Математическое моделирование и преобразования в задачах устойчивости стационарных движений механических и управляемых систем. тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор физико-математических наук Новиков, Михаил Алексеевич

• Новиков, Михаил Алексеевич
• доктор физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Новиков, Михаил Алексеевич

Введение .2

Глава I. О нормализующих и упрощающих преобразованиях.16

§1.1. О нулевых корнях характеристического уравнения .17

§1.2. Циклические координаты и первые интегралы.20

§1.3. Нелинейные системы .24

Глава II. О преобразовании матриц квадратичных форм.29

§2.1. О приведении к диагональным матриц квадратичных форм 30

§2.1.1. Приведении двух матриц к диагональной форме .30

§2.1.2. Приведение трех неособых матриц к диагональной форме .35

§2.1.3. О приведении к диагональным трех вырожденных матриц .40

§2.1.4. О декомпозиции линейных консервативных систем 44

§2.2. О приведении к простейшим матриц квадратичных форм

§2.2.1. Простейшие виды матриц двух квадратичных форм, не приводимых одновременно к диагональным .51

§2.2.1.1. Комплексные решения характеристического уравнения .52

§2.2.1.2. Вещественные корни с непростыми элементарными делителями характеристического уравнения .53

§2.2.2. Приведение матриц к взаимно упрощенным.57

Глава III. О знакоопределенности пучка квадратичных форм .66

§3.1. Пучок двух квадратичных форм .68

§3.1.1. О необходимых условиях знакоопределенности связки двух квадратичных форм .69

§3.1.2. О достаточных условиях знакоопределенности связки двух квадратичных форм . 71

§3.1.3. Связка вырожденных квадратичных форм . 79

§3.1.4. Об условной знакоопределенности двух квадратичных форм . 81

§3.2. Исследование знакоопределенности связки трех квадратичных форм . 86

§3.2.1. О необходимых условиях знакоопределенности связки трех квадратичных форм . 87

§3.2.2. О достаточных условиях знакоопределенности связки приведенных к полным квадратам трех квадратичных форм . 96

§3.2.3. Общая схема исследования знакоопределенности связки трех квадратичных форм. 104

Глава IV. О знакоопределенности функций . 107

§4.1. О знакоопределенности полиномов . 111

§4.2. Основные свойства параметризации в задаче о знакоопределенности неоднородных форм. 114

Глава V. Об экстремуме и точных гранях полиномов . 120

§5.1. Об условиях существования точных граней . 122

§5.2. О необходимых условиях точных граней . 127

§5.3. Построение параметрического решения . 132

§5.4. Алгебраическая модификация метода . 142

Глава VI. Нормализация и знакоопределенность форм в исследовании устойчивости нелинейных систем . 153

§6.1. Устойчивость автономной гамильтоновой резонансной системы . 156

§6.2. Консервативная система с резонансом 1:1 . 160

§6.3. Нелинейная система с тремя нулевыми корнями характеристического уравнения.165

§6.4. Нелинейная система с двумя нулевыми корнями характеристического уравнения.172

§6.5. Об устойчивости одной гироскопической системы .176

§6.5.1. Необходимые условия устойчивости.178

§6.5.2. Достаточные условия устойчивости.180

§6.5.3. Сравнение условий устойчивости .187

§6.6. Устойчивость перманентных вращений твердого тела в задаче Бруна.189

§6.6.1. Необходимые условия устойчивости в задаче Бруна . 189

§6.6.2. Достаточные условия устойчивости в задаче Бруна

§6.7. О границах устойчивости стационарного движения спутника с гироскопом .203

§6.7.1. Необходимые условия асимптотической устойчивости 206

§6.7.2. Достаточные условия асимптотической устойчивости 212

§6.7.3. Части границ асимптотической устойчивости .215

§6.8. Устойчивость перманентных вращений твердого тела в случае Ковалевской .222

§6.8.1. Устойчивость перманентных вращений первого вида волчка Ковалевской.223

§6.8.2. Необходимые условия устойчивости перманентных вращений второго вида .228

§6.8.3. Достаточные условия устойчивости перманентных вращений второго вида .232

§6.8.4. Об устойчивости перманентных вращений твердого тела .239

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование и преобразования в задачах устойчивости стационарных движений механических и управляемых систем.»

Создание сложных технических систем, проектирование больших комплексов и анализ многих направлений научной и технической деятельности требуют организации и согласования исследований разных профилей, обработки получаемой в результате вычислений информации. Успешное решение поставленных задач во многом зависит от возможности математического моделирования сформулированной проблемы, моделирования метода исследования и апробирования полученной имитационной модели на реальных процессах и объектах.

Математическое моделирование решаемых задач опирается на комплексный системный анализ [106], включающий сбор информации о системе; анализ причинно-следственных связей; обработку входных данных с использованием современных вычислительных средств; аналитические методы системного анализа; оценку соответствия имитационных моделей реальным объектам.

В диссертации из перечисленных обсуждаются аналитические методы системного анализа, как составляющие основу решения задачи. От выбора метода решения зависит полученное решение и его распространение в другие смежные области. Большей частью анализ опирается на аппарат общих математических дисциплин: теорию систем, теорию принятия решений, функциональный анализ, дифференциальные уравнения, теорию колебаний, методы оптимизации, оптимальное управление и другие направления математики. Часто методы анализа задач взаимосвязаны и в сочетании вырабатывают комплексное исследование.

Большей частью математическое моделирование аналитических методов исследования находит свое применение в задачах теоретической механики в основном благодаря историческому развитию естественных точных наук. Прежде всего это обусловлено вариационными принципами в механике, исходящими из разных условий оптимальности [131, 134, 161]. В настоящее время механика является наиболее изученным направлением науки.

Следует отметить, что общей характерной чертой на современном этапе развития математического моделирования является использование вычислительной математики. Разнообразный спектр прикладных задач позволил ей найти выражение не только как дополнение к приложениям вычислительных операций, но и занять отдельное самостоятельное направление в математике. Как правило, технические задачи трудоемки по сложности решения и по размерности системы, и тогда для вычислительной математики можно выделить ряд направлений.

1. Существуют задачи только вычислительной направленности, где ввиду сложности описания модели требуется получить хотя бы приблизительное решение или дать оценку решения (т.е. найти верхнюю или нижнюю границы решений).

2. Задачи вычислительной математики, связанные с большим количеством операций и преобразований, обеспечивающих заданную высокую точность решения. В большинстве случаев это относится к алгебраическим уравнениям [15], системам линейных алгебраических уравнений [39, 160, 184], задачам линейного программирования [60]. Как правило, известные вычислительные методы, ориентированные на итерационные процессы, недостаточно обеспечивают кратные и близкие к ним корни. Известная алгебраическая проблема собственных значений [160] создает препятствия к практической реализации [6, 63]. К этому можно добавить "плохо обусловленные" матрицы, при которых существенно сказывается погрешность элементов матрицы и вычислительного процесса.

Большинство известных методов в прикладной математике, механике, регулируемых системах, физике, теории управления связаны с собственными значениями матриц и приведением исходных матриц к нормальным формам: Жордана, Фробениуса [39, 174] или другим видам канонических матриц [24, 25, 27, 194], применяемым для гамиль-тоновых систем. Как правило, такие приведения осуществляются ортогональным, а в гамильтоновых системах — симплектическим преобразованием. Часто возникает необходимость в нелинейной нормализации [18, 24, 25, 193], где вычислительные методы практической реализации нормализации [84, 153, 154,172] требуют большего объема вычислений.

3. Иногда проблемы вычислительной погрешности частично снимаются аналитическими вычислениями, которые включают преобразования выражений (переменных), подстановки, исключения переменных, арифметические действия над выражениями, факторизацию, упрощения выражений. Аналитические вычисления необходимы прежде всего в задачах, где вычисляемые значения близки к нулю. Кроме того, они дают возможность получать точные решения многих уравнений, иногда даже высоких степеней, проследить зависимость от исходных параметров. Они незаменимы при составлении характеристических уравнений, нахождении общих множителей, составлении и проверке алгебраических условий, выражаемых определителями матриц [39, 160, 174], вычислением результантов [35] и субрезультантов [68, 166, 192] полиномов.

Установление коэффициентных критериев знакоопределенности полиномов нескольких переменных произвольной степени У(х) (ж Е Яп) возникает в задачах оптимизации, теории устойчивости, теории управления. Коэффициентные критерии алгебраических условий У(х) восходят к трудам Д. Гильберта. Позднее они продолжены работами Ш. Штурма (о числе вещественных решений полинома в заданном интервале), Э. Галуа (о решении полинома в радикалах), А. Зайденберга (и Тарского) (об алгебраической разрешимости в случае невырожденности младшей формы в разложении V(x) по возрастающим степеням переменных). К теореме Гильберта о корнях полиномов примыкает задача о нахождении наибольших и наименьших значений V(x).

Аналитические вычисления на ЭВМ выделились как отрасль компьютерной алгебры, более специализированно — системы аналитических вычислений (CAB) на стыке математики, информатики и вычислительной техники [3, 32, 33, 53]. Алгоритмической базой CAB являются в основном такие системы: REDUCE, MACSYMA, MATHEMATICA, MAPLE, MUPAD и другие. В настоящее время программные разработки CAB стремительно развиваются, предоставляя для широкого пользования новые усовершенствованные версии упомянутых вычислительных систем.

В предложенной работе применяются аналитические методы системного анализа, ориентированные на приложения к механическим и регулируемым системам, теории управления. Кроме вывода уравнений движения важное место в задачах занимает качественный анализ [87, 136, 193] исследуемых систем. В связи с этим возрастает необходимость расширения фундаментальной основы в теории устойчивости движения [49, 61, 69, 70, 87, 93, 96, 103, 180], в качественных исследованиях [2, 108, 145, 146, 147]. Теория Рауса-Ляпунова также восходит к экстремальным свойствам некоторых функций, в частности, полной энергии системы. Нахождение стационарных движений исходит из принципов экстремума связки первых интегралов системы.

Выделяя теорию устойчивости движения как самостоятельное направление, нужно постоянно развивать и дополнять ее новыми методами и алгоритмами исследования. Актуальным вопросом для этого является разработка эффективных критериев устойчивости — легко проверяемым алгебраическим условиям на коэффициенты системы. Такими в настоящее время являются детерминантные условия Гурвица [39, 83, 96,103, 135, 180], Сильвестра [39, 83, 96, 103] и другие их разновидности, например, метод инноров [51]. Перечисленными критериями решается большинство задач устойчивости движения. Следует отметить, что не в полной мере к этому вопросу привлечена знакоопределенность множеств, значения которых принимают полиномиальные функции [40, 80].

Теория устойчивости в разные времена имела разные трактовки [105], и в настоящее время наиболее распространенным является определение по Ляпунову [49, 61, 69, 70, 93, 96, 103, 180], имеющее смысл недалеко уклоняться (по норме) от первоначального состояния.

Подходя к вопросу о смене устойчивости параметрических систем [7, 63], можно считать, что достаточные условия асимптотической устойчивости не могут часто совпадать с необходимыми условиями устойчивости. Возникающие расхождения объясняются размерностью, порядком нелинейности системы и сложностью анализа. Исследование задачи будет считаться законченным при сопоставлении необходимых и достаточных условий устойчивости. Необходимые условия устойчивости автономных систем, как правило, получаются из характеристического уравнения системы [49, 93, 96, 103, 180, 184]. В неавтономных системах основу устойчивости составляют характеристические показатели Ляпунова (первый метод Ляпунова). В получении достаточных способов устойчивости можно выделить несколько установившихся направлений: 1. нахождение решений уравнений движения в полных интегралах (аналитическое интегрирование); 2. доказательство существования или отсутствия инвариантных лучей; 3. предъявление знакоопределен-ных функций Ляпунова и их производных; 4. применение КАМ-теории к исследованию устойчивости гамильтоновых систем.

Аналитическое интегрирование систем [4, 5, 8, 9, 131, 134, 161] по

Лиувиллю для задач устойчивости не всегда возможно. Кроме того, для нелинейных систем требуются дополнительные вычислительные операции при определении характеристических показателей. Хотя широкого распространения способ инвариантного луча не получил, он иногда применяется в анализе нелинейных систем [170, 171].

Самое большое распространение для получения достаточных условий устойчивости получил второй метод Ляпунова [93], основанный на знакоопределенных функциях. В их качестве часто используются первые интегралы уравнений возмущенного движения или составленные из первых интегралов связки [10, 61, 69, 70, 83, 90, 91, 96, 103, 180].

В гамильтоновых системах при невозможности применения второго метода Ляпунова применяется КАМ-теория [6, 8, 9, 100, 104]. Это связано с нелинейностью механических систем, в которых знакоперемен-на квадратичная часть, содержащая члены низшего второго порядка гамильтониана. Во многих последних исследованиях КАМ-теория применяется в задачах с резонансами [9, 84, 85, 97-101, 149-152, 170, 171, 175].

Для каждого метода Ляпунова возникает вопрос об алгебраической неразрешимости устойчивости нелинейных систем [7, 63, 182, 183].

Цель исследования:

1. Анализ и нахождение методов преобразований, упрощающих исследование систем в зависимости от сложности задач.

2. Получение условий разложения механических и управляемых систем на подсистемы, позволяющие свести систему к более простым в задачах аналитического интегрирования, качественного исследования, устойчивости стационарных движений.

3. Составление алгоритма получения более широких достаточных условий устойчивости стационарных движений механических и управляемых систем в критических по Ляпунову случаях.

4. Нахождение точных граней полиномов двух переменных для оценки области достижимости в прикладных исследованиях.

5. Применение и апробация составленных алгоритмов и методов к решению прикладных задач механики, космодинамики, оптимальной стабилизации.

В качестве рабочего аппарата используются:

1) методы нормализации систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ);

2) методы матричного анализа, в том числе диагонализация двух вещественных симметрических матриц;

3) знакоопределенность квадратичных форм и полиномов высших порядков;

4) методы исследования нелинейных алгебраических уравнений и систем алгебраических уравнений (в частности, теория исключения).

Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения, приложения и списка литературы, насчитывающей 194 наименования.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Новиков, Михаил Алексеевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Многие задачи интегрирования, теории устойчивости и качественного анализа могут быть успешно решены предлагаемыми в диссертации способами предварительного упрощения системы или ее элементов.

Так, в случае существования линейных с постоянными коэффициентами интегралов приведение линейной части ОДУ к нормальной форме Жордана получает наибольшее число циклических переменных. Нелинейная нормализация уравнений движения позволяет провести исследование устойчивости вторым методом Ляпунова или применением КАМ-теории.

Одновременная диагонализация трех составляющих матриц в задачах движения твердого тела позволяет систему проинтегрировать или продвинуться в устойчивости и качественном анализе. Одновременная диагонализация двух вещественных матриц квадратичных форм получает часто необходимые и достаточные условия устойчивости стационарного движения с точностью до границы. Привлечение к анализу знакоопределенности полиномов позволяет исследовать вторым методом Ляпунова границы устойчивости.

Подводя итог проделанной работе, перечислим основные положения и выводы из рассмотренных вопросов.

1. Показано, что нормализация линейной части любой нелинейной системы ОДУ приводит все имеющиеся линейные интегралы с постоянными коэффициентами к циклическим.

2. Получены условия диагонализации регулярного и сингулярного пучков матриц трех квадратичных форм.

3. Для одновременно недиагонализируемых матриц составлены виды взаимно упрощенных матриц.

4. Установлена взаимосвязь диагонализации и знакоопределенности пучков двух и трех квадратичных форм.

5. Составлены рекомендации установления знакоопределенности пучков трех квадратичных форм.

6. Получены условия существования точных граней полиномов двух переменных. Составлен способ отыскания точных граней в виде рядов и результантов.

7. Применение условий диагонализации трех вещественных матриц позволило ослабить условия интегрируемости и анализа устойчивости тривиального решения линейных гироскопических систем.

8. Применение критерия знакоопределенности неоднородных форм позволило провести исследование границ устойчивости механических систем таких, как спутник с гироскопом на круговой орбите.

9. Применение критерия знакоопределенности форм четвертого порядка позволило решить ряд задач устойчивости для систем в критических по Ляпунову случаях.

10. Применение методов знакоопределенности связки двух квадратичных форм при решении ряда задач для систем в критических по Ляпунову случаях дало возможность максимально приблизить достаточные условия устойчивости к необходимым.

11. Использование разработанных методов позволило решить некоторые прикладные задачи механики, теории управляемых систем, кос-мод инамики.

Результаты можно применять в механике, космодинамике, теории управления, теории оптимизации, физической химии, биологии. Если в описании математической модели соответствующей научной области квадратичная форма, содержащая скорости переменных, знакоопреде-лена, то изложенные в диссертации методы и алгоритмы можно применять в этой области без соответствующих доработок.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Новиков, Михаил Алексеевич, 2012 год

1. Аминов А.Б., Сиразетдинов Т.К. Условия знакоопределенности четных форм и устойчивости в целом нелинейных однородных систем. - М.: ПММ, 1984, т. 48, вып. 3. С. 339-347.

2. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959, 915 с.

3. Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями. М.: Мир, 1994, 543 с.

4. Аппель П. Теоретическая механика, т. 1. М.: ГИФМЛ, 1960, 515 с.

5. Аппель П. Теоретическая механика, т. 2. М.: ГИФМЛ, 1960, 487 с.

6. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблема устойчивости движения в классической и небесной механике. М.: УМН, 1963, т. 18, вып. 6. С. 92-192.

7. Арнольд В.И. О матрицах, зависящих от параметра. М.: УМН, 1971, т. 26, вып. 2. С. 101-114.

8. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. -М.: Наука, 1979, 432 с.

9. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики // Итоги науки и техники, серия: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы 3. т. 3. - М.: ВИНИТИ, 1985. С. 9-303.

10. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970, 240 с.

11. Белецкий В.В. Некоторые вопросы движения твердого тела в ньютоновом поле сил. М.: ПММ, 1957, т. 21, вып. 6. С. 749-758.

12. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1965, 416 с.

13. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: МГУ, 1975, 307 с.

14. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976, 351 с.

15. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т. 2. М.: ГИФМЛ, 1960, 620 с.

16. Берже М. Геометрия, том второй. М.: Мир, 1984, 366 с.

17. Бессекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975, 768 с.

18. Биркгоф Дж. Динамические системы. М.-Л.: Гостехиздат, 1941, 320 с.

19. Борисов А.Б., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. Ижевск.: Изд-во РХД, 2001, 384 с.

20. Боташев А.И. Аналитические методы в теории ветвления. М.: УМН, 1985, т. 40, вып. 4. С. 147-148

21. Брауэр Д., Клеменс Дж. Методы небесной механики. М.: Мир, 1964.

22. Брумберг В.А. Небесно-механические методы проведения буквенных операций на ЭВМ. Томск: Томский гос. ун-т, 1974, 114 с.

23. Брюно А.Д. Элементы нелинейного анализа. Самарканд: Самаркандский гос. ун-т, 1973, 158 с.

24. Брюно А.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений. М.: Труды Московского математического общества, 1971, т. 25. С. 119-262.

25. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979, 255 с.

26. Брюно А.Д. Нормальная форма систем Гамильтона // УМН, 1988, т. 43, вып. 1. С. 23-56.

27. Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М.: Наука, 1998, 288 с.

28. Брюно А.Д., Лунев В.В. О вычислении степенных разложений модифицированных движений твердого тела // ДАН РАН, 2002, т. 386, N 1. С. 11-17.

29. Булатович P.M. Об устойчивости линейных потенциальных гироскопических систем в случаях, когда потенциальная энергия имеет максимум // ПММ, 1997, т. 61, вып. 3. С. 385-389.

30. Бурбаки Н. Алгебра. Модули, кольца, формы. М.: Наука, 1966, 555 с.

31. Бурлакова Л.А., Иртегов В.Д. Теорема Рауса-Ляпунова в системах с линейными интегралами // Прямой метод в теории устойчивости и его приложения. Новосибирск: Наука, 1981. С. 151-165.

32. Бухбергер Б., Коллинз Дж., Лоос P.M. Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. М.: Мир, 1986, 392 с.

33. Быков В.И., Кытманов A.M., Лазман М.З. Методы исключения в компьютерной алгебре многочленов. Новосибирск: Наука, 1991, 233 с.

34. Вагнер Э.А. Об устойчивости регулярных движений твердого тела в ньютоновском гравитационном поле // Космические исследования, 1976, т. 14, вып. 1. С. 133-134.

35. Ван дер Варден. Современная алгебра. Т. 2. М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1937, 210 с.

36. Вейссенберг А.Н. Критерии знакоопределенности форм высшего порядка // ПММ, 1974, т. 38, вып. 3. С. 571-574.

37. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1984, 319 с.

38. Воротников В.И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных. М.: Наука, 1991, 284 с.

39. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967, 576 с.

40. Гантмахер Ф.Р., Крейн М.Г. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем. М.-Л.: Гостехиздат, 1950, 359 с.

41. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.: Физ-матгиз, 1960, 296 с.

42. Голубев В.В. Лекции по интегрированию уравнений движения твердого тела около неподвижной точки. М.: Гостехиздат, 1953, 287 с.

43. Голыдер Я.М., Куницын А.Л. Об устойчивости автономных систем при внутреннем резонансе // ПММ, 1975, т. 39, вып. 6. С. 974984.

44. Гольцер Я.М. О сильной устойчивости резонансных систем при параметрических возмущениях // ПММ, 1977, т. 41, вып. 2. С. 252-261.

45. Гольцер Я.М. Бифуркации и устойчивость нейтральных систем в окрестности резонанса третьего порядка // ПММ, 1979, т. 43, вып. 3. С. 429-436.

46. Горин Е.А. Об асимптотических свойствах многочленов и алгебраических функций от нескольких переменных // УМН, 1961, т. 16, вып. 1. С. 94-118.

47. Давыскиб А., Самсонов В.А. О возможности гироскопической стабилизации вращения системы твердых тел // ПММ, 1995, т. 59, вып. 3. С. 385-390.

48. Делоне Б.Н. Петербургская школа теории чисел. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1947, 419 с.

49. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967, 472 с.

50. Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. М.: Наука, 1979, 320 с.

51. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем. М.: Наука, 1979, 299 с.

52. Дубошин Г.Н. О вращательном движении искусственных небесных тел // М.: Бюллетень Института теоретической астрономии, т. 7, вып. 7. С. 511-530.

53. Дэвенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра. М.: Мир, 1991, 350 с.

54. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.: Наука, 1970, 528 с.

55. Журавлев В.Ф. Новый алгоритм нормализации гамильтоновых систем по Биркгофу // ПММ, 1997, т. 61, вып. 1. С. 12-17.

56. Збойчик H.A. О квадратичных интегралах линейных дифференциальных уравнений // ДУ, 1970, т. 6, N 2. С. 381-384.

57. Зигель К. Лекции по небесной механике. М.-Л.: ИЛ, 1959, 528 с.

58. Зигель К. О нормальной форме аналитических дифференциальных уравнений в окрестности положения равновесия // М.: Математика, 1961, т. 5, N 2. С. 119-128.

59. Зигель К. О существовании нормальной формы аналитических дифференциальных уравнений Гамильтона в окрестности положения равновесия // М.: Математика, 1961, т. 5, N 2. С. 129-155.

60. Зоркальцев В.И., Попов Л.Д. Современные методы оптимизации и их приложения к моделям энергетики. Новосибирск: Наука, 2003, 248 с.

61. Зубов В.И. Устойчивость интегральных многообразий // ДУ, 1977, т. 13, N 9. С. 1720-1722.

62. Илиев И. Классификация линейных интегралов голономной механической системы с двумя степенями свободы // ПММ, 1971, т. 35, вып. 3. С. 420-422.

63. Ильяшенко Ю.С. Аналитическая неразрешимость проблемы устойчивости и проблемы топологической классификации особых точек аналитических систем дифференциальных уравнений // Мат. сб. 1976, т. 99, вып. 2. С. 162-175.

64. Иохвидов И.С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. М.: Наука, 1974, 263 с.

65. Иртегов В.Д. Инвариантные многообразия стационарных движений и их устойчивость. Новосибирск: Наука, 1985, 141 с.

66. Иртегов В.Д., Новиков М.А. Знакоопределенность форм четвертого порядка от двух переменных // Метод Ляпунова и его приложения. — Новосибирск: Наука, 1984. С. 87-93.

67. Иртегов В.Д., Новиков М.А. Бифуркации и резонансы // Дифференциальные уравнения и численные методы. Новосибирск: Наука, 1986. С. 168-178.

68. Калинина Е.А., Утешев А.Ю. Теория исключения. С.-Пб.: НИИ химии СПбГУ, 2002, 71 с.

69. Каменков Г.В. Устойчивость движения, колебания, аэродинамика. т. 1. М.: Наука, 1971, 255 с.

70. Каменков Г.В. Устойчивость и колебания нелинейных систем, т. 2. М.: Наука, 1972, 213 с.

71. Касселс Дж. У.С. Введение в в геометрию чисел. М.: Мир, 1965, 421 с.

72. Касселс Дж. У.С. Рациональные квадратичные формы. М.: Мир, 1982, 436 с.

73. Клейн Ф. Высшая геометрия. М.: УРСС, 2004, 400 с.

74. Кирпичников С.Н. Структура дифференциальных уравнений механики, приводимых к каноническому виду //Л.: Вестник ЛГУ, сер. мат., мех., астр., 1973, N 19. С. 92-99.

75. Клюйник И.Ф. Об одном критерии знакоопределенности форм четного порядка и его применении. Киев: Наукова Думка, 1974,1. N 19. С. 103-112.

76. Козлов В.В. Гироскопическая стабилизация и параметрический резонанс // ПММ, 2001. т. 65, вып. 5. С. 739-745.

77. Красильников П.С. Об асимптотической устойчивости при резонансе 1:3 // ПММ, 1996, т. 60, вып. 1. С. 23-29.

78. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1954, 212 с.

79. Красовский H.H. Проблема стабилизации управляемых движений // Дополнение N4 в книге: Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966, 530 с.

80. Крейн М.Г., Неймарк М.А. Метод симметрических и Эрмитовых форм в теории отделения корней алгебраических уравнений. Харьков: ГТТИ, 1936, 39 с.

81. Крементуло В.В. Стабилизации стационарных движений твердого тела. М.: Наука, 1977, 263 с.

82. Кузьмин П.А. Квадратичные интегралы линейных механических систем // ПММ, 1960, т. 24, вып. 3. С. 575-577.

83. Кузьмин П.А. Малые колебания и устойчивость движения. М.: Наука, 1973, 206 с.

84. Куницын A.JL, Маркеев А.П. Устойчивость в резонансных случаях // Итоги науки и техники, серия: Общая механика. Т. 4. М.: ВИНИТИ, 1979. С. 58-139.

85. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: ФМГИЗ, 1963, 431 с.

86. Лагранж Ж. Аналитическая механика, т. 2.- М.: Гостехиздат, 1950, 440 с.

87. Ланцош К. Вариационные принципы механики. М.: МИР, 1996, 408 с.

88. Лахаданов И.М. О квадратичных интегралах линейных автономных систем // М.: ПММ, 1978, т. 42, вып. 3. С. 555-557.

89. Летов A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. -М.: Физматгиз, 1962, 483 с.

90. Летов A.M. Математическая теория процессов управления. М.: Наука, 1981, 255 с.

91. Ляпунов A.M. О постоянных винтовых вращениях. Т. 1. М.: Изд-во АН СССР, 1954, 446 с. .

92. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Т. 2. -М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1956. С. 7-263.

93. Майлыбаев A.A., Сейранян А.П. Особенности границ областей устойчивости // ПММ, 1998, т. 62, вып. 6. С. 984-995.

94. Макаров И.А., Фрадков А.Л. Алгоритмы управления колебаниями в гамильтоновых системах // ДАН, 1998, т. 362, N 3. С. 312-314.

95. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966, 530 с.

96. Маркеев А.П. О вращательном движении динамически симметричного спутника на эллиптической орбите // Космические исследования, 1967, т. 5, вып. 4. С. 530-539.

97. Маркеев А.П. Устойчивость плоских колебаний и вращений спутника на круговой орбите // Космические исследования, 1975, т. 13, вып. 3. С. 322-336.

98. Маркеев А.П., Сокольский А.Г., Чеховская Т.Н. Об устойчивости конической прецессии динамически симметричного твердого тела // Письма в астрономический журнал, 1977, т. 3, N 7.1. С. 333-336.

99. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодина-мике. М.: Наука, 1978, 312 с.

100. Маркеев А.П. К задаче об устойчивости положения равновесия гамильтоновой системы при резонансе 3:1 // ПММ, 2001, т. 65, вып. 4. С. 653-660.

101. Марков A.A. Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций, наименее уклоняющихся от нуля. M.-JL: Гос-техиздат, 1948, 412 с.

102. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1971, 312 с.

103. Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости. Москва-Ижевск: РХД, 2001, 448 с.

104. Моисеев Н.Д. Очерки развития теории устойчивости. M.-JL: Гостехиздат, 1949, 663 с.

105. Моисеев H.H. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981, 487 с.

106. Назиев Э.Х. О механических системах с интегралами, линейными относительно импульсов // Вестник МГУ, сер. мат., мех., 1969, N 2. С. 77-85.

107. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. M.-JL: Гостехиздат, 1947, 448 с.

108. Новиков С.П. Вторая половина 20 века и ее итог: Кризис физико-математического сообщества в России и на Западе // Историко -математические исследования. М.: Янус-К, 2002, сер. 2, вып. 7 (42). С. 326-356.

109. Новиков М.А. О наибольших и наименьших значениях полиномов // Иркутск: Вестник Иркутского гос. техн. ун-та, 2006, т. 1, N 4. С. 84-91.

110. Новиков М.А. О точных гранях полиномов // Новосибирск: Сибирский журнал вычислительной математики, 2007, т. 10, N 2. С. 195-208.

111. Новиков М.А. Знакоопределенность и теорема Финслера. Иркутск: Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2008, Спецвыпуск. С. 126-132.

112. Новиков М.А. Определители в вычислениях точных граней полиномов. Иркутск: Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2009, N 1 (21). С. 135-140.

113. Новиков М.А. О приложении форм выше второго порядка к задачам устойчивости движения. Иркутск: Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2009, N 2 (22). С. 114— 119.

114. Новиков М.А. О приведении матриц квадратичных форм к взаимно упрощенным. Иркутск: Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2010, N 2 (26). С. 181-187.

115. Новиков М.А. О связи диагонализации и знакоопределенности пучка двух квадратичных форм. Иркутск: Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2010, N 3 (27). С. 233-241.

116. Новиков М.А. О диагонализации и знакоопределенности пучка трех квадратичных форм. Иркутск: Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2010, N 4 (28). С. 100-107.

117. Новиков М.А. Об исследовании границ устойчивости стационарных движений спутника с гироскопом на круговой орбите // Автоматика и телемеханика, 2009, N 4. С. 163-171.

118. Новиков М.А. О границах устойчивости стационарного движения спутника с гироскопом // ПММ, 2010, т. 74, вып. 2. С. 230-238.

119. Новиков М.А. О знакоопределенности форм двух переменных // Материалы XIV Байкальской школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения". Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2008. С. 134141.

120. Новоселов B.C. Приведение дифференциальных уравнений механики к каноническому виду // Вестник ЛГУ, сер. мат., мех., астр., 1972, N 3. С. 100-105.

121. Ольшанский В.Ю. Линейный и квадратичный интегралы сложной механической системы // ПММ, 1996, т. 60, вып. 1. С. 37-46.

122. Парс Л.А. Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971, 635 с.

123. Пилюгина В.Б. Исследование системы с тройным нулевым характеристическим корнем // ДУ, 1980, т. 16, вып. 8. С. 1520-1522.

124. Пожарицкий Г.К. О построении функций Ляпунова из интегралов уравнений возмущенного движения // ПММ, 1958, т. 22, вып. 2. С. 145-154.

125. Полак JT.С. Вариационные принципы механики: Их развитие и применение в физике. М.: Книжный дом "Либроком", 2010, 600с.

126. Постников М.М. Устойчивые многочлены. М.: Наука, 1981,174 с.

127. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики, т. 1. Избранные труды. М.: Наука, 1971.

128. Раппопорт Л.Б. Знакоопределенность квадратичной формы при квадратичных ограничениях и абсолютная устойчивость нелинейных систем // ДАН, 1988, т. 298, N 4. С. 822-826.

129. Раушенбах Б.И., Токарь E.H. Управление ориентацией космических аппаратов. М.: Наука, 1974.

130. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967, 664 с.

131. Румянцев В гВ. Об устойчивости вращения тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой в случае С. В. Ковалевской // ПММ, 1954, т. 18, вып. 4. С. 457-458.

132. Румянцев В.В. Устойчивость перманентных вращений тяжелого твердого тела // ПММ, 1956, т. 20, вып. 1. С. 51-66.

133. Румянцев В.В. К устойчивости перманентных вращений твердого тела около неподвижной точки // ПММ, 1957, т. 21, вып. 3. С. 339-345.

134. Румянцев В.В. Сравнение трех методов построения функций Ляпунова // ПММ, 1995, т. 59, вып. 6. С. 916-921.

135. Савченко А.Я. Устойчивость равномерных вращений гироскопа C.B. Ковалевской // Механика твердого тела. Киев: Наукова думка, 1972, вып. 4. С. 48-51.

136. Садовский А.П. О проблеме центра и фокуса // ДУ, 1968, т. 4, N 5. С. 943-945.

137. Садовский А.П. О проблеме различения центра и фокуса для систем с ненулевой линейной частью // ДУ, 1976, т. 12, N 7. С. 12371246.

138. Садовский А.П. О проблеме различения центра и фокуса для одного случая сложной особой точки // ДУ, 1986, т. 22, N 5. С. 789-794.

139. Сазонов В.В. Гравитационная ориентация искусственных спутников с гиродинами // Космические исследования. 1988. т. 26, вып. 2. С. 315-317.

140. Сокольский А.Г. Об устойчивости гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в случае равных частот // ПММ, 1974, т. 38, вып. 5. С. 791-799.

141. Сокольский А.Г. Об устойчивости гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при резонансе первого порядка // ПММ, 1977, т. 41, вып. 1. С. 24-33.

142. Сокольский А.Г. К задаче об устойчивости регулярных прецессий симметричного спутника // Космические исследования, 1980, т. 18, вып. 5. С. 698-706.

143. Сокольский А.Г. Об устойчивости автономной гамильтоновой системы в случае нулевых частот // ПММ, 1981, т. 45, вып. 3. С. 441-449.

144. Сокольский А.Г., Хованский С.А. Программы нормализации га-мильтоновых систем с с тремя степенями свободы. М.: МАИ, деп. ВИНИТИ, 1981. С. 1-40.

145. Сокольский А.Г., Хованский С.А. Вычислительный алгоритм нормализации двумерных канонических систем. М.: МАИ, деп. ВИНИТИ, 1981. С. 1-40.

146. Солеев А. Выделение ветвей аналитической кривой и многогранники Ньютона // ДАН СССР, 1983, т. 268, N 6. С. 1305-1307.

147. Сосницкий С.П. О стабилизации равновесия консервативных систем с помощью гироскопических сил // ПММ, 2000, т. 64, вып. 1. С. 59-69.

148. Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейных колебаний. М.: Наука, 1977, 255 с.

149. Сумбатов A.C. Интегралы, линейные относительно скоростей. Обобщения теоремы Якоби. М.: ВИНИТИ, 1979, т. 4. С. 3-57.

150. Титова Т.Н. О нахождении нормального вида гамильтоновых матриц // ПММ, 1981, т. 45, вып. 6. С. 1026-1031.

151. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970, 564 с.

152. Уиттекер Э. Т. Аналитическая динамика. Ижевск: Издательский дом "Удмурдский университет", 1999, 584 с.

153. Walker R.J. Àlgebraic Curves. Princeton, NJ: Univ. Press, 1950 = Уокер P. Алгебраические кривые. - M.: Изд-во иностр. лит., 1952, 236 с.

154. Утешев А.Ю., Шуляк С.Г. Критерий асимптотической устойчивости системы двух дифференциальных уравнений с однородными правыми частями // Минск: ДУ, 1987, N 6. С. 1009-1014.

155. Утешев А.Ю., Шуляк С.Г. Метод Эрмита отделения решений систем алгебраических уравнений и его применение. М.: Депон. ВИНИТИ, N 6319-В89, "Вестник ЛГУ", сер. 1, 1989. С. 1-42.

156. Утешев А.Ю., Черкасов Т.М. Локализация решения систем алгебраических уравнений и неравенств. Метод Эрмита // ДАН РАН, 1996, т. 347, N 4. С. 451-453.

157. Утешев А.Ю., Черкасов Т.М. К задаче полиномиальной оптимизаций jj ДАН РАН, 1998, т. 361, N 2. С. 168-170.

158. Утешев А.Ю. Использование однородных форм в качестве функций Ляпунова. Л.: ЛГУ, ВИНИТИ, серия: математика, механика, астрономия, 1987. С. 1-13.

159. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1964, 304 с.

160. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. т. 1. М.: Наука, 1966, 608 с.

161. Хазин Л.Г., Шноль Э.Э. Об устойчивости положений равновесия в критических случаях и в случаях, близких к критическим // ПММ, 1981, т. 45, вып. 4. С. 595-604.

162. Хазин JI.Г., Шноль Э.Э. Устойчивость критических положений равновесия. Пущино, 1985, 215 с.

163. Харлип А.Д. Алгоритм нормализации автономных систем. -Алма-Ата: Изв. АН Каз. ССР, серия физико-математическая, Деп. ВИНИТИ, 1980. С. 1-37.

164. Холшевников К.В. Преобразования Ли в небесной механике // Астрономия и геодезия. Томск: Изд-во Томского гос. ун-та, 1973.

165. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М: Мир, 1989, 655 с.

166. Цельман Ф.Х. Резонансы и некоторые случаи интегрируемости движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки // ДАН, 1972, т. 207, N 3. С. 560-562.

167. Цельман Ф.Х. "Малые колебания" тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки и некоторые случаи существования "линейных интегралов" // ПММ, 1973, вып. 3. С. 544-546.

168. Чеботарев Н.Г. "Многоугольник Ньютона" и его роль в современном развитии математики. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1950, т. 3. С. 47-80.

169. Чернятин В.А. О знакоопределенности произвольных форм четного порядка // Минск: ДАН БССР, 1966, т. 10, N 11. С. 821-823.

170. Черноусько Ф.Л. Об устойчивости регулярной прецессии спутника // ПММ, 1964, т. 28, вып. 1. С. 155-157.

171. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР, 1962, 535 с.

172. Шапиро Г.М. Высшая алгебра. М.: Учпедгиз, 1937, 328 с.

173. Шноль Э.Э., Хазин Л.Г. Несуществование алгебраического критерия асимптотической устойчивости при резонансе 1:1. М.: препринт ИПМ, 1977, N 112. С. 3-23.

174. Шноль Э.Э., Хазин Л.Г. Несуществование алгебраического критерия асимптотической устойчивости при резонансе 1:3. М.: препринт ИПМ, 1977, N 45. С. 3-32.

175. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения.- М.: Наука, 1972, 718 с.

176. By P. Bhimasankaram. Simultaneous Reduction of Several Hermitian Forms. India: (Indian Statistical Institute), The Indian Journal of Statistics, 1971, Series A, Vol.33. (Dec. 1971). P. 417-422.

177. Finsler P. 1. Uber das Vorkommen definiter und semidefiniter Formen in scharen quadratischen Formen, 2. Uber eine classe algebraischer Gebilde (Freigebilde). Commentarii Vathematicii Helveticii, 1937, v. 9. P. 172-192.

178. Kumar Mitra. Simultaneous Diagonalization of Rectangular Matrices.- N.Y.: Linear Algedra and its Applications, 1982, Vol. 47. P. 139-150.

179. Klingenberg Wilhelm. Paare symmetrischen und alternierenden Formen zweiten Grades // Abhandl. Math. Sem.(Hamburg) -Hamburg: 1955, N 19. P. 78-93.

180. Novickov M.A. Simbolic Computations in Problems of Stabilization // Algebra in Fundamental and Applied Researches and Education. Minsk: BSU, 1999. P. 66-69.

181. Novickov M.A. Parametric Analysis for a Nonlinear System // Computer Algebra in Scientific Computing. CASC '00, V.G. Ganzha, E.W. Mayr and E.V. Vorozhtsov (Eds). Munich: Springer, 2000. P. 315-321.

182. Uteshev A.Ju. Localization of Roots of a Polinomial not Represented in Canonical Form // Computer Algebra in Scientific Computing. CASC '99, V.G. Ganzha, E.W. Mayr and E.V. Vorozhtsov (Eds). -Berlin: Springer-Verlag, 1999. P. 431-440.

183. Poincare H. These (1879). Paris: Oeuvres 1, 1928.

184. Williamson J. On the algebraic problem concerning the normal forms of linear dynamical systems. Amer. J. of Math., 1936, N 58. P. 141-163.