Методы анализа устойчивости асимптотически инвариантных множеств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Купцова, Светлана Евгеньевна

• Купцова, Светлана Евгеньевна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Купцова, Светлана Евгеньевна

Введение

Глава 1. Об асимптотической устойчивости нелинейных систем дифференциальных уравнений.

Глава 2. Асимптотические положения покоя.

§2.1. Асимптотические положения покоя в дискретных системах.

§2.2. Асимптотические положения покоя в системах дифференциальных уравнений.

Глава 3. Асимптотически инвариантные множества.

§3.1. Асимптотически инвариантные множества в дискретных системах.

§3.2. Асимптотически инвариантные множества в системах дифференциальных уравнений.

§3.3. Асимптотически инвариантные множества в системах дифференциальных уравнений с возмущениями

§3.4. Оптимизационная задача демпфирования переходных процессов.

Глава 4. О возмущении траекторий автономных систем на плоскости.

§4.1. О возмущении траекторий автономных систем дифференциальных уравнений на плоскости в окрестности устойчивого предельного цикла.

§4.2. Оптимизационная задача демпфирования переходных процессов на плоскости.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы анализа устойчивости асимптотически инвариантных множеств»

Описание различных явлений, связанных с динамикой течения процессов, осуществляется во многих случаях с помощью нелинейных систем дифференциальных уравнений или, в конце концов, приводится к таким системам. Основная задача прикладной математики состоит в создании наиболее адекватного прогноза поведения системы, описывающей ту или иную физическую модель. Однако, ввиду того, что начальные условия и некоторые параметры системы не могут быть известны абсолютно точно, появляется необходимость исследования не только конкретного движения, но и целого семейства движений, окружающих выбранное. Так появилась проблема, связанная с одним из важнейших свойств систем дифференциальных уравнений, а именно, зависимость её решений от начальных данных и параметров.

Ответ на вопрос о непрерывной и непрерывно-дифференцируемой зависимости решений системы дифференциальных уравнений х = f(t,x,y) от начальных данных (to, жо) и параметров у впервые был дан независимо друг от друга Пикаром (см. Дарбу [11]) и Бендиксоном [10]. Что вместе с теоремой, известной как теорема Гейне-Кантора, о равномерной непрерывности заданной и непрерывной на компактном множестве функции (см., например, [13]), по-видимому, подтолкнуло А. М. Ляпунова, введя естественное обобщение на тот случай, когда некоторое решение системы определено на всей полуоси t ^ О, сформулировать для него понятия устойчивости и асимптотической устойчивости [2]. Самим Ляпуновым в этой работе было предложено несколько различных способов решения данной проблемы. В частности, один из методов, который называется вторым методом Ляпунова опирается на понятие положительно определённых функций, которые в некотором смысле определяют "меру" отклонения возмущённого движения системы от заданного невозмущённого движения той же системы. Теоремы Ляпунова об устойчивости и неустойчивости были обращены последователями этого направления области дифференциальных уравнений, в частности, Н.Н.Красовским [16], К.П. Персидским [38], И.Г. Малкиным [23], В. И. Зубовым [5], и, таким образом, предложенный А. М. Ляпуновым подход является критериальным. В [2] была доказана и основная качественная теорема теории устойчивости движений — теорема об исследовании устойчивости по линейному приближению. С помощью этого метода, Т. Иосидзавой [3] была изучена ограниченность решений, а распространение этих понятий на множества были произведены, в том числе, В.И. Зубовым [4], Т. Иосидзавой [3], Бхатиа и Сеге [9]. Вообще говоря, аналитическим исследованием устойчивости (при конечных и даже бесконечных областях притяжения) вторым методом Ляпунова посвящена обширная литература, в частности монографии [14, 15, 6, 16, 17]. Следует отметить, что многочисленные исследования на тему устойчивости были посвящены изучению вопроса о сохранении глобальных свойств систем дифференциальных уравнений при воздействии на них различного рода возмущений. В математической постановке это означает, что возмущаются начальные условия и сами уравнения, описывающие движение. Впервые влияние малых возмущающих сил на устойчивость движения механических систем исследовано Н. Г. Четаевым [18]. В дальнейшем задача устойчивости при постоянно действующих возмущениях исследовалась многими советскими авторами [19, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27]. Из результатов, полученных зарубежными авторами в этом направлении, отметим работы [17, 29, 30, 31, 32].

Необходимость проведения исследования такого типа задач возникает из того, что при описании реального процесса с помощью дифференциальных уравнений, как правило, не возможно определить все задействованные силы. К тому же на ход событий часто оказывают влияние внешние возмущающие факторы, учесть которые заранее практически невозможно, однако известно, что их влияние можно считать достаточно малым. В этом случае исследователи стараются рассмотреть основные силы, действующие на систему, пренебрегая "малыми". Поэтому, получив описание некоторого физического процесса в дифференциальных уравнениях, которые, вообще говоря, тоже являются приближёнными, важно выяснить, как меняются свойства решений при малых изменениях системы уравнений, то есть при переходе от первоначальной системы к возмущённой.

Ответ на данный вопрос играет огромную роль при проектировании и построении систем автоматического регулирования, так как гарантирует сохранение качественных свойств всех траекторий, находящихся в некоторой окрестности исследуемых движений, при неограниченном возрастании времени. В предлагаемом диссертационном исследовании нас будет интересовать вопрос, сохранит ли система то или иное свойство решений, связанное с устойчивостью, если на систему оказывает воздействие некая внешняя сила, исчезающая при неограниченном возрастании времени. Причём отличие этой силы от постоянно действующих возмущений заключается в том, что на начальном этапе она может принимать достаточно большие по модулю значения.

Исходя из разнообразия качественных свойств нелинейных систем, описывающих математические модели реальных явлений, некоторые авторы вводили различные модификации понятия устойчивости движения, отличающиеся от классического определения устойчивости по Ляпунову , например, в работе [1] изучается предельное поведение движений при неограниченном возрастании времени в том случае, когда предельное многообразие не состоит из траекторий системы дифференциальных уравнений, движения которой изучаются. Внимание исследователей к изучению данной проблемы привлёк В.В. Немыцкий [33], указывая на острую необходимость изучения такого рода движений. В широком классе случаев такое поведение движений сводится к появлению асимптотических положений покоя или расчётно устойчивых движений [34]. Здесь уместно отметить, что понятие асимптотического положения покоя было впервые введено и рассмотрено В.И. Зубовым, который и поставил перед автором данной работы задачу дальнейшего изучения этой проблемы. Его работы [1, 7, 8] и стали отправным пунктом для написания данной диссертационной работы.

В первом параграфе главы 2 введено и исследовано понятие асимптотического положения покоя для систем разностных уравнений.

Во втором параграфе дан метод исследования систем дифференциальных уравнений на наличие асимптотического положения покоя. Метод основан на построении функций типа Ляпунова и некоторой вспомогательной функции Л. В итоге, предложенную в работе В.И. Зубова [1] теорему удалось модифицировать на случай, когда производную функции Ляпунова, в силу рассматриваемой системы дифференциальных уравнений, невозможно представить в виде суммы положительно определённой и исчезающей при t —+00 функций. Также были получены достаточные условия наличия асимптотического положения покоя для траекторий системы дифференциальных уравнений в целом.

Здесь также можно отметить, что колебания в различных механических, электрических и радиотехнических системах изучаются в конечном счёте с помощью математического аппарата, связанного с нелинейными дифференциальными и разностными уравнениями. Развитие колебаний как в управляемых, так и в неуправляемых системах во многом определяется их стационарными режимами и поведением этих систем в окрестности упомянутых стационарных режимов. Данные колебания рассматриваются на инвариантных множествах и могут отвечать стационарным точкам, периодическим или почти периодическим решениям систем дифференциальных уравнений. Поэтому в этой работе основное внимание уделяется изучению вопроса о поведении интегральных кривых систем дифференциальных уравнений в окрестности периодических орбит и инвариантных множеств.

В первом параграфе третьей главы можно найти обобщение понятия асимптотического положения покоя на случай предельных инвариантных множеств систем разностных уравнений.

Во втором параграфе третьей главы произведено обобщение понятия асимптотического положения покоя на случай предельных траекторий и предельных инвариантных множеств систем дифференциальных уравнений.

Третий параграф этой главы посвящён исследованию асимптотических автоколебаний (или асимптотически инвариантных множеств) в системах дифференциальных уравнений с возмущениями. Напомним, что периодическим автоколебанием системы дифференциальных уравнений х = F(x) называется её периодическое решение, орбитально асимптотически устойчивое по Ляпунову.

А. А. Андронов поставил проблему изучения поведения возмущённой системы [35] х = F(x) + G(t, x) при различных возможных возмущениях G(t, х), а именно, сохраняется ли автоколебательный характер в возмущённой системе, иначе говоря, происходит ли затягивание движений в процесс автоколебания. Это усложняется тем, что инвариантное для невозмущённой системы множество М уже не будет в общем случае инвариантным множеством для возмущённой системы. Решением данной задачи занимался В. И. Зубов. В его работах [1, 6], были получены достаточные условия сохранения асимптотических автоколебаний у возмущённой системы, однако проверка ограниченности решений, вынесенная в условия теорем будет превращаться в целое дополнительное исследование, либо будет накладывать жёсткие ограничения на правые части системы. В данном разделе работы автору удалось сформулировать ряд утверждений, позволяющих обойти данную сложность.

В параграфе 3.4 рассматривается задача перевода траекторий системы дифференциальных уравнений в любую наперёд заданную окрестность некоторого множества с помощью управления оптимального в смысле демпфиривания функции, которая задаёт расстояние от текущей точки на траектории, соответствующей некоторому переходному процессу, до интересующего нас множества.

В первом параграфе четвёртой главе, на основе методов развитых в предыдущих главах, проведено исследование системы двух дифференциальных уравнений на плоскости на наличие асимптотически инвариантного множества. При условии того, что невозмущённая система имела асимптотически устойчивый предельный цикл, получены условия на правые части системы, при которых у возмущённой системы появляется асимптотически инвариантное множество, а возмущающая сила, исчезающая с течением времени, может принимать на начальном этапе достаточно большие по модулю значения.

В параграфе 4.2 четвёртой главы рассматривается ещё одна оптимизационная задача демпфирования переходных процессов. Для системы двух дифференциальных уравнений на плоскости имеющих устойчивый предельный цикл надо построить управление, оптимальное в смысле демпфирования функции V, которое бы при наличии возмущений в системе, сохраняло автоколебательный режим. Получены оценки на возмущения, и на время перехода изображающей точки движения в произвольную окрестность предельного цикла.

На данный момент математический аппарат для решения задач, связанных с исследованием на асимптотическую устойчивость решений систем дифференциальных уравнений, развит достаточно хорошо, и несмотря на то, что полученные результаты применимы к широкому классу уравнений, в общем случае проблема требует дальнейшего исследования. В частности, поиск функций Ляпунова представляет собой довольно сложную задачу, причём универсальных методов построения этих функций не существует, поэтому целесообразно было бы попытаться ослабить условие знакоопределённости производной функции Ляпунова в силу системы. Первыми в этом направлении можно считать работы [14, 16] Н.Н. Красовского и Е.А. Бар-башина, в которых был получен эффективный критерий асимптотической устойчивости, в предположении, что правые части уравнений возмущённого движения автономны или периодически зависят от времени. Позднее, в [12] была показана справедливость теоремы Барбашина-Красовского для почти периодических систем. В данной диссертационной работе, в главе 1 предложен следующий способ исследования асимптотической устойчивости нулевого решения нелинейных нестационарных систем дифференциальных уравнений. Выбираем достаточно простую положительно определённую функцию Ляпунова V и строим вспомогательную функцию A(t), которая ограничивает область отрицательности производной функции V в силу системы. А по виду функции A(t) мы делаем заключение о поведении решений исследуемой системы дифференциальных уравнений.

При написании работы автор пользовался следующими обозначениями: * — операция транспонирования, ||а; || = \Jx{ + х\ + . + — евклидова норма вектора, знак ■ по тексту обозначает конец доказательства.

При написании работы автор придерживался сквозной нумерации формул, определений и теорем внутри каждой главы. max ||Лж|| — матричная норма, МИ

W = (ё? Ю* ~ вект°Р градиента функции V х||=1

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Купцова, Светлана Евгеньевна

Заключение.

В данной диссертационной работе основное внимание уделено развитию идей второго метода Ляпунова. Дан метод исследования систем дифференциальных и разностных уравнений на наличие у них асимптотического положения покоя или асимптотически инвариантного множества. Получены модификации теоремы об асимптотической устойчивости нулевого решения системы нелинейных дифференциальных уравнений для случая, когда производная функции Ляпунова меняет знак. Здесь хотелось бы отметить, что основная трудность заключается в доказательстве продолжимости и ограниченности решений. Достаточно сильные ограничения на функции V, Z, а так же на вид области положительности производной функции V в силу системы, наложены именно из-за этого. Поэтому, если из каких-то соображений известно, что решения ограничены или хотя бы продолжимы при t ^ to, то условия теорем 1.1, 1.2, 3.4, 3.5 и 2.4 можно существенно ослабить.

В дальнейших исследованиях, метод, предложенный для анализа асимптотической устойчивости систем дифференциальных и разностных уравнений, или исследования систем на предмет наличия у них асимптотического положения покоя было бы интересно распространить на случай, когда мера области положительности производной функции V в силу системы не стремится к нулю при t ч- +оо, и даже на случай, когда к нулю стремится мера области отрицательности производной функции V в силу системы.

Исследованные в диссертационной работе системы могут быть также использованы в следующих задачах теории управления:

1. Пусть задана система х = f(x,y), y = g(t,y,u), относительно которой известно, что g(t, 0,0) = 0, а и является стабилизирующим управлением для второй подсистемы. Будет ли оно доставлять первой подсистеме свойство x(t,to,xo]yo) М при t +00, где М — замкнутое инвариантное множество системы х = f(x, 0) ?

2. Пусть задана система х = f(x,u) + h(t,x,y), y = g{t,y),

Предположим, что про вторую часть системы известно только то, что вектор-функция y(t) -> 0 при t +оо, то есть мы можем считать, что вторая часть системы не только не управляема, но и не наблюдаема. Требуется доставить системе свойство x(t) —> 0 при t +оо.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Купцова, Светлана Евгеньевна, 2006 год

1. Зубов В.И. Колебания и волны. - Л.: Изд. ЛГУ, 1989.

2. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. — М.: ГИТТЛ, 1950. - 472 с.

3. Yoshizawa Т. Stability Theory by Liapunov's Second Metod. The Math. Soc. of Japan, Tokio, 1996.

4. Зубов В.И. Устойчивость движения. М., 1973.

5. Зубов В.И. Лекции но теории унравления. — М.: Наука, 1975. — 496 с.

6. Зубов В.И. Методы A.M. Лянунова и их нрименение. — Л. Издатель- ство ЛГУ, 1957.

7. Зубов В.И. Доклады Академии наук СССР. 1990. Т. 312, М. 806- 808.

8. Зубов В.И. Доклады Академии наук СССР. 1990. Т. 310, №2. 288- 290.

9. Bhatia N. Р., Szego Р. Dynamical systems: stability theory and appli- cations // In. Lecture Notes in Mathematics, 35, Springer Verlag. 1967.

10. Bendixson I. Demonstration de l'existence de l'integrale d'une equation aux derivees partielles lineaire //Bull. Soc. Math. France. — 1896. — JV^24, Vol.3. - P. 220-225.- 9 7 -

11. Darboux G. Legons sur la theorie generale des surfaces. Vol. 5. — Paris: HfGauthier-Villars, 1896. - 363 p.

12. Савченко А.Я., Игнатьев A.O. Некоторые задачи устойчивости иеав- тоиомных динамических систем. Киев: Наукова думка, 1989. 208с.

13. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1. — М.: Высш. шк. - 1988. - 712 с.

14. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. — М.: Наука, 1970.

15. Демидович Б.Н. Лекции но математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967.

16. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959.

17. Ла-Салль Ж., Лефшец Исследование устойчивости нрямым мето- дом Лянунова. — М.: ИЛ, 1964.

18. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы но аналитической меха- нике. - М.: Изд-во АН СССР, 1962. - 535 с.

19. Артемьев Н.А. Осуществимые движения // Изв. АН СССР. Сер. ма- тематика. - 1939.- №3. - 351-367.

20. Горшин СИ. Об устойчивости движения с постоянно действующими возмущениями. // Изв. АН КазССР. Сер. математика и механика.—1948.- т.- 46-73.

21. Дубошин Г.Н. К вонросу об устойчивости движения относительно но- стоянно действующих возмущений. // Тр. Государ, астрон. ин-та им.Штернберга. — М.: Изд-во Моск. ун-та. — 1940. —14, №1. — 153-164.- 9 8 -

22. Малкин И,Г. Об устойчивости при постоянно действующих возмуще- ниях // Прикл. математика и механика. — 1944. — 8, J03. — 241-245,

23. Малкин И.Г. К вопросу об обращении теоремы Лянунова об асимнто- тической устойчивости // ПММ., Т.18, вып.2. — 1954.

24. Дёмин В.Г. Движение искусственного снутника в нецентральном поле тяготения. — М.: Наука, 1968. — 352 с.

25. Ворович И.И. Об устойчивости движения при случайных возмущени- ях // Изв. АН СССР. Сер. математика. - 1956. - 20, М. - 17-32.

26. Тихонов А.А. К задаче об устойчивости движения нри постоянно дей- ствующих возмущениях // Вестник Ленингр. ун-та. — 1969. — J\*^ 19. —С. 116-122.

27. Ханаев М.М. Усреднение в теории устойчивости: Исследование резо- нансных многочастотных систем. — М. Наука, 1986. — 192 с.

28. Чезари Л. Асимптотическое новедение и устойчиость решений обык- новенных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1964. — 477 с.

29. Руш Н., Абетс Н., Лалуа М. Нрямой метод Ляпунова в теории устой- чивости. - М.: Мир, 1980. - 300 с.

30. Lochar G. Sur le comportement d'um mouvement asymptotiquement sta- ble souniis a des perturbatous aleatories // C. r. Acad. sci. — 1964. — 258,N 7. - P. 1999-2002.

31. Lochar G. Sur les perturbations repidement oscillantes d'un systeme dy- namique a stabilite asymptotique // Ibid. — N 12. — P. 3172-3175.

32. Strauss A., Yorke J.A. Perturbation theorem for ordinary differential equa- tions // J. Dif. Equat. - 1967. - N 3. - P. 15-30.- 9 9 -

33. Немыцкий В,В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциаль- ных уравнений, — М., Л.: Гостехтеоретиздат, 1949. 550 с.

34. Зубов С В . Стабилизация динамических систем: Учебное пособие. СПб., 1993. 100 с.

35. Андронов А.А. Собрание трудов. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956. — 538 с.

36. Александров А.Ю. Устойчивость движений неавтономных динамиче- ских систем: — СПб.: Изд-во -Петерб. ун-та, 2004. — 186 с.

37. Александров А.Ю. Жабко А.П. Устойчивость разностных систем: Учеб. пособие. - СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2003. - 112 с.

38. Персидский К.П. Сб устойчивости решений дифференциальных урав- нений: ИАН Казахской ССР 97, вып.4. - 1950.

39. Тарасова Е, Об асимптотическом положении покоя. // Труды XXIX научной конференции факультета ПМ-ПУ СПбГУ "Процессы унрав-ления и устойчивость". - СПб: НИИ Химии СПбГУ, 1998, с. 100-105.

40. Тарасова Е. Поведение траекторий на плоскости в окрестности пре- дельного цикла. ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ:// Труды ХХХП научной конференции студентов и аспирантов фа-культета ПМ-ПУ. - СПб: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2001, с.116-118.