Качественный анализ характерных особенностей поведения гидродинамических и неголономных систем с периодическими управлениями на основе конечномерных моделей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, доктор наук Ветчанин Евгений Владимирович

• Ветчанин Евгений Владимирович
• доктор наук
• 2022

Оглавление диссертации доктор наук Ветчанин Евгений Владимирович

1.1.2 Уравнения движения

1.1.3 Первые интегралы

1.2 Движение профиля в идеальной жидкости при постоянной ненулевой циркуляции

1.3 Динамика при нулевой циркуляции

1.4 Возможность неограниченного самопродвижения профиля в вязкой жидкости в случае периодически изменяющейся циркуляции

1.4.1 Движение кругового профиля при специальном выборе параметров изменения циркуляции Г0, £г и

1.4.2 Движение кругового и эллиптических профилей при произвольных значениях Г0, £г и

1.5 Компьютерный анализ движения эллиптического профиля в вязкой жидкости

1.5.1 Трехмерное отображение Пуанкаре

1.5.2 Карта динамических режимов

1.6 Выводы по главе

2 Плоскопараллельное движение гладкого профиля с подвижной

внутренней материальной точкой

2.1 Математическая модель

2.1.1 Кинематически соотношения

2.1.2 Уравнения движения

2.2 Движение профиля в идеальной жидкости

2.3 Компьютерный анализ движения эллиптического профиля в вязкой жидкости

2.3.1 Трехмерное отображение

2.3.2 Карты динамических режимов

2.3.3 Предельные циклы и мультистабильность

2.3.4 Притягивающие торы, бифуркация Неймарка-Сакера

2.3.5 Странные аттракторы

2.4 Выводы по главе

3 Плоскопараллельное движение гладкого профиля под действием внешних периодических силы и момента сил

3.1 Уравнения движения. Первые интегралы

3.1.1 Основные предположения и кинематические соотношения

3.1.2 Уравнения движения

3.1.3 Законы сохранения

3.2 Движение профиля в идеальной жидкости

3.2.1 Круговой профиль и электромагнитная аналогия

3.2.2 Эллиптический профиль. Существование первого интеграла100

3.2.3 Динамики эллиптического профиля в общем случае

3.3 Движение кругового профиля в вязкой жидкости

3.3.1 Движение в отсутствие внешнего момента

3.3.2 Движение при наличии внешнего момента

3.4 Компьютерный анализ движения эллиптического профиля в вязкой жидкости

3.5 Выводы по главе

II Динамические эффекты, возникающие в моделях движения твердых тел с периодически изменяющимися мо-

ментами инерции и внутренними роторами

124

4 Устойчивость перманентных вращений твердого тела с непо-

движной точкой

4.1 Математическая модель

4.1.1 Уравнения движения

4.1.2 Законы сохранения. Отображение Пуанкаре

4.2 Анализ устойчивости перманентных вращений

4.2.1 Периодическое возмущение случая Эйлера-Пуансо

4.2.2 Периодическое возмущение случая Жуковского - Вольтерра159

4.2.3 Периодическое возмущение случая Лагранжа в отсутствие трения и накачки

4.2.4 Периодическое возмущение случая Лагранжа при наличии трения и накачки

4.3 Возникновение хаоса. Расщепление сепаратрис

4.4 Выводы по главе

5 Качение уравновешенной сферической оболочки при отсутствии проскальзывания и верчения

5.1 Уравнения движения. Первые интегралы

5.1.1 Уравнения движения

5.1.2 Симметрии и первые интегралы

5.1.3 Отображение Пуанкаре

5.2 Численный анализ устойчивости плоскопараллельных движений

5.2.1 Инвариантные подмногообразия и частные решения

5.2.2 Численная оценка устойчивости плоскопараллельных движений

5.3 Неконсервативность динамики

5.3.1 Движение из состояния покоя

5.3.2 Бифуркации удвоения торов и рождение странного аттрактора при С =

5.4 Выводы по главе

6 Качение сферической оболочки со смещенным центром масс при отсутствии проскальзывания и верчения

6.1 Уравнения движения. Первые интегралы

6.1.1 Уравнения движения

6.1.2 Симметрии и первые интегралы

6.1.3 Отображение Пуанкаре

6.2 Динамика при условии существования инвариантного многообразия212

6.3 Стабилизация робота в окрестности верхнего положения равновесия218

6.4 Условия устойчивости робота в нижнем положении равновесия

6.5 Выводы по главе

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Качественный анализ характерных особенностей поведения гидродинамических и неголономных систем с периодическими управлениями на основе конечномерных моделей»

Введение

В настоящее время, благодаря развитию электроники и схемотехники, большое внимание уделяется разработке различных автономных и управляемых мобильных роботов, передвигающихся в водной (воздушной) среде или по твердым поверхностям. Традиционным средством создания тяговой силы при перемещении в жидкости являются гребные винты, в применении которых были достигнуты существенные успехи, в основном благодаря потребностям оборонно-промышленного комплекса. Автономные необитаемые подводные аппараты, предназначенные для исследования океана, как правило, оснащаются гребными винтами [41].

В последние два десятилетия изучается идея самопродвижения в жидкости тел, которые не имеют внешних подвижных элементов, таких как гребные винты или лопасти. Движение таких устройств реализуется за счет сил инерции, создаваемых за счет движения некоторых внутренних механизмов, например, эксцентриков или роторов. Отметим, что идея такого способа самопродвижения восходит к работам советского инженера В.Н. Толчина [68].

Движение внутренних механизмов приводит к изменению положения центра масс, гиростатического момента и моментов инерции системы. Таким образом, при изучении динамики таких систем можно рассматривать задачу управления движением за счет изменения указанных выше параметров. При этом требуется некоторая математическая модель, описывающая движение системы.

Модели движения твердого тела в идеальной жидкости в отсутствие циркуляции.

Наиболее простой моделью, описывающей движение твердого тела в безграничном объеме идеальной жидкости, покоящейся на бесконечности и совершающей безвихревое движение, являются уравнения Кирхгофа [149]:

с(дТ дТ 1 дТ дТ дТ --= — х и;,--= — х и? Н--XV,

И д V д V И д и д и д V

где Т — кинетическая энергия системы, V — вектор скорости, записанный в проекциях на оси подвижной системы координат, связанной с телом, ш — угловая скорость тела. Для описания движения тела в абсолютном пространстве необходимо дополнить уравнения (1) кинематическими соотношениями [14]:

а = а х ш, /3 = в х ш, 7 = 7 х ш, x = а • v, y = в • v, Z = 7 • v,

(2)

где а, в, 7 — единичные векторы, направленные вдоль осей неподвижной системы координат, записанные в проекциях на оси подвижной системы координат, х, у, г — координаты начала подвижной системы координат относительно неподвижной.

Отметим, что полная система уравнений (1), (2) допускает шесть первых интегралов движения, соответствующих законам сохранения импульса и момента импульса:

дТ

Px = а д v = const, Mx = а •

= в дТ в •

Py д v = const, My =

дТ Mz =

Pz = 7 д v = const, 1 •

(a i Yi\

Q= a2 в2 72

\аэ вз 7з/

дТ {гл . дТ + (Qг) х

кд ш 'дТ д ш

дТ

+ (Qr) х

д v

дТ д v у дТ

ди + (Qr) х а»

М

= const, = const, = const,

(3)

r=

y

w

Уравнения (1) учитывают только вклад эффекта присоединенных масс [50] в гидродинамическое сопротивление. Тем не менее, благодаря существованию первых интегралов (3) уравнения (1) поддаются практически полному аналитическому исследованию, что позволяет получить качественные выводы о динамике той или иной системы.

В частности, на основе уравнений (1) в работах академика РАН В. В. Козлова [48, 49, 62] было исследовано движение твердого тела с подвижной внутренней массой в идеальной жидкости. В работе [48] были построены уравнения движения в идеальной несжимаемой жидкости тела с подвижной внутренней массой, претерпевающего деформации по заданному закону. В рамках модели

(1) показано, что передвижение возможно только за счет деформаций тела по некоторому периодическому закону. Кроме того, на основе критерия Рашевско-го [65] было показано, что движение недеформируемого твердого тела является вполне управляемым, если оно обладает хотя бы двумя различными присоединенными массами. В работе [49] было указано явное управление, обеспечивающее в среднем прямолинейное самопродвижение тела. В частности, внутренняя масса должна двигаться относительно тела по самопересекающейся траектории.

Идеи работ [48, 49, 62] получили развитие в работе [23]. В [23] была предложена математическая модель, описывающая движение надводного робота, состоящего из эллиптического корпуса с килем и двумя эксцентриками. Описание движения осуществлялось также на основе уравнений Кирхгофа (1). Было показано, что в среднем прямолинейное самопродвижение такого устройства реализуется, если эксцентрики вращаются с одинаковыми по модулю и противоположными по направлению угловыми скоростями. Экспериментальное подтверждение такого способа самопродвижения было дано в работе [150]. Также было обнаружено, что математическая модель, построенная в работе [23], лишь качественно предсказывает возможность самопродвижения робота с эксцентриками. На практике скорость продвижения оказывается на два порядка выше по сравнению со скоростью, предсказаной на основе математической модели. Указанное различие является предпосылкой к разработке более сложных моделей, учитывающих влияние вязкого сопротивления и трехмерного характера движения тела в жидкости. В частности, в работе [39] на основе обработки данных эксперимента была предложена трехмерная модель, описывающая движение надводного робота с эксцентриками, в вязкой жидкости. Было показано, что данная модель обеспечивается лучшее согласование с экспериментом по сравнению с моделью, предложенной в работе [23].

Наряду с подвижными внутренними массами рассматривают также управление за счет вращения внутренних роторов. В работе [12] на основе уравнений Кирхгофа (1) рассматривалась задача управления движением трехосного эллипсоида с внутренними роторами. На основе критерия Рашевского [65] указаны условия, при выполнении которых система является вполне управляемой за счет вращения трех роторов. Также показано, что управляемость может быть достигнула за счет использования только двух роторов. Приведены явные

управления, обеспечивающие вращение эллипсоида вокруг геометрических осей и вокруг оси, задаваемой радиус-вектором положения центра масс. Показано, что под действием комбинации данных управлений эллипсоид будет двигаться по винтовой траектории. Работа [21] является продолжением [12], в ней рассмотрена задача управления движением трехосного эллипсоида с помощью роторов в поле силы тяжести. При этом уравнения (1) необходимо дополнить слагаемыми, учитывающими влияние силы тяжести:

1 дЬ дЬ дЬ 1 дЬ дЬ дЬ дЬ

--= — х и? Н--"у,--= — х Сь? Н--х V Н--х у, (4)

Ид V д V дг Иди д и д V ду

где Ь = Т — и — лагранжиан, Т — кинетическая энергия, и — потенциальная энергия. В работе [21] показано, что под действием силы тяжести будет возникать дрейф. Указаны условия, при выполнении которых дрейф может быть скомпенсирован за счет вращения внутренних роторов с конечной скоростью. Показано, что с помощью вращения роторов можно реализовать продвижение эллипсоида в поле силы тяжести по винтовым траекториям. Указаны условия, при выполнении которых управляющие воздействия будут ограниченными по величине. В работе [137] выполнена экспериментальная проверка результатов работ [12, 21]. Показано, что на практике движение по винтовым линиям не реализуется из-за существенного влияния вязких и инерционных свойств жидкости.

Тем не менее, внутренние роторы могут быть использованы в качестве устройства, стабилизирующего движение. Задачи стабилизации движения тела в жидкости были рассмотрены, например, в работах [156, 201, 202]. В работе [156] показано, что движение вытянутого двухосного эллипсоида в направлении оси симметрии может быть стабилизировано за счет вращения ротора вокруг той же оси с постоянной скоростью. Также в работе [156] рассмотрена задача стабилизации движения трехосного эллипсоида с помощью вращения роторов, скорость которых задается через обратную связь. Закон управления выбирается таким образом, чтобы стабилизируемое движение становилось нейтрально устойчивым, а уравнения движения оставались гамильтоновыми. В работе [201] построен закон обратной связи, обеспечивающий асимптотическую стабилизацию движения трехосного эллипсоида с помощью трех роторов. В работе [202] задача стабилизации рассмотрена с учетом силы тяжести и момента от силы

тяжести и силы Архимеда.

Как известно, эффективное продвижение в жидкости может быть реализовано за счет гребного винта. В работах [22, 195, 198] рассмотрена задача продвижения в идеальной жидкости твердого тела, имеющего винтовую форму. В работе [195] показано, что движение винтового тела является вполне управляемым за счет вращения внутренних роторов, указаны явные управления. В работе [198] показано, что управление с помощью ротора, вращающихся с постоянной скоростью, является оптимальным. В работе [22] рассмотрена задача траекторного управления винтовым телом с помощью роторов.

Модели движения твердого тела в идеальной жидкости при наличии циркуляции.

При движении твердого тела в жидкости неизбежно возникает циркуляция вследствие ее вязких свойств. Наиболее простой моделью, учитывающей влияние постоянной циркуляции на движение твердого тела, являются уравнения Чаплыгина [73]:

d дТ дТ , d dT дТ

dt dv\ dv2 dt dv2 dv\

d дТ дТ дТ „

= V2T,--V\~--I" C^l - Xv2,

(5)

dt ди дv1 дп

где Т — кинетическая энергия системы, vi, v2 — проекции скорости тела на оси, связанные с телом, и — угловая скорость, Г — циркуляция, ( и х — параметры пропорциональные Г, связанные с гидродинамической асимметрией тела. Уравнения (5) необходимо также дополнить кинематическими соотношениями

x = vi cos ф — v2 sin ф, y = vi sin ф + v2 cos ф, ф = и. (6)

Уравнения (5), (6) допускают три первых интеграла:

(дТ Ч (дТ Ч Г

Рх = ( - х) GOS(f- ( — - С ) sm if + -у = const,

(дТ \ (дТ \ Г (7)

РУ = ( —--х ) sin + ( —--С ) cosср — — х = const, {<)

J уд^^ J 2

дТ Г , 2 2, К = хру - урх + — + - [X + у ) = const.

В работе [20] на основе уравнений Чаплыгина (5) исследовалось плоскопа-

2

раллельное движение в идеальной жидкости твердого тела при наличии постоянной циркуляции. Показано, что свободное движение такой системы будет совершаться в кольцевой области. Выполнен бифуркационный анализ свободного движения. В работе [194] уравнения (5) использовались для анализа движения твердого тела с подвижной массой и ротором. Было показано, что циркуляция приводит к возникновению дрейфа, тем не менее рассмотренная система является вполне управляемой. Показано, что тело может быть частично стабилизировано в некоторой точке с помощью вращения ротора и движения внутренней массы либо вдоль окружности, либо вдоль прямой. При этом существует некоторая область, внутри которой стабилизация возможна в течение неограниченного времени. Частичная стабилизация здесь подразумевает нулевые поступательные скорости и ненулевую угловую скорость твердого тела. В работе [103] было показано, что уравнения (5) становится неинтегрируемыми при добавлении в модель силы тяжести.

На практике циркуляция непосредственно зависит от завихренности, генерируемой в пограничном слое, поэтому уравнения (5) носят существенно модельный характер. Отметим, что при периодических движениях твердого тела циркуляция тоже будет изменяться периодически. Уравнения гладкого твердого тела с периодически изменяющейся циркуляцией рассмотрены в работе [110]. В работе [175] рассмотрена задача траекторного управления движением эллиптического профиля с помощью маховика и изменения циркуляции посредством ротора Флеттнера. При этом предполагается, что циркуляция изменяется по кусочно-постоянному закону.

Отметим также, что в случае пространственного движения неодносвязно-го твердого тела в идеальной жидкости уравнения (1) необходимо дополнить слагаемыми, описывающими воздействие циркуляционного движения жидкости через отверстия в теле [53]:

где а, Ь — постоянные векторы, зависящие от движения жидкости.

При изучении движения гладких тел в жидкости величина циркуляции Г в уравнениях (5), а также векторы а и Ь в уравнениях (8) не могут быть вычислены из физических соображений. Значения данных величин необходимо посту-

(8)

лировать для конкретной задачи или определять из эксперимента. Например, в работе [19] уравнения подобные (8) использовались для описания движения тороидальных тел в жидкости. Параметры, входящие в уравнения, вычислялись на основе обработки данных эксперимента.

Если твердое тело имеет острую кромку, то величина циркуляции может быть вычислена на основе постулата Кутты- Чаплыгина [74, 152]. Данный постулат является следствием требования конечности скорости жидкости на острой кромке. Отметим, что в зарубежной литературе постулат Кутты-Чаплыгина называют «Kutta condition», что не совсем корректно. В своей работе [152] М. В. Кутта рассмотрел лишь частный случай обтекания плоскопараллельным потоком твердого тела в форме дуги окружности. Поскольку дуга окружности обладает двумя острыми кромками, возникает два ограничения: на величину циркуляции и направления потока, которым обтекается тело. В работе [74] С. А. Чаплыгин (независимо) получил результат Кутты и рассмотрел задачу об обтекании дуги окружности, один из концов которой имеет скругление. При этом было получено явное выражение для вычисления циркуляции в зависимости от скорости и направления потока. Также в работе [74] были приведены расчеты подъемной силы для различных крыловых профилей.

Модели движения твердого тела в присутствии точечных вихрей.

При движении твердого тела в жидкости могут образовываться вихревые структуры вследствие отрыва пограничного слоя [79]. В рамках модели идеальной жидкости движение вихревых структур может быть описано с помощью модели точечного вихря [15], в основе которой лежат условия теорем Лагранжа и Гельмгольца [51]:

Теорема 0.0.1 (Лагранж). Пусть: 1) жидкость идеальная, 2) сила, действующая на жидкость, является потенциальной, 3) плотность есть функция давления; тогда, если в начальный момент времени в некоторой части жидкости не имелось вихрей, то их не было раньше и не будет позже в этой части жидкости.

Теорема 0.0.2 (Гельмгольц). Если сделать те же предположения, что в теореме Лагранжа, то частицы жидкости, образующие в некоторый момент времени вихревую линию, во все время движения образуют вихревую линию.

Теорема 0.0.3 (Гельмгольц). Если сделать те же предположения, что в тео-

реме Лагранжа, то интенсивность любой вихревой трубки во все время движения остается постоянной.

В силу условий данных теорем наличие вихревых структур в идеальной баротропной жидкости постулируется. Кроме того, точечные особенности, описывающие вихревые структуры, переносятся потоком скорости без изменения интенсивности.

В рамках модели идеальной жидкости могут быть построены уравнения совместного движения кругового профиля и точечных вихрей. Такие математические модели предложены в работе [172] для случая одного вихря, в работе [173] для случая произвольного количества вихрей. В работе [181] показано, что данные уравнения могут быть представлены в гамильтоновой форме, если сумма интенсивностей вихрей равна нулю. В работе [180] показано, что движение произвольного гладкого профиля в присутствии точечных вихрей также описывается гамильтоновыми уравнениями, если суммарная циркуляция вокруг профиля равна нулю. Отметим, что при этом суммарная интенсивность вихрей может быть отлична от нуля. Качественный анализ движения уравновешенного цилиндра нейтральной плавучести в присутствии точечных вихрей был выполнен в работах [108, 174]. В работах [66, 67] рассматривалась задача о движении уравновешенного кругового цилиндра в присутствии точечных вихрей в поле силы тяжести.

В работе [161] были построены уравнения движения неуравновешенного кругового профиля в присутствии точечных вихрей. Показано, что данные уравнения могут быть представлены в гамильтоновой форме. Показано, что уравнения движения неуравновешенного профиля и одного вихря оказываются неинтегри-руемыми, в отличие от случая уравновешенного профиля [172].

Известны также математические модели, в которых постулируется сход точечных вихрей в окрестности острой кромки профиля [124, 164, 183, 184]. Интенсивность нового добавляемого в поток вихря рассчитывается из условия Кут-ты- Чаплыгина [74, 152]. Следует отметить, что в промежутке времени между «образованиями» вихрей в указанных моделях условие Кутты- Чаплыгина нарушается. Кроме того, нет строгого обоснования выбора точки, в которую ставится новый вихрь. Модели со сходом точечных вихрей применялись для описания движения рыбоподобного профиля с ротором в работах [185, 188] и деформируемого рыбоподобного профиля [118, 139].

В работе [165] предложена модель схода вихрей переменной интенсивности, обеспечивающая выполнение условия Кутты- Чаплыгина в каждый момент времени. Данная модель применялась в работе [166] для описания падения пластинки в жидкости.

Замечание 0.0.1. Традиционно в гидродинамике рассматривают движение твердых тел в присутствии вихрей либо движение произвольных сингуляр-ностей в идеальной жидкости [8, 69, 90, 91, 159, 170]. Однако в недавних работах [6, 85] была предложена новая математическая модель, описывающая движение цилиндра в поле точечного источника.

Модели движения твердого тела в вязкой жидкости.

Математические модели, построенные в рамках предположения об идеальности жидкости, оказываются пригодными лишь для получения некоторых качественных выводов о динамике системы и некорректно предсказывают результаты натурных экспериментов. Кроме того, в рамках модели идеальной жидкости движение твердого тела под действием силы тяжести оказывается ускоренным, что, вообще говоря в экспериментах не наблюдается. Таким образом, для количественного согласования с экспериментом требуется учет вязкого сопротивления и, возможно, трехмерного характера процессов движения.

Для описания движения твердого тела в вязкой жидкости часто применяют конечномерные модели, являющиеся обобщением уравнений Кирхгофа (1):

±dT_dTxuJ + F d_dT_dT х ^ + дТ xy + G ^

dt д v д v ' dt д и д и д v

где T — кинетическая энергия системы, включающая кинетическую энергию жидкости, F — сила вязкого сопротивления, G — момент сил вязкого сопротивления. Для исследования движения тел в жидкости обычно используют линейную зависимость сопротивления по скоростям

Fk = vk vk, Gk = vt ^k (10)

или квадратичную

Fk = (4vk | Vk |, Gk = vt^k\wk (11)

где vk и vt — коэффициенты сопротивления, зависящие от формы тела.

14

В случае плоскопараллельного движения уравнения (9) принимают вид

(Иду\ ду^ Ь сИду2 <9^1 ^ 2' сНдшз ду^2 ду^1 3

(12)

Если в уравнениях (12) устремить один из коэффициентов сопротивления к бесконечности (например, д2) [18, 35, 47], то уравнения (12) приводятся к хорошо известной модели саней Чаплыгина [72, 106]:

О *

р1 = с1и , М = — с1у1и,

1 ' 1 1 ' (13)

р1 = — с2 и, М = — с2 у1 + 1и,

где т — масса саней, I — момент инерции саней, у1 — поступательная скорость, и — угловая скорость, с1, с2 — координаты центра масс саней. Уравнения саней Чаплыгина широко исследованы в различных постановках [7, 87, 89, 186] и применялись для приближенного описания управляемого движения тела в жидкости в работах [109, 187]. Известно обобщение модели (13) так называемые гидродинамические сани Чаплыгина [119].

Также для моделирования движения твердого тела в вязкой жидкости применяют совместное численное решение уравнений Навье-Стокса и уравнений движения твердого тела. В подвижной системе координат, связанной с телом, данные уравнения принимают вид:

йдТ дТ л йдТ дТ дТ „ (л „

Т+1Г = 1Г + ^ -Т+ТГ = ТГ + Х'и + С', (14)

аЬ дV д V аЬ ди ди дV

V • и = 0,

(15)

——\-(II — 1\¥) • VII = —Vр + и\72и -2шхи, дЬ р

Г = ((—рЕ + ри(VU + Vхи'^Ыв,

«/ 3

О = J Г х {(—рЕ + рр(VU + VГU})п)а«,

(16)

где Т — кинетическая энергия твердого тела, V и и — поступательная и угловая скорости тела, и — поле скорости жидкости, р — поле давления, V — кинематическая вязкость, р — плотность жидкости, № = и + и х г — переносная скорость, г — радиус-вектор точки жидкости, п — внешняя нормаль к

поверхности тела.

Включение в математическую модель вязкого сопротивления с одной стороны разрушает интегралы движения, что усложняет исследование системы, с другой стороны привносит в динамику новые эффекты, которые невозможно обнаружить в рамках модели идеальной жидкости. В частности, согласно [48, 49], для самопродвижения твердого тела с подвижной внутренней массой в идеальной жидкости требуется выполнение двух условий: 1) тело обладает хотя бы двумя различными присоединенными массами; 2) внутренняя масса движется по самопересекающемуся контуру.

В вязкой жидкости оказывается возможным продвижение кругового профиля за счет движения материальной точки по самопересекающемуся контуру [64]. В работе [64] исследование выполнено на основе совместного численного решения уравнений движения твердого тела и уравнений Навье-Стокса.

При движении в вязкой жидкости существенное влияние оказывает анизотропия вязкого трения, возникающая при движении тела в прямом и обратном направлениях с разными скоростями. В работах академика РАН Ф.Л. Черно-усько [77, 78] в рамках конечномерной модели одномерного движения показано, что данная анизотропия позволяет осуществить самопродвижение за счет асимметричных возвратно-поступательных движений внутренней массы. В работах [115, 199] возможность такого самопродвижения была продемонстрирова численно на основе совместного решения уравнения движения тела и уравнений Навье-Стокса. В работе [61] исследовалось самопродвижение клиновидного робота в вязкой жидкости за счет колебаний внутренней массы.

Совместное численное решение уравнений движения твердого тела и уравнений Навье-Стокса позволяет получить наиболее полную картину о динамике системы без каких-либо дополнительных предположений. Однако данный подход является затратным с точки зрения процессорного времени и не позволяет проводить расчеты в реальном времени. С другой стороны уравнения (9) и подобные им могут быть эффективно решены с помощью современной вычислительной техники, однако они содержат различные параметры, подлежащие определению. По указанным причинам представляет целесообразным построение конечномерных моделей на основе численного решения уравнений Навье-Стокса и (или) экспериментальных данных.

Описанный способ построения математической модели был применен в ра-

боте [138], где исследовалось движение рыбоподного робота с ротором. Было показано, что предложенная модель удовлетворительно описывает динамику робота в течение некоторого промежутка времени. Также в работе [13] была построена модель, описывающая движение эллиптического профиля в вязкой жидкости под действием силы тяжести.

Следует отметить, что конечномерные модели оказываются крайне чувствительными к изменению параметров исходной системы. Ярким примером здесь является задача Максвелла о падении пластинки в сопротивляющейся среде. Сравнительный анализ различных конечномерных моделей, описывающих падение пластинки в вязкой жидкости, выполнен в работе [153].

Неголономные модели качения тел по твердым поверхностям.

Для описания качения тел (в том числе с внутренними механизмами) по твердым поверхностях традиционно используется неголономная модель. В частности, при исследовании динамики сферороботов применяют модель качения без проскальзывания (модель мраморного шара) и модель качения без проскальзывания и верчения (модель резинового шара). Уравнения движения неуравновешенного шара могут быть записаны в виде:

1ш + ш х !ш = а (уха) — тг х (ш х г) + Ху,

(17)

у = у X ш,

I = I + т((г, г)Е — г ® г),

где ш — угловая скорость шара, у — вектор вертикали, а — радиус-вектор центра масс шара относительно его геометрического центра, т — масса шара, I — главный центральный тензор инерции. Неопредленный множитель Х в уравнениях (17) равен нулю для модели мраморного шара и задается выражением

(I 1у, ш х 1ш — а! х а + тг х (ш х г)

А = --^-(18)

[!—1у, у^

для модели резинового шара.

Отметим, что впервые задача о качении уравновешенного динамически несимметричного шара по плоскости без проскальзывания была изучена Чаплыгиным в работе [75]. Традиционно в литературе соответствующая модель называется шаром Чаплыгина. Кроме того, известно обобщение модели шара Чаплыгина

на многомерный случай [123]. Случай неуравновешенного шара, катящегося без проскальзывания, был рассмотрен в работе [76] и традиционного называется волчком Чаплыгина.

На основе модели качения без проскальзывания в работах [99, 100] изучались вопросы управления движением уравновешенного шара с помощью трех роторов. В работах [167, 168] рассматривалась задача траекторного управления сферороботом с помощью двух роторов. Управление движением шара с механизмом маятникового типа на основе обратной связи рассматривалось в работах [132, 133]. Задача управления движением сфероробота с помощью подвижной внутренней массы рассмотрена в работе [171]. В работах [14, 56, 57, 122] рассматривалось движение эллипсоидов по горизонтальной плоскости.

Модель резинового качения применялась в работах [144, 146, 148] для описания движения усеченных сферических тел по плоскости. В зависимости от ориентации тела в работах [144, 146, 148] движение тела описывается либо уравнениями качения шара, либо уравнениями качения диска. В работе [29] рассматривалась подобная задача для тела с двумя остриями, при этом сопрягались уравнения качения волчка Чаплыгина и уравнения волчка Лагранжа. В работе [71] рассматривалась задача качения выпуклого тела по сферической поверхности. Качение шара по произвольным гладким поверхностям изучалось в работе [107]. В работе [17] изучалась интегрируемость задачи о качении шара по произвольному эллипсоиду. В работе [16] изучался вопрос существования инвариантной меры в задаче о качении эллипсоида по плоскости. Достаточно обширное исследование динамики и законов сохранения неголономных систем приведено в работе [105].

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Ветчанин Евгений Владимирович, 2022 год

Литература

[1] Абгарян, К. А. Введение в теорию устойчивости движения на конечном интервале времени. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. — 160 с.

[2] Абрамовиц, М., Стиган, И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами. М. Наука, 1979, 832 с.

[3] Ардентов, А. А. Кратные решения в задаче Эйлера об эластиках // Автоматика и телемеханика, 2018, вып. 7, С. 22-40.

[4] Арнольд, В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Электронное издание. М.: МЦНМО, 2014, 341 с.

[5] Арнольд, В. И., Козлов, В. В., Нейштадт, А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. Едиториал УРСС, 2017, 416 с.

[6] Артемова, Е. М., Ветчанин, Е. В. Управление движением кругового цилиндра в идеальной жидкости с помощью источника // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2020, т. 30, №4, С. 604-617.

[7] Бизяев, И. А. Сани Чаплыгина с движущейся точечной массой // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2017, т. 27, №4, С. 583-589.

[8] Богомолов, В. А. Движение идеальной жидкости постоянной плотности при наличии стоков // Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 1976, №4, С. 21-27.

[9] Болсинов, А. В., Фоменко, А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Том 2., Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999, 448 с.

[10] Борисов, А. В. К задаче Лиувилля // Сб. Численное моделирование в задачах механики, М.: МГУ, 1991, т. 2, вып. 2, С. 110-118.

[11] Борисов, А. В. Ответ В. Ф. Журавлеву // Нелинейная динамика, 2010, т. 6, №4, С. 897-901.

[12] Борисов, А. В., Ветчанин, Е. В., Килин, А. А. Управление движением трехосного эллипсоида в жидкости с помощью роторов // Математические заметки, 2017, т. 102, №4, С. 503-513.

[13] Борисов, А. В., Кузнецов, С. П., Мамаев, И. С., Тененев, В. А. Описание движения тела эллиптического сечения в вязкой несжимаемой жидкости с помощью модельных уравнений, реконструированных на основе обработки данных // Письма в журнал технической физики, 2016, т. 42, №17, С. 9-19.

[14] Борисов, А. В, Мамаев, И. С. Динамика твердого тела. Гамильтоновы методы, интегрируемость, хаос. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005, 576 с.

[15] Борисов, А. В, Мамаев, И. С. Математические методы динамики вихревых структур. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005, 368 с.

[16] Борисов, А. В., Мамаев, И. С. О несуществовании инвариантной меры при качении неоднородного эллипсоида по плоскости // Математические заметки, 2005, т. 77, №6, С. 930-932.

[17] Борисов, А. В., Мамаев, И. С., Килин, А. А. Новый интеграл в задаче о качении шара по произвольному эллипсоиду // Доклады Академии наук, 2002, т. 385, №3, С. 338-341.

[18] Бренделев, В. Н. О реализации связей в неголономной механике // Прикл. мат. и мех., 1981, т. 45, вып. 3, С. 481-487.

[19] Ветчанин, Е. В. Гладков, Е. С. Идентификация параметров модели движения тороидального тела на основе экспериментальных данных // Нелинейная динамика, 2018, т. 14, №1, С. 99-121.

[20] Ветчанин, Е. В., Килин, А. А. Свободное и управляемое движение в жидкости тела с подвижной внутренней массой при наличии циркуляции вокруг тела // Доклады Академии наук, 2016, т. 466, №3, С. 293-297.

[21] Ветчанин, Е. В., Килин, А. А. Управление движением неуравновешенного тяжелого эллипсоида в жидкости с помощью роторов // Нелинейная динамика, 2016, т. 12, №4, С. 663-674.

[22] Ветчанин, Е. В., Тененев, В. А., Килин, А. А. Оптимальное управление движением в идеальной жидкости тела с винтовой симметрией с внутренними роторами // Компьютерные исследования и моделирование, 2017, т. 9, №5, С. 741-759.

[23] Ветчанин, Е. В., Килин, А. А. Управляемое движение твердого тела с внутренними механизмами в идеальной несжимаемой жидкости // Труды Математического института имени В. А. Стеклова, 2016, т. 295, С. 321-351.

[24] Влахова, А. В. О реализации связей в динамике систем с качением // Прикладная математика и механика, 2013, т. 77, вып. 3, с. 371-385.

[25] Влахова, А. В. О реализации связей в задачах качения колесного аппарата // Изв. РАН. Механика твердого тела, 2013, №3, с. 22-39.

[26] Градштейн, И. С., Рыжик, И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М. Физматгиз, 1963, 1100 с.

[27] Журавлев, В. Ф. Отклик на статью А. В. Борисова и И. С. Мамаева «Законы сохранения, иерархия динамики и явное интегрирование неголономных систем» // Нелинейная динамика, 2010, т. 6, №2, С. 365-369.

[28] Журавлев, В.Ф. Отклик на работу В. В. Козлова «Лагранжева механика и сухое трение» (НД, 2010, т. 6, №4) // Нелинейная динамика, 2011, т. 7, №1, С. 147-149.

[29] Зобова, А. А. О сопряжении решений двух интегрируемых задач: качение тела с острием по плоскости // Автоматика и телемеханика, 2007, №8, С. 156-162.

[30] Зобова, А. А., Карапетян, А. В. Анализ стационарных движений волчка тип-топ // ПММ, 2009, т. 73. №6, С. 867-877.

[31] Иванова, Т. Б., Ердакова, Н. Н., Караваев, Ю. Л. Экспериментальное исследование динамики тормозной колодки // Доклады Академии наук, 2016, т. 471, №4, С. 421-424.

[32] Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971, 4-е издание, 341 с.

[33] Капица, П. Л. Маятник с вибрирующим подвесом // Успехи физических наук, 1951, т. 44, вып. 1, С. 7-20.

[34] Караваев, Ю. Л., Килин, А. А., Клековкин, А. В. Динамическая модель трения качения сферических тел по плоскости без проскальзывания // Нелинейная динамика, 2017, т. 13, №4, с. 599-609.

[35] Карапетян, А. В. О реализации неголономных связей силами вязкого трения и устойчивости кельтских камней // Прикл. матем. мех., 1981, т. 45, вып. 1, С. 42-51.

[36] Карапетян, А. В. О стационарных движениях тяжелого эллипсоида, заполненного жидкостью, на плоскости с трением // ПММ, 2002, т. 66, вып. 6, С. 1010-1017.

[37] Карапетян, А. В., Проконина, О. В. Об устойчивости равномерных вращений волчка с полостью, заполненной жидкостью, на плоскости с трением // Прикл. Мат. Мех., 2000, т. 64, №1, С. 85-91.

[38] Килин, А. А., Караваев, Ю. Л. Экспериментальные исследования динамики сферического робота комбинированного типа // Нелинейная динамика, 2015, vol. 11, no. 4, pp. 721-734.

[39] Килин, А. А., Кленов, А. И., Тененев, В. А. Управление движением тела с помощью внутренних масс в вязкой жидкости // Компьютерные исследования и моделирование, 2018, т. 10, №4, С. 445-460.

[40] Килин, А. А., Пивоварова, Е. Н. Неинтегрируемость задачи о качении сферического волчка по вибрирующей плоскости // Вестник Удмуртского уни-

верситета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2020, т. 30, №4, с. 628-644.

[41] Киселев, Л. В., Медведев, А. В. Сравнительный анализ и оптимизация динамических свойств автономных подводных роботов различных проектов и конфигураций // Подводные исследования и робототехника, 2012, vol. 13, no. 1, pp. 24-35.

[42] Козлов, В. В. К задаче о падении тяжелого твердого тела в сопротивляющейся среде // Вестник Моск. унив. Сер. Математика. Механика., 1990, №1, С. 79-86.

[43] Козлов, В. В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. Регулярная и хаотическая динамика, Институт компьютерных исследований, 2019, 248 с.

[44] Козлов, В. В. О падении тяжелого твердого тела в идеальной жидкости // Известия АН СССР. Механика твердого тела., 1989, №5, С. 10-17.

[45] Козлов, В. В. О стохастизации плоскопараллельных течений идеальной жидкости // Вестник Моск. ун-та, Сер. 1, Математика. Механика., 1991, №1, С. 72-75.

[46] Козлов, В. В. Об устойчивости положений равновесия в нестационарном силовом поле // ПММ, 1991, т. 55, вып. 1, С. 12-19.

[47] Козлов, В. В. Реализация неинтегрируемых связей в классической механике // ДАН СССР, 1983, т. 272, №3, С. 550-554.

[48] Козлов, В. В., Рамоданов, С. М. О движении изменяемого тела в идеальной жидкости // ПММ, 2001, т. 65, вып. 4, С. 592-601.

[49] Козлов, В. В., Рамоданов, С. М. О движении в идеальной жидкости тела с жесткой оболочкой и меняющейся геометрией масс // ДАН, 2002, т. 382, №4, С. 478-481.

[50] Короткин, А. И. Присоединенные массы судостроительных конструкций. Мор Вест, 2007, 576 с.

[51] Кочин, Н. Е., Кибель, И. А., Розе, Н. В. Теоретическая гидромеханика, ч. 1. М.:Физматгиз, 1963, 584 с.

[52] Крылов, Н.М., Боголюбов, Н. Н. Введение в нелинейную механику. РХД, Москва, 2004, 352 с.

[53] Ламб, Г. Гидродинамика. Москва-Ленинград: ОГИЗ, 1949, 929 с.

[54] Маркеев, А. П. Об интегрируемости задачи о качении шара с многосвязной полостью, заполненной идеальной жидкостью // МТТ, 1986, т. 21, №1, рр. 64-65.

[55] Маркеев, А. П. Об устойчивости вращения волчка с полостью, наполненной жидкостью // Изв. АН СССР, МТТ, 1985, уо1. 55, по. 3, рр. 19-26.

[56] Маркеев, А. П. О движении тяжелого однородного эллипсоида на неподвижной горизонтальной поверхности // Прикл. матем. и мех., 1982, т. 46, вып. 4, С. 553-567.

[57] Маркеев, А. П. О качении эллипсоида по горизонтальной плоскости // МТТ, 1983, №2, С. 53-62.

[58] Маркеев, А. П. Теоретическая механика: Учебник для высших учебных заведений. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007, 592 с.

[59] Москвин, А. Ю. резиновый шар на плоскости: критические решения // Нелинейная динамика, 2010, т. 6, №2, С. 345-358.

[60] Неймарк Ю. И. О некоторых случаях зависимости периодических движений от параметров // ДАН СССР, 1959, т. 129, №4, 736-739

[61] Нуриев, А. Н., Юнусова, А. И., Зайцева, О.Н. Моделирование перемещения клиновидного виброробота в вязкой жидкости при различныъ законах движения внутренней массы в пакете ОрепРОЛМ // Труды Института системного программирования РАН, 2017, т. 29, №1, С. 101-118.

[62] Онищенко, Д. А., Козлов, В. В. О движении в идеальной жидкости тела, содержащего внутри себя подвижную сосредоточенную массу // ПММ, 2003, т. 67, вып. 4, С. 620-633.

[63] Прудников, А. П., Брычков, Ю. А., Маричев, О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981, 800 с.

[64] Рамоданов, С.М., Тененев, В. А. Движение тела с переменной геометрией масс в безграничной вязкой жидкости // Нелинейная динамика, 2011, т. 7, №3, С. 635-647.

[65] Рашевский, П. К. О соединимости любых двух точек вполне неголономного пространства допустимой линией // Учен. зап. Пед. ин-та им. Либкнехта. Сер. физ.-мат. наук., 1938, т. 3, вып. 2, С. 83-94.

[66] Соколов, С. В. Движение кругового цилиндрического твердого тела, взаимодействующего с N точечными вихрями, в поле силы тяжести // Нелинейная динамика, 2014, т. 10, №1, С. 59-72.

[67] Соколов, С. В., Рамоданов С.М. Движение кругового цилиндрического твердого тела, взаимодействующего с точечным вихрем, в поле силы тяжести // Нелинейная динамика, 2012, т. 8, №3, С. 617-628.

[68] Толчин, В.Н. Инерцоид. Пермь: Пермское книжное издательство, 1977, 100 с.

[69] Фридман, А. А., Полубаринова, П. Я. О перемещающихся особенностях плоского движения несжимаемой жидкости // Геофизический сборник, 1928, т. 5, вып. 2, С. 9-23.

[70] Харламов, М. П. Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела. Ленинград: Издательство Ленинградского университета, 1988, 144 с.

[71] Холостова, О. В. О некоторых динамических эффектах твердого тела на абсолютно шероховатой сферической поверхности // МТТ, 1986, №6, С. 51-56.

[72] Чаплыгин, С. А. К теории движения неголономных систем. Теорема о приводящем множителе // Математический сборник, 1911, т. XXVIII, С. 1525.

[73] Чаплыгин, С. А. О влиянии плоскопараллельного потока воздуха на движущееся в нем цилиндрическое крыло // Труды Центрального аэрогидродинамического института, 1926, вып. 19, С. 300-382.

[74] Чаплыгин, С. А. О давлении плоскопараллельного потока на преграждающие тела (к теории аэроплана) // Математический сборник, 1910, т. XXVIII, С. 184-229.

[75] Чаплыгин, С. А. О катании шара по горизонтальной плоскости // Математический сборник, 1903, т. XXIV, С. 76-101.

[76] Чаплыгин, С. А. О движении тяжелого тела вращения на горизонтальной плоскости // Труды Отделения физических наук Общества любителей естествознания, 1897, т. IX, С. 57-75.

[77] Черноусько, Ф. Л. О движении тела, содержащего подвижную внутреннюю массу // ДАН, 2005, т. 405, №1, С. 56-60.

[78] Черноусько, Ф. Л. Оптимальные периодические движения двухмассовой системы в сопротивляющейся среде // ПММ, 2008, т. 72, №2, С. 202-215.

[79] Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя. М., 1974, 712 с.

[80] Якубович, В. А., Старжинский, В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1972, 720 с.

[81] Ardentov, A. A., Karavaev, Y. L., Yefremov, K.S., Euler Elasticas for Optimal Control of the Motion of Mobile Wheeled Robots: the Problem of Experimental Realization // Regular and Chaotic Dynamics, 2019, vol. 24, no. 3, pp. 312328.

[82] Artemova, E. M, Karavaev, Y. L., Mamaev, I.S., Vetchanin, E.V. Dynamics of a Spherical Robot with Variable Moments of Inertia and a Displaced Center of Mass // Regular and Chaotic Dynamics, 2020, vol. 25, no. 6, pp. 689-706.

[83] Artemova, E. M., Kilin, A. A. An integrable case in the dynamics of a three-link vehicle // 2020 International Conference Nonlinearity, Information and Robotics - IEEE, 2020, pp. 1-6.

[84] Artemova, E. M., Kilin, A.A. Dynamics and control of a three-link wheeled vehicle // 2020 International Conference Nonlinearity, Information and Robotics - IEEE, 2020, pp. 1-2.

[85] Artemova, E. M., Vetchanin, E.V. The motion of an unbalanced circular foil in the field of a point source // arXiv:2109.13041v2, 2021, 21 pp.

[86] Bizyaev, I.A., Bolotin, S.V., Mamaev, I. S. Normal forms and averaging in an acceleration problem in nonholonomic mechanics // Chaos, 2021, vol. 31, 013132, 16 pp.

[87] Bizyaev, I.A., Borisov, A.V., Mamaev, I. S. Dynamics of a Chaplygin sleigh with an unbalanced rotor: regular and chaotic motions // Nonlinear Dynamics, 2019, vol. 98, pp. 2277-2291.

[88] Bizyaev, I.A., Borisov, A.V., Kozlov, V.V., Mamaev, I.S. Fermi-like acceleration and power-law energy growth in nonholonomic systems // Nonlinearity, 2019, vol. 32, pp. 3209-3233.

[89] Bizyaev, I.A., Borisov, A.V. Kuznetsov, S.P. The Chaplygin sleigh with friction moving due to periodic oscillations of an internal mass // Nonlinear Dynamics, 2019, vol. 95, no. 1, pp. 699-714.

[90] Bizyaev, I.A., Borisov, A.V., Mamaev, I.S. The Dynamics of Vortex Sources in a Deformation Flow // Regular and Chaotic Dynamics, 2016, vol. 21, no. 3, pp. 367-376.

[91] Bizyaev, I.A., Borisov, A.V., Mamaev, I.S. The Dynamics of Three Vortex Sources // Regular and Chaotic Dynamics, 2014, vol. 19, no. 6, pp. 694-701.

[92] Bizyaev, I.A., Borisov, A.V., Mamaev, I.S. Different Models of Rolling for a Robot Ball on a Plane as a Generalization of the Chaplygin Ball Problem // Regular and Chaotic Dynamics, 2019, vol. 24, no. 5, pp. 560-582.

[93] Bizyaev, I.A., Borisov, A.V., Mamaev, I.S. Exotic Dynamics of Nonholonomic Roller Racer with Periodic Control // Regular and Chaotic Dynamics, 2018, vol. 23, no. 7-8, pp. 983-994.

[94] Bizyaev, I.A., Borisov, A.V., Mamaev, I.S. The Chaplygin Sleigh with Parametric Excitation: Chaotic Dynamics and Nonholonomic Acceleration // Regular and Chaotic Dynamics, 2017, vol. 22, no. 8, pp. 955-975.

[95] Bizyaev, I.A., Mamaev, I.S. Separatrix splitting and nonintegrability in the nonholonomic rolling of a generalized Chaplygin sphere // International Journal of Non-Linear Mechanics, 2020, vol. 126, 103550, 7 pp.

[96] Bizyaev, I.A., Mamaev, I.S. Dynamics of the nonholonomic Suslov problem under periodic control: unbounded speedup and strange attractors // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 2020, vol. 53, 185701, 17 pp.

[97] Bohl, P. Über ein in der Theorie der säkularen Störungen vorkommendes Problem // J. Reine Angew. Math., 1909, pp. 189-203.

[98] Borisov, A. V., Kazakov, A. O., Pivovarova, E. N. Regular and Chaotic Dynamics in the Rubber Model of a Chaplygin Top // Regular and Chaotic Dynamics, 2016, vol. 21, nos. 7-8, pp. 885-901.

[99] Borisov, A.V., Kilin, A.A., Mamaev, I.S. How to Control Chaplygin's Sphere Using Rotors // Regular and Chaotic Dynamics, 2012, vol. 17, nos. 3-4, pp. 258-272.

[100] Borisov, A. V., Kilin, A.A., Mamaev, I.S. How to Control Chaplygin's Sphere Using Rotors. II // Regular and Chaotic Dynamics, 2013, vol. 18, nos. 1-2, pp. 144-158.

[101] Borisov, A.V., Kozlov, V.V., Mamaev, I.S. Asymptotic stability and associated problems of dynamics of falling rigid body // Regular and Chaotic Dynamics, 2007, vol. 5, no. 12, pp. 531-565.

[102] Borisov, A.V., Mamaev, I.S. Adiabatic Chaos in Rigid Body Dynamics // Regular and Chaotic Dynamics, 1997, vol. 2, no. 2, pp. 65-78.

[103] Borisov, A.V., Mamaev, I.S. On the Motion of a Heavy Rigid Body in an Ideal Fluid with Circulation // Chaos, 2006, vol. 1, no. 16, 013118, 7pp.

[104] Borisov, A.V., Mamaev, I.S., Bizyaev, I.A. The Hierarchy of Dynamics of a Rigid Body Rolling without Slipping and Spinning on a Plane and a Sphere // Regular and Chaotic Dynamics, 2013, vol. 18, no. 3, pp. 277-328.

[105] Borisov, A. V., Mamaev, I.S. Conservation Laws, Hierarchy of Dynamics and Explicit Integration of Nonholonomic Systems // Regular and Chaotic Dynamics, 2008, vol. 13, no. 5, pp. 443-490.

[106] Borisov, A.V., Mamaev, I.S. An Inhomogeneous Chaplygin Sleigh // Regular and Chaotic Dynamics, 2017, vol. 22, no. 4, pp. 435-447.

[107] Borisov, A. V., Mamaev, I.S., Kilin, A. A. The rolling motion of a ball on a surface. New integrals and hierarchy of dynamics // Regular and Chaotic Dynamics, 2002, vol. 7, no. 2, pp. 201-219.

[108] Borisov, A. V., Mamaev, I.S., Ramodanov, S.M. Dynamics of a circular cylinder interacting with point vortices // Discrete and Continuous Dynamical Systems — Series B, 2005, vol. 5, no. 1, pp. 35-50.

[109] Borisov, A. V., Mamaev, I.S., Vetchanin, E.V. Dynamics of a Smooth Profile in a Medium with Friction in the Presence of Parametric Excitation // Regular and Chaotic Dynamics, 2018, vol. 23. no. 4, pp. 480-502.

[110] Borisov, A.V., Mamaev, I.S., Vetchanin, E.V. Self-propulsion of a Smooth Body in a Viscous Fluid Under Periodic Oscillations of a Rotor and Circulation // Regular and Chaotic Dynamics, 2018, vol. 23. nos. 7-8, pp. 850-874.

[111] Borisov, A. V., Vetchanin, E. V., Mamaev, I.S. Motion of a Smooth Foil in a Fluid under the Action of External Periodic Forces. I // Russian Journal of Mathematical Physics, 2019, vol. 26, no. 4, pp. 412-428.

[112] Borisov, A. V., Vetchanin, E. V., Mamaev, I.S. Motion of a Smooth Foil in a Fluid under the Action of External Periodic Forces. II // Russian Journal of Mathematical Physics, 2020, vol. 27, no. 1, pp. 1-17.

[113] Bravo-Doddoli, A., García-Naranjo, L. C. The Dynamics of an Articulated n-trailer Vehicle // Regular and Chaotic Dynamics, 2015, vol. 20, no. 5, pp. 497-517.

[114] Broer, H., Simo, C. Hill's equation with quasi-periodic forcing: resonance tongues, instability pockets and global phenomena // Boletim da Sociedade Brasileira de Matematica-Bulletin/Brazilian Mathematical Society, 1998, vol. 29, no. 2, pp. 253-293.

[115] Childress, S., Spagnolie, S.E., Tokieda, T. A bug on a raft: recoil locomotion in a viscous fluid //J. Fluid Mech., 2011, vol. 669, pp. 527-556.

[116] Darwin, G. H. VIII. On the influence of geological changes on the earth's axis of rotation // Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1877, no. 167, pp. 271-312.

[117] Euler, L. Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici lattissimo sensu accepti: Additamentum 1. De curvis elasticis, Lausanne: Bousquet, 1744, pp. 245-310.

[118] Fairchild, M.J., Hassing, P.M., Kelly, S.D., Pujari, P., Tallapragada, P. Single-Input Planar Navigation Via Proportional Heading Control Exploiting Nonholonomic Mechanics or Vortex Shedding // ASME Dynamic Systems and Control Conference, 2011, pp. 8.

[119] Fedorov, Yu. N., García-Naranjo, L. C. The hydrodynamic Chaplygin sleigh // J. Phys. A: Math. Theor., 2010, vol. 43, 434013, 18 pp.

[120] Feigenbaum, M. J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations //J. Statist. Phys., 1978, vol. 19, no. 1, pp. 25-52.

[121] Frederickson, P., Kaplan, J.L., Yorke, E. D., Yorke, J. A. The Liapunov dimension of strange attractors // Journal of Differential Equations, 1983, vol. 49, no. 2, pp. 185-207.

[122] García-Naranjo, L.C., Marrero, J.C. Non-Existence of an Invariant Measure for a Homogeneous Ellipsoid Rolling on the Plane // Regular and Chaotic Dynamics, 2013, vol. 18, no. 4, pp. 372-379.

[123] García-Naranjo, L. C. Integrability of the n-dimensional Axially Symmetric Chaplygin Sphere // Regular and Chaotic Dynamics, 2019, vol. 24, no. 5, pp. 450-463.

[124] Giesing, J. P. Nonlinear two-dimensional unsteady potential flow with lift // Journal of Aircraft, 1968, vol. 5, no. 2, pp. 135-143.

[125] Guckenheimer, J., Holmes, P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Springer, New York, 1985, 462 p.

[126] Hairer, E., Lubich, Ch., Wanner, G. Geometric numerical integration: structure-preserving algorithms for ordinary differential equations. Springer Science & Business Media, 2006, 644 p.

[127] Ivanov, A. P. Geometric Representation of Detachment Conditions in Systems with Unilateral Constraint // Regular and Chaotic Dynamics, 2008, vol. 13, no. 5, pp. 435-442.

[128] Ivanov, A. P. New feature in hoop dynamics: hidden jump // Nonlinear Dynamics, 2020, vol. 102, 2311-2321.

[129] Ivanov, A. P. On Detachment Conditions in the Problem on the Motion of a Rigid Body on a Rough Plane // Regular and Chaotic Dynamics, 2008, vol. 13, no. 4, pp. 355-368.

[130] Ivanov, A. P. On Final Motions of a Chaplygin Ball on a Rough Plane // Regular and Chaotic Dynamics, 2016, vol. 21, no. 7-8, pp. 804-810.

[131] Ivanova, T. B., Kilin, A. A., Pivovarova, E. N. Controlled Motion of a Spherical Robot of Pendulum Type on an Inclined Plane // Doklady Physics, 2018, vol. 63, no. 7, pp. 302-306.

[132] Ivanova, T. B., Kilin, A. A., Pivovarova, E. N. Controlled Motion of a Spherical Robot with Feedback. I // Journal of Dynamical and Control Systems, 2018, vol. 24, no. 3, pp. 497-510.

[133] Ivanova, T. B., Kilin, A. A., Pivovarova, E. N. Controlled Motion of a Spherical Robot with Feedback. II // Journal of Dynamical and Control Systems, 2019, vol. 25, no. 1, pp. 1 -16.

[134] Kaneko, K. Doubling of torus // Progress of theoretical physics, 1983, vol. 69, no. 6, pp. 1806-1810.

[135] Kaneko, K. Oscillation and doubling of torus // Progress of theoretical physics, 1984, vol. 72, no. 2, pp. 202-215.

[136] Kaplan, J.L., Yorke, J. A. A Chaotic Behavior of Multi-Dimensional Differential Equations, 1979, pp. 204-227 In: Peitgen HO., Walther HO. (eds)

Functional Differential Equations and Approximation of Fixed Points. Lecture Notes in Mathematics, vol 730. Springer, Berlin, Heidelberg.

[137] Karavaev, Y. L., Kilin, A. A., Klekovkin, A. V. Experimental Investigations of the Controlled Motion of a Screwless Underwater Robot // Regular and Chaotic Dynamics, vol. 21, nos. 7-8, pp. 918-926.

[138] Karavaev, Y. L., Klekovkin, A. V ., Mamaev, I.S., Tenenev, V. A., Vetchanin, E. V. A Simple Physical Model for Control of an Propellerless Aquatic Robot // Journal of Mechanisms and Robotics, 2022, vol. 14, no. 1, pp. 011007, 11.

[139] Kelly, S.D., Xiong, H. Self-propulsion of a free hydrofoil with localized discrete vortex shedding: analytical modeling and simulation // Theoretical and Computational Fluid Dynamics, 2010, vol. 24, no. 1, pp. 45-50.

[140] Kilin, A. A., Karavaev, Y. L., Ivanova, T. B. Rolling Resistance Model and Control of Spherical Robot // Climbing and Walking Robots Conference: Robotics for Sustainable Future, CLAWAR 2021, 2022, pp. 396-407.

[141] Kilin, A. A., Karavaev, Y. L., Yefremov, K. S. Experimental Investigations of the Controlled Motion of the Roller Racer Robot // Climbing and Walking Robots Conference: Robotics for Sustainable Future, CLAWAR 2021, 2022, pp. 428-437.

[142] Kilin, A. A., Pivovarova, E.N. A Particular Integrable Case in the Nonautonomous Problem of a Chaplygin Sphere Rolling on a Vibrating Plane // Regular and Chaotic Dynamics, 2021, vol. 26, no. 6, pp. 775-786

[143] Kilin, A. A., Pivovarova, E. N. Conservation laws for a spherical top on a plane with friction // International Journal of Non-Linear Mechanics, 2021, vol. 129, 103666, 5 pp.

[144] Kilin, A. A., Pivovarova, E. N. Integrable Nonsmooth Nonholonomic Dynamics of a Rubber Wheel with Sharp Edges // Regular and Chaotic Dynamics, 2018, vol. 23, nos. 7-8, pp. 887-907.

[145] Kilin, A. A., Pivovarova, E.N. Chaplygin Top with a Periodic Gyrostatic Moment // Russian Journal of Mathematical Physics, 2018, vol. 25, no. 4, pp. 509-524.

[146] Kilin, A.A., Pivovarova, E.N. Qualitative Analysis of the Nonholonomic Rolling of a Rubber Wheel with Sharp Edges // Regular and Chaotic Dynamics, 2019, vol. 24, no. 2, pp. 212-233.

[147] Kilin, A. A., Pivovarova, E. N. The influence of the first integrals and the rolling resistance model on tippe top inversion // Nonlinear Dynamics, 2021, vol. 103, no. 1, pp. 419-428.

[148] Kilin, A. A., Pivovarova, E. N. The Rolling Motion of a Truncated Ball Without Slipping and Spinning on a Plane // Regular and Chaotic Dynamics, 2017, vol. 22, no. 3, pp. 298-317.

[149] Kirchhoff, G. R. Ueber die Bewegung eines Rotationskörpers in einer Flüssigkeit //J. für Math., 1869, pp. 223-273.

[150] Klenov, A. I., Kilin, A.A. Influence of Vortex Structures on the Controlled Motion of an Above-water Screwless Robot // Regular and Chaotic Dynamics, 2016, vol. 21, nos. 7-8, pp. 927-938.

[151] Kovacic, I., Rand, R., Sah, S. M. Mathieu's equation and its generalizations: overview of stability charts and their features // Applied Mechanics Reviews, 2018, vol. 70, no. 2, 020802.

[152] Kutta, W. M. Auftriebskräfte in stromenden Flüssigkeiten // Illustr. aeronaut. Mitteilungen, 1902, vol. 6, pp. 133-135.

[153] Kuznetsov, S. P. Plate Falling in a Fluid: Regular and Chaotic Dynamics of Finite-dimensional Models // Regular and Chaotic Dynamics, 2015, vol. 20, no. 3, pp. 345-382.

[154] Kuznetsov, K. Effect of a periodic external perturbation on a system which exhibits an order-chaos transition through period // JETP Lett., 1984, vol. 39, no. 3, pp. 133-136.

[155] Lakshmikantham, V., Leela, S., Martynyuk, A.A. Practical Stability of Nonlinear Systems. World Scientific, 1990, 207 p.

[156] Leonard, N.E., Woolsey, C.A. Internal Actuation for Intelligent Underwater Vehicle Control // Tenth Yale Workshop on Adaptive and Learning Systems, pp. 295-300, June 1998.

[157] Lerman, L. M., Turaev, D.V. Breakdown of Symmetry in Reversible Systems // Regular and Chaotic Dynamics, 2012, vol. 17, no. 3-4, pp. 318-336.

[158] Littlewood, J. E. Littlewood's Miscellany. Cambridge University Press, Cambridge, 1986.

[159] Llewellyn Smith, S. G. How do singularities move in potential flow? // Physica D: Nonlinear Phenomena, 2011, vol. 240, no. 20, pp. 1644-1651.

[160] Lorenz, E.N. Deterministic Nonperiodic Flow //J. Atmos. Sci., 1963, vol. 20, no. 2, pp. 130-141.

[161] Mamaev, I. S., Bizyaev, I. A. Dynamics of an unbalanced circular foil and point vortices in an ideal fluid // Physics of Fluids, 2021, vol. 33, no. 087119, pp. 18.

[162] Mamaev, I.S., Vetchanin, E.V. Dynamics of Rubber Chaplygin Sphere under Periodic Control // Regular and Chaotic Dynamics, 2020, vol. 25, no. 2, pp. 215-236.

[163] Mamaev, I. S., Vetchanin, E. V. Dynamics of a spherical robot with periodically changing moments of inertia // International Conference Nonlinearity, Information and Robotics — IEEE, 2020, pp. 1-5.

[164] Mason, R. J. Fluid Locomotion and Trajectory Planning for Shape-Changing Robots. Ph.D. Thesis, California Institute of Technology, Pasadena, CA., 2003, 264 p.

[165] Michelin, S., Smith, S.G.L. An unsteady point vortex method for coupled fluid-solid problems // Theoretical and Computational Fluid Dynamics, 2009, vol. 23, no. 2, pp. 127-153.

[166] Michelin, S., Smith, S.G.L. Falling cards and flapping flags: understanding fluid-solid interactions using an unsteady point vortex model // Theoretical and Computational Fluid Dynamics, 2010, vol. 24, no. 1, pp. 195-200.

[167] Morinaga, A., Svinin, M., Yamamoto, M. A Motion Planning Strategy for a Spherical Rolling Robot Driven by Two Internal Rotors // IEEE Transactions on Robotics, 2014, vol. 30, no. 4, pp. 993-1002.

[168] Morinaga, A., Svinin, M., Yamamoto, M. On the Iterative Steering of a Rolling Robot Actuated by Internal Rotors // Analysis, Modelling, Optimization, and Numerical Techniques, 2015, vol. 121, no. 4, pp. 205-218.

[169] Murray, R. M., Sastry, S.S. Nonholonomic motion planning: steering using sinusoids // IEEE Transactions on Automatic Control, 1993, vol. 38, no. 5, pp. 700-716.

[170] Novikov, A. E., Novikov, E. A. Vortex-sink dynamics // Phys. Rev. E, 1996, vol. 54, no. 4, pp.3681-3686.

[171] Putkaradze, V., Rogers, S. On the Dynamics of a Rolling Ball Actuated by Internal Point Masses // Meccanica, 2018, vol. 53, no. 15, pp. 3839-3868.

[172] Ramodanov, S.M. Motion of a Circular Cylinder and a Vortex in an Ideal Fluid // Regular and Chaotic Dynamics, 2001, vol. 6, no. 1, pp. 33-38.

[173] Ramodanov, S.M. Motion of a Circular Cylinder and N Point Vortices in a Perfect Fluid // Regular and Chaotic Dynamics, 2002, vol. 7, no. 3, pp. 291298.

[174] Ramodanov, S.M., Sokolov, S.V. Dynamics of a Circular Cylinder and Two Point Vortices in a Perfect Fluid // Regular and Chaotic Dynamics, 2021, vol. 26, no. 6, pp. 675-691.

[175] Ramodanov, S.M., Tenenev, V. A., Treschev, D.V. Self-propulsion of a Body with Rigid Surface and Variable Coefficient of Lift in a Perfect Fluid // Regular and Chaotic Dynamics, 2012, vol. 17, no. 6, pp. 547-558.

[176] Rauch-Wojciechowski, S., Przybylska, M. On Dynamics of Jellet's Egg. Asymptotic Solutions Revisited // Regular and Chaotic Dynamics, 2020, vol. 25, no. 1, pp. 40-58.

[177] Sachkov, Yu. L. Maxwell Strata in Euler's Elastic Problem //J. Dyn. Contr. Syst., 2008, vol. 14, no. 2, pp. 169-234.

[178] Sachkov, Yu.L., Sachkova, E. F. Exponential Mapping in Euler's Elastic Problem // J. Dyn. Contr. Syst., 2014, vol. 20, no. 4, pp. 443-464.

[179] Sacker, R. J. On some cases of periodic motions depending on parameters. PhD Dissertation, New York University, 1959, 264 p.

[180] Shashikanth, B.N. Poisson brackets for the dynamically interacting system of a 2D rigid cylinder and N point vortices: the case of arbitrary smooth cylinder shapes // Regular and Chaotic Dynamics, 2005, vol. 10, no. 1, pp. 1-11.

[181] Shashikanth, B.N., Marsden, J.E., Burdick, J.W., Kelly, S.D. The Hamiltonian structure of a two-dimensional rigid circular cylinder interacting dynamically with N point vortices // Physics of Fluids, 2002, vol. 14, no. 3, pp. 1214-1227.

[182] Stephenson, A. On a new type of dynamical stability // Mem. Proc. Manch. Lit. Phil. Sci., 1908, vol. 52, no. 8, pp. 1-10.

[183] Streitlien, K. A simulation procedure for vortex flow over an oscillating wing. Technical report, MIT Sea Grant College Program, 1994.

[184] Streitlien, K., Triantafyllou, M.S. Force and moment on a joukowski profile in the presence of point vortices // AIAA Journal, 1995, vol. 33, no. 4, pp. 603-610.

[185] Tallapragada, P. A swimming robot with an internal rotor as a nonholonomic system // American Control Conference (ACC), 2015, pp. 657-662.

[186] Tallapragada P., Fedonyuk V. Steering a Chaplygin sleigh using periodic impulses // Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, 2017, vol. 12, no. 5.

[187] Fedonyuk V., Tallapragada P., Wang Y. Limit cycle analysis and control of the dissipative chaplygin sleigh // Dynamic Systems and Control Conference, American Society of Mechanical Engineers, 2017. vol. 58288, pp. V002T21A004.

[188] Tallapragada, P., Kelly, S. D. Self-propulsion of free solid bodies with internal rotors via localized singular vortex shedding in planar ideal fluids // The European Physical Journal Special Topics, 2015, vol. 224, no. 17, pp. 3185-3197.

[189] Tisserand, F. Traite de Mecanique Celeste, Paris, 1889 - 1896.

[190] Tilbury, D., Murray, R., Sastry, S. Trajectory generation for the N-trailer problem using Goursat normal form // Proc. 32nd IEEE Conf. Decision and Control, 1993, pp. 971-977.

[191] Treschev, D. and Zubelevich, O. Introduction to the Perturbation Theory of Hamiltonian Systems. Springer-Verlag, Berlin, 2010, 211 p.

[192] Vetchanin, E.V. Stabilization of rotations of a rigid body with a fixed point by periodic perturbations // International Conference Nonlinearity, Information and Robotics - IEEE, 2020, pp. 1-5.

[193] Vetchanin, E. V. The Motion of a Balanced Circular Cylinder in an Ideal Fluid Under the Action of External Periodic Force and Torque // Russian Journal of Nonlinear Dynamics, 2019, vol. 15, no. 1, pp. 41-57.

[194] Vetchanin, E.V., Kilin, A.A. Control of Body Motion in an Ideal Fluid Using the Internal Mass and the Rotor in the Presence of Circulation Around the Body // Journal of Dynamical and Control Systems, 2017, vol. 23, no. 2, pp. 435-458.

[195] Vetchanin, E. V., Kilin, A. A., Mamaev, I. S. Control of the Motion of a Helical Body in a Fluid Using Rotors // Regular and Chaotic Dynamics, 2016, vol. 21, nos. 7-8, pp. 874-884.

[196] Vetchanin, E.V. Mamaev, I.S. Asymptotic behavior in the dynamics of a smooth body in an ideal fluid // Acta Mechanica, 2020, vol. 231, no. 11, pp. 4529-4535.

[197] Vetchanin, E.V., Mamaev, I. S. Dynamics of Two Point Vortices in an External Compressible Shear Flow // Regular and Chaotic Dynamics, 2017, vo. 22, no. 8, pp. 893-908.

[198] Vetchanin, E. V., Mamaev, I. S. Optimal control of the motion of a helical body in a liquid using rotors // Russian Journal of Mathematical Physics, 2017, vol. 24, no. 3, pp. 399-411.

[199] Vetchanin, E. V., Mamaev, I. S., Tenenev, V. A. The Self-propulsion of a Body with Moving Internal Masses in a Viscous Fluid // Regular and Chaotic Dynamics, 2013, vol. 18, nos. 1-2, pp. 100-117.

[200] Vetchanin, E. V., Mikishanina, E. A. Vibrational Stability of Periodic Solutions of the Liouville Equations // Russian Journal of Nonlinear Dynamics, 2019, vol. 15, no. 3, pp. 351-363.

[201] Woolsey, C.A., Leonard, N. E. Underwater Vehicle Stabilization by Internal Rotors // Proceedings of the American Control Conference, 1999, pp. 5.

[202] Woolsey, C. A. Leonard, N. E. Stabilizing underwater vehicle motion using internal rotors // Automatica, 2002, vol. 38, no. 12, pp. 2053-2062.