Качественный анализ и оценки решений нелинейных систем в критических случаях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Соколов, Сергей Владимирович

• Соколов, Сергей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Соколов, Сергей Владимирович

Введение

1. Устойчивость сложных систем

1.1 Однородные и обобщенно-однородные функции

1.2 Системы дифференциальных уравнений с однородными правыми частями.

1.3 Устойчивость сложных систем по нелинейному приближению

1.4 Оценки решений сложных систем

1.5 Системы с мультипликативными связями центрального типа

1.6 Системы с мультипликативными связями циклического типа

1.7 Системы с аддитивными связями центрального типа

1.8 Системы с аддитивными связями циклического типа

1.9 Системы каскадного типа.

2. Устойчивость по первому, в широком смысле, приближению

2.1 Постановка задачи.

2.2 Анализ устойчивости каскадных систем.

2.3 Условия абсолютной устойчивости систем со специальной структурой связей.

2.4 Оценки решений.

2.5 Устойчивость нелинейных систем с нестационарными возмущениями

2.6 Условия диссипативности некоторых моделей динамики популяций.

2.7 Построение стабилизирующих управлений для нелинейных систем.

3. Устойчивость нелинейных колебательных систем

3.1 Системы нелинейных осцилляторов.

3.2 Условия асимптотической устойчивости положения равновесия

3.3 Оценки решений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Качественный анализ и оценки решений нелинейных систем в критических случаях»

Актуальность темы.

Теория управления входит в число важнейших разделов современной науки, поскольку она используется во всех процессах, допускающих внешнее воздействие со стороны человека [12, 32, 39, 59]. При решении прикладных задач большое значение имеют как построение управления, так и анализ замкнутой управлением системы. Важно, что на любую реальную систему влияет значительное количество внешних факторов. Учет этих факторов приводит к необходимости предусматривать стабилизирующие управления, так как практическое применение имеют только устойчивые режимы функционирования объектов.

Таким образом, в большинстве практических задач теории управления важно определять условия, при которых гарантирована устойчивость рассматриваемых систем. При этом, чем точнее определены эти условия, тем менее жесткими становятся ограничения на стабилизирующие воздействия. На практике снижение подобных требований ведет к уменьшению расхода топлива, экономии материальных и человеческих ресурсов. Важную роль в исследованиях имеет pi получение наиболее точных оценок отклонений переходных процессов от установившихся движений. Для решения этой задачи используют различные методы нахождения экстремума функций, например, методы линейного и нелинейного программирования. Вместе с тем, для практического применения важно разрабатывать алгоритмы, и, в дальнейшем, комплексы программ, приводящие к получению оценок в явном виде.

Развитие методов исследования различных биологических, физических и технических моделей приводит к необходимости рассматривать сложные системы дифференциальных уравнений [9, 10, 16, 33]. В число основных характеристик таких систем входят высокая размерность, существенно нелинейный характер уравнений, разнообразие системных связей.

Одним из основных методов исследования устойчивости нелинейных систем является так называемый второй метод Ляпунова, основанный на использовании специально построенных функций. Применение этого метода не ограничивается доказательством устойчивости или неустойчивости рассматриваемой системы. Удачно построенная функция Ляпунова позволяет решить целый ряд прикладных задач: исследовать область притяжения [9], найти оценки решений [9, 16], установить наличие предельных циклов [14, 58], построить управление и оценить его качество. Функции Ляпунова находят свое применение и в теории оптимального управления [14, 38, 47].

Предложенный A.M. Ляпуновым общий метод был в дальнейшем значительно развит в работах Е.А. Барбашина, В.И. Зубова, Н.Н. Кра-совкого, И.Г. Малкина, А.А. Мартынюка, К.П. Персидского и других ученых [9, 17, 23, 27, 28, 33]. A.M. Ляпунов установил условия, при выполнении которых вопрос об устойчивости или неустойчивости определяется линейными членами уравнений. Те случаи, когда рассмотрение только линейных членов не дает необходимого результата, называются критическими. При исследовании критических случаев часто приходится рассматривать системы, вообще не содержащие линейных членов [38, 46]. Таким образом, возникает задача об устойчивости по нелинейному приближению.

Как известно, общие конструктивные методы построения функций Ляпунова отсутствуют, а наиболее полные результаты получены только для линейных стационарных систем. Поэтому любые новые подходы и расширение области применимости метода функций Ляпунова заслуживают внимания. Так как при анализе сложных систем часто применяется метод декомпозиции, то есть разбиения системы на не влияющие друг на друга блоки [48, 50, 51], особый интерес представляет исследование систем пелршейного приближения со связямр! между блоками, имеющими специальный вид.

Актуальность темы диссертации определяется недостаточной изученностью критическргс случаев сложных систем дР1фференциальных уравнений в части определения условий устойчивостР1 pi получения оценок решенрш, необходимостью разработки новых методов и способов анализа срютемных связей.

Цели и задачи исследования. Получение новых условий устойчивости нелинейных систем в критических по Ляпунову случаях, нахождение наиболее точных оценок решений существенно нелинейных систем дифференциальных уравнений.

Методы исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе задач используются методы теории управления, теории устойчивости, различные методы оптимизации, в частности, метод линейного программирования.

Научная новизна. Полученные условия устойчивости и оценки решений являются новыми pi ли уточняют известные результаты.

Достоверность и обоснованность. Достоверность результатов исследования подтверждается логической последовательностью рассуждений, математической строгостью приведенных доказательств.

Практическое значение. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы при проектировании объектов, описываемых существенно нелинейными системами дифференциальных уравнений. Они могут применяться для анализа системных связей, определения допустимых границ значений параметров систем и условий на возмущения. С помощью разработанных методов можно строить стабилизирующие управления и получать оценки времени переходных процессов.

Положения, выносимые на защиту

1. Уточнены известные и получены новые условия устойчивости по первому, в широком смысле, приближению для нелинейных многосвязных систем со специальными структурами связей.

2. Разработаны алгоритмы нахождения наиболее точных оценок решений широкого класса существенно нелинейных сложных систем. В общем случае задача сведена к задаче линейного программирования, в важных частных случаях предложены конструктивные алгоритмы нахождения оценок.

3. Найдены условия устойчивости в критических по Ляпунову случаях для ряда нелинейных систем, находящихся под воздействием постоянно действующих возмущений.

4. Получены новые условия диссипативности для некоторых классов обобщенных Вольтерровских моделей динамики популяций.

5. Проведен анализ устойчивости положения равновесия сложной механической системы, описывающей взаимодействие связанных нелинейных осцилляторов.

6. Предложены способы построения стабилизирующих управлений для некоторых классов нелинейных управляемых систем.

Апробация работы. Основные положения научной работы докладывались на следующих конференциях:

1. 6-й международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 2004).

2. 2-й международной научной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (Саранск, 2005).

3. Международной конференции «Устойчивости и процессы управления», посвященной 75-летию В.И. Зубова (Санкт-Петербург, 2005).

4. 3-ей Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2006).

5. 40-й научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2009).

6. 41-й научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2010).

Работа поддержана РФФИ в рамках гранта 08-08-92208 ГФЕНа. Публикации. По материалам диссертации опубликованы семь работ [6, 7, 41, 42, 43, 44, 45], одна из которых в издании, входящем в перечень ВАК рецензируемых научных журналов [45].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений; она содержит 121 лист машинописного текста, список цитируемой литературы состоит из 61 наименования.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Соколов, Сергей Владимирович

Заключение

Настоящая диссертационная работа посвящена получению новых условий устойчивости нелинейных систем в критических по Ляпунову случаях, анализу системных связей и нахождению наиболее точных оценок решений существенно нелинейных систем дифференциальных уравнений. В качестве основного математического аппарата использовались методы теории устойчивости, теории графов, теории управления, различные методы оптимизации, в частности, теория линейного программирования.

Подводя итог проделанной работы, перечислим результаты, выносимые на защиту:

1. Уточнены известные и получены новые условия устойчивости по первому, в широком смысле, приближению для нелинейных многосвязных систем со специальными структурами связей.

2. Разработаны алгоритмы нахождения наиболее точных оценок решений широкого класса существенно нелинейных сложных систем. В общем случае задача сведена к задаче линейного программирования, в важных частных случаях предложены конструктивные алгоритмы нахождения оценок.

3. Найдены условия устойчивости в критических по Ляпунову случаях для ряда нелинейных систем, находящихся под воздействием постоянно действующих возмущений.

4. Получены новые условия диссипативности для некоторых классов обобщенных Вольтерровских моделей динамики популяций.

5. Проведен анализ устойчивости положения равновесия сложной механической системы, описывающей взаимодействие связанных нелинейных осцилляторов.

6. Предложены способы построения стабилизирующих управлений для некоторых классов нелинейных управляемых систем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Соколов, Сергей Владимирович, 2010 год

1. Александров А. Ю. Об устойчивости сложных систем в критических случаях // Автоматика и телемеханика. — 2001. — № 9. — С. 3-13. 23

2. Александров А. Ю. О существовании функций Ляпунова для одного класса нелинейных систем // Труды 13-ой межвуз. конф. «Математическое моделирование и краевые задачи». Часть 3. — Самара: 2003.-С. 7-9. 53, 54

3. Александров А. Ю. Об устойчивости решений одной нелинейной системы дифференциальных уравнений j j Вестник СПбУ. Серия 1. Вып. 3. 2004. - С. 3-10. 53, 55, 64

4. Александров А. Ю., Платонов А. В. Устойчивость движений сложных систем. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002. - 79 с. 15, 16

5. Александров А. Ю., Платонов А. В. Об устойчивости и диссипативности некоторых классов сложных систем j j Автоматика и телемеханика. 2009. - № 8. - С. 3-18. 46, 47, 53, 76

6. Александров А. Ю., Соколов С. В. О построении функций Ляпунова для некоторых классов нелинейных систем // Труды Средневолжского математического общества. — Т. 6. — 2004. — С. 69-74. 9, 53, 61, 62

7. Александров А. Ю., Соколов С. В. Устойчивость и оценки решений некоторых классов нелинейных систем / / Труды Средневолжского математического общества. — Т. 7. — 2005. — С. 113-123. 9, 67

8. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости.— М.: Наука, 1967. 223 с. 46, 86, 87

9. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. — М.: Наука, 1970.— 240 с. 5, 10, 14, 44

10. Воронов А. А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. — М.: Наука, 1979. 335 с. 5, 10

11. Гавурин М. К., Малоземов В. Н. Экстремальные задачи с линейными ограничениями. — Л.: Издательство ЛГУ, 1984. — 176 с. 27

12. Груйич Л. Т., Мартынюк А. А., Риббенс-Павелла М. Устойчивость крупномасштабных систем при структурных и сингулярных возмущениях. — Киев: Наукова думка, 1984. — 308 с. 4, 10, 86

13. Данциг Д. Линейное программирование, его обобщения и применения,— М.: Прогресс, 1966, — 600 с. 27

14. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967.-472 с. 5

15. Зорин В. А. Математический анализ. — М.: Наука, 1981.— Т. 1.— 544 с. 58

16. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. — Д.: Судпромгиз, 1959. — 324 с. 5, 10, 13, 14, 19, 21, 44, 45, 57, 70, 94

17. Зубов В. И. Устойчивость движения. Методы Ляпунова и их применение.— М.: Высшая школа, 1973, — 271 с. 5, 12, 14, 17, 18, 95

18. Зубов В. И. Лекции по теории управления,— М.: Наука, 1975.— 496 с. 82

19. Зубов В. И. Асимптотическая устойчивость по первому, в широком смысле, приближению j j Докл. РАН. — 1996. — Т. 346, № 3. — С. 295296. 44, 45

20. Калитин Б. С. О принципе сведения для асимптотически треугольных дифференциальных систем / / Прикладная математика и механика. 2007. - Т. 71. - С. 351-360. 48

21. Каменков Г. В. Избранные труды. — М.: Наука, 1971. — Т. 1. — 260 с. 14

22. Косое А. А. Об устойчивости сложных систем по нелинейному приближению // Дифференциальные уравнения. — 1997. — Т. 33, № 10. — С. 1432-1434. 22, 23

23. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959. — 212 с. 5, 18, 44

24. Ла Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. — М.: Иностранная литература, 1967. — 169 с. 45, 82

25. Лурье А. И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. — М.: Гостехиздат, 1951. — 216 с. 45

26. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. — М.; Л.: ОНТИ, 1935. 386 с. 14, 44

27. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. — М.; Л.: Гостехиздат, 1952.-432 с. 5, 14, 18, 44, 57

28. Мартынюк А. А. Устойчивость движения сложных систем. — Киев: Наукова думка, 19752. — 352 с. 5

29. Мартынюк А. А., Оболенский А. Ю. Об устойчивости решений автономных систем Важевского // Дифференциальные уравнения. — 1980.- Т. 16, № 8,- С. 1392-1407. 47

30. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости. — Под ред. А. А. Воронова и В. М. Матросова. — 1987. 10, 86

31. Овсянников Д. А. К вопросу об устойчивости в целом одного класса нелинейных систем управления // Дифференциальные уравнения. — 1972. Т. 8, № 2. - С. 377-379. 48, 49

32. Островский Г. М., Волин Ю. М. Моделирование сложных химико-технологических схем. — М.: Химия, 1975. — 311 с. 4, 10, 86

33. Персидский С. К. К вопросу об абсолютной устойчивости // Автоматика и телемеханика. — 1969. — № 12. — С. 5-11. 5, 10, 44

34. Платонов А. В. Об устойчивости многосвязных систем // Процессы управления и устойчивость: Труды 32-й научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. В. Смирнов. — СПб.: Издательство СПбГУ, 2001.- С. 89-91. 11, 25

35. Платонов А. В. Об устойчивости нелинейных сложных систем // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2004. — № 4. — С. 41-46. 23

36. Пых Ю. А. Равновесие и устойчивость в моделях популяционной динамики. — М.: Наука, 1983. — 184 с. 75

37. Пятницкий Е. С. Избранные труды,— М.: Физматлит, 2004.— Т. 1.-382 с. 82

38. Рейссиг Р., Сансоне Р., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1974. — 320 с. 5, 6, 86

39. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. — М.: Мир, 1980.- 300 с. 4, 10, 86

40. Свирежев Ю. М., Логофет Д. О. Математическое моделирование биологических сообществ. — М.: Наука, 1978. — 352 с. 76

41. Соколов С. В. Об асимптотической устойчивости в целом одного класса нелинейных систем // Математическое и информационное моделирование: Сборник научных трудов. Вып. 9. Тюмень: Издательство «Вектор Бук». — 2007. — С. 163-169. 9

42. Соколов С. В. Условия устойчивости и оценки решений некоторого класса сложных систем j j Вестник СПбГУ, Сер. 10, Вып.З. — 2009. — С. 130-137. 9

43. Стокер Д. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. — М.: Иностранная литература, 1953. — 256 с. 6, 86

44. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. — М.: Наука, 1965. — 208 с. 5

45. Шилъяк Д. Децентрализованное управление сложными системами. М.: Мир, 1994. - 576 с. 6, 10

46. Bailey F. N. The application of Lyapunov's second method to interconnected systems // Journ. Soc. Industr. and Appl. Math. Ser. A, Control. 1965. - Vol. 3, no. 3. - Pp. 443-462. 6, 10

47. Bellman R. Vector Lyapunov functions / / SI AM J. Contr. Ser. A. — 1962. no. 1. — Pp. 32-34. 6, 10 ,

48. Chaillet A., Angeli D. Integral input to state stable systems in cascade // Systems & Control Letters. 2008. - Vol. 57. - Pp. 519-527. 48

49. Chaillet A., Loria A. Nesessary ans sufficient conditions for uniform semiglobal practical asymptotic stability: Application to cascaded systems // Automatica. 2006. - Vol. 42. - Pp. 1899-1906. 48

50. Corless M., Leitmann G. Continious state feedback guaranteeing uniform ultimate boundeness for uncertain dynamic systems // IEEE Transactions on Automatic Control — 1981. — no. 26. — Pp. 1139-1144. 82, 83, 85

51. Levinson N. Transformation theory of non-linear differential equations of the second order // Ann. math. — 1944. — Vol. 45, no. 4. — Pp. 723-737. 19

52. Panteley E., Loria A. Growth rate conditions for uniform asymptotic stability of cascaded time-varying systems // Automatica.— 2001.— Vol. 37. Pp. 453-460. 48

53. Rantzer A. A dual to Lyapunov's stability theorem j j Systems & Control Letters. 2001. - Vol. 42. - Pp. 161-168. 48

54. Salvadori L. On the stability of equilibrium in critical cases // Mechan-ica. 1967. - Vol. 2, no. 2. - Pp. 82-94. 5

55. Siljak D. D. Large-scale dynamic systems: stability and structure. — New York: North Holland, 1978. 416 pp. 4, 10, 86

56. Su W., Fu M. Robust stabilisation of nonlinear cascaded systems j j Automatica. 2006. - Vol. 42. — Pp. 645-651. 48

57. Yoshizawa T. Stability theory by Lyapunov's second method. — Tokyo: The Math. Soc. of Japan, 1966. 233 pp. 20