Качественный анализ движений неавтономных динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Степенко, Николай Анатольевич

• Степенко, Николай Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Степенко, Николай Анатольевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. РАВНОМЕРНАЯ ДИССИПАТИВНОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ПО НЕЛИНЕЙНОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ.

1.1. Исследование условий диссипативности по обобщенно-однородному первому приближению.

1.2. Представление первого приближения согласно канонической структуре силовых полей.

1.3. Равномерная диссипативность некоторых классов двумерных систем.

ГЛАВА 2. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭВЕНТУАЛЬНОЙ ДИССИПАТИВНОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ.

2.1. Анализ влияния высокочастотных колебаний на диссипативные системы.

2.2. Случай возмущений колебательного типа с неограниченными амплитудами.

2.3. Некоторые условия эвентуальной диссипативности неавтономных двумерных систем.

ГЛАВА 3. КРИТЕРИИ ДИССИПАТИВНОСТИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ.

3.1. Равномерная диссипативность нестационарных колебательных систем.-.

3.2. Условия сохранения равномерной диссипативности при наличии внешних возмущающих воздействий

3.3. Об одном способе построения функций Ляпунова для нелинейных колебательных систем.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Качественный анализ движений неавтономных динамических систем»

В настоящее время теория устойчивости движений систем обыкновенных дифференциальных уравнений стала одной из основополагающих теорий современной математики. Новейшие достижения в разнообразных областях механики, физики, техники, химии и биологии привели к необходимости решать проблемы, связанные с изучением нелинейных явлений и последующей реализацией заданных или прогнозированием уже существующих режимов функционирования различных объектов. Известно также, что на практике осуществляются процессы устойчивые в том или ином смысле. Все это в свою очередь и послужило толчком к интенсивному развитию теории устойчивости.

Другим направлением научных исследований, разрабатываемым особенно бурно, в связи с созданием современных вычислительных средств, является применение широкого комплекса математических моделей при описании и изучении сложных процессов. Это связано с тем фактом, что на практике без применения вычислительного эксперимента в большинстве случаев невозможно получить достаточно четкое представление о рассматриваемом явлении. Однако следует отметить, что отправной точкой в математическом моделировании все-таки является создание математических моделей, описываемых в том числе и с помощью дифференциальных уравнений, и разработка математических методов исследования изучаемого процесса.

Как правило, математические модели, создаваемые для различных сложных процессов, описываются существенно нелинейными системами дифференциальных уравнений, и т.к. во многих системах, которые изучаются современной наукой, возникают устойчивые состояния различных типов, то и вопрос о качественных свойствах этих систем является одним из фундаментальных вопросов современного естествознания.

В том поистине огромном количестве работ, посвященных проблеме. устойчивости движений, можно выделить два основных направления. Первое из них связано с расширением рассматриваемого круга задач, а второе характеризуется созданием новых и усилением уже известных методов исследования. Исходя из разнообразия качественных свойств нелинейных систем, описывающих математические модели различных реальных явлений, нас, прежде всего, будут интересовать публикации, относящиеся к первому направлению, а именно — те, в которых рассматриваются различные модификации понятия устойчивости движения, отличающиеся от классического определения устойчивости по Ляпунову.

Проведем теперь небольшой экскурс в историю развития проблемы устойчивости движений систем дифференциальных уравнений. В 1892 году А. М. Ляпунов опубликовал свою докторскую диссертацию "Общая задача об устойчивости движения" (см. [32]), в которой задача об устойчивости движения была впервые поставлена во всей ее общности и предложены мощные и вместе с тем строгие методы ее решения. В этой работе он предложил довольно общее определение устойчивости решения дифференциального уравнения. А. М. Ляпунов изучал только случай устойчивости нулевого решения, т.к. он показал, что задача об устойчивости любого движения может быть сведена без ограничения общности к этому случаю.

Позднее К. П. Персидский [41] ввел равномерную устойчивость по ¿о и И. Г. Малкин [34] для асимптотической устойчивости — равномерность по Хо. Пример неустойчивого атрактора, данный Р. Э. Виноградом [11], привел к разделенению асимптотической устойчивости на два более простых понятия, а именно на устойчивость и притяжение. Затем естественным образом появилось понятие слабого притяжения [56]. Ограниченность решений была изучена Т. Иосидзавой [59]. Распространение этих определений на множества произведено несколькими авторами, в том числе В. И. Зубовым [17],

Т. Йосидзавой [59], Бхатиа и Сеге [57]. Множества, изменяющие ся со временем, рассматривались Йосидзавой. Позднее П. Абетс и К. Пейффер[58] в попытке охватить частичную устойчивость изучали устойчивость множества по отношению к другому множеству. Более ранней работой в этом направлении является работа А. Н. Мичела [61]. Был изучен целый ряд других понятий, таких, как, например, экспоненциальная устойчивость, которую рассматривали многие авторы, устойчивость условно инвариантных множеств и т.п.

Следует отметить, что многочисленные исследования в этих случаях были посвящены изучению сохранения глобальных свойств систем дифференциальных уравнений при воздействии на них различного рода возмущений. Необходимость проведения исследований, относящихся к такому типу, задач вытекает из следующего общеизвестного факта. При описании реального процесса с помощью дифференциальных уравнений, как правило, невозможно определить все задействованные силы. К тому же, на ход событий часто оказывают влияние внешние возмущающие факторы, учесть которые заранее еще более трудно, однако известно, что их влияние можно считать достаточно малым. В этом случае стараются рассмотреть основные взаимодействующие силы, пренебрегая "малыми". Поэтому, получив описание некоторого физического процесса в дифференциальных уравнениях, которые, вообще говоря, являются приближенными, важно выяснить, как меняются свойства решений при малых изменениях системы уравнений, т.е. при переходе от первоначальной системы к возмущенной.

Многие авторы (см. например [41, 59]), вводя новые понятия, относящиеся к качественным свойствам движений систем, следовали в основном своим конкретным постановкам задач и необходимым требованиям. Поэтому различные типы устойчивости и подобные свойства рассматривались только для определенных классов систем или систем, правые части которых удовлетворяли конкретным условиям. Очевидно, что охватить одним понятием все свойства движений систем, равно как и описать все классы нелинейных систем, движения которых удовлетворяют тому или иному свойству, невозможно. Таким образом, несмотря на всю значимость опубликованных ранее работ и широкий спектр полученных результатов, возможное поле исследования качественных свойств движений нелинейных систем по-прежнему остается огромным.

Задачей данного диссертационного исследования является изучение свойств возмущенных систем и дальнейшее развитие той части теории устойчивости, которая относится к ограниченности и предельной ограниченности движений, а именно изучаются понятия равномерной и эвентуальной диссипативности систем дифференциальных уравнений.

Приведем теперь основные формулировки и утверждения, используемые в данной диссертации.

Пусть задана система дифференциальных уравнений

Х = ^,Х), (0.1) где функция X) определена и непрерывна при всех £ > 0, X € Еп.

Определение [13, с. 293]. Система (0.1) называется равномерно диссипативной, если существует такое положительное число В, что для любого > 0 найдется достаточно большое Т > 0 такое, что для каждой начальной точки Хо, ||Хо|| < С}, и всякого начального момента времени ¿о > 0 выполняется неравенство ||Х(£, Хо, ¿о) II < В при всех Ь > ¿о + Т.

Решения диссипативной системы иногда называют предельно (финально) ограниченными (см. [59]). Т. Иосидзавой была доказана теорема, котороя будет в дальнейшем широко применяться в диссертационной работе. Приведем ее формулировку.

KJ

Теорема Иосидзавы [59]. Если существует функция Ляпунова V(t,X), определенная и непрерывно дифференцируемая в области t> О, \\X\\>R, R> О, для которой выполнены условия:

1) а(||Х||) < V(t,X) < 6(||Х||), где а(г) — непрерывная положительная возрастающая функция, Ъ(г) — непрерывная неубывающая функция при г > 07 причем b(r) —>■ +оо при г —У +оо;

2) существует такая непрерывная положительная функция с(г) при г >0, что V(t,X) < —с(||Х||); где V(t,X) — полная производная от функции V(t,X) в силу системы (0.1), то система (0.1) равномерно диссипативна.

Применяя результаты, полученные в [45, с. 24-27], нетрудно показать, что условия теоремы Иосидзавы эквивалентны следующим

1') V(t, X) —>• +оо при ||Х|| —> +оо равномерно по t и существует такая непрерывная положительная функция V(X), что V(t,X) < V{X)\

2') -—^ ' ^ ^ < —W(X), где функция W(X) непрерывна и положительна.

Поэтому для проверки условий теоремы Иосидзавы достаточно проверить выполнение условий 1') и 2').

В. И. Зубов в работе [17] показал, что при воздействии на асимптотически устойчивую однородную систему возмущениями, порядок функций которых больше порядка функций, входящих в правые части системы, нулевое решение остается асимптотически устойчивым, а в случае, когда порядок возмущающих функций меньше порядка функций правых частей системы — возмущенная система является равномерно диссипативной. Этим же автором в [16] изучались системы с обобщенно-однородными правыми частями и были выделены классы систем, все решения которых ограничены при возрастании времени. В [2] для некоторых классов нестационарных систем были получены условия равномерной диссипативности, которые существенно расширили область возможных порядков функций, входящих в правые части систем.

Развивая эти исследования, в первом параграфе первой главы данной диссертации в качестве систем первого приближения рассматриваются системы уравнений, правые части которых являются обобщенно-однородными функциями.

Определение [16, с. 187]. Функцию /(X) определенную и непрерывную при всех X £ Еп, будем называть обобщенно-однородной класса (ш1, . , тп) порядка т, если для любого с £ ( — оо, +оо) имеет место соотношение ст>х1,.,ст»хп) = стЦх1,.,хп), где т — неотрицательное, ., тп — положительные рациональные числа с нечетными знаменателями.

Известно [16, с. 190], что для любой обобщенно-однородной функции /(X) класса (шх,., тп) порядка ш, справедлива оценка п

Х)\ < агп\ где а>0 и г = а если функция /(X) положительно-определенная, то /(X) < а2гт, где аиа2 > 0.

Предполагая, что для системы первого приближения существует непрерывно дифференцируемая обобщенно-однородной функция

Ляпунова, в этом параграфе определяются достаточные условия равномерной диссипативности возмущенных систем по обобщенно-однородному первому приближению, причем порядки возмущающих функций могут превосходить порядок исходной системы.

В работе [20] была получена теорема о канонической структуре силовых полей, согласно которой любая автономная система дифференциальных уравнений

Х = Р{Х), с непрерывно дифференцируемыми правыми частями всегда может быть представлена в виде где — кососимметрическая матрица, т.е. 0*(Х) = —

Здесь функция \¥(Х), непрерывно дифференцируемая при всех X £ Еп, является потенциалом поля скоростей, а функция С(Х)Х представляет собой соленоидалъное поле. Физическое свойство солено-идального поля сил заключается в том, что оно не дает вклада в элементарную работу, а именно Х*0(Х)Х = 0.

Во втором параграфе данной главы, рассматривая первое приближение системы в виде (0.2), исследуются условия сохранения равномерной диссипативности систем при наличии внешних возмущающих воздействий в случае отрицательно-определенной функции IV {X).

В параграфе 1.3 исследуется проблема равномерной диссипативности некоторого класса нелинейных систем второго порядка на основе понятия системы первого, в широком смысле, приближения, предложенного В. И. Зубовым в [18]. В этой статье в качестве первого приближения используются нелинейные члены входящие в правые части систем дифференциальных уравнений. Используя это понятие, в данном параграфе проводится дальнейшее развитие теории таких первых приближений, которые обладают глобальной грубостью в смысле решения проблемы равномерной диссипативности.

Вторая глава посвящена определению условий эвентуальной диссипативности для различного рода возмущенных нелинейных нестационарных систем.

Определение [59]. Система (0.1) называется эвентуально дисси-пативной, если существует такое положительное число И, что для любого числа 0 > 0 найдутся достаточно большие положительные числа Т' и Т\ такие, что для любой начальной точки Хо, ||Хо|| < и любого начального момента времени tQ > Т\ будет выполняться неравенство Хо, ¿о)|| для любого Ь > ¿о + Т'.

В первом и втором параграфах рассматриваются диссипативные неавтономные п-мерные системы вида (0.1), находящиеся под воздействием внешних возмущающих сил, представляющих собой высокочастотные колебания с ограниченными и неограниченными амплитудами соответственно. Для данных типов возмущающих воздействий показано, что изучаемые системы являются эвентуально диссипативными.

В третьем парагафе исследуются системы второго порядка с переменными коэффициентами. Для них также при выполнении некоторых условий показывается эвентуальная диссипативность.

Наконец, в последней главе рассматриваются колебательные системы с параметрами изменяющимися с течением времени.

Нелинейные осцилляторы являются очень выжными примерами колебательного движения и могут служить точными или приближенными моделями во многих задачах классической механики и физики, т.к. уравнениями вида х + ¡(х,х) +д(х) = е(г) можно описать различные динамические системы, имеющие существенно нелинейный характер. Особенно часто такие уравнения рассматриваются в различных механических приложениях, где при наличии соответствующей комбинации отрицательного и положительного затуханий система приобретает способность иметь колебания в отсутствие консервативных сил или периодического возбуждения. Также приходится рассматривать задачи связанные с модулированием физических параметров такого рода осцилляторов.

В данном диссертационном исследовании изучаются колебательные системы с переменными параметрами вида

X + А№(Х) + = Ф(*, X, X) и на основе методов, разработанных в предыдущих двух главах, доказываются теоремы, согласно которым уравнения данного вида при различных условиях на параметры являются равномерно дис-сипативными или эвентуально диссипативными.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Степенко, Николай Анатольевич

Основные результаты диссертации, полученные в итоге проведенных исследований и выносимые на защиту, являются следующие.

1. Проведен анализ асимптотического поведения движений некоторых типов возмущенных систем по обобщенно-однородному первому приближению и получены критерии равномерной диссипативности указанных систем. Рассмотрена одна модель системы первого приближения специального вида, имеющая широкое практическое применение.

2. На основе понятия первого, в широком смысле, приближения проведено качественное исследование решений некоторых типов систем второго порядка и найдены условия равномерной диссипативности для этих систем.

3. Определены условия эвентуальной диссипативности в случае воздействия на нелинейные нестационарные диссипативные системы некоторых классов высокочастотных возмущений как с ограниченными, так и с неограниченными амплитудами.

4. Для колебательных систем с переменными параметрами установлен ряд критериев равномерной и эвентуальной диссипативности.

Определены новые условия равномерной и эвентуальной дис-сипативности по нелинейному приближению. Выделены различные классы возмущений, ненарушающие исходных свойств системы. Полученные результаты развивают методы качественного анализа свойств систем дифференциальных уравнений и позволяют проводить исследование ограниченности движений широкого класса нестационарных систем.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной диссертационной работе на основе второго метода Ляпунова проводится анализ диссипативных свойств некоторых классов существенно нелинейных нестационарных динамических систем. При этом основной используемый подход в диссертационном исследовании основан на понятии системы первого приближения, в качестве которой рассматриваются различные нелинейные системы.

Целью диссетрации является изучение условий ограниченности решений нелинейных нестационарных систем, получение критериев равномерной и эвентуальной диссипативности, а также исследование влияния внешних возмущающих воздействий на диссипативные системы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Степенко, Николай Анатольевич, 2000 год

1. Александров А. Ю. Об асимптотической устойчивости решений нелинейных неавтономных систем // Изв. АН., Теория и системы управления. 1999. № 2. С 5-9.

2. Александров А. Ю. Об устойчивости равновесия нестационарных систем // ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 2. С. 205-209.

3. Александров А.Ю. О вибрационной стабилизации нелинейных систем // Диф. уравнения и прикл. задачи. Сб. научн. трудов. Тула, 1996. С. 3-7.

4. Барбашин Е. А. О двух схемах доказательства теорем об устойчивости по первому приближению. // ДАН, Т. 3. № 1. 1957.

5. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М., 1970.

6. Баутин Н. Н., Леонтович-Андронова Е. А. Методы и приемы качественноко исследования динамических систем на плоскости. М., 1990.

7. Биркгоф Г. Динамические системы. ГИТТЛ, 1941.

8. Варех Н. В., Котляр Б. Д. Качественная теория дифференциальных уравнений и ее применение к исследованию математических моделей. Днепрпетровск, 1991.

9. Виноград Р. Э. Неприменимость метода характеристических показателей к изучению нелинейных дифференциальных уравнений // Мат. сб., новая серия, Т. 41 (83), № 4. 1957.

10. Голечков Ю. И. О сохранении свойств ограниченности решений при возмущении нелинейной п-мерной дифференциальной сис-темы // Диф. Ур. № 5, 1982. С. 748-752.

11. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1998.

12. Игнатьев А. О. Об устойчивости положения равновесия колебательных систем с переменными коэффициентами // Прикл. математика и механика. 1982. Т. 46. № 1. С. 167-168.

13. Игнатьев А. О. О неустойчивости положения равновесия линейного осциллятора с переменными параметрами // Прикл. математика и механика. 1991. Т. 55. № 4. С. 701-703.

14. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л., 1959.

15. Зубов В. И. Устойчивость движения. М., 1973.

16. Зубов В. И. Асимптотическая устойчивость по первому, в широком смысле, приближению // ДАН. 1996. Т. 346. № 3. С. 295296.

17. Зубов В. И. Колебания и волны. Л., 1989.

18. Зубов В. И. Аналитическая динамика системы тел. М., 1983.

19. Зубов С. В., Зубов Н. В. Математические методы стабилизации динамических систем. СПб., 1996.

20. Иосидзава Т. Функция Ляпунова и ораниченность решений // Математика, 1955. Т.9, №5, С. 95-127.

21. Козлов В. В., Фурта С. Д. Асимптотики решений сильно нелинейных систем дифференциальных уравнений. М., 1996.

22. Красноборов Н. А. Построение устойчивого линейного уравнения второго порядка. М., 1996.

23. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М., 1959.

24. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1, М., 1988.

25. Ла-Салль Дж., С. Левшец Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М., 1964.

26. Ла Салль Дж. П., Раз Р. Дж. Новое понятие устойчивости // Труды 2-го конгресса ИФАК. Т. 1. С. 69-75. М., 1965.

27. Лагранж .Ж Аналитическая механика, Т. 1. Гостехиздат, 1950.

28. Лозгачев Г. И. Построение функций Ляпунова для нелинейных динамических систем. // Диф. ур. Т.11, 1998. С. 1565-1567.

29. Лурье А. И. Аналитическая механика. М., 1961.

30. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л., 1950.

31. Магницкий Н. А. Асимптотические методы анализа нестационарных управляемых динамических систем. М., 1992.

32. Малкин И. Г. К вопросу об обращении теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости // ПММ., Т. 18, вып. 2," 1954.

33. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М. 1966.

34. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости. М., 1971.

35. Мирзов Д. Д. Асимптотические свойства решений систем нелинейных неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. Майкоп, 1993.

36. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений.

37. Пантелеев А. В., Якимова А. С., Босов А. В. Обыкновенные дифференциалные уравнения в приложениях к анализу динамических систем. М., 1997.

38. Перепелкин Е. А. Анализ динамических систем: Учебное пособие. Барнаул, 1995.

39. Персидский К. П. Об устойчивости движения в первом приближении. // Мат. сб., т. 40. 1933.

40. Петухов В. Р. Теория динамических систем: Учеб. пособие. Калинин, 1981.

41. Плисс В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний. M.-JI. 1964.

42. Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений М., 1974, 320 с.

43. Румянцев В. В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М., 1987. G. 256.

44. Сансоне Д. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Т. 1. "изд-во иностр. лит., 1953.

45. Степенко Н. А. Об эвентуальных свойствах решений некоторых классов неавтономных систем. Тезисы докладов международной конференции "Modelling and investigation of system stability". Киев, 1997. С. 115.

46. Степенко H. А. Об эвентуальной диссипативности некоторых классов неавтономных систем // Прикладная математика, информатика, электроника. Межвуз. сб. научных трудов. РГПУ им. А.И. Герцена. СПб, 1997. С. 111-114.

47. Степенко Н. А. Некоторые условия диссипативности неавтономных систем. Тезисы докладов международной математической конференции "Еругинские чтения — VI". Гомель, 1999. С. 77-78.

48. Степенко Н. А. Равномерная диссипативность по первому, в широком смысле приближению // Труды XXX научной конференции. Процессы управления и устойчивость. СПб, 1999. С 188-192.

49. Стокер И. Нелинейные колебания в механических и электрических систеиах. ИЛ, 1953.

50. Старжинский В. М. Достаточные условия устойчивости одной механической системы с одной степенью свободы // Прикл. математика и механика. 1952. Т. 16. № 3. С. 369-374.

51. Холодниок М., Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. М., 1991.

52. Чернецкий В. И. Математическое моделирование динамических систем. Петрозаводск, Т. 1,2. 1996.55J Чурков В. И. Динамические задачи большой размерности. М., 1998.

53. Bhatia N. P. Weak attractors in dynamical systems // Bol. Soc. Mat. Mexicana, 11. 1966.

54. Bhatia N. P., Szego G. P. Dynamical systems: stability theory and applications // In. Lecture Notes in Mathematics, 35, Springer Verlag. 1967.

55. Habets P., Peiffer K. Classification of stability-like concepts and their study using vector Liapunov functions // J. Math. Anal., 43. 1973.

56. Yoshizawa T. Stability Theory by Liapunov's Second Method. The Math. Soc. of Japan, Tokyo, 1966.

57. Levinson N. Transformation theory of non-linear differential equations of the second order // Ann. math. 1944. V. 45. № 4. P. 723-737.

58. Michel A. N. On the bounds of the trajectories of differential systems // Int. J. Control, 10. 1969.-85

59. Stepenko N. A. On the asymptotic behavior of solutions of a class of nonlinear systems. Abstracts of Int. Workshop "Beam Dynamics and Optimization (BDO'98)". Russia, St.-Petersburg, June 1998. P. 32.