Хаотическая динамика обратимых и диссипативных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Самылина Евгения Александровна

• Самылина Евгения Александровна
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Самылина Евгения Александровна

2.4 Резонанс 1:3 в отображении Н+(е)

2.5 Резонанс 1:3 в отображении Н-(е)

2.6 Численное доказательство существования смешанной динамики в отображении Н- (е)

3 Глава 2. Новые псевдогиперболические аттракторы трёхмерных отображений

3.1 Псевдогиперболичность аттракторов при периодических возмущениях системы

3.2 Псевдогиперболичность аттракторов в неориентируемом отображении Эно

3.2.1 Проверка псевдогиперболичности неориентированного аттрактора Лоренца

3.2.2 Проверка псевдогиперболичности неориентированного восьмерочно-

го аттрактора

3.2.3 Проверка псевдогиперболичности аттрактора Лоренца, содержащего точку периода

4 Глава 3. Новые аспекты хаотической динамики в неголономной модели кельтского камня

4.1 Переменные Андуайе-Депри и отображение Пуанкаре

4.2 Смешанная динамика

4.2.1 Бифуркации в двухпараметрическом семействе неголономной модели

4.2.2 Описание бифуркаций в однопараметрических семействах

4.2.3 Мультистабильность неголономной модели

4.3 Странные аттракторы

4.3.1 Дискретный аттрактор Лоренца

4.3.2 Дискретный аттрактор типа Шильникова

5 Заключение 77 Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Хаотическая динамика обратимых и диссипативных систем»

1 Введение

Актуальность. Обратимые (реверсивные) динамические системы являются математическими моделями многих физических процессов и явлений. Так, например, задачи динамики твердого тела, небесной механики, гидродинамики, квантовой механики и многие другие описываются с помощью обратимых систем. Напомним, что динамическая система называется обратимой, если она инвариантна относительно обращения времени (£ ^ — ¿) и некоторой замены координаты (х ^ О(х)), такой что О о О = 1дь.

Обратимость как некоторый тип симметрии наиболее часто проявляется в гамиль-тоновых динамических системах. Более того, долгое время термины «обратимый» и «га-мильтоновый» считались чуть ли не синонимами, так как на практике подавляющее большинство обратимых динамических систем оказывались гамильтоновыми. Многие элементы теории гамильтоновых систем успешно переносились на случай обратимых систем. Так была построена обратимая теория КАМ (Колмогорова-Арнольда-Мозера), некоторые результаты теории локальных бифуркаций были перенесены на случай обратимых систем и т.д.

Однако динамика обратимых систем может принципиально отличаться от динамики систем гамильтоновых. Это стало понятно после работ Полити, Оппо, Бадии (1986) и Квиспела, Робертса (1989), где в обратимых системах были найдены такие диссипативные элементы динамики, как периодические источники и стоки, а также странные аттракторы и репеллеры. В работе Пиковского, Топажа (2002), на примере обратимых систем, описывающих цепочки связанных ротаторов, было показано, что в обратимых системах хаотические аттрактор и репеллер могут перекрываться, но при этом не совпадать. В дальнейшем, в работе Гонченко, Казакова, Тураева (2017) это явление получило адекватное математическое описание. Вскоре все это привело к созданию (в работах Гонченко и Тураева) концепции смешанной динамики - третьего типа хаоса, характеризующегося неустранимой неотделимостью хаотического аттрактора от хаотического репеллера.

Таким образом, стало очевидно, что обратимые системы могут демонстрировать совершенно другой, отличный от консервативного и диссипативного, тип хаотического поведения. Его исследования являются актуальным как с точки зрения развития теории динамических систем, так и для всевозможных приложений этой теории к решению физических задач. Главы 1 и 3 данной диссертационной работы посвящены исследованию особенностей хаотической динамики обратимых неконсервативных систем. Здесь диссертантом получен целый ряд новых результатов. Описаны бифуркации резонанса 1:3 в обратимом неконсервативном случае. Для обратимых трёхмерных диффеоморфизмов предложен новый сценарий (взрывного) возникновения смешанной динамики. Описаны новые особенности хаотической динамики в неголономной модели кельтского камня. Полученные результаты не только внесли вклад в развитие теории обратимых и неголономных систем, но и позволили продемонстрировать эффективность разработанных диссертантом методов.

Как было отмечено выше, обратимые системы могут демонстрировать такие дисси-пативные элементы динамики, как странные аттракторы. Притом, эти аттракторы могут быть в точности такими же, как в диссипативных системах. Только при этом в обратимой системе каждому аттрактору соответствует такого же типа репеллер - аттрактор

для системы с обратным временем. Таким образом, результаты исследования странных аттракторов диссипативных систем могут применяться к системам обратимым (подобно тому, как некоторые результаты исследования гамильтоновых систем, также могут применяться к обратимым моделям).

Напомним, что согласно «P or Q» гипотезе, сформулированной в работе Гонченко, Казакова, Тураева (2021), все странные аттракторы можно разделить на два типа: псевдогиперболические аттракторы и квазиаттракторы. Об аттракторах первого типа можно говорить как о «настоящих» хаотических аттракторах, т.к. благодаря свойству псевдогиперболичности (обобщающему понятие гиперболичности) любая их траектория имеет положительный максимальный показатель Ляпунова и это свойство сохраняется при малых возмущениях системы (например, при изменении параметров). Во втором случае, напротив, исследователь никогда не может быть уверен, с чем именно он имеет дело, действительно с хаотическим аттрактором или же с длинным переходным процессом, после которого траектории системы убегают на простой аттрактор (например, предельный цикл). Задача как отличить «настоящий» (псевдогиперболический) аттрактор от квазиаттрактора является одной из основных проблем теории динамических систем.

Решению этой задачи для некоторых классов систем посвящена глава 2 данной диссертационной работы. Здесь с помощью численных методов, разработанных в работе Гон-ченко, Казакова, Тураева (2021), проведено исследование псевдогиперболичности некоторых аттракторов четырёхмерных потоков и трёхмерных отображений. На примере периодически возмущенной системы Шимицу-Мориока продемонстрировано, что псевдогиперболичность аттрактора может сохраняться даже при немалых возмущениях, численно построены оценки величины возмущения, при котором псевдогиперболичность аттрактора сохраняется. В классе меняющих ориентацию трехмерных отображений Эно показано, что ранее обнаруженные неориентируемые аттракторы лоренцевского и восьмерочного типов не являются псевдогиперболическими, тем самым опровергнута гипотеза об их псевдогиперболичности. При этом аттрактор Лоренца, содержащий точку периода 2, также ранее обнаруженный в неориентируемом отображении Эно, напротив, является псевдогиперболическим.

При работе над диссертацией разработаны численные методы, позволяющие выявлять области со странными аттракторами и смешанной динамикой в пространстве параметров системы, осуществлять продолжение бифуркационных кривых в пространстве параметров, а также строить инвариантные многообразия седловых периодических траекторий. Разработанные методы были интегрированы в программный комплекс Chaos.

Степень разработанности. Свойство обратимости играло и до сих пор играет важную роль в различных областях естественных наук. Многие системы дифференциальных уравнений, возникающих при моделировании физических процессов, являются обратимыми во времени. По-видимому, впервые это было замечено в 1877 г. Лошмидтом для частиц, движущихся в независимом от скорости силовом поле. Вскоре Больцманом было замечено, что уравнения Максвелла также являются обратимыми (при дополнительном условии обращения поля). В 1904 г. Пенлеве установил свойство обратимости для свободно падающего тела в ньютоновских уравнениях движения. В работах Пенроуза (1979, 1989) было показано, что уравнения Эйнштейна классической общей теории относительности явля-

ются обратимыми. В 1959 г. Вигнер показал важность симметрии обращения времени в квантовой механике.

В 70х-80х годах свойство обратимости в задачах классической механики использовалось как очень полезный инструмент для исследования симметричных периодических траекторий, а также траекторий гомоклинических и гетероклинических касаний (Дева-ней, Черчилль, Род). Более того, в гамильтоновых системах часто оказывалось, что для доказательства тех или иных утверждений удобнее применять свойство обратимости, чем гамильтоновость (Арнольд, Деваней). В 80х-90х годах многие утверждения, доказанные для гамильтоновых систем, были адаптированы на случай систем обратимых (Севрюк, Чоу, Пэй).

В конце 80х годов, после работ Полити, Оппо, Бадии (1986), Квиспела, Робертса (1989), Цанга, Миройо, Строгаца, Вейзенфильда (1991) стало понятно, что обратимые системы могут принципиально отличаться от систем гамильтоновых. В соответствующих работах было показано, что в обратимых системах могут возникать периодические источники и стоки. При этом указывалось на возможность сосуществования таких диссипатив-ных элементов с областями с консервативной (гамильтоновой) динамикой. Чуть позже, в теоретических работах Гонченко, Дельшамса, Лазаро, Лэмба, Стенькина, Тураева, было указано на принципиальную неотделимость диссипативных элементов динамики от консервативных в обратимых системах общего положения. Численно такое явление обсуждалось в работах Пиковского, Топажа (2002), А. Гонченко, С. Гонченко, Казакова (2013), где было обнаружено пересечение странных аттрактора и репеллера. Все это легло в основу создания в работах Гонченко и Тураева (2016, 2017) теории смешанной динамики, как третьего типа хаоса, для которого хаотический аттрактор пересекается с хаотическим репеллером, но при этом не совпадает с ним. В настоящей диссертационной работе вопросы, связанные с исследованием бифуркационных механизмов возникновения смешанной динамики, а также с проявлением этого явления в неголономной механике, занимают центральное место (главы 1 и 3).

Вторая часть диссертационной работы посвящена исследованию псевдогиперболичности странных аттракторов. Теория псевдогиперболичности, обобщающая классические гиперболическую и сингулярно-гиперболическую теории, была заложена в работе Турае-ва, Шильникова (1998), где также были приведены первые геометрические примеры таких аттракторов. В конкретной динамической системе первый пример псевдогиперболического аттрактора (отличного от гиперболического, а также сингулярно-гиперболического) был обнаружен в работе Гонченко, Овсянникова, Тураева, Шильникова (2005). В этой работе было показано, что в классе трехмерных отображений Эно могут возникать дискретные аттракторы Лоренца. Также была выдвинута гипотеза о псевдогиперболичности обнаруженных аттракторов. Эта гипотеза позже была подтверждена в работе Гонченко, Казакова, Тураева (2021), где также был приведен первый пример дикого спирального аттрактора Тураева-Шильникова, установлена его псевдогиперболичность. В работе Тураева, Шильникова (2008) было показано, что псевдогиперболичность аттрактора сохраняется при малых периодических по времени возмущениях системы. В первой части главы 2 диссертационной работы, на примере периодически возмущенной системы Шимицу-Мориока, диссертантом показано, что псевдогиперболичность также сохраняется и при немалых возмущениях.

Что касается систем из приложений, первый пример модели, демонстрирующей псевдогиперболический аттрактор был приведен в работе А. Гонченко, С. Гонченко, где в неголономной модели кельтского камня был найден дискретный аттрактора Лоренца. Его псевдогиперболичность была установлена совсем недавно в работе А. Гонченко, С. Гонченко, Казакова, Козлова. Дальнейшему исследованию дискретного аттрактора Лоренца в неголономной модели кельтского камня, посвящена вторая часть главы 3 данной диссертационной работы, где диссертантом построены границы области существования этого аттрактора.

В недавних работах А. Гонченко, А. Козлова (2016, 2017, 2021) были предложены примеры (геометрические конструкции) псевдогиперболических аттракторов для трехмерных отображений меняющих ориентацию; неориентируемые лоренцевский и восьмерочный аттракторы, а также аттрактор Лоренца, содержащий точку периода 2 были обнаружены в классе трехмерных отображений Эно с отрицательным Якобианом. Также в этих работах была выдвинута гипотеза о псевдогиперболичности обнаруженных аттракторов. Во второй части главы 2 диссертационной работы гипотеза о псевдогиперболичности неориен-тируемых лоренцевского и восьмерочного аттракторов была опровергнута. В тоже время было показано, что аттрактор Лоренца, содержащий точку периода 2, является псевдогиперболическим.

Цели и задачи исследования. Цель диссертационной работы - изучить некоторые особенности хаотической динамики двумерных и трехмерных обратимых неконсервативных отображений. При этом разработать необходимые подходы и методы. Для достижения поставленных целей рассматривались следующие задачи:

• описание бифуркаций потери симметрии в двумерных кубических отображениях Эно под действием обратимых неконсервативных возмущений;

• разработка новых сценариев возникновения смешанной динамики в двумерных и трехмерных обратимых диффеоморфизмах;

• исследование особенностей хаотической динамики неголономной модели кельтского камня, построение границ областей существования различного типа странных аттракторов, а также смешанной динамики в этой модели;

• определение пороговых значений амплитуды периодических возмущений в модели Шимицу-Мориока, при которых аттрактор Лоренца сохраняет псевдогиперболичность.

Методы исследования. Для достижения заявленных целей и решения поставленных задач диссертантом применялись аналитические, качественные и численные методы теории динамических систем. При исследовании конкретных моделей (неголономная модель кельтского камня, двумерное и трехмерное отображения Эно, возмущенная система Шимицу-Мориока) применялись численные методы прикладной теории бифуркаций, методы диаграмм Ляпунова и карт динамических режимов, а также численные методы продолжения по параметру и построения инвариантных многообразие для седловых

периодических траекторий. Численные методы интегрированы в программный комплекс Chaos.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость полученных результатом обусловлена тем, что в теории динамических систем получены новые результаты. Описаны перестройки бифуркационных диаграмм в окрестности резонанса 1:3, возникающие в результате неконсервативных обратимых возмущений; предложен новый «взрывной» сценарий возникновения смешанной динамики для однопараметрических семейств трехмерных обратимых диффеоморфизмов; приведен первый пример системы с сосуществующими дискретными аттрактором и репеллером Лоренца; показано, что псевдогиперболичность аттракторов может сохраняться даже при немалых периодических возмущениях системы.

В диссертационной работе также рассматривались проблемы, решение которых имеет непосредственную практическую значимость. Глава 1 посвящена исследованию разрушения консервативной динамики в классе обратимых кубических отображений Эно. Эти отображения являются нормальными формами для бифуркаций кубических гомоклини-ческих касаний, являющихся важнейшими кирпичиками в фундаменте динамического хаоса, возникающего повсеместно в сложных системах. Для рассматриваемых моделей описаны особенности резонанса 1:3, выделены области возникновения диссипативной и смешанной динамики, описаны соответствующие бифуркационные переходы. Полученные результаты могут быть применены к широкому классу обратимых систем, подвергающихся слабому воздействию, разрушающему консервативность системы, но сохраняющему их обратимость. Например, в моделях динамики твердого тела, задачах движения вихрей под воздействием акустической волны и др. В главе 2, проведено исследование устойчивости хаотической динамики в системе Шимицу-Мориока к величине внешнего периодического возмущения, оказываемого на систему. Эта модель представляет собой нормальную форму бифуркаций состояния равновесия с тремя нулевыми собственными числами в системах с симметриями. Таким образом, хаотические аттракторы, наблюдаемые в данной системе, также возникают в широком классе динамических систем, в том числе при моделировании реальных процессов, обладающих таким же вырожденным состоянием равновесия и сим-метриями. Например, в системе, описывающей динамику оптического лазера, в задачах о конвекции в слое жидкости и др. С другой стороны хорошо известно, что при математическом моделировании реальных процессов часто возникают внешние силы, которые сложно учесть при моделировании, но которые, при этом, могут оказывать существенное влияние на динамику процесса. В диссертационной работе учитывается влияние таких процессов с помощью периодического воздействия на систему. Были построены оценки величины такого возмущения, которые не разрушают свойство робастности хаотической динамики в системе Шимицу-Мориока. В главе 3, проведено исследование новых аспектов хаотической динамики неголономной модели кельтского камня. Эта модель была выведена еще в начале 1980-х годов. С ее помощью удалось объяснить эффект реверса (спонтанного обращения направления вращения), присущий некоторым твердым телам при вращении на шероховатой поверхности. Несмотря на свою простоту, эта модель позволяет проиллюстрировать многие динамические эффекты, наблюдаемые при движение твердых тел по плоскости, включая эффект реверса, устойчивые хаотические колебания на определенных

уровнях энергии и др. В диссертационной работе для модели кельтского камня получены следующие новые результаты: на плоскости управляющих параметров, задающих угол динамической асимметрии и силу закрутки, описаны границы области существования дикого аттрактора Лоренца, а также открыт новый сценарий мгновенного перехода от диссипа-тивной динамики к смешанной.

Результаты, выносимые на защиту.

1. Бифуркации резонанса 1:3 в обратимом неконсервативном случае.

На примере модифицированных кубических отображений Эно Н± : X = у, у = —х + Ы\ + М2у ± у3 показано, как обратимые неконсервативные возмущения влияют на структуру бифуркационных диаграмм в случае резонанса 1:3, т.е. бифуркаций отображений вблизи неподвижной точки с мультипликаторами е±г2ж/3. Описаны два основных типа бифуркаций разрушения симметрии, в результате которых на резонансном уровне рождаются неконсервативные точки периода 3. Показано, что в случае отображения Н— эти бифуркации приводят к возникновению смешанной динамики.

2. Вырожденные резонансы р : д в консервативных кубических отображениях Эно Н±.

Показано, что при М\ = 0 все резонансы р : д в консервативных кубических отображениях Эно Н± являются вырожденными при нечетных д. В результате их бифуркаций на резонансном уровне могут рождаться четыре орбиты периода д, тогда как в общем случае таких орбит должно быть только две.

3. Странные аттракторы в неголономной модели кельтского камня.

В двухпараметрическом семействе модели кельтского камня построены границы области существования аттрактора Лоренца и симметричного ему репеллера Лоренца. Описаны основные бифуркации, приводящие к их возникновению и разрушению. Также в этой модели обнаружен новый тип аттрактора Шильникова. Описан сценарий его возникновения и разрушения.

4. Смешанная динамика в неголономной модели кельтского камня.

Для трехмерных обратимых отображений предложен новый сценарий возникновения смешанной динамики в результате обратимой бифуркации слияния устойчивого и неустойчивого предельных циклов. Реализация сценария продемонстрирована на примере неголономной модели кельтского камня, для которой построена соответствующая бифуркационная диаграмма, и выделена область существования смешанной динамики.

5. Псевдогиперболический дискретный аттрактор Лоренца в периодически возмущенной системе Шимицу-Мориока.

Согласно работе Тураева-Шильникова псевдогиперболичность аттрактора сохраняется при малых периодических по времени возмущениях системы. На примере периодически возмущенной системы Шимицу-Мориока диссертантом показано, что псев-

догиперболичность также сохраняется и при немалых возмущениях. При этом установлено, что соответствующий дискретный аттрактор является диким, т.е. допускает существование гомоклинических касаний.

6. Проверка псевдогиперболичности аттракторов неориентируемых трехмерных отображений Эно.

Показано, что ранее обнаруженные неориентируемые дискретные аттракторы ло-ренцевского типа не являются псевдогиперболическими, кроме одного типа аттракторов, содержащих точку периода 2 (а также ранее известного гетероклинического аттрактора).

7. Разработка численных методов для исследования обратимых и диссипативных систем.

Разработаны численные методы, интегрированные в программный комплекс Chaos, позволяющие выявлять в пространстве параметров системы области существования странных аттракторов и смешанной динамикой, а также осуществлять продолжение бифуркационных кривых на плоскости параметров.

Новизна и достоверность. Все результаты, изложенные в диссертационной работе, являются новыми. Они хорошо согласуется с имеющимися теоретическими представлениями и положениями. Численные эксперименты подробно описаны, большая их часть воспроизводилась другими исследователями.

Результаты, выносимые на защиту опубликованы в ведущих рецензируемых физико-математических журналах, индексируемых в научных базах Web of Science и Scopus с квартилями Q1 - 2 статьи, Q2 - 1 статья и Q3 - 2 статьи.

Апробация полученных результатов. Основные результаты диссертации докладывались на следующих международных конференциях:

1. Постерный доклад "Неконсервативное обратимое возмущение консервативных обратимых отображений плоскости", международная конференция «Shilnikov WorkShop 2016» 16-17 декабря 2016г. г.Нижний Новгород

2. Доклад "Nonconservative reversible perturbations of reversible maps with unit Jacobian", международная конференция «Dynamics, Bifurcation and Chaos 2017 (DBCIV)» 2-9 июля 2017г. г.Нижний Новгород

3. Постерный доклад "Chaotic dynamics and multistability in the nonholonomic model of Celtic stone", международная конференция «Dynamics, Bifurcations and Chaos 2018» 16-20 июля 2018г. г.Нижний Новгород

4. Постерный доклад "On the domain of existence of Lorenz-like attractors in a nonholonomic model of Celtic stone", международная конференция «Shilnikov WorkShop 2018» 17-18 декабря 2018г. г.Нижний Новгород

5. Постерный доклад "Examples of Discrete Lorenz Attractors in Three-dimensional Maps" Международная конференция «Topological methods in dynamics and related topics» 3-6 января 2019г. г.Нижний Новгород

6. Постерный доклад "On the region of existence of discrete Lorenz attractor in a nonholonomic Celtic stone model", международная конференция «7th Bremen Summer School/Symposium on "Dynamical Systems- pure and applied"» в г.Бремен 5-9 августа 2019г. в университете Бремена

7. Постерный доклад "On discrete Lorenz attractors in a Celtic stone model", II международная конференция «Topological methods in dynamics and related topics. Shilnikov workshop» 9-13 декабря 2019г. г.Нижний Новгород.

8. Доклад "О бифуркациях неориентируемых трёхмерных отображениях, приводящих к хаосу", КРОМШ 2021 пос. Сатера, Алушта.

9. Доклад "On discrete homoclinic attractors of three-dimensional maps", международная конференция "Shilnikov WorkShop 2021" 16-17 декабря, 2021. г. Нижний Новгород

10. Доклад "Chaotic dynamics in the nonholonomic models of celtic stone", international Workshop on Computing Technologies and Applied Mathematics (CTAM 2022), 11-15 июля 2022г. г.Владивосток

11. Постерный доклад "On 1:3 Resonance Under Reversible Perturbations of Conservative Cubic Henon Maps", 27th International Conference on Difference Equations and Applications (ICDEA 2022), July 18 - 22, 2022. CentraleSupelec in Gif-sur-Yvette in Paris region.

Список статей, представленных к защите по теме диссертации (с указанием личного вклада).

[1*] Гонченко М.С., Казаков А.О., Самылина Е.А., Шыхмамедов А.И. On 1:3 Resonance Under Reversible Perturbations of Conservative Cubic Henon Maps//Regular and Chaotic Dynamics 27(6) (2022), С. 198 - 216

https://link.springer.com/article/10.1134/S1560354722020058

(Главный соавтор. Предложен один из двух методов построения обратимых неконсервативных возмущений, проведены соответствующие численные эксперименты.)

[2*] Казаков А.О., Гонченко А.С., Гонченко С.В., Самылина Е.А. Хаотическая динамика и мультистабильность в неголономной модели кельтского камня//Известия высших учебных заведений. Радиофизика 61(10) (2018) C. 867 - 882

https://radiophysics.unn.ru/sites/default/files/papers/2018_10_867.pdf

(Главный соавтор. Предложен сценарий возникновения смешанной динамики, в результате слияния устойчивой и вполне неустойчивой точек, проведены все численные эксперименты, построены однопараметрические и двухпараметрические бифуркационные диаграммы.)

[3*] Гонченко А.С., Самылина Е.А. Об области существования дискретного аттрактора Лоренца в неголономной модели кельтского камня//Известия высших учебных заведений. Радиофизика 62(5) (2019) С. 412 - 428

https://radiophysics.unn.ru/sites/default/files/papers/2019_5_412.pdf

(Главный соавтор. Построены границы области существования аттрактора Лоренца, описаны соответствующие бифуркационные сценарии.)

[4*] Gonchenko A. S., Gonchenko M. S., Kozlov A.D., Samylina E.A. On scenarios of the onset of homoclinic attractors in three-dimensional non-orientable maps//Chaos 31(4) (2021), 043122 (19 p.)

https://doi.org/10.1063/5.0039870

(Найдены дискретные лоренцевские и восьмерочные аттракторы в трехмерном отображении Эно с отрицательным якобианом.)

[5*] Gonchenko S., Gonchenko A., Kazakov A., Samylina E. On discrete Lorenz-like attractors //Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science 31(2) (2021), 023117 (20 p.)

https://aip.scitation.org/doi/abs/10.1063/5.0037621

(Показано, что аттрактор Лоренца остается псевдогиперболическим под воздействием немалых периодических возмущений системы Шимицу-Мориока.)

2 Глава 1. Бифуркации резонанса 1:3 в обратимом неконсервативном отображении Эно

Весьма интересной является задача исследования того, как обратимые неконсервативные возмущения влияют на резонанс 1:3, т.е. какие происходят бифуркации неподвижных точек с собственными значениями е /3 = — 1/2 ± гл/3/2 в консервативных кубических отображениях Эно вида

Н± : (х, у) ^ (X, у) : Х = у, у = —х + М1 + М2у ± у3, (1)

где х и у - координаты, а М1 и М2 - параметры. Актуальность этой задачи связана с недавними достижениями в области исследования третьего типа динамического хаоса -смешанной динамики [1, 2].

Смешанная динамика является дополнением к ранее известным типам хаотического поведения для систем с компактным фазовым пространством: консервативному хаосу и диссипативному хаосу.

Консервативный хаос характерен для систем, сохраняющих фазовый объем, в частности, для гамильтоновых систем с двумя и большим числом степеней свободы. При этом все фазовое пространство такой хаотической (неинтегрируемой) системы выглядит как некоторое неравномерно гиперболическое "хаотическое море" с беспорядочно разбросанными внутри него эллиптическими островами (островками устойчивости по Ляпунову), и никаких асимптотически устойчивых инвариантных множеств здесь нет. Говорят, что здесь хаос "размазан" (возможно крайне неравномерно) по всему фазовому пространству. В общем случае, с точки зрения топологической динамики [3], консервативная динамика (хаос) для систем с компактным фазовым пространством характеризуется тем, что это фазовое пространство является цепно-транзитивным, т.е. от любой его точки можно перейти к любой другой по е-траекториям системы с любым е > 0 или при сколь угодно малых случайных возмущениях.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Самылина Евгения Александровна, 2024 год

Список литературы

[1] Gonchenko S. V. Reversible mixed dynamics: A concept and examples //Discontinuity, Nonlinearity, and Complexity. - 2016. -notion Т. 5. - №. 4. - С. 365-374.

[2] Gonchenko S. V., Turaev D. V. On three types of dynamics and the notion of attractor //Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. - 2017. - Т. 297. - С. 116-137.

[3] Аносов Д. В., Бронштейн И. У. Гладкие динамические системы. Гл. 3. Топологическая динамика //Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». - 1985. - Т. 1. - №. 0. - С. 204-229.

[4] Gonchenko S. V. Reversible mixed dynamics: A concept and examples //Discontinuity, Nonlinearity, and Complexity. - 2016. - Т. 5. - №. 4. - С. 365-374.

[5] Гонченко С. В., Тураев Д. В. О трех типах динамики и понятии аттрактора //Труды Математического института имени ВА Стеклова. - 2017. - Т. 297. - №. 0. - С. 133-157.

[6] Gonchenko S. V., Turaev D. V., Shilnikov L. P. On Newhouse domains of two-dimensional diffeomorphisms which are close to a diffeomorphism with a structurally unstable heteroclinic cycle //Proc. Steklov Inst. Math. - 1997. - Т. 216. - С. 70-118.

[7] Turaev D. Richness of chaos in the absolute Newhouse domain //Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2010 (ICM 2010) (In 4 Volumes) Vol. I: Plenary Lectures and Ceremonies Vols. II-IV: Invited Lectures. - 2010. - С. 1804-1815.

[8] Turaev D. Maps close to identity and universal maps in the Newhouse domain //Communications in Mathematical Physics. - 2015. - Т. 335. - С. 1235-1277.

[9] Turaev D. On dimension of non-local bifurcational problems //International Journal of Bifurcation and Chaos. - 1996. - Т. 6. - №. 05. - С. 919-948.

[10] Conley C. C. Isolated invariant sets and the Morse index. - American Mathematical Soc., 1978. - №. 38.

[11] Ruelle D. Small random perturbations of dynamical systems and the definition of attractors //Communications in Mathematical Physics. - 1981. - Т. 82. - С. 137-151.

[12] Hurley M. Attractors: persistence, and density of their basins //Transactions of the American Mathematical Society. - 1982. - Т. 269. - №. 1. - С. 247-271.

[13] Newhouse S. E. Diffeomorphisms with infinitely many sinks //Topology. - 1974. - Т. 13. - №. 1. - С. 9-18.

[14] Barenblatt G. I., Iooss G., Joseph D. D. (ed.). Nonlinear dynamics and turbulence. -Pitman Advanced Publishing Program, 1983.

[15] Topaj D., Pikovsky A. Reversibility vs. synchronization in oscillator lattices //Physica D: Nonlinear Phenomena. - 2002. - Т. 170. - №. 2. - С. 118-130.

[16] Gonchenko A. S., Gonchenko S. V., Kazakov A. O., Turaev D. On the phenomenon of mixed dynamics in Pikovsky-Topaj system of coupled rotators //Physica D: Nonlinear Phenomena. - 2017. - T. 350. - C. 45-57.

[17] Gonchenko A. S., Gonchenko S. V., Kazakov A. O. Richness of chaotic dynamics in nonholonomic models of a Celtic stone //Regular and Chaotic Dynamics. - 2013. - T. 18. - C. 521-538.

[18] Delshams A., Gonchenko S. V., Gonchenko V. S., Lazaro J. T. Abundance of attracting, repelling and elliptic periodic orbits in two-dimensional reversible maps //Nonlinearity. -2012. - T. 26. - №. 1. - C. 1.

[19] Kuznetsov S. P. Regular and chaotic motions of the Chaplygin sleigh with periodically switched location of nonholonomic constraint //Europhysics Letters. - 2017. - T. 118. - №. 1. - C. 10007.

[20] Kuznetsov S. P. Regular and chaotic dynamics of a Chaplygin sleigh due to periodic switch of the nonholonomic constraint //Regular and Chaotic Dynamics. - 2018. - T. 23. - C. 178192.

[21] Emelianova A. A., Nekorkin V. I. On the intersection of a chaotic attractor and a chaotic repeller in the system of two adaptively coupled phase oscillators //Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. - 2019. - T. 29. - №. 11. - C. 111102.

[22] Kazakov A. O. On the appearance of mixed dynamics as a result of collision of strange attractors and repellers in reversible systems //Radiophysics and Quantum Electronics. -

2019. - T. 61. - C. 650-658.

[23] Ariel G., Schiff J. Conservative, dissipative and super-diffusive behavior of a particle propelled in a regular flow //Physica D: Nonlinear Phenomena. - 2020. - T. 411. - C. 132584.

[24] Emelianova A. A., Nekorkin V. I. The third type of chaos in a system of two adaptively coupled phase oscillators //Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. -

2020. - T. 30. - №. 5. - C. 051105.

[25] Bizyaev I. A., Mamaev I. S. Separatrix splitting and nonintegrability in the nonholonomic rolling of a generalized Chaplygin sphere //International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2020. - T. 126. - C. 103550.

[26] Bizyaev I. A., Mamaev I. S. Dynamics of the nonholonomic Suslov problem under periodic control: unbounded speedup and strange attractors //Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2020. - T. 53. - №. 18. - C. 185701.

[27] Emelianova A. A., Nekorkin V. I. Emergence and synchronization of a reversible core in a system of forced adaptively coupled Kuramoto oscillators //Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. - 2021. - T. 31. - №. 3. - C. 033102.

[28] Kuznetsov S. P., Kruglov V. P., Borisov A. V. Chaplygin sleigh in the quadratic potential field //Europhysics Letters. - 2020. - T. 132. - №. 2. - C. 20008.

[29] Gonchenko S. V., Gonchenko A. S., Kazakov A. O. Three types of attractors and mixed dynamics of nonholonomic models of rigid body motion //Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. - 2020. - T. 308. - C. 125-140.

[30] Lamb J. S. W., Stenkin O. V. Newhouse regions for reversible systems with infinitely many stable, unstable and elliptic periodic orbits //Nonlinearity. - 2004. - T. 17. - №. 4. - C. 1217.

[31] Gonchenko S. V., Gonchenko M. S., Sinitsky I. O. On mixed dynamics of two-dimensional reversible diffeomorphisms with symmetric non-transversal heteroclinic cycles //Izvestiya: Mathematics. - 2020. - T. 84. - №. 1. - C. 23.

[32] Kazakov A. Merger of a Henon-like attractor with a Henon-like repeller in a model of vortex dynamics //Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. - 2020. - T. 30. - №. 1. - C. 011105.

[33] Chigarev V., Kazakov A., Pikovsky A. Kantorovich-Rubinstein-Wasserstein distance between overlapping attractor and repeller //Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. - 2020. - T. 30. - №. 7. - C. 073114.

[34] Newhouse S. E. The abundance of wild hyperbolic sets and non-smooth stable sets for diffeomorphisms //Publications Mathematiques de l'IHES. - 1979. - T. 50. - C. 101-151.

[35] Gonchenko M., Gonchenko S., Ovsyannikov I. Bifurcations of cubic homoclinic tangencies in two-dimensional symplectic maps //Mathematical Modelling of Natural Phenomena. -2017. - T. 12. - №. 1. - C. 41-61.

[36] Gonchenko S. V., Leontovich E. A. On a two parameter family of systems close to a system with a nontransversal Poincare homoclinic curve. I //Methods of qualitative theory of differential equations. - 1985. - C. 55-72.

[37] Gonchenko S. V., Simo C., Vieiro A. Richness of dynamics and global bifurcations in systems with a homoclinic figure-eight //Nonlinearity. - 2013. - T. 26. - №. 3. - C. 621.

[38] Arnold, V. I. Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations. -Springer, 2nd edition, 1988.

[39] Arnold V. I., Kozlov V. V., Neishtadt A. I., Iacob I. Mathematical aspects of classical and celestial mechanics. - Berlin : Springer, 2006. - T. 3.

[40] Gonchenko M., Gonchenko S. V., Ovsyannikov I., Vieiro A. On local and global aspects of the 1: 4 resonance in the conservative cubic Hoenon maps //Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. - 2018. - T. 28. - №. 4. - C. 043123.

[41] Gonchenko S. V., Lamb J. S. W., Rios I., Turaev D. Attractors and repellers in the neighborhood of elliptic points of reversible systems //Dokl. Akad. Nauk. - 2014. - T.

454. - №. 4. - C. 375-378; see also: //Dokl. Math. - 2014. - T. 89. - №. 3. - C. 65-67 (Russian).

[42] Biragov V. S. Bifurcations in a two-parameter family of conservative mappings that are close to the Henon map //Selecta Math. Sov. - 1990. - T. 9. - C. 273-282.

[43] Simo C., Vieiro A. Resonant zones, inner and outer splittings in generic and low order resonances of area preserving maps //Nonlinearity. - 2009. - T. 22. - №. 5. - C. 1191-1245.

[44] Dullin H. R., Meiss J. D. Generalized Henon maps: the cubic diffeomorphisms of the plane //Physica D: Nonlinear Phenomena. - 2000. - T. 143. - №. 1-4. - C. 262-289.

[45] Lerman L. M., Turaev D. Breakdown of symmetry in reversible systems //Regular and Chaotic Dynamics. - 2012. - T. 17. - C. 318-336.

[46] Gonchenko M. S., Gonchenko S. V., Safonov K. A. Reversible perturbations of conservative Henon-like maps //Discrete and Continuous Dynamical Systems. - 2021. - T. 41, №. 4. -C. 1875-1895.

[47] Roberts J. A. G., Quispel G. R. W. Chaos and time-reversal symmetry. Order and chaos in reversible dynamical systems //Physics Reports. - 1992. - T. 216. - №. 2-3. - C. 63-177.

[48] Bessa M., Carvalho M., Rodrigues A. Generic area-preserving reversible diffeomorphisms //Nonlinearity. - 2015. - T. 28. - №. 6. - C. 1695-1720.

[49] Kuznetsov Y. A., Elements of applied bifurcation theory //Applied Mathematical Sciences, Springer-Verlag, New York. - 1995. - T. 112.

[50] Broer H., Hanfimann H., Jorba A., Villanueva J., Wagener F. Normal-internal resonances in quasi-periodically forced oscillators: a conservative approach //Nonlinearity. - 2003. - T. 16. - №. 5. - C. 1751-1791.

[51] Delshams A., Gonchenko M., Gutierrez P. Exponentially small splitting of separatrices and transversality associated to whiskered tori with quadratic frequency ratio //SIAM Journal on Applied Dynamical Systems. - 2016. - T. 15. - №. 2. - C. 981-1024.

[52] Delshams A., Gonchenko M., Gutierrez P. Exponentially small splitting of separatrices associated to 3D whiskered tori with cubic frequencies //Communications in Mathematical Physics. - 2020. - T. 378. - №. 3. - C. 1931-1976..

[53] Sevryuk M. B. Reversible systems. - Springer, 2006. - T. 1211.

[54] Gonchenko M. S. On the structure of 1: 4 resonances in Henon maps //International Journal of Bifurcation and Chaos. - 2005. - T. 15. - №. 11. - C. 3653-3660.

[55] Walker J. The amateur scientist //Scientific American. - 1979. - T. 241. - №. 6. - C. 178-191.

[56] Walker G. T. On a curious dynamical property of celts //Proc. Cambridge Phil. Soc. -1895. - T. 8. - №. pt 5. - C. 305-306.

[57] Борисов А. В., Мамаев И. С. Странные аттракторы в динамике кельтских камней //Успехи физических наук. - 2003. - Т. 173. - №. 4. - С. 407-418.

[58] Козлов В. В. К теории интегрирования уравнений неголономной механики //Успехи механики. - 1985. - Т. 8. - №. 3. - С. 85-101.

[59] Кузнецов С. П. и др. Феномены нелинейной динамики диссипативных систем в неголономной механике «кельтского камня» //Russian Journal of Nonlinear Dynamics. -2012. - Т. 8. - №. 4. - С. 735-762.

[60] Гонченко А.С., Гонченко С.В., Казаков А.О., Самылина Е.А.// Хаотическая динамика и мультистабильность в неголономной модели кельтского камня //Изв. вузов. Радиофизика. - 2018. - Т. 61. - №. 10. - С. 867-882.

[61] Борисов А. В., Мамаев И. С., Килин А. А. Избранные задачи неголономной механики.

- 2005.

[62] Kane T. R., Levinson D. A. Successive finite rotations //ASME Journal of Applied Mechanics. - 1978. - Т. 45. - С. 945.

[63] Гонченко А. С., Гонченко С. В., Казаков А. О. О некоторых новых аспектах хаотической динамики //Russian Journal of Nonlinear Dynamics. - 2012. - Т. 8. - №. 3. - С. 507-518.

[64] Borisov A. V., Kazakov A. O., Sataev I. R. The reversal and chaotic attractor in the nonholonomic model of Chaplygin's top //Regular and Chaotic Dynamics. - 2014. - Т. 19.

- С. 718-733.

[65] Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С.//Доклады РАН. 2006. - Т.408. - № 2. -C.192.

[66] Баутин Н. Н. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости //М.: Наука. 1984. - С. 176

[67] Баутин Н.Н., Шильников Л.П. Дополнение I к книге Дж.Марсдена и М.Мак-Кракена «Бифуркации рождения цикла и ее приложения» //М., Мир. 1980. - С. 292.

[68] Lorenz E. N. Deterministic nonperiodic flow //Journal of atmospheric sciences. - 1963. -Т. 20. - №. 2. - С. 130-141.

[69] Афраймович В. С., Быков В. В., Шильников Л. П. ДАН СССР 234 336 (1977); Afraimovich VS, Bykov VV, Shil'nikov LP //Sov. Phys. Dokl. - 1977. - Т. 22. - С. 253.

[70] Афраймович В. С., Быков В. В., Шильников Л. П. О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца //Труды Московского математического общества. - 1982. - Т. 44. - №. 0. - С. 150-212.

[71] Шильников Л.П. Теория бифуркаций и модель Лоренца. //Дополнение I к книге: Дж.Марсден, М.Мак- Кракен «Бифуркация рождения цикла и ее приложения». М., Мир, 1980. - C. 19.

[72] Shimizu T., Morioka N. Chaos and limit cycles in the Lorenz model //Physics Letters A.

- 1978. - Т. 66. - №. 3. - С. 182-184.

[73] Shilnikov A. L. On bifurcations of the Lorenz attractor in the Shimizu-Morioka model //Physica D: Nonlinear Phenomena. - 1993. - Т. 62. - №. 1-4. - С. 338-346.

[74] Gonchenko S. V., Ovsyannikov I. I., Simo C., Turaev D. Three-dimensional Henon-like maps and wild Lorenz-like attractors //International Journal of Bifurcation and Chaos. -2005. - Т. 15. - №. 11. - С. 3493-3508.

[75] Гонченко А.С., Гонченко С.В., Шильников Л.П. //Нелинейная динамика. 2012. - Т. 8. - №. 1. - С. 3-28.

[76] Gonchenko, S. V., Gonchenko, A. S., Ovsyannikov, I. I., Turaev, D. V. Examples of Lorenz-like attractors in Henon-like maps //Mathematical Modelling of Natural Phenomena. -2013. - Т. 8. - №. 5. - С. 48-70.

[77] Kuznetsov Y. A., Meijer H. G. E., van Veen L. The fold-flip bifurcation //International Journal of Bifurcation and Chaos. - 2004. - Т. 14. - №. 07. - С. 2253-2282.

[78] Gonchenko A. S., Gonchenko S. V. Variety of strange pseudohyperbolic attractors in three-dimensional generalized Henon maps //Physica D: Nonlinear Phenomena. - 2016. - Т. 337.

- С. 43-57.

[79] Шильников Л. П. // Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький. - 1986. - С. 150.

[80] Gonchenko A. et al. Simple scenarios of onset of chaos in three-dimensional maps //International Journal of Bifurcation and Chaos. - 2014. - Т. 24. - №. 08. - С. 1440005.

[81] Borisov A. V., Kazakov A. O., Sataev I. R. Spiral chaos in the nonholonomic model of a Chaplygin top //Regular and Chaotic Dynamics. - 2016. - Т. 21. - С. 939-954.

[82] Guckenheimer J. A strange, strange attractor, The Hopf bifurcation and its applications //Applied Mathematical Series. - 1976. - Т. 19. - С. 368-381.

[83] Guckenheimer J., Williams R. F. Structural stability of Lorenz attractors //Publications Mathematiques de l'IHES. - 1979. - Т. 50. - С. 59-72.

[84] Williams R. F. The structure of Lorenz attractors //Publications Mathematiques de l'IHES. - 1979. - Т. 50. - С. 73-99.

[85] Morales C. A., Pacifico M. J., Pujals E. R. Robust transitive singular sets for 3-flows are partially hyperbolic attractors or repellers //Annals of mathematics. - 2004. - С. 375-432.

[86] Bonatti C., Barros D., Pacifico M. J. Up, down, two-sided Lorenz attractor, collisions, merging and switching. - 2021.

[87] Sataev E. A. Invariant measures for singular hyperbolic attractors //Sbornik: Mathematics.

- 2010. - Т. 201. - №. 3. - С. 419.

[88] Тураев Д. В., Шильников Л. П. Пример дикого странного аттрактора //Математический сборник. - 1998. - Т. 189. - №. 2. - С. 137-160.

[89] Тураев Д. В., Шильников Л. П. Псевдогиперболичность и задача о периодическом возмущении аттракторов лоренцевского типа //Доклады Академии наук. - Федеральное государственное бюджетное учреждение «Российская академия наук», 2008. - Т. 418. - №. 1. - С. 23-27.

[90] Gonchenko S., Kazakov A., Turaev D. Wild pseudohyperbolic attractor in a four-dimensional Lorenz system //Nonlinearity. - 2021. - Т. 34. - №. 4. - С. 2018.

[91] Gonchenko V. S., Turaev D. V., Shilnikov L. P. On models with a non-rough homoclinic Poincare curve //Physica D. - 1993. - Т. 62. - С. 1-14.

[92] Shimizu T., Morioka N. Chaos and limit cycles in the Lorenz model //Physics Letters A.

- 1978. - Т. 66. - №. 3. - С. 182-184.

[93] Shilnikov A. L. Bifurcations and chaos in the Shimizu-Marioka system //Methods and qualitative theory of differential equations. - 1986. - С. 180-193.

[94] Shilnikov A. L. Bifurcation and chaos in the Morioka-Shimizu system //Selecta Math. Soviet. - 1991. - Т. 10. - №. 2. - С. 105-117.

[95] Capinski M. J., Turaev D., Zgliczynski P. Computer assisted proof of the existence of the Lorenz attractor in the Shimizu-Morioka system //Nonlinearity. - 2018. - Т. 31. - №. 12.

- С. 5410.

[96] Gonchenko A. S., Gonchenko S. V., Kazakov A. O., Kozlov A. D. Elements of contemporary theory of dynamical chaos: A tutorial. Part I. Pseudohyperbolic attractors //International Journal of Bifurcation and Chaos. - 2018. - Т. 28. - №. 11. - С. 1830036.

[97] Gavrilov N. K., Silnikov L. P. On three-dimensional dynamical systems close to systems with a structurally unstable homoclinic curve. I //Mathematics of the USSR-Sbornik. -

1972. - Т. 17. - №. 4. - С. 467.

[98] Gavrilov N. K., Silnikov L. P. On three-dimensional dynamical systems close to systems with a structurally unstable homoclinic curve. II //Mathematics of the USSR-Sbornik. -

1973. - Т. 19. - №. 1. - С. 139.

[99] Afraimovich V. S., Shilnikov L. P. Nonlinear Dynamics and Turbulence //Interaction of Mechanics and Mathematics Series (Pitman, Boston, MA, 1983). - 1983. - С. 1-34.

[100] Gonchenko A. S., Kozlov A. D. On scenarios of chaos appearance in three-dimensional nonoriented maps //Zhurnal Srednevolzhskogo Matematicheskogo Obshchestva. - 2016. -Т. 18. - №. 4. - С. 17-29.

[101] Козлов А.Д. Примеры странных аттракторов в трехмерных неориентируемых отображениях //Журнал Средневолжского математического общества. - 2017. - T. 19. -№. 2. - C. 62-75

[102] Shilnikov L. P. The bifurcation theory and quasi-hyperbolic attractors //Uspehi Mat. Nauk. - 1981. - T. 36. - C. 240-241.

[103] Ovsyannikov I. I., Turaev D. V. Analytic proof of the existence of the Lorenz attractor in the extended Lorenz model //Nonlinearity. - 2016. - T. 30. - №. 1. - C. 115.

[104] Gonchenko S. V., Kaynov M. H., Kazakov A. O., Turaev D. V. On methods for verification of the pseudohyperbolicity of strange attractors //Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics. - 2021. - T. 29. - №. 1. - C. 160-185.

[105] Gonchenko S. V., Turaev D. V., Shilnikov L. P. On models with non-rough Poincare homoclinic curves //Docl. Math. - 1991. - T. 320. - C. 269-272.

[106] Gonchenko S. V., Shil'Nikov L. P., Turaev D. V. On models with non-rough Poincare homoclinic curves //Physica D: Nonlinear Phenomena. - 1993. - T. 62. - №. 1-4. - C. 1-14.

[107] Gonchenko S. V., Turaev D. V., Shil'nikov L. P. On the existence of Newhouse regions near systems with a non-transversal homoclinic Poincare curve (the multidimensional case) //Ross. Akad. Nauk Dokl. - 1993. - T. 329. - C. 404-407.

[108] Newhouse S. E. Nondensity 0f axiom a (a) on 5 2 //Global analysis. - 1970. - T. 1. - C. 191.

[109] Newhouse S. E. The abundance of wild hyperbolic sets and non-smooth stable sets for diffeomorphisms //Publications Mathematiques de l'IHES. - 1979. - T. 50. - C. 101-151.

[110] Borisov A. V., Kazakov A. O., Sataev I. R. The reversal and chaotic attractor in the nonholonomic model of Chaplygin's top //Regular and Chaotic Dynamics. - 2014. - T. 19. - C. 718-733.

[111] Shilnikov A. L. Bifurcations and chaos in the Shimizu-Morioka system: II //Methods and Qualitative Theory of Differential Equations. - 1989. - C. 130-137.

[112] Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J. M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems; a method for computing all of them. Part 1: Theory //Meccanica. - 1980. - T. 15. - C. 9-20.