О хаотической динамике двумерных и трехмерных отображений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Гонченко, Александр Сергеевич

• Гонченко, Александр Сергеевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Гонченко, Александр Сергеевич

Содержание

Введение

1 Полуориентируемые подковы в динамике двумерных отображений

1.1 Линейные подковы Смейла и их различные типы

1.2 Подковы Смейла в нелинейной динамике

1.3 Полуориентируемые подковы обобщенных отображений Эно

2 О сценариях возникновения хаоса у трехмерных диффеоморфизмов

2.1 Введение в проблему и постановка задачи

2.2 Постановка задачи и описание основных двух универсальных сценариев возникновения хаоса у трехмерных диффеоморфизмов

2.3 О сценарии 1 возникновения спиральных аттракторов в отображениях

2.3.1 Иллюстрация сценария 1 на примере трехмерных отображений Эно

2.4 О сценарии 2 возникновения лоренцевского или "восьмероч-ного" СА

2.5 О псевдогиперболических С А

2.5.1 К определению аттракторов лоренцевского типа для диффеоморфизмов

2.5.2 Стратегия качественного и численного исследования аттракторов лоренцевского типа в конкретных трехмерных отображениях

3 Лоренцевские аттракторы в трехмерных отображениях Эно

3.1 О квадратичных и обобщенных трехмерных отображениях

Эно

3.2 Численные эксперименты с отображениями Эно

3.2.1 Эксперименты с отображением (3.2)

3.2.2 Численные эксперименты с отображениями Эно (3.7)

3.3 Доказательство Теоремы 3.1

4 О регулярной и хаотической динамике в неголономной модели "кельтского камня"

4.1 Введение и постановка задачи

4.2 Уравнения движения и их свойства

4.2.1 Компактификация: переменные Андуайе-Депри

4.2.2 Симметрии в модели кельтского камня

4.3 Бифуркации и хаотическая динамика

4.3.1 Бифуркации в регулярной динамике

4.3.2 Возникновение хаоса

4.4 Аттракторы лоренцевского типа в динамике кельтского камня

4.4.1 Характеристики СА при Е = Е* = 752

4.4.2 Этапы возникновения и разрушения аттрактора лоренцевского типа в отображении Те

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О хаотической динамике двумерных и трехмерных отображений»

Введение

Одной из основных задач качественной теории динамических систем является задача изучения многомерных систем со сложным, хаотическим поведением траекторий.

Основы качественной теории динамических систем были заложены в конце 19-го и начале 20-го века в классических работах А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова, И. Бендиксона, Дж. Биркгофа. Ее важнейший раздел, теория бифуркаций, как самостоятельная математическая дисциплина, оформилась в работах A.A. Андронова, Е.А. Леонтович, А.Г. Майера, Л.С. Понт-рягина. Прежде всего это касалось динамических систем на плоскости.

В 60-е годы началось бурное развитие качественной теории многомерных динамических систем (размерность которых не меньше трех для потоков и не меньше двух для отображений). Прежде всего это касалось теории грубых динамических систем, получившей наименование гиперболической теории. Основы этой теории были заложены в работах В.М. Алексеева, Д.В. Аносова, Р. Боуэна, Р. Манэ, К. Пью, К. Робинсона, Я.Г. Синая, С. Смейла, Д. Френкса, Л.П. Шильникова, М. Шуба и др. При этом, как оказалось, грубые (гиперболические) системы, в отличие от двумерных, могут допускать и счетное множество периодических траекторий. Хорошо известными примерами такого рода являются двумерный диффеоморфизм с подковой Смейла и диффеоморфизм Аносова двумерного тора. К настоящему времени гиперболическая теория представляет собой важную самостоятельную часть качественной теории, в которой практически не осталось нерешенных проблем.

Основы теории нелокальных бифуркаций многомерных динамических систем были заложены в работах Л.П. Шильникова. Так еще в 60-х годах им были исследованы бифуркации гомоклинических траекторий к состояниям равновесия типа седло [47, 50], седло-узел [47], седло-седло с одной [49] и несколькими [51] гомоклиническими траекториями, а также бифуркации гомоклинических петель состояний равновесия типа седло-фокус [48, 52]. В дальнейшем бифуркации многомерных динамических систем изучались

в работах В.И. Арнольда, B.C. Афраймовича, В.Н. Белых, Л.А. Белякова, В.В. Быкова, М. Вианы, Н.К. Гаврилова, C.B. Гонченко, B.C. Гонченко, JI. Диаса, Ю.С. Ильяшенко, J1.M. Лермана, В.И. Лукьянова, А.Д. Морозова, А.И. Нейштадта, Ш. Ньюхауса, Дж. Пэлиса, К. Симо, Ф. Такенса, Д.В. Тураева, А.Я. Хомбурга, А.Л. Шилышкова и др.

Развитие гиперболической теории и теории бифуркаций привело, в свою очередь, к открытию, в 60-70-х годы, динамического хаоса, что по праву считается одним из самых замечательных достижений современной науки. Благодаря ему стало попятно, что сложное поведение траекторий является характерным свойством нелинейных динамических систем, и, таким образом, для многих проблем естествознания и техники оказалось возможным получить адекватное математическое описание. Математическим образом динамического хаоса в диссипативных системах является странный аттрактор - нетривиальное притягивающее инвариантное множество с неустойчивым поведением траекторий на нем. Также как и для гиперболической теории, бурному развитию которой дал начало пример Смейла [96] его знаменитой подковы, в математической теории динамического хаоса эту роль сыграла работа Э.Лоренца [86], в которой была открыта и численно исследована динамическая модель, названная впоследствии "моделью Лоренца". К настоящему времени имеется масса замечательных математических, прикладных и экспериментальных работ, посвященных странным аттракторам. Отметим только, что важнейший вклад в эту теорию был сделан Л.П. Шильниковым и его учениками. Ими была построена теория спиральных аттракторов (Л.П. Шильников), теория лоренцевских аттракторов (геометрическая модель Афраймовича-Быкова-Шильникова), теория тор-хаоса (возникновение хаоса в результате разрушения двумерного тора - Афраймович-Шильников, и при исчезновении периодического движения типа седло-узел с гомоклинической траекторией - Лукьянов-Шильников), теория диких гиперболических странных аттракторов, включающая теорию псевдо-гиперболических СА - Тураев-Шильников, математические основы теории гомоклинического хаоса - Гонченко-Тураев-Шильников) и др. Тем не менее, в отличие, например, от гиперболической теории, теория странных аттракторов далека от своего завершения - здесь еще есть много актуальных и нерешенных проблем.

Следует заметить, что классическая гиперболическая теория имеет дело в основном с потоками и диффеоморфизмами - гладкими обратимыми отображениями. Однако в качественной теории динамических систем

гладкие необратимые отображения, или эндоморфизмы, также хорошо известны, и их исследованию посвящено большое число работ. Здесь следует отметить исследования К. Мира, Л. Гардини, И. Гумовски, Ж.Р. Маротто, М.И. Малкина, М.Ю. Майстренко, А.Н. Шарковского и др. Интерес к этим объектам хорошо понятен, так как необратимые отображения часто часто возникают как некоторые нормальные формы отображений Пуанкаре при упрощающих процедурах (рейскелинге, отбрасывании малых членов и т.п.), и поэтому допускают более простое исследовании динамики и бифуркаций, чем в исходной системе. Кроме того, необратимыми отображениями описываются многие модели в экономике, теории популяций, нейронных сетях и т.н. Теория таких отображений составляет к настоящему времени особую, вполне самостоятельную часть качественной теории динамических систем, и во многом ее методы, терминология и результаты отличаются от теории диффеоморфизмов. Совсем недавно, например, выяснилось, что и гиперболическая теория здесь может быть весьма необычной, и это касается того, с чего она собственно и началась - подков Смейла, но уже в случае двумерных необратимых отображений (этим вопросам посвящена первая глава диссертации).

Что касается теории странных аттракторов, то одной из основных ее проблем является задача описания сценариев перехода к странным аттракторам (СА) от простых притягивающих режимов - устойчивых состояний равновесия и периодических траекторий. В случае двумерных отображений и трехмерных потоков в этом направлении, как хорошо известно, получено большое число весьма интересных и фундаментальных результатов. Здесь достаточно отметить такие из них, как описание сценариев переходов к спиральному С А (Л. П. Шильников), исследование бифуркаций, приводящих к возникновению аттрактора Лоренца (Афраймович-Быков-Шильников, А.Л. Шильников), странных аттракторов в отображении Эно (М.Эно, М. Бенедикс, Л. Карлесон), в цепях Чуа (В.Белых, Л.Чуа), а также построение новых аттракторов таких, как сингулярно-гиперболические аттракторы (К.А. Моралес, М.Ж. Пасифико, Е.Р. Пужалс, Е.А. Сатаев), аттрактор Белых, аттрактор Лози, аттрактор Рёсслера и др. Естественно, все эти результаты могут быть использованы и при исследовании хаотической динамики многомерных систем (размерности > 3 для отображений и > 4 для потоков). Однако, как недавно выяснилось, такие многомерные системы могут обладать С А новых типов, т.н. дикими гиперболическими аттракторами (Тураев-Шильников). Главной особенность этих аттракторов

является то, что они допускают гомоклинические касания но не содержат устойчивых периодических траекторий, которые не появляются также и при возмущениях (Тураев-Шильников, Белых-Чуа, А.Е. Сатаев). Соответственно дикие гиперболические аттракторы нужно относить к "настоящим" СА, к которым, как известно, до недавнего времени можно было приписывать только лишь гиперболические и квазигиперболические (аттракторы Лоренца) С А.

В связи с этим возникает естественный интерес к проблемам хаотической динамики многомерных систем, связанный, в частности, с нахождением сценариев возникновения С А, в том числе и нового типа - диких гиперболических. В настоящей диссертации мы имеем дело как раз с этой задачей, и предпринимаем попытку анализа хаотической динамики трехмерных гладких отображений с позиций качественной теории. Мы показываем, что, независимо от природы конкретных математических моделей, если только они допускает описание с помощью трехмерных диссипатив-ных (с якобианом меньше единицы) отображений, существуют два основных сценария развития хаоса, приводящих либо к аттрактору Шильникова, который может быть спиральным или седловым, либо к С А лоренцевско-го типа или "восьмерочного" типа. Заметим, что в случае потоков сценарий со спиральным аттрактором, содержащим состояние равновесия типа седло-фокус, был рассмотрен еще в работе Л.П.Шильникова (1986), а здесь мы предлагаем его модификацию, приспособленную именно к трехмерным отображениям.

Одним из важнейших направлений в теории динамического хаоса является применение полученных математических результатов к прикладным задачам. Одна из таких задач - исследование хаотической динамики в неголономной механической модели кельтского камня - рассматривается в диссертации.

Объект исследования В диссертации рассматриваются следующие объекты.

1) Двумерные кусочно-линейные отображения и двумерные обобщенные квадратичные отображения Эно.

2) Однопараметрическис семейства трехмерных диффеоморфизмов, допускающие бифуркации перехода от устойчивой неподвижной точки к странному гомоклиническому аттрактору.

3) Трехмерные обобщенные отображения Эно различного вида.

4) Неголоиомные модели, описывающие движения кельтского камня на плоскости.

Цели и задачи исследования Основная задача диссертации состоит в исследовании хаотической динамики двумерных эндоморфизмов и трехмерных диффеоморфизмов. В случае двумерных эндоморфизмов (двумерных обобщенных квадратичных отображения Эно) задача состоит в исследовании их гиперболической динамики, и выяснении ее новых свойств по сравнению со случаем диффеоморфизмов. В случае трехмерных диффеоморфизмов основная задача состоит в установлении и описании новых универсальных сценариев развития хаоса от устойчивой неподвижной точки к странному гомоклиническому аттрактору и в качественно-численном исследовании этих сценариев в конкретных отображениях - трехмерных обобщенных отображениях Эно различного вида. В качестве приложения полученных результатов рассматривается задача исследования хаотической динамики неголоиомных моделей кельтского камня.

Теоретическая ценность и практическая значимость Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы могут быть применены как в теории динамических систем, так и при исследовании конкретных моделей.

Методологическая и теоретическая основа исследования. В диссертации использованы методы качественной теории динамических систем и теории бифуркаций, а также численные методы, включающие как стандартные алгоритмы, так и специально разработанные.

Научная новизна исследования

Среди новых результатов, полученных в диссертации, можно выделить следующие:

1. В случае двумерных эндоморфизмов открыты подковы Смейла нового типа, так называемые полуориентируемые подковы, найдены их топологические инварианты. Показано, что у таких подков в случае обобщенных квадратичных отображений Эно граничные периодические точки могут быть любых периодов.

2. В случае трехмерных диффеоморфизмов описаны новые универсальные бифуркационные сценарии перехода от устойчивой неподвижной точки к странному гомоклиническому аттрактору либо шильниковеко-

го (спирального или седлового) типа, либо лоренцсвского или восьмс-рочного типа.

3. Построены критерии существования у трехмерных обобщенных отображений Эно странных аттракторов лоренцевекого типа. Качественно и численно исследованы бифуркации, приводящие к таким аттракторам у ряда конкретных отображений.

4. Исследована хаотическая динамика некоторых неголономных моделей кельтского камня. Показано, что здесь могут существовать странные аттракторы спирального типа, смешанная динамика, а также, у некоторых типов камней, аттракторы лоренцсвского типа.

Апробация результатов исследования По теме диссертации опубликовано 15 работ.

Результаты работы докладывались на конференциях: Итоговая научная конф. учебно-научного инновационного комплекса "Модели, методы и программные средства", ННГУ, 2007; V Международная конф. по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2008; IX Всероссийской конф. "Нелинейные колебания механических систем", Н.Новгород, 2012; IUTAM Symposium "From mechanical to biological systems- an integrated approach", 2012; VI Международная конф. по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2012; Мини-конференция "Shilnikov's Workshop посвященная памяти Л.П. Шильнико-ва, Н.Новгород, 2012; IV Int. Conf. GDIS, Izhevsk, 2013; Int. Conf. "Dynamics, Bifurcations and Strange Attractors", N. Novgorod, 2013.

По теме диссертации были также сделаны доклады на научном семинаре отдела дифференциальных уравнений НИИ ПМК ННГУ (руководитель -Л.П.Шильников); на Нижегородском научном семинаре им. Л.П.Шильни-кова "Нелинейная динамика: теория и приложения" (руководитель - C.B. Гонченко); на семинаре по динамическим системам ННГУ (2011, 2012, руководитель А.Д. Морозов); на научном семинаре кафедры ЧиФА ННГУ (2013, руководитель Д.В.Баландин); на семинаре по механике МГУ и ИМАШ РАН (2012, руководитель - Д.В. Трещев); на семинаре по неголономной механике в УдГУ, Ижевск (2011, 2012, руководители - A.B. Борисов, И.С. Мамаев).

Результаты диссертации явились составной частью работ, выполнявшихся при финансовой поддержке РФФИ (гранты 07-01-00566, 10-01-00429,

13-01-00589 и 13-01-97028-роуо1ре), ФЦП "Кадры" No.14.B37.21.0361 и No.14.B37.21.0863, а также гранта Правительства РФ N0. 11.G34.31.0039.

Публикации Всего по теме диссертации автором опубликовано 15 работ, из них 7 работ - в журналах из списка ВАК. Основные результаты, выносимые на защиту, являются новыми, принадлежат автору и изложены в работах [1]-[15]. В работах, выполненных совместно, автору принадлежат доказательства всех основных результатов, вошедших в диссертацию.

Структура диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Объем диссертации: 129 стр., 58 рис., 101 наименование литературы.

Содержание диссертации.

Диссертация состоит из 4 глав.

В первой главе рассматривается задача классификации подков Смейла с точки зрения локальной топологической сопряженности порождающих их двумерных отображений. Показывается, что существует 10 различных типов линейных подков. Устанавливается, что в случае нелинейных подков различных типов может быть бесконечно много. Однако этот результат относится к подковам нового типа, так называемым полуориентируемым подковам, которые могут существовать у эндоморфизмов (необратимых отображений) диска, а также у диффеоморфизмов, заданных на неориеи-тируемых двумерных многообразиях.

Во второй главе изучаются вопросы хаотической динамики трехмерных гладких отображений (диффеоморфизмов). Показывается, что здесь существуют два универсальных сценария развития хаоса от устойчивой неподвижной точки либо к СА шильниковского типа (спиральному или седло-вому), либо к С А лоренцевского или "восьмерочного" типа. Дается качественное описание этих аттракторов, приводятся условия, при которых эти аттракторы могут быть "настоящими" (псевдогиперболическими странными аттракторами). Особое внимание в главе уделяется аттракторам лоренцевского типа для диффеоморфизмов, для которых вводятся определения (основанные на понятиях цепной транзитивности и псевдогиперболичности) и определяется стратегия их идентификации в конкретных моделях.

Третья глава посвящена качественно-численному исследованию аттракторов лоренцевского типа в обобщенных трехмерных отображениях Эпо разного вида. Здесь предпочтение отдается тем отображениям, квадратичным и кубическим, которые имеют гомоклиническое происхождение, т.е.

возникают как нормальные формы соответствующих отображений первого возвращения вблизи гомоклинических касаний. При численных исследованиях используется специально разработанный автором комплекс программ для поиска аттракторов в трехмерных отображениях, для найденных странных аттракторов вычисляются их основные характеристики в соответствии со стратегией идентификации из главы 2.

В четвертой главе рассматривается неголономная модель движения кельтского камня на плоскости. Как хорошо известно, такая модель позволяет ответить на основной вопрос в динамике кельтских камней: о природе реверса - вращательной асимметрии, кельтского камня. Однако, в целом, движение кельтского камня на плоскости рассматривается в механике по-прежнему как один из самых сложных и до сих пор весьма слабо исследованных типов движения твердого тела вообще. Более того, это один из немногих таких видов движения твердого тела, в которых возможна хаотическая динамика. Изучению последней, включая исследование бифуркационных механизмов возникновения хаоса, различных видов хаоса и их характеристик посвящена большая часть главы. В главе показано, в частности, что у некоторых моделей кельтского камня существуют аттракторы лоренцевского типа.

Содержание главы 1.

В первой главе рассматривается задача классификации подков Смейла с точки зрения локальной топологической сопряженности порождающих их двумерных отображений. Показывается, что существует 10 различных типов линейных подков: три типа ориентируемых, три типа неориентируемых и четыре тина полуориентируемых подков. Устанавливается, что в случае нелинейных подков их может быть бесконечно много различных топологических типов. Причем ориентируемых и неориентируемых подков будет по-прежнему по три типа, тогда как полуориентируемых подков разных типов может быть счетное множество. Такие подковы могут существовать у эндоморфизмов (необратимых отображений) диска, а также у диффеоморфизмов на неориентируемых двумерных многообразиях.

В § 1.1 рассматриваются линейные подковы Смейла. Однако здесь вводится ряд классических определений, которые используются также во всей главе. Это собственно определение подковы Смейла как замкнутого инвариантного множества отображения диска на себя, обладающего определенными геометрическими свойствами - Определение 1.1; определение локальной топологической сопряженности отображений, имеющих замкну-

тые инвариантные множества - Определение 1.2, которое означает, что отображения сопряжены не только на траекториях, лежащих в указанных инвариантных множествах (Г2-сопряжены), но и на траекториях из их достаточно малых окрестностей; определение граничных точек гиперболических множеств - Определение 1.3. Заметим, что понятие граничной периодической точки гиперболического базисного множества Л двумерного диффеоморфизма было введено В.З.Гринесом [33], и оно может быть сформулировано следующим образом.

• Седловая периодическая точка Р 6 А называется ¿-граничной, если отрезок УУ[0С(Р) её устойчивого многообразия делит любую достаточно малую окрестность У{Р) точки Р на два открытых диска У\ и Ц таких, что У\ П А = 0 и Уч П А ф 0. Аналогично, точку будем называть ?х-граничной, если такое разделение имеет место для \У1'ос. Точку, которая является одновременно в-граничной и и-граничной, будем называть (¿>, м)-граничной.

Основные результаты § 1.1 связаны с (локальной) топологической классификацией линейных подков Смейла: для ориентируемых и неориенти-руемых подков Смейла - Теорема 1.1, для полуориентируемых линейных подков - Теорема 1.2. В этих теоремах устанавливается, что тип соответствующих подков полностью определяется характером их граничных периодических точек (которые здесь являются либо неподвижными, либо точками периода 2).

В § 1.2 напоминаются некоторые известные результаты о существовании подков в динамических системах: вблизи грубой гомоклинической траектории, в системах с гомоклиническими петлями к состояниям равновесия типа седло-фокус, в системах с гомоклиническими касаниями, в геометрической модели аттрактора Лоренца, а также у квадратичного двумерного отображения Эно, которому здесь уделяется основное внимание. Хорошо известно, что отображение Эно может быть записано в виде

х = У, У = 72/(! -У)~ Ьх, (1)

где Ь и 7 - параметры, причем Ь - это якобиан отображения (1). Такая форма удобна для исследований, поскольку всё неблуждающее множество отображения (1) сосредоточено на квадрате С} — [—г/, 1 + и] х [—и, 1 + г/], где V не зависит от 7 и и —0 при 6 —>■ 0. При этом наиболее известное условие существования подковы Смейла, [69, 56], у отображения (1) будет

выглядеть как

7> (|Ь| + 1)(2 + \/5).

(2)

При этом подкова будет либо ориентируемой при Ь > О, либо неориентиру-емой при Ь < О (см. рис. 1.13).

Основным параграфом первой главы является § 1.3, в котором изучается гиперболическая динамика обобщенного отображения Эно

Отметим, что отображение (3), как и его аналоги, было введено в [75, 27] как нормальная форма отображения первого возвращения вблизи квадратичного гомоклинического касания к седловой неподвижной точки с сед-ловой величиной, равной 1.

В диссертации предполагается, что параметры Ь и а достаточно малы а 7 не мало (во всяком случае 7 > 2 + л/5 в соответствии с условием (2)).

Далее будем обозначать отображение (3) через Т. Заметим, что Т не является диффеоморфизмом на К2. Его якобиан J(T) равен 3 — Ь — ау и, следовательно, обращается в нуль на линии 1о : у = Ь/а. Образом этой линии относительно Т является единственная точка

которую мы называем точкой коллапса. Наличие такой сингулярности оказывает сильное влияние на динамику отображения Т в целом, которое проявляется даже в том случае, когда она гиперболична. Однако, если линия у — Ь/а не пересекает то А(Т) - это либо ориентируемая (при Ь > 0), либо неориентируемая (при Ь < 0) подкова Смейла. В противном случае, возникает новая гиперболическая динамика, связанная с существованием т.н. полу ориентируемых подков, некоторые примеры которых показаны на рис. 1.14.

В работе [74] показано (см. Теорему 1.3), что в любой достаточно малой окрестности V начала координат плоскости (а, Ь) существует конусообразная область Г> (примыкающая к точке (0, 0))

х = у, У = 72/(1 -у)-Ъх + аху.

(3)

а

где р(а, Ъ) —> 0 при а, Ь —> 0, такая что

1) А(Т) при (а,Ь) е У\Е> является подковой Смейла - ориентируемой при Ь > 0 и неориентируемой при Ь < 0;

2) область Ё содержит бесконечно много открытых областей, примыкающих к точке (0,0), при значениях параметров из которых Л(Т) является полуориентируемой подковой.

Следующая лемма - это усиленный вариант утверждения 2).

Лемма 1.1. Область Е) содержит счетное множество открытых областей д, д1, дг,..., др,1,др,г, ■ ■ •, границам каждой из которых отвечают ситуации, когда Р* 6Е У/8{01). Пусть О ~ объединение этих областей. Если (а, Ь) € 0, то А(Т) - полуориентируемая гиперболическая подкова. Замкнутое мноэюество /С = Ё \ (7 является одномерным конусом над канторовским множеством, и если (а, Ь) Е К, то А(Т) является сингулярной подковой.1

Иллюстрация к этой лемме приведена на рис. 1: по сути здесь устанавливается взаимно-однозначное соответствие между областями из Я и блуждающими компонентами: СИ (вершина подковы), С, О'р (полоски на квадрате )), где /3 - это многозначный индекс, представляющий конечный отрезок, составленный из символов 0 и 1. Указанные компоненты строятся по правилу: Т(С) - 6, Т(в0),Т{С1) С С,..., Т(Сро),Т{Ср1) С вр и полоска С/зо лежит на ф ниже Ср\. Также и - это половинки полоски С/з, лежащие соответственно слева и справа от линии х = | симметрии квадрата С}. При этом области д, ди дгд[р, дгр на плоскости параметров отвечают тем значениям параметров Ъ и а, при которых Р* принадлежит С, Сг, Сг^, Ср соответственно. Заметим, что поскольку неподвижная точка 0\ (с положительным неустойчивым мультипликатором) является 5-граничной для А(Т), всегда можно считать, что полоски б и имеют инвариантные границы - верхнюю и нижнюю, которым отвечают соответствующие куски устойчивого многообразия \¥ь{0\).

Лемма 1.2. Пусть отображения Т и Т' имеют полуориентируемые подковы А и А' соответственно такие, что Р* 6 Ср и Р*' 6 С/?'. Если ¡ЗФР' или ¡3 = /3', по Р* е Р*' е (либо Р* е Р*' е в^), то системы Т|А и Т'\А' не являются локально топологически сопряженными.

ХУ такой подковы множество ее траектории по-прежнему находится во взаимно-однозначном соответствии с множеством траекторий топологической схемы Берпулли из двух символов, по некоторые траектории "склеиваются" в одной точке, точке коллапса, и далее итерируются под действием Т как одна эта точка.

ориентируемые подковы

неориентируемые подковы

правоориентируемая подкова

(Ь)

Рисунок 1:

левоориентируемая подкова

Отсюда сразу вытекает следующее утверждение.

Теорема 1.4. Существует счетное множество локально-топологически несоп-ряженных полу ориентируемых подков.

Те полуориентируемые подковы, которые отвечают области НО\ параметров (а,Ь) будем называть право-ориентируемым,и (рис.1 а), а области НО-2 - лево-ориентируемыми (рис.1 с). Очевидно, лево- и право-ориентируемые подковы не сопряжены друг другу. Однако, две подковы одного типа могут быть сопряжены. Пусть НС* - это множество, состоящее из счетного набора непересекающихся открытых областей С, (?', Ог, О1^. С3 для всевозможных /3. Тогда справедливо следующее утверждение.

Теорема 1.5. Для, локальной топологической сопряженности полуориентируемых гиперболических подков А и А' одинакового типа, лево- или прав о-ориентируемых, необходимо и достаточно, чтобы Р* и Р*' принадлежали одной и той же компоненте связности м,ноо/сества НС*.

Очевидно теперь, что зная положение точки коллапса Р*, можно получить полную информацию о топологических свойствах соответствующей полуориентируемой подковы А. Естественно, это не всегда просто. Мы опишем только один результат такого сорта, который иллюстрирует, однако, весьма нетривиальную динамику даже в случае гиперболических подков.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гонченко, Александр Сергеевич, 2013 год

Список литературы

[1] Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах // М.: Наука, 1990.

[2] Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательно кривизны. М.: Наука, 1967. 210 с.

[3] Аносов Д.В., Арансон С.Х., Бронштейн И.У., Гринсс В.З. Гладкие динамические системы // Итоги пауки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, Динамические системы-1, 1985, Т.1, ВИНИТИ.

[4] Динамические еистемы-9 (ред. Д.В.Аносов).- Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, Т.66, М.: ВИНИТИ, 1991.

[5] Аносов Д.В. Динамические системы в 60-е годы: гиперболическая революция // в кн. "Математические события XX века", М.: ФАЗИС, 2003, 1-18.

[6] Афраймович B.C., Быков В.В., Шильников Л.П. О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца // Труды ММО, 1982, Т.44, 150-212.

[7] Аносов Д.В., Солодов В.В. Гиперболические множества //в кн. Динамические системы-9, ред. Аносов Д.В., ВИНИТИ, Москва, 1999, с.12-99.

[8] Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С., Шильников Л.П. Теория бифуркаций // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Совр. про-бл. матем. Фундам. направлениея, 1986, Т.5.

[9] Астапов И.С. Об устойчивости вращения, кельтского камня // Вестн. МГУ, сер.1, мат., механ. 1980, №2, 97-100.

[ÎOJ Афраймович B.C., Шилышков JT.П. О некоторых глобальных бифуркациях, связанных с исчезновением неподвижной точки типа седло-узел // ДАН СССР, 1974, т.219, №6, 1281-1285.

[11] Афраймович B.C., Быков В.В., Шильников Л.П. О возникновении и структуре аттракторов Лоренца // ДАН СССР, 1977, т.234, №2, 336-339.

[12] Афраймович B.C., Шильников Л.П. Инвариантные торы, их разрушение и стохастичность // Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. тематич. сб. науч. тр., Горьк. гос. ун-т, Горький, 1983, 3-26.

[13] Марсден Дж. и Мак- Кракен М. "Бифуркация рождения цикла и ее приложения." М., Мир, 1980.

[14] Борисов A.B., Мамаев И.С. Странные аттракторы; в динамике кельтских камней // в кн. "Неголономные Динамические Системы", M осква-Ижевск, 2002, с.293-316.

[15] Борисов A.B., Мамаев И.С. Странные аттракторы в динамике кельтских камней // УФН, 2003, т. 117, №4, 407-418.

[16] Борисов A.B., Мамаев И.С. Динамика твердого тела // Издательство РХД: Москва-Ижевск, 2001, 384с. Москва-Ижевск, 2002.

[17] Белых В.Н. Хаотические и странные аттракторы двумерного отображения/ / Матем. сб., 1995, т. 186, No.3, 3-18.

[18] Быков В.В. О бифуркациях динамических систем, близких к системам с сепаратрисным контуром, содержащим седло-фокус // в сб. "Методы качественной теории дифференциальных уравнений", Горький, 1980, 44-72.

[19] Гаврилов Н.К., Шильников Л.П. О трехмерных динамических системах, близких к системе с негрубой гомоклинической кривой // Часть 1- Матем. сб., 1972, Т.88, No.4, 475-492; Часть 2,- там же, 1973, Т.90, No.l, 139-157.

[20] Гонченко C.B., Тураев Д.В., Шильников Л.П. О существовании областей Ньюхауса вблизи систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре (многомерный случай) // Докл.Росс.Акад.Наук, 1993, т.329, No.4, 404-407.

[21] Гончснко C.B., Тураев Д.В., Шильников Л.П. Динамические явления в м,ногомерных системах с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре // Докл. Росс. Акад. Наук, 1993, т.ЗЗО, №2, 144-147.

[22] Гонченко C.B., Тураев Д.В., Шильников Л.П. Об областях Ныохауса двумерных диффеоморфизмов, близких к диффеоморфизму с негрубым гетероклиническим контуром // Труды МИАН, 1997, т.216, 76125.

[23] Гонченко C.B., Тураев Д.В., Шильников Л.П. О динамических свойствах диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями // Современная математика и ее приложения, 2003, т.7, 92-118.

[24] Гонченко C.B., Гонченко A.C. К вопросу о классификации линейных и нелинейных подков См,ейла // Нелинейная Динамика, 2007, Т.З, No.4, 423-443.

[25] Гонченко C.B., Гонченко A.C., Малкин М.И. О классификации классических и полу ориентируемых подков в терминах граничных точек // Нелинейная Динамика, 2010, т.6, No.3, с.549-566.

[26] Гомоклинические касания // сб. статей под ред. С.В.Гонченко и Л.П.Шильникова, Москва-Ижевск, 2007.

[27] Гонченко C.B., Гонченко B.C. О бифуркациях рождения замкнутых инвариантных кривых в случае двумерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями // Труды МИАН, 2004, Т.244, 87-114.

[28] Гонченко C.B., Комлев Ю.А. Бифуркации и хаос в кубическом отображении плоскости II в кн. "Методы качественной теории и теории бифуркаций". Горький, 1988, 33-39.

[29] Гонченко A.C., Гонченко C.B., Шильников Л.П. К вопросу о сценариях возникновения хаоса у трехмерных отображений // Нелинейная Динамика, 2012, т.8, №1, 3-28.

[30] Гонченко A.C., Гонченко C.B., Казаков А.О. О некоторых новых аспектах хаотической динамики "кельтского камня" // Нелинейная динамика, 2012, т.8, №3, с. 507-518

[31] A.C. Гонченко, C.B. Гонченко О существовании аттракторов лорен-цевского типа в неголономной модели кельтского камня.// Нелинейная динамика, 2013, т.9, № 1, с. 77-89.

[32] Гонченко A.C. Об аттракторах лорепцевского типа в модели кельтского камня, ff Вестник УдГУ мех., мат., 2013, вып.2, No.3, 3-11.

[33] Гринес В.З. О топологической сопряженности диффеоморфизмов двумерного многообразия на одномерных базисных множествах // Часть 1.- Труды ММО, 1975, Т.32, 35-61; Часть 2.- там же, 1977, Т.34, 243-252.

[34] Карапетяп A.B. О реализации неголономных связей силами вязкого трения и устойчивость кельтских камней // Прикл ма. и механ., 1981, т.45, вып.1, 42-51.

[35] Карапетян A.B. Бифуркации Хопфа в задаче о двиэ/сении гпяэ/селого твердого тела по шероховатой плоскости // Изв. АН СССР, мсхан. тв. тела, 1985, №2, 19-24.

[36] Кузнецов С.П., Жалнин А.Ю., Сатаев И.Р., Седова Ю.В. Феномены нелинейной динамики диссипативных систем в иеголономной динамике "кельтского камня" // Нелинейная Динамика, 2012, т.8, №4, 735-762.

[37] Лукьянов В.И., Шильников Л.П. О некоторых бифуркациях динами-ческизх систем с гомоклиническими структурами // ДАН СССР, 1978, т.243, №1, 26-29.

[38] Маркеев А.П. О динамике твердого т,ела на абсолютно шероховатой плоскости II Прикл ма. и механ., 1983, т.47, вып.4, 575-582.

[39] Маркеев А.П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью II Москва-Ижевск, изд-во РХД, 2011, 463с.

[40] Морозов А.Д., Драгунов Т.Н. Визуализация и анализ инвариантных множеств динамических систем // РХД: Ижевск, 2003, 304 с.

[41] Сатаев Е.А. Отсутствие устойчивых траекторий у неавтономных возмущений систем типа системы Лоренца // Матем. сб., 2005, т. 196, №4, 99-134.

[42] Сатаев Е.А. Некоторые свойства сингулярно гиперболических аттракторов II Матем. сб., 2009, т.200, №1, 37-80.

[43] Сатаев Е.А. Стохастические свойства сингулярно гиперболических аттракторов 11 Нелинейная динам., 2010, т.6(1), 187-206

[44] Турасв Д.В., Шильников Л.П. Бифуркации квази- аттрактор о в тор-хаос // в кн. "Матем. Механизмы турбулентности", Киев, 1986.

[45] Тураев Д.В., Шильников Л.П. Пример дикого странного аттрактора // Матем. сб., 1998, т. 189, №2, 137-160.

[46] Тураев Д.В., Шильников Л.П. Псевдогиперболичность и задача о периодических возмущениях аттракторов лоренцевского типа // Доклады Академии Наук, 2008, т.418, №1, 23-27.

[47] Шильников Л.П. О рождении периодических движений в п-мерном пространстве // Матем. сборник, 1963, 4, 443-466.

[48] Шильников Л.П. Об одном случае существования счетного множества периодических движений // ДАН СССР, 1965, т.160, №3, 558561.

[49] Шильников Л.П. О рождении периодических движений из траектории. идущей из состояния равновесия типа седло-седло в него же// ДАН СССР, 1966, т. 170, N0.1, с.49-52

[50] Шильников Л.П. О рождении периодического движения из траектории двоякоасимптотической к состоянию равновесия типа седло Ц Матем.сборник, 1968, т.77 (119), N3, с.461-472

[51] Шильников Л.П. Об одном новом типе бшфуркаций многомерных динамических систем // ДАН СССР, 1969, т.182, по.1, с.53-56

[52] Шильников Л.П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фюкус // Матем. сборник, 1970, т.81, №1, 92-103.

[53] Шильников Л.П. Теория бифуркаций и модель Лоренца // Дополнение I к книге Дж.Марсдена и М.Мак- Кракена "Бифуркация рождения цикла и ее приложения."М., Мир, 1980, с.317-335.

[54] Шильников Л.П. Теория бифуркаций и турбулентность // в сб. "Методы качественной теории дифференциальных уравнений Горький, 1986, 150-163.

[55] Шильников Л.П. Об одной задаче Пуанкаре-Биркгофа // Матем. сб., 1967, Т.74(116), 378-397.

[56] Afraimovich V.S., Shilnikov L.P. Strange attractors and quasiattractors // in "Nonlinear Dynamics and Turbulence", 1982, Pitman, Boston, 336-339.

[57] Afraimovich V.S. Strange attractors and quaiattractors// Nonlinear and Turbulent Processes in Physics, ed. by R.Z.Sagdeev, Gordon and Breach, Harwood Academic Publishers, 1984, V.3, 1133-1138.

[58] Aframovich V.S., Shilnikov L.P. Quasiattractors // Nonlinear Dynamics and Turbulence, eds Barenblatt G.I., Iooss G., Joseph D.D., Boston, Pitmen, 1983.

[59] J. Auslander, P. Seibert. Prolongations and stability in dynamical systems. Ann. Inst. Forier., Genoble, 14 (1964), 237-268.

[60] Bischi G.I., Gardini L., Mira C. Plane maps with denominator. Part I: some generic properties // Int.J. Bifurcation and Chaos, 1999, V.9, No.l, 119-153.

[61] Borisov A., Kazakov A. Strange attractors in the rock'n'roller in the plane problem // IUTAM Symposium "From Mechanical to Biological Systems - an Integrated Approach 5-10 June 2012, Izhevsk, Russia, Book of abstracts, p. 17-18.

[62] Bykov V.V. The bifurcations of separatrix contours and chaos j/ Physica D, 1993, v.62, 290-299.

[63] Borisov A.V., Jalnine A.Yu., Kuznetsov S.P., Sataev I.R., Scdova J.V. Dynamical Phenomena Occurring due to Phase Volume Compression in Nonholonomic Model of the Rattleback // Regular and Chaotic Dynamics, 2012, v.17, No 4.

[64] Belykh V.N., Chua L.O. New Type of Strange Attractor from a Geometric Model of Chua's Circuit/- Int. J. of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering, 1992, vol.2, no.3, pp.697-704.

[65] Bencdicks M., Carleson L. The dynamics of the Henon map // Ann. Math., 1991, v.133, 73-169.

[66] H.W. Broer, G.B. Huitema, F. Takens, B.L.J. Braaksma Unfoldings and bifurcations of quasiperiodic tori // Mem. AMS, 1990, v. 83(421), 1-175.

[67] Chenciner A. Courbes ferme es invariantes non normalernent hyperboliques au voisinage d'une bifurcation de Hopf degeneree de

diffeomorphismes R2 // Comptes rendus Acad. Sci., 1981, 292, ser. 1, 507-510.

[68] Delshams A., Gonchenko S.V., Gonchenko V.S., Lazaro J.T. and Stenkin O.V. Abundance of attracting, repelling and, elliptic periodic orbits in two-dimensional reversible maps// Nonlinearity, 2013, v.26, No.l, 1-33.

[69] Devaney R., Nitecki Z. Shift automorphisms in the Henon mapping // Comm. Math. Phys., 1979, V.67, 137-146.

[70] Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Stenkin O.V. On Newhouse regions with infinitely many stable and unstable invariant tori // Proc.Int.Conf. "Progress in Nonlinear Science" dedicated to 100th Anniversary of A.A.Andronov; v,l "Mathematical Problems of Nonlinear Dynamics", N.Novgorod, 2002, 80-102.

[71] Gonchenko S., Shilnikov L., Turaev D. Homoclinic tangencies of arbitrarily high orders in conservative and dissipative two-dimensional maps // Nonlinearity, 2007, v.20, 241-275.

[72] Gonchenko S.V., Meiss J.D., Ovsyannikov I.I. Chaotic dynamics of three-dimensional Henon maps that originate from a homoclinic bifurcation // Regular Chaotic Dyn., 2006, v.ll, 191-212.

[73] Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. On dynamical properties of multidimensional diffeomorphisms from Newhouse regions. I // Nonlinearity, 2008, v.21, 923-972.

[74] Gonchenko S., Li M.-C., Malkin M. Generalized Henon maps and Smale horseshoes of new types // International Journal of Bifurcation and Chaos, 2008, V.18(10), 3029-3052.

[75] Gonchenko S.V., Gonchenko V.S. On Andronov-Hopf bifurcations of two-dimensional diffeomorphisms with homoclinic tangencies // WIAS-preprint No.556, Berlin, 2000.

[76] Gonchenko S.V., Gonchenko V.S., Shilnikov L.P. On homoclinic origin of Henon-like maps // Regular and Chaotic Dynamics, 2010, v.15, Nos.4-5, 462-481.

[77] Gonchenko S.V., Shilnikov L.P:, Turaev D.V. On dynamical properties of multidimensional diffeomorphisms from Newhouse regions. II // Nonlinearity (to appear).

S.V. Gonchenko, A.S. Gonchenko, I.I. Ovsyannikov, D.V. Turacv Examples of Lorenz-like attractors in Henon-like maps - to appear

Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. Dynamical phenomena in systems with structurally unstable Poincare homoclinic orbits // Chaos, 1996, v.6, №1, 15-31.

Gonchenko S.V., Ovsyannikov I.I., Simo C., Turaev D. Three-dimensional Henon-like maps and wild Lorenz-like attractors // Bifurcation and Chaos, 2005, v.15, 3493-3508.

Hirsch M.W., Pugh C.C., Shub M. "Invariant manifolds".- Lecture Notes in Math., vol.583, Springer-Verlag, Berlin, 1977.

Klinshpont N.E., Sataev E.A. and Plykin R.V. Geometrical and dynamical properties of Lorenz type system, // J.Physics: Conference Series, 2005, v.23, 96-104.

Lamb J.S.W. and Stenkin O.V. Newhouse regions for reversible systems with infinitely many stable, unst able and elliptic periodic orbits // Nonlinearity, 2004, v.17, No.4, 1217-1244.

Li M.-C., Malkin M. Bounded nonwandering sets for polinornial mappings //J. Dyn. and Control Sys., 2004, V.10, 377-389.

Lomeli H.E., Meiss J.D. Quadratic volume preserving maps // Nonlinearity, 1998, v. 11, 557-574.

Lorenz E.N. Deterministic Nonperiodic Flow // Journal of the Atmospheric Sciences, 1963, v.20, 130-141.

Morales C. A., Pacifico M. J., Pujals E. R. On C1-robust singular transitive sets for three-dimensional flows // C. R. Acad. Sci. Paris, Scr. 1 Math., 1998, vol. 326, no. 1, pp. 81-86.

Morozov A.D., Dragunov T.N., Boykova S.A. and Malysheva O.V. Invariant sets for WINDOWS // 1999, World Scientific: Singapore, 259p.

Morales C. A., Pacifico M. J., Pujals E. R. Singular-hyperbolic systems // Proc. Amer. Math. Soc., 1999, vol. 127, no. 11, pp. 3393-3401.

) Newhouse S.E. Diffeomorphisms with infinitely many sinks // Topology, 1974, v.13, 9-18.

[91] Newhouse S.E. The abundance of wild hyperbolic sets and non-smooth stable sets for diffeomorphisms // Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci., v.50, 101-151

[92] D.Ruelle Small random perturbations and the definition of attractors. Geometric dynamics, Proc. Int. Symp., Rio de Janeiro/Brasil 1981, Lect. Notes Math. 1007, 663-676 (1983).

[93] A.L. Shilnikov. On bifurcations of the Lorenz attractor in the Shimuizu-Morioka model. Physica D 62 (1993), 338-346.

[94] Shilnikov L.P. Mathematical Problems of Nonlinear Dynamics: A Tutoraial //J. Franklin Inst., Elsevier Science Ltd, Pergamon., 1997, v. 334, N5/6, 793 - 864.

[95] Shilnikov L.P. Bifurcations and strange attractors // Proc. Int. Congr. Math. (Beijing, 2002): Vol.3, Beijing: Higher Ed. Press, 2002, 349-372.

[96] Smale S. A structurally stable differentiable homeomorphism with an infinite number of periodic points // Труды междунар. симпозиума rio нелинейным колебаниям, Киев, т. 2, 1963, 365-366.

[97] Smale S. Diffeomorphisms with many periodic points // Diff. and Comb. Topology, Princeton Univ. Press, 1965, 63-80.

[98] Shilnikov L.P. Mathematical problems of nonlinear dynamics: a tutorial // Int.J. Bifurcation and Chaos, 1997, V.6, No.6, 969-989.

[99] Tedeshini-Lalli L., Yorke J.A. How often do simple dynamical processes have infinitely many coexisting sinks? // Comm.Math.Phys., 1986, V.106, 635-657.

[100] Vitolo R. Bifurcations of attarators in 3D diffeomorphisms// PhD Thesis, 2003 (Groningen univ. press)

[101] Yorke J., Yorke E. Metastable chaos: the transition to sustained chaotic behavior in the Lorenz model //J. Stat. Phys., 1979, v.21, No.3, 263-278.