Анализ асимптотического поведения решений и синтез стабилизирующих управлений для нелинейных нестационарных разностных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Волошин Михаил Витальевич

• Волошин Михаил Витальевич
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Волошин Михаил Витальевич

Введение

Глава 1. Основные определения и понятия

Глава 2. Условия устойчивости и диссипативности обобщенно-однородных систем

2.1. Последовательности обобщенно-однородных функций

2.2. Постановка задачи и основные предположения

2.3. Функция Ляпунова и ее приращение в силу системы

2.4. Вспомогательные результаты

2.5. Оценка приращения функции Ляпунова в силу системы

2.6. Пример

Глава 3. Построение управлений для нелинейных нестационарных разностных систем

3.1. Цепь последовательно соединенных интеграторов

3.2. Уравнение Рэлея

3.3. Системы с однородными и линейными функциями

Глава 4. Условия устойчивости и диссипативности систем со степенными функциями

4.1. Постановка задачи и основные предположения

4.2. Функция Ляпунова и ее приращение в силу системы

4.3. Оценка приращения функции Ляпунова в силу системы

4.4. Пример

Глава 5. Условия устойчивости в целом для систем с переключениями

5.1. Постановка задачи и основные предположения

5.2. Системы с линейными оценками

5.3. Системы со степенными оценками

5.4. Системы с насыщением

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ асимптотического поведения решений и синтез стабилизирующих управлений для нелинейных нестационарных разностных систем»

Введение

Актуальность темы исследования. Решение научных и технических проблем системного анализа, управления и обработки информации имеет важное значение для современной экономики. Разработка новых и совершенствование существующих методов и средств анализа, обработки информации, управления сложными системами, может значительно повысить эффективность, надежность и качество технических систем.

Разностные уравнения широко используются для описания систем, состояния которых изменяются в дискретные моменты времени [1-6]. Кроме того, во многих случаях при рассмотрении непрерывных математических моделей допускается их приближенная замена дискретными [1-4]. К примеру, многие численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) представляют собой способы сведения дифференциальных уравнений к разностным [1, 7, 8].

В приложениях дифференциальных и разностных уравнений часто возникает задача исследования устойчивости их решений. Для надежного и эффективного функционирования многих систем из-за неизбежного наличия внешних возмущений и неточностей моделей необходимо, чтобы нужные решения являлись устойчивыми. Поэтому, при проектировании систем управления, одной из целей синтеза управления для воздействия на систему часто является обеспечение этого свойства. При этом в случаях устойчивых решений важной практической задачей является оценка области их притяжения. Особый интерес представляет ситуация, когда устойчивость носит глобальный характер, то есть когда областью притяжения решения является все пространство фазовых переменных.

Другой задачей, имеющей широкое практическое применение, является исследование и обеспечение ограниченности движений рассматриваемых систем. Во многих реальных системах из-за рассеяния энергии любое движение по прошествии достаточно большого количества времени попадает в некоторую ограничен-

ную область, которую в дальнейшем не покидает. Такие системы называют дисси-пативными [9]. Особый интерес представляет равномерность диссипативности относительно начальных данных решений.

Многие понятия и методы, относящиеся к устойчивости решений и равномерной диссипативности разностных уравнений, имеют аналоги в теории ОДУ и используют ее результаты.

В [10] были предложены два метода анализа устойчивости систем ОДУ и было строго обосновано сведение анализа устойчивости решения нелинейной системы к исследованию устойчивости ее системы линейного приближения. Вопросы устойчивости линейных систем ОДУ хорошо изучены, но в критических, в смысле Ляпунова, случаях исследования линейного приближения недостаточно. В [11-13] были доказаны теоремы об устойчивости по нелинейному первому приближению, в качестве которого рассматривались системы с однородными правыми частями.

Наиболее универсальным методом качественного анализа нелинейных систем ОДУ является второй (прямой) метод Ляпунова [14]. Он распространен на задачи анализа разнообразных динамических свойств решений ОДУ [9, 14-16], доказан ряд теорем о различных типах ограниченности движений.

Главной проблемой, связанной с применением данного метода, особенно для нестационарных систем, является отсутствие общих конструктивных способов построения функций Ляпунова. Один из эффективных подходов к исследованию условий устойчивости и ограниченности решений таких систем состоит в использовании метода усреднения [9, 14, 17-19], согласно которому выводы о свойствах решений системы делаются на основе анализа свойств решений соответствующей усредненной системы. В то же время следует отметить, что обычно при получении результатов такого рода предполагается, что рассматриваемая система содержит малый параметр.

В [20, 21] изучались системы нестационарных ОДУ, правые части которых представляют собой однородные функции относительно фазовых переменных. Было показано, что если порядок однородности правых частей больше единицы, то из асимптотической устойчивости нулевого решения усредненной системы следует

асимптотическая устойчивость нулевого решения исходной нестационарной системы, а если меньше единицы, то диссипативность усредненной системы гарантирует, что исходная система также является диссипативной. Данные результаты получили дальнейшее развитие в [22-26]. Принципиальная особенность указанных результатов заключается в том, что для их обоснования не требуется наличие в системе малого параметра.

Как и для ОДУ, для систем разностных уравнений доказана теорема об устойчивости по линейному приближению [2, с. 38-40]. Для нелинейных разностных систем наиболее общим методом качественного анализа является дискретный аналог второго метода Ляпунова [2, с. 27-30].

Также на системы разностных уравнений были распространены способы исследования диссипативности ОДУ, доказан дискретный аналог теоремы Йошизавы о равномерной диссипативности нелинейных систем [27, с. 44-45]. При этом условия равномерной диссипативности изучены только для некоторых специальных классов дискретных систем.

В [28] были рассмотрены вопросы асимптотической устойчивости решений некоторых классов разностных систем, к которым неприменима теорема об устойчивости по линейному приближению. В частности, было показано, что из асимптотической устойчивости нулевого решения системы ОДУ с однородными правыми частями порядка однородности больше единицы следует асимптотическая устойчивость нулевого решения соответствующей ей разностной системы. Далее при исследовании однородной разностной системы с нестационарными возмущениями, имеющими нулевое среднее, были получены условия, при которых асимптотическая устойчивость ее нулевого решения вытекает из асимптотической устойчивости нулевого решения усредненной системы.

В настоящей работе с помощью дискретного аналога второго метода Ляпунова выводятся достаточные условия равномерной асимптотической устойчивости решений и равномерной диссипативности нестационарных систем разностных уравнений с обобщенно-однородными правыми частями и правыми частями в виде

линейных комбинаций степеней фазовых переменных. По сравнению с результатами из [28], рассматриваются другие виды нестационарных возмущений, а также обеспечивается равномерный характер асимптотической устойчивости. Для доказательства используется функция Ляпунова, которая строится на основе соответствующей функции для усредненной системы ОДУ с помощью предложенного в [20, 26] подхода. С помощью полученных результатов выводятся условия существования стабилизирующих и обеспечивающих равномерную диссипативность управлений в системах, содержащих обобщенно-однородные функции в правых частях.

Также в диссертации исследуется проблема глобальной устойчивости решений нелинейных систем с переключениями. Предполагается, что нелинейности удовлетворяют ограничениям секторного типа. Система с переключениями представляет собой гибридную систему, состоящую из семейства подсистем и закона переключения, определяющего в каждый момент времени какая из подсистем является активной. Системы такого вида появляются при моделировании многих реальных процессов [29-32].

Известно, что из устойчивости каждой используемой подсистемы в общем случае не следует устойчивость гибридной системы. Для того чтобы доказать устойчивость системы с переключениями, достаточно построить общую функцию Ляпунова для всех подсистем рассматриваемой системы. Однако проблема существования такой функции не полностью решена даже для семейства линейных автономных подсистем.

В тех случаях, когда общую функцию Ляпунова построить не удается, обеспечить асимптотическую устойчивость можно путем наложения специальных дополнительных ограничений на закон переключения (dwell-time approach [30, 33-37]). Для некоторых типов гибридных систем доказано, что асимптотическая устойчивость будет сохраняться, если промежутки времени между последовательными переключениями достаточно велики. Однако такой подход хорошо развит только для семейства экспоненциально устойчивых подсистем. В данной работе

указанный подход применяется для одного класса существенно нелинейных подсистем. При этом обеспечивается глобальный характер асимптотической устойчивости.

Цель работы заключается в выявлении достаточных условий для равномерной асимптотической устойчивости решений, равномерной диссипативности и асимптотической устойчивости в целом решений, а также в получении на основе этих результатов условий существования стабилизирующих и обеспечивающих равномерную диссипативность управлений для нестационарных разностных систем.

Основные результаты, выносимые на защиту.

1. Условия равномерной асимптотической устойчивости решений нестационарных систем разностных уравнений с обобщенно-однородными правыми частями.

2. Условия равномерной диссипативности нестационарных систем разностных уравнений с обобщенно-однородными правыми частями.

3. Условия существования управлений, обеспечивающих равномерную диссипативность системы разностных уравнений, описывающей цепь последовательно соединенных интеграторов. Условия существования стабилизирующих управлений для разностного приближения векторного уравнения Рэлея с однородными функциями в правой части.

4. Условия существования стабилизирующих управлений для разностных систем с однородными полиномами и линейными функциями в правых частях.

5. Условия равномерной асимптотической устойчивости решений нестационарных систем разностных уравнений с правыми частями в виде линейных комбинаций степеней фазовых переменных.

6. Условия равномерной диссипативности нестационарных систем разностных уравнений с правыми частями в виде линейных комбинаций степеней фазовых переменных.

7. Условия асимптотической устойчивости в целом решений систем разностных уравнений с переключениями.

Научная новизна. Выносимые на защиту результаты являются новыми и получены лично автором.

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретические и прикладные исследования системных связей и закономерностей функционирования и развития процессов с учетом отраслевых особенностей позволяют повысить эффективность управления ими. Полученные в данной работе результаты по большей части имеют теоретический характер. Они вносят некоторый вклад в развитие качественной теории разностных систем и могут быть распространены на другие классы систем. Доказанные теоремы могут применяться для анализа асимптотической устойчивости и равномерной диссипативности используемых в прикладных задачах дискретных моделей, а также при проектировании управляемых систем.

Апробация работы. По теме диссертации опубликовано 17 работ [37-53], 6 из которых - в изданиях, рекомендуемых Высшей аттестационной комиссией (ВАК) для публикации основных научных результатов [37, 39, 40, 43, 47, 52].

Результаты исследования докладывались и обсуждались на следующих конференциях: VII международная конференция «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий», ПМТУКТ-2014 (г. Воронеж, 2014 г.); XLVI, XLVII, XLVШ, LI международная научная конференция аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (г. Санкт-Петербург, 2015, 2016, 2017, 2020 г.); III международная конференция «Устойчивость и процессы управления», посвященная 85-летию со дня рождения В. И. Зубова, SCP 2015 (г. Санкт-Петербург, 2015); XIII международная конференция «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», конференция Пятницкого (г. Москва, 2016 г.); международная конференция «Конструктивный негладкий анализ и смежные вопросы», посвященная памяти профессора В. Ф. Демьянова (г. Санкт-Петербург, 2017 г.).

Структура и основное содержание работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка используемой литературы, включающего 80 наименований. Общий объем работы составляет 110 страниц.

Глава 1. Основные определения и понятия

В данной главе приведены основные обозначения, определения, понятия и результаты, которые будут использоваться далее на протяжении всей работы.

Пусть Ъ - множество целых чисел, И - множество натуральных чисел, М = И и {0} - множество моментов времени, п£М - количество переменных состояния рассматриваемой системы, I = {1,..., п}.

Выберем для дальнейшего использования стандартную евклидову норму в пространстве вещественных векторов и подчиненную ей матричную норму в пространстве матриц. Нулевую и единичную матрицу подходящих размерностей будем обозначать О и Е соответственно.

Для квадратов норм векторов х 6 Мп в работе используются следующие обозначения:

п

||я:||2 = хтх = ^ х?.

¿=1

Определение 1.1. Скобками [х\ будем обозначать целую часть числа х 6 М, то есть наибольшее целое число т., для которого т < х.

Определение 1.2. Скобками \х] при х 6 М будем обозначать наименьшее целое число т., для которого х < т.

Если верхний предел знака суммирования меньше нижнего, будем считать такие суммы равными нулю.

Для получения оценок степеней в работе будет использоваться следующее утверждение.

Лемма 1.1. Для любого числа т. >0 при всех неотрицательных х1, ..., хк, к 6 И, выполняются оценки

(х1+...+хк )т < (к шах{х1,..., хк })т < кт (х^+...+х^ ), х™+... < к (шах{х1, ..., xfc})т < к(х1+... +xfc)т.

Рассмотрим нестационарную разностную систему вида

у(к + 1) = С(к, у(к)), (1)

где функция у): М X Мп ^ Мп непрерывна по у 6 Мп при всех ^6И.

Пусть имеется некоторое решение у(к) системы (1), заданное при к Е М, которое мы будем называть программным (невозмущенным) движением. Обычно исследование устойчивости программного движения сводят к анализу устойчивости нулевого решения системы в отклонениях

х(к + 1) = Р(к, х(к)), (2)

где х) = б(к, х + у(к)) — 0(к, у(к)), получаемой из системы (1) заменой

х(к) = у(к) — у(к).

Тогда функция х) также задана при всех к Е Ш и х Е Мп, непрерывна по х Е Мп при всех к ЕМ и F(fc, О) = О при любых к ЕМ.

Обозначим при к0 Е М и х0 Е Мп через Х(к, к0, х0) единственное решение системы (2), удовлетворяющее начальному условию Х(к0, к0, х0) = х0 и заданное при к ЕМ, к>к0.

Определение 1.3. Нулевое решение системы (2) называется устойчивым (по Ляпунову), если для любых к0 Е М и £ >0 можно указать такое 6 >0, что при всех х0 Е Мп, ||л:01| < 5, выполняется \\Х(к, к0,х0)|| < £.

Определение 1.4. Если в определении 1.3 число 8 можно выбрать не зависящим от к0, то говорят, что нулевое решение системы (2) равномерно (относительно к0 Е М) устойчиво (по Ляпунову).

Определение 1.5. Нулевое решение системы (2) называется асимптотически устойчивым (по Ляпунову), если оно устойчиво и для любых к0 Е М найдется такое 6 > 0, что при всех х0 Е Мп, ||л:0|| < 6, выполняется ЦХ(к, к0, х0)|| ^ 0 при к ^ <х>.

Определение 1.6. Нулевое решение системы (2) называется равномерно (по к0 и х0) асимптотически устойчивым (по Ляпунову), если оно равномерно устойчиво и существует такое число 5 >0, что ЦХ(к, к0, х0)|| ^ 0 при к — к0 ^ <х> равномерно относительно к0 Е М и х0 Е Мп, ||х0|| < 5.

Определение 1.7. Если нулевое решение системы (2) асимптотически устойчиво, то его областью притяжения при заданном к0 Е М называется множество всех таких х0 Е Мп, при которых ЦХ(к, к0, х0)|| ^ 0 при к ^ <х>.

Определение 1.8. Асимптотически устойчивое нулевое решение системы (2) называют асимптотически устойчивым в целом, если при всех к0 6 Ш его областью притяжения является все пространство Мп.

Определение 1.9. Система (2) называется равномерно диссипативной, если существует такое число И >0, что для любого Я >0 можно указать число N 6 М, для которого при всех к0 6 Ш, к>к0 + N и х0 6 Мп, ||х0|| < Я, выполняется ЦХ(к, ко, *о)|| < О.

Для нелинейных разностных систем, как и для систем ОДУ, наиболее универсальным методом качественного анализа является второй (прямой) метод Ляпунова. Этот метод опирается на использование вспомогательных функций, называемых функциями Ляпунова, по поведению которых на решениях исследуемых систем можно делать выводы о поведении самих решений. Приведем основные определения этого метода для разностных систем.

Пусть 0 < Н < го, вещественная функция У(х) задана и непрерывна при х 6 Мп, ЦхЦ < Н.

Определение 1.10. Функция У(х) называется положительно (отрицательно) определенной, если У(О) = 0 и У(х) > 0 (У(х) < 0) при х Ф О.

Определение 1.11. Функция У(х) называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если У(О) = 0 и У(х) > 0 (У(х) < 0) при х Ф О.

Определение 1.12. Далее для матрицы Р 6 Мпхп выражения Р >0 (Р < 0) и Р > 0 (Р < 0) обозначают, что она является симметричной и положительно (отрицательно) определенной и положительно (отрицательно) полуопределенной, то есть что для квадратичной формы хТРх выполняются соответствующие определения при Н = го. Использование символов неравенств с матрицами с обеих сторон обозначает применение соответствующих определений после переноса матриц в одну сторону и записи числа 0 с другой стороны.

Пусть теперь вещественная функция У (к, х) задана при к 6 М и х 6 Мп,

М < Н.

Определение 1.13. Функция У (к, х) называется положительно определенной,

если

1) У(к, О) = 0 при всех к ЕМ;

2) У (к, х) непрерывна по х Е Мп в точке х = О при всех к Е М;

3) существует такая положительно определенная функция Уг (х), что У (к, х) > У± (х) при всех к ЕМ и х Е Шп, ЦхЦ < Н.

Определение 1.14. Функция У (к, х) называется отрицательно определенной, если функция —У(к, х) положительно определена.

Определение 1.15. Функция У (к, х) допускает бесконечно малый высший предел, если У (к, О) = 0 при всех к Е М и она непрерывна по х Е Мп в точке х = О равномерно относительно к Е М [27, с. 17].

Приведем теоремы, доказанные с помощью второго метода Ляпунова, которые будут использоваться далее в работе.

Теорема 1.1 [27, с. 24-25]. Если функция У (к, х) допускает бесконечно малый высший предел и положительно определена, а ее приращение в силу системы (2)

Ш(к, х) = У(к + 1, х + ¥(к, *)) — У (к, х)

отрицательно определено, то нулевое решение системы (2) равномерно асимптотически устойчиво.

Предположим, что функция Р(к, х) ограничена во всякой ограниченной области изменения х, то есть для каждого Я >0 найдется такое М >0, что при к Е М, х Е Мп, ЦхЦ < И, имеет место неравенство ЦР(к, < М. Тогда имеет место следующий дискретный аналог теоремы Йошизавы о равномерной диссипатив-ности нелинейных систем.

Теорема 1.2 [27, с. 44-45]. Пусть 0 < Н < ю, вещественные функции У±(х), У2(х) и Ш2(х) заданы и непрерывны при х Е Мп, ЦхЦ > Н, У±(х) ^ ю при ^ ю, вещественная функция У (к, х) задана при к Е М, х Е Мп, и при ||х|| > Н удовлетворяет условиям

0 < У± (х) < У (к, х) < У2 (х), У(к + 1, х + Г (к, х)) — У (к, х) < Ш2 (х) < 0.

Тогда система (2) равномерно диссипативна.

Теперь рассмотрим управляемую нестационарную разностную систему вида

у (к + 1) = а(к, у (к), у(к)), (3)

где ц 6 И - количество переменных управления у, функция С (к, у, у): М X Мп X ^ Мп непрерывна по у 6 Мп при всех к 6Ш и у 6 .

Пусть найдено программное управление У (к), при котором нужное программное движение у (к) является решением системы (3), функции у(к) и у (к) заданы при к 6 Ш. Построим для системы (3) систему в отклонениях

х(к + 1) = F(fc, х(к), и(к)), (4)

где F(fc, х, и) = в(к, х + у(к), и + у(к)) — в(к, у(к), у(к)), получаемую из системы (3) заменой

х(к) = у(к) — У(к), и(к) = у(к) — Щк). Тогда функция F(fc, х, и) также задана при всех ^6М, х 6 Мп и и 6 Мя, непрерывна по х6 Мп при всех к 6 М и и 6 , а также F(fc, О, (0, ..,0)) = О при любых к6Ш.

Определение 1.16. Задача стабилизации нулевого программного движения системы (4) состоит в построении такого стабилизирующего управления и(к), что замкнутая этим управлением система

х(к + 1) = Г(к, х(к), й(к)) (5)

имеет асимптотически устойчивое нулевое решение.

Определение 1.17. Будем говорить, что управление и(к) обеспечивает равномерную диссипативность системы (4), если замкнутая этим управлением система (5) равномерно диссипативна.

Глава 2. Условия устойчивости и диссипативности обобщенно-однородных систем

В этой главе выводятся достаточные условия равномерной асимптотической устойчивости решений и равномерной диссипативности нестационарных систем разностных уравнений с обобщенно-однородными правыми частями. Первоначально данные результаты были получены автором диссертации для однородных систем и опубликованы в [40-42], затем результаты были обобщены и опубликованы в [45-48].

2.1. Последовательности обобщенно-однородных функций

В этом параграфе будут получены вспомогательные результаты о некоторых свойствах обобщено-однородных функций и их последовательностей. Данные результаты и методы их получения будут использоваться далее при работе с обоб-щено-однородными нестационарными разностными системами, для формулировки предположений и доказательства основных результатов.

Определение 2.1. Функция f(x)• Мп ^ М называется обобщенно-однородной класса (т1,...,тп) порядка а, где тг, ..., тп, а - положительные рациональные числа с нечетными знаменателями, если при всех х Е Мп и с Е М выполняется

[(ст1х1,..., ст^хп) = caf(x).

Определение 2.2. Функция f(x)•. Мп ^ М называется положительно обобщенно-однородной класса (т1,...,тп) порядка а, где т1, ..., тп, а - положительные вещественные числа, если это же равенство выполняется при всех х Е Мп и с >0.

Обобщенно-однородная функция класса (т1,..., тп) порядка а также является обобщенно-однородной класса (Хт-^,,..., Хтп) порядка Ха для любого допустимого Я >0 (такого, что Хт^,,..., Хтп и Ха - рациональные числа с нечетными знаменателями). Аналогичное свойство имеет место для положительно обобщенно-однородных функций при любых положительных вещественных X.

Определение 2.3. Обобщенно-однородная функция класса (1,..., 1) порядка а называется однородной порядка а.

Определение 2.4. положительно обобщенно-однородная функция класса (1,..., 1) порядка а называется положительно однородной порядка а.

Рассмотрим положительные рациональные числа с нечетными знаменателями тг, ..тп, а. Введем непрерывную в Rn положительно обобщенно-однородную функцию класса (т1,..., тп) порядка 1

1 1 г(х) = \х1 \т1 + — + \хп\тп: Rn ^ R.

Рассмотрим в пространстве Rn при г0 >0 непустое, замкнутое и ограниченное множество S(r0) = {х \ х Е Rn, г(х) = г0) и непрерывную функцию

, дО = (X1 (^f.....*„ (¿(Lp): R" \ (0} ^ 5(Г0).

Тогда для любой обобщенно-однородной функции f(x): Rn ^ R класса (т1,..., тп) порядка а при х Е Rn, х ф О, справедливо равенство

f(x) = f{y(ro, .

Также рассмотрим при 0 > 0 множество

c(r0) = (х \ xERn, г(х) < г0} и введем при 0 < rY < г2 обозначение для множества

ЯOi,г2) = (х \ х Е Rn, t-y < r(x) < r2}.

Далее докажем лемму о непрерывности обобщенно-однородных функций.

Лемма 2.1. Пусть г0 > 0, функция f(x): Rn ^ R - обобщенно-однородная класса (ш1,..., тп) порядка а. Тогда из непрерывности f (х) на S(r0) следует непрерывность ( ) на R .

Доказательство. Пусть х Е Rn и х ф О. Тогда

( )

lim f(z) = lim f(y0q, z)) (-I =

z^x z^x \ 1~0 /

= (bmj (y(д., z))) Hm (^J = f (У(Г0, x)) (ffi = /М.

Так как f(x) непрерывна на замкнутом и ограниченном множестве Б(г0), то по теореме Вейерштрасса f(x) ограничена на Б(г0). Тогда

Таким образом, для всех х ЕМп [(г) ^ /(х) при г ^ х, а из этого следует непрерывность f(x) в Мп, что и требовалось доказать.

Замечание 2.1. Пусть ^ с Мп - непустое замкнутое ограниченное множество, функция [(х): @ ^ М непрерывна на Q. Тогда, по теореме Кантора, f(x) равномерно непрерывна на Q.

Теперь докажем лемму о достаточных условиях равномерной ограниченности функциональной последовательности.

Лемма 2.2. Пусть ^ с Мп - непустое замкнутое ограниченное множество. Рассмотрим функциональную последовательность (х): М X ^ ^ М. Тогда из одновременного выполнения двух условий

1) VxЕQ ЗМ >0: УкЕШ (х)| < М,

2) Ухе Q Уе > 0 36 > 0: УkЕШУzЕQ\ Цх — гЦ < 5 \/к (х) — (г)\ < е,

следует равномерная ограниченность (х) на Q, то есть

Доказательство. Докажем лемму от противного. Предположим, ^(х) не является равномерно ограниченной на Q. Тогда найдутся такие последовательности кт• М ^ М и хт• М ^ что

Без потери общности можно считать, что последовательность точек хт сходится к некоторой точке х Е Q (если это не так, можно по теореме Больцано-Вейерштрасса выделить из ограниченной последовательности точек хт сходящуюся подпоследовательность; так как множество Q замкнутое, то предел этой подпоследовательности 2 Е Q^; из последовательности кт тогда можно выделить подпоследовательность с соответствующими номерами). Из первого условия леммы найдем такое число М >0, что

ЗМ > 0: VkЕШVxЕQ \/к (х)\ <М.

УтЕШ \/кт> т.

т

укЕШ |^ <м.

Из второго условия получим

36 >0: УкЕШУгЕ Q: \\х - г\\ < 6 |/к (х) — ^ (г)1 < 1,

тогда, так как хт ^ х при т ^ ю, получим

а т — М ^ ю при т ^ ю. Полученное противоречие доказывает лемму.

Замечание 2.2. Пусть ^ с !п - непустое замкнутое ограниченное множество. Рассмотрим функциональную последовательность (х): М X @ ^ М. Тогда из одновременного выполнения двух условий

1) VxEQ 3М >0: УкЕШ |/к(х)| < М,

2) Ук Е ШУе > 0 36 > 0: Ух,г Е Q: — < 6 |/к(х) —/к(г^ < £, вообще говоря, не следует равномерная ограниченность (х) на Q.

Рассмотрим пример. Пусть п = 1, Q = [0,1], при к Е Ш и х Е Q задана функциональная последовательность

График зависимости ^ (х) от х при к >0 изображен на рисунке 2.1.

к

О

1 1

1

х

к + 3 к + 2 к +1 1

Рисунок 2.1. График зависимости (х) от х

Для нее выполнено условие 2 (все функции последовательности непрерывны и, по теореме Кантора, равномерно непрерывны на [0,1]),

то есть условие 1 выполнено.

Замечание 2.3. Пусть ()с1п - непустое замкнутое ограниченное множество. Рассмотрим функциональную последовательность (х): Мх() ^ М. Тогда из равностепенной непрерывности (х) на ()

Уб >0 36 > 0: V ке МУх,г Е (?: ||лс — ^П < 8 |/к(х) — ^(г)\ < б, вообще говоря, не следует равномерная ограниченность (х) на .

Рассмотрим пример. Пусть п = 1, = [0,1], (х) = к.

Далее докажем следствие из равномерной ограниченности на множестве 5 последовательности обобщенно-однородных функций.

(последовательность ^ (х) не является равномерно ограниченной на ),

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Волошин Михаил Витальевич, 2021 год

Список литературы

1. Зубов, В. И. Проблема устойчивости процессов управления / В. И. Зубов. — Л.: Судостроение, 1980. — 253 с.

2. Халанай, А. Качественная теория импульсных систем / А. Халанай, Д. Векслер; пер. с рум. М. И. Букатаря, Г. В. Ножака; под ред. В. П. Рубаника. — М.: Мир, 1971. — 310 с.

3. Бромберг, П. В. Матричные методы в теории релейного и импульсного регулирования / П. В. Бромберг. — М.: Наука, 1967. — 324 с.

4. Видаль, П. Нелинейные импульсные системы / П. Видаль; пер. с франц. Б. Ю. Мандровского-Соколова; под ред. В. М. Кунцевича. — М.: Энергия, 1974. — 336 с.

5. Kazkurewicz, E. Matrix diagonal stability in systems and computation / E. Kazkurewicz, A. Bhaya. — Boston: Birkhauser, 1999. — 267 p.

6. Aleksandrov A. Yu. Stability analysis and uniform ultimate boundedness control synthesis for a class of nonlinear switched difference systems / A. Yu. Aleksandrov, Y. Chen, A. V. Platonov, L. Zhang // Journal of Difference Equations and Applications. — 2012. — Vol. 18, no. 9. — P. 1545-1561.

7. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. — М.: Наука, 1966. — 724 с.

8. Деккер К. Устойчивость методов Рунге - Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений / К. Деккер, Я. Вервер; пер. с англ. А. Ю. Захарова, И. А. Кульчицкой, С. С. Филлипова; под ред. А. А. Самарского. — М.: Мир, 1988. — 334 с.

9. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Де-мидович. — М.: Наука, 1967. — 472 с.

10. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения / А. М. Ляпунов // Ляпунов А. М. Собр. соч. — М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956. — Т. 2. — С. 7-263.

11. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения / И. Г. Малкин. — М.; Л.: Госте-хиздат, 1952. — 432 с.

12. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н. Н. Красовский. — М.: Физматгиз, 1959. — 212 с.

13. Зубов В. И. Устойчивость движения / В. И. Зубов. — М.: Высшая школа, 1973.

— 272 с.

14. Руш Н. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости / Н. Руш, П. Абетс, М. Лалуа; пер. с англ.; под ред. В. В. Румянцева. — М.: Мир, 1980. — 300 c.

15. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования / В. И. Зубов. — Л.: Судпромгиз, 1959. — 324 с.

16. Yoshizawa T. Stability Theory by Liapunov's Second Method / T. Yoshizawa.

— Tokyo: The Math. Soc. of Japan, 1966. — 223 p.

17. Khalil H. K. Nonlinear systems / H. K. Khalil. — Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall, 2002. — 734 p.

18. Боголюбов Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский. — М.: Физматгиз, 1963. — 412 с.

19. Хапаев М. М. Асимптотические методы и устойчивость в теории нелинейных колебаний / М. М. Хапаев. — М.: Высшая школа, 1988. — 184 с.

20. Александров А. Ю. Об асимптотической устойчивости решений систем нестационарных дифференциальных уравнений с однородными правыми частями / А. Ю. Александров // Доклады РАН. — 1996. — Т. 349, № 3. — С. 295-296.

21. Александров А. Ю. Об устойчивости равновесия нестационарных систем / А. Ю. Александров // Прикладная математика и механика. — 1996. — Т. 60, № 2. — C. 205-209.

22. Александров А. Ю. К вопросу об устойчивости по нелинейному приближению / А. Ю. Александров // Сибирский математический журнал. — 1997. — Т. 38, № 6. — С. 1203-1210.

23. Peuteman J. Averaging results and the study of uniform asymptotic stability of homogeneous differential equations that are not fast time-varying / J. Peuteman, D. Aeyels // SIAM Journal on Control and Optimization. — 1999. — Vol. 37, no 4.

— P. 997-1010.

24. A duality principle for homogeneous vectorfields with applications / L. Moreau, D. Aeyels, J. Peuteman, R. Sepulchre // Systems & Control Letters. — 2002.

— Vol. 47. — P. 37-46.

25. Peuteman J. Averaging techniques without requiring a fast time-varying differential equation / J. Peuteman, D. Aeyels // Automatica. — 2011. — Vol. 47.

— P. 192-200.

26. Тихомиров О. Г. Устойчивость однородных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / О. Г. Тихомиров // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2007. — № 3. — С. 123-130.

27. Александров А. Ю. Устойчивость движений дискретных динамических систем / А. Ю. Александров, А. П. Жабко, А. В. Платонов. — СПб.: Издательский дом Федоровой Г. В., 2015. — 156 с.

28. Александров А. Ю. Об устойчивости решений нелинейных разностных систем / А. Ю. Александров, А. П. Жабко // Известия высших учебных заведений.

— 2005. — № 2. — С. 3-12.

29. Aleksandrov A. Yu. Ultimate boundedness conditions for a hybrid model of population dynamics / A. Yu. Aleksandrov, E. B. Aleksandrova, A. V. Platonov // Proceedings of the 21st Mediterranean Conference on Control and Automation (MED'2013), Platanias-Chania, Crite, Greece. — 2013. — P. 622-627.

30. Perspectives and results on the stability and stabilizability of hybrid systems / R. A. Decarlo, M. S. Branicky, S. Pettersson, B. Lennartson // Proceedings of the IEEE. — 2000. — Vol. 88, no. 7. — P. 1069-1082.

31. Liberzon D. Switching in Systems and Control / D. Liberzon. — Boston: Birkhauser, 2003. — 243 p.

32. Stability criteria for switched and hybrid systems / R. Shorten, F. Wirth, O. Mason, K. Wulf., G. King // SIAM Review. — 2007. — Vol. 49, no. 4. — P. 545-592.

33. Aleksandrov A. Yu. On the asymptotic stability of switched homogeneous systems / A. Yu. Aleksandrov, A. A. Kosov, A. V. Platonov // Systems & Control Letters.

— 2012. — Vol. 61, no. 1. — P. 127-133.

34. Branicky M. S. Multiple Lyapunov functions and other analysis tools for switched and hybrid systems / M. S. Branicky // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1998. — Vol. 43, no. 4. — P. 475-482.

35. Disturbance attenuation properties of time-controlled switched systems / G. Zhai, B. Hu, K. Yasuda, A. N. Michel // Journal of the Franklin Institute. — 2001.

— Vol. 338. — P. 765-779.

36. Michel A. N. Stability results involving time-averaged Lyapunov function derivatives / A. N. Michel, L. Hou // Nonlinear Analysis. Hybrid Systems. — 2009.

— Vol. 3. — P. 51-64.

37. On the Global Asymptotic Stability of a Class of Nonlinear Switched Systems / A. Yu. Aleksandrov, E. B. Aleksandrova, A. V. Platonov, M. V. Voloshin // Nonlinear Dynamics and Systems Theory. — 2017. — Vol. 17, no. 2.

— P. 107-120.

38. Волошин М. В. Об асимптотической устойчивости решений одного класса нестационарных разностных систем / М. В. Волошин // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий (ПМТУКТ-2014). — 2014. — С. 78-81.

39. Волошин М. В. Об асимптотической устойчивости решений одного класса систем нестационарных разностных уравнений / М. В. Волошин // Системы управления и информационные технологии. — 2014. — № 4. — С. 7-10.

40. Волошин М. В. Об асимптотической устойчивости решений нестационарных разностных систем с однородными правыми частями / М. В. Волошин // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2015. — № 2. — С. 150-165.

41. Voloshin M. V. On the uniform dissipativity of nonstationary difference systems with homogeneous right-hand sides / M. V. Voloshin // The XLVI annual international conference on Control Processes and Stability (CPS'15). Abstracts / Edited by N. V. Smirnov. — St. Petersburg: Publishing House Fedorova G.V., 2015. — P. 22.

42. Волошин М. В. О равномерной диссипативности нестационарных разностных систем с однородными правыми частями / М. В. Волошин // Процессы управления и устойчивость. Труды международной научной конференции. — 2015.

— T. 2 (18), № 1. — С. 34-39.

43. Voloshin M. V. On the uniform ultimate boundedness of solutions of a class of non-stationary systems of difference equations / M. V. Voloshin // 2015 International conference "Stability and Control processes in Memory of V.I. Zubov". — 2015.

— P. 34-36.

44. Волошин М. В. О равномерной диссипативности одного класса систем нестационарных разностных уравнений / М. В. Волошин // Устойчивость и процессы управления. Материалы III Международной конференции, посвященной 85-летию со дня рождения профессора, чл.-кор РАН В. И. Зубова, 5-9 октября 2015 года. — 2015. — С. 59-60.

45. Voloshin M. V. On the uniform ultimate boundedness of solutions of nonstationary difference systems with generalized homogeneous right-hand sides / M. V. Voloshin // The XL VII annual international conference on Control Processes and Stability (CPS'16). Abstracts / Edited by N. V. Smirnov. — St. Petersburg: Publishing House Fedorova G.V., 2016. — P. 29.

46. Волошин М. В. О равномерной диссипативности нестационарных разностных систем с обобщенно-однородными правыми частями / М. В. Волошин // Процессы управления и устойчивость. — 2016. — Т. 3 (19), № 1. — С. 80-84.

47. Voloshin, M. On the asymptotic stability of solutions of nonstationary difference systems with generalized homogeneous right-hand sides / M. Voloshin // Proceedings of 2016 International Conference "Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems" (Pyatnitskiy's Conference). — 2016.

48. Волошин М. В. Об асимптотической устойчивости решений нестационарных разностных систем с обобщенно-однородными правыми частями / М. В. Волошин // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Материалы XIII Международной конференции (1-3 июня 2016 г., Москва) / Ред. В.Н. Тхай.

— М.: ИПУ РАН, 2016. — С. 106-109.

49. Voloshin M. V. On the asymptotic stability of a class of nonlinear difference switched systems with saturation / M. V. Voloshin // The XLVIII annual international conference on Control Processes and Stability (CPS'17). Abstracts / Edited by N. V. Smirnov. — St. Petersburg: Publishing House Fedorova G.V., 2017. — P. 23.

50. Волошин М. В. Об асимптотической устойчивости одного класса нелинейных разностных систем с насыщением и переключениями / М. В. Волошин // Процессы управления и устойчивость. — 2017. — Т. 4 (20), № 1. — С. 22-26.

51. Волошин М. В. Об асимптотической устойчивости одного класса нелинейных разностных систем с переключениями / М. В. Волошин // Конструктивный негладкий анализ и смежные вопросы. Тезисы докладов международной конференции, посвященной памяти профессора В. Ф. Демьянова. — 2017.

— С. 140-144.

52. Voloshin M. V. On the Asymptotic Stability of a Class of Nonlinear Difference Switched Systems / M. V. Voloshin // 2017 Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics (dedicated to the memory of V.F. Demyanov) (CNSA). Proceedings.

— 2017. — P. 349-351.

53. Волошин М. В. О стабилизации решений разностных систем с однородными и линейными функциями / М. В. Волошин // Процессы управления и устойчивость. — 2020. — Т. 7 (23), № 1. — С. 39-43.

54. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: в 2 т. / Л. Д. Кудрявцев. — М.: Высшая школа, 1981. — Т. 1. — 687 с.

55. Красовский Н. Н. Об устойчивости по первому приближению / Н. Н. Красов-ский // Прикладная математика и механика. —1955. — Т. 19, вып. 5.

— С. 516-530.

56. Александров А. Ю. Метод сравнения и устойчивость движений нелинейных систем / А. Ю. Александров, А. В. Платонов. — СПб.: Издательство Санкт-Петербургского университета, 2012. — 263 с.

57. Rosier L. Homogeneous Lyapunov function for homogeneous continuous vector field / L. Rosier // Systems & Control Letters. — 1992. — Vol. 9, no. 6.

— p. 467-473.

58. Зубов В. И. Колебания и волны / В. И. Зубов. — Л.: Издательство Ленинградского университета, 1989. — 416 с.

59. Ла Салль Дж. П. Новое понятие устойчивости / Дж. П. Ла Салль, Р. Дж. Раз // Труды 2-го конгресса ИФАК. — 1965. — Т. 1. — C. 69-75.

60. Савченко А. Я. Некоторые задачи устойчивости неавтономных динамических систем / А. Я. Савченко, А. О. Игнатьев— Киев: Наукова думка, 1989.

— 208 с.

61. Bhat S. P. Geometric homogeneity with applications to finite-time stability / S. P. Bhat, D. S. Bernstein // Mathematics of Control Signals and Systems. — 2005.

— Vol. 17, no. 2. — P. 101-127.

62. Zimenko K. On finite-time robust stabilization via nonlinear state feedback / K. Zimenko, A. Polyakov, D. Efimov // International Journal of Robust and Nonlinear Control. — 2018. — Vol. 28. — P. 4951-4965.

63. Rouche N. Ordinary Differential Equations: Stability and Periodic Solutions / N. Rouche, J. Mawhin. —Boston, London, Melbourne: Pitman, 1980.

64. Косов А. А. Об асимптотической устойчивости однородных сингулярных систем с переключениями / А. А. Косов, М. В. Козлов // Автоматика и телемеханика. — 2019. — № 3. — С. 45-54.

65. Александров А. Ю. О сохранении устойчивости при дискретизации систем обыкновенных дифференциальных уравнений / А. Ю. Александров, А. П. Жабко // Сибирский математический журнал. — 2010. — T. 51, № 3. —С. 481-497.

66. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова / Е. А. Барбашин. — М.: Наука, 1970.

— 240 с.

67. Персидский С. К. К вопросу об абсолютной устойчивости / С. К. Персидский // Автоматика и телемеханика. — 1969. — № 12. — С. 5-11.

68. Александров А. Ю. Об устойчивости по нелинейному приближению одного класса неавтономных систем / А. Ю. Александров // Дифференц. уравнения.

— 2000. — Т. 36, № 7. — С. 993-995.

69. Aleksandrov A. Yu. Stability analysis for a class of nonlinear nonstationary systems via averaging / A. Yu. Aleksandrov, E. B. Aleksandrova, A. P. Zhabko // Nonlinear Dynamics and Systems Theory. — 2013. — Vol. 13, no. 4. — P. 332-343.

70. Letov A. M. Stability in Nonlinear Control Systems / A. M. Letov. — Princeton: Princeton University Press, 1961.

71. Aleksandrov A. Asymptotic stability conditions and estimates of solutions for nonlinear multiconnected timedelay systems / A. Aleksandrov, E. Aleksandrova, A. Zhabko // Circuits, Systems, and Signal Proc. — 2016. — Vol. 35.

— P. 3531-3554.

72. Hopfield J. J. Computing with neural circuits: a model / J. J. Hopfield, D. W. Tank // Science. — 1986. — Vol. 233, no. 4764. — P. 625-633.

73. Александров А. Ю. Об абсолютной устойчивости одного класса нелинейных систем с переключениями / А. Ю. Александров, А. В. Платонов // Автоматика и телемеханика. — 2008. — № 7. — С. 1101-1116.

74. Александров А. Ю. Об устойчивости решений одного класса нелинейных разностных систем с переключениями / А. Ю. Александров, А. В. Платонов // Автоматика и телемеханика. — 2016. — Вып. 5. — С. 37-49.

75. Kamenetskiy V. A. An iterative method of Lyapunov function construction for differential inclusions / V. A. Kamenetskiy, Ye. S. Pyatnitskiy // Systems & Control Letters. — 1987. — Vol. 8, no. 5. — P. 445-451.

76. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory / S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron, V. Balakrishnan. — Philadelphia: SIAM, 1994.

77. Александров А. Ю. Об устойчивости решений одного класса нелинейных разностных систем / А. Ю. Александров, А. П. Жабко // Сибирский математический журнал. — 2003. — Т. 44, № 6. — С. 1217-1225.

78. Hu T. Control systems with actuator saturation: Analysis and design / T. Hu, Z. Lin.

— Boston: Birkhäuser, 2001. — 392 p.

79. Kapila V. Actuator Saturation control / V. Kapila, K. M. Grigoriadis. — New York: Marcel Dekker Inc, 2002. — 320 p.

80. Александров А. Ю. О равномерной диссипативности нелинейных нестационарных систем / А. Ю. Александров, А. П. Жабко // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. — 2013. — № 3. — С. 3-11.

SAINT PETERSBURG STATE UNIVERSITY

a manuscript

Voloshin Mikhail

Analysis of the asymptotic behavior of solutions

and the synthesis of stabilizing controls for nonlinear nonstationary difference systems

Specialty 05.13.01 - System analysis, information control and processing (physical and mathematical sciences)

Dissertation is submitted for Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree

Translation from Russian

Supervisor:

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor

A. Yu. Aleksandrov

Saint Petersburg - 2020

112 Contents

Introduction...................................................................................................................113

Chapter 1. Main Terms and Definitions........................................................................119

Chapter 2. Conditions for the Stability and the Ultimate Boundedness of Generalized Homogeneous Systems.................................................................................................124

2.1. Sequences of Generalized Homogeneous Functions......................................124

2.2. Problem Statement and Basic Assumptions...................................................135

2.3. Lyapunov Function and Its Increment by virtue of the System......................138

2.4. Auxiliary Results.............................................................................................141

2.5. Estimation of the Lyapunov Function Increment by virtue of the System.....145

2.6. Example...........................................................................................................151

Chapter 3. Construction of Controls for Nonlinear Nonstationary Difference

Systems..........................................................................................................................156

3.1. Chain of Series-Connected Integrators...........................................................156

3.2. Rayleigh's Equation........................................................................................160

3.3. Systems with Homogeneous and Linear Functions........................................162

Chapter 4. Conditions for the Stability and the Ultimate Boundedness of Systems with Power Functions............................................................................................................174

4.1. Problem Statement and Basic Assumptions...................................................174

4.2. Lyapunov Function and Its Increment by virtue of the System......................175

4.3. Estimation of the Lyapunov Function Increment by virtue of the System.....178

4.4. Example...........................................................................................................182

Chapter 5. General Stability Conditions for Switched Systems...................................184

5.1. Problem Statement and Basic Assumptions...................................................184

5.2. Systems with Linear Estimations....................................................................187

5.3. Systems with Exponential Estimations...........................................................193

5.4. Saturation Systems..........................................................................................201

Conclusion ..................................................................................................................... 207

Bibliography .................................................................................................................. 208

113

Introduction

Relevance of the research topic. Solving scientific and engineering problems of system analysis, control and information processing is of great importance for modern economics. Developing new methods and tools, as well as improving the existing ones for analysis, information processing and control of complex systems can significantly improve the effectiveness, reliability and quality of engineering systems.

Difference equations are widely used to describe systems, the states of which vary at discrete instants of time [1-6]. In addition, in many cases, when analyzing continuous mathematical models, their approximate replacement by discrete models is allowed [1-4]. For instance, many numerical methods used for solving ordinary differential equations (ODE) represent methods for reducing differential equations to difference ones [1, 7, 8].

In applications of differential and difference equations, a frequent problem is studying the stability of their solutions. For a reliable and efficient functioning of many systems, the required solutions should be stable due to inevitable external disturbances and inaccuracies of the models. Therefore, in the design of control systems, ensuring this property is often one of the goals of control synthesis for influencing the system. At the same time, in case of stable solutions, an important practical task is assessing their attraction domain. Of particular interest is the situation where stability is global; i.e. where the solution attraction domain is the entire space of phase variables.

Another problem with a wide practical application is studying and ensuring bounded motions of the systems under consideration. In many real systems, due to energy dissipation, any movement, after a sufficiently long period of time, falls into a certain bounded domain, which it does not leave later. Such systems are called ultimate bounded [9]. Of particular interest is the uniformity of ultimate boundedness with respect to the initial data of solutions.

Many concepts and methods related to the solution stability and the uniform ultimate boundedness of difference equations have their counterparts in the ODE theory and use its deliverables.

In [10], the author suggested two methods for analyzing the ODE system stability and strictly justified reducing the solution stability analysis for a nonlinear system to studying the stability of the linear approximation system. The issues of linear ODE system stability are well studied, but in critical (according to Lyapunov) cases, linear approximation research is not sufficient. In [11-13], stability theorems were proved in the first nonlinear approximation which was considered to be systems with homogeneous right-hand sides.

The most versatile method for qualitative analysis of nonlinear ODE systems is the second (direct) Lyapunov method [14]. It applies to problems of analyzing various dynamic properties of solutions to ODE [9, 14-16]; several theorems on various types of motion boundedness have been proved.

The main problem related to applying this method, especially to nonstationary systems, is the lack of general constructive methods for constructing Lyapunov functions. One of the effective approaches to studying the conditions of stability and boundedness of solutions to such systems is using the averaging method [9, 14, 17-19], according to which conclusions about the properties of solutions to a system are based on the analysis of the properties of solutions to the corresponding averaged system. At the same time, it should be noted that, generally, when obtaining results of this kind, it is assumed that the system under consideration contains a small parameter.

In [20, 21], the author studied systems of nonstationary ODE, the right-hand sides of which are homogeneous functions with respect to phase variables. It has been shown that, if the homogeneity degree of the right-hand sides is greater than one, the asymptotic stability of the zero solution to the averaged system suggests the asymptotic stability of the zero solution to the initial nonstationary system, and if it is less than one, the ultimate boundedness of the averaged system guarantees that the initial system is also ultimate bounded. These results were further developed in [22-26]. The fundamental feature of these results is that the existence of a small parameter in the system is not required to justify such results.

As well as for ODE, a theorem on stability in the linear approximation has been proved for systems of difference equations [2, pp. 38-40]. For nonlinear difference systems, the most general qualitative analysis method is a discrete analogue of the second Lyapunov method [2, pp. 27-30].

In addition, the methods of studying the ODE ultimate boundedness have been extended to systems of difference equations; a discrete analogue of Yoshizawa's theorem has been proved on the uniform ultimate boundedness of nonlinear systems [27, pp. 44-45]. However, uniform ultimate boundedness conditions have been studied only for some special classes of discrete systems.

In [28], the author has considered the issues of the asymptotic stability of solutions to certain classes of difference systems, to which the linear approximation stability theorem is inapplicable. In particular, it has been shown that the asymptotic stability of the zero solution to an ODE system with homogeneous right-hand sides with a degree of homogeneity greater than one suggests the asymptotic stability of the zero solution to the corresponding difference system. Further, when studying a homogeneous difference system with nonstationary disturbances having a zero average value, conditions have been found under which the asymptotic stability of its zero solution follows from the asymptotic stability of the zero solution to the averaged system.

In this dissertation, using a discrete analogue of the second Lyapunov method, we derive sufficient conditions for the uniform asymptotic stability of solutions and the uniform ultimate boundedness of nonstationary systems of difference equations with generalized homogeneous right-hand sides and right-hand sides in the form of linear combinations of powers of phase variables. As compared with the results from [28], we consider other types of nonstationary disturbances and ensure the uniformity of asymptotic stability. For the proof, we use the Lyapunov function, which is constructed on the basis of the corresponding function for the averaged ODE system using the approach proposed in [20, 26]. Using the results obtained, we derive conditions for the existence of stabilizing controls and controls that ensure the uniform ultimate boundedness in systems containing generalized homogeneous functions in the right-hand sides.

The dissertation also studies the problem of global stability of solutions to nonlinear switched systems. It is assumed that nonlinearities satisfy the sector-type constraints. A switched system is a hybrid system consisting of a family of subsystems and a switching law defining which of the subsystems is active at each moment of time. Systems of this type are created when simulating many real processes [29-32].

It is known that the stability of each subsystem used does not generally mean the stability of a hybrid system. To prove the stability of a switched system, it suffices to construct a common Lyapunov function for all subsystems of the system under consideration. However, the problem of existence of such a function is not completely solved even for a family of linear autonomous subsystems.

In those cases where no common Lyapunov function can be constructed, the asymptotic stability can be ensured by imposing special additional restrictions on the switching law (dwell-time approach [30, 33-37]). For some types of hybrid systems, it has been proven that the asymptotic stability will be preserved, if the time intervals between successive switches are large enough. However, this approach is well developed only for a family of exponentially stable subsystems. In this dissertation, this approach is applied to one class of essentially nonlinear subsystems, while ensuring the global nature of the asymptotic stability.

The goal of the dissertation is to find sufficient conditions for the uniform asymptotic stability of solutions, the uniform ultimate boundedness, and the asymptotic stability of solutions in the whole, as well as to obtain conditions for the existence of stabilizing controls and controls that ensure the uniform ultimate boundedness for nonstationary difference systems based on these results.

Main Results Submitted for Defense.

1. Conditions for the uniform asymptotic stability of solutions to nonstationary systems of difference equations with generalized homogeneous right-hand sides.

2. Conditions for the uniform ultimate boundedness of nonstationary systems of difference equations with generalized homogeneous right-hand sides.

3. Conditions for the existence of controls that ensure the uniform ultimate boundedness of a system of difference equations describing a chain of series-connected

integrators. Conditions for the existence of stabilizing controls for the difference approximation of a vector Rayleigh equation with homogeneous functions in the right-hand side.

4. Conditions for the existence of stabilizing controls for difference systems with homogeneous polynomials and linear functions in the right-hand sides.

5. Conditions for the uniform asymptotic stability of solutions to nonstationary systems of difference equations with right-hand sides in the form of linear combinations of powers of phase variables.

6. Conditions for the uniform ultimate boundedness of nonstationary systems of difference equations with right-hand sides in the form of linear combinations of powers of phase variables.

7. Conditions of the asymptotic stability in the whole for solutions to systems of difference equations with switches.

Scientific Novelty. The results submitted for defense are new and have been obtained personally by the author.

Theoretical and Practical Significance of the Dissertation. Theoretical and applied studies of system connections and functioning and development patterns of processes taking into account industry specifics improve their control efficiency. The results obtained in this dissertation are mostly theoretical. They make some contribution to the development of the qualitative theory of difference systems and can be extended to other classes of systems. The proved theorems can be used to analyze the asymptotic stability and the uniform ultimate boundedness of discrete models used in applied problems and in the design of controlled systems.

Approbation of the Dissertation. The author has published 17 papers on the topic of the dissertation [37-53], 6 of which, in scientific journals recommended by the Higher Attestation Commission (VAK) to publish main scientific results [37, 39, 40, 43, 47, 52].

The results of the dissertation have been presented and discussed at the following conferences: VII international conference "Modern Methods of Applied Mathematics, Control Theory, and Computer Technology", PMTUKT-2014 (Voronezh, 2014); XLVI, XLVII, XLVIII, and LI international scientific conferences of graduate students and students "Control Processes and Stability" (Saint Petersburg, 2015, 2016, 2017, and 2020);

III international conference "Stability and Control Processes" dedicated to the 85th anniversary of V. I. Zubov, SCP 2015 (Saint Petersburg, 2015); XIII international conference "Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems", Pyatnitsky Conference (Moscow, 2016); international conference "Constructive Non-Smooth Analysis and Related Issues», dedicated to the memory of Professor V. F. Demyanov (Saint Petersburg, 2017).

Structure and Main Content of the Dissertation. The dissertation consists of an introduction, five chapters, a conclusion, and a bibliography including 80 items. The total size of the dissertation is 105 pages.

Chapter 1. Main Terms and Definitions

This chapter gives the basic notations, definitions, concepts and results, which will be used further throughout the work.

Let Z be the set of integers, let N be the set of natural numbers, let M = MU {0} be the set of time moments, let n e N be the dimension of the state vector of the system under consideration, I = {1,..., n}.

Let us choose for future use the standard Euclidean norm in real vectors space and subordinate matrix norm on matrices. We shall denote O and E the zero and the identity matrices of suitable dimensions, respectively.

The following notations for the squared norms of vectors xe!n is used in this

work:

Definition 1.1. The brackets [xj denote the integer part of the number x e R, i.e., denote the smallest integer m, for which m < x.

Definition 1.2. The brackets [xl for x e R denote the smallest integer m, for which x < m.

If the upper limit of the summation sign is less than the lower one, we will consider such sums equal to zero.

To obtain estimates of powers, the following statement will be used in the work.

Lemma 1.1. For any number m >0 for all non-negative x±, ..., xk, k e N, the following estimates are performed:

where the function G(k, y)\ M x Rn ^ Rn is continuous on yet" for all fcei.

Let there be some solution y(k) of system (1), given for fcei, which we will call programmed (unperturbed) motion. Usually, the study of the stability of the programmed

(xt+...+xk )m < (k max{xx,..., xk })m < km (xf+...+xf ), xf+... +x™ < k (max{xx,..., xfc})m < k(x±+... +xfc)m. We will investigate the time-varying difference system of the form

y(k + 1) = G(k, y(k)),

(1)

motion is reduced to the analysis of the stability of the zero solution to the system in deviations

x(k + 1) = F(k, x(k)), (2)

where F(k, x) = G{k, x + y(k)) — G{k, y(k)), obtained from system (1) by replacement

x(k) = y(k) — y(k).

Then the function F(k, x) is also given for all fceM and xeRn, continuous on x e Rn for all keM and F(k, O) = O for any keM.

For k0 e M and x0 e Rn we denote by X(k, k0, x0) the unique solution to system (2) that satisfies the initial condition X(k0, k0, x0) = x0 and given for fceM, k>k0.

Definition 1.3. A zero solution to system (2) is called stable (according to Lya-punov), if for any fc0ei and s >0 one can specify S >0, such that, for all x0 e Rn, ||*o N < 8, the inequality \\X(k, k0, x0)\\ < s is fulfilled.

Definition 1.4. If in Definition 1.3 the number S can be chosen independent of k0, then the zero solution to system (2) is said to be uniformly (with respect to k0 e M) stable (according to Lyapunov).

Definition 1.5. A zero solution to system (2) is called asymptotically stable (according to Lyapunov), if it is stable and for any fc0ei there is S >0, such that for all x0 e Rn, \\x0N < S, condition \\X(k, k0,x0)\\ ^ 0 as k ^ < is fulfilled.

Definition 1.6. A zero solution to system (2) is called uniformly (with respect to k0 and x0) asymptotically stable (according to Lyapunov), if it is uniformly stable and there exists a number S >0, such that \\X(k, k0, x0)\\ ^ 0 as k — k0 ^ <x> uniformly with respect to k0eM and x0 e Rn, \\x0\\ < S.

Definition 1.7. If the zero solution to system (2) is asymptotically stable, then its domain of attraction for a given fc0ei is the set of all such x0 e Rn, for which \\X(k, k0, x0)\\ ^ 0 as k ^ <.

Definition 1.8. An asymptotically stable zero solution to system (2) is called asymptotically stable in the whole, if for all fc0ei its domain of attraction is the entire space Rn.

Definition 1.9. System (2) is called uniform ultimately bounded, if there exists a number D >0, such that for any R >0 one can specify a number N e M, for which, for all k0eM, k>k0 + N and x0 e Rn, \\x0\\ < R, the inequality \\X(k, k0, x0)\\ < D is fulfilled.

Lyapunov's second (direct) method is the most universal method of qualitative analysis for nonlinear difference systems, as it is for ODE systems. This method is based on the use of auxiliary functions, called Lyapunov functions. One can draw conclusions about the behavior of the solutions from the behavior of these functions on the solutions to the systems under study. We shall give the main definitions of this method for difference systems.

Let 0 < H < <, the real function V(x) be given and continuous for x e Rn,

M < H.

Definition 1.10. A function V(x) is called positive (negative) definite, if V(O) = 0 and V(x) > 0 (V(x) < 0) for x^O.

Definition 1.11. A function V(x) is called positive (negative) semidefinite, if V(O) = 0 and V(x) > 0 (V(x) < 0) for x^O

Definition 1.12. Further, for the matrix P e Rnxn the expressions P >0 (P < 0) and P > 0 (P < 0) means that it is symmetric and positively (negatively) definite and positively (negatively) semidefinite, that is, that for the quadratic form xTPx the corresponding definitions are fulfilled for H = <. The use of inequality symbols with matrices on both sides denotes the application of the corresponding definitions after transferring the matrices to one side and writing the number 0 on the other side.

Let the real function V(k, x) be given for k eM and xeRn, \\xW < H.

Definition 1.13. A function V(k, x) is called positive definite if

1) v(k, 0) = 0 for all k eM;

2) V(k, x) is continuous on x e Rn at the point x = O for all fcei;

3) there exists a positive definite function V1 (x), such that V(k, x) > V1 (x) for all keM and x e Rn, \\x\\ < H.

Definition 1.14. A function V(k, x) is called negative definite, if the function —V(k, x) is positive definite.

Definition 1.15. A function V(k, x) admits an infinitely small upper limit, if V(k, O) = 0 for all fcei and it is continuous on x e Rn at the point x = O uniformly with respect to k eM [27, p. 17].

We shall present the theorems proved using Lyapunov's second method, which will be used further in the work.

Theorem 1.1 [27, p. 24-25]. If the function V(k, x) admits an infinitely small upper limit, is positive definite, and its increment by virtue of system (2)

W(k, x) = V(k + 1, x + F(k, *)) — V(k, x) is negative definite, then the zero solution to system (2) is uniformly asymptotically stable.

Suppose now that the function F(k, x) is bounded in any bounded range of x, that is, for each R >0 there is M >0, such that for fceM, x e Rn, \\xW < R, the inequality \\F(k, x)\\ < M holds. Then the following discrete analogue of Yoshizawa's theorem on uniform ultimate boundedness of nonlinear systems takes place.

Theorem 1.2 [27, p. 44-45]. Let 0 < H < <, real functions V1 (x), V2(x) and W2 (x) be given and continuous on x e Rn, \\x\\ > H, V1(x) ^ < as \\x\\ ^ <, the real function V(k, x) be given for fcei, x e Rn, and for \\ x\\ > H satisfy the conditions

0 < V1 (x) < V(k, x) < V2 (x), V(k + 1, x + F(k, x)) — V(k, x) < W2(x) < 0. Then system (2) is uniform ultimate bounded.

Now consider a controlled nonstationary difference system of the form

y(k + 1) = G(k, y(k), v(k)), (3)

where q eN is the number of control variables v, the function G(k, y, v)\ M x Rn x Rq ^ Rn is continuous on y e Rn for all keM and v e Rq.

Let a programmed control v(k) be found such that the required programmed motion y(k) is a solution to system (3), the functions v(k) and y(k) be2. given for keM. Let us construct for system (3) a system in deviations

x(k + 1) = F{k, x(k), u(k)), (4)

where F(k, x, u) = G(k, x + y(k), u + v(k)) — G(k, y(k), v(k)), obtained from system (3) by replacements

x(k) = y(k) - y(k), u(fc) = - v(fc). Then the function F(fc, u) is also given for all fceM, x E Mn and u E , continuous on xERn for all kEM and u E Rq, and also F(k, O, (0, ... ,0)) = O for any fcEM.

Definition 1.16. The problem of stabilizing the zero programmed motion of system (4) consists in constructing a stabilizing control u(k), such that the closed-loop system

x(k + 1) = F{k, x(k), u(k)) (5)

has an asymptotically stable zero solution.

Definition 1.17. We say that the control u(k) ensures the uniform ultimate bound-edness of system (4), if system (5) closed by this control is uniform ultimate bounded.

Chapter 2. Conditions for the Stability and the Ultimate Boundedness of Generalized Homogeneous Systems

In this chapter, sufficient conditions are derived for the uniform asymptotic stability of solutions and the uniform ultimate boundedness of nonstationary systems of difference equations with generalized homogeneous right-hand sides. Initially, these results were obtained by the author of the dissertation for homogeneous systems and published in [4042], then the results were generalized and published in [45-48].

2.1. Sequences of Generalized Homogeneous Functions

In this section, we will obtain auxiliary results on some properties of generalized homogeneous functions and their sequences. These results and methods for obtaining them will be used later when working with generalized homogeneous nonstationary difference systems, to formulate assumptions and prove the main results.

Definition 2.1. A function f(x)\ ln ^ l is called a generalized homogeneous of class (m1,..., mn ) of degree a, where m1, ..., mn, a are positive rational numbers with odd denominators, if for all x e ln and eel the following equality holds:

f(cmi%1,..., cm^xn ) = caf(x).

Definition 2.2. A function f(x) \ ln ^ l is called a positively generalized homogeneous of class (m1,..., mn ) of degree a, where m1, ..., mn, a are positive real numbers, if the same equality holds for all x e ln and c >0.

A generalized homogeneous function of class (m1,..., mn) of degree a is also a generalized homogeneous function of class (Àm1,...,Xmn) of degree Xa for any admissible X >0 (such that Xm1,..., Xmn and Xa are rational numbers with odd denominators). A similar property holds for positively generalized homogeneous functions for any positive real X.

Definition 2.3. A generalized homogeneous function of class (1,..., 1) of degree a is called homogeneous of degree a.

Definition 2.4. A positively generalized homogeneous function of class (1,..., 1) of a is called a positively homogeneous function of degree a.

Consider positive rational numbers with odd denominators m1, ..., mn, a. We introduce the continuous on Rn positively generalized homogeneous function of class (m1,..., mn) of degree 1

1 i

r(x) = \x1 \mi + ••• +\xn\mn: Rn — R.

Consider in the space Rn for r0 >0 the non-empty, closed and bounded set

S(ro) = ix \ x E Rn, r(x) = ro} and a continuous function

y(rc, x) = (x- ^f.....: Rn \ {0} - S(ro).

Then for any generalized homogeneous function f(x): Rn — R of class (m1,...,mn) of degree a for x E Rn, x ^ O, the following equality is valid:

f(x) = f{y(To, X))(^J .

We also consider for o > 0 the set

C(r0) = {x\ x E Rn, r(x) < r0} and for 0 < r1<r2 we introduce the notation for the set

R(r1t r2) = {x \ x E Rn, t-y < r(x) < r2}. Next, we prove the lemma on the continuity of generalized homogeneous functions. Lemma 2.1. Let r0 > 0, the function f (x): Rn — R be a generalized homogeneous of class (m1,..., mn) of degree a. Then the continuity of f (x) on S (r0) implies the continuity of f(x) on Rn.

Proof. Let x E Rn and x^ 0. Then

\imf(z) = lim f(y(ro,z)) (—

z—x z—x \ To

= {\umj{y(ro .¿))) = fiy (ro .x))(Q) = f(x).

Since f(x) is continuous on the closed and bounded set S(r0), then by the Weierstrass theorem f(x) is bounded on S (r0). Then

f (z)=1—5f ^ (ro •z)) fir) =0=f (0).

Thus, for all x e Rn f(z) ^ f(x) as z ^ x, and this implies the continuity of f(x) in Rn, which is what was required to prove.

Remark 2.1. Let QcR" be a non-empty closed bounded set, the function f(x)\ Q ^ R be continuous on Q. Then, by Cantor's theorem, f(x) is uniformly continuous on Q.

We now prove the lemma on sufficient conditions for the uniform boundedness of a functional sequence.

Lemma 2.2. Let Q c Rn be a non-empty closed bounded set. Consider the functional sequence fk (x): M x Q ^ R. Then from the simultaneous fulfillment of the two conditions

1) VxeQ 3M >0: VkeM \fk(x)| < M,

2) VxeQ Vs >0 38 >0: Vk eMVz e Q: \\x — z\\ < S \fk (x) — fk (z)\ < e, it follows that fk (x) is uniformly bounded on Q, i.e.,

3M > 0: VkeMVxeQ \fk (x)\ <M. Proof. Let us prove the lemma by contradiction. Suppose fk (x) is not uniformly bounded on Q. Then there are sequences km: M ^ M and xm: M ^ Q, such that

VmeM \fkm(xm)| > m. Without loss of generality, we can assume that the sequence of points xm converges to some point x e Q (if this is not the case, by the Bolzano-Weierstrass theorem, one can select a convergent subsequence from a bounded sequence of points xm; since the set Q is closed, then the limit of this subsequence x e Q; then a subsequence with corresponding numbers can be selected from the sequence km). From the first condition of the lemma, we find a number M >0, such that

vkern \fk(*)\ <m.

From the second condition we get

38 >0: VkeMVze Q: \\x — z\\ < 8 \fk(x) — fk(z)\ < 1, then, since xm^x as m ^ <x>, we get

3NeM: VmeM: m>N \fkm (2) — fkm (xm )\ < 1.

But

Vm EM \fkm (2) - fkm (xm )\ > \fkm (xm )\ - \fkm (*)\ > m-M, and m - M ^ <x> as m ^ <x>. The resulting contradiction proves the lemma.

Remark 2.2. Let Q ^ be a non-empty closed bounded set. Consider the functional sequence fk (x): M X Q ^ W. Then, from the simultaneous fulfillment of the two conditions

1) VxEQ 3M >0: VkEM \fk(x)| < M,

2) Vk E MVs >0 3S > 0: V*,z E Q: ||x-z|| < S \fk(x) - fk(z)\ < e, generally speaking, fk (x) is not uniformly bounded on Q.

Let us look at an example. Let n = 1, Q = [0,1], the functional sequence

/1 1 \ x€(k+3, k+l) ;

k(k + 2)((k + 3)x- 1), xe(j+3,

fk (X) =

k(k + 2)(1 - + 1)x), xE(^-+-^

be given for fcEi and x E Q. The graph of fk (x) versus x for k >0 is shown in Figure 2.1.

k + 3 k + 2 k + 1 Figure 2.1. Graph of fk (x) versus x

Condition 2 holds for it (all functions of the sequence are continuous and, by Cantor's theorem, uniformly continuous on [0,1]),

..........\ K + 'IJ

(the sequence fk (x) is not uniformly bounded on Q ),

vkem fk (0) = 0,

1

vx e (0,1] v kern. | fk (x)| <--1,

i.e., condition 1 is satisfied.

Remark 2.3. Let QcR" be a non-empty closed bounded set. Consider the functional sequence fk (a:): M X Q — R. Then from the uniform equicontinuity of fk (x) on Q

Vs > 0 3S > 0: V kE MVx,z E Q: \\x - z\\ < S \ fk (x) - fk (z)\ < £, generally speaking, doesn't mean fk(x) is uniformly bounded on Q.

Let us look at an example. Let n = 1, Q = [0,1], fk(x) = k.

Next, we prove the corollary of the uniform boundedness on the set S of a sequence of generalized homogeneous functions.

Lemma 2.3. Consider a functional sequence fk (a:): M X Rn — R, and let for any k E M function fk (a:): Rn — R be a generalized homogeneous of class (m1,..., mn) of degree a, rY > 0, there exist a number M > 0 such that

(the sequence fk (x) is uniformly bounded on 5(rY)), r2 > 0. Then the sequence fk (x) is uniformly bounded on C(r2), and

The lemma is proved.

Let us prove the following sufficient condition for uniform equicontinuity of a functional sequence.

Lemma 2.4. Let Ç c!" be a non-empty closed bounded set. Consider the func-

tional sequence fk (a:): ixq ^ !. Then, if the condition

VxeQ V £ > 0 3S > 0: Vk eMVz e Q: \\x - z\\ < S | fk (x) - fk (z)l < £

v k em vxe s(rt) | fk (*)| < M

Proof. Let ke M , x e C(r2), x* O. Then

is satisfied, then fk(x) is uniformly equicontinuous on Q, i.e.,

Vs >0 3S > 0: Vke M Vx,z e Q: \\x — z\\ < S \fk(x) — fk(z)\ < £. Proof. Let us prove the lemma by contradiction. Suppose fk (x) is not uniformly equicontinuous on Q. Then there are £ >0 and sequences km: M ^ M, xm: M ^ Q and zm: M ^ Q such that \\xm — zm\\ ^ 0 as m^ <x>, and for m eM the inequality \fkm (xm) — fkm (zm)| > £ is fulfilled.

Without loss of generality, we can assume that the sequence xm converges to some point x e Q. Then zm ^ x as m ^ o>, since

\\zm x\\ xm + xm zm\\ < \\x xm\\ + \\xm zm\\

holds for m e M. From the conditions of the lemma we obtain

35 >0: VkeMVzeQ: \\X — z\\ < 8 \fk(X) — fk(z)\ < 2 Then there are Nt, N2 e M such that

VmeM: m> Nt \fkm(X) — fkm(xm)\ < 2,

VmeM: m>N2 \fkm(X) — fkm(zm)\ < 2. But then for m e M, m> max [N±, N2},

\fkm (xm) — fkm (zm )\ = \ fkm (xm) — fkm (a0 + fkm (a0 — fkm (zm )\ <

< \fkm (xm) — fkm (X)\ + \fkm (x) — fkm (Zm )\ < £. The resulting contradiction proves the lemma.

Remark 2.4. Let Q ^ Rn be a non-empty closed bounded set. Consider the functional sequence fk (*): M X Q ^ R. Then, from the simultaneous fulfillment of the two conditions

3M > 0: VkeMVxeQ \fk (x)\ <M, VkeMV£ >0 3S >0: Vx, z e Q: \\x — z\\ < S \fk (x) — fk (z)\ < £, generally speaking, it does not follow that fk (x) is uniformly equicontinuous on Q.

Let us look at an example. Let n = 1, Q = [0,1], fk(x) = sin kx : M X Q ^ R. Let us prove the following lemma on the uniform equicontinuity of a sequence of generalized homogeneous functions.

Lemma 2.5. Consider a functional sequence fk (x): M X Mn ^ M, and let for any fcEM the function fk (x): Mn ^ M be a generalized homogeneous of class (m1,..., mn) of degree a, r1 > 0, fk(x) be uniformly equicontinuous on S(r1), i.e.,

V£ > 0 3S > 0: VkE MVx, z E S(r1): ||x-z|| < S \f~k (x) -fk (z)\ < £. Then the sequence fk(x) is uniformly equicontinuous on S(r2) for all r2 > 0, i.e., Vs >0 3S > 0: VkE MVx, z E S(r2): Hx - zH < S \fk (x) - fk (z)\ < £. Proof. Let s >0. We apply the condition of uniform equicontinuity of fk(x) on (r \a

S(r1) to the number £ = (^J £, we obtain a number S >0, such that

VkE MVx, ZE S(r1): Hx -zH<8 \fk (X) - f~k (z)\ < £. The number which is suitable as required number in the statement of the lemma can be

S

S =

max №T.....№m"}

Indeed, let fcEM, x, z E S(r2), Hx - zH < S. Consider £ = k, X = y(r1, x), z = y(Tl, z), and obtain

\x-zu =

((x -z ) i7!)1 (x -z ) (lip) ((Xi Zi)(r2) ,.,(Xn Zn)(r2V V

\fk(X) - fk(z)\ = \fk(X) - fk(z)\ < £,

< S,

whence \fk (x) - fk (z) \ < £, and the lemma is proved.

The following lemma allows us to guarantee a stronger property for a uniformly equicontinuous sequence of generalized homogeneous functions, which will be required in what follows.

Lemma 2.6. Consider the functional sequence fk (x): M X Mn ^ M, and let for any fcEi the function fk (x): Mn ^ M be a generalized homogeneous of class (m1,..., mn) of degree a, r0 > 0, there exist a number M >0 such that

VkE MVx E S(r0) \/fc (x)\ < M (the sequence fk (x) is uniformly bounded on S(r0)) and

V£ > 0 3S > 0: VkE MVx, ZE S(r0): Hx - < S \f~k (X) -fk (z)\ < £ (the sequence fk (x) is uniformly equicontinuous on S(r0)). Then

Vs >0 3S >0: VkEMVxE S(r0) Vz E Mn: Hx - zH < S \fk (x) - fk (z)\ < s. Proof. Let £ >0. Using the condition of uniform equicontinuity of fk(x) on S(r0) we find a number S >0, such that

VkEMVx,ZE S(r0): Hx -zH<8 \fk(X) - fk(z)\ < 2.

/r(x)\a

Since the functions y(r0, x) and (—J are continuous for ^Eln\ (0), and for

V ro '

A

some 8 >0 the closed 8-neighborhood of the set S(r0) does not contain O, then, by Cantor's theorem, these functions are uniformly continuous on this neighborhood, and hence there is a number S E (0,5] such that

Vx E S(r0) VzEMn\ (0): Hx - zH < S

\x-y(ro,z)\\ < S,

1 -

f r w a

ro

<

2M

This number S is suitable as required in the condition of the lemma. Indeed, consider k eM, x e S(r0) and zEl" such that \\x — z\\ < S. Then z ^ O by the method of choosing the number S. Consider k = k, x = x, z = y(r0, z) E S(r0) and, since \\x — z\\ < S, we get

Then

\fk (x) —fk (z)| < -.

\fk(x) — fk(z)\ < \/k(x) — fk(z)\ + \/k(z) — fk(z)\ =

V(z)

= \fk (x) — fk (2)\ + \/fc (z )\

a

1—

ro

< £,

and the lemma is proved.

Let us prove the corollary of the obtained property.

Lemma 2.7. Consider a functional sequence fk (x): M X Mn ^ M, and let for any k E M the function fk (x): Mn ^ M be a generalized homogeneous of class (m1,..., mn) of degree a, r0 >0, 0 < r1 < r2, Vs > 0 38 >0: VkEMVxE S(r0) Vz E Mn: Hx -zH<8 \/k (x) - fk (z)\ < i.

Then

Vs > 0 38 >0: VkEMVxE R(r1, r2) Vz E Mn: Hx - zH < S \fk(x) - fk(z)\ < £.

Proof. Let £ > 0. We apply the condition of the lemma to the number

/y \ & e=$£'

we obtain a number S >0 such that

Vic EM Vxe S(r0) Vz e Mn: \\x — z\\ < S \fk (x) — f~k (z)\ < i. The number which is suitable as required number in the statement of the lemma can be

6

$ =-m-.

max {Of.....(*T}

Indeed, let us define fceM, x e R(r1,r2) and ze!n such that \\x — z\\ < 8. Consider k = k, x = y(r0,x), z = (z1(^)) 1 ,...,zn(^ n) and obtain

\\x—n=K(xi—zi) kS)r.....—) GfeHII < *

(if \fk00 — fk(z)\ < \fk00 — fk(z)\ = \f~k(x) — f~k(f)\ < £~ = (7J£'

whence \fk (x) — fk (z) \ < £, and the lemma is proved.

Now, under the conditions of Lemma 2.6, we prove one more consequence of the uniform boundedness and uniform equicontinuity of the sequence of generalized homogeneous functions.

Lemma 2.8. Consider a functional sequence fk (x): M X Mn ^ M, and let for any fceM the function fk (x): Mn ^ M be a generalized homogeneous of class ,..., mn) of degree a, rt > 0, there exist a number M >0 such that

Vk EM VxE S(r±) \fk (x)\ < M (the sequence fk (x) is uniformly bounded on S(r1)),

V £ >0 38 >0: VkEMVx, z e S(r±): \\x — z\\ < S \fk (x) — fk (z)\ < £ (the sequence fk(x) is uniformly equicontinuous on S(rt)), r2 > 0. Then V£ >0 38 >0: VkeM Vx e C(r2) Vz e Mn: \\x — z\\<8 \fk(x) — fk(z)\ < e.

1

Proof. Let £ >0, m = — (— j. Since the function r(x) is continuous for x e Mn,

--' 2 \2MJ k j '

then, by Cantor's theorem, this function is uniformly continuous on any closed neighborhood of the set C(r2), and therefore there is a number 8 >0 such that

Vx E C(r2) Vz E Mn: Wx -z\\<8 \r(x) - r(z)\ < m.

If m < r2, then we apply Lemma 2.6 and then Lemma 2.7 to the functional sequence fk (x) and find a number 8 >0 such that

VkEMVxE R(m,r2) Vz E Mn: \\x - z\\ < 8 \fk(x) - fk(z)\ < £; if m>r2, then let S = S. The number which is suitable as required number in the statement of the lemma can be S = min{5,5). Indeed, consider such fcEM, x E C(r2) and zEMn such that \\x - z\\ < 8. If r(x) < m, then

r(z) < \r(x) - r(z)\ + r(x) < 2m, \fk(x) -fk(z)\ < \fk(x)\ + \fk(z)\ =

= \fk(y(r1, X))\ + \fk(y(r1, z))\< 2M(^)a = £.

For r(x) > m (this is possible only for m < r2) we obtain \fk (x) - fk (y)\ < s from the result of applying Lemma 2.7. The lemma is proved.

Let us prove that the uniform equicontinuity on the set C of a sequence of generalized homogeneous functions implies its uniform boundedness on this set.

Lemma 2.9. Consider a functional sequence fk (x): M X Mn ^ M, and let for any k E M the function fk (x): Mn ^ M be a generalized homogeneous of class (m1,..., mn) of degree a, r1 > 0,

Vs > 0 38 > 0: VkEMVx, z E C(r1): \\x - z\\ < S \fk(x) - fk(z)\ < £ (the sequence fk (x) is uniformly equicontinuous on C(r1)), r2 > 0. Then the sequence fk (x) is uniformly bounded on C(r2).

Proof. We substitute z = O in the condition of uniform equicontinuity of fk (x) on C (r1) and find a number 8 >0 such that

VkEM Vx E C(r1): \\x\\ < S \fk(*)\ < 1. Hence, there is r0 E (0, r1 ] such that

VkEMVxE S(r0) \fk (*)\ < 1. Then, by Lemma 2.3, the sequence fk (x) is uniformly bounded on C(r2). The lemma is proved.

Lastly, we formulate and prove the final theorem based on the results obtained.

Theorem 2.1. Consider the functional sequence fk (x): M X Mn ^ M, and let for any fcei the function fk (x): Mn ^ M be a generalized homogeneous of class (m-Y,..., mn ) of degree a, r0 > 0. Then I) The following five sets of conditions are equivalent.

1. Conditions