Анализ устойчивости и синтез стабилизирующих управлений для нелинейных разностных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Султанбеков, Андрей Аркадьевич

• Султанбеков, Андрей Аркадьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Султанбеков, Андрей Аркадьевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПО НЕЛИНЕЙНОМУ НЕОДНОРОДНОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ

§ 1. Основные понятия и определения.

§ 2. Системы с однородными правыми частями.

§ 3. Устойчивость треугольных разностных систем.

§ 4. Анализ устойчивости по нелинейному приближению.

§ 5. Условия устойчивости по нелинейному нестационарному приближению

§ 6. Системы с неавтономными возмущениями.

§ 7. Уточнение условий устойчивости по нелинейному приближению

ГЛАВА 2. УСЛОВИЯ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ И РАВНОМЕРНОЙ ДИССИПАТИВНОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ

§ I. Асимптотическая устойчивость решений одного класса нелинейных неавтономных разностных систем

§ 2. Уточнение условий асимптотической устойчивости.

§ 3. Анализ равномерной диссипативности существенно нелинейных систем разностных уравнений.

§ 4. Условия диссипативности по нелинейному приближению

§ 5. Равномерная диссипативность одного класса разностных систем с неавтономными возмущениями.

§ 6. Условия равномерной диссипативности сложных систем

ГЛАВА 3. УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ РАЗНОСТНЫМИ СИСТЕМАМИ

§ 1. Постановка задачи стабилизации

§ 2. Стабилизация нулевого решения нелинейных разностных систем

§ 3. Постановка задачи обеспечения равномерной диссипативности и практической устойчивости.

§ 4. Решение задачи обеспечения равномерной диссипативности

§ 5. Построение управлений, обеспечивающих практическую устойчивость.

§ 6. Управление одним классом существенно нелинейных разностных систем.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ устойчивости и синтез стабилизирующих управлений для нелинейных разностных систем»

Актуальность темы. Постепенный рост производительных мощностей, высокоточного оборудования приводит к усложнению научного аппарата. Так с каждым годом появляется много новых математических моделей, описывающих реальные процессы как в физике [10, 45], химии [24], экономике [49], так и в биологии, генетике и медицине [47, 48, 50, 51], в которых присутствуют различного рода нелинейности.

С развитием аппарата моделирования требуется соответствующее развитие методов анализа динамики нелинейных систем. Одним из аспектов динамики систем является устойчивость. В современных реалиях задача устойчивости имеет важное теоретическое и прикладное значение в силу неизбежного присутствия возмущений в моделях, описывающих сложные природные явления. Нахождение условий устойчивости позволяет не только оценить поведение решений системы, но и открывает перспективы дальнейшего развития теории управления.

Фундаментальные подходы в области исследования устойчивости для непрерывных систем были разработаны еще в конце XIX века А. М. Ляпуновым [23]. Им были предложены два метода для анализа устойчивости механических систем. Первый метод тем или иным образом исследовал возмущенные решения, которые искались в виде рядов и на основе свойств этих рядов делался вывод об устойчивости нулевого решения исходной системы. Второй способ Ляпунова, именуемый прямым, методом. Ляпунова, опирался на использование вспомогательных функций, по поведению которых на решениях рассматриваемых систем можно судить о поведении самих решений.

При исследовании нелинейных систем широко применяется прямой метод Ляпунова. Данный подход получил глубокое развитие в трудах И. Г. Малкина, Н. Н. Красовского, В. И. Зубова и ряда других ученых [12, 19, 25]. В этих работах были доказаны в том числе и теоремы об устойчивости по нелинейному приближению, и в качестве первого приближения рассматривались системы с однородными правыми частями. В. И. Зубовым были установлены критерии устойчивости по обобщенно-однородному приближению [14].

Помимо развития методов исследования устойчивости, большое количество работ посвящено расширению понятия устойчивости решения системы. Так К. П. Персидский ввел понятие равномерной устойчивости по начальным данным [27], И. Г. Малкин добавил для асимптотической устойчивости равномерность относительно начальных данных [25], Н. Левинсон ввел понятие диссипативности системы [55]. Понятие диссипативности заимствовано из физики и означает склонность системы к рассеянию энергии. В работах В. В. Румянцева, В. И. Зубова, П. Абетс и многих других ученых [13, 30, 53, 56] была изучена устойчивость движения относительно части переменных. Также во многих трудах был исследован ряд таких понятий, как экспоненциальная устойчивость, устойчивость при постоянно действующих возмущениях и т.п.

Одним из важных классов систем, описывающих динамические процессы и явления, являются разностные системы. Они применяются в теории управляемых систем с дискретными регуляторами [13], при исследовании нелинейных импульсных систем [43], а также используются при численном интегрировании дифференциальных уравнений [13, 42]. Кроме того, разностные системы необходимы при моделировании различных биологических процессов [32, 36].

Многие приемы в области исследования устойчивости, разработанные для непрерывных систем, были распространены на системы разностных уравнений. Установлены условия устойчивости для линейных систем, получен дискретный аналог прямого метода Ляпунова, с помощью которого доказана устойчивость по линейному и нелинейному приближениям и т.д. Результаты, в частности, представлены в работах [2, 3, 13, 43].

На данный момент глубоко изучена проблема устойчивости линейных разностных систем. Хотя линейные модели удобны, они иногда слишком упрощают изучаемую нелинейную систему или вовсе не подходят для ее исследования. Например, в работе [21] отмечается, что многие физические системы содержат существенные нелинейности, которыми нельзя пренебрегать и с которыми не удается справиться при помощи линейной аппроксимации. К тому же довольно часто приходится рассматривать системы, у которых разложение правых частей в ряды по степеням искомых функций вообще не содержит линейных членов [12].

Особый интерес представляет нахождение условий устойчивости дяя нелинейных разностных систем, а также разработка новых подходов в области исследования устойчивости по нелинейному приближению. Существенные результаты в исследовании устойчивости нелинейных систем были достигнуты в работах А. Халанай, Д. Векслер, М. А. Скалкиной и многих других ученых [2, 33, 34, 43].

Также важной задачей при изучении нелинейных разностных систем является исследование их на диссипативность. На данный момент условия диссипативности глубоко изучены для систем дифференциальных уравнений. Значимые результаты представлены в трудах Т. Йошизавы, Б. П. Демидовича, В. И. Зубова и ряда других ученых [8, 12, 31, 58]. Основным методом при анализе диссипативности дифференциальных систем является прямой метод Ляпунова. В дальнейшем способы исследования диссипативности непрерывных систем также были распространены на системы разностных уравнений. Известен дискретный аналог теоремы Т. Йошизавы о равномерной диссипативности нелинейных систем [2].

При переходе от непрерывных систем к дискретным актуальной проблемой является сохранение качественных характеристик исследуемых систем. Известно [13], что часто требуется коррекция разностных схем для обеспечения согласованности между свойствами решений непрерывных и дискретных уравнений. Коррекция заключается в построении консервативных численных методов, основанных на модификации вычислительных схем путем введения управления, что приводит к их усложнению [13]. Поэтому весьма важно выделение таких классов систем, для которых имеет место сохранение качественных характеристик при переходе к дискретному виду без соответствующих коррекций.

Задачей данного диссертационного исследования является изучение свойств существенно нелинейных разностных систем, нахождение условий их асимптотической устойчивости и равномерной диссипативности, построение управлений, стабилизирующих программные движения, а также управлений, обеспечивающих равномерную диссипативность и практическую устойчивость изучаемых движений. Помимо этого, в работе найдены классы систем, для которых имеет место согласованность свойств, в смысле сохранения асимптотической устойчивости и равномерной диссипативности, непрерывных и соответствующих им дискретных систем.

Структура и основное содержание работы. Рукопись состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемой литературы, включающего 58 наименований и приложения. Объем составляет 106 страниц машинописного текста. Работа содержит 2 рисунка.

Первая глава посвящена изучению условий устойчивости разностных систем по неоднородному приближению. В качестве системы нелинейного приближения рассматриваются существенно нелинейные уравнения специального вида, в правых частях которых, кроме однородных функций заданного порядка, присутствуют дополнительные члены меньшего порядка. Исследуется случай, когда изучаемые системы являются треугольными и имеют асимптотически устойчивые нулевые решения.

В § 1 приводятся некоторые определения и теоремы дискретного аналога второго метода Ляпунова, применяемые в настоящей работе. Во 2-ом параграфе представлены известные результаты об устойчивости разностных систем с однородными правыми частями и теорема об устойчивости по нелинейному однородному приближению. В § 3 показывается, что если в правых частях уравнений нелинейного приближения, кроме однородных членов заданного порядка, присутствуют дополнительные члены меньшего порядка, то превышение порядка возмущения над порядком однородных членов уже недостаточно для того, чтобы возмущенная система сохраняла асимптотическую устойчивость нулевого решения. В качестве таких систем рассматриваются треугольные системы, для которых находятся условия асимптотической устойчивости. В последующих параграфах первой главы исследуются ситуации, когда на треугольные системы действуют различные возмущения, и находятся условия, при которых данные возмущения не нарушают асимптотическую устойчивость нулевых решений рассматриваемых систем. Пример 3.1 из § 3 показывает, что сформулированное в § 4 достаточное условие асимптотической устойчивости по нелинейному неоднородному приближению, в определенном смысле, является и необходимым.

Во второй гяаве изучается проблема асимптотической устойчивости и равномерной диссипативности для некоторых классов существенно нелинейных разностных систем. В § 1, 2 исследуются системы, правые части которых представляют собой линейные комбинации степенных функций фазовых переменных. Предполагается, что на такие системы действуют возмущения. С помощью дискретного аналога прямого метода Ляпунова доказываются теоремы об асимптотической устойчивости. В § 3, 4 изучается равномерная диссипативность существенно нелинейных систем. Находятся условия, при которых возмущения не нарушают равномерной диссипативности рассматриваемых систем. В § 5 доказывается теорема о равномерной диссипативности одного класса нелинейных разностных систем. В § 6 показано, что предложенные раннее способы анализа равномерной диссипативности разностных систем можно использовать для нахождения условий равномерной диссипативности сложных систем по нелинейному приближению.

Третья глава посвящена применению полученных в предыдущих главах результатов для построения стабилизирующих управлений и управлений, обеспечивающих равномерную диссипативность и практическую устойчивость. В § 1 дается постановка задачи стабилизации для нелинейных разностных систем. В § 2 представлены случаи, когда стабилизация осуществляется с полной и неполной обратными связями. В § 3 формулируются задачи обеспечения равномерной диссипативности и практической устойчивости. В § 4 получены условия существования управлений, гарантирующих равномерную диссипативность изучаемых систем. В пятом параграфе находятся условия существования управлений, обеспечивающих практическую устойчивость. Приводится пример, иллюстрирующий поведение возмущенных решений под действием таких управлений. В § 6 рассмотрен один класс управляемых нелинейных разностных систем, правые части которых представляют собой линейные комбинации степенных функций фазовых переменных.

В заключении сформулированы основные результаты исследования, выносимые на защиту.

В приложении представлен код программы, реализованный в пакете МАТЬАВ для численного исследования примера из § 5 третьей главы.

Научная новизна. Новыми результатами, представленными в работе, являются:

• условия асимптотической устойчивости систем разностных уравнений по нелинейному неоднородному приближению:

• теоремы об асимптотической устойчивости нулевых решений нелинейных неавтономных дискретных систем;

• достаточные условия равномерной диссипативности нелинейных систем разностных уравнений:

• теорема о равномерной диссипативности сложных систем по нелинейному приближению;

• условия существования управлений, обеспечивающих асимптотическую устойчивость, равномерную диссипативность и практическую устойчивость нелинейных разностных систем.

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа, в основном, носит теоретический характер. Доказанные в диссертации теоремы вносят определенный вклад в развитие качественной теории разностных систем. Полученные в ней результаты могут быть использованы при анализе асимптотической устойчивости и равномерной диссипативности дискретных моделей, используемых в прикладных задачах, а сформулированные и решенные задачи по обеспечению асимптотической устойчивости, равномерной диссипативности и практической устойчивости могут применяться при проектировании и разработке управляемых систем.

Апробация работы. По теме диссертации опубликовано 5 работ, три из которых - в изданиях, рекомендуемых Высшей аттестационной комиссией (ВАК) для публикации основных научных результатов [37-41].

Результаты исследования докладывались и обсуждались на международных конференциях "Процессы управления и устойчивость "(Санкт-Петербург, 2012 г.), "Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования "(Воронеж, 2012 г.), на ежегодных семинарах кафедры управления медико-биологическими системами СПбГУ (2010-2012 гг.).

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Султанбеков, Андрей Аркадьевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными результатами, полученными в ходе диссертационного исследования и выносимыми на защиту, являются следующие:

• условия асимптотической устойчивости систем разностных уравнений по нелинейному неоднородному приближению;

• теоремы об асимптотической устойчивости нулевых решений нелинейных неавтономных дискретных систем;

• достаточные условия равномерной диссипативности нелинейных систем разностных уравнений:

• теорема о равномерной диссипативности сложных систем по нелинейному приближению:

• условия существования управлений, обеспечивающих асимптотическую устойчивость, равномерную диссипативность и практическую устойчивость нелинейных разностных систем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Султанбеков, Андрей Аркадьевич, 2012 год

1. Александров А. Ю. Устойчивость движений неавтономных динамических систем. СПб.: Изд-во С-Петерб. ун-та, 2004. 184 с.

2. Александров А. Ю., Жабко А. П. Устойчивость движений дискретных динамических систем. СПб.: Науч.-исслед. ин-т Химии С-Петерб. ун-та, 2003. 112 с.

3. Александров А. К)., Жабко А. П. О сохранении устойчивости при дискретизации систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Сибирский математический журнал. 2010. Т. 51, № 3. С. 383-395.

4. Александров А. Ю., Платонов А. В. Устойчивость движений сложных систем. СПб.: НИИ Химии С-Петерб. ун-та, 2002. 79 с.

5. Александров А. Ю., Платонов А. В. Построение функций Ляпунова для одного класса систем нелинейных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43, № 10. С. 267-270.

6. Александров А. Ю., Платонов А. В. Об устойчивости по нелинейному неоднородному приближению // Матем. заметки. 2011. Т. 90, № 6. С. 803-820.

7. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.

8. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

9. Дудников Е. Е., Рыбашов М. В. Сеть нейронов с нелинейными обратными связями // Автомеханика и телемеханика. 1997. № 6. С. 64-73.

10. Заславский Г. М., Сагдеев Р. 3. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988. 368 с.

11. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Судпромгиз, 1959. 324 с.

12. Зубов В. И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973. 272 с.

13. Зубов В. И. Проблема устойчивости процессов управления. Л.: Судпромгиз, 1980. 253 с.

14. Зубов В. И. Асимптотическая устойчивость по первому, в широком смысле, приближению // Докл. РАН. 1996. Т. 346, № 3. С. 295-296.

15. Калитин Б. С. О принципе сведения для асимптотически треугольных дифференциальных систем // Прикл. математика и механика. 2007. Т. 71, № 3. С. 389-400.

16. Карелин В. В., Харитонов В. Л., Чижова О. Н. Лекции по теории стабилизации программных движений: Учеб. пособие / Под общ. ред. В. И. Зубова. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. 80 с.

17. Козлов Р. И. Теория систем сравнения в методе векторных функций Ляпунова. Новосибирск.: Наука, 2001. 128 с.

18. Косов А. А. Об устойчивости сложных систем по нелинейному приближению // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, № 10. С. 1432-1434.

19. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М: Физматгиз, 1959. 212 с.

20. Летов А. М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. М.: Го-стехиздат, 1955. 483 с.

21. Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления М.: Наука, 1972. 576 с.

22. Лурье А. И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961. 824 с.

23. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М: Изд-во ОНТИ, 1935. 386 с.

24. Максимов А. И. Введение в нелинейную физическую химию: учебное пособие. Иваново.: Иван. гос. хим.-технол. ун-т, 2010. 174 с.

25. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1952. 432 с.

26. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости / Под ред. А. А. Воронова и В. М. Матросова. М.: Наука, 1987. 312 с.

27. Персидский К. П. Об устойчивости движения в первом приближении. // Матем. сборник. 1933. Т. 40, № 3. С. 284-293

28. Персидский С. К. К вопросу об абсолютной устойчивости // Автоматика и телемеханика. 1969. JYa 12. С. 5-11.

29. Пятницкий Е. С. Принцип декомпозиции в управлении механическими системами // Докл. АН СССР. 1988. Т. 300, № 2. С. 300.

30. Румянцев В. В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987. 256 с.

31. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. 300 с.

32. Свирежев Ю. М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978. 352 с.

33. Скалкина М. А. О связи между устойчивостью решений дифференциальных и конечно-разностных уравнений // Прикл. математика и механика. 1955. Т. 19, № 3. С. 287-294.

34. Скалкина М. А. О сохранении асимптотической устойчивости при переходе от дифференциальных уравнений к соответствующим разностным // Докл. АН СССР. Т. 104, № 4. 1955. С. 505-508.

35. Смирнов Н. В., Смирнова Т. Е., Тамасян Г. Ш. Стабилизация программных движений в пространстве состояний: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СОЛО, 2010. 97 с.

36. Смит Дж. М. Математические идеи в биологии. М.: Мир, 1970. 180 с.

37. Султанбеков А. А. Некоторые условия устойчивости нелинейных неавтономных разностных систем // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикл. матем. Информ. Проц. упр. 2012. № 1. С. 109-118.

38. Султанбеков А. А. Условия устойчивости одного класса существенно нелинейных разностных систем // Научно-технический вестн. Поволжья. 2012. № 1. С. 216-222.

39. Султанбеков А. А. Об устойчивости одного класса существенно нелинейных разностных систем // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ,-мат. науки. 2012. № 2(27). С. 132-143.

40. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.

41. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971. 312 с.

42. Черноусько Ф. JL, Ананьевский И. М., Решмин С. А. Методы управления нелинейными механическими системами. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 328 с.

43. Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики. 2-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 296 с.

44. Barmish В. R., Leitmann G. On ultimate boundedness control of uncertain systems in the absence of matching assumptions // IEEE Trans. Automat. Control. 1982. Vol 27. Issue 1. P. 153-158.

45. Brauer F., Castillo-Chavez C. Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology. New York.: Springer, 2001. 448 p.

46. Braverman E. On a discrete model of population dynamics with impulsive harvesting or recruitment // Nonlinear Analysis. 2005. Vol. 63. Issue 5-7. P. 751-759.

47. Bischi G. I., Chiarella C., Gardini L. Nonlinear Dynamics in Economics, Finance and the Social Sciences: Essays in Honour of John Barkley Rosser Jr. Bin.: Springer-Verlag. 2010. 400 p.

48. Chen F. Permanence and global attractivity of a discrete multispecies Lotka-Volterra competition predador-prey systems // Applied Mathematics and Computation. 2006. Vol. 182. Issue 1. P. 3-12.

49. Continho R., Fernandez B., Lima R., Meyroneinc A. Discrete time piecewise affine models of genetic regulatory networks // J. Math. Biol. 2006. Vol. 52. Issue 4. P. 524-570.

50. Corless M. J., Leitmann G. Continuous state feedback guaranteeing uniform ultimate boundedness for uncertain dynamic systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1981. Vol 26. Issue 5. P. 1139-1144.

51. Habets P., Peiffer K. Classification of stability-like concepts and their study using vector Liapunov functions // J. Math. Anal, and Appl. 1973. Vol. 43. Issue 2. P. 537-570.

52. Kalton N.J. Spaces of Lipschitz and Holder functions and their applications // Collectanea Mathematica. 2004. Vol. 55. Issue 2. P. 171-217.

53. Levinson N. Transformation theory of non-linear differential equations of the second order // Ann. of Math. 1944. Vol 45. Issue 4. P. 723-737.

54. Michel A. N. On the bounds of the trajectories of differential systems // Int. J. of Control. 1969. Vol. 10. P. 593-600.

55. Rosier L. Homogeneous Lyapunov function for homogeneous continuous vector held // Systems & Control Letters. 1992. Vol. 19. P. 467-473.

56. Yoshizawa T. Stability theory by Liapunov's second method. Tokyo.: The Math. Soc. of Japan, 1966. 223 p.