Управление нелинейными динамическими системами и анализ их устойчивости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор физико-математических наук Щенникова, Елена Владимировна

• Щенникова, Елена Владимировна
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Щенникова, Елена Владимировна

Введение.

ГЛАВА 1. Устойчивость и качественный анализ нелинейных управляемых динамических систем.

1.1. Исследование устойчивоподобных свойств, решений нелинейных управляемых динамических систем.

1.2. Полиограниченность относительно части фазовых переменных движений одной нелинейной системы.

1.3. Устойчивость нелинейных динамических систем при постоянно действующих возмущениях.

1.4. Асимптотическая устойчивость в целом относительно части фазовых переменных одной многосвязной управляемой системы.

ГЛАВА 2. Корректность использования в динамике процессов линеаризованных управляемых динамических систем.

2.1. Построение оценок погрешностей линеаризации нелинейных управляемых динамических систем относительно части и всех фазовых переменных.

2.2. Построение оценок погрешностей линеаризации одной квазилинейной управляемой системы.

2.3. Конвективные оценки погрешностей линеаризации нелинейных динамических систем.

ГЛАВА 3. Оптимальная стабилиация программного движения многосвязной системы с перекрывающимися декомпозициями.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Решение задачи оптимальной стабилизации программного движения многосвязной системы с перекрывающимися декомпозициями.

ГЛАВА 4. Устойчивость по Лагранжу инвариантных множеств в общих динамических системах.

4.1. Устойчивость по Лагранжу в теории Йосидзавы - Селла.

4.2. Единый подход к изучению устойчивости по Лагранжу на временном промежутке в общей математической модели на базе сохраняющих устойчивость отображений.

4.3. Единый подход к изучению частичной устойчивости по Лагранжу на временном промежутке в общей математической модели на базе сохраняющих частичную устойчивость отображений.

ГЛАВА 5. Устойчивость по Лагранжу и качественный анализ математических моделей транспортных динамических систем.

5.1. Предельный режим движений и структура множества устойчивых по Лагранжу движений в скалярной и векторных моделях движения железнодорожного транспорта.

5.2. Алгоритм исследования устойчивости по Лагранжу движения математической модели, описываемой операторным дифференциальным уравнением второго поряка.

5.3. Условие существования зоны устойчивости по Лагранжу в модели Н.Н. Лузина движения железнодорожного экипажа.

5.4. Условия устойчивости по Лагранжу движения в математической модели железнодорожной колесной пары.

5.5. Управление скоростью движения железнодорожного экипажа и оценка критической скорости движения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Управление нелинейными динамическими системами и анализ их устойчивости»

В настоящее время предъявляются повышенные требования к проектированию, эксплуатации сложных технических объектов и технологических процессов, а также к их управлению. В связи с чем, возникают новые математические модели динамических процессов, описывающиеся существенно нелинейными системами дифференциальных уравнений. При этом появляется потребность в развитии теории нелинейных динамических систем, расширении понимания целей управления, возрастании практического значения учета в математических моделях параметрических и постоянно действующих возмущений, а также структурных неопределенностей. Кроме того, развитие компьютерной техники, программного обеспечения, сбор и обработка данных на базе микропроцессорных систем приводит к необходимости развивать математический аппарат, разрабатывать новые, направленные на практическое использование, качественные и приближенно-аналитические методы исследования нелинейных управляемых динамических систем. В конечном счете указанные методы могут служить целям обеспечения оптимальных условий работы и повышения безопасности функционирования сложных технических систем, а построение алгоритмов исследования их устойчивости позволяет проводить анализ влияния различных проектных параметров на качество функционирования того или иного сложного технического объекта. Все это составляет одну из ключевых проблем системного анализа. Необходимым математическим аппаратом описания процессов динамики и управления динамическими системами являются нелинейные системы (многосвязные системы) обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому проблемы создания новых эффективных методов анализа и методов управления различными техническими объектами и технологическими комплексами предопределяют развитие методов исследования управляемых динамических систем. В большинстве задач технического характера структура управляемых динамических систем и ее параметры известны с некоторой погрешностью. Следовательно, необходимым требованием к нелинейным управляемым динамическим системам является их устойчивость (в том или ином смысле) по отношению к структурным и внешним возмущениям.

Основы теории устойчивости движения были разработаны великим русским ученым A.M. Ляпуновым [108]. В частности, он дал развитие первого и второго (прямого) методов Ляпунова.

В условиях первого метода Ляпунова требуется знать решения систем дифференциальных уравнений возмущенного движения и их оценки, что делает решение задачи об устойчивости трудной задачей.

Прямой метод Ляпунова есть метод качественного исследования устойчивости. Идея прямого метода Ляпунова состоит в том, что решение задачи об устойчивости заключается в построении вспомогательных функций, обладающих необходимыми свойствами. Эти функции называют функциями Ляпунова.

Прямой метод Ляпунова является основным методом исследования устойчивоподобных свойств нелинейных управляемых систем (равно как и неуправляемых). В связи с потребностями науки и техники он получил развитие в трудах Н.Г. Четаева [167], К.П. Персидского [137], И.Г. Малкина [110], В.И. Зубова [67], [71], [74], Е.А. Барбашина [24], [26], Н.Н. Красовского [92]—[95], А.А. Шестакова [169]-[171], В.М. Матросова [116]-[122], И.В. Матросова [124], Н.И. Матросовой [125], В.В. Румянцева [148], [149], В.Г. Каменкова [77], Ю.Н. Меренкова [130], [131], А.С. Андреева [15]-[20], Ж.П. Ла-Салля и С. Лефшеца [102], В. Хана [188], [189], Ж.Л. Массеры [193], Я. Курцвейля [100], Т. Йосидзавы [213]—[215].

Прямой метод Ляпунова используется в механике, физике, технике, теории управления и анализе устойчивоподобных свойств динамических моделей (В.И. Зубов [66], [68]-[73], Н.Н. Красовский [95], [96], A.M. Летов [103], О.В. Дружинина и А.А. Шестаков [55]—[58], В.И. Воротников и В.В. Румянцев [38], В.И. Воротников [36], В.А. Плисс [141], [142], А.Х. Гелиг, Г.А. Леонов, В.А. Якубович [43], А.С. Галиуллин [39], А.С. Галиуллин, Р.Г. Мухарлямов, И.А. Мухаметзянов, В.Д. Фурасов [40], А.А. Красовский [90], [91], Е.Я. Смирнов [152], [153], П.А. Кузьмин [97], Е.С. Пятницкий [144] и др.). В их исследованиях, получены модификация теорем прямого метода Ляпунова применительно к конкретным динамическим свойствам математических моделей.

Основной трудностью прямого метода Ляпунова является отыскание функций (функционалов) Ляпунова [8], [12]-[14], [26], [27], [33], [50], [78], [159], [160], [169].

Применение метода сравнения [121]—[123] в задачах исследования устойчивоподобных свойств позволило В.М. Матросову [116], [117], [119], [120] и Р. Беллмапу в 1962 году ввести в рассмотрение векторную функцию Ляпунова, что упростило поиск функций Ляпунова. Прямой метод Ляпунова, в условиях которого используется векторная функция Ляпунова, обычно называют методом векторных функций Ляпунова. Первые теоремы об устойчивости с применением векторных функций Ляпунова были получены В.М. Матросовым [116], [117], [119], [120]. Эти теоремы, по существу, положили начало развитию метода векторных функций Ляпунова в нелинейной динамике. Этот метод был адаптирован применительно к различным типам устойчивости, ограниченности, устойчивости при постоянно действующих возмущениях [118], [113], [114], [128]. Различные аспекты метода продолжают развиваться.

В последнее время получено ряд качественно новых результатов но устойчивости решений нелинейных сложных (многосвязных) систем (Ко-сов А.А. [89], Александров А.Ю. [4]-[8] и его ученики).

Особо следует отметить раздел теории устойчивости движения относительно части фазовых переменных. Постановка задачи об устойчивости движения относительно части фазовых переменных принадлежит A.M. Ляпунову [108]. И.Г. Малкин [110] в своих примечаниях к теоремам Ляпунова об устойчивости указал некоторые условия их переноса па случай устойчивости относительно части переменных. Первым, кто обстоятельно описал теорию устойчивости относительно части переменных, был В.В. Румянцев [148]. Его основополагающими работами являются [148], [149]. Позднее его исследования обобщены в первой монографии по данной теме [149]. Кроме того, В.В. Румянцев обосновал и методологию применения этого метода в приложениях [37], [38]. Значительный вклад в развитие теории устойчивости относительно части переменных внесли В.И. Зубов [71], В.И. Воротников [37], А.С. Озиранер [149] и др.

Методы теории устойчивости относительно части неременных применимы и к решению задач стабилизации программного движения [149], [37], [38].

Подчеркнем, что метод векторных функций Ляпунова также применим и к задачам теории устойчивости относительно части переменных [195], [196]. Исчерпывающие обзоры по теории устойчивости относительно части переменных содержатся в работах В.И. Воротникова [33], [37].

Метод векторных функций Ляпунова имеет прикладную направленность. Первая работа в этом аспекте была опубликована в 1966 (автор работы Ф.Н. Бейли). В ней предложена идея исследования устойчивости сложных (многосвязных) систем на основе их декомпозиции и последующего оценочного агрегирования. К настоящему времени данное направление сформировалось в теорию устойчивости сложных систем [7], [30], [118], [113], [114], [28], [29], [140], [164].

Чрезвычайно разнообразны приложения прямого метода Ляпунова (включая и метод векторных функций Ляпунова). В частности, можно оценивать отклонение переходного процесса от программного режима [24], [25], [115], учитывать влияние параметрических и постоянно действующих возмущений [121]—[123], [126], [127], [132], находить условия кон-вергентности динамических систем [52], [69], [71], [73], [141], [142], [214], оценивать область иритяжения установившихся движений и т.д.

Однако проблема анализа свойств нелинейных динамических систем остается актуальной из-за отсутствия ее полного решения.Ее актуальность возрастает, если учитывать структурные, параметрические и постоянно действующие возмущения в динамических моделях.

Известно, что теория управления применительно к линейным управляемым системам дифференциальных уравнений наиболее разработана. Поэтому во многих случаях в теории управления прибегают к линеаризации управляемых систем.

В теории программного регулирования [24], [25], в теории идентификации, в самонастраивающихся системах с эталонными моделями при наличии структурных, параметрических и постоянно действующих возмущений также возникает аналогичная проблема. К числу первых работ, в которых изучался вопрос влияния постоянно действующих возмущений на поведение решений систем, относятся исследования Н.Н. Лузина и П.И. Кузнецова [106]. В них с помощью выбора параметров объекта выяснялась возможность исключения влияния постоянно действующих возмущений. Эти исследования относятся к теории инвариантности [98], [99], [101].

Как известно, для нелинейных управляемых систем необходимо иметь условия, обеспечивающие инвариантиость до е в вынужденном движении.

Отметим, что классические методы теории управления основаны на том, что математическая модель точно описывает поведение объекта и считается точно известной. Такой подход используется при решении задач оптимальной стабилизации программного движеиия и конструирования наблюдающих устройств. Накопленные данные об управляемых динамических процессах указывают на неточность их динамических математических моделей и, кроме того, некоторые при этом характеристики объекта могут меняться и быть неизвестными заранее. Поэтому практическая ценность закона управления определяется его работоспособностью при изменении характеристик объекта.

Таким образом, динамическая математическая модель при выбранном законе управления должна обладать устойчивоподобными свойствами (различные виды устойчивости, устойчивости по Лагранжу, ограниченности, устойчивости при постоянно действующих возмущениях, иоли-устойчивости, полиограниченпости, конвективной устойчивости относительно части и всех фазовых переменных).

Актуальной задачей теории управления является построение управления осуществляющего заданный режим. Известно (Р. Беллман), что данная задача не имеет полного решения. Разрешимость указанной задачи состоит в отыскании условий, обеспечивающих устойчивость заданного режима (переходного процесса). Однако следует отметить, что требуемых условий недостаточно, необходимо еще принять во внимание влияние неучтенных в математической модели управляемого динамического процесса постоянно действующих возмущений.

Аналогичная проблема возникает и в теории самонастраивающихся систем с эталонной моделью [1], [2], [3], [21], [31], [65], [83], [86],[90], [134], [135], [138], [139], [154], [161], [162], [181], [201], [202], так как основной целью исследования самонастраивающихся систем с эталонной моделью является построение контура самонастройки, обеспечивающего устойчивоподобные свойства решений системы дифференциальных уравнений относительно фазового рассогласования при наличии постоянно действующих возмущений.

Использование дифференциальных уравнений, описывающих поведение фазового рассогласования, приводит, также к исследованию устойчивости нулевого решения, указанной системы при постоянно действующих возмущениях (применительно к задачам идентификации управляемых систем [60], [104], [107], [165], [178], [180]). Поэтому с целыо построения более точного контура самонастройки необходимо знать связь между величинами е, S и у (см. определение устойчивости при постоянно действующих возмущениях).

Наиболее полно все аспекты задачи об устойчивости нелинейных динамических систем при постоянно действующих возмущениях включает в себя проблема стабилизации заданного режима (переходного процесса) при наличии возмущающих сил [11], [46], [54], [81], [91], [95], [96], [152], [158], [163].

В настоящее время методы решения выше перечисленных задач, в случае, если исходная нелинейная динамическая система имеет линейное приближение, достаточно хорошо разработаны [22], [23], [70], [71], [95], [115]. Однако в критических случаях отсутствуют методы установления связей между величинами е, S и у в задаче устойчивости нелинейных управляемых систем при постоянно действующих возмущениях.

Итак, будем рассматривать нелинейные динамические системы с однородной порядка /I > 1 главной частью. Как известно [74], [77], [92], такие системы являются основной составляющей частью систем, описывающих критические случаи (в частности, критические случаи к нулевых и 2h чисто мнимых корней) в теории устойчивости [74], [77], [92], [110].

Одним из самых распространенных ,как уже упоминалось, методов исследования свойств движений нелинейных управляемых динамических систем служит их линеаризация. При этом возникает проблема корректности использования линеаризованных динамических систем. Основным методом, при помощи которого можно установить корректность их использования, является прямой метод Ляпуиова.Как известно, в критических случаях системы первого приближения не являются линейными.

Следовательно, актуальной проблемой нелинейной механики и теории управления является проблема разработки конструктивных методов построения верхних оценок движений нелинейных динамических систем и оценок погрешности их линеаризации. Актуальной также является задача оптимальной стабилизации нелинейных мпогосвязных управляемых динамических систем с перекрывающимися декомпозициями.

Представляет значительный интерес развитие единого подхода к исследованию устойчивости (частичной устойчивости) по Лагранжу на временном промежутке общей математической модели на базе сохраняющих устойчивость (частичную устойчивость) отображений, а также развитие теории устойчивости по Лагранжу в рамках теории об ограниченности Йосидзавы-Селла и проведение качественного анализа математических моделей транспортных динамических систем с привлечением теории бифуркаций динамических систем.

В диссертации изучаются нелинейные управляемые динамические системы, для которых разрабатываются методы анализа устойчивоиодоб-ных свойств движений относительно всех и части фазовых переменных и моделируются стабилизирующие управления. Под устойчивоподобны-ми свойствами движений указанных систем здесь подразумевается различные виды устойчивости по Ляпунову и Лагранжу, стабилизация программного движения, устойчивость при постоянно действующих возмущениях, полиустойчивость, различные виды ограниченности в смысле Йосидзавы [213], [215] и полиограниченности относительно части и всех фазовых переменных.

Одним из обобщений прямого метода Ляпунова является его объединение с теорией дифференциальных неравенств [132]. С использованием математической теории систем был развит метод сравнения [123]. Идея метода сравнения в динамике состоит в построении для исходной динамической системы функции Ляпунова и систем сравнения. Следует при этом отметить, что системы сравнения в большей степени поддаются изучению по сравнению с исходной системой. Принцип сравнения, в математической теории систем позволяет доказывать теоремы сравнения об устойчивоподобных свойствах движений для широкого класса динамических систем.

Перспективным направлением в теории устойчивости является дальнейшее развитие метода сравнения на базе преобразований, сохраняющих устойчивость (частичнуюустойчивость), которые определяют отношение N качественной эквивалентности между одной моделью динамической системы, называемой объектом исследования, и другой моделью - системой сравнения. Тем самым обеспечивается дальнейшее расширение класса динамических систем, устойчивоподобные свойства движений, которых удается исследовать.

Основная цель предлагаемой диссертации:

1) разработка методов исследования различных видов асимптотической устойчивости, устойчивости по Лагранжу (ограниченности), устойчивости при наличии постоянно действующих и параметрических возмущений движений нелинейных динамических систем, в том числе и многосвязных нелинейных динамических систем, первое приближение которых является однородным порядка fi > 1.

2)развитие метода сравнения в нелинейной динамике с использованием отображений, сохраняющих устойчивость, которые определяют отношение качественной эквивалентности между одной моделью динамической системы, называемой объектом исследований, и другой моделью динамической системы - системой сравнения;

3) разработка конструктивных методов построения верхних оценок движений и оценок погрешностей линеаризации нелинейных динамических управляемых систем относительно части и всех фазовых переменных;

4) развитие способа решения задачи оптимальной стабилизации программного движения многосвязной нелинейной динамической системы с перекрывающимися декомпозициями;

5) исследование устойчивости по Лагранжу движений нелинейных динамических систем и проведение качественного анализа математических моделей транспортных динамических систем.

Решение указанных задач опирается на методы системного анализа, качественной теории дифференциальных уравнений, математической теории устойчивости и теории бифуркации.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Щенникова, Елена Владимировна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными итогами исследований, проведенных в диссертации, являются следующие результаты:

1) разработан метод исследования асимптотической устойчивости степенного вида "частичного" положения равновесия по одной части фазовых переменных, а по другой - равномерной ограниченности движений для нелинейных управляемых динамических систем с однородной главной частью. Аналогичный метод разработан и для многосвязных динамических систем;

2) получены условия устойчивости при постоянно действующих возмущениях для нелинейных динамических систем с однородной главной частью и разработан алгоритм определения верхней границы постоянно действующих возмущений. Установлены признаки асимптотической устойчивости и устойчивости при постоянно действующих возмущениях в малом и в целом относительно всех и части фазовых переменных многосвязной системы, правые части подсистем которой являются однородными функциями. Найдены условия полиограниченности движений относительно части переменных существенно нелинейной динамической системы;

3) дано развитие прямого метода Ляпунова применительно, к исследованию асимптотической устойчивости в целом положения равновесия относительно части фазовых переменных нелинейной многосвязной управляемой динамической системы. Получены теоремы об асимптотической устойчивости в целом положения равновесия относительно части фазовых переменных указанной системы, доказательство которых проводится с использованием семейства функций Ляпунова, обладающего более слабыми ограничениями по сравнению с ранее используемыми для этих целей функциями Ляпунова;

4) разработаны конструктивные методы построения верхних оценок движений (коннективных верхних оценок движений) нелинейных управляемых динамических систем и оценок погрешностей (коннективных оценок погрешностей) их линеаризации. Тем самым решен ряд задач о корректности использования линеаризованных систем в динамической безопасности процессов и теории управления;

5) сформулирована и решена задача оптимальной стабилизации многосвязных систем с перекрывающимися декомпозициями;

6) развит метод сравнения исследования устойчивости (частичной устойчивости) по Лагранжу в динамических системах на базе отображений, сохраняющих устойчивость (соответственно, частичную устойчивость), а также метод Йосидзавы-Селла исследования устойчивости по Лагранжу относительно двух полуцилиндров для нелинейных динамических систем;

7) проведен качественный анализ и получены условия устойчивости по Лагранжу в будущем и в целом для скалярного уравнения Льенара и для векторного дифференциального уравнения второго порядка, являющихся математическими моделями движения железнодорожного экипажа. Найдены условия существования зон динамической безопасности в модели Н. Н. Лузина движения железнодорожного экипажа. Развит метод управления движением транспортных динамических систем, основанный на использовании бифуркационной диаграммы;

8) разработан алгоритм вычисления бифуркационного значения одного из основных параметров при изучении динамической безопасности транспортных систем - критической скорости и алгоритм определения устойчивого собственного значения линейного оператора второго порядка.

Таким образом, в диссертации разработаны теоретические методы исследования устойчивоподобных свойств движений многосвязных и нелинейных динамических систем с однородной порядка fi > 1 главной частью относительно всех и части фазовых переменных. Дано развитие метода сравнения в теории устойчивости. Полученные результаты могут применяться на стадии проектирования и эксплуатации управляемых систем, подвергающихся параметрическим и постоянно действующим возмущениям, с целью обоснования выбора областей изменения параметров системы, при которых устойчивость систем сохраняется. Этим обеспечивается безопасность управления и эксплуатации сложных технических объектов. Ряд результатов носят непосредственно прикладной характер. Приведем их. Развиты конструктивные методы определения верхних оценок движений многосвязных и нелинейных динамических систем, а также оценок погрешностей их линеаризации. Найденные оценки погрешностей линеаризации систем позволяют устанавливать корректность использования в теории управления линеаризованных систем. Указанные оценки применимы также в адаптивном управлении, теории идентификации и в задачах программного движения. Развит способ решения задач оптимальной стабилизации программного движения многосвязной нелинейной динамической системы.

Проведенный качественный анализ транспортных динамических систем является основой методики оценки критической скорости движения железнодорожного экипажа. В разработанной методике существенную роль играют методы теории устойчивости и теории бифуркации динамических систем, причем исследование устойчивости и бифуркациий проведено с учетом управления скоростью движения экипажа. Предложены алгоритмы вычисления точек бифуркации и значений критических скоростей движения железнодорожного экипажа. Полученные результаты обосновывают тот факт, что экстремальная точка значения скорости, в которой возникает предельный цикл, является граничной точкой для скорости, обеспечивающей безопасность движения высокоскоростного рельсового экипажа.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Щенникова, Елена Владимировна, 2006 год

1. Адаптивное управление, оценивание и идентификация с применением эталонной модели и с использованием только входных и выходных сигналов // Экспресс - информация. Система авт. упр. 1977. N43. С.7-21.

2. Адаптивные системы идентификации / Под редакцией В.И. Костю-ка. Киев: Техника, 1975.

3. Аксенов Г.С., Фомин В.Н. Синтез адаптивных регуляторов на основе метода функций Ляпунова // Автоматика и телемеханика. 1982. N6. С.126-138.

4. Александров А.Ю. О существовании функций Ляпунова специального вида для'одного класса нелинейных систем // Труды 13-ой межвуз. конф. "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара, 29-31 мая 2003 г. Часть 3. С.7-9.

5. Александров А.Ю. Устойчивость движений неавтономных динамических систем. СПб.: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 2004.

6. Александров А.Ю., Бузулукова О.А., Платонов А.В. Оценка решений одного класса сложных систем // Вестник С.-Петербург, ун-та. 2004. Серия 10, Вып.3-4. С.71-79.

7. Александров А.Ю., Платонов А.В. Устойчивость движений сложных систем. СПб.: НИИ Химии. СПбГУ, 2002.

8. Александров А.Ю., Соколов С.В. О построении функций Ляпунова для некоторых классов нелинейных систем // Труды Средневолжского математического общества. 2004. Т.6, N1. С.69-74.

9. Алексеев В.М. Об одной оценке возмущений обыкновенных дифференциальных уравнений 1 // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. 1964. N2. С.28-36.

10. Алексеева С.А., Воротников В.И., Феофанова В.А. К задачам частичной эквиасимптотической устойчивости нелинейных динамических систем // Автоматика и телемеханика. 2005. N2. С.3-17.

11. Альбрехт Э.Г., Красовский Н.Н. О наблюдении нелинейной управляемой системы в окрестности заданного движения // Автоматика и телемеханика. 1964. Т.25, N7. С.1047-1057.

12. Аминов А.Б., Сиразетдинов Т.К. Условия знакоопределенности четных форм и устойчивости в целом нелинейных однородных систем // Прикл. математика и механика. 1984. Т.48. В.З. С.339-347.

13. Аминов А.Б., Сиразетдинов Т.К. Функции Ляпунова для исследования устойчивости в целом нелинейных систем // Прикл. математика и механика. 1985. Т.49. В.б. С.883-893.

14. Анапольский Л.Ю., Иртегов В.Д., Матросов В.М. Способы построения функций Ляпунова // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Общая механика. 1975. Т.2. С.53-112.

15. Андреев А.С. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости неавтономных систем // Прикл. математика и механика. 1979. Т.43, В.5. С.796-805.

16. Андреев А.С. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы относительно части переменных // Прикл. математика и механика. 1984. Т.48, В.5. С.707-713.

17. Андреев А.С. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости по части переменных // ДАН Уз ССР. 1982. N5. С.9-12.

18. Андреев А.С. Об исследовании частичной асимптотической устойчивости на основе предельных уравнений // Прикл. математика и механика. 1987. Т.51, В.2. С.253-259.

19. Андреев А.С. Об исследовании частичной асимптотической устойчивости // Прикл. математика и механика. 1991. Т.55, В.4. С.539-547.

20. Андреев А.С., Перегудова О.А. К методу сравнения в задачах об асимптотической устойчивости // Доклады РАН. 2005. Т.400, N5. С.641-642.

21. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке Matlab. СПб: Наука, 1999. 467 с.

22. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высш. школа, 1998.

23. Афанасьев В.Н., Фурасов В.Д. Теория стабилизации и расчет систем с обратной связью. М., 1975.

24. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.

25. Барбашин Е.А. О построении периодических решений // Прикл. математика и механика. 1961. Т.25, В.2. С.276-283.

26. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.

27. Валеев К.Г., Финин Г.С. Построение функции Ляпунова. Киев: На-укова думка, 1981.

28. Воронов А.А. Введение в динамику сложных систем. М.: Наука, 1985.

29. Воронов А.А. О некоторых новых направлениях в теории моделей сравнения // Метод функций Ляпунова и его приложения. Новосибирск: Наука, 1984. С.6-15.

30. Воронов А.А. Современное состояние и проблемы теории устойчивости // Автоматика и телемеханика. 1982. N5. С.6-28.

31. Воронов А.А., Рутковский В.Ю. Современное состояние и перспективы развития адаптивных систем // Вопросы кибернетики. Проблемы теории и практики адаптивного управления. М.: Научный совет по кибернетике АН СССР, 1985. С.3-48.

32. Воротников В.И. Два класса задач частичной устойчивости: к унификации понятий и единым условиям разрешимости // Докл. РАН. 2002. Т.384. N1. С.47-51.

33. Воротников В.И. Задачи и методы исследования устойчивости и стабилизации движения по отношению к части переменных: направление исследования, результаты, особенностями // Автоматика и телемеханика. 1993. N3. С.3-62.

34. Воротников В.И. К задачам устойчивости по части переменных // Прикл. математика и механика. 1999. Т.63, В.5. С.736-745.

35. Воротников В.И. Об устойчивости и устойчивости по части переменных частичных положений равновесия нелинейных динамических систем // Докл. РАН. 2003. Т.389. N3. С.332-337.

36. Воротников В.И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных. М.: Наука, 1991.

37. Воротников В.И. Частичная устойчивость и управление: состояние проблемы и перспективы развития // Автоматика и телемеханика. 2005. N4. С.3-59.

38. Воротников В.И., Румянцев В.В. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем: теория, методы и приложения. М.: Научный мир, 2001. 320 с.

39. Галиуллин А.С. Методы решения обратных задач динамики. М.: Наука, 1986.

40. Галиуллип А.С., Мухарлямов Р.Г., Мухаметзянов И.А., Фурасов В Д. Построение систем программного движения. М.: Наука, 1971.

41. Ганиев Р.Ф., Кононенко В.О. Колебания твердых тел. М.: Наука, 1976.

42. Гарг В.К., Дуккипати Р.В. Динамика подвижного состава / Подред. Н.А. Панькина. М.: Транспорт, 1988.

43. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978.

44. Гермаидзе В.Е., Красовский Н.Н. Об устойчивости движения при постоянно действующих возмущениях // Прикл. математика и механика. 1957. Т.21, В.б. С.769-774.

45. Голечков Ю.И. Асимптотические и качественные методы исследования технических систем, моделируемых обыкновенными нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка. М.: Изд-во РГОТУПС, 2003.

46. Голубев А.Е., Крищенко А.П., Ткачев С.Б. Стабилизация нелинейных динамических систем с использованием оценки состояния системы асимптотическим наблюдателем (обзор) // Автоматика и телемеханика. 2005. N7. С.3-42.

47. Горшин С.И. Некоторые вопросы устойчивости в большом при постоянно действующих возмущениях в линейном нормированном пространстве // Дифферепц. уравнения. 1968. Т.4, N4. С.631-638.

48. Горшин С.И. Об устойчивости движения с постоянно действующими возмущениями // Известия АН Казахской ССР. 1949. Т.60. В.З. С.24-29.

49. Горшин С.И. Об устойчивости решения счетной системы дифференциальных уравнений с постоянно действующими возмущениями // Известия АН Казахской ССР. 1948. Т.56, N2. С.46-73.

50. Грудо Э.И. О построении функций Ляпунова в виде форм т-го порядка // Дифференц. уравнения. 1984. Т.20, N5. С.739-745.

51. Дарховский B.C. Оценка погрешности линеаризации // Дифференц. уравнения. 1978. Т.14, N7. С.1313-1316.

52. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

53. Догановский С.А. Параметрические системы автоматического регулирования. М.: Энергия, 1973.

54. Дончев А. Системы оптимального управления: Возмущение, приближения и анализ чувствительности. М.: Мир, 1987. 156 с.

55. Дружинина О.В. Вопросы устойчивости и прочности математических моделей железнодорожного транспорта // НТТ наука и техника транспорта. 2002. N2. С.42-50.

56. Дружинина О.В., Шестаков А.А. Анализ поперечной устойчивостивысокоскоростного рельсового экипажа // Качественное исследование и устойчивость математических моделей транспортных динамических систем. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 2004. С.26-32.

57. Дружинина О.В., Шестаков А.А. Обобщенный прямой метод Ляпунова исследования устойчивости и притяжения в общих временных системах // Матем. сб. 2002. Т.193. iV10. С.17-48.

58. Дружинина О.В., Шестаков А.А. Прочность движения механических систем. М.: РУДН-ПАИМС, 1996. 116 с.

59. Дубошин РН. К вопросу об устойчивости движения относительно постоянно действующих возмущений // Труды ГАИШ. 1940. Т.14, N1. С.153-164.

60. Дьяконов В.П., Круглов В. Matlab. Анализ, идентификация и моделирование систем. Спец. Справочник. СПб.: Питер, 2002.

61. Еругин Н.П., Штокало И.З. и др. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. Киев: Вища школа, 1974.

62. Жуковский Н.Е. О прочности движения // Ученые записки Московского ун-та. Отд. физ.-матем. 1882. Вып. 4. С.1-104.

63. Захарова М.В. Об ограниченности и устойчивости движений механических систем, моделируемых нестационарными дифференциальными уравнениями второго порядка. Дисс. . канд. физ.-матем. наук, 2002.

64. Земляков С.Д., Рутковский В.Ю. Условия функционирования многомерной самонастраивающейся системы управления с эталонной моделью при постоянно действующих параметрических возмущениях // Докл. АН СССР. 1978. Т.241, N2. С.301-304.

65. Зубов В.И. Аналитическая динамика системы тел. Л.: Изд-во ЛГУ, 1983.

66. Зубов В.И. Асимптотическая устойчивости по первому, в широком смысле, приближению // Доклады РАН. 1996. Т.346, N3. С.295-296.

67. Зубов В.И. Динамика управляемых систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004.

68. Зубов В.И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л.: Судпромгиз, 1962.

69. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.

70. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Изд. 2-е, перераб. и доп. Л.: Машиностроение, 1974.

71. Зубов В.И. Проблема устойчивости процессов управления. JL: Судостроение, 1980.

72. Зубов В.И. Теория колебаний. М.: Высшая школа, 1979.

73. Зубов В.И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973.

74. Иванов В.Н., Исаев И.П., Панькин Н.А., Якубовский В.К. Определение составляющих силы крипа и условий устойчивости движения колесной пары // Вестник ВНИИЖТа. 1978. N8.

75. Игнатьев А.О. Устойчивость движения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях // Матем. физика и нелин. механика. Киев: Наук. Думка. N10. С.20-25.

76. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

77. Каменков Г.В. Избранные труды: В 2 т. М.: Наука, 1971. Т.1.

78. Каневский А.Я., Рейзинь Л.Э. Построение однородных функций Ляпунова-Красовского // Дифференц. уравнения. 1973. Т.9, N2. С.251-260.

79. Катулев А.Н., Северцев Н.А. Исследование операций: принципы принятия решений и обеспечение безопасности. М.: Наука, 2000.

80. Кирин Н.Е. Методы оценивания и управления в динамических системах. СПб.: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 1993.

81. Киселев Ю.Н. Аналитическое конструирование регуляторов для нелинейных управляемых систем // Вести. Моск. ун-та. Сер.15. Вычисл. матем. и киберн. 1997. N2. С.28-31.

82. Климентов С.И., Прокопов Б.И. О синтезе асимптотически устойчивого алгоритма адаптивной системы с эталонной моделью прямым методом Ляпунова // Автоматика и телемеханика. 1974. N10. С.41-52.

83. Ковалев A.M. Частичная устойчивость и стабилизация динамических систем. // Укр. матем. журнал. 1995. Т.42, N2. С.186-193.

84. Колесников А.П. Топологические методы в теории приближений и численном анализе. М.: УРСС, 2001.

85. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

86. Корольков Е.П. К вопросу описания движения колесной пары при учете крипа // Проблемы математ. обеспечения устойчивости, стабили-зируемости и долговечности железнодорожных устройств. Межвуз. сб.научи, трудов. М.: ВЗИИТ, 1993. С.5-11.

87. Корольков Б.П. Снижение износа колес железнодорожного подвижного состава при конструктивных изменениях ходовых частей // Дисс. . докт. техн. наук. М.: МИИТ, 1997.

88. Косов А.А. Об устойчивости сложных систем по нелинейному приближению // Дифференц. уравнения. 1997. Т.ЗЗ, N10. С.1432-1434.

89. Красовский А.А. Динамика непрерывных самонастраивающихся систем. М.: Физматгиз, 1963.

90. Красовский А.А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973.

91. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

92. Красовский Н.Н. Об устойчивости движения в целом при постоянно действующих возмущениях // Прикл. математика и механика. 1954. T.XVIII. С.95-102.

93. Красовский Н.Н. Об устойчивости по первому приближению // Прикл. математика и механика. 1955. Т.19, N5. С.516-530.

94. Красовский Н.Н. Проблемы стабилизации управляемых движений // В кн.: Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. Дополнение 4. М.: Наука, 1966.

95. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1994.

96. Кузьмин П.А. Устойчивость при параметрических возмущениях // Прикл. математика и механика. 1957. Т.21, В.1. С.129-132.

97. Кулебакин B.C. Высококачественные инвариантные системы регулирования. В. кн.: Теория инвариантности и ее применение в автоматических устройствах. М.: Наука, 1959. С.11-39.

98. Кулебакин B.C. Теория инвариантности автоматических регулируемых и управляемых систем // Труды 1 Международного конгресса ИФАК. Т.1. М.: Изд-во АН СССР, 1961. С. 247-255.

99. Курцвейль Я. Об обращении второй теоремы Ляпунова об устойчивости движения // Чехосл. матем. журнал. 1956. Т.6(81), N2. С.217-259; N4. С.455-484.

100. Кухтенко А.И. Проблема инвариантности в автоматике. Киев: ГИТЛ УССР, 1963.

101. Ла Салль Ж.П., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964.

102. Летов A.M. Математическая теория процессов управления. М.: Наука, 1981.

103. Лифшиц К.И. Идентификация. Томск: Изд-во Томского ун-та, 1981.

104. Лузин Н.Н. О качественном исследовании уравнения движения поезда // Матем. сб. 1932. Т.ЗО. Вып.З.

105. Лузин Н.Н., Кузнецов П.М. К абсолютной инвариантности и инвариантности до € в теории дифференциальных уравнений. Сообщ.1 //О качественном исследовании уравнения движения поезда // Математический сборник. 1932. Т.39(2). С.6-26.

106. Лыонг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991.

107. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л., 1950.

108. Малкин И.Г. Об устойчивости при постоянно действующих возмущениях // Прикл. математика и механика. 1944. Т.8. В.З. С.241-245.

109. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.

110. Малышева И.А. Исследование асимптотических свойств некоторых классов обыкновенных дифференциальных систем прямым методом Ляпунова // Дисс. канд. физ.-мат. наук. Л.: ЛГУ, 1980.

111. Марсден Дж., Мак-Кракеи М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980.

112. Мартынюк А.А. Устойчивость движения в сложных системах. Киев: Наукова думка, 1975.

113. Мартынюк А.А., Лакшмикантам В., Лила С. Устойчивость движения: метод интегральных неравенств. Киев: Наук, думка, 1989.

114. Матвеев А.С., Якубович В.А. Оптимальные системы управления: Обыкновенные дифференциальные уравнения. Специальные задачи. СП.: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 2003.

115. Матросов В.М. К теории устойчивости // Тр. КАИ. Математика и механика. 1963. В.80. С.22-33.

116. Матросов В.М. К теории устойчивости // Тр. межвуз. конф. по прикладной теории устойчивости движения и аналит. механике. Казань, 1964. С.103-109.

117. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001.

118. Матросов В.М. Об устойчивости движения // Прикл. математика/и механика. 1962. Т.26, В.5. С.885-895.

119. Матросов В.М. Об устойчивости движения // Прикл. математика и механика. 1962. Т.26, В.6. С.992-1002.

120. Матросов В.М. Принцип сравнения с вектор-функцией Ляпунова. 1, 2 // Дифференц. уравнения. 1968. Т.4, N8. С.1374-1386; Т.4, N10. С.1739-1752.

121. Матросов В.М. Принципы сравнения с вектор-функцией Ляпунова. 3, 4 // Дифференц. уравнения. 1969. Т.5, N7.C.1171-1185; Т.5, N12. С.2129-2143.

122. Матросов В.М., Анапольский Л.Ю., Васильев С.Н. Методы сравнения в математической теории систем. Новосибирск: Наука, 1980.

123. Матросов И.В. Об оценках поведения в критических случаях теории устойчивости // Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. N6. С.745-754.

124. Матросова Н.И. Вектор-функции Ляпунова в изучении критических случаев // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1988. С.195-203.

125. Мееров М.В. Исследование и оптимизация многосвязных систем управления. М.: Наука, 1986.

126. Мееров М.В. О системах авторегулирования, устойчивых при сколь угодно большом коэффициенте усиления // Автоматика и телемеханика. 1947. Т.8, N4. С.35-39.

127. Мельников Г.И. Динамика нелинейных механических и электромеханических систем. Л.: Машиностроение, 1975.

128. Мельников Г.И. Замечание об одном уравнении движения корабля // Вестник Ленингр. ун-та. 1962. N19, В.4. С.37-39.

129. Меренков Ю.Н. Математическое моделирование и качественный анализ математических моделей динамических систем. Дисс. докт. физ,-матем. наук, 2003.

130. Меренков Ю.Н. Устойчивоподобные свойства дифференциальных включений, нечетких и стохастических дифференциальных уравнений. М.: Изд-во РУДН, 2000.

131. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости / Под ред. А.А. Воронова, В.М. Матросова. М.: Наука, 1987.

132. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л.: Гостехиздат, 1949.

133. Никифоров В.О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. СПб.: Наука, 2003.

134. Носов В.Р., Прокопов Б.И. Асимптотическая устойчивость в целом самонастраивающихся систем с эталонной моделью // Прикл. математика и механика. 1977. Т.41, В.5. С.850-859.

135. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, 1986.

136. Персидский К.П. Избранные труды: В 2-х т. Т.1: Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. Теория вероятностей. Алма-Ата, 1976 . 272 с.

137. Петров Б.Н., Рутковский В.Ю., Земляков С.Д. Адаптивное координатно-параметрическое управление нестационарными объектами. М.: Наука, 1980.

138. Петров Б.Н., Рутковский В.Ю., Крутова И.Н., Земляков С.Д. Принципы построения и проектирования самонастраивающихся систем управления. М.: Машиностроение, 1972.

139. Платонов А.В. Об устойчивости нелинейных сложных систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2004. N4. С.41-46.

140. Плисс В.А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977.

141. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1964.

142. Пуанкаре А. Ибранные труды. Т.1, 2. М.: Наука, 1971, 1972.

143. Пятницкий Е.С. О равномерной устойчивости при параметрических возмущениях // Дифференциальные уравнения. 1973. Т.9, N7. С.1262-1274.

144. Рейссиг Р., Сансоне Г., Копти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1974.

145. Романков В.В. Ограниченность, сходимость и устойчивость решений некоторых классов обыкновенных дифференциальных уравнений. Дисс. . канд. физ.-матем. наук, 1990.

146. Румянцев В.В. Об оптимальной стабилизации управляемых систем // Прикл. матем. и мех. 1970. Т.34. В.З. С.440-453.

147. Румянцев В.В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных // Вестник МГУ. Сер. Мат., механ., физ., астрон., хим., 1957. N4. С.9-16.

148. Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987.

149. Сааме О.Г., Дружинина О.В., Исакова В.Ю. Исследование прочности движения железнодорожного экипажа методом функций Ляпунова // Вопросы устойчивости, прочности и управляемости динамических систем. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 2002. С.104-111.

150. Самедова С.А. Критерий существования и единственности периодического решения уравнения у' = f{x,y) // Труды ин-та матем. и физики Азербайджанской ССР. Сер. Матем. 1953. Т.VI.

151. Смирнов Е.Я. Некоторые задачи математической теории управления. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981.

152. Соболев О.С. Методы исследования линейных многосвязных систем. М.: Энергоатомиздат, 1985.

153. Срагович В.Г. Адаптивное управление. М.: Наука, 1981. 384 с.

154. Степенко Н.А. О диссипативности неавтономных систем по нелинейному приближению // Вестник С.-Петербург, ун-та. 2004. Серия 10, Вып.3-4. С.160-169.

155. Тихонов А.А. Об оценках возмущенных движений в некоторых особых или близких к ним случаях // Вестн. Ленингр. ун-та. Математика, механика, астрономия. 1977. N1. С.106-113.

156. Тихонов А.А. Об устойчивости движения при постоянно действующих возмущениях // Вестник Ленингр. ун-та. Математика. Механика. Астрономия. 1965. N1. С.95-101.

157. Топчеев Ю.И., Потемкин В.Г., Иваненко В.Г. Системы стабилизации. М.: Машиностроение, 1974.

158. Утешев А.Ю. К вопросу существования полиномиальной функции Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1989. Т.25, N11. С.2010-2013.

159. Утешев А.Ю., Шуляк С.Г. Критерий асимптотической устойчивости системы двух дифференциальных уравнений с однородными правыми частями // Дифференц. уравнения. 1987. Т.23, N6. С.1009-1014.

160. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981.

161. Фрадков А.Л. Адаптивное управление в сложных системах. М.: Наука, 1990.

162. Хэррис К., Валенка Ж. Устойчивость динамических систем с обратной связью. М.: Мир, 1987.

163. Цурков В.И. Динамические задачи большой размерности. М.: Наука, 1988.

164. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации.1. М.: Наука, 1984.

165. Чеботарев Н.Г. Алгебраические функции. M.-JL: Гостехиздат, 1947.

166. Четаев Н.Г. Устойчивости движения. М.: Наука, 1965.

167. Чуличков А.И. Математические методы нелинейной динамики. М.: Физматлит, 2000.

168. Шестаков А.А. О степенной асимптотике неавтономной однородной и квазиоднородпой системы // Дифференц. уравнения. 1975. Т.11, N8. С.1427-1436.

169. Шестаков А.А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1990.

170. Шестаков А.А. Прямой метод Ляпунова как метод локализации функциями Ляпунова предельных множеств неавтономных динамических процессов // Функции Ляпунова и их применения. Новосибирск: Наука, 1986. С.14-48.

171. Шестаков А.А., Дружинина О.В. О качественном исследовании уравнения движения железнодорожного экипажа // Методы исследования технической устойчивости и качественных свойств систем железнодорожного транспорта. М.: РГОТУПС, 2003. С.38-44.

172. Шестаков А.А., Дружинина О.В. О свойстве решений обобщенного уравнения движения железнодорожного экипажа // Методы исследования технической устойчивости и качественных свойств систем железнодорожного транспорта. М.: РГОТУПС, 2003. С.76-78.

173. Шестаков А.А., Дружинина О.В. О совершенствовании математических моделей взаимодействия колеса и рельса // Устойчивость и качественный анализ математических моделей динамических систем транспорта. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 2005. С.60-67.

174. Шильяк Д. Децентрализованное управление сложными системами. М.: Мир, 1994.

175. Штейнберг Ш.Е. Идентификация в системах управления. М.: Энер-гоатомиздат, 1987. (Б-ка по автоматике; Вып. 668).

176. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. М.: Мир, 1982.

177. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975.

178. Эйкхофф П., Ванечек А., Савараги Е и др. Современные методы идентификации систем. М.: Мир, 1983.

179. Якубович В.А. Адаптивная стабилизация непрерывных объектов // Автоматика и телемеханика. 1988. N4. С.97-107.

180. Campos J., Torres P.J. On the structure of the set of bounded solutions on a periodic Lienard equation // Proc. Amer. Math. Soc. 1999. V.127. P.1453-1462.

181. Carter F.W. On the action of locomotive driving wheel // Proc. of Royal Soc. of London. Ser. A. 1996. V.112. P.151-157.

182. Gasch R., Mobile D., Knothe K. The effect of nonlinear oscillations in railway vehicles // Proc. of Sth IAVSD Symposium. 1983. P.655-665.

183. Gasch R., Mobile D., Knothe K. The effect of nonlinearitites on the limit cycles of railway vehicles // Proc. of Sth IAVSD Symposium. 1983. P.207-224.

184. Gieutat P. On the structure of the set of bounded solutions on an almost periodic Lienard equation // Nonlinear Analysis. 2004. V.58.P.885-898.

185. Gieutat p. On the structure of the set of bounded solutions on an almost periodic Lienard equation // Nonlinear Analysis. 2004. V.59. P.901-905.

186. Hahn W. Theorie und anwendung der direkton methode von Liapunov. Berlin: Springer-Verlag, 1959.

187. Hahn W. Uber stabilitatserhaltende Abbildungen und Ljapunovsche Funktionen // J. Angew. Math. 228 (1967). P.189-192.

188. Ikeda M., Siljak D.D. Generalized decomposition of dynamic systems and vector Lyapunov functions // JEEE Trans. Autom. Control. 1981. AC -26, N5, P.l 118-1125.

189. Ikeda M., Siljak D.D. Overlapping decompositions, expansions and contractions of dynamic systems // Large Scale Systems. 1980. N.l. P.29-38.

190. Lianard A. Etude oscillations autoentretenues // Rev. Gen. Eles. 1928. V.23. P.901-902, 946-954.

191. Massera J.L. The existence of periodic solution of systems of differential equations // Duke Math. J. 1950. V.17. P.457-475.

192. Matsudaira T. Hunting problem of high-speed railway venicle with special reference to bogie design for the new Tokaido line. Interaction between venicle and truck // Proc. Inst. Mech. Eng. London. 1966. V.180. Part 3F. P.58-66.

193. Michel A.N., Molchanov A.P. Partial stability and boundedness of discontinuous dynamical system // Nonlin. Stud. 2002. V.9. N3. P.225-247.

194. Michel A.N., Molchanov A.P., Sun Y. Partial stability and boundedness of general dynamical systems on metric spaces // Nonlinear Analysis. 2003. V.52. P.1295-1316.

195. Michel A.N., Wang К., Ни B. Qualitative Analysis of Dynamical Systems, and Edition, Marcel Dekker, Neq York, 2001.

196. Miki K., Masamichi A., Shoichi S. On the partial total stability and partially total boundedness of a system of ordinary differential equations // Res. Rept. Akita. Coll. 1985. V.20. P.105-109.

197. Moelle D., Gasch R. Nonlinear bogie hunting // Proc. of zth LAVSD Symposium. 1981. P.455-467.

198. Muldowney J.S. Discontinuous energy functions // Lecture Notes in Math. 1971. V.243. P.281-283.

199. Narendra K., Kudva P. Stable Adaptive Schemes for System Identification and Control. I, II. // JEEE Trans. SMC. 1974. V.SMC-4, N6, P.542-560.

200. Narendra K., Valavani L. Stable Adaptive Controller Design Direct Control // JEEE Trans. Automat. Contr. 1978. V.AC 23, N4, P.570-583.

201. Perron O. Die Stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen // Math. Z. 1930. Bd.32. N2. P.279-292.

202. Renshaw A.A., Mote Jr C.D. Local stability of gyroscopic systems vanishing eigenvalues // ASME. J. Appl. Mech. 1998. V.63. P.116-120.

203. Sabatini M. Lienard limit cycles enclosing period annuli, or enclosed by period annuli // Rocky Mountain J. of Math. 2005. V.35. N1. P.253-266.

204. Sell G.R. Boundedness of solutions of ordinary differential equations and Lyapunov functions // J. Math. Anal. Appl. 1964. V.9. P.477-490.

205. Sell G.R. Stability theory and Lyapunov second method // Arch. Rat. Mech. Anal. 1963. V.14. P.108-126.

206. Siljak D.D. Large-scale Dynamical Systems: Stability and Structure. North-Holland, New York, 1978.

207. True H., Kaas-Petersen C. A bifurcation analysis of nonlinear oscillations in railway venicles // Proc. of sth IAVSD Symposium. 1983. P.655-665.

208. Wickens A.H. Non-linear dynamics of railway venicles // Venicle System Dynamics. 1986. V.15. P.289-301.

209. Wickens A.H. Steering and dynamic stability of railway venicles //

210. Venicle System Dynamics. 1975. V.4. P. 15-46.

211. Yorke J.A. Extending Lyapunovs second method to non-lipschitz Lya-punov function // Lecture Notes in Math. New York: Springer-Verlag, 1968. V.60. P.31-36.

212. Yoshizawa T. Liapunov function and boundedness of solutions // Func. Ekvac. 1959. V.2. P.95-142.

213. Yoshizawa T. Stability theory and existence of periodic solutions and almost periodic solutions. New York Heidelberg - Berlin, 1975. 224 p.

214. Yoshizawa T. Stability theory by Lyapunov's second method. Tokio: Math. Soc. Japan, 1966.