Тензорные инварианты и интегрируемость в неголономной механике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, доктор наук Бизяев Иван Алексеевич

• Бизяев Иван Алексеевич
• доктор наук
• 2018

Оглавление диссертации доктор наук Бизяев Иван Алексеевич

Введение

Глава 1. Развитие неголономной механики и методы исследования динамических систем

1.1. Исторический обзор развития неголономной механики

1.1.1. Первый период: до работы Герца 1894 года

1.1.2. Второй период (1894-1912): интенсивное развитие общей концепции неголономных систем

1.1.3. Третий период (1913-1966): начало неголономной геометрии

1.1.4. Четвертый период (1967-1984): книга Ю. И. Неймарка и Н. А. Фуфаева

1.1.5. Пятый период: современное развитие неголономной механики

1.2. Теорема Фробениуса

1.3. Принцип Даламбера- Лагранжа для систем с неинтегрируемыми связями

1.3.1. Уравнения движения

1.3.2. Закон сохранения энергии

1.3.3. Неголономный базис и псевдогамильтоново представление

1.4. Тензорные инварианты и свойства динамических систем

1.4.1. Тензорные инварианты неголономных систем

1.4.2. Тензорные инварианты и динамические особенности поведения

1.4.3. Интегрируемость и приводимость

1.4.4. Динамика на двумерном торе

1.5. Методы гамильтонизации в неголономной механике

1.5.1. Метод приводящего множителя

1.5.2. Конструкция Хоймана

1.6. Дискретные симметрии

1.6.1. Инволюции и локальная консервативность

1.7. Процедура редукции

Глава 2. Иерархия динамики при качении твердого тела

2.1. Уравнения движения при качении твердого тела без проскальзывания и верчения

2.1.1. Качение тела по плоскости

2.1.2. Качение тела по сфере

2.2. Отображение Пуанкаре и иерархия динамики

2.3. Условия существования инвариантной меры и конформно-гамильтоново представление

2.3.1. Условия существования инвариантной меры для случая плоскости

2.3.2. Конформно-гамильтоново представление системы в случае качения

по плоскости

2.3.3. Условия существования инвариантной меры для случая сферы

2.3.4. Конформно-гамильтоново представление системы в случае качения

по сфере

2.4. Качение твердого тела по плоскости

2.4.1. Тело вращения с динамической симметрией (/1 = /2 = /3)

2.4.2. Тело с шаровым тензором инерции

2.4.3. Эллипсоид со специальным распределением масс

2.4.4. Уравновешенный динамически несимметричный шар

2.4.5. Неуравновешенный динамически несимметричный шар

2.5. Качение твердого тела по сфере

2.5.1. Тело вращения с динамической симметрией (/1 = /2 = /3)

2.5.2. Эллипсоид со специальным распределением масс

2.5.3. Уравновешенный динамически несимметричный шар

2.5.4. Тело с плоским участком

2.6. Иерархия динамики при качении твердого тела по плоскости, связанная с обратимостью

2.6.1. Иерархия динамики в задаче о качении эллипсоида

2.6.2. Иерархия динамики в задаче о качении неуравновешенного динамически несимметричного шара

2.7. Проблема гамильтонизации и существования инвариантной меры в задаче о качении твердого тела без проскальзывания

2.7.1. Уравнения движения

2.7.2. Необходимые условия существования непрерывной инвариантной меры143

2.7.3. Качение трехостного эллипсоида

Глава 3. Динамика неголономных систем модельного характера

3.1. Движение саней Чаплыгина на цилиндре

3.1.1. Уравнения движения

3.1.2. Движение по инерции

3.1.3. Движение в поле тяжести

3.2. Движение roller-racer

3.2.1. Уравнения движения

3.2.2. Движение по инерции

3.3. Сани Чаплыгина с изменяющимся распределением масс

3.3.1. Уравнения движения

3.3.2. Случаи существования первых интегралов и инвариантных соотношений

3.3.3. Поперечные колебания — частные случаи

3.3.4. Поперечные колебания — общий случай: разгон и хаотическая динамика178

3.4. Задача Суслова в поле тяжести

3.4.1. Уравнения движения

3.4.2. Первые интегралы и инвариантная мера

3.4.3. Отображение Пуанкаре и инволюции

3.5. Задача Суслова и квантование числа вращения

3.5.1. Обобщение случая Гесса

3.5.2. Бифуркационая диаграмма

3.5.3. Нулевая константа площадей

3.5.4. Число вращения и предельные циклы

3.6. Неголономный шарнир

3.6.1. Реализация связи и уравнения движения

3.6.2. Тензорные инварианты приведенной системы

3.6.3. Пуассоновы структуры ранга два и интегрируемость в квадратурах

3.6.4. Качественный анализ приведенной системы

3.6.5. Топологический анализ интегральных многообразий и классификация траекторий

3.6.6. Абсолютная динамика

Глава 4. Интеграл Якоби в неголономной механике

4.1. Общий формализм

4.1.1. Интеграл энергии в неголономных системах

4.1.2. Вращение опорной поверхности и интеграл Якоби

4.1.3. Обобщение интеграла Якоби

4.2. Сани Чаплыгина на вращающейся плоскости

4.2.1. Уравнения движения. Первые интегралы

4.2.2. Суперинтегрируемая динамика уравновешенных саней (конька Чаплыгина)

4.3. Шар на равномерно вращающейся поверхности

4.3.1. Уравнения движения, интеграл Якоби, инвариантная мера

4.3.2. Качение шара на поверхности вращения

4.3.3. Шар на конусе и плоскости

Глава 5. Динамика неголономной системы, состоящей из сферической оболочки с подвижным твердым телом внутри

5.1. Однородная сферическая оболочка с твердым телом, закрепленным в геометрическом центре

5.1.1. Уравнения движения. Интеграл Чаплыгина

5.1.2. Шар со смещенным центром на гладкой плоскости

5.1.3. Изоморфизм, гамильтоновость, интегрируемые случаи

5.2. Однородная сферическая оболочка с неголономным шарниром внутри

5.2.1. Уравнения движения

5.2.2. Первые интегралы и инвариантная мера

5.2.3. Квадрат момента относительно точки контакта равен нулю

5.2.4. Динамически симметричный случай (/1 = /2 = /3)

Глава 6. Неголономные связи в задачах оптимального управления и вако-номной механики

6.1. Принцип Гамильтона для систем с неинтегрируемыми связями

6.1.1. Уравнения условных экстремалей

6.1.2. Лагранжиан для безусловных экстремалей

6.1.3. Параметрическое представление

6.1.4. Принцип максимума

6.1.5. Закон сохранения энергии

6.1.6. Гамильтонов формализм Пуанкаре - Четаева

6.2. Оптимальное управление твердым телом в жидкости

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Тензорные инварианты и интегрируемость в неголономной механике»

Введение

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности. В настоящее время достигнут значительный прогресс в исследованиях конечномерных систем, описываемых уравнениями гамильтоновой (лагранжевой) механики. Развитие общего формализма таких систем связано в первую очередь с двумя центральными задачами классической механики: задачей трех тел (взаимодействующих по закону тяготения Ньютона) и движением твердого тела с неподвижной точкой. Например, первые строгие результаты о неинтегрируемости в общем случае гамильтоновых систем были получены А. Пуанкаре [92] для задачи трех тел. К системам гамильтоновой механики относятся системы с голономными (интегрируемыми) связями. Напомним некоторые характерные свойства таких систем.

Пусть д = (д1, . . . , дп) — обобщенные координаты конфигурационного пространства N, в котором заданы голономные связи:

При выводе уравнений движения голономных систем, как правило, используются два различных аксиоматических принципа:

Принцип Даламбера - Лагранжа, который в данном случае можно представить в фор-

где д) — функция Лагранжа системы, Ц = . . . ,<^п) — обобщенные силы. Согласно этому принципу, работа силы реакции вдоль виртуальных (возможных) перемещений ёд = (ёд1, . . . , ёдп), удовлетворяющих условиям связей, равна нулю. Вариационный принцип Гамильтона, согласно которому траектории системы д(£) являются экстремалями функционала действия

Г(д) = 0, р =1,...,к<и.

(1)

ме

р = 1, ... ,к,

¿1

в классе кривых, удовлетворяющих связям (1) .

Оба принципа приводят к одинаковым уравнениям движения. Перечислим их основные свойства:

— уравнения движения представляются в канонической гамильтоновой форме и, следовательно, по теореме Лиувилля сохраняют фазовый объем (т. е. обладают стандартной инвариантной мерой);

- справедлив классический принцип детерминированности, а именно, заданным начальным положению и скорости системы соответствует единственная траектория.

В приложениях, как правило, функция Лагранжа приводится (возможно, с помощью принципа Мопертюи) к однородной и квадратичной по скоростям форме, которая к тому же является невырожденной и положительно определенной:

£ = раЫ)??-

В этом случае траектории системы представляют собой геодезические некоторой римано-вой метрики д^. По определению геодезическая является траекторией наименьшей длины, соединяющей две точки в конфигурационном пространстве N, то есть является «кратчайшей». В этом случае справедливо еще одно свойство:

— геодезическая (кратчайшая) траектория является одновременно «прямейшей», то есть кривой, геодезическая кривизна которой равна нулю.

Ряд задач, встречающихся в различных областях механики и математики, сводится к исследованию систем, в которых связи представляются в следующей дифференциальной форме:

/ <?) = = 0, ц. = 1, к < п. (2)

Исследование приводимости этих связей к виду (1) связано с интегрируемостью системы пфаффовых уравнений 1, а сам критерий приводимости может быть получен при помощи теоремы Фробениуса.

Связи (2), которые не приводятся к форме (1), называются неинтегрируемыми (или неголономными). Оказывается, их специфической особенностью является то, что принцип Даламбера - Лагранжа и вариационный принцип Гамильтона, примененные к одной и той же системе, приводят к различным уравнениям движения.

1 Действительно, после умножения на & уравнения связей (1) представятся в стандартной форме уравнений Пфаффа.

Выбор динамического принципа вывода уравнений движения определяется способом реализации связей (2). Под их реализацией подразумевается, что в свободной системе (без связей) присутствую некоторые «динамические факторы», в пределе приводящие к связям (2). Для пояснения этого подхода условно разделим системы с неинтегрируемыми связями на две группы и далее рассмотрим их отдельно.

В первую группу входят системы классической неголономной механики, в которой связи (2) являются идеальными (т. е. соответствующие им силы реакции не совершают работу) и, следовательно, справедлив принцип Даламбера - Лагранжа. Наиболее известным примером является задача о качении твердого тела по плоскости, в которой неинте-грируемые связи выражают условие отсутствия проскальзывания в точке контакта тела с плоскостью.

Проблема реализации связей (2) в механике возникла в связи с парадоксами Пэн-леве [265]. Классическим результатом, восходящим к Каратеодори [180] и доказанным в книге Ю.И. Неймарка и Н. А. Фуфаева [85], а также в работах [54,63], является утверждение, что неинтегрируемые связи в неголономной механике возникают при стремлении к бесконечности коэффициента вязкого трения. Изучение предельного перехода и асимптотик, аппроксимирующих движение на конечном интервале времени, продолжается и в настоящее время (см., например, [219,230]).

Системы неголономной механики удовлетворяют принципу детерминированности. Кроме того, как было еще отмечено Г. Герцем [216], в случае однородных по скоростям связей уравнения движения сохраняют интеграл энергии. Вследствие этого их иногда называют консервативными, что не совсем корректно, так как в общем случае они не сохраняют фазовый объем [64] (т.е. не обладают непрерывной инвариантной мерой).

Системы со связями (2), траектории которых получены из принципа Даламбера -Лагранжа, не являются экстремалями какого-либо функционала. Тем не менее, существует путаница в литературе, восходящая к П. А. Гриффитсу [47], который применял вариационный принцип к описанию движения неголономных систем. Отметим, что первый шаг в разрешении этого вопроса был сделан в работе А. М. Вершика и В. Я. Гершковича [39], полная ясность была достигнута В. В. Козловым [60,63].

Во вторую группу входят системы, для которых уравнения траекторий получены из вариационного принципа. Данные системы рассматривались В. В. Козловым [60-62] в рамках вакономной механики (от variational axiomatic kind), в которой связи (2) реализуются

за счет предельного перехода в кинетической энергии системы, в результате которого инерционные характеристики (масса, моменты инерции и т. д.) устремляются к бесконечности. Такая анизотропия инерционных свойств системы возникает при движении пластинки в идеальной жидкости за счет присоединенных масс.

Замечание 1. Более общий предельный переход, в котором одновременно стремятся к бесконечности коэффициент вязкого трения и параметры системы в кинетической энергии, рассмотрен в работе [73]. Системы с неинтегрируемыми сервосвязями (введенными Бегеном [125]) обсуждаются в работах [232,233]. В этом случае связи (2) реализуются «активным» способом: за счет регулируемых обобщенных сил (возникающих, например, вследствие управления) либо за счет подходящего изменения инерционных свойств системы.

Для систем второй группы уравнения движения оказываются гамильтоновыми и, следовательно, (по теореме Лиувилля) сохраняют фазовый объем. В то же время, в отличие от голономных систем, они имеют ряд специфических свойств. Рассмотрим их подробнее.

Для них не справедлив принцип детерминированности: одному и тому же начальному положению и начальной (возможной) скорости соответствует целое семейство траекторий. В результате уравнения движения включают «ненаблюдаемые» переменные, количество которых равно числу связей. Такая недетерминированность, не присущая классической механике, вызвала дискуссию, с которой можно ознакомиться по работам [63,107]. В вако-номной механике начальные значения «ненаблюдаемых» переменных интерпретируются как отклонения начальной скорости в свободной (до предельного перехода) системе от соотношений, задаваемых связями [63].

Гамильтониан для рассматриваемых систем с неинтегрируемыми связями оказывается вырожденным по импульсам. Если он приводится к однородной и квадратичной по импульсам форме, тогда возникает задача о геодезических с вырожденной метрикой, которая рассматривается в субримановой геометрии [256].

Траектории системы с неинтегрируемыми связями, которые получены из вариационного принципа, не являются «прямейшими». Обсуждение этого вопроса на примере неинтегрируемой связи, определенной в К3, содержится в книге Ю.А.Аминова [2, стр.

Остановимся подробнее на неголономной механике, с помощью которой можно качественно объяснить ряд наблюдаемых эффектов при качении твердого тела. Среди них наиболее известным является эффект реверса, наблюдаемый в динамике кельтского кам-

ня [298]. Напомним, кельтский камень представляет собой твердое тело, в котором присутствует асимметрия в распределении масс, за счет которой геометрические и динамические оси тела не совпадают. Если поместить кельтский камень на горизонтальную плоскость и закрутить в определенном направлении вдоль вертикальной оси, то он может устойчиво продолжать свое вращение. Если же направление вращения изменить на противоположное, то он вскоре перестанет вращаться, начнет колебаться вокруг вертикальной оси, а затем без внешнего воздействия изменит направление вращения вокруг вертикальной оси на противоположное.

Неголономная модель качения, для которой в точке контакта кельтского камня отсутствует проскальзывание, рассматривалась А. В. Карапетяном [54,55], А. П. Маркее-вым [80], А. В. Борисовым и И. С. Мамаевым [25]. В этом случае эффект реверса связан с наличием асимптотически устойчивого и асимптотически неустойчивого положения равновесия приведенной системы.

В качестве еще одного эффекта, находящего объяснение в рамках неголономной модели, следует указать демонстрацию в музее Франклина [207], в которой однородный шар с некоторой начальной скоростью попадает на (круглый) вращающийся стол и затем покидает его по той же траектории (то есть генерируемое отображение рассеяния является тождественным).

Большое значение неголономных систем обусловлено их использованием в теории управления и робототехнике для моделирования динамики устройств, связанных с качением. Например, одной из популярных задач робототехники является исследование проблем динамического управления передвижением сферического робота, использующего различные приводящие механизмы [20] (маятниковые, роторные). В частности, в работах [20,21,290] изучено управление динамически несимметричным шаром при помощи трех уравновешенных роторов.

Рассмотрим подробнее общие свойства уравнений движения неголономных систем. Как уже было указано, в общем случае они не представляются в гамильтоновой форме. Более того, отсутствие в общем случае непрерывной инвариантной меры приводит к тому, что в неголономных системах встречаются эффекты, типичные для диссипативных систем [25,209] (например, в фазовом пространстве системы могут встречаться странные аттракторы).

С другой стороны, как было указанно В. В. Козловым [64,66], при определенных огра-

ничениях на параметры неголономной системы встречаются случаи, в которых существует непрерывная инвариантная мера. Более того, оказывается, что в некоторых примерах [22] уравнения движения можно представить в гамильтоновой форме, но после замены времени. Такие системы называются конформно-гамильтоновыми. Для их исследования применимы развитые методы гамильтоновой механики: теории интегрируемости, устойчивости, топологического анализа, теории возмущений (КАМ теории) и т. д. Поиск конформно-гамильтонового представления приводит к проблеме гамильтонизации и поиска различных препятствий к ней [143].

Таким образом, системы неголономной механики занимают промежуточное положение между гамильтоновыми и диссипативными системами. Такое многообразие типов поведения в [154,162] было названо иерархией динамического поведения и обусловлено наличием или отсутствием различных тензорных инвариантов (законов сохранения), что существенным образом влияет на динамику системы. Следовательно, уравнения движения, которые возникают в неголономной механике, представляют собой достаточно общие динамические системы. Вследствие этого, методы исследования, возникшие при анализе конкретных неголономных систем, могут находить применение и в других задачах. Например, эффективность процедуры гамильтонизации в неголономной механике для систем гидродинамического типа, введенных А.М.Обуховым [45,88], проиллюстрирована в работе [13].

Цели и задачи диссертационной работы. Основной задачей диссертационной работы является систематическое развитие методов теории динамических систем при исследовании механических систем с неинтегрируемыми связями. Целью является поиск новых динамических эффектов в неголономной механике, а также новых интегрируемых в квадратурах систем.

Научная новизна диссертационной работы. Все полученные в работе результаты являются новыми. Новизна состоит в получении новых примеров систем неголо-номной механики с различным количеством тензорных инвариантов и в последующем их качественном анализе.

Теоретическая и практическая значимость диссертационной работы. Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть использованы в различных областях математики и физики, в которых возникают системы с неинтегриру-

емыми связями. Результаты качественного анализа рассмотренных неголономных систем могут быть использованы для дальнейшего изучения различных систем с элементами качения.

Найденные новые интегрируемые в квадратурах системы представляют интерес с точки зрения дальнейшего их топологического анализа и определения новых специфических особенностей неголономных систем. Кроме того, исследуемые задачи представляют интерес с точки зрения дальнейшего развития теории управления различными средствами передвижения.

Методология и методы исследования. При исследовании рассматриваемых в данной диссертационной работе задач использовались аналитические и численные методы теории динамических систем. Для изучения поведения траекторий интегрируемых систем были использованы методы топологического анализа, включающие исследование критического множества интегрального отображения, построение бифуркационой диаграммы, определение топологического типа интегральных многообразий. Во многих случаях для численного анализа и иллюстрации поведения траекторий строилось отображение Пуанкаре. Для численного решения дифференциальных уравнений применялся метод Рунге -Кутта четвертого порядка, либо метод Эверхарда одиннадцатого порядка.

Основная часть аналитических преобразований и вычислений была выполнена при помощи программного пакета Maple v.15 (https://www.maplesoft.com/products/Maple/). Отображение Пуанкаре строилось с помощью программного комплекса «Компьютерная динамика: Хаос» (http://lab.ics.org.ru/lab/page/kompyuternaya-dinamika/). Вычисление показателей Ляпунова осуществлялось с помощью обобщенного алгоритма Бенентина, реализованного в комплексе «Компьютерная динамика: Хаос».

Положения, выносимые на защиту. Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1) Найдены новые тензорные инварианты уравнений движения, описывающих качение твердого тела без проскальзывания и верчения по плоскости или сфере. Показано, что в зависимости от формы и распределения масс твердого тела возникают классы систем с различным набором тензорных инвариантов, демонстрирующих различные типы динамического поведения.

2) Разработана математическая модель, описывающая движение саней Чаплыгина на

цилиндре. Показано, что при определенном распределении масс саней отсутствует их дрейф по вертикали, а движение ограниченно двумя горизонтальными плоскостями.

3) Выполнен анализ движения колесного экипажа (roller-racer). Доказано, что в зависимости от распределения масс, траектория roller-racer на плоскости может быть либо ограниченной и асимптотически стремящейся к движению по окружности, либо неограниченной и асимптотически стремящейся к прямолинейному движению.

4) Разработана математическая модель, описывающая движение саней Чаплыгина с изменяющимся со временем распределением масс. Доказано, что в зависимости от выбора изменения распределения масс наблюдаются различные типы движений, в том числе сопровождающиеся странными аттракторами или постоянным ускорением.

5) Найден новый случай существования дополнительного интеграла в задаче Суслова. Указан его изоморфизм с инвариантным соотношением Гесса уравнений Эйлера -Пуассона и выполнен его качественный анализ.

6) Найден новый интегрируемый в квадратурах случай в задаче о движении неголо-номного шарнира. Проведен топологический анализ интегральных многообразий и выполнена классификация траекторий на них.

7) Указан частный случай неоднородных по скоростям связей, в котором система допускает обобщение интеграла энергии — качение твердого тела по равномерно вращающейся опорной поверхности. Показана интегрируемость в квадратурах задачи о качении однородного шара по осесимметричной поверхности, которая равномерно вращается вдоль оси симметрии.

8) Установлен изоморфизм задачи о качении без проскальзывания однородного шара с закрепленным внутри твердым телом и шаром со смещенным центром масс на абсолютно гладкой плоскости.

9) Разработана математическая модель, описывающая качение сферической оболочки с неголономным шарниром внутри. Указаны интегрируемые в квадратурах случаи.

10) Показано, что задача оптимального управления твердым телом в идеальной жидкости с помощью роторов сводится к уравнениям Кирхгофа с вырожденным по моментам гамильтонианом.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов обеспечивается использованием

строго доказанных теорем и утверждений. Разработанные математические модели имеют ясную физическую трактовку и не противоречат известным ранее.

Основные результаты работы многократно обсуждались на семинарах Института компьютерных исследований УдГУ, а также докладывались на всероссийских и международных конференциях:

1) International conference "Dynamics, Bifurcations, and Strange Attractors", dedicated to the memory of Professor Leonid Pavlovich Shilnikov, 1-5 июля 2013, Нижний Новгород, Россия.

2) International Conference "Nonlinear Dynamics and its Applications", dedicated to the 150th anniversary of the birth of Paul Painleve, 15-18 октября 2013, Ярославль, Россия.

3) Fourth International Conference "Geometry, Dynamics, Integrable Systems — GDIS 2013", 10-14 июня, 2013, Ижевск, Россия.

4) Fifth International Conference and School "Geometry, Dynamics, Integrable Systems — GDIS 2014", 16-27 июня 2014, Триест, Италия.

5) Всероссийская научная конференция "Дни регулярной и хаотической динамики", 2728 марта 2015, Ижевск, Россия.

6) International conference "Nonlinear methods in physics and mechanics", 1-3 октября 2015, Ярославль, Россия.

7) The International Scientific Workshop "Recent Advances in Hamiltonian and Nonholonomic Dynamics", 15-18 июня 2017, Долгопрудный, Россия.

Результаты диссертации опубликованы в 26 работах [8-12, 14, 29, 30, 129-141, 147, 150, 151, 159, 160]. При этом 19 статей опубликованы в ведущих рецензируемых научных изданиях [8-12, 14, 30, 129, 134-141, 150, 159, 160]: российских из Перечня ВАК [8-12,14,30] и приравненных к ним зарубежных [129,134-141,150,159,160]. При этом работы [9,14,30,129,134-141,150,159,160] включены в международные реферативные базы данных Web of Science или Scopus. Остальные 7 работ [29,130-133,147,151] опубликованы в тезисах трудов конференций.

Личный вклад автора. В совместных работах [8,14,30,134-141,150,159,160] постановка задачи и обсуждения основных результатов проводилось совместно с соавторами работ. В [135,159,160] соавторами А. В. Борисовым и И. С. Мамаевым были предложены

общие методы исследования, а И. А. Бизяевым были получены точные формулировки и доказательства результатов.

В работах [8,14,141,150] результаты первого и второго разделов получены И. А. Бизяевым, а в [30] ему принадлежат результаты разделов 5, 6 и подраздела 3.4. В другой работе [137] автору диссертации принадлежат результаты, описанные в разделах 4 и 5. В [134] И. А. Бизяевым получен результат о классификации траектории на интегральных многообразиях (предложение 4) и теорема об устойчивости неподвижных точек. В работе [136] И. А. Бизяевым получены результаты 1 и 2 разделов. Результаты подразделов 4.1 и 4.2 о приведении к гамильтоновой форме уравнений движения неголономного осциллятора и системы Гейзинберга принадлежат И. А. Бизяеву и И. С. Мамаеву в равной степени.

И. А. Бизяеву в работе [140] принадлежат результаты, изложенные в разделах 2, 5 и новый случай существования дополнительного интеграла, изложенный в подразделе 3.2. Последующий качественный анализ этого случая выполнен в работе [139], в которой автору диссертации принадлежат результаты разделов 3, 5. В работе [138] И. А. Бизяевым получены результаты разделов 2 и 3.

Все результаты и положения, выносимые на защиту, принадлежат лично автору диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав и библиографии. В первой главе приведен подробный исторический обзор развития него-лономной механики, а также основные определения и результаты, используемые в дальнейшем. Основные результаты диссертационной работы приведены в следующих пяти главах. Общий объем диссертации 309 страниц, из них 287 страниц текста. Библиография включает 302 наименования на 22 страницах.

Краткое содержание диссертационной работы. В первой главе приведен исторический обзор развития неголономной механики. В ней отмечено, что двумя основными физическими постановками задач, приводящими к неинтегрируемым связям, являются идеальное качение твердых тел и скольжение без поперечного проскальзывания (сноса).

Для идеального качения возможны два варианта:

- Качение без проскальзывания — скорость в точке контакта двух тел равна нулю.

Наиболее известным примером является задача о качении твердого тела по плоскости.

В этом случае эту модель называют моделью абсолютно шероховатой плоскости. Это исторически первая модель, которая стала рассматриваться в неголономной механике, начиная с работ С. Ирншоу [190] (1844), Г. Герца [216] (1894).

- Качение без проскальзывания и верчения, в котором кроме равенства нулю скорости точки контакта предполагается отсутствие верчения относительно оси, перпендикулярной касательной плоскости в точке контакта двух тел. Ее называют моделью резинового качения [193], подчеркивая, что за счет покрытия тела достаточно мягкой резиной, можно обеспечить надлежащий контакт. Первые исследования качения тел в рамках этой модели были выполнены Ж. Адамаром (1895 год) [211] и А. Бегеном (1929 год) [124].

Скольжение без поперечного проскальзывания реализуется в виде двумерной модели лезвия или колеса с острым краем и предполагает, что неголономная связь препятствует проскальзыванию тела в поперечном по отношению к плоскости лезвия направлении (проекция линейной скорости точки контакта на нормаль к плоскости лезвия равна нулю). Классическими задачами, в которых реализуется данная связь являются:

- Задача о санях Чаплыгина, представляющих собой твердое тело, которое опирается на горизонтальную плоскость двумя абсолютно гладкими ножками и лезвием. Впервые эта задача была независимо рассмотрена С. А. Чаплыгиным [112] (1912), Каратеодори [180] (1933) и А. Бриллом [177] (1909).

- Задача Суслова в интерпретации Вагнера [38] (1941), в которой внутри неподвижной сферической оболочки с помощью двух колес с острыми краями закреплено твердое тело.

В первой главе приведен вывод уравнений движения в квазискоростях из принципа Даламбера - Лагранжа для систем с неинтегрируемыми связями. В качестве квазискоростей выступает угловая или поступательная скорость тела в проекции на оси подвижной системы координат. Уравнения движения в этих переменных, по сравнению с обобщенными скоростями, как правило, имеют более простую алгебраическую форму. Кроме того, в этой главе приведены основные свойства тензорных инвариантов динамических систем, которые будут использоваться в дальнейшем.

Во второй главе рассмотрена задача о качении без проскальзывания и верчения твердого тела по горизонтальной плоскости и сфере, которая сводится к исследованию системы уравнений, описывающих эволюцию ш — угловой скорости тела и у — нормали к опор-

ной поверхности в точке контакта. В случае качения твердого тела по плоскости данная система представляется в следующей форме:

7. 7 , dU

lui = lui x ui — mr x (w x г) + 7 x —--h Л07, 7 = 7 x ш,

dj

I_17, Iuj x uj — mr x (ш x r) + 7 x ^

Xo =-

(Y, I-17)

где I = I + mr2E — mr ® r — тензор инерции относительно точки контакта, U = U(7) — потенциал внешних сил. Уравнения (3) необходимо дополнить алгебраическими соотношениями, связывающими нормаль 7 с вектором r при помощи гауссовой проекции:

7=--^-. (4)

7 |V/|' U

где /(г) = 0 — уравнение, задающее поверхность тела, = J^f)'

Показано, что в зависимости от формы и распределения масс твердого тела, система (3) обладает различным набором тензорных инвариантов и демонстрирует различные типы динамического поведения. Для наглядности все новые и ранее известные результаты о тензорных инвариантах при качении тела по плоскости и сфере собраны в виде таблиц.

Получено необходимое условие существования непрерывной инвариантной меры. Причем оказалось, что в некоторых случаях, в которых это условие нарушается, отображение Пуанкаре практически неотличимо от фазового портрета отображения, сохраняющего площадь. Оказывается, это связанно с наличием дискретных симметрий в системе. Кроме того, во второй главе получены необходимые условия существования инвариантной меры при качении твердого тела по плоскости без проскальзывания, но с верчением (абсолютно шероховатой плоскости). Найден новый случай, в котором существует непрерывная инвариантная мера — эллиптический диск со специальным распределением масс.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Бизяев Иван Алексеевич, 2018 год

Литература

[1] Аграчеев А. А., Сачков Ю.Л. Геометрическая теория управления.-М.:Физматлит, 2005.

[2] Аминов Ю. А. Геометрия векторного поля. М.: Наука, 1990. 208 с.

[3] Аппель П. Теоретическая механика. В 2-х т. М.: Физматгиз, 1960. 515 с., 487 с. Пер. с франц.: Appell P. Traité de mécanique rationnelle. Paris, Gauthier-Villars, ed. 4th, v. 1, 1919, 619 p.; v. 2, 1924, 575 p.

[4] Арнольд В. И. Малые знаменатели. I. Об отображениях окружности на себя // Известия Российской академии наук. Серия математическая, 1961, том. 25, № 1, с. 21-86.

[5] Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. Москва: Едиториал УРСС, 2009. 416 с.

[6] Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва: МЦНМО, 2002, 400 с.

[7] Арнольд В. И. Математические методы классической механики, М.: Едиториал УРСС, 2003, 416 с.

[8] Бизяев И. А., Казаков А. О. Интегрируемость и стохастичность некоторых задач неголономной механики // Нелинейная динамика, 2013, т. 9, №2, с. 257-265.

[9] Бизяев И. А. О неинтегрируемости и препятствиях к гамильтонизации неголоном-ного волчка Чаплыгина // Доклады Академии наук, 2014, т. 458, №4, с. 398-401.

[10] Бизяев И. А. Об одном обобщении систем типа Калоджеро // Нелинейная динамика, 2014, т. 10, №2, с. 209-212.

[11] Бизяев И. А. Сани Чаплыгина с движущейся точечной массой // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2017, т. 27, вып. 4, с. 583-589.

[12] Бизяев И. А. Инвариантная мера в задаче о качении диска по плоскости// Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2017, т. 27, вып. 4, с. 576-582.

[13] Бизяев И. А., Козлов В. В. Однородные системы с квадратичными интегралами, квазискобки Ли-Пуассона и метод Ковалевской // Матем. сб., 2015, т. 206, №12, с. 29-54.

[14] Бизяев И. А., Борисов А. В., Мамаев И. С. Система Гесса-Аппельрота и ее неголо-номные аналоги // Труды Математического института имени В. А. Стеклова, 2016, т. 294, с. 268-292.

[15] Билимович А. Д. Неголономный маятник // Матем. сб., 1914, т. 29, №2, с. 234-240.

[16] Болотин С. В., Попова Т. В. Об уравнениях движения системы внутри катящегося шара // Нелинейная динамика, 2013, т. 9, № 1, с. 51-58.

[17] Болсинов А. В., Борисов А. В., Мамаев И. С. Топология и устойчивость интегрируемых систем // УМН, 2010, т. 65, №2(392), с. 71-132.

[18] Болсинов А. В., Изосимов А. М., Коняев А. Ю., Ошемков А. А. Алгебра и топология интегрируемых систем: Задачи для исследования // Тр. сем. по векторн. и тензорн. анал., 2012, т. 28, с. 119-191.

[19] Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С. К одной неголономной динамической проблеме // Мат. заметки, 2006, т. 79, №5, с. 790-796.

[20] Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С. Как управлять шаром Чаплыгина при помощи роторов // Нелинейная динамика, 2012, т. 8, №2, с. 289-307.

[21] Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С. Как управлять шаром Чаплыгина при помощи роторов: II // Нелинейная динамика, 2013, т. 9, № 1, с. 59-76.

[22] Борисов А. В., Мамаев И. С. Гамильтоновость задачи Чаплыгина о качении шара // Матем. заметки, 2001, т. 70, вып. 5, с. 793-795.

[23] Борисов А. В., Мамаев И. С. Препятствие к гамильтоновости неголономных систем // Доклады Академии наук, 2002, т. 387, №6, с. 764-766.

[24] Борисов, А. В., Мамаев, И. С., Препятствие к гамильтоновости неголономных систем // Доклады РАН, 2002, т. 387, №6, с. 764-766.

[25] Борисов А. В., Мамаев И. С. Странные аттракторы в динамике кельтских камней // УФН, 2003, т. 173, №4, с. 407-418.

[26] Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твердого тела, М.-Ижевск: РХД, Институт компьютерных исследований, 2005. 576 с.

[27] Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика саней Чаплыгина // ПММ, 2009, т. 73, №2, с. 219-225.

[28] Борисов А. В., Мамаев И. С. О несуществовании инвариантной меры при качении неоднородного эллипсоида по плоскости // Мат. заметки, 2005, т. 77 вып. 6, с. 930931.

[29] Борисов А. В., Мамаев И. С., Бизяев И. А., Конструкция Хоймана и гамильтониза-ция неголономных систем // Сборник тезисов Всероссийской научной конференции "Дни регулярной и хаотической динамики" (Ижевск, 27-28 марта 2015), с. 12.

[30] Борисов А. В., Мамаев И. С., Бизяев И. А. Динамические системы с неинтегрируе-мыми связями: вакономная механика, субриманова геометрия и неголономная механика // Успехи математических наук, 2017, т. 72 вып. 5, с. 174-233.

[31] Борисов А. В., Мамаев И. С., Марихин В. Г. Явное интегрирование одной неголо-номной задачи // Докл. РАН, 2008, т. 422, №4, с. 475-478.

[32] Борисов А. В., Мамаев И. С., Трещёв Д. В. Качение твердого тела без проскальзывания и верчения: Кинематика и динамика // Нелинейная динамика, 2012, т. 8, №4, с. 783-797.

[33] Болсинов А. В., Тайманов И. А. Интегрируемые геодезические потоки на надстройках автоморфизмов торов // Динамические системы, автоматы и бесконечные группы: Сб. ст. Тр. МИАН, т. 231. Москва: Наука, 2000. С. 46-63.

[34] Борисов А. В., Фёдоров Ю. Н. О двух видоизмененных интегрируемых задачах динамики // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ., 1995, №6, с. 102-105.

[35] Бренделев В. Н. О коммутативных связях в неголономной механике // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1978, №6, с. 47-54.

[36] Буров А. А. О частных интегралах уравнений движения твердого тела по гладкой горизонтальной плоскости / / Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения: Сб. ст. / В.В.Румянцев. М.: ВЦ АН СССР, 1985. С. 118-121.

[37] Бухштабер В.М., Карпов О. В., Тертычный С. И. Эффект квантования числа вращения // Теоретическая и математическая физика, 2010, т. 162, №2, с. 254-265.

[38] Вагнер В. В. Геометрическая интерпретация движения неголономных динамических систем // Тр. сем. по векторн. и тензорн. анализу, 1941, №5, с. 301-327.

[39] Вершик А. М., Гершкович В. Я. Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи // ВИНИТИ, 1987, Итоги науки и техники: Фундаментальные направления, т. 16, с. 5-85.

[40] Вершик А. М., Фаддеев Л. Д. Дифференциальная геометрия и лагранжева механика со связями // Докл. АН СССР, 1972, т. 202, №3, с. 555-557.

[41] Веселова Л. Е. Новые случаи интегрируемости уравнений движения твердого тела при наличии неголономной связи // Геометрия, дифференциальные уравнения и механика: Сб. ст. / В.В.Козлов, А.Т.Фоменко (ред.). М.: МГУ, 1986. С. 64-68.

[42] Веселов А. П., Веселова Л. Е. Интегрируемые неголономные системы на группах Ли // Матем. заметки, 1988, т. 44, вып. 5, с. 604-619.

[43] Воронец П. В. Об уравнениях движения для неголономных систем // Матем. сб., 1901, т. 22, №4, с. 659-686.

[44] Воронец П. В. К задаче о движении твердого тела, катящегося без скольжения по данной поверхности под действием данных сил // Киев: Тип. Имп. ун-та св. Владимира, 1909. 11 рр.

[45] Гледзер Е. Б., Должанский Ф. В., Обухов А. М. Системы гидродинамического типа и их применение, Наука, М., 1981, 367 с.

[46] Глуцюк А. А. Клепцын В. А., Филимонов Д. А., Щуров И. В. О квантовании перемычек в уравнении, моделирующем эффект Джозефсона // Функциональный анализ и его приложения, 2014, т. 48, №4, с. 47-64.

[47] Гриффитс П. А. Внешние дифференциальные системы и вариационное исчисление. М.: Мир, 1986.

[48] Добронравов В. В. Основы механики неголономных систем. М.: Высшая школа, 1970. 271 с.

[49] Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения, М.: Наука, 1986, 760 с.

[50] Ефимов М. И. К уравнениям Чаплыгина неголономных механических систем // ПММ, 1953, т. 17, №6, с. 748-750.

[51] Зиглин С. Л. Об отсутствии дополнительного первого интеграла в частном случае задачи Г. К. Суслова // УМН, 1997, т. 52, №2, с. 167-168.

[52] Ифраимов С. В., Кулешов А. С. О движении саней Чаплыгина по выпуклой поверхности // Автомат. и телемех., 2013, №8, с. 80-90.

[53] Ильяшенко Ю. С., Рыжов Д. А., Филимонов Д. А. Захват фазы для уравнений, описывающих резистивную модель джозефсоновского перехода, и их возмущений // Функциональный анализ и его приложения, 2011, том 45, №3, с. 41-54.

[54] Карапетян А. В. О реализации неголономных связей силами вязкого трения и устойчивости кельтских камней // Прикл. матем. мех., 1981, т. 45, вып. 1, с. 42-51.

[55] Карапетян А. В. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдиториал УРСС, 1998. 165 с.

[56] Картан Э. Интегральные инварианты. Москва - Ленинград: Гостехиздат, 1940. 216 с.

[57] Колмогоров А. Н. О динамических системах с интегральным инвариантом на торе // ДАН СССР, 1953, т. 93, №5, с. 763-766.

[58] Коняев А. Ю. Классификация алгебр Ли с орбитами коприсоединенного представления общего положения размерности 2 // Матем. сб., 2014, т. 205, № 1, с. 47-66.

[59] Козлов В. В. Две интегрируемые задачи классической динамики // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ., 1981, вып. 4, с. 80-83.

[60] Козлов В. В. Динамика систем с неинтегрируемыми связями. I // Вестн. Моск. унта. Сер.1. Математика. Механика. 1982, №3, с. 92-100.

[61] Козлов В. В. Динамика систем с неинтегрируемыми связями.11 // Вестн. Моск. унта. Сер.1. Математика. Механика. 1982. №4. с. 70-76.

[62] Козлов В. В. Динамика систем с неинтегрируемыми связями. III // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Математика. Механика. 1983. №3, с. 102-111.

[63] Козлов В. В. Реализация неинтегрируемых связей в классической механике // Докл. АН СССР, 1983, т. 272, №3, с. 550-554.

[64] Козлов В. В. К теории интегрирования уравнений неголономной механики // Успехи механики, 1985, т. 8, №3, с. 85-107.

[65] Козлов В. В. О равновесиях неголономных систем // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1994, №3, с. 74-79.

[66] Козлов В. В., Ярощук В. А. Об инвариантных мерах уравнений Эйлера-Пуанкаре на унимодулярных группах // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1993, №2. с. 91-95.

[67] Козлов В. В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во УдГУ, 1995.

[68] Козлов В. В., Афонин А. А. Задача о падении диска, движущегося по горизонтальной плоскости // Известия Академии наук. Механика твердого тела, 1997, № 1, с. 713.

[69] Козлов, В. В., Диффузия в системах с интегральным инвариантом на торе // Доклады РАН, 2001, т. 381, №5, с. 596-598.

[70] Козлов В. В. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре, М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 320 с.

[71] Козлов В. В. Динамика изменяемых систем и группы Ли // ПММ, 2004, т. 68. Вып. 6, с. 899-905.

[72] Козлов В. В., Рамоданов С. М. О движении в идеальной жидкости тела с жесткой оболочкой и меняющейся геометрией масс // ДАН, 2002, т. 382, №4, с. 478-481.

[73] Козлов ВВ., К вопросу о реализации связей в динамике // ПММ, 1992, т. 56, №4, с. 692-698.

[74] Козлов В. В. Теорема Эйлера-Якоби-Ли об интегрируемости // Нелинейная динамика, 2013, т. 9, №2, с. 229-245.

[75] Козлов В. В. Инвариантные меры гладких динамических систем, обобщенные функции и методы суммирования // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2016, том. 80, №2, с. 63-80.

[76] Козлова З.П. К задаче Суслова // МТТ, 1989, №1, с. 13-16.

[77] Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин, С. В. Эргодическая теория, М.: Наука, 1980.

[78] Кулешов А. С. Первые интегралы в задаче о движении параболоида вращения по шероховатой плоскости // Докл. РАН, 2005, т. 400, №1, с. 46-48.

[79] Маркеев А. П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978. 312 с.

[80] Маркеев А. П. О динамике твердого тела на абсолютно шероховатой плоскости // Прикл. матем. и мех. 1983, т. 47, вып. 4, с. 575-582

[81] Маркеев А. П. Об интегрируемости задачи о качении шара с многосвязной полостью, заполненной идеальной жидкостью // Изв. АН СССР, Мех. тв. тела, 1986, т. 21, №1, с. 64-65.

[82] Маркеев А. П. Теоретическая механика.—Москва-Ижевск // Регулярная и хаотическая динамика, 2007.

[83] Мартыненко Ю. Г. Управление движением мобильных колёсных роботов // Фундамент. и прикл. матем., 2005, т. 11, вып. 8, с. 29-80.

[84] Москвин А. Ю. Шар Чаплыгина с гиростатом: особые решения //, Нелинейная динамика, 2009, т. 5, №3, с. 345-356.

[85] Неймарк Ю.И., Фуфаев Н. А. Динамика неголономных систем. Москва: Наука, 1967. 519 с.

[86] Некрасов П. А. Аналитическое исследование одного случая движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки // Матем.сб., 1896, т. 18, №2, с. 161-274.

[87] Новиков С. П. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса // УМН, 1982, т. 37, №5 (227), с. 3-49.

[88] Обухов А. М. Об интегральных инвариантах в системах гидродинамического типа // Доклады Академии наук СССР, 1969, т. 184, №2, с. 309-312.

[89] Орешкина Л. Н. Некоторые обобщения задачи о санях Чаплыгина // Механика твердого тела, 1986, № 19, с. 34-39.

[90] Плисс В. Нелокальные проблемы теории колебаний. 1964.

[91] Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, М.-Л., Гостехиздат, 1947.

[92] Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. В кн.: Избранные труды, т. 1, 2. М.: Наука, 1971, 771 с., 1972, с. 9-356.

[93] Раус Э. Динамика системы твердых тел: В 2-х тт. М.: Наука, 1983. 464 с.; 544 с. (Пер. с англ.: RouthE. Dynamics of a System of Rigid Bodies. Dover Publications, New York.)

[94] Рашевский П. К. О соединимости любых двух точек вполне неголономного пространства допустимой линией // Уч. зап. Моск. пед. ин-та им. Либкнехта. Сер. физ.-мат. наук, 1938, т. 3, №2, с. 83-94.

[95] Рокар И. Неустойчивость в механике: Автомобили, самолеты, висячие мосты. Москва: ИЛ, 1959. 288с. (Пер. с франц.: Rocard, Y., L'instabilite en mecanique: Automobiles, avions, ponts suspendus, Paris: Masson, 1954. 239 pp.)

[96] Севрюк М. Б. Некоторые проблемы теории КАМ: условно-периодические движения в типичных системах // УМН, 1995, т. 50, №2 (302), с. 111-124.

[97] Синай Я. Г., Введение в эpгодическyю теоpию, М.: Фазис, 1996, 144 с.

[98] Станченко С. В. О неголономных системах Чаплыгина // ПММ, 1989, т. 53, №1, с. 16-23.

[99] Суслов Г. К. Основы аналитической механики: Т. 1. Киев: Имп. ун-т, 1900. 559 с.

[100] Суслов Г. К. Теоретическая механика. Москва-Ленинград: Гостехиздат, 1946. 655 с.

[101] Татаринов Я.В. Следствия неинтегрируемого возмущения интегрируемых связей: модельные задачи малой размерности // Прикл. матем. и мех. Т. 51, вып. 5, 1987. с. 741-749

[102] Татаринов Я. В. Разделяющие переменные и новые топологические явления в го-лономных и неголономных системах // Труды семинара по векторн. и тензорн. анализу, МГУ, 1988, вып. XXIII, с. 160-174.

[103] Федоров Ю. Н. Об интегрировании обобщенной задачи о качении шара Чаплыгина // сб. Геометрия, дифференциальные уравнения и механика, МГУ, 1986, с. 151-155.

[104] Федоров Ю. Н. О движении твердого тела в шаровом подвесе // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1988, №5, с. 91-93.

[105] Фуфаев Н. А. Катание шара по горизонтальной вращающейся плоскости // ПММ, 1983, т. 47, №1, с. 43-47.

[106] Фуфаев Н. А. Катание тяжелого однородного шара по шероховатой сфере, вращающейся вокруг вертикальной оси // Прикл. механ., 1987, т. 23, № 1, с. 98-101.

[107] Харламов П. В., Критика некоторых математических моделей механических систем с дифференциальными связями // ПММ, 1992, т. 56, №4, с. 683-692.

[108] Харламов А. П., Харламов М. П. Неголономный шарнир // НАН Украины. Механика твердого тела, 1995, № 27, с. 1-7.

[109] Харламова-Забелина Е. И. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки при наложении неголономной связи // Тр. Донецк. индустр. ин-та, 1957, т. 20, № 1, с. 6975.

[110] Цыганов А. В. О пуассоновых структурах, возникающих при рассмотрении шара Чаплыгина и его обобщений // Нелинейная динамика, 2012, т. 8, №2, с. 345-353.

[111] Чаплыгин С. А. О катании шара по горизонтальной плоскости // Матем. сб., 1903, т. 24, с. 139-168. (См. также: Чаплыгин С. А. Собр. соч.: Т. 1 / С.А.Чаплыгин. Москва-Ленинград: ОГИЗ, 1948. С. 76-101.)

[112] Чаплыгин С. А. К теории движения неголономных систем. Теорема о приводящем множителе // Матем. сб., 1912, т. 28, №2, с. 303-314. (См. также: Чаплыгин С. А. Собр. соч.: Т. 1 / С.А.Чаплыгин. Москва - Ленинград: ОГИЗ, 1948. С. 15-25.)

[113] Чаплыгин С. А. О некотором возможном обобщении теоремы площадей с применением к задаче о катании шаров // Собр. соч., т. 1, М.-Л., 1948, с. 26-56.

[114] Чаплыгин С. А. О движении тяжелого тела вращения на горизонтальной плоскости // Исследования по динамике неголономных систем / С. А. Чаплыгин. Москва -Ленинград: Гостехиздат, 1949. С. 9-27. (См. также: Чаплыгин С. А. Собр. соч.: Т. 1 / С.А.Чаплыгин. Москва-Ленинград: ОГИЗ, 1948. С. 57-75.)

[115] Четаев Н. Г. О принципе Гаусса // Изв. Физ.-матем. об-ва при Казан. ун-те. Сер. 3, 1932/1933, т. 6, с. 68-71.

116

117

118

119

120 121

122

123

124

125

126

127

128

Четаев Н. Г. Об уравнениях Пуанкаре // Прикл. Мат. Мех., 1941, т. 5, № 2, с. 253-262. Шутц Б. Геометрические методы математической физики. 1995. Ярощук В. А. Новые случаи существования интегрального инварианта в задаче о качении твердого тела без проскальзывания по неподвижной поверхности // Вестн. МГУ, сер. мат. мех., 1992, №6, с. 26-30.

Ярощук В. А. Интегральный инвариант в задаче о качении эллипсоида со специальными распределениями масс по неподвижной поверхности без проскальзывания // Изв. РАН, Мех. тв. тела, 1995, №2, с. 54-57.

Якоби К. Лекции по динамике // ОНТИ, Гл. ред. общетех. лит., 1936, 272 с. Appell P. Traité de mécanique rationelle: Vol. 2: Dynamique des systèmes. Mécanique analytique. Paris: Gauthier-Villars, 1896. 538 pp.

Appell P. Exemple de mouvement d'un assujetti, a une exprimee par une relation non lineaire entre les composantes de la vitesse // Rendiconti del circolo matematico di Palermo, 1911, vol.32, pp. 48-50.

Bates L., Cushman R. What is a completely integrable nonholonomic dynamical system? // Reports on Math. Phys. vol. 44 (1999), No 1/2. pp. 29-35

Beghin H. Sur les conditions d'application des equations de Lagrange a un systeme non holonome // Bull. Soc. Math. France, 1929, vol. 57, pp. 118-124. Beghin M. H., Etude theorique des compas gyrostatiques Anschutz et Sperry, Impr. nationale, Paris, 1921, 132 pp.

Biggs J., Holderbaum W. Optimal Kinematic Control of an Autonomous Underwater Vehicle // IEEE Transactions on Automatic Control, 2009, vol. 54, no. 7, pp. 1623-1626. Blackall C. J. On volume integral invariants of non-holonomic dynamical systems // Amer. J. Math., 1941, vol.63, pp. 155-168.

Bloch A. Nonholonomic mechanics and control. New York: Springer, 2003. 483 pp.

[129] Bizyaev I. A. The Inertial Motion of a Roller Racer // Regular and Chaotic Dynamics, 2017, vol. 22, no. 3, pp. 239-247.

[130] Bizyaev I. A. Borisov A. V., Mamaev I. S. On the motion of a spherical shell on a plane // International Conference "Nonlinear Dynamics and its Applications", dedicated to the 150th anniversary of the birth of Paul Painleve: Book of Abstracts (Yaroslavl, Russia, 15-18 October, 2013), p. 36-37.

[131] Bizyaev I. A. Borisov A. V., Mamaev I. S. The dynamics of spherical shell on a plane with a nonholonomic hinge inside // The Fourth International Conference "Geometry, Dynamics, Integrable Systems — GDIS 2013": Book of Abstracts (Izhevsk, Russia, 10-14 June, 2013), p. 6-7.

[132] Bizyaev I. A. On the nonintegrability and obstructions to the Hamiltonization of the nonholonomic Chaplygin top // The Fifth International Conference and School "Geometry, Dynamics, Integrable Systems — GDIS 2014": Book of Abstracts (Trieste, Italy, 16-27 June, 2014), p. 15.

[133] Bizyaev I. A. The inertial motion of a roller racer // The International Scientific Workshop "Recent Advances in Hamiltonian and Nonholonomic Dynamics": Book od Abstracts (June 15-18, 2017, Moscow (Dolgoprudny), Russia), p. 13.

[134] Bizyaev I. A., Bolsinov A. V., Borisov A. V., Mamaev I. S. Topology and Bifurcations in Nonholonomic Mechanics // International Journal of Bifurcation and Chaos, 2015, vol.25, no. 10, 1530028, 21 pp.

[135] Bizyaev I. A., Borisov A. V., Mamaev I. S. The Dynamics of Nonholonomic Systems Consisting of a Spherical Shell with a Moving Rigid Body Inside // Regular and Chaotic Dynamics, 2014, vol. 19, no. 2, pp. 198-213.

[136] Bizyaev I. A., Borisov A. V., Mamaev I. S. Hamiltonization of Elementary Nonholonomic Systems // Russian Journal of Mathematical Physics, 2015, vol. 22, no. 4, pp. 444-453.

[137] Bizyaev I. A., Borisov A. V., Mamaev I. S. The Hojman Construction and Hamiltonization of Nonholonomic Systems // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 2016, vol. 12, 012, 19 pp.

[138] Bizyaev I. A., Borisov A. V., Mamaev I. S. Dynamics of the Chaplygin Sleigh on a Cylinder // Regular and Chaotic Dynamics, 2016, vol. 21, no. 1, pp. 136-146.

[139] Bizyaev I. A., Borisov A. V., Mamaev I. S. The Hess-Appelrot Case and Quantization of the Rotation Number // Regular and Chaotic Dynamics, 2017, vol. 22, no. 2, pp. 180-196.

[140] Bizyaev I. A., Borisov A.V., Kazakov A. O. Dynamics of the Suslov problem in a gravitational field: Reversal and strange attractors // Regular and Chaotic Dynamics, 2015, vol. 20, no. 5, pp. 605-626.

[141] Bizyaev I. A., Borisov A. V., Kuznetsov S. P. Chaplygin Sleigh with Periodically Oscillating // Internal Mass, Europhys. Lett., 2017, vol. 119, no. 6, 60008, 7 pp.

[142] Bizyaev I. A., Tsiganov A. V. On the Routh sphere problem //J. Phys. A, 2013, vol. 46, no. 8, pp. 1-11.

[143] Bolsinov A. V., Borisov A.V., Mamaev I. S. Hamiltonisation of non-holonomic systems in the neighborhood of invariant manifolds // Regular and Chaotic Dynamics, 2011, vol. 116, no. 5, pp. 443-464.

[144] Bolsinov A. V., Borisov A. V., Mamaev I. S. Rolling of a ball without spinning on a plane: the absence of an invariant measure in a system with a complete set of integrals // Regular and Chaotic Dynamics, 2012, vol. 17, no. 6, pp. 571-579.

[145] Bolsinov A. V., Borisov, A. V., Mamaev, I.S., Geometrisation of Chaplygin's reducing multiplier theorem // Nonlinearity, 2015, vol.28, no. 7, pp. 2307-2318.

[146] Bolsinov A. V., Taimanov I. A. Integrable geodesic flows with positive topological entropy // Invent. Math., 2000, vol. 140, no.3, pp. 639-650.

[147] Borisov A. V., Kazakov A. O. Bizyaev I. A. Suslov problem in a gravitational field // International conference "Nonlinear methods in physics and mechanics": Book of Abstracts (Yaroslavl, Russia, 1-3 October, 2015), p.17-18.

[148] Borisov A. V., Kilin A. A., Mamaev I. S. Hamiltonicity and integrability of the Suslov problem // Regular and Chaotic Dynamics, 2011, vol. 16, nos. 1-2, pp. 104-116.

[149] Borisov A. V., Kilin A. A., Mamaev I. S. Multiparticle systems. The algebra of integrals and integrable cases // Regular and Chaotic Dynamics, 2009, vol, 14, no.1, pp.18-41.

[150] Borisov A. V., Mamaev I. S., Bizyaev I. A. Historical and Critical Review of the Development of Nonholonomic Mechanics: the Classical Period // Regular and Chaotic Dynamics, 2016, vol. 21, no. 4, pp. 455-476

[151] Borisov A. V., Mamaev I. S., Bizyaev I. A. The hierarchy of the dynamics of a body rolling without slipping and spinning on a plane // International conference "Dynamics,

Bifurcations, and Strange Attractors", dedicated to the memory of Professor Leonid Pavlovich Shilnikov: Book of Abstracts (Nizhny Novgorod, Russia, 1-5 July, 2013), p. 16.

[152] Borisov A. V., Kilin A. A., Mamaev I. S. On the Hadamard-Hamel problem and the dynamics of wheeled vehicles // Regular and Chaotic Dynamics, 2015, vol.20, no. 6, pp. 752-766.

[153] Borisov A. V., Fedorov Yu. N., Mamaev I. S. Chaplygin ball over a fixed sphere: An explicit integration // Regular and Chaotic Dynamics, 2008, vol. 13, no. 6, pp. 557-571.

[154] Borisov A. V., Mamaev I. S. The rolling motion of a rigid body on a plane and a sphere: Hierarchy of dynamics // Regular and Chaotic Dynamics, 2002, vol. 7, no. 2, pp. 177-200.

[155] Borisov A. V., Mamaev I. S. Conservation laws, hierarchy of dynamics and explicit integration of nonholonomic systems // Regular and Chaotic Dynamics, 2008, vol. 13, no. 5, pp. 443-490.

[156] Borisov A. V., Mamaev I. S. Rolling of a Non-homogeneous Ball Over a Sphere Without Slipping and Twisting // Regular and Chaotic Dynamics, 2007, vol. 12, no. 2, pp. 153159.

[157] Borisov A. V., Mamaev I. S. Topological Analysis of an Integrable System Related to the Rolling of a Ball on a Sphere // Regular and Chaotic Dynamics, 2013, vol. 18, no. 4, pp. 356-371.

[158] Borisov A. V., Mamaev I. S. Symmetries and reduction in nonholonomic mechanics // Regular and Chaotic Dynamics, 2015, vol. 20, no. 5, pp. 553-604.

[159] Borisov A. V., Mamaev I.S., Bizyaev I. A. The hierarchy of dynamics of a rigid body rolling without slipping and spinning on a plane and a sphere // Regular and Chaotic Dynamics, 2013, vol. 18, no.3, pp. 277-328.

[160] Borisov A. V., Mamaev I. S., Bizyaev I. A. The Jacobi integral in nonholonomic mechanics / / Regular and Chaotic Dynamics, 2015, vol. 20, no.3, pp. 383-400.

[161] Borisov A. V., Mamaev I. S., Kilin A. A. Dynamics of rolling disk // Regular and Chaotic Dynamics, 2003, vol. 8, no. 2, pp. 201-212.

[162] Borisov A. V., Mamaev I. S., Kilin A. A. The rolling motion of a ball on a surface: New integrals and hierarchy of dynamics // Regular and Chaotic Dynamics, 2002, vol. 7, no. 2, pp. 201-219.

[163] Borisov A. V., Kilin A. A., Mamaev I. S. Generalized Chaplygin's Transformation and Explicit Integration of a System with a Spherical Support // Regular and Chaotic Dynamics, 2012, vol. 17, no. 2, pp. 170-190.

[164] Borisov A. V., Kilin A.A., Mamaev I. S. The Problem of Drift and Recurrence for the Rolling Chaplygin Ball // Regular and Chaotic Dynamics, 2013, vol. 18, no. 6, pp. 832859.

[165] Borisov A. V., Kilin A.A., Mamaev I. S. On the Hadamard - Hamel Problem and the Dynamics of Wheeled Vehicles // Regular and Chaotic Dynamics, 2015, vol.20, no. 6, pp. 752-766.

[166] Borisov A.V., Mamaev I.S., Kilin A.A., Bizyaev I.A. Qualitative analysis of the dynamics of a wheeled vehicle // Regular and Chaotic Dynamics, 2015, vol. 20, no. 6, pp. 739-751.

[167] Borisov A. V., Mamaev I. S., Kilin A. A. Dynamics of rolling disk // Regular and Chaotic Dynamics, 2003, vol. 8, no. 2, pp. 201-212.

[168] Bolotin S., Treschev D. Unbounded growth of energy in nonautonomous Hamiltonian systems // Nonlinearity, 1999, vol. 12, no. 2, p. 365-388.

[169] Bottema O. On the small vibrations of nonholonomic systems // Indag. Math., 1949, vol. 11, pp. 296-298.

[170] Bottema O. Die Bewegung eines einfachen Wagenmodells // Z. Angew. Math. Mech., 1964, vol. 44, no. 12, pp. 585-593.

[171] Bourlet C. Etude theorique sur la bicyclette: 1 // Bull. Soc. Math. France, 1899, vol. 27, pp. 47-67.

[172] Boussinesq J. Apercu sur la theorie de la bicyclette //J. Math. Pure Appl., 1899, vol. 5, pp. 117-135.

[173] Boussinesq J. Complement a une etude récente concernant la theorie de la bicyclette: influence, sur l'equilibre, des mouvements latéraux spontanes du cavalier // J. Math. Pure Appl., 1899, vol. 5, pp. 217-232.

[174] Bravo-Doddoli A. and Garcia-Naranjo L. C. The Dynamics of an Articulated n-Trailer Vehicle // Regular and Chaotic Dynamics, 2015, vol. 20, no. 5, pp. 497-517.

[175] Brockett R. W. Control theory and singular Riemannian geometry // New directions in applied mathematics, Springer, New York, 1982, p. 11-27.

[176] Bridges Th. J. Poisson structure of the reversible 1 : 1 resonance // Phys. D, 1998, vol. 112, nos. 1-2, pp. 40-49.

[177] Brill A. Vorlesungen zur Einführung in die Mechanik raumerfüllender Massen. Leipzig: Teubner, 1909. 236 pp.

[178] Burns J. A. Ball rolling on a turntable: Analog for charged particle dynamics // Amer. J. Phys., 1981, vol.48, no. 1, pp. 56-58.

[179] Capon R. S. Hamilton's principle in relation to nonholonomic mechanical systems // Quart. J. Mech. Appl. Math., 1952, vol.5, no. 4, pp. 472-480.

[180] Caratheodory C. Der Schlitten // Z. Angew. Math. Mech., 1933, vol. 13, no. 2, pp. 71-76.

[181] Caricena J. F., Guha P., Ranada M. F. Quasi-Hamiltonian structure and Hojman construction //Journal of mathematical analysis and applications, 2007, vol. 332, no. 2, pp. 975-988.

[182] Carvallo E. Theorie du mouvement du monocycle et de la bicyclette. Paris: Gauthier-Villars, 1899. 193 pp.

[183] Chavoya-Aceves O., Pma E. Symmetry lines of the dynamics of a heavy rigid body with a fixed point // Il Nuovo Cimento B, 1989, vol. 103, no. 4, pp. 369-387.

[184] Chow W. L. Uber Systeme von linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung // Math. Ann., 1940/1941, vol. 117, pp. 98-105.

[185] Crescini E. Sur moto di una sfera che rotola su di un plano fisso // Rendiconti Accad. dei Lincei, 1889, vol. 5, pp. 204-209.

[186] Dautheville S. Sur les systemes non holonomes // Bull. Soc. Math. France, 1909, vol. 37, pp. 120-132.

[187] Delassus E. Sur la realisation materielle des liaisons // C. R. Acad. Sci. Paris, 1911, vol. 152, pp. 1739-1743.

[188] Devaney R. L. Reversible diffeomorphisms and flows // Trans. Amer. Math. Soc., 1976, vol.218, pp. 89-113.

[189] Duistermaat J. J., Chaplygin's sphere // arXiv:math/0409019v1, 2004.

[190] Earnshaw S. Dynamics, or An elementary treatise on motion. 3rd ed. Cambridge: Deighton, 1844. 396 pp.

[191] Eden R.J. The Hamiltonian dynamics of non-holonomic systems // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A, 1951, vol. 205, no. 1083, pp. 564-583.

[192] Earnshaw S. Dynamics, or An elementary treatise on motion. 3rd ed., Cambridge: Deighton, 1844. 396 p.

[193] Ehlers K., Koiller J. Rubber Rolling // Geometry and Dynamics of 2-3-5 Distributions, in Proceedings IUTAM symposium 2006 on Hamiltonian Dynamics, Vortex Structures, Turbulence (Moscow, 25-30 August, 2006), pp. 469-480.

[194] Ehrlich R., Tuszynski J. Ball on a rotating turntable: Comparison of theory and experiment // Amer. J. Phys., 1995, vol.63, no. 4, pp. 351-359.

[195] Engelbrecht J. R., Mirollo R. Structure of Long-Term Average Frequencies for Kuramoto Oscillator Systems // Physical review letters, 2012, vol. 109, no. 3, c. 034103.

[196] Essen H. On the geometry of nonholonomic dynamics // Trans. ASME J. Appl. Mech., 1994, vol.61, no. 3, pp. 689-694.

[197] Fasso F., Sansonetto N. Conservation of 'moving' energy in nonholonomic systems with affine constraints and integrability of spheres on rotating surfaces // Preprint. arXiv:1503.06661 (2015).

[198] Fedorov Yu. N., Jovanovic B., Quasi-Chaplygin Systems and Nonholonomic Rigid Body Dynamics // Lett. Math. Phys., 2006, vol.76, pp. 215-230.

[199] Fedorov Yu. N. Kozlov V. V., Various Aspects of n-Dimensional Rigid Body Dynamics // Advances in Math. Sciences. Dynamical Systems in Classical Mechanics. Amer. Math. Soc. Translations. Ser. 2, 1995, vol. 168, pp. 141-171.

[200] Fedorov Yu. N., Dynamic Systems with the Invariant Measure on Riemann's Symmetric Pairs (g/(n), so(n)) // Regular and Chaotic Dynamics, 1996, vol. 1, no. 1, pp. 38-44.

[201] Fedorov Yu. N., Maciejewski A. J., Przybylska M. Suslov problem: Integrability, meromorphic and hypergeometric solutions // Nonlinearity, 2009, vol. 22, no. 9, pp. 22312259.

[202] Ferrers N. M. Extension of Lagrange's equations // Quart. J. Pure Appl. Math., 1872, vol. 12, no. 45, pp. 1-5.

[203] Ferrario C., Passerini A. Rolling rigid bodies and forces of constraint: An application to affine nonholonomic systems // Meccanica, 2000, vol.35, no. 5, pp. 433-442.

[204] Fuller F. B. The writhing number of a space curve // Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 1971, vol.68, pp. 815-819.

[205] García-Naranjo L. C., Maciejewski A. J., Marrero J.C., Przybylska M. The inhomogeneous Suslov problem // Physics Letters A, 2014, vol.378, pp. 2389-2394.

[206] Gelfreich V., Turaev D. Fermi acceleration in non-autonomous billiards // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 2008, vol.41, no. 21, p. 212003.

[207] Gersten J., Soodak H., Tiersten M. S. Moving on stationary or rotating horizontal surface // Amer. J. Phys., 1992, vol. 60, no. 1, pp. 43-47.

[208] Gibbs J. W. On the fundamental formulae of dynamics // Amer. J. Math., 1879, vol. 2, no. 1, pp. 49-64.

[209] Gonchenko A. S., Gonchenko S.V., Kazakov A. O. Richness of Chaotic Dynamics in Nonholonomic Models of a Celtic Stone // Regular and Chaotic Dynamics, 2013, vol. 18, no. 5, pp. 521-538.

[210] Guha P., Bois-Marie L., Block J. D. The role of the Jacobi last multiplier in nonholonomic systems and almost symplectic structure // Preprint, IHES/M/13/17, 2013.

[211] Hadamard J. Sur les mouvements de roulement // Memoires de la Societe des sciences physiques et naturelles de Bordeaux, ser. 4, 1895, vol. 5, pp. 397-417.

[212] Hamel G. Die Lagrange-Eulerschen Gleichungen der Mechanik // Z. Math. u. Phys., 1904, vol. 50, pp. 1-57.

[213] Hamel G. Das Hamiltonsche Prinzip bei nichtholonomen Systemen // Mathematische Annalen, 1935, vol. 111, no. 1, pp. 94-97

[214] Hamel G. Theoretische Mechanik: Eine einheitliche Einfuhrung in die gesamte Mechanik. 2nd ed. Berlin: Springer, 1978. 796 pp.

[215] Halme A., Schonberg T., Wang Y. Motion control of a spherical mobile robot // AMC '96-MIE. Proc. of the 4th Internat. Workshop on Advanced Motion Control, 1996: vol. 1, pp. 259-264.

[216] Hertz H. Gesammelte Werke: Vol. 3: Die Prinzipien der Mechanik. Leipzig: Barth, 1894. 312 pp.

[217] Hermans J. A symmetric sphere rolling on a surface // Nonlinearity, 1995, vol. 8, no. 4, pp. 493-515.

[218] Hojman S.A. The construction of a Poisson structure out of a symmetry and a conservation law of a dynamical system //J. Phys. A: Math. Gen., 1996, vol. 29, pp. 667-674.

[219] Ivanov A. P. On final motions of a Chaplygin ball on a rough plane // Regular and Chaotic Dynamics, 2016, vol. 21, no. 7-8, pp. 804-810.

[220] Izrailev F. M., Rabinovich M. I., Ugodnikov A.D. Approximate description of three-dimensional dissipative systems with stochastic behaviour // Physics Letters A, 1981, vol. 86, nos. 6-7, pp. 321-325.

[221] Isenoff I. Sur les equations generales du mouvement des systemes materiels non holonomes // J. Math. Pures Appl., ser. 8, 1920, vol.3, pp. 245-264.

[222] Kazakov A. O. Strange Attractors and Mixed Dynamics in the Problem of an Unbalanced Rubber Ball Rolling on a Plane // Regular and Chaotic Dynamics, 2013, vol. 18, no. 5, pp. 508-520.

[223] Kane T. R., Levinson D. A. A realistic solution of the symmetric top problem //J. Appl. Mech., 1978, vol.45, no. 4, pp. 903-909.

[224] Kilin A. A. The dynamics of Chaplygin ball: The qualitative and computer analysis // Regular and Chaotic Dynamics, 2001, vol. 6, no. 3, pp. 291-306.

[225] Koiller J. Reduction of some classical non-holonomic systems with symmetry // Arch. Rational Mech. Anal., 1992, vol. 118, no. 2, pp. 113-148.

[226] Koiller J., Ehlers K. Rubber rolling over a sphere // Regular and Chaotic Dynamics, 2007, vol. 12, no. 2, pp. 127-152.

[227] Kooijman J. D. G., Meijaard J. P., Papadopoulos J. M., Ruina A., Schwab A. L. A bicycle can be self-stable without gyroscopic or Caster effects (Supplementary material available online) // Science, 2011, vol.332, no. 6027, pp. 339-342.

[228] Korteweg D. Uber eine ziemlich verbrietete unrichtige Behandlungswiese eines Problemes der rolleden Bewegung und insbesondere uber kleine rollende Schwingungen um eine Gleichgewichtslage // Nieuw Archief voor Wiskunde, 1899, vol. 4, pp. 130-155.

[229] Korteweg D. Extrait d'une lettre a M. Appel // Rendiconti del circolo matematico di Palermo, 1900, vol. 14, pp. 7-8.

[230] Koshkin S., Jovanovic V. Realization of non-holonomic constraints and singular perturbation theory for plane dumbbells // Journal of Engineering Mathematics, 2017, pp. 1-19.

[231] Kozlov V. V. On the theory of integration of the equations of nonholonomic mechanics // Regular and Chaotic Dynamics, 2002, vol. 7, no. 2, pp. 191-176.

[232] Kozlov V. V. The Dynamics of Systems with Servoconstraints I // Regular and Chaotic Dynamics, 2015, vol.20, no.3, 205-224.

[233] Kozlov V. V. The Dynamics of Systems with Servoconstraints II //, Regular and Chaotic Dynamics, 2015, vol.20, no. 4, 401-427.

[234] Kozlov V. V. Several problems on dynamical systems and mechanics // Nonlinearity, 2008, vol.21, №9, pp. 149-155.

[235] Krishnaprasad P.S., Tsakiris D. P. Oscillations, SE(2)-snakes and motion control: A study of the Roller Racer // Dynamical Systems, 2001, vol. 16, no. 4, pp. 347-397.

[236] Laumond J. P., Jacobs P. E., Taix M., Murray R. M. A motion planner for nonholonomic mobile robots // IEEE Transactions on Robotics and Automation, 1994, vol. 10, no. 5, pp. 577-593.

[237] de León M. A historical review on nonholonomic mechanics // Rev. R. Acad. Cienc. Exactas Fis. Nat. Ser. A Math. RACSAM, 2012, vol. 106, no. 1, pp. 191-224.

[238] Leonard N. E. Periodic Forcing, Dynamics and Control of Underactuated Spacecraft and Underwater Vehicles // Proc. of the 34th IEEE Conference on Decision and Control, December 1995, pp. 3980-3985.

[239] Lenz F., Diakonos F. K., Schmelcher P. Tunable Fermi acceleration in the driven elliptical billiard // Physical Review Letters, 2008, vol. 100, no. 1, p. 014103.

[240] Lie S. Theorieder Transformations gruppen: In 3 Vols. 2nd ed. Providence, R. I.: AMS, 1970, 2043pp.

[241] Lindelof E. Sur le mouvement d'un corps de revolution roulant sur un plan horizontal // Acta Societ. Scient. Fennicae, 1895, vol. 20, no. 10, 18 pp.

[242] Lichtenberg A. J, Lieberman M. A. Regular and Stochastic Morion, 1983, New York: Springer.

[243] Liouville J. Developpements sur un chapitre de la Mecanique de Poisson // Journal de Mathematiques Pures et Appliquees, 1858, v. 3, p. 1-25.

[244] Llibre J., Ramirez R., Sadovskaia N. A new approach to the vakonomic mechanics // Nonlinear Dynam., 2014, vol. 78, no. 3, pp. 2219-2247.

[245] Lloyd N. G. The Number of Periodic Solutions of the Equation z = zN + p^t)zN-1 + + ... + pN(t) //Proceedings of the London Mathematical Society, 1973, vol.3, no. 4, pp. 667-700.

[246] Maggi G. Di alcune nuove forme delle equazioni della dinamica, applicabili ai sistemi anolonomi // Atti della R. Acc. nazionale dei Lincei, 1901, vol. 5, pp. 287-292.

[247] Mahdi A., Valls C. Analytic non-integrability of the Suslov problem //J. Math. Phys., 2012, vol. 53, no. 12, 122901, 8pp.

[248] Maciejewski A. J., Przybylska M. Nonintegrability of the Suslov problem //J. Math. Phys., 2004, vol.45, no.3, pp. 1065-1078.

[249] Marigo A., Bicchi A. Rolling bodies with regular surface: Controllability theory and applications // EEE Trans. on Automatic Control, 2000, vol. 45, no. 9, pp. 1586-1599.

[250] Martins R. M., Teixeira M. A. On the similarity of Hamiltonian and reversible vector fields in 4D // Commun. Pure Appl. Anal., 2011, vol. 10, no. 4, pp. 1257-1266.

[251] Maruskin J.M., Bloch A.M., Marsden J.E., Zenkov D.V. A fiber bundle approach to the transpositional relations in nonholonomic mechanics //J. Nonlinear Sci., 2012, vol.22, no. 4, pp. 431-461.

[252] Meijaard J. P., Papadopoulos J.M., Ruina A., Schwab A. L. Linearized dynamics equations for the balance and steer of a bicycle: A benchmark and review // Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci., 2007, vol. 463, no. 2084, pp. 1955-1982.

[253] Mei F. Nonholonomic Mechanics // Applied Mechanics Reviews, 2000, vol.53, no. 11, pp. 283-305.

[254] Molenbrock P. Over de zuiver rollende beweging van een lichaam over een willekeurig oppervlak // Nieuw Archief voor Wiskunde, 1890, vol. 17, pp. 130-157.

[255] Molina-Becerra M., Galan-Vioque J., Freire E. Dynamics and bifurcations of a Nonholonomic Heisenberg System // International Journal of Bifurcation and Chaos, 2012, vol. 22, no. 2, 1250040, 14 p.

[256] Montgomery R. A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications // American Mathematical Society, 2006, 334 p.

[257] Milne E. A. Vectorial mechanics, New York: Interscience, 1948. 400 pp.

[258] Murray R. M., Sastry S. S. Nonholonomic motion planning: steering using sinusoids // IEEE Transactions on automatic control, 1993, vol. 38, no. 5, pp. 700-716.

[259] Neumann C. Uber die rollende Bewegung eines Körpers auf einer gegebenen Horizontalebene unter dem Einfluss der Schwere // Math. Ann., 1886, vol. 27, no. 4, pp. 478-501.

[260] Neumann C. G. Beitrage zur analytischen Mechanik: 1 // Berichte uber die Verhandlungen der Königlich Sachsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Physische Classe, 1899, vol. 51, pp. 371-444.

[261] Noohi E., Mahdavi S.S., Baghani A., Ahmadabadi M.N. Wheel-based climbing robot: Modeling and control // Advanced Robotics, 2010, vol. 24, nos. 8-9, pp. 1313-1343.

[262] Ohsawa T., Fernandez O. E., Bloch A. M., Zenkov D. V. Nonholonomic Hamilton-Jacobi theory via Chaplygin hamiltonization //J. Geom. Phys., 2011, vol.61, no. 8, pp. 12631291.

[263] Osborne J. M., Zenkov D. V. Steering the Chaplygin sleigh by a moving mass // Decision and Control, 2005 and 2005 European Control Conference. CDC-ECC'05. 44th IEEE Conference on. - IEEE, 2005. - p. 1114-1118.

[264] Papastavridis J. G. A panoramic overview of the principles and equations of motion of advanced engineering dynamics // Applied Mechanics Reviews, 1998, vol.51, no. 4, pp. 239-265.

[265] Painleve P. Lecons sur le frottement, P.: Hermann, 1895.

[266] Pavon M. Hamilton-Jacobi equations for nonholonomic dynamics //J. Math. Phys., 2005, vol.46, no. 3, 032902, 8 pp.

[267] Pereira T., Turaev D. Exponential energy growth in adiabatically changing Hamiltonian systems // Phys. Rev. E, 2015, vol.91, 010901, 4 p

[268] Poincare H. Les idees de Hertz sur la mecanique // Revue Generale des Sciences, 1897, vol. 8, pp. 734-743.

[269] Poincare H. Sur une forme nouvelle des equations de la Mecanique // C. R. Acad. Sci. Paris, 1901, vol. 132, pp. 369-371.

[270] Posch H. A., Hoover W. G., Vesely F. J. Canonical dynamics of the Nose oscillator: Stability, order, and chaos // Phys. Rev. A(3), 1986, vol.33, no. 6, pp. 4253-4265.

[271] Poschl Th. M. F. Sur les equations canoniques des systemes non holonomes // C. R. Acad. Sci. Paris, 1913, vol. 156, pp. 1829-1831.

[272] Quanjel J. Les equations generales de la mecanique dans le cas des liaisons non-holonomes // Rendiconti del circolo matematico di Palermo, 1906, vol. 22, no. 1, pp. 263273.

[273] Ramos A. Poisson structures for reduced non-holonomic systems // J. Phys. A, 2004, vol. 37, pp. 4821-4842.

[274] Roberts J. A. G., Quispel G. R. W. Chaos and time-reversal symmetry. Order and chaos in reversible dynamical systems // Phys. Rep., 1992, vol.216, nos. 2-3, pp. 63-177.

[275] Rosenberg R.M. Analytical Dynamics of Discrete Systems // New York: Plenum Press, 1977, 426 p.

[276] Routh E. J. The advanced part of a treatise on the dynamics of a system of rigid bodies: Being part II of a treatise on the whole subject. 6th ed. New York: Dover, 1955. 484pp.

[277] Routh G. R. R. The motion of a bicycle // The Messenger of Mathematics, 1899, vol. 28, pp. 151-169.

[278] Rios P. M., Koiller J. Non-holonomic systems with symmetry allowing a conformally symplectic reduction //New Advances in Celestial Mechanics and Hamiltonian Systems. Springer US, 2004, pp. 239-252.

[279] Rumyantsev V. V., Sumbatov A. S. On the problem of a generalization of the Hamilton -Jacobi method for nonholonomic systems // Z. Angew. Math. Mech., 1978, vol. 58, no. 11, pp. 477-481.

[280] Schouten G. Over de rollende beweging van een omwentelingalichaam op een vlak // Verlangen der Konikl. Akad. van Wet. Amsterdam. Proc., 1899, vol. 5, pp. 1-10.

[281] Schouten J. A. On non-holonomic connexions // Proc. Amsterdam, 1928, vol. 31, pp. 291299.

[282] Sevryuk M. B. Reversible Systems // Lecture Notes in Math., vol. 1211. Berlin: Springer, 1986. 319pp.

[283] Slesser G. M. Notes on rigid dynamics // Quart. J. Math., 1861, vol.4, pp. 65-77.

[284] van der Schaft, A.J. and Maschke, B. M., On the Hamiltonian Formulation of Nonholonomic Mechanical Systems// Rep. Math. Phys., 1994, vol.34, no. 2, pp. 225233.

[285] Soodak H., Tiersten M. S. Perturbation analysis of rolling friction on a turntable // Amer. J. Phys., 1996, vol.64, no. 9, pp. 1130-1139.

[286] Sokirko A. V., Belopolskii A. A., Matytsyn A. V., Kossakowski D. A. Behavior of a ball on the surface of a rotating disk // Amer. J. Phys., 1994, vol. 62, no. 2, pp. 151-156.

[287] Sprott J. C. Elegant chaos: algebraically simple chaotic flows, World Scientific, 2010.

[288] Stuckler B. Uber die Differentialgleichungen fur die Bewegung eines idealisierten Kraftwagens // Arch. Appl. Mech., 1952, vol.20, no. 5, pp. 337-356.

[289] Stuöckler B. Uö ber die Berechnung der an rollenden Fahrzeugen wirkenden Haftreibungen // Arch. Appl. Mech., 1955, vol.23, no. 4, pp. 279-287.

[290] Svinin M., Morinaga A., Yamamoto M. On the dynamic model and motion planning for a class of spherical rolling robots // IEEE Internat. Conf. on Robotics and Automation, 2012, pp.3226-3231.

[291] Tokieda T. Roll models // Amer. Math. Monthly, 2013, vol. 120, no. 3, pp. 265-282.

[292] Tsiganov A. V. On a Trivial Family of Noncommutative Integrable Systems //SIGMA. Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 2013, vol, 9, pp 1-15.

[293] Van Dooren R. Second form of the generalized Hamilton-Jacobi method for nonholonomic dynamical systems // Z. Angew. Math. Phys., 1978, vol. 29, no. 5, pp. 828834.

[294] Vetchanin E. V., Kilin A. A., Mamaev I. S. Control of the Motion of a Helical Body in a Fluid Using Rotors // Regular and Chaotic Dynamics, 2016, vol.21, nos. 7-8, pp. 874884.

[295] Vierkandt A. Uber gleitende und rollende Bewegung // Monatsh. Math. Phys., 1892, vol. 3, no. 1, pp. 31-38, 97-116.

[296] Volterra V. Sopra una classe di equazioni dinamiche // Atti della R. Accad. Sci. di Torino, 1898, vol. 33, pp. 471-475.

[297] Vranceanu G. Les espaces non holonomes et leurs applications mecaniques // Mem. Sci. Math., 1936, vol. 76, pp. 1-70.

[298] Walker G.T. On a curious dynamical property of celts // Proc. Cambridge Phil. Soc., 1895, vol.8, pt.5, pp. 305-306.

[299] Weber R. W. Hamiltonian systems with constraints and their meaning in mechanics // Arch. Rational Mech. Anal., 1986, vol.91, no. 4, pp. 309-335.

[300] Weltner K. Stable circular orbits of freely moving balls on rotating discs // Amer. J. Phys., 1979, vol.47, no. 11, pp. 984-986.

[301] Woronetz P. Uber das Problem der Bewegung von vier Massenpunkten unter dem Einflusse von inneren Kräften // Math. Ann., 1907, vol. 63, no. 3, pp. 387-412.

[302] Woronetz P. Uber die Bewegung eines starren Körpers, der ohne Gleitung auf einer beliebigen Flache rollt // Math. Ann., 1911, vol. 70, pp. 410-453.