Интегрируемость и неинтегрируемость уравнений движения тяжелого тела эллипсоидальной формы на гладкой горизонтальной плоскости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Ивочкин, Михаил Юрьевич

• Ивочкин, Михаил Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ивочкин, Михаил Юрьевич

Введение

Глава 1. Обзор методов, используемых для исследования интегрируемости и неинтегрируемости дифференциальных уравнений

1.1. Интегрируемость дифференциальных уравнений.

1.2. Неинтегрируемость дифференциальных уравнений.

Глава 2. Топологический анализ движения эллипсоида на гладкой горизонтальной плоскости

2.1. Введение

2.2. Постановка задачи. Схема исследования

2.3. Построение бифуркационных диаграмм, изучение перестроек торов

2.4. Исследование изоэнергетических многообразий

Глава 3. Необходимые условия существования дополнительного интеграла в задаче о движении тяжелого трехосного эллипсоида на гладкой горизонтальной плоскости.

3.1. Введение

3.2. Постановка задачи. Уравнения движения и их первые интегралы.

3.3. Доказательство неинтегрируемости

Глава 4. Необходимые условия существования дополнительного интеграла в задаче о движении тяжелого динамически и геометрически симметричного эллипсоида на гладкой горизонтальной плоскости.

4.1. Введение

4.2. Постановка задачи. Уравнения движения и их первые интегралы.

4.3. Доказательство неинтегрируемости

Глава 5. Необходимые и достаточные условия полной алгебраической интегрируемости уравнений движения тяжелого неоднородного шара на гладкой горизонтальной плоскости

5.1. Введение.

5.2. Постановка задачи. Уравнения движения и их первые интегралы

5.3. Доказательство теоремы

5.4. Доказательство теоремы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегрируемость и неинтегрируемость уравнений движения тяжелого тела эллипсоидальной формы на гладкой горизонтальной плоскости»

Постановка задачи

Задача о движении тяжелого твердого тела на гладкой горизонтальной плоскости — одна из классических задач механики. Эта задача в определенном смысле представляет собой обобщение задачи о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Естественным образом встает вопрос об исследовании возможных интегрируемых случаев. Известно, что в этой задаче существуют аналоги случаев Эйлера и Лагранжа. Однако случаев нетривиальной интегрируемости (скажем, аналога случая Ковалевской) пока обнаружено не было.

В настоящей работе рассматриваются задачи анализа интегрируемых случаев уравнений движения тела эллипсоидальной формы (в частности шара) на гладкой горизонтальной плоскости.

Известны разные методы для изучения интегрируемых случаев. Одними из наиболее продвинутых и наглядных являются методы топологического анализа: с помощью этих методов исследуются перестройки инвариантных многообразий (метод С. Смейла), строятся топологические инварианты (метод А.Т. Фоменко).

Для доказательства неинтегрируемости задачи (в случаях, отличных от аналогов случаев Эйлера и Лагранжа) используются методы В.В. Козлова, С.Л. Зиглина, Моралиса-Руиза-Рамиса.

Этот вопрос был исследован в работе [14], [83], в которой в первом приближении по малому параметру найдены необходимые условия интегрируемости. Вопрос, являются ли найденные условия и достаточными для интегрируемости, рассматривался в работах [29], [8]. В диссертации во втором приближении найдены более сильные и простые необходимые условия интегрируемости, что приводит к вырождению в данной задаче для первого приближения случая

Клебша в тривиальный случай Эйлера. Для случая, когда поверхность тела - шар, методами дифференциальной теории Галуа доказывается отсутствие нетривиальных случаев интегрируемости.

Обзор результатов

1) Дан обзор различных методов доказательства неинтегрируемости систем дифференциальных уравнений, применяемых в задачах механики.

2) Для уравнений, описывающих движение тяжелого динамически симметричного эллипсоида вращения (аналог случая Лагранжа), было выполнено:

- построены бифуркационные диаграммы Смейла, описаны перестройки торов Лиувилля;

- исследованы изоэнергетические многообразия.

3) Для уравнений движения тяжелого трехосного эллипсоида с малыми возмущениями полуосей, для которого центр масс совпадает с геометрическим центром, было получено необходимое условие существования дополнительного мероморфного интеграла.

4) Для уравнений движения тяжелого динамически и геометрически симметричного эллипсоида, для которого главные центральные оси инерции со-направлены с главными осями эллипсоида-поверхности и центр масс которого лежит в экваториальной плоскости эллипсоида-поверхности, были получены необходимые условия существования аналитического интеграла.

5) Для уравнений движения тяжелого неоднородного шара были получены необходимые и достаточные условия того, что система уравнений движения является алгебраически вполне интегрируемой.

Содержание работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Ивочкин, Михаил Юрьевич

Заключение

Дан топологический анализ динамики тяжелого динамически симметричного эллипсоида вращения на гладкой горизонтальной плоскости (аналог случая Лагранжа): построены бифуркационные диаграммы Смейла, описаны перестройки торов Лиувилля, построены топологические инварианты теории Фоменко.

Получено необходимое условие существования дополнительного меро-морфного интеграла уравнений движения тяжелого трехосного эллипсоида на гладкой горизонтальной плоскости для случая эллипсоида с мало различающимися полуосями, центр масс которого совпадает с геометрическим центром.

Получены необходимые условия существования дополнительного аналитического интеграла уравнений движения тяжелого динамически и геометрически симметричного эллипсоида на гладкой горизонтальной плоскости для случая, когда главные центральные оси инерции эллипсоида сонаправлены с главными осями эллипсоида-поверхности, а центр масс эллипсоида лежит в экваториальной плоскости.

Получены необходимые и достаточные условия того, что система уравнений движения тяжелого неоднородного шара на гладкой горизонтальной плоскости является алгебраически полной интегрируемой системой.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ивочкин, Михаил Юрьевич, 2009 год

1. Аппель П. Теоретическая механика, т. 1,2, государственное издательство Физико-математической литературы, Москва, 1960

2. Арнольд В.PI. Математические методы классической механики, Москва, Издательство "Наука", 1989

3. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Москва, МЦНМО, 2004

4. Арнольд В.И., Козлов ВВ., Нейштадт А.И. Математические методы классической и небесной механики, Москва, Эдиториал УРСС, 2002

5. Волсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы: геометрия, топология, классификация, Издательский дом "Удмурский Университет", 1999

6. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика",2001, 384 стр.

7. Борисов А.В., Мамаев И.С. (ред.) Неголономные динамические системы, Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002

8. Борисов А.В., Мамаев И.С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в га-мильтоновой механике, Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 384 стр.

9. Борисов А.В., Мамаев И.С. Современные методы теории интегрируемых систем, Москва-Ижевск: Институт компьютерынх исследований, 2003

10. Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности. Москва, Мир, 1988

11. И. Е^рюно А.Д. Теория нормальных форм уравнений Эйлера-Пуассона// препринт N 100, Москва, Инстутут прикладной математики имени М.В. Келдыша, 2005, 27 с.

12. Голубев В.В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки, Москва-Ленинград, Гостехиз-дат, 1953t

13. Гориэли А. Интегрируемость и сингулярность. Москва; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, Институт компьютерных исследований, 2006. 316 с.

14. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркацмм векторных полей, Москва; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, Институт компьютерных исследований, 2002, 559 с.

15. Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем, Москва, Издательство Наука, 1979

16. Докшевич А.И. Решение в конечном виде уравнений Эйлера-Пуассона, Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, Институт компьютерных исследований, 2004. 166 с.

17. Емельянов К.В., Цыгвинцев АВ. Показатели Ковалевской систем с экспоненциальным взаимодействием, Матем. сб., 2000, том 191, номер 10, страницы 39-50

18. Зиглин С. Л. Ветвление решений и несуществование первых интеграловв гамильтоновых системах, Функциональный анализ и его приложения, том 16(1982), N 3, с. 30-30

19. Зиглин С.Л. Зиглин C.JI. Об отсутствии вещественно-аналитического первого интеграла в некоторых задачах динамики. Функциональный анализ и его приложения., т. 31, № 1, с. 3-11 (1997).

20. Зиглин С.Л. Расщепление сепаратрис, ветвление решений инесущество-вание интеграла в динамике твердого тела, Труды ММО N 41(1980), с. 287-303

21. Ивочкин М.Ю. Необходимые условия существования дополнительногоинтегралав задаче о движении тяжелого эллипсоида на гладкой горизонтальной плоскости, ПММ том 75, вып. 5, 2009, 858-863

22. Ивочкин М.Ю. Топологический анализ движения эллипсоида по гладкой плоскости, Матем. сб., 2008, 199:6, 85-104

23. Карапетян А.В. Устойчивость стационарных движений, Издательство Эдиториал УРСС, 1998

24. Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела, Издательство МГУ, 1980

25. Козлов В. В. Несуществование однозначных интегралов и ветвление решений в динамике твердого тела // Прикл. мат. и мех. 1978, т. 42, вып. 3, с. 400-406

26. Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике, Ижевск, Издательство УдГУ, 1995

27. Козлов В.В., Трещев Д.В. Неинтегрируемость общей задачи вращения динамически симмеотрчного тяжелого твердого тела с неподвижной точкой 1,2, Вестн. Моек Универс. сер.1 Матем. Мех. 1985, № 6, с. 78-81; № 1, с. 39-44

28. Ляпунов А.И. Общая задача об устойчивости движения. Харьков: Изд-во Харьковского Мат. Об-ва, 1892, 250 с.

29. Маркеев А.Т. Теоретическая механика, издательство РХД, 2001

30. Мельников В.К. Об устойчивости центра при периодических по времени возмущениях // Тр. Моск. мат. о-ва, 1963, т. 12, с. 3-52

31. Морозов А.Д. Резонансы, циклы и хаос в квазиконсервативных системах, Москва-Ижевск: Институт компьютерынх исследований, 2005

32. Новиков С.П. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса УМН, 1982, т. 37, вып. 5, с.3-49

33. Оден М. Вращающиеся волчки. Курс интегрируемых систем, Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 1999

34. Ошемков А.А. Вычисление инвариантов Фоменко для основных интегрируемых случаев динамики твердого тела. Труды семинара по векторному и тензорному анализу. 1993, вып. 25, часть 2, М. МГУ с.23-109.

35. Переломов A.M. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли, Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002, 237 стр.

36. Пуанкаре А. Избранные труды, том 1, Издательство Наука, 1971

37. Рейман А.Г., Семенов-Тян-Шанский М.А. Интегрируемые системы, теоретико-групповой подход, Москва-Ижевск: Институт компыотерынх исследований, 2003

38. Садэтов С.Т. О резонансах на показатели Ковалевской, Матем. заметки, 54:4 (1993), 152-153

39. Садэтов С. Т Условия интегрируемости уравнений Кирхгофа //Вестник Московског университета, Сер. матем., механ. — 1990, № 3, 56-62

40. Сальникова Т.В. Неинтегрируемость возмущенной задачи Лагранжа, //Вестник Московског университета, Сер. матем., механ. — 1985, № 4, 62-66

41. Смейл С. Топология и механика, //УМН, т. 15, №2, 1972, с. 77-125

42. Соколов В.В. Новый интегрируемый случай для уравнений Кирхгофа, ТМФ, 2001, том 129, номер 1, страницы 31-37

43. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике, Издательство УРСС, Москва, 2001

44. Татаринов Я.В. Портреты классических интегралов задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки, Вестник МГУ. Сер. матем., механ, 1974, N6.

45. Трещев Д.В. Введение в теорию возмущений гамильтоновых систем, Издательство Фазис, Москва, 1998

46. Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Алгебра и геометрия интегрируемых га-мильтоновых дифференциальных уравнений, Издательство Факториал, Издательство УдГУ, 1995

47. Уиттекер Э.Т. Аналитическая динамика, издательство УРСС, 2004

48. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж. Я Курс современного анализа, издательство УРСС, 2007

49. Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия, методы и приложения, Издательство Московского Университета, 1988.

50. Фоменко А.Т., Цишанг X. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Известия АНСССР, т.54, N 3, с.546-575.

51. Харламов М.П. Топологический анализ интегрируемых задач в динамике твердого тела, Ленинград, издательство Ленинградского Университета, 1988

52. Хованский А.Г. Топологическая теория Галуа, Издательство МЦНМО, Москва, 2008

53. Abraham R.; Marsden J.E. Foundations of mechnics, Second Edition, Addison-Wesley, 1978

54. Abraham R., Marsden J.E., Ratiu T. Manifolds, tensor analysis and application, Second Edition, Applied mathematical science, vol.75, Springler-Verlag, New York, 1988

55. Adler M.P., van Moerbeke P Completely integrable systems, Euclidean Lie algebras and curves and linearization of Hamiltonian systems, Jacobi varietes and represention theory, Adv.Math., 1989, v.30, pp.267-379

56. Baider A., Churchill R.C., Rod D.L., Singer M.F. On the infinitesimal geometry of integrable systems,Fields Institute Communications Volume 7, 1990

57. Boucher D., Weil J.-A. Application of J.-J. Morales and J.P.Ramis theorem to test the non-complete integrability of the planar three body problem, IRMA Lect. Math. Theor. Phys., vol.3, de Gruyter, Berlin, 2003

58. Churchill R.C., Rod D.L., Singer M.F. Group-theoretic obstructions to the integrability of hamiltonian systems, Ergodic Theory Dynam. Systems, (15), 1995, № 1, 15-48

59. Dullin H.R., Tsygvintsev A.V. On the analytic non-integrability of the Rattle-back problem, Annales de la faculte des sciences de Toulouse, Vol. XVII, n. 3, pp. 495-517, 2008

60. Goriely A. A brief history of Kovalevskaya exponents and modern developments, 2000 Regular and Chaotic Dynamics.

61. Goriely A. Integrability, partial integrability and nonintegrability for systems of ordinary differential equations, J. Math. Phys. 1996. 37 (1996) 1871-1893.

62. Goriely A., Tabor M. How to compute the Melnikov vector?, 1994 in Proceedings of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, ISSAC'94, ACM Press, pp. 205-210.

63. Goriely A., Tabor M. The Singularity analysis for nearly integrable systems: Homoclinic intersections and local multivaluedness, Physica D. 85 (1995) 93-125.

64. Hille E. Ordinary Differential Equations in the Complex Domain, A Wiley-Interscience Publication, 1976

65. Kimura Т. On Riemann's Equations which are Solvable by Quadratures, j.Funkcialaj Ekvacioj, 12(1969), 269-281

66. Kovacic J.J. An algorithm for solving second order linear homoheneous differential equations, j.Symbolic.Comput.,2(l):3-43,1986

67. Landsman N. P., Pftaum M., Schlichenmaier M. Quantization of singular symplectic quotients, Birkhauser, 2001, p.318

68. Lerman L. M., Shilnikov L. P. Homoclinical structures in nonautonomous systems: nonautonomous chaos. Chaos 2 (1992), no. 3, 447-454

69. Morales-Ruiz J.J. Differential Galois Theory and Non-Integrability of Hamiltonian Systems,Birkhauser, 1999, p. 184

70. Morales-Ruiz J.J. A note on a connection between the Poincare-Arnold-Melnikov integral and the Picard-Vessiod Theory, 2002

71. Morales-Ruiz J.J., Peris J.M. On a galoisian approach to the splitting of separatrices, Annales de la faculte des science de Toulouse 6 serie, tome 8, n 1, 1999, p.125-141

72. Morales-Ruiz J.J., Ramis J.-P. Galosian obstructions to integrability of Hamiltonian systems, Methods Apl. Anal. (8) 2001,№ 1, p.113-120

73. Morales-Ruiz J.J., Simon S. On the meromorphic non-integrability of some N-body problems, 1999, p.184

74. Morales-Ruiz J.J.,Ramis J.-P., Simon S. Integrability of Hamiltonian systems and Differential Galois Groups of Higher Variational Equations, Annales Ec. Norm. Sup. 40 (2007), № 6, 845-884

75. Maciejewski A., Przybylska M. Differential Galois Approach to the Non-integrability of heavy top problem, Annales de la Faculte de Science, 2004

76. Maciejewski A., Przybylska M. Non-integrability of the problem of a rigid satellite in gravitational and magnetic fields , Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, vol. 87, n.4, 2004, p.317-351

77. Maciejewski A., Przybylska M., Stachowiak Т., Szydlowski M. Global integrability of cosmological scalar fields , J. Phys. A: Math. Theor. 41 465101 (26pp), 2008

78. Maciejewski A., Przybylska M., Weil J.-A. Non-integrability of the generalized spring-pendulum problem , 2004 J. Phys. A: Math. Gen. 37 2579-2597

79. Ritt J.F. Differential Algebra, New York: Dover Publication, 1950

80. Salnikova Т. V. On integrability of the motion of an axisymetric rigid body, 2001 J. Phys. A: Math.Gen. 34, 2179-2184

81. Singer M.F., M. van der Put Galois Theory of Linear Differential Equations, Springer, Berlin, 2003, 438

82. Singer M.F., Ulmer F. Necessary conditions for Liouvillian solutions of third order linear differential equations, vol. 6, № 1, 1995

83. Singer M.F., Ulmer F. Galois groups of Second and Third Order Linear Differential Equations, J. Symbolic Computation, vol. 11, № 1-000, 1997

84. Smith C.J. A discussion and implementation of Kovacic's algoriphm for ordinary differential equetions, University of Waterloo Computer Science Dept. Research Report CS-84-35, 1984

85. Tsygvintsev A. V.Non-existence of new meromorphic first integrals in the planar three-body problem, Celestial Mech. Dynam. Astronom. 86 (2003), no. 3, 237-247

86. Tsygvintsev A.V. On some exceptional cases in the integrability of the three-body problem, Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, Vol. 99, No.1, 237-247, 2007

87. Tsygvintsev A.V. The meromorphic non-integrability of the three-bodyproblem, Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik de Gruyter (Crelle's journal), N 537, 2001, 127-149

88. Yoshida H. Necessary conditions for the existence of algebraic first integrals. Pt l.Kovalevski exponents // Celest. Mech. 1983. Vol.31. N.4. P.363-379

89. Zoladek H. The monodromy group, Birkhauser Verlag, 2000