рэлея, обнаружены затухающие колебательные возмущения при подогреве сверху. В работе [3] для произвольной геометрии полости, допускающей постоянный вертикальный градиент температуры в жидкости, показано, что равновесие при подогреве сверху устойчиво, а при подогреве снизу все возмущения являются монотонными. Подробный обзор результатов для различных вариантов граничных условий приведен в [1].

Наиболее близкими к задачам, рассмотренным в диссертации, являются задачи о возникновении конвекции в горизонтальном слое с твердыми теплоизолированными границами [1] и в двухслойной системе [4-7].

В первой из них наиболее опасными являются так называемые длинноволновые возмущения, характерный продольный размер которых значительно превосходит толщину слоя; при этом продольные компоненты скорости являются преобладающими. Критическое число Рэлея данной задачи, определенное по толщине слоя и полному перепаду температур, равно 720 (при использовании полутолщины слоя и полуразности температур получим значение 45).

Возникновение конвекции в двухслойной системе, ограниченной двумя изотермическими горизонтальными плоскостями, рассматривалась разными авторами. Впервые исследования задачи конвективной устойчивости двухслойной системы, подогреваемой снизу, проведены в [4]. Наличие двух сред, обладающих различными тепловыми и механическими свойствами, значительно увеличивает количество параметров, характеризующих систему. Ввиду этого, первые исследователи данной задачи не обнаружили ряд интересных явлений, таких как возникновение конвекции при подогреве сверху и колебательной неустойчивости при подогреве снизу.

В первом случае эффект возникает за счет значительной разности в коэффициентах температуропроводности и/или объемного расширения. Подробно механизм неустойчивости и область параметров, в которой возможна конвекция при подогреве сверху, обсуждены в [5]. Задача решалась методом стрельбы, аналитически рассмотрены предельные случаи, когда коэффициент температуропроводности или объемного расширения в одной из сред значительно превышает соответствующий параметр для другой среды. Во втором случае [6] колебательная неустойчивость при подогреве снизу появляется в результате взаимодействия двух монотонных уровней, связанных с возникновением конвекции в одном из слоев. В работе [7] подробно рассмотрена конвекция в системе муравьиная кислота - трансформаторное масло. Предполагается, что слои имеют разную толщину, изучены предельные случаи задачи. Результаты последних двух работ хорошо согласуются с экспериментальным исследованием [8], проведенным для той же пары жидкостей.

Следует подчеркнуть, что во всех перечисленных выше работах предполагалось, что поверхность раздела жидкостей остается плоской. Действительно, известно (см., например, [9]), что предположение о деформируемости поверхности раздела (свободной поверхности) находится в противоречии с приближениями Буссинеска. Как уже отмечалось выше, при построении буссинесковской модели тепловой конвекции предполагается сильным гравитационное поле, что приводит к плоской поверхности раздела. Строго говоря, отклонение поверхности раздела пропорционально Са \ т.е. является асимптотически малым параметром.

В ряде работ отечественных и зарубежных авторов [10-11] деформация поверхности учитывается в рамках приближений Буссинеска, что приводит к физически некорректным результатам.

Однако, в двухслойной системе несмешивающихся жидкостей, обладающих близкими плотностями, можно сформулировать так называемые обобщенные приближения Буссинеска [12-13], корректно учитывающие деформируемость поверхности раздела. В этом случае в задаче появляется еще один малый параметр £ - относительная разность плотностей при фиксированной температуре 7о; произведение £ и асимптотически большого Оа дает конечный параметр, модифицированное число Галилея. Задача устойчивости двухслойной системы с деформируемой границей раздела решена в [12-13]. Обнаружены области пространства параметров, в которых наиболее опасными являются ячеистые монотонные и колебательные, а также длинноволновые возмущения. Показано, что в лабораторных условиях для большинства жидкостей наблюдается конкуренция двух монотонных мод неустойчивости: ячеистой и длинноволновой. Первая из них практически не зависит от модифицированного числа Галилея и родственна моде неустойчивости, существующей для системы с недефор-мируемой границей раздела [6]. Вторая мода существует только благодаря отклонению поверхности от плоской и представляется наиболее интересной в данной задаче.

В ряде задач (см. обзор в [1]) рассматривается влияние поперечного нагрева на устойчивость гидродинамических течений (таких, как течение Пуазейля или Куэтта). В этом случае существуют преобразования, аналогичные преобразованиям Сквайра в теории гидродинамической устойчивости изотермической жидкости [14]. Сама теорема Сквайра о наиболее опасных плоских возмущениях оказывается неприменимой. Отметим также, что основное течение не взаимодействует с возмущениями в виде продольных валов, и число Рэлея данной моды не зависит от числа Рейнольдса Ие, характеризующего интенсивность гидродинамического течения.

По отношению к плоским возмущениям наблюдается заметная стабилизация с ростом Яе, как для течения Пуазейля [15], так и для течения Куэтта [16]. Принципиальная разница между этими задачами состоит в том, что течение Куэтта устойчиво в линейной постановке, т.е. стабилизация плоской моды наблюдается при любых числах Рейнольдса. Течение Пуазейля само теряет устойчивость при больших Яе, однако за счет подогрева сверху можно добиться некоторой его стабилизации.

К другому кругу задач принадлежат задачи возникновения конвекции в вертикальных каналах и слоях. Пионерской работой в данной области является

17], где рассмотрена устойчивость равновесия в вертикальном круговом цилиндре. В [17] данная задача решена в длинноволновом пределе, исследование устойчивости равновесия по отношению к ячеистым возмущениям проведено в

18]. Численные расчеты, предпринятые в [18], показали, что наиболее опасными всегда являются крупномасштабные возмущения.

В [19] решена задача для вертикального слоя. В этом случае наиболее опасными оказываются длинноволновые спиральные возмущения. Конвективное подъемно-опускное движение периодично по горизонтальной продольной к слою координате («перевальная» мода).

Задача об устойчивости подогреваемого снизу наклонного слоя жидкости с теплопроводными границами рассмотрена плоской постановке в [20]. Обнаружена интересная конкуренция длинноволновых и ячеистых возмущений. При некотором критическом угле наклона слоя к вертикали меняет знак вторая производная числа Рэлея по волновому числу: на смену длинноволновым возмущениям приходят ячеистые. Волновое число наиболее опасных возмущений плавно увеличивается от нуля до 1.56.

2. Устойчивость конвективных течений. В том случае, когда градиент температуры в жидкости не является строго вертикальным, конвективное течение возникает при сколь угодно малых числах Рэлея.

В ряде случаев, прежде всего для достаточно протяженных слоев, одним из допустимых решений уравнений тепловой конвекции является плоскопараллельное течение. Известны и достаточно подробно изучены течение в вертикальном слое, подогреваемом сбоку; течение в горизонтальном слое при продольном нагреве (адвективное течение); течение в наклонном слое при различных вариантах нагрева.

Нелинейноеть уравнений гидродинамики является причиной неединственности их решений. Различные допустимые решения могут кардинально отличаться друг от друга, ввиду чего важно определить границы устойчивости того или иного режима. Наиболее полный обзор работ по устойчивости конвективных течений можно найти в [21].

Изучение проблем устойчивости плоскопараллельных течений (первоначально для изотермической жидкости) берет свое начало с работ Рейнольдса и Рэлея, Гейзенберга и Линя. История данного вопроса, а также основные факты теории (теорема Сквайра, теорема Рэлея о точке перегиба, парадоксальное влияние вязкости и волны Толмина-Шлихтинга) на популярном уровне освещены в [22], строгое изложение можно найти, например, в [23].

Проблемы устойчивости конвективных течений характеризуются более богатым по сравнению с задачами устойчивости изотермических течений спектром возмущений. В неоднородно нагретой жидкости, находящейся в гравитационном поле, возникают специфические механизмы кризиса течений. Такими механизмами являются, например, собственно конвективный (возникновение движения в неустойчиво стратифицированной жидкости), тепловой (генерация температурных волн в жидкостях, обладающих высокими числами Прандтля), возбуждение внутренних волн в устойчиво стратифицированной жидкости.

Кроме того, для широкого класса конвективных течений не существует аналогов преобразований Сквайра, сводящих трехмерную задачу к плоской. В этом случае зачастую наиболее опасными оказываются трехмерные возмущения. Обычно в качестве трехмерных возмущений рассматриваются возмущения специального вида: конвективные валы, оси которых параллельны основному течению (так называемые спиральные возмущения). Однако, в ряде задач волновой вектор наиболее опасных возмущений направлен под некоторым углом к основному течению.

Изучение устойчивости конвективных течений требует применения численных методов. Для численного решения используются две группы методов: первая связана с разложением полей возмущений по базисным функциям, вторая - со сведением краевой задачи к одной или нескольким задачам Коши с последующим численным интегрированием. К первой группе относятся метод Га-леркина и его варианты (например, метод Петрова-Галеркина [24]), а также пользующийся большой популярностью в последнее время метод Тау-Чебышева [25]. Во второй группе наиболее известны методы дифференциальной прогонки [23] и ортогонализации [26,27]. Преимущества и недостатки некоторых из данных методов обсуждаются в [21, 23].

Обзор работ по устойчивости конвективных течений начнем с задачи о вертикальном слое жидкости, подогреваемом сбоку. Плоскопараллельное течение обладает нечетным профилем скорости и состоит из двух потоков - восходящего у горячей стенки и нисходящего у холодной. Исследованию задачи устойчивости данного течения с применением численных методов посвящено множество работ, отметим среди них статьи [28,29]. Обнаружены и подробно исследованы две моды неустойчивости. При малых числах Прандтля наиболее опасны монотонные гидродинамические возмущения. Эта мода имеет невязкую природу и связана с возникновением вихрей на границе встречных потоков. Критическое число Грасгофа слабо меняется с увеличением Рг.

При Рг> 11.56 возникает тепловая бегущая мода (так называемые температурные волны), а при Рг > 12.45 эти возмущения становятся наиболее опасными. Тепловой уровень неустойчивости вырожден по направлению распространения возмущений. В пределе больших чисел Прандтля критическое число

Грасгофа данной моды уменьшается обратно пропорционально у[Рг.

В ряде работ изучается воздействие различных осложняющих факторов на устойчивость течения с кубическим профилем скорости. Конвективное течение при наличии продольного градиента давления (интенсивность прокачки характеризуется числом Рейнольдса Яе) изучено в [30]. Показано, что внешнее воздействие сильно стабилизирует конвективное течение по отношению к гидродинамической моде. Влияние продольного градиента давления на тепловую моду более сложное: снимается вырождение данного уровня неустойчивости, причем более опасными становится «спутная» мода (возмущения распространяются вдоль направления прокачки). Кроме того, в зависимости от интенсивности внешнего воздействия уменьшается (вплоть до 9.723 в пределе Яе—»<*>) критическое число Прандтля, соответствующее появлению тепловой моды. При малых Яе внешнее воздействие дестабилизирует конвективное течение, с ростом числа Рейнольдса наблюдается стабилизация.

Влияние движения границ на устойчивость течения в вертикальном слое, подогреваемом сбоку, рассматривается в работах [31] (в гидродинамическом пределе) и [32] (в полной постановке). Внешнее воздействие в широком диапазоне параметров подавляет гидродинамическую моду неустойчивости; небольшая область дестабилизации конвективного течения существует лишь при медленном попутном (горячая стенка движется вверх, холодная вниз) движении границ.

Значительно более сложным образом движение границ влияет на тепловую моду неустойчивости при встречном движении границ. При Рг~ 2 возникает область неустойчивости, связанная с монотонными тепловыми возмущениями. Эта область растет с увеличением числа Прандтля, пересекаясь с областью неустойчивости, соответствующей колебательной тепловой моде. При попутном движении границ наблюдается сильная стабилизация течения.

Еще одним важным осложняющим фактором является наличие вертикальной компоненты градиента температуры. Такое распределение температуры (соответствующее подогреву сверху) часто возникает в эксперименте с ограниченным по высоте слоем, подогреваемым сбоку. Действительно, основное течение переносит в верхнюю часть слоя более горячую жидкость, а в нижнюю — холодную, создавая дополнительную вертикальную разность температур.

По мере усиления подогрева сверху профиль скорости основного течения меняется: снижается интенсивность каждого из потоков, а само течение приобретает погранслойный характер. Исследование устойчивости данного течения проводилось многими авторами [33-35]. Наличие вертикальной компоненты градиента температуры играет стабилизирующую роль. Подавление гидродинамических возмущений впервые обнаружено в [33], а тепловых в [34]. Кроме того, при достаточно больших числах Прандтля становится наиболее опасной монотонная тепловая мода неустойчивости [35].

Устойчивость течения при подогреве снизу в плоской постановке рассматривалась в [33], а с учетом пространственных возмущений в [36]. Обнаружен эффект дестабилизации по отношению к плоским гидродинамическим возмущениям. При достижении числом Рэлея, определенным по вертикальной составляющей градиента температуры, значения л4/\6 течение становится неустойчивым по отношению к спиральной длинноволновой («перевальной») моде неустойчивости. Отметим, что возмущения спирального типа не взаимодействуют с основным течением, т.е. критическое число Рэлея не зависит от интенсивности поперечного нагрева и совпадает с пороговым значением для равновесия в вертикальном слое, подогреваемом снизу [19].

Течение в вертикальном слое, подогреваемом сбоку, является частным случаем течения в наклонном слое, границы которого поддерживаются при постоянных температурах. Устойчивость данного движения жидкости изучалась в [37-40].

В данной задаче можно получить (см. [37]) преобразования, позволяющие свести трехмерную задачу к плоской, аналогично преобразованиям Сквайра в теории устойчивости изотермических течений. Ввиду этого обсудим сначала результаты работ [37-40] в плоской постановке.

По мере увеличения углов наклона слоя к вертикали для потенциально устойчивой стратификации жидкости (верхняя граница более горячая) наблюдается стабилизация течения, как по отношению к гидродинамической, так и по отношению к тепловой модам.

При потенциально неустойчивой стратификации жидкости (горячая нижняя граница) наблюдается обратный эффект - дестабилизация течения по мере увеличения угла наклона. В слоях, близких к горизонтальным, наиболее опасны монотонные возмущения; управляющим параметром является число Рэлея (в пределе горизонтального слоя получим задачу Рэлея [1]). Наблюдается и заметная дестабилизация по отношению к тепловой моде.

Учет пространственных возмущений показал, что в близких к горизонтальным слоях (подогрев снизу) наиболее опасны монотонные возмущения в виде продольных валов (рэлеевская мода). При достижении углом наклона слоя к вертикали некоторого критического значения наиболее опасными становятся плоские валы. Для плоских возмущений в зависимости от числа Прандтля более опасна гидродинамическая или тепловая мода.

Большое количество работ отечественных и зарубежных исследователей посвящено проблеме устойчивости течения в горизонтальном слое, на границах которого поддерживается линейное распределение температуры (адвективное течение). Столь пристальное внимание объясняется обилием технологических приложений данной задачи, которые обсуждаются в [41,42]. Плоскопараллельное течение (как для обеих твердых границ, так и для свободной верхней, на которой учитывается термокапиллярный эффект) получено в [43], задача его устойчивости рассматривалась в работах [44-46], результаты разных исследователей обобщены в [47].

Адвективное течение (в дальнейшем, если не оговорено особо, под этим термином будем понимать течение между двумя твердыми границами), по-видимому, является одним из самых богатых на различные механизмы неустойчивости. Ввиду отсутствия преобразований Сквайра необходимо решать полную трехмерную задачу устойчивости. В большинстве работ рассматривались плоские и спиральные возмущения; в [48] показано, что в зависимости от числа Прандтля наиболее опасными среди произвольных возмущений типа наклонных волн являются спиральные или плоские.

В статье [44] изучена устойчивость адвективного течения относительно плоских возмущений. Обнаружены две моды неустойчивости: при малых числах Прандтля наиболее опасны монотонные возмущения гидродинамического типа. Волновые числа наиболее опасных возмущений слабо зависят от числа Прандтля и меняются вблизи единицы (волновые числа определены по полутолщине слоя). Эта мода связана с возникновением вихрей на границе встречных потоков; критическое число Грасгофа растет с увеличением числа Прандтля. В гидродинамическом пределе критическое число Грасгофа совпадает с аналогичным значением для вертикального слоя, подогреваемого сбоку (в обоих случаях имеем задачу Орра-Зоммерфельда для течения с кубическим профилем скорости).

При больших значениях числа Прандтля наиболее опасной в плоской постановке становится колебательная рэлеевская мода. Данный тип возмущений связан с развитием конвективного движения в неустойчиво стратифицированных слоях вблизи твердых границ. Эта мода двукратно вырождена по направлению распространения волны: возмущения, локализованные вблизи верхней стенки, переносятся основным потоком против градиента температуры, а локализованные вблизи нижней - вдоль градиента. При больших Рг управляющим параметром задачи становится Яа, в пределе Рг—>°о Яа стремится к значению 964.

Задача устойчивости адвективного течения относительно спиральных возмущений рассмотрена в [45]. Обнаружены две монотонные моды неустойчивости различной четности, также связанные с рэлеевским конвективным механизмом. Как показывает анализ собственных функций [49], четные возмущения имеют вид двух вихрей, расположенных вблизи границ слоя. Знак завихренности для данных вихрей одинаков, в центре слоя существует еще один вихрь меньшей интенсивности и противоположного знака. Нечетные возмущения имеют вид двух вихрей разного знака. Критические волновые числа для обеих мод имеют значения, близкие к четырем. В [45] говорится о смене устойчивости при Рг = 2.7 (при меньших числах Прандтля наиболее опасны четные возмущения, при больших - нечетные). Однако, по-видимому, этот вывод связан с недостаточной точностью расчетов, в более поздних работах смены устойчивости не обнаружено, наиболее опасными остаются четные возмущения. В пределе больших чисел Прандтля критические числа Грасгофа для обеих рэлеевских мод убывают обратно пропорционально Рг. Плоская рэлеевская мода неустойчивости менее опасна, чем спиральные моды, при любых числах Прандтля.

Кроме того, в диапазоне чисел Прандтля от 0.14 до 0.45 кризис адвективного течения связан со спиральными колебательными возмущениями [46]. Данная мода связана с развитием внутренних волн в устойчиво стратифицированной жидкости. Волновые числа наиболее опасных возмущений слабо меняются с Рг вблизи единицы.

Таким образом, с ростом числа Прандтля наблюдается следующая картина: при Рг< 0.14 наиболее опасны плоские монотонные возмущения, затем при 0.14 <Рг< 0.45 - спиральные колебательные, а при больших значениях числа Прандтля - спиральные монотонные.

Экспериментальное исследование адвективного течения проведено в [50,51]. Эксперименты проводились для этилового спирта (Рг = 16.1). Обнаружено, что кризис адвективного течения вызывается спиральными возмущениями. Данные [50,51] согласуются с теоретическими значениями критического числа Грасгофа и волнового числа.

Не останавливаясь подробно на изложении работ по устойчивости адвективного течения со свободной верхней границей, отметим, что основные результаты изложены в [47,48] (для случая теплопроводной верхней границы), [52] (обе границы теплоизолированы) и [53] (термокапиллярное течение в невесомости). Обнаружено, что в зависимости от параметров задачи наиболее опасны плоские бегущие возмущения, спиральные монотонные валы и колебательные пространственные возмущения (наклонные волны).

Еще одной причиной, вызывающей конвективное движение, является наличие в жидкости внутренних источников тепла. В вертикальном слое при однородном тепловыделении формируется квадратичный профиль температуры с максимумом в центре. Данное распределение температуры вызывает замкнутое конвективное течение с восходящим потоком в центре слоя и двумя нисходящими по краям.

Устойчивость данного течения исследована в работах [54,55]. В гидродинамическом приближении обнаружены две моды неустойчивости, из которых более опасны возмущения четного типа. Критические возмущения имеют вид вихрей на границе встречных потоков, причем четные возмущения соответствуют шахматной упаковке вихрей.

С ростом числа Прандтля возрастает роль тепловых факторов. При Рг > 5.7 на нейтральных кривых Ог(к) возникает петля, связанная с полным пересечением декрементов (совпадают вещественные и мнимые части). Эта петля разделяет два участка нейтральной кривой, соответствующие разным типам возмущений. Возмущения с меньшими волновыми числами могут быть классифицированы как тепловые, именно эти возмущения являются наиболее опасными. Коротковолновая часть нейтральной кривой схожа с нейтральной кривой в гидродинамическом приближении. Разумеется, указанная классификация в значительной степени условна.

Экспериментальные исследования жидкостей с внутренними источниками проводились В.Г.Козловым [56]. В качестве рабочей жидкости использовался двухпроцентный раствор медного купороса в воде и водоглицериновых смесях. Тепловыделение вызывалось пропусканием электрического тока через электролит. Результаты экспериментальных исследований, проведенных в широком диапазоне чисел Прандтля, хорошо согласуются с численными данными. 3. Слабо-нелинейное исследование конвекции. Линейная теория устойчивости позволяет получить информацию о критических параметрах какого-либо режима. Однако, результаты линейной теории справедливы лишь для бесконечно малых возмущений. Неизвестным остается характер ветвления, вид и устойчивость вторичных течений. В то же время исследования на основе полных нелинейных уравнений являются слишком дорогостоящими и не всегда позволяют получить нужную информацию о течении в припороговой области. В связи с этим эффективным оказывается слабо-нелинейный анализ устойчивости течения (равновесия). Обзор работ, посвященных слабо-нелинейному анализу и изложение метода можно найти в [21].

Идея слабо-нелинейного исследования устойчивости гидродинамических течений принадлежит Л.Д.Ландау [57]. Она заключается в том, что вблизи порога устойчивости течение представляется в виде основного потока и малого возмущения. Форма возмущения определяется из задачи линейной устойчивости с точностью до постоянного множителя - амплитуды возмущения. Вблизи порога устойчивости основного течения амплитуда является медленно меняющейся функцией времени. Учитывая нелинейные по возмущениям слагаемые в уравнениях гидродинамики, получаем для амплитуды эволюционное нелинейное уравнение (уравнение Ландау). Таким образом, задача сводится к дифференциальному уравнению первого порядка, определяющему поведение амплитуды возмущений при малых надкритичностях.

В общем случае нелинейное слагаемое кубично по амплитуде; поведение возмущений определяется знаком коэффициента при этом члене (так называемой постоянной Ландау). Положительным константам Ландау соответствует жесткое ветвление, отрицательным - мягкое, по корневому закону. В теории конвекции этот метод впервые использован В.С.Сорокиным [58]; показано, что конвекция при подогреве снизу возникает мягко.

Математическое обоснование данного метода для задач тепловой конвекции дано В.И.Юдовичем [59-61]. В работе [60] показано, что в надкритической области существуют только два стационарных решения, их устойчивость показана в [61].

Позднее метод был развит для исследования устойчивости плоскопараллельных гидродинамических течений по отношению к более общему классу возмущений (не только пространственно-периодические, но и модулированные структуры). В этом случае получают амплитудные уравнения в частных производных, учитывающие возможность медленной пространственной модуляции валов или других регулярных структур. Наличие «быстрых» и «медленных» пространственных и временных координат позволяет успешно применять метод многих масштабов [62]. В работе [63] данная методика применена для изучения двумерных возмущений течения Пуазейля, в [64] изучена трехмерная задача.

Подчеркнем, что для широкого класса задач гидродинамической и конвективной устойчивости амплитудное уравнение имеет одинаковый вид; разные задачи отличаются друг от друга лишь набором коэффициентов. Важным оказывается тип наиболее опасных возмущений. Например, при изучении устойчивости плоскопараллельных течений относительно плоских возмущений амплитудное уравнение имеет вид аналогичный [64]. В зависимости от того, монотонные или колебательные наиболее опасные возмущения, коэффициенты в уравнении Ландау будут вещественными или комплексными.

Исследования вторичных режимов и их устойчивости для монотонных возмущений проведены в работе [65]. Обнаружены четыре типа стационарных решения и исследована их устойчивость. Оказалось, что единственным устойчивым решением является периодическое. В [66,67] в плоской постановке изучены пространственно-периодические надкритические режимы для колебательных мод неустойчивости. В [21] сформулированы условия устойчивости этих режимов по отношению к трехмерным возмущениям.

Более сложная ситуация наблюдается, если основной уровень неустойчивости вырожден. В этом случае необходимо вводить несколько амплитудных функций (в зависимости от кратности вырождения уровня). Так в [68] изучается слабо-нелинейное развитие тепловых возмущений на фоне конвективного течения в вертикальном слое, подогреваемом сбоку. Как отмечалось ранее, волновая мода неустойчивости двукратно вырождена по направлению распространения температурной волны. В соответствии с этим, вводятся две амплитудные функции, являющиеся амплитудами каждой из допустимых волн. В данной задаче существуют два пространственно-периодических решения: с одной или двумя бегущими волнами. В [68] также получены условия устойчивости каждого из этих решений по отношению к двумерным возмущениям.

В работе [69] изучается слабо-нелинейное поведение термокапиллярного течения в слое, индуцируемого продольным нагревом. В данной задаче в некоторой области параметров наиболее опасными являются возмущения типа наклонных волн, причем соответствующий уровень неустойчивости двукратно вырожден (существуют две волны распространяющиеся под углом ±(Х к основному течению). Сформулирована система амплитудных уравнений и показано, что в зависимости от чисел Прандтля и Био возникает либо одна из двух волн, либо их симметричная суперпозиция. Аналогичные исследования проведены и для течения в гравитационном поле [48,52]. Заметим, что в двух последних работах рассматриваются лишь пространственно-периодические вторичные течения; модуляция конвективных валов не учитывается.

Коренным образом отличается задача устойчивости равновесия. В таких задачах помимо плоских валов часто возникают конвективные течения, обладающие другой симметрией: например, гексагональные и квадратные ячейки. Задача Рэлея с твердыми теплопроводными границами изучена в [70]. Получено амплитудное уравнение и определена область устойчивости регулярных надкритических плоских валов вблизи порога.

Все упомянутые ранее задачи относятся к возникновению ячеистых возмущений. Ввиду этого, нелинейные слагаемые для различных амплитудных уравнений (или даже их систем) пропорциональны кубу амплитуды. Принципиально иная ситуация наблюдается для задач, в которых кризис имеет длинноволновую природу. В подобных задачах нелинейное слагаемое не является универсальным и возможны различные типы нелинейности.

Так в работе [71], в которой изучаются режимы стекания пленки по наклонной поверхности, нелинейное слагаемое пропорционально ааг (а - отклонение поверхности, аг - производная а по продольной координате). В [72] изучается крупномасштабная конвекция в горизонтальном слое с теплоизолированными границами. Обнаружено мягкое ветвление длинноволнового режима, найдено стационарное периодическое решение амплитудного уравнения и показана его неустойчивость.

Интересное взаимодействие длинноволновых и ячеистых возмущений изучено в [73] для задачи о возникновении конвекции Марангони в двухслойной системе с деформируемой границей раздела.

4. Нелинейное исследование вторичных течений. Важным этапом исследования конвективных течений является прямое численное решение уравнений тепловой конвекции. Этот метод применим в широкой области параметров, он позволяет получать разные режимы течения, исследовать переходы между этими режимами. Однако, прямое численное моделирование зачастую требует значительных затрат компьютерного времени. В связи с этим представляется наиболее оптимальным применение на первом этапе методов линейного и слабонелинейного анализа для получения подробной информации о кризисе основного режима. Вторым этапом служит прямое моделирование нелинейных уравнений.

Среди множества методов решения дифференциальных уравнений в частных производных хорошо зарекомендовал себя метод конечных разностей (см., например, [74]). Применение данного метода к задачам тепловой конвекции, основные приемы ускорения счета и увеличения точности результатов описаны в [75].

Широко используемыми являются спектральные методы, связанные с проектированием уравнений гидродинамики на некоторый набор базисных функций. Метод спектральных элементов [76] пользуется большой популярностью, в том числе благодаря его эффективному применению на параллельных компьютерах. В работах Ф.Г.Буссе с соавторами о надкритических режимах конвекции в плоском слое, подогреваемом снизу, активно использовался метод Галеркина (см., например, [77]).

Исследования вторичных конвективных течений в бесконечных слоях начато в [78,79]. В первой из данных работ изучено поведение стационарного надкритического течения, возникающего при умеренных Рг. Расчеты проводились с использованием периодического граничного условия по вертикальной координате для различных периодов. Интенсивность конвективного движения характеризовалась максимальным значением функции тока у/т, разностью максимального и минимального значения функции тока в центре слоя S\¡/ и числом Нуссельта Nu (Nu вводилось как отношение тепловых потоков на стенке в режиме возмущенного и плоскопараллельного течения). Показано, что вблизи порога 8ц/ растет с надкритичностью по корневому закону, a Mí - линейно.

В [79] изучена нелинейная эволюция тепловых возмущений. Расчеты подтвердили колебательный характер неустойчивости. Показано, что вторичное течение является суперпозицией двух волн, локализованных во встречных потоках и распространяющихся в противоположном направлении. Обнаружено заметное расхождение с результатами линейного счета.

В работах [80,81] методом конечных разностей изучались переходный и турбулентный режимы конвекции, возникающие при больших числах Грасгофа. В первой из этих работ расчеты проводились для ограниченного в вертикальном направлении слоя, во второй использовались периодические граничные условия.

Нелинейные режимы адвективного течения изучены в [82]. Расчеты проведены для двух значений числа Прандтля: Рг = 0.1 и Рг = 1 и подтверждают результаты линейного исследования задачи. При Рг = 0.1 возмущения основного течения имеет вид стационарных вихрей на границе встречных потоков; изотермы практически не искажаются.

При Рг = 1 в плоской задаче возмущения имеют вид симметричной суперпозиции двух бегущих волн (аналогично тепловым возмущениям в вертикальном слое [79]). Распределение температуры заметно искажается. Однако, наиболее опасными в данной области параметров оказываются спиральные монотонные возмущения. В зависимости от начальных условий неустойчивость вызывается четными или нечетными возмущениями (более опасны четные). При больших числах Грасгофа вторичное течение, соответствующее нечетному режиму, становится неустойчивым.

Большое количество работ посвящено исследованию течения в достаточно протяженном горизонтальном слое, подогреваемом сбоку. В статьях [83,84] рассматриваются различные варианты граничных условий: теплопроводные и теплоизолированные горизонтальные границы, твердая и свободная верхняя поверхность. Проведены линейные исследования для бесконечного слоя и двумерные расчеты в прямоугольной области (рассматриваются различные соотношения сторон - от 1:4 до 1:25). В [85,86] изучается влияние поперечного магнитного поля на течение проводящей жидкости в достаточно протяженной полости. Изучаются два варианта верхней границы - свободная и твердая. В первой из этих работ рассматривается двумерное течение в прямоугольной полости с соотношением высоты к длине 1:4. Кроме того, получено плоскопараллельное течение в бесконечном слое и исследована его устойчивость для свободной верхней границы. Во второй работе в гидродинамическом пределе и с использованием приближений Брагинского (изотермическая плохо проводящая жидкость) рассматривается течение в трехмерной полости с соотношением высоты, ширины и длины 1:1:4.

В работе [87] в плоской постановке рассмотрены режимы конвекции для разных отношений длины полости к высоте (от 1:1 до 1:11). Горизонтальные границы теплоизолированы, вертикальные поддерживаются при заданной температуре. В данной работе обнаружены гистерезисные явления: в зависимости от начальных условий при заданных параметрах возможно достигнуть различных установившихся режимов. Изучена устойчивость различных состояний в зависимости от соотношения сторон и числа Грасгофа.

Следует отметить, что результаты работ [83-87] плохо согласуются с результатами исследования течения в бесконечной полости (как линейного [47], так и нелинейного [82]). Для формирования плоскопараллельного течения в средней части слоя необходимо, чтобы заданный продольный перепад температуры заметно превосходил вертикальный перепад, индуцируемый течением. Это требование накладывает ограничение сверху на произведение бг Рг к/Ь {к и Ь, соответственно, высота и длина слоя) [21]. Несмотря на низкие числа Пран-дтля, это ограничение не выполнено в большинстве перечисленных работ. 5. Вибрационная конвекция. Развитие технологий, в том числе космических, привело к необходимости исследования поведения неоднородно нагретой жидкости под действием вибраций высокой частоты. Разнообразные явления, возникающие при взаимодействии вибрационных полей с неоднородной по плотности жидкостью, породили новую отрасль гидродинамики - вибрационную конвекцию. Подробную библиографию по вибрационной конвекции можно найти в работе [88], в которую вошли основные результаты, полученные в данной области.

Заметное различие в характерных диссипативных и вибрационных временах позволяет применить процедуру осреднения. При этом поля скорости, температуры, давления (и, если нужно, другие) разбиваются на две составляющих -пульсационную и осредненную, не зависящую от вибрационного времени. Ос-редненное описание динамики жидкостей применялось Рэлеем [89], Линем и Шлихтингом [90]. При исследовании тепловой конвекции процедура осреднения впервые была применена в [91]. Получена система осредненных уравнений, называемая уравнениями Зеньковской-Симоненко. Математическое обоснование метода осреднения можно найти в [92].

Уравнения Зеньковской-Симоненко справедливы при ряде ограничений, накладываемых на амплитуду и частоту вибраций. Частота, как указывалось ранее, велика по сравнению с обратными диссипативными временами: й)»тах{у/й2,^//г2}, но достаточно мала, чтобы не возбуждалось акустических волн: вх^с/Н (об этом условии более строго говорится ниже). Амплитуда вибраций предполагается не слишком большой а/Зв^к, что позволяет не учитывать нелинейные слагаемые для пульсаций. Здесь а и со - амплитуда и частота вибраций, х ~ коэффициент температуропроводности, с - скорость звука в жидкости.

Осредненные эффекты в конвекции можно качественно объяснить следующим образом. Рассмотрим заполненную жидкостью полость, совершающую поступательные вибрации. В собственной для полости системе отсчета на неравномерно нагретую жидкость действует неоднородная сила инерции, порождающая пульсационное движение. Это течение за счет конвективного переноса возбуждает быстро осциллирующее поле температуры. Взаимодействие пульсаций плотности (возникающих за счет теплового расширения) и силы инерции, а также нелинейное слагаемое в уравнении Буссинеска, порождают переменную в пространстве осредненную силу.

Влияние пульсаций характеризуется так называемым вибрационным числом Грасгофа С^=(аю[3вк/у)2 ¡2. Как видно, пропорционально квадрату параметра ¡50 . Это связано с тем, что само вибрационное поле в неинерциальной системе отсчета возникает за счет неоднородностей температуры (в изотермическом случае жидкость двигается как твердое тело).

Однако, как показано в [93], такая ситуация наблюдается лишь для вибраций специального вида. Для широкого класса задач, таких как непоступательные вибрации, наличие свободных поверхностей и погруженных в жидкость подвижных твердых включений, неоднородное пульсационное движение генерируется и в изотермической жидкости. Соответственно, значительно более сильными (пропорциональными первой степени малого параметра /Зв ) являются осредненные эффекты. Уравнения вибрационной конвекции для этого случая получены Д.В.Любимовым [93] (см. также [88]).

Примеры задач, в которых необходимо применять уравнения первого порядка по /30, обсуждаются в [88,93]. Некорректное применение уравнений Зеньковской-Симоненко в этих задачах приводит к физически неверным, зачастую противоположным, результатам. Однако, обсуждение данных работ лежит за рамками данной диссертации.

6. Устойчивость виброконвективных течений. При определенных условиях в жидкости, подверженной действию высокочастотных вибраций, возможно так называемое состояние квазиравновесия. В этом случае жидкость в среднем остается неподвижной, совершая высокочастотное движение. Уравнения и граничные условия, определяющие состояние квазиравновесия в поле тяжести и в невесомости, можно найти в [88]. Возможно также и истинное равновесие жидкости (жидкость покоится в некоторой системе отсчета). В поле тяжести равновесие реализуется, если градиент температуры и ось вибраций вертикальны, в невесомости достаточно параллельности этих векторов.

Обзор работ по устойчивости квазиравновесия жидкости в вибрационном поле начнем с результатов, справедливых для невесомости. В [94] изучается устойчивость квазиравновесия, в плоском слое, границы которого имеют разные температуры, при наличии произвольно ориентированных по отношению к слою поступательных вибраций. Методом стрельбы в зависимости от угла наклона оси вибраций определено критическое вибрационное число Рэлея для плоской моды неустойчивости. Оказывается, что наиболее опасными являются продольные к слою вибрации, вибрационное число Рэлея в этом случае равно 133. С увеличением угла между осью вибраций и плоскостью слоя наблюдается стабилизация квазиравновесия, при вертикальных вибрациях равновесие устойчиво (в [94], исходя из интегральных соотношений, показано, что истинное равновесие устойчиво в невесомости для любой геометрии задачи). Задача устойчивости квазиравновесия по отношению к пространственным возмущениям может быть сведена к плоской, пространственные возмущения оказываются менее опасными.

Некоторые другие варианты квазиравновесных ситуаций в плоском слое в невесомости исследованы Л.М.Браверманом [95,96]. Рассмотрены следующие ситуации: 1. Ось вибраций и градиент температуры лежат в плоскости слоя под произвольным углом друг к другу; 2. Ось вибраций лежит в плоскости слоя, градиент температуры перпендикулярен оси и наклонен под произвольным углом к плоскости слоя; 3. Поперечная ось вибраций при произвольно ориентированном градиенте температуры. В первом из этих случаев наиболее опасны трехмерные длинноволновые возмущения, во втором обнаружена конкуренция ячеистых и длинноволновых, в третьем квазиравновесие устойчиво. Необходимо подчеркнуть, что развитие трехмерных длинноволновых возмущений в указанных работах, по-видимому, приводит к возникновению плоскопараллельного осредненного течения.

Работа [97] посвящена изучению квазиравновесия в наклонном слое в присутствии силы тяжести. Сформулированы условия, при которых возможно квазиравновесие и рассмотрены 16 различных конфигураций, соответствующих различным направлениям градиента температуры и оси вибраций по отношению к слою.

В том случае, когда условия квазирановесия не выполнены, в жидкости возникает виброконвективное течение. Обсудим некоторые задачи устойчивости таких течений.

Течение в вертикальном слое, подогреваемом сбоку, под действием вертикальных вибраций рассмотрено в плоской постановке в работах [98,99]. При малых Рг наиболее опасны монотонные гидродинамические возмущения, при больших, как и в отсутствие вибраций, возникают и становятся более опасными бегущие тепловые волны. Вибрации оказывают дестабилизирующее действие на обе указанные моды неустойчивости. Слабая гравитационная конвекция может усиливать (при Рг < 0.27) или подавлять (Рг > 0.27) развитие вибрационной неустойчивости.

В [100] для задачи вибрационной конвекции в вертикальном слое, подогреваемом сбоку, сформулирован аналог преобразований Сквайра. Показано, что с помощью данных преобразований можно распространить результаты работ [98,99] на случай трехмерных возмущений при произвольной ориентации оси вибраций в плоскости слоя. Наиболее опасными оказываются трехмерные возмущения, волновой вектор которых имеет две компоненты (в отсутствие силы тяжести получаем задачу об устойчивости квазиравновесия жидкости в невесомости под действием продольных вибраций [94]).

Наиболее простой оказывается ситуация, когда ось вибрации горизонтальна и лежит в плоскости слоя. В этом случае область устойчивости на плоскости Ог-Иу ограничена двумя прямыми, соответствующими потере устойчивости подъемно-опускным течением в отсутствии вибраций [28,29] или квазиравновесием в невесомости при продольных вибрациях [94]. Перекрестные эффекты (влияние вибраций на устойчивость конвективного течения и влияние силы тяжести на устойчивость квазиравновесия) в данной конфигурации отсутствуют. Это позволило наблюдать в земных условиях неустойчивость квазиравновесия в невесомости [101]. Результаты данного эксперимента хорошо согласуются с теоретическими предсказаниями работы [94].

В статье [102] положено начало изучению адвективного течения под действием вибраций. Рассмотрена структура плоскопараллельного течения для случаев продольных, вертикальных и поперечных (но горизонтальных) вибраций, теплопроводных и теплоизолированных границ. В первом из этих случаев течение вытесняется к границам и ослабевает с ростом Оу. Во втором и в третьем случае вибрационное воздействие не меняет профиля скорости и температуры адвективного течения.

Устойчивость адвективного течения при продольных и поперечных вибрациях изучена в [103,104], соответственно. Как продольные, так и поперечные вибрации в основном оказывают стабилизирующее действие на устойчивость адвективного течения. В первом случае при наличии вибраций появляется область параметров, в которой наиболее опасны плоские тепловые волны. Во втором наименее сильно подавляется спиральная колебательная мода неустойчивости. При достаточно больших вибрационных числах Грасгофа также появляется интервал Рг, в котором наиболее опасны плоские бегущие возмущения.

В статье [105] изучена структура плоскопараллельного виброконвективного течения в наклонном слое при продольном градиенте температуры и произвольной оси вибрации. Получены условия квазиравновесия, исследована устойчивость течения по отношению к плоским длинноволновым возмущениям. Показано, что при произвольном угле наклона оси вибраций (не продольные и не поперечные вибрации) осредненное течение возникает и в невесомости. 7. Уравнения термоакустической конвекции. Как отмечено ранее, в приближениях вибрационной конвекции жидкость считается несжимаемой, как при ос-редненном, так и при пульсационном движении. Такое предположение накладывает ограничение сверху на частоту вибраций. Представляет интерес взаимодействие акустических и конвективных явлений, ввиду чего необходимо получить осредненные уравнения термоакустической конвекции, справедливые для более высоких частот.

Первые попытки описания осредненного взаимодействия тепловой конвекции и акустических волн выполнены в [106,107]. Однако, в этих работах основное внимание уделяется вопросам теплообмена, причем рассматривается единственный механизм осредненного акустического воздействия на перенос тепла -за счет генерации на твердой поверхности осредненного течения.

В действительности, ситуация выглядит более сложной: возникают неоднородные инерционные силы, генерируемые акустической волной осредненные неоднородности плотности, эффекты пульсационного транспорта. Корректный вывод уравнений термоакустической конвекции, позволяющий учесть вышеперечисленные механизмы взаимодействия акустического поля и тепловой конвекции, выполнен в [108].

Ввиду того, что задачам термоакустической конвекции отводится довольно большая роль в диссертации, обсудим систему уравнений, полученную в [108].

Осредненные уравнения термоакустической конвекции имеют вид:

1—7 \у Уо-=-УП+?7Ди+<7£, дй —+готх(и+8) и+§) V а=-рД^АТ- Д,, Шу и =0, дг Ср

7-1

С7=-pJ8Г-i-тpw^ 2 с

АФ, дг

Здесь \у и й - пульсационная и осредненная компоненты скорости движения жидкости, Т - ее температура, сг - отклонение энтропии жидкости от равновесного значения, П- перенормированное давление, Ц,- диссипативная функция, р - средняя плотность, £ - ускорение свободного падения, Г], % и /3 - коэффициенты динамической вязкости, температуропроводности и объемного расширения, с - скорость звука в жидкости, у=Ср/Су - отношение теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме. Все параметры жидкости считаются постоянными. Черта сверху означает усреднение по периоду акустических колебаний 2ж/(0.

Пульсационная компонента скорости является безвихревой, Ф - ее потенциал, удовлетворяющий волновому уравнению (пульсационное поле скорости является обычной акустической волной). Через Б обозначен вектор пульсаци-онного транспорта (вектор Стокса), который вводится следующим образом: где вектор ? определяется соотношениями: дт

Вектор у=й+8 является средней лагранжевой скоростью жидкости (см. [88]).

При выводе данных уравнений предполагались выполненными следующие условия: g<^w2l, u<£ü)l, ygh<^c2.

Здесь l=mm{h,X\ (А - длина акустической волны, h - характерный размер задачи), 8 =^JvJcö - толщина пульсационного погранслоя, и - характерная осредненная скорость жидкости.

В работе [108] также получена система уравнений «слабой» акустической конвекции, применимая в том случае, когда длина звуковой волны велика по сравнению с характерным размером системы, однако эффекты сжимаемости остаются существенными. Анализ данной системы показывает, что акустическими эффектами можно пренебречь при h/X^ßO (а не h/X<s:l, как предполагалось ранее). В этом случае система уравнений слабой акустической конвекции переходит в систему уравнений Зеньковской-Симоненко.

В частном случае, когда пульсационное поле скорости имеет вид плоской волны, распространяющейся вдоль плоского слоя ( j - орт оси х) w=acoj cos со (t - х/с), уравнения термоакустической конвекции существенно упрощаются. Действительно, w2=а2(02¡2=const, т.е. слагаемое, содержащее этот член в первом из уравнений, имеет градиентный вид, а значит, лишь еще раз перенормирует давление. По той же причине, можно считать, что <J=-pßT (<7 входит в систему уравнений под знаком производной всюду, кроме последнего слагаемого в первом уравнении). Считая малым аэродинамический нагрев (малые числа Маха), опустим диссипативное слагаемое в уравнении переноса тепла.

Нетрудно убедиться, что вектор пульсационного транспорта постоянен и направлен вдоль оси х. Вводя среднюю лагранжеву скорость v, получим обычные уравнения тепловой конвекции в приближениях Буссинеска [1]: vV)v=-—Vp+vAv+gßTf, dt р

Ну у =0.

Здесь у - единичный вектор, направленный вертикально вверх, V - коэффициент кинематической вязкости, а р — еще раз перенормированное давление.

Как видно, пульсационные поля не вошли в уравнения для осредненных величин. Все влияние акустической волны заключено в граничных условиях, обсуждению которых посвящен последний пункт обзора литературы. 8. Акустические течения. Вопрос граничных условий для осредненной и пульсационной компонент скорости на твердой поверхности требует отдельного рассмотрения. Осциллирующее движение жидкости рассматривается в без-диссипативном приближении, т.е. на пульсационную компоненту необходимо поставить условия непротекания. С другой стороны, в каждый момент времени полная скорость жидкости на стенке обращается в нуль, а значит, колебательная составляющая также должна удовлетворять условиям прилипания. Удовлетворение этих условий происходит в тонком пограничном слое (толщины

8 =уу/<2)) вблизи твердой поверхности. В скин-слое, где существенна вязкость, генерируется завихренность. Затем завихренность за счет диффузии (вязкость) или конвективно (основным потоком) переносится в ядро течения, приводя к возникновению вихревого движения.

Впервые этот процесс рассмотрен Рэлеем для акустической волны [89]. Показано, что стоячая волна приводит к возникновению системы вихрей (так называемое акустическое течение). Интересно, что хотя акустическое течение обусловлено вязкими силами, его интенсивность не зависит от вязкости.

В работе [109] показано, что в решении Рэлея не учтена сжимаемость жидкости и проведен правильный расчет. Как оказалось, ошибка, допущенная в [89], не повлияла на конечный результат.

Позднее Г.Шлихтинг [90] изучил генерацию осредненного течения в случае произвольного потока несжимаемой жидкости и применил полученный результат к задаче о натекании пульсирующего потока на неподвижный цилиндр.

Обзор литературы, касающийся генерации течения сжимаемым и несжимаемым пульсационными потоками, приведен в [109]. В [110,111] показано, что перенос завихренности из пограничного слоя по объему жидкости можно описать с помощью эффективных граничных условий: значение генерируемой на внешней границе пограничного слоя скорости переносится для основного течения на твердую границу. В [111] получено также граничное условие для вибраций с неоднородной фазой (т.е. не допускающих разделения временных и пространственных переменных).

Работы, связанные с генерацией осредненных течений, обсуждаются и в [106]. Для обтекания волной препятствий, характерный размер которых мал по сравнению с длиной звуковой волны, к телам различной геометрии применяется формула Шлихтинга.

Формула, позволяющая найти осредненное значение скорости для наиболее общего случая (учет сжимаемости, двумерное внешнее течение и др.), выведена в [108]. Расчет, проведенный по этой формуле, показывает, что в рассматриваемом выше случае бегущей вдоль слоя плоской волны, скорость акустического течения постоянна вдоль границы и равна (с учетом пульсационного транспорта) За2ш2/г/4<?у . Такое же значение получается и из [109], если устремить к нулю толщину погранслоя.

На свободной границе (границе раздела) также генерируется осредненная завихренность, этот эффект, однако, более слабый. Генерация осредненного течения свободной поверхностью изучена в [110]. Подробное обсуждение граничных условий на твердой и свободной границах или поверхности раздела содержится в [88].

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Известно, что неоднородно нагретая жидкость, находящаяся в поле массовых сил, обладает специфическими механизмами неустойчивости, связанными с возникновением конвекции. Воздействие различных внешних факторов на конвективную устойчивость представляет значительный теоретический и практический интерес.

С теоретической точки зрения важно изучить влияние внешних воздействий на уже известные механизмы неустойчивости, а также выявить новые. Конкуренция различных факторов зачастую приводит к интересным физическим эффектам, нуждающимся в подробном изучении.

Конвекция играет важную роль в ряде технологических процессов, эффективность которых может быть значительно улучшена подавлением или усилением конвекции. Так, например, в процессе выращивания кристаллов важно подавить развитие ячеистых возмущений, существенно ухудшающих свойства получаемого образца. Обратная ситуация наблюдается при растворении примесей, перемешивании веществ: важно усилить конвекцию, чтобы интенсифицировать указанные процессы. Таким образом, задачи управления конвекцией являются важными в технологических приложениях. Цель работы.

• изучение акустического воздействия на возникновение конвекции и устойчивость конвективных течений для областей с различной геометрией и при различных способах нагрева;

• исследование слабо-нелинейных вторичных режимов термоакустической конвекции в горизонтальном слое при продольном нагреве и прямое численное моделирование двумерных вторичных течений;

• исследование влияния движения границ на линейную устойчивость комбинированного течения в вертикальном слое жидкости, содержащей внутренние источники тепла;

• исследование линейной устойчивости конвективного течения в подогреваемом сбоку наклонном слое жидкости, находящемся в поле вертикальных вибраций;

• изучение слабо-нелинейной крупномасштабной конвекции в двухслойной системе с деформируемой границей раздела.

Научная новизна результатов.

• получены кривые устойчивости плоскопараллельного течения в вертикальном слое, вызванного движением границ и однородно распределенными в жидкости внутренними источниками тепла;

• впервые получены карты устойчивости термоакустического конвективного течения в горизонтальном слое при продольном и поперечном нагреве, а также в вертикальном цилиндре, подогреваемом снизу;

• сформулирована система амплитудных уравнений, описывающих слабонелинейное развитие трехмерных возмущений термоакустического адвективного течения, получены критерии устойчивости пространственно-периодических вторичных течений. Показано, что все типы возмущений возникают мягко, обнаружена область параметров, в которой все ответвляющиеся пространственно-периодические решения неустойчивы;

• определены поля температуры и функции тока для развитого нелинейного течения в горизонтальном слое, на границах которого под держивается линейное распределение температуры, построены карты устойчивости различных режимов течения;

• в линейной постановке получены критерии устойчивости виброконвективного течения в подогреваемом сбоку наклонном слое, находящемся в поле вертикальных вибраций;

• методом многих масштабов получено амплитудное уравнение, описывающее возникновение крупномасштабной конвекции в двухслойной системе с деформируемой границей раздела. Показано, что крупномасштабная конвекция возникает жестким образом. Получено стационарное решение данного уравнения и показана его неустойчивость. Сформулировано амплитудное уравнение для некоторого частного случая. Показано, что в этом случае возможно как жесткое, так и мягкое ветвление. Вблизи порога обнаружены со-литонное и периодическое стационарные решения. Автор защищает:

• результаты исследования линейной устойчивости термоакустических конвективных течений в горизонтальном слое и вертикальном цилиндре;

• результаты изучения линейной устойчивости течения, генерируемого внутренними источниками тепла в слое с движущимися границами;

• вывод амплитудного уравнения, описывающего надкритические режимы вблизи порога устойчивости термоакустического адвективного течения и результаты, полученные на основе данного уравнения;

• результаты прямого численного моделирования двумерных режимов термоакустической конвекции в горизонтальном слое;

• результаты исследования устойчивости термовибрационного течения в подогреваемом сбоку наклонном слое, подверженном воздействию вертикальных высокочастотных вибраций;

• вывод амплитудного уравнения, описывающего крупномасштабные конвективные течения в подогреваемой снизу двухслойной системе с деформируемой границей раздела и результаты анализа данного уравнения.

Практическая ценность. Проблема управления конвекцией важна в ряде технологических процессов. Большинство задач, вошедших в диссертацию, связаны с решением данной проблемы.

Акустическое воздействие на неоднородно нагретую жидкость в качестве одного из способов управления конвекцией практически не исследовано. Изучение термоакустического адвективного течения выполнено в рамках гранта РФФИ № 00-01-00450а, а также в рамках Программы по совместной подготовке аспирантов, проводимой при поддержке Министерства исследований и образования Франции.

Все исследования проводились в рамках Государственных программ по финансовой поддержке ведущих научных школ № 96-15-96084 (1996-1999 г.) и № 00-01 -96112 (2000-2002 г.).

Достоверность результатов подтверждается сравнением с известными ранее работами в общих областях параметров и согласием результатов, полученных разными методами и в рамках разных подходов.

Так, при решении задач линейной устойчивости зачастую использовались различные численные методы, которые давали одинаковый результат; результаты аналитических вычислений, проведенных в длинноволновом пределе, согласуются с численными данными.

При изучении термоакустического адвективного течения обнаружено хорошее согласие результатов линейного, слабо-нелинейного анализа и прямого численного моделирования.

Апробация работы. Материалы, вошедшие в диссертацию, докладывались на 11-ой и 12-ой Международных зимних школах по механике сплошных сред (февраль 1997 г. и январь 1999 г., Пермь); Объединенном XI Европейском и VI Всероссийском симпозиуме по физическим наукам в невесомости (июнь 1997 г., Санкт-Петербург); П1 Международной конференции по многофазным течениям (июнь 1998 г., Лион, Франция); VI и VII Международной конференции по устойчивости течений гомогенных и гетерогенных жидкостей (апрель 1999 г. и апрель 2000 г., Новосибирск); XXVII летней школе «Нелинейные колебания механических систем» (сентябрь 1999 г., Санкт-Петербург), а также неоднократно на Пермском городском гидродинамическом семинаре имени Г.З.Гершуни и Е.М.Жуховицкого.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 14 печатных работах [112-125], 3 статьи [126-128] приняты к печати. В работах [112-122,125-128] автор диссертации проводил основные вычисления, принимал участие в постановке задачи и обсуждении результатов; в работах [123-124] участвовал в исследовании слабо-нелинейных режимов конвекции.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав и заключения. Введение содержит собственно обзор литературы и общую характеристику работы. Объем диссертации - 191 страница, в работу включено 82 рисунка. Список литературы содержит 133 названия.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Шкляев, Сергей Викторович

ВЫВОДЫ

В заключительной главе диссертации проведен слабо-нелинейный анализ крупномасштабной конвекции в двухслойной системе с деформируемой границей раздела. Рассмотрение выполнено в рамках обобщенных приближений Бус-синеска.

В первой части главы в длинноволновом пределе решена задача линейной устойчивости двухслойной системы с деформируемой поверхностью раздела. Данная задача является обобщением результатов [12-13] на случай слоев разной толщины.

Сформулировано амплитудное уравнение, описывающее крупномасштабную конвекцию вблизи порога устойчивости. Показано, что при определенном соотношении толщин слоев в указанном амплитудном уравнении необходимо учесть дополнительное нелинейное слагаемое, что модифицирует амплитудное уравнение.

Во второй части главы на основании уравнения, справедливого в общем случае, показано, что крупномасштабная конвекция возникает жестким образом. Аналитически получено подкритическое стационарное решение в виде плоских валов и показано, что это решение является неустойчивым. Надкритические режимы, описываемые амплитудным уравнением, неограниченно возрастают со временем, что приводит к выходу за границы применимости слабонелинейного амплитудного уравнения.

В 4.3 в плоской постановке изучено модифицированное уравнение. В этом случае в зависимости от параметров задачи возможно мягкое или жесткое ветвление. Получено пространственно-периодическое решение, соответствующее плоским валам. В случае жесткого ветвления существует две ветви данного решения.

Изучена устойчивость вторичных плоских валов относительно трехмерных возмущений. В ограниченных в горизонтальном направлении слоях спектр до

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В качестве основных результатов, полученных в данной работе, можно назвать следующие:

1. Рассмотрено влияние движения границ на устойчивость конвективного течения в вертикальном слое, вызванного внутренними источниками тепла. Показано, что независимо от тепловых свойств жидкости внешнее воздействие повышает порог устойчивости комбинированного течения.

2. Исследована линейная задача устойчивости плоскопараллельного термоакустического течения в горизонтальном слое, подогреваемом снизу. Показано, что в широком диапазоне параметров наблюдается заметная стабилизация течения акустическим воздействием. С помощью преобразований Сквайра получена карта устойчивости течения по отношению к произвольным пространственным возмущениям.

3. Изучено влияние акустического воздействия на возникновение конвекции в вертикальном цилиндре, подогреваемом снизу. Показано, что распространение акустической волны приводит к появлению осредненного осесиммет-ричного течения. Порог устойчивости данного течения понижается с ростом интенсивности звуковой волны, причем наиболее опасными становятся ячеистые возмущения.

4. Изучено адвективное термоакустическое течение. Получено плоскопараллельное течение и исследована его устойчивость. Обнаружено, что в зависимости от параметров задачи наиболее опасными являются различные типы возмущений: плоские бегущие и спиральные монотонные валы, наклонные волны.

5. Методами слабо-нелинейного анализа показано, что все указанные возмущения возникают мягко. Исследована устойчивость надкритических течений, обнаружена область параметров, в которой все пространственно-периодические вторичные течения неустойчивы.

6. Методом конечных разностей рассмотрены двумерные конечно-амплитудные периодические течения. Показано, что кризис плоскопараллельного течения связан с возникновением бегущих вихрей на границе встречных потоков. Обнаружена бифуркация данного вторичного течения, приводящая к двухчастотному колебательному режиму.

7. Рассмотрено воздействие вертикальных высокочастотных вибраций на устойчивость конвективного течения в наклонном слое жидкости, подогреваемом сбоку. Обнаружена и аналитически исследована трехмерная длинноволновая мода неустойчивости. Численные исследования показали, что данная мода является наиболее опасной в широком диапазоне параметров. В других областях параметров неустойчивость течения вызывается плоскими монотонными и спиральными колебательными возмущениями.

8. В рамках обобщенных приближений Буссинеска рассмотрено возникновение крупномасштабной конвекции в подогреваемой снизу горизонтальной двухслойной системе с деформируемой границей раздела. Методами слабонелинейного анализа получено амплитудное уравнение, описывающее деформацию поверхности раздела. Показано, что крупномасштабная конвекция возникает жестко.

9. Рассмотрен частный случай данной задачи, когда соотношение толщин слоев близко к некоторому критическому значению. В этом случае в зависимости от параметров возможно как мягкое, так и жесткое ветвление. Получены и исследованы периодическое и солитонное решения, описывающие двумерные конвективные движения вблизи порога устойчивости. Показано, что солитонное решение неустойчиво, а периодическое устойчиво в ограниченной области.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шкляев, Сергей Викторович, 2000 год

1. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

2. Rayleigh . On convection current in a horizontal layer of fluid, when the higher temperature is on under side // Phil. Mag. 1916. V.32. №6. P.529-541.

3. Сорокин B.C. Вариационный метод в теории конвекции // ПММ. 1953. Т. 17. №1. С.39-51.

4. Березовский Э.И., Перельман Т.Л., Ромашко Е.А. О конвективной неустойчивости в системе двух неограниченных горизонтальных слоев несмешивающихся жидкостей // Инж.-физ. журн. 1974. Т.27. №6. С. 10981108.

5. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. О неустойчивости равновесия системы горизонтальных слоев несмешивающихся жидкостей при нагреве сверху // Изв. АН СССР. МЖГ. 1980. №6. С.28-34.

6. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. О монотонной и колебательной неустойчивости двухслойной системы несмешивающихся жидкостей, подогреваемой снизу// Докл. АН СССР. 1982. Т.265. №2. С.302-305.

7. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Першина Е.А. О возникновении конвекции в некоторых двухслойных системах // Конвективные течения: сб. науч. трудов. Пермь: изд-во Перм. пед. ин-та, 1983. С. 3-24.

8. Адилов P.C., Путин Г.Ф., Шайдуров Г.Ф. Возникновение конвекции в двухслойной системе муравьиная кислота трансформаторное масло // Уч. зап. Перм. ун-та. 1976. №362. С. 16-20.

9. Непомнящий A.A. О длинноволновой конвективной неустойчивости в горизонтальных слоях с деформируемой границей // Конвективные течения. Пермь: Изд-во Перм. пед. ин-та, 1983. С.25-31.

10. Изаксон В.Х., Юдович В.И. О возникновении конвекции в слое жидкости со свободной границей // Изв. АН СССР. МЖГ. 1968. №4. С. 23-28.

11. Bethancourt A.M., Hashiguchi M., Kuwahara K., Huyn J.M. Natural convection of a two-layer fluid in a side-heated cavity // Int. J. Heat Mass Transfer. 1992. V.42. P.2427-2437.

12. Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Alexander J.I.D., Lobov N.I. On the Boussinesq approximation for fluid system with deformable interfaces // Adv. Space Res. 1998. V.22. №8. P.1159-1168.

13. Лобов Н.И., Любимов Д.В., Любимова Т.П. Конвективная неустойчивость системы горизонтальных слоев несмешивающихся жидкостей с деформируемой границей раздела// Изв. РАН. МЖГ. 1996. №2. С.32-39.

14. Squire Н.В. On the stability of three-dimensional disturbances of viscous fluid flow between parallel walls // Proc. Roy. Soc. 1933. V. A 142. №847. P.621-628.

15. Gage K.S., Reid W.H. The stability of thermally stratified plane Poiseuille flow//J. Fluid Mech. 1968. V.33. №1. P.21-28.

16. Deardorff J.W. Gravitational instability between horizontal plates with shear // Phys. Fluids. 1965. V.8. №6. P.1027-1038.

17. Остроумов Г.А. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи М.: ГИТТЛ, 1952. 256 с.

18. Чернатынский В.И., Паршаков А.Н. О конвективной неустойчивости равновесия жидкости в вертикальном цилиндре относительно возмущений ячеистой структуры // Гидродинамика /Перм. ун-т. Пермь:, 1970. Вып.2. С.47-53.

19. Wooding R.A. Instability of a viscous liquid of variable density in a vertical Hele-Shaw cell // J. Fluid Mech. 1960. V.7. №4. P.501-515.

20. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M., Рудаков P.H. К теории рэлеевской неустойчивости // ПММ. 1967. Т.31. №5. С.812-824.

21. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. 319 с.

22. Гершуни Г.З. Гидродинамическая неустойчивость. Изотермические течения // Сороеовский образовательный журнал. 1997. №2. С.99-106.

23. Гольдпггик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Новосибирск: Наука, 1977. 366 с.

24. Петров Г.И. Применение метода Галеркина к задаче об устойчивости течения вязкой жидкости // ПММ. 1940. Т.4. Вып.З. С.3-12.

25. Orszag. S. А. Accurate Solution of Orr-Sommerfeld stability equation. // J. Fluid Mech. 1971. V.50. P.166-208.

26. Бирих P.B., Рудаков P.H. Применение метода ортогонализации в пошаговом интегрировании при исследовании устойчивости конвективных течений. // Гидродинамика: Учен. зал. Перм. ун-та. №316. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 1974. Вып.5. С.149-158.

27. Рудаков Р.Н. Спектр возмущений и устойчивость конвективного движения между вертикальными плоскостями // ПММ. 1967. Т.31. Вып.2. С.349-355.

28. Бирих Р.В., Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Рудаков Р.Н. О колебательной неустойчивости плоскопараллельного конвективного движения в вертикальном канале // ПММ. 1972. Т.36. Вып.4. С.745-748.

29. Лобов Н.И. Об устойчивости смешанного конвективного течения в плоском вертикальном слое. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1979. №6. С.130-132.

30. Бирих Р.В., Рудаков Р.Н. О влиянии движения границ на устойчивость конвективного течения между вертикальными плоскостями // Гидродинамика. Учен. зап. Перм. ун-та. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 1970. Вып.2. С.93-98.

31. Лобов Н.И., Никитин А.И. О механизмах неустойчивости комбинированного конвективного течения // Конвективные течения. Пермь: Изд-во Перм. пед. ин-та, 1981. С.41-51.

32. Бирих Р.В., Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Рудаков Р.Н. Устойчивость стационарного конвективного движения жидкости с продольным градиентом температуры // ПММ. 1969. Т.ЗЗ. Вып.6. С.958-968.

33. Hart J.E. Stability of the flow in a differentially heated inclined box // J. Fluid Mech. 1971. V.47. №3. P.547-576.

34. Предтеченский А.А. Устойчивость тепловой конвекции в вертикальном слое. Препринт / ИТФ СО АН СССР. Новосибирск, 1977. №19. 17 с.

35. Gotoh К., Yanase S., Mizushima J. The instability of natural convection in a vertical fluid layer in a presence of an adverse temperature gradient // J. Phys. Soc. Japan. 1977. V.43. №5. P.1773-1782.

36. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M. Об устойчивости плоскопараллельного конвективного движения относительно пространственных возмущений // ПММ. 1969. Т.ЗЗ. Вып.5. С.855-860.

37. Бирих Р.В., Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Рудаков Р.Н. Гидродинамическая и тепловая неустойчивость стационарного конвективного движения // ПММ. 1968. Т.32. Вып.2. С.256-263.

38. Бирих Р.В., Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Рудаков Р.Н. О колебательной неустойчивости стационарного конвективного движения в плоском наклонном слое // Гидродинамика: Учен. зап. Перм. ун-та. №316. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 1974. Вып.5. С. 139-148.

39. Ruth D.W. On the transition to transverse rolls in inclined infinite fluid layers -steady solution // Int. J. Heat Mass Transfer. 1980. V.23. №5. P.733-737.

40. Кирдяшкин А.Г., Полежаев В.И., Федюшкин А.И. Тепловая конвекция в горизонтальном слое при боковом подводе тепла // Прикл. мех. и техн. физика. 1983. №6. С.122-128.

41. Полежаев В.И. Гидродинамика, тепло- и массообмен при росте кристаллов // Итоги науки и техники. МЖГ. 1984. Т.18. №4. С.198-269.

42. Бирих Р.В. О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости // ПМТФ. 1966. №3. С.67-72.

43. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Мызников В.М. Об устойчивости плоскопараллельного конвективного течения жидкости в горизонтальном слое // ПМТФ. 1974. №1. С.95-100.

44. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Мызников В.М. Устойчивость плоскопараллельного конвективного течения жидкости в горизонтальном слое относительно пространственных возмущений// ПМТФ. 1974. №5. С.145-147.

45. Kuo Н.Р., Korpela S.A., Chait A., Marcus P.S. Stability of natural convection in a shallow cavity // 8th Int. Heat Transfer Conf., San Francisco, Calif. 1986. Y.3. P.1539-1544.

46. Gershuni G.Z., Laure P., Myznikov V.M., Roux В., Zhukhovitsky E.M. On the stability of plane-parallel advective flows in long horizontal layers. // Micrograv. Quart. 1992. V.2. №3. P.141-151.

47. Laure P. Study of convective motion in a rectangular cavity with horizontal temperature gradient // J. Mecan. Teor. Appl. 1987. V.6. P.351-382.

48. Мызников В.М. О форме возмущений плоскопараллельного конвективного течения в горизонтальном слое // Гидродинамика. Пермь: изд-во Перм. пед. ин-та, 1974. Вып.7. С.33-42.

49. Павловский Д.С. Вторичные течения в слое со свободной поверхностью // Изв. АН СССР. МЖГ. 1994. №5. С.85-98.

50. Smith М.К., Davis S.H. Instabilities of dynamic thermocapillary liquid layers. Part 1. Convective instabilities // J. Fluid Mech. 1983. V.132. P.l 19-144.

51. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M., Якимов A.A. Об устойчивости стационарного конвективного движения, вызванного внутренними источниками тепла//ПММ. 1970. Т. 34. Вып. 4. С. 700-705.

52. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Якимов А.А. О двух типах неустойчивости стационарного конвективного движения, вызванного внутренними источниками тепла // ПММ. 1973. Т. 37. Вып. 3. С. 564-568.

53. Козлов В.Г. Экспериментальное исследование устойчивости конвективного движения жидкости, вызванного внутренними источниками тепла // Изв. АН СССР. МЖГ. 1978. №4. С.23-27.

54. Ландау Л.Д. К проблеме турбулентности // Докл. АН СССР. 1944. Т.44. №8. С.339-446.

55. Сорокин B.C. О стационарных движениях жидкости, подогреваемой снизу //ПММ. 1954. Т.18. №2. С. 197-209.

56. Юдович В.И. О возникновении конвекции // ПММ. 1966. Т.30. №6. С. 10001008.

57. Юдович В.И. Свободная конвекция и ветвление // ПММ. 1967. Т.31. №1. С.101-112.

58. Юдович В.И. Устойчивость конвективных потоков // ПММ. 1967. Т.31. №2. С.272-281.

59. Найфэ А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. 535 с.

60. Stewartson К., Stuart J.T. A non-linear instability theory for a wave system in plane Poiseuille flow. // J. Fluid Mech. 1971. V.48. Pt 3. P.529-545.

61. Davey A., Hocking L.M., Stewartson K. On the nonlinear evolution of three dimensional disturbances in plane Poiseuille flow. // J. Fluid Mech. 1974. V.63. Pt 3, P.529-536.

62. Buttiker M. Thomas H. Bifurcations and stability of family of waves in uniformly driven spatially extended systems // Phys. Rev. 1981. V. A24. №5. P.2635-2648.

63. Пономаренко Ю.Б. Об устойчивости пространственно-периодических движений в гидродинамике // ПММ. 1973. Т.37. Вып.6. С.1044-1048.

64. Непомнящий А.А. Движения типа модулированных волн, возникающие в результате неустойчивости пространственно-периодических вторичных движений. // Гидродинамика: Учен. зап. Перм. ун-та. №316. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 1974. Вып.5. С.105-113.

65. Моршнева И.В., Юдович В.И. Возникновение автоколебаний в динамических системах с симметрией и конвекция в вертикальном слое жидкости // Проблемы динамики вязкой жидкости. Новосибирск: ИТПМ СО РАН, 1985. С.209-212.

66. Smith М.К. The nonlinear stability of dynamic thermocapillary liquid layers // J. Fluid Mech. 1988. V.1984. P.391-415.

67. Newell A.C., Whitehead J.A. Finite bandwidth, finite amplitude convection // J. Fluid Mech. 1969. V.38. №2. P.279-304.

68. Непомнящий А.А. Устойчивость волновых режимов в пленке, стекающей по наклонной плоскости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1974. №3. С.28-34.

69. Непомнящий А.А. Об устойчивости пространственно-периодических конвективных движений в горизонтальном слое с теплоизолированными границами // Гидродинамика. Пермь: Изд-во Перм. пед. ин-та, 1976. Вып.9. С.53-59.

70. Golovin А.А., Nepomnyashchy А.А., Pismen L.M. Nonlinear evolution and secondary instabilities of Marangoni convection in a liquid-gas system with deformable interface // J. Fluid Mech. 1997. V.341. P.317-341.

71. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.:Наука. 1977. 656 с.

72. Тарунин E.JI. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: Изд-во Ирк. ун-та, 1990. 223 с.

73. Patera A.J. A spectral element method for fluid dynamics: Laminar flow in a channel expansion // J. Сотр. Phys. 1984. V.54. P.468-488.

74. Schluter A., Lortz D., Busse F. On the stability of steady finite amplitude convection // J. Fluid Mech. 1965. V.23. №1. P.129-144.

75. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M., Тарунин Е.Л. Вторичные стационарные конвективные движения в плоском вертикальном слое жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1968. №5. С.130-136.

76. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Сорокин Л.Е., Тарунин Е.Л. Вторичные колебательные конвективные движения в плоском вертикальном слое жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1974. №1. С.94-101.

77. Дайковский А.Г., Полежаев В.И., Федосеев А.И. Исследование структуры переходного и турбулентного режимов конвекции в вертикальном слое // Изв. АН СССР. МЖГ. 1978. №6. С.66-75.

78. Грязнов В.Л., Полежаев В.И. Численное моделирование турбулентного режима конвекции в вертикальном слое // Изв. АН СССР. МЖГ. 1977. №5. С.8-15.

79. Laure P., Roux В. Syntese des résultats obtenus par l'etude de stabilité des mouvements de convection dans une cavité horizontale de grande extension. C.R.Acad.Sci. Paris. 1987. V.305. P.1137-1143.

80. Ben-Hadid H., Roux B. Buoyancy- and thermocapillary-driven flows in differentially heated cavities for low-Prandtl-number fluids // J. Fluid Mech. 1992. V. 235. P.l-36.

81. Ben Hadid H., Henry D., Kaddeche S. Numerical study of convection in the horizontal Bridgman configuration under the action of a constant magnetic field. Pt 1. Two-dimensional flow. //J. Fluid Mech. 1997. V.333. P.23-56.

82. Ben Hadid H., Henry D. Numerical study of convection in the horizontal Bridgman configuration under the action of a constant magnetic field. Pt2. Three-dimensional flow. // J. Fluid Mech. 1997. V.333. P.57-83.

83. Gelfgat A.Yu., Bar-Yoseph P.Z., Yarin A.L. Stability of multiple steady states of convection in laterally heated cavities// J. Fluid Mech. 1999. V.388. P.315-334.

84. Gershuni G.Z., Lyubimov D.V. Thermal vibrational convection. N.Y. et al. Wiley, 1998. 358 p.

85. Лорд Рэлей. Теория звука. Том II. М.:ГИТТЛ, 1955. 476 с.

86. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1969.

87. Зеньковская С.М., Симоненко И.Б. О влиянии вибраций высокой частоты на возникновение конвекции // Изв. АН СССР. МЖГ. 1966. №5. С.51-55.

88. Симоненко И.Б. Обоснование метода осреднения для задачи конвекции в поле быстро осциллирующих сил и для других параболических уравнений // Мат. сборник. 1972. Т.87(129) №2. С.236-253.

89. Lyubimov D.V. Convective flows under influence of high-frequency vibrations //Eur. Jour, of Mech. B/Fluids. 1995. V.14. №4. P. 439-458.

90. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M. О конвективной неустойчивости жидкости в вибрационном поле в невесомости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1981. №4. С.12-19.

91. Браверман Л.М. К вопросу о вибрационно-конвективной неустойчивости плоского слоя жидкости в невесомости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. №6. С.178-180.

92. Браверман Л.М. О некоторых типах вибрационно-конвективной неустойчивости плоского слоя жидкости в невесомости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1987. №5. С.4-7.

93. Demin V.A., Gershuni G.Z., Verkholantsev I.V. Mechanical quasi-equilibrium and thermovibrational convective instability in an inclined fluid layer// Int. J. Heat and Mass Transfer. 1996. V. 39. №9. P. 1979-1991.

94. Шарифулин А.Н. Устойчивость конвективного движения в вертикальном слое при наличии продольных вибраций// Изв. АН СССР, МЖГ. 1983. №2. С. 186-188.

95. Шарифулин А.Н. Волновая неустойчивость свободноконвективного течения в вибрационном поле // Нестационарные процессы в жидкостях и твердых телах. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. С.58-62.

96. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Об устойчивости конвективного течения в вибрационном поле относительно пространственных возмущений // Изв. АН СССР. МЖГ. 1988. №2. С.116-122.

97. Заварыкин М.П., Зорин C.B., Путин Г.Ф. Экспериментальное исследование вибрационной конвекции // Докл. АН СССР. 1985. Т.281. №4. С.815-816.

98. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Плоскопараллельные адвективные течения в вибрационном поле// Инж.-физ. журн. 1989. Т. 56. №2. С. 238-241.

99. Бирих Р.В., Катанова Т.Н. Влияние высокочастотных вибраций на устойчивость адвективного течения // Изв. РАН. МЖГ. 1998. №1. С. 16-22.

100. Бирих Р.В., Катанова Т.Н. О стабилизации адвективного течения поперечными вибрациями // Вибрационные эффекты в гидродинамике: сб. статей. Пермь: изд-во Перм. ун-та. 1998. С.25-37.

101. Бирих Р.В. О вибрационной конвекции в плоском слое с продольным градиентом температуры// Изв. АН СССР, МЖГ. 1990. №4. С. 12-15.

102. Тепло- и массообмен в звуковом поле. Новосибирск: ИТПМ, 1970. 253 с.

103. Повицкий A.C., Любин Л .Я. Основы динамики и тепломассобмена жидкостей и газов при невесомости. М.: Машиностроение, 1972. 252 с.

104. Д.В.Любимов. О тепловой конвекции в акустическом поле. // Изв. РАН. МЖГ. 2000. №2. С.28-36.

105. Ниборг. Акустические течения. // Физическая акустика / Под ред. У.Мэзона. Т. 2. Ч. Б. М.: Мир, 1969. С.302-377.

106. Longuet-Higgins M.S. Mass transport in water waves // Phil. Trans. Roy, Soc. London. 1953. V.245. P.535-581.

107. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир. 1973. 760 с.

108. Любимов Д.В., Шкляев С.В. Влияние продольного течения на возникновение конвекции в подогреваемом снизу горизонтальном слое // 11-ая Междунар. зимняя школа по мех. спл. сред. Тез. докл. Пермь. 1997. Т.2. С.201.

109. Любимов Д.В., Шкляев С.В. Влияние акустического воздействия на возникновение конвекции в вертикальном круглом цилиндре, подогреваемом снизу // Гидродинамика. Сб. статей. Пермь: Перм. ун-т., 1998. Вып.11. С.208-218.

110. Лобов Н.И., Шкляев С.В. Влияние движения границ на устойчивость конвективного течения в вертикальном слое с внутренними источниками тепла // Изв. РАН. МЖГ. 1997. №4. с.3-8.

111. Lyubimov D.V., Shklyaev S.V. Acoustic field influence on the advective flow stability // Joint 10th Europ. and 6th Russian Simp, on the Physical Science in Microgravity, Abstr. St.-Peterburg, 1997. P.25.

112. Любимов Д.В., Шкляев С.В. Об устойчивости адвективного термоакустического течения // Тез. докл. 12-ой зимней школы по мех. спл. сред. Пермь. 1999. С.222.

113. Lyubimov D.V., Shklyaev S.V. Advective thermoacoustic flow stability. // Abstr. of Int. Symp. "Actual problems of physical hydroaerodynamics". Novosibirsk: ITAM SB RAS, 1999. P.II-78.

114. Любимов Д.В., Шкляев С.В. Об устойчивости адвективного термоакустического течения // Изв. РАН. МЖГ. 2000. №3. С. 10-21.

115. Любимов Д.В., Шкляев С.В. О нелинейных режимах термоакустической конвекции // Тез. докл. VII Межд. конф. по устойчивости теченийгомогенных и гетерогенных жидкостей. Новосибирск: НГАСУ, 2000. С.84-86.

116. Demin V.A., Shklyaev S.V. Stability of thermovibrational convective flow in an inclined layer // Abstr. of Int. Symp. "Actual problems of physical hydroaerodynamics". Novosibirsk: ITAM SB RAS, 1999. P.II-36.

117. Шкляев C.B. О трехмерной неустойчивости виброконвективных течений в наклонном слое // Тез. докл. VII Межд. конф. по устойчивости течений гомогенных и гетерогенных жидкостей. Новосибирск: НГАСУ, 2000. С.98-100.

118. Любимов Д.В., Шкляев C.B. Возникновение крупномасштабной конвекции в двухслойной системе // Тез. докл. VII Межд. конф. по устойчивости течений гомогенных и гетерогенных жидкостей. Новосибирск: НГАСУ, 2000. С.82-83.

119. Lyubimov D.V., Shklyaev S.V. Thermoacoustical convection near stability threshold of plane-parallel flow. Proc. XXVII Summer School Nonlinear Oscillations in Mechanical Systems (NOMS-99). St.-Petersburg, 1999 (submitted for publication).

120. Lyubimov D.V., Shklyaev S.V. On the numerical investigations of thermoacoustic convection // Proc. of 16th IMACS World Congress. Lausanne, 2000 (submitted for publication).-191

121. Демин В.А., Шкляев C.B. Об устойчивости виброконвективного течения в наклонном слое при подогреве сбоку // Вибрационные эффекты в гидродинамике. Сб. науч.трудов. Пермь: Перм. ун-т, 1999. Вып. 2 (принято к печати).

122. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том VI. Гидродинамика, 3-е изд., перераб. М.: Наука, 1986. 733 с.

123. Шихов В.М., Якушин В.И. Об устойчивости конвективных движений, вызванных неоднородно распределенными внутренними источниками тепла. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1977. №3. С. 140-144.

124. Чернатынский В.И., Шлиомис М.И. Конвекция вблизи критических чисел Рэлея при почти вертикальном градиенте температуры // Изв. АН СССР. МЖГ. 1973. №1. С. 64-70.

125. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1978. 832 с.

126. Lyubimov D.V., Khenner M.Y., Roux В., Shklyaev S.V. The application of parallel computation techniques to the solution of certain hydrodynamic stability problems// Lecture Notes Comp. Science. 1997. V. 1277. P. 40-44.