Алгоритмы, основанные на методе функций Ляпунова и теории разностных схем, обеспечивающие техническую устойчивость динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Тарасов, Анатолий Пантелеймонович

• Тарасов, Анатолий Пантелеймонович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тарасов, Анатолий Пантелеймонович

Введение.

Глава 1. Непрерывные модели динамических систем и стабилизация их движений до технической устойчивости с помощью функций Ляпунова.

1.1. Постановки задач технической устойчивости и стабилизации.

1.2. Общие критерии технической устойчивости и стабилизации.

1.3. Конструктивные условия технической устойчивости и алгоритмы стабилизации для линейных стационарных систем при ограниченном управлении.

Глава 2. Оптимальный синтез непрерывных моделей систем как задача обеспечения системе наилучших качеств технической устойчивости

2.1. Алгоритмы оптимальной стабилизации для линейных систем при постоянно действующих возмущениях.

2.2. Об одном численном методе решения задачи оптимального синтеза.:.

2.3. Алгоритмы оптимальной стабилизации для специального класса нелинейных систем управления.

2.4. О стабилизации движений нестационарных систем управления.

2.5. Стабилизация непрерывных систем управления, оптимальных относительно интегральных критериев качества.

2.6. Оптимальная стабилизация до технической устойчивости углового положения посадочного аппарата "Сервейер" на конечном участке торможения.

Глава 3. Конечно-разностные методы дискретной стабилизации движений систем до технической устойчивости.

3.1. Постановка задачи дискретной стабилизации.

3.2. Конечно-разностный метод дискретной стабилизации для линейных стационарных систем.

3.3. Дискретная стабилизация движений одного класса линейных нестационарных систем.

3.4. Алгоритмы дискретной стабилизации для нелинейных автономных систем.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы, основанные на методе функций Ляпунова и теории разностных схем, обеспечивающие техническую устойчивость динамических систем»

Необходимость исследования устойчивости движения или некоторого состояния возникает на всех этапах проектирования или исследования физических систем. Впервые строгое математическое определение устойчивости и точные методы решения вопроса устойчивости для достаточно широкого класса систем были даны А.М.Ляпуновым в его знаменитой работе "Общая задача об устойчивости движения" [79]. Эта работа явилась логическим завершением всего предшествующего этапа развития теории устойчивости. С ее появлением теория устойчивости достигла уровня самостоятельной дисциплины, заняв достойное место среди других математических дисциплин. А.М.Ляпуновым были предложены два метода анализа устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Первый метод состоит в построении самих решений дифференциальных уравнений возмущенных движений в виде некоторых рядов. На основании последующего качественного исследования этих решений делаются выводы об устойчивости или неустойчивости. Второй метод заключается в нахождении некоторой вспомогательной функции, по свойствам которой определяется устойчивость или неустойчивость решения. В настоящее время эти функции носят название функций Ляпунова, а метод называется методом функций Ляпунова, вторым методом Ляпунова или прямым методом Ляпунова.

Работа Ляпунова явилась отправным пунктом для исследований такого рода. Его идеи развиваются и углубляются по многим направлениям. Установлены новые теоремы, расширяющие эти методы, решены многие вопросы существования функций Ляпунова и их эффективного построения, исследованы вопросы устойчивости неустановившихся и периодических движений, устойчивости По первому приближению, в критических случаях, при постоянно действующих возмущениях и многие другие. Идеи Ляпунова распространяются на системы, описываемые аппаратом, отличным от обыкновенных дифференциальных уравнений. Обстоятельный анализ работ, основанных на первом методе, приводится в обзоре Н.П.Еругина [47].

Большой вклад в развитие второго метода внесли Г.И.Четаев, К.С.Персидский, Н.Н.Красовский, И.Г.Малкин, Ж.Л.Массера, Р.Беллман и другие (см. обзор В.В.Румянцева Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения. Механика в СССР за 50 лет. Т.1. М.: Наука, 1968. С. 7-66 ). Существенные результаты связаны с именами В.В.Румянцева, Е.А.Барбашина, В.И.Зубова, В.М.Матросова, Ла-Салля, К. Г. Валеева, А.А.Мартынюка и других [17, 18,25, 48-50,71, 101, 102].

Развитием теории устойчивости применительно к системам автоматического управления и регулирования является теория стабилизации движения, которая исследует такие режимы управления системой, при которых некоторое программное движение ( невозмущенное движение ) системы будет устойчивым в том или ином смысле. Во многих случаях наряду с требованием устойчивости невозмущенного движения предъявляются дополнительные требования как к характеру переходных процессов, так и к управляющим воздействиям. Часто эти требования удается выразить в виде минимума некоторого интегрального функционала. Задачи стабилизации с указанными дополнительными требованиями получили название задач оптимальной стабилизации, или аналитического конструирования регуляторов. Общее представление о методах решения, различных ее модификаций и обобщений можно составить по работам А.М. Лё-това [76,77] и его последователей [9,63,65, 66,102].

Одним из принципиально новых понятий устойчивости движения является так называемая техническая устойчивость, потребность в которой вызвана инженерной практикой в области динамики машин, конструирования систем автоматического регулирования, радиотехники, ракетостроения и т.д. Дело в том, что, в отличие от классических постановок А.М.Ляпунова задач устойчивости движения в реальных системах их функционирование происходит на конечном интервале времени, начальные и постоянно действующие возмущения не должны превышать некоторой определенной величины. Задачи с такого рода особенностями получили названия задач технической, практической устойчивости, или устойчивости на конечном интервале времени. "Для прикладных задач имеет значение не только факт существования числа Л(А) > 0 по заданному А> 0, удовлетворяющих определению устойчивости по Ляпунову, но и оценка этих чисел и проверка пригодности оценок в конкретных условиях задачи" [140]. Поэтому основными следует считать те методы решения задач устойчивости, которые дают возможность получения указанных оценок.

История создания теории технической устойчивости и решения связанных с ней проблем имеют очень много аналогий с историей создания теории устойчивости в смысле Ляпунова. Вслед за Н.Г.Четаевым [140] в развитие теории технической устойчивости большой вклад внесли Н.Д.Моисеев, К.А.Карачаров, Н.Ф.Кириченко, А.А.Мартынюк, В.И.Зубов, К.А.Абгарян и другие, [1-5, 48, 55, 56, 59-61, 81-85, 87-89], а в приложение к задачам стабилизации до технической устойчивости Н.Ф.Кириченко, Ф.Д.Фурасов, С.Я.Степанов, Вань Дань-чжи [27, 28, 57, 58, 136]. Несмотря на значительность результатов, достигнутых к настоящему времени, круг проблем в этой области далеко не исчерпан. Как отмечает К.А. Абгарян [1], в задачах технической устойчивости выбор вида областей допустимых состряний имеет существенное значение, в отличие от постановки задачи устойчивости в смысле Ляпунова, когда вопрос устойчивости или неустойчивости не зависит от выбора вида областей допустимых состояний. Система, обладающая технической устойчивостью, например, относительно области в форме п - мерного параллелепипеда может оказаться неустойчивой относительно области предельных отклонений в форме шара и наоборот. Поэтому в вопросах технической устойчивости, стабилизации и оптимальной стабилизации актуальна разработка различных критериев и условий, решающих один и тот же вопрос относительно разных форм областей допустимых состояний. Актуальность перечисленных проблем еще более возрастает в связи с необходимостью получения конструктивных результатов. Под конструктивностью понимается совокупность условий, проверку которых можно выполнить с помощью конечного числа операций.

Современные ЭВМ используются как эффективное средство для математического моделирования сложных задач науки и техники, так и для управления различными объектами, технологическими процессами. Реализация математических моделей на ЭВМ осуществляется с помощью методов вычислительной математики, которая должна непрерывно совершенствоваться вместе с прогрессом в области ЭВМ. Использование ЭВМ для управления предполагает обслуживание задач с некоторым тактом дискретности по времени. Поскольку производительность ЭВМ имеет определенные ограничения, в практическом отношении важна задачаопределения максимально допустимого такта, при котором система управления достаточно хорошо выполняет цель функционирования. В частности, при решении задач стабилизации это будет максимальный такт, при котором система устойчива.

В настоящее время существуют различные подходы к исследованию устойчивости и синтезу непрерывно-дискретных систем : в работах [14-16] данная проблема сводится к исследованию эквивалентной в смысле устойчивости системы с запаздыванием по времени и последующего применения I функционалов Ляпунова. В большом числе работ [6, 10,23,24,29,43,67,68] выражается идея замены' непрерывно-дискретной системы системой разностных уравнений и последующего применения хорошо развитого аппарата анализа и синтеза дискретных систем [44,45,52,69,95,137]. Авторы [106,107] приводят алгоритмы анализа непрерывно-дискретных систем на основе спектральной формы описания систем управления. Частотным методам анализа и анализу с помощью различных преобразований посвящены исследования [19,91,109,113,130]. Все эти методы исследования устойчивости и дискретной стабилизации, как правило, основаны на возможности точного перехода от исходной системы к системе конечно-разностных уравнений, либо на различных аппроксимациях непрерывной части, либо являются приближенными, либо определяют оценки устойчивости лишь для дискретных моментов времени, что, как известно, не исчерпывает проблемы устойчивости и стабилизации непрерывно-дискретных систем, ибо возможность точного перехода предполагает в свою очередь определение решения непрерывной части, аппроксимации нуждаются в строгом обосновании, возникают затруднения при оценке точности приближенных методов. Поэтому, как отметил В.И.Зубов [50], представляет большой интерес решение задачи дискретной стабилизации в произвольные моменты времени с точки зрения конечно-разностных уравнений при строгом обосновании аппроксимации непрерывной части. Решение этой проблемы актуально и в области дискретной стабилизации до технической устойчивости, поскольку ранее такие задачи не рассматривались.

Целью данной работы является исследование технической устойчивости математических моделей динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями; разработка конструктивных алгоритмов стабилизации, оптимальной стабилизации до технической устойчивости, допускающих реализацию на ЭВМ; разработка конструктивных алгоритмов дискретной стабилизации, на основе которых можно использовать ЭВМ для управления различными объектами и технологическими процессами.

В соответствии с поставленной целью в работе решаются следующие задачи:

I. Получение общих критериев и условии технической устойчивости, стабилизации, оптимальной стабилизации для математических моделей динамических систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями.

2. Разработка конструктивных условий технической устойчивости и конструктивных алгоритмов стабилизации, учитывающих ограниченность управляющих воздействий, для линейных и нелинейных систем.

3. Исследование неклассической задачи оптимальной стабилизации до технической устойчивости, позволяющее максимизировать область начальных возмущений.Разработка численных методов ее решения и аналитических методов, которые в вычислительном плане сводятся к последовательности задач нелинейного программирования.

4. Применение разработанных алгоритмов оптимальной стабилизации для конкретных систем управления и их моделирование на ЭВМ.

5. Строгое математическое обоснование применения ЭВМ для управления различными объектами и технологическими процессами, описываемыми линейными и нелинейными математическими моделями.

В диссертации для случая, когда допустимые отклонения заданы в форме замкнутых п - мерных шаров, на основе метода функций Ляпунова получены общие критерии технической устойчивости и стабилизации, близкие к результатам Н.Ф.Кириченко [57], полученным для допустимых отклонений в форме выпуклых открытых многогранников. В отличие от известных работ, при разработке конструктивных условий технической устойчивости и стабилизации, производная от функции Ляпунова не фиксируется, а меняется в области отрицательной определенности. Это позволяет сформулировать ряд оптимизационных задач максимизации области начальных возмущений, имеющих важный прикладной смысл, и разработать методы их решения. Разработанные алгоритмы оптимальной стабилизации применены для оптимальной стабилизации до технической устойчивости углового положения посадочного аппарата "Сервейер" на конечном участке торможения, а также для оптимальной стабилизации невозмущенного движения осесимметричного летательного аппарата. Результаты смоделированы на ЭВМ и полностью подтверждают теоретические исследования. Результатом развития предыдущих условий технической устойчивости применительно к задаче оптимальной стабилизации с интегральным критерием качества является теорема об оптимальной стабилизации до технической устойчивости, полученная с учетом дополнительных ограничений на множество допустимых управлений.

Впервые исследованы вопросы дискретной стабилизации до технической устойчивости с точки зрения уравнений в конечных разностях, указаны все оценки, характеризующие техническую устойчивость. Алгоритмы стабилизации редуцированы к более простым, хорошо изученным теоретически и допускающим эффективную реализацию на современных ЭВМ алгоритмам управления спектром матрицы замкнутой системы.

Теоретическая и практическая ценность работы в том, что полученные конструктивные алгоритмы стабилизации и оптимальной стабилизации, максимизирующие область начальных возмущений, а также алгоритмы оптимальной стабилизации с интегральным критерием качества могут быть использованы в инженерной практике при проектировании и конструировании динамических систем. Оценки такта дискретности, областей допустимых возмущений и алгоритмы дискретной стабилизации могут использоваться при управлении технологическими процессами и различными объектами с помощью ЭВМ.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. .

В первой главе исследованы задачи технической устойчивости и стабилизации для непрерывных математических моделей динамических систем, допустимые отклонения возмущенных движений которых задаются в виде замкнутых и-мерных шаров. Методом функций Ляпунова получены общие критерии технической устойчивости и стабилизации, разработаны конструктивные алгоритмы стабилизации до технической устойчивости для частного вида управляемой системы. В §1.1 приводятся постановки основных задач, рассматриваемых в работе, и излагается вспомогательный материал, необходимый для более ясного изложения последующего материала. В § 1.2 приводятся общие критерии технической устойчивости и стабилизации, полученные на основе метода функций Ляпунова для случая, когда допустимые отклонения заданы в форме замкнутых «-мерных шаров. Эти критерии в последующем будут служить основой для получения соответствующих конструктивных результатов. В §1.3 приводятся конструктивные условия технической устойчивости и конструктивный алгоритм стабилизации для линейных стационарных систем при наличии постоянно действующих возмущений. Под конструктивностью алгоритма понимается последовательность конечного числа операций, выполнение которых определяет данный алгоритм. Причем, в отличие от существующих работ, результаты получены с учетом дополнительных ограничений на множество допустимых управлений, производная от функции Ляпунова не фиксируется, а меняется в области отрицательной определенности. Это позволяет впоследствии сформулировать и решить ряд оптимизационных задач, имеющих важный прикладной смысл.

Вторая глава посвящена рассмотрению задач оптимальной стабилизации (оптимального синтеза) до технической устойчивости, максимизирующих область начальных возмущений 5"о. Для линейных и нелинейных систем управления получены функционалы, характеризующие качество технической устойчивости, разработаны численные алгоритмы и указаны аналитические ме+оды минимизации этих функционалов, которые в вычислительном плане сводятся к последовательности задач нелинейного программирования. Для разнообразных примеров систем управления рассмотрены применения разработанных алгоритмов оптимальной стабилизации и моделированием на ЭВМ показано подтверждение результатов исследований.

В §2.1 приводится постановка задачи оптимального синтеза. Для линейной системы с постоянно действующими возмущениями определяется функционал, характеризующий качество технической устойчивости, приводится общая процедура численного решения задачи оптимальной стабилизации сведением её к задаче нелинейного программирования, указываются возможности аналитического решения. В §2.2 предлагается градиентный метод численного исследования задачи оптимальной стабилизации, свободный от некоторых недостатков предыдущего метода, которые обусловлены большим количеством вычислений при определении функций Ляпунова для систем высокого порядка, при вычислении собственных чисел и собственных векторов матрицы функции Ляпунова. Приводится пример системы автоматического управления, для которой численным методом решена задача оптимальной стабилизации. Результаты смоделированы на ЭВМ и полностью подтверждают проведенные исследования. В §2.3 для нелинейных систем управления со стационарной линейной частью приводятся конструктивные алгоритмы оптимальной стабилизации по линейному приближению. Дополнительно линейному случаю разработан метод последовательных приближений, улучшающий оценки технической устойчивости, обусловленные наличием нелинейности. Причем рассматриваемый класс нелинейных систем является значительным расширением класса нелинейных систем, исследованных некоторыми другими авторами при получении соответствующих конструктивных условий стабилизации. Предыдущие подходы получения конструктивных условий стабилизации, оптимальной стабилизации в классе функций Ляпунова квадратичного вида в §2.4 распространены на линейные нестационарные системы, допускающие существование функций Ляпунова в виде нестационарной квадратичной формы. Исследованию задачи оптимальной стабилизации до технической устойчивости в. ее классической постановке, когда минимизируемый функционал задается в форме интеграла, посвящен §2.5. Впервые результаты подобного рода для случая устойчивости по Ляпунову приведены А.Н. Красовским в работе [66], здесь же обсуждены возможности различных обобщений полученной им основной теоремы об оптимальной стабилизации. Теорема об оптимальной стабилизации, изложенная в этом параграфе, является обобщением указанной теоремы Н.Н.Красовского применительно к технической устойчивости. В §2.6 алгоритмы оптимальной стабилизации, изложенные в предыдущих параграфах, применены для оптимальной стабилизации до технической устойчивости углового положения посадочного аппарата "Сервейер" на конечном участке торможения. Численными расчетами на ЭВМ подтверждены гарантированные оценки на решения, полученные при коэффициентах управления из области оптимальной стабилизации (наилучших оценок) и показано, что при этих коэффициентах управления действительно получаются наилучшие оценки на решения.

В третьей главе математически строго обосновано применение ЭВМ для управления различными объектами и технологическими процессами. Впервые рассмотрены задачи дискретной стабилизации до технической устойчивости и приведены методы их решения на основе теории разностных схем. Для систем управления, изученных во второй главе, разра-г ботаны конструктивные, алгоритмы дискретной стабилизации. При заранее заданном минимальном допустимом такте дискретности кт, алгоритмы дискретной стабилизации сведены к хорошо изученным теоретически и допускающим эффективную реализацию на современных ЭВМ алгоритмам управления спектром матрицы замкнутой системы. Приведен способ, улучшающий оценки, характеризующие техническую устойчивость. В §3.1 % приводятся постановка задачи дискретной стабилизации до технической устойчивости и вспомогательный материал из теории разностных схем с модификациями, необходимыми для дальнейшего изложения материала. В §3.2 получены достаточные условия дискретной стабилизации до технической устойчивости для вполне управляемых линейных стационарных систем при наличии постоянно действующих возмущений. Определены все оценки, характеризующие техническую устойчивость в рассматриваемом г случае: оценки на шаг дискретности, на постоянно действующие возмущения, начальные и последующие предельные отклонения. Алгоритмы стабилизации редуцируется к управлению спектром матрицы замкнутой системы. Разработке алгоритмов стабилизации для линейных нестационарных систем, приводимых к каноническому виду, когда эталонная система выбирается в классе устойчивых стационарных систем с ограничением расположения собственных чисел в некотором замкнутом круге посвящен §3.3. В отличие от стационарного случая матрица коэффициентов усиления в законах стабилизации в каждый дискретный момент времени ^ пересчитывается заново. При фиксированной эталонной системе указывается метод, улучшающий оценки технической устойчивости. Результаты исследования задачи дискретной стабилизации с использованием конечно-разностного подхода для нелинейных систем управления с вполне управляемой линейной частью изложен в §3.4. Ограничения на выбор шага дискретности для нелинейных систем более жесткие, чем для линейных: наличие нелинейности существенно влияет на уменьшение радиуса круга расположения собственных значений матрицы замкнутой системы.

В приложении приводится программа численного решения задачи оптимальной стабилизации для осесимметричного летательного аппарата.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Тарасов, Анатолий Пантелеймонович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации для математических моделей динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, методом функций Ляпунова и теории разностных схем разработаны конструктивные алгоритмы стабилизации, оптимальной стабилизации до технической устойчивости, в вычислительном плане сводящиеся к задачам нелинейного программирования, и конструктивные алгоритмы дискретной стабилизации, на основе которых можно использовать ЭВМ для управления различными объектами и технологическими процессами.

Основные научные и практические результаты диссертации заключаются в следующем:

1. Методом функций Ляпунова проведены исследования нелинейных математических моделей динамических систем. Доказаны общие критерии технической устойчивости и стабилизации, которые уточняют соответствующие критерии Н.Ф.Кириченко относительно допустимых отклонений возмущенных движений в форме замкнутых п -мерных шаров.

2. Разработаны конструктивные достаточные условия технической устойчивости и конструктивные алгоритмы стабилизации для линейных стационарных систем, подверженных постоянно действующим возмущениям, линейных нестационарных систем , приводимых к каноническому виду , достаточно широкого класса нелинейных систем.

3. Для вышеуказанных математических моделей поставлены задачи оптимальной стабилизации до технической устойчивости, позволяющие максимизировать область начальных возмущений. Разработаны численные алгоритмы и указаны аналитические методы решения этих задач, которые в вычислительном плане сводятся к последовательности задач нелинейного программирования. Предложен метод последовательных приближений, улучшающий оценки технической устойчивости, обусловленные наличием нелинейности.

4. Доказана теорема об оптимальной стабилизации до технической устойчивости с интегральным критерием качества , которая расширяет возможность применения классической теоремы об оптимальной стабилизации H.H. Красовского [66] в области задач технической устойчивости.

5. Разработанные алгоритмы оптимальной стабилизации применены для оптимальной стабилизации до технической устойчивости углового положения посадочного аппарата "Сервейер" на конечном участке торможения, а также для оптимальной стабилизации невозмущенного движения осесимметричного летательного аппарата. Результаты смоделированы на ЭВМ и полностью подтверждают теоретические исследования.

6. Впервые исследованы вопросы дискретной стабилизации до технической устойчивости на основе теории разностных схем, которые были поставлены В.И. Зубовым [50]. Разработано строгое математическое обоснование применения ЭВМ для управления технологическими процессами и объектами, описываемыми линейными стационарными системами с постоянно действующими возмущениями, линейными нестационарными системами, приводимыми к каноническому виду, нелинейными системами, удовлетворяющими условию Липшица.

7. Получены все оценки, характеризующие техническую устойчивость: оценки на шаг дискретности, на величины постоянно действующих возмущений, начальных предельных отклонений. Алгоритмы стабилизации редуцированы к более простым, хорошо изученным теоретически и допускающим эффективную реализацию на современных ЭВМ алгоритмам управления спектром матрицы замкнутой системы.

8. Практическая ценность работы состоит в том , что полученные конструктивные алгоритмы стабилизации и оптимальной стабилизации, максимизирующие область начальных возмущений , а также алгоритмы оптимальной стабилизации с интегральным критерием качества могут быть использованы в инженерной практике при проектировании и конструировании динамических систем . Оценки такта дискретности, областей допустимых возмущений и алгоритмы дискретной стабилизации могут быть использованы при управлении технологическими процессами и различными объектами с помощью ЭВМ . I

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тарасов, Анатолий Пантелеймонович, 1998 год

1. Абгарян К.А. Устойчивость движения на конечном интервале // Итоги науки и техники. Сер. общ. механики. М.: ВИНИТИ, 1976. Т.З. С.43-126.

2. Абгарян К.А. Об устойчивости движения на конечном промежутке времени // Прикл. матем. и механика. 1968. Т.32, №6. С.977-986.

3. Абгарян К.А. Одна постановка задачи об устойчивости процессов на заданном промежутке времени // Докл. АН СССР. 1973. Т.212, №6.С.1313-1316.

4. Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем. М.:Наука,1973. 432 с.

5. Абгарян К.А. К теории устойчивости процессов на заданном промежутке времени // Прикл. матем. и механика. 1975. Т. 39, № 5. С. 827-334.

6. Аверина А.Д., Модяев А.Д. Исследование нелинейных систем управления на основе применения дискретных моделей // Дискретные нелинейные системы / Под ред. Ю.И. Топчеева. М. Машиностроение, 1982. С. 183-207.

7. Алексеев В.М. Об одной оценке возмущений решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем. и механики. 1961. №2. С. 28-36.

8. Алексеев В.М., Тихомиров В.М. Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.430 с.

9. Альбрехт Э.Г., Шелементьев Г.С. Лекции по теории стабилизации. Свердловск: Изд-во Уральского ун-та. 1972. 273 с.

10. Анализ и оптимальный синтез на ЭВМ систем управления / Под ред. A.A. Воронова и И.А. Орурка. М.: Наука, 1984. 344 с.

11. Анциферов Е.Г. Некоторые оптимизационные задачи, связанные с построением устойчивых динамических систем вторым методом Ляпунова

12. Методы оптимизации и их приложения. Новосибирск: Наука, 1982. С. 3-22.

13. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.В. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1989. 447 с.

14. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976. 424 с.

15. Барабанов А.Т., Агранович Г.А., Кузнецов В.М. Об оптимальной фильтрации в непрерывно дискретных системах // Приборостроение. Киев: Техника, 1975. Вып. 18.

16. Барабанов А.Т., Старожилов Е.Ф. Исследование устойчивости нелинейных гидродинамических объектов с цифровыми регуляторами // Техн. средства изучения и освоения океана: Тез. докл. Всесоюз. конф. 1981 г. Севастополь, 1981. С. 107-108.

17. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.:Наука, 1967. 233 с.

18. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.

19. Барковский В.В., Захаров В.Н., Шаталов A.C. Методы синтеза систем управления, основанные на применении ЦВМ. М.: Машиностроение, 1969. 376 с.

20. Болтянский B.F. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969. 408 с.

21. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: Иностр. лит., 1954. 216 с.

22. Бертсекас Д. Условная оптимизация и метод множителей Лагранжа. М.: Радио и связь, 1987. 400 с.

23. Белова Д.А., Кузин P.E. Применение ЭВМ для анализа и синтеза автоматических систем управления. М.: Энергия, 1979. 264 с.

24. Бесекерский В.А. Цифровые автоматические системы. М.: Наука, 1976. 576 с.

25. Валеев К.Г., Финин Г.С. Построение функций Ляпунова. Киев: Науко-ва думка, 1981. 412 с.

26. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. 400 с.

27. Вань Дань-чжи, Степанов С.Л. Численное исследование на конечном интервале времени // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1974. 14, №2. С. 350-364.

28. Вань Дань-чжи, Степанов С.Л. Стабилизация управляемых движений на конечном интервале времени // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1975. 15, №4. С. 908-922.

29. Волгин Л.Н. Оптимальное дискретное управление динамическими системами. М.: Наука, 1986. 240 с.

30. Воронов A.A. Устойчивость управляемость наблюдаемость. М.: Наука, 1979. 336 с.

31. Габасов Ф., Кириллова Ф.Л. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971. 508 с.

32. Габасов Ф., Кириллова Ф.Л. Методы оптимизации. Минск: Изд-во Белорус, ун-та, 1975. ,280 с.

33. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Физматгиз, 1953. 492 с.

34. Галиуллин A.C., Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г., Фурасов Ф.Д. Построение систем программного движения. М.: Наука, 1971. 352 с.

35. Гаращенко Ф.Г. Исследование практической устойчивости систем разностных уравнений с помощью функций Ляпунова //Моделир. и оптими-зац. сл. систем. 1983. Вып.2. С. 32-37.

36. Гаращенко Ф.Г. О численном подходе решения задач устойчивости на конечном интервале времени // Докл. АН УССР. Сер. А. 1981. №11. С. 78-81.

37. Гаращенко Ф.Г., Кириченко Н.Ф. Исследование задач по практической устойчивости и стабилизации движения // Изв. АН СССР. Механика тв. тела. 1975. №6. С. 15-24.

38. Гаращенко Ф.Г., Страшнов И.В. Численное построение экстремальных множеств устойчивости // Вычисл. и прикл. математика. .1984. Вып.52. С.118-124.

39. Годунов O.K., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977. 440 с.

40. Горбунов А.Д. Об одном методе получения оценок решения системы обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений // Вестн. Моск. ун-та. Сер. физ.- мат. и естеств. наук. 1950. № 10. С. 19-26.

41. Горбунов А.Д. Об оценках координат решений систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений // Вест. Моск. ун-та. Сер. физ.-мат. и естеств. наук. 1954. №5. С. 27-31.

42. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

43. Дидук Г.А., Коновалов A.C., Орурк И.А., Осипов A.A. Анализ и оптимальный синтез на ЭВМ систем управления. М.: Наука, 1984. 344 с.

44. Дискретные нелинейные системы / А.Д. Аверина, А.Н. Герасимов, О.П. Гебродин и др.; Под ред. Ю.И. Топчеева. М.: Машиностроение, 1982. 312 с.

45. Джури Е.И., Цыпкин Я.З. Теория дискретных автоматических систем (обзор)//Авт. и телемеханика. 1970. №6. С. 57-82.

46. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982. 432 с.

47. Еругин Н.П. Первый метод Ляпунова // Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1968. С.67-86.

48. Зубов В.И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973. 272 с.

49. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. М.: Машиностроение, 1974. 336 с.

50. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 446 с.

51. Иванов В.А., Фалдин Н.В. Теория оптимальных систем автоматического управления. М.: Наука, 1981. 336 с.

52. Иванов В.А., Ющенко A.C. Теория дискретных систем автоматического управления. М.: Наука, 1983. 336 с.

53. Каменков Г.В. Об устойчивости движения на конечном интервале времени // Прикл. матем. и механика. 1953. 17, № 5. С. 529-540.

54. Каменков Г.В., Лебедев A.A. Замечания к статье об устойчивости на. конечном интервале времени // Прикл. матем. и механика. 1954. 18, №4. С. 512.

55. Карачаров К.А. Некоторые критерии устойчивости движения при наличии постоянно действующих возмущений // Дифференц. уравнения. 1970. 6, №11. С. 1963-1969.

56. Карачаров К.А., Пилютик А.Г. Введение в техническую теорию устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1962. 244 с.

57. Кириченко Н.Ф. Некоторые задачи устойчивости и управляемости движения. Киев: Изд-во Киев, ун-та, 1972. 212 с.

58. Кириченко Н.Ф. Введение в теорию стабилизации движения. Киев: Вища школа, 1978. 184 с.ч.

59. Кириченко Н.Ф. Об устойчивости движения на заданном множестве в конечном при постоянно действующих возмущениях //Укр. матем. журнал. 1969. 21, вып. 1. С. 98-100.

60. Кириченко Н.Ф. Устойчивость движения при постоянно действующих возмущениях в конечном // Дифференц. уравнения. 1968. т.4, вып. 11. С. 2010-2014.

61. Кириченко Н.Ф., Цыганкова Л.А. Оптимизация практической устойчивости линейных систем. В кн. :Матем. обеспечение систем управления. Киев, 1978. С. 12-20. АН УССР. Ин-т кибернетики. №78-17.

62. Комаров Ю.А., Хусаинов Д.Я. Некоторые замечания об экстремальной функции Ляпунова для линейных систем // Укр. матем. журнал. 1983.1. Т.35, № 6. С. 750-753.

63. Красовский A.A. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973. 558 с.

64. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 211 с.

65. Красовский H.H. Теория оптимальных управляемых систем // Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1968. Т. 1. С. 179-244.

66. Красовский H.H. Проблемы стабилизации управляемых движений.

67. Дополнение к 80. С. 475-514.

68. Крутько П.Д. Построение дискретных управлений в случае неполной степени наблюдаемости // Техн. кибернетика. 1976. № 3. С. 168-171.

69. Крутько П.Д. Вариационные методы синтеза систем с цифровыми регуляторами. М.: Сов. радио, 1967. 440 с.

70. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. М.: Наука, 1977. 400 с.

71. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1971. 432 с.

72. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964. 168 с.

73. Лебедев A.A. К задаче об устойчивости на конечном интервале времени //Прикл. матем. и механика. 1954. Т. 18, № 1. С.75-94.

74. Лебедев А.Л. Об устойчивости движения на заданном интервале времени // Прикл. матем. и механика. Т . 18, №2. С. 139-148.

75. Лебедев A.A. Об устойчивости неустановившегося движения на конечном интервале времени//Тр. / Моск. авиац. ин-т. 1955. Вып. 50. С.7-25,

76. Лебедев A.A. Об устойчивости линейных динайических систем с переменными коэффициентами // Тр. / Моск. авиац. ин-т. 1960. Вып. 121. С. 44-51.

77. Летов A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. М.: Физматгиз, 1962. 483 с.

78. Летов A.M. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969. 359 с.

79. Ли Э.Б., Маркус JI. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 576 с.

80. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостех-издат, 1950. 472 с.

81. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 522 с.

82. Мартынюк A.A. К устойчивости неустановившегося движения на заданном интервале времени // Прикл. механика. 1967. Т. 3, № 5. С. 121-125.

83. Мартынюк A.A. О технической устойчивости сложных систем. В сб.: Кибернетика и вычислительная техника. Сложные системы управления. Киев: Наукова думка, 1972. Вып.15. С. 58-64.

84. Мартынюк A.A. О конечной устойчивости движения на бесконечном интервале времени // Матем. физика. Респ. межвед. сборник. 1973. Вып. 13. С.55-59.

85. Мартынюк A.A. Техническая устойчивость в динамике. Киев: Техника, 1973. 188с.

86. Мартынюк A.A., Лакшмикантам В., Лила С. Устойчивость движения: Метод интегральных неравенств. Киев: Наукова думка, 1939. 272 с.

87. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1976. 320 с.

88. Моисеев Н.Д. О некоторых методах теории технической устойчивости //Тр. / Воен.-возд. академия им. Жуковского. 1945. Вып. 135.

89. Моисеев Н.Д. Обзор развития неляпуновских теорий устойчивости движения // Зап. семинара по теории устойчивости движения. Воен.-возд. академия им. Жуковского. 1946. №1. С. 75-93.

90. Моисеев H.H., Иванилов К.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978. 352 с.

91. Наумов Б.Н. Теория нелинейных автоматических систем. Частотные методы. М.: Наука, 1972. 544 с.

92. Оболенский А.Ю. Об экстремальных функциях Ляпунова для линейных систем с постоянными коэффициентами// Матем. физика. 1983. Вып. 34. С. 6-30.

93. Персидский К.П. Об устойчивости решений дифференциальных уравнений // Изв. АН Каз. ССР. 1950. Вып.4, № 97. С. 3-18.

94. Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974. 322 с.

95. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. М.: Наука, 1973. 256 с.

96. Пустовойтов H.A. К построению функций Ляпунова методом малого параметра // Тр. семинара по математической физике и нелинейным колебаниям. Киев. 1968. Т. 1,вып.2. С. 186-189.

97. Пустовойтов H.A. К построению функций Ляпунова методом возмущений // Асимптот, методы в теории нелинейных колебаний. Киев: Наукова думка, 1979. С. 171-178.

98. Пустовойтов H.A. Приближенные методы построения функций Ляпунова. Киев. 1974. 28 е./ Ин-т матем. АН УССР. № 74-7. Препринт.

99. Подчукаев В.А. Быстрые алгоритмы анализа и синтеза систем автоматического регулирования на основе полиномиальных функций и их параметров. Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 1986. 111 с.

100. Рудаков В.П. Оценка решений и устойчивость на конечном интервале псевдолинейных систем // Диф. уравнения. 1969. Т.5, № 8. С. 1385-1389.

101. Румянцев В.В. Метод фикций Ляпунова в теории устойчивости движения // Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1968. С. 7-66.

102. Румянцев В.В. Об оптимальной стабилизации управляемых систем // Прикл. матем. и механика. Т. 34, вып. 3. 1970. С. 440-456.

103. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973. 416 с.

104. Солодовников В.В., Семенов В.В. Спектральная теория нестационарных систем управления. М.: Наука, 1974. 336 с.

105. Семенов В.В., Рыбин В.В. Спектральный анализ линейных непрерывно дискретных и дискретных систем с переменными параметрами на конечных интервалах времени //Адаптивные системы автоматического управления. Киев: Техника, 1978. Вып. 6. С. 106-116.

106. Семенов В.В., Репин В.М. Анализ нелинейных непрерывно дискретных систем управления с переменными параметрами спектральным методом // Системы авт. управления:Труды МВТУ. Вып.4. С. 21-25.

107. Семенов В.В., Тарасов А.П. Техническая устойчивость и стабилизация невозмущенных движений динамических систем // 6-я Четаев. конф. "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" : Тез. докл.- Казань,1992. С. 51-52.

108. Семенов В.В., Тарасов А.П. Оптимальная стабилизация углового положения посадочного аппарата "Сервейер" на конечном участке торможения // Укр. конф. "Моделирование и исследование устойчивости процессов" : Тез. докл. Киев , 1993.

109. Сивцов В.И. Анализ непрерывно дискретных систем на основе двумерных интегральных преобразований // Системы авт. управления : Тр. МВТУ. 1979. Вып.7. С. 108-116.

110. Смирнов Е.Я. Стабилизация линейных систем с неполной обратной связью при наличии дискретной информации о состоянии системы //Управление, надежность и навигация. Саранск. 1980. С. 5-9.

111. Смирнов Е.Я. Некоторые задачи математической теории управления. JL: Изд-во Ленингр. ун-та. 1981. 200 с.

112. Степаньянц Г.А., Шалутков Б.М. О существовании оптимальных функций Ляпунова для динамических систем //Докл. АН СССР. 1973. т.213, № 5. С. 1040-1042.

113. Сю Д., Мейер А. Современная теория автоматического управления и ее применение. М.: Машиностроение, 1972. 552 с.

114. Тарасов А.П. Об одном случае численной стабилизации решения линейной системы дифференциальных уравнений // Вопр. качественной теории диф. уравнений. Чебоксары, 1982. С. 106-117.

115. Тарасов А.П. Применение Функций Ляпунова к оценкам технической устойчивости // Респ. научно-практ. конф. молодых ученых и специалистов ЧАССР: Тез. докл. Чебоксары, 1985. С. 22-23.

116. Тарасов А.П. Выбор оптимальной функции Ляпунова в задаче стабилизации до технической устойчивости. Чебоксары, 1986. 7 с. Деп. в ВИНИТИ 23.06.86, №. 4606 В 86.

117. Тарасов А.П. Дискретная стабилизация на конечном интервале времени. Чебоксары, 1986, 8 с. Деп. в ВИНИТИ 23.06.86, № 4608 В 86.

118. Тарасов А.П. Об оптимальных функциях Ляпунова в задачах стабилизации //Всесоюз. конф. " Метод функций Ляпунова в современной математике": Тез. докл. Харьков, 1986. С. 54.

119. Тарасов А.П. Дискретная стабилизация одного класса линейных нестационарных систем. Чебоксары, 1987. 11 с. Деп. в ВИНИТИ 20.10.87, №7413 В 87.

120. Тарасов А.П. Об оптимальной стабилизации до технической устойчивости. Чебоксары, 1987. 9 с. Деп. в ВИНИТИ 20.10.87, № 7411 В 87.

121. Тарасов А.П. О наилучших оценках в задаче стабилизации до технической устойчивости. Чебоксары, 1987. 12 с. Деп. в ВИНИТИ 14.12.87, № 8697 В 87.

122. Тарасов А.П. Стабилизация невозмущенных движений нелинейных систем на конечном интервале времени. Чебоксары, 1990. 7 с. Деп. в ВИНИТИ 04.04.90, № 1859 В 90.

123. Тарасов А.П. Метод функций Ляпунова в задаче стабилизации для технической устойчивости // Всесоюз. школа-семинар " Моделированиеи исследование устойчивости физических процессов ":Тез. докл. Киев, 1990. С. 58.

124. Тарасов А.П. Метод функций Ляпунова в задаче дискретной стабилизации на конечном интервале // 2 научно технический семинар " Моделирование и исследование устойчивости физических процессов ": Тез. докл. Киев, 1991. С. 80.

125. Тарасов А.П. Алгоритмы управления, определяющие наилучшие оценки // XI Всесоюзная конференция "Проблемы теоретической кибернетики": Тез. докл. Волгоград. 1990. С. 43.

126. Тарасов А.П. Численная стабилизация на конечном интервале времени //Укр. конф. "Моделирование и исследование устойчивости процессов": Тез. докл. Киев. 1992. С. 47-48.

127. Тарасов А.П. К дискретной стабилизации непрерывных систем //Респ. конференция "Высшая школа народному хозяйству Чувашии": Тез. докл. Чебоксары. 1992. С. 19-20.

128. Тарасов А.П. Оптимальная стабилизация до технической устойчивости с интегральным критерием качества // Укр. конф. "Моделирование и исследование устойчивости систем": Тез. докл. Киев. 1995. С. 105.

129. Тарасов А.П. Об одном методе последовательных приближений стабилизации до технической устойчивости нелинейных систем управления. //Итоговая научн. техд. конф. : Тез. докл. ./ Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та. 1997.

130. Тарасов А.П. Техническая устойчивость и стабилизация невозмущенных движений динамических систем // Вест. Чуваш, ун-та. 1997. № 1. С. 175-186.

131. Тихонов A.A. К вопросу об устойчивости движения на конечном интервале времени II Вестн. Ленингр. ун-та. 1968. № 19. С. 132-137.

132. Тихонов A.A. К задаче об устойчивости движения при постоянно действующих возмущениях // Вестн. Ленингр. ун-та. 1969. № 19. С. 116-122.

133. Тихонов A.A. Об оценках возмущенных движений некоторых нелинейных неавтономных систем // Прикл. механика / Ленингр. ун-т. Л., 1974. Вып. 1. С. 3-10.

134. Федоров С.М., Альтшуллер В.Н. Алгоритм синтеза систем автоматического управления частотными методами // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1973. №6. С. 167-177.

135. Функции Ляпунова и их применения. Сб./Под ред. В.Л. Матросова и А.И. Маликова.Новосибирск: Наука, 1986. 248 с.

136. Фурасов В.Д. Устойчивость движения оценки и стабилизация. М.: Наука, 1977. 248 с.

137. Фурасов В.Д. Устойчивость и стабилизация дискретных процессов. М.: Наука, 1982. 192 с.

138. Хусаинов Д.Я., Ивохин Е.В. Об оценке решений линейных систем с использованием функций Ляпунова // Кибернетика. 1985. №. 2. С. 7-10.

139. Хусаинов Д.Я., Комаров Ю.А., Юнькова Е.А., Об одном методе построения оптимальных функций Ляпунова систем линейных дифференциальных уравнений//Автоматика. 1984. №6. С .72-75.

140. Четаев Н.Г. Об одной мысли Пуанкаре // Тр. / Казан, авиац. ин-т. . 1935. №3.

141. Четаев Н.Г. О выборе параметров устойчивой механической системы // Прикл. матем. и мерсаника. 1951. Т. 15, № 3. С. 371-372.

142. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965. 207 с.

143. Чжан Сы-ин. Об устойчивости движения на конечном интервале времени // Прикл. матем. и механика. 1959. Т. 23, № 2. С. 230-238.

144. Чжан Сы-ин. Об оценках решений систем дифференциальных уравнений, накопления возмущений и устойчивости движения на конечном интервале времени // Прикл. матем. и механика. 1959. Т.23, № 4. С. 640-649.

145. Юнькова Е.А., Хусаинов Д.Я. Численное построение экстремальной функции Ляпунова // Вести. Киев, ун-та. Сер. Моделир. и оптимиз. сл.систем. 1982. Вып.1. С. 105-108.

146. Hallam T.G., Komkov. Application of Liapunov s functions to finite time stability//Rev. roum. math, pures et appl. 1969. V.14, № 4. P. 495-501.

147. Kayande A.A., Mohana Rao Rama. Comparison principle andconverse theorems for finite time stability //Notas e Comun. Mat. 1969. V. 15, № 20. P. 1-18.

148. Sosnovski A. Finite dimensional approximation for stabilization of discrete time linear system // Control and Cybernetics. 1980. V.9., № 1-2. P. 53-60.

149. Tsokos C.P., Mohana Rao Rama. Finite time stability of control systems and integral inequalities //Bui. Inst, politehn. Iasi. 1969. V.15 (19), № 1-2. P. 105-112.

150. Weiss L., Infante E.F. On the stability of systems defined over a finite time interval. Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1965. V.54,№1. P. 44-48.

151. Weiss L., Infante E.F. Finite time stability under perturbing forces and on product spaces //IEEE Trans. Automat. Contr. 1967. V. AC 12, № 1. P. 54-59.

152. Weiss L. Converse theorems for finite time stability// Siam. J. Appl. Math. 1968. №6. P. 1319-1324.