Исследование преобразований квантовых состояний в томографическом представлении при унитарной и неунитарной эволюции в квантовой оптике и квантовой механике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Дудинец Иван Васильевич

• Дудинец Иван Васильевич
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Дудинец Иван Васильевич

Введение

Глава 1. Квантовая частица, движущаяся в дельта потенциале,

в вероятностном представлении квантовой механики

1.1 Базовые понятия квантовой механики

1.1.1 Вектор состояния

1.1.2 Операторы

1.1.3 Матрица плотности

1.1.4 Когерентные состояния

1.2 функции распределения квазивероятностей в фазовом пространстве

1.2.1 функция Вигнера

1.2.2 функция Хусими

1.2.3 Связь функции Хусими и функции Вигнера

1.3 Вероятностный (томографический) формализм квантовой механики

1.3.1 Симплектическая и оптическая томограммы

1.3.2 Оптическая томограмма для чистого состояния

1.3.3 Томограмма счета фотонов

1.4 Энтропия фон Неймана

1.5 Томографические энтропии

1.6 Томограмма и функция Хусими частицы, движущейся в дельта потенциале

1.6.1 Связь функции Хусими и томограммы для частицы, движущейся в дельта-потенциале

1.6.2 функция Вигнера и томограмма для частицы, движущейся в поле двух дельта-потенциалов

1.6.3 Задача о встряхивании

1.6.4 Импульсное представление

1.7 Составные системы

Стр.

1.7.1 Сепарабельные и запутанные состояния

1.7.2 Сепарабельность и запутанность гауссовых состояний

Глава 2. Томограмма центра масс

2.1 Звездочное произведение

2.1.1 Связь между различными отображениями

2.1.2 Дуальная схема звездочного произведения

2.2 Симплектическое отображение

2.3 Отображение центра масс

2.4 Связь симплектического отображения и отображения центра масс

2.5 Отображение Вей ля

2.6 Кластерная томограмма

2.7 Совместное распределение вероятности для томограммы центра масс

2.8 Томограмма центра масс состояний двумодовых шредингеровских котов

Глава 3. Метод реплик и энтропия смеси двумодовых

Шредингеровских котов

3.1 Метод реплик в квантовой оптике и квантовой механике

3.2 Энтропия фон Неймана смеси когерентных состояний

3.3 Энтропия двумодовых Шредингеровских котов

3.4 Неравенство для параметров чистоты для двухчастичной системы

Глава 4. Квантовые корреляции системы двух связанных осцилляторов, взаимодействующих с двуми

тепловыми банями

4.1 Введение

4.2 Система связанных квантовых осцилляторов

4.3 Сепарабельность связанных осцилляторов

4.4 Приближение Вайскопфа-Вигнера

4.5 Квазиравновесное состояние системы двух связанных осцилляторов

Стр.

4.6 Функция Вигнера и матрица плотности квазиравновесного

состояния системы двух связанных квантовых осцилляторов

Глава 5. Томограммы /-осцилляторов

5.1 Классический и квантовый /-осцилляторы для одной моды

5.1.1 Классический /-осциллятор

5.1.2 Квантовый /-осциллятор и /-когерентные состояния

5.2 Примеры /-осцилляторов

5.3 Томограммы для /-осциллятора

5.4 Энтропийные неравенства для обобщенных полиномов Лагерра

5.5 Специальные деформации для двух мод

5.6 Суперпозиция двумодовых нелинейных когерентных состояний

5.7 Деформированное соотношение неопределенностей

Глава 6. Нелинейное кубитное отображение в вероятностном

представлении

6.1 Спиновая томограмма

6.2 Вероятностная параметризация матрицы плотности кубита

6.3 Нелинейное отображение

6.4 Относительная энтропия Тсаллиса

Заключение

Список используемых обозначений

Список литературы

Приложения А к Главе

Приложения Б к Главе

Приложения к Главе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование преобразований квантовых состояний в томографическом представлении при унитарной и неунитарной эволюции в квантовой оптике и квантовой механике»

Введение

Актуальность темы. Состояние классической частицы определяется ее координатой и импульсом в данной координате, т.е. точкой в фазовом пространстве. При наличии флуктуаций координаты или импульса, состояние классической частицы может быть задано функцией распределения в фазовом пространстве. Функция распределения является неотрицательной и нормированной функцией, определяющей плотность вероятности нахождения частицы в некоторой области точки фазового пространства, и маргинальные распределения которой дают плотность вероятности координаты или импульса частицы.

В квантовой механике ситуация значительно меняется. В этом случае состояние квантовой системы задается волновым вектором [1], являющийся элементом пространства Гильберта, ассоциируемого с исследуемой системой. Если неизвестен волновой вектор системы (например, если система может находиться с некоторой вероятностью в различных состояниях) или его не существует (например, рассматриваемая система является частью некоторой большей системы), то состояние описывается оператором плотности [2; 3], действующим в гильбертовом пространстве, связанным с системой. В координатном представлении волновой вектор называется волновой функцией, а оператор плотности становится матрицей плотности. Квадрат модуля волновой функции, а также диагональный элемент матрицы плотности имеют смысл плотности вероятности координаты квантовой частицы, однако ни фаза волновой функции, ни недиагональные элементы матрицы плотности такой ясной интерпретации не имеют.

Множество усилий было уделено поиску описания состояний квантовых систем, схожему с вероятностным описанием состояний в классической статистической механике. Одна из таких попыток была предложена Вигнером в 1932 году, согласно которой квантовым состояниям сопоставляется действительная функцией W(д,р) [4], определенная на фазовом пространстве и равная преобразованию Фурье матрицы плотности. Впоследствии функция стала называться функцией Вигнера. Ввиду обратимости преобразования Фурье, матрица плотности может быть восстановлена по соответствующей функции Вигнера. Следовательно, функция Вигнера действительно определяет квантовое состояние. Схожесть функции Вигнера с классическим распределением вероятности

обусловлена тем, что она нормирована и ее маргинальные распределения определяют плотности вероятности квантовой частицы по координате или импульсу. Тем не менее, функция Вигнера не является настоящей функцией распределения вероятностей, поскольку она может принимать отрицательные значения для некоторых состояний, а вероятность должна быть неотрицательной величиной. По этой причине функцию Вигнера называют функцией квазираспределения. Функцию Вигнера называют функцией квазираспределения.

Хусими в 1940 году ввел другую не менее известную функцию квазираспределения [5] . Функция Хусими, определяемая как диагональный матричный элемент оператора плотности системы в когерентном состоянии, связана с функцией Вигнера интегральным преобразованием с гауссовым ядром и, таким образом, является своего рода «сглаживанием» последней. Функция Хусими, также как функция Вигнера, определена на фазовом пространстве и нормирована, однако ее маргинальные распределения не приводят к правильным плотностям вероятностей координаты или импульса. Однако, функция Хусими неотрицательна для любых состояний.

Глаубером и Сударшаном в 1963 году была представлена еще одна функция на фазовом пространстве [6; 7], используемая для описания квантового состояния. Произвольный оператор плотности можно разложить по проекционным операторам на когерентные состояния. Весовая функция такого разложение играет роль плотности вероятности в фазовом пространстве и называется функцией Глаубера-Сударшана. Функцией Глаубера-Сударшана является обобщенной и для большинства квантовых состояний она сильно сингулярна. В дальнейшем было показано, что все введенные выше функции являются представителями однопараметрического семейства. Следует подчеркнуть, что в квантовой механике не существует совместной функции распределения координаты и импульса ввиду их одновременной неизмеримости. По этой причине все упомянутые ранее функции являются функциями квазираспределений.

Дж. и П. Бертранами была представлена оптическая томограмма п)(Х,6) [8; 9], являющаяся функцией распределения координаты X квантовой частицы в системе координат, повернутой на угол 6 в фазовом пространстве. Оптическая томограмма связана с функцией Вигнера преобразованием Радона [10]. Преобразование Радона [11] представляет собой обратимое отоб-

ражение, связывающее функцию двух переменных с функцией, определенной на множестве прямых на плоскости тех же переменных и равную интегралам от исходной функции вдоль всех прямых. Результаты Радона оказали большое влияние на рождение медицинской томографии. В медицинской томографии исследуется различные патологии организма при помощи облучения интересующего объекта (органа) и последующего восстановления его послойных изображений. В квантовой механике роль исследуемого объекта служит функция Вигнера, а ее преобразованием Радона является оптическая томограмма. Выражение оптической томограммы через волновую функцию было найдено в работе [12]. Оптическая томограмма применялась в экспериментах по го-модинному детектированию [13—15] (см. также [16]), в результате которых измеренная оптическая томограмма являлась инструментом для восстановления функции Вигнера, которая ассоциировалась с квантовым состоянием. Эти эксперименты оказали значительное влияние на развитие томографического представления квантовой механики и квантовой оптики [17; 18].

В 1996 году Манько и другими соавторами была введена симплектиче-ская томограмма [10], которая является обобщением оптической томограммы. Также как и оптическая томограмма, симплектическая представляет собой неотрицательную функцию распределения координаты X квантовой частицы в повернутой системе координат в фазовом пространстве. Важной отличительной особенностью симплектической томограммы является то, что в ней помимо информации о повороте системы координат необходима зависимость от взаимного взаимного масштаба (сжатия или растяжения) осей координаты и импульса. Данное обобщение позволило справиться со сложностями поиска уравнений эволюции для оптической томограммы. Уравнение эволюции, которым удовлетворят симплектическая томограмма, и являющиеся аналогом уравнения Шредингера, были получены в [19]. Интересным является тот факт, что симплектическая томограмма может быть получена через оптическую, несмотря на то, что последняя является частным случаем первой. Симплектическая томограмма чистого состояния выражается через волновую функцию этого состояния посредством интегрального преобразования, тесно связанного с интегралом Френеля [12; 20].

В работах [21; 22] (см. также [17; 23]) было предложено идентифицировать квантовые состояния с функциями распределения вероятностей — квантовыми томограммами, вместо волновых функций или матриц плотностей. Соответ-

ствующая формулировка квантовой механики была названа вероятностной (томографической) формулировкой или вероятностным представлением. Таким образом, в соответствии с вероятностной трактовкой квантовой механики состояние изначально определяется квантовой томограммой, которая может быть измерена экспериментально, при этом нет необходимости в процессе восстановления матрицы плотности или функции Вигнера. Средние значения, дисперсии, ковариации и высшие моменты физических наблюдаемых могут быть в явном виде выражены через томограммы. Поскольку томографические распределения вероятностей связаны с волновыми функциями или матрицами плотности с помощью обратимого интегрального преобразования, квантово-механические уравнения, такие как уравнение Шредингера для уровней энергии или для эволюции волновой функции могут быть переписаны как уравнения для томограмм состояний. Такие уравнения были получены как для симплектической томограммы [17], так и для оптической томограммы [24; 25]. Таким образом, томографическое представление квантовой механики с математической точки зрения является еще одним представлением квантово-механических уравнений. Основным преимуществом уравнений в томографическом представлении является то, что они написаны для истинных распределений вероятностей (fair probability distributions (англ.)) и являются альтернативой комплексным волновым функциям или матрицам плотности. Обзоры томографического представления квантовой механики представлены в [23; 26].

В связи с новой формулировкой квантовой механики возникает необходимость в исследовании различных квантовых систем в вероятностном представлении. Различными авторами были рассмотрены простейшие задачи, характеризуемые квадратичным потенциалом, такие как свободное движение, гармонический осциллятор, затухающий осциллятор и параметрический осциллятор. Также некоторые нестационарные системы, описывающиеся квадратичным по координате и импульсу гамильтонианом были исследованы в рамках этой новой формулировки квантовой механики. В то же время задачи, связанные с более сложными, неквадратичными потенциалами, например дельта-функция Дирака, представляют большой интерес. Поведение квантовой частицы, движущейся в дельта-потенциале хорошо изучено и волновая функция была получена в явном виде (см., например, [27]). Одной из целей данной работы заключается в изучении движения квантовой частицы в дельта-потенциале в формализме томографического представления квантовой механики.

Некоторые аспекты данной задачи были рассмотрены в [28—32]. Мы изучим связь решения уравнения Шредингера для этого потенциала с соответствующими решениями уравнений для оптической и симплектической томограмм и получим явные выражение для различных квазираспределений, определяющих связанное состояние.

Существуют другие томографические распределения вероятностей, которые могут быть отождествлены с квантовыми состояниями (см., например, [23]). Томограмма центра масс была представлена в [33; 34]. Идея введения еще одной функции распределения заключается в том, что для описания квантовых систем с N степенями свободы симплектическая томограмма использует 3Ж переменных (Ж-компонентного вектора координат системы, измеренных во всех возможных повернутых и подвергнутых изменению масштаба систем координат, определяемых двумя Ж-компонентными векторами), в то время как комплексная матрица плотности оперирует только с 2Ы переменными. На самом деле симплектическая томограмма, будучи однородной функцией, эффективно зависит от 2Ы независимых переменных и полностью определяет состояние системы. Однако описание эволюции системы в томографическом представлении возможно только при использовании всего набора из 3Ы переменных. Очевидно, что при большом N работать с 3Ы переменными значительно менее удобно, чем с 2Ж, даже если подразумевается описание состояний через неотрицательную функцию. Эту сложность с возрастание количества переменных удалось преодолеть при помощи томограммы центра масс, являющейся неотрицательной функции 2Ы + 1 переменных и описывающей состояние системы. Одна из целей нашей работы посвящена дальнейшему развитию формализма томограммы центра масс. Особое внимание уделено обобщению томограммы центра масс — кластерной томограмме, представляющую собой гибрид симплектической томограммы и томограммы центра масс.

Известно, что решение аналога уравнения Шредингера для уровней энергий некоторых потенциалов в томографическом представлении представляет значительные трудности. Тем не менее информационные свойства, такие как энтропия Шеннона [35] или энтропия Репьи [36], связанные с квантовыми состояниями легче объяснить в томографическом представлении [37]. С другой стороны, существуют сложности с получением явного вида широко используемой в квантовой теории информации энтропии фон Неймана систем с непрерывными переменными, связанные с необходимостью диагонализовывать

бесконечномерную матрицу плотности состояния системы. Примером состояний с непрерывными переменными являются когерентные состояния [7; 38]. Суперпозиция когерентных состояний обладает статистическими свойствами, отличными от когерентных состояний. Суперпозиция двух произвольных когерентных состояний была рассмотрена в [39]. Поскольку когерентные состояния, будучи чистыми квантовыми состояниями, интерпретируются как наиболее близкие к «классическим состояниям», суперпозиция когерентных состояний обычно рассматривается как состояния шредингеровских котов. Примером такой суперпозиции является четная и нечетная суперпозиции когерентных состояний |а) и | — а). Четные и нечетные когерентные состояния для одно-модовых систем были введены в [40] и изучены в [41; 42]. Также состояния были обобщение на случай многих мод [43; 44] и подробно изучались их свойства [45—50]. Запутанные когерентные состояния были рассмотрены в работе [51]. Четные и нечетные состояния шредингеровских котов обсуждались также в связи с использованием этих состояний для квантовых вычислений в качестве аналогов состояний кубита [52]. Ввиду возможного применения этих состояний в квантовой теории информации, необходимо изучить различные свойства состояний, например, энтропийные или другие квантовые неравенства, и получить соответствующие соотношения в явном виде.

Для преодоления трудностей, связанных с диагонализацией матриц плотностей состояний с непрерывными переменными авторы работы [53; 54] предложили использование метода реплик — инструмента, заимствованного из статистической физики и квантовой теории поля. В нашей работе мы используем метод реплик для нахождения явного вида энтропии фон Неймана для смеси четных и нечетных когерентных состояний. Мы также рассмотрим неравенство чистоты [55] для смеси двухмодовых когерентных состояний.

Запутанные состояния с непрерывными переменными имеют большое значение в квантовой теории информации ввиду их различного практического применения (см, например, [56]). В этой связи, запутанные гауссовские состояния также имеют большое значение. Более того, гауссовские состояния, особенно двумодовые гауссовские состояния, являются наиболее изученными среди состояний с непрерывными переменными в том смысле, что для них существует критерий сепарабельности [57] и явные формулы различных мер запутанности (см, например, [58; 59]).

и

В реальных экспериментах взаимодействие рассматриваемой системы с окружающей средой неизбежно. Это взаимодействие приводит к деградации запутанности в системе [60], т.е. количество запутанности снижается. Обычно в работах изучается случай, когда начальное состояние рассматриваемой системы предполагалось запутанным. С другой стороны, изначально сепарабельное состояние может стать запутанным в присутствии диссипации. Данное явление, называемое возникновение запутанности (the emergence of entanglement (англ.)), является предметом различных исследований (см, например, [61]). Таким образом, сохранение запутанности в затухающих системах заслуживает особого внимания.

Существует множество подходов к изучению систем с диссипацией, например, основанных на квантовании через классические интегралы движения [62] или подходы, связанные с взаимодействием рассматриваемой системы с тепловой баней. Одна из наиболее часто используемых моделей тепловой бани является набор квантовых гармонических осцилляторов [63]. Концепция сжатых состояний для изучения динамики слабо связанных осцилляторов был применен в [64]. Модель осциллятора, взаимодействующего с тепловым резервуаром, который состоит из осцилляторов, являлась предметом исследования в различных работах [65; 66]. Метод интегралов по путям был использован в 107 691 для анализа эволюции квантовых осцилляторов, взаимодействующих с тепловыми резервуарами. Динамика набора связанных осцилляторов, взаимодействующих с внешней средой, моделируемой набором независимых осцилляторов была рассмотрена в [61; 63; 70-72]. Динамика кубита, связанного с большим количеством квантовых осцилляторов, была изучена в [73].

В нашей работе мы изучаем два взаимодействующих квантовых осциллятора (мы его называем А осциллятор), каждый из которых взаимодействует со своей тепловой баней, характеризуемых своей собственной температурой. Каждая из бань моделируется бесконечным набором независимых гармонических осцилляторов (мы их обозначаем В осцилляторами). Мы предполагаем, что взаимодействие между рассматриваемыми осцилляторами и осцилляторами тепловых бань линейно по операторам их координат и импульсов. Наше исследование было мотивировано следующими фактами. Данная система была рассмотрена в 1984 году в работе [63]. Было показано, что во-первых, эволюция система такова, что состояние А осциллятора, будучи гауссовским в начальный момент времени, остается гауссовским в любой другой момент времени.

Следовательно, система полностью интегрируема, т.е. можно найти в явном виде матрицу плотности системы, а значит можно исследовать свойство системы аналитически. Во-вторых, при больших временах А осциллятор достигает равновесного состояния, которое не является гиббсовским и характеризуется температурами обоих бань. Несмотря на то, что решение системы было найдено достаточно давно, все последствия решения полностью не исследованы до сих пор. В нашей работе мы пытаемся заполнить данный пробел. Одной из наших целей является анализ свойства запутанности данной системы (в момент написания работы [63] не было такого понятия как запутанность квантовых состояний), а именно, мы показываем, что система связанных осцилляторов остается сепарабельной в произвольный момент времени для конкретных начальных условиях. Мы также изучаем асимптотическое состояние системы в случае слабого взаимодействия системы с тепловыми банями.

Нелинейности играют важную роль в различных областях физических явлений, в частности в нелинейной оптике (см., например, [74; 75]). Нелинейные колебания актуальны для задач квантовой механики, так как, например, они могут быть связаны с деталями энергетических спектров атомов и молекул или соответствовать поведению волн в случае очень высокой плотности вещества, которая эффективно создает нелинейность колебаний, даже если изначально колебания линейны. Таким образом, нелинейные колебания являются важным аспектом как в классической, так и квантовой физике при описании физических процессов в различных экстремальных условиях.

Модели пел и ценностей могут быть выбраны для выполнения некоторых требований, одним из которых может быть простота и ясная физическая интерпретация явлений. Такие модели могут быть связаны с математическими структурами, такими как деформированные алгебры или квантовые группы. Деформированные алгебры или квантовые группы проясняют математические свойства нелинейных моделей, однако они нуждаются в дополнительных физических аргументах для объяснения связи нелинейностей в физических процессах с математическими структурами, используемыми в квантовых группах и их применениях.

Одним из важных и простых примеров нелинейности в физическом процессе является процесс, вызванный так называемыми /-колебаниями. Понятие /-осциллятора, введенное в [76], связано с описанием специфических нелинейных колебаний как в классической, так и в квантовой механике, /-осциллятор

представляет собой нелинейный осциллятор со специфической зависимостью частоты колебаний от амплитуды, определяемой заданной функцией /. Были подробно изучены задачи на собственные значения для гамильтонианов, описывающих различные виды /-нелинейностей [77]. В наши дни нелинейный осциллятор привлекает внимание в связи с изучением неклассических фотонных состояний в квантовой оптике [78—81]. Возможность учесть/-нелинейность колебаний в некоторых случаях лазерного излучения была исследована в работе [82].

Другой известный пример нелинейных колебаний с экспоненциальной зависимостью частоты вибраций от энергии называется д-осциллятор [83; 84] и является частным случаем /-осциллятора, д-осциллятор обсуждается в литературе в связи с деформациями алгебр Ли (см. [85]) и является примером квантовой интегрируемой системы [86]. Некоторые аспекты ^-осциллятора были обсуждены в [87]. Также были предложения описывать возможную нелинейность классической электродинамики ^-осцилляторами [88].

Обычные когерентные состояния [6; 38], определяемые как собственные состояния бозонного оператора уничтожения, играют важную роль в квантовой оптике. Разработка лазеров позволило приготовить свет, поле которого очень близко к таким состояниям. Их поведение очень схоже с поведением классической волны. Средняя амплитуда напряженности электрического или магнитного поля линейно зависит от собственного значения оператора уничтожения и соответствующая дисперсия не зависит от амплитуды, она равна дисперсии вакуумного состояния. Когерентные состояния [6; 7; 89] также называют наиболее классическими состояниями света, так как минимизируют соотношения неопределенности Гейзенберга [90^92]. В контексте квантовой природы света когерентные состояния представляются менее интересными. Было проведено множество экспериментов, демонстрирующих такие неклассические эффекты, как сжатие, интибанчинг (antibunching (англ.)), суб-пуассоновская статистика. Кроме того, существуют интересные квантовые эффекты и связанные с ними квантовые состояния, которые трудно приготовить и обнаружить, а именно состояния суперпозиции, демонстрирующие квантовые интерференционные эффекты. Что касается неклассических эффектов, оказывается, что когерентные состояния определяют границу между классическим и неклассическим поведением, так что они не отображают ни одну из этих интересных особенностей.

С квантовыми /-осцилляторами тесно связано понятие /-когерентных состояний — собственных значений деформированного бозонного оператора, где деформация определяется операторнозначной функцией /, называемой функцией нелинейности. Такие состояния сохраняют типичные особенности когерентных состояний, такие как локализация их распределений в фазовом пространстве вокруг их средней комплексной амплитуды. С другой стороны, они проявляют такие неклассические свойства, как сжатие, интибанчинг, суб-пуассоновская статистика [93; 94] и квантовая интерференция. Последние свойство возникают из-за саморазделения этих состояний на чистые подсо-стояния, что в конечном итоге приводит к интерференции их собственных структур [81]. Было предложено множество теоретических схем реализации нелинейных когерентных состояний, основанных на оптомеханической микрополости [95], одноатомного лазера [96] и динамики экситона в квантовой точке [97]. Также было показано, что стационарные состояния движения центра масс захваченного иона [81] могут являться /-когерентными состояниями. Квантовый гармонический осциллятор, помещенный в яму с непроницаемыми стенками, может рассматриваться как /-осциллятор [98]. Кроме того квантовая частица, движущаяся в потенциале конечной дальности (finite range potential (англ.)) описывается методом /-деформированного осциллятора [99; 100]. Нелинейные когерентные состояния могут быть сгенерированы при вибрации графеновой мембраны [101]. Осциллятор с пространственно изменяющейся массой можно рассматривать как /-осциллятор с особым типом функции деформации [102]. Двумерную алгебру гармонического осциллятора на сфере можно рассматривать как деформированную одномерную алгебру гармонического осциллятора [103]. Также различные виды генераций нелинейных когерентных состояний предлагались в работе [104]. Было дано обобщение суперпозиции когерентных состояний на случай нелинейных состояний [105]. Различными авторами были предложены способы создания суперпозиции нелинейных когерентных состояний, а также запутанных нелинейных когерентных состояний [106—110]. Кроме того /-осцилляторы рассматривались в рамках симплектической томографии [111; 112]. Одной из целей настоящей работы является изучение состояний /-осцилляторов при помощи вероятностного представления, а также обобщение результатов работы [112] на случай многих мод, а также на случай томографии числа фотонов. Мы покажем, как выбор опреде-

ленного вида функции нелинейности / может приводить к запутанности между модами.

Чистые состояния кубита представляются вектором в двумерном гильбертовом пространстве, в то время как смешанные состояния описываются матрицами плотности р — двумерными эрмитовыми положительно определенными матрицами с единичным следом. Положительная определенность значит, что все собственные значения матрицы неотрицательны. Состояния кубитов являются, например, состояния двухуровневого атома или состояния частицы со спином 1/2. Так как матрицы плотности играют фундаментальную роль для описания физических систем, неудивительно, что множество исследований было уделено параметризации матриц плотности. Удобно выбранная параметризация может значительно упростить решение поставленной задачи, может помочь идентифицировать новые свойства системы, или она может быть использована для изучения свойств самих операторов плотности. Следовательно, желательно получить простую и интуитивно понятную параметризацию матриц плотности. Когда необходимо общее выражение для матриц плотности, условие положительности, как правило, является наиболее сложным.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дудинец Иван Васильевич, 2019 год

Список литературы

1. Schrödinger, Е. Quantisierung als Eigenwertproblem / E. Schrödinger // An-nalen der Physik. - 1926. - Vol. 384, no. 6. - P. 489-527.

2. Landau, L. Das dämpfungsproblem in der wellenmechanik / L. Landau // Zeitschrift für Physik. - 1927. - Vol. 45, no. 5/6. - P. 430-441.

3. Von Neumann, J. Wahrscheinlichkeitstheoretischer aufbau der quantenmechanik / J. Von Neumann // Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. — 1927. — Vol. 1927. - P. 245 272.

4. Wigner, E. On the quantum correction for thermodynamic equilibrium / E. Wigner // Physical Review A. - 1932. — Vol. 40, no. 5. — P. 749.

5. Husimi, K. Some Formal Properties of the Density Matrix / K. Husimi // Proceedings of the Physico-Mathematical Society of Japan. — 1940. — Vol. 22, no. 4. - P. 264 314.

6. Glauher, R. J. Photon Correlations / R. J. Glauber // Phys. Rev. Lett. — 1963. - Vol. 10. - P. 84-86.

7. Sudarshan, E. C. G. Equivalence of Semiclassical and Quantum Mechanical Descriptions of Statistical Light Beams / E. C. G. Sudarshan // Phys. Rev. Lett. - 1963. - Vol. 10. - P. 277-279.

8. Bertrand, J. A tomographic approach to Wigner's function / J. Bertrand, P. Bertrand // Foundation of Physics. — 1987. — Vol. 17, no. 4. — P. 397-405.

9. Vogel, К. Determination of quasiprobability distributions in terms of probability distributions for the rotated quadrature phase / K. Vogel, H. Risken // Physical Review A. - 1989. - Vol. 40, no. 5. - P. 2847.

10. Mancini, S. Wigner function and probability distribution for shifted and squeezed quadratures / S. Mancini, V. I. Man'ko, P. Tombesi // Quantum and Semiclassical Optics: Journal of the European Optical Society Part B. — 1995. - Vol. 7, no. 4. - P. 615 623.

11. Radon, J. On the determination of functions from their integral values along certain manifolds / J. Radon // IEEE transactions on medical imaging. — 1986. - Vol. 5, no. 4. - P. 170 176.

12. Man'ko, V. I. Non-commutative time-frequency tomography / V. I. Man'ko, R. V. Mendes // Physics Letters A. - 1999. - Vol. 263, no. 1. - P. 53 61.

13. Measurement of the Wigner distribution and the density matrix of a light mode using optical homodyne tomography: Application to squeezed states and the vacuum / D. Smithey [et al.] // Physical review letters. — 1993. — Vol. 70, no. 9. - P. 1244.

14. Homodyne estimation of quantum state purity by exploiting the covariant uncertainty relation / V. I. Man'ko [et al.] // Physica Scripta. — 2011. — Vol. 83, no. 4. - P. 045001.

15. Measurement of the Wigner distribution and the density matrix of a light mode using optical homodyne tomography: Application to squeezed states and the vacuum / D. T. Smithey [et al.] // Physical Review Letters. — 1993. - Vol. 70, no. 9. - P. 1244.

16. Lvovsky, A. I. Continuous-variable optical quantum-state tomography / A. I. Lvovsky, M. G. Raymer // Reviews of Modern Physics. — 2009. — Vol. 81, no. 1. - P. 299.

17. Mancini, S. Symplectic tomography as classical approach to quantum systems / S. Mancini, V. I. Man'ko, P. Tombesi // Physics Letters A. — 1996. — Vol. 213, no. 1. - P. 1-6.

18. An introduction to the tomographic picture of quantum mechanics / A. Ibort [et al.] // Physica Scripta. - 2009. - Vol. 79, no. 6. - P. 065013.

19. Mancini, S. Classical-like description of quantum dynamics by means of symplectic tomography / S. Mancini, V. I. Man'ko, P. Tombesi // Foundation of Physics. - 1997. - Vol. 27, no. 6. - P. 801-824.

20. Man'ko, V. Diffraction in time in terms of Wigner distributions and tomographic probabilities / V. Man'ko, M. Moshinsky, A. Sharma // Physical Review A. - 1999. - Vol. 59, no. 3. - P. 1809.

21. Mancini, S. Symplectic tomography as classical approach to quantum systems / S. Mancini, V. Man'Ko, P. Tombesi // Physics Letters A. — 1996. — Vol. 213, no. 1/2. - P. 1-6.

22. Mancini, S. Classical-like description of quantum dynamics by means of sym-plectic tomography / S. Mancini, V. I. Man'ko, P. Tombest // Foundations of Physics. - 1997. - Vol. 27, no. 6. - P. 801-824.

23. An introduction to the tomographic picture of quantum mechanics / A. Ibort [et al.] // Physica Scripta. - 2009. - Vol. 79, no. 6. - P. 065013.

24. Korennoy, Y. A. Probability representation of the quantum evolution and energy-level equations for optical tomograms / Y. A. Korennoy, V. I. Man'ko // Journal of Russian Laser Research. — 2011. — Vol. 32, no. 1. — P. 74.

25. Amosov, G. Description and measurement of observables in the optical tomographic probability representation of quantum mechanics / G. Amosov, Y. A. Korennoy, V. Man'ko // Physical Review A. - 2012. - Vol. 85, no. 5. - P. 052119.

26. Quantum Tomography twenty years later / M. Asorey [et al.] // Physica Scripta. - 2015. - Vol. 90, no. 7. - P. 074031.

27. Alheverio, S. Singular perturbations of differential operators: solvable Schrodinger-type operators. Vol. 271 / S. Albeverio, P. Kurasov. — Cambridge University Press, 2000.

28. Man'ko, V. Classical-like description of quantum states and propagator for particles in time-independent and dispersing 6 potentials / V. Man'ko, A. Chikhachev // Physics of Atomic Nuclei. — 2001. — Vol. 64, no. 8. — P. 1457-1463.

29. Blinder, S. Green's function and propagator for the one-dimensional 6-function potential / S. Blinder // Physical Review A. — 1988. — Vol. 37, no. 3. - P. 973.

30. Bauch, D. The path integral for a particle moving in a 6-function potential / D. Bauch // II Nuovo Cimento B (1971-1996). - 1985. - Vol. 85, no. 1. -P. 118-124.

31. Manoukian, E. B. Explicit derivation of the propagator for a Dirac delta potential / E. B. Manoukian // Journal of Physics A: Mathematical and General. - 1989. - Vol. 22, no. 1. - P. 67.

32. Dodo nor. V. / V. Dodonov, V. I. Man'ko, N. D. E. // Phys. Lett. A. -

1991. _ v0i. i66. _ p. 356^368.

33. Arkhipov, A. S. Tomography for several particles with one random variable / A. S. Arkhipov, Y. E. Lozovik, V. I. Man'ko // Journal of Russian Laser Research. - 2003. - Vol. 24, no. 3. - P. 237-255.

34. Arkhipov, A. S. Quantum transitions in the center-of-mass tomographic probability representation / A. S. Arkhipov, V. I. Man'ko // Physical Review A. _ 2005. - Vol. 71, no. 1. - P. 012101.

35. Shannon, C. E. A note on the concept of entropy / C. E. Shannon // Bell System Tech. J. - 1948. - Vol. 27, no. 3. - P. 379-423.

36. Renyi, A. Probability Theory / A. Renyi. — North-Holland, Amsterdam, 1970.

37. Man'ko, M. A. Probability description and entropy of classical and quantum systems / M. A. Man'ko, V. I. Man'ko // Foundations of Physics. — 2011. — Vol. 41, no. 3. - P. 330-344.

38. Glauber, R. J. Coherent and incoherent states of the radiation field / R. J. Glauber // Physical Review. - 1963. - Vol. 131, no. 6. - P. 2766.

39. Cahill, K. E. Density Operators and Quasiprobability Distributions / K. E. Cahill, R. J. Glauber // Phys. Rev. - 1969. - Vol. 177, issue 5. -P. 1882-1902.

40. Dodonov, V. V. Even and odd coherent states and excitations of a singular oscillator / V. V. Dodonov, I. A. Malkin, V. I. Man'ko // Physica. - 1974. -Vol. 72, no. 3. - P. 597-615.

41. Buzek, V. Superpositions of coherent states: Squeezing and dissipation / V. Buzek, A. Vidiella-Barranco, P. L. Knight // Phys. Rev. A. — 1992. — Vol. 45, issue 9. - P. 6570-6585.

42. Adam,, P. Amplitude squeezed and number-phase intelligent states via coherent state superposition / P. Adam, J. Jansky, A. V. Vinogradov // Physics Letters A. - 1991. - Vol. 160, no. 6. - P. 506-510.

43. Ansari, N. A. Photon statistics of multimode even and odd coherent light / N. A. Ansari, V. I. Man'ko // Phys. Rev. A. - 1994. - Vol. 50, issue 2. -P. 1942-1945.

44. Dodonov, V. Even and odd coherent states for multimode parametric systems / V. Dodonov, V. Man'Ko, D. Nikonov // Physical Review A. — 1995. — Vol. 51, no. 4. - P. 3328.

45. Dodonov, V. Nonclassical'states in quantum optics: asqueezed'review of the first 75 years / V. Dodonov // Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. - 2002. - Vol. 4, no. 1. — Rl.

46. Kis, Z. Nonlinear coherent states of trapped-atom motion / Z. Kis, W. Vogel, L. Davidovich // Physical Review A. - 2001. - Vol. 64, no. 3. - P. 033401.

47. Chountasis, S. Weyl functions and their use in the study of quantum interference / S. Chountasis, A. Vourdas // Physical Review A. — 1998. — Vol. 58, no. 2. - P. 848.

48. Mancini, S. The survival of quantum coherence in deformed-states superposition / S. Mancini, V. I. Man'ko // EPL (Europhysics Letters). — 2001. — Vol. 54, no. 5. - P. 586.

49. Perina, J. Quantum Statistics of Linear and Nonlinear Optical Phenomena (Dordrecht: Reidel) / J. Perina // Chap. - 1984. - Vol. 5. - P. 148.

50. Gerry, C. C. Generation of even and odd coherent states in a competitive two-photon process / C. C. Gerry, E. E. Hach III // Physics Letters A. — 1993. - Vol. 174, no. 3. - P. 185-189.

51. Sanders, B. C. Review of entangled coherent states / B. C. Sanders // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2012. — Vol. 45, no. 24. — P. 244002.

52. Applications of the Jaynes-Cummings model for the detection of nonorthogonal quantum states / M. Sasaki [et al.] // Physical Review A. — 1996. — Vol. 53, no. 3. - P. 1273.

53. Quantum entropic characterization of Gaussian optical transformations using the replica method / C. Gagatsos [et al.] // arXiv preprint quan-t-ph/1408.5062. - 2014.

54. Entropy generation in Gaussian quantum transformations: applying the replica method to continuous-variable quantum information theory / C. N. Gagatsos [et al.] // npj Quantum Information. — 2016. — Vol. 2. — P. 15008.

55. Man'ko, M. A. Deformed subadditivity condition for qudit states and hybrid positive maps / M. A. Man'ko, V. I. Man'ko // Journal of Russian Laser Research. - 2014. - Vol. 35, no. 5. - P. 509-517.

56. Braunstein, S. L. Quantum information with continuous variables / S. L. Braunstein, P. Van Loock // Reviews of Modern Physics. — 2005. — Vol. 77, no. 2. - P. 513.

57. Simon, R. Peres-Horodecki separability criterion for continuous variable systems / R. Simon // Physical Review Letters. — 2000. — Vol. 84, no. 12. — P. 2726.

58. Adesso, G. Entanglement in continuous-variable systems: recent advances and current perspectives / G. Adesso, F. Illuminati // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2007. - Vol. 40, no. 28. - P. 7821.

59. Plenio, M. B. An introduction to entanglement measures / M. B. Plenio, S. Virmani // arXiv preprint quant-ph/0504163. — 2005.

60. Li, G. X. Generation of entanglement and squeezing in the system of two ions trapped in a cavity / G. X. Li, S. P. Wu, G. M. Huang // Physical Review A. _ 2005. - Vol. 71, no. 6. - P. 063817.

61. Castro, A. de. Effect of dissipation and reservoir temperature on squeezing exchange and emergence of entanglement between two coupled bosonic modes / A. de Castro, R. Siqueira, V. Dodonov // Physics Letters A. — 2008. — Vol. 372, no. 4. - P. 367 374.

62. López, G. Quantum bouncer with dissipation / G. López, G. González // International Journal of Theoretical Physics. — 2004. — Vol. 43, no. 10. — P. 1999-2008.

63. Glauber, R. Damping and fluctuations in coupled quantum oscillator systems / R. Glauber, V. Man'ko // Sov. Phys. JETP. - 1984. - Vol. 60. -P. 450-457.

64. Alekseev, P. Squeezed states in the semiclassical limit / P. Alekseev, F. Mo-roseev // Journal of Experimental and Theoretical Physics. — 2009. — Vol. 108, no. 4. - P. 571—582.

65. Dodonov, V. Quantum nonstationary oscillator: models and applications / V. Dodonov, O. Man'ko, V. Man'ko // Journal of Russian Laser Research. — 1995. - Vol. 16, no. 1. - P. 1-56.

66. Tatarskh, V. I. Example of the description of dissipative processes in terms of reversible dynamic equations and some comments on the fluctuation-dissipation theorem / V. I. Tatarskii // Soviet Physics Uspekhi. — 1987. — Vol. 30, no. 2. - P. 134—152.

67. Dorofeyev, I. Quasi-equilibrium relaxation of two identical quantum oscillators with arbitrary coupling strength / I. Dorofeyev // Canadian Journal of Physics. - 2014. - Vol. 93, no. 7. - P. 750-759.

68. Dorofeyev, I. Dynamics and stationarity of two coupled arbitrary oscillators interacting with separate reservoirs / I. Dorofeyev // Journal of Statistical Physics. - 2016. - Vol. 162, no. 1. - P. 218-231.

69. Dorofeyev, I. Relaxation of two coupled quantum oscillators to quasi-equilib-rium states based on path integrals / I. Dorofeyev // Canadian Journal of Physics. - 2014. - Vol. 92, no. 10. - P. 1208-1222.

70. Martinez, E. A. Dynamics and thermodynamics of linear quantum open systems / E. A. Martinez, J. P. Paz // Physical review letters. — 2013. — Vol. 110, no. 13. - P. 130406.

71. Liu, K. L. Non-Markovian entanglement dynamics of quantum continuous variable systems in thermal environments / K. L. Liu, H. S. Goan // Physical Review A. - 2007. - Vol. 76, no. 2. - P. 022312.

72. Freitas, J. N. Dynamics of Gaussian discord between two oscillators interacting with a common environment /J.N. Freitas, J. P. Paz // Physical Review A. _ 2012. - Vol. 85, no. 3. - P. 032118.

73. Chakravarty, S. Dynamics of the two-state system with ohmic dissipation / S. Chakravarty, A. J. Leggett // Physical review letters. — 1984. — Vol. 52, no. 1. — P. 5.

74. Akhmanov, S. Nonstationary phenomena and space-time analogy in nonlinear optics / S. Akhmanov, A. Sukhorukov, A. Chirkin // Sov. Phys. JETP. — 1969. _ v0i. 28. - P. 748^757.

75. Akhmanov, S. A. Statistical phenomena in nonlinear optics / S. A. Akhmanov, A. S. Chirkin // Radiophysics and Quantum Electronics. — 1970. — Vol. 13, no. 6. - P. 619^648.

76. f-Oscillators and nonlinear coherent states / V. I. Man'ko [et al.] // Physica Scripta. - 1997. - Vol. 55, no. 5. - P. 528.

77. Mizrahi, S. S. / S. S. Mizrahi, J. P. Camargo Lima, V. V. Dodonov // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2004. — Vol. 37, no. 11. — P. 3707.

78. Faghihi, M. J. Number-phase entropic squeezing and nonclassical properties of a three-level atom interacting with a two-mode field: intensity-dependent coupling, deformed Kerr medium, and detuning effects / M. J. Faghihi, M. K. Tavassoly // J. Opt. Soc. Am. B. - 2013. - Vol. 30, no. 11. -P. 2810-2818.

79. Faghihi, M. J. Entanglement dynamics and position-momentum entropic uncertainty relation of a A-type three-level atom interacting with a two-mode cavity field in the presence of nonlinearities / M.J. Faghihi, M. K. Tavassoly, M. R. Hooshmandasl //J. Opt. Soc. Am. B. - 2013. - Vol. 30, no. 5. -P. 1109-1117.

80. Ali, S. T. Coherent states and Bayesian duality / S. T. Ali, J. Gazeau, B. Heller // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2008. — Vol. 41, no. 36. - P. 365302.

81. Matos Filho, R. L. de. Nonlinear coherent states / R. L. de Matos Filho, W. Vogel // Physical Review A. - 1996. - Vol. 54, no. 5. - P. 4560.

82. Kilin, S. Y. Single-atom laser generates nonlinear coherent states / S. Y. Kilin, A. B. Mikhalychev // Physical Review A. - 2012. - Vol. 85, no. 6. -P. 063817.

83. Biedenharn, L. C. The quantum group SU q (2) and a q-analogue of the boson operators / L. C. Biedenharn // Journal of Physics A: Mathematical and General. - 1989. - Vol. 22, no. 18. - P. L873.

84. Macfarlane, A. J. On q-analogues of the quantum harmonic oscillator and the quantum group SU(2) q / A. J. Macfarlane // Journal of Physics A: Mathematical and General. - 1989. - Vol. 22, no. 21. - P. 4581.

85. Daskaloyannis, C. Generalized deformed oscillator corresponding to the modified Poschl-Teller energy spectrum / C. Daskaloyannis // Journal of Physics A: Mathematical and General. - 1999. - Vol. 25, no. 8. - P. 2261.

86. Clemente-Gallardo, J. Towards a definition of quantum integrability / J. Clemente-Gallardo, G. Marmo // International Journal of Geometric Methods in Modern Physics. - 2009. - Vol. 6, no. 01. - P. 129^172.

87. Physical nonlinear aspects of classical and quantum q-oscillators / V. I. Man'ko [et al.] // International Journal of Modern Physics A. — 1993. - Vol. 8, no. 20. - P. 3577-3597.

88. Correlation functions of quantum q-oscillators / V. I. Man'ko [et al.] // Physics Letters A. - 1993. - Vol. 176, no. 3/4. - P. 173-175.

89. Klauder, J. R. Continuous-representation theory. I. Postulates of continuous-representation theory / J. R. Klauder // Journal of Mathematical Physics. - 1963. - Vol. 4. - P. 1055-1058.

90. Heisenberg, W. Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik / W. Heisenberg // Zeitschrift für Physik. — 1927. — Vol. 43, no. 3/4. - P. 172-198.

91. Sudarshan, E. C. G. Generalized uncertainty relations and characteristic invariants for the multimode states / E. C. G. Sudarshan, C. B. Chiu, G. Bhamathi // Phys. Rev. A. - 1995. - Vol. 52. - P. 43-54.

92. Dodonov, V. V. Generalized uncertainty relation and correlated coherent states / V. V. Dodonov, E. V. Kurmyshev, V. I. Man'ko // Physics Letters A. _ 1980. - Vol. 79, no. 2. - P. 150-152.

93. Roy, B. New nonlinear coherent states and some of their nonclassical properties / B. Roy, P. Roy // Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. - 2000. - Vol. 2, no. 1. - P. 65.

94. Safaeian, O. Deformed photon-added nonlinear coherent states and their non-classical properties / O. Safaeian, M. K. Tavassoly // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2011. - Vol. 44, no. 22. — P. 225301.

95. Yan, Y. Preparation of a nonlinear coherent state of the mechanical resonator in an optomechanical microcavity / Y. Yan, J. P. Zhu, G. X. Li // Opt. Express. - 2016. - Vol. 24, no. 12. - P. 13590-13609.

96. Kilin, S. Y. Single-atom laser generates nonlinear coherent states / S. Y. Kilin, A. Mikhalychev // Physical Review A. - 2012. - Vol. 85, no. 6. - P. 063817.

97. Harouni, M. B. Q-deformed description of excitons and associated physical results / M. B. Harouni, R. Roknizadeh, M. H. Naderi // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. — 2009. — Vol. 42, no. 9. — P. 095501.

98. Harouni, M. B. Spatial confinement effects on a quantum harmonie oscillator: nonlinear coherent state approach / M. B. Harouni, R. Roknizadeh, M. H. Naderi // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2008. - Vol. 42, no. 4. - P. 045403.

99. Darareh, M. D. Nonclassical properties of a particle in a finite range trap: The f-deformed quantum oscillator approach / M. D. Darareh, M. B. Harouni // Physics Letters A. - 2010. - Vol. 374, no. 40. - P. 4099-4103.

100. Darareh, M. D. A single trapped ion in a finite range trap / M. D. Darareh, M.B.Harouni //Annals of Physics. -2011. -Vol. 326, no. 4. -P. 968-978.

101. Harouni, M. B. Preparation of vibrational quantum states in nanomechanical graphene resonator /M.B. Harouni, M. Vaseghi // Laser Physics. — 2016. — Vol. 26, no. 11. - P. 115204.

102. Amir, N. Barut—Girardello Coherent States for Nonlinear Oscillator with Position-Dependent Mass / N. Amir, S. Iqbal // Communications in Theoretical Physics. - 2016. - Vol. 66, no. 1. - P. 41.

103. Mahdifar, A. Geometric approach to nonlinear coherent states using the Higgs model for harmonic oscillator / A. Mahdifar, R. Roknizadeh, M. Naderi // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2006. — Vol. 39, no. 22. - P. 7003.

104. Penson, K. New generalized coherent states / K. Penson, A. Solomon // Journal of Mathematical Physics. - 1999. - Vol. 40, no. 5. - P. 2354 2363.

105. Abbasi, O. Four-photon nonlinear coherent states / O. Abbasi, A. Jafari // Journal of Modern Optics. - 2017. — Vol. 64, no. 1. - P. 32 45.

106. Ka/rimi, A. Production of the superposition of nonlinear coherent states and entangled nonlinear coherent states / A. Karimi, M. Tavassoly // Communications in Theoretical Physics. — 2015. — Vol. 64, no. 3. — P. 341.

107. Generalized Schrôdinger cat states and their classical emulation / A. Perez-Leija [et al.] // Physical Review A. — 2016. — Vol. 93, no. 5. — P. 053815.

108. Karimi, A. Production, entanglement and polarization of nonlinear excited entangled coherent states of some realizations of the SU (1, 1) and SU (2) groups / A. Karimi, M. K. Tavassoly // International Journal of Theoretical Physics. - 2016. - Vol. 55, no. 1. - P. 563-576.

109. Afshar, D. Nonclassical properties and entanglement of superposition of two-mode separable nonlinear coherent states / D. Afshar, A. Anbaraki // JOSA B. - 2016. - Vol. 33, no. 4. - P. 558 565.

110. Honarasa, G. Entanglement of Photon-Added Nonlinear Coherent States Via a Beam Splitter / G. Honarasa, A. Bagheri, A. Gharaati // Reports on Mathematical Physics. - 2016. - Vol. 78, no. 2. - P. 245-252.

111. A tomographic setting for quasi-distribution functions / V. Man'ko [et al.] // Reports on Mathematical Physics. — 2008. — Vol. 61, no. 3. — P. 337—359.

112. Man'ko, V. I. Moyal and tomographic probability representations for f-oscil-lator quantum states / V. I. Man'ko, G. Marmo, F. Zaccaria // Physica Scripta. - 2010. - Vol. 81, no. 4. - P. 045004.

113. Parametrizations of density matrices / E. Briining [et al.] // Journal of Modern Optics. - 2012. - Vol. 59, no. 1. - P. 1-20.

114. Zyczkowski, K. Induced measures in the space of mixed quantum states / K. Zyczkowski, H.-J. Sommers // Journal of Physics A: Mathematical and General. - 2001. - Vol. 34, no. 35. - P. 7111.

115. Squaring parametrization of constrained and unconstrained sets of quantum states / N. Il'in [et al] // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2018. - Vol. 51, no. 8. - P. 085301.

116. Chernega, V. N. Triangle Geometry of the Qubit State in the Probability Representation Expressed in Terms of the Triada of Malevich's Squares / V. N. Chernega, O. V. Man'ko, V. I. Man'ko // Journal of Russian Laser Research. - 2017. - Vol. 38, no. 2. - P. 141-149.

117. Dodonov, V. Positive distribution description for spin states / V. Dodonov, V. Man'ko // Physics Letters A. - 1997. - Vol. 229, no. 6. - P. 335 339.

118. Man'ko, V. Spin state tomography / V. Man'ko, O. Man'ko // Journal of Experimental and Theoretical Physics. — 1997. — Vol. 85, no. 3. — P. 430—434.

119. Newton, R. G. Measurability of the spin density matrix / R. G. Newton, B. L. Young // Annals of Physics. - 1968. - Vol. 49, no. 3. - P. 393-402.

120. Am,iet, J.-P. Coherent states and the reconstruction of pure spin states / J.-P. Amiet, S. Weigert // Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. — 1999. - Vol. 1, no. 5. - P. L5.

121. Chernega, V. N. Triangle Geometry for Qutrit States in the Probability Representation / V. N. Chernega, O. V. Man'ko, V. I. Man'ko // Journal of Russian Laser Research. — 2017. — Vol. 38, no. 5. — P. 416 425.

122. Chernega, V. N. Quantum suprematism picture of Malevich's squares triada for spin states and the parametric oscillator evolution in the probability representation of quantum mechanics / V. N. Chernega, O. V. Man'ko, V. I. Man'ko // arXiv preprint arXiv:1712.01927. - 2017.

123. Nielsen, M. A. Quantum computation and quantum information / M. A. Nielsen, I. L. Chuang. — Cambridge university press, 2010.

124. Peres, A. Separability criterion for density matrices / A. Peres // Physical Review Letters. - 1996. - Vol. 77, no. 8. - P. 1413.

125. Horodecki, M. Separability of mixed states: necessary and sufficient conditions / M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki // Phys. Lett. A. — 1996. - Vol. 223. - P. 1.

126. Carteret, H. A. Dynamics beyond completely positive maps: Some properties and applications / H. A. Carteret, D. R. Terno, K. Zyczkowski // Physical Review A. - 2008. - Vol. 77, no. 4. - P. 042113.

127. Man'ko, V. I. Nonlinear channels of Werner states / V. I. Man'ko, R. S. Puzko // Journal of Russian Laser Research. — 2014. — Vol. 35, no. 4. - P. 362 368.

128. Man'ko, V. Entropic and information inequality for nonlinearly transformed two-qubit X-states / V. Man'ko, R. Puzko // EPL (Europhysics Letters). — 2015. - Vol. 109, no. 5. - P. 50005.

129. Beck, C. Thermodynamics of Chaotic Systems. An Introduction, Cambridge Nonlinear Science Series, Vol. 4 / C. Beck, F. Schlögl. — Cambridge University Press Cambridge (UK), 1993.

130. Tsallis, C. Escort mean values and the characterization of power-law-decaying probability densities / C. Tsallis, A. R. Piastino, R. F. Alvarez-Estrada // Journal of Mathematical Physics. — 2009. - Vol. 50, no. 4. - P. 043303.

131. Quantum state identification of qutrits via a nonlinear protocol / P. Pyshkin [et al.] // arXiv preprint quant-ph/1808.10360. — 2018.

132. Dudinets, I. V. Bound State of a Particle in the Dirac Delta Potential in the Tomographic-Probability Representation of Quantum Mechanics / I. V. Dudinets, V. I. Man'ko // Journal of Russian Laser Research. — 2013. — Vol. 34, no. 6. - P. 593-602.

133. Dudinets, I. V. Optical Tomograms and Husimi Q-Function for a Particle Moving in the Dirac Delta Potential / I. V. Dudinets, V. I. Man'ko // Journal of Russian Laser Research. — 2014. — Vol. 35, no. 5. — P. 470 477.

134. Dudinets, I. V. The replica method and entropy for a mixture of two-mode even and odd Schrodinger cat states / I. V. Dudinets, V. I. Man'ko // Journal of Russian Laser Research. — 2015. — Vol. 36, no. 3. — P. 251—257.

135. Dudinets, I. V. Center-of-Mass Tomography and Wigner Function for Multimode Photon States / I. V. Dudinets, V. I. Man'ko // International Journal of Theoretical Physics. — 2018. - P. 1-14.

136. Tomography on f-oscillators / I. Dudinets [et al] // Physica Scripta. —

2017. — Vol. 92, no. 11. - P. 115101.

137. Dudinets, I. Characterization of the nonlinear qubit map using the probability parametrization / I. Dudinets, V. Man'ko // EPL (Europhysics Letters). —

2018. - Vol. 123, no. 5. - P. 50004.

138. Dudinets, I. Quantum correlations for two coupled oscillators interacting with two heat baths / I. Dudinets, V. Man'ko // Canadian Journal of Physics. —

2019. — DOI: 10.1139/cjp-2019-0067.

139. Schleich, W. P. Quantum optics in phase space / W. P. Schleich. — John Wiley & Sons, 2011.

140. Dodonov, V. Theory of Non-Classical States of Light / V. Dodonov, V. I. Man'ko. — Francis Group, London, 2003.

141. Gerry, C. C. Nonclassical properties of correlated two-mode Schrodinger cat states / C. C. Gerry, R. Grobe // Physical Review A. — 1995. — Vol. 51, no. 2. - P. 1698.

142. Leonhardt, U. Measuring the quantum state of light. Vol. 22 / U. Leonhardt. — Cambridge university press, 1997.

143. Kenfack, A. Negativity of the Wigner function as an indicator of non-classi-cality / A. Kenfack, K. Zyczkowski // Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. — 2004. — Vol. 6, no. 10. — P. 396.

144. Weinbub, J. Recent advances in Wigner function approaches / J. Weinbub, D. Ferry // Applied Physics Reviews. — 2018. — Vol. 5, no. 4. — P. 041104.

145. Cahill, K. E. Ordered Expansions in Boson Amplitude Operators / K. E. Cahill, R. J. Glauber // Phys. Rev. - 1969. - Vol. 177, issue 5. -P. 1857-1881.

146. Agarwal, G. Calculus for functions of noncommuting operators and general phase-space methods in quantum mechanics. II. Quantum mechanics in phase space / G. Agarwal, E. Wolf // Physical Review D. — 1970. — Vol. 2, no. 10. - P. 2187.

147. Davidovic, D. When does a given function in phase space belong to the class of Husimi distributions? / D. Davidovic, D. Lalovic // Journal of Physics A: Mathematical and General. - 1993. - Vol. 26, no. 19. - P. 5099.

148. Towards higher precision and operational use of optical homodyne tomograms / M. Bellini [et al.] // Physical Review A. — 2012. — Vol. 85, no. 5. — P. 052129.

149. Interference and entanglement: an intrinsic approach / V. I. Man'ko [et al.] // J. Phys. A: Math. Gen. - 2002. - Vol. 35, no. 33. - P. 7137.

150. Reconstructing the density operator by using generalized field quadratures / G. D'Ariano [et al.] // Quantum and Semiclassical Optics: Journal of the European Optical Society Part B. — 1996. — Vol. 8, no. 5. — P. 1017.

151. Dodonov, V. V. Invariants and Evolution of Nonstationary Quantum Systems. Vol. 183 / V. V. Dodonov, V. I. Man'ko. — Proc. Lebedev Physics Institute, 1989.

152. Introduction to tomography, classical and quantum / M. M. A [et al.] // Nuovo Cim. C. - 2013. - Vol. 36. - P. 163.

153. Mancini, S. Density matrix from photon number tomography / S. Mancini, P. Tombesi, V. I. Man'ko // EPL (Europhysics Letters). - 1997. - Vol. 37, no. 2. - P. 79.

154. Wallentowitz, S. Unbalanced homodyning for quantum state measurements / S. Wallentowitz, W. Vogel // Physical Review A. — 1996. — Vol. 53, no. 6. — P. 4528.

155. Banaszek, K. Direct probing of quantum phase space by photon counting / K. Banaszek, K. Wodkiewicz // Physical review letters. — 1996. — Vol. 76, no. 23. - P. 4344.

156. Man'ko, M. A. Tomographic entropic inequalities in the probability representation of quantum mechanics / M. A. Man'ko, V. I. Man'ko // AIP Conf. Proc. (Mexico). Vol. 1488. - AIP. 2012. - P. 110-121.

157. Man'ko, 0. Quantum states in probability representation and tomography / O. Man'ko, V. I. Man'ko // Journal of Russian Laser Research. — 1997. — Vol. 18, no. 5. - P. 407-444.

158. Symplectic entropy / S. DeNicola [et al.] // Journal of Physics: Conference Series. Vol. 70. - IOP Publishing. 2007. - P. 012007.

159. Landau, L. D. Quantum mechanics: non-relativistic theory. Vol. 3 / L. D. Landau, E. M. Lifshitz. — Elsevier, 2013.

160. Gradshteyn, I. Table of Integrals, Series, and Products / I. Gradshteyn, R. IM. — Academic Press, 1980.

161. A transformational property of the Husimi function and its relation to the Wigner function and symplectic tomograms / V. A. Andreev [et al.] // Theoretical and Mathematical Physics. — 2011. — Vol. 166, no. 3. — P. 356.

162. Einstein, A. Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? / A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen // Physical review. — 1935. - Vol. 47, no. 10. - P. 777.

163. Bell, J. S. On the einstein podolsky rosen paradox / J. S. Bell // Physics Physique Fizika. - 1964. — Vol. 1, no. 3. - P. 195.

164. Aspect, A. Experimental test of Bell's inequalities using time-varying analyzers / A. Aspect, J. Dalibard, G. Roger // Physical review letters. — 1982. — Vol. 49, no. 25. - P. 1804.

165. Ekert, A. K. Quantum cryptography based on Bell's theorem / A. K. Ekert // Physical review letters. — 1991. — Vol. 67, no. 6. — P. 661.

166. Rieper, E. The relevance of continuous variable entanglement in DNA / E. Rieper, J. Anders, V. Vedral // arXiv preprint arXiv:1006.4053. — 2010.

167. Quantum entanglement / R. Horodecki [et al.] // Reviews of modern physics. - 2009. - Vol. 81, no. 2. - P. 865.

168. Horodecki, R. Violating Bell inequality by mixed spin-12 states: necessary and sufficient condition / R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki // Physics Letters A. - 1995. - Vol. 200, no. 5. - P. 340-344.

169. Horodecki, R. Quantum redundancies and local realism / R. Horodecki, P. Horodecki // Physics Letters A. - 1994. - Vol. 194, no. 3. — P. 147-152.

170. Horodecki, R. Quantum a-entropy inequalities: independent condition for local realism? / R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki // Physics Letters A. _ 1996. - Vol. 210, no. 6. - P. 377—381.

171. Information-theoretic aspects of inseparability of mixed states / R. Horodecki [et al.] // Physical Review A. - 1996. - Vol. 54, no. 3. - P. 1838.

172. Horodecki, M. Separability of mixed states: necessary and sufficient conditions / M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki // Physics Letters A. — 1996. - Vol. 223, no. 1. - P. 1—8.

173. St0rmer, E. Positive linear maps of operator algebras / E. St0rmer // Acta Mathematica. - 1963. - Vol. 110, no. 1. - P. 233-278.

174. Woronowicz, S. L. Positive maps of low dimensional matrix algebras / S. L. Woronowicz // Reports on Mathematical Physics. — 1976. — Vol. 10, no. 2. - P. 165—183.

175. Horodecki, M. Reduction criterion of separability and limits for a class of distillation protocols / M. Horodecki, P. Horodecki // Physical Review A. — 1999. - Vol. 59, no. 6. - P. 4206.

176. Breuer, H. P. Optimal Entanglement Criterion for Mixed Quantum States / H. P. Breuer // Phys. Rev. Lett. - 2006. - Vol. 97, issue 8. - P. 080501.

177. Hall, W. A new criterion for indecomposability of positive maps / W. Hall // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2006. — Vol. 39, no. 45. — P. 14119.

178. Horodecki, P. Separability criterion and inseparable mixed states with positive partial transposition / P. Horodecki // Physics Letters A. — 1997. — Vol. 232, no. 5. - P. 333^339.

179. Rudolph, 0. Some properties of the computable cross-norm criterion for separability / O. Rudolph // Physical Review A. - 2003. - T. 67, № 3. -C. 032312.

180. Chen, K. A matrix realignment method for recognizing entanglement / K. Chen, L.-A. Wu // arXiv preprint quant-ph/0205017. - 2002.

181. Horodecki, P. Bound entanglement and continuous variables / P. Horodecki, M. Lewenstein // Physical review letters. — 2000. — Vol. 85, no. 13. — P. 2657.

182. Brufi, D. Construction of quantum states with bound entanglement / D. Bru£, A. Peres // Physical Review A. - 2000. - Vol. 61, no. 3. - P. 030301.

183. Horodecki, M. Separability of mixed quantum states: linear contractions and permutation criteria / M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki // Open Systems & Information Dynamics. — 2006. — Vol. 13, no. 1. — P. 103—111.

184. Doherty, A. C. Distinguishing separable and entangled states / A. C. Doherty, P. A. Parrilo, F. M. Spedalieri j j Physical Review Letters. - 2002. - Vol. 88, no. 18. - P. 187904.

185. Giihne, 0. Entanglement detection / O. Giihne, G. Tôth // Physics Reports. - 2009. - Vol. 474, no. 1-6. - P. 1-75.

186. Nha, H. Uncertainty inequalities as entanglement criteria for negative partial-transpose states / H. Nha, M.S. Zubairy / / Physical review letters. — 2008. - Vol. 101, no. 13. - P. 130402.

187. Adesso, G. Extremal entanglement and mixedness in continuous variable systems / G. Adesso, A. Serafini, F. Illuminati // Physical Review A. — 2004. — Vol. 70, no. 2. - P. 022318.

188. Man'ko, O. V. Alternative commutation relations, star products and tomography / O. V. Man'ko, V. I. Man'ko, G. Marmo // Journal of Physics A: Mathematical and General. - 2002. - Vol. 35, no. 3. - P. 699.

189. Wünsche, A. Ordered moments and relation to Radon transform of Wigner quasiprobability / A. Wünsche // Journal of Modern Optics. — 2000. — Vol. 47, no. 1. - P. 33-56.

190. Man'ko, V. Time-dependent invariants and Green functions in the probability representation of quantum mechanics / V. Man'ko, L. Rosa, P. Vitale // Physical Review A. - 1998. - Vol. 57, no. 5. - P. 3291.

191. Arkhipov, A. S. Center of mass tomography for reconstructing quantum states of multipartite systems / A. S. Arkhipov, Y. E. Lozovik, V. I. Man'ko // Physics Letters A. - 2004. - Vol. 328, no. 6. - P. 419-431.

192. Raymer, M. Two-mode quantum-optical state measurement: Sampling the joint density matrix / M. Raymer, D. McAlister, U. Leonhardt // Physical Review A. - 1996. - Vol. 54, no. 3. - P. 2397.

193. Raymer, M. Quantum-state tomography of two-mode light using generalized rotations in phase space / M. Raymer, A. Funk // Physical Review A. — 1999. - Vol. 61, no. 1. - P. 015801.

194. Star products, duality and double Lie algebras / O. V. Man'ko [et al.] // Physics Letters A. - 2007. - Vol. 360, no. 4. - P. 522-532.

195. Man'ko, V. I. Phase space distributions and a duality symmetry for star products / V. I. Man'ko, G. Marmo, P. Vitale // Physics Letters A. — 2005. - Vol. 334, no. 1. - P. 1-11.

196. The quantum-to-classical transition: contraction of associative products / A. Ibort [et al.] // Physica Scripta. - 2016. - Vol. 91, no. 4. - P. 045201.

197. Holevo, A. S. Statistical structure of quantum theory. Vol. 67 /

A. S. Holevo. — Springer Science & Business Media, 2003.

198. Tsallis, C. Possible generalization of Boltzmann-Gibbs statistics / C. Tsallis // Journal of statistical physics. - 1988. - Vol. 52, no. 1/2. — P. 479-487.

199. Ca,Han, C. On geometric entropy / C. Callan, F. Wilczek // Physics Letters

B. - 1994. - Vol. 333, no. 1/2. - P. 55-61.

200. Mezard, M. Spin glass theory and beyond: An Introduction to the Replica Method and Its Applications. Vol. 9 / M. Mezard, G. Parisi, M. Virasoro. — World Scientific Publishing Company, 1987.

201. Glauber, R. Coherence and quantum detection / R. Glauber. — 1969. — P. 15.

202. Glauber, R. J. Quantum theory of optical coherence: selected papers and lectures / R. J. Glauber. — John Wiley & Sons, 2007.

203. Gordon, J. Quantum statistics of masers and attenuators / J. Gordon, L. Walker, W. Louisell // Physical Review. - 1963. - Vol. 130, no. 2. -P. 806.

204. Weisskopf] V. Berechnung der natürlichen linienbreite auf grund der dirac-schen lichttheorie / V. Weisskopf, E. Wigner. — 1997.

205. Scully, M. 0. Quantum optics / M. O. Scully, M. S. Zubairy. - AAPT, 1999.

206. Sebawe, M. A. Anisotropie time-dependent coupled oscillators / M. A. Se-bawe // Physical Review A. - 1990. - Vol. 41, no. 7. - P. 3775.

207. Thermal vacuum state for the two-coupled-oscillator model at finite temperature: Derivation and application / X. X. Xue [et al.] // Chinese Physics B. — 2013. - Vol. 22, no. 9. - P. 090302.

208. Streater, R. The representations of the oscillator group / R. Streater // Communications in Mathematical Physics. — 1967. — Vol. 4, no. 3. — P. 217—236.

209. Brandt, R. A. Generalized Bose operators in the Fock space of a single Bose operator / R. A. Brandt, O. Greenberg // Journal of Mathematical Physics. — 1969. - Vol. 10, no. 7. - P. 1168-1176.

210. Odaka, K. On quantization of simple harmonic oscillators / K. Odaka, T. Kishi, S. Kamefuchi // Journal of Physics A: Mathematical and General. - 1991. - Vol. 24, no. 11. - P. L591.

211. Trapped ions in laser fields: a benchmark for deformed quantum oscillators / V. Man'ko [et al] // Physical Review A. - 2000. - Vol. 62, no. 5. -P. 053407.

212. Remarks on the q-quantization / A. Jannussis [et al.] // Lettere Al Nuovo Cimento (1971-1985). - 1981. - Vol. 30, no. 4. - P. 123-127.

213. Kulish, P. On the q oscillator and the quantum algebra suq (1, 1) / P. Kulish, E. Damaskinsky // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1990. - Vol. 23, no. 9. - P. L415.

214. Jannussis, A. Quantum groups and Lie-admissible time evolution / A. Jan-nussis, G. Brodimas, R. Mignani // Journal of Physics A: Mathematical and General. - 1991. - Vol. 24, no. 14. - P. L775.

215. Agarwal, G. Nonclassical properties of states generated by the excitations on a coherent state / G. Agarwal, K. Tara // Physical Review A. — 1991. — Vol. 43, no. 1. - P. 492.

216. Sivakumar, S. Photon-added coherent states as nonlinear coherent states / S. Sivakumar // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1999. — Vol. 32, no. 18. - P. 3441.

217. De los Santos-Sanchez, 0. Nonlinear coherent states for nonlinear systems / O. De los Santos-Sanchez, J. Recamier // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2011. - Vol. 44, no. 14. - P. 145307.

218. Recamier, J. Construction of even and odd combinations of Morse-like coherent states / J. Recamier, R. Jauregui // Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. — 2003. — Vol. 5, no. 3. — S365.

219. New uncertainty relations for tomographic entropy: application to squeezed states and solitons / S. De Nicola [et al] // The European Physical Journal B-Condensed Matter and Complex Systems. — 2006. — Vol. 52, no. 2. — P. 191—198.

220. Osborn, T. Moyal phase-space analysis of nonlinear optical Kerr media / T. Osborn, K.-P. Marzlin // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2009. - Vol. 42, no. 41. - P. 415302.

221. Temporally stable coherent states for infinite well and Poschl-Teller potentials / J. P. Antoine [et al.] // Journal of Mathematical Physics. — 2001. — Vol. 42, no. 6. - P. 2349 2387.

222. Man'ko, M. A. Properties of nonnegative Hermitian matrices and new entropic inequalities for noncomposite quantum systems / M. A. Man'ko, V. I. Man'ko // Entropy. - 2015. - Vol. 17, no. 5. - P. 2876 2894.

223. Lieb, E. H. Proof of the strong subadditivity of quantum-mechanical entropy / E. H. Lieb, M. B. Ruskai // Journal of Mathematical Physics. — 1973. — Vol. 14, no. 12. - P. 1938-1941.

224. Quantum limits in interferometric gravitational-wave antennas in the presence of even and odd coherent states / N. A. Ansari [et al.] // Physical Review A. _ 1994. - Vol. 49, no. 3. - P. 2151.

225. Schrddinger, E. j E. Schrodinger // Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. — 1930. - Vol. 14. - P. 296.

226. Robertson, H. P. A general formulation of the uncertainty principle and its classical interpretation / H. P. Robertson // Physical Review. — 1930. — Vol. 35. - P. 667.

227. A possible experimental check of the uncertainty relations by means of homo-dyne measuring field quadrature / V. I. Man'ko [et al] // Advanced Science Letters. - 2009. - Vol. 2, no. 4. - P. 517-520.

228. Man'ko, V. I. Experimental limit on the blue shift of the frequency of light implied by a q-nonlinearity / V. I. Man'ko, G. M. Tino // Physics Letters

A. _ 1995. _ Vol. 202, no. 1. - P. 24-27.

229. Agarwal, G. S. Nonclassical properties of states generated by the excitations on a coherent state / G. S. Agarwal, K. Tara // Phys. Rev. A. — 1991. — Vol. 43, issue 1. - P. 492-497.

230. Violation of the Robertson-Schrodinger uncertainty principle and noncom-mutative quantum mechanics / C. Bastos [et al.] // Physical Review D. — 2012. - Vol. 86, no. 10. - P. 105030.

231. Man'ko, M. A. Joint probability distributions and conditional probabilities in the tomographic representation of quantum states / M. A. Man'ko // Physica Scripta. - 2013. - Vol. 2013, T153. - P. 014045.

232. Newton, R. G. Measurability of the spin density matrix / R. G. Newton,

B. L. Young // Jingshin Theoretical Physics Symposium In Honor Of Professor Ta-You Wu. - World Scientific. 1998. - P. 238-247.

233. Am,iet, J.-P. Coherent states and the reconstruction of pure spin states / J.-P. Amiet, S. Weigert // Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. — 1999. - Vol. 1, no. 5. - P. L5.

234. Amiet, J.-P. Reconstructing the density matrix of a spin s through Stern-Ger-lach measurements / J.-P. Amiet, S. Weigert // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1998. — Vol. 31, no. 31. — P. L543.

235. Amiet, J.-P. Reconstructing a pure state of a spin s through three Stern-Ger-lach measurements / J.-P. Amiet, S. Weigert // Journal of Physics A: Mathematical and General. - 1999. - Vol. 32, no. 15. - P. 2777.

236. Amiet, J.-P. Reconstructing the density matrix of a spin s through Stern-Ger-lach measurements: II / J.-P. Amiet, S. Weigert // Journal of Physics A: Mathematical and General. - 1999. - Vol. 32, no. 25. - P. L269.

237. Weigert, S. Quantum time evolution in terms of nonredundant probabilities / S. Weigert j j Physical review letters. - 2000. — Vol. 84, no. 5. - P. 802.

238. Amiet, J.-P. Discrete Q-and P-symbols for spin s / J.-P. Amiet, S. Weigert // Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. — 2000. — Vol. 2, no. 2. - P. 118.

239. Heiss, S. Discrete Moyal-type representations for a spin / S. Heiss, S. Weigert // Physical Review A. - 2000. - Vol. 63, no. 1. - P. 012105.

240. Metric on the space of quantum states from relative entropy. Tomographic reconstruction / V. I. Man'ko [et al.] // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2017. - Vol. 50, no. 33. - P. 335302.

241. Zander, C. Fidelity measure and conservation of information in general probabilistic theories / C. Zander, A. Plastino // EPL (Europhysics Letters). — 2009. - Vol. 86, no. 1. - P. 18004.

242. Tsallis, C. Generalized entropy-based criterion for consistent testing / C. Tsallis // Physical Review E. - 1998. - Vol. 58, no. 2. - P. 1442.

243. Borland, L. Information gain within nonextensive thermostatistics / L. Borland, A. R. Plastino, C. Tsallis // Journal of Mathematical Physics. — 1998. - Vol. 39, no. 12. - P. 6490-6501.

244. Shiino, M. H-theorem with generalized relative entropies and the Tsallis statistics / M. Shiino // Journal of the Physical Society of Japan. — 1998. — Vol. 67, no. 11. - P. 3658-3660.

245. Abe, S. Nonadditive generalization of the quantum Kullback-Leibler divergence for measuring the degree of purification / S. Abe // Physical Review A. _ 2003. - Vol. 68, no. 3. - P. 032302.

246. Kim,, S. Operator entropy and fidelity associated with the geometric mean / S. Kim // Linear Algebra and its Applications. — 2013. — Vol. 438, no. 5. — P. 2475-2483.

Приложение А к Главе 1

В данном приложении мы докажем формулу (1.84), где М(Х,§,у) сим-плектическая томограмма (1.80) и W(д,р) функция Вигнера (1.76) частицы, движущейся в дельта-потенциале (1.73). Для этого определим функцию д

д§у) = ^ М{Х§у) егХйХ

и выразим функцию Вигнера через эту функцию

W(д,р) = 2П У М(Х^у) е~)(Х(§(у = ^ J д(цу) е~1(м+ур) (у. Сделаем обратное преобразование

д(^у) = — [ W(д,р) ег(м+ур) (д(р. 2п ]

Далее найдем функцию д(§,у) для частицы, движущейся в дельта-потенциале в явном виде, подставив функцию Вигнера (1.76)

к2 Г е~2к|?| Г к 1

д(§,у) = — ~2—у2 \ со$(2р\д\) +—$,1п(2р\д\)> со$,(§д) сои(ур) (д(р п ] Р + Р )

4к2 [ж 1 со^(ур) [~ . . _2ко Г ^ . к . ,п Л

=- ар~1—адсоБ(§д) е 4 < со$,(2рд) +—$,т(2рд) > .

п и о Р + ^ Л I Р )

Первый интеграл легко вычисляется

к 5Ш(2И)1 =_к(1? + к2]_

-о I Р { т\ ((Р + §)2 + к2)((р - §)2 + к2)'

таким образом

4к3 Гсоъ(ур) <1р

9(§,у) = VЛ ((Р + 2)2 + к2)((Р - 2)2 + к2).

Рассмотрим интеграл

( . еоБ(ах) (х

Заметим, что его можно представить в виде

1 = 4(в2+ у2)11 + 4у(£2+ у2)12

(1д соБ(§д) е 2кч |сов(2рд) + — Бт(2рд) |

где введены обозначения [160]

1

■>00

и =

+

(х — у)2 + в2 (х + у)2 + в2.

п

ео$(ах) с1х = — е~а'в еов(ату), в

2=

Следовательно,

у — х

+

у + х

(х — у)2 + в2 (х + у)2 + в2.

ео-,(ах)(1х = п е ав вт(ау)

пе

—ар

1(а,у,в) = 4 в(в2 + ^2) ( еояау + ^пау

в., У

Искомая функция д(§,у) равна 4 к3 ^ к2е ~ук

9(§,у) = —1(У,^,к) = п 2

(§ )2 + к2

{е- ()- (¥)}=2" (V • §).

2 ) § V 2

Вспоминая определение функции д(§,у), получаем, что функция Вигнера (1.76) и томограмма (1.80) частицы, движущейся в дельта потенциале, удовлетворяют свойству

(V, Ю = i М(Х§у)е'х(1Х.

1

эо

Приложение Б к Главе 1

В данном приложении мы приведем подробный вывод формулы (1.80) для томограммы частицы, движущейся в дельта-потенциале. Рассмотрим частицу, движущуюся в потенциале вида

V (х) = — Щх)

Волновая функция единственного связанного состояния имеет вид

ф(х) = л/ке~к1х1. (32)

Симплектическая томограмма для чистого состояния ф(х) равна

М (Х,§,у) =

1

2п|у|

Ау ф(у) ехр ^2уу2 — г-ХУ^

2

(33)

Для волновой функции (32) мы имеем

г/г\лт \ г+ж

л М \ ( ^ 2 iX \ К г^л ( и | ^ 2 iX \ dyЩу) exp I —У - —У ) =vk dy exp I -к^ + ~У - ~У ) .

V V V V (34)

Последний интеграл можно разбить на две части, соответствующие положи-

Укdy exp (-к\у\ + gy2 - ty = Ук J' dy exp (-%| + &2 + ^

° ^ (35)

Следовательно, нахождение томограммы сводится к вычислению функции

"X ) = i," " е- + &' - £) = i' d. ex,, (. - (к + 4L),)

(36)

Для того, чтобы правильно посчитать последнюю функцию, необходимо помнить, что параметры | и v могут быть произвольного знака. Поэтому рассмотрим случай |/v > 0. Рассмотрим интеграл

dz exp(^z2 -(к + —) z) (37)

ч+i i+in \2v V v ) )

по контуру

I = [г : z = х е [0,Л]},

II = [г : г = Яегф, ф е [0,п/4]},

III = [х :х = хе?п'А,х е [Л,0]},

последнее выражение означает, что х изменяется от Л до 0. Интеграл по контуру 11 равен нулю при Л ^ так как

R i dф exp ^ г^Я2е2г ф -(к + ^ Re^

^ 0, (38)

при 0 ^ ф ^ п/4 имеет место п/2 ^ 2ф + п/2 ^ я, а значит Re(iе2гф) = еов(2ф + п/2) < 0.

Подставляя z = tегп/4 в интеграл по контуру II/, получаем

еж/4 Г dt ехх>( e"x/2i2 -(к + —) te1^ =

j°* Ч^ "/¥ -{к + v)

dt exp(-lt2 - е>п/4(к + if)ty (39)

Последний интеграл табличный, так как он имеет вид при Я ^ ж

■>оо

е ах +bxdx = е4а е а(х 2а ^ dx =

е 4

Ь- ГОО

е х dx =

а

е4аErfci -—^ I

2^

2\[а ) (40)

Поэтому интеграл по третьему контуру равен

У 2\l

/ iv

- I-exp( ^ (V - ^

kX\ M- )

Erfc(e'n/4(к + £) ^J) . (41)

Идея всех выкладок заключается в том, что интеграл (37) равен нулю, так как у подинтегральной функции нет особенностей внутри контура. Следовательно, при больших R ипеграл вдоль I, равный функции f (X), совпадает интегралу вдоль III со знаком минус, который легко вычисляется. Дробное Фурье преобразование функции "ф(ж) (34) имеет вид

е * Erfc \ е

кХ I

+е * Erfc[ е

к+т) ш

(ет/4 (

к wУ!)

(42)

а томограмма равна

М (X,\i,v) =

к

4И

е кХ Erfc^n/4^j

$ +Ol+

vi iX

+ к

2

2 v

Если \i/v < 0, то необходимо выбирать контур

I = [z : z = х е [0,Я]}, II = [z : z = Яегф, ф е [0, - п/4]}, III = [z : z = Хе-1П/4)Х е [Я,0]},

Далее, проводя совершенно аналогичные выкладки, мы получаем

(43)

М (X, mv) =

к

е-кХErfcl е-гп/4

+е к*Х Erfcle-in/4

Н/Ш (

v' щ+

(44)

Общий вид для томограммы, верный при произвольных знаках § и у, очевидно, равен (1.80).

2

а

2