Разработка и исследование схем программного моделирования устойчивости решений нелинейных дифференциальных уравнений на основе разностных методов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Катрич, Сергей Анатольевич

• Катрич, Сергей Анатольевич
• кандидат технических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат технических наук Катрич, Сергей Анатольевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОГРАММИРУЕМЫХ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ КРИТЕРИЕВ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИИ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ОДУ.

1.1. Построение базовой схемы анализа устойчивости решений нелинейных ОДУ.

1.2. Синтез и обоснование мультипликативных критериев устойчивоеiи решений нелинейных ОДУ.

1.3. Программное моделирование мультипликативных критериев устойчивости.

1.4. Обоснование мультипликативных критериев устойчивости с конечным числом сомножителей для программного моделирования.

1.5. Разностные оценки асимптотического поведения возмущенного решения задачи Коши.

1.6. Критерии устойчивости для систем нелинейных ОДУ.

1.7. Об отличительных особенностях критериев устойчивости в случае систем линейных ОДУ.

1.8. Выводы.

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ДОСТОВЕРНОСТИ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ КРИТЕРИЕВ УСТОЙЧИВОСТИ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ПОГРЕШНОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ.

2.1. Перенос критериев устойчивости на разностные приближения решений ОДУ по методу Эйлера-Коши.

2.2. Достоверность мультипликативных критериев устойчивости на основе метода Эйлера-Коши в случае конечного числа сомножителей.

2.3. О построении мультипликативных критериев устойчивости на основе методов Эйлера, Руше-Кутта и Адамса.

2.4. Программное моделирование мультипликативных критериев устойчивости для представленных разностных схем.

2.5. Достоверность мультипликативных критериев устойчивости на основе метода Эйлера-Коши в случае систем нелинейных ОДУ.

2.6. Оценка накопления погрешности метода Эйлера-Коши в условиях устойчивости.

2.7. Выводы.

ГЛАВА 3. ПРОГРАММНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПО ПРИМЕНЕНИЮ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ КРИТЕРИЕВ УСТОЙЧИВОСТИ И ЧИСЛЕННЫ!I ЭКСПЕРИМЕНТ ПО ОЦЕНКЕ ИХ ДОСТОВЕРНОСТИ.

3.1. Построение основной программной модели и реализация компьютерною анализа устойчивости решений систем нелинейных ОДУ.

3.2. Инвариантность программной модели анализа устойчивости решений систем нелинейных ОДУ относительно размерности системы.

3.3. Моделирование мультипликативных критериев устойчивости и оценка их достоверности в зависимости от величины шага разностной схемы.

3.4. Моделирование мультипликативных критериев устойчивости и оценка их достоверности в зависимости от величины возмущений начальных данных.

3.5. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка и исследование схем программного моделирования устойчивости решений нелинейных дифференциальных уравнений на основе разностных методов»

Акгуалмшсп» проблемы. Понятие устойчивости движения, устойчивости динамических процессов зародилось и получило значительное развитие главным образом в механике задолго до появления классических и современных теорий устойчивости и управления.

Устойчивость есть категория, относящаяся прежде всего к собственным движениям системы, порождаемыми начальными условиями (возмущениями) и внутренними свойствами системы, но не внешними воздействиями. Поэтому устойчивость можно рассматривать применительно к любому процессу, как управляемому, так и неуправляемому. Неуправляемые механические процессы, процессы небесной механики, а затем колебания всех видов явились первыми предметами теории устойчивости.

В настоящее время число понятий устойчивости настолько велико, что этот термин справедливо считается перегруженным. Например, иод устойчивостью системы автоматического регулирования обычно понимают свойство системы возвращаться к первоначальному состоянию после прекращения внешнего воздействия [1]. Полагая, что система автоматического регулирования описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) приходим к понятию устойчивости движения (решения) в смысле Ляпунова. Однако и в математической теории устойчивости данный термин обозначает весьма обширные качества и свойства решений ОДУ. Помимо устойчивости по Ляпунову различают устойчивость по Лагранжу, Пуассону (Пуанкаре), орбитальную устойчивость, экспоненциальную устойчивость, устойчивость порядка т по Биркгофу [2] и некоторые др. (определения некоторых понятий устойчивости приводятся ниже).

Кроме тою, в численных методах существует понятие устойчивости численных схем, в классической механике говорят об устойчивости равновесия, Солнечной системы, в бурно развивающейся отрасли современной математики, теории особенностей дифференцируемых отображений, помимо просто устойчивости гладких отображений различают устойчивость ипфинитези-мальную, деформационную, дифференцируемую, лагранжеву, лежандрову, тополем ичсскую и некоторые др. [3].

Непосредственно возникновение математической теории устойчивости движения связано с именем Л.М. Ляпунова. Основы ею теории были разработаны более 100 лет назад («Общая задача об устойчивости движения», 1892). С начала 30-х юдон теория устойчивости Ляпунова получила интенсивное развитие вследствие появления новых задач науки и техники. В настоящее время теория устойчивости по Ляпунову является общепринятой и применяется во многих областях естествознания.

Предлагаемая диссертационная работа посвящена именно анализу устойчивости по Ляпунову (ниже устойчивости).

Трудоемкий анализ устойчивости на основе математических особенностей конкретных систем необходим, в силу актуальности, в механике, физике, теории автоматического регулирования, теории сложных систем, в других областях теоретических и прикладных исследований. Например, в механике теорию устойчивости используют при анализе устойчивости полета снаряда, стабилизации движения спутника, устойчивости механических систем с вращающимися массами (роторами), движения твердых тел с упругими элементами и полостями, содержащими жидкость и т.д. В последнее время теорию устойчивости начали применять также при решении задач химической кинетики, экологии, экономики и др.

Исследование устойчивости - предмет качественной теории дифференциальных уравнений. Ляпуновым предложены два метода для анализа устойчивости.

Первый (аналитический) метод Ляпунова связан с представлением решений систем с голоморфными правыми частями в виде степенных рядов по начальным отклонениям и теорией характеристических чисел решений линеаризованной системы (первого приближения). Другими словами, первый метод опирается па рассмотрение некоторою явною представления решений, в частности, бесконечными рядами. Он распространен на задачи нелинейной теории колебаний и аналитической теории дифференциальных уравнений, получил широкие применения в задачах механики, физики и технике. Этот метод развит в фундаментальных трудах [4 - 16] и в трудах многих других специалистов по нелинейному анализу [17].

Второй (качественный, прямой) метод Ляпунова в основном связан с введением вспомогательных оценивающих функций, получивших его имя. Этот метод - результат синтеза идей качественной теории дифференциальных уравнений, идей А. Пуанкаре и A.M. Ляпунова [17].

Второй метод стал основным методом классической и современной теории устойчивости, а также качественной теории дифференциальных уравнений. Он эффективен для разнообразных квазилинейных и нелинейных систем.

Развитие компьютерной техники привело к необходимости автоматизации ее средствами процесса анализа устойчивости. Это связано с тем, что процесс приближенного решения ОДУ производится с помощью компьютера, на основе компьютерных технологий строятся системы автоматического управления и автоматического регулирования. Отсюда возникает необходимость анализа устойчивости непосредственно в процессе компьютерного решения без прерывания работы компьютера. Очевидно, что такую технологическую оценку устойчивости затруднительно получить на основе методов качественной теории, которая исторически ориентировалась на интуицию и квалификацию математиков при отсутствии средств вычислительной техники.

Практикуемые в настоящий момент подходы к автоматизации анализа устойчивости опираются на вычисление функций Ляпунова [18-20] и применение схем символьной обработки [21]. Эти подходы продолжают быть связанными с традиционными методами математического анализа устойчивости на основе первого и второго методов Ляпунова [2, 22 - 25] или, в случае систем линейных ОДУ с постоянными коэффициентами, с исследованием корней характеристическою полинома матрицы коэффициентов на основе аппарата линейной алгебры [26, 27]. Подходы сложны, трудоемки, предла1аемые решения зависят от вида правой части и начальных данных, по крайней мере, в случае нелинейных ОДУ. Такая зависимость обусловлена тем, что не существует единообразною алгоритма построения функций Ляпунова для нелинейных ОДУ общего вида.

Тем самым известные подходы к компьютерному анализу устойчивости на данный момент не отвечают качествам технолог ичности.

Отсюда актуальна задача разработки метода компьютерного анализа устойчивости решений нелинейных ОДУ общего вида на основе разностных приближений, который не использовал бы аналитические решения и аппарат функций Ляпунова.

Существующие методы анализа устойчивости традиционно включаю] анализ устойчивости на основе определения, первый метод Ляпунова, устойчивость линейных ОДУ, второй метод Ляпунова.

Различные определения устойчивости и анализ устойчивости на основе определения. Пусть дана система ОДУ в нормальной форме dY

F(t,Y),

1) clt

У(!о)=Уо> где Y = Y(t), К = (^1(/),^2(/),.,^„(/))-искомая вектор-функция, Y0 = ()\(*0 )*у2(10)»-.-0>„('о)) - вектор начальных данных, F(t,К) = (/,(/,Y),f,(t,К),.,/„(/,Y)) - заданная вектор-функция от п +1 переменных: независимой переменной / и п зависимых переменных )',(/),

Функции /(, / = 1,2,. ,п, предполагаются определенными на некотором множестве S, элементами которого служат точки [t,yvy2,.,yn).

Ниже приводятся некоторые определения устойчивости и анализируются их различия.

Если F(t,Y) непрерывна на множестве S точек (t,Y) и S открыто справа от /0, если решение Y(t)=Y(t;t0, Y0) системы (1) существует па полупрямой /0</<со и (/,К(/))е5 для всех />/0,то Y(t) называется устойчивым но Ляпунову (справа) [2], если выполнены следующие условия:

1) Найдется такое Ь> 0, что каждое решение К(/;/0, К,) существует на

0 </<оо и (t,Y(t))eS для всех />/0, если для начального вектора выполнено неравенство " К, - К0 ' < b.

2) Если дано е>0, то можно найти 5 = 5(с; F,Y0), 0<5<Ь, 1акое, что Г,-К0 <5 влечет К(/;/0, К,)-К(/;/0, К0) <с для всей полупрямой /0</<со.

Устойчивость по Ляпунову по сути дела является равномерной непрерывностью Y(t;t0, Y0) на [/0,оо) по отношению к начальному вектору К0.

Иными словами, решение Y(t;t0,Y0) устойчиво, если достаточно близкие к нему при любом /0 решения К(/;/0, Г,) целиком пофужаются в сколь угодно узкую s-трубку, построенную вокруг решения Г(/; t0,Y0).

Здесь и в дальнейшем норма понимается как каноническая норма вектора, например, IIК [1= ух + уг .+

У„

Решение Y(t;t0,Y0) называется асимптотически устойчивым (справа) [2], если при выполнении 1) и 2) выполняется также условие:

3) Можно найти такое 50 =50 (/Г,К0), 0<50<6, что из <80 следует Y(t;/0, К,) - Y(t\/0, Г0 )(|-> 0 при /->оо.

Существуют разновидности [22, 28] данных определений, где 8 и 50 зависят от б, /0.

В [29] впервые было введено определение устойчивости, равномерной по /0: в определении устойчивости положительное число 8 выбирается не зависящим от /0. В случае, если 8 не зависит и от /0 и от Y0, то решение К(/)=К(/;/0, Y0) называется просто равномерно устойчивым (справа) [2].

Аналогично определяется понятие равномерной асимптотической устойчивости.

Пели решение системы (1) устойчиво (асимптотически устойчиво) при любых начальных данных, то говорят, что решение устойчиво (асимптотически устойчиво) в целом [2].

Решение К(/ )= К(/; /0, Y0) системы (1), не являющееся устойчивым, называется неустойчивым. Не приводя определения неустойчивости на языке с, 5, следует отметить, что из отрицания определения устойчивости, неустойчивым следует считать решение Y(t;t0, К0) непродолжаемое при со, i.e. не существующее на ,со), или такое, для которою в любой окрестности точки Y0 найдется точка К,, порождающая при t=t0 решение Y(f,t0, К,), непродолжаемое на [/0,со) [22].

Кроме тою, если решение Y(t\t0,Y0) (a<t< со, а - число или « = -х) системы (I) с непрерывной правой частью устойчиво при каком-нибудь t0 е(а,со), то оно будет устойчиво при любом друюм /'„ е(а,со) [22]. Таким образом, можно ограничиться проверкой устойчивости решения, а также ею асимптотической устойчивости, лишь для некоторого заданного t = t0. Отсюда также следует, что если решение Y(t\tQ,YQ) (a<t< со) неустойчиво при t = t0, то оно является неустойчивым для любого друю!о t'0 е(«,со).

11а этой основе в теоремах устойчивости t0, как правило, считается фиксированным [22, 30 - 32].

Если в определении устойчивости (асимптотической устойчивости)

Y(/; /0, Г,) - Y(f, t0, Y0 )|| заменить на |(/; /0, Г,) - j;, (/; /0, Y0) \ +

М';'0. У1)-у2(г>*о> )'o)|+—+|.y«(/;/o» }/о)| «Ри некотором т<и, то получится соответствующее определение устойчивости (асимптотической устойчивости) решения системы (1) относительно части переменных )\>У2>—>Ут [28,33].

В [30] отмечена, а в [33] доказана возможность использования теорем Ляпунова (при соответствующих изменениях их условий) для исследования устойчивости относительно части переменных.

Равномерная устойчивость относительно части переменных изучалась в [34], дальнейшее развитие и приложение к .механике - в [25, 35]. Современное состояние теории устойчивости и стабилизации движения по отношению к части переменных дано в [36].

Рассмотренные выше понятия устойчивости связаны с изменением только начальных условий. В [37] было впервые введено понятие устойчивости при постоянно действующих возмущениях, которое затем было обобщенно в [38]. Данный вид устойчивости учитывает изменение самой правой части (1). Такой вид устойчивости приложим к большинству практических задач, в которых встречаются возмущения, действующие не только в начальный момент времени, но и во время движения.

Если устойчивость при постоянно действующих возмущениях является равномерной по /0, то ее называют тотальной.

Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову являются качественными характеристиками поведения систем на бесконечном интервале времени. Они не всегда могут характеризовать поведение систем. Большинство технических систем функционируют в течение конечного промежутка времени, и при этом представляет интерес не только факт устойчивости или неустойчивости, но и количественные оценки их поведения, а также приемлемость их моделей в реальных условиях.

Первые исследования устойчивости на конечном промежутке времени даны в [39-41]. В дальнейшем они получили развитие как теория практической устойчивости, например, в [42 - 45].

Пусть система (1) обладает свойством единственности решения Y(t\t0,Y0), где t0e(a,со) и Y0 принадлежит некоторой открытой облает действительного «-мерного векторного пространства.

Система (1) называется устойчивой по Лагранжу [22, 43, 46], если:

1) Каждое решение Y(t;t0, К0), где /0 е(а,со), неограниченно продолжаемо вправо, т.е. имеет смысл при t0<t < со;

2) Y(t;t0, У0)[] ограничена на [/0,со).

Движение называется устойчивым по Лагранжу, если его траектория вечно остается в ограниченной области фазового пространства [47].

Требование ограниченности решений приводит к разумному и естественному типу устойчивости, который находит свою область применения в задачах небесной механики [25].

Если произвольное движение механической системы бесконечно часто возвращается к своему начальному состоянию, то это свойство механических систем называется устойчивостью по Пуассону (Пуанкаре) [2].

11онятие орбитальной устойчивости есть фактическая адаптация устойчивости в смысле Ляпунова к свойствам периодических решений автономных систем, поскольку из устойчивости решения по Ляпунову следует ею орбитальная устойчивость. Однако из орбитальной устойчивости решения, вообще говоря, не вытекает устойчивость его по Ляпунову, а тем более асимптотическая устойчивость [22].

Понятие экспоненциальной устойчивости формализует свойство асимптотически устойчивых решений, содержащих экспоненты с отрицательными показателями степени, заключающееся в стремлении к нулю на положительной полупрямой при аргументе, стремящемся к бесконечности, и имеет тог смысл, что стремление к нулю всех решений не является достаточным условием для асимптотической устойчивости.

Решение Y(t;t0, F0) системы (1) называется экспоненциально устойчивым при t -»со [22, 32], если для каждого решения Y{t\ t0, К,) этой системы в некоторой области /0</<со, [ Y\\<b, b = const или b = со, справедливо неравенство /(/;/„,Г1)-Г(/;/0,Г0)|кА/||Г1-Г0||е,,(,",в) (/>/0), где М и а -положительные постоянные, не зависящие от выбора решения Y(r, t0, F,).

Очевидно, что из экспоненциальной устойчивости следует асимптотическая. Однако из асимитотической устойчивости, вообще говоря, не следует экспоненциальная устойчивость за исключением случая однородных линейных систем с постоянными коэффициентами [22]. Отсюда понятие асимптотической устойчивости является более общим.

Из приведенных понятий устойчивости в смысле различных определений видно, что наиболее формально общим и математически абстрактным является определение устойчивости в смысле Ляпунова. Другие определения либо являются адаптацией устойчивости по Ляпунову в приложениях к конкретным задачам, как, например, устойчивость по Пуассону и Лагранжу применительно к задачам небесной механики, либо выражают свойства решений систем некоторого частного случая - орбитальная и экспоненциальная устойчивости.

В дальнейшем рассматривается только устойчивость по Ляпунову, которая для краткости называется устойчивостью.

Пусть дана действительная дифференциальная система (1), где вектор-функция F(t,Y) в некоторой области R = {a<t <со,К е D) (а - число или символ -со, D - открытое множество действительного евклидова «-мерного пространства ) непрерывна по независимой переменной / и имеет непрерывные частные производные первого порядка по зависимым переменным ,v,(0> У20)> •••> УЛО- Тогда для каждой точки (t0,Y0)eR справедлива локальная теорема существования и единственности решения Y(t )= Y(t\ t0, Y0) системы (1) с начальными условиями К(/0; /0, Y0 ) = Y0.

Пусть r| = rl(0 /0 >я) - решение системы (1) (невозмущенное движение), устойчивость которого требуется исследовать, причем II -окрестность этою решения такова, что £/„(r|(/))c D при t е[/0,со), где ч(')И'о */<«>, \\Y-x\{t)\\<H<co).

Положим X = Y - г|(/), т.е. X есть отклонение решения Y отрешения г|(0- Так как п(/) = F(t,r\(t)), то для X получаем дифференциальное уравнение = (2) где Fl(t,X) = F(t,X +r\(t))~ F(t,r\(t)) и удовлетворяет условиям существования и единственности решения в некоторой области Z = {a<t<оо, \\Х\]<//}, причем, очевидно, F,(/,0) = 0. Следовательно, система (2) имеет тривиальное решение Х = 0, которое в пространстве Ш" соответствует данному решению г| = г|(/). Система (2) называется приведенной [22], по Ляпунову она называется системой уравнений возмущенного движения [28].

Таким образом, исследование устойчивости решения r| = rl(0 в пространстве сводится к исследованию устойчивости тривиального решения (положения равновесия) Х = 0 в пространстве >.

Естественно переход от системы (1) к системе (2) не всегда возможен, так как для этого необходимо знать г|(/) в явном виде, и не всегда дает преимущество, потому что может случиться, что система (2) более сложна, чем система (1). Например, если система (1) автономна, то система (2), вообще говоря, не является автономной [25].

Следует отметить, что компьютеризация анализа устойчивости основанная непосредственно на ее определении практически невозможна, хотя бы по причине тою, что в подавляющем большинстве случаев точное аналитическое решение системы (1) не известно.

Устойчивость линейных ОДУ. Пусть дана система линейных дифференциальных уравнений

L=A(t)V + F(t), (3)

7.СГ ЧС). •МО4 17,(0] где Y = У:( 0 ,Л(/) = a2l(t). ш

7-С),

Однородная система вида =A(t)Y (4) dt называется соответствующей неоднородной системе (3).

Решения систем линейных дифференциальных уравнений обладают тем качеством, что они либо все одновременно устойчивы, либо все неустойчивы, в отличие от случая нелинейных уравнений, некоторые решения которых могут быть устойчивы, а другие - неустойчивы [22].

Отсюда линейные системы называются [22] устойчивыми или неустойчивыми.

Исследование устойчивости решений системы (3) можно заменить исследованием устойчивости решений соответствующей однородной системы (4), поскольку для устойчивости системы (3) с непрерывными коэффициентами при любом свободном члене F(t) необходимо и достаточно, чтобы было устойчиво тривиальное решение Y = О системы (4) [22].

Следовательно, система линейных дифференциальных уравнений с непрерывными коэффициентами устойчива, когда устойчиво хотя бы одно решение этой системы, и неустойчива, если неустойчиво некоторое решение её.

Данные свойства решений систем (3) справедливы также по отношению к равномерной и асимптотической устойчивостям [22].

Линейные системы обладают качеством, которого нет в случае нелинейных уравнений: существует взаимозависимость между устойчивостью и огра-ниченностыо. Именно, система (4) с непрерывными коэффициентами устойчива (справа) тогда и только тогда, когда каждое решение У = Y(t) этой системы ограничено справа. Если линейная неоднородная система с непрерывными коэффициентами устойчива (справа) и одно из ее решений ограничено справа, то и все остальные ограничены справа. Если решения линейной неоднородной системы с непрерывными коэффициентами ограничены справа, то они устойчивы (справа) [2].

Для нелинейной системы из ограниченности её решений не следует их устойчивость. Например, в случае системы общее решение которой имеет вид ух =c,cos(c,/ + c2), у, =6*1sin(6'1/ + 6\), где с',, с\ произвольные постоянные, из очевидной ограниченности решений не следует их устойчивость, поскольку нулевое решение рассматриваемой системы не асимптотически устойчиво, а все остальные неустойчивы [2].

Еще один отличительный аспект линейных уравнений заключается в том, что система (4) с непрерывными коэффициентами асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все её решения Y = Y(t) стремятся к нулю при / -»со, т.е. lim Y(t) = 0.

I >r

Для нелинейной системы стремление к нулю всех решений не является достаточным условием асимптотической устойчивости тривиальною решения [22].

Пусть дана система

Чу, Ух

--1 уху2 , dt t dy, v, dt t допускающая тривиальное решение ух =0, =0. Общее решение имеет вид yx=cxte с.

-с2'1

У 2 =■ t в частности, при /0 = 1,

1) = У\(*о)*е \ -МО у2( 0=-■

Очевидно, >>,(/)-»() и при /-» со. Однако для любою 8>0 при

0) = 82, y,(t0) = 5 будет иметь место неравенство у,

1 +

1 ^ 1

5:

- [22]. в

Следовательно, решение ух = 0, у2 =0 не является устойчивым и тем более асимптотически устойчивым при / -»оо.

Наиболее простым и изученным является случай систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть в (4) А -матрица постоянных вещественных коэффициентов. Тогда dt

Исследование устойчивости системы (5) сводится к выяснению знаков действительных частей собственных чисел (характеристических корней) маг-рицы Л. Точней, линейная однородная система с постоянными коэффициентами устойчива (асимптотически устойчива) тогда и только тогда, когда все характеристические корни ее матрицы имеют неположительные (отрицательные) вещественные части, причём характеристические корни, имеющие нулевые вещественные части, должны быть простыми [22].

Таким образом, согласно классической теории, для суждения об устойчивости линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами следует знать характер расположения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости корней. Теоретически эта задача jiei ко решаема, практическая же реализация это1 о в сущности простого подхода сопряжена с рядом трудностей, связанных с решением «векового» уравнения det(/i-?*£)= О. Трудности эти обусловлены развертыванием характеристического многочлена, в процессе которого могут оказаться возмущенными его коэффициенты. Вычисление корней многочлена на практике может повлечь неустойчивость вследствие возмущения коэффициентов [48]. Эти трудности усугубляются с ростом размерности системы. Непосредственный подход к решению алгебраической проблемы собственных значений, а, следовательно, и вопроса об устойчивости, применяют лишь при малой размерности матрицы А (« = 2,3); уже при п>4 на первый план выходят специальные численные методы решения таких задач [49].

Критерий Гурвица дает необходимые и достаточные условия, при которых алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет корни лишь с отрицательными вещественными частями. Пусть

P(l) = anr+anlV-l+. + a0 (6) характеристический многочлен матрицы А и д0>0, 0, п>\. Полином вида (6), не имеющий, очевидно, нулевых корней, называется стандартным полипомом. Квадратная матрица порядка п

G = a] a0 0 . 0 я, a2 a, . 0 a5 a4 ai . 0

ООО .a / no главной диагонали которой расположены коэффициенты вправо по строке от этих элементов - коэффициенты с убывающими номерами, влево - с возрастающими, при этом полагается at = 0, если / < 0 или / > п, называется матрицей Гурвица. Для того чтобы действительные части всех корней характеристического многочлена (6) матрицы А были отрицательными, соответственно, система (5) была бы асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы G были бы положительны (условие Гурвица). Чтобы стандартный полином вида (6) имел нули, лежащие лишь в замкнутой левой полуплоскости Re?»<0, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры его матрицы Гурвица были бы неотрицательны [22].

Если степень полинома Р(Х) сравнительно большая, то применение критерия Гурвица становится затруднительным ввиду необходимости подсчета определителей высоких порядков. В этом случае для определения расположения корней полинома Р{\) на комплексной плоскости иногда оказываюгся более удобными геометрические признаки [22], эквивалентные критерию Гурвица.

С анализом устойчивости линейных систем связан первый метод Ляпунова, с построением функций Ляпунова связан второй его метод. Следуя [17], охарактеризуем вначале второй метод.

Второй (прямой) метод Ляпунова. Система дифференциальных уравнений возмущенною движения переписывается в виде dx lit

7) где анализируется устойчивость невозмущенною решения ,v = 0 (/(/,0)s0).

Здесь л*, как и прежде, рассматривается как точка вещественною «-мерного пространства 9Г с нормой \х\= х, + л\ + .+ хп , или евклидова пространства Е" с нормой I1 л-1 = + х\ +. + х2п . Вещественная вектор-функция v) определена и непрерывна в области R = {(/,.v):[ .г < Л, / > 0}

6 = const >0 или 6 = со) и имеет в ней непрерывные частные производные по л,,.,л-п, которые ограничены в каждой замкнутой обласги

R = {([,x)eR:\х !<60,/>0}, 0<b0<b. Это обеспечивает существование, единственность и нелокальную продолжимость решений системы, непрерывную зависимость их от начальных данных (и /, трактуемого как время) в области R. При b = v> предполагается продолжимость решений при всех /е[0,со) так, что возмущенные решения описываются векгор-функцией л*(/; /0, л'0), определенной и непрерывно дифференцируемой при (/0, ,y0 ) б R,

Для исследования устойчивости Ляпунов [28] ввел вещественные скалярные функции У(/,х), определенные и непрерывно дифференцируемые в Л,Г(/,0)нО.

Первой производной функции V по времени /, взятой в силу уравнений возмущенного движения (7), называется функция dV v dV dV х = V{t,x) = — + —/(/, х), at ot их которая тождественно равна нулю при д- = 0, т.е. У(г,0) = 0.

Вводятся следующие определения основных свойств функции V. Постоянно положительная (соответственно постоянно отрицательная) функция У(г,х) удовлетворяет неравенству F(/,.y)>0 (соответственно К(/,л*)<0) при (t,x)eR. Функция V(t,x) называется определенно положительной, если существует функция W(x) такая, что F(/,.y)> JF(.y)> 0 при (t,x)eR, л*[1 > 0. Функция V(t,.х) допускает бесконечно малый высший предел, если V непрерывна по л* в начале координат равномерно относительно t и F(/,0) = 0, т.е. Vc>0 Э5 = 5(с)>0:1*[|<5=>|Р(/,*)|<е при /е[/0,со).

Классическими являются теорема Ляпунова об устойчивости движения с обращением в [50] и теорема о равномерной устойчивости [29] с обращением в [51 - 53], которые приводятся здесь в единой формулировке.

Для устойчивости (соответственно устойчивости равномерной по /0) невозмущенного решения л: = 0 системы (7) необходимо и достаточно, чтобы в некоторой области R существовала непрерывно дифференцируемая определенно положительная (соответственно и допускающая бесконечно малый высший предел) функция V(t,х), производная которой в силу уравнений возмущенною движения (7) постоянно отрицательна (V(t,x)< 0).

Классическими теоремами о неустойчивости являются две теоремы Ляпунова, первая из которых необратима для произвольной системы (7), как показано в [32], а обращение второй доказано в [52, 54, 55]. Они приведены здесь в единой формулировке.

Для неустойчивости невозмущенного решения .y = 0 системы (7) достаточно (соответственно необходимо и достаточно), чтобы в некоторой области R существовала непрерывно дифференцируемая функция V(t,x), допускающая бесконечно малый высший предел (соответственно ограниченная) и при любом t0 принимающая положительные значения в некоторых точках сколь угодно малой окрестности начала координат х = 0, производная которой в силу уравнений возмущенного движения (7) определенно положительна (соответственно удовлетворяет неравенству V{t,x)>}*V{t,х), где А. - некоюрое положительное число), (t,x)eR.

Теорема об асимптотической устойчивости дана Ляпуновым [28], в [56, 57] показано, что при ее условиях имеет .место равномерная асимптотическая устойчивость, и предложено ее обращение.

Для равномерной асимптотической устойчивости решения л* = 0 системы (7) необходимо и достаточно, чтобы в некоторой области R существовала непрерывно дифференцируемая положительно определенная функция V(t,x), допускающая бесконечно малый высший предел, производная которой в силу системы (7) определенно отрицательна.

В приведенных теоремах предполагается существование функции Ляпунова. Возникает вопрос: существует ли в действительности такая функция, т.е. если решение системы (7) обладает каким-либо свойством устойчивости, то можно ли построить вспомогательную функцию, удовлетворяющую соответствующей теореме?

Во-первых, большая часть обратных теорем доказывается действительным построением вспомогательной функции, обладающей соответствующими свойствами [25]. Однако такое построение почти всегда предполагает знание решений системы (7). Отсюда обратные теоремы обычно не дают способа практического отыскания функций Ляпунова.

Во-вторых, в ряде случаев устойчивость можно исследовать, рассмотрев сначала упрощенную систему. В случае если устойчивость последней может быть легко установлена, то на основе обратной теоремы делается вывод о существовании соответствующей вспомогательной функции. При определенных предположениях ее можно также использовать в качестве подходящей вспомогательной функции для исходной системы. Такой подход типичен для исследования устойчивости при постоянно действующих возмущениях и доказательства устойчивости по первому приближению [25].

Подробно классические способы построения функций Ляпунова приведены, например, в [58, 59].

Второй метод Ляпунова широко используется в теории управления и регулирования. Для анализа абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования используются функции Ляпунова-Лурье, в задачах синтеза оптимальных управлений - функции Ляпунова-Ьеллмана, для оптимизации динамических систем - функции Ляпунова-Лагранжа [17]. Вообще в настоящее время разработано большое число методов синтеза нелинейных регуляторов и анализа нелинейных систем автоматического управления (методы абсолютной устойчивости, гармонической линеаризации, оптимального управления и др.), которые, как правило, развиты на основе метода функций

Ляпунова [60]. Это лишь некоторые приложения прямого метода Ляпунова, все приложения и направления развития которого в различных областях современной науки не представляется возможным охватить в одном обзоре.

Ряд технических аспектов применения прямого метода Ляпунова освещен в [60-62].

Однако применение рассматриваемого метода Ляпунова, основанное на использовании функций К(/,л*), имеет существенную трудность, связанную с тем, что в настоящее время не известен общий способ построения функций Ляпунова.

Теория устойчивости по первому приближению (первый метод Ляпунова). В первом методе Ляпунова асимптотическое поведение решений исследуется при помощи изучения соответствующих рядов.

Пусть рассматриваются уравнения возмущенного движения автономной системы at т-2 где Х°'(х)= X ^ та)х"1.хаяа, ra(.v)-голоморфные функции. у/ii, m m 2

Ляпуновым [28] получены следующие теоремы об устойчивости по первому приближению системы (8).

Пусть все собственные значения матрицы А линейною приближения для системы (8) имеют отрицательные вещественные части, т.е. Re?. (Л)<0 j = 1,2,. ,и). Тогда невозмущенное решение х = 0 системы (8) асимптотически устойчиво. Если среди собственных значений матрицы А найдется хотя бы одно с положительно вещественной частью (Re?.;(/i)>0), то решение х = 0 системы (8) неустойчиво. В случае, когда для всех j = 1,2,.,п Re?v;(/i)<0 и существуют для которых Re?.;(/1) = 0, то невозмущенное решение системы (8) может быть как устойчивым, так и неустойчивым. Это зависит от вида нелинейных функций Л"" (.г) [17].

Последний случай, когда имеются нулевые вещественные части собственных значений матрицы линейного приближения, Ляпуновым был назван критическим (сомнительным). Им исследованы критические случаи [28]:

1)^=0, Re).,(/1)<0 (у = 2,.,/7);

2) =/о), Х2 =-/о), Re}v,(y4)<0 ( у = 3,. ,п);

3) л, =0, л, =0, Re).y(/f)<0 ( у = 3.w).

Для неавтономных линейных систем Ляпунов развил теорию характеристических показателей решений, а для нелинейных систем с голоморфными правыми частями

9) dt m-2

Ляпуновым даны критерии устойчивости и неустойчивости в случае систем с периодическими правыми частями и в случае правильных систем [17].

Приводимое ниже утверждение (признак Ляпунова) в существенных чертах заимствовано из [22]. Если система первого приближения — = A(t)v dt правильная и все ее характеристические показатели отрицательны, а нелиней

П <г ные члены удовлетворяют условию ' y£JXm{t,x)

V 11 I m 1 с д"! ,/;/>!, то невозмущенное решение л' = 0 полной нелинейной системы (9) асимптотически устойчиво.

При наличии положительного характеристического показателя решение д- = 0 системы (9) неустойчиво.

Для периодических систем исследованы и критические случаи [17]. Развитию теории критических случаев посвящены работы [63 -65].

Тенденции современных исследований устойчивости. Отметим, что во всех актуальных приложениях качественной теории дифференциальных уравнений по-прежнему анализ устойчивости опирается на оба метода Ляпунова. При этом сама качественная теория активно развивается в абстрактном математическом направлении. В частности, согласно [17], состояние вопроса характеризуется следующими результатами: совмещение идеи нескольких функций Ляпунова и метода сравнения с использованием векторных дифференциальных неравенств тина Чаилыгина-Важевского позволило получить первые теоремы об устойчивости с вектор-функцией Ляпунова (ВФЛ). Позднее были предложены и матричные функции Ляпунова.

В методе ВФЛ наряду с исходной системой (7) вводится вспомогательная система, называемая системой сравнения (СС) и описываемая конечномерным дифференциальным уравнением размерности т<п, возникающая из мажорирования производной ВФЛ в силу (7). С использованием аналогов условий теорем Ляпунова было доказано, что устойчивость или асимптотическая устойчивость СС в некотором смысле влечет за собой устойчивость, соответственно, асимптотическую устойчивость исходной системы (такие теоремы называются теоремами сравнения с ВФЛ) [17].

Использование теорем сравнения сводит задачу анализа устойчивости различною типа к построению ВФЛ, СС и существенно более простому анализу соответствующих свойств СС [17].

Как отмечается в [17], прикладная значимость метода ВФЛ вскрыта в работе [66], в которой была предложена идея исследования устойчивости сложных нелинейных систем на основе их декомпозиции и последующего оценочного агрегирования с применением ВФЛ. Позднее это направление выросло в теорию устойчивости сложных систем. Ее изложение дано, например, в [67], где также указаны многочисленные приложения к системам разной природы.

В настоящее время доказаны сотни теорем сравнения с ВФЛ для различных динамических свойств нелинейных ОДУ. Результаты этих теорем объединены в виде основной идеи принципа сравнения: если существуют ВФЛ, удовлетворяющие подходящим условиям, то различные динамические свойства исходною уравнения вытекают из соответствующих динамических свойств системы сравнения [17]. Впервые в такой форме принцип сравнения дан в [68].

Систематическое изложение метода векторных функций Ляпунова в теории устойчивости с рассмотрением способов построения ВФЛ и СС, с различными количественными оценками для нелинейных систем и приложениями ВФЛ дано в [67J.

С дру1 ой стороны, предприняты попытки компьютеризации анализа устойчивости [18-21].

Общая теория Ляпунова, помимо своего основного направления развития, нашла применение в новых отраслях современной математики - теориях особенностей, бифуркаций и катастроф. Бифуркация - качественная перестройка или метаморфоза объекта произвольной природы при изменении параметров, or которых он зависит. Катастрофа - скачкообразное изменение, возникающее в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий [69]. Если в качестве системы рассмотреть систему ОДУ, то термин катастрофа будет описывать качественно свойство неустойчивости в смысле Ляпунова решения системы ОДУ.

Необходимо принять во внимание глобальное развитие и фундаментальное значение общей теории Ляпунова, которая нашла свое новое начало в современном интегральном направлении науки - синергетике. Синергетика исследует процессы самоорганизации и охватывает все отрасли знаний о косной и живой природе, технике и экономике. Смысл и содержание этой науки состоит в том, что в открытых системах любой природы возникают процессы самоорганизации, т.е. процессы рождения из биологического, экономического или социальною хаоса некоторых устойчивых упорядоченных структур с новыми свойствами систем. Поведение нелинейных систем вдали от положения равновесия при изменении некоторых управляющих параметров, пространства состояний систем, аттракторы (притягивающие множества в пространстве состояний, т.е. асимптотически устойчивые множества), «странные аттракторы» (аттракторы, отличные от состояний равновесия и периодических колебаний) - лишь часть понятий и вопросов этой науки, к которой наиболее близка по своей идеологии прикладная теория управления [70]. Последняя существенно базируется на общей теории устойчивости Ляпунова.

В 30-х годах прошлого века в выдвинутом Н.Г. Четаевым «постулате устойчивости», указывается, что «устойчивость - явление принципиально общее - как-то должна, по-видимому, проявляться в основных законах природы» [70].

Постулат устойчивости» устанавливал в законах природы теоретические свойства устойчивости как необходимое требование малых отклонений теории от эксперимента по наблюдаемым функциям [17].

Согласно этому постулату, только устойчивые движения являются физически реализуемыми. Однако открытие «странных» (хаотических) аттракторов потребовало корректировки постулата устойчивости. Оказалось, что в природе могут реализовываться и необычные движения на хаотическом аттракторе. В этой связи постулат устойчивости справедлив, в первую очередь, для определенной группы природных процессов, которым всегда присущи порядок и асимптотическая устойчивость [70].

Концепция синергетики в теории управления и ее связь с общей теорией устойчивости Ляпунова детально освещены в [70].

На основе изложенною тема устойчивости по Ляпунову актуальна для современной математической теории и ряда важных научных и технических приложений.

Очевидна целесообразность разработки и исследования компьютерных методов анализа устойчивости. Разработке таких методов посвящена диссертационная работа.

Таким образом, тема диссертационной работы актуальна.

Основной целью диссертации является разработка и исследование метода компьютерного анализа устойчивости по Ляпунову решений систем нелинейных ОДУ в нормальной форме.

Метод должен обладать вычислительной устойчивостью и универсальностью в той мере, которая позволяет его рассматривать как основу для создания компьютерной технологии анализа устойчивости систем нелинейных ОДУ.

При этом речь идет о построении компьютерною анализа устойчивости на основе разностных схем приближенного решения рассматриваемых систем ОДУ. Это позволяет не только автоматизировать процесс анализа устойчивости, сведя его к единообразной процедуре, на вход которой поступает правая

часть системы, начальные условия, шаг и промежуток решения, но и получать само приближенное решение, попутно моделируя накопление погрешности.

Поскольку предлагаемый подход к компьютеризации анализа устойчивости основан на разностных приближениях решений ОДУ, он по построению отличается от методов символьной обработки и схем анализа устойчивости путем вычисления функций Ляпунова. Предложенные в дальнейшем критерии устойчивости по конструкции не опираются на методы качественной теории дифференциальных уравнений, однако методы этой теории используются для обоснования и исследования разрабатываемых в диссертации методов.

Цель диссертационной работы состоит в разработке и исследовании программных схем анализа устойчивости по Ляпунову решений систем нелинейных ОДУ в нормальной форме на основе разностных методов. Сюда включается синтез, обоснование и исследование программируемых необходимых и достаточных условий устойчивости, основанных на поведении бесконечных произведений, анализ влияния погрешности разностной схемы на условия устойчивости, исследование асимптотического поведения этой погрешности в условиях устойчивости. С этой целью должны быть сконструированы, программно реализованы и отлажены модели анализа устойчивости, иллюстрирующие достоверность предлагаемых условий устойчивости в широких условиях и показывающие их практическую значимость.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1) выполнить синтез и обоснование программируемых условий устойчивости решений систем нелинейных ОДУ в нормальной форме на основе разностных схем приближенного решения;

2) исследовать зависимость достоверности условий от замены их предельных выражений на конечные приближения при ограничениях сравнительно общего вида;

3) исследовать разновидности условий и их отличительные особенности при использовании для их построения различных разностных схем - методов Эйлера, Эйлера-Коши, Рунге-Кутта и Адамса;

4) показать, что в условиях устойчивости существенно ограничивается рост погрешности разностных схем, в частности, методы Эйлера и Эйлера-Коши имеют не более чем линейное накопление погрешности на произвольном промежутке с коэффициентами, не зависящими от длины промежутка;

5) сконструировать и отладить программные модели анализа устойчивости решений систем нелинейных ОДУ, инвариантные относительно правых частей систем нелинейных ОДУ, относительно размерности системы, возмущений начальных данных, разностных схем и выбора численных параметров этих схем, в числе которых длина промежутка и шаг решения;

6) на основе программного моделирования и численного эксперимента показать практическую достоверность работы предлагаемых условий устойчивости в пределах допустимой погрешности разностных схем, с помощью которых строятся данные условия;

7) установить границы числовых параметров достоверной работы условий устойчивости, в частности, исследовать предельно допустимые границы шага и промежутка решения, их «оптимальные» значения, временные затраты при условии достоверности программного анализа устойчивости;

8) исследовать зависимость результатов работы условий устойчивости от величины возмущения начальных данных и от погрешности используемой разностной схемы;

9) оценить вычислительную устойчивость и универсальность конструируемых программных моделей и предлагаемых схем как основу компьютерной технологии анализа устойчивости решений систем нелинейных ОДУ.

Методы исследования опираются на использование качественной теории устойчивости, теории дифференциальных уравнений, теории разностных схем, численных методов, прикладной информатики, математического и программного моделирования.

Научная новизна диссертационной раб они заключается в разработке программных схем анализа устойчивости по Ляпунову решений систем нелинейных ОДУ в нормальной форме на основе разностных методов. Предлагаемые схемы отличаются от методов качественной теории дифференциальных уравнений и методов символьной обработки по построению, по способу программной реализации, а также тем, что не используют преобразования правой части системы.

Предложенный способ программного анализа устойчивости дает программируемые необходимые и достаточные условия устойчивости, основанные на поведении бесконечных произведений. Исследуется влияние устойчивости на погрешность разностной схемы. В частности, при устойчивом по Ляпунову решении погрешность методов Эйлера, Эйлера-Коши на произвольном промежутке не превышает линейного роста с коэффициентами, не зависящими от длины промежутка. В работе построены и программно реализованы модели анализа устойчивости, дающие практический способ получения достоверной информации о характере устойчивости решений систем нелинейных ОДУ.

Конкретно, научная новизна результатов может быть охарактеризована следующим образом:

1) предложены схемы компьютерного анализа устойчивости (по Ляпунову) решений систем нелинейных ОДУ в нормальной форме на основе разностных схем Эйлера, Эйлера-Коши, Рунге-Кутта и Адамса, отличающиеся от методов качественной теории по построению и по способу компьютерной реализации;

2) предложены и обоснованы необходимые и достаточные условия устойчивости на основе преобразований разностных методов в форму бесконечных произведений; условия отличаются от известных по построению и инвариантностью относительно вида правой части системы ОДУ;

3) исследована достоверность условий устойчивости при приближении бесконечных произведений конечным числом сомножителей при ограничениях сравнительно общего вида;

4) в случае систем линейных ОДУ с постоянными коэффициентами предложенный программный анализ устойчивости, в отличие от известных методов, не требует построения характеристического многочлена матрицы постоянных коэффициентов и информации о его корнях;

5) показано, что условия устойчивости решений существенно ограничивают рост погрешности разностной схемы; в частности, методы Эйлера и Эйле-ра-Коши в рассматриваемых условиях имеют не более чем линейное накопление погрешности на произвольном промежутке с коэффициентами, не зависящими от длины промежутка, что отличает данные оценки от известных;

6) сочетание данного качества с единообразной программируемостыо предложенных условий устойчивости дает практический достоверный способ компьютерного анализа устойчивости решений нелинейных ОДУ общею вида;

7) построены программные модели анализа устойчивости решений систем нелинейных ОДУ, инвариантные относительно правых частей ОДУ, размерности системы, возмущений начальных данных, разностных схем и выбора численных параметров этих схем; апробация моделей экспериментально подтверждает достоверность предложенных условий устойчивости;

8) проведенные на базе данных схем моделирования эксперименты и предшествующее им формальное обоснование условий устойчивости могут служить основой для разработки компьютерной технологии анализа устойчивости решений систем нелинейных ОДУ; помимо построения, это отличает предложенные схемы результатом практической реализации.

В приложении к решению технической задачи представлены следующие результаты:

1) предложенные в диссертационной работе схемы программного анализа устойчивости решений систем нелинейных ОДУ апробированы на задаче управления вращением спутника (модель автопилота); получено совпадение результатов анализа с известными теоретическими оценками, выполненными на основе линеаризации; кроме того, известные оценки дополнены анализом в критическом но Ляпунову случае;

2) в отличие от известного теоретического метода, моделирование по предложенной схеме выполняется непосредственно по виду исходной системы, без применения вспомогательных преобразований, включая линеаризацию;

3) идентифицирована область устойчивости системы управления вращением спутника, результаты согласуются с теоретическими оценками области устойчивости, данными на основе линеаризации;

4) на основе программной идентификации экстремумов функций четырех переменных при помощи сортировки оценивается максимальное и минимальное отклонение нелинейной системы от устойчивого состояния при вариации одновременно четырех параметров, включая коэффициенты системы;

5) с помощью предложенных критериев дана схема компьютерной проверки на устойчивость решения системы при максимальном и минимальном отклонении от устойчивого состояния;

6) сочетание оптимизационной схемы со схемой проверки на устойчивоеп> программно промоделировано на примере системы Лоренца для случаев ее стабилизации, асимптотической устойчивости и неустойчивости.

На основе данных схем возможно выполнение мониторинга системы на предмет устойчивости при вариации параметров системы.

Основные положения, выносимые па защигу:

1) программируемые необходимые и достаточные условия устойчивости па основе мультипликативных преобразований разностных решений систем нелинейных ОДУ в нормальной форме;

2) обоснование схем анализа устойчивости решений систем нелинейных ОДУ в виде частичных произведений на основе разностных методов Эйлера-Коши, Рунге-Кутта и Адамса;

3) линейное накопление погрешности разностных схем в условиях устойчивости с коэффициентами, не зависящими от длины промежутка численною интегрирования;

4) программные модели для анализа устойчивости решений систем нелинейных ОДУ, инвариантные относительно правых частей ОДУ, размерности системы, возмущений начальных данных, разностных схем и выбора численных параметров этих схем.

Практическая ценное ib диссертационного исследования заключается в прикладном характере и компьютерной реализуемости предложенных условий устойчивости. Исследование устойчивости по Ляпунову актуально для математической теории и практики в ряде важных научно-технических приложений. Предложенный способ позволяет с помощью компьютера получить разностное решение, достоверную информацию о характере устойчивости решения ОДУ и одновременно моделировать накопление погрешности разностной схемы. Рассматриваемый в качестве основы компьютерной технологии анализа устойчивости, способ может служить эффективным инструментом проверки построения устойчивою управления для системы автоматическою регулирования.

Внедрение и использование результатов работы. Полученные в работе результаты использованы в НИИ механики и прикладной математики им. Воровича И.И. Ростовскою государственною университета; в госбюджетной НИР «Математические методы устойчивой параллельной обработки, поиска и распознавания», код ГРПТИ 28.23.15, регистрационный номер 01.2.00106436; в учебном процессе кафедры информатики Таганрогского государственною педагогического института в курсах «Численные методы», «Компьютерное моделирование», курсах по выбору и практикуме решения задач па ЭВМ, что подтверждено соответствующими актами об использовании, приведенными в приложении 7 к диссертационной работе.

Апробации работы. Основные результаты работы докладывались на:

- IX-XI Международных конференциях «Математические модели физических процессов и их свойства» (Таганрог, ТГГ1И, 2003 - 2005гг.);

- 1-ой Международной научно-практической конференции «Текст в системе высшего профессионального образования» (Таганрог, ТГПИ, 2003г.);

- Всероссийской научной конференции молодых ученых и аспирантов «Информационные технологии, системный анализ и управление» (Таганрог, ТРТУ, 2003г.);

- V Научно-практической конференции преподавателей, студентов, аспирантов и молодых ученых ТИУиЭ (Таганрог, ТИУиЭ, 2004г.);

- Ш Межрегиональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь XXI века - будущее российской пауки» (Ростов, РГУ, 2005г.);

- научно-технических конференциях профессорско-преподавательскою состава и аспирантов ТП1И (Таганрог, 2000 - 2005гг.);

- семинарах «Теоретическая и прикладная информатика» кафедры информатики ТГПИ (Таганрог, 2000 - 2005гг.).

Публикации. По материалам работы опубликовано 12 печатных pa6oi с общим объемом примерно 12 печатных листов.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 3 глав основного раздела, заключения, списка литературы и 7 приложений. Основное содержание работы - примерно 7 печатных листов, включая 3 таблицы и список литературы из 87 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Катрич, Сергей Анатольевич

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем.

1. Предложены схемы компьютерного анализа устойчивости решений систем нелинейных ОДУ в нормальной форме на основе разностных методов.

2. Предложены и обоснованы необходимые и достаючные условия устойчивости на основе бесконечных произведений.

3. Исследована зависимость достоверности условий от замены их предельных выражений на конечные приближения при ограничениях общею вида.

4. Исследованы разновидности условий устойчивости и их отличи гель-ные особенности при использовании для их построения различных разностных схем - методов Эйлера, Эйлера-Коши, Рунге-Кутта и Адамса.

5. Показано, что условия устойчивости решений существенно ограничивают рост погрешности разностной схемы, в частности, методы Эйлера и Эйлера-Коши в рассматриваемых условиях имеют не более чем линейное накопление погрешности на произвольном промежутке с коэффициентами линейности, не зависящими от длины промежутка.

6. Построены программные модели анализа устойчивости решений систем нелинейных ОДУ на основе предложенных условий устойчивости, инвариантные относительно правых частей систем нелинейных ОДУ, относи гель-но размерности системы, возмущений начальных данных, разностных схем и выбора численных параметров этих схем, в числе которых длина промежутка и шаг решения.

7. На основе программного моделирования и численного эксперимента показана достоверность практической работы предложенных условий в пределах допустимой погрешности разностных схем, с помощью которых строятся эти условия.

8. Исследованы границы числовых параметров достоверной рабогы условий устойчивости, в частности, исследованы предельно допустимые границы шага и промежутка решения, их «оптимальные» значения, временные затраты при условии достоверности программного анализа устойчивости. Показана вычислительная устойчивость и универсальность сконструированных программных моделей.

9. Исследована зависимость результатов оценки устойчивости от величины возмущения начальных данных и от погрешности используемой разностной схемы.

Научнан новизна результатов диссертационной работы заключается в следующем.

1. Предложены схемы компьютерного анализа устойчивости по Ляпунову решений систем нелинейных ОДУ в нормальной форме на основе разностных методов Эйлера, Эйлера-Коши, Рунге-Кутта и Адамса. Схемы отличаю гея от методов качественной теории но построению и по способу компьютерной реализации, а также тем, что не используют преобразования правой части системы ОДУ.

2. Предложены и обоснованы необходимые и достаточные условия устойчивости на основе преобразований разностных меюдов численного интегрирования в форму бесконечных произведений. Условия отличаются от известных по построению и инвариантностью относительно вида правой части системы ОДУ.

3. Показана достоверность данных условий при приближении бесконечных произведений конечным числом сомножителей при ограничениях общего вида, что составляет обоснование программной реализации предложенных схем.

4. Условия применимы к системам линейных ОДУ, при этом в случае постоянных коэффициентов, в отличие от известных методов, не требуется построения характеристического многочлена матрицы коэффициентов и информации об его корнях.

5. Показано, что в условиях устойчивости решений систем нелинейных ОДУ методы Эйлера и Эйлера-Коши имеют не более чем линейный рост погрешности с коэффициентами, не зависящими от длины промежутка численно! о интегрирования, что отличает данные оценки от известных оценок погрешности разностных схем решения ОДУ.

6. Построены программные модели анализа устойчивости решений систем нелинейных ОДУ, инвариантные относительно правых частей ОДУ, размерности системы, возмущений начальных данных, разностных схем и выбора численных параметров этих схем; апробация моделей экспериментально подтверждает достоверность предложенных схем анализа устойчивости, что в аспекте компьютеризации отличает данные схемы от известных.

7. Проведенные на базе данных схем моделирования эксперименты и предшествующее им формальное обоснование условий устойчивости могут составлять основу для разработки новой компьютерной технологии анализа устойчивости решений систем нелинейных ОДУ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Катрич, Сергей Анатольевич, 2006 год

1. Иванов В.А. и др. Математические основы теории автоматического регулирования. Под ред. проф. Б.К. Чемоданова. - М.: Высшая школа, 1977.

2. Чезари J1. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964.-478 с.

3. Арнольд В.И., Варчепко А.П., Гуеейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. 2-е изд., испр. - М.: МЦНМО, 2004. - 672 с.

4. Боголюбов Н.П., Крылов II.M. Новые методы в нелинейной механике. -М.-Л.:ОПТИ, 1934.-234 с.

5. Боголюбов Н.Н., Крылов Н.М. Введение в нелинейную механику. Киев, 1937.-363 с.

6. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: ГИТТЛ, 1956.-491 с.

7. Боголюбов Н.П., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1958.

8. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. 3-е изд., испр. и доп. - М.: Физматгиз, 1963. -410с.

9. Митропольский Ю.А. Лекции по методу усреднения в нелинейной механике. Киев, 1966.

10. O.Hale J.K. (Хейл Дж.К.) A stability theorem for functional-differential equations // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. V.50, 1963. - P. 942 - 946.

11. П.Былов Б.Ф., Виноград P.O., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова. М.: Наука, 1966.12.1:ругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск, 1972. - 663 с.

12. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1975.-799 с.

13. Н.Проскуряков A.II. Метод Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1977.-256 с.

14. Нлисс В.А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977. - 304 с.

15. Демин В.Г. Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения. М.: 11аука, 1968. - 352 с.

16. Матросов В.М., Маликов А.И. Развитие идей A.M. Ляпунова за 100 лет: 1892 1992 // Известия высших учебных заведений. Математика. - №4 (371), 1993.-С. 3-47.

17. Маркеев A.II. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. -М.: Наука, 1978.-312 с.

18. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. Некоторые вычислительные алгоритмы нормализации гамильтоновых систем. М.: Препринт ИПМ АН СССР. -№31, 1976.-61 с.

19. Горр Г.В., Илюхин А.А., Ковалев A.M., Савченко А.Я. Нелинейный анализ поведения механических систем. Киев: 11аукова думка, 1984. - 286 с.

20. Рогалев А.Н. Динамика множеств решений обыкновенных дифференциальных уравнений и интервальные решения // Вопросы математическою анализа.-№ 5, 2002.-С. 82-91.

21. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998. 480 с.

22. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. - 223 с.

23. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Паука, 1974. Издание 4-е пер., доп. - М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 472 с.

24. Руш П., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. Под ред. В.В. Румянцева. - М.: Мир, 1980. - 300 с.

25. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Ленинград: Изд-во Ленинградского университета, 1955. -656 с.

26. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: 11аука, 1988. - 548 с.

27. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М. - Л.: Гостех-издат, 1960.-471 с.

28. Персидский К.П. К теории устойчивости интегралов системы дифференциальных уравнений // Изв. физмат о-ва при Казанском ун-те. Сер. 3. Т.8,1936- 1937.-С. 47-85.

29. ЗО.Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 530 с.

30. ЗКЧетаев II.Г. Устойчивость движения. М.: Гостехиздат, 1955.

31. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.-211 с.

32. Румянцев B.I3. Об устойчивости движения по отношению к части переменных // Вестник Моск. ун-та. Сер. матем., механ. №4, 1957. - С. 9 - 16.

33. Halanay А. (Халанай A.) Teoria calitativa a ecuatulor differentiale. Becuresti.: Kditura Acad. RPR, 1963.-482 p.

34. Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения но отношению к части переменных. М.: Наука, 1987. - 256 с.

35. Воротников В.И. Задачи и методы исследования устойчивости и стабилизации движений по отношению к части переменных: направления исследований, результаты, особенности // Автоматика и телемеханика. №3, 1993.-C.3-62.

36. Дубошин Г.Н. К вопросу об устойчивости движения относительно постоянно действующих возмущений //Тр. Гос. астр, ин-та. -Т.14. -№1, 1940.

37. Малкин И.Г. Об устойчивости при постоянно действующих возмущениях // ПММ.-Т.8. -№3, 1944.-С. 241 -245.

38. Четаев 11.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. -М.: Изд-во АН СССР, 1962.-534 с.

39. Моисеев Н.Д. О некоторых методах теории технической устойчивости, I // Тр. Военно-возд. акад. им. Н.Е. Жуковского. Вып. 135,1945. - С. 3 - 17.

40. Каменков Г.В. Избранные труды. Т.1. Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика. М.: 11аука, 1971. - 258 с.

41. Малкин И.Г. Об одной задаче теории устойчивости систем автоматического регулирования // ПММ. Т. 16. - №3, 1952.

42. Ла-Салль Дж.П., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964. - 168 с.

43. Абгарян К.А. Введение в теорию устойчивости движения на конечном интервале времени. М.: Наука, 1991. - 160 с.

44. Мартышок А.А. Практическая устойчивость движения. Киев, 1983. -248 с.

45. Пемыцкий 13.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1949. - 550 с.

46. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. Изд-е 2-е пер., доп. М.: Эдиториал УРСС, 2002.-416 с.

47. Форсайт Д.Э., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. - 279 с.

48. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2002. - 848 с.

49. Персидский К.П. Об одной теореме Ляпунова // ДАН СССР. Т.Н. - №9, 1937.-С. 541-544.

50. Красовский II.II. Об обращении теоремы К.П. Персидского // IIMM. -Т.19. -№3, 1955.-С. 273 -278.

51. Красовский II.H. К теории второго метода A.M. Ляпунова исследования устойчивости движения // ДАН СССР. Т. 109. - №3, 1956. - С. 460 - 463.

52. Курцвейль Я. К обращению первой теоремы Ляпунова об устойчивости движения // Чехосл. матем. журн. Т.5. - №2, 1955. - С. 382 - 398.

53. Красовский 11.11. Об обращении теорем A.M. Ляпунова и Н.Г. Четаева о неустойчивости для стационарных систем дифференциальных уравнений // ПММ. Т. 18. - №5, 1954. - С. 513 - 532.

54. Вркоч И. Обращение теоремы Четаева // Чехосл. магем. журн. №5, 1955. -С. 451 -461.

55. Малкин И.Г. К вопросу обратимости теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости//ПММ. Т.13. -№2, 1954.-С. 129-138.

56. Массера Х.Л. К теории устойчивости // Математика. М.: ИЛ, 1957. - Т.1, №4.-С. 81 -121.

57. Румянцев В.В. Метод функций Ляпунова в теории устойчивости // Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1968. - С. 7 - 66.

58. Анапольский Л.Ю., Иртеюв В.Д., Матросов В.М. Способы построенияфункций Ляпунова // Итоги науки и техн. Сер. общая механ. / ВИ11ИТИ. -Т.2, 1975.-С. 53-112.

59. Ланская А.А. Разработка и исследование нелинейных регуляторов и наблюдателей на основе квазилинейного подхода// Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. Таганрог, 2005.- 16 с.

60. Гайдук А.Р. Математические основы систем автоматического управления. -М.: Фирма «Испо-Сервис», 2002. 152 с.

61. Гайдук А.Р. Теория автоматического управления. Таганрог: Изд-во TP ГУ, 2004.

62. Каменков Г.В. Исследование одною особенного, по Ляпунова, случая задачи устойчивости движения // Тр. Казанск. авиац. ин-та. Вып.З, 1935. -С. 24-31.

63. Каменков Г.В. Об устойчивости движения в одном особенном случае // Тр. Казанск. авиац. ин-та. Вып.4, 1935. - С. 3 - 18.

64. Каменков Г.В. Исследование одного особенного случая задачи об устойчивости движения // Тр. Казанск. авиац. ин-та. Вып.5, 1936. - С. 19-28.

65. Bailey F.N. (Бейли Ф.П.) Vector Lyapunov functions for a class of interconnected systems // Proc. Nat. Electron. Conf. V.21, 1965. - P. 593 - 598.

66. Абдуллин P.3., Анапольский Л.Ю., Воронов A.A., Земляков А.С., Козлов Р.И., Маликов А.И., Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости. Под ред. А.А. Воронова и В.М. Матросова. М.: Наука, 1987.-312 с.

67. Матросов В.М. Развитие метода функций Ляпунова // Тезисы тр. науч. со-общ. Межд. конгресса математиков. Секция 6. М., 1966. - С. 35 - 36.

68. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990. - 128 с.

69. Колесников А.А. Синергетическая теория управления. Таганрог: TP ГУ, М.: Энергоатомиздат, 1994. - 344 с.

70. Нерезин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.2. М.: Физматтз, 1962.-640 с.

71. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциальною и интегральною исчисления.

72. Т.Н.-М.: Наука, 1966.-800 с.

73. Кагрич С.Л., Ромм Я.Е. Итерационные критерии устойчивости и асимптотической устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений на основе метода Эйлера-Коши / ТГПИ. Таганрог, 2003. - 18 с. ДЕП в 13И11ИТИ 25.04.03, №817 - В2003.

74. Кафич С.Л., Ромм Я.Е. Схема анализа устойчивости решений дифференциальных уравнений на основе разностных приближений по методу Эйлера-Коши / ТГПИ. Таганрог, 2004. - 41 с. ДЕП в ВИНИТИ 02.02.04, №176 - В2004.

75. Ромм Я.Е. Программируемые критерии устойчивости по Ляпунову. I / ТГПИ. Таг анрог, 2005. - 24 с. ДЕП в ВИНИТИ 21.06.05, №879 - В2005.

76. Катрнч С.Л., Ромм Я.Е. Мультипликативные критерии устойчивости решений систем дифференциальных уравнений на основе разностных приближений но методу Эйлера-Коши / ТГПИ. Таганрог, 2004. - 63 с. ДЕП в ВИНИ IИ 05.08.04, № 1362 - В2004.

77. Ромм Я.Е. Итерационные критерии устойчивости по Ляпунову на основе методов численного интефирования обыкновенных дифференциальных уравнений / ТГПИ. Таганрог, 1999. - 132 с. ДЕП в ВИНИТИ 13.10.99, .№'3064 -1399.

78. Ромм Я.Е. Параллельные итерационные схемы линейной алгебры с приложением к анализу устойчивости решений систем линейных дифференциальных уравнений // Кибернетика и системный анализ, 2004. №4. -С. 119-142.

79. Ромм Я.Е. Бесконфликтные и устойчивые методы детерминированной параллельной обработки / Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. Таганрог: ТРТУ, 1998. - 546 е.; ВНТИ Центр.05990.001006.

80. Катрич С.А., Ромм Я.Е. Итерационные критерии усюйчивости по Ляпунову на основе метода Эйлера-Коши численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / ТГ11И. Таганрог, 2001. - 40 с. ДЕ11 в ВИ11ИТИ 12.03.2001, №635 - В2001.

81. Ромм ЯЛЕ. Программируемые критерии устойчивости по Ляпунову. II / ТГПИ Таганрог, 2005. - 26 с. ДЕП в ВИНИТИ 21.06.2005, №880 -В2005.

82. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. М.: Физматгиз, 1962.-342 с.

83. Ба\валов II.С., Жидков П.П., Кобельков Г.М. Численные методы.-М.: Паука, 1987.-599 с.

84. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Паука, 1971.-534 с.