Методы анализа и синтеза систем управления объектами с ограничителями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор технических наук Руднев, Сергей Александрович

• Руднев, Сергей Александрович
• доктор технических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор технических наук Руднев, Сергей Александрович

упор

1.6. Частотный анализ систем с ограничителями

1.7. Анализ пропорционального пневмопривода

1.8. Выводы

2. ФА36ВЫЙ ГОДОГРАФ РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМ С

ОГРАНИЧИТЕЛЯМИ В ОБЪЕКТЕ УПРАВЛЕНИЯ

2.1. Фазовый годограф релейных систем с ограничителями в объекте управления

2.2. Существование фазового годографа

2.3. Аналитические способы построения фазового годографа

2.4. Алгоритмы численного построения фазового годографа

2.5. Выводы

3. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ И СИНТЕЗ РЕЛЕЙНЫХ

СИСТЕМ С ОГРАНИЧИТЕЛЯМИ

3.1. Устойчивость автоколебаний релейных систем

3.2. Необходимые условия устойчивости автоколебаний

3.3. Линеаризация релейной системы по медленно меняющейся составляющей

3.4. Вынужденные колебания релейных систем с ограничителем

в объекте управления

3.5. Устойчивость вынужденных движений релейных систем с нелинейным объектом управления

3.6. Линеаризация релейных систем вынужденными колебаниями

3.7. Синтез релейных систем

3.8. Выводы

4. СИНТЕЗ МАЛОИНЕРЦИОННОГО РЕЛЕЙНОГО РУЛЕВОГО ПРИВОДА

4.1. Задача синтеза релейного рулевого привода

4.2. Фазовый годограф релейного привода

4.3. Выбор корректирующих устройств

4.4. Оптимизация параметров релейной ГССУ

4.5. Анализ синтезированного рулевого привода

4.6. Выводы

5. СИНТЕЗ ДВУХКАСКАДНОГО ГАЗОВОГО РУЛЕВОГО

ПРИВОДА БОЛЬШОЙ МОЩНОСТИ

5.1. Математическая модель релейной двухкаскадной

ГССУ

5.2. Постановка задачи синтеза релейной ГССУ

5.3. Построение фазового годографа системы

5.4. Математическая модель ГССУ для оценки точности слежения

5.5. Алгоритм синтеза релейной ГССУ. Результаты синтеза

5.6. Исследование динамики синтезированной ГССУ

5.7. Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ.

В задачах автоматического управления часто возникает необходимость учета ограничений на переменные состояния. В теории управления наличие таких ограничений обычно учитывают в рамках одного из двух следующих подходов. Ограничения могут рассматриваться как некоторые условия, выполнение которых не гарантируется физическими свойствами объекта и должно обеспечиваться надлежащим выбором управления. То есть предполагается, что выход за эти ограничения возможен, но по тем или иным причинам нежелателен. Такой подход используется, в частности, в теории оптимального управления.

Во втором случае ограничения на переменные состояния учитываются посредством введения нелинейных статических характеристик с насыщением. При этом в модели объекта ограничения накладываются не на вектор переменных состояния, а на вектор их производных, ограниченными оказываются входные сигналы отдельных звеньев системы. Выход же переменных состояния за пределы, ограниченные статическими нелинейностями, в принципе, возможен.

Наряду с этим возможна ситуация, когда из-за конструктивных особенностей или физических свойств объекта управления выход переменных состояния за некоторые пределы принципиально невозможен. Звено, выходная переменная которого обладает таким свойством, называют звеном с ограничителем (ЗО).

Наличие таких звеньев характерно для многих технических объектов. В частности, звенья с механическими упорами присутствуют во всех газовых и гидравлических системах управления. Аналогичными динамическими особенностями обладают различные электрические схемы с отсечками токов и напряжений, пневмо и гидроэлементы с предохранительными клапанами и т.п.

Обширный и важный класс автоматических систем с ограничителями в объекте управления образуют газовые и гидравлические следящие приводы. В приводах данного класса наиболее широко используются релейные законы управления, что объясняется простотой производства и эксплуатации релейных систем, а также возможностью получения высоких динамических характеристик при малых габаритах и весах управляющих устройств. Наряду с релейными в таких системах находят применение линейные законы управления, обладающие рядом положительных свойств.

Наличие ограничителей осложняет решение задач анализа и синтеза таких приводов, так как существенно нелинейным оказывается сам объект управления. Это ограничивает применение таких известных методов исследования релейных систем как метод гармонической линеаризации и метод Я.З. Цыпкина. Аналогичная ситуация имеет место и для следящих приводов с линейными законами управления. Исследование их устойчивости и качества с помощью имеющихся методов теории управления оказывается невозможным или крайне трудоемким.

К приводам указанного класса предъявляются очень высокие требования по точности слежения, приближающиеся к предельным динамическим возможностям данных систем. Это приводит к необходимости использования при синтезе методов оптимизации. Наиболее целесообразным является применение методов конечномерной оптимизации, что позволяет удовлетворить предъявляемые к системе требования без усложнения или при минимальном усложнении ее структуры.

Анализ литературы, посвященной вопросам динамики нелинейных САУ, а также методам проектирования следящих приводов, показал, что в современной теории автоматического управления практически отсутствуют методы анализа и синтеза систем управле-

ния объектами с ограничителями. В инженерной практике при разработке таких систем учет ограничителей производится с помощью приближенных моделей. Поэтому полученные результаты нуждаются в уточнении средствами моделирования и экспериментальными исследованиями, что усложняет процесс проектирования и увеличивает его длительность. Из сказанного следует актуальность разработки методов исследования систем управления объектами с ограничителями.

Настоящая диссертация посвящена разработке прикладных методов анализа, синтеза и оптимизации систем управления объектами с ограничителями. Необходимость разработки указанных методов возникла при решении ряда задач синтеза высокоточных следящих приводов. Однако рассматриваемые в работе теоретические проблемы характерны не только для данных систем. Они являются общими и весьма актуальны для современной теории нелинейных систем автоматического управления.

В теоретическом плане данная работа является частью комплексных исследований по проблеме "Теория машин и систем машин", проводимых на кафедре САУ ТулГУ в 1972-1980 годах согласно Координационному плану АН СССР (код 1.20, тема 1.11.1.5.1), а также исследований по программе "Университеты России" 1993-1997гг. (раздел "Фундаментальные исследования в технических университетах, подраздел 2.4 "Управление в технических системах", тема 04-11ТУ) и гранту Минобразования РФ в области теории автоматического управления 1995-1997гг. "Релейные системы с нелинейными объектами управления". Практическое использование результатов данной работы осуществлялось в рамках ряда отраслевых НИР, проводимых КБП и ГНПП "Сплав" г. Тулы, КБМ г. Коломны с участием автора.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы анализа и синтеза систем управления объектами с ограничителями»

ВВЕДЕНИЕ.

В1. Ограничители в системах автоматического управления.

Необходимость учета ограничителей возникает при исследовании многих технических объектов. К ним относятся, прежде всего, объекты с механическими ограничителями, отличительной особенностью которых является наличие ударных взаимодействий. Устройства, работа которых сопровождается ударными взаимодействиями, получили широкое распространение в различных областях техники. Это часовые механизмы, различные строительные и горные машины, вибротранспоршровочные устройства и т. п. Наличие звеньев с ударными взаимодействиями характерно для многих автоматических систем. В частности, звенья с механическими упорами входят в состав управляющих устройств газовых и гидравлических следящих приводов. При этом для ряда систем (пропорциональные приводы) принято считать ударные взаимодействия нежелательными, в других случаях (релейные автоколебательные системы, системы с внешним линеаризующим воздействием) удары об упоры являются неотъемлемой частью рабочих процессов.

В подавляющем большинстве случаев сам процесс удара рассматривается как мгновенное действие, затрагивающее некоторые переменные состояния системы при неизменных остальных координатах. Для описания ударного взаимодействия применяется концепция Ньютона, использующая коэффициент пропорциональности между скоростями движущихся тел до и после удара.

Объекты, содержащие ограничители, представляют собой существенно нелинейные системы специфического вида. В пространстве состояний системы можно выделить области, движения в которых описываются различными дифференциальными уравнениями. При переходе из одной области в другую фазовая траектория может оставаться непрерывной (ограничители типа насыщение) или претерпевать разрыв (ограничители типа механический упор). Таким образом, системы с ограничителями описываются диффе-

ренциадьными уравнениями с разрывными правыми частями, причем разрывными могут быть и фазовые траектории.

Системы с ударными взаимодействиями изучаются теорией колебаний, теорией виброударных и виброзащитных систем. Их исследованию посвящено большое число работ (см., в частности, библиографию книг [7,22,32,82,83,124,184,202 ]). Значительные результаты в этой области получены Ю.И. Неймарком [124], В.И. Бабицким [7], М.З. Коловским [83], Я.Г. Пановко [128,129], И.И. Блехманом [24] и др. Исследованию конкретных систем посвящены многочисленные статьи [6,9,54,70,203] (ввиду значительного количества таких работ здесь отмечены лишь некоторые из них). Следует упомянуть также работы НА Железцова, Е.Ф. Мищенко, АС. Понтряшна по теории разрывных колебаний. Основные результаты этих исследований изложены в [119].

В теории колебаний при исследовании систем с соударениями основное внимание уделяется определению условий возникновения периодических колебаний различных типов [8,11], разработке методик расчета периодических режимов [10,54,69,203] и получению режимов с заданными параметрами [70,71], исследованию бифуркаций движений [202] и та При этом используются как точные, так и приближенные методы [47,63,124].

Задачи исследования систем с ограничителями, рассматриваемые в теории колебаний, имеют свою специфику. В большинстве случаев изучаются вынужденные или параметрические колебания разомкнутых механических систем. Наибольший интерес представляет определение амплитуды этих колебаний. В конкретных задачах при применении точных методов используются математические модели невысокого (2, 3-го) порядка. Повышение порядка объекта, несмотря на принципиальную возможность использования точных методов, делает задачу исследования периодических режимов крайне громоздкой и труднообозримой. Например, в [203] исследование колебаний объекта 4-го порядка методом точечных отображений приводит к необходимости решения системы 19 уравнений с 19 неизвестными, что вряд ли

возможно при проведении синтеза, связанного с рассмотрением большого числа вариантов. Относительно возможности использования приближенных методов можно с некоторыми оговорками сослаться на мнение Ю.И. Ней-марка, отмечавшего, что "...особенности динамики систем с ударными взаимодействиями делают малопригодными применение к их изучению известных методов типа гармонической линеаризации, малого параметра и усреднения" ([124], стр.258). Оговорки касаются гармонической линеаризации звеньев с ограничителями, возможность которой рассматривается в п. 1.6.

Задачи исследования систем автоматического управления по своему содержанию, как правило, отличаются от задач теории колебаний. В них рассматриваются замкнутые системы высокого порядка, имеющие помимо ограничителей и другие нелинейности. Получение периодических движений с задаш ^ ей параметрами при этом является лишь необходимым, но не достаточным условием удовлетворения предъявляемых к системе требований. Кроме того, имеется ряд задач, например, задачи синтеза высокоточных автоколебательных следящих систем, которые, несмотря на наличие ограничителей в объекте управления, вообще не входят в круг интересов теории колебаний. Таким образом, при исследовании САУ с ограничителями известные методы теории колебаний оказываются недостаточными.

В теории управления значительное внимание было уделено так называемым разрывным системам [38,101,142]. В общем случае к ним относятся системы [38], в которых координаты или их производные имеют разрывы. Общей теории таких систем посвящена работа [1], в которой предложено определение решения разрывных уравнений и изучены его свойства. Однако инженерные приложения в ней не рассматриваются. Следует сказать, что при разработке прикладных методов исследования понятие разрывных систем оказывается чрезмерно широким. К ним относятся, в частности, релейные системы, системы с переменной структурой и многие другие. Для исследования каждого из вышеперечисленных классов разработаны свои методы, учитывающие особенности принадлежащих ему САУ. Так существует собст-

венная теория релейных систем, теория систем с переменной структурой, значительное число работ посвящено системам с сухим трением, системам с люфтом в объекте управления и другими разрывными нелинейностями.

Системы с ограничителями в этом плане занимают особое место. В теории управления они практически остались вне поля зрения исследователей. При учете офаничений на фазовые координаты в подавляющем большинстве работ выход переменных за указанные пределы рассматривается как нежелательная, аварийная, но принципиально возможная ситуация [78,95]. Исключение составляют работы В А Троицкого [185], Н.В. Фалдина [188,189] и некоторых других авторов по теории оптимального управления и работы AJB. Нетушила [21,126,127], посвященные анализу систем с введенной им нелинейностью, названной нелинейностью типа упор (подробнее об этом см. п 1.1.). Встречающиеся в литературе по теории управления математические модели звеньев с ограничителями используются лишь при моделировании САУ [89,150,180].

Наличие ограничителей в системе управления существенно влияет на ее динамические свойства. Представление ограничителя безынерционным звеном типа насыщение приводит к значительным погрешностям при решении задач анализа и синтеза САУ, поэтому такая замена представляется малоперспективной. Однако существующие в теории автоматического управления методы исследования нелинейных систем, в основном, предполагают наличие только статических нелинейностей и их невозможно непосредственно применить к системам с ограничителями. Далее, оказывается, что, несмотря на значительное количество работ, посвященным системам с ударными взаимодействиями, полученные результаты имеют ограниченное применение к системам управления объектами с ограничителями и не позволяют решить ряд задач, возникающих при их исследовании. Таким образом, возникает необходимость разработки прикладных методов анализа и синтеза САУ , позволяющих решать задачи оценки устойчивости, контроля параметров периодических движений, определения динамических характеристик по

полезному сигналу, синтеза высокоточных автоколебательных систем с учетом ограничителей в объекте управления.

В2. Задачи динамики газовых приводов.

Гидравлические и газовые (пневматические) приводы нашли широкое применение в качестве исполнительных устройств следящих систем, систем управления летательными аппаратами, роботов и манипуляторов различного назначения. Теория пневматических и газовых приводов рассматривалась в работах В.Н. Ча\омея, Г.В. Крейнина, Е.В. Герц, Б.М. Подчуфарова, С.В. Костина, Е.Е. Шорникова и других авторов.

Построению математических моделей газовых силовых систем управления (ГССУ) посвящены работы Б.М. Подчуфарова [139,140], Е.Е. Шорникова [217-220], В.И. Чекмазова [213,214]. Однако в этих моделях наибольшее внимание уделено исследованию нелинейностей, обусловленных термодинамическими процессами, а также традиционных нелинейностей, таких, как звено со статическим насыщением, сухое трение, релейные характеристики различного вида. Учет ограничителей в этих моделях осуществляется с помощью релейных или нелинейных статических характеристик. Заметим, что такая ситуация вообще характерна для работ, посвященных динамике и методам автоматизированного проектирования нелинейных сервомеханизмов (см. например [27,44,45,75,116,117]). В них предполагается, что в исходной системе возможно выделить линейную и нелинейную части, причем последняя является безынерционной характеристикой (релейный элемент, сухое трение, люфт). Имеются лишь отдельные работы [89,150,180], использующие математические модели динамических звеньев, близкие к моделям звеньев с ограничителем, рассматриваемым в теории колебаний. Однако авторы этих работ ограничиваются решением задач моделирования и не рассматривают вопросы формирования законов управления.

Задачи анализа и синтеза газовых силовых систем управления рассматривались в работах Е.Е. Шорникова, В.И. Бабичева и др. авторов. Е.Е.

Шорниковым значительное внимание уделено вопросам проектирования релейных газовых приводов и их элементов [218,219]. Им предложены алгоритм и принципы проектирования приводов [217], позволяющие формализовать и автоматизировать синтез релейных ГССУ.

В.И. Бабичев провел исследование релейного автоколебательного пневмопривода с помощью метода гармонической линеаризации [12,14] и точным методом Я.З. Цыпкина [13]. Им разработана методика синтеза релейных ГССУ с логическими законами управления, реализуемыми с помощью двух релейных элементов и линейных корректирующих устройств. АТ. Лаптевым разработаны методы проектирования, анализа и синтеза ГССУ с пропорциональным управлением [84,102,103].

В развитии динамической теории исполнительных устройств и приводов бортовых систем управления, а также в решении ряда практических задач важное место принадлежит работам сотрудников каф.702 Московского Государственного авиационного института (технического университета) Л.В. Рабиновича, Б.И. Петрова, В.Г. Стеблецова, В А Полковникова и др. [88,132,138,151,172,179].

В ГССУ наличие ограничителей оказывает существенное влияние на динамику газораспределительного устройства. Во всех перечисленных выше работах при синтезе следящих приводов ограничители либо не учитываются, т. е. проектирование ведется, исходя из предположения о функционировании элемента в линейной зоне, либо они описываются с помощью нелинейного статического звена типа насыщение [52,151]. В принципе, такое описание может оказаться удовлетворительным, если управляющее устройство, в котором присутствует ЗО, является значительно более быстродействующим по сравнению с силовыми элементами системы. Однако в настоящее время имеются ГССУ, у которых быстродействие управляющих и силовых элементов представляют собой величины одного порядка. Кроме того, неучет ограничителей существенно сказывается при исследовании динамики систем с многокаскадным газораспределением. В таких системах погрешности, возни-

каюгцие при рассмотрении отдельных каскадов, могут накапливаться и, в итоге, существенно исказить динамические характеристики ГССУ в целом. В частности, проведенное автором исследование релейных автоколебательных контуров показало, что использование в математических моделях ЗО нелинейной статической характеристики типа насыщение может существенно (в 2-3 раза) исказить значения параметров автоколебаний. При этом, естественно, искажаются и динамические характеристики системы по полезному сигналу. Заметим, что кроме количественных расхождений упрощенный учет ограничителей приводит к неточностям качественного характера. Наличие звена с ограничителем приводит к неоднозначности поведения системы, выражающейся в возможности существования различных периодических движений одной частоты. При нахождении частоты автоколебаний или частоты полезного гармонического сигнала в зоне неоднозначности возможно возникновение значительных отклонений от расчетного режима работы ГССУ. Из сказанного следует актуальность разработки методов анализа и синтеза ГССУ с учетом ограничителей в объекте управления.

Рассмотрим задачи, возникающие в ходе анализа и синтеза ГССУ с пропорциональным и релейным управлением. Традиционно [52,88,217] динамические свойства газовых приводов оцениваются с помощью частотных характеристик. Обычно требуется, чтобы в диапазоне частот полезного сигнала О < со < со т ФЧХ привода по первой гармонике ф(со) удовлетворяла соотношению

ф(©)>Фэ(со), (В1)

где фэ(со) - ФЧХ некоторого эталонного звена 1-го или 2-го порядка. Требования, предъявляемые к АЧХ системы Н(со), можно задать в следующем виде

Я(со)>ЯтШ при 0<© <<от,

(В2)

#(©)<Нтах при 0 < со < со.

Второе из условий (В2) может распадаться на два. В этом случае одно из условий относится к диапазону частот полезного сигнала, а другое - к диапазону (сол,, со). В дальнейшем ограничимся условием (В2).

Условия (В1), (В2) должны выполнятся при любых возможных значениях внешних нагрузок, действующих на привод. К таким нагрузкам относятся приведенная сила сухого трения и приведенное усилие шарнирной нагрузки. Эти величины зависят от ряда факторов [104] и изменяются в процессе работы. Однако эти изменения по сравнению с процессами, протекающими в ГССУ, происходят довольно медленно, что позволяет применить при исследовании привода метод замороженных коэффициентов, т. е. считать, что указанные требования достаточно выполнить при любом постоянном значении внешней нагрузки из некоторого заранее известного диапазона.

Помимо выполнения ус\овий (В1), (В2) для пропорционального привода должно быть устойчиво в целом нулевое положение равновесия. Для релейной автоколебательной ГССУ кроме (В1), (В2) должны выполняться ограничения, накладываемые на частоту соа или амплитуду А автоколебаний. Они имеют вид

со! < со а < со 2 (ВЗ)

или

Л<Ат. (В4)

Из двух приведенных условий проще использовать (ВЗ). Условие (В4) задает минимальную частоту автоколебаний со х. Верхняя граница со 2 определяется из условия нормального функционирования элементов ГССУ. Автоколебания, существующие в системе, должны быть орбитально асимптотически устойчивы в целом.

Из соображений практической реализации коррекция системы должна быть, по возможности, простой. В ее состав входят линейные корректирующие устройства (ЛКУ), в цепи местной обратной связи, а также, при необходимости, последовательные ЛКУ. Определение структуры и параметров

коррекции составляет содержание задачи синтеза.

Таким образом, при исследовании динамики газовых приводов возникают задачи оценки устойчивости протекающих в них процессов, определения показателей качества, исследования высокочастотных периодических колебаний релейных систем, а также задача синтеза ГССУ. При учете ограничителей в математической модели привода аналитические методы решения этих задач отсутствуют. В настоящей работе сделана попытка восполнить этот пробел При этом перечисленные задачи сначала рассматриваются для динамических объектов общего вида, после чего на основе полученных результатов строятся методики исследования газовых силовых систем управления.

ВЗ. Синтез релейных систем.

Одной из перечисленных выше задач является разработка метода синтеза релейных систем с ограничителем в объекте управления. Рассмотрим известные методы анализа и синтеза релейных систем.

Исследованию релейных систем автоматического управления посвящено большое число работ. В подавляющем большинстве случаев в них рассматриваются системы с линейным объектом управления, так что релейный элемент является единственной нелинейностью замкнутого контура. Значительный вклад в теорию релейных систем внесли АА Андронов, Я.З. Цып-кин, Г.С. Поспелов, Ю.И. Неймарк, АИ. Лурье, П.В. Бромберг, АА Фельдба-ум, В.В. Петров, АС. Гольдфарб, Е.П. Попов, Ю.В. Долголенко, В.В. Казакевич, Б. Гамель, И. Флюге-Лотц, К. Фазол Ж. Жиль, Ж. Паке и многие другие.

Основополагающей для теории нелинейных систем явилась книга АА Андронова, АА Витга, С.Э. Хайкина [5]. Интенсивное развитие точных методов исследования релейных систем началось с работ АИ. Лурье [110-112]. В них на основе введенной АИ. Лурье канонической формы уравнений объекта были предложены точные методы определения параметров автоколебаний и оценки их устойчивости.

В дальнейшем эти задачи с использованием различных подходов рассматривали ЯЗ. Цыпкин, Б. Гамель, Ю.И. Неймарк, П.В. Бромберг и др. Так результаты Ю.И. Неймарка [121-123] базируются на применении метода точечных отображений. Дальнейшему развитию этого метода применительно к релейным системам посвящены работы Э.В. Гаушуса, В.В. Петрова и др. Э. В. Гаушусом с соавторами методом точечных отображений исследованы сложные периодические движения релейных систем 2-4-го порядков [19,20,42,43]. Большинство решаемых в этих работах задач связано с конкретным прикладным направлением - автоматическим управлением космическими ДА. Применение релейных законов для управления движением летательных аппаратов рассмотрено также в работах [31,68]. Интересный метод исследования релейных систем высокого порядка на фазовой плоскости предложен В.В. Петровым, АА Гордеевым, БА Марчуковым [133-136]. Применение многолисгной фазовой плоскости позволило авторам детально проанализировать процессы, протекающие в релейных сервомеханизмах. Исследованию релейных систем на фазовой плоскости и в фазовом пространстве посвящены также работы [2,72,149,204,205,208].

П.В. Бромбергом для исследования автоколебаний в релейных системах применен аппарат матричного исчисления [28,29]. Б. Гамель для определения параметров автоколебаний использовал специальную характеристику на комплексной плоскости [186,228]. Из других точных методов исследования релейных систем можно выделить метод припасовывания [53,112] и метод интегральных уравнений [160,161]. С.В. Шильманом для определения параметров периодических движений нелинейных систем предложен метод производящих функций комплексного переменного [215,216].

Их точных методов исследования автоколебаний и вынужденных движений релейных систем следует особо выделить метод разработанный Я.З. Цыпкиным [210,211]. Основанный на понятии годографа релейной системы метод исследования автоколебаний оказался достаточно простым, наглядным и удобным для применения в инженерных расчетах. Высокая попу-

лярностъ метода обусловила появление значительного числа работ, посвященных его развитию и применению для решения конкретных задач (см., например [59,64,85,176,182]).

Высокочастотный автоколебательный режим осуществляет линеаризацию нелинейных элементов по отношению к медленно меняющемуся полезному сигналу. Явление линеаризации релейного элемента дополнительным внешним воздействием или автоколебаниями рассмотрено в работах ряда авторов. Наиболее полные результаты в этом направлении получены Г.С. Поспеловым. В работах [146-148] для оценки качества и точности релейных систем по медленно меняющемуся сигналу используются линейные конечно-разностные уравнения, определяющие отклонение автоколебательного процесса от своего невозмущенного значения. Кроме того, Г.С. Поспеловым разработан точный (с учетом высших гармоник) метод линеаризации релейного элемента по средним за период колебаний значениям входной и выходной переменных реле [146].

Большое практическое значение имеют приближенные методы исследования релейных систем. Здесь в первую очередь следует назвать метод гармонической линеаризации Н.Н. Крылова и Н.Н. Боголюбова [97,98]. Существенный вклад в его развитие внес АС. Гольдфарб [46]. Следует отметить также работы Е.П. Попова и И.П. Пальтова [145] и Е.П. Попова [143,144], в которых метод гармонической линеаризации обобщен, развит и применен для решения различных задач теории автоматического управления.

В настоящее время развитие теории релейных систем, в основном, осуществляется в рамках развития общей теории нелинейных САУ. Однако изданная в нашей стране и за рубежом за последние два десятилетия литература посвящена, главным образом, общим вопросам качественной теории динамических систем (см., например [60-62]). Безусловно, такие исследования важны и необходимы, тем не менее, с точки зрения автора, потенциал "классической" теории релейных систем еще далеко не исчерпан и существует ряд важных прикладных задач, требующих дальнейшего ее развития.

Все перечисленные выше точные методы исследования релейных систем хорошо приспособлены только для решения задач анализа. Их непосредственное использование для синтеза релейных систем наталкивается на серьезные вычислительные трудности, перерастающие в затруднения принципиального характера. Так метод точечных отображений может эффективно применяться лишь для систем невысокого (не выше третьего) порядков, а применение методов Я.З. Цыпкина, Г.С. Поспелова, А.И. Лурье, Б. Гамеля возможно только в случае линейного объекта управления.

Метод гармонической линеаризации также ориентирован на решение задач анализа. В силу своей простоты и наглядности он находит широкое применение и для синтеза релейных систем. Следует, однако, иметь в виду, что возможности метода гармонической линеаризации весьма ограничены. Теоретически, обоснованное применение метода предполагает, что справедлива гипотеза фильтра [143], которая на практике часто не выполняется. Метод гармонической линеаризации оказывается крайне трудоемким в случае нелинейного объекта управления.

Для решения задач синтеза ра\ейных систем был предложен метод фазового годографа [164,194]. Метод использует специальную характеристику системы - фазовый годограф (ФГ), представляющий собой линию (одномерное многообразие) в фазовом пространстве и определяющий колебательные свойства объекта. Он ориентирован на применение ЭВМ и может быть использован как для линейного объекта, так и для объекта со статическими нелинейностями. В рамках метода фазового годографа выполнены исследования по существованию ФГ [166], способам его построения [3,4,39,190], определению параметров [23,163] и оценке устойчивости периодических режимов [165,192,201], линеаризации релейной системы по медленной составляющей [168,191]. Опьгг его применения для решения конкретных задач [159,162] позволяет говорить о высокой эффективности метода. Однако на системы с ограничителями данный метод также не распространяется.

Подводя итог, можно утверждать, что все рассмотренные выше мето-

ды не позволяют сформировать эффективную процедуру синтеза релейных систем с ограничителем в объекте управления. Имеется в виду процедура, при которой задача синтеза может быть поставлена как некоторая задача нелинейного программирования, решение которой укладывается в приемлемые для проектировщика сроки и позволяет выполнить всю совокупность требований, предъявляемых к динамике системы. Из сказанного следует актуальность разработки специального метода синтеза релейных систем с ограничителем в объекте управления. В диссертации разработан такой метод синтеза [57,58,153,173,187,198,199,200]. Он представляет собой развитие метода фазового годографа применительно к системам с ограничителем в объекте управления. Метод является точным и позволяет учесть все существенные особенности динамики объектов с ограничителями. Изложению метода посвящены 2 и 3 разделы настоящей работы.

В4. Исследование устойчивости и качества нелинейных

систем управления.

Актуальной задачей исследования САУ с линейными законами управления является оценка их устойчивости и качества. Рассмотрим основные полученные к настоящему времени результаты, имея в виду возможность их применения к системам с ограничиталями.

При исследовании устойчивости положения равновесия основной интерес представляет устойчивость в целом ( устойчивость в малом обеспечивается устойчивостью линейной системы, соответствующей движению в открытом ядре). Строгое исследование устойчивости в большом и целом позволяет провести прямой метод Ляпунова, развитию и применению которого посвящен ряд значительных монографий [16,96,106,171]. Проблема существования функций Ляпунова рассматривалась Н.Н. Красовским [96], И.Г. Маркиным [115], ЕА Барбашиным [16] и другими. ЕА Барбашиным и Н.Н. Красовским [17] получены достаточные условия устойчивости в целом. Прямой метод Ляпунова применялся для решения задач устойчивости по части пере-

менных, определения устойчивости по постоянно действующим возмущениям, построения областей притяжения, решения задач стабилизации и построения систем с заданными показателями качества. Построение функций Ляпунова для различных нелинейных систем рассмотрено в работах [26,77,114,209]. Большой интерес для расширения прикладных возможностей прямого метода Ляпунова представляет работа АТ. Груйича [48], в которой методология построения функций Ляпунова для линейных систем распространяется на нелинейные стационарные САУ.

Среди работ, посвященных прямому методу Ляпунова, следует выделить работы Е.С. Пятницкого с соавторами [55,79,156], в которых предлагаются численные способы построения функций Ляпунова. В теории колебаний исследование устойчивости механических систем с помощью прямого методу Ляпунова рассмотрено в работах [ 113,118].

С прямым методом Ляпунова непосредственно связана теория абсолютной устойчивости. Определяющие результаты этой теории получены АИ. Лурье и В.Н. Постниковым, В.М. Поповым, В А Якубовичем [224-226], Е.С. Пятницким [120,155]. В настоящее время в рамках частотного метода получены результаты по абсолютной устойчивости систем с нестационарными, разрывными и гистерезисными нелинейностями [224], системами с векторными не-линейностями [225]. Результаты работ по теории абсолютной устойчивости отражены в обзорах [37,108,154]. Имеется также отдельный обзор [15], посвященный частотной теореме (лемме Якубовича-Калмана) в теории управления. В последнее время продолжались работы по уточнению частотных и алгебраических условий абсолютной устойчивости для систем с одной и несколькими нелинейностями. Здесь можно указать работы АИ. Баркина, АА Зеленцовского [18,66], В А Каменецкого [76,77], М.Р. Либерзона [107,109], И.Б. Юнгера [222,223]. Однако, все эти результаты относятся к системам со статическими нелинейностями и не могут быть непосредственно применены к САУ с ограничителями. Отдельные работы, в которых при исследовании устойчивости используются усложненные модели технических

элементов (см., например, [30]), также не решают проблему устойчивости систем с ограничителями.

Под качеством управления будем понимать качество воспроизведения системой входных сигналов. Наиболее точные оценки получаются в результате моделирования системы. Однако в задачах синтеза, связанных с рассмотрением большого числа вариантов, такой подход является слишком сложным. На начальных этапах проектирования систем управления следует использовать способы, позволяющие находить зависимости, связывающие структуру и параметры системы с показателями качества, без нахождения в явном виде процессов управления.

Существует группа точных методов исследования нелинейных систем. Это метод припасовывания, методы фазовой плоскости и фазового пространства, метод точечных отображении. Все они сыграли большую роль в теории автоматического регулирования и до сих пор остаются в ее арсенале. Однако можно отметить их ограниченность и те серьезные затруднения, с которыми связано их применение. В частности, в приложении к системам, более сложным, чем релейные САУ с линейным объектом, они оказываются слишком громоздкими и практически неработоспособными, так как полученные с их помощью результаты с трудом могут быть проанализированы.

При определении показателей качества наибольшее распространение получил метод гармонической линеаризации. Он применяется для исследования систем высокой размерности и позволяет учитывать многие явления, возникающие в нелинейных системах. Для повышения точности метода можно учитывать влияние высших гармоник.

Метод гармонической линеаризации широко распространен в инженерной практике. Он используется для определения параметров высокочастотных периодических движений, с его помощью строятся линеаризованные модели систем по медленно меняющемуся сигналу, выполняется синтез законов управления и тд. Однако, применение его д\я исследования систем с ограничителем осложняется отсутствием достаточно точных способов гармо-

нической линеаризации звеньев с ограничителями. Следует отметить, что существуют работы, посвященные применению гармонической линеаризации для исследования виброударных систем [10,11], но использование полученных в них результатов для исследования САУ с ограничителями приводит к значительным ошибкам. Дало в том, что предложенная в этих работах гармоническая линеаризация звена с ударными взаимодействиями используется только для получения условий существования и определения амплитуды периодических колебаний в разомкнутой механической системе. Точность определения амплитуд при этом оказьюается удовлетворительной, но лишь потому, что диапазон их возможных значений вообще достаточно узок. Точность же определения фазовых сдвигов, что важно для замкнутых автоматических систем, оказывается явно неудовлетворительной.

Таким образом, имеющиеся методы оценки устойчивости и качества процессов в нелинейных системах не могут быть непосредственно применены к системам с ограничителями. Задача разработки таких методов решается в первом разделе д иссертации.

В5. Общая характеристика работы.

Предметом исследования является проблема анализа и синтеза замкнутых систем автоматического управления одномерными объектами, содержащими ограничители, а также анализ и синтез газовых силовых систем управления, используемых в качестве исполнительных органов СУДА Анализ ГССУ включает в себя оценку устойчивости привод а и частотный анализ установившегося режима слежения за входным периодическим сигналом. Синтез системы сводится к некоторой процедуре параметрической оптимизации, критерий качества которой формируется на основе динамических характеристик установившихся процессов системы.

Целью исследования является разработка методов анализа, синтеза и оптимизации замкнутых автоматических систем с ограничителями в объекте управления и создание на их основе методик анализа и синтеза газовых си-

ловых систем управления, учитывающих наличие ограничителей. Для достижения поставленной цели необходимо решить ряд сложных теоретических проблем. Охарактеризуем основные из них.

Первая проблема связана с оценкой устойчивости и качества замкнутых автоматических систем с ограничителем в объекте управления. Очевидно, что при наличии ограничителя устойчивость по уравнениям движения в открытом ядре оказывается недостаточной и основной интерес представляет устойчивость в целом. Эта задача для систем с ограничителями оказывается значительно более сложной, чем задача оценки устойчивости САУ со статическими нелинейностями. Для систем с ограничителями отсутствуют условия устойчивости в целом, базирующиеся на достаточно точной модели звена с ограничителем и позволяющие исследовать системы высокого порядка.

Под качеством автоматической системы будем понимать качество воспроизведения ею входных гармонических сигналов. Наиболее точная его оценка получается в результате численного моделирования работы системы. Однако во многих случаях, в частности, при синтезе систем управления, возникает потребность в приближенных аналитических алгоритмах оценки качества, обладающих достаточной точностью и высоким быстродействием. Таким образом, решение первой проблемы представляет несомненный практический интерес и открывает дополнительные возможности для проектирования систем управления реальными техническими объектами.

Вторая из подлежащих решению проблем - это проблема, связанная с выяснением условий существования, определением параметров и оценкой устойчивости периодических движений в релейных системах с ограничителями в объекте управления. Релейные системы широко распространены в технике и исследование периодических режимов является неотъемлемой частью их общего исследования. Наличие ограничителей в объекте управления существенно усложняет динамику релейных систем, приводит к появлению качественных особенностей в их поведении. Возникает необходимость получения условий существования периодических решений различной формы, но

одной и той же частоты. Вывод условий существования затруднен разрывным характером фазовых траекторий звеньев с ограничителем типа механический упор. Важным этапом исследования является разработка численных и аналитических методов построения фазового годографа объекта с ограничителем, а также получение условий устойчивости периодических колебаний. Решение указанной проблемы помимо самостоятельной ценности имеет важное значение для синтеза релейных автоколебательных систем.

Третья проблема - это проблема синтеза релейных автоколебательных систем с ограничителем в объекте управления и оптимизация установившихся процессов в таких системах. Реальные технические объекты, в частности, следящие приводы, даже в отсутствие ограничителей, как правило, являются нелинейными. Постоянно повышающиеся требования к качеству систем приводят проектировщика к необходимости формирования не просто работоспособной, но оптимальной по выбранному критерию качества САУ. В литературе, за исключением метода фазового годографа, разработанного с участием автора, практически отсутствуют методы синтеза релейных систем с нелинейным объектом управления. Однако системы с ограничителями существенно отличаются от систем с традиционными нелинейностями (нелинейность типа насыщение, кулоновское трение и т.п.), что требует развития метода фазового годографа. Необходимо получить совокупность результатов, которые позволили бы эффективно контролировать периодические движения, определять динамические характеристики системы по полезному сигналу и проводить их оптимизацию.

Методы исследования. При получении основных теоретических результатов в работе были использованы методы функционального анализа, методы теории матриц, методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, методы теории устойчивости, метод пространства состояний, методы теории колебаний, методы теории автоматического регулирования. При исследовании конкретных технических систем использовались методы динамической теории тепломеханических систем, а также цифровое моделирова-

ние и экспериментальные исследования ГССУ.

Основные научные положения, защищаемые в диссертации. На защиту выносятся:

- совокупность достаточных условий устойчивости в целом положения равновесия системы, содержащей звено с ограничителем типа насыщение;

- совокупность достаточных условий устойчивости в целом положения равновесия системы, содержащей звено с ограничителем типа механический упор;

- методика частотного анализа систем с ограничителем, включающая в себя определение областей существования вынужденных периодических режимов различной формы, но одной и той же частоты, гармоническую линеаризацию звеньев с ограничителями, а также способ построения ЛАФЧХ (по первой гармонике) систем с ограничителями;

- теоремы существования фазового годографа релейной системы с ограничителями в объекте управления;

- аналитический и численные способы построения фазового годографа для объектов с ограничителями, учитывающие неоднозначность периодических движений объектов;

- условия устойчивости автоколебаний и вынужденных периодических движений замкнутых релейных систем с ограничителями в объекте управления;

- метод линеаризации по медленно меняющейся составляющей релейных систем с ограничителями в объекте управления;

- метод синтеза релейных систем с ограничителями в объекте управления, работающих в автоколебательном режиме или режиме внешней линеаризации;

- синтез и оптимизация релейных автоколебательных газовых рулевых приводов, позволяющие обеспечить высокое качество установившихся процессов слежения за входным сигналом при выполнении ограничений, накладываемых на параметры существующих в приводе высокочастотных колеба-

ний.

Достоверность научных положений, выводов и рекомендаций, содержащихся в диссертации, подтверждена математическими доказательствами, использованием для решения поставленных задач классических методов математики и теории управления, практическим применением разработанного метода синтеза для формирования законов управления ГССУ, результатами цифрового моделирования и экспериментальных исследований синтезированных систем.

Научная новизна. Совокупность проведенных в диссертации исследований позволила разработать методы анализа и синтеза важного и недостаточно изученного класса автоматических систем - систем управления объектами с ограничителями. В частности, в диссертации получены следующие новые научные результаты:

1. В рамках прямого метода Ляпунова получены условия устойчивости в целом положения равновесия системы с ограничителем. Предложен алгоритм построения функции Ляпунова в виде квадратичной формы от переменных состояния, доставляющей решение задачи оценки устойчивости.

2. С помощью теории абсолютной устойчивости для систем с ограничителем типа насыщение получена совокупность условий устойчивости в целом положения равновесия. Предложен алгоритм оценки переменных состояния системы, позволяющий с использованием свойства диссипативности расширить область устойчивости в пространстве параметров, определяемую полученными условиями.

3. Получена совокупность условий устойчивости в целом положения равновесия систем с ограничителем типа механический упор. Полученные условия базируются на замене звена с ограничителем предложенной в работе эквивалентной схемой и использовании квадратичного критерия абсолютной устойчивости.

4. Предложены способы гармонической линеаризации звеньев с ограничителями типа насыщение и типа механический упор и получены ал-

проксимирующие зависимости для коэффициентов гармонической линеаризации. Разработана приближенная методика частотного анализа замкнутых систем с ограничителями.

5. Выявлена особенность фазового годографа релейной системы с ограничителем в объекте управления, заключающаяся в его неоднозначности в некотором диапазоне частот. Определены возможные типы периодических движений, соответствующие ветвям неоднозначности ФГ.

6. Математически строго доказано, что фазовый годограф существует для объектов с ограничителями. Для случая звена с ограничителем типа насыщение доказана единственность точки фазового годографа, соответствующей заданному значению частоты.

7. Разработан аналитический способ построения фазового годографа релейной системы с ограничителем, базирующийся на введенном в работе эквивалентном управлении.

8. Разработаны численные способы построения фазового годографа релейной системы с ограничителем. Предложенные способы позволяют определить фазовый годограф при различной структуре объекта управления с учетом наличия ветвей неоднозначности фазового годографа.

9. Получена совокупность необходимых, достаточных условий устойчивости периодических движений релейных систем с ограничиталями. В частности, известные условия устойчивости автоколебаний и вынужденных колебаний Я.З Цыпкина, полученные в [210] для устойчивого или нейтрального линейного объекта управления, распространены на широкий класс нелинейных объектов, в том числе и на объекты с ограничителями.

10. Разработан метод получения математической модели по полезному сигналу при линеаризации релейной системы автоколебаниями или внешним высокочастотным воздействием. Данный метод вместе с линеаризацией релейного элемента позволяет линеаризовать любое число нелинейностей, входящих в схему, включая звенья с ограничителями.

И. Разработан метод синтеза замкнутых релейных систем с ограничи-

телем в объекте управления. Он представляет собой развитие метода фазового годографа и позволяет оптимизировать качество установившихся процессов в релейной системе, работающей в автоколебательном режиме или режиме внешней линеаризации.

12. Разработаны методики синтеза релейных оптимальных по качеству частотных характеристик автоколебательных газовых рулевых приводов малогабаритных ракет и мощных газовых силовых систем управления с длительным временем функционирования. Методики учитывают наличие ограничителей в математических моделях ГССУ, используют точные методы контроля автоколебаний и позволяют поставить и решить задачу синтеза как задачу параметрической оптимизации.

Практическое значение. Разработанные в диссертации методы анализа и синтеза существенно расширяют возможности проектировщика при создании многих технических систем. Автоматические системы с ограничителями в объекте управления широко распространены в технике, однако методы исследования таких систем практически отсутствовали. Применение с этой целью известных методов теории колебаний, в частности, метода точечных отображений, ддя систем высокого порядка крайне затруднительно. При разработке систем управления учет ограничителей проводился по приближенным моделям, вследствие чего полученные результаты нуждались в дальнейшем уточнении средствами цифрового и аналогового моделирования и экспериментальными исследованиями.

Предложенные в диссертации методы позволяют сделать результаты аналитического исследования существенно более точными. Способы оценки устойчивости и методика частотного анализа позволяют провести достаточно полное исследование систем с линейным законом управления, не ограничиваясь при этом линейной моделью, соответствующей движению звена с ограничителем в открытом ядре. При этом гарантируется сохранение свойства устойчивости при достижении ограничителя в переходном процессе системы. Разработанные методы позволяют исследовать системы высокого поряд-

ка, что крайне важно для приложений.

Предложенный в работе метод синтеза является эффективным инструментом проектирования систем, работающих в автоколебательном режиме или режиме внешней линеаризации. Он позволяет оптимизировать установившиеся процессы релейных систем при выполнении требований, предъявляемых к параметрам высокочастотных периодических движений. Метод учитывает наличие ограничителей в объекте управления, допуская при этом существование и других нелинейностей, причем порядок синтезируемой системы не играет существенной роли.

Полученные в диссертации теоретические результаты позволили решить ряд важных технических задач, а именно:

1. Выполнено исследование устойчивости и проведен частотный анализ газового рулевого привода с пропорциональным управлением при учете ограничителя в газораспределительном устройстве ГССУ. Показано, что предложенные методики позволяют провести достаточно полный анализ динамики приводов данного класса.

2. Разработана методика синтеза малоинерционных релейных газовых рулевых приводов систем управления малогабаритными летательными аппаратами и выполнен синтез привода данного класса, обладающего высокими динамическими характеристиками.

3. Разработана методика синтеза и выполнено исследование по синтезу мощной релейной газовой силовой системы управления. Проведенное исследование показало, что газовый рулевой привод способен обеспечить требования к динамическим характеристикам в диапазоне нагрузок, характерных для гидравлических рулевых приводов. Это означает, что в ряде случаев гидравлический привод может быть заменен газовой силовой системой управления. С технической точки зрения такое решение может оказаться весьма перспективным.

Разработанный в диссертации метод синтеза использовался при исследовании высокоточных гидроприводов комплекса 2С6. С его помощью

были получены результаты, использовавшиеся при формировании структуры приводов и законов управления ими.

Результаты диссертации внедрены в ГН! 111 "Сплав" и КБ приборостроения г.Тулы, КБ машиностроения г.Коломны.

Апробация работы. Разработанные в диссертации методы анализа и синтеза систем с ограничителями неоднократно использовались при выполнении научно-исследовательских работ. Результаты этих исследований изложены в 18 научно-технических отчетах.

Основные положения диссертации докладывались на:

П Всесоюзном симпозиуме по пневматическим (газовым) приводам и системам управления, г. Тула, 1973г

Ш Всесоюзном симпозиуме по пневматическим (газовым) приводам и системам управления, г. Тула, 1977г.;

VII Всесоюзном совещании по проблемам управления, г. Минск,

1977г.;

Научно-техническом семинаре "Научно-технический прогресс в машиностроении (к 150-летию МВТУ им. Н.Э Баумана)", г. Москва, 1980г.;

IV Всесоюзном симпозиуме по пневматическим (газовым) приводам и системам управления, г. Тула, 1981г.;

Всесоюзном научно-техническом семинаре "Системы управления, следящие приводы и их элементы" г. Москва, ЦНИИ информации, 1984г.;

Научном совещании-семинаре "Построение моделей и моделирование сложных систем", г. Тула, 1984г.;

V Всесоюзном симпозиуме по пневматическим (газовым) приводам и системам управления, г. Тула, 1986г.;

VI Всесоюзном симпозиуме по пневматическим (газовым) приводам и системам управления, г. Тула, 1991г.;

Ш конференции "Нелинейные колебания механических систем", г. Н.Новгород 1993г.;

Научно-технической конференции Тульского высшего артиллерий-

ского инженерного училища, г. Тула, 1993г.;

IV конференции "Нелинейные колебания механических систем", г. Н.Новгород 1995г.;

Научно-технической конференции, посвященной 165-летию МГТУ им. Н.Э. Баумана, г. Москва, 1995г.;

Всероссийской конференции "Проблемы совершенствования робото-технических и интеллектуальных систем", г. Москва, 1996г.;

Научно-технической конференции "Системы управления - конверсия - проблемы", г. Ковров, 1996г.;

Научно-технической конференции "Динамика и процессы управления", г. Тула, 1997г.

Разработанные в диссертации методы и методики анализа и синтеза замкнутых систем с ограничителями в объекте управления применялись на кафедре "Системы автоматического управления" Тульского государственного университета при выполнении дипломных проектов, использовались аспирантами и соискателями при выполнении диссертационных работ.

Публикации. Основные результаты исследований по теме диссертации опубликованы в 47 печатных работах.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из предисловия, введения, 5 разделов, заключения, библиографического списка из 230 наименований, приложения и содержит 95 иллюстраций.

1. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ С ОГРАНИЧИТЕЛЯМИ В ОБЪЕКТЕ УПРАВЛЕНИЯ.

1.1. Математическая модель системы с ограничителями.

Используемые в настоящей работе математические модели систем с ограничителями являются частными случаями обобщенной модели системы с упорами, рассмотренной в [188]. Для более полного представления об исследуемом классе объектов приведем эту обобщенную модель.

Пусть состояние объекта в каждый момент времени t задается д-мерным вектором x={Xilx2,...lxn)T , принадлежащим n-мерному пространству X Из-за наличия ограничителей область В возможных значений вектора х оказывается ограниченной. Определим область В неравенствами

9](х) < О, j = Û, (1.1)

т.е. область В ограничена поверхностями Sj, j = 1, к, при этом поверхность Sj задается уравнением g¡{х) = 0. Каждая такая поверхность определяет соответствующий ограничитель.

Движение, при котором изображающая точка перемещается в открытом ядре области В, назовем свободным движением. Будем считать, что оно описывается дифференциальным уравнением

^ = (1-2)

at

здесь f(x, и) = (/j (х, u), f2(x, и),..., fn (х, и))т - л-мерный вектор, а = (uvu2, ...,ит)т - ш-мерный вектор. Если изображающая точка перемещается по границе Sj области В, то такое движение назовем движением на у-м ограничителе. Уравнения движения на ограничителе отличаются от уравнений свободного движения. Будем считать, что движение на j -м ограничителе описывается дифференциальным уравнением

^ = (1.3)

где /] = (//, //,..., /пу)т - л-мерный вектор.

Обозначим через момент выхода траектории х(?) на границу области Б, а через Г- момент схода траектории с границы в открытое ядро области В. Возможна ситуация, когда (=С, т.е. при достижении ограничителя в момент ( происходит мгновенный сход с него. В последнем случае точку х(£") будем называть точкой мгновенного схода или точкой отражения.

В момент { в результате удара об упор фазовая траектория может иметь разрыв первого рода, определяемый соотношением

+ о) = - о)), (1.4)

где ф7 = (ф/,ф^,...ф{)т -п-мерная вектор-функция, описывающая удар о;-й

ограничитель. Если удар абсолютно неупругий, то преобразование (1.4) не уводит изображающую точку с границы области В, при упругом ударе преобразование (1.4) отображает поверхность в некоторое подмножество области В. Достижение ограничителя может не сопровождаться разрывом фазовой траектории и тогда зависимость (1.4) принимает вид

+ 0) = - 0).

Сход с границы области В будем полагать непрерывным, т.е.

х(Г + 0) = - о).

Предположим, что при удалении ограничителя движение объекта описывается уравнением (1.2). Тогда о возможности движения на ограничителе 5/ можно судить по знаку производной

вычисленной в силу уравнений свободного д вижения. Если производ ная (1.5) больше нуля, то изображающая точка в свобод ном движении стремится выйти за пределы области В, т.е. система прижимается к ограничителю & • Если

же производная (1.5) отрицательна, то в свободном движении изображающая точка переходит с границы в открытое ядро области В. Отсюда следует, что при движении на ограничителе должно выполняться условие

р;(х(0,и(0)>о,

а в момент схода - условие

Р/(х(Г),п(Г+ о))<о.

Функцию Ру назовем прижимающей силой ]-то ограничителя. Отметим, что

¿Ф)

при движении на /-ом ограничителе производная —--, вычисленная в си-

df

лу уравнений (1.3), тождественно равна нулю.

Прижимающая сила Р? может не зависеть от управления и. При этом в системах с ограничителями часто встречается ситуация, когда для любого решения уравнения (1.3) при начальном условии + о}, таком, что

д(х({ - О)) = О,

+ 0) = - о)),

имеет место тождество Р- (х) = 0, т.е. для определении прижимающей силы недостаточно первой производной функции д(х(7)) по I В этом случае прижимающую силу будем зад авать соотношением

а пи , £дР}(х)

1=1

Приведенное математическое описание имеет достаточно общий характер. Для технических систем в подавляющем большинстве случаев условие (1.1) принимает вид

< Д В > О,

где х^-одна из переменных системы. При этом как частые случаи рассмотренной общей модели можно выделить 2 типа звеньев с ограничителем. Это

= (1.6)

звено с ограничителем типа насыщение (ЗОТН) и звено с ограничителем типа механический упор (ЗОТМУ).

Рассмотрим математическую модель звена с ограничителем типа насыщение. Обозначим выходную координату звена через 2, а входную через и. Координата г удовлетворяет условию

\г\ < Д О > 0.

Движение в открытом ядре описывается дифференциальным уравнением первого порядка

§ = /М, (1.7)

движение на ограничителе задается уравнением

2 = 0.

Достижение ограничителя и сход с него осуществляются непрерывным образом, т.е.

+ 0) = г^' - 0), + 0) = - о).

В соответствии с (1.5) выражение для прижимающей силы, определяющей выбор уравнения движения, имеет вид

Р = /(г, ц^дп я.

Учитывая, что наличие ограничителя само по себе существенно усложняет исследование динамики системы, уравнение движения в открытом ядре (1.7) обычно стремятся иметь линейным. В этом случае поведение ЗОТН описывается уравнением:

1 I гч

и--2, если 2 < и

Их

Т, Тх

или \г\ = В и {Кхи - г^дпг < 0, (1.8)

0, если \г\ - 1> и {Кхи - г^дп г > 0,

где Кх< - параметры некоторого апериодического звена. В дальнейшем при отсутствии специальных оговорок, рассматривая звено с ограничителем типа насыщение, будем иметь в виду модель (1.8).

Звено с ограничителем типа механический упор имеет 2 переменные состояния. Выберем в качестве таких переменных где - выходная переменная звена, г2 = 2Х, и - входное воздействие. В процессе движения

\гг\ < А В > 0.

Свободное движение звена описывается системой дифференциальных уравнений второго порядка. В линейном случае эта система имеет вид

21 =

(1-9)

2 Т2 Т2 1 ^ 2

здесь Х1Г Т{, - параметры некоторого линейного звена второго порядка. Движение на ограничителях г! = ±1) описывается уравнениями

Движение на упоре можно также описать системой уравнений

гх = 0, = 0. (1.10)

Всюду в дальнейшем будем считать, что достижение ограничителя сопровождается абсолютно неупрушм ударом, т.е.

+ 0) = г^' - 0), 22((" + 0) = 0. (1.11)

При этом в момент Ь = Ь , если г2[{ - о) ф 0, имеет место разрыв фазовой

траектории. Сход с ограничителя при £ = t происходит непрерывным образом, т.е.

я,(Г + 0) = ^(Г - 0), г2(Г + 0) = г2(Г - 0). (1.12)

Для ЗОТМУ определение прижимающей силы производится по зависимости (1.6). С точностью до постоянного положительного множителя имеем

Р = (К{и -

Если = В и Р < 0, то движение звена определяется уравнениями (1.9), если \гх\ = В и Р > 0, - уравнениями (1.10). В общем случае свободное дви-

жение звена может описываться нелинейной системой уравнений.

В структурных схемах ЗОТН и ЗОТМУ будем обозначать так, как это показано на рис. 1.1а и рис. 1.16 соответственно.

D D

а) б)

Рис. 1.1.

Приведенные выше математические модели звеньев с ограничителями использовались в ряде работ по теории оптимального управления [174,188,189,193]. Эти модели в наибольшей степени отражают характер процессов, протекающих в системах с ограничителями, определяя звено с ограничителем как динамическую нелинейность. На необходимость особого учета ограничителей в задачах автоматического управления указывалось и раньше. В частности, в работах [127,170] отмечалось, что при рассмотрении систем автоматического регулирования с ограниченной зоной перемещения исполнительного механизма использование статической нелинейности типа ограничение является ошибочным. А.В. Нетушилом [21,126,127] были предложены математические модели нелинейных звеньев, описываемых неодно-

V « 1 V V» V/ ____

значнои кусочно-линеинои функцией, названной нелинейностью типа упор. Однако анализ работ [21,126,127] показывает, что применяемые в них модели звеньев с ограничителями не отвечают потребностям исследования реальных технических систем. Использование в чистом виде неоднозначной нелинейности, названной в [21] нелинейностью типа упор, приводит к появлению в замкнутой системе множества положений равновесия, что в реальных системах с ограничителями, как правило, не наблюдается. В примерах статьи [127] имеется схема, в основном, соответствующая схеме ЗОТН, у которого свободное движение описывается уравнением 2-й. Однако эта схема не может быть распространена на ЗОТН общего вида и звенья с ограничителем типа механический упор. Возможные разрывы фазовой траектории в этих моделях вообще не рассматриваются. В целом, можно утверждать, что рас-

смотренные выше модели ЗОТН и ЗОТМУ являются оптимальными для использования в задачах автоматического управления. Они достаточно полно отражают особенности поведения следящих систем с ограничителями в объекте управления и, в то же время, позволяют рассчитывать на разработку методов анализа и синтеза таких систем.

В ряде случаев звенья с ограничителями удобно представлять с помощью эквивалентных схем, состоящих из линейных динамических звеньев и нелинейных элементов. Рассмотрим три такие эквивалентные схемы ЗОТН, представленные на рис. 1.2.

В

и

-1Й

/УР,

-/Т

и

7>

■О кф

/ о

а)

и

—о

Кг

7>

Ф

л

-0 II*.

J о'

б)

в)

Рис. 1.2.

7Г

В схеме, показанной на рис. 1.2а, ср = —, т.е. центральный участок не-

4

линейной характеристики имеет единичный наклон. Тогда при |у| < О пере-

даточная функция схемы равна

7> + 1

что соответствует уравнению сво-

бодного движения. Если \у\> И, то г = ±£>, 2-0 т.е. при движении на ограничителе обратная связь размыкается.

Покажем, что в данной схеме условия схода с ограничителя соответ-

ствуют условиям исходной модели. Пусть ' - 0} = В. В эквивалентной схеме сход с ограничителя происходит, когда у = И, т.е. при выполнении условия К^и. - В = 0, что соответствует (1.8). Недостатком данной схемы, ограничивающим ее применение, является наличие дифференцирующего звена. Однако она оказывается очень удобной при линеаризации ЗОТН по медленно меняющемуся сигналу.

Схема, представленная на рис. 1.26, является модификацией схемы на рис. 1.2а. Здесь нелинейность типа ограничение заменена параллельным соединением линейного и нелинейного звеньев. Данная схема используется, в частности, при исследовании устойчивости процессов в системах с ограничителем, так как она допускает применение теории абсолютной устойчивости.

Рассмотрим работу эквивалентной схемы, показанной на рис. 1.2в. При движении в открытом ядре нелинейность не участвует в формировании

сигнала е(£) и эквивалентная передаточная функция схемы равна ——, что

соответствует (1.8). Движение на ограничителях осуществляется в скользящем режиме. Пусть, например, г = И. Условия возникновения скользящего режима имеют вид

2+ < 0, 2~ > 0

или

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Руднев, Сергей Александрович

5.7. Выводы.

В разделе 5 решена задача синтеза мощной ГССУ, предназначенной для работы в условиях значительных внешних нагрузок. Перемещаемые массы, силы трения, аэродинамические моменты в этом случае таковы, что альтернативным вариантом системы является гидравлический привод. По своим характеристикам данная ГССУ существенно отличается от рассмотренной в разд. 4 и можно сказать, что они обозначают противоположные границы множества газовых рулевых приводов.

Синтез мощной релейной ГССУ демонстрирует универсальность предложенного подхода к синтезу газовых релейных приводов. Кроме того, эта задача представляет самостоятельный теоретический и практический интерес, т.к. речь идет о расширении возможной области применения газовых приводов. Основные полученные в разделе научные результаты сводятся к следующему:

1. Разработана методика синтеза релейных ГССУ, работающих в условиях значительных внешних нагрузок. Задача синтеза формулируется как задача нелинейного программирования по выбору оптимальных параметров вводимого в систему корректирующего устройства. С учетом предъявляемых к динамике ГССУ требований сформированы критерий качества и ограничения задачи оптимизации.

В рамках методики с учетом конкретных особенностей приводов данного класса разработан алгоритм оценки динамических характеристик ГССУ по медленно меняющемуся сигналу. Он отличается от изложенного в п. 3.3 упрощениехМ линеаризации звеньев с ограничителем типа механический упор. Использование данного алгоритма существенно облегчает решение задачи синтеза.

2. Выбрана и обоснована рациональная структура корректирующего устройства для мощных релейных ГССУ. Проведено рассмотрение общей схемы, охватывающей большинство возможных простых способов коррекции ГССУ данного класса, и ряда ее частных вариантов, расположенных в порядке убывания сложности. Сравнение полученных результатов позволило выбрать оптимальную структуру коррекции, обеспечивающую предъявляемые к динамике ГССУ требования и обладающую тем свойством, что ее усложнение не приводит к заметному улучшению динамических характеристик системы.

3. Проведено построение фазового годографа релейной ГССУ с учетом имеющихся участков неоднозначности. Тем самым подтверждена эффективность алгоритмов расчета ФГ, рассмотренных в п. 2.4, и возможность их применения при исследовании мощных газовых рулевых приводов с релейным управлением.

4. Проведено решение задачи синтеза мощной релейной ГССУ. Рассмотрены режимы работы привода на сжатом воздухе и горячем газе, и для каждого из них найдены оптимальные параметры коррекции, обеспечивающие требуемый автоколебательный режим и высокое качество слежения за входным сигналом.

5. На основе математического описания, учитывающего существенные нелинейности модели привода, выполнено численное моделирование динамики синтезированной релейной ГССУ на различных режимах функционирования. Построены ЛАФЧХ привода по низкочастотному гармоническому сигналу, соответствующие работе системы на сжатом воздухе и горячем газе. Численное моделирование работы ГССУ подтвердило правильность результатов синтеза. Оно показало, что привод с найденной схемой и параметрами коррекции работоспособен и обладает высокими динамическими характеристиками, значительно превосходящими характеристики, полученные ранее для данной ГССУ.

6. Выполнено численное моделирование релейной ГССУ при учете действующих на привод случайных возмущений. Построены оценки математических ожиданий ЛАФЧХ ГССУ на различных режимах работы привода и при различной интенсивности помехи, определена степень влияния шумов на динамические характеристики системы. Показано, что допустимый уровень шумов (оцениваемый по СКО), при котором ЛАФЧХ привода полностью удовлетворяет предъявляемым к ним требованиям, составляет 15+20% от амплитуды полезного сигнала.

7. Выполнено экспериментальное исследование .динамики функционирования синтезированной релейной ГССУ, построены ЛАФЧХ привода по низкочастотному гармоническому сигналу. Результаты исследования подтверждают вывод о том, что проведение синтеза релейных газовых силовых систем управления с помощью разработанной методики приводит к значительному улучшению их динамических характеристик. Полученное максимальное значение фазового сдвига в рабочей полосе частот составляет 39° против 65°, соответствующих ранее применяемой в данном приводе коррекции, т.е. фазовые характеристики системы оказываются улучшенными на 40%.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В диссертации решена научная проблема анализа и синтеза систем управления объектами с ограничителями. Наличие ограничителей характерно для большинства технических систем и они оказывают большое влияние на динамику САУ. Решение указанной проблемы, заключающееся в разработке методов анализа и синтеза систем с ограничителями, позволяет существенно улучшить динамические характеристики, а также сократить сроки проектирования и объемы последующей экспериментальной отработки таких систем.

Основные теоретические и практические результаты диссертации заключаются в следующем.

1. Получена совокупность достаточных условий устойчивости в целом нулевого положения равновесия замкнутой системы управления объектом с ограничителем. Условия устойчивости получены с помощью прямого метода Ляпунова и методов теории абсолютной устойчивости. В рамках прямого метода Ляпунова сформулированы требования к функции Ляпунова для открытого ядра, выполнение которых обеспечивает устойчивость положения равновесия в целом. Предложен численный алгоритм формирования функций Ляпунова в виде квадратичной формы от переменных состояния.

При использовании методов теории абсолютной устойчивости достаточным условием устойчивости является выполнение одного или двух частотных неравенств. Для систем, содержащих звено с ограничителем типа насыщение, с использованием свойства диссипативносги предложен способ расширения области устойчивости в пространстве параметров. Показано, что совокупность полученных условий определяет в пространстве параметров области, близкие к областям устойчивости линейной системы, соответствующей движению в открытом ядре.

2. Предложена методика частотного анализа систем с ограничителями. Исследована особенность звена с ограничителем типа механический упор, состоящая в неоднозначности его периодической реакции на периодический входной сигнал. Проведена гармоническая линеаризация звеньев с ограничителем. Полученные результаты позволяют распространить известные частотные методы исследования нелинейных систем на системы с ограничителями. Становится возможным решение таких задач как определение параметров периодических движений замкнутых систем, синтез САУ с заданными колебательными свойствами, построение эквивалентных ЛАФЧХ по входному гармоническому сигналу и анализ влияния на них ограничителя.

3. При исследовании релейных систем с ограничителем в объекте управления выявлена специфическая особенность фазового годографа, заключающаяся в его неоднозначности в некоторой полосе частот. Показано, что существует диапазон частот, в котором фазовый годограф является неоднозначной разрывной вектор-функцией, принимающей три различных значения.

Получены условия существования фазового годографа для объектов, содержащих звенья с ограничителями. Условия существования охватывают широкий класс объектов с ограничителями, в том числе объекты, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями при движении в открытом ядре. Полученные результаты создают необходимые предпосылки для распространения метода фазового годографа на системы с ограничителями.

4. Разработаны аналитический и численные способы построения фазового годографа при наличии ограничителя в объекте управления. Предложенные способы позволяют выявить диапазон неоднозначности годографа и построить все его ветви.

Аналитический способ построения ФГ основан на введении некоторого эквивалентного управления, позволяющего "снять" ограничитель. В работе для эквивалентных управлений, соответствующих двум типам звеньев с ограничителем, получены аналитические зависимости, определяющие Я - характеристики типовых динамических звеньев.

5. Предложен алгоритм исследования устойчивости автоколебаний в релейных системах с ограничителем. Он легко реализуется на ЭВМ и ориентирован на применение в задачах синтеза, связанных с рассмотрением большого числа вариантов.

Алгоритм использует необходимое условие устойчивости автоколебаний. В работе показано, что известное необходимое условие о а со М=Ш0 ' полученное Я.З.Цьшкиным для релейных систем с устойчивым или нейтральным линейным объектом, справедливо для широкого класса объектов, содержащих ограничители. Выявлена существенная особенность релейных систем, содержащих ЗОТМУ, а именно доказано, что в таких системах возможна ситуация, когда в приведенном необходимом условии знак неравенства меняется на противоположный.

Получено достаточное условие устойчивости в малом автоколебаний в релейной системе с ограничителем, основанное на оценке собственных чисел матрицы точечного отображения, линеаризованного в окрестности периодического решения. Предложен алгоритм построения этой матрицы, учи-тываюпщй разнообразие возможных форм периодических движений объекта с ограничителем.

На практике звено с ограничителем часто располагается непосредственно после релейного элемента. Показано, что в этом случае устойчивость автоколебаний может исследоваться по модифицированной системе, в которой звено с ограничителем исключено.

6. Разработан метод линеаризации релейных автоколебательных систем с ограничителями. В отличие от метода гармонической линеаризации данный метод не требует выполнения ограничений типа гипотезы фильтра и определяет коэффициент передачи релейного элемента точно, т.е. с полным учетом формы периодического высокочастотного сигнала. Предложенный метод позволяет также линеаризовать нелинейности объекта управления, включая ограничители.

7. Разработан метод исследования релейных систем с ограничителем, работающих в режиме внешней линеаризации. Он включает в себя определение параметров вынужденных колебаний, оценку их устойчивости, линеаризацию системы по полезному сигналу.

В работе показано, что в системах с ЗОТМУ возможно существование вынужденных колебаний, отличающихся не только фазой, но и формой периодических движений. Сформирован алгоритм оценки устойчивости вынужденных колебаний релейных систем с ограничителями, базирующийся на полученных в работе условиях устойчивости.

Предложен метод линеаризации релейных систем, работающих в режиме внешней линеаризации. Получены зависимости для эквивалентного коэффициента передачи релейного элемента. Линеаризация нелинейностей объекта управления выполняется так же, как и для системы, работающей в автоколебательном режиме.

8. Результаты, изложенные в п.п. 3-7, представляют собой распространение метода фазового годографа на релейные системы с ограничителем в объекте управления. Метод позволяет свести задачу синтеза релейной системы к задаче нелинейной оптимизации по выбору наилучших (по точности слежения или иному критерию качества) параметров регулятора. Рассмотрен синтез в пространстве состояний и синтез с помощью корректирующих устройств. Предложен рациональный алгоритм решения задачи оптимизации.

В целом, полученные результаты доводят теорию релейных систем с ограничителями до уровня, характерного для релейных систем с линейным объектом управления.

9. Разработаны методики синтеза релейных автоколебательных малоинерционных газовых рулевых приводов МБЛА и мощных ГССУ, работающих в условиях значительных внешних нагрузок. Методики учитывают наличие ограничителей в математическом описании объекта. Задача синтеза формируется как задача нелинейного программирования по отысканию оптимальных параметров вводимого в систему корректирующего устройства. Контроль параметров существующих в системе высокочастотных периодических движений осуществляется точным методом. Линеаризация нелинейных элементов проводится с полным учетом формы линеаризующего сигнала.

10. Разработанные методики открывают широкие возможности для проектирования релейных ГССУ с высокими динамическими характеристиками. В работе выполнен синтез малоинерционного газового рулевого привода, а также синтез мощной релейной ГССУ, работающей в условиях значительных внешних нагрузок. С учетом динамических особенностей каждой из рассмотренных систем предложены схемы корректирующих устройств и найдены их параметры. Для малоинерционного рулевого привода в рабочей полосе частот полезного сигнала 0^-10 Гц фазовые сдвиги не превышают 4°, что в 1.54-2 раза меньше значений, характерных для приводов данного класса. Для второй ГССУ максимальный фазовый сдвиг составил 39° против 65°, соответствующих ранее применяемой коррекции, т.е. ФЧХ системы оказываются улучшенными на 40% от ранее достигнутых значений.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Руднев, Сергей Александрович, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА.

1. Айзерман М.А., Пятницкий Е.С. Основы теории разрывных систем. 1Д1 // Автоматика и телемеханика.- 1974.- №7.- С.33-47, 1974.- №8.-С.39-61.

2. А\ексаков Т.Н. Практика проектирования нелинейных систем управления методом фазовой плоскости.- М.: Энергия, 1973. - 143с.

3. Алгоритм и программа построения фазового годографа релейного пневмопривода / Фалдин Н.В., Руднев С.А., Есипов А.Н. и др. // Газовые приводы и системы управления.- Тула: ТулПИ, 1982.- С. 136141.

4. Алгоритм численного построения фазового годографа релейной системы / Фалдин Н.В., Руднев С.А., Есипов А.Н. и др. // Газовые приводы и системы управления.- Тула: ТулПИ, 1983.- С. 138-143.

5. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. - М.: Физматгиз, 1959. - 915с.

6. Асташев В.К. К динамике осциллятора, ударяющегося об ограничитель // Машиноведение.- 1971.- N2.- С.5-9.

7. Бабицкий В.И. Теория виброударных систем. Приближенные методы. - М.: Наука, 1978. - 352с.

8. Бабицкий В.И. Параметрические колебания виброударных систем // Машиноведение. - 1971. - №1. - С.11-17.

9. Бабицкий В.И., Гольдштейн Б.Г., Николаев И.В., Пожаринский A.A. Динамика пневматического редкоударного механизма резонансного типа // Машиноведение.- 1987.- N1.- С.42-48.

10. Бабицкий В.И., Коловский М.З. Исследование колебаний линейной системы с ограничителями точными и приближенными методами // Машиноведение. - 1967. - №4. - С.14-20.

11. Бабицкий В.И., Коловский М.З. К теории виброударных систем // Машиноведение. - 1970. - №1. - С.24-30.

12. Бабичев В.И. К вопросу проектирования автоколебательного сервомеханизма высокой точности ././ Вопросы автоматизации и оптимизации конструкторских работ. - Тула: ТулПИ, 1971.- С. 113-125.

13. Бабичев В.И. Некоторые вопросы проектирования автоколебательного пневматического сервомеханизма // Пневматические приводы и системы управления. - М.: Наука, 1969. - С. 152-155.

14. Бабичев В.И. К вопросу выбора параметров автоколебаний в высокоскоростном электропневматическом сервомеханизме // Динамика и точность функционирования тепломеханических систем.-Тула : ТулПИ, 1971. Вып.1. - С.47-56.

15. Барабанов Н.Е., Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Лихтарников А.Л., Матвеев A.C., Смирнова В.Б., Фрадков А.Л.. Частотная теорема (лемма Якубовича-Калмана) в теории управления. Обзор // Автоматика и телемеханика. - 1996. - №10. - С.3-40.

16. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости.- М.: Наука, 1967.-223с.

17. Барбашин Е.А., Красовский H.H. Об устойчивости движения в целом // ДАН СССР.- 1952.- т.86, №3.- С.453-456.

18. Баркин A.A., Зеленцовский А.Л. Критерий абсолютной устойчивости нелинейных систем управления // Автоматика и телемеханика. -1987.- №7.- С.5-11.

19. Беленький А.Д., Гаупгус Э.В. Исследование релейной динамической системы второго порядка с устойчивой линейной частью // Автоматика и телемеханика. - 1970. - №12. - С.77-87.

20. Беленький А.Д., Гаушус Э.В. Исследоваие релейной динамической системы второго порядка с неустойчивой линейной частью // Автоматика и телемеханика. - 1970. - №10. - С.69-76.

21. Белова Д.А., Нетушил A.B. Об абсолютной устойчивости систем регулирования с неоднозначными нелинейностями типа люфт и упор // Автоматика и телемеханика.- 1967. - №12. - С.58-63.

22. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. - М.: Высшая

школа, 1980. - 408с.

23. Бирюков Т.Д., Руднев С.А. Анализ параметров автоколебаний в релейно-импульсных системах // Моделирование и оптимизация систем автоматического управления.- Тула: ТулПИ, 1989.- С.29-36.

24. Блехман И.И. Вибрационная механика.- М.: Физматлит, 1994. -400с.

25. Блиман П.-А., Красносельский A.M. Критерий Попова в задаче о вынужденных колебаниях // Автоматика и телемеханика. - 1998. -№4.-С.3-14.

26. Богатырев A.B., Пятницкий Е.С. Построение кусочно-квадратичных функций Ляпунова для нелинейных систем управления // Автоматика и телемеханика. - 1987. - №10. - С.30-38.

27. Бойко И.М., Каинов В.А. Синтез линейных корректирующих устройств в релейной автоколебательной системе управления // Моделирование и оптимизация систем автоматического управления и их элементов.- Тула: ТулГУ, !990.- С.31-36.

28. Бромберг П.В. Матричные методы в теории релейного и импульсного регулирования. - М.: Наука, 1967. - 323с.

29. Бромберг П.В. Матричный метод определения периодических режимов в релейных системах регулирования. //В кн.: Теория автоматического регулирования/Под ред. В.В. Солодовникова, кн.З, ч.2. - М.: Машиностроение, 1969. - С.66-100.

30. Брусин В.А. Достаточные условия абсолютной устойчивости следящей системы с люфтом при учете инерции объекта и гипотезе абсолютно-неупругого удара // Автоматика и телемеханика.- 1967.-№2.- С.25-34.

31. Буков В.Н., Зубов Н.Е. Релейное управление на основе алгоритма с прогнозирующей моделью // Автоматика и телемеханика.- 1986.-№2.- С.36-42.

32. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Введение в теорию нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1987. - 382с.

33. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. - М.: Советское радио, 1972. - 328с.

34. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1969. - 576с.

35. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления.- М.: Наука, ГРФМЛ, 1984.- 320с.

36. Воронов A.A. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. - М.: Наука, ГРФМЛ, 1979.- 336с.

37. Воронов A.A. Современное состояние и проблемы теории устойчивости // Автоматика и телемеханика.- 1982.- №5.- С.5-28.

38. Воронов A.A. Основы теории автоматического управления.- М.: Энергия, 1974.- 320с.

39. Вычисление фазового годографа релейных систем. Программное средство / Фалдин Н.В., Руднев С.А., Есипов А.Н. и др. // Госфонд алгоритмов и программ: - Специальное отделение ОФАП САПР-Т и АСУТП; Инв 143.- Свид. 17.-3.309.1985.

40. Гаврилин А.П. Статистический анализ электропневматического автоколебательного сервомеханизма // Пневматические приводы и системы управления.- М.: Наука, 1971.- С. 155-159.

41. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.- 4-е изд. доп.- М.: Наука, 1988. -548с.

42. Гаушус Э.В. Исследование динамических систем методом точечных преобразований. - М.: Наука, ГРФМЛ, 1976. - 368с.

43. Гаушус Э.В., Смольянинов И.Д. Исследование релейной динамической системы третьего порядка // Автоматика и телемеханика.-1970. - №3. - С.65-80.

44. Герц Е.В. Динамика пневматических систем машин. - М.: Машиностроение, 1985. - 255с.

45. Глик А.Л. Анализ электропневматического сервомеханизма с су-

хим трением способом гармонической линеаризации // Изв.вузов.

Г a^i'lvjv^i'ioirj.xvcL.- iCi/x. 1. i TT, ÎN-О. / i .

46. Гольдфарб A.C. О некоторых нелинейностях в системах регулирования // Автоматика и телемеханика,- 1947.- №2.- С.63-71.

47. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний. Учебное пособие. -Изд. Красноярского университета, 1995. - 429с.

48. Груйич Л.Т. Согласованная ляпуновская методология для стационарных нелинейных систем // Автоматика и телемеханика.- 1997. -№12. - С.35-73.

49. Гущин Н.И., Прибылов В.Т., Руднев С.А., Фалдин Н.В. Исследование динамики и синтез мощной релейной газовой силовой системы управления // Научно-технический семинар. Научно-технический прогресс в машиностроении и приборостроении (к 150-летию МВТУ им.Н.Э. Баумана): Тезисы докладов.- М.: МВТУ им.Н.Э.Баумана, 1980.- С.83.

50. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. - М.: Наука, ГРФМЛ, 1967. - 472с.

51. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. - М.: Гос. изд. физ.-мат. литературы, 1962. - 367с.

52. Динамика следящих приводов: Учебное пособие для вузов / Под ред. Л.В. Рабиновича. — М.: Машиностроение, 1982. - 496с.

53. Долголенко Ю.В. О точном определении автоколебательных режимов в релейных экстремальных системах. // Теория и применение дискретных автоматических систем.- М.: Изд. АН СССР, 1960. -С.399-412.

54. Дукарт A.B. Способ построения периодических режимов многомассовых Еиброударных систем и его приложение к расчету виброударного гасителя колебаний с демпфированием // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 1993. - №3. - С. 16-22.

55. Дьяченко И.В., Молчанов А.П., Пятницкий Е.С. Численный метод

построения функций Ляпунова и анализ устойчивости нелинейных динамических систем на ЭВМ // Автоматика и телемеханика, -1994. - №4. - С.23-38.

56. Евланов Л.Г., Казаков И.Е. Статистическое исследование нелинейных автоколебательных систем в установившихся режимах // Автоматика и телемеханика.- 1969.- №12.- С. 18-26

57. Есипов А.Н., Руднев С.А. Комплексное управление следящим гидроприводом // Системы автоматического управления и их элементы.- Тула: ТулГУ, 1996.- С.83-86.

58. Есипов А.Н., Руднев С.А., Фалдин Н.В. Структурный синтез корректирующего устройства высокоточного следящего гидропривода // Системы автоматического управления и их элементы.- Тула: ТулГУ, 1996.- С.87-93.

59. Жиль Ж., Пелегрен М., Декольн П. Теория и техника следящих систем. - М.: Машгиз, 1961. - 804с.

60. Жуков В.П. Исследование устойчивости одного класса нелинейных систем // Автоматика и телемеханика.- 1981.- №1.- С.9-14.

61. Жуков В.П. О периодических режимах в нелинейных системах // Автоматика и телемеханика.- 1981.- №7.- С.45-51.

62. Жуков В.П. О новых методах исследования нелинейных динамических систем 1,11 //Автоматика и телемеханика. - 1987. - №6. - С.7-18, 1988.- №2. - С.56-69.

63. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1988.- 328с.

64. Жюмари Ж. Об обобщении теории Я. 3. Цыпкина релейных систем автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика,- 1969,- №12,- С.48-57.

65. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. - М.: Наука, 1970. -703с.

66. Зеленцовский А.Л. Построение функций Ляпунова из класса форм

степени 2р для исследования абсолютной устойчивости систем управления с нестационарными .линейными элементами /./ Автоматика и телемеханика.- 1986.- №5.- С. 166-169.

67. Иванов В.А., Ющенко A.C. Теория дискретных систем автоматического управления.- М.: Наука, ГРФМЛ, 1983. — 336с.

68. Иванова В.Ф. Релейное управление угловыми движениями твердого тела // Изв. АН. МТТ.- !995.- №3.- С.11-18.

69. Израилович М.Я. Методы оценок (теории накопления возмущений) в прикладной теории механических колебаний // Проблемы машиностроения и надежности машин.- 1996.- №6.- С.22-33.

70. Израилович М.Я. Управление периодическими режимами параметрически возмущаемых гармонически линеаризуемых механических систем // Проблемы машиностроения и надежности машин.-1995.- №1,- С.74-85.

71. Израилович М.Я. Синтез автоколебательных систем с параметрическим возбуждением // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 1996. - N4.- С.20-28.

72. Казакевич В.В. Метод фазового пространства и его применение к анализу динамики систем автоматического регулирования с учетом сухого трения и люфтов //В кн.: Теория автоматического регулирования /Под ред. В.В. Солодовникова, кн.З, ч.1, - М.: Машиностроение, 1969. - С. 199-243.

73. Казаков И. Е. Приближенный вероятностный анализ точности работы существенно нелинейных систем // Автоматика и телемеханика,- 1956.- т. 17, №5.- С.385-409.

74. Казаков И.Е., Доступов Б.Г. Статистическая динамика нелинейных автоматических систем.- М.: Физматгиз, 1962.- 332с.

75. Каинов В.А., Морозова Е.В. Синтез корректирующих устройств в релейных электроприводах постоянного тока // Системы автоматического управления и их элементы.- Тула: ТулГУ.- 1996.- С.146-156.

76. Каменецкий В.А. Метод свертывания матричных неравенств и критерии абсолютной устойчивости стационарных систем управления // Автоматика и телемеханика.- 1989.- №5.- С.28-39.

77. Каменецкий В.А. Построение областей притяжения методом функций Ляпунова // Автоматика и телемеханика,- 1994.- №6.-С.10-26.

78. Каменецкий В.А. Параметрическая стабилизация нелинейных систем управления с заданными ограничениями // Автоматика и телемеханика.- №10,- 1996. -С.65-76.

79. Каменецкий В.А., Пятницкий Е.С. Градиентный метод построения функций Ляпунова в задачах абсолютной устойчивости // Автоматика и телемеханика.- 1987.- №1.- С.3-12.

80. Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи.- М.: Наука, 1973,- 900с.

81. Кислицын В.Ю., Руднев С.А., Фалдин Н.В. Гармоническая линеаризация динамического звена с ограничителем // Элементы и системы оптимальной идентификации и управления технологическими процессами.- Тула: ТулГТУ, 1994,- С. 144-150.

82. Кобринский A.A., Кобринский А.Е. Виброударные системы. - М.: Наука, 1973. - 592с.

83. Коловский М.З. Нелинейная теория виброзащитных систем. - М.: Наука, 1966. - 318с.

84. Комаров Е.Е., Лашнев А.Т. К проектированию линейного электропневматического сервомеханизма при учете вязкого трения в кинематической передаче к регулирующему органу // Динамика и точность функционирования тепломеханических систем. - Тула : ТулПИ, 1978. -С.75-81.

85. Королев H.A. Приближенное определение параметров автоколебаний в релейных системах с замедленной обратной связью. // Автоматика и телемеханика.- 1959.- т.20, №11.- С.1467-1471.

86. Королев H.A. О периодических режимах в релейных системах с внутренней обратной связью // Автоматика и телемеханика.- 1956.-т.27, N11.- С.968-978.

87. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.- М.: Наука, ГРФМЛ, 1970. - 720с.

88. Костин C.B., Петров Б.И., Гамынин Н.С. Рулевые приводы. - М.: Машиностроение, 1973. - 208с.

89. Кочубиевский И.Д., Стражмейстер В.А. Динамическое моделирование нагрузок при испытаниях автоматических систем. - М.-Л.: Энергия, 1965. - 144с.

90. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. - М.: Наука, ГРФМЛ, 1966. - 332с.

91. Красносельский А. М. Признаки применимости теории Фредголь-ма при анализе вынужденных движений в нелинейных системах // Автоматика и телемеханика.- 1988.- №12.- С. 162-164.

92. Красносельский М.А. Частотные критерии в задачах о вынужденных колебаниях систем автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика.- 1980,- №9.- С.23-39.

93. Красносельский М.А., Лившиц Е.А. О некоторых общих признаках существования периодических колебаний в нелинейных системах // Автоматика и телемеханика.- 1973.- №9. - С12-15.

94. Красовский A.A. Двухканальные следящие системы с антисимметричными связями при наличии случайных возмущающих воздействий // Автоматика и телемеханика.- 1961.- N2.-С. 18-24.

95. Красовский A.A. Аналитическое конструирование автоматов ограничений // Автоматика и телемеханика.- 1975.- №6.- С. 14-21.

96. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения.- М.: Физматгиз, 1959,- 211с.

97. Крылов Н.М., Боголюбов H.H. Новые методы нелинейной механики. - М.: Гостехиздат, 1934. - 243с.

98. Крылов Н.М., Боголюбов H.H. Введение в нелинейную механику. -Киев: Изд. АН УССР, 1937. - 363с.

99. Крюков Б.И. Вынужденные колебания существенно нелинейных систем.- М.: Машиностроение, 1984.- 216с.

100. Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления.-М.: Машиностроение, 1986.- 448с.

101. Дакота H.A., Орлов В.Б. Устойчивость движения систем управления манипуляторами с пассивным отражением усилий // Механика машин.-М.: Наука, 1974.- Вып.46.- С.49-52.

102. Лашнев А.Т., Петрухин Н.Ф., Горбунова C.B. Динамическая модель электропневматического сервомеханизма с гармонической линеаризацией нелинейностей, определяющих качество отработки управляющих сигналов малых амплитуд // Моделирование и оптимизация систем автоматического управления и их элементов.- Тула: ТулПИ, !985,- С.48-53.

103. Лашнев А.Т., Шведова Н.В. Исследование предельных динамических возможностей пропорциональных электропневматических сервомеханизмов // Моделирование и оптимизация систем автоматического управления и их элементов.- Тула: ТулПИ, 1987.- С.90-94.

104. Лебедев A.A., Карабанов В.А. Динамика систем управления беспилотными летательными аппаратами. - М.: Машиностроение, 1965. - 528с.

105. Леонов Г.А, Буркин И.М, Шепелявый А.И. Частотные методы в теории колебаний. В 2 частях.- СпБ.: Изд. С-Петербургского унта, 1992.-ч.1-368с.,ч.2- 164с.

106. Летов A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем.- М.: Физматгиз, 1962.- 483с.

107. Либерзон М.Р. Абсолютная устойчивость одного класса следящих систем // Автоматика и телемеханика.- 1979.- №2.- С. 25-29.

108. Либерзон М.Р. Новые результаты по абсолютной устойчивости

нестационарных регулируемых систем. Обзор // Автоматика и те-

¡vqmavautiira _ 1q7q . мпй _ п ой_/ш

j J. «-/ / • ХЛ-iW. v—• « — —> "TU.

109. Либерзон M.P. Признак абсолютной устойчивости нестационарных систем // Автоматика и телемеханика.- 1986.- №2.- С.39-46.

110. Лурье А.И. Об автоколебаниях в некоторых регулируемых системах // Автоматика и телемеханика.- 1947.- т.8, №5.- С.335-348.

111. Лурье А.И. Об устойчивости автоколебаний регулируемых систем // Автоматика и телемеханика.- 1948.- т.9, №1.- С.361-362.

112. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. - М.: Гостехиздат, 1951. - 216с.

113. Любимцев Я.К., Метрикин B.C. Исследование динамики одномас-совой системы с ударными взаимодействиями // Изв.АН СССР. МТТ.- 1985.- №1.- С.67-72.

114. Маликов А.И. Об устойчивости логико-динамических систем управления со структурными изменениями // Изв. АН. Теория и системы управления.- 1996.- №2.- С.5-12.

115. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения.- М.: Наука, 1966.-530с.

116. Марочкина И. А. Математическое описание газового привода, работающего от цифровой управляющей машины. //Динамические свойства нелинейных следящих приводов.- М.: МАИ, 1973.- Вып.275. - С.207-213.

117. Методы автоматизированного проектирования нелинейных сис-тем//С.К. Коваленко, М.А. Колывагин, B.C. Медведев и др./Под ред. Ю.И. Топчеева.- М.: Машиностроение, 1993. - 576с.

118. Метрикин B.C. Исследование устойчивости движений систем с ударными взаимодействиями // Изв. АН СССР. МТТ.- 1975.- №3.-С. 43-48.

119. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания.- М.: Наука, 1975. -

247с.

120. Молчанов А.П.; Пятницкий Е.С, Функции Ляпунова, определяющие необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем управления // Автоматика и телемеханика,- 1969.- №12.- С. 18-26.

121. Неймарк Ю.И. О периодических режимах и устойчивости релейных систем // Автоматика и телемеханика.- 1953,- т. 14, №5.- С.556-569.

122. Неймарк Ю.И. Об автоколебаниях и вынужденных колебаниях систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика.- 1955.т. 16, №3,- С.225-232.

123. Неймарк Ю.И. О скользящем режиме и периодических колебаниях релейной системы // Тр./ГИФТИ и радиотехнический факультет ГГУ.- Горький, 1956.- Т.30,- С. 159-192.

124. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1972. - 472с.

125. Некоторые вопросы динамики газовых приводов, рабочие тела которых подчиняются уравнению состояния Абеля / Подчуфаров Б.М., Беседин A.A., Руднев С.А. и др. // Динамика и точность функционирования тепломеханических систем.- Тула: ТулПИ, 1971.-Вып.1.- С.3-20.

126. Нетушил A.B. О нелинейности типа упор // Изв. вузов. Электромеханика.- 1966.- N4.-C.47-52.

127. Нетушил A.B. Нелинейное звено типа упор // Автоматика и телемеханика." 1968.- №7.- С. 175-178.

128. Пановко Я.Г. Введение в теорию механического удара. - М.: Наука, 1977. - 244с.

129. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. - Л.: Политехника, 1990. - 278с.

130. Пароди М. Локализация характеристических чисел матрицы и ее

применение. - М.: Изд. иностр. литературы, 1960. - 281с.

131. Первозванский A.A. Случайные процессы в нелинейных автоматических системах.- М.: Физматгиз, 1962.- 351с.

132. Петров Б.И. Логарифмические частотные характеристики замкнутого следящего привода с учетом нелинейностей типа насыщение // Динамические свойства нелинейных следящих приводов.- М.: МАИ, 1973.- Вып.275. - С.48-55.

133. Петров В.В., Марчуков Б.А. Приборные сервомеханизмы летательных аппаратов. - М.: Машиностроение, 1973. - 224с.

134. Петров В.В., Гордеев A.A. Исследование нелинейных систем высокого порядка на многолистной фазовой плоскости //ДАН СССР.-1976.- т.228, №1. - С.59-61.

135. Петров В.В., Гордеев A.A. Нелинейные сервомеханизмы. - М.: Машиностроение, 1979. - 470с.

136. Петров В.В., Топчеев Ю.И. Применение метода точечных преобразований к анализу нелинейных систем автоматического регулирования. Стабилизация нелинейных сервомеханизмов.//В кн.: Теория автоматического регулирования/Под ред. В.В. Солодовникова, кн.З, ч.1. - М.: Машиностроение, 1969. - С.224-315.

137. Плисс В.А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1977. - 304с.

138. Пневмопривод систем управления летательных аппаратов. /В.А. Чащин, О.Г. Камладзе, А.Б. Кондратьев и др. - М.: Машиностроение, 1987. - 248с.

139. Подчуфаров Б.М. Тепломеханика: Учебное пособие. - Тула: Тул-ПИ, 1984. - 100с.

140. Подчуфаров Б.М., Бакланов Л.С., Лебеденко И.С., Чекмазов В.И. Вопросы расчета и проектирования пневматических сервомеханизмов // Автоматизация привода и управления машин. - М.: Машиностроение, 1967. - С.273-281.

141. Покровский A.B. Существование и расчет устойчивых режимов в релейных системах // Автоматика и телемеханика.- 1986.- Ns4.-С.16-23.

142. Покровский A.B. Об одном классе разрывных систем // Автоматика и телемеханика.- 1981.- №8.- С. 15-18.

143. Попов Е.П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах. - М.: Наука, 1973. - 583с.

144. Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления. - М.: Наука, 1979. - 256с.

145. Попов Е.П., Пальтов И.П. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем. - М.: Физматгиз, 1960. - 792с.

146. Поспелов Г.С. Релейные системы автоматического регулирования. //В кн.: Теория автоматического регулирования/Под ред. В.В. Солодовникова, кн.З, ч.2. - М.: Машиностроение, 1969. - С.9-65.

147. Поспелов Г.С. Динамические характеристики релейных следящих систем. 1,11 // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика.- 1965.-№3.- С.169-180, 1966.- №2.- С.180-188.

148. Поспелов Г.С., Шеленков В.М. Исследование релейных систем с помощью уравнений в конечных разностях. //В кн.: Точные методы исследования нелинейных систем автоматического управления/Под ред. P.A. Нелепина. - М.: Машиностроение, 1971. - С.203-232.

149. Постников Н.С. Динамика релейной системы второго порядка с колебательно-неустойчивой линейной частью // Прикладные проблемы теории колебаний.- Горький: ГГУ, 1991.- С.105-114.

150. Проектирование следящих систем с помощью ЭВМ /Под ред. B.C. Медведева.- М.: Машиностроение, 1979. - 367с.

151. Проектирование следящих систем /Под ред. A.B. Рабиновича.-М.: Машиностроение, 1969. - 499с.

152. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления.- М.: Физматгиз, 1962.- 884с.

153. Пученков Н.В., Руднев С.А., Фалдин Н.В. Прикладная теория синтеза релейных систем для объектов с ограничителями // XII НТК Тульского ВАИУ: Тезисы докладов.- Тула: ТВАИУ, 1993.- С.17.

154. Пятницкий Е.С. Новые исследования по абсолютной устойчивости систем автоматического регулирования: Обзор // Автоматика и телемеханика.- 1968.- №6.- С.5-36.

155. Пятницкий Е.С. Абсолютная устойчивость нестационарных нелинейных систем // Автоматика и телемеханика.- 1970.- №1.- С.5-15.

156. Пятницкий Е.С., Скородинский В.И. Численные методы построения функций Ляпунова и критерии абсолютной устойчивости в форме численных процедур // Автоматика и телемеханика.- 1983.-№11.- С.52-63.

157. Разработка методов анализа и синтеза систем управления объектами с ограничителями: Отчет о работе, выполненной в рамках программы " Технические университеты " (04.11.ТУ) / Научный руководитель темы. Н.В. Фалдин.- Тула: ТулГТУ, 1995.- 25с.

158. Расстригин Л.А. Системы экстремального управления. - М.: Наука, 1974. - 630с.

159. Релейный следящий пневмопривод высокой точности / Фалдин Н.В., Руднев С.А., Федоров А .Я. и др. // Динамика и точность функционирования тепломеханических систем.- Тула: ТулПИ, 1973.-Вып.4, С.59-73.

160. Розенвассер E.H. Колебания нелинейных систем. - М.: Физмат-гиз, 1959. - 576с.

161. Розенвассер E.H., Володов С.К. Операторные методы и колебательные процессы. - М.: Наука, 1985. - 309с.

162. Руднев С.А. Метод расчета автоколебаний в системах с сухим трением и его применение к анализу релейного пневмопривода// III Всесоюзный симпозиум по пневматическим (газовым) приводам и системам управления: Тезисы докладов.- М.- Тула, 1977.- С.41-42.

163. Руднев С.А., Фалдин Н.В. Анализ релейного автоколебательного пневмопривода /./ Вопросы оптимизации и автоматизации конструкторских работ.- Тула: ТулПИ, 1974.- Вып.24.- С. 142-154.

164. Руднев С.А.,Фалдин Н.В. Метод фазового годографа и его применение для синтеза релейных автоматических систем // VII Всесоюзное совещание по проблемам управления: Аннотации сообщений.- Минск, 1977.- С. 134.

165. Руднев С.А., Фалдин н.В. О расширении области применения условия устойчивости релейных систем // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика.- 1980.- №5,- С. 193-196.

166. Руднев СЛ., Фалдин Н.В. О существовании фазового годографа релейной системы // Моделирование и оптимизация систем автоматического управления.- Тула: ТулПИ, 1985.- С.53-72.

167. Руднев С.А., Фалдин Н.В. Оптимизация в конечномерном пространстве: Учебное пособие.- Тула: ТулПИ, 1986.- 72с.

168. Руднев С.А., Фалдин Н.В. Линеаризация релейной следящей по полезному сигналу // Изв. АН. Теория и системы управления.-1998.-№2.- С.36-43.

169. Руднев С.А.> Фалдин Н.В. Устойчивость в целом замкнутых систем с ограничителем типа насыщение // Элементы и системы оптимальной идентификации и управления технологическими процессами." Тула: ТулГТУ, 1994.- С. 138-144.

170. Рутковский В.Ю., Ссорин-Чайков В.Н. Об исследовании методом гармонической линеаризации систем, содержащих исполнительные механизмы с двумя ограничениями // Изв.АН СССР. Техническая кибернетика.- 1963.- №6.-С. 148-152.

171. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости.- М.: Мир, 1980.- 300с.

172. Саяпин В.В. Пневматический двухканальный привод // Пневматика и гидравлика. Приводы и системы управления.-М., 1984.- №11.-

С.98-101.

173. Синтез автоколебательного пневмопривода / Фалдин Н.В., Руднев С.А. и др. // Системы автоматического управтления и их элементы.-Тула: ТулГТУ, 1994.- С.106-116.

174. Синтез следящего гидропривода, близкого к оптимальному по быстродействию / Фалдин Н.В., Руднев С.А., Кокошкин H.H. и др // Семинар "Системы управления, следящие приводы и их элементы": Материалы семинара.- М.: ЦНИИ информации, 1984.- С.76.

175. Система автоматизированного синтеза релейных пневмоприводов / Гущин Н.И., Прибылов В.Т., Руднев С.А. и др. // IV Всесоюзный симпозиум по пневматическим (газовым) приводам и системам управления: Тезисы докладов.- М.- Тула, 1980.- С. 10.

176. Славин A.A. Об одном виде несимметричных автоколебаний в релейных системах // Автоматика и телемеханика.- 1965.- т.26, №11.- С.2039-2043.

177. Справочник по теории автоматического управления/Под ред. A.A. Красовского.- М.: Наука, 1987.-712с.

178. Статистические методы в проектировании нелинейных систем автоматического управления/Под ред. Б.Г. Доступова.- М.: Машиностроение, 1970.- 407с.

179. Стеблецов В.Г. Основные направления развития исполнительных устройств, элементов и приводов бортовых систем управления // Всероссийская конференция "Проблемы совершенствования робо-тотехнических и интеллектуальных систем": Тезисы докладов. - М., 1996. - С.225-233.

180. Стеблецов В.Г. Нелинейные системы с разрывными координатными связями. Теория и практика. - М.: Машиностроение, 1992. -256с.

181. Сю Д., Мейер А. Современная теория автоматического управления и ее применение. - М.: Машиностроение, 1972. - 551с.

с .•

182. Теверовский В.И. О периодическом режиме релейной системы с изменяющимся запаздыванием // Автоматика и телемеханика.-1966.- №7.- С.87-94.

183. Теория автоматического управления. 4.2. Теория нелинейных и специальных систем автоматического управления/Под ред. A.A. Воронова.- М.: Высшая школа, 1977- 288с.

184. Тондл А. Нелинейные колебания механических систем. - М.: Мир, 1973. - 336с.

185. Троицкий В.А. Вариационные задачи оптимизации процессов управления в системах с ограниченными координатами // ПММ.-1962.- Вып.З.- С.431-443.

186. Тэлер Дж., Пестель Ч. Анализ и расчет нелинейных систем автоматического регулирования. - М.: Энергия, 1964. - 488с.

187. Фазовый годограф релейных пневмо и гидроприводов / Фалдин Н.В., Руднев С.А. Бабаин В.А. и др. // VI Всесоюзный симпозиум по пневматическим (газовым) приводам и системам управления с международным участием: Тезисы докладов.- М.- Тула, 1991.- С. 10.

188. Фалдин Н.В. Синтез оптимальных по быстродействию замкнутых систем управления: Учебное пособие.- Тула: ТулПИ, 1990.- 100с.

189. Фалдин Н.В., Егоров Н.В. Оптимальное по быстродействию управление объектом с ограничителями в форме упоров // Изв. вузов. Электромеханика.- 1984.- №12.- С.44-50.

190. Фалдин Н.В., Макаров H.H., Руднев С.А. Юсов A.A. Вычисление

фазового годографа релейных систем для линейных объектов управления. Программное средство / Госфонд алгоритмов и программ: -

Специальное отделение ОФАП САПР-Т и АСУТП;Инв 142.- Свид. 16.3.09.1985.

191. Фалдин Н.В., Руднев С.А. Исследование релейной автоколебательной пневматической силовой системы управления // II Всесоюзный симпозиум по пневматическим (газовым) приводам и систе-

мам управления: Тезисы докладов.- М.- Тула, 1973.- С.58.

192. Фалдин Н.В. Руднев С.А. Исследование устойчивости автоколебаний в релейных системах с нелинейным объектом управления // Динамика и точность функционирования тепломеханических систем.- Тула: ТулПИ, 1977.- Вып.6.- С.46-55.

193. Фалдин Н.В. Руднев С.А. Реализация оптимальных по быстродействию САР для систем с ограничением на фазовый вектор. Динамика и точность функционирования тепломеханических систем, Тула, ТПИ, 1980, с.92-108.

194. Фалдин Н.В. Руднев С.А. Синтез релейных систем методом фазового годографа // Изв. вузов. Приборостроение.- 1982.- t.XXV, №7.- С.32-36.

195. Фалдин Н.В., Руднев С.А. Анализ устойчивости систем управления с ограничителями // Научно-техническая конференция "Системы управления-Конверсия-Проблемы": Тезисы докладов.-Ковров: КГТА, 1996.- С.23.

196. Фалдин Н.В., Руднев С.А. Кислицын В.Ю. Условие абсолютной устойчивости систем с ограничителем типа насыщение // Научно-техническая конференция «Динамика и процессы управления»: Тезисы докладов.- Тула: ТулГУ, 1997.- С. 17.

197. Фалдин Н.В., Руднев С.А. Кислицын В.Ю. Исследование частотных характеристик звена с ограничителем типа механический упор // Системы автоматического управления и их элементы.- Тула: ТулГУ, 1996.- С.219-224.

198. Фалдин Н.В., Руднев С.А., Лебеденко Ю.И. Анализ и синтез релейных систем управления // IV конференция "Нелинейные колебания механических систем": Тезисы докладов.- Н. Новгород, 1996.-С.155.

199. Фалдин Н.В., Руднев С.А. Пученков Н.В. Периодические движения в релейных системах с ограничителями в объекте управления

// III конференция "Нелинейные колебания механических систем": Тезисы дою1адов.- Н. Новгород, 1993.- С. 160.

200. Фалдин Н.В., Руднев С.А. Пученков Н.В. Фазовый годограф релейной системы при наличии ограничителя в объекте управления // Системы автоматического управления и их элементы.- Тула: ТулГТУ, 1994.- С.96-106.

201. Фалдин Н.В., Руднев С.А. Юсов A.B. Исследование вынужденных колебаний релейных автоматических систем // Моделирование и оптимизация систем автоматического управления.- Тула: ТулПИ, 1987.- С.94-101.

202. Фейгин М.И. Вынужденные колебания систем с разрывными не-линейностями. - М.: Наука, ГРФМЛ, 1994. - 288с.

203. Фейгин. О динамике колебательной системы с полостью, содержащей виброударный элемент // Изв. АН. МТТ.- !996.- №4.- С.21-27.

204. Фельдбаум A.A. Простейшие релейные системы автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика.- 1949.- т. 10, №4.-С.249-266.

205. Фельдбаум A.A. Основы теории оптимальных автоматических систем. - М.: Наука, 1966. - 623с.

206. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений .- М.: Мир, 1980.- 278с.

207. Фишман В.М. О решении матричного уравнения Ляпунова // Автоматика и телемеханика.- 1981.-N1.- С.190-192.

208. Флюге-Лотц И. Метод фазовой плоскости в теории релейных систем. - М.: Физматгиз, 1959. - 174с.

209. Фурасов В.Д. Устойчивость движения, оценки, стабилизация.- М.: Наука, ГРФМЛ, 1977.- 248с.

210. Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы. - М.: Наука, 1974. - 579с.

211. Цыпкин Я.З. Частотный метод исследования периодических режимов релейных систем автоматического регулирования / / Сб."Памяти А.А. Андронова".- М.:Изд. АН СССР, 1955. - С.383-410.

212. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем. - М.: Наука, 1987. -712с.

213. Чекмазов В.И. Выбор параметров пневмопривода с газораспределителем закрытого типа на начальном этапе проектировочного расчета // Системы автоматического управления и их элементы.-Тула: ТулГТУ, 1994. - С. 151-156.

214. Чекмазов В.И., Пономарев В.Л. Сравнительная оценка погрешностей динамических моделей пневматического сервомеханизма // Моделирование и оптимизация систем автоматического управления и их эу\ементов.- Тула: ТулПИ, 1984.- С.38-43.

215. Шильман C.B. Метод производящих функций для определения разрывных периодических движений кусочно-непрерывных нелинейных систем // Теория колебаний, прикладная математика и кибернетика.- Горький: ГГУ, НИИ ПМК, 1973.- Вып.1,- С.33-46.

216. Шильман C.B. Метод производящих функций в теории динамических систем. - М.: Наука, 1978. - 335с.

217. Шорников Е.Е. Проектирование автоматических систем: Учебное пособие. - Тула.: ТулПИ, 1984. - 100с.

218. Шорников Е.Е. Расчеты и исследования на ЭВМ систем приводов с релейными законами управления // Моделирование и оптимизация систем автоматического управления и их элементов.- Тула, 1985. - С.72-79.

219. Шорников Е.Е., Слюсарев В.И. К выбору параметров газового привода при проектировании сервомеханизма // Динамика и точность функционирования тепломеханических систем. - Тула, 1971.-Вып.1. - С.40-46.

220. Шорников Е.Е., Чекмазов В.И. Газовые и гидравлические систе-

мы управления: Учебное пособие. - Тула.: ТулПИ, 1985. - 79с.

221. Юдаев A.B. Алгоритм расчета частотных характеристик пневматических сервомеханизмов // Пневматические приводы и системы управления.- М.: Наука, 1971.- С.159-162.

222. Юнгер И.Б. Алгебраические критерии абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического управления // Автоматика и телемеханика.- 1987.- №1.- С.48-54.

223. Юнгер И.Б. Критерии абсолютной устойчивости для автоматических систем с векторными нелинейными блоками // Автоматика и телемеханика.- 1989.- N2.- С.71-86.

224. Якубович В.А. Метод матричных неравенств в теории устойчивости нелинейных регулируемых систем. Абсолютная устойчивость систем с гистерезисными нелинейностями // Автоматика и телемеханика.- 1965,- т.26, №5.- С.753-763.

225. Якубович В.А Частотные условия абсолютной устойчивости систем управления с несколькими нелинейными или линейными нестационарными блоками // Автоматика и телемеханика.- 1967.-№6.- С.5-30.

226. Якубович В.А. Частотная теорема в теории управления // Сибирский математический журнал.- 1973.- т. 14,№2.- С.384-420.

227. Якубович В.А. Методы теории абсолютной устойчивости//В кн.: Методы исследования нелинейных систем автоматического регулирования /Под ред. P.A. Нелепина.- М.: Наука, ГРФМЛ, 1975,- С.74-180.

228. Гамель (Hamel В.) A mathematical study of on-off controlled higher order systems. Proc. of the Symposium on nonlinear circuit analysis. Polytechnic Institute of Brooklyn, Symposium Proc., t.IV, New York, 1956, C.225-232.

229. Chen C.F., Shich L.S. A note on expanding PA + ATP = -Q. JEEE. Trans. Automat. Control, V13, N1, pp. 122-123,1968.

230. Davision E.J., Man F.T. The numerical solution of ATQ + QA=-C. JEEE. Trans. Automat. Control , V13, N4, pp. 448-449, 1968.

327