Качественный анализ движения тела вращения на шероховатой плоскости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Зобова, Александра Александровна

• Зобова, Александра Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зобова, Александра Александровна

Введение

Глава 1. Бифуркационные диаграммы в задаче о движении тела вращения, ограниченного гладкой поверхностью.

1.1. Постановка задачи. Уравнения движения.

1.2. Общие свойства уравнений движения.

1.3. Качение эллипсоида вращения по абсолютно шероховатой плоскости.

1.4. Анализ бифуркационных диаграмм.

1.5. Реакции связей. Физические условия осуществимости качения.

Глава 2. Качественный анализ динамики волчка Муштари.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Первые интегралы уравнений движения и их склейка.

2.3. Стационарные движения волчка Муштари.

2.4. Условия осуществимости качения без проскальзывания.

Глава 3. Анализ стационарных движений волчка тип-топ.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Уравнения движения волчка и их свойства.

3.3. Анализ динамики волчка.

3.4. Исследование уравнения прецессионных движений.

3.5. Бифуркационные диаграммы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Качественный анализ движения тела вращения на шероховатой плоскости»

Задача о движении тела по некоторой поверхности является важной задачей аналитической механики. Интерес к ней не ослабевает уже в течение трех столетий. Этот интерес, по-видимому, обусловлен несколькими причинами. Во-первых, эта задача имеет тесную связь с прикладными задачами теоретической механики, посвященными качению колесных транспортных средств. Во-вторых, во многом благодаря исследованиям динамики тела, катящего по поверхности без проскальзывания, получил развитие целый раздел аналитической механики — механика неголономных систем. В-третьих, эта задача стимулирует развитие теории устойчивости, дифференциальной геометрии, численных методов. Наконец, доступность наблюдений за катящимися телами — детским волчком, юлой, упавшей монеткой, билльярдным шаром — и завораживающая красота их движения дает толчок к размышлениям об этой задаче. Возникшему интересу не дает угаснуть интуитивно неясное поведение некоторых из них (например, переворот волчка "тип-топ", упорное "нежелание" кельтского камня вращаться в одну из сторон). Для постановки этой задачи очень важным и непростым оказывается выбор модели взаимодействия между катящемся телом и опорной поверхностью. Полученное теоретически качественное описание движения тела по поверхности сравнивается с наблюдениями; тем самым происходит верификация выбранной модели взаимодействия и определение ее области применимости.

Настоящая диссертация посвящена глобальному качественному анализу динамики тела вращения, катящегося по шероховатой горизонтальной плоскости, как без проскальзывания (неголономная модель), так и с проскальзыванием (с учетом силы трения скольжения). Исследования базируются на методах Пуанкаре - Четаева и Смейла исследования динамики консервативных систем с симметрией и их модификациях на случай диссипативных систем.

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

Задача о движении тела по твердой поверхности является классической задачей теоретической механики, внимание ученых к которой не ослабевает уже в течение многих лет. Постановкой и решением этой задачи занимались классики механики JL Эйлер [79], Ж. Даламбер [6], Г. Кориолис [42], Э. Раус [62, 88], П. Пэнлеве [61], П.Аппель [73, 74], С.Пуассон [83], Г. Герц [5], А. Пуанкаре [60], Д.К. Бобылев [1, 2], Н.Е. Жуковский [10], С.А. Чаплыгин [71, 72], а также многие другие ученые. В настоящем обзоре невозможно осветить все работы, посвященные этой задаче — подробная библиография и обзор литературы даны в книгах [13, 50, 59], а также в недавних обзорных статьях [3, 75]; здесь будут упомянуты лишь работы, в которых уделено внимание вопросам, рассмотренным в представленной диссертации.

Центральным местом в постановке данной задачи является задание модели взаимодействия тела и опорной поверхности. Здесь выделяется три разных подхода: рассмотрение абсолютно гладкой или абсолютно шероховатой поверхности, или задание явного выражения для силы трения. Первые две модели являются консервативными, в третьей же учитывается диссипация энергии. Обсуждение различных моделей трения, их преимуществ и недостатков можно найти в [11, 25, 41, 61, 69, 80, 82]. В настоящей работе в первых двух главах исследуется задача о качении тела по абсолютно шероховатой поверхности, в последней главе используется модель Контенсу [41] взаимодействия между опорной плоскостью и катящимся телом.

В модели абсолютно шероховатой плоскости постулируется, что контакт между телом и опорной плоскости происходит в одной точке, взаимодействие между плоскостью и телом сводится только к результирующей силе и скорость точки контакта — то есть той точки катящегося тела, в которой в данный момент происходит касание тела и опорной поверхности — равна нулю. Величина и направление силы реакции должны быть таковы,чтобы обеспечивать выполнение связи — равенство нулю скорости точки контакта — во все время движения. Эта связь дает три дифференциальных соотношения на шесть координат, задающих положение абсолютно твердого тела в пространстве. Одно из этих соотношений может быть проинтегрировано, а два оставшихся представляют собой неголономные связи, наложенные на систему.

В статье [71] С.А. Чаплыгин рассматривает задачу о движении динамически симметричного тела вращения с гироскопом по абсолютно шероховатой плоскости. В этой работе уравнения движения получены из основных теорем динамики, показано, что решение задачи сводится к интегрированию системы двух обыкновенных дифференциальных линейных уравнений с переменными коэффициентами. В случае отсутствия гироскопа система уравнений является однородной; если собственный кинетический момент гироскопа не равен нулю — то неоднородной. Показано, что задача допускает интеграл энергии и два линейных по компонентам угловой скорости тела интеграла. Указано два случая, когда линейные интегралы могут быть получены в явном (хотя и весьма сложном) виде, — это шар и диск. В этой и последующей статье [72] решение задачи о движении неодноднородного шара по абсолютно шероховатой плоскости доведено до квадратур, проанализирована траектория точки контакта на опорной плоскости и на катящемся шаре. Указанные две работы являются основополагающими для всех работ, посвященных динамике тела вращения на абсолютно шероховатой плоскости.

Эти исследования были продолжены Х.М. Муштари [58]. Им были указаны новые формы тел вращения, для которых линейные интегралы могут получены в явном виде — это тело, образованное вращением дуги параболы относительно прямой, проходящей через фокус этой параболы и параллельной директрисе, и гиперболоид вращения. Обобщением этих результатов молено считать статью [45]: в ней указано семейство тел вращения, линейные интегралы в задаче о движении которых по абсолютно шероховатой плоскости могут быть получены как решение некоторого специального обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

Получение явных форм интегралов задачи является безусловным продвижением в ее решении. Однако необходимо заметить, что коэффициенты этих интегралов весьма сложны (для диска это гипергеометрические ряды или функции Лежандра, для тел, указанных Х.М. Муштари — эллиптические интегралы первого и второго рода). Поэтому качественный анализ полученного, вообще говоря, в явном виде решения сопряжен с большими трудностями. В то же время оказывается возможным провести качественный анализ, не используя явный вид решения задачи.

Первым и необходимым пунктом качественного исследования задачи является выяснение условий существования и устойчивости равновесий и стационарных движений тела. Первыми работами в этой области являются работы Л. Эйлера и Ж.Даламбера (см., например, [6]), в которых исследуются плоские малые колебания тел, опирающихся о гладкую или шероховатую поверхность. Даламбером установлено, что если радиус кривизны поверхности твердого тела (плоской фигуры, полученной сечением плоскостью движения) в точке контакта меньше, чем расстояние от центра тяжести тела до опорной плоскости, то положение равновесия тела на гладкой плоскости является неустойчивыми.

В задаче о движении тела вращения по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости в работах [7, 22, 53] решена задача об устойчивости его вращения вокруг вертикали. Устойчивость произвольного стационарного движения катящегося по плоскости тела вращения исследовалась в работах [8, 23, 24, 51, 52] (в частности, рассматривались стационарные движения диска, тора и неоднородного шара). В.В. Румянцев [63-65] исследовал задачу об устойчивости стационарного вращения и, в частности, равновесия тяжелого гиростата на горизонтальной плоскости. Были получены условия, необходимые и достаточные для устойчивости равновесия или вращения гиростата вокруг вертикали, проходящей через центр тяжести и точку касания гиростата и плоскости.

Общая задача о существовании и устойчивости перманентных вращений тяжелого твердого тела на горизонтальной плоскости подробно изучена в работах А.В. Карапетяна [25-27]. Найдены все перманентные вращения и условия их существования и устойчивости, а также исследовано влияние характера взаимодействия тела с плоскостью на устойчивость перманентных вращений (рассматривается модель абсолютно гладкой, абсолютно шероховатой плоскости или плоскости с вязким трением). Эти результаты подробно изложены в диссертации [29].

Среди указанных работ по устойчивости перманентных вращений тела вращения необходимо отметить статью [53], в которой получено необходимое и достаточное условие устойчивости всех стационарных движений тяжелого тела, ограниченного произвольной поверхностью вращения при помощи функции Ляпунова — связки интегралов задачи. Однако выяснение условий знакоопределенности этой функции не потребовало явного вычисления линейных интегралов. Используется лишь задающая их система обыкновенных дифференциальных уравнений. Также следует отметить, что в указанной статье в качестве частного случая рассматривается тело, опирающееся о плоскость иглой.

Качественное исследование движения твердых тел на горизонтальной плоскости (гладкой, шероховатой и с малым вязким и сухим трением) в статьях [9, 47, 48] проводилось различными методами осреднения и методами теории возмущений гамильтоновых систем. Рассматривались возмущения в форме поверхности тела, а также возмущения в характере взаимодействия тела с плоскостью (движение по плоскости с малым трением) [56, 66].

Также методами осреднения проведено исследование качение твердого тела, опирающегося на шаровую поверхность малого радиуса, по произвольной шероховатой поверхности [70]. Слабое возмущение голономной задачи о волчке Лагранжа — замена неподвижной точки ("острия") на малый шар — приводит к неголономной задаче.

Анализ фазовой топологии движения твердого тела вращения на абсолютно гладкой и шероховатой поверхности проведен в статьях [49, 57]. Во второй из указанных статей качественный анализ опять же не использует явный вид линейных интегралов; тем не менее удается дать исследование характера изменения угла нутации (угла между осью симметрии тела и вертикалью), проанализировать движение точки касания на поверхности тела и на опорной плоскости. Показано, что в фазовом пространстве имеются трехмерные торы с условно-периодическими движениями.

Здесь также необходимо упомянуть работу [86], в которой отмечена связь двух задач о качении диска по шероховатой и гладкой плоскости. В обеих задачах исходная система сводится к гамильтоновой системе с одной степенью свободы (соответствующая координата — угол нутации). Даны сечения бифуркационных диаграмм — зависимость угла нутации на стационарном движении от констант линейных интегралов — и характерный вид фазовых портретов редуцированной системы. Аналогичные результаты, полученные независимо от указанных выше, дополненные анализом устойчивости стационарных движений на основе модифицированной теории Рауса - Сальвадори и Пуанкаре - Четаева [33, 38] опубликованы в статьях [43, 44].

Другой тип бифуркационных диаграмм — диаграмма Смейла — для стационарных движений диска впервые получен в [4]. При построении бифуркационных диаграмм авторы статей [4, 44, 86] использовали явное представление линейных интегралов в задаче о движении диска в виде гипергеометрических рядов. Опираясь на вид полученных с помощью численных алгоритмов диаграмм, можно говорить о количестве и устойчивости прецессионных движений диска при каждой паре констант линейных интегралов.

В статьях [4, 40], большое внимание уделено численному интегрированию уравнений движения тела и демонстрации разных типов траекторий точек контакта на плоскости и поверхности тела.

Численное интегрирование уравнений движения часто применяется для анализа движения по плоскости волчка тип-топ, или китайского волчка. Волчок тип-топ — небольшая игрушка, состоящая из шарового сегмента и цилиндрической ножки на плоской части сегмента, используемой для запуска волчка с большой угловой скоростью. Положение равновесия волчка с опорой на сегмент (ножкой вверх) является устойчивым, но если сильно закрутить его в этом положении, то происходит быстрый переворот волчка на ножку и в этом положении волчок вращается некоторое время; далее скорость вращения падает и волчок постепенно возвращается к опоре на шаровой сегмент. Задача о перевороте волчка привлекает внимание исследователей, так как, во-первых, волчок демонстрирует интуитивно неясное поведение, а во-вторых, потому что на этом модельном примере можно верифицировать разные модели взаимодействия между плоскостью и телом (сухое трение, вязкое трение, модель трения Контенсу-Журавлева [12] и др.).

По-видимому, первой работой, в которой дан анализ движений волчка с переворотом, является [88]. В этой работе показано, что без учета диссипации энергии, происходящий из-за силы трения скольжения, возникающей между плоскостью и телом, невозможно объяснить описанный выше эффект переворота.

Условия существования и устойчивости стационарных вращений волчка (в том числе и вращений с наивысшим и наинизшим расположением центра масс), ограниченного сферической поверхностью, на плоскости с трением исследовались в работах [22, 28, 33, 46, 54, 55, 63, 84].

Наиболее полный анализ существования и устойчивости стационарных движений на основе модифицированной теории Рауса дан в статьях А.В. Ка-рапетяна и В.Н.Рубановского [33-35], а также в монографии [37]. Волчок тип-топ моделируется динамически симметричным шаром со смещенным центром масс, опоре на ножку соответствует положение шара, при котором ось динамической симметрии вертикальна, а центр масс занимает наивысшее положение. Замечательно, что анализ не требует конкретизации закона трения, возникающего между волчком плоскостью. На закон трения накладываются лишь некоторые естественные условия (выполненные и для вязкого трения, и для модели Контенсу - Журавлева [11]). Исследование проводится на основе модифицированной теории Рауса: исследуется существование и характер критических точек эффективного потенциала — минимума полной механической энергии на фиксированном уровне интеграла Желле [80]. На плоскости характерных параметров (расстояние от центра масс до геометрического центра, отношение моментов инерции) выделены области, в которых бифуркационные диаграммы имеют существенные качественные различия, для каждой области построена характерная бифуркационная диаграмма.

Вслед за этими работами появились работы зарубежных авторов [78, 87], в которых также исследуются стационарные движения волчка тип-топ путем составления функций Ляпунова из убывающей функции энергии и интеграла Желле, то есть по смыслу тем же методом, что и в цитированных выше работах А.В.Карапетяна и В.Н. Рубановского. Однако надо отметить, что в работе [78] условия устойчивости вращений вокруг вертикали и прецессионных вращений волчка были получены лишь для больших значений интеграла Желле.

Численное интегрирование уравнений движения волчка тип-топ с разными моделями взаимодействия проводилось во многих работах: было продемонстрировано существование траекторий, отвечающих быстрому перевороту волчка на ножку [12, 77, 81, 82, 85].

Аналитически существование переворотных траекторий показано в работах [66, 76]. Глобальное качественное исследование, демонстрирующее как переворот на ножку, так и. возврат к исходному устойчивому положению равновесия волчка на плоскости с трением скольжения и трением верчения (ненулевой момент сил реакции плоскости, как, например, в модели Контен-су - Журавлева), дано в совсем недавней работе [39]. Опираясь на бифуркационные диаграммы и основываясь на характере дрейфа величины полной механической энергии и величины интеграла Желле невозмущенной задачи, автор ясно описал поведения волчка на плоскости с реальным трением. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Зобова, Александра Александровна

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем.

• В классической неголономной задаче о качении тела вращения по шероховатой плоскости разработан алгоритм построения поверхностей стационарных движений в случае, когда линейные интегралы задачи неизвестны в явном виде; эти поверхности построены для семейства однородных эллипсоидов вращения. Их свойства и структура исследованы аналитически. Показано, что они существенно зависят от того, сплюснут или вытянут эллипсоид вдоль оси симметрии. В пространстве констант первых интегралов выделены области различных типов областей возможности движения и фазовых портретов приведенной системы.

• В задаче о движении тела с острием выполнена стыковка линейных интегралов, в предположении отсутствия проскальзывания между телом и опорной плоскостью. Показано, что эффективный потенциал системы является непрерывно дифференцируемой функцией. Построены бифуркационные диаграммы, которые позволяют дать качественный анализ движения волчка.

• Рассмотрен вопрос об осуществимости качения тела по плоскости без проскальзывания. В пространстве констант первых интегралов выделены области безотрывных движений и движений без проскальзывания.

• В задаче о качении с проскальзыванием китайского волчка (моделируемого двумя шаровыми сегментами, соединенными ножкой) по шероховатой плоскости построен полный атлас бифуркационных диаграмм стационарных движений. Показано, что кривые стационарных движений на этих диаграммах всегда разрывны (в отличие от ранее исследованных более простых моделей китайского волчка). Основные результаты опубликованы в статьях [14-21].

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зобова, Александра Александровна, 2008 год

1. Бобылев Д.К. О движении поверхности, прикасающейся к другой поверхности, неподвижной // Записки Императорской Академии Наук. 1887. Т. 55, С. 1 - 25.

2. Бобылев Д.К. О шаре с гироскопом внутри, катящемся по горизонтальной плоскости без скольжения // Мат. сб. 1892. Т. 16, вып. 3. С. 544 -581.

3. Борисов А.В., Мамаев И.С. Краткий очерк развития неголономной механики //В сборнике статей «Неголономные механические системы. Интегрируемость, хаос, странные аттракторы.» Москва Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.

4. Борисов А.В., Мамаев И.С., Килин А.А. Динамика катящегося диска // В сборнике статей «Неголономные механические системы. Интегрируемость, хаос, странные аттракторы.» Москва Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.

5. Герц Г. Принципы механики, изложенные в новой связи. Москва, изд-во АН СССР. 1959. 386 с.

6. Даламбер Ж. Динамика. M.;JI.: Гостехиздат, 1950.

7. Дувакин А. П. Об устойчивости движения волчка по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости // Инж. журн. 1962. Т. 2, вып. 2. С. 222 230.

8. Дувакин А. П. Об устойчивости движения волчка с гироскопом по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости // Инж. журн. 1963. Т. 3, вып. 1. С. 131 134.

9. Елькина М.Е. К вопросу о движении волчка по плоскости с трением // Вестн. МГУ. Мат., механ. 1983. №1. С. 85 89.

10. Жуковский Н.Е. О гироскопическом шаре Д.К.Бобылева // Тр. отд. физ. наук Моск. об-ва любителей естествознания, антропологии и этнографии. 1893. Т. 6. вып. 1. С. 11 17.

11. Журавлев В.Ф. О модели сухого трения в задаче качения твердых тел // ПММ. 1998. Т. 62. № 2. С. 77 120.

12. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. О динамике волчка (тип-топ) на плоскости с реальным сухим трением //Изв. РАН. МТТ. 2005. № 6. С. 157 168.

13. Зегжда С.А., Солтаханов Ш.Х., Юшков М.П. Уравнения движения него-лономных систем и вариационные принципы механики. Новый класс задач управления. Москва: Физматлит. 2005. 272 с.

14. Зобова А.А. О стационарных движениях тяжелого тела вращения на шероховатой плоскости // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения М.: ВЦ РАН. 2004. С. 78 88.

15. Зобова А.А. Построение бифуркационных диаграмм Пуанкаре Четаева и Смейла в динамике тела вращения на шероховатой плоскости // Труды научной школы-конференции "Мобильные роботы и мехатронные системы" М.: Изд-во МГУ. 2004. С. 107 - 118.

16. Зобов а А.А. Качественный анализ и визуализация качения эллипсоида вращения по абсолютно шероховатой плоскости // Труды научной школы-конференции "Мобильные роботы и мехатронные системы 2004" М.: Изд-во МГУ. 2004. С. 80 86.

17. Зобова А.А., Карапетян А.В. Построение бифуркационных диаграмм Пуанкаре Четаева и Смейла для консервативных неголономных систем с симметрией. // ПММ. 2005. Т. 69. № 2. С. 202 - 214

18. Зобова А.А. О связях в задаче о качении тела вращения по абсолютно шероховатой плоскости. // Избранные труды научной конференции "Четвертые поляховские чтения", С.-Петербург. 2006. С. 120 125.

19. Зобов а А.А. Динамика тела вращения, катящегося по абсолютно шероховатой плоскости. // Труды конференции-конкурса молодых ученых Института механики МГУ, 12-17 октября 2005 г. Изд-во МГУ. 2006. С. 71 74.

20. Зобова А.А. Качение тела с острием по плоскости. // Труды конференции-конкурса молодых ученых Института механики МГУ, 11-16 октября 2006 г. Изд-во МГУ. 2006. С. 144 151.

21. Зобова А.А. О сопряжении решений двух интегрируемых задач: качение тела с острием по плоскости. // Автоматика и телемеханика. 2007. №8. С. 156 161.

22. Исаева JI. С. О достаточных условиях устойчивости вращения волчка "тип-топ находящегося на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости // ПММ. 1959. Т. 23, вып. 2. С. 403 406.

23. Карапетян А.В.Об устойчивости стационарных движений неголономных систем Чаплыгина // ПММ. 1978. Т. 43, вып. 5. С. 801 807.

24. Карапетян А.В.К вопросу об устойчивости стационарных движений неголономных систем // ПММ. 1980. Т. 44, вып. 3. С. 418 426

25. Карапетян А.В. О реализации неголономных связей силами вязкого трения и устойчивость кельтских камней // ПММ. 1981. Т. 45, вып. 1. С. 42 -51.

26. Карапетян А.В. Об устойчивости стационарных движений тяжелого твердого тела на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости. // ПММ. 1981. Т. 45, вып. 3. С. 504 511.

27. Карапетян А.В. О перманентных вращениях тяжелого твердого тела на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. // ПММ. 1981. Т. 45, вып. 5. С. 808 814.

28. Карапетян А.В. О регулярной прецессии тела вращения на горизонтальной плоскости с трением. // ПММ. Т. 46, вып. 4, 1982. С. 568 572.

29. Карапетян А.В. Некоторые задачи динамики неголономных систем. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. М., 1982.

30. Карапетян А.В.Об устойчивости стационарных движений систем некоторого вида // Изв. АН СССР. МТТ. 1983. №2. С. 45 52.

31. Карапетян А.В., Румянцев В.В. "Устойчивость консервативных и дис-сипативных систем // Итоги науки и техники. Сер. Общая механика. М.:ВИНИТИ. 1983. Т.6 С.З 128

32. Карапетян А.В., Рубановский В.Н.О модификации теоремы Рауса об устойчивости стационарных движений систем с известными первыми интегралами // Сб. научно-методических статей по теоретической механике. Вып. 17. М.: Изд-во МПИ. С. 91 99.

33. Карапетян А.В., Рубановский В.Н. Об устойчивости стационарных движений неконсервативных систем // ПММ. Т. 50. Вып. 1. С. 43 49. 1986.

34. Карапетян А.В., Рубановский В.Н. О бифуркации и устойчивости перманентных вращений тяжелого трехосного эллипсоида на гладкой плоскости // ПММ. Т. 51. Вып. 2. С. 260 267. 1987.

35. Карапетян А.В. Качественное исследование волчка на плоскости с трением // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 4. С. 698 701.

36. Карапетян А.В. Первые интегралы, инвариантные множества и бифуркации в диссипативных системах // Регулярная и хаотическая механика. 1997. Т. 2. № 1. С. 75 80.

37. Карапетян А. В. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдиториал УРСС, 1998. 165 с.

38. Карапетян А.В., Кулешов А.С. Методы исследования устойчивости и бифуркации стационарных движений консервативных неголономных систем. // Проблемы механики. Сб. ст. к 90-летию А.Ю.Ишлинского. М.:Физматлит, 2003. С. 429 464

39. Карапетян А.В. Глобальный качественный анализ динамики китайского волчка (тип-топ)//МТТ. 2008. № 3. С. 33 41.

40. Килин А.А. Динамика шара Чаплыгина в абсолютном пространстве // В сборнике статей «Неголономные механические системы. Интегрируемость, хаос, странные аттракторы.» Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.

41. Контенсу П. Связь между трением скольжения и трением верчения и ееучет в теории волчка. // Проблемы гироскопии. М.:Мир, 1967. С. 60 -67.

42. Кориолис Г. Математическая теория явлений бильярдной игры. М.: Го-стеиздат, 1956.

43. Кулешов А.С. О стационарных движениях диска на абсолютно шероховатой поверхности // ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 5. С. 797 800

44. Кулешов А.С. О стационарных качениях диска на шероховатой поверхности // ПММ. 2001. Т. 65. Вып. 1. С. 173 175.

45. Кулешов А.С. Первые интегралы в задаче о качении тела вращения по шероховатой плоскости // Доклады РАН. Том 391. № 3. С. 340 342.

46. Магнус К. Гироскоп: теория и применение. М.:Мир, 1974.

47. Маркеев А.П. О движении тяжелого однородного эллипсоида на неподвижной горизонтальной плоскости. // ПММ. 1982. Т.46. Вып. 4. С. 553 567

48. Маркеев А.П. О качении эллипсоида по горизонтальной плоскости // Изв. АН СССР. МТТ. 1983. № 2. С. 53 62

49. Маркеев А.П., Мощу к Н.К. Качественный анализ движения тяжелого твердого тела на гладкой горизонтальной плоскости // ПММ. Т. 47, вып. 1, 1983.

50. Маркеев А.П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М.:Наука, 1992. 336 с.

51. Миндлин И. М. Об устойчивости диска, несущего гироскоп. // Инж.журн. 1964. Т. 4, вып. 1. С. 101 104.

52. Миндлин И. М. Об устойчивости движения тяжелого тела вращения на горизонтальной плоскости. // Инж.журн. 1964. Т. 4, вып. 2. С. 225 230.

53. Миндлин И.М., Пожарицкий Г.К. Об устойчивости стационарных движений тяжелого тела вращения на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. // ПММ. 1965. Т. 29. Вып. 4. С. 742 745

54. Морозов В.М. Об одном случае устойчивости неустановившегося волчка на плоскости // Вестник МГУ. Сер. 1. 1964. №3, С. 70 74.

55. Морозов В.М. К задаче об устойчивости вертикального вращения волчка на плоскости с учетом вязкого сопротивления // Вестник МГУ. Сер. 1. 1965, №3. С. 59 64

56. Мощук И.К. Качественный анализ движения тора по горизонтальной плоскости с малым трением // Исследование периодических движений и устойчивости механических систем. М.: Изд-во МАИ, 1983. С. 26 29

57. Мощук Н.К. Качественный анализ движения тяжелого тела вращения на абсолютно шероховатой плоскости // ПММ. 1988. Т. 52. № 2 С. 203 -210

58. Муштари Х.М. О катании тяжелого твердого тела вращения по неподвижной горизонтальной плоскости. // Мат.сб. 1932. Т. 39. № 1 2. С. 105 - 126.

59. Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.И. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967.

60. Пуанкаре А. Идеи Герца в механике. // Г.Герц Принципы механики, изложенные в новой связи. М.:Изд-во АН СССР, 1959.

61. Пэнлеве П. Лекции о трении. М.: Гостехиздат, 1954.98

62. Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел. М.: Наука. 1983.

63. Румянцев В. В. Об устойчивости движения гиростатов некоторого вида // ПММ. 1961. Т. 25, вып. 4. С. 778 784.

64. Румянцев В.В. Об устойчивости вращения тяжелого гиростата на горизонтальной плоскости // Изв. АН СССР. МТТ. 1980. № 4. С. 11 21.

65. Румянцев В.В. К задаче об устойчивости вращения тяжелого гиростата на горизонтальной плоскости с трением // Современные проблемы механики и авиации. М.: Машиностроение, 1982. С. 263 272.

66. Самсонов В.А. Качественный анализ задачи о движении волчка по плоскости с трением // МТТ, №5, с. 29 35. 1981.

67. Самсонов В.А. Очерки о механике. Некоторые задачи, явления, парадоксы. // Москва Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика. 2001. 80 с.

68. Смейл С.Топология и механика // Успехи мат. наук. 1972. Т. 27. № 2. С. 77 120.

69. Сумбатов А.С., Юнин Е.К. Очерки о трении. // М.: ВЦ РАН. 2000. 141 с.

70. Татаринов Я.В. Слабо неголономное представление задачи о качении твердого тела и возможности усреднения по фазовым торам // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. №1, с. 25 33.

71. Чаплыгин С.А. О движении тяжелого тела вращения на горизонтальной плоскости // Тр. отд. физ. наук Моск. об-ва любителей естествознания, антропологии и этнографии. 1897. Т. 9. № 1. С. 10 16.

72. Чаплыгин С.А. О катании шара горизонтальной плоскости // Мат.сб. 1903. Т. 24. вып. 1. С. 139 168

73. Appel P. Sur l'integration des equations du mouvement d'un corps pesant de revolution roulant par une arete circulaire sur un plan horizontal; cas particulier du cerceau // Rendiconti del circolo matematico di Palermo. 1900. T. 14, P. 1 6.

74. Appel P. Sur le mouvement d'une bille de billiard avec frottement de roulement // J. des mathematiques pures et appliquees. 1911. Ser. 6, t. 7. P. 85 96.

75. Bloch A.M., Marsden J.E., ZenkovD.V. Nonholonomic Dynamics // Notices of AMS. Volume 5, Number 3,pp. 320 329. 2005

76. Bou-Rabee N.M., Marsden J.E., Romero L.A. Tippe Top Inversion as a Dissipation-Induced Instability // SIAM Journal Applied Dynamical Systems. Vol. 3, No. 3, pp. 352 377

77. R. J. Cohen The tippe top revisited. // Am. J. Phys. 1977. V. 45. P. 12 17.

78. Ebenfeld S., Scheck F. A new analysis of the tippe top: Asymptotic states and Liapunov stability // Ann. Phys.,243(1995), pp. 195 217.

79. Euler L. Du movement de rotation des corps solides autour d'un axe variable // Histoire de l'Academie Royale ds Sciences. Berlin. 1758 1765. V. 14. P. 154 - 193.

80. Jellet J. K. A Treatise on The Theory of Friction. Dublin; London. Macmillan, 1872.

81. Kane T.R., Levinson D.A. A realistic solution of the symmetric top problem // Trans. ASME J.Appl.Mech. Ser. E. V. 45, No. 4, P. 903 909. 1978

82. R. I. Leine, Ch. Gloker A set-valued force law for spatial Coulomb

83. Contensou friction // European Journal of Mechanics A/Solids 22 (2003). PP. 193 216

84. Poisson S.D. Traite de mechanique. Paris: Bachelier, 1833.

85. O'Brien S., Synge J.L. The instability of the tippe-top explained by sliding friction // Proc. Roy.Irish Acad. Sec. A. V. 56, No. 3, P. 23 35.

86. Or A.C. The dynamics of a tippe-top // SIAM J. Appl. Math. 54 1994, pp. 597 609.

87. O.M. O'Reilly The dynamics of Rolling Disks and Sliding Disks I j Nonlinear Dynamics 10: 287 305, 1996.

88. S.Rauch-Wojciechowski, M.Skoldstam, T.Glad Mathematical Analysis of the Tippe Top j I Regular and Chaotic Dynamics, V. 10, к4, 2005 p. 333 362

89. E.J. Routh The advanced part of a Treatise on the Dynamics of a System of Rigid Bodies. Macmillan, New York, 1905.