Адаптивные наблюдатели состояния электромеханических систем на основе новых нелинейных моделей трения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Петраневский Игорь Владимирович

• Петраневский Игорь Владимирович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Петраневский Игорь Владимирович

Реферат

Synopsis

Введение

Глава 1. Методы управления робототехническими системами

1.1 Планирование траекторий движения робота

1.2 Управление движением с учетом сил взаимодействия робота с окружающей средой

1.3 Бездатчиковые методы управления

1.4 Математическая модель объекта исследования

1.4.1 Модель динамики электромагнитной системы

1.4.2 Модель динамики сил трений

1.4.3 Модель динамики электромеханической системы

1.5 Обобщенная постановка задачи

Глава 2. Робастное оценивание координаты и скорости при

неизвестном сопротивлении и индуктивности в модели электрической части

2.1 Бездатчиковое управление синхронной машиной на основе робастного наблюдателя магнитного потока за конечное время

2.1.1 Наблюдатель магнитного потока с конечным временем сходимости

2.1.2 Бездатчиковое векторное управление

2.1.3 Компьютерное моделирование

2.2 Робастный наблюдатель потока с неизвестным сопротивлением

2.3 Обобщение метода синтеза робастного наблюдателя потока

2.3.1 Компьютерное моделирование

Глава 3. Оценка параметров нелинейной модели силы трения

3.1 Нелинейные регрессионные модели с экспоненциальным членом

3.2 Алгоритмы оценивания параметров модели трения

Стр.

3.3 Численное моделирование

Глава 4. Экспериментальная апробация наблюдателей переменных

состояния электромеханических систем

4.1 Планирование сложных плоских и пространственных движений

4.1.1 Планирование движения в плоскости

4.1.2 Пространственное планирование движения

4.1.3 Практическая апробация алгоритма планирования траектории

4.2 Управление движением с поддержанием силы взаимодействия робота с объектом манипулирования

4.3 Наблюдатель обобщенных координат и скоростей

4.4 Экспериментальное исследование алгоритмов оценивания сил и моментов взаимодействия робототехнических систем с окружающей средой

4.4.1 Оценка моментов нагрузки на рабочем инструменте робота-манипулятора

4.4.2 Оценка массы груза в рабочем инструменте робота-манипулятора

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Приложение А. Уведомление о публикации международной

патентной заявки

Приложение Б. Акт о намерении внедрения технологии в производственный процесс

Приложение В. Публикации по теме диссертации

Реферат.

Общая характеристика работы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Адаптивные наблюдатели состояния электромеханических систем на основе новых нелинейных моделей трения»

Актуальность темы.

Современные промышленные предприятия все больше тяготеют к полностью безлюдному производству с целью оптимизации затрат при повышении объемов и качества производства. На практике это сопровождается не только широким применением робототехнических систем и комплексов, интегрированных в технологические процессы, но и повышением эффективности их использования. Так, например, крайне востребованной задачей является "очувствление" робототехнических систем, способных выполнять свой функционал безопасно с учетом сил взаимодействия с объектами манипулирования при повышении скорости выполнения контактных операций. Внедрение роботов в повседневную жизнь накладывает более строгие требования к системам очувствления многозвенных электромеханических объектов, чтобы полностью исключить возможность травмирования человека.

В целях повышения гибкости производства, промышленные компании внедряют роботов на всех участках производственного цикла. Такие технологические операции, как сварка, покраска или склейка, на первый взгляд требуют лишь планирования траектории движения и слежения за желаемой траекторией. На практике же оказывается, что для повышения качества процесса требуется также поддерживать силу и моменты контакта рабочего инструмента робота с заготовкой. Роботизация операций полировки, сварки трением, сборки (вставка одной детали в другую) априори не могут быть автоматизированы без измерений сил и моментов, действующих на рабочий инструмент манипулятора, иначе возникает риск деформации как обрабатывающего оборудования, так и обрабатываемого изделия.

Интеграция дополнительного измерительного оборудования всегда дорогостоящая, так как сами силомоментные датчики дорогие. К тому же, интеграция дополнительных сенсоров требует длительной настройки и отладки робототех-нического комплекса. В ряде случаев использование таких средств очувствления и вовсе невозможно из-за ограниченности доступного пространства для монтажа. Бессенсорное управление подразумевает отсутствие прямых измерителей той или иной физической величины. В некоторых случаях производные выход-

ного сигнала рассматриваемой системы труднодоступны или вовсе не доступны для прямого измерения. Эти факторы делают актуальными задачу разработки так называемых бездатчиковых или бессенсорных подходов управления, когда регулируемая физическая величина не измеряется напрямую, а вычисляется по косвенным измерениям с помощью математических алгоритмов - виртуальных датчиков. Например, развиваемый электрическим двигателем момент можно оценить по величине тока питания. По этим данным, с помощью математической модели механической системы манипулятора, может быть рассчитано результирующее усилие в рабочем органе манипулятора. В случаях недоступности прямого измерения выходного сигнала или его производных, методы бессенсорного управления становятся единственным источником востребованной информации о процессах внутри робототехнической системы (как в самом роботе, так и в его рабочей области). К тому же, такие подходы позволят повысить надежность систем, очувствленных прямыми измерителями, за счет увеличения количества каналов входной информации.

Для более сложных контактных операций, при выполнении которых необходимо обеспечить точное отслеживание сил и моментов, действующих на рабочий инструмент, легко обнаружить несовершенство серийно выпускаемых промышленных роботов в вопросах компенсации внутренних возмущающих воздействий в каждом исполнительном приводе по отдельности. Исследование внутренних возмущений электромеханических систем представляет собой изучение нелинейных математических моделей трения, а также их идентификации, чему посвящено немало исследовательских работ К. Острема, К. Канудас де Вита, А.А. Первозван-ского, Д.Бернштейна, Л. Фрейдовича, А. Ширяева, Р. Йохансена, А. Робертсона и многих других ученых.

В мобильной робототехнике силовое очувствление весьма полезно как в системах передвижения (силомоментное управление движением), для работы различного периферийного оборудования (технической оснастки), так и для ног шагающих роботов. В последнем случае применяется позиционно-силовое управление, аналогичное управлению манипуляторами.

Таким образом, для реализации на практике решений роботизации производственных процессов при взаимодействии роботов с людьми или с другими роботами, крайне востребованным является появление новых методов адаптивного и робастного оценивания переменных состояния многозвенных электромеханических объектов, в том числе за счет применения интеллектуальных алгоритмов,

позволяющих измерять физические переменные объекта управления с использованием виртуальных датчиков а также повышать точность оценивания за счет новых параметризаций нелинейных моделей движения.

Целью работы является разработка адаптивных наблюдателей состояния робототехнических систем на основе нелинейных моделей трения в условиях параметрической неопределенности.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработать адаптивный наблюдатель обобщенных координат и скоростей электромеханической системы в условиях параметрической неопределенности и не измеряемых механических переменных состояния.

2. Разработать алгоритм адаптивного оценивания параметров нелинейных моделей силы трения в многозвенных роботах-манипуляторах.

3. Провести экспериментальные исследования алгоритмов оценивания сил и моментов взаимодействия робототехнических систем с окружающей средой.

Научная новизна:

1. Разработаны новые алгоритмы адаптивного оценивания механических переменных состояния в электромеханической системе по измерениям электрических сигналов управления.

2. Выполнено оригинальное исследование нелинейных нестационарных моделей силы трений. Разработана процедура параметризации и оценивания параметров модели трения ЛуГре, предполагающая оценивание сложных нелинейных регрессионных уравнений, содержащих экспоненциальное преобразование.

3. Предложены новые алгоритмы планирования пространственных движений, а также алгоритмы управления движением в условиях ограниченного по амплитуде входного воздействия.

Теоретическая значимость. В диссертации предложены методы параметризации нелинейных моделей движения робототехнических систем, которые могут представлять собой линейные регрессионные уравнения относительно неизвестных параметров и неизмеримых переменных состояния. Используя метод динамического расширения и смешивания регрессора, удалось не только оценить параметры, но и синтезировать наблюдатели переменных состояния, обеспечивающие сходимость ошибок оценивания к нулю за конечное время.

Также важно отметить изучение нелинейных регрессионных уравнений, которые описывают модель сил трения и состоят из двух компонент: линейной регрессионной части и экспоненциального преобразования от линейного регрессионного выражения. Так получены новые алгоритмы оценивания параметров таких сложных нелинейных регрессионных моделей и показаны новые теоретические инструменты для анализа устойчивости моделей ошибок оценивания.

Практическая значимость результатов диссертации определяется возможностью применения их в актуальных на сегодняшний день технических системах. Проектирование простых в практической реализации систем управления, при доступности измерения лишь выходного сигнала в условиях неопределенностей и возмущений, являются безусловно востребованными в робототехнике. Разработанные адаптивные наблюдатели состояний электромеханических систем учитывают особенности аппаратного обеспечения современных робототехнических комплексов. Полученные методы успешно протестированы в ходе экспериментов в лабораторных условиях. Представленные алгоритмы управления многозвенными электромеханическими системами и оценивания не доступных прямому измерению переменных состояния объекта управления внедрены в технологические операции автоматизированного гибкого производства компании Arrival Ltd.

Наличие экспоненциальных регрессионных членов характерно не только для класса электромеханических систем, но и для фотоэлектрических источников тока и электронных преобразователей, в которых обратный ток диода описывается экспоненциальной зависимостью, и в математических моделях таких систем также появляются нелинейные регрессионные уравнения с экспоненциальными членами.

Таким образом, диссертационная работа является актуальной, отвечает как на новые теоретические вызовы, так и является ценной на практике в приложениях робототехники и электроники.

Методология и методы исследования. Методы адаптивного управления, параметризация нелинейных систем и регрессионных уравнений, метод динамического расширения и смешивания регрессора.

Положения, выносимые на защиту:

1. Алгоритм адаптивного оценивания обобщенных координат и скоростей электромеханических систем в условиях параметрической неопределенности.

2. Алгоритмы адаптивного оценивания параметров нелинейных регрессионных моделей силы трения с экспоненциальными преобразованиями.

3. Алгоритмы оценивания моментов взаимодействия робота-манипулятора на основе нелинейных наблюдателей сил трения.

Достоверность полученных результатов обеспечивается:

- корректностью постановки научно-технической задачи;

- результатами численного моделирования, осуществленного в среде программирования MATLAB;

- экспериментальной апробацией как в лабораторных условиях, так и в условиях современного промышленного производства;

- представлением промежуточных результатов исследования на конференциях, конгрессах;

- публикацией результатов работы в рецензируемых журналах;

- зарегистрированными международными патентами;

- внедрением в технологические цепочки промышленного производства разработанных алгоритмов и методов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались соискателем на:

- 21th International Conference on Methods and Models in Automation and Robotics, MMAR 2016, Miedzyzdroje; Poland.

- 42nd Conference of the Industrial Electronics Society, IECON 2016, Firenze, Italy.

- "Science of the Future" Conference, Kazan 2016

- форум "Наука будущего — наука молодых", 2017.

- VI Всероссийский конгресс молодых ученых, Санкт-Петербург, 2017.

- XIX конференция молодых ученых "Навигация и управление движением", Санкт-Петербург, 2017.

- XX конференция молодых ученых с международным участием "Навигация и управление движением", Санкт-Петербург, 2018.

- VII Конгресс молодых ученых, Санкт-Петербург, 2018.

- 1st IEEE International Conference on Industrial Cyber-Physical Systems (ICPS-2018), 2018.

Личный вклад. Личный вклад заключается в выборе темы, методов и методик выполненного исследования. Автор принимал активное участие в анализе существующих публикаций по темам управления, очувствления и интеграции

промышленных роботов в производственных операциях. Занимался анализом кинематических и динамических моделей. Выполнял практическую апробацию основных теоретических результатов в лабораторных условиях, в дальнейшем на производственной площадке индустриального партнера Arrival Ltd. Часть результатов была представлена автором диссертации на международных конференциях. Самостоятельно занимался защитой пунктов формулы изобретения и новизны изобретений зарегистрированного патента в международных патентных агентствах. В 2019 году стал победителем конкурса Совета по грантам Президента Российской Федерации на право получения стипендии Президента Российской Федерации молодым ученым и аспирантам, осуществляющим перспективные научные исследования и разработки по приоритетным направлениям модернизации российской экономики по теме диссертации ("Метод бессенсорного управления многозвенными электромеханическими системами на основе адаптивных наблюдателей"), успешно отчитавшись о выполненной работе в декабре 2021 года, отчет принят без замечаний.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 15 статьях, 1 из которых издана в журнале, рекомендованных ВАК, 7 — в периодических научных журналах, индексируемых Web of Science и Scopus, 4 — в тезисах докладов конференций, зарегистрированы 1 патент и 2 программы для ЭВМ.

Диссертационная работа выполнена при поддержке Грантов Президента Российской Федерации № МД-3574.2022.4, № СП-3251.2019.5.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и 3 приложений. Полный объём диссертации составляет 243 страницы, включая 39 рисунков и 9 таблиц. Список литературы содержит 88 наименований.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, приводится обзор научной литературы по изучаемой проблеме, формулируется цель, ставятся задачи работы, излагается научная новизна, теоретическая и практическая значимость представляемой работы, выделены использованные методологии и методы. В конце введения сформулированы положения, выносимые на защиту, указаны публикации, вы-

ступления автора по теме работы на научных конференциях, международные патенты, указан вклад автора в работы, опубликованные им в соавторстве с коллегами. Приведена статистика объема и структуры работы в целом.

Задача первой главы сводится к обзору выбранного соискателем направления исследования, описанию модели объекта исследования, формулированию обобщенной постановки задачи. В последующих главах сначала приводится мотивация каждого этапа работы, уточнение приведенной в первой главе обобщенной постановки задачи, анализ объекта управления используемого для практической апробации, затем приводятся результаты компьютерного численного моделирования и результаты постановки натурных экспериментов как в лабораторных условиях, так и на производственных мощностях индустриальных партнеров Университета ИТМО.

Первая глава посвящена литературному обзору состояния, выбранного соискателем, направления исследования. Представлено общее в рамках диссертационной работы допущение о том, что исполнительные механизмы промышленных роботов представляют собой электромеханические системы, которые могут быть объединены в один обобщенный класс объектов управления. Фокус исследования сведен к решению задачи оценивания нагрузочного момента т на каждом мотор-редукторе многозвенной робототехнической системы с компенсацией внутренних возмущений. Используя полученные данные о теоретическом электромеханическом моменте на каждом сочленении многозвенной системы, с учетом компенсации сил трений и восстановленного момента на основе измерений токов потребления, представляется возможным рассчитать ошибку, которая буквально отразит неучтенные внешние возмущения, т.е. некоторые внешние силы влияющие на каждый исполнительный механизм. Затем, используя метод виртуальных перемещений предполагается возможным получить оценку внешней нагрузки прилагаемой к многозвенному роботу в любой точке.

В первом разделе главы уделено внимание современным методам управления робототехническими системами в приложении для киберфизических систем. Основной особенностью таких систем является способность адаптироваться к изменениям внешней среды. Рассматривается состояние технологий планирования траекторий движения роботов как в научной, так и производственной отраслях, где в рамках сравнительного анализа опубликованных ранее решений, акцентируется внимание на недостатках и преимуществах наиболее распространенных решений. Отдельно раскрываются особенности управления движением с учетом

сил взаимодействия робота с окружающей средой, как предпосылки развития бездатчиковых методов управления в задачах промышленного производства, которые в свою очередь выступают ключевой технологией результата всей диссертационной работы. Второй раздел первой главы отражает сформированную каскадную систему обобщенного описания объекта управления, состоящую из трех нелинейных динамических подсистем:

1. электромагнитной динамики,

2. динамики сил трения,

3. электромеханической динамики,

для каждой из которых представлена математическая модель.

Рисунок 1 — Обобщенная модель объекта исследования, где и, г— падение напряжения и ток обмоток статора, т— крутящий момент, т>— приложенная внешняя нагрузка, т^ — сила трения, д, д— координата смещения и скорость ее изменения

соответственно.

В качестве математической модели для первой подсистемы рассматривается электромагнитный поток классической двухфазной ар модели неявнополюс-ной синхронной машины с постоянными магнитами:

А ар = ^ав — Нгав, J ( = — 05 д + Те — Т1,

где Лар Е К2— суммарный магнитный поток, ¿ар Е К2— токи, -иар Е К2— падения напряжений, Я > 0— сопротивление обмоток статора, 3 > 0— момент инерции ротора, д Е § := [0,2п) — положение ротора, д Е К— механическая угловая скорость, о5 ^ 0— коэффициент вязкого трения т Е К— изменяющийся во времени крутящий момент нагрузки, те— крутящий момент электрического происхождения.

Математическая модель для второй подсистемы представлена выражением силы трения на основе модели ЛуГре:

Т/ = ОоХ + Ъ^Х + О5 д, (2)

где о0— усредненный коэффициент жесткости щетинок, х — величина среднего прогиба щетинок, о4— коэффициент демпфирования трения и о5— коэффициент вязкого трения.

Математическая модель третьей подсистемы выражена с помощью матричной формы представления уравнения Эйлера-Лагранжа для многозвенной электромеханической системы:

М(д)я + С (дд) + д (д) = т + т + Т/ (д,д), (3)

где М(д)— матрица инерции размерности (п х п), С(д,д) Е вектор корио-лисовых и центробежных сил, д (д) Е вектор гравитационных сил, т Е вектор моментов сил, вырабатываемых приводами, т Е вектор моментов сил, обусловленных нагрузкой, Т/ Е вектор моментов сил, обусловленных действием сил трения.

В третьем разделе первой главы сформулирована обобщенная постановка задачи для диссертации в целом.

Вторая глава посвящена решению задачи оценки положения д и скорости изменения положения д ротора неявнополюсной синхронной машины с постоянными магнитами (СМПМ) за конечное время на основе недавно предложенного глобально сходящегося адаптивного наблюдателя положения. Следуя подходу динамического расширения регрессора и смешивания на основе адаптивного наблюдателя, представлен новый робастный наблюдатель, обеспечивающий сходимость оценок за конечное время, который позволяет адаптивно отслеживать положение ротора, измеряя только токи и напряжения и не зная механических, электрических и магнитных параметров. На численном примере для случая с различными частотами вращения ротора и изменяющимся во времени моментом

нагрузки показаны преимущества предложенного подхода по сравнению с другими существующими методами.

Первый раздел второй главы посвящен разработке робастного наблюдателя магнитного потока Л за конечное время (от англ. finite convergence time observer — FTO) используя измерения токов i и падений напряжения v, где алгоритм для получения оценки потока Л(£), обозначаемого Лрт°(t):

-FTO

Л (t) = A(t), Vt ^ ti, (4)

для некоторых tl E (0,ro).

Допущение 1. Сигнал управления vap и неизвестный внешний нагрузочный момент тi такие, что траектории модели (1) существуют для всех t > 0 и ограниченны.

Утверждение 1. Рассмотрим модель синхронной машины с постоянными магнитами, описанную (1), для которой справедливо допущение 1. Предположим также, что сопротивление R и индуктивность L известны. Зададим наблюдатель на основе градиентного спуска как:

Л = v - Ri + уД(£ - дЛ), (5)

где у > 0 - расчетный параметр. Чтобы завершить описание FTO, введем динамическое расширение:

w 1 = -уД2^ь wl(0) = 1 (6)

w2 = -уД^2 + W1 (v - Ri), w2(0) = 0, (7)

где Д2^) определяется Д = det{Q}, = adj{Q}Y вычисляется с помощью сопряженной матрицы Q, введем функцию среза, чтобы избежать сингулярности при t = 0:

iwi(t) ifWi(t) E [0,p) (8)

Wc(t) = Л r u\ r n (8)

[p ifwi(t) E [p,1],

где p E (0,1) — константа, выбираемая разработчиком. Тогда выход FTO:

FTO(t) = Л^) - Л(0^) - W2(t)

1 - wl (t)

л FTO{,\ Л(°) - Л(0)wl(t) - w2(t) ,Q4 Лар (t) = -i-ГТГЛА-' (9)

где Л(£) = Ла(£);Лр(£) , с Ла(£) и Лр(£), гарантирует (4), если условие интервального возбуждения:

1

Д2^)^ ^ —1п(р)

У

удовлетворяется для некоторых Е

Частоту вращения ротора СМПМ предлагается оценивать с помощью метода фазовой автоподстройки частоты:

X1 = Кр(дРТО - XI) + КХ2,

^ТО

XX2 = Я - XI,

^ТО

(10)

Я = Кр- Х1) + КХ2,

где Кр > 0 и КI > 0 пропорциональный и интегральный коэффициенты соответственно.

На рисунках 2-4 проиллюстрированы результаты численного моделирования с различными начальными условиями и сигналом задания скорости без шума, где Г = {у1; у2} положительный. Для оценки работы наблюдателя показаны ошибка оценки потока, оценка скорости и положения. На представленных графиках моделирования отраженно поведение наблюдателей для СМПМ, приводимого в действие бездатчиковым векторным управлением с сигналом задания:

Я(г) = 10вт(2гс£) + 15ео8(4п^),

полученные результаты сравниваются с данными векторного управления при обратной связи на основе измерений датчика.

5

ю

т 4 3 2 1 0

0.005 0.01

0.4 0.6

I с

а) Ошибка оценки б) Оценка частоты в) Оценка положения Я (£)

магнитного потока Л вращения Я (^

Рисунок 2 — Переходные процессы оценивания в условиях отсутствия шумов

я(0) = 0, Я(0) = 0, у = 0.02, = 50, д2 = 550

3 2.5

= 1 0.5

-0.5 -1

0 0.005 0.01

0 0.2 0.4 0.6 о.е

О 0.2 0.4 0.6 0.8

а) Ошибка оценки магнитного потока А

в) Оценка положения ((£)

б) Оценка частоты вращения ((£)

Рисунок 3 — Переходные процессы оценивания в условиях отсутствия шумов

д(0) = п, ((0) = —10, У = 0.02, = 50, 02 = 550

3 2.5

= 1

0.5

-0.5 -1

3----:— -1 —*—— 0 0.005 0.01

0.2 0.4 0.6 0.8

I с

' -20 -40

. и Г

--1-

50 0 -50 0 7>-- 6

0.02 0.04 0.

0.2 0.4 0.6 0.8

а) Ошибка оценки магнитного потока А

0.2 0.4 0.6 0.8

в) Оценка положения ((£)

б) Оценка частоты вращения ((£)

Рисунок 4 — Переходные процессы оценивания в условиях отсутствия шумов

д(0) = 0, (((0) = 0, у = 0.02, 01 = 50, 02 = 550

3 2.5

-0.5 -1

0 0.005 0.01

0.2 0.4 0.6 0.8

1 с

0.2 0.4 0.6 0.8

а) Ошибка оценки магнитного потока А

б) Оценка частоты в) Оценка положения ((£) вращения ((£)

Рисунок 5 — Переходные процессы оценивания в условиях шумов д(0) = 0,

(((0) = 0, у = 0.02, 01 = 50, 02 = 550

Во втором разделе второй главы показано, что поток А и сопротивление статора Я можно оценить одновременно, используя более сложную параметризацию модели явнополюсной синхронной машины с постоянными магнитами, приме-

нив процедуру динамического расширения регрессора с допущением о том, что Я может быть неизвестным.

Утверждение 2. Рассмотрим модель СМПМ (1), удовлетворяющую допущению 1. Предположим также, что индуктивность Ь известна. Введем наблюдатель сопротивления методом градиентного спуска с динамическим расширением

Я = УдДд (05 - ДдЯ), (11)

ЯГТ = Я - Я(0)ше(г) (12)

1 - шс(г)

и наблюдатель потока

Л = V - ЯРТ1 + УЛДд

о1 о2

- ДдЛ , (13)

^Т° Л - Л(0)Ше(г) - W2

А =---тгт-, (14)

1 - 'Шеф

где уд > 0 и уЛ > 0 являются настроченными параметрами, сигналы w2(t) и ше (г) определяются (7) и (8), соответственно.

Оценки (12) и (14) удовлетворяют выражениям:

ЛРТО(г) = Л(г), уг ^ , (15)

ЯЕТ(г) = я, уг ^ ¿2, (16)

если условие интервального возбуждения

гЬ 1

ДДШв > --1п(р) ио У

выполняется для некоторых г2 Е (0,то).

В третьем разделе второй главы представлено обобщение метода синтеза робастного наблюдателя потока. Для демонстрации предлагаемого метода рассматривается СМПМ с неизвестными сопротивлением и индуктивностью, где инерция ротора J, вязкое трение о5, момент нагрузки т и магнитный поток, создаваемый постоянным магнитом Лт, не требуются в предлагаемой конструкции наблюдателя потока и положения ротора синхронной машины. Предложен обобщенный робастный наблюдатель потока:

Я = удД(о7 - ДЯ), (17)

Ь = уьД(о-8 - ДЬ), (18)

Л = V - Я1 + улД(а1,2 - ДД Л)), (19)

где уд,ь,л > 0 являются настраиваемыми параметрами.

Основной результаты второй главы заключается в следующем:

1. Устранена необходимость интегрирования тока и напряжения в разомкнутом контуре - операции, которая, как известно, является хрупкой, поскольку она подвержена к проявлению дрейфов.

2. Разработан адаптивный наблюдатель потока, который не нуждается в знании сопротивления и индуктивности статора. То есть, предлагается алгоритм, который одновременно оценивает и параметры, и состояние системы.

3. Показано, что оценка неизвестных сопротивления и индуктивности статора сходится за конечное время, что обеспечивает эффективную асимптотическую оценку потока ротора.

4. Предлагаемый алгоритм является робастным в том смысле, что не требуется знать постоянную магнитного потока. Кроме того, алгоритм основан исключительно на электрической динамике, поэтому он нечувствителен к изменениям момента нагрузки и инерции ротора.

Третья глава посвящена синтезу алгоритмов оценивания параметров нелинейных моделей силы трения. Предлагается метод декомпозиции и параметризации динамической модели трений ЛуГре, синтезированы алгоритмы оценивания параметров, приводятся результаты компьютерного моделирования полученных уравнений.

В главе рассматривается соотношение между скоростью и силой трения в установившемся режиме, которое определяется выражением кривой статического трения - кривая Штрибека, тогда выражение силы трения (2) в обобщенном виде:

Tf = 9181ёп((/) + Ы + ез^п(4)б-04<?2. (20)

Для упрощения записей дополнительно вводятся в рассмотрение переменные П1,П2, Ф1, ф2 е Ж2:

П1 =

е1 е2

Ф1Й) =

sign(4)

П2 =

1п 1031

04

ф2 (<) =

1

(21)

отсюда, с учетом введенных обозначений (21), сила трения в нелинейной регрессионной форме:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Петраневский Игорь Владимирович, 2022 год

Литература

1. Бобцов А. А., Николаев Н.А. Синтез управления нелинейными системами с функциональными и параметрическими неопределенностями на основе теоремы Фрадкова // Автоматика и телемеханика. 2005. № 1. С. 118-129.

2. Fradkov A.L., Andrievsky B.R., Peaucelle D. Adaptive passification-based fault-tolerant flight control // Proc. 17th IFAC Symposium on Automatic Control in Aerospace (ACA'2007). Toulouse, France, 2007. V. 17. P. 715-720.

3. Kaufman H., Barkana I., Sobel K.S. Direct Adaptive Control Algorithms: Theory and Applications. 2nd ed. New York: Springer, 1998. 424 p.

4. Park B.S., Yoo S.J., Park J.B., Choi Y.H. A simple adaptive control approach for trajectory tracking of electrically driven nonholonomic mobile robots // IEEE Transactions on Control Systems Technology. 2010. V. 18. N 5. P. 1199-1206. doi: 10.1109/TCST.2009.2034639

5. Rusnak I., Barkana I., Weiss H.M. Improving the performance of existing missile autopilot using simple adaptive control // Proc. 18th IFAC World Congress. Milano, Italy, 2011. V. 18. N 1. P. 6567-6572. doi: 10.3182/20110828-6-IT-1002.01659

6. Zhang S., Luo F.L. An improved simple adaptive control applied to power system stabilizer // IEEE Transactions on Power Electronics. 2009. V. 24. N 2. P. 369-375. doi: 10.1109/TPEL.2008.2007490

7. Bobtsov A. A note to output feedback adaptive control for uncertain system with static nonlinearity // Automatica. 2005. V. 41. N 12. P. 2177-2180. doi: 10.1016/j.automatica.2005.08.006

8. Bobtsov A.A. A robust control algorithm for tracking the command signal with compensation for the parasitic effect of external unbounded disturbances // Automation and Remote Control. 2005. V. 66. N 8. P. 12871295. doi: 10.1007/s10513-005-0169-z

9. Фрадков А.Л. Синтез адаптивной системы стабилизации линейного динамического объекта // Автоматика и телемеханика. 1974. №12. С. 96-103.

10. Fradkov A.L. Passification of non-square linear systems and feedback Yakubovich-Kalman-Popov Lemma // European Journal of Control. 2003. V. 9. N 6. P. 577-586. doi: 10.3166/ejc.9.577-586

11. Barkana I. Parallel feedforward and simplified adaptive control // International Journal of Adaptive Control and Signal Processing. 1987. V. 1. N 2. P. 95-109. doi: 10.1002/acs.4480010202

12. Barkana I. Comments on "Design of strictly positive real systems using constant output feedback" // IEEE Transactions on Automatic Control. 2004. V. 49. N 11. P. 2091-2093. doi: 10.1109/TAC.2004.837565

13. Andrievsky B.R., Fradkov A.L., Kaufman H. Necessary and sufficient conditions for almost strict positive realness and their application to direct implicit adaptive control systems // Proc. American Control Conference. Baltimore, USA, 1994. V. 2. P. 1265-1266.

14. Bobtsov A.A., Pyrkin A.A., Faronov M.V. Output control for time-delay nonlinear system providing exponential stability // Proc. 19th Mediterranean Conference on Control and Automation (MED 2011). Corfu, Greece, 2011. P. 512-520. doi: 10.1109/MED.2011.5983020

15. Pyrkin A.A., Bobtsov A.A. Output control for nonlinear system with time-varying delay and stability analysis // Proc. 50th IEEE Conf. on Decision and Control and European Control Conference. Orlando, USA, 2011. P. 7392-7397. doi: 10.1109/CDC.2011.6160224

16. Pyrkin A.A., Bobtsov A.A., Kolyubin S.A., Faronov M.V., Shavetov S.V., Kapitanyuk Y.A., Kapitonov A.A. Output control approach "consecutive compensator" providing exponential and L<»-stability for nonlinear systems with delay and disturbance // Proc. 20th Int. Conf. on Control Application. Denver, USA, 2011. P. 1499-1504. doi: 10.1109/CCA.2011.6044373

17. Pyrkin A., Smyshlyaev A., Bekiaris-Liberis N., Krstic M. Rejection of sinusoidal disturbance of unknown frequency for linear system with input delay // Proc. American Control Conference. Baltimore, USA, 2010. P. 5688-5693.

18. Pyrkin A., Smyshlyaev A., Bekiaris-Liberis N., Krstic M. Output control algorithm for unstable plant with input delay and cancellation of unknown biased harmonic disturbance // Proc. 9th IFAC Workshop on Time Delay System. Prague, Czech Republic, 2010. N 1. P. 39-44.

19. Krstic M. Delay Compensation for Nonlinear, Adaptive and PDE Systems. Birkhauser Boston, 2009. 466 p. doi: 10.1007/978-0-8176-4877-0

20. Krstic M., Smyshlyaev A. Backstepping boundary bontrol for first-order hyperbolic PDEs and application to systems with actuator and sensor delays // Proc. IEEE Conf. on Decision and Control. New Orleans, USA, 2007. P. 225-230. doi: 10.1109/CDC.2007.4434474

21. Pyrkin A. Adaptive algorithm to compensate parametrically uncertain biased disturbance of a linear plant with delay in the control channel // Automation and Remote Control. 2010. V. 71. N 8. P. 1562-1577. doi: 10.1134/S0005117910080060

Петраневский Игорь Владимирович Борисов Олег Игоревич Громов Владислав Сергеевич Пыркин Антон Александрович

Igor V Petranevsky Oleg I. Borisov Vladislav S. Gromov Anton A. Pyrkin

студент, инженер, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101,

Российская Федерация, [e-mail]

аспирант, инженер, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101,

Российская Федерация, [e-mail]

аспирант, инженер, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101,

Российская Федерация, [e-mail]

кандидат технических наук, доцент, доцент, ведущий научный сотрудник, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, [e-mail]

student, engineer, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, [e-mail]

postgraduate, engineer, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, [e-mail]

postgraduate, engineer, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, [e-mail]

PhD, Associate professor, Associate professor, Leading Researcher, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, [e-mail]

Received: 1 July 2020 | Revised: 19 October 2020 | Accepted: 20 November 2020 DOI: 10.1049/cth2.12065

ORIGINAL RESEARCH PAPER

Robust nonlinear observer design synchronous motors

Anton Pyrkin1,2 © I Alexey Bi Dmitry Cherginets1 I Alexey

1 Faculty of Control Systems and Robotics, ITMO University, St. Petersburg, Russia

2 Center for Technologies in Robotics and Mechatronics Components, Innopolis University, Innopolis, Russia

3 Laboratory Control of Complex Systems, Institute of Problems ofMechanical Engineering, St. Petersburg, Russia

4 Departamento Académico de Sistemas Digitales, ITAM, Ciudad de México, México

Correspondence

Anton Pyrkin, ITMO University, Faculty of Control Systems and Robotics, 49 Kronverksky Pr., St. Petersburg 197101, Russia. Email: [e-mail]

Funding information

Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation, Grant/Award Number: RFMEFI57818X0271

1 I INTRODUCTION

One of the most challenging problems in drives control is the development of so-called sensorless controllers, that is designing control algorithms that ensure a good operation without the use of speed/position sensors. Numerous sensorless algorithms for permanent-magnet synchronous motors (PMSMs) have been proposed, and many of them are widely utilised in industrial, home, and traction applications due to their cost effectiveness and convenience in installation. In some applications (cranes, elevators, vacuum pumps), the installation of a shaft sensor is either inconvenient or not possible at all. In sensitive heating, ventilation and air conditioning systems, the use of sensorless controller reduces the cost and boosts their reliability and performance. Another benefit of sensorless control is the mechanical robustness due to the absence of cables, connectors and peripheral modules.

| IET Control Theory & Applications

I^H I The Institution of \A/l I CV

I Engineering and Technology VV 1LC Y

for permanent magnet

Sensorless techniques are classified largely into model-based and saliency based methods: the model-based method is a passive algorithm that does not utilise signal injection. Instead, it relies on the back-electromotive force (EMF). The modelbased methods are advantageous in the medium and high-speed regions, and the implementation is relatively simple. However, the performance is poor at low speed, since the back-EMF is proportional to the speed. In a low-speed range, the magnitude of back-EMF is as low as the noise level. In that situation, the model-based algorithms are sensitive to temperature variation of motor coil resistance, IGBT on-drop, dead-time, EMF harmonics etc. For this reason, in low-speed operation, it is necessary to use signal injection methods [1]. See [2] for a general discussion on the topic and [3] for a recent experimental evaluation of different model-based algorithms.

There are two types ofmodel-based observers depending on whether they estimate the back-EMF directly or the objective is

obtsov1,3 I Romeo Ortega4,1 I Alexey Vedyakov1 I Ovcharov1 I Dmitry Bazylev1 I Igor Petranevsky1

Abstract

This paper is devoted to the application of a recently proposed globally convergent adaptive position observer to non-salient permanent magnet synchronous motors. Following the DDynamic Regressor Extension and Mixing Based Adaptive Observer (DREMBAO) approach, a new finite-time robust observer is presented that allows to track adaptively the rotor position by measuring only the currents and voltages and without knowledge of mechanical, electrical and magnetic parameters. A numerical example for the case with different rotor speeds and time-varying load torque is considered to reveal the advantages of the proposed approach in comparison with other existing methods. Experimental studies of the proposed robust nonlinear observer implementation are presented to illustrate the efficiency of the new design technique in different speed modes together with adaptive estimation of unknown parameters.

This is an open access article under the terms of the Creative Commons Attribution License, which permits use, distribution and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

© 2020 The Authors. IET Control Theory & Applications published by John Wiley & Sons Ltd on behalf of The Institution of Engineering and Technology

IET Control Theory Appl 2021;15:604-616.

604 I wileyonlinelibrary.com/iet-cth

to estimate the rotor flux. In contrast to the back-EMF, the rotor flux does not vanish at standstill, but remains constant. However, since initial values are unknown, the rotor flux observer must be constructed taking into account the stator current dynamics. Existing flux observers that are based on extended Kalman filters [4, 5] require the knowledge of the rotor speed; therefore, they must also incorporate a speed observer. In [6], a novel approach to design a nonlinear flux observer for surface-mount PMSM was proposed. The approach relies on two main features. First, exploiting the algebraic relation between flux and current, the authors propose to minimise a quadratic criterion implementing a gradient-descent based search. Second, using the fact that the flux derivative is computable from the measurement of currents and voltages, this term can be added to the derivative of the flux estimate. Strong stability properties of this observer were reported in [6] and later experimentally verified in [7]. Global stability was later proved—via a slight modification to the observer—in [8]. The gradient descent-based approach to state observation was, apparently, first proposed in [9], and has been recently used for flux observation of PMSMs in [10, 11].

Here, we use the recent results reported in [12] and [13—15] to extend the results of our previous works in several directions, with the main contributions of our work being as follows:

the most robust setup is considered, where all parameters are unknown, including the inductance. In Section 6, numerical simulations are presented to show the advantages of the proposed approach compared with nearest similar algorithms. In Section 6, the experimental study results are also shown to confirm the efficiency and robustness ofthe proposed design technique.

Notation. Let us introduce basic notations used throughout the paper.

• X = col{Aa, A^} E R2 is the total flux,

• i = col{/a, E R2 are the currents,

• v = col{va, v E R2 are the voltages,

• Q E S := [0, 2n) is the rotor position,

• WER is the mechanical angular velocity,

• R > 0 is the stator windings resistance,

• L > 0 is the stator windings inductance,

• Xm > 0 is the flux created by permanent magnets,

• np E N is the number of pole pairs,

• J > 0 is the rotor inertia,

• B > 0 is the viscous friction coefficient,

• T l E R is the—possibly time—varying—load torque,

• T e is the torque of electrical origin.

C1. We remove the need of open-loop integration of current and voltage—an operation that is well-known to be fragile as it is prone to the appearance of drifts. C2. We design an adaptive flux observer that does not need the knowledge of the stator resistance and inductance. That is, we propose an algorithm that estimates the parameters and the systems state simultaneously. C3. It is shown that the estimation of the unknown stator resistance and inductance converges in finite time, ensuring the effective asymptotic estimation of the rotor flux. C4. The proposed design is robust in the sense that, in contrast to [6] and [16], it is not necessary to know the magneticflux constant. Also, the algorithm is based solely on the electrical dynamics being, therefore, insensitive to load torque and rotor inertia variations.

To the best of our knowledge, the only results of adaptive observers for servo systems—without the deleterious injection of high-gain via sliding modes and/or the use of fractional powers—are the ones in [17] and [18] for electro-hydraulic servo systems with matched and mismatched disturbances. There are also results about disturbance observers for PMSM, for example [19], but in such papers, the rotor angle and/or angular velocity are assumed to be measurable.

This paper is organised as follows: The problem statement is described in Section 2. The principal result is presented in Section 3, where the finite-time observer design technique for the total flux is constructed for the case of the known resistance and inductance. The extended version for the case of unknown resistance is presented in Section 4 where DREMBAO- based finite-time estimates of the flux are obtained despite resistance uncertainty. In Section 5, the finite-time observer shown for

2 I PROBLEM FORMULATION

In the stationary a^ frame, the following equations describe the dynamics of unsaturated non-salient PMSM described by Krause [20] and Nam [2]:

X = v — Ri, J co = — Bo + re — TL, Q = o,

where the total flux satisfies

X = Li + Xm

cos(«pô ) sin(«p 0 )

(i)

(2)

and the torque of electrical origin is given by

0 —1 1 0

The main problem in sensorless control is to reconstruct the rotor position Q using measurements of the current i and the voltage v. This problem can be reformulated as a problem of flux estimation noting that

1 (Xa- Lia\

1 = — arctan< -- >

np l - Liß )

(3)

which follows directly from (2).

The main objective of this work is to design a robust finite convergence time observer (FCTO) of the magnetic flux X using measurements of the current i and voltage v. That is an algo-

.fcto

rithm to generate an estimate of the flux X(t), denoted Pi (t), such that the following equality holds:

.fcto

Я (t) = A(t), Vt > t1,

(4)

Pulling the operatorp inside the brackets and doing some simple calculations allows us to rewrite the latter equation as

v [2ЯЯ + L i i)

p + v

- 2LÀ i - 2LЯ pi\ = 0.

pi = 0.

Replacing the flux derivative from the first equation of system (1) and grouping terms gives

for some tj E (0,, oo).

As usual in parameter estimation and observation problems, the following forward completeness and boundedness assumptions are imposed.

Assumption 1. The stator voltage v and the unknown external load torque Tl are such that the trajectories of the PMSM model (1) exist for all t > 0 and are bounded.

It is clear that given a finite-time robust flux observer to calculate rotor position estimate (9 from

1 Г 4 - La\

1 = — arctan< - >,

np l^- Liß j

and combining with a PLL-type speed estimator [2], one can implement a sensorless controller.

3 I FINITE CONVERGENCE-TIME FLUX OBSERVER

2^ К (v - Ri - Lp)] + \l2p(iT) - 2Lvti]

p + v

+ 2RL—— \i i] = 0.

(S)

Notice that the unknown flux is inside a filtering operation in the first term of (5). In order to move it out of the filter, it we recall the Swapping Lemma [21]

1

-[x y] = x -y--

p + p + V p + v

Applying this identity to (5) yields X —— [2v - 2Ri - 2Lpi]

p + V L r 1

p + V

Ь }x

p + V

(v - Ri)

p + V

[2v - 2Ri - 2Lpi]

p + v

+ —^ [l2p(Л) - 2LvTi] + 2RL—[iTi] = 0,

(б)

In this section, we propose an FCTO for the flux assuming the stator resistance and inductance are known. The adaptive version, where this parameters are estimated, is given in the next sections.

From (2), we get

which yields

(Я - Li)T(A - Li) = ЯШ

ЯТЯ - 2L¿Ti + L2iTi - ЯШ = 0.

Applying the stable LTI filter to this identity

vp

F (p) =

with p := — and V > 0, gives

p + v'

[Л + L2iT i - 2LATi] - [XI] = 0.

1л + /2it

p + V

• T

where we have used again A = (v — ^i) . The last equation (6) is a linear regression

Zf = gjA,

(7)

where andgnu are known functions—parametrised by V—and are given by

1

Zf := ■

p + V

(v - Ri)

p + V

[2v - 2Ri - 2Lpi]

p + V

[l2p(iTi) - 2LvTi] + 2RLj+-^ [iTi], 2v - 2Ri - 2Lpi .

p + v

Next, following the DREM algorithm [13], we combine two regressor Equations (6) with different parameters ^ > 0, v > 0 and form the extended regression model

r = QX,

(8)

1

V

V

V

V

where

y = -(S)

Now, we recall that for any, possibly singular, square matrix A, we have that adj{A}A = det{A}J, where adj{-} is the adjoint matrix. Hence, following the mixing step of DREM, we multiply (8) from the left by adj{Q} to obtain two separate, scalar regressors, one for each of the unknowns, as

where

and

i = AA, (9)

A = detQ},

Proof. To simplify the notation in the proof, we define the vector signal

H(i, v) := v — Ri, that replaced in (10) yields

X = H(i, v) + /A(f — AX). (15)

Using (9), we get the well-known error Equation for (15)

A = -/A2 A,

(16)

where we defined X := X — X. Solving the error Equation (16) yields

A (t ) = r7 iï A2(s)ds (A(0) -A (0)).

(17)

f = (J) := adjQY.

We are in position to present our first result, namely a FCTO for flux assuming that the resistance and the inductance are known.

Proposition 1. Consider the PMSM model described by (1) verifying Assumption 1. Assume also that the resistance R and the inductance L are known. Define the gradient descent flux estimator

Integrating (11), we get

wi (t ) = e

= e-Y Jo A2(s)ds

that replaced in (17) yields

A = v - Ri + /A(f - AA),

(10)

where / > 0 a design parameter. To complete the description of the FCTO introduce the dynamic extension

W = — /A2wb w1(0) = 1, (11)

W2 = —/A2^2 + w\ (v — Ri), W2(0) = 0, (12)

A(t) - A(t) = wi(tA(t)-J^H(i(s), v(s))ds-A(0)^, (18)

where we used the fact that

A(0) = A(t ) - j H (i (s), v(s))ds.

h

Now, we make the key observation that the solution of the differential Equation (12) can be obtained as

W2(t ) = j er/* A2(s)dsw1(CT)H (i(a), v(a))da

and the clippingfunction to avoid singularity at t = 0

wc (t ) = |

w1 (t) ifw1 (t) e [0, p) P ifw1(t ) e [p, 1],

where p e (0,1) is a designer chosen constant. The defined as

(13)

of the FCTO

„fcto 1

A (t) = 1 w if) [A(t) - A(0)w£(t) - w2(t)], 1 - wc (t )

ensures (4) if the interval excitation condition

(14)

-/„ A2(s)dse"7/; A2(s)dsH(i(a), v(a))da

e~r/0 A2(s)dsH(i(a), v(a))da

= w1 (t) / H(i(a), v(a))da.

Replacing the latter in (18) yields

A(t) - A(t) = w1(t)(A(t)-A(0)) - w2(t).

j A2(s)ds > --ln(p)

is satisfied for some t1 e (0, oo).

According to the definition of (13), we have that w\(t) > p > 0 for all t > t\, Consequently, for t >_t\ we can write

A(t ) =

1

1 - w1 (t )

[A (t ) -A (0)w1 (t ) - W2(t )].

The proofis completed, from (14), noting that w\(t) = wc (t) for all t > t1. □

4 I ROBUST FLUX OBSERVER WITH UNKNOWN RESISTANCE

in the unknown vector ^ of (20), there are states. We will show below that this difficulty can be overcome using DREM.

Next, following the DREM algorithm [13] combining six regressor Equations (20) with different parameters Vk > 0, k E {1, 2,..., 6}, we form the extended regression model

Yr = SRV,

(21)

In this section, we show that the flux and the stator resistance R can be estimated simultaneously using a more sophisticated parameterisation of the PMSM model and applying the DREM procedure [13]; hence R may be assumed to be unknown.

Combining terms with respect to unknown flux and resistance, the Equation (6) can be rewritten in the form

where

2 7TT (#2 - ¿#i)] - L2<¿3 + 2L^4

J_

p + V 1

= AT (202 - 2L<p 1) + SAT (-2^)

+ s(j+-J K2^i + «t(2#2 - 2L*x)\ +

P1)] +

+ s2

1

p + v

[¿t (-2^)],

(19)

where we introduce auxiliary and computable signals

6 :=-M,

r1 p + V L J

é3 :=-íiT«l,

r3 p + V J

:=-[v\,

r2 p + V L J

04 :=—[vT i\.

r4 p + V L J

Notice that (19) is a regression-like model of six unknowns

Yr :=

ft:

V^ 6)

Qr :=

Multiplying (21) from the left by the adjoint matrix of results in six separate regressor models for each of the unknowns

ak = Ar ^ (22)

As = det{QR} a := col{CT1,..., CT6} = adj{QR}YR.

where

Now, we can introduce an adaptive FCTO—that estimates the flux and the resistance—assuming that only the inductance is known.

Proposition 2. Consider the PMSM model described by (1) verifying Assumption 1. Assume also that the inductance L is known. Define the gradient descent resistance estimator with the dynamic extension

= qlv>

(20)

s = /SAS (^5 - Ass)

(23)

where

=

42,v q3,v

hy = - L 1, ?2,v = -2^1,

®(V) = T^ [vT2^1 + ^</1] +

pTi

1 p+

?4(v ) = ph K4

f (v) = ~ [vT?J — L2§3 + 2L^4-

We underscore the fact that, unlike classical regression equations where the unknown quantities are constant parameters,

sFT = s- s (0K (t )

1 - W (t ) ,

andflux observer

A = v - SFJ¿ + yAAs(

- ArA),

-fcto A - X(0)wc (t) - w2 = 1 - W (t ) ,

(24)

(25)

(26)

where /r > 0 and > 0 are design parameters, and the signals w2(t) andwc (t) are defined by (12) and (13), respectively. The estimates (24) and (26) satisfy

.fcto

A (t) = A(t), Vt > t2 RFT (t) = R, Vt > t2,

ifthe interval excitation condition

One can see that (19) is a regression model of 11 unknowns

rh 1

j AR (s)ds > - -ln(p) J 0 f

is fulfilledfor some t2 e (0, œ).

Proof. The proof is similar to the proof of Proposition 1.

From (23) and (22), where a5 = ArR, the error for the resistance estimate is

R = -Yr ARR ;

hence, one can obtain (see [12])

R = (1 - w£ ) R + wRR (0).

Therefore, for the estimate RiFT defined in (24), we have

RFT(t) = R, Vt > t2.

Combining (22) and (25) we get the error equation for the flux

A = -/ARA - (R - RFT ) i.

(27)

Since R - RFT becomes zero in finite time, (27) coincides with (16) and the remaining necessary arguments follow the ones used in Proposition 1. □

5 I GENERALIZATION OF ROBUST FLUX OBSERVER DESIGN

In this section, we consider the general setup for the case with unknown resistance and inductance. Also it is important to emphasize that the rotor inertia J, the viscous friction B, the load torque Tl, and the flux created by permanent magnet Am are not needed in our flux and position observer design.

Following the approach proposed in Section 3, we combine terms in the Equation (6) with respect to the unknown flux, resistance and inductance, which yields

1

p+

[vT#J =

= AT$2 - RAT# + LAT# 1 + [vT#1 + ¿t#2] )

+ l(*4 - J^ [vT# 1]) + ^(fc - p^ [it^ 1])

-R2

p+

[iT^] + 1L2^ 3.

where

= '¡If1,

f = (A RA LA RLRLR2 L2)T, qv = col{q1,v., q^ ..., }, q = #2, q2,v = -#1, q3,v = -?V

(28)

4^ - T+V [vT#1 + , Ï5,v = ¿4 + [^#1],

p+

Ï6,v = ¿3 - [''t#1], qi,v = 1 L't

p+

1 • - 1 = 2** = —

p+

].

''t4

Next, repeating the DREM algorithm [13] and combining 11 regressor equations (28) with different parameters V& > 0, k = {1, 2,..., 11}, we form the extended regression model

f = Qf,

where

(f ( qT

Y := , ^11, , Q := - t q «

Multiplying (21) from the left by the adjoint matrix of Q results in 11 separate regressor models for each of unknowns

(7k = A£ &

where A = det{Q} and J := col{(71, ..., c7n } = adj{Q}Y is computed using adjoint matrix of Q.

The general robust flux observer is given by

R = /rA(777 — AR), L = J lA(778 — AL), (29) X = v — Ri + /aA (J 1,2 — AA)), (30)

where Yr l A > 0 are design parameters.

The finite time observer in general robust scenario may be straightforwardly completed with algorithms (24) and (26), where R, X are defined in (29), (30) correspondingly.

1

FIGURE 1 Photo of the experimental setup: 1 — PMSM; 2 — magnetic powder brake; 3, 4 — absolute optical encoders; 5 — torque sensor

TABLE 1 Motor model and controller parameters

PMSM motor

Inductance l(m-H) 3.625

Nominal resistance r(o) 1.25

Modified resistance r(o) 2

Drive inertia j (kg-m2) 60 x 10-6

Pairs of poles np (—) 4

Magnetic flux (Wb) 0.1324

Field-orient Control

Kp,» 0.0528

23.6871

Kp,i 2500

Ki 5000

6 I SIMULATION AND EXPERIMENTAL RESULTS

The described flux observers (14) and (26) are compared with the adaptive observer proposed in [10], which uses a spe-

t, s

(a) External load torque

FIGURE 2 External signals in the first simulation

cial representation of the PMSM dynamics and filtering to recast the problem as classical linear regression estimation problem:

4 = Li + qa + f 8,9 (31)

with

Za = f 1,2 — Rf 3,4 — Li, i 1,2 = v, £ 3,4 = i, f 8,9 = Yato(ja — 8,9), Ja = — «a(ka|2 + I 5 =— «a(ka I' +

o = «a( 2qa — (6,7),

I6,7 =«a( 2?a — i 6,7),

<Xa > 0, /a > 0 are design parameters.

The simulation has been performed in MATLAB Simulink. The model of the drive uses the parameters of the ESTUN EMG-10ASA22. The motor is controlled by the standard field-orient control, and flux observer performance is investigated. The motor model and controller parameters are presented in Table 1. The load torque is modelled as a biased sinusoidal signal, which is shown in Figure 2a. The speed reference signal is depicted in Figure 2b.

0 1 2 3 4 5

i, S

(b) The speed reference signal

FIGURE 3 The estimates from the first simulation

TABLE 2 Coefficient for filter F(p)

i ai ki

1 1494.99 1502.5

2 638.04 655.4

3 396.34 423.8

4 279.40 317.1

5 208.51 256.9

6 159.56 219

7 122.64 193.8

8 92.89 176.4

9 67.63 164.5

10 45.20 156.7

11 24.48 152

We investigate the observer behaviour under motor parameter uncertainty and increase the stator resistance in the model to 2 ohm. The nominal value from the Table 1 is used in the observers [10] and (14).

Additionally, the electrical angle is estimated based on (3) substituting a corresponding flux estimate (14), (26), (31):

d* = arctan

f Xg - Ltg\

\ - Lß )'

The velocity is estimated with the help of a standard PLL-type speed estimator [2]: