Компьютерный и качественный анализ интегрируемости и стохастичности в неголономных динамических системах

Казаков, Алексей Олегович

Компьютерный и качественный анализ интегрируемости и стохастичности в неголономных динамических системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Казаков, Алексей Олегович

Казаков, Алексей Олегович
кандидат наук
2014

Специальность ВАК РФ05.13.18

Количество страниц 155

Казаков, Алексей Олегович. Компьютерный и качественный анализ интегрируемости и стохастичности в неголономных динамических системах: дис. кандидат наук: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Нижний Новгород. 2014. 155 с.

Оглавление диссертации кандидат наук Казаков, Алексей Олегович

Содержание

Введение

Глава 1. Программный комплекс

1.1. Описание интерфейса программного комплекса

1.1.1. Менеджер запущенных инструментов

1.2. Методы интегрирования

1.2.1. Метод Рунге-Кутта

1.2.2. Метод Мерсона

1.2.3. Метод Эверхарта

1.3. Инструменты

1.3.1. Отображение Пуанкаре

1.3.2. Спектр Фурье

1.3.3. Ляпуновские показатели для потока

1.3.4. Поиск неподвижных и периодических точек отображения

1.3.5. Продолжение неподвижных и периодических точек по параметру

1.3.6. Построение сепаратрис седловых точек

1.3.7. Дерево бифуркаций удвоения периода

1.3.8. Построение поверхности £ = |Мар(х) — х\

1.3.9. Области возможного движения (ОВД)

1.3.10. Отображение Пуанкаре для заданных линий

1.3.11. Построение карт динамических режимов

1.4. Фильтры и дополнительные окна

1.4.1. Построение двумерных графиков

1.4.2. Построение трехмерных графиков

1.4.3. Визуализация движения мультипликаторов неподвижной точки

1.4.4. Визуализация движения апексов

1.4.5. Универсальный трехмерный визуализатор

Глава 2. Неголономные системы описывающие качение без проскальзывания и верчения

2.1. Постановка задачи. Уравнения движения и интегралы

2.2. Отображения Пуанкаре

2.3. Интегрируемость и стохастичность некоторых систем, описывающих качение без верчения и проскальзывания

2.3.1. Качение эллипсоида по плоскости

2.3.2. Качение эллипсоида по сфере

2.3.3. Качение шара по сфере

2.4. Феномены хаотической динамики в задаче о качения неуравновешенного шара по плоскости без проскальзывания и верчения

под действий поля тяжести

2.4.1. Уравнения движения

2.4.2. Обратимости в системе

2.4.3. Странные аттракторы

2.4.4. Смешанная динамика

Глава 3. Неголономная модель кельтского камня кельтского камня

3.1. Введение

3.2. Уравнения движения и интегралы

3.3. Построение отображения Пуанкаре

3.4. Феномены регулярной динамики: реверс, периодические движения

3.5. Феномены хаотической динамики

3.6. Выводы

Глава 4. Топологическая монодромня в неголономных системах

4.1. Введение

4.2. Топологическая монодромия в интегрируемых системах

4.3. Качение осесимметричного эллипсоида по гладкой плоскости

4.3.1. Уравнения движения и первые интегралы

4.3.2. Бифуркационный анализ

4.3.3. Анализ монодромии

4.4. Качение осесимметричного эллипсоида по абсолютно шероховатой плоскости

4.4.1. Уравнения движения и первые интегралы

4.4.2. Бифуркационный анализ

4.4.3. Анализ монодромии

4.5. Результаты проведенного анализа и выводы

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Компьютерный и качественный анализ интегрируемости и стохастичности в неголономных динамических системах»

Введение

Актуальность темы исследований.

Развитие современной теории динамических систем тесно связано со всевозрастающей ролью компьютерных методов исследований. Первыми достижениями на этом пути были открытие аттрактора Лоренца, исследования Фей-генбаума, связанные с универсальностью перехода к хаосу путем каскада бифуркаций удвоения периода, создание фрактальной геометрии и фрактальной динамики Мандельбротом. Все эти классические результаты тесно связаны с аналитическими исследованиями восходящими к Пуанкаре, Биргофу и др. С другой стороны, они указывают ряд новых свойств, которые не были замечены ранее при аналитических исследованиях. В настоящее время диапазон задач и методов исследования в теории динамических систем чрезвычайно широк, начиная с качественного анализа интегрируемых систем и до исследования сложных неинтегрируемых систем, в которых мы сталкиваемся с таким понятием как хаос и требующих применения компьютерных методов анализа.

Традиционно различают динамические системы разделяют на консервативные и диссипативные. В физике термин консервативные означает обеспечивающие сохранение энергии, что, в частности, относится к системам классической механики, для описания которых применяется формализм Гамильтона [1,2]. Для гамильтоновых систем имеет место теорема Лиувилля о сохранении меры (фазового объема).

При наличии трения приходим к диссипативным системам, где механическая энергия не сохраняется, а постепенно рассеивается, переходя в тепло. В диссипативных системах фазовый объем уменьшается по ходу эволюции во времени, по крайней мере, в среднем, и облако изображающих точек оседает в итоге на некоторое подмножество в фазовом пространстве, которое называ-

ется аттрактором. Для систем, в которых обеспечивается компенсация потерь энергии внешними источниками (открытые системы), в качестве аттракторов наряду с состояниями равновесия (неподвижными точками) могут встречаться

у

также предельные циклы, отвечающие автоколебаниям, и странные аттракторы, соответствующие хаотической динамике.

В системах с инвариантной мерой, обладающих свойством сохранения фазового объема (когда аттракторов не бывает), облако изображающих точек можно мыслить как состоящее из несжимаемой жидкости. В диссипативном случае его надо представлять себе, как сжимаемую субстанцию, наподобие пара, имеющего возможность конденсироваться с существенным уменьшением занимаемого объема при оседании на аттрактор.

В механике, помимо систем, описываемых в рамках гамильтонова формализма, выделяют еще особый класс систем с неголономными связями, или, более коротко неголономных систем (термин введен Генрихом Герцем в XIX веке) [3,4]. Сюда относятся многие задачи, имеющие большое практическое значение, например, в механике передвижных и летательных аппаратов, робототехнике. История изучения этих систем богата драматическими моментами, в том числе ошибками, которые совершались видными исследователями, и лишь затем исправлялись в ходе более аккуратного анализа. Иерархия типов поведения неголономных систем [5] включает разнообразные ситуации от простых (интегрируемых) до сложных (не интегрируемых), что связано с количеством присущих задаче инвариантов и симметрий.

В данной диссертации с помощью совместного использования компьютерных и аналитических методов мы пытаемся подойти к проблеме интегрируемости, неинтегрируемости и перехода к хаосу, а также его классификации в неголономных динамических системах. Вообще говоря, в динамических системах существуют различные пути перехода к хаосу. Эти пути, как правило, связаны с различными явлениями типа бифуркаций и обуславливают ряд новых эффектов, возникающих в динамических системах.

Сравнительно недавно выяснилось, что хаос, возникающий в неголоном-

ных динамических системах может качественно различаться. Так помимо консервативного хаоса в некоторых неголономных системах были обнаружены странные аттракторы [6-10], а так же другой, малоизученный тип динамического хаоса - так называемая смешанная динамика. Совершено замечательным фактом является обнаружение в неголономной модели кельтского камня странного аттрактора лоренцевского типа [10,11]. По сути эта модель (насколько нам известно) является первой моделью из приложений, в который обнаружен этот хорошо изученный феномен хаотической динамики.

На сегодняшний день для проведения аналитических и численных исследований динамических систем применяют как правило несколько наиболее известных программных средств — Maple, Mathematica, MathLab. Однако, вычислительная среда, создаваемая этими пакетами, не смотря на ее универсальность, направлена преимущественно на проведение аналитических вычислений. Задача интегрирования системы дифференциальных уравнений с одновременным выводом нескольких потоков информации уже является для этих программных средств невыполнимой. Поэтому для проведения численных расчетов, как правило, используют собственные разработки ориентированные на конкретную исследуемую задачу. Такой подход более эффективен для решения описанной выше задачи, однако имеет существенный недостаток. Практически для каждой новой задачи приходится создавать отдельный программный продукт. Таким образом, актуальной становится проблема создания программного комплекса, который с одной стороны позволит интегрировать неголономные системы дифференциальных уравнений с одновременным многосторонним анализом фазового потока в режиме "онлайн", а с другой стороны максимально упростит и универсализует ввод новых задач. В настоящее время в ижевском институте компьютерных исследований ведется разработка программного комплекса "Компьютерная динамика". На момент начала исследований и работ над диссертацией в рамках этого комплекса уже была реализована часть функциональности, позволяющая исследовать многие неголономные системы. В рамках диссертационной работы эта функциональ-

ность была существенно расширена, и в данной момент, используя возможности программного комплекса, можно комплексно исследовать большинство неголономных динамических систем.

Цель работы

Целью диссертационной работы является разработка программного комплекса для исследования неголономных динамических систем. Помимо функциональности, позволяющей численно исследовать подобные системы в нем должны быть реализованы возможности визуализации динамики в таких системах, облегчающие осмысление и интерпретацию получаемых результатов.

Методы исследования

Для исследования рассматриваемых в диссертации задач использовался спектр аналитических и компьютерных методов теории динамических систем, а так же теории бифуркаций. При решении дифференциальных уравнений, описывающих динамику неголономных систем применялся метод численного интегрирования Рунге-Кутта четвертого порядка. Программирование комплекса осуществлялось на языке С++ в среде MS Visual Studio 2008. Для создания пользовательских интерфесов использовалась кроссплатформенная библиотека Qt v.3.3.7. Для работы с трехмерной графикой и визуализации движения использовались библиотеки OpenGL и OpenCV. Многие алгебраические преобразования, в том числе вывод уравнений, описывающих динамику, построение бифуркационных диаграмм, анализ устойчивости состояний равновесия в системах выполнялись с помощью пакета программ Maple v. 14.

Научная новизна и основные результаты.

Разработанный программный комплекс "Компьютерная динамика" представляет широкий спектр различных инструментов для исследования неголономных динамических систем и не имеет аналогов. Результаты, полученные, с помощью этого комплекса, являются уникальными и нигде ранее не фигурировали.

В ходе работы над диссертацией в рамках программного комплекса разработан следующий набор инструментов:

• построение двухмерного отображения Пуанкаре для заданных линий

• построение трехмерного отображения Пуанкаре для заданных линий

• вычисления спектра ляпуновских показателей для потока

• построения карт динамических режимов

• универсальный трехмерный визуализатор

Кроме того, в ходе разработки и апробации комплекса был получен ряд новых научных результатов:

1) Опровергнута гипотеза об интегрируемости неголономной системы, описывающей качение трехосного эллипсоида по плоскости без проскальзывания и верчения при параметрах (2.12), обеспечивающих существования инвариантной меры в общем случае.

2) Доказана интегрируемость системы (по теореме Эйлера-Якоби), описывающей качение трехосного эллипсоида по плоскости без проскальзывания и верчения при параметрах (2.15), обеспечивающих существования инвариантной меры в частном случае. Найден новый интеграл (2.16).

3) Опровергнута гипотеза об интегрируемости неголономной системы, описывающей качение трехосного эллипсоида по сфере без проскальзывания и верчения при параметрах (2.17), обеспечивающих существование инвариантной меры.

4) Выдвинута гипотеза о том, что система, описывающая качение шара по сфере без проскальзывания и верчения в случае равенства их радиусов, является неинтегрируемой, хоть и конформно-гамильтоновой.

5) Показано, что динамика в системе, описывающей качения неуравновешенного шара по плоскости без проскальзывания и верчения существенным образом зависит от типа обратимости и количества инволюций.

6) В системе, описывающей качения неуравновешенного шара по плоскости без проскальзывания и верчения, обнаружены квази аттракторы со слабой диссипацией. Подробно описан сценарий возникновения одного из таких аттракторов, исследованы его характеристики и свойства.

7) Помимо странных аттракторов в последней системе обнаружен другой интересный малоизученный тип динамического хаоса — смешанная динамика.

8) В неголономной модели кельтского камня обнаружены и исследованы несколько типов странных аттракторов, в том числе спиральный аттрактор Шильникова, аттрактор лоренцевского типа и аттрактор Фейгенбаума.

9) Проведена визуализация движения кельтского камня на основе неголономной модели для различных динамических режимов. Продемонстрирован эффект реверса и многократного реверса. Продемонстрировано поведение камня и его точки контакта при движение по предельным циклам, а также на некоторых странных аттракторах.

10) Исследована топологическая монодромия в неголономной интегрируемой системе, описывающей качения эллипсоида вращения по шероховатой плоскости. Доказано, что эта система по своим топологическим свойствам вполне аналогична гамильтоновой системе, описывающей динамику такого же эллипсоида по абсолютно гладкой плоскости. Другими словами, никаких топологических препятствий к гамильтонизации рассматриваемой системы монодромия не дает.

Результаты выносимые на защиту.

1) Дополнительная функциональность, реализованная в рамках программного комплекса "Компьютерная динамика", позволяющая более глубоко и комплексно исследовать неголономные динамические системы.

2) Гипотеза о неинтегрируемости неголономной системы, описывающей качение трехосного эллипсоида по плоскости без проскальзывания и верчения при параметрах, обеспечивающих существование инвариантной меры в общем случае.

3) Новый интеграл в системе, описывающей качение трехосного эллипсоида по плоскости без проскальзывания и верчения при параметрах, обеспечивающих существование инвариантной меры в частном случае.

4) Гипотеза о неинтегрируемости неголономной системы, описывающей качение трехосного эллипсоида по сфере без проскальзывания и верчения при параметрах, обеспечивающих существование инвариантной меры.

5) Система, описывающая качение шара по сфере без проскальзывания и верчения в случае равенства их радиусов является неинтегрируемой.

6) Динамики в системе, описывающей качения неуравновешенного, динамически несимметричного шара по плоскости без проскальзывания и верчения существенным образом зависит от типа обратимости и количества инволюций.

7) Странные аттракторы в системе, описывающей качения неуравновешенного, динамически несимметричного шара по плоскости без проскальзывания и верчения.

8) Смешанная динамика в системе, описывающей качения неуравновешенного, динамически несимметричного шара по плоскости без проскальзывания и верчения.

9) Новые странные аттракторы в неголономной модели кельтского камня.

10) Визуализация движения кельтского камня на основе неголономной модели для различных динамических режимов (в том числе на странных аттракторах).

11) Исследована топологическая монодромия в неголономной интегрируемой системе, описывающей качения эллипсоида вращения по шероховатой плоскости.

Обоснованность и достоверность результатов

Полученные в диссертации результаты основываются на строго доказанных теоремах и утверждениях, имеют ясную физическую трактовку и не противоречат известным результатам, обобщают результаты, полученные ранее другими авторами. Достоверность результатов, полученных при работе с разработанным комплексом программ, подтверждается согласованностью с аналитическими результатами в рассматриваемых задачах. Разработанный программный комплекс был опробован на многих задачах неголономной механики, среди которых отдельно можно выделить задачу о движении кельтского камня. Полученные для этой задачи результаты проверялись в работе [8]. Кроме того, при численных исследованиях всех задач проверялось выполнение законов сохранения энергии, а также других интегралов движения. Теоретическая и практическая ценность

Разработанный программный комплекс является универсальным исследовательским средством для изучения неголономных динамических систем. Применение данного комплекса в научно-исследовательских коллективах позволит существенно упростить и ускорить анализ исследуемых динамических систем. Комплекс может быть использован в различных конструкторских бюро для проектирования и исследования различных неголономных систем.

Еще одним из направлений применения созданного программного комплекса является использование его в учебном процессе ВУЗов для организации практических занятий в курсах неголономной механики. Для этого автором диссертации было написано и опубликовано учебно-методическое пособие "Неголономные динамические систем" [12].

Полученные в ходе апробации комплекса научные результаты носят как теоретический, так и практический характер и могут быть использованы в дальнейших исследованиях.

Апробация результатов.

Основные результаты работы обсуждались на семинарах Института компьютерных исследований УдГУ, Научного исследовательского института прикладной математики и кибернетики ННГУ, на кафедре численного и функционального анализа ННГУ, а так же в Саратовском филиале Института радиотехники и электроники им. В. А. Котельникова РАН. Кроме того результаты исследований, изложенные в диссертации докладывались на российских и международных конференциях:

• Всероссийская конференция "Нелинейный анализ, управление и робототехника", 20-25 декабря 2011, Ижевск, РФ

• IUTAM Symposium "From Mechanical to Biological Systems - an Integrated Approach", 05-10 июня 2012, Ижевск, РФ

• IX Всероссийская научная конференция им. Ю.И.Неймарка "Нелинейные колебания механических систем", 24-29 сентября 2012, Нижний Новгород, РФ

• Fourth International Conference "Geometry, Dynamics, Integrable Systems" -GDIS 2013, 10-14 июня 2013, Ижевск, РФ

• International conference "Dynamics, Bifurcations, and Strange Attractors" dedicated to the memory of Professor Leonid Pavlovich Shilnikov, 01-05 июля 2013, Нижний Новгород, РФ

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1) А.С. Гонченко, С.В. Гонченко, А.О. Казаков. О некоторых новых аспектах хаотической динамики «кельтского камня» // Нелинейная динамика, 2012, т.8, №3, с.507-518

2) А.В. Болсинов, А.А. Килин, А.О. Казаков. Топологическая монодромия в неголономных системах // Нелинейная динамика, 2013, т.9, №2, с.203-227

3) И.А. Бизяев, А.О. Казаков. Интегрируемость и стохастичность некоторых задач неголономной механики // Нелинейная динамика, 2013, т.9, №2, с.257-265

4) А.О. Казаков. Феномены хаотической динамики в задаче о качении рок-н-роллера без верчения // Нелинейная динамика, 2013, т.9, №2, с.309-325

5) А.С. Гонченко, А.О. Казаков Секреты динамики кельтского камня // Научное обозрение, 2013, т.12, №2, с.14-17.

6) А.С. Гонченко, С.В. Гонченко, А.О. Казаков. Richness of Chaotic Dynamics in the Nonholonomic Model of Celtic Stone // Regular and Chaotic Dynamics, 2013, vol.18, no.5, pp.521-538.

7) А.О. Казаков. Strange Attractors and Mixed Dynamics in the Unbalanced Rubber Ball on a Plane Problem // Regular and Chaotic Dynamics, 2013, vol.18, no.5, pp.508-520.

8) А. Казаков, H. Кулагин, Jl. Лерман. Dynamical Features in a Slow-fast Piecewise Linear Hamiltonian System // Math. Model. Nat. Phenom., 2013, vol.8, no.5, pp.32-49.

9) А.В.Борисов, А.О.Казаков, С.П.Кузнецов. Нелинейная динамика кельтского камня: неголономная модель // Успехи физических наук (принято в печать 08.10.2013).

Объем и структура работы.

Диссертация изложена на 144 страницах и состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы (77 наименований).

Краткое содержание диссертации. В первой главе описан интерфейс, возможности и функциональность разрабатываемого комплекса. Подробно описаны инструменты, используемые для исследования неголономных систем, причем инструменты, реализованные в рамках диссертации выделены и описаны более подробно.

Вторая глава посвящена исследованию малоизученного типа движения — качению без проскальзывания и верчения, описываемого неголономными системами. В первой ее части исследуются вопросы интегрируемости качения эллипсоида и шара по плоскости и сфере в отсутствии поля тяжести. Во второй части рассматривается качение неуравновешенного шара по плоскости без проскальзывания и верчения под действием поля тяжести. Показано, что динамика такой неголономной системы существенным образом зависит от типа обратимости. При некоторых значениях параметров в системе могут существовать странные аттракторы, а также другой тип динамического хаоса — смешанная динамика.

В третьей главе рассматривается неголономная модель кельтского камня на плоскости. С помощью универсального трехмерного визуализатора демонстрируются такие феномены, свойственные настоящим кельтским камням, как реверс и многократный реверс. В неголономной модели кельтского камня обнаружено несколько типов странных аттракторов. В данной главе приводится карта динамических режимов с указанием на ней положения обнаруженных аттракторов. Приводятся их свойства, а также демонстрируется движения камня на описанных аттракторах.

Четвертая глава посвящена вопросам топологической монодромии в неголономной системе, описывающей качение эллипсоида вращения по шероховатой плоскости. Доказано, что эта система по своим топологическим свойствам вполне аналогична гамильтоновой системе, описывающей динамику такого же эллипсоида по абсолютно гладкой плоскости. Другими словами, никаких топологических препятствий к гамильтонизации рассматриваемой системы мо-нодромия не дает.

Глава 1 Программный комплекс

Приведем сначала краткое описание интерфейса программного комплекса. Затем опишем возможности и функциональность комплекса. Функциональность, реализованная в рамках диссертационной работы, будет описана более подробно в конце главы.

1.1. Описание интерфейса программного комплекса

При запуске программы перед пользователем появляется три основных окна. Первое - управляющее окно, в котором происходит выбор задачи, метода интегрирования и инструмента. На первой закладке управляющего окна (см. рис. 1 - первое окно) происходит выбор метода интегрирования и задание параметров метода (шаг интегрирования и пр.). На второй закладке (см. рис. 1 - второе окно) производится выбор задачи и задание параметров задачи. На третьей закладке производится выбор инструмента или фильтра, задание его параметров и запуск (см. рис. 1 - третье окно). Набор инструментов специфичен для каждой задачи и определятся при написании модуля задачи. Все инструменты для конкретной задачи организованы в виде древовидного списка для естественного отображения функциональной зависимости инструментов.

1.1.1. Менеджер запущенных инструментов

Второе окно — менеджер запущенных инструментов. В верхней части менеджера отображается список созданных экземпляров инструментов выбранной задачи (см. рис. 2). Список формируется в виде древовидной структуры

I Chaos: Computer Dy_ I

¡ЖДД

File Setting» Plugins Windows Help

Д Ch»r* fVwwpirtPf Пу. I g I в 1—ГfcJ

File Settings Plugins Windows Help Methods Problems

Nonholonomic Dynamics

Ellipsoid on a plane Paraboloid on a plane Rolling ball an an ellipsoid

Energy

E

1

Inittal on 0 Hill о Лиг 0 Am 0 ÂU2 0

Д r*»™- Пу 1 C3 1В 1—rW

Re Settings Plugins Windo** Help

Metnods Problems Tools

e Tools

3 Fixed point finding

Fixed point continuation Separatrix Bifurcating tree Surface Mapi<)-x fMultyThread) Region of allowable motion (RAM) B Filters

_ T> "is:__

Рис. 1. Вкладки управляющего окна.

аналогично списку инструментов задачи. В отличие от списка самих инструментов, экземпляров одного и того же инструмента может быть произвольное количество (например несколько экземпляров фазовых траекторий с разными начальными условиями). При выделении какого-либо экземпляра инструмента в средней части окна менеджера выводится его техническая информация включая параметры задачи и параметры инструмента. Каждый экземпляр инструмента запускается отдельным потоком, таким образом можно запустить сразу несколько инструментов для параллельного вычисления. Запущенные в текущий момент экземпляры при этом отображаются красным цветом. Также менеджер предоставляет пользователю возможность останавливать (кнопки Stop/Stop All), запускать (Start), перезапускать (Restart), удалять (Delete/Delete All) выделенный экземпляр инструмента или группу инструментов и выбирать цвет вывода в графическое окно. Кнопка Edit properties позволяет в момент, когда инструмент остановлен, поменять параметры метода, задачи или инструмента и продолжить работу инструмента с новыми параметрами с точки остановки. Кнопка Set range используется для задания выборки точек, кото-

рую следует отображать в окне инструмента. Кнопка Find parent позволяет у выделенного инструмента найти родительский.

' I] Manager 1 " I ® IjP^J

0 Rolling ball on an ellipsoid »

E Region of allowable motion (RAM) 0

0 Fixed point finding

Elliptic _

Elliptic El Poincare map

23

22 21 20 19 18 17 16 15

AA-

Initial pomt (2.5065899, -087936508)

Number of points 123

Task parameters

Energy 1

Sep of root finding 0.01

Accuracy of root finding 1e-l0

Integral 0 002

0

Ball radius 1

. ____ j _1

: * I » I

ШШШШШШШШШШШШШШ®

Start Restart

I l| I

[ Delete |( DdeteAl |

Rnd parent [ Update «tatuu |

Edit properties [ Set range_j

.--

Рис. 2. Менеджер запущенных инструментов.

Третье окно — окно отображения Пуанкаре текущей задачи (см. рис. 3). При запуске программы текущей задачей является последняя открытая задача в предыдущем сеансе работы. В этом окне происходит вывод отображения Пуанкаре и графической информации других инструментов. При выделении конкретного экземпляра инструмента в окне менеджера вся графическая информация связанная с этим экземпляром подсвечивается красным цветом. Также, в данном окне с помощью мыши естественным образом производится запуск инструментов построения отображения и поиска неподвижных точек.

Рис. 3. Отображение Пуанкаре.

1.2. Методы интегрирования

Программный комплекс "Компьютерная динамика" используется для численного исследования систем первого порядка:

у'(х) = !'(у,х), у£Кп,хеК.

Как известно любое такое исследование базируется на построении решения с помощью методов численного интегрирования. В программном комплексе реализованы только одношаговые методы интегрирования, позволяющие вычислить следующее значение фазового вектора уп+\ у(хп+\) по его предыдущему значению уп := у(хп). Пользователю комплекса доступно три метода численного интегрирования систем первого порядка:

• Метод Рунге-Кутта

• Метод Мерсона

• Метод Эверхарта

1.2.1. Метод Рунге-Кутга

Одношатовый метод интегрирования четвертого порядка с постоянным шагом. Один из наиболее часто применяемых методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.

Параметры метода

• Step (double) - Данный параметр задает постоянный шаг интегрирования метода.

1.2.2. Метод Мерсона

Одношаговый метод интегрирования четвертого порядка с изменяющимся шагом. Шаг интегрирования автоматически изменяется в зависимости от текущей величины локальной ошибки усечения. Локальная ошибка усечения обусловлена отбрасыванием слагаемых высокого порядка (в данном случае выше четвертой степени) при разложении дифференциальных уравнений в окрестности текущей точки. Для исключения зацикливания, промежуток изменения шага интегрирования задается параметрами метода.

Параметры метода

• Step (double) - Данный параметр определяет начальный шаг интегрирования. От его величины зависит только несколько первых шагов интегрирования. При дальнейшем интегрировании величина шага изменяется в зависимости от текущего состояния системы и не зависит от начального значения. Величина параметра должна лежать в промежутке от Min.step до Max.step.

• Precision (double) - Данный параметр определяет требуемую величину локальной ошибки усечения. Если на текущем шаге локальная ошибка усечения больше заданной величины, то шаг интегрирования уменьшается, иначе — увеличивается. Заметим, что данный параметр играет управляю-

щую роль, и на произвольном шаге локальная ошибка усечения не обязательно будет меньше его значения.

• Min. step (double) - Минимальное значение шага интегрирования.

• Max. step (double) - Максимальное значение шага интегрирования.

1.2.3. Метод Эверхарта

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Казаков, Алексей Олегович

Заключение

Опишем кратко результаты полученные в диссертации.

1) Реализована дополнительная функциональность в рамках программного комплекса "Компьютерная динамика", позволяющая более глубоко и комплексно исследовать неголономные динамические системы. А именно, добавлены следующие инструменты:

• построение двухмерного отображения Пуанкаре для заданных линий

• построение трехмерного отображения Пуанкаре для заданных линий

• вычисления спектра ляпуновских показателей для потока

• построения карт динамических режимов

• универсальный трехмерный визуализатор

2) Опровергнута гипотеза об интегрируемости неголономной системы, описывающей качение трехосного эллипсоида по плоскости без проскальзывания и верчения при параметрах (2.12), обеспечивающих существования инвариантной меры в общем случае.

3) Доказана интегрируемость системы (по теореме Эйлера-Якоби), описывающей качение трехосного эллипсоида по плоскости без проскальзывания и верчения при параметрах (2.15), обеспечивающих существования инвариантной меры в частном случае. Найден новый интеграл (2.16).

4) Опровергнута гипотеза об интегрируемости неголономной системы, описывающей качение трехосного эллипсоида по сфере без проскальзывания и верчения при параметрах (2.17), обеспечивающих существование инвариантной меры.

5) Выдвинута гипотеза о том, что система, описывающая качение шара по сфере без проскальзывания и верчения в случае равенства их радиусов, является неинтегрируемой, хоть и конформно-гамильтоновой.

6) Показано, что динамика в системе, описывающей качения неуравновешенного шара по плоскости без проскальзывания и верчения существенным образом зависит от типа обратимости и количества инволюций.

7) В системе, описывающей качения неуравновешенного шара по плоскости без проскальзывания и верчения, обнаружены квази аттракторы со слабой диссипацией. Подробно описан сценарий возникновения одного из таких аттракторов, исследованы его характеристики и свойства.

8) Помимо странных аттракторов в последней системе обнаружен другой интересный малоизученный тип динамического хаоса — смешанная динамика.

9) В неголономной модели кельтского камня обнаружены и исследованы несколько типов странных аттракторов, в том числе спиральный аттрактор Шильникова, аттрактор лоренцевского типа и аттрактор Фейгенбаума.

10) Проведена визуализация движения кельтского камня на основе неголономной модели для различных динамических режимов. Продемонстрирован эффект реверса и многократного реверса. Продемонстрировано поведение камня и его точки контакта при движение по предельным циклам, а также на некоторых странных аттракторах.

11) Исследована топологическая монодромия в неголономной интегрируемой системе, описывающей качения эллипсоида вращения по шероховатой плоскости. Доказано, что эта система по своим топологическим свойствам вполне аналогична гамильтоновой системе, описывающей динамику такого же эллипсоида по абсолютно гладкой плоскости. Другими словами, никаких топологических препятствий к гамильтонизации рассматриваемой системы монодромия не дает.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Казаков, Алексей Олегович, 2014 год

Литература

[1] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля.// М.: Наука, 1973. - Т. 2.

[2] Арнольд, В.И. Математические методы классической механики // М.: Наука, 1989.

[3] Неголономные динамические системы: Интегрируемость, хаос, странные аттракторы: Сб. ст. / А. В. Борисов, И. С. Мамаев. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 328 с.

[4] Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Динамика неголономных систем // М.: Наука, 1967.

[5] Borisov, А. V. and Mamaev, I. S., Rolling of a Rigid Body on a Plane and Sphere: Hierarchy of Dynamics // Regul. Chaotic Dyn., 2002, vol. 7, no. 2, pp. 177-200.

[6] Борисов А. В., Мамаев И. С. Странные аттракторы в динамике кельтских камней // УФН, 2003, т. 173, №4, с.407^18.

[7] Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С. Новые эффекты в динамике кельтских камней // Докл. РАН, 2006, т. 408, №2, с. 192-195.

[8] Кузнецов С. П., Жалнин А. Ю., Сатаев И. Р., Седова Ю.В. Феномены нелинейной динамики диссипативных систем в неголономной механике «кельтского камня» // Нелинейная динамика, 2012, т. 8, №4, с. 735-762.

[9] Гонченко А.С., Гонченко С.В., Казаков А.О. О некотрых новых аспектах хаотической динамики "кельтского камня" // Нелинейная динамика, 2012, т. 8, №3, с. 507-518.

[10] Gonchenko, A. S., Gonchenko, S. V., and Kazakov, А. О., Richness of Chaotic Dynamics in the Nonholonomic Model of Celtic Stone // Regul. Chaotic Dyn., 2013, vol. 18, no. 5, pp. 521-538.

[11] Гонченко А.С., Гонченко C.B. О существовании аттракторов лоренцевсе-ого типа в неголономной моделе "кельтского камня" // Нелинейная динамика, 2012, т. 9, № 1, с. 77-89.

[12] ЬСилин А. А., Казаков А. О. Неголономные динамические системы. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2012. с.25.

[13] Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.-M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems: A method for computing all of them: P. 1,2 // Meccanica, 1980, vol. 15, pp. 930.

[14] Кузнецов С.П. Динамический хаос// M.: Физматлит, 2006.

[15] Ehlers К., Koiller J. Rubber rolling: Geometry and dynamics of 2-35 distributions // Proc. IUTAM Symp. on Hamiltonian Dynamics, Vortex Structures, Turbulence (Moscow, 25-30 August, 2006), pp. 469^80.

[16] Koiller J., Ehlers К. M. Rubber rolling over a sphere // Regul. Chaotic Dyn., 2007, vol. 12, no. 2, pp. 127-152.

[17] Hadamard J. Sur les mouvements de roulement // Mémoires de la Société des sciences physiques et naturelles de Bordeaux, 4 sér., 1895, vol. 5, pp. 397-417.

[18] Борисов A. В., Мамаев И. С., Бизяев И. А. Иерархия динамики при качении твердого тела без проскальзывания и верчения по плоскости и сфере // Нелинейная динамика, 2013, т. 9, №2, с. 141-202.

[19] Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твердого тела // Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. 576 с.

[20] Borisov, А. V., Mamaev, I. S., and Kilin, A. A., The Rolling Motion of a Bail on a Surface: New Integrals and Hierarchy of Dynamics // Regul. Chaotic Dyn., 2002, vol. 7, no. 2, pp. 201-219.

[21] Ярощук В. A. Новые случаи существования интегрального инварианта в задаче о качении твердого тела без проскальзывания по неподвижной поверхности // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ., 1992, №6, с. 26-30.

[22] Ярощук В. А. Интегральный инвариант в задаче о качении эллипсоида со специальными распределениями масс по неподвижной поверхности без проскальзывания // МТТ, 1995, №2, с. 54-57.

[23] Болсинов А. В., Борисов А. В., Мамаев И. С. Качение без верчения шара по плоскости: отсутствие инвариантной меры в системе с полным набором интегралов // Нелинейная динамика, 2012, т. 8, №3, с. 605-616.

[24] Борисов А. В., Мамаев И. С. Законы сохранения, иерархия динамики и явное интегрирование неголономных систем // Нелинейная динамика, 2008, т. 4, №3, с. 223-280.

[25] Chavoya-Aceves О., Pina Е. Symmetry lines of the dynamics of a heavy rigid body with a fixed point // II Nuovo Cimento B, 1989, vol. 103, no. 4, pp. 369387.

[26] Devaney R. L. Reversible diffeomorphisms and flows // Trans. Amer. Math. Soc., 1976, vol.218, pp. 89-113.

[27] Gonchenko, S. V., Lamb, J. S. W., Rios, S., Turaev, D., Attractors and repellers near generic reversible elliptic points // arXiv:1212.1931vl [math. DS], 9 Dec 2012, pp. 1-11.

[28] Gonchenko S.V., Simo C., Vieiro A. Richness of dynamics and global bifurcations in systems with a homoclinic figure-eight // Nonlinearity, 2013, vol.26, no.3, pp.621-678.

[29] Лукьянов В. И., Шильников Л. П. О некоторых бифуркациях динамических систем с гомоклиническими структурами // Докл. АН СССР, 1978, т. 243, № 1, с. 26-29.

[30] Афраймович В. С., Шильников Л. П. О некоторых глобальных бифуркациях, связанных с исчезновением неподвижной точки типа седло-узел // Докл. АН СССР, 1974, т. 219, №6, с. 1281-1285.

[31] Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем // УФН, 1983, т. 141, с. 343-374.

[32] Борисов А. В., Симаков Н. Н. Бифуркации удвоения периода в динамике твердого тела // Регулярная и хаотическая динамика, 1997, т. 2, № 1, с. 6475.

[33] Lamb, J. S. W. and Stenkin, О. V., Newhouse Regions for Reversible Systems with Infinitely Many Stable, Unstable and Elliptic Periodic Orbits // Nonlinearity, 2004, vol. 17, no. 4, pp. 1217-1244.

[34] Delshams, A., Gonchenko, S. V., Gonchenko, A. S., Lázaro, J. Т., and Sten'kin, O., Abundance of Attracting, Repelling and Elliptic Periodic Orbits in Two-Dimensional Reversible Maps // Nonlinearity, 2013, vol.26, no.l, pp.1-33.

[35] Pikovsky A., Topaj D. Reversibility vs. synchronization in oscillator latties // Phys. D, 2002, vol. 170, pp. 118-130.

[36] Астапов И.С. Об устойчивости вращения кельтского камня // Вестн. МГУ, сер.1, мат., механ. 1980, №2, с.97-100.

[37] Карапетян А.В. О реализации неголономных связей силами вязкого трения и устойчивость кельтских камней // Прикл ма. и механ., 1981, т.45, вып. 1, с.42-51.

[38] Карапетян А.В. Бифуркации Хопфа в задаче о движении тяжелого твердого тела по шероховатой плоскости // Изв. АН СССР, механ. тв. тела, 1985, №2, с. 19-24.

[39] Маркеев А.П. О динамике твердого тела на абсолютно шероховатой плоскости // Прикл ма. и механ., 1983, т.47, вып.4, с.575-582.

[40] Маркеев А.П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью // Москва-Ижевск, изд-во РХД, 2011, 463с.

[41] Гонченко А.С. Об аттракторах лоренцевского типа в модели кельтского камня // Вестник удмуртского университета, 2013, вып. 2, с. 3-11.

[42] Вул Е.Б., Синай Я.Г., Ханин К.М. Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм // Успехи математических наук, 1984. т.39., №. 3, с.3-37.

[43] Reick С. Universal corrections to parameter scaling in period-doubling systems: multiple scaling and crossover // Phys. Rev. A, 1992, vol. 45, pp. 777-792.

[44] Lorentz E.N. Deterministic nonperiodic flow // J. Atmos. Sci. 1963. - Vol. 20. -No. 130.-p. 130.

[45] Sparrow C. The Lorenz equations: bifurcations, chaos, and strange attractors.// New York: Springer-Verlag, 1982. - Vol.41.

[46] Афраймович B.C., Быков B.B., Шильников Л.П. О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца// Труды Московского математического общества. - 1982. - Т. 44. - №. 0. - С. 150-212.

[47] Tucker W. A rigorous ODE solver and Smale's 14th problem // Foundations of Computational Mathematics. - 2002. - Vol. 2. - No. 1. - p. 53-117.

[48] Гонченко А. С., Гонченко С. В., Шильников Л. П. К вопросу о сценариях возникновения хаоса у трехмерных отображений// Нелинейная динамика, 2012, т. 8, №1, с. 3-28.

[49] Kane Т. R., Levinson D. A. A realistic solution of the symmetric top problem// American Society of Mechanical Engineers. - 1978. - Vol. 1., pp. 903-909

[50] Болсинов А. В., Борисов А. В., Мамаев И. С. Гамильтонизация неголоном-ных систем в окрестности инвариантных многообразий // Нелинейная динамика, 2010, т. 6, №4, с. 829-854.

[51] Болсинов А. В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы: Геометрия, топология, классификация: В 2-х тт. Ижевск: УдГУ, 1999. 444 с.; 448 с.

[52] Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С. К одной неголономной динамической проблеме // Матем. заметки, 2006, т. 79, №5, с. 790-796.

[53] Зобова А. А., Карапетян А. В. Построение бифуркационных диаграмм Пуанкаре-Четаева и Смейла для консервативных неголономных систем с симметрией // ПММ, 2005, т. 69, №2, с. 202-214.

[54] Ивочкин М. Ю. Топологический анализ движения эллипсоида по гладкой плоскости // Матем. сб., 2008, т. 199, №6, с. 85-104.

[55] Лерман Л. М., Уманский Я. Л. Классификация четырехмерных интегрируемых гамильтоновых систем и пуассоновских действий R2 в расширенных окрестностях простых особых точек: 1 // Матем. сб., 1992, т. 183, №12, с. 141-176.

[56] Матвеев В. С. Интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенями свободы. Топологическое строение насыщенных окрестностей точек типа фокус-фокус и седло-седло // Матем. сб., 1996, т. 187, №4, с.29-58.

[57] Чаплыгин С. А. К теории движения неголономных систем. Теорема о приводящем множителе // Матем. сб., 1912, т. 28, №2, с. 303-314.

[58] Balseiro Р., García-Naranjo L. Gauge transformations, twisted Poisson brackets and Hamiltonization of nonholonomic systems // Arch. Ration. Mech. Anal., 2012, vol. 205, no. 1, pp. 267-310.

[59] Bizyaev I. A., Tsiganov A. V. On the Routh sphere problem // J. Phys. A, 2013, vol. 46, no. 8, pp. 1-11.

[60] Bolsinov A. V., Dullin H., Wittek A. Topology of energy surfaces and existence of transversal Poincaré sections // J. Phys. A, 1996, vol.29, no. 16, pp. 4977-4985.

[61] Bolsinov A. V., Borisov A. V., Mamaev I. S. Hamiltonization of nonholonomic systems in the neighborhood of invariant manifolds // Regul. Chaotic Dyn., 2011, vol. 16, no. 5, pp. 443-464.

[62] Bolsinov A. V., Oshemkov A. A. Singularities of integrable Hamiltonian systems // Topological methods in the theory of integrable systems / A. V. Bolsinov, A. T. Fomenko, A. A. Oshemkov (eds.). Cambridge: Camb. Sci. Publ., 2006, pp. 1-67.

[63] Borisov A. V., Jalnine A.Yu., Kuznetsov S.P., Sataev I.R., Sedova J.V. Dynamical phenomena occurring due to phase volume compression in nonholonomic model of the rattleback // Regul. Chaotic Dyn., 2012, vol. 17, no. 6, pp. 512-532.

[64] Borisov A. V., Kilin A. A., Mamaev I. S. Hamiltonicity and integrability of the Suslov problem // Regul. Chaotic Dyn., 2011, vol. 16, nos. 1-2, pp. 104-116.

[65] Borisov A. V., Kilin A. A., Mamaev I. S. Generalized Chaplygin's transformation and explicit integration of a system with a spherical support // Regul. Chaotic Dyn., 2012, vol. 17, no. 2, pp. 170-190.

[66] Borisov A. V., Mamaev I. S. Conservation laws, hierarchy of dynamics and explicit integration of nonholonomic systems // Regul. Chaotic Dyn., 2008, vol. 13, no. 5, pp. 443-490.

[67] Borisov A. V., Mamaev I. S., Kilin A. A. Dynamics of rolling disk // Regul. Chaotic Dyn., 2003, vol. 8, no. 2, pp. 201-212.

[68] Cushman R. Routh's sphere // Rep. Math. Phys., 1998, vol.42, nos. 1-2, pp. 47-70.

[69] Cushman R., Duistermaat J. J. Non-Hamiltonian monodromy // J. Differential Equations, 2001, vol. 172, no. 1, pp. 42-58.

[70] Delosa J.B., Dhontb G., Sadovskii D.A., Zhilinskii B.I. Dynamical manifestations of Hamiltonian monodromy // Ann. Physics, 2009, vol. 324, no. 9, pp. 1953-1982.

[71] Duistermaat J.J. On global action-angle coordinates // Comm. Pure Appl. Math., 1980, vol. 33, no. 6, pp. 687-706.

[72] Fernandez O., Mestdag T., Bloch A. A generalization of Chaplygin's reducibility theorem // Regul. Chaotic Dyn., 2009, vol. 14, no. 6, pp. 635-655.

[73] Kozlov V.V. On invariant manifolds of nonholonomic systems // Regul. Chaotic Dyn., 2012, vol. 17, no.2, pp. 131-141.

[74] Nguyen T. Z. A note on focus-focus singularities // Differential Geom. Appl., 1997, vol. 7, no. 2, pp. 123-130.

[75] Tsiganov A. V. One invariant measure and different Poisson brackets for two non-holonomic systems // Regul. Chaotic Dyn., 2012, vol. 17, no. 1, pp. 72-96.

[76] Tsiganov A. V. On the Poisson structures for the nonholonomic Chaplygin and Veselova problems // Regul. Chaotic Dyn., 2012, vol. 17, no. 5, pp. 439^150.

[77] Zhilinskii B.I. Hamiltonian monodromy, its manifestations and generalizations // RIMS Workshop «Geometric mechanics» (Kyoto, Dec 2009). (RIMS Kokyuroku, vol. 1692.) Kyoto: Kyoto Univ., 2010. P. 57-77.

по шероховатой плоскости безо всяких особенностей пуассоновой структуры. Отметим, что в настоящее время даже для более простой задачи (сферы Рауса) указанная в [59] пуассонова структура имеет особенность.

4.5. Результаты проведенного анализа и выводы

Главным результатом является подтверждение нашей контргипотезы:

Гипотеза 4. Неголономная интегрируемая система, описывающая качение эллипсоида вращения по шероховатой плоскости, по своим топологическим свойствам вполне аналогична гамилътоновой системе, описывающей динамику такого же эллипсоида по «абсолютно гладкой» плоскости. Другими словами, никаких топологических препятствий к гамилътонизации рассматриваемой системы монодромия не дает.

Это заключение, впрочем, отнюдь не означает, что монодромия бесполезна при решении задач гамильтонизации. Напротив, рассмотренный пример демонстрирует ее исключительную эффективность. В самом деле, при решении задачи гамильтонизации мы обычно хотим построить пуассонову (а не симплектическую!) структуру, относительно которой рассматриваемая система оказывается гамильтоновой. Естественным желанием является, чтобы гамильтонианом системы был известный заранее интеграл энергии. С другими интегралами ситуация не вполне понятна. Их каким-то образом требуется «разделить» на функции Казимира и «настоящие» интегралы. Выбор функций Казимира в этом контексте эквивалентен заданию расслоения пространства М5 на симплектические листы.

Монодромия помогает исключить неправильное «разделение». Именно этот феномен мы можем наблюдать в рассматриваемой задаче. Помимо интеграла энергии она обладает двумя линейными интегралами, которые на первый взгляд никак существенно друг от друга не отличаются. Для гамильтонизации системы один из них естественно «выбрать» в качестве функции Казимира искомой гамильтоновой структуры. Который из двух? Проведенный ана-

лиз показывает, что С2 для этой цели не подходит, поскольку при таком выборе монодромия вокруг особого слоя становится негамильтоновой. Напротив, С\ вполне подходит: слоение на симплектические листы с топологической точки зрения будет «похоже» на стандартное, и никаких проблем с монодромией не будет.4 Кстати, явная гамильтонизация рассмотренной задачи о качении эллипсоида по шероховатой плоскости до сих пор не выполнена (мы имеем в виду поиск пуассоновой структуры ранга 4; структура ранга 2 для этой задачи после некоторой дополнительной редукции указана в [5]). Попытки найти явное конформно-гамильтоново представление для более простой задачи Рауса (динамически симметричного шара со смещенным центром масс) не позволили избежать сингулярности, что является пока не объясненным феноменом.

Отметим также, что способ вычисления монодромии при помощи отображения Пуанкаре оказался очень эффективным, наглядным и устойчивым. Этот метод можно с успехом применять и в других задачах, даже необязательно интегрируемых, поскольку отображение Пуанкаре можно определить для динамических систем гораздо более общей природы.

4Неравноправие интегралов может быть обнаружено и другим способом. Уровни первого из них {Ci = = const} диффеоморфны кокасательному расслоению к сфере T*S2, в то время как для другого интеграла С2 они будут прямыми произведениями S2 х R2 (то есть тривиальными К2-расслоениями над сферой). С симплек-тической точки зрения, впрочем, никакой проблемы нет: оба являются хорошими симплектическими многообразиями.