Разработка адаптивных наблюдателей переменных состояния с улучшенной точностью сходимости при наличии возмущений в измерениях выходного сигнала тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Воробьев Владимир Сергеевич

• Воробьев Владимир Сергеевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Воробьев Владимир Сергеевич

Реферат

Synopsis

Введение

ГЛАВА 1. Обобщенная постановка задачи. Обзор методов

1.1 Описание исследуемого класса систем. Постановка задачи

1.2 Обзор методов

1.3 Выводы по главе

ГЛАВА 2. Синтез адаптивного наблюдателя с известными

параметрами

2.1 Приведение исходной динамической модели к линейному регрессионному уравнению

2.2 Идентификация неизвестных параметров линейной регрессионной модели

2.2.1 Анализ известных решений

2.2.2 Применение нелинейных операторов для компенсации влияния возмущающего воздействия

2.3 Примеры

2.3.1 Пример 2.1. Аналитический пример сравнения значений регрессоров и возмущений до и после применения нелинейных операторов

2.3.2 Пример 2.2. Идентификация параметра линейной регрессии в условиях возмущения

2.3.3 Пример 2.3. Синтез наблюдателя переменных состояния

2.4 Выводы по главе

ГЛАВА 3. Синтез адаптивного наблюдателя с неизвестными

переменными параметрами

3.1 Приведение исходной нелинейной динамической модели с неизвестными переменными параметрами к линейному регрессионному уравнению

3.2 Пример. Синтез наблюдателя угловой скорости вращения

ротора для синхронного двигателя с постоянными магнитами

3.3 Выводы по главе

ГЛАВА 4. Упрощенный алгоритм идентификации для линейной регрессии, содержащей степенные функции от неизвестного параметра

4.1 Упрощенный алгоритм идентификации

4.2 Пример

4.3 Выводы по главе

Заключение

Список литературы

Приложение А. Идентификация неизвестных параметров

регрессионной модели второго порядка

Приложение Б. Обобщенная таблица форм регрессантов,

элементов регрессора и помех новой регрессии при применении нелинейных операторов

Тексты публикаций

125

Реферат

Общая характеристика диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка адаптивных наблюдателей переменных состояния с улучшенной точностью сходимости при наличии возмущений в измерениях выходного сигнала»

Актуальность темы

Управление по выходу (то есть при частичном измерении вектора переменных состояния) является классической задачей теории автоматического управления, имеющей важное прикладное значение. В работах российских и зарубежных ученых (Б.Р. Андриевский, С.В. Арановский, Д.Н. Герасимов, А.И. Глущенко, Д.В. Ефимов, А. Исидори, Р. Марино, Л. Маркони, В.О. Никифоров, А.А. Пыркин, Р. Ортега, С. Састри, А.Л. Фрадков, И.Б. Фуртат, А.М. Цыкунов и многие другие) рассматривались, как адаптивные и неадаптивный методы, так робастные и неробастные подходы синтеза управления. Существуют разные методы для решения проблемы управления по выходу, но многие из них предусматривают синтез устройств оценки или наблюдателей переменных состояния (С.В. Арановский, Г. Безансон, Д.В. Ефимов, Р. Калман, А.А. Пыркин, Х. Халил и многие другие). В случае, когда синтез наблюдателей базируется на адаптивных подходах, а также параметры объекта частично или полностью неопределенны используются так называемые адаптивные наблюдатели (Х. Халил, А.А. Пыркин, С.В. Арановский, Р. Ортега, Р. Марино, Г. Безансон, Ж. Бастин, К. Жанг и многие другие). Разработка адаптивных наблюдателей переменных состояния для непрерывных систем является важным аспектом в области управления и автоматизации процессов. Такие наблюдатели позволяют получать информацию о состоянии системы, ее параметрах и характеристиках, что предоставляет возможность синтезировать необходимое управление и обеспечивать более эффективную работу системы.

Одним из ключевых моментов разработки адаптивных наблюдателей является улучшение точности сходимости оценок переменных состояния к истинным значениям в условиях действия возмущений и шумов в измерениях. Классическим и широко используемым на практике методом компенсации влияния возмущений и шумов, позволяющим существенно улучшить сходимость оценок

(например, по сравнению с классическим наблюдателем Люенбергера), является использование фильтра Калмана (Р. Калман, О.А. Степанов, А. Баррау, К. Рейф). Данный подход хорошо изучен для стохастических возмущений/помех, влияющих на функционирование линейных объектов управления, причем как с постоянными, так и с переменными параметрами. Подход базируется на знании некоторых статистических данных о случайном процессе и их последующем использовании при конструировании стабилизирующих матриц обратных связей. Хорошо известно, что классическое использование фильтра Калмана предусматривает решение матричного уравнения Риккати и проектирование на его базе стабилизирующих матриц обратных связей. При этом матричное уравнение Риккати содержит значения параметров объекта управления. Однако в случае параметрической неопределенности решение матричного уравнения Риккати представляет существенные трудности.

Таким образом разработка новых методов синтеза наблюдателей для нелинейных систем, функционирующих в условиях параметрической неопределенности и детерминированных возмущений в канале измерения выходного сигнала, представляет собой актуальное исследование.

Степень разработанности темы исследования

Как указывалось ранее, в случае параметрической неопределенности использование фильтра Калмана, основанного на решении матричного уравнения Риккати представляет существенные трудности. Логичным выходом из сложившейся ситуации является идентификация неизвестных параметров с последующей их подстановкой в матричное уравнение Риккати. В этом случае возникает вспомогательная задача, а именно идентификация неизвестных параметров объекта управления. Традиционное решение задачи параметрической идентификации предусматривает сведение динамической модели объекта к линейной статической регрессионной модели (Л. Льюнг). Очевидно, что в силу возмущений и помех измерений в динамической модели объекта управления, уравнения линейной статической регрессии наряду с неопределенными параметрами, также будут содержать неизвестные возмущения/помехи. Таким

образом при синтезе адаптивных наблюдателей логичным образом возникает вспомогательная задача - идентификация неизвестных параметров линейной регрессионной модели в условиях аддитивных возмущений/помех. В последние десятилетия идентификация параметров для систем с помехами является важной проблемой в таких областях как статистика, системы управления и машинное обучение. Получено большое разнообразие методов идентификации неизвестных параметров в условиях возмущений/помех (например, работы О.Н. Граничина, Л. Льюнга, Я.З. Цыпкина, Дж. Пиллонетто, Б. Шёлкопф, А. Смола, З. Гахрамани, В. Чу и многих других). Из представленного выше анализа и рассуждений можно сделать следующие выводы:

1. Задача синтеза наблюдателя переменных состояния в случае параметрической неопределенности объекта управления может быть сведена к вспомогательной задаче идентификации неизвестных параметров.

2. В свою очередь, задача идентификации неизвестных параметров при наличии возмущений/помех является самостоятельной проблемой, имеющей широкие перспективы в таких областях как статистика, системы управления и машинное обучение.

Одним из современных подходов синтеза, представляющих собой объединение задач синтеза наблюдателей переменных состояния и идентификации неизвестных параметров, стал метод GPEBO (обобщенный наблюдатель, основанный на оценке параметров) (А.А. Бобцов, Н.А. Николаев, Р. Ортега, Й. Шиффер, Д. Дошан и др.). Данный метод предусматривает восстановление не измеряемых переменных состояния объекта управления за счет решения задачи идентификации параметров. Данный метод может быть применен для нелинейных объектов, содержащих в своей структуре неизвестные параметры и запаздывания в каналах измерений выходного сигнала. В отличие от наблюдателей, построенных на базе фильтра Калмана, в случае линейного нестационарного объекта метод GPEBO позволяет синтезировать оценки при более слабых допущениях на наблюдаемость. Однако во всех известных работах посвященных методу GPEBO не был проведен подробный анализ и синтез алгоритмов оценивания переменных состояния при наличии детерминированных

возмущений в канале измерения. Только общие рассуждения и моделирование переходных процессов без анализа конкретных шагов/алгоритмов по улуч ше-нию точности оценивания в условиях возмущений были представлены. Таким образом остается открытым вопрос о применимости и развитии метода СРЕБО для синтеза наблюдателей переменных состояния нелинейных параметрически неопределенных систем, функционирующих в условиях аддитивных возмущений в канале измерения.

Цель

Целью диссертационной работы является разработка адаптивных наблюдателей переменных состояния на базе метода СРЕБО, позволяющих улучшать точность сходимости оценок к реальным переменным состояния при наличии детерминированных возмущений в измерениях выходного сигнала.

Задачи

В процессе выполнения диссертационного исследования необходимо решить следующие задачи:

1. На базе метода СРЕБО осуществить приведение нелинейной динамической модели объекта к виду статического линейного регрессионного уравнения, содержащего аддитивное детерминированное возмущающее воздействие и известные функции (регрессоры) умноженные на неизвестные постоянные параметры.

2. Разработать метод идентификации неизвестных параметров для указанного линейного регрессионного уравнения, обеспечивающий улучшение точности параметрической сходимости по сравнению с известными аналогами.

Научная новизна

Научная новизна диссертационного исследования заключается в синтезе оригинального метода и процедуры синтеза наблюдателя, обеспечивающих

возможность улучшения точности сходимости оценок к истинным значениям вектора переменных состояния объекта управления. Новое решение базируется на первичной параметризации или преобразовании исходной нелинейной модели объекта к линейному статическому регрессионному уравнению, с дальнейшим применением нелинейных операторов, обеспечивающих существенное уменьшение влияния возмущений на идентификацию неизвестных параметров. При этом суть процедуры выражается в том, что улучшение точности параметрической идентификации возникает за счет увеличения числа членов модифицированного (после применения нелинейного оператора) регрессионного уравнения. При этом важно отметить тот факт, что чем больше параметров возникает в модифицированном уравнении - тем меньше становится амплитуда «нового» возмущения.

Теоретическая и практическая значимость

Теоретическая значимость предлагаемого метода синтеза адаптивных наблюдателей заключается в развитии СРЕБО для случая измерения выходной переменной в условиях аддитивного возмущения. Предлагаемое в диссертационной работе использование нелинейных операторов, представляет собой достаточно понятную методику модификации линейных регрессионных уравнений (полученных после математических преобразований исходной системы). Суть этой модификации сводится к простому увеличению числа членов регрессии за счет уменьшения амплитуды исходного возмущающего воздействия. Практическая значимость полученных теоретических результатов заключается в возможности нивелирования влияния возмущающего воздействия при синтезе наблюдателей переменных состояния нелинейных систем. В настоящее время крайне сложно найти прикладные задачи, в которых уровень возмущений/помех в каналах измерения отсутствовал или был пренебрежимо мал. Одновременно с этим следует отметить, что описание множества электромеханических систем может быть приведено к виду математической модели класса систем, для которых предложен алгоритм синтеза наблюдателей на базе СРЕБО. Среди таких моделей можно выделить:

— системы магнитной левитации,

— синхронные двигатели с постоянными магнитами и асинхронные,

— различные электрические преобразователи, например, конвертер Чука.

Методы исследования

При выводе основных теоретических результатов в диссертационном исследовании были использованы аналитические методы современных теорий автоматичексого управления и идентификации: градиентные алгоритмы настройки параметров, метод наименьших квадратов, процедура динамического расширения и смешивания регрессора. Для исследования эффективности полученных теоретических результатов и иллюстрации их работоспособности было использовано компьютерное моделирование в программной среде МаШЬ/БтиПпк.

Положения, выносимые на защиту

1. Метод синтеза адаптивного наблюдателя на основе СРЕБО, обеспечивающий улучшение точности сходимости оценок к истинным значениям переменных состояния для динамических систем, содержащих аддитивные детерминированные возмущения в канале измерения.

2. Алгоритм идентификации неизвестных постоянных параметров для линейной статического регрессионного уравнения, обеспечивающий улучшение точности идентификации в условиях детерминированных возмущений.

3. Редуцированный алгоритм идентификации параметров линейных регрессий, представленных степенными функциями по единому основанию с различными целочисленными показателями.

Степень достоверности и апробации результатов

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. XLIX научная и учебно-методическая конференция Университета ИТМО (ППС). 29 января - 1 февраля 2020 года. Санкт-Петербург, Россия.

2. XXII конференция молодых ученых «Навигация и управление движением» (XXII КМУ 2020). 17-20 Марта 2020 г. Санкт-Петербург, Россия.

3. IX Конгресс молодых ученых (КМУ) Университета ИТМО. 15-18 апреля 2020г. Санкт-Петербург, Россия.

4. X конгресс молодых ученых (КМУ) Университета ИТМО. 14-17 апреля

2021 г. Санкт-Петербург, Россия.

5. 29th Mediterranean Conference on Control and Automation (MED 2021). 22-25 июня 2021 г., Бари, Италия (онлайн формат).

6. XI Конгресс молодых ученых (КМУ) Университета ИТМО. 4-8 апреля

2022 г. Санкт-Петербург, Россия.

7. 14th IFAC International Workshop on Adaptation and Learning in Control and Signal Processing. 29 июня - 1 июля 2022 г. Касабланка, Марокко (онлайн формат).

Результаты диссертационных исследований использовались при выполнении следующих НИР:

1. Многоуровневое управление сложными техническими системами (тема 12441);

2. Разработка методов создания и внедрения киберфизических систем (тема 619296);

3. Управление киберфизическими системами (тема 718546);

4. Адаптивное бессенсорное управление синхронным электроприводом для интеллектуальных робототехнических и транспортных систем (тема 380284);

5. Грант 2019-0898 Министерства науки и высшего образования Российской Федерации.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка литературы. Общий объем диссертации 149 страниц, включая 45 рисунков. Библиография включает 58 наименований.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, проведен анализ существующих в современной теории автоматического управления методов синтеза адаптивных наблюдателей переменных состояния динамических систем, сформулированы цели и задачи диссертационного исследования, кратко изложены теоретические и практические результаты работы, а также основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе описывается класс объектов управления, для которых решается задача синтеза наблюдателей переменных состояния, вводятся необходимые допущения, а также дается краткий сравнительный анализ известных решений, полученных ранее, для аналогичного, рассматриваемому в диссертационной работе, виду систем. В качестве объекта исследования рассматривается достаточно общий класс нелинейных систем, содержащий детерминированное возмущение в канале выходного сигнала:

Ж = f (x,t)+ g{x,u,n,t), у = h(x,t) + 5,

где х Е Rn - вектор переменных состояния, у Е R1 - выходной сигнал, и Е R1 -сигнал управления, п - вектор неизвестных (в общем случае) нестационарных параметров, 5 Е R1 - неизмеряемое детерминированное возмущающее воздействие.

Ставится задача синтеза адаптивного наблюдателя переменных состояния, обеспечивающего выполнение целевого условия вида:

lim \\x(t) - x(t)\\ < e,t ^ t1, (2)

где х(Ъ) - текущая оценка вектора переменных состояния х(Ъ), £ ^ 0 - некоторое малое число.

Допущение 1. В виду того, что класс нелинейных объектов (1) является достаточно обширным, то далее будем допускать, что система (1) может быть представлена в виде:

хЦ) = А(у,г)х(г) + в (и,г) + в(х,и)ф),

(3)

у(1) = С т(1)х(1) + 8(1).

Допущение 2. Матрицы А, В, С и в(х,и) в описании модели (3) - известны или измеряются.

Допущение 3. Пусть вектор неизвестных параметров ц^) является выходом нестационарного генератора вида:

* = ™ (4)

л(*) = н (г)ф),

где Г^) и Н(^ - известные нестационарные матрицы, = Со - вектор

неизвестных постоянных параметров.

Допущение 4. Возмущающее воздействие 8^) удовлетворяет условию:

|6(;£)| < 1, 0. (5)

Во второй главе рассматривается расширение метода СРЕБО для синтеза наблюдателей переменных состояния нелинейных нестационарных систем с известными параметрами. Дается вывод линейного регрессионного уравнения, полученного из динамической модели нелинейного объекта за счет ряда математических преобразований. Для полученного линейного регрессионного уравнения предлагается алгоритм идентификации неизвестных параметров, с помощью которых осуществляется восстановление вектора переменных состояния объекта управления. Проводится краткий обзор известных методов идентификации параметров при условии возмущений и предлагается новый подход, позволяющий существенно улучшить точность сходимости оцениваемых

параметров к истинным значениям и, как следствие, обеспечить улучшение оценок для вектора состояния. В главе предлагаются три примера, поясняющие суть предложенного подхода, а также иллюстрирующие улучшение точности оценивания переменных состояния по сравнению с известными аналогами.

Рассмотривается объект управления (3) при условии, что вектор неизвестных нестационарных параметров равен нулю, то есть ц(^) = 0. Модель (3) имеет вид:

% = А(у^х + В {u,t),

(6)

у = с т(г)х + ь.

В соответствии с методом синтеза обобщенного наблюдателя, основанного на оценке параметров (СРЕБО), модели (6) сопоставим динамическую систему вида:

(7)

£ = А(у,г)£ + В (и,г), Ф = А(у,ф,

где Ф - фундаментальная матрица [1]. Рассматривается сигнал модели ошибки

е := £ - х, (8)

тогда производная функции ошибки примет вид:

е = £ - х = А£ - Ах = Ае. (9)

Решение (9) может быть найдено в виде:

е(Ъ) = Ф(£)е(0), Ф(0) = I, I - единичная матрица. (10)

Определив е(0) := 0 и подставив вместе с (10) в модель ошибки, получим:

ж = £ - е = £ - Фе(0) = £ - Ф0. (11)

Умножив (11) слева на С т, получим

СтX = Ст£ - СтФ0 = у - ь, (12)

откуда следует

у — Ст£ = СтФв + 8. (13)

Вводится обозначения О := у — Ст£, фт := СтФ, приводя (13) к виду:

О = фте + 8. (14)

Очевидно, что для получения оценки вектора состояния динамической системы (6) требуется вычислить неизвестные начальные условия, выраженные в качестве вектора неизвестных параметров 6. Таким образом, для оценки вектора состояния системы (6) используется уравнение:

х = £ — Ф0, (15)

где 0 - вектор оценки неизвестных параметров 6.

Далее в главе для регрессионного уравнения (14) применяется процедура ДРСР, которая позволяет свести регрессионную модель вида (14) к набору скалярных уравнений вида:

ф) = А(1)6г + 8г(1), % = ТУь, (16)

где - регрессанд, А^) - регрессор, 6^ - скалярный параметр, подлежащий оцениванию, 8i(t) - возмущения в каналах измерений.

Далее для каждого из скалярных уравнений вида (16) применяется нелинейный оператор. В диссертационной работе предложено на выбор разработчика системы управления два нелинейных оператора, а именно:

— нелинейный оператор в виде возведения в степень,

— экспоненциальный нелинейный оператор.

Применение в данной диссертационной работе нелинейных операторов к каждому скалярному уравнению вида (16) приведет к появлению т новых регрессионных уравнений вида:

г = Фтл + о(г), (17)

где г Е К1, Ф Е - известный регрессор, п Е - вектор неизвестных параметров, о Е К1 - возмущающее воздействие, существенно уменьшенное по амплитуде по отношению к исходному сигналу 8^.

Кратко рассмотрим процедуру применения нелинейного оператора в виде возведения в степень. Начнем с простейшего случая - возведения в квадрат. Без потери общности, пренебрежем рассмотрением индексов в уравнении (16). Тогда процедура применения нелинейного оператора сводится к следующему:

д = Ав + Ь, (д - Ав)2 = Ь2, д2 = 2дАв - А2в2 + Ь2.

(18)

(19)

(20)

Таким образом, вместо исходного уравнения с одним неизвестным параметром получена новая регрессионная модель вида (17), содержащая два параметра:

г = Фтп + о(Ь),

(21)

где г = д2, Ъ= =

~2д А , П = П1 в

-А2 П2. в2

, о(Ъ) = Ь2.

Важно отметить, что с учетом допущения 4 имеем Ь2 < Ь.

Для сравнения был рассмотрен пример для возмущения Ь с амплитудой не больше 0,1. Очевидно, что новое или модифицированное возмущение, не превышает по амплитуде уровень 0,01. Таким образом амплитуда исходного возмущения была уменьшена в 10 раз за счет увеличения числа неизвестных параметров в два раза. Далее в главе был рассмотрен пример применения нелинейного оператора с процедурой возведения в куб и показано, что для одного и того же возмущающего воздействия увеличение числа слагаемых в уравнении (17) позволяет уменьшать амплитуду нового возмущения о(Ъ).

Теперь кратко рассмотрим процедуру использования экспоненциального нелинейного оператора. Запишем регрессию (16) в виде (22):

д(1) = А(1)в + 6Й, (22)

где к обеим частям уравнения (16) были применены линейные операторы

т =

к д(1), А(1) = -^~ А(1), ~Ь(1) = -^~ Ь(1).

к + р

к + р

к + р

(23)

Далее к обеим частям уравнения (22) применим оператор:

X = ^(¡) = = (24)

Важно отметить, что согласно допущению 4 выполняется |6| < 1. Разложим слагаемое е* в (24) в ряд Тейлора и рассмотрим несколько случаев такого разложения для различного количества членов. Начнем с простейшего случая разложения экспоненты в ряд Тейлора, ограничившись двумя первыми членами ряда, имеем:

х = (1 + $ - Де)^ * ^(^фкё-) ■ (25)

Продифференцировав левое выражение в (25), получим

$_д е

х = тЬ—Де X + Д ех. (26)

Путем простых преобразований из (25) и (26) получим новую регрессию:

г = фтл + о(г) = ^е + ^2е2 + о(г), (27)

где г = ¡¡, * = ], = Д$ + ¡Д, ^2 = - ДД, п = Щ] = [02],

о(Ъ) - малое возмущение, сформированное влиянием отброшенных членов разложения экспоненты в ряд Тейлора.

Для случая с тремя первыми членами ряда имеем следующую параметризацию:

г = "фи е + ф12е2 + ф1зе3 + о(г), (28)

где г = 1 ¡¡2, фи = ДЩ + 1 д2Д, Ф12 = -^Д- ДД¡, Ф13 = ^Д2Д, о(Ъ) - малое возмущение, сформированное влиянием отброшенных членов разложения экспоненты в ряд Тейлора.

В главе 2 был представлен метод разложения экспоненты в ряд Тейлора для первых (п +1) членов ряда. Были рассмотрены (п +1) первых членов разложения экспоненты в ряд Тейлора

X = е* = еАV = еАе ( 1 + 6 + • • • + ¡^+ , (29)

где

Wn+1 —

и получено уравнение общего вида

г — ЪТц + o(t) — ^10 + + • • • + -фп+1бП+1 + o(t),

Е

то=п+1

ml

(30)

n+1

(31)

где г — qqn,

,т

ФТ — [^1, ^2, ..., ^п+1], -Фп+1 — -ДА",

п = [т, П2, ..., Лп+1] = [е1, 02, ..., 0П+1 ], о(1) = ЪЪп.

Получить оценку параметра 0(Ь) из уравнений (21), (27), (28), (31) можно с использованием любых алгоритмов идентификации, например, с помощью процедуры ЭИЕМ и градиентного метода.

Далее в главе были представлены примеры и результаты компьютерного моделирования, иллюстрирующие работоспособность предложенных алгоритмов.

В третьей главе рассматривается решение задачи синтеза наблюдателей переменных состояния для нелинейных нестационарных систем с неизвестными переменными параметрами. Рассматривается математическая модель нелинейной системы вида:

x(t) — A(y,t)x(t) + В (u,t) + e(x,u)n(t),

y(t) — CT(t)x(t) + b(t),

ф) — H (t)Z(t),

Z — r(t)z,

(32)

где r(t) и H(t) - известные нестационраные матрицы, Z(t0) — Zo - вектор неизвестных постоянных параметров.

Аналогично процедуре, описанной во второй главе, модель (32) приводится к регрессионному уравнению вида

т

ÜZ — ФТ

Zo 0

+ 6,

(33)

где :— У - Ст1, фТ :— СТz -СТФ(Ъ)

т__

m

Таким образом в главе получена новая регрессионная модель, которая отличается от (14) наличием вектора неизвестных параметров Со. Для идентификации векторов неизвестных параметров е и £0 регрессионное уравнение (33) было преобразовано к набору скалярных уравнений вида (16), для чего, как и ранее, была использована процедура ДРСР. После был применен нелинейный оператор по аналогии с главой 2.

Предложенное решение проиллюстрировано примером синтеза наблюдателя переменных состояния для синхронного двигателя с постоянными магнитами. Результаты компьютерного моделирования иллюстрируют улучшение точности оценок по сравнению с известными аналогами.

В четвертой главе предложена упрощенная процедура идентификации для линейной регрессии, содержащей степенные функции от неизвестного постоянного параметра. Для простоты понимания и представления предложенного подхода было рассмотрено регрессионное уравнение, содержащее два неизвестных параметра:

Т1 = фи е + ф12е 2, (34)

где - неизвестное скалярное число.

К уравнению (34) применим линейный оператор :

Г2 = Ф21е + ф22е 2, (35)

где Г2 = ^ГЬ ф21 = ф22 = ^ф12, к> 0.

Далее была определена новая функция Ш1 := ^ = ф1^!"1^; = ф11+ф12е и

_ =_^ =_

Г; ф21 е+ф;;е 2 ф21+ф22е получено уравнение с одним неизвестным параметром :

гз = Фз1е, (36)

где гз = Г1Ф21 - Г2Ф11, Фз1 = (-Г1Ф22 + Г2Ф12).

Для того, чтобы свести регрессию третьего порядка, содержащую степенные функции от неизвестного параметра, к скалярной регрессии, необходимо применить процедуру (34)-(36) дважды.

В главе представлены результаты компьютерного моделирования, иллюстрирующие улучшение быстродействия параметрической сходимости в сравнении с известными аналогами.

В заключении отмечены выводы и результаты диссертационной работы, а также кратко обсуждены перспективы дальнейшего развития и применения предложенного подхода, связанного с использованием нелинейных операторов.

Публикации по теме диссертации

По теме диссертационного исследования было опубликовано 4 печатных работы, из которых 1 входит в перечень ВАК, а 3 из них опубликованы в научных изданиях, входящих в международные реферативные базы данных и системы цитирования (Web of Science и Scopus):

1. Vorobev V., Vedyakov A., Bespalov V., Pyrkin A., Bobtsov A., Ortega R. State Observer with Relaxed Excitation Conditions with Application to MagLev System. // 29th Mediterranean Conference on Control and Automation (MED).- IEEE, 2021. - С. 1185-1190.

2. Bespalov V.V., Vedyakov A.A., Vorobev V.S., Cherginets D.A., Pyrkin A.A. An Extension of Adaptive State Observers Using Dynamic Regressor Extension and Mixing With Relaxed Excitation Conditions //IFAC-PapersOnLine. - 2022. - Т. 55. - №. 12. - С. 330-335.

3. Воробьев В.С., Бобцов А.А. Упрощенный алгоритм идентификации для классической линейной регрессии, содержащей степенные функции от неизвестного параметра // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. 2023. №6. C.514—518.

4. Бобцов А. А., Воробьев В. С., Николаев Н. А., Пыркин А. А., Ортега Р. Синтез адаптивного наблюдателя переменных состояния для линейного стационарного объекта при наличии шумов измерений // Мехатроника, автоматизация, управление. 2023. №7. C.339-345.

Synopsis

General thesis summary

Relevance

Output-based control with partial measurement of the state variable vector is a classical problem of automatic control theory with significant applied importance. The works of russian and foreign scientists (B.R. Andrievsky, S.V. Aranovskiy, D.N. Gerasimov, A.I. Glushchenko, D.V. Efimov, A. Isidori, R. Marino, L. Markoni, V.O. Nokiforov, A.A. Pyrkin, R. Ortega, S. Sastry, A.L. Fradko, I.B. Furtat, A.M. Thykunov and others) consider both adaptive / non-adaptive and robust / non-robust methods for output-based control design. There are different methods for solving the problem of output control, but many of them involve the synthesis of estimation algorithms or observers of state variables (S.V. Aranovskiy, G. Besancon, D.V. Efimov, R. Kalman, A.A. Pyrkin, H. Khalil and others). In case when the synthesis of observers is based on adaptive approaches or when the plant parameters are partially or completely uncertain, so-called adaptive observers are used (H. Khalil, A.A. Pyrkin, S.V. Aranovskiy, R. Ortega, R. Marino, G. Besançon, G. Bastin, Q. Zhang and others). The development of adaptive variable-state observers for continuous systems is an important aspect in the field of control and process automation. Such observers allow obtaining information about the system's state, parameters and characteristics, which provides the opportunity to synthesize the desired control and ensure more efficient system operation.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Воробьев Владимир Сергеевич, 2023 год

- бп -

-— + -шп+1 = д е -т + д е шп+1 + шп+1. (2.69)

п! п!

Перегруппируем элементы в (2.69) и получим:

.бп ^ -п л

--¡- = де—+ д е - - шп+1 +шп+1. (2.70)

п! п! V у

-6 Ш„+1

Умножим обе части (2.70) на (п!):

-бп = де -п - п!бшп+1 + п!шп+1. (2.71)

Учитывая, что б = - - де, перепишем (2.71) в виде:

- (- - де )п = дд е (- - де )п + п! (-бшп+1 + . (2.72)

В уравнении (2.72) возведем выражение в скобках в степень п. В правой части уравнения сформируем коэффициенты перед степенями параметра . Вне зависимости от степени п можно определить коэффициент перед старшей степенью параметра е п+1, свободный элемент (оставим его в правой части уравнения) и член, зависящий от шп+1.

При таком преобразовании (2.72) примет вид:

--= -^е + ^е 2 + • • • + (-ддп) е п+1 + п! (--шп+1 + , (2.73)

—п+1 о(€)

где —1, ,—2, ... , — п+1 - некоторые коэффициенты, представленные функциями в виде линейных комбинаций произведений -, д и д-.

Рассмотрим шп+1. По определению (2.62):

бт

= У] .•

1 т!

т=п+1

Тогда производную сип+1 можно найти как:

/ бт\' ^ • -т-1 . -т-1

\т=п+1 / т=п+1 т=п+1

1п -п+1 \ . /-П \ --п

* бП+1 \ - /-П \ б б . . = б ~Г+, , -л, + .. О = б -г + С+1 = —г + б шп+1. (2.74) \п! (п +1)! ) \п! ) п!

При подстановке (2.74) в (2.73) получаем:

о(г) = п! (-бшп+1 + си=

^-б

б бп -

п![ --сип+1 + — + -сп+1 | = ббп. (2.75)

Несложно увидеть, что уравнение (2.73) сводится к виду (2.76) (соответствует (2.29)

г = ф ' п + о(г) = —1е + —2е2 + • • • + —п+1еп+1 + о(г), (2.76)

где

г = --,

ФТ =[—1, —2, ..., —п+1],

—п+1 = -дд™,

пТ = [П1, П2, ..., Пп+1] = [е1, е2, ..., еп+1], о(г) = ЬЬп .

Уравнение (2.76) может быть переписано в нормализованном виде, если обе части разделить на (п!). Таким образом получим форму, в которой коэффициенты новой регрессии после применения нелинейного экспоненциального оператора с разложением экспоненты в ряд Тейлора до (п+1) членов совпадают с результатами для случаев с двумя и тремя рассматриваемыми членами ряда:

г* = фТп + о(1) = —*е + —2е2 + • • • + —;+1 + о*®, (2.77)

где

У"*

д дп

П!

! '

фТ = №?, щ, ..., 1],

^П+1 = -

лт = [П1,

ддп

о*® =

П!

1, П2,

6 ьп

П!

Лп+1] = [е1, е2

., еп+1]:

2.3 Примеры

2.3.1 Пример 2.1. Аналитический пример сравнения значений ре-грессоров и возмущений до и после применения нелинейных операторов

Рассмотрим аналитический пример определения параметра е линейной регрессии (2.78) с возмущением 6, в котором будем считать регрессию (2.78) уже фильтрованной, т.е. д, Д известными:

д = е вт^) + 6; 6 = 0.1й т(2£);

е =1.

(2.78)

Для случая применения нелинейного экспоненциального оператора с разложением экспоненты в ряд Тейлора, ограничиваясь (п + 1) = 2 членами ряда, имеем значение П = 1.

Тогда в соответствии с формулой (2.76) имеем:

г = qq = ^6s in(t) + 6 6s in(t) + 6 6sin(t) + 0.1sin(2t))\б sin(t) + 0.1sin(2t))

= (^6cos(t) + 0.2cos(2t)j (Qsin(t) + 0.1sin(2t)J =

= 62 sin(t) cos(t) + 0,1s in(2t)cos(t )6 + 0,2 s in(t)cos(2t)6 + 0,02 s in(2t)cos(2t) = = 0,5sin(2t)62 + 0,1s in(2t)cos(t)6 + 0,2 s in(t)cos(2t)6 + 0,01co s(4t). (2.79)

С другой стороны, по той же формуле, первый элемент нового регрессора:

= Aq + qA = s г n(t)(6co s(t) + 0,2со s(2t)) + со s(t)(6s г n(t) + 0,1s г n(2t)) = = 0.5 s in(2t)6 + 0.2sin(t)cos(2t) + 0.5sin(2t)6 + 0.1cos(t)sin(2t) =

= 6s in(2t) + 0.2 s in(t)cos(2t) + 0.1cos(t)sin(2t), (2.80)

второй элемент нового регрессора:

= -AA = -sin(t)cos(t) = -0.5sin(2t), (2.81)

и, наконец, новое возмущение:

o(t) = 86 = 0.2cos(2t) * 0,1sin(2t) = 0.02cos(2t)sin(2t) = 0.01sin(4t). (2.82)

Из полученных выражений видно, что г = ^16 + "ф262 + o(t). Исходное соотношение максимума возмущения к максимальной амплитуде регрессора:

6 0,1s in(2t) 0,2 n( ) ( )

A sin(t) sin(t)

0,2соs(i)| < 0,2.

(2.83)

Теперь рассмотрим аналогичные соотношения для новой регрессии. Для функции "ф2 имеем соотношение:

о(1)

< 0,04,

(2.84)

а для —^

o(t) 0,lsin(2t)

—1 sin(2t) + 0.2sin(t)cos(2t) + 0.1cos(t)sin(2t)

0,2sin(t)cos(t) = 2sin(t)cos(t) + 0.2sin(t)cos(2t) + 0.2cos2 (t)sin(t) 0,1cos(t) 0,1cos(t)

сов(г) + 0.1сой(2£) + 0.1сой2(£) сой(^) + 0.1сой(2£) + 0.05(сой(2£) + 1)

= , , _, (2.85)

сов(г) + 0.15сой(2^) + 0.05' v ;

откуда локальный максимум отношения возмущения к коэффициенту —1:

тах1оса1 = 0,125, (2.86)

а локальный минимум - соответственно:

—1 12'

■miniocai ^ = ^, (2.87)

Обратим внимание, что локальные максимум и минимум рассматриваются,

o(t)

так как при определенных значениях t отношение - содежит неопределен-

—1

ность в виде деления на ноль.

По сравнению с исходными максимальными и минимальными значениями тах ("д^") = 0,2 и min ) = -0,2 получены новые значения

( °(t) \ 0125 • (\ 1 ф I ( °(t) \

maxioCa,i I — ) = 0,125 и mmi0Cai I — ) = — для функции — i, тах I — I =

0,04 и min ( —| = -0,04 для функции —2. Таким образом, аналитический —i

пример демонстрирует существенное уменьшение влияние возмущения на оценивание параметра.

2.3.2 Пример 2.2. Идентификация параметра линейной регрессии в условиях возмущения

Рассмотрим пример решения задачи идентификации неизвестного постоянного параметра регрессионного уравнения с одним неизвестным.

Для линейной регрессии

П = фб + 6, (2.

где Q, ф, б, 6 - скалярные сигналы, требуется получить такой алгоритм идентификации параметра б, чтобы выполнялось:

lim ||б(£) - б|| < е, t^ ti. (2.89)

t

Используя методику из раздела 2.2.2 приведем исходное уравнение (2.88) к виду (2.60), где были использованы первые три члена разложения в ряд Тейлора экспоненты.

Проведено моделирование метода (2.53)-(2.60) оценки параметра регрессии

- - 62

на основе разложения экспоненты в ряд Тейлора (е- = 1 + 6 +---) c филь-

2,

трованием сигналов согласно (2.46) и с последующим применением метода ДРСР (2.22)-(2.24) в сравнении с градиентным алгоритмом (2.19) при наличии различных типов возмущений.

Параметры моделирования заданы следующим образом:

б = 2 - оцениваемый параметр,

б(0) = 1,8 - начальное условие оценки параметра,

ф(£) = sin(t) - регрессор,

к = 1 - коэффициент фильтра (2.46),

а1 = ßi = 3, а2 = ß2 = 5 - коэффициенты фильтров в (2.22), к = 108 - коэффициент в методе градиентного спуска, который используется для оценивания параметра после применения нелинейного оператора и метода ДРСР,

Y - коэффициент в методе градиентного спуска, с которым идет сравнение:

бgradient = Уф (^ — фбgradient). (2.90)

Возмущения 6(t) заданы соответственно:

1. ( ) = n(10 )

2. 6(t) = 0.5

3. ( ) задано в виде равномерного случайного распределения на интервале (-0,5; 0,5)

11111111

ПН

0.5

'-о 0

-0.5

-1

У I II

О 2 4 6 8 10

[8]

Рисунок 2.24 — Исследуемое возмущение б(£) = зт(101)

Рисунок 2.25 — Сигнал -(£) - фильтрованное в соответствии с (2.46)

возмущение б^) = вт(101)

2.3.3 Пример 2.3. Синтез наблюдателя переменных состояния

Рассмотрим аналитический пример решения синтеза наблюдателя на базе СРЕБО, позволяющего улучшить точность сходимости оценки вектора состояний для системы (1.3). Пусть объект управления имеет следующие параметры,

w

e 4

^ 3

e

w

■ о

"a 2

e

«31

«ЗЬ 1

@gradient _ в

Л Д А

АаааМ А л АН««А1|

■ V ¥ wVVrjw п ^

1 J V

10

t, [s]

15

20

Рисунок 2.26 — Сигнал 6new - оценка параметра 6 при b(t) = sin(10t); сигнал 6gradient - оценка параметра 6 методом градиентного спуска (2.90)

Рисунок 2.27 — Исследуемое возмущение b(t) = 0,5

как и в [50]:

А =

" 0 1 0 , ст = г -|

, в = 50

-9 0 1 -

ж(0) =

b = 0.3sin(t), и = l(t), п = 0.

(2.91)

(2.92)

10

t, [s]

15

20

Рисунок 2Л

Сигнал 8(t) - фильтрованное в соответствии с (2.46) возмущение 8(t) = 0,5

40 60

t, [s]

Рисунок 2.29 — Сигнал Qnew - оценка параметра 6 при 8(t) = 0,5; сигнал 6gradient - оценка параметра 6 методом градиентного спуска (2.90)

В соответствие с методикой, представленной в данной главе, построим наблюдатель вектора состояния х(Ъ) согласно алгоритму, включающему в себя следующие шаги:

-0.2

-0.4

Рисунок 2.30 — Исследуемое возмущение б(£) задано в виде равномерного случайного распределения на интервале (-0,5; 0,5)

Рисунок 2.31 — Сигнал -(£) - фильтрованное в соответствии с (2.46) возмущение б(£), заданое в виде равномерного случайного распределения на

интервале (-0,5; 0,5)

1. приведение динамической модели (1.3) объекта с парметрами (2.91) к линейному регрессионному уравнению (2.9) с использованием метода СРЕБО (2.2)-(2.10),

30 40

t, [s]

Рисунок 2.32 — Сигнал 6new - оценка параметра 6 при b(t), заданном в виде равномерного случайного распределения на интервале (-0,5; 0,5); сигнал 6gradient - оценка параметра 6 методом градиентного спуска (2.90)

2. применение метода ДРСР (2.22)-(2.24) для перехода от одного уравнения с п неизвестными к п уравнениям, содержащим по одному неизвестному параметру,

1

3. применение линейного оператора-для каждого полученного уравне-

р + 1

ния для возможности измерения производных сигналов,

4. применение нелинейного оператора (2.47)-(2.60),

5. применение процедуры ДРСР (2.22)-(2.24),

6. идентификация каждого параметра скалярным методом градиентного спуска.

Результаты моделирования работы построенного наблюдателя приведены на рисунках 2.33 и 2.34. На рисунке 2.33 приведены результаты моделирования оценивания компонент вектора неизвестных параметров описанным выше предлагаемым методом и градиентным методом (2.19). Результаты моделирования предлагаемого сходятся гораздо точнее градиентного алгоритма, оценка которым содержит достаточно большую ошибку. На рисунке 2.34 представлены ошибки оценивания для каждого из двух элементов вектора неизвестных параметров. Графики показывают успешную работоспособность алгоритма.

, О! 2.5

' 2

- 1.5

щ

Й СЧ

1

1 0.5

Й 1-н

0

о

8

10

2 4 6

м

Рисунок 2.33 — Оценка параметра 6 с помощью предлагаемого алгоритма 6пет в сравнении с оценкой 6 градиентым методом

из

-1

-2

-3

-4

—

1 V/ —

-61 = X1 - хл

-б! = х2 - х2

10

и N

Рисунок 2.34 — Ошибки оценивания элементов вектора состояния х(Ъ)

предлагаемым алгоритмом

2.4 Выводы по главе 2

В главе был представлен новый метод синтеза наблюдателя переменных состояния нелинейной системы (1.3) при известных параметрах, но при наличии возмущающих воздействий в канале измерений. С использованием

метода СРЕБО была представлена процедура вывода регрессионной модели и предложен метод компенсации влияния возмущающих воздействий в канале измерения на оценки переменных состояния. В качестве метода компенсации влияния возмущающих воздействий был предложен новый подход, предусматривающий использование нелинейных операторов. В качестве нелинейных операторов были рассмотрены два варианта:

— нелинейный оператор в виде возведения в степень,

— нелинейный экспоненциальный оператор.

Были представлены примеры, которые иллюстрируют работоспособность предложенного метода. В качестве обобщения предлагается сводная таблица регрессоров, возмущений и коэффициентов новой регрессии при применении нелинейных операторов (см. таблицу 1 в Приложении Б). В таблице 1 Приложения Б приведены формы регрессоров, коэффициентов (элементов регрессора) и возмущений для новых регрессий после применения нелинейных операторов. Приведены данные для нелинейного оператора вида возведение в степень и для экспоненциального нелинейного оператора. Прочерками в таблице отмечены старшие коэффициенты, не существующие для данных показателей степени или количества рассматриваемых членов разложения экспоненты в ряд Тейлора. Знаком "Х"обозначены существующие коэффициенты, точную формулу которых сложно определить для рассматриваемых нелинейных операторов в общем виде.

ГЛАВА 3. Синтез адаптивного наблюдателя с неизвестными переменными параметрами

В главе рассматривается развитие метода синтеза наблюдателя переменных состояния нелинейной системы (1.3) при наличии возмущающих воздействий в канале измерений для случая неизвестных нестационарных параметров. Как и в главе 2 будет представлена процедура вывода регрессионной модели и предложен метод компенсации влияния возмущающих воздействий в канале измерения на оценки переменных состояния. Все результаты будут доказаны и проиллюстрированы примерами и графиками переходных процессов.

3.1 Приведение исходной нелинейной динамической модели с неизвестными переменными параметрами к линейному регрессионному уравнению

Как и в главе 2, рассмотрим объект управления (1.3) при условии, что вектор неизвестных нестационарных параметров ц(^) = 0 удовлетворяет допущению 3 (см. главу 1).

Таким образом, будем рассматривать систему:

x(t) = A(y,t)x(t) + В (u,t) + $(x,u)n(t), y(t) = С T(t)x(t) + b(t),

(3.1)

где вектор неизвестных параметров согласно допущению 3 имеет вид:

n(í) = н (t)Z(t),

¿ = r(í)C,

(3.2)

(3.3)

где T(t) и Н(t) - известные нестационраные матрицы, Z(t0) = Z0 - вектор неизвестных постоянных параметров (начальных условий уравнения (3.3)).

Поскольку = Н(£)£(£), где С(£) - решение дифференциального уравнения С = Г(£)С, то

ф) = Н (3.4)

где Ф= ЩФ&). Тогда получаем:

х = А(у )х(г) + в (и,г) + р(х, и)н (г)Фсс0. (3.5)

Применим подход синтеза наблюдателя состояния на основе метода СРЕБО. Рассмотрим два уравнения:

(3.6)

(3.7)

£ = А£ + в (и,г), х = А;г + в(х,и)н (г)Ф^(г).

При этом выполняется:

' Ф = АФ, Ф с = ГФС.

Зададим сигнал ошибки:

е := £ + гСо - х, (3.8)

тогда

е = £ + хСо - х = А£ + В(и,г) + А;?Со + в(х, и)Н(¿)Фс(£)Со-

-Ах - В(и,г) - в(х,и)Н(¿)ФсС0 = а(£ + гСо - х) = Ае, (3.9)

а следовательно имеем:

е(г) = Ф(г)б, (3.10)

где 6 = е(0) = ео. Таким образом:

х(Ь) = £ + ^Со - Ф(г)6. (3.11)

Умножив (3.11) на Ст, получим:

Стх = Ст£ + Ст^о - СтФ(г)6. (3.12)

Отсюда имеем:

у - Ст£ = Ст^о - СтФ(г)6 + Ь. (3.13) Обозначив ^ := У - Ст£, ф^ :=

+ Ь. (3.14)

Таким образом получена новая регрессионная модель, которая отличается от (2.9) наличием вектора неизвестных параметров £о. Для идентификации векторов неизвестных параметров 6 и £0 преобразуем регрессионное уравнение (3.14) к набору скалярных уравнений вида (2.18). для чего, как и ранее, воспользуемся процедурой ДРСР. После процедуры ДРСР применим нелинейный оператор по аналогии с главой 2.

Ст

-С тФ(г)

, получим новую регрессию:

т

= фс

Со 0

3.2 Пример. Синтез наблюдателя угловой скорости вращения ротора для синхронного двигателя с постоянными магнитами

Исследуем прикладную задачу определение угловой скорости вращения ротора для синхронного двигателя с постоянными магнитами (СДПМ). На практике при использовании датчиков может возникать помеха измерения выходного сигнала, что, соответственно, приводит к накапливанию ошибки при идентификации сигналов. Предложенный в предыдущих главах метод позволяет уменьшить влияние помехи на работу наблюдателя.

Рассмотрим модель СДПМ, которая по [51] имеет вид:

Л

= v — Ri,

Jw r = —Kwr + те — Tl,

6 г

= Wr

где

Л Е К2 - вектор магнитного потока, г Е К2 - силы токов, V Е К2 - напряжения, Я > 0 - сопротивление обмоток статора, 3 > 0 - момент инерции ротора, вг Е К - угловое положение ротора,

Е К - угловая скорость ротора, К ^ 0 - коэффициент вязкого трения, Ть Е К - момент внешней нагрузки, пр Е N - количество пар полюсов, Лт - поток, создаваемый постоянными магнитами.

СО^(Прд)

Поток удовлетворяет выражению Л = Ы + Лг

т = iTn.

0 —1 1 0

(3.15)

sin(np6)

Л - момент сил, развиваемый двигателем.

Измерение угла поворота ротора с помощью датчика может содержать возмущения в канале измерении, то есть на выходе датчика имеем сигнал::

у = Qr + 8, (3.16)

где рассматривается сигнал | 8 |< 1 согласно допущению 4.

В рассмотрение возьмем случай с постоянной нагрузкой: Tl = const. Целью является идентификация угловой скорости вращения ротора wr. Перепишем систему (3.15)-(3.16) в виде вход-состояние-выход:

х = Ах + В (те — tl); У = СТХ + 8,

(3.17)

где

А =

0 1

к

0 - 1.

в =

0 1

1

Ст =

10

в(х,и) = В и вектор нестационарных параметров ц^) = -ть. Вектор состояния в системе (3.17) выбран как:

х =

6

(3.18)

(3.19)

Построим для системы обобщенный наблюдатель, основанный на оценке параметров (СРЕБО). Для этого рассмотрим следующую модификацию СРЕБО из раздела 3.1. Сопоставим системе (3.17) динамическую систему:

£ =А£ + Вте,

X = А;? + В,

Ф = АФ, Ф(0) =

Ф с = 0, Ф^(0) =

10 01 10 01

Введем в рассмотрение сигнал модели ошибки:

е(1) = £(1) - тьх(I) -х(1).

Из (3.21) получим:

х = £ - тьх - е.

(3.20)

(3.21)

(3.22)

Найдем производую е из (3.21):

ё = £ - т ьх - х = А£ + Вте - ть(^Ах + в) - Ах + В(те - ть) = А (£ - тьх - х) + В(ге - ть - те + ть) = Ае.

(3.23)

Таким образом, учитывая (3.23), имеем:

е(г) = Ф(£)е(0) = Ф(г) ео. (3.24) Определив £(0) = 0 и 2:(0) = 0, из (3.21) получим:

е(0) = £(0) - ть г(0) - х(0) = -х(0). (3.25) Тогда из (3.24) и (3.25) получим:

е(г) = Ф(г)е(0) = Ф(г) ео = -Ф(£)х(0) = -Ф(г)хо. (3.26) Подставив в (3.22) значение (3.26), можно выразить х как:

х = £ - тьх + Фхо. (3.27) Выразим выход у через (3.27):

у = Стх + Ь = Ст (£ - тьг + Фхо) + Ь = Ст (£ - тьг) + СтФхо + Ь, (3.28) тогда

у - Ст£ = Сттьг + СтФхо + Ь, (3.29)

откуда, получим новую линейную регрессию с вектором неизвестных параметров хо, соответствующим начальным условиям вектора состояния системы (3.17):

и = ф

где, соответственно

т

ть

хо

+ Ь, (3.30)

и:= у-Ст£, ф :=

Ст

С тФ.

(3.31)

Оценив вектор параметров полученой регрессии (3.30) и подставив значение оценки хо в выражение (3.27), получим наблюдатель:

х = £ - тьх + Фхо. (3.32)

Для нахождения оценки вектора параметров полученной регрессии последовательно используем метод динамического расширения и смешивания регрессора (ДРСР или ЭИЕМ), описанный в разделе 2.2, чтобы получить три скалярные регрессии для каждой из компонент вектора параметров, а после - проведем идентификацию с помощью применения экспоненциального нелинейного оператора, предложенного в главе 2. При применении нелинейного экспоненциального оператора рассматриваются первые два члена разложения экспоненты в ряд Тейлора.

Работоспособность метода продемонтрирована моделированием в среде БтиПпк пакета МаШЬ. Были выбраны следующие параметры моделирования: Я = 8.875 Ом - сопротивление обмоток статора, Ь = 40.03 мГн - индуктивность, Ть = 0.2 Н-м- момент внешней нагрузки, ] = 59 • 106 кг^м2 - момент инерции ротора, пр = 5 - количество пар полюсов;

Лт = 0.2086 Вб - поток, создаваемый постоянными магнитами; К = 0.010 - коэффициент вязкого трения, w0 = 2 рад/с - начальная угловая скорость, 60 = 1 рад - начально угловое положение ротора.

Коэффициенты фильтров для преобразований выбраны раными к = 1, кроме коэффициентов фильтра для метода ДРСР а1 = в = 3 и а2 = |32 = 5. Коэффициенты усиления в методе градиентного спуска уТь = 3.68 * 1068, у1 = 1015 и у2 = 1010 для оценивания соответствующих элементов вектора Ть

параметров . Возмущение 6 задано в виде 6(£) = 0.5зтЫ + 0.2,згпЬ + 1.

Прочие величины и система управления скоростью приняты как в работе [52]. Результаты моделирования приведены на рисунках 3.1-3.4 В установившемся режиме ошибка оценивания угловой скорости для метода ДРСР составляет: -0.095, а для предлагаемого метода: 0.029.

Как видно из приведенных графиков, предлагаемый в диссертации метод, состоящий из синтеза наблюдателя на базе СРЕБО для системы, содержащей помехи измерения, и идентификации параметра регрессии с помощью нелиней-

з 60

S

50

40

щ 30

<3 20

10

-ю

¥ 0

о

8

10

Рисунок 3.1 — Оценивание w с помощью нелинейного экспоненциального оператора (индекс "new") и метода ДРСР (индекс "drem")

Рисунок 3.2 — Оценивание ть с помощью нелинейного экспоненциального оператора (индекс "new") и метода ДРСР (индекс "drem")

ного экспоненциального оператора, позволяет точно и быстро получить оценку угловой скорости ротора синхронного дивгателя с постоянными магнитами.

-5

-ю

^ -15

-20

1

1

-4;em(o -