Развитие метода сравнения для управляемых систем и вычислительная сложность вспомогательных подзадач тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор физико-математических наук Лакеев, Анатолий Валентинович

• Лакеев, Анатолий Валентинович
• доктор физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Лакеев, Анатолий Валентинович

Введение

1 Задачи управляемости динамических систем с непрерывным временем

1.1 Разрешимость функционального уравнения Персидского

1.2 Необходимые и достаточные условия с ВФЛ для экви-управляемости, управляемости до диссипативности, эк-виуправляемости и инвариантности терминального множества

1.3 Оценки скорости приближения к нулю обобщенно-однородных многозначных полупотоков и теоремы о динамических свойствах с ВФЛ.

1.4 Алгоритмы построения функций Ляпунова и управления для управляемости в ноль.

2 Некоторые задачи гармонизации интересов сторон

2.1 Математическая постановка задачи гармонизации интересов сторон.

2.2 Достаточные условия разрешимости задачи сильной гармонизации и гармонизации по Нэшу для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями.

2.3 Гармонизация интересов сторон при платежах предприятий за загрязнение

3 Анализ достижимости в цифровых схемах

3.1 Логико-динамическая модель процессов в цифровых схемах.

3.2 Существование, единственность, продолжимость решений уравнения (1.2).

3.3 Существование и единственность переключательных процессов

3.4 Квазимонотонные системы.

3.5 Метод сравнения.

3.6 Случай элементарных дизъюнкций.

Обращение теоремы сравнения для достижимости . Исследование свойства достижимости для монотонных систем с постоянными задержками.

4 Метод сравнения для управляемых систем с дискретным временем и вычислительная сложность вспомогательных задач

4.1 Достижимость в дискретной динамической системе с параметрическими управлением и возмущением.

4.2 Общие системы линейных алгебраических систем уравнений с неопределенностью.

4.3 Обобщенные множества решений интервальной системы линейных алгебраических уравнений.

4.4 Алгебраические уравнения в интервальной арифметике Каухера и уравнения с модулями.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие метода сравнения для управляемых систем и вычислительная сложность вспомогательных подзадач»

Современная жизнь характеризуется резким возрастанием сложности систем, создаваемых или исследуемых человеком, и расширением разнообразия их изучаемых свойств. Эта сложность математически проявляется в том, что модель может состоять из ряда взаимосвязанных, но разнородных по своему описанию подсистем (в форме, например, дифференциальных, разностных, логических, функциональных и других уравнений), причем эти подсистемы могут содержать управления и разного сорта неопределенности и возмущения (координатные, параметрические, структурные).

Развитие методов исследования для сложных (нелинейных, гибридных) систем с управлением и неопределенностями является актуальной задачей, которой и посвящена настоящая работа.

Основные общепризнанные методы исследования систем с управлением, описываемых дифференциальными или разностными уравнениями, основаны на использовании принципа максимума Понтрягина или функций Беллмана-Кротова. Однако с помощью этих методов исследуются в основном свойства, связанные с оптимизацией некоторого критерия. В то же время для исследования различных качественных свойств динамических систем широко используется метод функций Ляпунова (Н.Г.Четаев, Е.А.Барбашин, В.И.Зубов, Г.В.Каменков, Н.Н.Красовский, И.Г.Малкин, В.М.Матросов, К.П.Персидский, В.В.Румянцев и др.), разработанный в его развитие метод сравнения и, в частности, метод векторных функций Ляпунова (ВФЛ) (Матросов-Беллман, 1962).

Метод функций Ляпунова применялся для исследования свойств нелинейных управляемых систем, с распределенными параметрами, запаздыванием и др. также в работах И.М.Ананьевского, Н.А.Бобылева, Р.Е.Калмана, В.И.Коробова, С.К.Коровина, В.М.Кунцевича, А.Б.Кур-жанского, П.К.Кузнецова, М.М.Лычака, Ю.С.Осипова, К.П.Персидского, С.К.Персидского, Е.С.Пятницкого, Т.К.Сиразетдинова, С.Я.Степанова,

A.Л.Фрадкова,

B.Хана, Д.Я.Хусаинова, Ф.Л.Черноусько, В.А.Якубовича и многих других.

Метод ВФЛ в задачах динамики управления развивался и использовался Л.Ю.Анапольским, С.Н.Васильевым, А.С.Земляковым, Т.Йоши-завой, В.Б.Колмановским, Р.И.Козловым, К.Кордуняну, В.Лакшмикан-тамом, А.И.Маликовым, А.А.Мартынюком, А.И.Москаленко, В.Р.Носовым, К.Пейффером, Е.А.Суменковым, В.Д.Фурасовым, П.Хабетсом и др.

Дадим небольшой исторический обзор развития идей метода ВФЛ и метода сравнения.

В конце XIX века великими математиками и механиками А.Пуанкаре [156] и А.М.Ляпуновым [120] были заложены основы качественных методов исследования проблем классической механики и теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В классической работе [120] А.М.Ляпуновым с помощью введения некоторой вспомогательной функции (названной в последствии функцией Ляпунова) были даны критерии наличия в изучаемой системе наиболее важных динамических свойств: устойчивости, асимптотической устойчивости, неустойчивости.

Дальнейшее развитие метода функций Ляпунова было дано в 30-х годах в работах казанских математиков и механиков Н.Г.Четаева [182], И.Г.Малкина [123, 124], К.П.Персидского [148, 149], получивших обобщение основных теорем Ляпунова с ослаблением некоторых требований к функциям Ляпунова. Это расширило класс функций, решающих задачу устойчивости, что привело к продвижению в проблеме их построения и позволило решить ряд конкретных вопросов механики, а также получить критерии устойчивости в критических случаях (Г.В.Каменков [65]). Затем в ряде работ советских и зарубежных математиков метод функций Ляпунова был распространен на разрывные системы (А.И.Лурье [119], А.М.Летов [118], Н.Н.Красовский [90]), на счетные и другие бесконечномерные системы (К.П.Персидский [151]), на дифференциальные уравнения с последействием (Н.Н.Красовский [89, 90]), на интегродифференциальные уравнения (Е.А.Барбашин [11], Т.К.Сиразетдинов [165]), на эволюционные дифференциальные уравнения с частными производными (В.И.Зубов [57], В.В.Румянцев [162], А.А.Мовчан [143, 144], Т.К.Сиразетдинов [164, 165], P.K.C.Wang [281, 282]), на стохастические системы (И.Я.Кац, Н.Н.Красовский [68]).

Начиная с работ К.П.Персидского [151], М.Г.Крейна [93], Х.Л. Мас-сера [248], метод функций Ляпунова распространяется на дифференциальные уравнения в банаховом пространстве (см. также Н.А.Бобылев,

С.В.Емельянов, С.К.Коровин [23]), а в работах Е.А.Барбашина [15, 16],

B,И.Зубова [57], А.А.Мовчана [143, 144] - также на динамические, обобщенные динамические и общие системы или процессы в метрическом пространстве. С другой стороны, метод функций Ляпунова стал применяться для изучения многих других проблем качественной теории дифференциальных уравнений. Так, в работах Т.Йошидзавы [284], Дж.П. Ла-Салля, С.Лефшеца [117], В.А.Плисса [155], Г.В.Каменкова [66] и др. методом функций Ляпунова изучается асимптотическое поведение решений (ограниченность, диссипативность, колебания, конвергенция), а в работах Н.П.Еругина [55], М.А.Красносельского и С.Г.Крейна [82], Р.Конти [208], О.Борувка [204] и многих других авторов на основе идеи метода Ляпунова даны доказательства основных теорем общей теории нелинейных дифференциальных уравнений (о существовании, нелокальной продолжимости, единственности, аппроксимации решений, непрерывной зависимости от начальных данных и параметров).

Дальнейшее обобщение метода функций Ляпунова было дано, с одной стороны, в работах Г.И.Мельникова [141], М.Г.Красносельского,

C.Г.Крейна [82, 83], К.Кордуняну [78, 209], Г.А.Антосевича [200], в которых условие знакопостоянства производной функции Ляпунова в силу системы заменено на дифференциальное неравенство типа Чаплыгина и, таким образом, появляется некоторая вспомогательная скалярная система (система сравнения), свойства которой переносятся на исходную систему, а, с другой стороны, в работах Н.Г.Четаева [182], К.П.Персидского [150], Е.А.Барбашина и Н.Н.Красовского [17, 18], П.А.Кузьмина [95], В.М.Матросова [129, 130], Э.Дальберга [53] и др. предлагалось использовать две или несколько функций Ляпунова, каждая из которых удовлетворяет условиям менее жестким, чем соответствующая функция Ляпунова.

Наконец, в работах Р.Беллмана [203] и В.М.Матросова [129, 130] эти два направления были объединены на основе векторных дифференциальных неравенств типа Чаплыгина-Важевского. Применяемые при этом теоремы о дифференциальных неравенствах были распространены В.М.Матросовым [132] на случай разрывных правых частей и обобщенных решений. При этом, как и в скалярном случае, появляется вспомогательная конечномерная система сравнения, свойства решений которой переносятся на решения исходной системы, а теоремы такого сорта получили название теорем сравнения. В работах В.М.Матросова [132, 134, 133], Р.З.Абдуллина [2, 3], Л.Ю.Анапольского [10], С.Н.Васильева [32, 33], Т.Иошизавы [63], В.Б.Колмановского, В.Р.Носова [74], Р.И.Козлова [69, 70], В.Лакшмикантама [242], А.А.Мартынюка [126], Н.Н.Максим-кина [121, 122], А.Е.Суменкова [167, 168], П.Хабетса, К.Пейффера [215] и других авторов метод сравнения с вектор-функцией Ляпунова был распространен на различные динамические свойства и виды математического описания систем и стал объединять несколько сотен теорем.

Значительное расширение области приложения метода сравнения было достигнуто на основе введения концепции системы процессов (В.М.Матросов, Л.Ю.Анапольский [11]), охватывающей большую часть аксиоматических конструкций динамических и общих систем, вычислительных, случайных и абстрактных процессов, уравнений различных классов (Л.Ю.Анапольский, В.М.Матросов [12, 137]). Дальнейшее продвижение связано с выявлением и единым представлением структуры доказательства в методе сравнения (для конечномерных обыкновенных дифференциальных уравнений это сделано П.Хабетсом и К.Пейффером [215]), при этом принцип сравнения приобретает доказательность.

В работах В.Н.Матросова [135, 136] принцип сравнения в динамике систем представлен с обоснованием в общем виде как схема лемм и теорем сравнения о динамических свойствах систем. Здесь условия на функцию сравнения формулируются по виду формулы динамического свойства и получаются разными для различных динамических свойств. Тем самым получен алгоритм вывода лемм и теорем сравнения о различных динамических свойствах по задаваемым их определениям.

Модификация этого принципа сравнения и его распространение на абстрактные управляемые системы и динамические свойства, описываемые конъюнкциями " квазипренексных" формул, даны в работе Л.Ю.Анапольского, В.М.Матросова [12], В.М.Матросова, Л.Ю.Анапольского, С.Н.Васильева [139].

Существенное развитие принципа сравнения в направлении освобождения от специфики собственных аксиом исследуемой системы и ограничений на свойства было выполнено С.Н.Васильевым [26, 27, 28, 31, 33, 138, 280]. В указанных работах принцип сравнения предложен и обоснован в математической теории систем и сформулирован как эффективное производное правило вывода теорем исчисления предикатов, содержащее в себе алгоритмы формирования формулировок и доказательств лемм и теорем сравнения для различных свойств систем. При этом достигается принципиальная применимость метода сравнения для любых математических моделей систем и их свойств, расширяется класс привлекаемых вектор-функций и систем сравнения, а также допускается использование в качестве свойств систем сравнения таких свойств, которые могут не наследовать смысл изучаемого свойства исходной системы. В работах С.Н.Васильева [26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35] была показана применимость развитого принципа сравнения к изучению различных нетрадиционных свойств, определения которых могут не иметь вида конъюнкции "квазипренексных" формул, а также для получения критериев сохранения свойств при морфизмах алгебраических систем и структур Бурбаки, сохранения устойчивости при гомоморфизмах динамических систем и т.д.

Метод функций Ляпунова для исследования свойств управляемых систем применялся Н.Н.Красовским [91, 92], В.И.Зубовым [57, 58], В.Д.Фурасовым [171, 172] и другими для исследования задачи стабилизации, Е.С.Пятницким [158,159,160], И.М.Ананьевским, Ф.Л.Черноусько [8, 9] - для задачи управляемости и стабилизации механических систем, А.И.Лурье [119], М.А.Айзерманом и Ф.Г.Гантмахером [5, 48], Ж.Ла-Саллем и С.Лефшецом [117], А.М.Летовым [118], В.А.Якубовичем [197] и другими - для получения условий абсолютной устойчивости систем автоматического регулирования. В.И. Зубовым [57, 58] функции Ляпунова применялись для исследования задач оптимальности управления по некоторому критерию качества (быстродействие, интегральный и другие). При этом управление выбиралось оптимальным по отношению к демпфированию функции Ляпунова. Там же получен критерий равновесия стратегии в дифференциальной игре двух лиц с интегральным критерием. Применение функций типа функций Ляпунова к дифференциальным играм нескольких лиц имеется в работах В.И.Жуковского и Э.М.Вайсборда [25].

В одной из первых работ по аксиоматической (общей) теории управления (начало которой было заложено в работах Р.Калмана [222, 223], Л.А.Заде [285], Д.Башо [205]) Е.Роксин обратил внимание на возможность построения абстрактного варианта метода функций Ляпунова для изучения инвариантности и устойчивости систем управления.

С.Н.Васильевым [28] (см. также [32, 33, 34, 35]) на основе сделанного им обобщения принципа сравнения был получен ряд теорем сравнения для различных свойств абстрактных управляемых систем (разрешимость задачи сближения процессов с целевым множеством до фиксированного момента времени с фазовыми ограничениями; задача управляемости), а также даны интерпретации этих теорем для управляемых систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Далее, В.И.Коробовым [80, 81] для исследования свойства управляемости в ноль решений автономной системы были использованы гладкая скалярная функция Ляпунова и фиксированная система сравнения. А.И.Москаленко [145, 146] были получены теоремы сравнения об инвариантности, управляемости и технической устойчивости систем обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с использованием функций, которые вдоль решений изучаемой системы равны решениям вспомогательной системы, а также "обратных" функций (как показано в [50, 145]), частным случаем первой из названных функций является функция В.Ф.Кротова [94]). С.Н.Васильевым [28, 31, 280] показано, что эти и некоторые новые теоремы можно получить с единых позиций принципа сравнения.

Общая схема получения теорем сравнения о динамических свойствах систем состоит в следующем [139, 140]. Для заданной системы и ее некоторого свойства V выбираются система сравнения (СС) и вектор-функция сравнения (ВФС) г>, удовлетворяющая некоторому условию связи М. между исходной системой и СС (как правило, это условие типа мажорирования значений функции v вдоль процессов исходной системы соответствующими процессами в системе сравнения). После этого достаточно алгоритмически [139, 140] выписываются дополнительные условия на функцию v, исходную систему и СС, при выполнении которых из наличия в СС свойства сравнения Vc следует выполнимость свойства V в исходной системе.

Однако для эффективного применения получаемых теорем сравнения необходимо, во-первых, выяснить вопрос о существовании нужных СС и ВФС при условии наличия в исходной системе свойства V (задача обращения теорем сравнения), во-вторых, иметь конструктивные способы и алгоритмы построения СС и ВФС, а в-третьих, желательно иметь эффективно проверяемые достаточные условия выполнения условия связи М. и свойства сравнения Vc в СС.

Этим вопросам, а также распространению метода сравнения на новые математические модели и свойства посвящены главы 1-3 данной работы.

Остановимся вначале на задаче обращения теорем сравнения.

Первый результат в этом направлении был получен самим А.М.Ляпуновым [120], показавшим, что для автономной линейной системы, нулевое решение которой асимптотически устойчиво, всегда найдется соответствующая функция Ляпунова в виде квадратичной формы. Следующий существенный шаг в этом направлении был сделан К.П.Персидским [149], доказавшим обратимость теоремы Ляпунова об устойчивости для систем с гладкой правой частью.

Затем в работах Х.Л.Массера [247, 248], И.Г.Малкина [125], Е.А. Барбашина и Н.К.Красовского [18, 84, 85, 87, 88, 89, 90], Я.Курцвейля и И.Вркоча [45, 99, 100], В.И.Зубова [59, 60, 61], А.Халаная [219], Т.Йоши-завы [63, 284], Л.Вейса [283] были получены обращения теорем Ляпунова об асимптотической устойчивости, равномерной асимптотической устойчивости, асимптотической устойчивости в целом, теорем об устойчивости и неустойчивости, теорем типа Ляпунова для абстрактных динамических систем, теорем об ограниченности и предельной ограниченности, устойчивости на конечном интервале времени, устойчивости по части переменных. Алгоритмизация обращения некоторых теорем о свойствах с абстрактными аналогами функций Ляпунова выполнена в работе С.Н.Васильева [30].

Обращение теорем сравнения со скалярной функцией сравнения для некоторых динамических свойств было дано в работах К.Кордуняну [210], А.Куанде [226], В.Лакшмикантама и С.Лиилы [241, 242], Л.Вейса [283] и др.

При этом в большинстве работ доказывалось, что, если в изучаемой системе имеет место нужное динамическое свойство, то найдутся система сравнения и функция сравнения, удовлетворяющие всем условиям соответствующей теоремы сравнения.

В более сильной постановке задача обращения теорем сравнения рассмотрена в работах Е.А.Суменкова [167, 168]. Здесь показано, что для ряда динамических свойств можно достаточно просто и эффективно описать класс систем сравнения (вообще говоря, зависящий от изучаемого динамического свойства) такой, что для любой исходной системы, в которой выполнено изучаемое свойство, и для любой системы сравнения из этого класса существует вектор-функция сравнения с нужными свойствами, связывающая исходную систему и систему сравнения. Заметим, что в неявном виде именно в такой постановке обращались некоторые теоремы сравнения в работах К.Кордуняну [209], В.Лакшмикантама и С.Лиилы [241, 242, 243].

Дадим краткое описание содержания работы.

В начале первой главы исследуется вопрос разрешимости задачи Коши для функционального уравнения (относительно г?) v{t + bt,x + btf(t,x))-v(t,x) дЛо Д( - W,v(t,x}}, (01) г; (0, х) = w(x) в классе локально-липшицевых по х функций. Уравнению (0.1) удовлетворяет вектор-функция сравнения, если она вдоль решений системы x=/(t,x) (0.2) равна решениям системы сравнения

Хс = /с(*,Хс). (0.3)

Впервые уравнение (0.1) было рассмотрено К.П.Персидским в работе [152]. Им была доказана разрешимость этого уравнения в классе функций, удовлетворяющих условию Коши (т.е. ||г>(£,х) — г>(£,у)|| < /г(£)||х — у||, где к - некоторая непрерывная функция), если условию Коши удовлетворяют функции /, /с,ал

В терминах решений системы (0.2), (0.3) даны необходимые и достаточные условия разрешимости уравнения (0.1).

Из этих условий, в частности, следует, что уравнение (0.1) разрешимо при локально-липшицевых /, /с,о> и некоторых условиях продолжимости решений систем (0.2) и (0.3), что обобщает результат К.П.Персидского.

В случае конечномерных систем (0.2) и (0.3) приводится критерий разрешимости уравнения (0.1), основанный на понятии L-липшицевых функций, введенный Ф.Хартманом. В отличие от Ф.Хартмана, это понятие сформулировано без использования дифференциальных форм и приведены эффективные достаточные условия L-липшицевости, которым, в частности, удовлетворяют все локально-липшицевы функции.

Приводится несколько примеров, показывающих существенность некоторых условий доказанных теорем и несовпадение класса L-липши-цевых функций с классом локально липшицевых функций.

Эти результаты используются в дальнейшем для обращения теорем сравнения. Отметим, что полученные обобщения теоремы К.П.Персидского о разрешимости уравнения (0.1) на более широкий класс функций /,и позволяют переносить на этот класс известные, например, из [226, 241] обращения теорем сравнения, практически не меняя доказательства.

Во втором разделе главы 1 получены теоремы сравнения для различных свойств систем с управлением, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями в банаховых или конечномерных пространствах, и обращение этих теорем в смысле [167, 168].

Рассмотрены следующие свойства управляемых систем: эквиуправ-ляемость, т.е. существование управления такого, что решения системы при этом управлении попадают в целевое множество за время, ограниченное некоторым постоянной, зависящей от начального оценочного множества; эквиуправляемость и инвариантность целевого множества, т.е. к предыдущему свойству добавляется условие, что решение, попав в целевое множество, уже не выходит из него; управляемость до диссипа-тивности, т.е. существование управления, при котором имеется область диссипативности, причем время попадания в эту область равномерно ограничено на каждом начальном оценочном множестве.

Третий параграф главы 1 посвящен получению теорем о динамических свойствах с вектор-функцией Ляпунова. При этом в качестве систем сравнения используются системы, инвариантные относительно некоторых групп преобразований. Возможность успешно использовать такие системы в качестве систем сравнения объясняется тем, что, во-первых, из равномерной асимптотической устойчивости нулевого решения можно получить оценки скорости приближения решений к нулю, и, во-вторых, для этих систем выполняются дополнительные условия, возникающие при обращении теорем сравнения.

Вводено понятие (</?, ч/^-инвариантного многозначного полупотока, являющееся обобщением понятия однородных и обобщенно однородных систем, и получены оценки скорости приближения равномерно сжимающего полупотока к нулю. Эти результаты обобщают на более широкий класс систем оценки, полученные Н.Н. Красовским [86], А.А. Шеста-ковым [192, 193, 194, 195, 196], В.Ханом [216, 217], К.Колеманом [207] для однородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, а также оценки А.Ф.Филиппова [173] для однородных дифференциальных включений.

На основе полученных оценок и результатов Р.И.Козлова [71, 140] доказан ряд теорем о свойствах для систем сравнения (т.е. для систем, удовлетворяющих условию Важевского) и теоремы о свойствах с ВФЛ эквиуправляемости и управляемости по диссипативности.

В четвертом параграфе главы 1 приводятся два способа построения функции Ляпунова и управлений в форме синтеза, удовлетворяющих теореме об управляемости в ноль. В первом способе используется приведение линейной вполне управляемой системы к каноническому виду и затем построение идет индуктивно по размерности системы. При этом, в отличие от способа, предложенного В.И.Коробовым [80, 81], функция Ляпунова и управление описываются в явном виде. Показано, что в некотором частном случае получаемые по алгоритму функция Ляпунова и управление будут обобщенно однородными, что позволяет использовать их для квазилинейных систем, то есть для систем вида: линейная часть плюс нелинейность, имеющая порядок малости больше единицы. Второй способ является некоторой модификацией способа В.И.Коробова, но, в отличие от него, ищется функция Ляпунова, удовлетворяющая уравнению (0.1), и управление выбирается оптимальным по принуждению (см. В.Д.Фурасов [171]). Это позволяет использовать найденное управление для нелинейных систем вида: линейная часть плюс нелинейность, лежащая в секторе.

Во второй главе рассматривается игровая задача гармонизации интересов сторон. Эта задача возникает при наличии двух или более сторон, преследующих каждая свою цель. Решение этой задачи нацелено на устранение конфликтов через некоторый компромисс. Исследование гармонизируемости или нахождение условий, при которых гармонизи-руемость интересов возможна, является в настоящее время весьма актуальной задачей. В тоже время интуитивное понятие гармонизируемос-ти, будучи неформальным, содержит в себе много различных аспектов. Поэтому возможно множество математических определений гармонизи-руемости, каждое из которых отражает лишь некоторые черты задачи гармонизируемости.

Некоторые известные постановки задач можно рассматривать как подходы к задаче гармонизации. Например, понятие координируемости М.Месаровича [142] для иерархической двухуровневой системы, равновесие по Нэшу для бескоалиционных игр нескольких игроков [25], максимальное расширение коалиций и динамически устойчивый дележ (Л.Петросян [154]), задача согласования планов регионов и отраслей (К.Багриновский [14]). Различные постановки задачи гармонизации (как статические, так и динамические) рассматривались школой Моисеева-Гермейера, в частности задача нахождения условий устойчивости по Нэшу (Ю.Гермейер, И.Ватель, А.Кононенко, Е.Конурбаев).

Мы рассматриваем несколько новых постановок задачи гармонизации для двухуровневых динамических систем типа "центр - производитель", "центр - регионы", которые интересны с практической точки зрения и отражают некоторые другие аспекты интуитивного свойства гармонизации.

Используя сочетание функций типа Ляпунова-Беллмана и некоторого вспомогательного уравнения (СС), доказаны некоторые критерии наличия этих свойств.

Кроме того, в этой главе рассматривается модель функционирования предприятия с формализованным в ней механизмом штрафования за нарушение экологической обстановки, при этом время t изменяется дискретно (t = 0,1,.).

Функционирование предприятия описывается динамикой изменения основных производственных фондов и основных фондов очистных сооружений. В качестве управления верхнего уровня берется функция штрафа за загрязнение, которая считается кусочно линейной.

На каждом дискретном шаге времени от t к t + 1 решается задача гармонизации интересов предприятия и местных органов власти в предположении, что предприятие стремится максимизировать свою остаточную прибыль, а местные органы стараются максимизировать некоторую линейную комбинацию выпуска и загрязнения.

Показано, что для того, чтобы существовала функция штрафов, решающая задачу гармонизации для данной модели, необходимо и достаточно выполнения условия рентабельности.

Кроме того, выписаны в явном виде соотношения на параметры функционирования предприятия и параметры функции штрафов, необходимые и достаточные для того, чтобы выполнялось требуемое свойство.

В главе 3 исследуется гибридная логико-динамическая модель процессов в цифровых схемах. Известно, что многие важные динамические свойства переключательных схем (логических, цифровых и других) трудно адекватно описать и исследовать с помощью моделей теории автоматов [4]. В связи с этим большое внимание в литературе уделяется так называемым логико-динамическим моделям с двоичным пространством состояний и непрерывным временем (А.К.Чеботарев [181], R.Mathews, J.M.Acher [249], M.M.Afghani, C.Srensson [199]). Вместе с тем, известные логико-динамические модели недостаточно полно отражают процессы, происходящие в реальных переключательных схемах.

В данной работе в развитие работ П.К.Кузнецова [97] предлагается феноменологическое описание этих процессов с помощью гибридной системы интегро-логико-операторных уравнений специального вида, которую также можно представить в виде системы дифференциально-логико-операторных уравнений. Вычислительные эксперименты с такой моделью хорошо согласуются по результатам с физическими (П.К.Кузнецов [97], С.П.Ткаченко [170]).

Итак, изучаемая модель состоит из трех взаимосвязанных подсистем:

• системы дифференцильных уравнений в конечномерном векторном пространстве с разрывной по состояниям правой частью, описывающей динамику внутренних состояний элементов схемы;

• системы логических уравнений в дискретном пространстве состояний, описывающих логику функционирования внешних выходов элементов схемы;

• функционального соотношения между внутренними состояниями и внешними выходами элементов схемы.

Используя специфический вид правой части дифференциальной подсистемы, показано, что для нее (если фиксированы внешние выходы системы) множества решений Каратеодори [174], решений в смысле А.Ф.Филиппова [174] и обобщенных решений II рода (OII-решений) в смысле В.М.Матросова [134, 139] совпадают.

Показано также, что при естественных для этой модели предположениях эти решения единственны вправо и нелокально продолжимы.

Используя эти утверждения, доказаны существование, единственность и продолжимость решений всей гибридной системы. Тем самым обоснована математическая корректность этой модели.

Эти результаты составляют содержание первых трех параграфов главы 3.

В четвертом параграфе введено понятие квазимонотонности для такого сорта систем и доказан аналог теоремы о дифференциальных неравенствах, что позволяет в пятом параграфе дать эффективно проверяемые достаточные условия выполнимости формулы связи.

Пятый и шестой параграфы третьей главы посвящены применению метода сравнения для исследования динамических свойств рассматриваемых гибридных систем. В отличие от стандартного подхода, для этих систем приходится рассматривать ВФЛ, состоящую из двух компонент: непрерывной и логической, что является отличием от более ранних работ П.К.Кузнецова (в которых явно присутствовала только логическая чать ВФЛ). В частности, получена теорема сравнения для свойства достижимости (некоторого аналога свойства управляемости).

В седьмом параграфе доказано обращение этой теоремы в случае постоянных и равных задержек, при этом используется алгоритм построения логической части ВФЛ, предложенный впервые П.К.Кузнецовым.

В восьмом параграфе изучается свойство достижимости в СС, более точно, в системах с постоянными задержками и монотонной логической частью.

Используя конъюнктивную нормальную форму для функций, определяющих логическую часть этой модели, строится некоторый ориентированный граф G (граф связей между логическими переменными).

Показано, что, если некоторое начальное состояние модели принадлежит области достижимости, то в графе G существует цепь, связывающая множество нулей этого состояния и целевое множество (необходимое условие принадлежности множеству достижимости). Обратно, если в графе G существует соответствующая цепь и, кроме того, вдоль этой цепи выполняются некоторые (выписанные в явном виде) ограничения на параметры задержек, то начальное состояние будет принадлежать области достижимости (достаточное условие принадлежности множеству достижимости).

В первом параграфе 4 главы рассмотривается система с дискретным временем и непрерывным множеством состояний при наличии параметрических управлений и возмущений. Для этой системы также получены теоремы сравнения для одного динамического свойства типа управляемости при возмущениях (в том числе и с эффективно проверяемым условием связи) и с помощью переходной матрицы состояний, задача оценки (а в некоторых случаях - и точного определения) множества достижимости сведена к задаче нахождения так называемого обобщенного множества решений для линейной алгебраической системы с параметрами.

Как известно, решение многих других задач с неопределенностями (в том числе и задач для управляемых систем) сводится к аналогичным задачам для линейных алгебраических систем с неопределенностью (см., например, обзор А.Б.Куржанского [98] и работы Н.А.Хлебали-на, Ю.И.Шокина [179], А.В.Захарова, Ю.И.Шокина [56], Н.К.Пылаева, И.Б.Ядыкина [157], Е.К.Корноушенко [79], Е.М.Смагиной, И.В.Дугаро-вой [166], С.П.Шарого [190]). При этом подавляющее большинство работ по исследованию таких систем посвящено системам с наиболее простой и возникающей естественным образом интервальной неопределенностью и попадает, таким образом, в область интервального анализа. Интервальный анализ - это сравнительно молодая и интенсивно развивающаяся в настоящее время область знаний, значительный вклад в развитие которой внесли Р.Е.Мур [251, 252], Ю.И.Шокин, С.А.Калмыков, З.Х.Юлдашев [64], Г.Алефельд, Ю.Херцбергер [7], А.Ноймайер [255],

B.В.Шайдуров, Б.С.Добронец [54], Г.Майер [250], И.Рон [260, 261],

C.П.Шарый [186, 187, 188, 189], Е.Каухер [225, 224], С.Марков [245], В.Крейнович [229] и др. Однако, несмотря на то, что были разработаны многочисленные алгоритмы, в общем случае не удавалось найти "быстрый" алгоритм решения многих интервальных задач. Поэтому возникла проблема выяснения их принципиальной вычислительной сложности, которой посвящены, в основном, второй, третий и четвертый параграфы.

Во втором параграфе рассмотрены в основном задачи выяснения вычислительной сложности (в смысле [51]) для определения непустоты объединенного множества решений (то есть множества всех решений точечных задач) для линейных алгебраических систем с неопределенностями и оценки этого множества.

В третьем параграфе рассматриваются обобщенные множества решений линейных алгебраических систем с интервальными неопределенностями как в конечномерных, так и в бесконечномерных упорядоченных векторных пространствах. Отметим, что впервые на большое число различных понятий множеств решений для интервальных систем обратил внимание А.А.Ватолин [44], хотя отдельные множества встречались и до него [254, 166, 262, 263]. Однако систематическое исследование различных таких множеств (описание, применение, оценки) появилось в работах С.П.Шарого [189, 188, 186, 191, 190].

В данной работе получено описание обобщенных множеств решений, немного отличающихся от введенных С.П.Шарым в упорядоченных векторных пространствах, и в конечномерном случае исследована высилительная сложность для этих множеств задач непустоты и оценки.

В связи с тем, что обобщенное множество решений (в частности, объединенное множество решений) для интервальных систем может быть устроено достаточно сложно (может быть невыпуклым, а если число уравнений больше числа переменных, то может быть и несвязным, конечным и т.д.), естественно желание получить некоторые простые, например, интервальные, оценки этих множеств.

Для получения этих оценок оказалось удобно и плодотворно использовать алгебраические уравнения в расширенной интервальной арифметике, созданной Е.Каухером [224, 225]. Первые результаты такого сорта были получены в работах С.П.Шарого [268] и Л.Куприяновой [231] для внешней оценки объединенного множества решений и затем в работах С.П.Шарого [271, 272, 273] распространены для оценок (как внешних, так и внутренних) обобщенных множеств решений.

Поэтому возникла задача исследования алгебраических уравнений в интервальной арифметике Каухера, которой в основном посвящен четвертый параграф главы 4. Получены необходимые условия единственности решений таких уравнений и выделены случаи, когда эти условия будут и достаточными. Показано, что в общем случае задача разрешимости этих уравнений NP-полна,

Оказалось, что в ряде случаев алгебраические уравнения в арифметике Каухера сводятся к линейным уравнениям с модулями [255, 260]. Также показано, что в общем случае задача разрешимости таких уравнений NP-полна и выделены три интересных с точки зрения приложений класса этих систем, для которых построены полиномиальные алгоритмы.

В связи с исследованием линейных систем с модулями появился класс нерасширяющих матриц [255, 260]. Доказано, что эти матрицы и только они получаются как вещественное преобразование Кэли из хорошо известных Р-матриц (матриц с положительными главными минорами). Используя это соответствие, доказано, что задача выяснения, будет ли матрица нерасширяющей, co-NP-полна, а также получены неулучшае-мые оценки спектрального радиуса этих матриц и коэффициентов их характеристических полиномов.

Автор выражает благодарность В.М.Матросову, Р.И.Козлову, Ю.Е.Бояринцеву, Е.А.Суменкову, С.П.Шарому за плодотворные научные дискуссии, а также С.Н.Васильеву за консультации и поддержку в процессе работы.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Лакеев, Анатолий Валентинович

Заключение

В диссертации получены и выносятся на защиту следующие основные результаты.

1) Необходимые и достаточные условия разрешимости функционального уравнения Персидского в банаховых пространствах. Теоремы сравнения и их обращения для ряда свойств типа управляемости (экви-управляемость, эквиуправляемость и инвариантность целевого множества, управляемость до диссипативности).

2) Теорема об управляемости по первому приближению. Полиномиальные и экспоненциальные оценки скорости приближения к нулю обобщенно-однородных многозначных полупотоков и полученные с помощью этих оценок теоремы о динамических свойствах с ВФЛ.

3) Алгоритмы построения ограниченных непрерывных управлений в форме синтеза для управляемости в ноль.

4) Формализация свойства гармонизации интересов сторон и развитие метода сравнения для исследования этого свойства.

5) Необходимые и достаточные условия гармонизируемости интересов сторон при пошаговом рассмотрении процесса.

6) Развитие общей теории для логико-динамической модели, описывающей поведение процессов в цифровых схемах (условия существования, нелокальной продолжимости, правосторонней единственности решений). Доказательство сходимости итерационного процесса за конечное число шагов.

7) Развитие метода сравнения для исследования динамических свойств таких гибридных логико-динамических моделей с аналогом теоремы о дифференциальных неравенствах.

8) Обращение теоремы сравнения для свойства достижимости гибридной логико-динамической системы.

9) Критерии достижимости для квазимонотонных гибридных логико-динамических систем (систем сравнения). Получение достаточных и необходимых условий принадлежности некоторого начального состояния множеству достижимости.

10) Теорема сравнения для достижимости в системах с дискретным временем и параметрическими управлением и возмущением, а также сведение задачи описания множества достижимости в таких системах к линейным алгебраическим системам уравнений с неопределенностью (в частности, с интервальной неопределенностью).

11) Оценки вычислительной сложности задач, связанных с обобщенными множествами решений линейных алгебраических систем уравнений с неопределенностью, в том числе задачи распознавания непустоты обобщенных множеств решений интервальных систем и задачи оценки этих множеств. Описания обобщенных множеств решений в упорядоченных векторных пространствах.

12) Условия разрешимости и единственности систем уравнений в арифметике Каухера. Выделение трех классов уравнений с модулями, для которых имеются полиномиальные алгоритмы их решения. Оценки спектральных характеристик и доказательство NP-трудности распознавания нерасширяющих матриц.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Лакеев, Анатолий Валентинович, 2002 год

1. Абетс П.", Руш Н., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости.- М.: Мир.- 1980.- 294 с.

2. Абдулин Р.З. Некоторые вопросы практической устойчивости // Теория устойчивости и ее приложения.- Новосибирск: Наука.-1979.- С. 3-8.

3. Абдулин Р.З. К практической устойчивости дискретных систем // Проблемы аналитической механики, устойчивости и управления движением.- Новосибирск: Наука.- 1991.- С. 4-11.

4. Автоматное управление асинхронными процессами в ЭВМ и дискретных системах // Под ред.В.И.Варшавского.- М.: Наука.-1986.- 400 с.

5. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем.- М.: Изд-во АН СССР.- 1963.

6. Акилов Г.П., Кутателадзе С.С. Упорядоченные векторные пространства.- Новосибирск: Наука.- 1978.

7. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления.- М.: Мир 1987.

8. Ананьевский И.М. Два подхода к управлению механической системой с неизвестными параметрами // Известия РАН. Теория и системы управления.- 2001.- N 2.- С. 39-47.

9. Ананьевский И.М. Ограниченное управление механической системой в условиях неопределенности // Доклады Академии наук.-1998.- Т. 359, N 5.

10. Анапольский Л.Ю. Метод сравнения в динамике дискретных систем/ / Вектор-функции Ляпунова и их посроение.- Новосибирск: Наука.- 1980.- С. 92-128.

11. Анапольский Л.Ю., Матросов В.М. Метод сравнения в анализе возмущаемых процессов // Междунар. симпозиум ИФАК попроблемам орг.упр. и иерархическим системам (Баку, 1971), реф. докл., Ч.1.-М 1972.- С. 43-46.

12. Анапольский Л.Ю., Матросов В.М. Метод сравнения в динамике систем и абстрактной теории управления // Тез .докл. V Казахстан. межвуз. науч. конф. по мат. и механике.- Алма-Ата.- 1974.-С. 8-10.

13. Андреев Ю.М. Управление конечномерными линейными объектами.-М.: Наука.-1976.-424 с.

14. Багриновский К.А. Основы согласования плановых решений.- М.: Наука.- 1977 303 с.

15. Барбашин Е.А. О гомоморфизмах динамических систем // Докл. АН СССР.- 1948.- Т. 61, N 3.- С. 429-432.

16. Барбашин Е.А. К теории обобщенных динамических систем // Учен. зап. Моск. ун-та.- 1948.- Т. 135, N 2.- С. 110-133.

17. Барбашин Е.А., Красовский Н.Н. Об устойчивости движения в целом // Докл. АН СССР.- 1952.- Т. 86, N 3.- С. 453-456.

18. Барбашин Е.А., Красовский Н.Н. О существовании функций Ляпунова в случае асимптотической устойчивости в целом // ПММ.-1954.- Т. 18, N 3.- С. 345-350.

19. Барбашин Е.А. О двух схемах доказательства теорем об устойчивости по первому приближению // Докл. АН СССР.- 1956.- Т. Ill, N 1.- С. 9-11.

20. Барбашин Е.А. Об условиях сохранения свойства устойчивости решений интегро-дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика 1957.- N I.- С. 25-34.

21. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства.- М.: Мир.- 1965.

22. Биркгоф Г. Теория решеток М.: Наука.- 1984.

23. Бобылев Н.А., Емельянов С.В., Коровин С.К. Несколько замечаний об устойчивости бесконечномерных систем // Проблемы нелинейной динамики и управления. Сборник трудов.- М.: ИСА РАН.-1999 С. 15-21.

24. Бурбаки Н. Функции действительного переменного.-М.: Наука.-1965 424 с.

25. Вайсборд Э.М., Жуковский В.И. Введение в дифференциальные игры нескольких лиц и их приложения.- М.: Советское радио.-1960.- 304 с.

26. Васильев С.Н. Некоторые вопросы математической теории систем // Дис. канд. физ.-мат. наук.-Иркутск 1976.- 133 с. Приложение к дис.- 75 с.

27. Васильев С.Н. Алгоритмы вывода теорем с функциями сравнения // Вопросы кибернетики "Неклассические логики и их применение".- М.: Научный совет по компл. проблеме "Кибернетика".- 1982,- С. 54-74.

28. Васильев С.Н. К автоматизации вывода теорем с аналогами функций Ляпунова и морфизмов / / Computers and Artificial Intelligence.- VEDA.- 1982.- V. I, N 6.- C. 517-138.

29. Васильев С.Н. Сохранение некоторых динамических свойств при морфизмах // Проблемы устойчивости движения, аналитической механики и управления движением.- Новосибирск: Наука.- 1979.-С. 111-119.

30. Васильев С.Н. К выводу и обращению теорем о свойствах с аналогами функций Ляпунова // Прямой метод в теории устойчивости и его приложения.- Новосибирск: Наука.- 1981.- С. 54-63.

31. Васильев С.Н. Метод сравнения в анализе систем // Дифференц. уравнения.- 1981.- Т. 17, N 9.- С. 1562-1573; N II.-C. 1945-1954; 1982.- Т. 18, N 2 С. 197-205; N 6.- С. 938-947.

32. Васильев С.Н. Метод векторных функций Ляпунова в задачах многокритериального выбора // Метод функций Ляпунова и его приложения.- Новосибирск: Наука.- 1984.- С. 34-49.

33. Васильев С.Н., Матросов В.М. Принцип сравнения в математической теории систем // V Казахстанская межвузовская научная конференция по математике и механике. Тез. докл., ч. I.- Алма-Ата.- 1974.- С. 34-36.

34. Васильев С.Н., Матросов В.М., Суменков Е.А. Принцип сравнения в математической теории систем // Успехи мат. наук.- 1985.- Т. 40, N 4.- С. 139-150.

35. Васильев С.Н. Метод векторных функций Ляпунова в задачах быстродействия // Докл. АН СССР.- 1986.- Т. 287, N I.- С- 29-31.

36. Васильев С.Н., Лакеев А.В. Векторные функции Ляпунова в некоторых задачах оптимального управления // Дифференциальные уравнения и численные методы.- Новосибирск: Наука,- 1985.- С. 33-91.

37. Васильев С.Н., Лакеев А.В., Чагина О.М. Метод векторных функций Ляпунова в анализе и синтезе управляемых систем // V Всесоюзная Четаевская конференция " Аналитическая механика, устойчивость и управление движением". Тез. докл.- Казань.- 1987.- С. 22-23.

38. Васильев С.Н., Лакеев А.В., Чагина О.М. Векторные функции Ляпунова в анализе и синтезе управляемых систем // Динамика нелинейных процессов управления. Всесоюзный семинар. Тез. докл.-Таллин.- 1987.- С. 85.

39. Васильев С.Н., Лакеев А.В. Достаточные условия Парето-опти-мальности в двухуровневой управляемой системе // Тез. докл.10.ой Байкальской международной школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения".- Иркутск.- 1995.- С. 169-170.

40. Васильев С.Н., Лакеев А.В., Москаленко А.И. Средства математического моделирования для анализа проблемы устойчивого развития Байкальского региона // Известия Академии наук, Теория и системы управления.- 1996.- N3.- С. 138-145.

41. Васильев С.Н., Кузнецов П.К., Лакеев А.В. К общей теории интегро-операторного уравнения динамики переключательных схем // Доклады Академии наук 1996 - Т. 342, N4 - С. 439-441.

42. Ватолин А.А. О задачах линейного программирования с интервальными коэффициентами // Журн. вычислит, математики и мат. физики.- 1984.- Т. 24, N 11.- С. 1629-1637.

43. Вркоч И. Обращение теоремы Четаева // Чехосл. мат. журн.-1955.- Т. 5(80).-С. 43-58.

44. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств.-М.: Физматгиз.- 1961.

45. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц М.: Наука - 1967.- 575 с.

46. Гантмахер Ф.Р., Айзерман М.А. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем // Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике, вып. I.- М.: Наука 1965.-С. 30-63.

47. Гермейер Ю.Б., Ватель И.А. Игры с иерархическим вектором интересов // Техническая кибернетика.- 1974.- N 3.- С. 54-69.

48. Гурман В.И. Вырожденные задачи оптимального управления (с дополнением А.И.Москаленко, с. 257-286).- М.: Наука 1977 - 304 с.

49. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешае-мые задачи.- М.: Мир.- 1982.

50. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.- М.: Наука.- 1970.536 с.

51. Дальберг Э. О некоторых видоизменениях критерия неустойчивости движения // ПММ.- 1969.- Т. 33, N 2.- С. 261-268.

52. Добронец Б.С., Шайдуров В.В. Двусторонние численные методы.-Новосибирск: Наука.- 1990.

53. Еругин Н.П. Теоремы о неустойчивости // ПММ 1952.- Т. 16, N 3.- С. 355-361.

54. Захаров А.В., Шокин Ю.И. Синтез систем упрвления при интервальной неопределенности параметров их математических моделей // Докл. АН СССР 1988.-Т. 299, N 2.- С. 292-295.

55. Зубов В.И. Лекции по теории управления.- М.: Наука.- 1975.- 496 с.

56. Зубов В.И. Динамика управляемых систем.- М.: Высшая школа.-1982.- 285 с.

57. Зубов В.И. Вопросы теории второго метода Ляпунова, построение общего решения и области асимптотической устойчивости / / ПММ.- 1955.- Т. 19, N 2.- С. 179-210.

58. Зубов В.И. К теории второго метода Ляпунова // Докл. АН СССР.- 1955.- Т. 100, N 5.- С. 857-859.

59. Зубов В.И. Методы А.М.Ляпунова и их применения.- Л.: Изд-во Ленингр. ун-та.- 1957.- 241 с.

60. Иртегов В.Д. Об устойчивости решений разностных уравнений // Тр. Казанск. авиац. ин-та: Математика и механика.- Вып. 125.— 1970.- С. 14-19.

61. Йошизава Т. Асимптотическое поведение решений обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности множеств Киев: Препринт ИМ АН УССР.- 1961.- 21 с.

62. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа.- Новосибирск: Наука,- 1986.

63. Каменков Г.В. Избранные труды. В 2 т.- М.: Наука- 1971.- Т. 1-2.

64. Каменков Г.В. К задаче об устойчивости движения в критических случаях // ПММ.- 1965.- Т. 29, N 6.- С. 1053-1069.

65. Канторович JT.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ.- М.: Наука 1977.- 744 с.

66. Кац И.Я., Красовский Н.Н. Об устойчивости систем со случайными параметрами // ПММ I960 - Т. 24, N 5.- С. 809-823.

67. Козлов Р.И. О динамических свойствах непрерывности по возмущениям // Метод функций Ляпунова в динамике нелинейных систем.- Новосибирск: Наука.- 1983.- С. 178-187.

68. Козлов Р.И. Вектор-функции Ляпунова с невременными системами системами сравнения и их использование в аналиизе систем с возмущениями // Динамика нелинейных систем.- Новосибирск: Наука 1983.- С. 57-78.

69. Козлов Р.И., Петряков М.Г. Построение вектор-функций Ляпунова и систем сравнения для некоторых стохастических систем // Динамика нелинейных систем.- Новосибирск: Наука.- 1983.- С. 6-22.

70. Козлов Р.И. К теории дифференциальных уравнений и неравенств с разрывными правыми частями // Дифференц. уравнения.-1974.- Т.10, N 7.- С .1264-1275.

71. Козлов М.К., Тарасов С.П., Хачиян Л.Г. Полиномиальная разрешимость выпуклого квадратичного программирования // ЖВМиМФ.- 1980.- Т. 20, N 5.- С. 1319-1323.

72. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические ре-жимырегулируемых систем с последействием.- М.: Наука.- 448 с.

73. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.- М.: Наука.- 1972.

74. Кононенко А.Ф., Конурбаев Е.М. Существование равновесных ситуаций на классе позиционных стратегий, оптимальных по Паре-то, для некоторых дифференциальных игр //В кн.: Теория игр и ее приложения.- Кемерово: Изд-во Кемеровского ун-та.- 1983.-С. 105-114.

75. Конурбаев Е.М. Эффективные ситуации равновесия в динамических играх с иерархическим вектором интересов.- М.: Препринт ВЦ АН СССР.- 1985.- 16 с.

76. Кордуняну С. Применение дифференциальных неравенств в теории устойчивости // An. Sti. Univ., A. J. Cusa din Jasi. Sec.l.-1960.- V.6, N 1- P. 47-58.

77. Коробов В.И. Решение задачи синтеза с помощью функции управляемости // Докл. АН СССР.- 1979.- Т. 248, N 5.- С. I05I-I055.

78. Коробов В.И. Общий подход к решению задачи синтеза ограниченных управлений в задаче управляемости // Мат. сб.- 1979.Т. 109, N 4.- С. 582-606.

79. Красносельский М.А., Крейн С.Г. К теории обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах // Труды семинара по функциональному анализу.- 1956.- Воронежский унт N 2.- С. 3-23.

80. Красносельский М.А.,Крейн М.Г. О дифференциальных уравнениях в банаховом пространстве // Труды III Всесоюзн. мат. съезда.- Т.Ш.- М.: Изд-во АН СССР.- 1958.- С. 73-80.

81. Красовский Н.Н. Об обращении теорем А.М.Ляпунова и Н.Г.Четаева о неустойчивости для стационарных систем дифференциальных уравнений // ПММ.- 1954 T.I8, N 5 - С. 513-532.

82. Красовский Н.Н. Об обращении теоремы К.П.Персидского о равномерной устойчивости // ПММ 1955 - Т. 19, N 3 - С. 273-278.

83. Красовский Н.Н. Об устойчивости по первому приближению // ПММ.- 1955.- Т. 19, N 5.- С. 516-530.

84. Красовский Н.Н. К теории второго метода А.М.Ляпунова для исследования устойчивости // Мат. сборник.- 1956.- Т. 40, N I.- С. 57-64.

85. Красовский Н.Н. Обращение теорем второго метода А.М.Ляпунова и вопросы устойчивости движения по первому приближению // ПММ.- 1956.- Т.20, N 2.- С. 255-265.

86. Красовский Н.Н. О применении метода функций Ляпунова для уравнений с запаздыванием // ПММ.- 1956.- Т.20, N 4.- С. 513518.

87. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения.- М.: Физматгиз.- 1959.- 211 с.

88. Красовский Н.Н. Проблемы управляемости, наблюдаемости и ста-билизируемости динамических систем // Труды II Всесоюзн. съезда по теорет. и прикл. мех., вып.1.- М.: Наука.- 1965.- С. 77-93.

89. Красовский Н.Н. Проблемы стабилизации управляемых движений // Дополнение к кн.: Малкин И.Г. Теория устойчивости движения М.: Наука - 1969 - С. 474-514.

90. Крейн М.Г. Лекции по теории устойчивости решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.- Киев: Изд-во ИМ АН УССР.- 1964.- 277 с.

91. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления.- М.: Наука.- 1973.- 448 с.

92. Кузьмин П.А. К теории устойчивости движения // ПММ.- 1954.Т. 18, N 1.- С. 125-127.

93. Кузнецов П.К. Модель процессов в цифровых схемах // Логическое управление с использованием ЭВМ: Тр. XIII Всесоюзн. симп.-М.: Наука.- 1990.- С.182-188.

94. Кузнецов П.К. Методы построения и исследования динамики цифровых систем идентификации движения яркости полей в реальном времени / / Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук.- 1995.- Самара.- 307 с.

95. Куржанский А.Б. Задача идентификации теория гарантированных оценок // Автоматика и телемеханика.- 1991.- N 4 - С. 3-26.

96. Курцвейль Я. К обращению первой теоремы Ляпунова об устойчивости движения // Чехосл. мат. журнал-1955.-Т.5 (80).-С. 382398.

97. Курцвейль Я., Вркоч И. Об обращении теоремы Ляпунова об устойчивости и теоремы Персидского об асимптотической устойчивости // Чехосл. мат. журнал.-1957.-Т.7 (82), N 2.-С. 254-272.

98. Лакеев А.В. О существовании вектор-функций сравнения с равенством // Динамика нелинейных систем.-Новосибирск: Наука.-1983.-С. 79-90.

99. Лакеев А.В. Об асимптотической устойчивости однородных полупотоков // Метод функций Ляпунова и его приложения.-Новосибирск: Наука.-1984.-С. 138-143.

100. Лакеев А.В. Необходимые и достаточные условия оптимальности и некоторых динамических свойств управляемых систем // Всесоюзная конференция по управлению в механических системах. Тез.докл.-Казань: КАП.-1985.-С. 45-46.

101. Лакеев А.В. Обращение теорем с вектор-функцией Ляпунова для динамических свойств управляемых систем // Всесоюзная конференция "Проблемы теоретической кибернетики". Тез. докл., ч. 11.-Иркутек.-1985.-С. 69.

102. Лакеев А.В., Чагина О.М. Метод функций Ляпунова в задачах синтеза управлений // Метод функций Ляпунова в анализе динамики систем.-Новосибирск: Наука.- 1987.- С. 272-280.

103. Лакеев А.В. Об асимптотической устойчивости (А,т)-инвариант-ных полупотоков // Тез. докл. VII Всесоюзной конференции "Качественная теория дифференциальных уравненийРига, 1989, с. 141.

104. Лакеев А.В., Носков С.И. Описание множества решений линейного интервального уравнения в упорядоченном пространстве // Труды международной конференции по интервальным и стохастическим методам в науке и технике.- Т. 1.- Москва.- 1992.- С. 87-89.

105. Лакеев А.В. Об асимптотической устойчивости однородных многозначных полупотоков // Тез. докл. Международного семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" .— Москва.- 1992.- С. 28.

106. Лакеев А.В., Носков С.И. Описание множества решений линейного уравнения с интервально заданными операторам и правой частью // Докл. АН СССР-1993.-Т.330(4).-С. 430-433.

107. Лакеев А.В.Точная верхняя оценка спектрального радиуса нерас-ширяющих матриц // Вычислительные технологии.- 1998.- Т. 3, N 2.- С. 21-30.

108. Лакеев А.В. Вычислительная сложность оценивания обобщенных множеств решений интервальных линейных систем // Труды 11-ой международной Байкальской школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения".- Иркутск.- 1998.- Т. 4.-С. 115-118.

109. Лакеев А.В. Существование и единственность алгебраических решений интервальных линейных систем в полной арифметике Кау-хера // Вычислительные технологии.- 1999.- Т. 4, N 4.- С. 33-44.

110. Лакеев А.В. Аналог теоремы о дифференциальных неравенствах для гибридной модели переключательных схем // Оптимизация, управление, интеллект.- Иркутск.- 2000.- Т. 5, ч. 1.- С. 42-52.

111. Лакеев А.В. Исследование свойства достижимости для гибридной модели переключательных схем // Труды 12-ой международной Байкальской школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения".- Иркутск.- 2001 С. 184-188.

112. Лакеев А.В. Гармонизация интересов сторон при платежах предприятий за загрязнение // Раздел 1.1 в коллективной монографии "Моделирование и управление процессами регионального развития" (под ред. С.Н. Васильева).- М.: ФИЗМАТЛИТ.- 2001.- 1627.

113. Ла-Салль Дж.П., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова.-М.: Мир.-1964.-168 с.

114. Летов A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем.-М.: Гостехиздат.-1955.-312 с.

115. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования.-М.; Л.: ГИИТЛ.-1951.-216 с.

116. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения.-М.; Л.: Гостехиздат.-1950.-472 с.

117. Максимкин Н.Н. Об экспоненциальной и асимптотической устойчивости // Метод функций Ляпунова в динамике нелинейных систем.- Новосибирск: Наука.- 1983 С. 96-102.

118. Максимкин Н.Н. Об оценке предельного множества в самонастраивающихся системах // Вектор-функции Ляпунова и их построение.- Новосибирск: Наука.- 1980.- С. 281-285.

119. Малкин И.Г. Обобщение основной теоремы Ляпунова об устойчивости движения // Докл. АН ССР.-1938.-Т. 18, N З.-С. 162-164.

120. Малкин И.Г. Об устойчивости движения в смысле Ляпунова // Мат. сборник.-1938.-Т. 3 (45), N I.

121. Малкин И.Г. К вопросу об обратимости теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости // ПММ.-1954.-Т. 18, N 2.-С. 129138.

122. Мартынюк А.А. Техническая устойчивость в динамике.-Киев: Техника.-1973.-188 с.

123. Мартынюк А.А., Оболенский А.Ю. Об устойчивости решений автономных систем Важевского // Дифф. уравнения.-1980.-Т. 16, N 8.- С. 1392-1407.

124. Мартынюк А. А. Практическая устойчивость движения .-Киев: Наукова думка.-1983.-248 с.

125. Матросов В.М. Об устойчивости движения // ПММ.-1962.-Т. 26, N 5.-С. 885-895.

126. Матросов В.М. К теории устойчивости движения // ПММ.-1962,-Т.26, N 6-С. 992-1002.

127. Матросов В.М. К теории устойчивости движения. II // Труды Казанск. авиац. института.-1963.-вып. 80-С. 22-33.

128. Матросов В.М. О дифференциальных уравнениях и неравенствах с разрывными правыми частями. I. II // Дифф. уравнения-1967.-Т. 3, N 3—С. 395-409; N 5.-С. 839-848.

129. Матросов В.М. Развитие метода функций Ляпунова // ICM. Тез.кратких научн. сообщ. Секция 6.-М.-1966.

130. Матросов В.М. Принцип сравнения с вектор-функцией Ляпунова. I-IV // Дифф.уравнения.-1968.-Т.4, N 8.-С. 1374-1386; N 10-С. 1739-1752; 1969.-Т.5, N 7.-С. 1171-1185; N 12.-С. 2129-2143.

131. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова в анализе, сложных систем с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика.-1973.-№ I.-C. 5-22.

132. Матросов В.М. Метод сравнения в динамике систем. I, II // Дифф. уравнения.-1974.-Т. 10, N 5.-С. 1547-1559; 1975.-Т. 11, N З.-С. 403-417.

133. Матросов В.М., Анапольский Л.Ю. Метод сравнения в анализе процессов // Проблемы аналитической механики, теории устойчивости и управления.- М.: Наука.-1975.-С. 198-205.

134. Матросов В.М., Васильев С.Н. Вывод теорем сравнения в математической теории систем //IV Республиканская конференция математиков Белоруссии по проблемам развития прикладных математических исследований. Тез.докл, ч. Н.-Минск.-1975.-С. 2324.

135. Матросов В.М., Анапольский Л.Ю., Васильев С.Н. Метод сравнения в математической теории систем.-Новосибирск: Наука-1980.-480 с.

136. Матросов В.М., Васильев С.Н., Каратуев В.Г. и др. Алгоритмы вывода теорем метода векторных функций Ляпунова.-Новосибирск: Наука.-1981.-272 с.

137. Мельников Г.И. Некоторые вопросы прямого метода Ляпунова // Докл. АН СССР.-1956.-Т. 110, N З.-С. 326-329.

138. Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем.-М.: Мир.-1973.-344 с.

139. Мовчан А.А. О прямом методе Ляпунова в задачах устойчивости упругих систем // ПММ.-1959.-Т. 23, N З.-С. 483-493.

140. Мовчан А.А. Устойчивость процессов по двум метрикам // ПММ.-1960.-Т. 24, N 6.-С. 988-1001.

141. Москаленко А.И. Достаточные условия совместной оптимальности систем //Докл. АН СССР.-1977.-Т. 232, N З.-С. 524-527.

142. Москаленко А.И. Метод нелинейных отображений в задачах управления // Прикладная математика.-Новосибирск.-1978.-С. 159-182.

143. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.-М.: Наука.-1977.-456 с.

144. Персидский К.П. К теории устойчивости интегралов систем дифференциальных уравнений // Изв. физ.-мат. об-ва при Казанском ymmepcHTeTe.-1936-1937.-N 8.-С. 29-45.

145. Персидский К.П. Об одной теореме Ляпунова // Докл. АН СССР.-1937.-Т 14, N 9.-С. 541-544.

146. Персидский К.П. Ко второй методе Ляпунова // Изв. АН Каз. ССР. Мат. и мех.-1947.-Т. 42, N I-C. 48-55.

147. Персидский К.П. Об устойчивости решений счетной системы дифференциальных уравнений // Изв. АН Каз ССР. Мат. и мех.-1948.-Т. 56, N 2.-С. 3-35.

148. Персидский К.П. Решение задачи Коши для некоторых функциональных уравнений // Труды III Всесоюзного математического съезда.- Т.2.-1956.-С. 21-24.

149. Персидский С.К. К исследованию устойчивости сложных систем дифференциальных уравнений, когда подсистемы нелинейно связаны между собой // Тез. докл. IV Казахстан, научн. конф. по мат. и мех.-Алма-Ата.-1971.

150. Петросян Л.А., Данилов Н.Н. Кооперативные дифференциальные игры и их приложения.-Томск: Изд-во Томского ун-та.-1985.-276 с.

151. Плисс З.А. Нелокальные проблемы теории колебаний.-М.;Л.: Наука.-1964.-367 с.

152. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.-М.;Л.: Гостехиздат -1947 -392 с.

153. Пылаев Н.К., Ядыкин И.Б. Интервальные алгоритмы адаптивного управления с неявной эталонной моделью // Автоматика и телемеханика N 6.- С. 63-72.

154. Пятницкий Е.С. Управляемость классов лагранжевых систем с ограниченными управлениями // Автоматика и телемеханика.-1996.- N 12.- С. 29-37.

155. Пятницкий Е.С. Принцип декомпозиции в управлении механическими системами // Доклады Академии наук.- 1988.- Т. 300, N 2-С. 300-303.

156. Пятницкий Е.С. Управление механическими системами в условиях неопределенности при отсутствии качественной информации о текущем состоянии / / Автоматика и телемеханика.- 1999.- N 5-С. 164-169.

157. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ.-М.: Мир,- 1973.

158. Румянцев В.В. Устойчивость движения твердого тела с полостями, наполнеными жидкостью // Труды Всесоюзного съезда по те-ор. и прикл. мех.-М.;Л: Изд.-во АН СССР.-1962.-С. 57-71.

159. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-Т.2.-М.: ИЛ, 1954.

160. Сиразетдинов Т.К. Об устойчивости процессов с распределенными параметрами // Труды Казанск. авиац. института. Мат. и мех.-1964.-Вып. 83.-С. 16-78.

161. Сиразетдинов Т.К. К теории устойчивости процессов с распределенными параметрами // ПММ.-1967.-Т. 31, N 1.-С. 37-48.

162. Смагина Е.М., Дугарова И.В. Синтез модального регулятора для системы с неопределенными параметрами.- М., 1987.- 38 е.- Депонировано в ВИНИТИ, N 789-В87.

163. Суменков Е.А. К вопросу обратимости принципа сравнения // Динамика нелинейных систем.-Новосибирск; Наука.-1983.-С. 22-35.

164. Суменков Е.А. Обращение теорем сравнения для некоторых динамических свойств // Функции Ляпунова и их применение .Новосибирск: Наука.-1987.-С. 93-106.

165. Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования. Т. 1,2.-М.: Мир.-1991.

166. Ткаченко С.П. Модель инерционности переключения базисного элемента схемы // Идентификация и автоматизация технологических процессов в машиностроении.-Куйбышев: КуАИ, 1988.-С.120-125.

167. Фурасов В.Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация.-М.: Наука.-1977.-248 с.

168. Фурасов В.Д. Устойчивость и стабилизация дискретных процессов.-М.: Наука.-1982.-192 с.

169. Филиппов А.Ф. Устойчивость для дифференциальных уравнений с разрывными и многозначными правыми частями // Дифференц. уравнения.-1979.-Т. 15, N 6.-С. 1018-1027.

170. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью.- М.: Наука.- 1985.-224 с.

171. Хазин Л.Г., Шноль Э.Э. Устойчивость критических положений равновесия.-Пущино: ОНТИ НЦБИ АН СССР.- 1985.-215 с.

172. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.: Мир.-1970.-720 с.

173. Хатвани Л. О применении дифференциальных неравенств к теории устойчивости движения // Вест. Моск. ун-та. Сер. Математика, MexaHHKa.-1975.-N З.-С. 83-89.

174. Хачиян JI.Г. Полиноминальный алгоритм в линейном программировании // Докл. АН СССР.-1979.-Т.-244.-N.-5.-С. 1093-1096.

175. Хлебалин Н.А., Шокин Ю.И. Интервальный вариант метода модального управления // Докл. АН СССР.-1991.-Т. 316.- N 4-С. 846-850.

176. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ.-М.: Мир.-1989-655 с.

177. Чеботарев А.Н. Модели асинхронных логических схем и задержки // Кибернетика.- 1983.- N 4.- С. 32-37.

178. Четаев Н.Г. Устойчивость движения.-М.: ГИТЛ-1955.-207 с.

179. Шайдуров В.В., Шарый С.П. Решение интервальной алгебраической задачи о допусках.-Красноярск: Препринт АН СССР. Сиб. отд. ВЦ.- 1998.-N 5.

180. Шарый С.П. О характеризации объединенного множества решений интервальной линейной алгебраической системы // Деп. в ВИНИТИ.-1990-N 726-В91.-20 с.

181. Шарый С.П. О разрешимости линейной задачи о допусках // Интервальные вычисления.-199l.-N 1.-С. 92-98.

182. Шарый С.П. Алгебраический подход к анализу линейных статических систем с интервальной неопределенностью // Известия РАН. Теория и системы управления.- 1997.- N 3.- С. 51-61.

183. Шарый С.П. Новый подход к анализу статических систем с интервальной неопределенностью в данных // Вычислительные технологии.- 1997.- Т. 2, N 1.- С. 84-102.

184. Шарый С.П. Алгебраический подход во "внешней задаче" для интервальных линейных систем // Вычислительные технологии.1998.- Т. 3, N 2.- С. 67-114.

185. Шарый С.П. Внешнее оценивание обобщенных множеств решений интервальных линейных систем // Вычислительные технологии.1999.- Т. 4, N 4.- С. 82-110.

186. Шарый С.П. Интервальные алгебраические задачи и их численное решение // Диссертация на соискание ученой степени докторафизико-математических наук,- 2000.- Новосибирск.- 266 с.

187. Шарый С.П. Линейные статические системы с интервальной неопределенностью: эффективные алгоритмы для решения задач управления и стабилизации.-Красноярск: Препринт АН СССР. Сиб. отд. ВЦ.- 1994.-N 7.

188. Шестаков А.А. Об асимптотическом поведении решений многомерных систем дифференциальных уравнений // Уч. зак. Всес. заочн. института инж. ж.-д. транспорта.-М.-1961,-Вып. 7.-С. 3105.

189. Шестаков А.А. О степенной устойчивости невозмущенного движения существенно нелинейных неавтономных систем дифференциальных уравнений // Тр. Всес. заочн. ин-та инж. ж.-д. транспорта.-М -1970-Вып. 46.-С. 54-58.

190. Шестаков А.А. Степенная асимптотика порядка р < 0 решений неавтономной дифференциальной системы с особой точкой высшего порядка // Дифференц. уравнения.-1970-Т. 6, N 11.-С. 2101-2104.

191. Шестаков А.А. Критерий равномерной асимптотической устойчивости по неавтономному однородному приближению порядка т> 1 // Дифференц. уравнения.-1971.-Т. 7, N 5.-С. 937-940.

192. Шестаков А.А. О степенной асимптотике неавтономной однородной и квазиоднородной системы // Диференц. уравнения.-1975.-Т. 11, N 8.-С. 1427-1436.

193. Якубович В.А. Методы теории абсолютной устойчивости // Методы исследования нелинейных систем автоматического управления (под ред. Р.А. Нелепина).- М.: Наука 1975 - С. 74-175.

194. Экланд П., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы.-М.: Мир.-1979.-400 с.

195. Afghani M., Srensson С. Performance of synchronous and asynchronous schemes for VLSI systems // IEEE Trans. Comput.-1992.- V. 41, N 7.- P. 858-872.

196. Antosiewicz H.A. An inequality for approximate solutions of ordinary differential equations // Mat.Z.-1962.-V.78.-P. 44-52.

197. Baturin V.A., Lakeyev A.V., Vassilyev S.N. Ecologo-economic Model and Solvability of Harmonization Problem // Proceedings of IEEE International Conference on Systems, Man and Cybernetics.- France, Lille.- 1993.- V.5.- P. 339-343.

198. Beeck H. Uber structur und abschatzungen der loesungsmenge von linear gleichungssystemen mit intervallkoeffizienten // Computing.-1972.-V. 10.-P. 231-244.

199. Bellman R. Vector Liapunov functions //SIAM J.Control, ser. A.-1962.-V.1, N 1.-P.32-34.

200. Borovka 0. Uber eine Veraelmeinerung der eindeutigkeitsatze fur Integraie der Differentialgleichuag y' = f(x,y).f/ Ada Рас. natur Univ. Comentional Math.-1956.-Bd. 1, N 4-6.-S. 155-167.

201. Bushau D.D. Dynamical polysystems and optimization // Contrib. to DifF. Equal. II.-New-York.-1963.-P. 351-356.

202. Chung S.J. NP-completeness of the linear complementarity problem // J. of optimization theory and applications.- 1989.- V. 60, N 3.- P. 393-399.

203. Coleman C. Growth and decay estimates near non-elementary stationary points // Can. J. Math-1970.-V.22, N 6.-P. 1156-1167.

204. Conti R. Sur la construction sulla prolongabilita della soluzioni di un si sterna di equazioni differenziali ordinarie // Math. ltaly.-1956.-Ser.3, v.ll, N 4.-P. 510-514.

205. Corduneanu C. Sur la construction des fonctions de Liapounoff // Bull. Acad.Sci. Pol., Ser. Sci. Mat., astr. et phis.-1962.-V.10, N 11-P. 559-563.

206. Corduneanu С. Sur la stabilite partielle // Rev. Rouni. Math. Pures et Appl.-1964.-V.9, N 3.-P. 229-236.

207. Cottle R.W., Pang J.-S., Stone R.E. Linear Complementarity Problem.- New York: Academic Press.-1992.-762 pp.

208. Coxson G.E. The P-matrix problem is co-NP-complete // Mathematical Programming-1994.- N 64.-P. 173-178.

209. Fiedler M., Ptak V. On matrices with non-positive off-diagonal elements and positive principal minors // Czechoslovak Math. J.-1962.- N 12.-P. 382-400.

210. Ji Л., Potra F.A., Huang S. A predictor-corrector method for linear complementarity problems with polynomial complexity and supperlinear convergence // J. of optimization theory and applications.- 1995.- V. 85, N 1.- P. 187-199.

211. Habets P., Peiffer K. Classification of stability like concepts and their study using vector Lyapunov functions // J. Math. Anal. Appl.-1973.-V.43.-P. 537-570.

212. Hahn W. Uber Differentialgleichungen erster ordnung mit homogenen rechten Seiten // Z. Angew. Math. Mech.-1966.-Bd.46, N 6.-P. 357361.

213. Hahn W. Stability of motion-Berlin: Springer-Verlag.-l 967.-240 p.

214. Hajek 0. Structure of dynamical systems // Comment. Math. Univ. Carolinae.-1965.-V.6, N l.-P. 53-72.

215. Halanay A. Differential equations, stability, oscilations, time lags.-New-York: Academic Press.-1966.-183 p.

216. Hartman P. On uniqueness and differentiability of solutions of ordinary differential equations // Proceedings of a Simposium on Nonlinear Problems.-Madison (Wis)-1963.-P. 219-232.

217. Gardenes E. and Trepat A. Fundamentals of SIGLA, an interval computing system over the completed set of intervals // Computing.-1980.-V. 24.-P. 161-179.

218. Kalman P.E. Mathematical description of linear dynamical system // RIAS Tech. Rep.-1962.-P. 62-18.

219. Kalman P.E. Mathematical description of linear dynamical system // J. Soc. Industr. and Appl. Math. Contr.-1963.-Vl, N 2.-P. 152-192.

220. Kaucher E. Uber metrische und algebraische Eigenschaften einiger beim numerischen Rechnen auftretender Raume. Dissertation.-Universitat Karlsruhe: Karlsruhe.- 1973.

221. Kaucher E. Interval analysis in the extended interval spase IR // Computing.- V. 2.-1980.-P. 33-49.

222. Kayande A., Rama Mohama Rao M. Comparison principle and converse theorems for finite time stability // Notas e comuns. mat.-1969.-V.20.-P. 1-18.

223. Kreinovich V., Lakeyev A.V., Noskov S.I. Optimal solution of interval linear systems is introctable (ЛГР-hard) // Interval computations.-1993.- N 1.- C. 6-14.

224. Kreinovich V., Lakeyev A.V., Noskov S.I. Approximate Linear Algebra Is Intractable // Linear Algebra and Its Application.- 1996.-V. 232.- P. 45-54.

225. Kreinovich V., Lakeyev A.V., Rohn J., Kahl P. Computational Complexity and Feasibility of Data Processing and Interval Computations.-Dordrecht: Kluwer.- 1997.- 472 p.

226. Kreinovich V., Lakeyev A.V., Rohn J., Kahl P. Computational complexity and feasibility of data processing and interval computational.-Dordrecht: Kluwer.-1998.

227. Kupriyanova L.V. Inner estimation of the united solution set of interval linear algebraic system // Reliable Computing.-1995.- 1(1).-P. 15-31.

228. Lakeyev A.V. Linear algebraic equations in Kaucher arithmetic // Reliable Computing, 1995, Supplement (Extended Abstracts of APIC'95: International Workshop on Applications of Interval Computations, El Paso, TX, Febr. 23-25, 1995).-P. 130-133.

229. Lakeyev A.V. On the Computational Complexity of the Solution of Linear Systems with Moduli // Reliable Computing.- 1996.- V. 2, N2.- P. 125-131.

230. Lakeyev A.V., Kreinovich V. NP-hard Classes of Linear Algebraic Systems with Uncertainties // Reliable Computing.- 1997.- V. 3, N1.- P. 51-81.

231. SCAN'98).- Hungary, Budapest.- Kluwer Academic Publ 1999.- i P. 53-65.

232. Lakshmikantham Y. Differential system and extention of Lyapunov's method // Micigan Math. J.- 1962.- Y. 9, N 4.- C. 311-320.

233. Lakshmikantham V., Leela S. On the construction of Lyapunov functions // Rev. Roum. Math. Pures et Appl.-1967.-V. 12, N 7-P. 969-976.

234. Lakshmikantham V., Leela S. Differential and integral inequalities, theory and applications.-V.l, 2.-New-York-London: Acad. Press.— 1969.-320 p.

235. Lakshmikantham V., Leela S. Global results and stability of motion // Proc. Combr. Phil. Soc.-1971.-V.70, N l.-P. 95-102.

236. Leela S. Lyapunov stability of conditional invariant sets // Anti. Sti. Univ. AI. I.Cuza , Iasi, Sec.l a-1971.-V.17, N l.-P. 71-78.

237. Markov S.M. Extended interval arithmetic involving infinite intervals // Mathematica Balcanica. New Series.- 1992.- V. 6, Fasc. 3.- P. 269-304.

238. Marty K.G. On the number of solutions to the complementarity problem and spanning properties of complementary cones // Lin. Alg. Appl 1972.-N 5.-P. 65-108.

239. Massera J.L. On Lyapunoffs condition of stability// Ann. of Math.-1949.-V.50, N 3.-P. 705-721.

240. Massera J.L. Contributions to stability theory // Ann. of Math.-1956.-V.64, N l.-P. 182-206.

241. Mathews R., Acher J. M. On logic level modeling for ASICS // SIGDA Newslett 1991.- V. 21, N 1.- P. 56-59.

242. Mayer G. Old and new aspects for the interval Gaussian algorithm // Computer Arithmetic, Scientific Computation and Mathematical Modelling // Kaucher E., Markov S.M. and Mayer G. eds.- (IMACS

243. Annal on Computing and Applied Mathematics; v. 12).- Basel: Baltzer.- 1991.- P. 329-349.

244. Moore R.E. Interval analysis-Engle wood Cliffs: Prentice Hall 1996.

245. Moore R.E. Methods and applications of interval analysis.- SIAM, Philadelphia.- 1979.

246. Nemirovskii A. Several TVP-Hard Problems Arising in Robust Stability Analysis.-1993.-V.6.-P. 99-105.

247. Nuding E., Wilhelm W. Uber Gleichungen und uber Losungen // ZAMM.- 1972.- B. 52.- P. T188-T190.

248. Neumaier A. Interval Methods for Systems of Equations.- Cambridge: Cambridge University Press-1990.

249. Oettli K.W. On the solution set of a linear system with inacurate coefficients // SIAM J. Numer. Anal.-1965.-V. 2.-P. 115-118.

250. Oettle W., Prager W. Compatibility of approximate solution of linear equations with given error bounds for coefficients and right-hand sides // Num. Math.-1964.-V.6.-P. 405-409.

251. Poljak S., Rohn J. Checking robust non-singularity is TVP-hand. Mathematics of control. Signals and systems.-1993.-V.-6.-P. 1-9.

252. Rohn J. Inner solutions of linear interval systems // Interval Mathematics .-Freiburg.-1985.

253. Rohn J. Systems of linear interval equations // Linear Algebra and its Applications-1989.-V.126.-P. 39-78.

254. Rohn J. Interval linear systems with prescribed column sums // Linear Algebra and its Applications.-198l.-V. 39.- P. 143-148.

255. Rohn J. Input-output planning with inexact data // Freiburger Interval-Berichte.- 1978.- N 9/78.- S. 1-16.

256. Rohn J. Input-output model with interval data // Econometrica-1980 V. 48 - P. 767-769.

257. Shary S.P. Optimal solution of interval linear algebraic systems. 1 // Intervel computations.-1991.-V.2.-P. 7-30.

258. Shary S.P. A new class of algorithms for optimal solution of interval linear systems // Interval computations.-1992.-V.-2(4).-P. 18-29.

259. Shary S.P. Solving interval linear systems with nonnegative matrices // Proc. of Conf. "Scientific Computation and Mathematical Modelling", S. Markov (Ed), DATECS Publishing, Sofia.-1993.-P. 179-181.

260. Shary S.P. Algebraic solutions to interval linear equations and their applications // Proc. of IMACS/GAMM Intern. Sympos. on Numerical Methods and Error Bounds, Germany.-1996.-P. 224-233.

261. Shary S.P. A new approach to the analysis of static systems under interval uncertainties // Abstr. of IMACS/GAMM Intern. Sympos. on Scientific Computing, Computer Arithmetic and Validated Numerics, G ermany.-1995 .-P. 128-129.

262. Shary S.P. Algebraic approach to the interval linear static identification, tolerance and control problems, or One more application of Kaucher arithmetic // Reliable Computing.-1996.-V. 2.-P. 3-33.

263. Shary S.P. Algebraic approach in the "outer problem" for interval linear equations // Reliable Computing.-1997.-V. 3, N 2.- P. 103135.

264. Shary S.P. Outer estimation of generalized solution sets to interval linear systems // Reliable Computing.-1999.-V. 5.-P. 323-335.

265. Vassilyev S.N., Kuznetsov P.K., Lakeyev A.V., Zherlov A.K. Modeling and Analysis of Some Logical-dynamic Systems // Proc. of ICNPAA'96 Intern. Conf. on Nonlinear Problems in Aviation and Aerospace (ERAU)-1996.-P.661-666.

266. Vassilyev S., Kozlov R., Lakeyev A., Zherlov A. Control Methods for Some Classes of Logical-dynamic Systems under Uncertainties and Perturbations // J. of Hybrid Systems.- 2002.- V. 2, N 1.- P. 87-97.

267. Vassilyev S.H., Matrosov V.M. Vector Lyapunov functions method in the abstract theory of Control // Preprints of VIII IFAC Congress .Kyoto (Japan).-1981.-V. Ill, sessions 11-16.-P. 47-52.

268. Wang P.K.C. Asymptotic stability of time-delaed diffusion system // Trans. ASME. J. Appl.Mech.-1963.-V. 30, N 4.-P. 500-504.

269. Wang P.K.C. Asymptotic stability of distributed parameter systems with feadback controls // IEEE Trans. Automatic Contr.-1966.-AC-11, N l.-P. 46-54.

270. Weiss L. Converse theorems for finite time stability //SIAM J. Appl. Math .-1968.-V. 16 .-P. 1319-1324.

271. Yoshizawa S. Liapunov's function and boundness of solutions // Funkcialai Ekvacioj.-1959.-V.2.-P. 95-142.

272. Zadeh L. The concept of state in system theory // Views on General Systems Theory. Ed. M. Mezarovich.-New-York-London-Sydney: John Wiley and Sons.-1964.-P. 39-50.

273. Zaslavsky T. Fasing up to arrangements: fase-count formula for partitions of space by hyperplanes // Memories of the Amer. math. society.-1975.- V. 1, N 154.-102 p.