Динамика открытых систем в квантовой теории информации с использованием вероятностного представления квантовых состояний тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Аванесов Ашот Сергеевич

• Аванесов Ашот Сергеевич
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Аванесов Ашот Сергеевич

1.4 Симилектические томограммы

2 Дискретное фазовое пространство

2.1 Взаимно равпопаклопёппые базисы (MUB)

2.2 Дискретная функция Вигнера

2.2.1 Размерность кудита - простое число

2.2.2 Кудиты произвольных размерностей

2.3 Дискретная томограмма центра масс

2.4 Геометрические символы

2.4.1 Условия неотрицательности

2.4.2 Групповые свойства

2.4.3 Дискретная кластерная томограмма

2.4.4 Восстановление дискретной функции Вигнера

2.4.5 Квантайзеры и деквантайзеры геометрических символов

2.5 Геометрические символы. Кубитные системы

2.5.1 Случай кубитных систем

2.5.2 Построение томографического символа

2.5.3 Дискретная кластерная томограмма

3 Дихотомные представления кудитных состояний

3.1 Представление через дихотомные распределения вероятностей дня ку-битных систем

3.1.1 Спиновая томограмма

3.1.2 Представления состояний кубита на базе спиновой томограммы

3.1.3 Описание наблюдаемых

3.2 Представление через дихотомные распределения вероятностей дня кут-ритных систем

3.2.1 Фиктивные подсистемы

3.2.2 Описание состояния кутрита через дихотомные распределения вероятностей

3.2.3 Описание статистических свойств кутритных наблюдаемых. Первый момент

3.2.4 Описание статистических свойств кутритных наблюдаемых. Высшие моменты

3.3 Представление через дихотомные распределения вероятностей дня произвольных кудитпых систем

3.3.1 Схема построения параметризации матрицы плотности состояния произвольной кудитной системы

3.3.2 Кваптайзеры и декваптайзеры дня дихотомного представления

4 Квантовые каналы и эволюция

4.1 Представления квантовых каналов

4.1.1 Вполне положительные отображения

4.1.2 Кубитные капаны

4.1.3 Символы динамической матрицы

4.1.4 Унитарная эволюция символа динамической матрицы

4.2 Дихотомпое представление квантовых каналов

4.2.1 Преобразования двумерных распределений вероятностей, задающих состояние в квантовых каналах

4.2.2 Описание динамической матрицы канала двумерными вероятностными распределениями

4.3 Фазовое пространство квантовых каналов

4.3.1 Примеры кубитных каналов

4.3.2 Преобразования геометрических символов в квантовых каналах

5 Коррелляционные характеристики классических и квантовых систем

5.1 Корреляции в составных квантовых системах

5.2 Энтропийные функции в дихотомных представлениях кудитпых состояний

5.2.1 Случай кубитных систем

5.3 Квантовые корреляции в несоставных системах

5.4 Эволюция энтропийных характеристик на примерах аналитически разрешимых моделей двухуровневых систем

5.4.1 Пример унитарной эволюции. Модель Раби

5.4.2 Пример неунитарной эволюции. Модель Демкова в присутствии процессов декогеренции

5.4.3 Обобщённые энтропии и скрытые коррелляции

5.5 Классические системы в формализме Кунмана-фон Неймана

5.5.1 Основные положения

5.5.2 Квадратичный гамильтониан

5.5.3 Квантовые и классические корреляции на примере гауссовских состояний

Заключение

Список литературы

Приложение А

Приложение Б

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика открытых систем в квантовой теории информации с использованием вероятностного представления квантовых состояний»

Актуальность работы

В работе рассматриваются задачи, связанные с одной из формулировок квантовой механики - томографическим вероятностным представлением. Данный подход к рассмотрению квантовых состояний с одной стороны является развитием формализма звёздочного произведения и функций распределений квазивероятностей, а с другой -относится к задачам восстановления квантовых состояний но результатам измерений. Кроме того, в работе уделяется внимание применению квантовонодобного формализма к описанию состояний классических систем.

Томографические вероятностные представления позволяют единым образом описывать и квантовые, и классические системы. В обоих случаях, состояния задаются наборами распределений вероятностей. Таким образом, данный подход позволяет по-новому форму пировать основные положения квантовой механики, а также даёт альтернативный взгляд на классически-квантовый переход.

В последнее время направление вероятностных представлений получает значительное развитие. Представляют интерес задачи связанные с построением новых томографических функций, с изучением их особенностей и связей с другими объектами, задающими состояния физических систем. Кроме того, использование дуализма между квантовыми состояниями и каналами позволяет распространить рассматриваемый подход задания состояний на квантовые преобразования.

Степень разработанности

Как известно, состояние квантовой системы ассоциируется с волновой функций -элементом гильбертова пространства [1]. Состояние классической системы задаётся функцией распределения вероятностей, которая определена в фазовом пространстве и всюду в нём неотрицательна. С самого возникновения квантовой механики предпринимались попытки построить формализм описания состояний квантовых систем классически подобным образом. Так, например, в работе [2] было предложено задавать состояние квантовой системы с помощью функции, известной теперь как функция Вигпера, и определенной в фазовом пространстве, как и функция распределения вероятностей. Однако, дня функции Вигпера условие неотрицательности значений во всём фазовом пространстве, вообще говоря, не выполняется. Данная особенность связана с принципом неопределённости [3-6]. Возможность принимать отрицательные значения может служить индикатором «квантовости» [7] и используется в вопросах о переходе между классической физикой и квантовой [8]. В [9] было показано, что неотрицательная функция Вигпера чистого состояния является гауссовской. Данное утверждение было обобщено на случай составных квантовых систем в [10].

Функция Вигпера является представителем класса распределений квазивероятностей (или, кратко, квазираспределений) таких как [11-14], используемых при опи-

сапии состояний квантовых систем и играющих значительную роль в областях квантовой оптики и квантовой теории информации [15-17], Отметим, что выше упомянутые объекты оказались востребованы и удобны при анализе экспериментальных данных, хотя и не являлись истинными распределениями вероятностей. Построение представлений квантовых состояний можно рассматривать в контексте формализма звёздочпого произведения, в котором операторам ставится в соответствие алгебра с-числовых функций, называемых символами, с определённой на ней операцией ассоциативного умножения. Преобразования между операторами и соответствующими символами осуществляется при помощи двух операторных базисов - кваптайзеров и декваптайзеров. Символы, дня которых кваптайзеры и декваптайзеры совпадают называются самодуальпыми. Примером самодуалыюго символа матрицы плотности может служить функция Вигпера,

Как отмечалось выше изучаемые в данной работе представления тесно связаны с задачей определения состояний квантовых систем [18-20], а именно томографией квантовых состояний. Данная процедура представляет собой измерение определённых наблюдаемых ансамбля идентичных квантовых систем, но результатам которого возможно восстановить состояния этих систем [21]. В работах [22; 23] была введена оптическая томограмма, которая получается из функции Вигпера при помощи преобразования Радона [24]. В силу обратимости данного преобразования, по значениям томографической функции возможно восстановить значения функции Вигпера. При

23

бой набор распределений вероятностей, которые наблюдаются при гомодипировапии 25

состояний электромагнитного излучения, например [16; 26-29].

Задача о построении вероятностных представлений, т.е. представлений, где состояния задаются истинным распределением вероятностей или набором истинных

30

на данную тематику можно привести 131-34]. Кроме того, существуют подходы, в

35

формализма квантовой механики. 36

стем задавались неотрицательной функцией - симплектической томограммой, представляющей собой обобщение оптической томограммы. Таким образом, квантовая механика может быть сформулирована в терминах условных распределений вероятностей. Кроме того, данный формализм применим и дня описания классических 37

почастичпых) систем. Дня мпогомодового случая существует несколько способов построения симплектической томограммы: многомерная симнлектичеекая томограмма

38; 39 40

этих функций определена па гиперплоскостях определённых размерностей в фазовом пространстве.

В дальнейшем, томографическое представление было расширено па случай снипо-41; 42

зуем терминологию, принятую в квантовой теории информации. Дня обозначения двухуровневых систем в квантовой теории информации используется термин «ку-бит». Аналогично, дня трёхуровневых и четырёхуровневых - «кутрит» и «кукварт» соответственно. Дня произвольной копечпоуровпевой системы используется термин «кудит», В представлении, введённом в [41; 42], состояния ассоциировались с распределениями вероятностей при измерении наблюдаемых, связанных друг с другом унитарными преобразованиями из группы SU(2). Данный подход широко исполь-

зуется при томографии кудитных состояний [43; 44], Набор распределений вероятностей. наблюдаемых в эксперименте задаёт функцию - спиновую томограмму, но значениям которой возможно восстановить матрицу плотности состояния.

Можно представить и другие способы задания кудитных состояний. Так, например, состояния кудита однозначно задаются распределениями вероятностей исходов, соответствующих измерениям в d +1 взаимно равнонаклонённых базисах - MUB (mutual unbiased bases) [45-47], Здесь d обознает размерность кудита, т.е. размерность его гильбертова пространства. Следует подчеркнуть, что существование d + 1 MUB доказано только для случаев, когда d есть степень простого числа.

Упомянутые схемы измерений спиновой томограммы и MUB обладают некоторой избыточностью. В случае MUB состояния кудита определяется d2 + d вещественными параметрами, а спиновая томограмма является функцией непрерывных переменных, в то время как нам нужно только d2 — 1 вещественных параметра для определения оператора плотности. Примером схемы построения пеизбыточпого представления может служить подход с измерением SIC POVM (symmetric informational complete positive operator-valued measure) [48], который был изучен и широко использован в квантовой байесовской переформулировке квантовой механики (QBism) [32; 49; 50]. Интересная связь между SIC POVM и MUB в рамках конечных геометрий 51

произвольной размерности кудита. Ознакомиться с текущим списком размерностей,

52; 53

Ещё одним примером вероятностного представления, применимого дня описания кудитных систем и получившем в нос.недепее время определённое развитие, может служить дихотомпое представление, в котором состояние кудита задаётся набором двумерных распределений вероятностей. Состояния кудитных систем определяются конечным числом вещественных параметров, например состояние кубита одпозпач-

54

того, чтобы найти произвольное значение спиновой томограммы, достаточно задать конечное число её значений [55]. В работах [56; 57] рассматривалось использование трёх томографических вероятностей дня описания состояния кубита. Получившиеся вещественные параметры имеют смысл вероятностей и образуют распределения вероятностей трёх дихотомпых случайных величин. Данный формализм был рас-

58

оказалось возможным определять как набор распределений вероятностей дихотомпых случайных величин, ассоциированных с фиктивными кубитпыми подсистемами. Соответствующие данным распределениям случайные величины использовались дня

57

Некоторые подходы к описанию кудитных состояний представляют собой развитие формализма функций распределения квазивероятпостей, определённых па конечном фазовом пространстве. Первоначально функция Вигнера рассматривалась как объект дня описания состояний квантовых систем непрерывных переменных. Однако формализм фазового пространства можно использовать и дня описания состояний кудита. Проблема обобщения понятия функции Вигнера изучалась во многих работах, см. например [59-62]. Существует несколько подходов к построению дискретной функции Вигнера, которая определяет состояние кудита [63-68].В диссертационной работе используется определения дискретной функции Вигнера и дис-

63; 69; 70

с квантовыми системами непрерывных переменных. Кудит, чья размерность есть простое число (т.е. гильбертово пространство этого кудита имеет размерность, являющуюся простым числом) соответствует одпомодовой системе непрерывных пе-

ременных. Фазовое пространство куднта также является двумерной плоскостью, но конечной. Каждая точка помечена парой элементов из поля Ъ^. Эти метки играют роль координаты и импульса, и каждая линия в фазовом пространстве связана с проектором из МиВ [45; 47; 71], Как и её непрерывный аналог, дискретная функция Вигпера может принимать отрицательные значения. Эта особенность связывалась с проблемой ускорения квантовых вычислений [72-74], Дискретная функция Вигне-ра стабилизационных состояний, т.е. состояний, которые могут быть получены при помощи преобразований из группы Клиффорда [75], неотрицательна [76], В то же время, известно, что квантовые алгоритмы, состоящие только из операций (гейтов) из группы Клиффорда, могут быть эффективно реализованы па классических ком-75; 77

Итак, разработано немало способов описания состояний квантовых систем посредством функций, определённых в фазовом пространстве, В то же время представляла интерес и обратная задача: использование формализма квантовой механики дня описания состояний классических систем. Данный идеи были выдвинуты в работах [78; 79], Функции плотности распределения вероятностей, задающей классическое состояние, ставилась в соответствие волновая функция. Такие классические волны известны в литературе как «волны Кунмапа-фоп Неймана», Данный формализм используется как для исследований в области оснований квантовой механики [80; 81],

82-84

Эволюция чистых состояний замкнутых квантовых систем задаётся уравнением 85

мапа |86|, Иными словами, состояние замкнутой системы будет преобразовываться унитарно.

Как уже показывалось, существуют иные представления состояний квантовых систем. Так, нами упоминалась возможность представления состояния квантовых систем посредством квазираспределений [2; 11-14], представляющих собой функции, определенные па фазовом пространстве, или посредством томографических функций [22; 23; 36; 38; 39; 41; 42], чьи значения представляют собой вероятности, наблюдаемые в экспериментах, например см, [26]. Формализм звёздочного произведения [8792

можем задавать функции, определяющие состояния, по также описывать динамику.

93-96

и спиновой томографических функций, изучались их свойства, например, связанные

97

Стоит отметить, что динамика квантовых систем не ограничивается только унитарными преобразованиями. В случае открытых систем, эволюция будет приводить к вполне положительным отображениям исходного состояния [98; 99]. В квантовой теории информации дня трансформации состояния, которая, как мы указали, в общем случае представляет собой вполне положительное отображение матрицы плотности, используется термин - квантовый канал. Воздействие окружающей среды па отрытую систему приводит к таким явлениям как декогерепция, которая с одной

100; 101

С другой стороны, детектирование потери когерентности может быть использовано в протоколах квантовой криптографии [102-104]. Основные свойства квантовых

-109

также исследовалась в томографических вероятностных представлениях квантовых состояний [110-112],

В силу известного дуализма между квантовыми состояниями и каналами [113; 114], для описания последних возможно использовать все те же объекты, что и для

описания состояний. Так, например, преобразование состояния квантовой систем может задаваться посредством функции Вигпера, При этом её неотрицательность свидетельствует о возможности эффективной симуляции динамики квантовой системы

73

В диссертационной работе представлено развитие некоторых вероятностных представлений квантовых состояний и каналов и использование исследуемого формализма дня описания динамики открытых систем па примере модельных задач.

Цель работы

Цслыо данной работы является развитие предложенного дихотомпого вероятностного представления кудитпых состояний, а также построение новых томографических функций кудитпых состояний, представляющих собой аналоги томограммы центра масс и кластерной томограммы и определённых па линейных подпространствах дискретного фазового пространства. Кроме того, пас интересовали вопросы, связанные с описанием классических систем кваптовонодобпым образом.

Дня достижения поставленных целой были решены следующие задачи:

1. По теме построения дискретных аналогов томограммы центра масс и кластерной томограммы:

(a) Построение дискретной томограммы центра масс, поиск соответствующих квантайзеров и доквантайзеров,

(b) Построение семейства геометрических символов, определённых па линейных подпространствах дискретного фазового пространства, поиск условий неотрицательности и выражений дня квантайзеров и доквантайзеров,

(c) Построение дискретной кластерной томограммы, как частного случая геометрических символов.

2. В области дихотомпых вероятностных представлений:

(a) Описание квантовых наблюдаемых в дихотомпом вероятностном представлении.

(b) Поиск выражений дня доквантайзеров и квантайзеров,

(c) Построение и исследование энтропийных характеристик распределений вероятностей, задающих кудитпое состояние.

(с!) Исследование поведения новых энтропийных характеристик в процессе эволюции па примере аналитически разрешимых моделей двухуровневых систем.

3. Построение общей схемы описания динамики кудитпых систем с использованием символов состояний и каналов. Вывод кинетического уравнения дня символов, соответствующих оператору эволюции. Использование данного подхода па примере вероятностных представлений:

(a) Внедрение дихотомпого вероятностного представления дня описания кудитпых каналов,

(b) Поиск выражения, описывающего вполне положительное преобразование геометрических символов.

4, Изучение неведения взаимной информации фиктивных подсистем при унитарных преобразованиях,

5, Исследование эволюции волновой функции классической системы в формализме Кунмана-фон Неймана на примере квадратичного гамильтониана. Введение аналога запутанности дня классических состояний.

Научная новизна

1. На основе формализма дискретного фазового пространства построены новые томографические функции дня описания состояний кудитпых систем: дискретная томограмма центра масс и дискретная кластерная томограмма. Введён класс геометрических символов. Найдены условия неотрицательности данных объектов. Все функции построены дня случая, когда размерность кудита являлась степенью простого числа.

2. Получены кваптайзеры и декваптайзеры дня дихотомного представления квантовых состояний. Найдены наибольшие и наименьшие значения дня введённых в работе новых энтропийных функций, представляющих собой сумму энтроний Цаллиса распределений вероятностей дихотомных случайных величин, задающих состояние квантовых систем.

3. Построена схема описания динамики кудитпых систем через символы состояний и каналов. На примере дихотомного представления продемонстрирован новый подход к заданию квантовых каналов через операторные символы. В случае унитарной эволюции получено кинетическое уравнение, описывающее поведение соответствующих вероятностных параметров.

4. Получено выражение, описывающее вполне положительное отображение квантовых состояний в представлении, где квантовые состояния задаются геометрическим символом, а квантовые каналы - дискретной функцией Вигнера.

5. В формализме Кунмана-фон Неймана рассмотрена динамика классической системы, описываемой нестационарным квадратичным гамильтонианом. Для соответствующего волнового уравнения получена функция Грина. Построен аналог запутанности дня классических гауссовских состояний.

Теоретическая и практическая значимость

Введённые и изучаемые в работе методы используются дня альтернативного описания квантовых систем, более приближенного к классическому. Построено соответствие между состояниями кудитпых систем, квантовыми каналами и наборами распределений вероятностей дихотомных случайных величин. Кроме того, данный подход наряду с предложенным в работе дискретным аналогом томограммы центра масс может быть использован при реализации измерений, необходимых дня определения состояний и динамики квантовых систем.

Методология и методы исследования

В работе широко используется формализм звёздочного произведения и операторных символов, основные принципы которого описаны в первой главе. При построении

вероятностных представлений задавались соответствующие декваптайзеры и квап-тайзеры. Метод фазового пространства применялся при изучении вводимых в работе дискретных аналогов кластерной томограммы и томограммы центра масс. При получении условий неотрицательности геометрических символов использовался метод стабилизационных групп. При описании дихотомпых представлений приведён метод построения представлений с помощью фиктивных подсистем. При построении вероятностных представлений квантовых каналов использовался дуализм между квантовыми состояниями и каналами. При исследовании различных характеристик рассматриваемых в работе моделей производились численные расчёты. Дня получения оценок областей допустимых значений вводимых в работе энтропийных функций использовались оптимизационные методы. Дня некоторых задач классической механики демонстрируется применение формализма Кунмана-фон Неймана.

Положения, выносимые на защиту

1. При построении класса геометрических символов и их частных случаев: дискретной томограммы центра масс и дискретной кластерной томограммы, выяснилось

(a) Значения дискретной томограммы центра масс есть вероятности исходов измерениий в собственных базисах обобщённых наулевских операторов.

(b) Все возможные значения аргументов геометрического символа, для которых данный объект неотрицателен, соответствуют множеству всех коммутативных груш: операторов Вейля,

(c) Построенные дискретные аналоги томограммы центра масс и кластерной томограммы также являются неотрицательными функциями, но значениям которых возможно восстановить матрицу плотности состояния системы. Получены соответствующие кваптайзеры и декваптайзеры,

2. Преобразования геометрических символов в квантовых каналах задаются нсев-достохастической матрицей, которая представляет собой линейное преобразование дискретной функции Вигнера капана.

3. Вводимые энтропийные функции, представляющие собой сумму энтроний Шеннона или Цаллиса дихотомпых распределений вероятностей, задающих состояние квантовой системы, являются ограниченными, причём ограничение снизу ненулевое. Область значений представлена в работе.

4. Выражение дня функции Грина уравнения эволюции волновой функции классической системы с квадратичным гамильтонианом с точностью до фазового множителя, зависящего от времени, совпадает с функцией Грина, описывающей эволюцию квантовой системы с тем же гамильтонианом.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

• Quantum Theory: from problems to advances (Вёкше, Швеция, 2014).

• Central European Workshop on Quantum Optics (Варшава, Польша, 2015).

• Phystech Quant (Москва, Россия, 2020),

• 63-я Всероссийская научная конференция МФТИ (Москва, Россия, 2020),

Личный вклад

Все результаты, вошедшие в диссертацию были получены лично автором, либо при его непосредственном участии.

Публикации

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 8 работах [115—122], изданных в рецензируемых научных журналах, индексируемых Web of Science и Scopus, и рекомендованных ВАК,

_1_ хав

Операторные символы

1.1 Операторные символы и звёздочное произведение

Дано гильбертово пространство Н, Оно может быть как конечномерным, так и бесконечномерным, Обозначим как В(Н) множество ограниченных операторов, действующих в Н, образующих векторное пространство. Выберем в В(Н) два операторных базиса 0 = {(5(ж) : х е X], С = {<^(х) : х е X]. Здесь каждому базисному элементу мы поставили в соответствие элемент из некоторого множества X. При этом отображения X ^ Я и X ^ С являются взаимооднозначными. Обычно, множество X состоит из объектов, представляющих собой конечного размера наборы х = (ж1,.., хп), причём х\, х2,..., жга являются элементами некоторого поля Е [123], В случае, когда гильбертово пространство Н бесконечномерно, то и поле Е бесконечное. Поставим каждому действующему в гильбертовом пространстве Н оператору О в соответствие с-числовую функцию : X ^ С по следующему правилу

/6 (х) = Тг (с(х)О^ . (1.1)

Т.к. операторы (7(х) образуют базис, то отображение (1.1) является обратимым. Тогда должен существовать базис, для которого (х) представляют собой коэффициенты в разложении оператора О по этому базису [89], пусть таковым является Таким образом, дня обратного к (1.1) отображения имеем

О = £ /б(х)С(х), (1.2)

X

х

непрерывных. Функция (х), полученная с помощью обратимого отображения (1.1), называется символом.

Для обратимости отображения (1.1) достаточно, чтобы операторы (5(х) и С(х)

123

Тг(б(х' )<7(х))=£(х -х'), Ух, х', еХ. (1.3)

В дискретном случае ё(х — х') заменяется на символ Кронеккера ёх, х/. Операторные базисы ^ и С, чьи элементы удовлетворяют условиям (1.3) являются дуальными [124].

Дня построения обратимого отображения вида (1.1), вообще говоря, не обязательно, чтобы все операторы С(х) образовывали базис, в том смысле, что эти операторы могут быть линейно зависимыми. Однако требуется, чтобы из множеств С и ^ можно

было выделить операторные базисы. В таком случае, не будут выполняться соотношения (1.3). Соответствующие схемы построения операторных символов известны как переполненные.

Отображения тина (1.1, 1.2) могут быть использованы как в процедуре квантования, где числовым функциям ставятся в соответствие операторы, так и дня построения различных представлений квантовой механики, например, таких как представления квазивероятностных функций. Операторы С(х) ставят в соответствие каждой функции некоторый оператор, т.е. проводят «квантование». Будем называть их в дальнейшем квантайзеры [125]. Операторы С(х), соответственно, будут называться декваптайзеры 112 51.

На множестве символов можно определить бинарную операцию *, называемую звёздочпое произведение и соответствующую произведению операторов

¡О! *1о2 (х) = /0162 (х) ^ оА М

Множество символов будет замкнуто относительно звёздочпого произведения. Из-за ассоциативности операторного произведения, операция * также ассоциативна. В общем случае звёздочпое произведение нелокально, т.е.

!о1 * 1о2 (х) = J 1х1 <1x2 К(хг, х2; х)(хг)/¿2 (х2), (1.5)

где для дискретных значений х интеграл заменяется на сумму. Ядро звёздочного произведения К(х1; х2; х) будет иметь вид

К(х1, х2; х) = Тг (б(х1)6(х2)С(х)^ . (1.6)

Таким образом, символы формируют ассоциативную алгебру относительно операции звёздочпого произведения.

1.2 Распределения квазивероятностей в фазовом пространстве

В квантовой механике физические наблюдаемые задаются эрмитово самосопряжёнными операторами, определёнными на некотором гильбертовом пространстве Н [126]. Как известно, собственные значения эрмитово самосопряжённого оператора являются вещественными, и в квантовой механике они соответствуют значениям физической величины, которые возможно наблюдать в эксперименте.

Состояние квантовомеханической системы задаётся волновой функцией [1; 127], т.е. элементом введённого гильбертова пространства € Н, Однако, такое описание оказывается неполным. Действительно, при описании статистических ансамблей состояние системы определяется матрицей плотности [128; 129], т.е. определённым на гильбертовом пространстве Н эрмитово самосопряжённым оператором р, обладающим свойствами

1. Положительной полуопределённости р ^ 0,

2. Нормировки Тг р = 1.

Состояния, которые невозможно задать волновым вектором называются смешанными, в противном же случае состояния являются чистыми. Отметим, что чистые состояния также могут описываться матрицей плотности, представляющей собой про-

ектор на одномерное подпространство в Щ, Т.е. состоянию можно поставить в соответствие матрицу плотности р =

Задав состояние системы, мы можем вычислить распределение вероятностей па возможные значения произвольной физической наблюдаемой. Пусть наблюдаемая описывается эрмитово самосопряжённым оператором Н, для которого выпишем спектральное разложение

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Аванесов Ашот Сергеевич, 2022 год

Список литературы

1. Dirac P. A. M. The Principles of Quantum Mechanics. — Clarendon Press, 1981. — 340 p. — ISBN 978-0-19-852011-5.

2. Wigner E. On the Quantum Correction For Thermodynamic Equilibrium // Physical Review. — 1932. — June 1. — Vol. 40, no. 5. — P. 749-759.

3. Heisenberg W. Uber den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik // Zeitschrift für Physik. — 1927. — Mar. — Vol. 43, no. 3. -P. 172-198. — ISSN 0044-3328.

4. Robertson H. P. The Uncertainty Principle // Physical Review. — 1929. July 1. — Vol. 34, no. 1. — P. 163-164.

5. Schrödinger E. Zum Heisenbergschen Unscharfeprinzip // Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse. — 1930. — Vol. 14. — P. 296-303.

6. Zachos C. K., Fairlie D. B., Curtright T. L. Phase Space Quantum Mechanics. — Singapore : World Scientific, 2005.

7. Kenfack A., Zyczkowski K. Negativity of the Wigner function as an indicator of non-classicality // Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. — 2004. — Vol. 6, no. 10. — P. 396.

8. Werner R. F. The classical limit of quantum theory // arXiv:quant-ph/9504016. — 1995. — Apr. 24. — arXiv: quant-ph/9504016.

9. Hudson R. L. When is the Wigner quasi-probability density non-negative? // Reports on Mathematical Physics. — 1974. — Vol. 6, no. 2. — P. 249-252.

10. Soto F., Claverie P. When is the Wigner function of multidimensional systems nonnegative? // Journal of Mathematical Physics. — 1983. — Jan. 1. — Vol. 24, no. 1. — P. 97-100.

11. Husimi K. Some Formal Properties of the Density Matrix // Proceedings of the Physico-Mathematical Society of Japan. 3rd Series. — 1940. — Vol. 22, no. 4. — P. 264-314. — ISSN 0370-1239, 2185-2707.

12. Kano Y. A New Phase-Space Distribution Function in the Statistical Theory of the Electromagnetic Field // Journal of Mathematical Physics. — 1965. — Dec. 1. — Vol. 6, no. 12. — P. 1913-1915. — ISSN 0022-2488.

13. Sudarshan E. C. G. Equivalence of Semiclassical and Quantum Mechanical Descriptions of Statistical Light Beams // Physical Review Letters. — 1963. Apr. 1. — Vol. 10, no. 7. — P. 277-279.

14. Glauber R. J. Coherent and Incoherent States of the Radiation Field // Physical Review. — 1963. — Sept. 15. — Vol. 131, no. 6. — P. 2766-2788.

15. Schleich W. P. Quantum Optics in Phase Space. — John Wiley & Sons, 02/16/2011. — 718 p. — ISBN 978-3-527-63500-9.

16. Leonhardt U., Paul H. Measuring the quantum state of light // Progress in Quantum Electronics. — 1995. — Jan. 1. — Vol. 19, no. 2. — P. 89-130.

17. Weinbub J., Ferry D. K. Recent advances in Wigner function approaches // Applied Physics Reviews. — 2018. — Oct. 26. — Vol. 5, no. 4. — P. 041104.

18. Fano U. Description of States in Quantum Mechanics by Density Matrix and Operator Techniques // Reviews of Modern Physics. — 1957. — Jan. 1. — Vol. 29, no. 1. — P. 74-93.

19. Hradil Z. Quantum-state estimation // Physical Review A. — 1997. — Mar. 1. -Vol. 55, no. 3. — R1561-R1564.

20. Paris M., Rehacek J. Quantum State Estimation. — Springer Science & Business Media, 08/11/2004. — 548 p. — ISBN 978-3-540-22329-0.

21. D'Ariano G. M., Paris M. G. A., Sacchi M. F. Quantum Tomography // arXiv:quant-ph/0302028. — 2003. — Feb. 4. — arXiv: quant-ph/0302028.

22. Bertrand J., Bertrand P. A tomographic approach to Wigner's function // Foundations of Physics. — 1987. — Apr. 1. — Vol. 17, no. 4. — P. 397-405. — ISSN 1572-9516.

23. Vogel K., Risken H. Determination of quasiprobability distributions in terms of probability distributions for the rotated quadrature phase // Physical Review A. — 1989. — Sept. 1. — Vol. 40, no. 5. — P. 2847-2849.

24. Radon J. Uber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte langs gewisser Mannigfaltigkeiten // Akad. Wiss. — 1917. — Vol. 69. — P. 262-277.

25. Collett M. J., Loudon R., Gardiner C. W. Quantum Theory of Optical Homodyne and Heterodyne Detection // Journal of Modern Optics. — 1987. — June 1. — Vol. 34, no. 6. — P. 881-902.

Measurement of the Wigner distribution and the density matrix of a light mode using optical homodyne tomography: Application to squeezed states and the vacuum / D. T. Smithey [et al.] // Physical Review Letters. — 1993. — Mar. 1. — Vol. 70, no. 9. — P. 1244-1247.

Quantum Statistics of the Squeezed Vacuum by Measurement of the Density Matrix in the Number State Representation / S. Schiller [et al.] // Physical Review Letters. — 1996. — Sept. 30. — Vol. 77, no. 14. — P. 2933-2936.

28. Lvovsky A. I., Raymer M. G. Continuous-variable optical quantum-state tomography // Reviews of Modern Physics. — 2009. — Mar. 16. — Vol. 81, no. 1. — P. 299-332.

Experimental quantum homodyne tomography via machine learning / E. S. Tiunov [et al.] // Optica. — 2020. — May 20. — Vol. 7, no. 5. — P. 448-454. — ISSN 2334-2536.

30. Pauli W. General Principles of Quantum Mechanics. — Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1980. — ISBN 978-3-642-61840-6.

31. Mielnik B. Geometry of quantum states // Communications in Mathematical Physics. — 1968. — Vol. 9, no. 1. — P. 55-80. — ISSN 0010-3616, 1432-0916.

32. Fuchs C. A., Mermin N. D., Schack R. An Introduction to QBism with an Application to the Locality of Quantum Mechanics // American Journal of Physics. — 2014. — Aug. — Vol. 82, no. 8. — P. 749-754. — ISSN 0002-9505, 1943-2909. — arXiv: 1311.5253.

33. Khrennikov A., Alodjants A. Classical (Local and Contextual) Probability Model for Bohm-Bell Type Experiments: No-Signaling as Independence of Random Variables // Entropy. — 2019. — Feb. — Vol. 21, no. 2. — P. 157.

34. Khrennikov A., Svozil K. Quantum Probability and Randomness // Entropy. -2019. — Jan. — Vol. 21, no. 1. — P. 35.

35. Khrennikov A. Non-Kolmogorov Probability and Quantum Physics / ed. by A. Khrennikov. — Dordrecht : Springer Netherlands, 1997. — P. 221-247. — (Mathematics and Its Applications). — ISBN 978-94-009-1483-4.

36. Mancini S., Man'ko V. I., Tombesi P. Symplectic tomography as classical approach to quantum systems // Physics Letters A. — 1996. — Apr. 15. — Vol. 213, no. 1. — P. 1-6. — ISSN 0375-9601.

37. Introduction to tomography, classical and quantuml / M. A. Man'ko [et al.] // Nuovo Cimento C. — 2013. — Vol. 36, issue 3. — P. 163-182.

38. Arkhipov A. S., Lozovik Y. E., Man'ko V. I. Tomography for Several Particles with One Random Variable // Journal of Russian Laser Research. — 2003. — May 1. — Vol. 24, no. 3. — P. 237-255. — ISSN 1573-8760.

39. Arkhipov A. S., Man'ko V. I. Quantum transitions in the center-of-mass tomo-graphic probability representation // Physical Review A. — 2005. — Jan. 4. — Vol. 71, no. 1. — P. 012101.

40. Dudinets I., Man'ko V. Center of mass tomography and Wigner function for multimode photon states // International Journal of Theoretical Physics. — 2018. — June. — Vol. 57, no. 6. — P. 1631-1644. — ISSN 0020-7748, 1572-9575. — arXiv: 1803.09064.

41. Dodonov V. V., Man'ko V. I. Positive distribution description for spin states // Physics Letters A. — 1997. — June 2. — Vol. 229, no. 6. — P. 335-339. — ISSN 0375-9601.

42. Man'ko V. I., Man'ko O. V. Spin state tomography // Journal of Experimental and Theoretical Physics. — 1997. — Sept. 1. — Vol. 85, no. 3. — P. 430-434. — ISSN 1090-6509.

43. Ariano G. M. D., Maccone L., Paini M. Spin tomography // Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. — 2003. — Jan. — Vol. 5, no. 1. — P. 7784. — ISSN 1464-4266.

44. Altepeter J., Jeffrey E., Kwiat P. Photonic State Tomography. — 2005.

45. Schwinger J. The Geometry of Quantum States // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. — 1960. — Feb. — Vol. 46, no. 2. — P. 257-265. — ISSN 0027-8424.

46. Ivonovic I. D. Geometrical description of quantal state determination // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1981. — Dec. — Vol. 14, no. 12. — P. 3241-3245. — ISSN 0305-4470.

47. Wootters W. K., Fields B. D. Optimal state-determination by mutually unbiased measurements // Annals of Physics. — 1989. — May 1. — Vol. 191, no. 2. — P. 363-381. — ISSN 0003-4916.

48. Caves C. M., Fuchs C. A., Schack R. Unknown quantum states: The quantum de Finetti representation // Journal of Mathematical Physics. — 2002. — Aug. 20. — Vol. 43, no. 9. — P. 4537-4559.

49. Fuchs C. A. QBism, the Perimeter of Quantum Bayesianism // arXiv:1003.5209 [quant-ph]. — 2010.

50. Appleby D. M., Ericsson A., Fuchs C. A. Properties of QBist State Spaces // Foundations of Physics. — 2011. — Mar. 1. — Vol. 41, no. 3. — P. 564-579.

51. Wootters W. K. Quantum Measurements and Finite Geometry // Foundations of Physics. — 2006. — Jan. 1. — Vol. 36, no. 1. — P. 112-126.

52. QBism Reasearch Group: http://www.physics.umb.edu/Research/QBism/. —URL: http://www.physics.umb.edu/Research/QBism/.

53. Fuchs C. A., Hoang M. C., Stacey B. C. The SIC Question: History and State of Play // Axioms. — 2017. — Sept. — Vol. 6, no. 3. — P. 21.

54. Bloch F. Nuclear Induction // Physical Review. — 1946. — Oct. 1. — Vol. 70, no. 7. — P. 460-474.

55. Metric on the space of quantum states from relative entropy. Tomographic reconstruction / V. I. Man'ko [et al.] // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2017. — July. — Vol. 50, no. 33. — P. 335302. — ISSN 17518121.

56. Chernega V. N., Man'ko O. V., Man'ko V. I. Triangle Geometry for Qutrit States in the Probability Representation // Journal of Russian Laser Research. — 2017. -Sept. 1. — Vol. 38, no. 5. — P. 416-425. — ISSN 1573-8760.

57. Chernega V. N., Man'ko O. V., Man'ko V. I. Probability Representation of Quantum Observables and Quantum States // Journal of Russian Laser Research. — 2017. — July 1. — Vol. 38, no. 4. — P. 324-333. — ISSN 1573-8760.

58. Chernega V. N., Man'ko O. V., Man'ko V. I. Quantum suprematism picture of Malevich's squares triada for spin states and the parametric oscillator evolution in the probability representation of quantum mechanics // Journal of Physics: Conference Series. — 2018. — Aug. — Vol. 1071. — P. 012008. — ISSN 1742-6588, 1742-6596. — arXiv: 1712.01927.

59. Cohen L. The Weyl Operator and its Generalization. — Basel : Springer Basel, 2013. — ISBN 978-3-0348-0293-2.

The Wigner Function for General Lie Groups and the Wavelet Transform / S. T. Ali [et al.] // Annales Henri Poincare. — 2000. — Vol. 1. — P. 685-714.

61. Heiss S., Weigert S. Discrete Moyal-type representations for a spin // Physical Review A. — 2000. — Dec. 8. — Vol. 63, no. 1. — P. 012105.

62. Distribution functions in physics: Fundamentals / M. Hillery [et al.] // Physics Reports. — 1984. — Apr. 1. — Vol. 106, no. 3. — P. 121-167.

63. Wootters W. K. A Wigner-function formulation of finite-state quantum mechanics // Annals of Physics. — 1987. — May 15. — Vol. 176, no. 1. — P. 1-21. — ISSN 0003-4916.

64. Leonhardt U. Discrete Wigner function and quantum-state tomography // Physical Review A. — 1996. — May 1. — Vol. 53, no. 5. — P. 2998-3013.

65. Bouzouina A., Bievre S. D. Equipartition of the eigenfunctions of quantized ergodic maps on the torus // Communications in Mathematical Physics. — 1996. — Vol. 178, no. 1. — P. 83-105. — ISSN 0010-3616, 1432-0916.

66. Rivas A. M. F., Almeida A. M. O. de. The Weyl representation on the torus // Annals of Physics. — 1999. — Sept. — Vol. 276, no. 2. — P. 223-256. — ISSN 00034916. — arXiv: quant-ph/9904041.

67. Ligabo M. Torus as phase space: Weyl quantization, dequantization and Wigner formalism // arXiv:1409.3345 [math-ph, physics:quant-ph]. — 2014. — Sept. 11. — arXiv: 1409.3345.

68. Albert V. V., Pascazio S., Devoret M. H. General phase spaces: from discrete variables to rotor and continuum limits // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2017. — Dec. 15. — Vol. 50, no. 50. — P. 504002. — arXiv: 1709.04460.

69. Wootters W. K. Picturing Qubits in Phase Space // arXiv:quant-ph/0306135. — 2003. — June 19. — arXiv: quant-ph/0306135.

70. Gibbons K. S., Hoffman M. J., Wootters W. K. Discrete phase space based on finite fields // Physical Review A. — 2004. — Dec. 3. — Vol. 70, no. 6. — P. 062101. — ISSN 1050-2947, 1094-1622. — arXiv: quant-ph/0401155.

71. On mutually unbiased bases / T. Durt [et al.] // International Journal of Quantum Information. — 2010. — June. — Vol. 08, no. 4. — P. 535-640. — ISSN 0219-7499, 1793-6918. — arXiv: 1004.3348.

72. Galväo E. F. Discrete Wigner functions and quantum computational speedup // Physical Review A. — 2005. — Apr. 1. — Vol. 71, no. 4. — P. 042302.

73. Mari A., Eisert J. Positive Wigner Functions Render Classical Simulation of Quantum Computation Efficient // Physical Review Letters. — 2012. — Dec. 4. — Vol. 109, no. 23. — P. 230503.

74. Kocia L., Huang Y., Love P. Discrete Wigner Function Derivation of the Aaron-son-Gottesman Tableau Algorithm // Entropy. — 2017. — July. — Vol. 19, no. 7. — P. 353.

75. Gottesman D. The Heisenberg Representation of Quantum Computers // arXiv:quant-ph/9807006. — 1998. — July 1. — arXiv: quant-ph/9807006.

76. Gross D. Hudson's theorem for finite-dimensional quantum systems // Journal of Mathematical Physics. — 2006. — Dec. 1. — Vol. 47, no. 12. — P. 122107. — ISSN 0022-2488.

77. Aaronson S., Gottesman D. Improved Simulation of Stabilizer Circuits // Physical Review A. — 2004. — Nov. 30. — Vol. 70, no. 5. — P. 052328. — ISSN 1050-2947, 1094-1622. — arXiv: quant-ph/0406196.

78. Koopman B. O. Hamiltonian Systems and Transformation in Hilbert Space // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. — 1931. — Mar. 23. — Vol. 17, no. 5. — P. 315-318.

79. Neumann J. v. Zur Operatorenmethode In Der Klassischen Mechanik // Annals of Mathematics. — 1932. — July. — Vol. 33, no. 3. — P. 587-642.

80. Wigner phase-space distribution as a wave function / D. I. Bondar [et al.] // Physical Review A. — 2013. — Nov. 11. — Vol. 88, no. 5. — P. 052108.

Operational Dynamic Modeling Transcending Quantum and Classical Mechanics / D. I. Bondar [et al.] // Physical Review Letters. — 2012. — Nov. 8. — Vol. 109, no. 19. — P. 190403. — arXiv: 1105.4014.

82. McCaul G., Pechen A., Bondar D. I. Entropy non-conservation and boundary conditions for Hamiltonian dynamical systems // Physical Review E. — 2019. — June 20. — Vol. 99, no. 6. — P. 062121. — arXiv: 1904.03473.

83. KvN mechanics approach to the time-dependent frequency harmonic oscillator / I. Ramos-Prieto [et al.] // Scientific Reports. — 2018. — May 30. — Vol. 8, no. 1. -P. 8401.

84. Sen A., Silagadze Z. Ermakov-Lewis invariant in Koopman-von Neumann mechanics // International Journal of Theoretical Physics. — 2020. — July. — Vol. 59, no. 7. — P. 2187-2190. — ISSN 0020-7748, 1572-9575. — arXiv: 2006.06489.

85. Schrodinger E. Quantisierung als Eigenwertproblem // Annalen der Physik. ■ 1926. — Vol. 384, no. 4. — P. 361-376. — ISSN 1521-3889.

86. Нейман, Д. ф. Математические основы квантовой механики. — Москва : Наука, 1964.

87. Moyal J. E. Quantum mechanics as a statistical theory // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1949. — Jan. — Vol. 45, no. 1. — P. 99-124. — ISSN 1469-8064, 0305-0041.

88. Groenewold H. J. Quantum mechanics as a statistical theory // Physica. 1946. — Oct. — Vol. 12, issue 7. — P. 405-460. — ISSN 0031-8914.

89. Man'ko O. V., Man'ko V. I., Marmo G. Alternative commutation relations, star products and tomography // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2002. — Jan. — Vol. 35, no. 3. — P. 699-719. — ISSN 0305-4470.

An introduction to the tomographic picture of quantum mechanics / A. Ibort [et al.] // Physica Scripta. — 2009. — June. — Vol. 79, no. 6. — P. 065013. — ISSN 1402-4896.

91. Amosov G. G., Korennoy Y. A., Man'ko V. I. Operators and their symbols in the optical probabilistic representation of quantum mechanics // arXiv:1104.5606 [quant-ph]. —2011. — Apr. 29. —arXiv: 1104.5606.

92. Amosov G. G., Korennoy Y. A., Man'ko V. I. Description and measurement of observables in the optical tomographic probability representation of quantum mechanics // Physical Review A. — 2012. — May 22. — Vol. 85, no. 5. — P. 052119.

93. Mancini S., Man'ko V. I., Tombest P. Classical-like description of quantum dynamics by means of symplectic tomography // Foundations of Physics. — 1997. — June 1. — Vol. 27, no. 6. — P. 801-824. — ISSN 1572-9516.

94. Korennoy Y. A., Man'ko V. I. Evolution equation of the optical tomogram for arbitrary quantum Hamiltonian and optical tomography of relativistic classical and quantum systems // Journal of Russian Laser Research. — 2011. — Sept. 23. — Vol. 32, no. 4. — P. 338. — ISSN 1573-8760.

95. Korennoy Y. A., Man'ko V. I. Probability representation of the quantum evolution and energy-level equations for optical tomograms // Journal of Russian Laser Research. — 2011. — Mar. 18. — Vol. 32, no. 1. — P. 74. — ISSN 1573-8760.

96. Korennoy Y. A., Man'ko V. I. Evolution Equation for Joint Tomographic Probability Distribution of Spin-1 Particles // International Journal of Theoretical Physics. — 2016. — Nov. — Vol. 55, no. 11. — P. 4885-4895. — ISSN 0020-7748, 1572-9575. — arXiv: 1508.05978.

97, Korennoy Y. A., Manko V. I. Gauge transformation of quantum states in probability representation // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2017. — Mar. — Vol. 50, no. 15. — P. 155302. — ISSN 1751-8121.

98, Stinespring W. F. Positive functions on C*-algebras // Proc. Amer. Math. Soc. -1955. — Vol. 6, no. 2. — P. 211-216. — ISSN 0002-9939, 1088-6826.

99, Kraus K. General state changes in quantum theory // Ann. Phys. — 1971. — Vol. 64, no. 2. — P. 311-335. — ISSN 0003-4916.

100, Horodecki M., Shor P. W., Ruskai M. B. Entanglement Breaking Channels // Reviews in Mathematical Physics. — 2003. — Vol. 15, no. 6. — P. 629-641. — ISSN 0129-055X.

101, Quantum entanglement / R. Horodecki [et al.] // Reviews of Modern Physics. — 2009. — June 17. — Vol. 81, no. 2. — P. 865-942.

102, Bennet C. H., Brassard G. Quantum cryptography: public key distribution and coin tossing // Int. conf. Computers, Systems & Signal Processing, Bangalore, India. — 1984. — Dec. — Vol. 175.

103, Ekert A. K. Quantum cryptography based on Bell's theorem // Physical Review Letters. — 1991. — Aug. 5. — Vol. 67, no. 6. — P. 661-663.

104, Shor P. W., Preskill J. Simple Proof of Security of the BB84 Quantum Key Distribution Protocol // Physical Review Letters. — 2000. — July 10. — Vol. 85, no. 2. — P. 441-444. — ISSN 0031-9007, 1079-7114. — arXiv: quant-ph/0003004.

105, Холево А. С. Некоторые оценки для количества информации, передаваемого квантовым каналом связи // Проблемы передачи инофрмации, — 1973, — Т, 9, № 3. - С. 177-183.

106, Holevo A. S. Statistical problems in quantum physics // Proceedings of the Second Japan-USSR Symposium on Probability Theory / ed. by G. Maruyama, Y. V. Prokhorov. — Springer Berlin Heidelberg, 1973. — P. 104-119. — (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 978-3-540-46956-8.

107, Fuchs C. A., Caves C. M. Ensemble-Dependent Bounds for Accessible Information in Quantum Mechanics // Physical Review Letters. — 1994. — Dec. 5. — Vol. 73, no. 23. — P. 3047-3050.

108, Schumacher B. Quantum coding // Physical Review A. — 1995. — Apr. 1. — Vol. 51, no. 4. — P. 2738-2747.

109, Schumacher B., Westmoreland M., Wootters W. K. Limitation on the Amount of Accessible Information in a Quantum Channel // Physical Review Letters. — 1996. — Apr. 29. — Vol. 76, no. 18. — P. 3452-3455.

110, Amosov G., Mancini S., Manko V. Tomographic Portrait of Quantum Channels // Reports on Mathematical Physics. — 2018. — Apr. — Vol. 81, no. 2. — P. 165176. — ISSN 00344877.

Probability representation of quantum dynamics using pseudostochastic maps / E. O. Kiktenko [et al.] // Physical Review A. — 2020. — May 12. — Vol. 101, no. 5. — P. 052320.

Minimal informationally complete measurements for probability representation of quantum dynamics / V. I. Yashin [et al.] // New Journal of Physics. — 2020. — Oct. 13. — Vol. 22, no. 10. — P. 103026. — ISSN 1367-2630.

113. Choi M.-D. Completely positive linear maps on complex matrices // Linear Algebra Its Appl. — 1975. — Vol. 10, no. 3. — P. 285-290. — ISSN 0024-3795.

114. Jamiolkowski A. Linear transformations which preserve trace and positive semidef-initeness of operators // Rep. Math. Phys. — 1972. — Vol. 3, no. 4. — P. 275278. — ISSN 0034-4877.

115. Avanesov A. S., Man'ko V. I. Classical and quantum correlations in the system of interacting electromagnetic modes // Bulletin of the Lebedev Physics Institute. -2015. — Sept. — Vol. 42, no. 9. — P. 260-263. — ISSN 1068-3356, 1934-838X.

116. Avanesov A. S., Man'ko V. I. Unitary Transform and Subadditivity Condition for Composite and Noncomposite Systems // Journal of Russian Laser Research. — 2015. — Sept. — Vol. 36, no. 5. — P. 430-439. — ISSN 1071-2836, 1573-8760.

117. Avanesov A. S., Man'ko V. I. Dissipative Evolution of the Qubit State in the Tomographic-Probability Representation // Journal of Russian Laser Research. — 2017. — July. — Vol. 38, no. 4. — P. 311-323. — ISSN 1071-2836, 1573-8760.

118. Avanesov A. S., Man'ko V. I. Unitary and Nonunitary Evolution of Qubit States in Probability Representation of Quantum Mechanics // International Journal of Theoretical Physics. — 2019. — June 1. — Vol. 58, no. 6. — P. 2054-2067. — ISSN 1572-9575.

119. Avanesov A. S., Man'ko V. I. Probability Representation of Quantum Channels // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2019. — Oct. — Vol. 40, no. 10. — P. 1444-1449. — ISSN 1995-0802, 1818-9962.

120. Avanesov A. S., Man'ko V. I. Statistical properties of qutrit in probability representation of quantum mechanics // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. — 2019. — Nov. 1. — Vol. 533. — P. 121898. — ISSN 0378-4371.

121. Avanesov A. S., Man'ko V. I. The Discrete Center-of-Mass Tomogram // International Journal of Theoretical Physics. — 2020. — July 6. — Vol. 40. — P. 24042424. — ISSN 1572-9575.

122. Avanesov A. S., Manko V. I. Geometrical and group properties of discrete analogs of the center-of-mass and the cluster tomograms // AIP Conference Proceedings. -2021. - 16 июня. - Т. 2362, Л» 1. - С. 060002. - ISSX 0094-243Х.

123. Lizzi F., Vitale P. Matrix Bases for Star Products: a Review // SIGMA. Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. — 2014. Aug. 15. — Vol. 10. — P. 086. — ISSN 18150659.

124. Man'ko O. V., Man'ko V. I., Marmo G. Star-Product of Generalized Wigner-Weyl Symbols on SU(2) Group, Deformations, and Tomographic Probability Distribution // Physica Scripta. — 2000. — Dec. 1. — Vol. 62, no. 6. — P. 446. — ISSN 1402-4896.

125. Филиппов С. H. Квантовые состояния и динамика спиновых систем и электромагнитного ноля в представлении томографической вероятности: дне. канд. физико-математических наук: 01.04.02 - Теоретическая физика. — Долгопрудный, 2012.

126. Квантовая механика (иерелятивистекая теори), — 6-е изд., иенр. — Москва : Физматлит, 2004, — (Курс теоретической физики: Учеб, нособ,: Для вузов. В 10 т. Т. III). - ISBX 5-9221-0530-2.

127. Schrödinger E. An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules // Physical Review. — 1926. — Dec. 1. — Vol. 28, no. 6. — P. 1049-1070.

128, Landau L. Das Dampfungsproblem in der Wellenmechanik // Zeitschrift fur Physik. — 1927. — May 1. — Vol. 45, no. 5. — P. 430-441. — ISSN 0044-3328.

129, Neumann J. v. Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik // Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen, MathematischPhysikalische Klasse. — 1927. — Vol. 1927. — P. 245-272.

130, Как понимать квантовую механику, — Москва-Ижевск : "Регулярная и хаотическая динамика", 2012. - ISBX 978-5-93972-944-4.

131, Квантовые системы, капаны, информация. — Москва : МЦНМО, 2010. — ISBX 978-5-94057-574-0.

Holevo A. S. Statistical Structure of Quantum Theory. — Berlin Heidelberg : Springer-Verlag, 2001. — (Lecture Notes in Physics Monographs). — ISBN 978-3540-42082-8.

133. Квантовая оптика. — Самарцев, В. В. — Москва : Физматлит, 2003. — ISBX 5-9221-0398-9.

134. Weyl H. Quantenmechanik und Gruppentheorie // Zeitschrift für Physik. 1927. — Nov. 1. — Vol. 46, no. 1. — P. 1-46. — ISSN 0044-3328.

135. Стратопович Р. Л. О распределениях в изображающем пространстве // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1956. — Т. 31. — С. 1012— 1020.

136. Weyl H. The Theory of Groups and Quantum Mechanics. — Courier Corporation, 01/01/1950. — 468 p. — ISBN 978-0-486-60269-1.

The interface of gravity and quantum mechanics illuminated by Wigner phase space / E. Giese [et al.] // Proceedings of the International School of Physics &ldquo;Enrico Fermi&rdquo; — 2014. — Vol. 188, Atom Interferometry, no. 1. — P. 171-236. — ISSN 0074-784X.

138. Wootters W. K., Zurek W. H. A single quantum cannot be cloned // Nature. — 1982. — Oct. — Vol. 299, no. 5886. — P. 802-803. — ISSN 1476-4687.

139. Dieks D. Communication by EPR devices // Physics Letters A. — 1982. Nov. 22. — Vol. 92, no. 6. — P. 271-272. — ISSN 0375-9601.

Helstrom C. W. Quantum detection and estimation theory. — New York : Academic Press, 1976. — 309 p. — (Mathematics in science and engineering ; v. 123). — ISBN 978-0-12-340050-5.

141. Weigert S. Quantum Time Evolution in Terms of Nonredundant Probabilities // Physical Review Letters. — 2000. — Jan. 31. — Vol. 84, no. 5. — P. 802-805.

142. Weigert S. Simple minimal informationally complete measurements for qudits // International Journal of Modern Physics B. — 2006. — May 20. — Vol. 20, no. 11. — P. 1942-1955. — ISSN 0217-9792.

143. Feynman R. P. Simulating physics with computers // International Journal of Theoretical Physics. — 1982. — June 1. — Vol. 21, no. 6. — P. 467-488. — ISSN 1572-9575.

144. Wootters W. K. Quantum mechanics without probability amplitudes // Foundations of Physics. — 1986. — Apr. 1. — Vol. 16. — P. 391-405. — ISSN 1572-9516.

145. Star products, duality and double Lie algebras / O. V. Man'ko [et al.] // Physics Letters A. — 2007. — Jan. 8. — Vol. 360, issue 4. — P. 522-532. — ISSN 0375-9601.

146. Коренной Я. А. Вероятностные представления квантовой механики и неклас-енчеекие состояния ноля излучения: дне, канд. физико-математических наук: 01,04,02 - Теоретическая физика, — Москва, 2011,

147. Чернега В. Н. Вероятностное представление в квантовой физике: дне, канд. физико-математических наук: 01,04,02 - Теоретическая физика, — Москва, 2013.

148. Жебрак Е. Д. Вероятностный томографический подход к квантовой механике в описании квантовых состояний заряженных частиц и электромагнитных полой: дне. канд. физико-математических наук: 01.04.02 - Теоретическая физика. -Долгопрудный, 28.09.2016.

149. Маркович, Л. А. Вероятностные, информационные и корреляционные характеристики квантовых систем: дне. канд. физико-математических наук: 01.04.02 -Теоретическая физика. — Долгопрудный, 13.12.2017.

150. Filippov S. N., Man'ko V. I. Mutually unbiased bases: tomography of spin states and the star-product scheme // Physica Scripta. — 2011. — Feb. — Vol. T143. — P. 014010.

151. Arithmetic of Finite Fields: First International Workshop, WAIFI 2007, Madrid, Spain, June 21-22, 2007, Proceedings / ed. by C. Carlet, B. Sunar. — Berlin Heidelberg : Springer-Verlag, 2007. — (Theoretical Computer Science and General Issues). — ISBN 978-3-540-73073-6.

152. Bjork G., Klimov A. B., Sanchez-Soto L. L. Chapter 7 The discrete Wigner function // Progress in Optics. Vol. 51 / ed. by E. Wolf. — Elsevier, 01/01/2008. -P. 469-516.

153. Livine E. R. Notes on qubit phase space and discrete symplectic structures // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2010. — Jan. — Vol. 43, no. 7. — P. 075303. — ISSN 1751-8121.

154. Звездочное произведение, дискретные функции Вигнера и томограммы спиновых систем / П. Адам |и др. | // Теоретическая и математическая физика. -2016. - Т. 186, Л* 3. - С. 401-422. - ISSX 0564-6162, 2305-3135.

155. Vourdas A. Quantum systems with finite Hilbert space // Reports on Progress in Physics. — 2004. — Vol. 67, no. 3. — P. 267.

156. Klimov A. B., Munoz C., Romero J. L. Geometric approach to the discrete Wigner function // arXiv:quant-ph/0605113. — 2006. — May 12. — arXiv: quant-ph/0605113.

157. Bengtsson I., Zyczkowski K. On discrete structures in finite Hilbert spaces // arXiv:1701.07902 [math-ph, physics:quant-ph]. — 2017. — Jan. 26. — arXiv: 1701.07902.

158. Asplund R., Bjork G. Reconstructing the discrete Wigner function and some properties of the measurement bases // Physical Review A. — 2001. — June 12. — Vol. 64, no. 1. — P. 012106.

159. Amiet J.-P., Weigert S. Coherent states and the reconstruction of pure spin states // Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. — 1999. — Aug. — Vol. 1, no. 5. — P. L5-L8. — ISSN 1464-4266.

160, Chernega V. N., Man'ko O. V., Man'ko V. I. Triangle Geometry of the Qubit State in the Probability Representation Expressed in Terms of the Triada of Malevich's Squares // Journal of Russian Laser Research. — 2017. — Mar. 1. — Vol. 38, no. 2. — P. 141-149. — ISSN 1573-8760.

Geometry and Entanglement of Two-Qubit States in the Quantum Probabilistic Representation / J. A. Lopez-Saldivar [et al.] // Entropy. — 2018. — Sept. — Vol. 20, no. 9. — P. 630.

162, Man'ko M. A., Man'ko V. I. From quantum carpets to quantum suprematism—the probability representation of qudit states and hidden correlations // Physica Scripta. — 2018. — July. — Vol. 93, no. 8. — P. 084002.

163, Dichotomic probability representation of quantum states / M. A. Man'ko [et al.] // arXiv:1905.10561 [hep-th, physics:quant-ph]. —2019. — May 25. —arXiv: 1905. 10561.

Qubit representation of qudit states: correlations and state reconstruction / J. A. Lopez-Saldivar [et al.] // Quantum Information Processing. — 2019. — July. — Vol. 18, no. 7. — P. 210. — ISSN 1570-0755, 1573-1332. — arXiv: 1905.04905.

165. Chernega V. N., Man'ko O. V., Man'ko V. I. God Plays Coins or Superposition Principle for Classical Probabilities in Quantum Suprematism Representation of Qubit States // Journal of Russian Laser Research. — 2018. — Mar. 1. — Vol. 39, no. 2. — P. 128-139. — ISSN 1573-8760.

166. Chernega V. N., Man'ko O. V., Man'ko V. I. Probability representation of quantum states as a renaissance of hidden variables - God plays coins // Journal of Russian Laser Research. — 2019. — Mar. — Vol. 40, no. 2. — P. 107-120. — ISSN 1071-2836, 1573-8760. — arXiv: 1904.09788.

167. Chernega V. N., Man'ko O. V., Man'ko V. I. Correlations in a system of classical-like coins simulating spin-1/2 states in the probability representation of quantum mechanics // The European Physical Journal D. — 2019. — Jan. 15. — Vol. 73, no. 1. — P. 10. — ISSN 1434-6079.

168. Man'ko M. A., Man'ko V. I. Properties of Nonnegative Hermitian Matrices and New Entropic Inequalities for Noncomposite Quantum Systems // Entropy. 2015. — May. — Vol. 17, no. 5. — P. 2876-2894.

169. Korennoy Y. A., Man'ko V. I. Entropic and information inequalities in the tomographic probability description of spin-1 particles // Bulletin of the Lebedev Physics Institute. — 2017. — Apr. — Vol. 44, no. 4. — P. 106-110. — ISSN 1068-3356, 1934-838X.

170. Man'ko V. I., Markovich L. A. Entropy-Energy Inequality for a Qutrit on the Example of a Three-Level Atom // Russian Physics Journal. — 2017. — Vol. 59, issue 11, no. 5. — P. 1937-1941.

171. Man'ko V. I., Markovich L. A. Separability and Entanglement of the Qudit X-State with j = 3/2 // Journal of Russian Laser Research. — 2014. — Sept. 1. — Vol. 35, no. 5. — P. 518-524. — ISSN 1573-8760.

172. Man'ko M. A., Man'ko V. I. The quantum strong subadditivity condition for systems without subsystems // Physica Scripta. — 2014. — Apr. — Vol. T160. — P. 014030. — ISSN 1402-4896.

173. Man'ko M. A. Entropic and Information Inequalities for Indivisible Qudit Systems* // Journal of Russian Laser Research. — 2016. — Nov. 1. — Vol. 37, no. 6. — P. 533-543. — ISSN 1573-8760.

174, Man'ko V. I., Markovich L. A. Entopy-energy inequality for superconducting qutrit // arXiv:1608.01821 [quant-ph]. —2016. — Aug. 5. — arXiv: 1608.01821.

175, Kiktenko E., Fedorov A., Man'ko V. Teleportation in an indivisible quantum system // Quantum Measurements and Quantum Metrology. — 2016. — Vol. 3, no. 1.

176, Man'ko M. A. Conditional Information and Hidden Correlations in Single-qudit States // Journal of Russian Laser Research. — 2017. — May 1. — Vol. 38, no. 3. — P. 211-222. — ISSN 1573-8760.

177, Multilevel superconducting circuits as two-qubit systems: Operations, state preparation, and entropic inequalities / E. O. Kiktenko [et al.] // Physical Review A. — 2015. — Apr. 10. — Vol. 91, no. 4. — P. 042312.

178, Single qudit realization of the Deutsch algorithm using superconducting many-level quantum circuits / E. O. Kiktenko [et al.] // Physics Letters A. — 2015. — July 17. — Vol. 379, no. 22. — P. 1409-1413. — ISSN 0375-9601.

179, Glushkov E., Glushkova A., Man'ko V. I. Testing Entropic Inequalities for Superconducting Qudits // Journal of Russian Laser Research. — 2015. — Sept. 1. — Vol. 36, no. 5. — P. 448-457. — ISSN 1573-8760.

180, Gell-Mann M. Symmetries of Baryons and Mesons // Physical Review. — 1962. — Feb. 1. — Vol. 125, no. 3. — P. 1067-1084.

181, Sudarshan E. C. G., Mathews P. M., Rau J. Stochastic Dynamics of Quantum-Mechanical Systems // Phys. Rev. — 1961. — Vol. 121, no. 3. — P. 920-924.

182, Bengtsson I., Zyczkowski K. Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement. — Cambridge University Press, 12/06/2007. — 479 p. — ISBN 978-1-139-45346-2.

183, On pseudo-stochastic matrices and pseudo-positive maps / D. Chruscinski [et al.] // Physica Scripta. — 2015. — Oct. — Vol. 90, no. 11. — P. 115202. — ISSN 14024896.

184, Einstein A., Podolsky B., Rosen N. Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? // Physical Review. — 1935. — May 15. — Vol. 47, no. 10. — P. 777-780.

185, Schrodinger E. Die gegenwartige Situation in der Quantenmechanik // Naturwissenschaften. — 1935. — Dec. 1. — Vol. 23, no. 50. — P. 844-849. — ISSN 1432-1904.

186, Bell J. S. On the Einstein Podolsky Rosen paradox // Physics Physique Fizika. — 1964. — Nov. 1. — Vol. 1, no. 3. — P. 195-200.

Proposed Experiment to Test Local Hidden Variable Theories / J. F. Clauser [et al.] // Physical Review Letters. — 1970. — Mar. 9. — Vol. 24, no. 10. — P. 549549.

188, Aspect A., Dalibard J., Roger G. Experimental Test of Bell's Inequalities Using Time-Varying Analyzers // Physical Review Letters. — 1982. — Dec. 20. Vol. 49, issue 25. — P. 1804-1807.

Deutsch David, Jozsa Richard. Rapid solution of problems by quantum computation // Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical and Physical Sciences. — 1992. — Dec. 8. — Vol. 439, no. 1907. — P. 553-558.

190. Quantum Algorithms Revisited / R. Cleve [et al.] // Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. — 1998. — Jan. 8. — Vol. 454, no. 1969. — P. 339-354. — ISSN 1364-5021, 1471-2946. — arXiv: quant-ph/9708016.

191. Shor P. W. Algorithms for quantum computation: discrete logarithms and factoring // Proceedings 35th Annual Symposium on Foundations of Computer Science (Proceedings 35th Annual Symposium on Foundations of Computer Science). -11/1994. — P. 124-134.

192. Grover L. K. A fast quantum mechanical algorithm for database search // (Proceedings 28th Annual ACM Symposium on the Theory of Computing). — 05/29/1996. — P. 212-219.

193. Андреев В. А., Маиъко В. И. Неравенство Белла для дну частичных смешанных спиновых состояний // Теоретическая и математическая физика. — 2004. — Т. 140, Л* 2. - С. 284-296. - ISSX 0564-6162.

194. Томография спиновых состояний, критерий перепутанности и неравенства Белла / В. А. Андреев |и др.| // Теоретическая и математическая физика. -2006. - Т. 146, Л* 1. - С. 172-185. - ISSX 0564-6162.

195. Shannon C. E. A mathematical theory of communication // The Bell System Technical Journal. — 1948. — July. — Vol. 27, no. 3. — P. 379-423. — ISSN 0005-8580.

196. Lieb E. H., Ruskai M. B. Proof of the strong subadditivity of quantum-mechanical entropy // Journal of Mathematical Physics. — 1973. — Dec. 1. — Vol. 14, no. 12. — P. 1938-1941. — ISSN 0022-2488.

197. Nielsen M. A., Petz D. A simple proof of the strong subadditivity inequality // arXiv:quant-ph/0408130. — 2004. — Aug. 20. — arXiv: quant-ph/0408130.

198. Araki H., Lieb E. H. Entropy inequalities // Communications in Mathematical Physics. — 1970. — June 1. — Vol. 18, no. 2. — P. 160-170. — ISSN 1432-0916.

199. Ruskai M. B. Inequalities for quantum entropy: A review with conditions for equality // Journal of Mathematical Physics. — 2002. — Aug. 20. — Vol. 43, no. 9. — P. 4358-4375. — ISSN 0022-2488.

200. Man'ko M. A., Man'ko V. I. New Entropic Inequalities and Hidden Correlations in Quantum Suprematism Picture of Qudit States // Entropy. — 2018. — Sept. — Vol. 20, no. 9. — P. 692.

201. Tsallis C. Possible generalization of Boltzmann-Gibbs statistics // Journal of Statistical Physics. — 1988. — July 1. — Vol. 52, no. 1. — P. 479-487. — ISSN 1572-9613.

202. Tsallis C. I. Nonextensive Statistical Mechanics and Thermodynamics: Historical Background and Present Status // Nonextensive Statistical Mechanics and Its Applications / ed. by S. Abe, Y. Okamoto. — Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 2001. — P. 3-98. — (Lecture Notes in Physics). — ISBN 978-3-54040919-9.

203. Tilma T., Byrd M., Sudarshan E. C. G. A parametrization of bipartite systems based onSU(4) Euler angles // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2002. — Nov. — Vol. 35, no. 48. — P. 10445-10465. — ISSN 0305-4470.

204. Werner R. F. Quantum states with Einstein-Podolsky-Rosen correlations admitting a hidden-variable model // Physical Review A. — 1989. — Oct. 1. — Vol. 40, no. 8. — P. 4277-4281.

205. Rabi I. I. Space Quantization in a Gyrating Magnetic Field // Physical Review. -1937. — Apr. 15. — Vol. 51, no. 8. — P. 652-654.

206. Exact solution of the Bloch equations for the nonresonant exponential model in the presence of dephasing / K. N. Zlatanov [et al.] // Physical Review A. — 2015. — Oct. 6. — Vol. 92, no. 4. — P. 043404.

207. Demkov Y. N. Charge Transfer at Small Resonance Defects. — 1964. — Jan.

208. Lindblad G. On the generators of quantum dynamical semigroups // Commun. Math. Phys. — 1976. — Vol. 48, no. 2. — P. 119-130. — ISSN 1432-0916.

209. Gorini V., Kossakowski A., Sudarshan E. C. G. Completely positive dynamical semigroups of N-level systems //J. Math. Phys. — 1976. — Vol. 17, no. 5. — P. 821-825. — ISSN 0022-2488.

210. Siudzinska K., Chruscinski D. Decoherence of a qubit as a diffusion on the Bloch sphere // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. —2015. —Sept.— Vol. 48, no. 40. — P. 405202. — ISSN 1751-8121.

211. Mauro D. On koopman-von neumann waves // International Journal of Modern Physics A. — 2002. — Apr. 10. — Vol. 17, no. 9. — P. 1301-1325. — ISSN 0217-751X.

212. Gozzi E., Mauro D. On koopman-von neumann waves ii // International Journal of Modern Physics A. — 2004. — Apr. 10. — Vol. 19, no. 9. — P. 1475-1493. — ISSN 0217-751X.

213. Chernega V. N., Man'ko V. I. Wave function of the harmonic oscillator in classical statistical mechanics // Journal of Russian Laser Research. — 2007. — Nov. 1. — Vol. 28, no. 6. — P. 535-547. — ISSN 1573-8760.

214. Tammaro E. Mechanics: Non-classical, Non-quantum // Foundations of Physics. — 2012. — Feb. 1. — Vol. 42, no. 2. — P. 284-290. — ISSN 1572-9516.

215. Avanesov A. S., Man'ko V. I. Wave function of classical particle in linear potential // Journal of Russian Laser Research. — 2013. — Vol. 34, issue 3. — P. 239246. — ISSN 1071-2836.

216. Korennoy Y. A., Man'ko V. I. Optical tomography of the distribution function of an ensemble of classical harmonic oscillators // Journal of Russian Laser Research. — 2012. — Jan. 1. — Vol. 33, no. 1. — P. 84-89. — ISSN 1573-8760.

217. Додоиов В. В., Маиъко В. И. Инварианты и эволюция нестационарных квантовых систем. — Москва : Наука, 1987. — (Труды ФИАН, Т. 183).

218. Inseparability Criterion for Continuous Variable Systems / L.-M. Duan [et al.] // Physical Review Letters. — 2000. — Mar. 20. — Vol. 84, no. 12. — P. 2722-2725.

219. Adesso G., Illuminati F. Entanglement in continuous-variable systems: recent advances and current perspectives // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2007. — June. — Vol. 40, no. 28. — P. 7821-7880. — ISSN 1751-8121.

220. Man'ko O. V., Man'ko V. I. Quantum states in probability representation and tomography // Journal of Russian Laser Research. — 2012. — Sept. 1. — Vol. 18, issue 5. — P. 407-444. — ISSN 1573-8760.

221. Chernega V. N., Man'ko V. I. System with classical and quantum subsystems in tomographic probability representation // AIP Conference Proceedings. — 2012. — Mar. 29. — Vol. 1424, issue 1. — P. 33-39. — ISSN 0094-243X.

222. Peres A. Separability Criterion for Density Matrices // Physical Review Letters. — 1996. — Aug. 19. — Vol. 77, no. 8. — P. 1413-1415.

223. Horodecki M., Horodecki P., Horodecki R. Separability of mixed states: necessary and sufficient conditions // Physics Letters A. — 1996. — Nov. 25. — Vol. 223, no. 1. — P. 1-8. — ISSN 0375-9601.

224. Simon R. Peres-Horodecki Separability Criterion for Continuous Variable Systems // Physical Review Letters. — 2000. — Mar. 20. — Vol. 84, no. 12. -P. 2726-2729.

Приложение А

Рассмотрим квадратную матрицу размера п х п вида

1. .. 1

С7 = 1 . .. 1

1 1. ..

(156)

При этом полагаем, что р > 1. Это означает, что ранг матрицы С равен п и она обратима. Обратная матрица С—1 будет иметь вид

С

-1

Ь а

(157)

Ь Ь ... а

Действительно, это можно показать следующим образом. Перемножим эти матрицы

С-1 • С

ра + (п — 1)6 а + (р + п — 2)6 а + (р + п — 2)6 ра + (п — 1)6

а + (р + п — 2)6 а + (р + п — 2)6

а + (р + п — 2)6 а + (р + п — 2)6 ... ра + (п — 1)6

Приравняв данное произведение к единичной, получим систему уравнений и еоот-

!

ра + (п — 1)6 = 1 а + (р + п — 2)6 = 0

!

р+п-2 р2+(п-2)р-п+1

Л + ь

V-1

=

V2 + (п—2) V—п+1

1

Теперь рассмотрим матрицу В = М•€. Диагональные элементы обозначим как М, при этом р = Ц, Обратная матрица, соответственно, будет иметь вид В = М—1С7—1,

а

менты матрицы В—1

а М

1

N + (п — 2)М

1

ЬМ—1 = -— •

(М — М)(М + (п — 1)М) N — М

М2 М

+ 6М

1

М (М — М )(М +(п — 1)М) (М — М )(М +(п — 1)М)'

(158)

(159)

а

1

Приложение Б

Генераторы группы Яи(4)

т\

тт

/0 1 0 0\

10 0 0

0 0 0 0

\0 0 0 0/

/0 0 1 0\ 0000 1000 0000

000

—г 0 0

Т10

0

00 0 г 00

000 000 000 \г 0 0

0000 0000 0 0 0 1 \0 0 1 0/

0

0 0

—А 0

0 0

Т"2

Т8

Т5

Г11

Ти

/0 —г 0 0\

г 0 0 0

0 0 0 0

\0 0 0 0/

/0 0 — 0\

0 0 0 0

г 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0 0

^ 0 10 0

/3 0 0 —2 0

0 0 0 0

0000 0 0 0 1 0000 0100

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 —г

\0 0 г 0 У

,73

7"б

7^12

Т15

(1 0 0 0\

0 —1 0 0

0 0 0 0

\0 0 0 0/

0000 0010 0100 0000

/0 0 0 Л 0000 0000 1000

0 0 0 0

0 0 0 —

0 0 0 0

\0 г 0 0 /

1 0 0 0 ^ 0 10 0 /60010 0 0 0 —3

Т"9