Качественный анализ движений дискретных динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Нгуен Динь Хуен

• Нгуен Динь Хуен
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Нгуен Динь Хуен

СОДЕРЖАНИЕ

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ ПО НЕЛИНЕЙНОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ 10 § 1. Задача об устойчивости по нелинейному приближению

ГЛАВА 2. АБСОЛЮТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ И АБСОЛЮТНАЯ

ДИССИПАТИВНОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

§ 1. Постановка задачи

§ 2. Достаточные условия абсолютной устойчивости для систем с

неаддитивными связями

§ 3. Абсолютная устойчивость одного класса дискретных моделей

популяцонной динамики

§ 4. Стабилизация дискретной модели популяционной динамики

§ 5. Анализ диссипативности обобщенной вольтерровской модели

ГЛАВА 3. УСЛОВИЯ КОНВЕРГЕНЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ

§ 1. Общие условия конвергенции нелинейных систем

§ 2. Анализ конвергенции одного класса систем нелинейных разностных уравнений

§ 3. Условия конвергенции дискретной модели динамики популяций

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Качественный анализ движений дискретных динамических систем»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Разностные системы широко применяются для описания динамических систем. Они являются основным математическим аппаратом при изучении управляемых систем с дискретными регуляторами и нелинейных импульсных систем, они используются в теории нелинейных колебаний (преобразование Пуанкаре) и при численном интегрировании дифференциальных уравнений [13, 14, 16, 46].

Одно из направлений исследований, возникающих в указанных приложениях разностных уравнений, связано с анализом устойчивости их решений. Основным методом анализа устойчивости нелинейных разностных систем является прямой метод Ляпунова [26, 46, 63]. Главная трудность, возникающая при применении этого метода, заключается в проблеме нахождения функций Ляпунова. К сожалению, общих способов их построения не существует.

В исследовании устойчивости нелинейных дискретных систем существенные результаты были достигнуты в трудах А. Халанай, Д. Векслер, М. А. Скалкиной, В. И. Зубова, А. А. Мартынюка, А. И. Климушева и многих других ученых [21, 25, 30, 31, 46]. В работах А. Ю. Александрова и А. П. Жабко были доказаны теоремы об устойчивости однородных разностных систем, установлены условия устойчивости по нелинейному приближению и т. д. [5, 6, 7].

Теория управления является одним из важнейших разделов современной науки. Она используется во всех процессах, допускающих внешнее воздействие со строны человека. В большинстве практических задач управления в силу присутствия возмущений, помимо обеспечения наперед заданной динамики решения системы, требуется решение задачи стабилизации программного движения. Следует заметить, что задача стабилизации тесно смыкается с общей задачей об устойчивости движения и является дальнейшим развитием проблемы устойчивости в приложении к теории управляе-

мых систем [14, 20, 28].

При исследовании различных биологических, физических, экономических и технических моделей необходимо рассматривать сложные системы разностных уравнений. Основными особенностями таких систем являются высокая размерность, большое количество параметров и существенно нелинейный характер уравнений, разнообразие системных связей [8, 15, 24, 31].

При управлении различными реальными системами в широком классе случаев требуется не только стабилизировать заданные программные режимы, но и обеспечить ограниченность движений исследуемых систем [17].

На практике часто встречаются системы, у которых из-за диссипации (рассеяния энергии) каждое движение по истечении достаточно большого промежутка времени попадает в некоторую ограниченную область и остается в ней при дальнейшем возрастании времени. Такие системы называют диссипативными [17]. Особый интерес представляет случай, когда дисси-пативность является равномерной по отношению к начальным данным решений.

При анализе диссипативности дифференциальных систем широко применяется прямой метод Ляпунова. Значимые результаты представлены в трудах Т. Йошизавы, Б. П. Демидовича, В. И. Зубова и ряда других авторов [17, 19, 44, 63]. В дальнейшем способы исследования диссипативности непрерывных систем были распространены на системы разностных уравнений. Известен дискретный аналог теоремы Т. Йошизавы о равномерной диссипативности нелинейных систем [7]. Стоит отметить, что условия равномерной диссипативности изучены только для некоторых специальных классов дискретных систем. Исследования в этом направлении представляют интерес для развития качественной теории разностных уравнений и имеют широкое практическое применение.

Одной из важных задач качественной теории дифференциальных и разностных уравнений является определение условий существования и устойчивости вынужденных почти периодических колебаний, возникающих в

нелинейных системах под действием внешних возмущений. С практической точки зрения, особый интерес представляет ситуация, когда указанные колебания асимптотически устойчивы в целом. Такое явление называют конвергенцией [17, 20].

В. И. Зубовым была доказана теорема об условиях почти периодической конвергенции для систем дифференциальных уравнений [20]. Эти условия формулировались в терминах существования функций Ляпунова, обладающих определенными свойствами. С помощью данной теоремы в [1, 2, 11, 20, 48, 49, 50] была доказана конвергентность некоторых классов нелинейных систем. В то же время следует заметить, что до сих пор не существует общих конструктивных способов построения функций Ляпунова, удовлетворяющих требованиям теоремы Зубова. В работе Н. А. Атаевой [И] теорема В. И.Зубова распространена на системы разностных уравнений.

Задачей данного диссертационного исследования является системный анализ нелинейных разностных систем, нахождение новых условий их асимптотической устойчивости, конвергенции и равномерной диссипатив-ности, а также условий существования управлений, стабилизирующих заданные программные движения.

Структура и основное содержание работы. Рукопись состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемой литературы. Объем составляет 92 страницы машинописного текста.

Первая глава посвящена изучению условий устойчивости решений сложных (многосвязных) разностных систем по нелинейному приближению.

Первый параграф является вспомогательным, в нем приведены некоторые определения и теоремы дискретного аналога второго метода Ляпунова, а также известные теоремы об устойчивости по нелинейному приближению, используемые в диссертационной работе.

Во втором параграфе рассмотрена сложная существенно нелиней-

ная система разностных уравнений с нестационарными связями. Условия устойчивости нулевого решения для таких систем были получены в статье А. Ю. Александрова и А. П. Жабко [7]. В диссертационной работе показано, что для определенных типов нестационарных связей найденные в [7] ограничения на параметры системы, гарантирующие асимптотическую устойчивость нулевого решения, можно ослабить. В частности, доказано, что для нестационарных связей рассматриваемого вида асимптотическая устойчивость имеет место и в случае, когда порядки однородности функций, входящих в правые части изолированных подсистем совпадают с порядками однородности функций, описывающих связи между подсистемами. Рассмотрены сложные системы со специальными структурами связей и показано, что для таких систем условия устойчивости нулевого решения можно получить в более конкретном виде.

В § 3 проводится анализ устойчивости сложной системы разностных уравнений по нелинейному приближению. Известные условия устойчивости таких систем формулируются в терминах существования положительных решений систем строгих неравенств специального вида, связывающих между собой порядки однородности изолированных подсистем и порядки однородности функций, характерзирующих связи между подсистемами [7]. В диссертации предложен новый подход, позволяющий получать условия устойчивости и в случае, когда указанные неравенства могут обращаться в равенства.

Во второй главе исследованы задачи абсолютной устойчивости и абсолютной диссипативности нелинейных систем.

В § 1 сформулирована постановка задачи. Приведены некоторые известные условия абсолютной устойчивости.

В § 2 исследованы условия абсолютной устойчивости нелинейных разностных систем с неаддитивными связями. Доказано, что полученные в [7] результаты могут быть распространены на системы со связями более общего вида. Далее в работе рассмотрены системы со специальными структура-

ми связей и показано, что для таких систем условия устойчивости можно получить в более конкретной форме. Показано также, что использованный при получении условий абсолютной устойчивости способ построения функций Ляпунова позволяет оценить скорость стремления к началу координат решений данной системы.

В § 3 исследованы условия абсолютной устойчивости одного класса дискретных моделей популяцонной динамики. С помощью дискретного аналога теоремы Барбашина - Красовского найдены условия, гарантирующие, что положение равновесия изучаемой модели асимптотически устойчиво в целом в положительном ортанте для любых допустимых нелинейностей, входящих в правые части рассматриваемых уравнений.

В § 4 рассмотрена задача стабилизации дискретной модели популяцион-ной динамики. Показано, что с помощью полученных в предыдущем параграфе результатов можно сформулировать условия существования управления, обеспечивающего наличие заданного положения равновесия системы и стабилизирующего это положение равновесия.

В § 5 рассмотрена задача анализа диссипативности обобщенной воль-терровской модели. Получены условия на параметры, гарантирующие равномерную диссипативность в положительном ортанте разностной системы, которая представляет собой дискретный аналог обобщенной непрерывной вольтерровской модели межвидового взаимодействия.

Третья глава посвящена изучению условий конвергенции нелинейных разностных систем.

В § 1 приведены общие условия конвергенции нелинейных систем.

В § 2 исследованы условия конвергенции одного класса систем нелинейных разностных уравнений. Показано, что с помощью дискретного аналога теоремы Зубова и предложенного в работе [2] способа построения функций Ляпунова для двумерных систем дифференциальных уравнений можно получить достаточные условия, гарантирующие конвергенцию двумерных разностных систем. Далее показано, что при некотором дополнительном

предположении предложенный в диссертации способ доказательства кон-вергентности двумерных систем можно распространить на случай систем, состоящих из произвольного числа уравнений.

В § 3 исследованы условия конвергенции дискретной модели динамики популяций. Показано, что разработанные в предыдущем параграфе подходы к анализу разностных систем можно использовать для исследования асимптотического поведения решений дискретных моделей популяционной динамики.

В заключении сформулированы основные результаты исследования, выносимые на защиту.

Научная новизна. Новыми результатами, представленными в работе, являются:

• условия асимптотической устойчивости решений многосвязных систем разностных уравнений по нелинейному приближению;

• достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейных разностных систем;

• новые условия существования управлений, стабилизирующих программные движения дискретных динамических систем;

• условия конвергенции одного класса нелинейных разностных систем;

• условия абсолютной устойчивости, диссипативности и конвергенции дискретных моделей популяционной динамики.

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа, в основном, носит теоретический характер. Доказанные в диссертации теоремы вносят определенный вклад в развитие качественной теории разностных систем. Результаты работы могут быть использованы при анализе асимптотической устойчивости, равномерной диссипативности и конвергенции дискретных моделей, используемых в прикладных задачах, а также при проектировании и разработке управляемых систем.

Апробация работы. По теме диссертации опубликовано 7 работ [34 -40], одна из которых - в издании, рекомендуемом Высшей аттестационной

комиссией (ВАК) для публикации основных научных результатов [37].

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на международных конференциях "Процессы управления и устойчивость" (Санкт-Петербург, 2008-2011, 2013 гг.), на семинарах кафедры управления медико-биологическими системами.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Нгуен Динь Хуен

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными результатами, полученными в ходе диссертационного исследования и выносимыми на защиту, являются следующие:

• условия асимптотической устойчивости решений многосвязных систем разностных уравнений по нелинейному приближению;

• достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейных разностных систем;

• новые условия существования управлений, стабилизирующих программные движения дискретных динамических систем;

• условия конвергенции одного класса нелинейных разностных систем;

• условия абсолютной устойчивости, диссипативности и конвергенции дискретных моделей популяционной динамики.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Нгуен Динь Хуен, 2013 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров А. Ю. Достаточные условия конвергентности одной нелинейной системы // Процессы управления и устойчивость: Труды научной конф. СПб.: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2000. С. 37-39.

2. Александров А. Ю. Некоторые условия устойчивости и конвергентности нелинейных систем // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. К2 4. С. 549-551.

3. Александров А. Ю. Устойчивость движений неавтономных динамических систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004. 184 с.

4. Александров А. Ю., Жабко А. П. Устойчивость разностных систем. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2003. 112 с.

5. Александров А. Ю., Жабко А. П. Об устойчивости решений одного класса нелинейных разностных систем // Сибирский математический журнал, 2003. Т. 44, № 6. С. 1217-1225.

6. Александров А. Ю., Жабко А. П. О существовании предельных режимов нелинейных разностных систем // Вестник СПбГУ. Сер. 10. Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2009. Вып. 3. С. 240-251.

7. Александров А. Ю., Жабко А. П. О сохранении устойчивости при дискретизации систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Сибирский математический журнал. 2010. Т. 51, № 3. С. 383-395.

8. Александров А. Ю., Платонов А. В. Метод сравнения и устойчивость движений нелинейных систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2012. 263 с.

9. Александров А. Ю., Платонов А. В. Построение функций Ляпунова для одного класса систем нелинейных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43, № 10. С. 267-270.

10. Александров А. Ю., Платонов А. В., Старков В. Н., Степенко Н. А. Математическое моделирование и исследование устойчивости биологических сообществ. СПб.: «СОЛО», 2006. 186 с.

11. Атаева Н. Н. Свойство конвергенции для разностных систем // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10. Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2004. Вып. 4. С. 91-98.

12. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.

13. Бромберг П. В. Матричные методы в теории релейного и импульсного регулирования. М.: Наука, 1967. 324 с.

14. Воронов А. А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979. 336 с.

15. Воронов А. А. Введение в динамику сложных управляемых систем. М.: Наука, 1985. 351 с.

16. Груйич Л. Т., Мартынюк А. А., Риббенс-Павелла М. Устойчивость крупномасштабных систем при структурных и сингулярных возмущениях. Киев: Наукова думка, 1984. 308 с.

17. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

18. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге - Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1988. 334 с.

19. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Судпромгиз, 1959. 324 с.

20. Зубов В. И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л.: Судостроение, 1962. 632 с.

21. Зубов В. И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973. 272 с.

22. Зубов В. И. Проблема устойчивости процессов управления. Л.: Судпромгиз, 1980. 253 с.

23. Зубов В. И. Асимптотическая устойчивость по первому, в широком смысле, приближению // Докл. РАН. 1996. Т. 346, № 3. С. 295-296.

24. Косов А. А. Об устойчивости сложных систем по нелинейному приближению // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, № 10. С. 1432-1434.

25. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М: Физматгиз, 1959. 212 с.

26. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964. 168 с.

27. Летов А. М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. М.: Го-стехиздат, 1955. 483 с.

28. Лефшец С. Устойчивость нелинейных систем автоматического управления. М.: Мир, 1967. 184 с.

29. Лурье А. И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М.: Гостехиздат, 1951. 216 с.

30. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1952. 432 с.

31. Мартынюк А. А. Устойчивость движения сложных систем. Киев: Нау-кова думка, 1975. 352 с.

32. Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001. 384 с.

33. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости / Под ред. А. А. Воронова и В. М. Матросова. М.: Наука, 1987. 312 с.

34. Нгуен Д. X. Об устойчивости дискретных моделей динамики популяций // Процессы управления и устойчивость: Труды XXXIX международной научной конференции аспирантов и студентов. СПб., 7-10 апреля 2008 г. / Под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2008. С. 225-229.

35. Нгуен Динь Хуен. Об условиях конвергентности одной нелинейной системы разностных уравнений // Процессы управления и устойчивость: Труды ХЬ международной научной конференции аспирантов и студентов. СПб., 6-9 апреля 2009 г. / Под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2009. С. 46-49.

36. Нгуен Динь Хуен. Условия конвергенции дискретной модели динамики популяций // Процессы управления и устойчивость: Труды ХЫ международной научной конференции аспирантов и студентов. СПб., 5-8 апреля 2010 г. / Под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб.: Из-дат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2010. С. 289-293.

37. Динь Хуен Нгуен. Условия конвергенции некоторых классов нелинейных разностных систем // Вестник СПбГУ. Сер. 10. Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2011. Вып. 2. С. 90-96.

38. Нгуен Динь Хуен. Об асимптотической устойчивости некоторого класса нелинейных неавтономных разностных систем // Процессы управления и устойчивость: Труды ХЫ1 международной научной конференции аспирантов и студентов. СПб., 4-7 апреля 2011 г. / Под ред. А. С. Еремина, Н. В. Смирнова. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2011. С. 47-51.

39. Нгуен Динь Хуен. Об устойчивости решений многосвязных разностных систем по нелинейному приближению // Вестник Мордовского университета. Серия физико-математические науки. 2012. № 2. С. 40-44.

40. Нгуен Д. X. Об абсолютной устойчивости одного класса нелинейных разностных систем // Процессы управления и устойчивость: Труды ХЫН международной научной конференции аспирантов и студентов. СПб., 1-4 апреля 2013 г. / Под ред. Н. В. Смирнова, Т. Е. Смирновой. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2013. С. 48-52.

41. Островский Г. М., Волин Ю. М. Методы оптимизации сложных химико-технологических схем. М.: Химия, 1970. 328 с.

42. Персидский С. К. К вопросу об абсолютной устойчивости // Автоматика и телемеханика. 1969. № 12. С. 5-11.

43. Пых Ю. А. Равновесия и устойчивость в моделях популяцонной динамики. М.: Наука, 1983. 182 с.

44. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. 300 с.

45. Свирежев Ю. М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978. 352 с.

46. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971. 312 с.

47. Шильяк Д. Децентрализованное управление сложными системами. М.: Мир, 1994. 576 с.

48. Щенников В. Н. Исследование почти-периодического режима одной нелинейной регулируемой системы // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, № 12. С. 2182-2183.

49. Щенников В. Н. Существование периодических решений и их устойчивость // Качественные свойства, асимптотика и стабилизация нелинейных динамических систем. Межвуз. сб. научн. трудов. Саранск: Изд-во Мордовского ун-та, 2010. С. 200-204.

50. Щенников В. Н. Исследование конвергенции в неавтономной дифференциальной системе с помощью дифференциальных неравенств // Математические методы исследования управляемых механических систем. Межвуз. сб. научн. трудов. Л.: Изд-во ЛГУ, 1982. С. 191-194.

51. Aleksandrov, A. Yu., Chen, Y., Platonov, A. V. and Zhang, L. Stability analysis and uniform ultimate boundedness control synthesis for a class of nonlinear switched difference systems. J. of Difference Equations and Applications 18 (9) (2012) 1545-1561.

52. Bailey F. N. The application of Lyapunov's second method to interconnected systems // Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, Series A: Control. 1965. V. 3, № 3. P. 443-462.

53. Chen F. Some new results on the permanence and extinction of nonautonomous Gilpin-Ayala type competition model with delays // Nonlinear Analysis: Real World Applications. 2006. Vol. 7. P. 1205-1222.

54. Jinn-Wen Wu and David P. Brown. Global asymptotic stability in discrete systems // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1989. V. 140, № 1. P. 224-227.

55. Hofbauer J., Sigmund K. Evolutionary games and population dynamics. Cambridge: Cambridge University Press, 1998. 323 p.

56. Hopfield J. J., Tank D. W. Computing with neural circuits: A model // Science. 1986. V. 233. P. 625-633

57. Karzkurewicz E., Bhaya A. Matrix diagonal stability in systems and computation. Boston: Birkhauser, 1999. 272 p.

58. Rosier L. Homogeneous Lyapunov function for homogeneous continuous vector field // Systems and Control Letters. 1992. V. 19. P. 467-473.

59. Siljak D. D. Large-scale dynamic systems: stability and structure. New York: North Holland, 1978. 416 p.

60. Wang Wendi and Lu Zhengyi. Global stability of discrete models of Lotkr-Volterra type // Nonlinear Analysis. 1999. V. 35, № 8. P. 1019-1030.

61. Yoshiaki Muroya. Persistence and global stability in discrete models of Lotka-Voltera model // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2007. V. 330, № 1. P. 24-33.

62. Yoshiaki Muroya, Emiko Ishiwata and Nicola Guglielmi. Global stability for nonlinear difference equations with variable coefficients // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2007. V. 334, № 1. P. 232-247.

63. Yoshizawa T. Stability theory by Liapunov's second method. Tokyo.: The Math. Soc. of Japan, 1966. 223 p.