Исследование устойчивости движений дискретных динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Минайло, Александр Васильевич

• Минайло, Александр Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Минайло, Александр Васильевич

Введение

Глава I. УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ ПО НЕЛИНЕЙНОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ

§1. Обобщенно-однородные функции. Системы дифференциальных уравнений с обобщенно-однородными правыми частями.

§2. Сохранение устойчивости при переходе от дифференциальных систем к разностным.

§3. Условия асимптотической устойчивости по обобщенно-однородному приближению.

§4. Построение неавтономных функций Ляпунова.

Глава II. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЧАСТИ ПЕРЕМЕННЫХ

§1. Постановка задачи.

§2. Метод В. И. Зубова построения консервативных разностных схем

§3. Исследование асимптотической устойчивости относительно части переменных но нелинейному приближению.

§4. Уточнение условий асимптотической устойчивости по части переменных

§5. Устойчивость решений одного класса нелинейных разностных систем

§6. Управление вращательным движением твердого тела

Глава III. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ВЕКТОРНОГО УРАВНЕНИЯ ЛЬЕНАРА

§1. Построение консервативной разностной схемы.

§2. Сохранение устойчивости при переходе от дифференциального уравнения Льенара к разностному.

§3. Исследование системы, находящейся под воздействием возмущений с нулевыми средними значениями.

§4. Другой способ анализа устойчивости уравнения Льенара.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование устойчивости движений дискретных динамических систем»

Многие задачи математической кибернетики приводят к исследованию дискретных динамических систем. Для описания дискретных систем используются уравнения в конечных разностях.

Системы уравнений в конечных разностях изучаются уже давно в различных разделах математики. Вполне естественно, что обилие приложений конечнораз-ностных уравнений повысило к ним интерес.

Большое внимание к исследованию подобных уравнений уделяется в задачах теории управления. Разностные уравнения широко применяются при описании динамических систем с дискретными регуляторами [24], нелинейных импульсных систем [11, 58]. Кроме того, они широко используются при численном интегрировании дифференциальных уравнений различных типов ]17, 24, 57].

Свойства решений разностных уравнений во многом аналогичны свойствам решений соответствующих дифференциальных уравнений. Это обстоятельство позволяет использовать системы разностных уравнений в задачах моделирования и анализа динамики различных реальных объектов, там, где использование непрерывных систем либо не представляется возможным, либо приводит к значительному усложнению этих задач.

В то же время переход от непрерывных уравнений к разностным может повлечь существенное изменение свойств решений системы. При таком переходе нередко нарушается устойчивость.

Устойчивость - важное свойство любого управляемого объекта. Устойчиво движущимся принято называть тог объект, движение которого слабо изменяется под воздействием возмущений. И наоборот, говорят, что объект движется неустойчиво, если его движение сильно изменяется под действием возмущений. Так как в действительности возмущающие силы всегда неизбежно существуют, то задача устойчивости движения приобретает очень важное теоретическое и прикладное значение.

Существенные результаты в исследовании устойчивости разностных систем были достигнуты в работах В. И. Зубова, М. А. Скалкиной, A. Halanay, D. Wexler, J. М. Sanz-Serna, Н. Yoshida и многих других авторов [4, 5, 24, 35, 53, 54, 55, 58, 64, 67].

Проблема эквивалентности преобразований в смысле сохранения устойчивости при переходе от дифференциальных уравнений к соответствующим разностным уравнениям может решаться за счет модификации последних.

Существуют консервативные численные методы интегрирования дифференциальных уравнений, позволяющие учитывать специфику изучаемых систем и сохранять их качественные характеристики [6, 17, 23, 24, 60, 68]. Эти методы можно разделить на два следующих класса. К первому классу можно отнести консервативные методы, полученные из традиционных (неконсервативных) методов с помощью специальных процедур модификации, обеспечивающих выполнение свойства консервативности с заданной степенью точности. Второй класс методов состоит из специальным образом сформированных методов, в которых свойство консервативности заложено изначально.

Использование некоторых консервативных численных методов позволяет решить проблему эквивалентности преобразований в смысле сохранения устойчивости решений при переходе от дифференциальных систем уравнений к соответствующим разностным. К таким методам можно отнести метод В. И. Зубова сохранения интегралов [23, 24]. Построенное согласно методу управление используется в качестве коррекции разностных систем, обеспечивая, тем самым, указанную выше эквивалентность. Но введение управления в систему может привести к значительному ее усложнению. Поэтому важной задачей является определение классов систем, для которых коррекция не нужна и систем, которым она необходима.

Методологический аппарат исследования подобных проблем разрабатывается и совершенствуется уже достаточно давно. Основополагающие результаты были получены еще в конце 19 века А. М. Ляпуновым. Разработанный им прямой (второй) метод анализа устойчивости [32] является весьма полезным при исследовании приведенных выше задач. Метод заключается в построении некоторых вспомогательных функций, обладающих специальными свойствами. Эти функции называют функциями Ляпунова. Прямой метод Ляпунова является основным методом исследования нелинейных систем. Он получил глубокое развитие в трудах Н. Г. Четаева, И. В. Малкина, К. П. Персидского, Е. А. Барбашина, Н. Н. Красовского, В. И. Зубова, В. В. Румянцева, С. Лефшеца, Т. Йошизавы и многих других ученых [8, 19, 26, 28, 29, 33, 50, 51, 59, 69]. Результаты, полученные для непрерывных систем, в дальнейшем получили распространение и на системы разностных уравнений [11, 24, 58].

Устойчивость динамических систем, правые части которых, представленные в виде ряда по степеням искомых функций, не содержат в указанном разложении линейных членов относительно этих функций, исследуется по нелинейному приближению [12, 26, 33, 66]. Теоремы об устойчивости систем дифференциальных уравнений по нелинейному приближению были доказаны в работах И. Г. Малки-на, Н. Н. Красовского и В. И. Зубова [19, 27, 33]. При этом в качестве первого приближения рассматривались системы с однородными и обобщенно-однородными правыми частями. Для таких систем были определены условия существования однородных (и обобщенно-однородных) функций Ляпунова, с помощью которых удалось установить критерии устойчивости по нелинейному приближению.

Во многих прикладных задачах для нормального функционирования материальной системы достаточно обеспечить устойчивость ее движения не но всем, а только в отношении некоторой части ее переменных. Такие задачи естественным образом возникают при решении ряда механических и технических проблем [13, 22, 50], анализе биологических и экономических моделей [15,61]. Основополагающие результаты в этой области были получены В. В. Румянцевым [14, 48, 50]. В его работах был доказан ряд теорем об устойчивости по части переменных, обобщающих теоремы второго метода Ляпунова, и указаны примеры их приложения в задачах механики. Результаты В. В. Румянцева получили глубокое развитие в трудах К. Кордуняну, В. И. Зубова, В. И. Воротникова, К. Пейффе-ра, А. Хатвани и многих других ученых [13, 18, 34, 62, 63, 65].

Теоремы об устойчивости по части переменных, доказанные для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, естественным образом распространяются и на случай разностных систем.

Большое прикладное значение также имеют исследования устойчивости положения равновесия нелинейных колебательных систем [9, 10, 56]. Широкий класс таких систем описывает уравнение Льенара. Оно используется при моделировании различных процессов в механике, биологии, химии, экономике и других отраслях науки [15, 51, 61].

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию описанных выше задач для систем разностных уравнений и направлена на развитие известных математических методов их решения. Основной математический аппарат - метод функций Ляпунова. Работа состоит из трех глав.

В первой главе исследовала устойчивость решений разностных систем по нелинейному приближению, где в качестве первого приближения рассматриваются системы с обобщенно-однородными правыми частями.

В первом параграфе приведены основные понятия и вспомогательные утверждения, применяемые в дальнейшем при исследовании устойчивости решений разностных систем по нелинейному приближению.

Во втором параграфе приводится постановка исследуемой задачи. Рассмотрены системы дифференциальных уравнений с обобщенно-однородными правыми частями и соответствующие им разностные системы; Определены условия сохранения асимптотической устойчивости нулевого решения при переходе от дифференциальных уравнений к разностным. В том же ключе приведены условия сохранения неустойчивости нулевого решения системы. Получена оценка скорости стремления решений разностной системы к началу координат. Отметим, что порядок полученной оценки совпадает с порядком аналогичной оценки, установленной В. И. Зубовым для дифференциальных уравнений [18].

В третьем и четвертом параграфах исследовано воздействие на систему ограниченных и неограниченных возмущений. Определены классы возмущений, не нарушающих асимптотическую устойчивость нулевого решения системы. В том числе установлен класс возмущений, для которых асимптотическая устойчивость сохраняется и в случае, когда порядок возмущений может быть ниже порядка функций, стоящих в правых частях системы первого приближения.

Вторая глава посвящена изучению условий асимптотической устойчивости по части переменных решений разностных систем.

Первый и второй параграф носят вспомогательный характер. В первом приведены основные определения и утверждения, касающиеся устойчивости но части переменных, используемые в главе. Во втором параграфе описан метод В. И. Зубова построения консервативных разностных схем [18].

Далее в главе исследуются условия устойчивости разностных систем в критических случаях. Здесь развивается теорема Ляпунова-Малкина об устойчивости в критических случаях нескольких нулевых корней [33] для систем, первое приближение которых является существенно нелинейным. В третьем параграфе наряду с исследуемой системой разностных уравнений рассматривается ее первое приближение, которое можно разделить на две изолированные подсистемы: асимптотически устойчивую подсистему с обобщенно-однородными правыми частями и подсистему, имеющую устойчивое нулевое решение. С помощью метода функций Ляпунова найдены достаточные условия устойчивости но всем переменным и асимптотической устойчивости по отношению к части переменных решений нелинейных разностных систем по первому приближению указанного вида.

В §4 определен класс неавтономных возмущений, для которых можно ослабить условия устойчивости, нолученные в предыдущем параграфе. Доказано, что порядок этих возмущений может быть меньше порядка функций, входящих в правые части первого приближения исходной системы.

В пятом параграфе рассматривается система дифференциальных уравнений специального вида. В соответствии с теоремой В. И. Зубова о каноническом разложении силового поля [22] предполагается, что правые части системы представляют собой сумму потенциальной и соленоидальной составляющих поля. Указанная системы имеет нулевое решение устойчивое по всем и асимптотически устойчивое по части переменных. Доказано, что разностная система, соответствующая исходной системе дифференциальных уравнений, может иметь неустойчивое но части переменных нулевое решение. Для сохранения устойчивости в разностную систему вводится управление. Управление строится методом В. И. Зубова сохранения интегралов. Доказательство устойчивости по всем переменным и асимптотической устойчивости по отношению к части переменных нулевого решения скорректированной системы проводится с использованием дискретного аналога теоремы В. В. Румянцева об асимптотической устойчивости.

В шестом параграфе, на основе методов, используемых в §3 и §5, рассматривается задача гашения угловых движений твердого тела но одной и двум из трех главных центральных осей инерции.

В третьей главе приведено исследование векторного уравнения Льенара, широко использующегося при моделировании различных реальных систем и процессов.

В §1 рассматривается система дифференциальных уравнений Льенара с асимптотически устойчивым нулевым решением. Доказано, что нулевое решение разностных уравнений, соответствующих исходной дифференциальной системе, может быть неустойчивым. Согласованность, в смысле сохранения устойчивости нулевого решения, достигается за счет введения в разностную систему управления. Управления строится методом В. И. Зубова.

Во втором параграфе доказывается асимптотическая устойчивость нулевого решения скорректированной системы. Проводится оценка скорости стремления решений к началу координат. Исследуется воздействие на систему ограниченных возмущений. Определен класс возмущающих сил, которые не нарушают асимптотическую устойчивость нулевого решения системы.

В третьем параграфе исследуются условия сохранения асимптотической устойчивости нулевого решения при возмущениях, порядок которых может быть ниже порядка функций входящих, в правые части рассматриваемой системы.

В §4 рассматривается иной подход к анализу разностного уравнения Льенара. Использование других, нежели в §§1-3, условий на правые части системы, позволяет ослабить ограничения на параметры системы, полученные ранее. Однако, отметим, что результаты параграфа 4 распространяются не на весь класс систем, рассмотренный в §§1-3.

В заключении формулируются основные положения диссертации, выносимые на защиту.

Настоящая работа основана на результатах автора, опубликованных в статьях [37]-[42].

Параграфы каждой из трех глав имеют свою нумерацию. Утверждения, замечания и формулы внутри каждой главы также имеют свою нумерацию.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Минайло, Александр Васильевич

Заключение

Основные положения диссертации, выносимые на защиту, состоят в следующем.

1. Установлены критерии устойчивости решений разностных систем по обобщенно-однородному первому приближению.

2. Получены новые условия устойчивости по всем переменным и асимптотической устойчивости по отношению к части переменных решений разностных систем в критических случаях.

3. Разработан метод анализа устойчивости системы разностных уравнений специального вида, правые части которой иредставимы в виде суммы потенциальной и соленоидальной составляющих поля.

4. Найдены условия устойчивости положения равновесия разностного аналога векторного уравнения Льенара.

5. Для изученных классов нелинейных разностных систем найдены оценки скорости стремления решений к началу координат.

Следует отметить, что результаты, полученные в работе для разностных систем, согласуются с известными результатами для соответствующих систем дифференциальных уравнений. Для одних классов систем это согласование обеспечивается за счет модификации разностных схем, для других модификация не требуется.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Минайло, Александр Васильевич, 2007 год

1. Александров А. Ю. К вопросу об устойчивости по нелинейному приближению // Сибирский мат. журнал. 1997. Т. 38. № б. С. 1203-1210.

2. Александров А. Ю. Об устойчивости векторного уравнения Льенара с нестационарными возмущениями // Сибирский математический журнал. 1999. Т. 40. № 5. С. 977-986.

3. Александров А. Ю. Устойчивость движений неавтономных динамических систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004. 186 с.

4. Александров А. Ю., Жабко А. П. Устойчивость разностных систем. СПб.: НИИ Химии С.-Петерб. ун-та, 2003. 112 с.

5. Александров А. Ю., Жабко А. П. Об устойчивости решений нелинейных разностных систем // Известия вузов. Математика. 2005. С. 3-12.

6. Андрианов С. Н., Едамепко Н. С. Моделирование динамических систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2005. 169 с.

7. Анчев А. А., Румянцев В. В. О динамике и устойчивости гиростатов // Успехи механики. Т. 2. Вып. 3. 1979. С. 3-45.

8. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.

9. Блакъер О. Анализ нелинейных систем. М.: Мир, 1969. 400 с.

10. Боголюбов Н. Н., Митрополъский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1963. 412 с.

11. Бромберг П. В. Матричные методы в теории релейного и импульсного регулирования. М.: Наука, 1967. 323 с.

12. Веретенников В. Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1984. 320 с.

13. Воротников В. И. Устойчивость динамических систем но отношению к части переменных. М.: Наука, 1991. 284 с.

14. Воротников В. И., Румянцев В. В. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем: Теория, методы и приложения. М.: Научный мир, 2001. 320 с.

15. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. 286 с.

16. Жуковский Н. Е. Теоретическая механика. Изд. 2-е. М.; Л.: ГИТТЛ, 1952. 811 с.

17. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1988. 332 с.

18. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Суднромгиз, 1959. 324 с.

19. Зубов В. И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973. 272 с.

20. Зубов В. И. Лекции но теории управления. М.: Наука, 1975. 495с.

21. Зубов В. И. Динамика управляемых систем. М.: Высшая школа, 1982. 285с.

22. Зубов В. И. Аналитическая динамика системы тел. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. 344 с.

23. Зубов В. И. Консервативные численные методы интегрирования дифферен-. циальных уравнений в нелинейной механике // Докл. РАН. 1997. Т. 354. JYS4.1. С. 446-448.

24. Зубов В. И. Проблема устойчивости процессов управления. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2001. 353 с.

25. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа Часть 1. М.: Наука, 1982. 616 с.

26. Каменков Г. В. Избранные труды: В 2 т. М.: Наука, 1971. Т. 1. 260 с.

27. Красовский Я. Я. Об устойчивости но первому приближению // Прикл. математика и механика. 1955. Т. 19. № 5. С. 516-530.

28. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 212 с.

29. JIa Саллъ Дж. П., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964. 168 с.

30. Ленерт Б. Динамика заряженных частиц. М.: Атомиздат, 1967. 351 с.

31. Лурье А. И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961. 824 с.

32. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л.: ОНТИ, 1935. 386 с.

33. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.; Л.: Гостехиздат, 1952. 432 с.

34. Мартынюк А. А. Устойчивость движения сложных систем. Киев: Наукова думка, 1975. 352 с.

35. Мартынюк Д. И. Лекции по качественной теории разностных уравнений. Киев: Наукова думка, 1972. 252 с.

36. Матросова Н. И. Вектор-функции Ляпунова в изучении критических случаев // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1988. С. 195-203.

37. Минайло А. В. Исследование устойчивости решений одного класса нелинейных разностных систем // В сб. Процессы управления и устойчивость: Труды 35-й научной конференции аспирантов и студентов. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004. С. 239-243.

38. Минайло А. В. К вопросу об устойчивости разностных систем по нелинейному приближению // В сб. Математическое моделирование и краевые задачи:

39. Труды 3-й Всероссийской научной конференции. Самара.: Изд-во Сам. гос. техн. ун-та, 2006. С. 120-123.

40. Минайло А. В. Об устойчивости по части переменных нелинейных разностных систем // В сб. Процессы управления и устойчивость: Труды 37-й международной научной конференции аспирантов и студентов. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006. С. 57-63.

41. Минайло А. В. Об устойчивости решений некоторых классов нелинейных разностных систем // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Сер.: "Физ.-мат. науки". 2006. № 43. С. 37-44.

42. Минайло А. В. Исследование устойчивости положения равновесия некоторых классов нелинейных разностных систем // Вестник С.-Петерб. унта. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2007. Вып. 2. С. 97-107.

43. Моисеев Н. Н., Румянцев В. В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука, 1965. 439 с.

44. Набиуллин М. К. Стационарные движения и устойчивость упругих спутников. Новосибирск: Наука, 1990. 216 с.

45. Озиранер А. С. Об устойчивости движения в критических случаях // Прикл. математика и механика. 1975. Т. 39. № 3. С. 415-421.

46. Платонов А. В. Исследование устойчивости движений неавтономных динамических систем: Автореф. канд. дис., 2001. 15 с.

47. Рубановский В. Н., Румянцев В. В. Об устойчивости движения сложных механических систем // Успехи механики. Т. 2. Вып. 2. 1979. С. 53-79.

48. Румянцев В. В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных // Вестник МГУ. Сер. мат., механ., физ., астрон., хим. 1957. №4. С. 9-16.

49. Румянцев В. В. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости движения по отноше- отношению к части переменных // Прикл. математика и механика. Т. 35. Вып. 1. 1971. С. 147-152.

50. Румянцев В. В., Озираиер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987. 253 с.

51. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. 300 с.

52. Савченко А. Я., Игнатьев А. О. Некоторые задачи устойчивости неавтономных динамических систем. Киев: Наукова думка, 1989. 208 с.

53. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973. 314 с.

54. Скалкина М. А. О сохранении асимптотической устойчивости при переходе от дифференциальных уравнений к соответствующим разностным // ДАН СССР. Т. 104, №4. 1955.

55. Скалкина М. А. О связи между устойчивостью решений дифференциальных и конечно-разностных уравнений // Прикл. математика и механика. Т. 19. т. 1955. С. 287-294.

56. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электромеханических системах. М.: ИЛ, 1953. 256 с.

57. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.

58. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971. 312 с.

59. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965. 208 с.

60. Шмыров А. С. Устойчивость в гамильтоновых системах. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1995. 128 с.

61. Эрроусмит Д. К., Плейс К. М. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Качественная теория с приложениями. М.: Мир, 1986. 243 с.

62. Corduneanu С. Some problems conserning partial stability // Symp. math. V. 6. Meccanica non-lineare e stabilita. 23-26 Febbrario, 1970. London-New York: Acad. Press, 1971. P. 141-154.

63. Hatvani L. On partial asymptotic stability by the method of limiting equation 11 Ann. Mat. Рига Appl. 1985. V. 99. P. 65-82.

64. Kinoshita H., Yoshida II., Nakai II. Syinplectic integrators and their application in dynamical astronomy // Cel. Mech. Dyn. Ast. 1991. P. 59-71.

65. Peiffer K., Rouche N. Liapunov's second methods applied to a partial stability // J. de mecanique. 1969. V. 8. N 2. P. 323-334.

66. Salvadori L. Oil the stability of equilibrium in critical cases // Meccaiiica. 1967. V. 2. N 2. P. 82-94.

67. Sanz-Serna J. M., Calvo M. P. Numerical Hamiltonian problems. London. 1994.

68. Wisdom J., Holrnan M. Syinplectic Maps for the N-Body Problem // Astron. J. 1991. P. 1520-1538.

69. Yoshizawa T. Stability theory by Liapunov's second method. Tokyo: The Math. Soc. of Japan, 1966. 223 p.