Нестационарное поведение дисперсных частиц в гидродинамических потоках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Штраубе, Артур Вячеславович

• Штраубе, Артур Вячеславович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Штраубе, Артур Вячеславович

Введение.

Обзор литературы.

Общая характеристика работы.

1. Поведение взвеси в поле высокочастотных вибраций.

1.1. Теоретическая модель поведения изотермической взвеси в поле высокочастотных вибраций.

1.2. Об устойчивости квазиравновесия взвеси в вибрационном поле

1.3. Численное исследование осредненных макроскопических течений неоднородной взвеси в вибрационном поле.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нестационарное поведение дисперсных частиц в гидродинамических потоках»

Гетерогенные, неоднородные или многофазные смеси широко представлены в различных природных процессах и областях человеческой деятельности. Это, прежде всего, газовзвеси, суспензии, эмульсии, жидкости с пузырьками газа, композитные материалы, насыщенные жидкостью и газом грунты и т. д. В отличие от гомогенных, в которых составляющие перемешаны на молекулярном уровне, гетерогенные смеси характеризуются наличием макроскопических по отношению к молекулярным масштабам включений.

Из возможных гетерогенных смесей вследствие своей сравнительно регулярной структуры выделяют так называемые дисперсные смеси, которые состоят из двух фаз, одна из которых представляет собой капли, пузырьки или твердые частицы. Среди дисперсных смесей выделяют суспензии - смеси жидкости с твердыми частицами, эмульсии - смеси жидкости с каплями другой жидкости, газовзвеси - смеси газа с твердыми частицами или жидкими каплями (смеси газа с жидкими каплями называют также аэрозолями), пузырьковые среды - смеси жидкости с пузырьками газа.

Часто в литературе по механике всякую дисперсную смесь называют суспензией. Капли, пузырьки, твердые частицы в дисперсной смеси называют дисперсными частицами или дисперсной фазой, а окружающую несущую фазу - дисперсионной.

Задачи механики гетерогенных сред представляют как общенаучный, так и практический интерес. По сравнению с гомогенными, гетерогенные системы являются с одной стороны более сложными для исследования, с другой -порождают новые интересные и зачастую неожиданные явления, связанные с неоднофазностью среды. Решение различных задач механики гетерогенных сред представляет значительный практический интерес, поскольку такие среды широко используются в различных отраслях промышленности. Результаты, полученные в ходе теоретического исследования, могут быть использованы при совершенствовании и интенсификации различных технологических процессов, управлении устойчивостью гидродинамических систем с помощью примесей, а также при решении проблемы очистки воздуха в помещениях и защиты окружающей среды. В связи с этим, решение задач в рамках темы данного исследования является актуальным.

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Дисперсные системы достаточно разнообразны, характерные черты поведения таких систем зависят как от физических свойств каждой из компонент, образующих систему, так и от характера межфазного взаимодействия. Соответственно различными оказываются методы исследования и теоретические модели поведения дисперсных систем в тех или иных условиях. В данном обзоре внимание сосредоточено, главным образом, на таких дисперсных системах как газожидкостные смеси, взвеси твердых частиц в жидкостях, газовзвеси. Кроме того, считается, что процессы взаимодействия частиц дисперсной фазы не являются существенными. Это означает, что рассматриваются разреженные системы, объемная концентрация дисперсной фазы которых достаточно мала. В частности, последнее обстоятельство позволяет при определенных условиях применять результаты, полученные при изучении движения одиночной дисперсной частицы, к движению множества частиц.

Большинство известных работ по динамике сыпучих (гранулированных) систем касается сред, поведение которых обусловлено, прежде всего, столкновениями частиц и процессами сухого трения и поэтому выходит за рамки данного рассмотрения. Достаточно широкий обзор работ, посвященный таким системам можно найти в работе Кэмпбэла [1] и монографиях Блехмана [2,3].

Для описания различного рода неоднофазных систем достаточно давно используются модели многоскоростной сплошной среды. Следует отметить работы Ландау и Лифшица по гидродинамике жидкого гелия [4], Лейбензона по механике жидкости в пористых средах [5], Баренблатта о движении взвешенных частиц в турбулентном потоке [6], Кэрриера по гидродинамике газовзвеси [7]. В 1956 г. Рахматуллин предложил замкнутую систему уравнений взаимопроникающего движения многофазной смеси сжимаемых фаз [8], которая впоследствии была обобщена Крайко и Стерниным [9]. Уравнения гидродинамики двухфазных сред рассмотрены также в ряде монографий [10-13]. В наиболее общем виде система уравнений гидродинамики гетерогенных сред представлена Нигматулиным [14-16]. В ряде публикаций Рудяком предложена модель кинетического описания разреженной мелкодисперсной газовзвеси [17,18]. В работе Огородникова [19] приводится классификация различных подходов, используемых при выводе различными авторами уравнений движения гетерогенных сред.

1. Влияние вибраций на поведение дисперсных частиц. Поведение твердых и газовых включений в колеблющейся жидкости, характеризуется своеобразными особенностями, существенное место среди которых занимают процессы виброперемещения и локализационные эффекты, то есть направленное движение включений за счет колебательных воздействий и образование в определенных местах жидкости их локальных скоплений. Динамика сферических включений в жидкости при внешних периодических и непериодических воздействиях исследовалась во многих работах, причем рассматривались случаи как низкочастотных, так и высокочастотных, в том числе акустических, воздействий. Были установлены некоторые характерные формы движения включений и механизмы их возникновения. Описанные ниже закономерности поведения дисперсных частиц под действием вибраций используются в различных технологических процессах, а также для ускорения химических реакций [2,20].

Явление локализации частиц исследовалось еще Фарадеем [21] для визуализации стоячих акустических волн. Известно, что однородный тонкий слой (толщиной от 1 до 10 характерных размеров частиц), состоящий из крупинок или порошка, спонтанно распространяющихся по вибрирующей поверхности, ведет себя по-разному в зависимости от того, легкие или тяжелые частицы используются. Изучая фигуры Хладни, вызванные акустическими вибрациями, Фарадей обнаружил механизм, связанный с существованием воздушных течений, который может, вообще говоря, вызвать конвективное движение. Если по такой поверхности распространялись относительно легкие частицы (семена ликоподия), то под действием колебаний воздуха они приходили в движение и медленно перемещались к узлам стоячей волны. Когда же он брал относительно тяжелые частицы в том же опыте, например, песчинки, то локализация происходила, наоборот, в пучностях колебаний.

Окончательно Фарадей заключил, что существует два различных механизма, ведущих к образованию областей локальных скоплений частиц. Один связан с непосредственным воздействием механических вибраций поверхности, на которой располагаются крупинки, другой - с воздушными течениями, которые, в свою очередь, вызваны теми же механическими вибрациями поверхности. Второй механизм имеет существенное значение только в случае, когда частицы достаточно легки (или малы).

Подобное поведение проявляют частицы, взвешенные в жидкостях, при ультразвуковых колебаниях [22]. При пропускании ультразвука через взвесь частиц толуола в воде, частицы скапливаются в узлах стоячей волны. В аналогичном опыте со взвесью кварца в воде скопление частиц происходит в пучностях волны. Если жидкость содержит и более легкие (толуол) и более тяжелые (кварц) частицы, то с помощью ультразвука удается их разделить.

Один из подходов к теоретическому описанию этого явления предпринят в работе [23], в которой рассматривается поступательное движение твердых частиц, взвешенных в идеальной сжимаемой жидкости, в частности, одномерное движение в плоской стоячей волне. Взвесь помещается в вертикально расположенную трубку с жесткими стенками и крышкой, а дно представляет собой мембрану, с помощью которой можно задавать малые колебания давления. Получено условие существования стационарных решений. Показано, что при выполнении этого условия для частиц с различными плотностями, устойчивыми являются только некоторые стационарные уровни. В условиях невесомости частицы, плотности р3 которых превосходят критическую рс = 2/5 р0 (р0 - невозмущенное значение плотности несущей среды), дрейфуют к пучностям скорости стоячей волны, а те, плотности которых меньше критической - к узлам. Сила тяжести сдвигает места скопления частиц: частицы с плотностями р5 < рс собираются в сечениях трубы, лежащих несколько выше узлов, причем с увеличением плотности удаление от узла возрастает; частицы с плотностями рс < р8 < р0, собираются в сечениях трубы несколько выше пучностей, причем более плотные собираются ближе к пучностям. Частицы, плотность которых равна плотности невозмущенной жидкости (р3 = р0), дрейфуют к пучностям; частицы с плотностью р8 > р() собираются в сечениях, лежащих несколько ниже пучностей, причем с увеличением плотности, удаление от пучностей увеличивается.

В случае, когда условие существования стационарных решений не выполняется, качественный характер движения частиц не отличается от того, который наблюдается при отсутствии колебаний несущей среды, а именно: те частицы, которые легче несущей среды, всплывают, а те, которые тяжелее -тонут.

Движение несжимаемых аэрозольных частиц в плоской стоячей волне для случая достаточно малых размеров частиц и относительно невысоких частот исследовано в статье Духина [24]. Было установлено, что такие частицы должны собираться вблизи узлов скорости в стоячей волне.

В работе [25] рассматривалась аналогичная задача о поведении пузырьков газа. Получено условие существования стационарных решений. Выполнение этого условия означает, что в жидкости существуют места, куда мигрируют пузырьки. В окрестностях таких точек собираются пузырьки одинакового размера, при этом они пульсируют (имеются в виду собственные радиальные пульсации пузыря) с частотой внешнего возбуждения.

Рассмотрение случая отсутствия резонанса приводит к следующим результатам. В условиях невесомости пузырьки "дорезонансных" (собственная частота пульсации пузырька больше частоты внешнего возбуждения) размеров мигрируют в пучности давления стоячей волны, а "зарезонансных" (собственная частота пульсаций пузырька меньше частоты внешнего возбуждения) -в узлы. Учет силы тяжести несколько сдвигает места локализации пузырьков. Пузырьки дорезонансных размеров собираются в сечениях трубы, лежащих несколько выше пучностей, а зарезонансных размеров - в сечениях трубы, лежащих несколько ниже узлов.

Если же условие существования стационарных решений не выполняется, то качественный характер движения пузырьков не отличается от того, который имеет место при отсутствии колебаний несущей среды - пузырьки будут всплывать под действием сил Архимеда.

В случае резонанса, когда частота пульсаций пузырька близка к частоте внешнего возбуждения, но не равна последней, результаты в качественном отношении совпадают с нерезонансным случаем. В случае же точного равенства указанных частот, резонансные пузырьки не чувствительны к внешним вибрациям и всплывают под действием архимедовых сил.

Изменяя амплитуду и частоту колебаний, можно несколько изменять местоположение точек скопления твердых частиц или газовых пузырьков, то есть управлять их движением.

Движение твердых включений [23] или газовых пузырьков [25] в плоской бегущей волне существенно отличается от их движения в стоячей волне. В этом случае не существует мест локализации ни твердых частиц, ни пузырьков газа. Вибрационная сила в обоих случаях направлена от источника звуковых колебаний, то есть источник как бы отталкивает частицы: дисперсная частица удаляется от источника колебаний. Вибрационная сила возрастает с увеличением амплитуды колебаний и коэффициента вязкости несущей среды.

При увеличении радиуса дисперсных частиц (а для твердых частиц и их плотности) величина вибрационной силы уменьшается.

Ориентируя источник колебаний так, чтобы вибрационная сила была направлена против равнодействующей силы веса и Архимеда, а также определенным образом подбирая вибрационные параметры, можно сортировать частицы по размерам и плотностям.

В [23] исследовано поведение дисперсных частиц в сферической бегущей волне. Покоящееся в начальный момент времени твердое включение, плотность которого больше плотности жидкости, после начала колебательного процесса притягивается к пульсирующей сфере, а при плотности, меньшей плотности жидкости - удаляется от источника колебаний. Пузырьки дорезо-нансных размеров удаляются от источника колебаний. В случае пузырей заре-зонансных размеров существует устойчивое стационарное решение, причем пузырькам различных размеров в последнем случае соответствуют свои поверхности притяжения. При этом независимо от того, где находятся пузырьки, внутри или вне этой поверхности, они движутся к ней. В устойчивом положении они совершают осциллирующие движения. В процессе осцилляций рядом расположенные пузырьки могут коалесцировать, увеличиваясь в размере, и в этом случае увеличенный пузырек перемещается в новое устойчивое положение, ближе к поверхности источника колебаний. Около него пузырьки могут разделяться на несколько мелких, которые переходят в новые устойчивые положения, более удаленные от поверхности пульсирующей сферы.

В работе [26] исследуется задача о движении твердых включений в неоднородной стоячей волне. Рассматривается вертикальный цилиндр, дно которого совершает неоднородные вдоль его поверхности колебания. Из полученного решения следует, что частицы могут локализоваться как в пучностях, так и в узлах колебаний скорости в продольном направлении, а также при определенных условиях на оси цилиндра, на его стенке и на некотором расстоянии от стенки в виде колец. Эксперименты, описанные в работе [22], также подтверждают то, что твердые частицы могут концентрироваться не только в продольном, но и в поперечном направлении в виде своеобразных колец.

В работе [27] рассматривается случай комбинированного воздействия на газожидкостную смесь как ультразвука, так и низкочастотных колебаний. Исследуется поведение газовых пузырьков в жидкости, заполняющей цилиндрический сосуд, нижнее основание которого является излучателем ультразвуковых колебаний. Кроме того, сосуд может совершать низкочастотные вертикальные вибрации.

Показано, что под действием только лишь высокочастотных колебаний, устойчивым стационарным решениям в зависимости от знака величины О.2 - X2 (О - собственная частота радиальных пульсаций пузырька, Я - частота внешнего высокочастотного возбуждения) соответствуют узлы или пучности. Случай резонанса не представляет интереса, поскольку, как уже отмечалось выше, резонансные пузырьки не чувствительны к воздействию вибраций.

В случае только низкочастотных вибраций в жидкости существует неустойчивый уровень: пузырьки, находящиеся выше него всплывают, а те, которые расположены ниже - дрейфуют на дно сосуда.

В жидкости, подверженной комбинированному воздействию ультразвука и низкочастотных вибраций, существуют уровни, близкие к узлам или пучностям стоячей волны, где пузырек может совершать устойчивые осциллирующие и пульсационные движения. Кроме того, отмечается также, что существенное увеличение амплитуды низкочастотных колебаний приводит к потере устойчивости системы. Это соответствует тому, что локализованные вблизи пучностей или узлов пузырьки будут увлечены на дно сосуда, то есть при значительных амплитудах вибраций действие ультразвука может быть полностью подавлено силой, вызванной низкочастотными колебаниями.

Таким образом, с помощью низкочастотных вибраций можно заставить локальные скопления пузырьков перемещаться в вертикальном направлении.

06 этом свидетельствует экспериментальная работа [28], в которой описывается явление образования роя пузырьков воздуха (воздушной подушки) и его поведение в жидкости, находящейся в вертикальной трубе и совершающей вертикальные колебания. Отмечается, что с увеличением частоты колебаний вибростенда воздушная подушка, находившаяся прежде на определенном уровне, поднимается выше, а при понижении - опускается вниз. При достаточном снижении частоты рой пузырьков опускается на дно, а затем в виде одного большого пузыря всплывает на поверхность. При фиксированных амплитуде и частоте колебаний рой пузырьков не меняет своего положения относительно поверхности жидкости.

Движение малых твердых и газовых включений в вертикально колеблющейся жидкости рассматривалось Блейхом [29], Бояджиевым [30], в работе [31]. В [31] исследуется также влияние случайных вибраций. Исходя из результатов процитированных работ, можно сделать вывод, что и случайные и гармонические вибрации при определенных значениях параметров вибрации вызывают появление вибрационных сил, которые могут удерживать дисперсные частицы внутри жидкости.

В работе [32] исследуется явление вибрационного перемещения и устойчивости газовых пузырьков в непрерывно стратифицированной жидкости. Рассмотрен случай дорезонансных пузырьков, когда плотность жидкости экспоненциально увеличивается с глубиной. Установлены зоны устойчивых и неустойчивых движений пузырьков по глубине столба жидкости и величине вибрационных ускорений. Показано, что существует некоторый критический для пузырьков уровень, выше которого может существовать уровень отталкивания, а ниже - притягивания в зависимости от величины вибрационного ускорения. Чем больше показатель стратификации, тем ближе к свободной поверхности расположен этот уровень. При малых вибрационных ускорениях пузырьки, находящиеся ниже критического уровня, притягиваются к некоторому уровню, лежащему ниже критического, а те, которые расположены выше

- всплывают на поверхность жидкости. При относительно больших вибрационных ускорениях существует отталкивающий уровень, лежащий выше критического. Соответственно, пузырьки, находящиеся выше отталкивающего уровня, всплывают к поверхности, а ниже - увлекаются на дно сосуда.

Ряд работ посвящен изучению движения частиц, взвешенных в несжимаемой жидкости при малых угловых вибрационных воздействиях [33,34]. Предполагается, что вибрации трехосны (угловые колебания с неравными частотами и фазами), сосуд имеет форму эллипсоида вращения и ориентирован таким образом, что его ось симметрии дрожит около вертикали. Обнаружено, что при относительно малой интенсивности вибраций частицы, легче несущей фазы, всплывают, а тяжелые - тонут. При достаточно большой интенсивности вибраций возможны также иные формы движения: частицы, легче несущей среды, локализуются в некоторой внутренней точке полости, а частицы, тяжелее несущей среды, собираются в крайних верхней и нижней точках полости. С дальнейшим увеличением вибрационного параметра область локализации частиц приближается к центру полости. Кроме того, более легкие частицы локализуются глубже внутри полости. Это дает еще одну возможность разделять частицы по плотностям.

Все описанные режимы могут быть реализованы в случае, когда полость представляет собой неравноосный эллипсоид, причем достаточно двухосных вибраций - совершающихся вокруг осей, лежащих в плоскости, ортогональной плоскости симметрии эллипсоида.

Рассмотрение случая, когда частоты всех угловых вибраций равны, а колебания по всем трем осям происходят синфазно приводит к следующим результатам. Имеется устойчивое квазиравновесное положение, в окрестности которого реализуется явление локализации частиц, и которое, вообще говоря, не находится ни на одной из осей эллипсоидальной полости. При этом полость должна иметь форму неравноосного эллипсоида, а амплитуды вибраций по всем осям должны быть отличными от нуля. Изменяя амплитуды вибраций и частоту можно собирать частицы в заданных точках полости. Причем увеличение частоты приближает место скопления к центру полости. Кроме того, все решения таковы, что частицы в данном случае можно собирать только в верхней половине эллипсоида. В работе [25] показано, что все описанные режимы могут быть реализованы не только в случае гармонических, но и случайных угловых вибрационных воздействиях.

В ряде работ Граната [35-38] рассматривается движение твердого шара в пульсирующем потоке вязкой жидкости. Показано, что шар более плотный, чем жидкость, колеблется, отставая по фазе, с амплитудой, меньшей амплитуды потока. Шар менее плотный, чем жидкость, колеблется с амплитудой, превосходящей амплитуду колебаний потока и опережая поток по фазе.

Кроме того, рассмотрен вопрос о размере области возмущения, возникающего в жидкости вследствие относительного движения находящегося в ней тела. Знание размеров области возмущения позволяет установить пределы применимости результатов, полученных при изучении движения одиночной частицы, к движению множества частиц. Проанализированы различные способы определения областей возмущения, в основу которых положены различные характеристики потока: диссипация энергии, давление, скорость. Показано, что размеры областей возмущения, определенные различными способами, в широком диапазоне изменения параметров мало отличаются друг от друга и составляют приблизительно два-три радиуса шара. Интересно сопоставить размеры области возмущения, образующейся при равномерном и прямолинейном движении шара в неподвижной жидкости. Радиус области возмущения, определенный по решению Стокса [4,39] в этом случае оказывается в 30 раз превосходящим радиус шара. Этот результат показывает, что нестационарность движения приводит к резкому уменьшению (приблизительно на порядок) относительных размеров области возмущения, обусловленной присутствием тела. Следовательно, взаимное воздействие твердых частиц в нестационарных потоках, скорость которых периодически меняется во времени, сказывается только на сравнительно близких расстояниях, не превосходящих двух-трех размеров частицы, что соответствует объемным концентрациям порядка 5%.

В экспериментальной работе Челомея [40] качественно описано поведение тел, находящихся в сосуде с жидкостью, совершающем вертикальные колебания. Наблюдалось всплывание тел, плотность которых больше плотности жидкости, а тела более легкие, чем окружающая среда, при некоторых условиях тонули. В последующих теоретических работах [41,42] рассмотрено влияние малоамплитудных высокочастотных вибраций на поведение тел в сосуде с жидкостью. Показано, что в сосуде с жидкостью, совершающем колебания, на тело, погруженное в жидкость, кроме сил тяжести и Архимеда, действует притягивающая к стенке сила, обусловленная вибрациями. Эта вибрационная сила может привести к всплыванию тяжелых тел и, наоборот, к погружению легких, как и в экспериментах Челомея.

Известно, что высокочастотные вибрации могут оказывать значительное воздействие на поведение гидродинамических систем при наличии неоднородности плотности либо неоднородности самих вибраций [43]. Неоднородность плотности можно создать неравномерным распределением частиц дисперсной фазы. Так, в экспериментальной работе Козлова [44] было обнаружено любопытное явление возникновения квазиравновесного волнового рельефа на поверхности раздела двухслойной системы однородная жидкость-взвесь, подверженной горизонтальным вибрациям. В грубом приближении можно считать, что взвесь является неоднородной жидкостью, а влияние частиц сводится к изменению средней плотности. В связи с этим, в [44] сделана попытка использовать для описания этого явления результаты работы [45], рассматривая двухслойную систему жидкость-взвесь как систему двух несме-шивающихся жидкостей с нулевым поверхностным натяжением на границе раздела.

Известно, что в случае двух несмешивающихся жидкостей имеет место аналогичное явление, обнаруженное экспериментально в [46,47]. В теоретической работе [45] показано, что в основе этого явления лежит неустойчивость Кельвина-Гельмгольца на границе встречных потоков. Результаты [45] приводят к выводу об образовании волнового рельефа, причем длина волны образующегося рельефа является монотонно нарастающей с увеличением интенсивности вибраций, что согласуется с результатами экспериментов Козлова [44].

Однако, упрощенное описание, предложенное в работе [44], не учитывает различия инерционных свойств жидкости и взвешенных частиц. Кроме того, в более поздних экспериментах [48] было показано, что образование волнового рельефа на границе жидкость-взвесь иногда сопровождается нестационарными явлениями, при которых волновой рельеф медленно движется, что также не описывается теоретической моделью [45]. В последующих работах [49,50] разработан последовательный теоретический подход к описанию динамики взвеси на основе двухскоростной модели и исследована в рамках этой модели линейная устойчивость поверхности раздела жидкость-взвесь под действием высокочастотных вибраций. Показано, что появляется зависимость пороговой амплитуды скорости вибраций от частоты вибраций: при высоких частотах вибраций частицы не успевают отреагировать на изменение скорости потока и в результате наблюдается стабилизация основного состояния с плоской поверхностью раздела жидкость-взвесь. Кроме того, появляется возможность колебательной потери устойчивости, причем частота этих колебаний оказывается малой по сравнению с частотой вибраций.

В работах Брацуна [51,52] исследуется тепловая конвекция взвеси твердых частиц в жидкости под действием вибраций конечной частоты. В рамках обобщенного приближения Буссинеска выводятся уравнения конвекции взвеси, и рассматривается задача об устойчивости течения в вертикальном слое, нагреваемом сбоку, при горизонтальных вибрациях вдоль слоя. В основном состоянии распределение частиц соответствует однородному. Показано, что добавление твердых частиц в поток приводит в целом к стабилизации основного состояния. Обнаружено также, что существует некоторый диапазон значений управляющих параметров, когда примесь не оказывает влияния на устойчивость исследуемого состояния.

2. Устойчивость равновесия и стационарных течений взвесей. Исследованию устойчивости равновесия и стационарных течений жидкости со взвешенными в ней дисперсными частицами посвящено большое число работ как отечественных, так и зарубежных авторов. Несущая среда и примесь рассматриваются как взаимопроникающие и взаимодействующие друг с другом сплошные среды, взаимодействием между частицами пренебрегается.

Постановка задачи об устойчивости течения дисперсной среды на основе этих представлений выполнена впервые Гупало [53]. В этой работе исследуется устойчивость стационарного изотермического течения в плоском вертикальном канале, создаваемого продольным градиентом давления. В стационарном состоянии твердые частицы распределены однородно по всему слою, профиль скорости течения соответствует распределению Пуазейля, а скорость дисперсной фазы складывается из скорости несущего потока и постоянной скорости осаждения. Кроме того, предполагается, что скорость оседания частиц намного превышает скорость течения. Анализ устойчивости такого состояния по отношению к малым возмущениям, проведенный асимптотическим методом Гайзенберга-Линя [54], показывает, что в случае восходящего течения оседающая примесь приводит к стабилизации течения. Этот результат справедлив как для тяжелой, так и для легкой примеси. В случае же нисходящего несущего потока наличие тяжелой примеси может привести к возникновению дополнительных возмущений, вызывающих неустойчивость при сколь угодно малой интенсивности несущего потока.

Устойчивость стационарных изотермических течений в плоском канале, запыленного твердыми сферическими частицами, исследовалась разными авторами. При этом предполагалось, что межфазное взаимодействие происходит по закону Стокса [4,39]. Сафмен [55] предложил достаточно простую модель взвеси и провел анализ устойчивости стационарного состояния для случая, когда профиль несущего потока соответствует распределению Пуазейля. Было показано, что при равномерном распределении частиц линейная задача устойчивости течения газовзвеси сводится к решению уравнения Орра-Зоммерфельда с эффективным комплексным профилем скорости. Выполняется теорема Сквайра [56], то есть плоские возмущения являются наиболее опасными. Присутствие твердых частиц существенно влияет на устойчивость течения. Качественный анализ, проведенный в [55], показывает, что добавление в поток мелких частиц дестабилизирует течение, а крупных - оказывает стабилизирующее влияние. Эти выводы хорошо согласуются с физическими соображениями. Мелкие частицы быстро реагируют на изменения скорости несущего потока (характерное время релаксации частиц г мало) и движутся вместе с жидкостью, их наличие приводит фактически лишь к перенормировке плотности среды. Рост эффективной плотности среды эквивалентен увеличению скорости течения, что и дестабилизирует поток. Стабилизация течения объясняется тем, что достаточно крупные частицы достаточно инертны. Время релаксации частиц т в этом случае велико, частицы "не чувствуют" быстрых изменений скорости несущего потока, и, двигаясь со средней скоростью, демпфируют возмущения.

Последующие подробные расчеты кривых нейтральной устойчивости, проведенные на основе этой модели в другой работе [57] асимптотическими методами Гайзенберга-Линя, неожиданно не подтвердили выводы работы [55]. Из расчетов следовало, что крупные частицы дестабилизируют поток, а сами нейтральные кривые принимали необычный сложный вид. В результате в [57] было высказано сомнение в надежности использованных асимптотик, которое впоследствии подтвердилось.

В работе [58] на основе полученного выражения для полной энергии дисперсной системы проведен анализ, позволяющий проследить за влиянием примеси на развитие возмущений и устойчивость плоскопараллельного течения газа. В частности, подтвержден факт стабилизации течения крупными частицами.

Несколько позже появились работы, где предлагались более полные уравнения гидродинамики многофазных течений, причем в [59,60] указывалось на несовершенство модели [55]. В частности, при решении задачи устойчивости плоского течения Куэтта [59] было обнаружено, что в случае крупных частиц в уравнениях движения становятся существенными некоторые слагаемые, неоправданно опущенные в [55].

Устойчивость изотермического двухфазного течения Пуазейля с однородным распределением частиц рассматривалось также в работах [61,62]. В первом случае использовался спектральный метод [63], во втором - метод дифференциальной прогонки [64]. Результаты, полученные в этих работах, согласуются с качественными выводами, предсказанными Сафменом [55]. С ростом времени релаксации частицы т, что соответствует увеличению размеров частиц, течение сначала дестабилизируется, а затем, при некотором критическом значении, становится устойчивым. При дальнейшем увеличении параметра т стабилизирующий эффект достигает максимума и в дальнейшем постепенно слабеет. Показано, что существует интервал значений параметра т, когда поток наиболее устойчив. Интенсивность описанного эффекта увеличивается с ростом массовой концентрации.

В работе [65] задача устойчивости [62] обобщена на случай неоднородного распределения частиц. Показано, что максимальный стабилизирующий эффект достигается при однородном распределении частиц в потоке.

Желтухин [66] рассмотрел задачу о влиянии взвешенных в газе твердых частиц на устойчивость ламинарного пограничного слоя относительно волн Толлмина-Шлихтинга. Анализ устойчивости, проведенный методом Гайзен-берга-Линя для профиля скоростей Блазиуса, показывает, что при увеличении времени релаксации и массовых концентраций сферических частиц взвеси происходит стабилизация потока. Показано также, что асимметричные частицы стабилизируют течение слабее, чем сферические частицы той же массы. Данный результат согласуется с экспериментальными данными [67], указывающими на подавление турбулентности в потоках газа при добавлении небольшого количества примеси частиц, обладающих большим временем релаксации.

В работе [68] исследуется устойчивость стационарного изотермического течения жидкости с твердой примесью в плоском вертикальном слое. Движение жидкости вызывается оседанием твердых частиц, распределенных неравномерно поперек слоя. Симметричное относительно вертикальной оси, проходящей через центр слоя, распределение частиц имеет максимум в центре слоя и соответствует наблюдавшемуся экспериментально [12]. Оседающие частицы приводят первоначально покоящуюся жидкость в движение. В результате устанавливается движение с двумя восходящими и одним нисходящим потоками. Показано, что неустойчивость возникающего стационарного течения обусловлена взаимодействием встречных потоков. Чем выше степень неоднородности распределения частиц в слое, тем выше интенсивность возникающего течения жидкости, а порог устойчивости, следовательно, ниже.

В работе Скэнлона и Сиджела [69] исследуется конвективная устойчивость механического равновесия в плоском горизонтальном слое жидкости со взвешенной примесью. Сделанные в работе предположения приводят к задаче, совпадающей по форме с известной задачей Рэлея-Бенара для чистой жидкости, в которой число Рэлея перенормировано за счет примеси. Дисперсная система ведет себя аналогично однородной жидкости с большей теплопроводностью.

В [70] решена задача Рэлея для жидкости с примесью твердых частиц. Рассмотрен плоский горизонтальный слой жидкости со свободными границами, подогреваемый снизу. Частицы равномерно распределены по слою. Показано, что оседающие тяжелые частицы порождают возмущения, приводящие к стабилизации равновесия.

В последующих работах Дементьева [71], Брацуна и Любимова [72-74] рассматривалось влияние оседающих частиц на устойчивость неизотермического течения жидкости с однородно распределенными в ней частицами, возникающего в вертикальном слое при нагреве сбоку. Результаты показывают, что устойчивость такого состояния достаточно сложным образом зависит от параметров. Важно отметить, что, подбирая определенным образом значения управляющих параметров, можно добиться как стабилизации, так и дестабилизации течения.

3. Влияние седиментации и различия инерционных свойств частиц и несущего потока на поведение дисперсных частиц. Существует достаточно большое количество работ, в которых изучается поведение отдельной частицы в различных гидродинамических потоках (см., например, монографии [12,13] и обзор [75]). Как отмечалось, результаты, полученные при таком исследовании, могут применяться к движению множества частиц. Следует заметить, что такой подход дает возможность проследить за движением частиц, но не позволяет рассмотреть эффект обратного влияния частиц на поток.

Уравнение движения сферической частицы радиуса г5, массы т3, движущейся в неоднородном нестационарном потоке жидкости, может быть представлено в следующем виде [76]: сШ п5— = та + т 8 6Х ей

-9

6щг30 г<±Л/ч йт 1 <1Л ^ 1 , Л ш ®

Г \1 I--"ь - 5

0 <2т ^ЯУ^-Т) 2 <И\

-V -— г?Аи 10

0 = 6 где из и и - соответственно скорости частицы и несущего потока, т - масса жидкости, вытесняемая частицей, 77 и V - динамическая и кинематическая вязкости жидкости, д - ускорение свободного падения. Введены различные производные по времени, связанные с движением частицы и жидкости с?/сЙ = 8/81 + V ■ V, й3/сИ - 3/81 + р3 • V и являющиеся галилеево инвариантными.

В приведенном уравнении действующие на частицу силы, записанные в правой части, имеют следующий физический смысл. Первые три слагаемые в первой строчке - сила тяжести, сила Архимеда, связанная с градиентами давления и сила Стокса, описывающая трение частицы о жидкость. Интегральное слагаемое во второй строчке - наследственная сила Бассэ, зависящая от всей предыстории движения и возникающая из-за нестационарности вязкого по-гранслоя вокруг частицы. Последнее слагаемое - сила присоединенных масс, возникающая при ускоренном движении частицы относительно жидкости и описывающая инерцию жидкости. Поправки Факсена, пропорциональные вторым производным по координатам, являются существенными только в самом начале движения частицы.

Уравнение справедливо при выполнении нескольких условий: г8 1 гаШ л гг5и « 1 , - « 1, —- « 1,

Ь V УЬ где Ь - характерный масштаб течения, II и XV - характерные скорость несущего потока и скорость относительного движения соответственно.

Учет силы Бассэ сильно осложняет решение задач, поэтому в большинстве случаев рассматривают асимптотические модели [77]. Так, в случае мелкодисперсных аэрозолей и газовзвесей плотность дисперсной частицы р3 гораздо больше плотности р несущей среды (р8 » р) и можно значительно упростить уравнение движения частицы, оставив в нем только главные слагаемые. Главный вклад в уравнение движения вносят сила тяжести и сила Стокса.

Движение мелких газовых пузырей в жидкости соответствует противоположному предельному случаю р8 « р и описывается другим уравнением, главный вклад в которое обусловлен силами Архимеда и силой присоединенных масс. Чаще всего рассматривается комбинированная асимптотическая модель, сочетающая в себе оба предельных случая и учитывающая инерцию частицы и жидкости, но не пригодная для описания промежуточной ситуации, когда плотности р и р3 сопоставимы.

В частности, из такой модели следует, что в неподвижной жидкости тяжелая частица оседает с постоянной скоростью

5 т — тп 5 = —2-д.

6ЯГ1Г3

В случае движущейся жидкости скорость частицы определяется скоростью несущего потока V и постоянной скоростью осаждения ¿5. В безынерционном приближении скорость жидкости является суммой соответствующих полей: и3 = и + На основе этих представлений в 1949 г. Штомель [78] рассмотрел оседание частиц в двумерном потоке, образованном системой периодических в обоих направлениях вихрей, заданных функцией тока у/(х,у) = у/0 ът(х)зт(у), где у/0 - некоторая константа, определяющая интенсивность вихревого движения. В этой работе Штомель указал на возможность захвата тяжелой частицы несущим потоком, если существуют области течения, в которых скорость восходящих потоков превосходит скорость оседания частиц. В этом случае часть частиц вовлекается в вихревое движение и остается во взвешенном состоянии сколь угодно долго, двигаясь по замкнутым орбитам. Математически это означает наличие особой точки типа "центр" в поле скорости частицы.

Очень похожая ситуация имеет место в гранулированных средах, когда создается достаточно интенсивный вертикальный воздушный поток [79]. При определенных условиях гранулированная среда "ожижается", причем часть частиц так же остается во взвешенном состоянии.

В случае, когда интенсивность движения несущей фазы достаточно велика, оседанием дисперсных частиц можно пренебречь. В пределе безынерционного движения (пассивные) дисперсные частицы оказываются "вмороженными" в несущий поток и движутся по траекториям "частиц" несущей фазы.

При учете различия инерционных свойств дисперсных частиц и несущей фазы частицы при своем движении, вообще говоря, отклоняются от траекторий частиц несущей фазы, что может приводить к эффекту аккумуляции. Явление аккумуляции заключается в том, что дисперсные частицы могут полностью покидать одни участки несущего потока и собираться в других. В результате такого перераспределения частицы формируют определенного рода структуры. Аккумуляция частиц в изотермических потоках изучалась в большом числе теоретических работ [77,80-83]. В частности, в работах [81,82] рассмотрено поведение тяжелых частиц в двумерном потоке, образованном семейством периодических вихрей Стюарта [84], являющихся точным решением двумерных стационарных уравнений Эйлера. В частных случаях движения в окрестностях гиперболической и эллиптической точек застоя получены аналитические решения. Наиболее общие черты поведения частиц сводятся к следующим: тяжелые частицы стремятся покинуть, а легкие, наоборот, прийти в области несущего потока, имеющие наибольшую завихренность. В частности, вихревое движение приводит к сносу тяжелых частиц на периферию вихря и миграции легких частиц в его центр.

В серии экспериментов Швабе [85-87], изучавшего термокапиллярные течения в жидкой зоне, была обнаружена необычная аккумуляция твердых частиц взвеси в потоке жидкости: при определенных условиях обнаруженные структуры являлись существенно нестационарными и зависели от свойств течения. При относительно небольших значениях чисел Марангони, когда течение является еще стационарным, наблюдается дрейф более плотных, чем жидкость, частиц на периферию конвективного вихря и образование торообразной поверхности. Менее плотные частицы, в том числе мелкие пузырьки воздуха, стремятся собраться в центре вихря. Эти результаты согласуются с рассмотренными в других работах [77,81,82].

При больших значениях чисел Марангони, когда течение становится колебательным и перестает быть осесимметричным, более плотные, чем жидкость, частицы стягиваются в своего рода облака. Такие облака вращаются по некоторым орбитам с характерной частотой, соответствующей колебательному течению. При определенных условиях образуются облака другого типа, которые вращаются по меньшим, "внутренним", орбитам с вдвое большей частотой. Теоретическая модель, описывающая эти экспериментальные результаты, отсутствует.

Случай, когда одинаково важно учесть и различие инерционных свойств фаз, и процесс седиментации, изучался в работах [88,89]. В этих работах рассмотрено поведение различных сферических частиц в потоке, подобном использовавшемуся Штомелем [78]. В безынерционном пределе оседающие тяжелые {р8> р) и всплывающие легкие (р3 < р) частицы могут быть захвачены потоком и тогда двигаются по замкнутым орбитам. В поле скорости частиц имеется неподвижная точка типа "центр". Учет инерционных свойств фаз приводит к тому, что тяжелые и легкие частицы ведут себя существенно по-разному. Особая точка типа "центр" в поле скоростей частиц трансформируется в устойчивый фокус для легких частиц и неустойчивый фокус для тяжелых. Соответственно, тяжелые частицы не могут находиться во взвешенном состоянии бесконечно долго. Двигаясь по траектории в форме раскручивающейся спирали, они рано или поздно уходят из окрестности неподвижной точки. Следует отметить, что все траектории тяжелых частиц притягиваются к некоторым незамыкающимся линиям, огибающим вихри, вдоль которых происходит оседание. Легкие частицы, наоборот, двигаясь по закручивающимся спиралям, стягиваются в окрестности неподвижных точек. Учет влияния несферической формы частиц на их поведение в потоках рассмотрено в работах [90-92].

В работах [93-95] изучалось влияние силы Бассэ на поведение дисперсной частицы в гидродинамических потоках. Результаты этих исследований свидетельствуют о том, что неоправданное исключение этой силы из рассмотрения может приводить к существенным количественным изменениям результатов, а в некоторых случаях к потере качественно новых эффектов. 4. Необычные свойства лагранжевой динамики частиц. Как отмечалось, пассивная дисперсная частица движется в гидродинамическом потоке так же, как и элемент жидкости. Поведение частиц (лагранжева динамика), движущихся в различных гидродинамических потоках, изучалась во множестве работ (см., например, монографию [96] и обзор [97]). С практической точки зрения интерес к таким исследованиям обусловлен необходимостью изучения распространения мелкодисперсных загрязнений в атмосфере и океане и тесно связан с проблемой защиты окружающей среды.

Ограничимся рассмотрением случая пассивных частиц, движущихся в стационарном несжимаемом гидродинамическом потоке. С точки зрения теории динамических систем течение жидкости является фазовым потоком, а линии тока представляют собой траектории в фазовом пространстве.

Фазовое пространство автономной динамической системы, в которой возможно хаотическое поведение, должно быть по крайней мере трехмерным [98,99]. Соответственно, в случае стационарных течений, хаотическое поведение в гидродинамической системе может существовать только в трехмерном случае. Многочисленные примеры физических систем с лагранжевым хаосом рассмотрены в монографии [96]. Динамика же на двумерных многообразиях может показаться простой. Однако уже в случае двумерного стационарного гидродинамического потока, когда хаотическое поведение заведомо невозможно, движение пассивной дисперсной частицы может быть необычным [100].

В случае, когда двумерное стационарное течение периодично по пространству в обоих направлениях, оно может быть представлено фазовым потоком на двумерном торе, а условие несжимаемости обеспечивает гамильто-новость потока. Движение на торе с рациональным числом вращения является полностью скоррелированным, Фурье-спектр течения является дискретным. При иррациональном числе вращения возможно различное поведение. Так, в своей классической работе [101] Колмогоров показал, что Фурье-спектр га-мильтонова динамического потока на двумерном торе с иррациональным числом вращения дискретен при двух условиях. Во-первых, в системе отсутствуют особые точки, во-вторых, иррациональное число вращения "не слишком хорошо" приближается рациональными. Его предположение о том, что нарушение последнего условия может приводить к непрерывной компоненте в спектре, было позже подтверждено в работе Шкловера [102].

Применительно к гидродинамической системе рассмотрение с учетом существования особых точек впервые предпринято в работе [103], где исследовано влияние внешней не зависящей от времени силы на двумерный стационарный однородный поток вязкой несжимаемой жидкости. Задача допускает однопараметрическое семейство точных решений. Число вращения было иррациональным и соответствовало "золотому сечению". Показано, что при подходящем значении интенсивности силового воздействия формируются два вихря с противоположным вращением и существует две особых точки: гиперболическая и эллиптическая. Обнаружено, что движение лагранжевой "жидкой частицы" не является ни полностью скоррелированным, ни совершенно беспорядочным. Фурье-спектр течения фракталей, то есть не является ни дискретным, ни непрерывным. Причиной существования такого спектрального свойства является наличие точки застоя, приводящей к существованию сингулярности времени возврата частицы, времени необходимого для одного оборота вокруг тора, которая имеет логарифмический характер. Движение частицы по сепаратрисе (траектории, проходящей через точку застоя) не ограничено по времени сверху. Частица, проходя вблизи особой точки, остается в ее окрестности дольше, чем при прохождении вдали от нее. Это обстоятельство служит причиной потери корреляции и приводит к фрактальности спектра Фурье.

-27В работе [104] был исследован фазовый поток, напоминающий систему Лоренца [105], в [106] исследована модель, обобщающая гидродинамическую [103]. В процитированных работах потоки демонстрируют аналогичные фрактальные свойства. Число особых точек в них было конечным и не превышало четырех.

Кроме того, известно, что фазовые потоки, имеющие логарифмические сингулярности времени возврата частицы, не обладают свойством перемешивания [107]. Перемешивание может возникнуть в потоках со степенными син-гулярностями [108]. Однако в случае изолированных особых точек такие сингулярности возникают только в вырожденных, структурно неустойчивых ситуациях.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Дисперсные системы, такие как взвеси твердых частиц в жидкости, газовзвеси, газожидкостные смеси, широко распространены как в природе, так и в различных областях человеческой деятельности. По сравнению с однофазными, такие системы являются с одной стороны более сложными, с другой - могут при определенных условиях приводить к интересным физическим эффектам, связанным с неоднофазностью среды. Изучение поведения дисперсных частиц в гидродинамических потоках представляет значительный теоретический и практический интерес.

С теоретической точки зрения важно изучить влияние различных факторов на поведение дисперсных частиц в гидродинамических потоках различной природы, выявить главные физические механизмы, лежащие в основе явлений, нуждающихся в объяснении.

С другой стороны, результаты, полученные в ходе теоретического исследования, могут быть использованы при решении проблем интенсификации ряда технологических процессов, управления устойчивостью гидродинамических систем с помощью добавления примеси, очистки воздуха в помещениях и защиты окружающей среды. Цель работы.

• изучение поведения изотермической взвеси под действием высокочастотных вибраций;

• изучение явления захвата пылевых частиц конвективным потоком;

• исследование аккумуляции частиц в двумерном нестационарном конвективном потоке;

• изучение лагранжевой динамики частиц в стационарном двумерном течении Стокса через бесконечную решетку круговых цилиндров; исследование спектральных и транспортных характеристик системы; описание лагранжевой динамики частиц в течении Стокса с помощью специального фазового потока.

Научная новизна результатов.

• впервые получена одножидкостная модель осредненных уравнений, описывающая поведение изотермической взвеси под действием высокочастотных линейно-поляризованных вибраций в условиях невесомости; исследована устойчивость квазиравновесия однородной и неоднородной взвеси, когда градиент концентрации постоянен и направлен поперек слоя; численно исследовано поведение неоднородной взвеси, заполняющей квадратную полость. Найдены стационарные распределения полей функции тока и концентрации частиц;

• впервые получена одножидкостная модель поведения неизотермической взвеси в нестационарном несущем потоке, учитывающая конечную скорость оседания частиц, возможность обратного влияния частиц на несущий поток и различие инерционных свойств фаз;

• решена линейная задача об устойчивости стационарного состояния с распределением частиц в форме пылевого облака, возникающего в плоском бесконечном вертикальном слое из состояния с равномерным распределением частиц при нагреве сбоку. Показано, что существует узкая область значений параметров, в которой такое состояние является устойчивым; решена двумерная нелинейная задача о поведении пылевого облака в квадратной полости, нагреваемой сбоку. Показано, как из состояния с равномерным распределением частиц образуется пылевое облако. Получена зависимость размера пылевого облака от концентрационного параметра;

• решена модельная задача об аккумуляции частиц в двумерном нестационарном конвективном потоке в квадратной полости при подогреве снизу и модуляции силы тяжести.

• получено численное решение, описывающее течение Стокса через решетку цилиндров для случая, когда жидкость натекает на решетку под иррацио

-Зональным углом, соответствующим "золотому сечению". Показано, что динамика "жидкой" лагранжевой частицы обладает необычными спектральными и транспортными свойствами, которые описаны также в рамках упрощенной модели специального фазового потока.

Автор защищает:

• вывод осредненной одножидкостной модели поведения неоднородной изотермической взвеси, находящейся в поле высокочастотных линейно-поляризованных вибраций в условиях невесомости;

• результаты изучения линейной устойчивости квазиравновесия взвеси в плоском бесконечном слое и результаты прямого численного моделирования поведения неоднородной изотермической взвеси в квадратной полости, находящихся под действием вибраций;

• вывод одножидкостной модели поведения неизотермической взвеси в нестационарном несущем потоке;

• результаты исследования линейной задачи об устойчивости пылевого облака в конвективном потоке и результаты прямого численного моделирования поведения пылевого облака в квадратной полости;

• результаты прямого численного моделирования аккумуляции частиц в двумерном нестационарном неизотермическом потоке в квадратной полости при подогреве снизу и модуляции силы тяжести;

• результаты изучения лагранжевой динамики частиц в стационарном двумерном течении Стокса через бесконечную решетку круговых цилиндров, исследования спектральных и транспортных характеристик системы, свойства перемешивания, а также описания этих свойств с помощью упрощенной модели специального фазового потока.

Практическая ценность. Результаты, полученные в первой главе, могут быть использованы при решении проблемы интенсификации процессов перемешивания, широко используемых в химической промышленности.

Результаты, полученные во второй главе, могут быть частично использованы при решении проблемы управления конвекцией в ряде технологических процессов с помощью добавления примеси. В одних случаях, добавляя к жидкости частицы, можно повысить, а в других понизить устойчивость механического равновесия или стационарного течения. Кроме того, результаты второй главы могут быть полезны при решении проблемы очистки воздуха в помещениях и защиты окружающей среды.

Достоверность результатов подтверждается сравнением с известными ранее работами в общих областях параметров и согласием результатов, полученных разными методами и в рамках разных подходов.

При решении задач линейной устойчивости использовались различные численные методы, которые давали одинаковые или близкие результаты.

При исследовании задачи об устойчивости пылевого облака результаты аналитических вычислений, проведенных в коротковолновом пределе, согласуются с численными расчетами.

Апробация работы. Материалы, вошедшие в диссертацию, докладывались на 12 Международной зимней школе по механике сплошных сред (январь 1999 г., Пермь); VII Международной конференции по устойчивости течений гомогенных и гетерогенных жидкостей (апрель 2000 г., Новосибирск); 16 IMACS World Congress on Scientific Computation, Applied Mathematics and Simulation (August 2000, Lausanne, Switzerland); 10 и 11 Всероссийских конференциях молодых ученых по математическому моделированию в естественных науках (сентябрь 2001 г. и октябрь 2002 г., Пермь); XXX Summer School "Advanced Problems in Mechanics" (June 2002, St.Petersburg); 5 International Summer School "Let's Face Chaos Through Nonlinear Dynamics" (July 2002, Maribor, Slovenia); 3 Российской национальной конференции по теплообмену (октябрь 2002 г., Москва), а также неоднократно на Пермском городском гидродинамическом семинаре имени Г.З. Гершуни и Е.М. Жуховицкого.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 11 печатных работах [109-119], статья [120] принята к печати. В работах [109-117,119,120] автор диссертации проводил основные вычисления, принимал участие в постановке задачи и обсуждении результатов; в работе [118] принимал участие в постановке и проводил исследование нелинейной задачи в квадратной полости. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, общей характеристики работы, трех глав, содержащих результаты исследований автора, заключения и списка литературы. Объем диссертации -173 страницы, работа содержит 44 рисунка и 153 ссылки на литературные источники.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Штраубе, Артур Вячеславович

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В третьей главе рассмотрена задача о двумерном течении Стокса через бесконечную квадратную решетку круговых цилиндров одинакового радиуса. Показано, что в силу периодичности решетки течение жидкости может рассматриваться как фазовый поток на двумерном торе с числом вращения а. Движение вдоль линий тока определяется интегрируемой автономной гамиль-тоновой системой с одной степенью свободы. Функция тока играет роль энергии, а компоненты скорости являются каноническими переменными. Изучены спектральные и транспортные свойства потока. Расчет течения проведен численно для фиксированного значения отношения радиуса цилиндра к линейному размеру элементарной ячейки, равному 1/6.

В случае иррационального числа вращения лагранжева динамика фазового потока является нетривиальной и занимает промежуточное положение между порядком и хаосом. Проведен анализ автокорреляционной и интегральной автокорреляционной функций. В качестве наблюдаемой величины использовано абсолютное значение скорости элемента жидкости, измеренное в равноотстоящие моменты времени при движении вдоль линии тока. Значение числа вращения полагалось равным у (\/5 - 1), что соответствует величине, обратной золотому сечению. Показано, что автокорреляционная функция затухает, спад главных пиков происходит по степенному закону. Фурье-спектр скорости элемента жидкости является фрактальным. Определена корреляционная размерность спектра: Б2 =0.82 ±0.01. Затухание автокорреляционной функции является необычным в рамках интегрируемых автономных гамиль-тоновых систем с одной степенью свободы. Данный результат свидетельствует о том, что интегрируемость системы не гарантирует отсутствия затухания корреляций.

Показано, что необычное поведение системы обусловлено периодичностью системы и расходимостью времени, необходимого для одного оборота вокруг тора. Причиной последнего свойства является наличие в потоке особых точек, в которых скорость обращается в ноль. Вследствие условия вязкого прилипания особой является каждая точка, принадлежащая границе цилиндра. При движении вблизи кромки цилиндра жидкая частица испытывают сильное замедление. Суммарный эффект замедления при движении вдоль континуума особых точек приводит к сингулярности времени возврата, которая имеет степенной характер. Существование сингулярности обеспечивает затухание корреляций и приводит к фрактальности спектра, а ее степенной характер служит причиной возникновения еще двух свойств системы. Во-первых, такой фазовый поток является перемешивающим, во-вторых, обладает аномальным транспортом.

Перенос первоначально компактно расположенных жидких частиц заключается в вытягивании облака вдоль линий тока. Величина среднеквадрати-ческого отклонения, количественно характеризующая этот процесс, растет со временем по степенному закону с показателем, превышающим характерное для нормальной диффузии значение 1/2.

Кроме того, показано, что все спектральные и транспортные свойства рассматриваемой системы адекватно воспроизводятся с помощью упрощенной модели, так называемого специального потока. Упрощенное описание заключается в использовании комбинированной модели, которая сочетает метод сечения Пуанкаре и задание функциональной зависимости, определяющей расходимость времени возврата частицы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными результатами, полученными в настоящей работе, являются следующие:

1. Изучено поведение взвеси частиц в высокочастотном вибрационном поле. Получена осредненная одножидкостная модель поведения изотермической взвеси под действием линейно-поляризованных вибраций в невесомости.

2. Исследована линейная задача устойчивости квазиравновесия взвеси, заполняющей плоский горизонтальный слой и находящейся под действием поперечных вибраций. Показано, что при любой ненулевой интенсивности вибраций квазиравновесие является неустойчивым. С ростом интенсивности вибраций волновое число наиболее опасных возмущений монотонно увеличивается.

3. Численно исследовано поведение неоднородной взвеси, заполняющей квадратную полость и находящейся под действием высокочастотных вибраций. Показано, что влияние вибраций приводит к уплощению неодно-родностей. Найдены стационарные распределения полей функции тока и концентрации частиц.

4. Получена одножидкостная модель поведения неизотермической взвеси в нестационарном несущем потоке, учитывающая конечную скорость оседания частиц, возможность обратного влияния частиц на несущий поток и различие инерционных свойств фаз.

5. Решена линейная задача об устойчивости стационарного состояния с распределением частиц в форме пылевого облака, возникающего в плоском бесконечном вертикальном слое из состояния с равномерным распределением частиц при нагреве сбоку. Показано, что существует узкая область значений параметров, в которой такое состояние является устойчивым.

6. Численно исследована двумерная задача о поведении пылевого облака в квадратной полости, нагреваемой сбоку. Показано, как из состояния с равномерным распределением частиц образуется пылевое облако. Получена зависимость ширины пылевого облака от концентрационного параметра. Показано, что с ростом концентрации частицы подавляют конвективное течение.

7. Решена модельная задача об аккумуляции частиц в двумерном нестационарном конвективном потоке в квадратной полости при подогреве снизу и модуляции силы тяжести. Показано, что нестационарность несущего потока приводит к формированию нестационарных дисперсных структур, зависящих от свойств течения.

8. Численно получено решение, описывающее стационарное двумерное течение Стокса через бесконечную квадратную решетку круговых цилиндров для случая, когда жидкость натекает на решетку под иррациональным углом, соответствующим "золотому сечению". Показано, что движение ла-гранжевой частицы вдоль линий тока определяется интегрируемой автономной гамильтоновой системой с одной степенью свободы. Динамика жидкой частицы обладает необычными спектральными и транспортными свойствами. Автокорреляционная функция затухает. Данный результат свидетельствует о том, что интегрируемость системы не гарантирует отсутствия затухания корреляций. Обнаружено, что Фурье-спектр скорости частицы является фрактальным, а фазовый поток перемешивает, процесс вытягивания облака первоначально компактно расположенных частиц характеризуется аномальной диффузией. Все перечисленные свойства потока, заданного течением Стокса, адекватно описаны в рамках упрощенной модели специального фазового потока.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Штраубе, Артур Вячеславович, 2003 год

1. Campbell C.S. Rapid granular flows // Ann. Rev. Fluid Mech. 1990. V. 22. P. 57-92.

2. Блехман И.И. Что может вибрация? О "вибрационной механике" и вибрационной технике. М.: Наука, 1988. 208 с.

3. Блехман И.И. Вибрационая механика. М.: Наука, 1994. 400 с.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том VI. Гидродинамика, Изд. 3-е, перераб. М.: Наука, 1986. 733 с.

5. Лейбензон Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. ОГИЗ. Гостехиздат, 1947. 244 с.

6. Баренблатт Г.И. О движении взвешенных частиц в турбулентном потоке // ПММ. 1953. Т. 17. №3. С. 261-274.

7. Carrier G.F. The mixing of ground water and sea water in permeable subsoils // J. Fluid Mech. 1958. V. 4. P. 479-488.

8. Рахматулин X.A. Основы газодинамики взаимопроникающих сред // ПММ. 1956. Т. 20. №2. С. 184-195.

9. Крайко А.Н, Стернин Л.Е. //ПММ. 1965. Т. 29. №3. С. 418-429.

10. Фукс H.A. Механика аэрозолей. М.: АН СССР, 1955. 351 с.

11. Фортье А. Механика суспензий. М.: Мир, 1971. 264 с.

12. Coy С. Гидродинамика многофазных систем. М.: Мир, 1971. 369 с.

13. Бусройд Р. Течение газа со взвешенными частицами. М.: Мир, 1975. 378 с.

14. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. 336 с.

15. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. 4.1. М.: Наука, 1987. 464 с.

16. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. 4.2. М.: Наука, 1987. 359 с.

17. Рудяк В.Я. Кинетическое описание разреженной мелкодисперсной газовзвеси // Письма в ЖТФ. 1992. Т. 18. В. 20. С. 77-80.

18. Гладков М.Ю., Рудяк В.Я. Кинетические уравнения мелкодисперсной разреженной газовзвеси // Изв. РАН. МЖГ. 1994. №2. С. 165-171.

19. Огородников И.А. Уравнения движения гетерогенных сред в осредненном и микроскопическом подходах // Тез. докл. VII Межд. конф. по устойчивости течений гомогенных и гетерогенных жидкостей. Новосибирск: НГАСУ, 2000. С. 42-44.

20. Новицкий Б.Г. Применение акустических колебаний в химико-технологических процессах. М.: Химия, 1983. 191 с.

21. Faraday M. On a peculiar class of acoustic figures // Phyl. Trans. R. Soc. Lond. 1831. V. 52. P. 299-340.

22. Медников Е.П. Акустическая коагуляция и осаждение аэрозолей. М.: Изд. АН СССР, 1963.263 с.

23. Ганиев Р.Ф., Украинский JI.E. О движении твердых частиц, взвешенных в колеблющейся сжимаемой среде // ПМ. 1975. Т. 11. Вып. 2. С. 3-14.

24. Духин С.С. Теория дрейфа аэрозольной частицы в стоячей звуковой волне //Коллоидный журнал. 1960. Т. 22. №1. С. 128-130.

25. Кубенко В.Д., Кузьма В.М., Пучка Г.Н. Динамика сферических тел в жидкости при вибрации. Киев: "Наукова думка", 1989. 152 с.

26. Ганиев Р.Ф., Пучка Г.Н. О движении частиц в неоднородной стоячей волне //ПМ. 1975. Т. 11. Вып. З.С. 3-11.

27. Кулик В.В., Пучка Г.Н., Цапенко A.C. О динамическом поведении газовых включений в жидкости при комбинированном периодическом воздействии // Бионика. 1986. №20. С. 63-67.

28. Апштейн Э.З., Григорян С.С., Якимов Ю.Л. Об устойчивости роя пузырьков газа в колеблющейся жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1969. №3. С. 100-104.

29. Bleich H.H. Effect of vibration on the motion of small gas bubbles in a liquid // Jet Propulsion. 1956. V. 26. №11. P. 958-978.

30. Boyadzhiev L. On the movement of a spherical particle in vertically oscillating liquid // J. Fluid Mech. 1973. V. 53. P. 545-548.

31. Кузьма В.M., Холопова B.B Движение деформируемого сферического тела в несжимаемой жидкости при вертикальных вибрациях // ПМ. 1987. Т. 23. Вып. 3. С. 90-95.

32. Павловский B.C., Пелых H.A. Исследование движения газовых пузырьков в вибрирующем цилиндрическом сосуде с двухслойной жидкостью // ПМ. 1981. Т. 17. Вып. 4. С. 103-110.

33. ГаниевР.Ф., Украинский JI.E. О движении твердых частиц, взвешенных в несжимаемой жидкости, при вибрационных воздействиях // ПМ. 1975. Т. 11. Вып. 1.С. 47-54.

34. Ганиев Р.Ф., Украинский JI.E. Динамика частиц при воздействии вибраций. Киев: Изд. "Наукова думка", 1975. 168 с.

35. Гранат H.JI. Движение твердого тела в пульсирующем потоке вязкой жидкости // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1960. №1. С. 70-78.

36. Гранат H.JI. О возмущениях производимых телом, движущимся в вязкой жидкости // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1961. №1. С. 86-89.

37. Гранат H.JT. Установившиеся колебания сосудов с двухфазной смесью // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1964. №5. С. 61-65.

38. Гранат H.JI. Потери энергии при колебаниях шара в двухфазной смеси (вибровязкость и виброплотность смесей) // Изв. АН СССР. Механика. 1965. №1. С. 34-41.

39. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Изд. 6, перераб. и доп. М.: Наука, 1987. 840 с.

40. Челомей В.Н. Парадоксы в механике, вызываемые вибрациями // ДАН СССР. 1983. Т. 270. №3. С. 62-67.

41. Луговцов В.Л., Сенницкий В.Л. О движении тела в вибрирующей жидкости // ДАН СССР. 1986. Т. 289. №2. С. 314-317.

42. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Черепанов А.А. О движении твердого тела в вибрирующей жидкости // Конвективные течения: сб. науч. трудов. Пермь: изд-во Перм. пед. ин-та. 1987. С. 61-71.

43. LyubimovD.V. Convective flows under the influence of high-frequency vibrations // Eur. J. Mech. B/Fluids. 1995. V. 14. №4. P. 439-458.

44. Kozlov V.G. Experimental investigation of vibrational convection in pseudoliquid layer // Rev. Proc. 1st Intern. Symp. on Hydromech. and Heat/Mass Transfer in Microgravity. Perm-Moscow, Russia. 1991. Gordon & Breach science publishers. P. 57-61.

45. Любимов Д.В., Черепанов А.А. О возникновении стационарного рельефа на поверхности раздела жидкостей в вибрационном поле // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. №6. С. 8-13.

46. Wolf G.H. The dynamic stabilization of the Rayleigh-Taylor instability and the corresponding dynamic equilibrium// Z. Phys. B. 227. P. 291-298.

47. Ivanova A., Kozlov V., Evesque P. Patterning of "liquefied" sand surface in a cylinder filled with liquid and subjected to horizontal vibrations // Europhys. Lett. 1996. V. 35. №3. P. 159-164.

48. Evesque P., Ivanova A., Kozlov V., LyubimovD., LyubimovaT. and Roux B. Standing relief generation and propagation in cavity filled with liquid and sand and submitted to horizontal vibrations. Proc. of the Joint Xth Europ. and VIth

49. Russian Symp. on "Physical Sciences in Microgravity". St. Petersburg, Russia, 1997. P. 153-156.

50. Лобов Н.И., Любимов Д.В., Любимова Т.П. Поведение двухслойной системы жидкость-взвесь в вибрационном поле // Изв. РАН. МЖГ. 1999. №6. С. 55-62.

51. Брацун Д.А., Теплов B.C. О параметрическом возбуждении вторичного течения в вертикальном слое жидкости в присутствии мелких твердых частиц // ПМТФ. 2001. Т. 42. №1. С. 48-55.

52. Bratsun D.A., Teplov V.S. Effect of unsteady forces on the stability of the pulsed convective flow in the presence of small solid particles // Proc. of XXX Summer School "Advanced Problems in Mechanics" (APM-2001). St-Petersburg, Russia. 2001 (on CD).

53. Гупало Ю.П. Об устойчивости ламинарного движения жидкости с тяжелой примесью // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1960. №6. С. 38-46.

54. ЛиньЦ.Ц. Теория гидродинамической устойчивости. М.: Издат. иностр. лит., 1958. 194 с.

55. Saffman P.G. On the stability of laminar flow of a dusty gas // J. Fluid Mech. 1962. V. 13. P. 120-128.

56. Squire H.B. On the stability of three-dimensional disturbances of viscous fluid flow between parallel walls II Proc. Roy. Soc. 1933. V. A 142. №847. P. 621628.

57. Michael D.H. The stability of plane Poiseuille flow of a dusty gas // J. Fluid Mech. 1964. V. 18. P. 19-32.

58. Liu J.T.C. On the hydrodynamic stability of parallel dusty gas flows // Phys. Fluids. 1965. V. 8. №11. P. 1939-1945.

59. Drew D.A. Lift-generated instability of the plane Couette flow of a particle-fluid mixture // Phys. Fluids. 1975. V. 18. №8. P. 935-938.

60. Drew D.A. Stability of a Stokes layer of a dusty gas // Phys. Fluids. 1979. V. 22. №11. P. 2081-2086.

61. Нармуратов Ч.Б., Соловьев A.C. О влиянии взвешенных частиц на устойчивость плоского течения Пуазейля // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. №1. С. 46-53.

62. Исаков Е.Б., Рудяк В .Я. Устойчивость течений разреженных газовзвесей и суспензий в плоском канале // Изв. РАН. МЖГ. 1995. №5. С. 79-85.

63. Orszag S.A. Accurate solution of Orr-Sommerfeld stability equation. // J. Fluid Mech. 1971. V. 50. P. 689-703.

64. Гольдштик M.A., Штерн B.H. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Новосибирск: Наука, 1977. 366 с.

65. Рудяк В.Я., Исаков Е.Б. Устойчивость течения Пуазейля двухфазной жидкости с неоднородным распределением частиц // ПМТФ. 1996. №1. С. 95105.

66. Желтухин И.Д. Устойчивость ламинарного пограничного слоя в несжимаемом газе, несущем тяжелую примесь // Изв. АН СССР. МЖГ. 1971. №2. С. 103-110.

67. Sproull W.T. Viscosity of dusty gases // Nature. 1961. V. 190. №4780. P. 976978.

68. Бурмистрова А.Б., Дементьев O.H. Устойчивость стационарного течения жидкости с тяжелой примесью // ПМТФ. 1986. №2. С. 65-68.

69. Scanlon J.W., Segel L.A. Some effect of suspended particles on the onset of Benard convection // Phys. Fluids. 1973. V. 16. №10. P. 1573-1578.

70. Дементьев O.H. Задача Рэлея для жидкости с тяжелой примесью // Вестн. Челяб. унив-та. Сер. Мат. Мех. 1999. Вып. 4. С. 34-44.

71. Дементьев О.Н. Конвективная устойчивость среды, содержащей тяжелую твердую примесь//ПМТФ. 1976. №3. С. 105-115.

72. Любимов Д.В., Брацун Д.А. Об уравнениях конвекции в запыленной среде // Вестник пермского университета. Физика. 1997. Вып. 2. С. 15-28.

73. Lyubimov D.V., Bratsun D.A., Lyubimova T.P., Roux В., Teplov V.S. Non-isothermal flows of dusty media // Proc. of the 3rd Int. Conf. on Multiphase flow. ICMF-98. Lyon, France, 1998 (on CD).

74. Lyubimov D.V., Bratsun D.A., Lyubimova T.P., Roux B. Influence of gravitational precipitation of solid particles on the thermal buoyancy convection // Adv. in Space Res. V. 22. №8. 1998. P. 1267-1270.

75. Marble F.E. Dynamics of dusty gases // Ann. Rev. Fluid Mech. 1970. V. 2. P. 397-446. (Перевод: Марбл Ф.Е. Динамика запыленных газов. // Сб. пер. Механика. 1971. №6. С. 48-89)

76. Махеу M.R., Riley J.J. Equation of motion for small rigid sphere in a nonuniform flow // Phys. Fluids. 1983. V. 26. №4. P. 883-889.

77. Maxey M.R. On the advection of spherical and non-spherical particles in a nonuniform flow // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A .1990. V. 333. P. 289-307.

78. Stommel H. Trajectories of small bodies sinking slowly through convective cells // J. Mar. Res. 1949. №8. P. 24-29.

79. Anderson K, Sundaresan S., Jackson R. Instabilities and the formation of bubbles in fluidized beds // J. Fluid Mech. 1995. V. 303. P. 327-366.

80. Druzhinin O.A. Concentration waves and flow modification in a particle-laden circular vortex //Phys. Fluids. 1994. V. 6. №10. P. 3276-3284.

81. Druzhinin O.A. On the two-way interaction in two-dimensional particle-laden flows: the accumulation of particles and flow modification // J. Fluid Mech. 1995. V. 297. P. 49-76.

82. Tio K.-K., Linan A., Lasheras J.C., Ganan-Kalvo A.M. On the dynamics of buoyant and heavy particles in a periodic Stuart vortex flow // J. Fluid Mech. 1993. V. 254. P. 671-699.

83. Raju N., Meiburg E. Dynamics of small, spherical particlesin vortical and stagnation point flow fields // Phys. Fluids. 1997. V. 9. №2. P. 299-314.

84. Stuart J.T. On the finite amplitude oscillations in laminar liquid layers // J. Fluid Mech. 1967. V. 29. P. 417-440.

85. Schwabe D., HintzP., Frank S. New features of thermocapillary convection in floating zones revealed by tracer particle accumulation structures (PAS) // Mi-crogravity sci. Technol. 1996. V. 9. №3. P. 163-168.

86. Schwabe D. Particle accumulation structures (PAS) in thermocapillary flow in floating zones // Proc. of the 2 European Symposium on the utilisation of the international Space Station, ESTEC. 1999. Noordwijk, Netherlands. P. 233-240.

87. Schwabe D., Frank S. Particle accumulation structures (PAS) in the toroidal thermocapillary vortex of a floating zone model for a step in planet formation? // Adv. in Space Res. 1999. V. 23. № 7. P. 1191-1196.

88. Maxey M.R., Corrsin S. The gravitational settling of aerosol particles in randomly oriented cellular flow fields // J. Atmos. Sci. 1986. V. 43. P. 1112-1134.

89. Maxey M.R. The motion of small spherical particles in a cellular flow field // Phys. Fluids. 1987. V. 30. №7. P. 1915-1928.

90. Bretherton F.P. The motion of rigid particles in a shear flow at low Reynolds number // J. Fluid Mech. 1962. V. 14. P. 284-304.

91. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир, 1976. 630 с.

92. Mallier R., Maxey M.R. The settling of nonspherical particles in a cellular flow field//Phys. Fluids A. 1991. V. 3. №6. P. 1481-1494.

93. Thomas P.J. On the influence of the Basset history force on the motion of a particle through a fluid // Phys. Fluids A. 1992. V. 4. №9. P. 2090-2093.

94. Druzhinin O.A., Ostrovsky L.A. The influence of Basset force on particle dynamics in two-dimensional flows // Physica D. 1994. V. 76. P. 34-43.

95. Yannacopoulos A.N., Rowlands G., King G.P. Influence of particle inertia and Basset force on tracer dynamics: analytic results in the small inertia limit // Phys. Rev. E. 1997. V. 55. №4. P. 4148-4157.

96. Ottino J.M. The kinematics of mixing: stretching, chaos, and transport. Univ. Press, Cambridge, 1989. 364 p.

97. Aref H. Stirring by chaotic advection // J. Fluid Mech. 1984. V. 143. P. 1-21.

98. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988. 240 с.

99. Strogatz S.H. Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, chemistry, and engineering. Addison-Wesley, 1994. 498 p.

100. ZaksM.A. Fractal Fourier spectra in dynamical system. Habilitation thesis. University of Potsdam, Germany, 2002. 100 p.

101. Колмогоров A.H. О динамических системах с интегральным инвариантом на торе // Докл. АН СССР. 1953. Т. 93. №5. С. 763-766.

102. ШкловерМ.Д. О классических динамических системах на торе с непрерывным спектром // Изв. высш. учебн. завед. Математика. 1967. №10. С. 113-124.

103. Zaks М.А., Pikovsky A.S., Kurths J. Steady viscous flow with fractal power spectrum // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77. №21. P. 4338-4341.

104. Pikovsky A.S., Zaks M.A., Feudel U., Kurths J. Singular continuous spectra in dissipative dynamics // Phys. Rev. E. 1995. V. 52. №1. P. 285-296.

105. Lorentz E.N. Deterministic nonperiodic flow // J. Atmos. Sci. 1963. V. 20. P. 130-141.

106. Zaks M.A. Fractal Fourier spectra of Cherry flows // Physica D. 2001. V. 149. P. 237-247.

107. Кочергин A.B. Невырожденные седла и отсутствие перемешивания // Математические заметки. 1976. Т. 19. №3. С. 453-468.

108. Кочергин А.В. О перемешивании в специальных потоках над перекладыванием отрезков и в потоках на поверхностях // Математический сборник. 1975. Т. 96. №3. С. 471-502.

109. Любимов Д.В., Штраубе А.В. Вибрационная динамика слабонеоднородной взвеси // Вибрационные эффекты в гидродинамике. Сб. науч. трудов. Пермь: Перм. ун-т, 1998. С. 237-250.

110. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Штраубе A.B. Поведение пылевого облака в конвективном потоке // Тез. докл. VII Межд. конф. по устойчивости течений гомогенных и гетерогенных жидкостей. Новосибирск: НГАСУ, 2000. С. 40-42.

111. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Штраубе А.В. Численное моделирование аккумуляции частиц взвеси в потоке жидкости // Тез. докл. 10 Всерос. конф. мол. уч. "Математическое моделирование в естественных науках". Пермь, 2001. С. 26-27.

112. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Штраубе А.В. Аккумуляция частиц взвеси в потоке жидкости // Гидродинамика. Сб. науч. трудов. Пермь: Перм. ун-т, 2002. Вып. 13. С. 128-140.

113. Lyubimov D.V., Straube A.V. Linear stability problem of suspension in vibration field // XXX Summer School "Advanced Problems in Mechanics" (APM-2002). St-Petersburg, Russia, 2002. Book of abstracts. P. 69.

114. Штраубе A.B., Перминов А.В. Численное моделирование поведения систем, имеющих границу раздела // Тез. докл. 11 Всерос. конф. мол. уч. "Математическое моделирование в естественных науках". Пермь, 2002. С. 43-44.

115. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Штраубе А.В. Захват пылевых частиц конвективным вихрем // Труды 3 Росс, национ. конф. по теплообмену. Москва, 2002. Т. 5. С. 258-261.

116. Zaks М.А., Straube A.V. Steady Stokes flow with long-range correlations, fractal Fourier spectrum and anomalous transport // Phys. Rev. Lett. 2002. V. 89. P. 244101.

117. Lyubimov D.V., Straube A.V. Linear stability problem of suspension in vibration field // Proc. of XXX Summer School "Advanced Problems in Mechanics" (APM-2002). St-Petersburg, Russia, 2002 (submitted for publication).

118. Gershuni G.Z., Lyubimov D.V. Thermal vibration convection. Wiley & Sons, 1998.358 р.

119. Найфэ A.X. Введение в методы возмущений. M.: Мир, 1984. 535 с.

120. Махвиладзе Г.М., Мелихов О.И., Соболева Е.Б. Естественная конвекция газовзвеси в замкнутой области квадратного сечения // Изв. РАН. МЖГ. 1994. №2. С. 46-52.

121. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

122. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. 318 с.

123. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988. 352 с.

124. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Т. 1. М.: Мир, 1991. 504 с.

125. Петров Г.И. Применение метода Галеркина к задаче об устойчивости течения вязкой жидкости // ПММ. 1940. Т.4. Вып. 3. С. 3-12.

126. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

127. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 616 с.

128. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Т. 2. М.: Мир, 1991.552 с.

129. Тарунин E.JL Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1990. 228 с.

130. Peaceman D.W., Rachford H.H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations // J. Soc. Indust. Appl. Math. 1955. V. 3. №1. P. 2841.

131. LeVeque R.J. High-resolution conservative algorithms for advection in incompressible flow// SIAM J. Numer. Anal. 1996. V. 33. P. 627-665.

132. ColellaP., PuckettE.G. Modern numerical methods for fluid flow. U.C. Berkeley and U.C. Davis, 1994. 154 p.

133. Goodman J.B., LeVeque R.J. A geometric approach to high resolution TVD schemes // SIAM J. Numer. Anal. 1988. V. 25. P. 268-284.

134. LeVeque R.J. Nonlinear conservation laws and finite volume methods for as-trophysical fluid flow // LeVeque R.J., Mihalas D., Dorfi E., Mueller E. 27th Saas-Fee Advanced Course Lecture Notes. Springer-Verlag, 1998. 168 p.

135. Langseth J.L., LeVeque R.J. A wave propagation method for three-dimensional hyperbolic conservation laws // J. Comp. Phys. 2000. V. 165. №1. P. 126-166.

136. Van Leer B. Towards the ultimate conservative difference scheme II. Monotonicity and conservation combined in a second order scheme // J. Comp. Phys. 1974. V. 14. P. 361-370.

137. Van Leer B. Towards the ultimate conservative difference scheme IV. A new approach to numerical convection // J. Comp. Phys. 1977. V. 23. P. 276-299.

138. MarstonP.L. Shape oscillation and static deformation of drops and bubbles-driven by modulated radiation stresses Theory // J. Acoust. Soc. Am. 1980. V. 67. №1. p. 15-26.

139. Marston P.L., Apfel R.E. Quadrupole resonance of drops driven by modulated acoustic radiation pressure Experimental properties // J. Acoust. Soc. Am. 1980. V. 67. №1. P. 27-37.

140. SussmanM., SmerekaP., OsherS. A level set approach for computing solutions to incompressible two-phase flow// J. Comp. Phys. 1994. V. 114. P. 146159.

141. Sussman M., Fatemi E., SmerekaP., Osher S. An improved level set method for incompressible two-phase flow // Computers and Fluids. 1998. V. 27. P. 663-680.

142. Sussman M., Almgren A.S., Bell J.B., Colella P., Howell L., Welcome M. An adaptive level set approach for incompressible two-phase flow // J. Сотр. Phys. 1999. V. 148. P. 81-124.

143. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M., ТарунинЕ.Л. Численное исследование конвективного движения в замкнутой полости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1966. №5. С. 56-62.

144. Тарунин E.JI. Численное исследование свободной конвекции // Учен. зап. Пермск. унив. Гидродинамика. 1968. №184. Вып. 1. С. 135-168.

145. Бурдэ Г.И. Численное исследование конвекции в условиях периодической модуляции внешней силы // Учен. зап. Пермск. унив. Гидродинамика. 1971. №248. Вып. 3. С. 75-96.

146. Hasimoto Н. On the periodic fundamental solutions of the Stokes equations and their application to viscous flow past a cubic array of spheres // J. Fluid Mech. 1959. V. 5. P. 317-328.

147. Хинчин А.Я. Цепные дроби. M.: Наука, 1978. 112 с.

148. БержеП., ПомоИ., ВидальК. Порядок в хаосе: о детерминистском подходе к турбулентности. М.: Мир, 1991. 366 с.

149. Корнфельд И.П., Фомин С.В., Синай Я.Г. Эргодическая теория. М.: Наука, 1980. 383 с.

150. Ketzmerick R., Petschel G., Geisel Т. Slow decay of temporal correlations in quantum systems with Cantor spectra // Phys. Rev. Lett. 1992. V. 69. P. 695698.