Разработка комплекса программ для компьютерного исследования динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Килин, Александр Александрович

• Килин, Александр Александрович
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Килин, Александр Александрович

Введение.

ЧАСТЬ I. КОМПЛЕКС ПРОГРАММ «КОМПЬЮТЕРНАЯ ДИНАМИКА»

Глава 1. Общее описание комплекса.

1.1. Базовые инструменты.

1.2. Зависимые инструменты.

1.3. Фильтры и дополнительные окна.

Глава 2. Методы интегрирования.

2.4. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

2.5. Метод Мерсона четвертого порядка.

2.6. Метод Эверхарта.

ЧАСТЬ II. НЕГОЛОНОМНАЯ МЕХАНИКА И ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Глава 3. Качение шара по поверхности. Новые интегралы и иерархия динамики.

3.1. Введение.

3.2. Уравнения движения шара по поверхности.

3.3. Движение шара по поверхности вращения.

3.4. Качение шара по поверхностям второго порядка.

3.5. Движение шара по цилиндрической поверхности.

Глава 4. Устойчивость стационарных вращений в неголономной задаче Рауса.

4.6. Уравнения движения шара по поверхности.

4.7. Интегралы движения и мера.

4.8. Вертикальные вращения и их линейная устойчивость.

4.9. Устойчивость по Ляпунову вращений в наинизшей точке

4.10. Устойчивость по Ляпунову вращений на вершине.

4.11. Численные результаты

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка комплекса программ для компьютерного исследования динамических систем»

6.20. Качение твердого тела по плоскости. 108

6.21. Качественный анализ и результаты. 116

Глава 7. Абсолютные и относительные хореографии в динамике твердого тела.124

7.22. Введение. 124

7.23. Рождение абсолютных хореографий. 130

7.24. Генеалогия хореографий . 138

7.25. Более сложные хореографии. 142

7.26. Относительные хореографии. 144

7.27. Открытые проблемы. 146

Глава 8. Хаос в ограниченной задаче о вращении тяжелого твердого тела с закрепленной точкой.148

8.28. Введение. 148

8.29. Переход к хаосу при с = 0. 152

8.30. Случай с ф 0. 160

8.31. Меандровые торы.

8.32. Приложение. Методы исследования отображений

162 165

ЧАСТЬ III. МНОГОЧАСТИЧНЫЕ СИСТЕМЫ И НЕБЕСНАЯ МЕ

ХАНИКА 169

Глава 9. Многочастичные системы. Алгебра интегралов и интегрируемые случаи.170

9.1. Введение. 170

9.2. Задача N тел. 171

9.3. Натуральная система с однородным потенциалом степени а = —2.182

9.4. Задача N тел с однородным потенциалом степени -2, зависящим от взаимных расстояний .194

9.5. Задача Якоби на прямой .196

9.6. Задача Якоби на плоскости.202

9.7. Обобщение тождества Лагранжа и интеграла Якоби.205

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Килин, Александр Александрович

Заключение

Опишем кратко результаты полученные в диссертации.

1) Создан программный комплекс для исследования конечномерных динамических систем. Данный комплекс предоставляет следующие возможности для исследования:

• построение простых точечных отображений,

• построение фазового потока системы с одной степенью свободы,

• построение двумерного отображения Пуанкаре для систем с полутора и двумя степенями свободы,

• построение трехмерного отображения Пуанкаре для динамических систем, сводимым к пяти дифференциальным уравнениям,

• построения областей возможного движения для заданного отображения,

• поиск периодического решения динамической системы,

• продолжение периодического решения по параметру и полный анализ его бифуркаций,

• построение неустойчивых инвариантных многообразий (сепаратрисе) для отображения,

• Фурье-анализ произвольных 'функций при интегрировании вдоль заданной фазовой траектории,

• вычисление максимального показателя Ляпунова фазовой траектории,

• построение дерева бифуркаций удвоения периода,

• отображение мультипликаторов периодического решения и других параметров при продолжении ее по параметру,

• построение графика зависимости произвольной величины от времени при интегрировании вдоль фазовой траектории,

• построение бифуркационных диаграмм,

• визуализация движения исследуемых объектов.

2) Исследована задача о качении шара без проскальзывания по произвольной поверхности. Указаны новые случаи разрешения задачи в квадратурах, а также особый случай существования одного дополнительного интеграла и инвариантной меры. Последний случай приводит к неголономному обобщению задачи Якоби о движении по инерции точки по эллипсоиду. Показано также, что при качении шара по произвольному цилиндру в поле тяжести его движение является ограниченным, и он в среднем не смещается вниз.

3) Найден новый интеграл в задаче о движении динамически симметричного шара по поверхности параболоида в поле тяжести. С помощью этого интеграла получены условия устойчивости по Ляпунову стационарных вращений шара вокруг вертикали при условии, что точка контакта расположена в наивысшей, наинизшей или седловой точке параболоида

4) Исследована динамика кельтского камня, моделируемая тяжелым уравновешенным эллипсоидом вращения, катящимся без проскальзывания по неподвижной горизонтальной плоскости. При этом центральный эллипсоид инерции тоже представляет собой эллипсоид вращения. Показано, что в отличии от традиционной модели кельтского камня, представляющего собой усеченный двухосный параболоид, в рассматриваемой постановке возможны движения, являющиеся суперпозицией реверса (смена на противоположное направление вращения) и переворота (смена на противоположную оси вращения). При этом указанные реверс и переворот, при надлежащих энергиях и распределениях масс, могут повторяться неоднократно. Возможны также движения, представляющие собой только многократный переворот или реверс.

Произведен качественный анализ задачи о качении без проскальзывания однородного круглого диска на горизонтальной плоскости. Исследования данной задачи восходят к С.А. Чаплагину, П. Аппелю, Д. Кортевегу, показавшим ее интегрируемость. Исследуется поведение точки контакта и получены условия финитности ее траектории. Построена наиболее общая трехмерная бифуркационная диаграмма в пространстве первых интегралов и полный атлас ее сечений различными плоскостями.

Найдено семейство периодических в абсолютном пространстве решений (хореографий) в классической задаче о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой на нулевой константе площадей. Данное семейство включает в себя известные решения Делоне (для случая Ковалевской), частные решения для случая Горячева-Чаплыгина, а также решения Стеклова. Приведена генеалогия найденных решений при продолжении по энергии и их связь с вращениями Штауде. Показано, что при ненулевом значении интеграла площадей соответствующие решения являются периодическими в равномерно вращающейся вокруг вертикали системе координат (относительными хореографиями).

Исследован процесс хаотизации фазового портрета в ограниченной задаче о вращении тяжелого твердого тела с закрепленной точкой. Указаны два дополняющих друг друга механизма хаотизации — рост гомоклинической структуры и развитие каскадов бифуркаций удвоения периода. Отмечено адиабатическое поведение системы на нулевом уровне интеграла площадей при стремлении энергии к нулю. Найдены меандровые торы, связанные с нарушением свойства закручивания рассматриваемого отображения.

Рассмотрены системы материальных точек в евклидовом пространстве, взаимодействующих, как друг с другом, так и с внешним полем. Для случая произвольного парного взаимодействия между телами, зависящего только от их взаимного расстояния, указаны новые интегралы, образующие вектор галилеева момента. Приведена соответствующая алгебра интегралов которую образуют интегралы импульса, момента импульса и галилеева момента.

9) Рассмотрены системы частиц взаимодействие между которыми описывается однородным потенциалом степени однородности а = — 2. Для этих систем приведена наиболее общая форма дополнительного первого интеграла движения, называемого нами интегралом Якоби. Указана новая нелинейная алгебра интегралов включающая интеграл Якоби. Предложена новая процедура редукции и возможность ее применения в динамике для понижения порядка гамильтоновых систем.

10) Найден ряд новых интегрируемых и суперинтегрируемых систем, являющихся обобщением классических. Приведен ряд обобщений тождества Лагранжа для систем с однородным потенциалом степени однородности а = —2. А также с помощью компьютерных экспериментов доказана неинтегрируемость задачи Якоби на плоскости.

11) Рассмотрена задача о движении двух материальных точек, движущихся по сфере и взаимодействующих друг с другом с потенциалом, зависящем от расстояния между ними. Особо подробно рассмотрен случай, когда потенциал является аналогом ньютоновского. Выполнено понижение порядка этой системы к двум степеням свободы и указан ряд замечательных периодических орбит.

12) Рассмотрен новый метод конструктивного понижения порядка для систем точечных вихрей на плоскости и сфере. Этот метод близок к классической процедуре исключения узла по Якоби в небесной механике. Однако, в случае динамики вихрей возникают некоторые особые ситуации, требующие отдельного рассмотрения. Более подробно рассмотрена задача приведения четырех точечных вихрей на плоскости и сфере. С помощью сечения Пуанкаре проведен анализ регулярного и хаотического поведения системы четырех вихрей на плоскости и сфере. Указано существование каскада бифуркаций удвоения периода в данной задаче.

13) Получены новые периодические решения в задаче о движении трех и четырех точечных вихрей на плоскости. Для случая трех вихрей система сводится к гамильтоновой системе с одной степенью свободы и является интегрируемой. Для случая четырех вихрей возможно понижение порядка до двух степеней свободы, и система уже не является интегрируемой. Для обеих задач указаны относительные и абсолютные хореографии, соответствующие периодическим движениям вихрей в некоторой вращающейся или неподвижной системе координат. При этом вихри движутся по одной и той же замкнутой кривой.

14) Предложена новая модель точечного вихря на сфере — антиподального вихря, представляющего собой систему вихрь+антипод, имеющих равные по величине, но противоположные по знаку интенсивности. Показано, что система п антиподальных вихрей допускает редукцию на две степени свободы. Рассмотрены случаи двух и трех антиподальных вихрей, проведен их численный анализ. Обсуждаются томсоновские, коллинеарные и равнобедренные конфигурации антиподальных вихрей, построены бифуркационные диаграммы для этих случаев.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Килин, Александр Александрович, 2009 год

1. Анисимов С.И., Лысиков Ю.И., О расширении газового облака в вакуум, Прикл. мат. мех., т. 34, 1970, с. 926-929.

2. АппельП. Теоретическая механика. В 2-х т., М. Физматгиз, 1960. Пер. с англ. Appell P. Traité de mécanique rationnelle. Paris, Gauthier-Villars.

3. Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск: РХД, 2002.

4. Арнольд В. И, Козлов В. В, НейштадтА. И. Математические аспекты классической и небесной механики. Т. 3. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1985.

5. Архангельский Ю. А. Динамика быстровращающегося твердого тела II М.: Наука, 1985.

6. Астапов И. С. Об устойчивости вращения кельтского камня, Вестн. МГУ мат.мех., 1980, №2, с.97-100.

7. АфонинА. А., Козлов В. В. Задача о падении диска, движущегося по горизонтальной плоскости. Изв. РАН, Мех. тв. тела, 1997, № 1, с. 7-13.

8. Баркин Ю. В. Периодические и условно-периодические решения в задаче о двилсении тяэ/селого твердого тела вокруг неподвижной точки II Прикл. Мат. Мех., 1981, т. 45, №3, с. 535-544.

9. Богомолов, В. А., О двумерной гидродинамике на сфере, Физика атмосферы и океана, 1979, т. 15, № 1, сс. 29-35.

10. Богомолов В. А. Динамика завихренности на сфере II Изв. АН. СССР. Мех. жид. и газа, 1977, №6, с. 57-65.

11. БорисовА. В., Емельянов К. В. Неинтегрируемость и стохас¡личность в динамике твердого тела. Ижевск, Изд-во Удм. ун-та, 1995.

12. Современные проблемы хаоса и нелинейности (сб. статей под ред. А. В. Борисова, А. А. Килина), ИКИ, 2002.

13. Борисов А. В., Килин A.A., Мамаев И. С. Абсолютные и относительные хореографии в динамике твердого тела II Нелинейная Динамика, 2005, т. 1,№1,с. 123-141.

14. Борисов, A.B., Килин, A.A., Мамаев, И. С., Редукция и хаотическое поведение точечных вихрей на плоскости и сфере, Нелинейная динамика, 2005, т. 1, № 2, сс. 233-246.

15. Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твердого тела. Гамильтоновы методы, интегрируемость, хаос. Москва Ижевск, ИКИ, 2005, 576 с.

16. Борисов А. В., Мамаев И. С. Качение твердого тела по плоскости и сфере. Иерархия динамики. Per. & хаот. динамика, в печати.

17. Борисов, A.B., Мамаев, И. С., Математические методы динамики вихревых структур, Москва-Ижевск: ИКИ, 2005, 368 с.

18. Борисов A.B., Мамаев И. С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в га-милътоиовой механике. Ижевск: Изд.-во РХД, 1999, 464 с.

19. А. В. Борисов, И. С. Мамаев, Современные методы теории интегрируемых систем, Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003, 296 стр.

20. Борисов A.B., Мамаев И. С. Странные аттракторы в динамике кельтских камней, УФН., т. 173, №4, с.407-418

21. Классическая динамика в неевклидовых пространствах. Сборник статей под ред. А. В. Борисова, И. С. Мамаева. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 348 стр.

22. Борисов A.B., Мамаев И.С., Килин A.A. Новый интеграл в задаче о качении шара по произвольному эллипсоиду II Доклады РАН, 2002, т. 385, №3, с. 338-341.

23. Борисов A.B., Мамаев И. С., Килин A.A. Абсолютные и относительные хореографии в задаче о двилсении точечных вихрей на плоскости. ДАН, в печати.

24. Борисов А. В., Симаков Н. Н. Бифуркации удвоения периода в динамике твердого тела // Per. и хаот. динам., 1997, т. 2, №1, с. 64-75.

25. Буров А. А. Об ограниченной постановке задачи о двиэюении тяжелого твердого тела II ПММ, 2004, т. 68, вып. 6, с. 958-963.

26. Бычков Ю. П. О катании твердого тела по неподвижной поверхности. ПММ, 1965, т. 29, вып. 3, с. 573-583.

27. Воронец П. В. Преобразования уравнений динамики с помощью линейных интегралов (с приложением к задаче о трех телах), Киев, Университет Св. Владимира, 1906, 180 с.

28. Гальперин Г.А., О понятии центра масс системы материальных точек в простанствах постоянной кривизны, ДАН, 1987, с. 1039-1044

29. Герц Г. Принципы механики, изложенные в новой связи. М.: Изд-во АН СССР, 1959, 386 стр. Пер. с нем.: Hertz Н. Die Prinzipien der Mechanik in neuem Zusammenhange dargestellt. Ges. Werke, Bd. 3, Leipzig, Barth., 1910, 3129.

30. Глухих Ю. Д., Тхай В. Н., Шеваллье Д. П. Об устойчивости перманентных вращений тяжелого однородного эллипсоида на абсолютно шероховатой плоскости. Задачи устойчивости и стабилизации движения. Ч. 1. М.: ВЦ РАН, 2000, с. 87-104.

31. Горр Г. В. Об одном движении тяжелого твердого тела в случае Горячева-Чаплыгина // Прикл. мат. мех., 1970, т. 34, вып. 6, с. 1139-1143.

32. Горр Г. В., Кудряшова JI. В., Степанова JI. А. Классические задачи динамики твердого тела // Киев: Наукова думка, 1978, 296 с.

33. Горр Г. В., Левицкая Г. Д. Об одном периодическом двиэ/сении гироскопа Горячева-Чаплыгина II Мех. тв. тела, 1971, №3, с. 101-106.

34. Горр Г. В., Савченко А. Я. Об одном периодическом движении в решении С. В. Ковалевской II Мех. тв. тела, 1971, №3, с. 64-69.

35. Горячев Д. Н. О некоторых случаях движения прямолинейных параллельных вихрей. Москва, Унив. тип. 1898.

36. Грановский Я. И., Жеданов A.C., Луценко И. М. Квадратичные алгебры и динамика в искривленном пространстве. I. Осциллятор. II. Проблема Кеплера. Тсор. и мат. физ., 1992, т. 91, №2; 3, с. 207-216; 396-410.

37. Громека, И. С., О вихревых движениях жидкости на сфере, Собрание протоколов заседания секции физ.-мат. общества естествоиспытателей при Казанском университете, в кн. Громека, И. С., Собр. соч., М.: АН СССР, 1952.

38. Довбыш С. А. Численное исследование двух задач механики: трансвер-салъное пересечение сепаратрис колмогоровская устойчивость. В кн. Численный анализ, математическое моделирование и их применение в механике // М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988.

39. Делоне Н. Б. К вопросу о геометрическом истолковании интегралов двиэ/сения твердого тела около неподвиэ/сной точки, данных С. В. Ковалевской II Мат. сборник Кружка любителей мат. наук, 1892, т. 16, вып. 2, с. 346-351.

40. Жуковский Н.Е., О движении материальной псевдосферической фигуры по поверхности псевдосферы. Полн.собр.соч., т.1, ГТТИ, 1937, с. 490-535

41. Зигель К., Мозер Ю. Лекции о гамилыпоновых системах. В кн. Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости. Ижевск: НИЦ РХД, 2001, с. 141-198. Пер. с англ. J. К. Moser Lectures on Hamiltonian Systems. Mem. Amer. Math. Soc., 1968, v. 81, pp. 1-60.

42. Зиглин С. Jl. О неишпегрируемости ограниченной задачи двух тел на сфере. Доклады РАН, 2001, т. 379, №4, с. 477-478.

43. Зиглин С. Л. Неинтегрируемость задачи о двиэюение четырех точечных вихрей II ДАН СССР, 1979, т. 250, №6, с. 1296-1300.

44. Карапетян А. В. Устойчивость стационарных движений. М., «Эдиториал УРРС», 1998, 168 с.

45. Кирхгоф, Г., Механика. Лекции по математической физике, М.: АН СССР, 1962. Пер. с нем. Kirchhoff, G., Vorlesungen über mathematische Physik, Leipzig: Mechanik, 1874.

46. Козлов B.B. Интегрируемость и иеиитегрируемость в гамилътоновой механике // Успехи мат. наук, 1983, т. 38, № 1, с. 3-67.

47. Козлов В. В. К теории интегрирования уравнений неголономной механики, Успехи механики, 1985, т.8, №5, с.85-107

48. Козлов В. В. Лиувилевость инвариантных мер вполне интегрируемых систем и уравнение Монжа—Ампера. Мат. заметки, 1993, т. 53, № 4, с. 4552.

49. Козлов В. В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. Ижевск, Изд-во РХД, 2000, 256 с.

50. Козлов В. В. О движении диска по наклонной плоскости. ПММ, 1996,5. Г

51. Козлов В. В. О динамике в пространствах постоянной кривизны. Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1994, №2, с. 28-35.

52. Козлов В. В. Симметрии, топология и резонансы в гамилътоновой динамике // Ижевск: Изд-во УдГУ, 1995, 432 с.

53. В.В. Козлов, H.H. Колесников, Об интегрируемости гамильтоновых систем, Вестник Моск. ун-та. Сер.1. Математика. Механика, 1979, вып. 6. с. 88-91.

54. Козлов В.В., Колесников H.H. О теоремах динамики. ПММ, 1978, т. 42, вып. 1, с. 28-33.

55. Козлов В. В., Трещев Д. В. Неинтегрируемостъ общей задачи о вращении динамически симметричного тяэ/селого твердого тела с неподвиэ/сной точкой IIП Вестник Моск. ун-та. Сер. мат., мех., 1986, № 1, с. 39-44.

56. Козлов В.В., Федоров Ю.Н., Интегрируемые системы на сфере с потенциалами упругого взаимодействия, Матем. заметки. Т. 56, вып. 3, 1994. с. 74-79

57. Колесникове.Н. Некоторые задачи механики о качении твердых тел. Дисс. на соискание уч. ст. к. ф.-м.н. Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 1988. 88 с.

58. Колесников С. Н. О качении диска по горизонтальной плоскости. Вестник МГУ. Мат. мех., 1985, №2, с. 55-60.

59. Кузьмин П. А. Дополнение к случаю В. А. Стеклова движения тя.желого твердого тела вокруг неподвижной точки // Прикл. мат. мех., 1952, т. 16, №3, с. 243-245.

60. Кулешов А. С. О стационарных качениях диска по шероховатой плоскости. ПММ, 2001, т. 65, вып. 1, с. 173-175.

61. Магнус К. Гироскоп: теория и применение. М.: Мир, 1974, 526 с.

62. Мак-Миллан В. Д. Динамика твердого тела // M.-JL: Изд-во ин. литер., 1951, 468 с. Пер. с англ.: Macmillan W. D. Dynamics of rigid bodies 11 N. Y. London, 1936.

63. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966, 532 стр.

64. Маринбах М. А. О ляпуновских периодических движениях тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой // Вестн. МГУ, сер. мат. мех., 1979, №5, с. 75-79.

65. Маринбах М. А. О ляпуновских периодических движениях тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой в общем случае II Прикл. мат. мех., 1981, вып. 5, с. 800-807.

66. Маркеев А. П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М.: Наука, 1992, 336 с.

67. Матвеев М. В. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия обратимых систем II Мат. заметки, 1995, т. 57, вып. 1, с. 90-104.

68. Мелешко В. В., Константинов М. Ю. Динамика вихревых структур. Киев, Наукова думка. 1993.

69. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973.

70. Мощук Н. К. Качественный анализ движения тяэюелого тела вращения на абсолютно шероховатой плоскости. ПММ, 1988, т. 52, вып. 2, с. 203210.

71. Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967, 519 с.

72. Нейштадт А. И. Об изменении адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису // Физика плазмы, 1986, т. 12, вып. 8., с. 992.

73. Новиков С. П. Гамилътонов формализм и многозначный аналог теории Морса II Усп. мат. наук, 1982, т. 37, №5 (227), с. 3-49.

74. A.M. Переломов, Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли, М.: Наука, 1990. Engl. transí: A. Perelomov, Integrable Systems of Classical Mechanics and Lie Algebras, Basel: Birkháser Verlag, 1990.

75. Е.М.Полищук. Софус Ли. Л.: Наука, 1983. - 214 с.

76. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. В кн. Избранные труды, т. 1, М.: Наука, 1971. Пер. с франц.: Poincaré Н. Le méthodes nouvelles de la mécanique celesta. Paris, Gauthier-Villars, 1892.

77. Раус Э. Динамика системы твердых тел. т. II, М., 1983. Перевод с англ. RouthE. Dynamics of a System of Rigid Bodies. Dover Publications, New York.

78. С. Т. Садэтов, О регулярной редукции n-мерной задачи N + 1 тел к уравнениям Эйлера Пуанкаре на алгебре Ли sp(2N),

79. Сергеев B.C. О периодических решениях уравнений двиэ/сения тяжелого твердого тела вокруг неподвиэ/сной точки // Вестн. МГУ, сер. мат. мех., 1969, №1, с. 40-51.

80. Ю.Д.Соколов, Особые траектории системы свободных материальных точек, Киев, Изд-во АН УССР, 1951

81. Стеклов В. А. Новое частное решение дифференциальных уравнений движения тяэ/селого твердого тела, имеющего неподвиэ/сную точку // Труды отд. физ. наук Общ-ва любителей естествознания, 1899, т. 10, № 1, с. 1-3.

82. Трещев Д. В. Введение в теорию возмущений гамилътоновых систем II М.: ФАЗИС, 1998, 184 с.

83. Уинтнер А. Аналитические основы небесной механики II М.: Наука, 1967.

84. Федоров Ю. Н. О качении диска по абсолютно шероховатой плоскости. Изв. АН СССР. Мех. твердого тела, 1987, №4, с. 67-75.

85. Харламов М. П., Сергеев Е. К. Построение полного решения одной задачи динамики твердого тела II Мех. тв. тела, Киев, 1982, вып. 14, с. 33-38.

86. Цыганов A.B., Об одной интегрируемой системе, связанной с шаровым волчком и цепочкой Тоды. ТМФ, 2000, т. 124, с. 310-322.

87. Чаплыгин С. А. Новое частное решение задачи о вращении тяэюелого твердого тела вокруг неподвижной точки, в Собр. соч., т. 1 // M.-JL: ГИТТЛ, 1948, с. 125-132. (Изд. 1-е: Труды отд. физ. наук Общ-ва любителей естествознания, 1904, т. 12, № 1, с. 1-4.)

88. Чаплыгин С. А. О движении тяжелого тела вращения на горизонтальной плоскости. Труды отделения физических наук Общества любителей естествознания, антропологии и этнографии, 1897, т. 9, вып. 1, с. 10-16.

89. Чаплыгин С. А. О параболоидном маятнике. Собр. соч., т. 1, 1948, с. 102— 109.

90. Шарлье К. Л. Небесная механика И М.: Наука, 1966, 627 с.

91. Ярощук В. А. Новые случаи существования интегрального инварианта в задаче о качении твердого тела без проскальзывания по неподвижной поверхности II Вестн. МГУ, сер. мат. мех., 1992, Н. 6, с. 26-30.

92. M.Agrotis, P.A.Damianou, C.Sophocleous, The Toda lattices is super-integrable, arXiv:math-ph/0507051vl 20 Jul 2005. 8 p.

93. A. Albouy, A. Chenciner, Le probPeme des n corps et les distances mutuelles, Invent. Math. 1998, v. 131, p. 151-184.

94. Appel P. Sur l'intégration des équations du mouvement d'un corps pesant de rédolution roulant par une arête circulaire sur up plan horizontal; cas parficulier du cerceau. Rendiconti del circolo matemático di Palermo, 1900, v. 14, p. 1-6.

95. Aref H., Pomphrey N. Integrable and chaotic motions of four vortices. I. The case of identical vortices // Proc. R. Soc. London, 1982, V. 380 A, p. 359-387.

96. Avan J. Billey E., Observable Algebras for the Rational and Trigonometric Euler-Calogero-Moser Models, arXiv:hep-th/9404040v2 26 Apr 1994

97. Bagrets A. A., Bagrets D.A. Nonintegrability of two problems in vortex dynamics II Chaos, 1997, V. 7, №3, p. 368-375.

98. T. Banachiewitz, Sur un cas particulier du problème des n corps, C.r. Acad. Sci. Paris, 1906, t. 142, p. 510-512

99. S.Benenti, C.Chanu, G.Rastelli, The super-separability of the three-body inverse-square Calogero system, J. Math. Phys., vol. 41, 2000 , pp. 46544678.

100. A. Bilimowitch, Einige particulâre Lôsungendes Problems der n Kôrper, Astr. Nach., Bd. 189, 1911, pp. 181-186.

101. Billey E., Avan J., Babelon O., The r-matrix structure of the Euler-Calogero-Moser model, arXiv:hep-th/9312042vl 6 Dec 1993

102. Billey E., Avan J., Babelon O., Exact Yangian Symmetry in the classical Euler-Calogero-Moser Model, arXiv:hep-th/9401117vl 24 Jan 1994

103. Boatto S., Laskar J. Point vortex cluster formation in the plane and on the plane and on the sphere. An energy bifurcation condition II Chaos, 2003, V. 13, №3, p. 824-835.

104. A.V. Bolsinov, A.V. Borisov, I.S. Mamaev, Lie algebras in vortex dynamics and celestial mechanics IV, Regul. Chaotic Dyn., 1999, vol. 4, no. 1, pp. 2350.

105. Bolsinov, A. V., Borisov, A. V., Mamaev, I. S., Lie algebras in vortex dynamics and celestial mechanics —IV, Reg. & Chaot. Dyn., 1999, vol. 4, no. 1, pp. 23-50.

106. Borisov A. V., Dudoladov S. L. Kovalevskaya Exponents and Poisson Structures II Reg. & Chaot. Dyn., 1999, V.4, №3, p. 13-20.

107. Borisov A. V., Kilin A. A., Mamaev I. S. Absolute and relative choreographies in the problem of point vortices moving on a plane. Reg. and Chaot. Dyn., 2004, v. 9, N. 2, pp. 101-111.

108. Borisov A. V., Mamaev I. S. Euler-Poisson equations and integrable cases II Reg. & Chaot. Dyn., 2001, V. 6, №3, p. 253-274.

109. A.V. Borisov, l.S. Mamaev Generalized problem of two and four Newtonian centers Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 2005, Vol. 92, No 4, p. 371-380

110. A.V Borisov, l.S. Mamaev The restricted two-body problem in constant curvature spaces Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 2006, Vol. 96, No. l,pp. 1-17

111. Borisov A. V., Mamaev I. S. The rolling of rigid body on a plane and sphere. Hierarchy of dynamic. Regular and Chaotic Dynamics, 2002, v. 7, № 1, p. 177— 200.

112. E. Bour, Mémoire sur le problème des trois corps, J. Ecole. Imp. Polytechn., 1856, vol. 21, pp. 35-58.

113. Burdick J., Goodwine B., Ostrowski J. The Rattleback Revisited, preprint.

114. Butcher J.C. Implicit Runge-Kutta Processes, Math. Comput. 1964. Vol. 18. P. 50-64.

115. F. Calogero, Solution of the one-dimensional TV-body problems with quadratic and/or inversely quadratic pair potentials, J. Mathematical Phys., vol. 12, 1971, pp. 419^436.

116. F. Calogero, C. Marchioro, Exact solution of a one-dimensional three-body scattering problem with two-body and/or three-body inverse-square potentials, J. Mathematical Phys., vol. 15, 1974, pp. 1425-1430.

117. F. Calogero, Exactly solvable one-dimensional many-body problems. Lett. Nuovo Cimento, 1975, vol. 13, pp. 411-416

118. F. Calogero, Lett. Nuovo Cimento, 1976, vol. 16, p. 77

119. E. Cartan, Leçons sur les invariants intégraux, Paris: Hermann, 1922, 210 p.

120. Celletti A., Falclini C. A remark on the KAM theorem applied to a four-vortex problem II J. Stat. Phys., 1988, V. 52, p. 471^477.

121. Chenciner A., Montgomery R. A remarkable periodic solution of the three body problem in the case of equal masses II Annals of Mathematics, 2000, V. 152, p. 881-901.

122. N. A. Chernikov, The relativistic Kepler problem in the Lobachevsky space, Acta Physica Polonica B, vol. 24 (1993) 927-950

123. Cushman R., Hermans J., ICemppainen D. The rolling disk. University of Calgary, Preprint, 1995, 51 p.

124. Diacu F., Santoprete M., Nonintegrability and chaos in the anisotropic Manev problem, Phisica D 156 (2001) 39-52

125. Dyson F.J., Dynamics of a Spinning Gas Cloud, J. Math. Mech. Vol. 18, No 1 (1968). pp. 91-101

126. Eckhardt B. integr able four vortex motion // Phys. Fluids, 1988, V. 31, № 10, p. 2796-2801.

127. Eckhardt B., Aref H. Integrable and chaotic motion of four vortices II. Collision dynamics of vortex pairs II Phil. Trans. R. Soc. Lond., 1988, A, V. 326, p. 655-696.

128. Everhart E. Implicit Single Sequence Methods for Integrating Orbits, Cel. Mech. 1974. Vol. 10. P. 35-55

129. Feigenbaum M. J., Greene J.M., MacKay R. S., Vivaldi V. Universal behaviour in families of area-preserving maps II Physica 3D, 1981, p. 468-486.

130. Ferrers N. M. Extension of Lagrange's equations. Quart. J. of pure and applied Mathematics, 1872, v. 12, № 45, p. 1-5.

131. B. Gaffet, Expanding gas clouds of ellipsoidal shape: new exact solutions, J. Fluid Mech., vol. 325, 1996, pp. 113-144.

132. Gaffet B., Spinning gas clouds without vorticity, J. Phys. A: Math. Gen. 33 (2000) 3929-3946

133. Gaffet B., Sprinning gas without vorticity: the two missing integrals J. Phys. A: Math. Gen. 34 (2001) 2087-2095

134. Gaffet B., Sprinning gas clouds: Liouville integrability J. Phys. A: Math. Gen. 34 (2001) 2097-2109

135. Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.-M. Chaotic motions and transition to stochasticily in the classical problem of the heavy rigid body with a fixed point 11 Nuovo Cimento, 1981, V. 6 IB, №1, p. 1-20.

136. Gellop E. G. On the rise of a Spinning Top. Proc. Cambr. Phylos. Soc., 1904, v. 19, pt. 3, p. 356-373.

137. Gibbons J., Hermsen Th., A generallisation of the Calogero-Moser system, Physica 1 ID, 1984, p.337-348

138. Gogilidze S.A., Khvedelidze A.M., Mladenov D.M., Pavel H.-P., Hamiltonian reduction of SU(2) Dirac-Yang-Mills mechanics, arXiv.hep-th/9707136 vl 15 Jul 1997

139. Gonera C., On the superintegrability of Calogero-Moser-Sutherland model, J. Phys. A: Math. Gen. 31 (1998) 4465-4472

140. E. Hairer, S.P. Norsett, G. Wanner, "Solving ordinary differential equations", I. Nonstiff problems , Springer (1987)

141. Hermans J. A symmetric sphere rolling on a surface. Nonlinearity, 1995, v. 8(4), p. 493-515.

142. Higgs P. W. Dynamical symmetries in a spherical geometiy. I. J. Phys. A., 1979, Vol. 12, №3, p. 309-323.

143. Jacobi C. G. J., Sur L'élimination des Noeuds dans le Probleme des Trois Corps, J. Reine Angew. Math., 1843, bd. 26, pp. 115-131.

144. C.G.J. Jacobi, Problema trium corporum mutuis attractionibus cubis distantiarum inverse proportionalibus recta linea se moventium, Gesammelte Werke, Vol. 4, Berlin: Reimer, 1886. S. 531-539.

145. C.G.J. Jacobi, Theoria novi multiplicatoris systemati aequationum differentialium vulgarium applicandi, Gesammelte Werke, Vol. 4, Berlin: Reimer, 1886, S. 319-509.

146. Julliard-Tosel E., Meromorphic Parametric Non-Integrability; the Inverse Square Potential, Arch. Rational Mech. Anal. vol. 152, 2000, pp. 187-205.

147. E.R. van Kampen, A. Wintner, On a Symmetrical Canonical Reduction of the Problem of Three Bodies, Amer. J. Math., vol. 59, no. 1, 1937, pp. 153-166.

148. E.R. van Kampen, A. Wintner, On the Reduction of Dynamical Systems by Means of Parametrized Invariant Relations, Trans. Amer. Math. Soc., 1938, vol. 44, no. 2, pp. 168-195.

149. Khanin K.M. Quasi-periodic motions of vortex systems // Physica D., 1982, V. 4, p. 261-269.

150. Khvedelidze A., Mladenov D., Euler-Calogero-Moser system from SU(2) Yang-Mills theory, arXiv:hep-th/9906033v3 20 Mar 2000

151. Kidambi, R., Newton, P. K., Collision of three vortices on a sphere, II Nuovo Cimento, 1999, vol. 22, no. C(6), pp. 779-791.

152. Kidambi R., Newton P. K. Motion of three point vortices on a sphere 11 Physica D, 1998, V. 116, p. 143-175.

153. A.A. Kilin Libration points in spaces S2 and L2 Regular and Chaotic Dynamics, 1999, 4 (1), pp. 91 103

154. H.W.Killing , Die Mechanik in den Nicht-Euklidischen Raumformen, J. Reine Angew. Math. 1885. Bd. XCVIII, H. 1. S. 1-48

155. Korteweg D. Extrait d'une lettre ä M.Appel. Rendiconti del circolo matematico di Palermo, 1900, v. 14, p. 7-8.

156. V.V. Kozlov, Lagrange's Identity and Its Generalizations, Regul. Chaotic Dyn., 2008, vol. 13, no. 2, pp. 71-80.

157. Kozlov V. V., Harin A. O. Kepler's problem in constant curvature spaces. Celestial Mech. and Dynamical Astronomy, 1992, Vol. 54, p. 393-399.

158. Krichever I., Babelon O., Billey E., Talon M., Spin generalization of the Calogero-Moser system and the Matrix KP equation, arXiv:hep-th/9411160vl 22 Nov 1994

159. Leimanis E. The general problem of the motion of coupled rigid bodies about a fixed point H Springer-Verlag, Berlin, 1965.

160. Levi D., Wojciechowski S., On the Olshanetsky-Perelomov many-body system in an external field Phys. Lett., vol. ЮЗА, no. 1-2, 1984, pp. 11-14.

161. S. Lie, Begründung einer Invarianten Theorie der BerührungsTransformationen, Math. Ann., 1874, vol. 8, no. 2, pp. 215-303.

162. Liebmann H. Uber die Zantalbewegung in der nichteuklidiche Geometrie. Leipzig Ber, 1903, Vol. 55, p. 146-153.

163. Lim С. C. A combinatorial perturbation method and Arnold's wiskered tori in vortex dynamics II Physica D, 1993, V. 64, p. 163-184.

164. Lim С. С. Graph theory and special class of symplectic transformations: the generalized Jacobi variables 11 J. Math. Phys., 1991, V. 32, № 1, p. 1-7.

165. W. R. Longley, Some particular solutions in the problem of n bodies, Bull. American Mathem. Society, s. 2, v. 13, 1906, pp. 324-335.

166. Luen-Chau Li, Ping Xu, Spin Calogero-Moser systems associated with simple Lie algebras, arXiv:math/0009180vl math.SG] 19 Sep 2000

167. MacKay R. S. Renormalisation in area-preserving maps II World Scientific, 1993, 324 p.

168. Mamaev I. S. New cases when the invariant measure and first integrals exist in the problem of a body rolling on a surface // Reg. & Chaot. Dyn., 2003, Vol.8, №3, p. 331-335.

169. Mamaev I. S., Chernoivan V. A. The restricted two-body problem and the Kepler problem in the constant curvature spaces. Reg. & Chaot. Dyn., 1999, V. 4, №2, P. 112-124.

170. Marsden J.E., Ratiu T.S., Introduction to mechanics and symmetry. A basic exposition of classical mechanical systems, Springer-Verlag, 1994

171. Matveyev M. V. Reversible systems with first integrals II Physica D, 1998, V. 112, p. 148-157.

172. Merson R. H., An operational method for the study of integration processes, Proc. Symp. Data Processing , Weapons Res. Establ. Salisbury , Salisbury (1957) pp. 110-125

173. Mettler E. Periodische und asymptotische Bewegungen des unsymmetrischen schweren Kreisels II Math. Z, 1937, Bd. 43, H. 1, S. 59-100.

174. J. Moser, Geometry of quadrics and spectral theory, The Chern Symposium 1979 (Proc. Internal Sympos., Berkeley, Calif, 1979), Springer, New York-Berlin, 1980, pp. 147-188.

175. Newton, P. K., The N-Vortex problem. Analytical Techniques, Springer, 2001.

176. Noeter F. Über rollende Bewegung einer Kugel auf Rotationsfläche. Leipzig, Teubner, 1909, 56 S.

177. Olshanetsky, M. A., Perelomov, A. M., Explicit solution of the Calogero model in the classical case and geodesic flows on symmetric spaces of zero curvature. Lett. Nuovo Cimento (2) 16 (1976), no. 11, 333-339.

178. Olshanetsky, M. A., Perelomov, A. M., Completely integrable hamiltonian systems connected with semisimple Lie algebras. Invent.Math., 1976, 37, p. 93-109

179. O'Reilly O. M. The Dynamics of rolling disks and sliding disks. Nonlinear Dynamics, 1996, v. 10, p. 287-305.

180. Parker T. S., Chua L. O. Practical numerical algorithms for chaotic systems // New York: Springer-Verlag, 1989.

181. A.M.Perelomov, The simple relation between certai dynamical systems, Comm.Math.Phys., 1978, 63, p.9-11

182. Radau R., Sur une Transformation des équations différentielles de la dynamique, Ann. Sei. E.N.S., 1868, ser. 1, t. 5, pp. 311-375.

183. M. F. Ranada, Superintegrability of the Calogero-Moser system: Constants of motion, master symmetries and time-dependent symmetries, J. Math. Phys. 40, 236-247 (1999).

184. Rimmer R. Generic bifurcations from fixed points of involutoiy area preserving maps // Diff. Equations, 1978, V. 29, p. 329, n P. Math. Res. Paper, La Trobe U., Melbourne, 1979, V. 79, №. 7.

185. E. Rosochatius, Über die Bewegung eines Punktes (Inaugural Dissertation, Univ. Göttingen), Gebr. Unger, Berlin, 1877.

186. D. G. Saari, Collisions, Rings, and other Newtonian N-body Problems, AMS, 2005

187. Serret P. Théorie nouvelle géométrique et mécanique des lignes a double courbure. Paris, Librave de Mallet-Bachelier, 1860, p. 204.

188. Shchepetilov A. V. Reduction of the two-body problern with central interaction on simply connected spaces of constant sectional curvature. J. Phys., A, 1998, p. 6279-6291.

189. G. H. Shortley, The inverse-cube central force field in quantum mechanics, Phys. Rev., vol. 38 (July 1931). pp. 120-127

190. Simo C. Invariant curves of perturbations of поп twist integrable area preserving maps II Reg. & Chaot. Dyn., 1998, V. 3, p. 180-195.

191. Slesser G. М. Notes on rigid dynamics. Quart. J. of mathematics, 1861, v. 4, p. 65-77.

192. R. Smirnov, P. Winternitz, A class of superintegrable systems of Calogero type, J. Math. Phys. vol. 47, 2006, 093505, 8 pp.

193. R. Smimov, P. Winternitz, Erratum: "A class of superintegrable systems of Calogero type"J. Math. Phys. 47, 093505 (2006)] >, Journal of Mathematical Physics, 48:7 (July 2007), 079902, 1 page

194. Staude О. Über permanente Rotationaxen bei der Bewegung eines schweren Körpers um einen festen Punkt II J. Reine und Andew. Math, 1894, Bd. 113, H. 4, S. 318-334.

195. A. Stubhaug, The Mathematician Sophus Lie, Springer, 2002, 555 p.

196. Thomson J. J. The Corpuscular Theory of Metier. London and Tonbridge. 1907.

197. A. V. Tsiganov, On Maximally Superintegrable Systems, Regul. Chaotic Dyn., 2008, 13 (3), pp. 178-190.

198. Wiggins S. Chaotic transport in dynamical systems II NY, Springer, 1992.

199. A. Wintner, Galilei Group and Law of Gravitation, Amer. J. Math., 1938, vol. 60, no. 2, pp. 473^476.

200. Wojciechowski S., Involutive Set of Integrals for Completely Integrable Many-Body Problems with Pair Interaction Lett. Nuovo Cimento, vol. 18, 1977, no. 4, pp. 103-107

201. S. Wojciechowski, Superintegrability of the Calogero-Moser system, Phys. Lett. A, vol. 95, 1983, no. 6, pp. 279-281.

202. Wojciechowski S., An Integrable Marriage of the Euler Equations with the Calogero-Moser System, Phys. Lett. A, 1985, vol. Ill, no. 3, pp. 101-103

203. P. V. Woronetz, Alcuni casi particolaridel moto di un sistema di punti materiali sotto l'asione do forze reciproche, Univ. Izvestia, v. 45, n. lid, 1905, p. 19.

204. Zermelo, E., Hydrodynamische Untersuchungen über die Wirbelbewegung in einer Kügelfläche, Zeitschr. für Math, und Phys., 1902, Bd. 47.