Квантовые состояния и динамика спиновых систем и электромагнитного поля в представлении томографической вероятности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Филиппов, Сергей Николаевич

• Филиппов, Сергей Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Филиппов, Сергей Николаевич

Содержание

Введение

Глава 1. Квантовые состояния систем с дискретными переменными

1.1. Геометрические свойства чистых и смешанных состояний

1.2. Общая схема построения томографических отображений

1.3. Новые результаты в спиновой томографии

1.4. Схемы квантования с внутренней симметрией

1.5. Меры различия и статистическое сравнение квантовых состояний

1.6. Квантовое поведение томографических вероятностей

1.7. Составные спиновые системы

Глава 2. Квантовые состояния систем с непрерывными переменными

2.1. Томографические отображения состояний электромагнитного поля

2.2. Оптическая томография суперпозиций фоковских состояний

2.3. Точность и операционное использование оптических томограмм

2.4. Упорядоченные моменты операторов рождения и уничтожения фотонов и измерение квантовых состояний СВЧ-излучения

2.5. Двухмодовые состояния электромагнитного поля и сцепленность

Глава 3. Динамика квантовых систем

3.1. Эволюция составных спиновых систем в томографическом представлении

3.2. Эволюция упорядоченных моментов операторов рождения и уничтожения фотонов

3.3. Динамика сцепленности

Заключение

Список литературы

Приложение А. Плотности состояний

Приложение Б. Двухкубитный портрет томограммы счёта фотонов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квантовые состояния и динамика спиновых систем и электромагнитного поля в представлении томографической вероятности»

Введение

Актуальность работы. Экспериментальная физика и теоретическая физика неразрывно связаны друг с другом общей целью — всесторонним изучением явлений природы, свойств материи и её динамики. В квантовой физике эта связь проявляется особенно ярко: опытные факты привели к разработке постулатов квантовой механики, сформулированных на математическом языке и позволивших объяснить известные и установить новые зависимости между физическими величинами, характеризующими то или иное квантовое явление. Область практического применения квантовой механики постоянно расширяется, вовлекая в себя такие актуальные направления как квантовые вычисления и квантовая теория информации.

Значительный прогресс в технике и методах экспериментальной физики позволяет в настоящее время не только наблюдать за квантовыми свойствами одиночных объектов (атомов, электронов, фотонов) и их ансамблей, но даёт принципиальную возможность контролируемым образом воздействовать на такие объекты, манипулировать ими, а также создавать и управлять исскуственными атомами. Такими возможностями обладают современные квантовая оптика, атомная физика, квантовая электродинамика резонаторов и электрических цепей, наноэлектроника и другие смежные направления. На первый план в этих экспериментах выходит понятие «состояния» квантового объекта: оно описывает все свойства объекта, эволюционирует в соответствии с прикладываемыми внешними воздействиями (в картине Шредингера) и подлежит экспериментальному наблюдению. Последнему обстоятельству долгое время не уделялось должного внимания ввиду сложности самого понятия квантового состояния — волновой функции ф(х) = (х\ф) для изолированной системы или оператора плотности р для общего случая открытой системы или ансамбля частиц. Данные объекты не наблюдаются непосредственно в эксперименте. Наблюдению подлежат распределения вероятностей, например, \ф(х)\2 и (х\р\х), связанные с измерением некоторой физической величины (координаты х). Такие распределения не содержат информации о фазе волновой функции и недиагональных элементах матрицы плотности, поэтому каждое из подобных измерений в отдельности не определяет квантовое состояние. Задача квантовой томографии, впервые сформулированная Паули [31], состоит в нахождении некоторого числа измерений, позволяющих точно определить квантовое состояние, а также в нахождении самого соотношения, связывающего |ф) или р с

измеряемыми распределениями вероятностей. Такие распределения вероятностей называют томографическими, а их совокупность — квантовой томограммой.

Актуальность квантовой томографии заключается в том, что она совершенно необходима для полного анализа воздействия окружения на динамику системы, контроля за качеством управления квантовыми состояниями, а также в квантовых вычислениях для считывания конечного результата вычисления. Так как томограмма содержит полную информацию о квантовом объекте и доступна экспериментальному наблюдению, естественно рассматривать квантовые явления на языке измеряемых характеристик, т.е. в представлении томографической вероятности. Актуальная задача теории состоит тогда в установлении зависимостей между томограммой и физическими характеристиками состояния (такими как энергия, параметр чистоты Тгр2, запутанность), а также в нахождении уравнений динамики для томограмм.

Для анализа состояний спиновых систем в 1997 г. была разработана спиновая томография [28, 105], однако до настоящего времени не было найдено физического представления операторов, используемых для восстановления оператора плотности, не рассматривались вопросы минимизации избыточной информации, вычисления в явном виде некоторых характеристик состояния и интегральных ядер, уменьшения ошибок восстановленного состояния, сравнения квантовых состояний по экспериментально наблюдаемым распределениям вероятностей. Требовали рассмотрения также общая схема построения томографических отображений, процедура восстановления состояний на основе измерений симметричного набора физических величин, а также построение томограмм составных спиновых систем и установление связи между томограммой и измеряемыми распределениями в экспериментах с мюонами.

В весьма тонких экспериментах по гомодинному детектированию квантовых состояний электромагнитного излучения [63, 74, 170, 176, 213, 219, 222, 229, 243], позволяющих экспериментально определить оптическую томограмму, ввиду статистической природы исходов квантовых измерений до сих пор не была решена проблема оценки ошибок и операционного использования данных. С другой стороны, говорить об измерениях имеет смысл только тогда, когда известна их точность. Кроме того, активное изучение сверхпроводниковых квантовых битов (искусственных атомов) вызвало необходимость исследования квантовых состояний электромагнитного поля микроволнового диапазона длин волн (сверхвысокой частоты), где паразитные (тепловые) шумы выходят на первый план. Вли-

яние шумов на измеряемые характеристики и их эволюцию, а также извлечение полезного сигнала из зашумлённого являются важными шагами для дальнейшего развития методов детектирования квантовых состояний.

В течение нескольких последних десятилетий было разработано и экспериментально продемонстрировано много приложений, в основе которых лежит явление квантовой запутанности — уникального физического ресурса, находящего применение в квантовой теории информации (секретное распределение ключа, сверхплотное кодирование, квантовая телепортация и другие). Подобные квантово-информационные протоколы работают эффективно только при условии, что подсистемы запутанны друг с другом (в этом случае состояние всей системы не определяется состояниями подсистем). Однако, каждая из подсистем неизбежно взаимодействует с окружением, которое превносит шум. В результате этого воздействия в эксперименте имеют дело с зашумлённым состоянием, запутанность которого может существенно отличаться от первоначальной. При достаточно большом уровне шума может возникнуть такая ситуация, когда любое состояние составной системы будет становиться незапутанным. В таком случае применение любого квантового протокола, основанного на запутанности, станет невозможным. Это приводит к задаче поиска предельно допустимого уровня шума для различных физических воздействий со стороны окружения.

Необходимость решения этих вопросов, имеющих большую важность для науки и практики, определяет актуальность проведённого исследования.

Цель диссертационной работы состоит в усовершенствовании методов квантовой томографии спиновых систем и электромагнитного поля с учётом особенностей эксперимента, установлении математических соотношений между физическими характеристиками состояний и экспериментальными данными, нахождении уравнений динамики таких систем в терминах измеряемых величин.

Для достижения поставленной цели были поставлены и решены следующие задачи:

1) нахождение общей схемы построения томографических отображений, включая отображения с внутренней симметрией, и их классификация;

2) выражение операторов деквантования и квантования в спиновой томографии через физический оператор (¿Г • п) проекции углового момента на направление п и получение в явном виде параметра чистоты и интегрального ядра спин-томографических символов;

3) построение томографии с конечным числом направлений {щ} и нахождение оптималь-

ных направлений, приводящих к малым ошибкам в востановленном операторе плотности;

4) сравнение квантовых состояний по статистике исходов наблюдений и вывод формул для мер различия квантовых состояний (следовой метрики, степени совпадения и других) через доступные экспериментальному наблюдению томограммы;

5) установление связи между спиновой томограммой и измеряемыми угловыми распределениями распадных частиц в экспериментах с мюонами, исследование унитарной эволюции и запутанности двухспиновой системы «мюон-электрон» в мюонии;

6) решение проблемы обработки экспериментальных данных гомодинного детектирования: нахождение оптимального шага для гистограмм гомодинных квадратур, разработка метода оценки ошибок, выражение параметра чистоты и его ошибки через экспериментальные томограммы, — а также проверка фундаментальных квантовых соотношений неопределённостей в экспериментах по гомодинному детектированию;

7) разработка теории измерения квантовых состояний излучения СВЧ-диапазона с учётом влияния шума линейных усилителей, используемых для их детектирования;

8) извлечение упорядоченных моментов операторов рождения и уничтожения фотонов, полностью характеризующих квантовые состояния СВЧ-излучения, при детектировании с помощью синфазного квадратурного смесителя, нахождение уравнений динамики моментов;

9) исследование возможности детектирования запутанности двухмодовых состояний электромагнитного поля по томограмме счёта фотонов;

10) нахождение предельно допустимого уровня шума, действующего со стороны окружения на систему из двух квантовых битов, при котором их запутанность сохраняется (для различных квантовых каналов, моделирующих шум).

Научная новизна результатов, полученных в работе, состоит в следующем:

1) впервые проведена полная классификация томографических отображений для систем с дискретными переменными, каждой томографической схеме (переполненной, минимальной, самодуальной) поставлена в соответствие матрица деквантования (прямоугольная, квадратная, изометрическая или унитарная);

2) развивая ранее известную спиновую томографию, впервые получено ортогональное разложение деквантайзеров и квантайзеров, слагаемыми в котором являются специальные функции дискретной переменной и оператора (Я ■ п), а также найдено новое выражение для параметра чистоты спинового состояния в терминах спиновой томограммы и открыто реккурентное соотношение для интегральных ядер спин-томографических символов;

3) введено новое понятие спин-э портрета, представляющего собой огрубление результатов измерения проекции спина на выделенное направление и используемого для построения обратного отображения и исследования его оптимальности в спиновой томографии с конечным числом направлений {п/с}^=1;

4) впервые рассмотрена задача безошибочного сравнения квантовых состояний по статистике исходов наблюдений, что выгодно отличает данную постановку от известных ранее, поскольку позволяет сравнивать не только чистые состояния, но и смешанные; введены новые количественные характеристики универсальности и качества сравнения, а также найдены новые выражения для мер различия квантовых состояний на языке томограмм;

5) впервые рассмотрена связь между спиновой томограммой мюона и угловым распределением заряженных частиц, испускаемых при его распаде, на основе чего было развито томографическое описание мюония (составной системы «мюон+электрон») и введена новая мера запутанности, выражаемая лишь через двухспиновую томограмму;

6) теоретически предсказанная симметрия оптической томограммы по отношению к сдвигу фазы локального осциллятора в гомодинном детектировании впервые использована для оценки ошибок экспериментальных данных, включающих в себя как случайную, так и статистическую составляющую;

7) впервые получено новое интегральное неравенство, которому должна удовлетворять оптическая томограмма любого состояния; это и другие известные ранее фундаментальные соотношения впервые проверены для когерентного состояния с добавленным фотоном;

8) получено новое соотношение, связывающее экспериментально измеряемые квадратурные распределения усиленного (зашумлённого) микроволнового квантового состояния с томограммой самого квантового состояния, и впервые найдено обратное преобразование;

9) уравнения динамики электромагнитного поля (с диссипацией) впервые сформулированы в терминах упорядоченных моментов операторов рождения и уничтожения фотонов;

10) введено новое понятие двухкубитного портрета томограммы счёта фотонов двухмо-дового электромагнитного поля, в результате чего удалось свести задачу детектирования запутанности двух мод излучения к хорошо известной задаче запутанности двух кубитов;

11) впервые рассмотрена задача эволюции запутанности двухкубитных состояний в случае воздействия на них локальных шумов самого общего вида; для решения задачи введено понятие локальных двухкубитных каналов, аннигилирующих сцепленность, отличающееся от известного ранее понятия канала, разрушающего сцеленность.

Практическая значимость. Часть результатов, изложенных в диссертации, уже нашла практическое применение: экспериментальная группа квантвой оптики из Национального института оптики (г. Флореция, Италия) под руководством М. Bellini использует разработанный автором метод оценки ошибок оптической томографии для повышения точности своих данных (постселекция результатов с малой систематической ошибкой), а также применяет операционный способ вычисления параметра чистоты состояний. Другие результаты также могут найти практическое применение в ближайшем будущем. Оптимальные направления {гц.} в спиновой томограмме с конечным числом измерений и явное выражение для параметра чистоты спинового состояния в терминах экспериментально наблюдаемых томографических распределений вероятности полезны в различных модификациях эксперимента Штерна-Герлаха для минимизации ошибок восстановления оператора плотности и прямого подсчёта интересующих величин. Разработанный алгоритм сравнения квантовых состояний по статистике исходов специально организованного измерения позволяет калибровать источники квантовых состояний. Найденные уравнения движения редуцированной томограммы мюонной подсистемы в мюонии полезны для определения вида гамильтониана взаимодействия мюона с электроном в присутствии магнитных полей (например, коэффициента анизоторопии). Динамика упорядоченных моментов операторов рождения и уничтожения фотонов может использоваться для мониторинга и прогнозирования эволюции микроволновых квантовых состояний. Решение задачи аннигиляции запутанности при воздействии на систему из двух кубитов локальных шумов позволяет рассчитать предельно допустимую длину квантовых линий связи.

Апробация работы. Основные результаты работы прошли апробацию на следующих всероссийских и международных конференциях: 54-й научной конференции МФТИ «Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе» (г. Долгопрудный, 10-30 ноября 2011 г.); 8th Canadian Student Conference on Quantum Information (г. Жуванс, Канада, 16-17 июня 2011 г.); 8th Central European Quantum Information Processing Workshop (г. Зноймо, Чехия, 2-5 июня 2011 г.); 7-м семинаре, посвящённом памяти Д.Н. Клышко (МГУ им. М.В. Ломоносова, г. Москва, 25-27 мая 2011 г.); 1-й международной научной школе для молодёжи и преподавателей «Прикладные математика и физика: от фундаментальных исследований к инновациям» (г. Долгопрудный, 1-13 июля 2010 г.); 51-й, 52-й и 53-й научных конференциях МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (г. Долго-

прудный, 2008-2010 гг.); International Conference on Quantum Information and Computation (г. Стокгольм, Швеция, 4-8 октября 2010 г.); 17th Central European Workshop on Quantum Optics (г. Сэнт-Эндрюс, Великобритания, 6-11 июня 2010 г.); 11th International Conference on Squeezed States and Uncertainty Relations (г. Оломоуц, Чехия, 22-26 июня 2009 г.); 16th Central European Workshop on Quantum Optics (г. Турку, Финляндия, 23-27 мая 2009 г.).

Результаты докладывались также на научных семинарах кафедры теоретической физики МФТИ (г. Долгопрудный, 2009-2012 гг.), семинарах Исследовательского центра по квантовой информатике Института физики Словацкой академии наук (г. Братислава, Словакия, 2009-2011 гг.), семинаре «Квантовая вероятность, статистика, информация» Математического института им. В.А. Стеклова РАН (г. Москва, 2011-2012 гг.), семинаре по оптике Института физики Университета Росток (г. Росток, Германия, 2012 г.).

Результаты работ, являющихся частями настоящей диссертации, были удостоены наград в конкурсах научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в рамках 52-й, 53-й и 54-й научных конференций МФТИ, конкурсе «Лучшие аспиранты РАН», проводимого Региональным общественным Фондом содействия отечественной науке (2010 г.), конкурсе физиков-теоретиков в рамках программы поддержки аспирантов и молодых ученых без степени фонда «Династия» (2011 г.), а также удостоены стипендии Президента Российской Федерации (2011-2012 гг.).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 29 работах, из них 18 статей в рецензируемых журналах из перечня ведущих периодических изданий ВАК [43, 69, 70, 114-121, 123-129], 9 тезисов докладов в сборниках трудов конференций [36-42, 113, 122], 2 препринта статей, отправленных в редакции научных журналов [68, 130].

Личный вклад автора. Все теоретические результаты, представленные в диссертации, получены автором самостоятельно. Эксперимент по гомодинному детектированию когерентных состояний с добавленным фотоном выполнен М. Bellini, A.S. Coelho и A. Zavatta. Обработка экспериментальных данных и их интерпретация выполнена автором. Постановка большей части задач выполнена научным руководителем. Часть задач поставил M. Ziman. Обсуждение результатов работ проводилось совместно с соавторами.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Общий объем диссертации 172 страницы, из них 155 страниц текста, включая 37 рисунков и 2 таблицы. Библиография включает 246 наименований на 13 страницах.

и

d

t _

tr[-]

Список обозначений

Гильбертово пространство Размерность пространства, dim?-/ Кет-вектор, принадлежащий % Обозначение оператора Операция эрмитового сопряжения Операция комплексного сопряжения Операция траспонирования Частичное траспонирование (РРТ) Тензорное произведение Прямая сумма Операция взятия следа

1;Гг[-] — Частичный след по г-й подсистеме р — Оператор плотности р — Матрица плотности (р^ = (г\р\з)) — Множество всех операторов плотности, действующих в %

И,;) — Множество всех состояний, сепарабельных по отношению к разбиению % = %

I — Единичный оператор

П — Проектор ранга 1, \ф){ф\

Н — Гамильтониан

и^) — Оператор эволюции

[А, В] — Коммутатор, АВ - В А

{А, 13} — Антикоммутатор, АВ + В А

II — Оператор деквантования,

деквантайзер Г) — Оператор квантования, квантайзер Е,Фз}?=1ЛЕз}?=1 ~ Измерение, РОУМ /А — Символ оператора А, ^А] /а* 1в — Звёздочное произведение

символов операторов А и В Л — Оператор углового момента \jrri) — Собственный вектор ,]2 и З2 и

Xg — Квадратура, Q cos в + Р sin 9 á\ а — Операторы рождения и уничтожения фотонов

|п) — Фоковское состояние, а)а\п) = п\п) |а) — Когерентное состояние, а\а) — а\а) V{a) — Оператор сдвига, exp [aal — a*á] d2a — d(Kea) d(Ima) W(a) — Функция Вигнера Q(a) — Функция Хушими-Кано Р(а) — Функция Глаубера-Сударшана w(m,u) — Унитарная томограмма w(m, п) — Спиновая томограмма

w

ang

(п) — Угловая томограмма

и)^,}!^) — Симплектическая томограмма IV {X, в) — Оптическая томограмма

а) — Томограмма счёта фотонов £ — Квантовый канал X — Тождественное отображение Нп (х) — Полином Эрмита ип(х) — Полином Чебышева второго рода Р/™' (х) — Присоединённый полином Лежандра

1п{х, И) — Полином Чебышева дискретной

переменной $а./з — Символ Кронекера ¿(ж) — Дельта-функция Дирака еаРП — Тензор Леви-Чивиты а = (ах. (Ту, а7) — Набор матриц Паули diag(•, •,...,•) — Диагональная матрица Б2 — Единичная сфера в Е3 л — Единичный вектор в М3 (а • Ь) — Скалярное произведение векторов [ах Ь] — Векторное произведение векторов А \ В — Все элементы множества А, не содержащиеся в множестве В

- Унитарная матрица

Список сокращений

AD — Затухание амплитуды (amplitude-damping)

ЕА — Аннигилирующий сцепленность (entanglement-annihilating)

ЕВ — Разрушающий сцепленность (entanglement-breaking)

LIC — Локально полностью информативный (locally informationally complete)

MUB — Равноналонённые (взаимно несмещённые) базисы (mutually unbiased bases)

PD — Затухание фазы (phase-damping)

POVM — Положительная операторнозначная мера (positive operator-valued measure)

PPT — Положительное частичное транспонирование (positive partial transpose) SIC — Симметричный полностью информативный (symmetric informationally complete) SPACS — Когерентное состояние с добавленным фотоном (single photon-added coherent) 2LEA — Двойной локальный и аннигилирующий сцепленность (2-locally ЕА)

Благодарности. В первую очередь мне хотелось бы выразить свою глубокую признательность моему научному руководителю В.И. Манько, ставшему мне учителем и наставником в науке и посвятившему много времени нашим многочисленным беседам и обсуждениями, в ходе которых он с недюжинным терпением и превосходным педагогическим мастерством помогал мне постигать удивительный мир квантовой теории. Я благодарен В.И. Манько за его внимательное отношение и всестороннюю поддержку и в не меньшей мере за его жизнерадостность и увлечённость работой, которые вкупе с подлинным профессионализмом лучше всего характеризуют Владимира Ивановича и служат для меня примером. Также я очень благодарен М.А. Манько за постоянное внимание ко мне.

Данная диссертация обязана своим появлением моей Alma Mater, воспитавшей меня духовно. По прошествии без малого девяти лет мне хотелось бы искренне поблагодарить всех своих Учителей, в особенности, М.И. Шабунина и Г.Р. Локшина, взрастивших во мне любовь к математике и физике, В.П. Быкова, познакомившему меня с квантовой оптикой, своих преподавателей по теоретической физике: лекторов О.И. Толстихина, А.Л. Бараба-нова, Ю.В. Михайлову и руководителей семинаров Л.А. Мельниковского, С.А. Вагнера,

A.A. Пухова, каждый из которых по-своему показал мне красоту науки, определившей специальность данной диссертации. Особой благодарности заслуживает руководитель моей магистерской диссертации В.В. Вьюрков, который познакомил меня с квантовыми вычислениями и наноэлектроникой и проявил отеческую заботу к моему пути в науке.

Я благодарен своим зарубежным коллегам М. Зиману, Т. Рыбару, Т. Хейносаари, Я. Шперлингу за содержательные дискуссии и поддержку. Мне приятно поблагодарить

B. Бужека и В. Фогеля за приглашения посетить их группы и за радушный приём.

За ценные советы и помощь я благодарен всем сотрудникам кафедры теоретической физики МФТИ, где мне посчастливилось работать, и особенно Ю.М. Белоусову, который оказал мне всестороннее содействие. Также я признателен всем участникам семинара под руководством A.C. Холево в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН.

Наконец, мои самые тёплые слова благодарности адресованы тем людям, без поддержки которых эта диссертация никогда не увидела бы свет, — моим родителям, сестре и друзьям. Спасибо вам за то, что всегда верили в меня и были рядом.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Филиппов, Сергей Николаевич

Заключение

Изложенное в диссертации исследование посвящено детальному анализу томографии состояний спиновых систем и электромагнитного поля, выявлению и количественному описанию свойств таких систем (например, чистоты и запутанности) на основе измеряемых распределений томографических вероятностей, рассмотрению динамики этих систем на языке определяемых экспериментально величин.

Установление общих свойств томографических отображений и их классификация по виду матрицы деквантования позволили найти связь между известными ранее томограммами и квазираспределениями, получить новые математические соотношения между экспериментальными данными (томограммами) и физическими характеристиками состояний (чистота, запутанность, квантовость, меры различия), усовершенствовать существующие томографические методы с учётом особенностей эксперимента (уменьшение избыточности информации, нахождение минимального количества томографических измерений для спинов, оптимизация направлений квантования в спиновой томографии для уменьшения ошибок в восстановленном операторе плотности, рассмотрение свойств симметричных конструкций для томографии, количественная оценка точности экспериментальных данных, влияние конечной квантовой эффективности детекторов и шумов усилителей).

В ходе решения задач по достижению этих целей были получены и другие теоретические результаты: явный вид деквантайзеров и квантайзеров, выражения для интегральных ядер схем звёздочного произведения символов соответствующих отображений и реккурент-ные соотношения для них, явный вид плотностей идентичных и неидентичных состояний для мер Гильберта-Шмидта и Буреша в задаче сравнения квантовых состояний по статистике исходов наблюдений, формулы для томограмм суперпозиций фоковских состояний и их смеси с тепловым состоянием, формулы для томограмм счёта фотонов некоторых двухмодовых состояний электромагнитного поля, явный вид упорядоченных моментов операторов рождения и уничтожения фотонов для важных с физической точки зрения состояний, вывод интегрального энтропийного неравенства для оптической томограммы.

Динамика составных спиновых систем была рассмотрена на примере мюония, найден общий вид унитарной эволюции двухспиновых томограмм, рассмотрены примеры эволюции редуцированных мюонных томограмм, связь которых с угловым распределением распадных частиц была установлена. Динамика квантовых состояний электромагнитного поля исследована в терминах упорядоченных моментов операторов рождения и уничтожения фотонов, получены явные уравнения для их унитарной и неунитраной эволюции. Рассмотрена задача сохранения и аннигиляции запутанности при воздействии на составную систему локальных шумов в квантовых каналах передачи информации, которая имеет важное значение для полноценного использования уникальных свойств квантовых линий связи, основанных на запутанности пересылаемых через них физических объектов.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Для системы со спином ] деквантайзер и квантайзер спиновой томографии рас

2 ] . кладываются по ортогональным операторам: п) = и Ь^Цт, п) = ь=о

Е(2Ь + 1)/^)(т)^)(п),где/^)М= ' ^С? + 23 + 1) - нормированный

Ь=0 1 -1

Нз)/„\ Аз)

2£,+ 1)(2д-£.)!

1/2 полином Чебышева дискретной переменной та, ¿'¿ (п) = - п)^ — тот же самый полином от оператора (Л • п) проекции углового момента на направление п.

2. Параметр чистоты состояния р = 1г[р2] выражается через спиновую томограмму з з-1 го2(т, п) — ^^ и)(т, п)ги(т + 1, п) т=-з т=-3 п) по формуле р = (2] + 1)

11

47Г

52

3. Совокупность вероятностей ги^(т,Пк) получить число т при измерении проекции спина на направление п*., к = 1., 4; + 1, содержит полную информацию о системе со спином ] и позволяет восстановить оператор плотности, если невырождена каждая из 2] квадратных матриц ¡С^Ц порядка Ь = 1,., 2], элементами которой являются полиномы Лежандра: ||Сь||г? = Рь ((пг • гт,)). Если вероятности (т, гц.) определены с конечной точностью, то восстановленной оператор плотности будет содержать тем меньшие ошибки, чем меньше числа обусловленности матриц Ц^ьЦ

4. Для безошибочного сравнения двух произвольных квантовых состояний р и £ необходимо провести томографическое измерение каждого из них. Однако существуют специальные измерения с двумя исходами, не являющиеся томографическими и позволяющие безошибочно сравнивать все состояния р и £ (£ ф р) за исключением множества состояний меры нуль (почти универсальное сравнение). Почти универсальное сравнение с большим количеством исходов реализуется при измерениях типа Штерна-Герлаха над каждой подсистемой. Фактор качества сравнения, производимого с помощью измерения N

Е — {Е,}^, определяется по формуле (£)Е) = Д М^М^О ^ 2 ® £ — г] ® т])}\ и рФК 77 вычислен в случае кубитов для меры Гильберта-Шмидта /¿нз и меры Буреша рв ■

5. Расстояние Црх — ргЦнэ между двумя состояниями рх и р2 в метрике Гильберта-Шмидта связано с их спиновыми томограммами шДта, п) и ю2(та, п) двойным нера

1/2 ||Р1 — РгЦнэ- Расстояние в слевенством 0 ^ шах п

1 •> /

- (г«1(ш,п) - и)2(т,п)\

А т,=-] \ ' довой метрике \tx\px — р2\ равно максимальному по унитарным матрицам и расстоянию Колмогорова между унитарными спиновыми томограммами гих(т,и) и ги2(т,и). Степень совпадения состояний 1л^\fp\p2\fp-v равняется минимальному по унитарным матрицам и коэффициенту Бхаттачария ^ ^и>х(т,и) и>2(т,и).

6. Точность данных гомодинного детектирования определяется по различию экспериментально измеренных оптических томограмм 'ш(Х. 9) и и>(—Х. 9 + 7г). Погрешность

ХвУ соэ[(Х + У)г] х параметра чистоты вычисляется по формуле Ар = -—

27Г

Г7Г X

00 г<1г о

0О

Ю[1»{Х, в)ю(-У, 9) - ю{Х, 9 + тг)Ц-У, в + тг)].

IX о оо гтг

7. Энтропия Нх,в = — оо О

-ш(Х,9)1ти(Х,9) безразмерной оптической

7Г томограммы ъи(Х, 9) как функции двух переменных удовлетворяет неравенству Нх в ^ \ [ 1п 7г + 1] для любого квантового состояния. Данное и известные ранее соотношения впервые проверены и выполняются (с указанной точностью) для экспериментальных данных по детектированию когерентных состояний и когерентных состояний с добавленным фотоном.

8. Усилители, используемые при детектировании квантовых состояний электромагнитного поля СВЧ-диапазона, превносят в измеряемые характеристики сильный тепловой шум, однако информация о самом квантовом состоянии извлекается из зашумлённого сигнала по моментам гомодинных квадратур (ХТв) или моментам операторов рождения и уничтожения фотонов (нормально упорядоченным ((а))тап) или антинормально упорядоченным (ак(а))1)). Уравнения движения квантовых состояний поля излучения (с учётом диссипации) записываются в виде разностных уравнений для моментов и носят локальный характер в соответствующем фазовом пространстве — решётке (та, п) или (к, /).

9. Параметр чистоты одномодового состояния электромагнитного поля выражается через нормально упорядоченные моменты операторов рождения и уничтожения фотонов оо

-1)т+/с(п + £)! по формуле ¡1 = ^^ п\т\к\1\

- г„+к,т+г((а+)пат>((а+)'=аг). п,т.к,1=0

10. Запутанность двухмодовых состояний электромагнитного поля эффективно детектируется по известной томограмме счёта фотонов и>(п1, п2, «ь а2) с помощью двухку-битного портрета такой томограммы, построенного по принципу различения чётного и нечётного числа фотонов щ в каждой из мод.

11. Локальный двухкубитный унитальный квантовый канал £\ ® £2, описывающий взаимодействие каждого из кубитов со своим окружением, переводит любое запутанное состояние в сепарабельное, если однокубитные каналы £2 и по отдельности разрушают сцепленность. Если каналы £\ и £2 экстремальные, то £\ ® £2 будет аннигилировать сцепленность тогда и только тогда, когда хотя бы один из каналов £\ и £2 разрушает сцепленность. Допустимые уровени шумов гг и г2 в деполяризующих каналах £\ и £2, при действии которых запутанность некоторых двухкубитных состояний сохраняется, удовлетворяют условию (1—Г1)(1—г2) > Для канала £®£, где однокубитный канал £ = -Арл=од описывает затухание амлитуды с неподвижной точкой в центре шара Блоха, запутанность некоторых состояний будет сохраняться при уровне шума р < у \/2 — 1 ~ 0, 64.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Филиппов, Сергей Николаевич, 2012 год

Список литературы

1. Акулин В. М. Динамика сложных квантовых систем / Пер. с англ. под ред. В. П. Крайнова. Москва: Физматлит, 2009. С. 496. ISBN: 978-5-9221-1207-9.

2. Аллилуев С. П., Белоусов Ю. М. Введение в теорию симметрии: Учебное пособие. Москва: МФТИ, 2007. С. 164. ISBN: 5-7417-0181-7.

3. Амосов Г. Г., Днестрян А. И. О спектре семейства интегральных операторов, определяющих симплектическую квантовую томограмму // Труды МФТИ. 2011. Т. 3, № 1. С. 5-9.

4. Андреев В. А., Манько В. И. Томография двухчастичных спиновых состояний // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1998. Т. 114. С. 437-447.

5. Андреев В. А., Манько В. И., Манько О. В., Щукин Е. В. Томография спиновых состояний, критерий перепутанности и неравенства Белла // Теоретическая и математическая физика. 2006. Т. 146. С. 172-185.

6. Барабанов A. JI. Симметрии и спин-угловые корреляции в реакциях и распадах. Москва: Физматлит, 2010. С. 520. ISBN: 978-5-9221-1226-0.

7. Батурин А. С., Горелкин В. Н., Сингх Р. Измерение волновой функции (всех элементов матрицы плотности) мюониеподобной системы (лSR методом // Оптика и спектроскопия. 2003. Vol. 94, по. 6. Pp. 960-964.

8. Бауместер Д., Экерт А., Цайлингер А. Физика квантовой информации. Москва: Постмаркет, 2002. С. 376. ISBN: 5-901095-10-3.

9. Бейтмен Р., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том II. Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций. Москва: Наука, 1970. С. 327.

10. Белинский А. В. Квантовые измерения: учебное пособие. Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. С. 182. ISBN: 978-5-94774-725-6.

11. Белоусов Ю. М., Манько В. И. Матрица плотности. Представления и применения в статистической механике. Ч. 1: Учебное пособие. Москва: МФТИ, 2004. С. 176. ISBN: 5-7417-0237-6.

12. Белоусов Ю. М., Манько В. И. Матрица плотности. Представления и применения в статистической механике. Ч. 2: Учебное пособие. Москва: МФТИ, 2004. С. 163. ISBN: 5-7417-0250-3.

13. Березин Ф. А. Ковариантные и контравариантные символы операторов // Известия Академии наук СССР. Серия математическая. 1972. Т. 37. С. 1134—1167.

14. Бушуев П. А., Карасев В. П., Масалов А. В., Путилин А. А. Бифотонное излучение со скрытой поляризацией и его поляризационная томография // Оптика и спектроскопия. 2001. Т. 91, № 4. С. 558-564.

15. Быков В. П. Основные особенности сжатого света // Успехи физических наук. 1991. Т. 161, № 10. С. 145-173.

16. Валиев К. А., Кокин А. А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. С. 320. ISBN: 5-93972-024-2.

17. Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. Ленинград: Наука, 1975. С. 439.

18. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. Москва: Наука, 1967. С. 576.

19. Гельфанд И. М., Ераев М. И., Виленкин Н. Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений (Серия «Обобщенные функции», вып. 5). Москва: Физматгиз, 1962. С. 656.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37,

Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Москва: Физматгиз, 1963. С. 1100.

Додонов В. В., Манько В. И. Обобщения соотношений неопределенностей в квантовой механике /'/ Труды ФИАН. 1987. Т. 183. С. 5-70.

Додонов В. В., Манько В. И. Эволюция многомерных систем. Магнитные свойства идеальных газов заряженных частиц // Труды ФИАН. 1987. Т. 183. С. 182-286.

Иванов М. Г. Как понимать квантовую механику. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2012. С. 504.

Карасев В. П., Масалов А. В. Метод поляризационной томографии излучения в квантовой оптике // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2004. Т. 126, № 1. С. 63-74.

Клышко Д. Н., Масалов А. В. Фотонный шум: наблюдение, подавление, интерпретация // Успехи физических наук. 1995. Т. 165, № 11. С. 1249-1278.

Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Москва: Наука, 1984. С. 831.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Курс теоретической физики: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория). - 6-е изд., испр. Москва: Физматлит, 2004. С. 800. ISBN: 5-9221-0530-2.

Манько В. И., Манько О. В. Томография спиновых состояний // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1997. Т. 112, № 3. С. 796-804.

Никифоров А. Ф., Суслов С. К., Уваров В. Б. Классические ортогональные полиномы дискретной переменной. Москва: Наука, 1985. С. 215.

Нильсен М., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация: Пер. с англ. Москва: Мир, 2006. С. 824. ISBN: 5-03-003524-9.

Паули В. Общие принципы волновой механики. Москва: ОГИЗ Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1947. С. 332.

Скалли М. О., Зубайри М. С. Квантовая оптика: Пер. с англ. / Под ред. В. В. Самарцева. Москва: Физматлит, 2003. С. 512. ISBN: 5-9221-0398-9.

Смилга В. П., Белоусов Ю. М. Мюонный метод исследования вещества. Москва: Наука, 1991. С. 344. ISBN: 5-02-014372-3.

Соловьев М. А. Алгебры пробных функций со звездочным произведением // Теоретическая и математическая физика. 2007. Т. 153. С. 3-17.

Стратонович Р. Л. О распределениях в изображающем пространстве // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1956. Т. 31. С. 1012-1020.

Филиппов С. Н. Положительные и вполне положительные отображения в задаче нахождения квантовых каналов, разрушающих или аннигилирующих сцепленность // Труды 54-й научной конференции МФТИ «Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе». Управление и прикладная математика. Том 1. ISBN 978-5-7417-0400-4. Москва: МФТИ, 2011. С. 30-31.

Филиппов С. Н., Манько В. И. Использование геометрических свойств матрицы плотности для описания смешанных и запутанных состояний // Труды 51-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук»: Часть VIII. Проблемы современной физики. ISBN 978-5-7417-0281-9. Москва: МФТИ, 2008. С. 212-215.

38. Филиппов С. H., Манько В. И. Кубитовый портрет томограммы счета фотонов и критерий сепарабельности двухмодовых состояний света // Труды 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук»: Часть VIII. Проблемы современной физики. ISBN 978-5-7417-0290-1. Москва: МФТИ, 2009. С. 224-226.

39. Филиппов С. Н., Манько В. И. Ядро звездочного произведения спин-томографических символов и его связь с преобразованием Фурье полиномов Чебышева // Труды 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук»: Часть VII. Управление и прикладная математика. Том 2. ISBN 978-5-7417-0312-0. Москва: МФТИ, 2009. С. 171-174.

40. Филиппов С. Н., Манько В. И. Вероятностно-томографическое описание мюония: эволюция и запутанность // Труды 53-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук»: Часть II. Общая и прикладная физика. ISBN 978-5-7417-0328-1. Москва: МФТИ, 2010. С. 177-180.

41. Филиппов С. Н., Манько В. И. Свойства симметричного набора векторов и взаимно равнона-клонённых базисов в конечномерных гильбертовых пространствах и формализм звёздочного произведения // Труды 53-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук»: Часть VII. Управление и прикладная математика. Том 1. ISBN 978-5-7417-0399-1. Москва: МФТИ, 2010. С. 32-33.

42. Филиппов С. Н., Манько В. И. Уравнения квантовой динамики упорядоченных моментов операторов рождения и уничтожения фотонов в формализме звёздочного произведения // Труды 54-й научной конференции МФТИ «Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе». Общая и прикладная физика. ISBN 978-5-7417-0407-3. Москва: МФТИ, 2011. С. 114-116.

43. Филиппов С. Н., Манько В. И. Эволюция микроволновых квантовых состояний на языке измеряемых упорядоченных моментов операторов рождения и уничтожения // Оптика и спектроскопия. 2012. Т. 112, № 3. С. 405-413.

44. Холево А. С. Квантовые теоремы кодирования // Успехи математических наук. 1998. Т. 53, № 6. С. 193—230.

45. Холево А. С. Квантовые системы, каналы, информация. Москва: МЦНМО, 2010. С. 328. ISBN: 978-5-94057-574-0.

46. Хренников А. Ю. Введение в квантовую теорию информации. Москва: Физматлит, 2008. С. 284. ISBN: 978-5-9221-0951-2.

47. Ширяев А. Н. Вероятность: В 2-х кн. - 4-е изд., перераб. и доп. Москва: МЦНМО, 2007. С. 967. ISBN: 978-5-94057-036-3.

48. Шляйх В. П. Квантовая оптика в фазовом пространстве / Пер. с англ. под ред. В. П. Яковлева. Москва: Физматлит, 2005. С. 760. ISBN: 5-9221-0540-Х.

49. Achilles D., Silberhorn С., Sliwa С. et al. Fiber-assisted detection with photon number resolution // Optics Letters. 2003. Vol. 28, no. 23. Pp. 2387-2389.

50. Agarwal G. S., Tara К. Nonclassical properties of states generated by the excitations on a coherent state // Physical Review A. 1991. Vol. 43, no. 1. Pp. 492-497.

51. Albini P., De Vito E., A. T. Quantum homodyne tomography as an informationally complete positive-operator-valued measure // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2009. Vol. 42, no. 29. P. 295302.

52. Alicki R., Piani M., Van Ryn N. Quantumness witnesses // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2008. Vol. 41, no. 49. P. 495303.

53

54.

55,

56,

57,

58,

59,

60,

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.

Alicki R., Van Ryn N. A simple test of quantumness for a single system // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2008. Vol. 41, no. 6. P. 062001.

Amiet J.-P., Weigert S. Reconstructing the density matrix of a spin s through Stern-Gerlach measurements: II // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1999. Vol. 32, no. 25. Pp. L269-L274.

Amiet J.-P., Weigert S. Discrete Q- and P- symbols for spin s // Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. 2000. Vol. 2, no. 2. Pp. 118-121.

Amosov G., Man'ko V. Quantum probability measures and tomographic probability densities // Journal of Russian Laser Research. 2004. Vol. 25, no. 3. Pp. 253-266.

Amosov G. G., Korennoy Y. A., Man'ko V. I. Operators and their symbols in the optical probabilistic representation of quantum mechanics // arXiv:1104.5606 [quant-ph]. 2011.

Amosov G. G., Man'ko V. I. Evolution of probability measures associated with quantum systems // Theoretical and Mathematical Physics. 2005. Vol. 142, no. 2. Pp. 306-310.

Andreev V., Davidovic D., Davidovic L. et al. A transformational property of the Husimi function and its relation to the Wigner function and symplectic tomograms // Theoretical and Mathematical Physics. 2011. Vol. 166, no. 3. Pp. 356-368.

Andreev V. A., Man'ko V. I. The classification of two-particle spin states and generalized Bell inequalities // Physics Letters A. 2001. Vol. 281, no. 5-6. Pp. 278-288.

Appleby D. M. Symmetric informationally complete measurements of arbitrary rank // Optics and Spectroscopy. 2007. Vol. 103, no. 3. Pp. 416-428.

Avenhaus M., Laiho K., Chekhova M. V., Silberhorn C. Accessing higher order correlations in quantum optical states by time multiplexing // Physical Review Letters. 2010. Vol. 104, no. 6. P. 063602.

Bachor H.-A., Ralph T. C. A Guide to Experiments in Quantum Optics. Berlin: Wiley-VCH, 2004. P. 421. ISBN: 3-527-40393-0.

Banaszek K., Wodkiewicz K. Direct probing of quantum phase space by photon counting // Physical Review Letters. 1996. Vol. 76, no. 23. Pp. 4344-4347.

Bar-on T. Discrete Wigner function by symmetric informationally complete positive operator valued measure // Journal of Mathematical Physics. 2009. Vol. 50. P. 072106.

Baturin A. S., Gorelkin V. N. Relaxation equation for muonium-like systems with electron spin more than one half // Physica B: Condensed Matter. 2000. Vol. 289-290. Pp. 578-584.

Bell J. S. On the Einstein-Podolsky-Rosen Paradox // Physics. 1964. Vol. 1. Pp. 195-200.

Bellini M., Coelho A. S., Filippov S. N. et al. Towards higher precision and operational use of optical homodyne tomograms // arXiv:1203.2974vl. 2012.

Belousov Yu. M., Filippov S. N., Gorelkin V. N., Man'ko V. I. MuSR method and tomograph-ic-probability representation of spin states // Journal of Russian Laser Research. 2010. Vol. 31, no. 5. Pp. 421-442.

Belousov Yu. M., Filippov S. N., Man'ko V. I., Traskunov I. V. Relaxation equations for the qubit in the tomographic representation // Journal of Russian Laser Research. 2011. Vol. 32, no. 6. Pp. 584-595.

Bengtsson I., Zyczkowski K. Geometry of Quantum States. An Introduction to Quantum Entanglement. New York: Cambridge University Press, 2006. P. 466. ISBN: 978-0-521-81451-5.

72. Benichi H., Furusawa A. Optical homodyne tomography with polynomial series expansion // Physical Review A. 2011. Vol. 84, no. 3. P. 032104.

73. Bergeal N., Vijay R., Manucharyan V. E. et al. Analog information processing at the quantum limit with a Josephson ring modulator // Nature Physics. 2010. Vol. 6. Pp. 296-302.

74. Bertrand J., Bertrand P. A tomographic approach to Wigner's function // Foundations of Physics. 1987. Vol. 17, no. 4. Pp. 397-405.

75. Bhattacharyya A. On a measure of divergence between two statistical populations defined by their probability distributions // Bulletin of the Calcutta Mathematical Society. 1943. Vol. 35. P. 99-109.

76. Bialynicki-Birula I. Formulation of the uncertainty relations in terms of the Renyi entropies // Physical Review A. 2006. Vol. 74, no. 5. P. 052101.

77. Bogdanov Y. I., Brida G., Genovese M. et al. Statistical estimation of the efficiency of quantum state tomography protocols // Physical Review Letters. 2010. Vol. 105, no. 1. P. 010404.

78. Bonk F. A., Sarthour R. S., deAzevedo E. R. et al. Quantum-state tomography for quadrupole nuclei and its application on a two-qubit system // Physical Review A. 2004. Vol. 69, no. 4. P. 042322.

79. Brattke S., Varcoe B. T. H., Walther H. Generation of photon number states on demand via cavity quantum electrodynamics // Physical Review Letters. 2001. Vol. 86, no. 16. Pp. 3534-3537.

80. Braunstein S. L., Kimble H. J. Teleportation of Continuous Quantum Variables // Physical Review Letters. 1998. Vol. 80, no. 4. Pp. 869-872.

81. Breuer H.-P., Petruccione F. The Theory of Open Quantum Systems. Oxford: Oxford University Press, 2002. P. 613. ISBN: 0-19-852063-8.

82. Brida G., Caricato V., Fedorov M. V. et al. Characterization of spectral entanglement of spontaneous parametric-down conversion biphotons in femtosecond pulsed regime // Europhysics Letters. 2009. Vol. 87, no. 6. P. 64003.

83. Buzek V., Adam G., Drobny G. Quantum state reconstruction and detection of quantum coherences on different observation levels // Physical Review A. 1996. Vol. 54, no. 1. Pp. 804-820.

84. Cahill K. E., Glauber R. J. Density operators and quasiprobability distributions // Physical Review. 1969. Vol. 177, no. 5. Pp. 1882-1902.

85. Castellanos-Beltran M. A., Irwin K. D., Hilton G. C. et al. Amplification and squeezing of quantum noise with a tunable Josephson metamaterial // Nature Physics. 2008. Vol. 4. Pp. 929-931.

86. Caves C. M. Quantum limits on noise in linear amplifiers // Physical Review D. 1982. Vol. 26, no. 8. Pp. 1817-1839.

87. Caves C. M. Symmetric informationally complete POVMs // UNM Information Physics Group internal report. 1999. Pp. 1-6. URL: http://info.phys.unm.edu/~caves/reports/infopovm. pdf.

88. Chen Y.-F., Hover D., Sendelbach S. et al. Microwave photon counter based on Josephson junctions // Physical Review Letters. 2011. Vol. 107, no. 21. P. 217401.

89. Chernega V. N. How can we check the uncertainty relation? // Physica Scripta. 2012. Vol. T147. P. 014006.

90. Chernega V. N., Man'ko V. I. Qubit portrait of qudit states and Bell inequalities // Journal of Russian Laser Research. 2007. Vol. 28, no. 2. Pp. 103-124.

91. Chirkin A. S. Entangled and squeezed photon states at consecutive and simultaneous quasi-phase-matched wave interactions // Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. 2002. Vol. 4, no. 3. Pp. S91-S97.

92. Choi M.-D. Completely positive linear maps on complex matrices // Linear Algebra and its Applications. 1975. Vol. 10, no. 3. Pp. 285-290.

93. Chuang I. L., Gershenfeld N., Kubinec M. G., Leung D. W. Bulk quantum computation with nuclear magnetic resonance: theory and experiment // Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 1998. Vol. 454, no. 1969. Pp. 447-467.

94. Cirel'son B. S. Quantum generalizations of Bell's inequality // Letters in Mathematical Physics. 1980. Vol. 4, no. 2. Pp. 93-100.

95. Clauser J. F., Home M. A., Shimony A., Holt R. A. Proposed experiment to test local hidden-variable theories // Physical Review Letters. 1969. Vol. 23, no. 15. Pp. 880-884.

96. da Silva M. P., Bozyigit D., Wallraff A., Blais A. Schemes for the observation of photon correlation functions in circuit QED with linear detectors // Physical Review A. 2010. Vol. 82, no. 4. P. 043804.

97. D'Ariano G. M., Maccone L., Paini M. Spin tomography // Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. 2003. Vol. 5, no. 1. Pp. 77-84.

98. D'Ariano G. M., Mancini S., Man'ko V. I., Tombesi P. Reconstructing the density operator by using generalized field quadratures // Quantum and Semiclassical Optics: Journal of the European Optical Society Part B. 1996. Vol. 8, no. 5. Pp. 1017-1027.

99. D'Auria V., Fornaro S., Porzio A. et al. Full characterization of gaussian bipartite entangled states by a single homodyne detector // Physical Review Letters. 2009. Vol. 102, no. 2. P. 020502.

100. de Brito W. A., Ramos R. V. Loss of entanglement after propagation in a quantum noisy channel modeled by a canonical unitary operation in two qubits // Physics Letters A. 2006. Vol. 360, no. 2. Pp. 251-255.

101. De Nicola S., Fedele R., Man'ko M. A., Man'ko V. I. New uncertainty relations for tomographic entropy: application to squeezed states and solitons // European Physical Journal B - Condensed Matter and Complex Systems. 2006. Vol. 52, no. 2. Pp. 191-198.

102. Dodonov V. V. Upper bounds on the relative energy difference of pure and mixed Gaussian states with a fixed fidelity // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2012. Vol. 45, no. 3. P. 032002.

103. Dodonov V. V., Malkin I. A., Man'ko V. I. Even and odd coherent states and excitations of a singular oscillator // Physica. 1974. Vol. 72, no. 3. Pp. 597-615.

104. Dodonov V. V., Man'ko V. I. New relations for two-dimensional Hermite polynomials // Journal of Mathematical Physics. 1994. Vol. 35. Pp. 4277-4294.

105. Dodonov V. V., Man'ko V. I. Positive distribution description for spin states // Physics Letters A. 1997. Vol. 229, no. 6. Pp. 335-339.

106. Dodonov V. V., Marchiolli M. A., Korennoy Y. A. et al. Dynamical squeezing of photon-added coherent states // Physical Review A. 1998. Vol. 58, no. 5. Pp. 4087-4094.

107. Dodonov V. V., Mizrahi S. S., de Souza Silva A. L. Decoherence and thermalization dynamics of a quantum oscillator // Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. 2000. Vol. 2, no. 3. Pp. 271-281.

108. Eichler C., Bozyigit D., Lang C. et al. Experimental state tomography of itinerant single microwave photons // Physical Review Letters. 2011. Vol. 106, no. 22. P. 220503.

109. Einstein A., Podolsky B., Rosen N. Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? // Physical Review. 1935. Vol. 47, no. 10. Pp. 777-780.

110. Fano U. Description of states in quantum mechanics by density matrix and operator techniques // Reviews of Modern Physics. 1957. Vol. 29, no. 1. Pp. 74-93.

111. Fedorov M. V., Efremov M. A., Volkov P. A. et al. Anisotropically and high entanglement of biphoton states generated in spontaneous parametric down-conversion // Physical Review Letters. 2007. Vol. 99, no. 6. P. 063901.

112. Fedorov M. V., Volkov P. A., Mikhailova J. M. et al. Entanglement of biphoton states: qutrits and ququarts // New Journal of Physics. 2011. Vol. 13, no. 8. P. 083004.

113. Filippov S. N. Qudit and light states: peculiarities of the tomographic-probability representation and the qubit-portrait method // Report Series in Physics, Ser. L 32. Book of abstracts, 16th Central European Workshop on Quantum Optics (May 23-27, 2009, Turku, Finland). ISBN 978-951-29-3947-3, ISSN 0788-9305 / Ed. by K. Harkonen, S. Maniscalco, J. Piilo et al. Turku: University of Turku, 2009. P. 111.

114. Filippov S. N., Man'ko V. I. Geometrical interpretation of density matrix: mixed and entangled states // Journal of Russian Laser Research. 2008. Vol. 29, no. 6. Pp. 564-580.

115. Filippov S. N., Man'ko V. I. Chebyshev polynomials and Fourier transform of SU(2) irreducible representation character as spin-tomographic star-product kernel // Journal of Russian Laser Research. 2009. Vol. 30, no. 3. Pp. 224-241.

116. Filippov S. N., Man'ko V. I. Probability representation and quantumness tests for qudits and two-mode light states // Journal of Russian Laser Research. 2009. Vol. 30, no. 5. Pp. 443-450.

117. Filippov S. N., Man'ko V. I. Quantumness tests and witnesses in the tomographic-probability representation // Physica Scripta. 2009. Vol. 79. P. 055007.

118. Filippov S. N., Man'ko V. I. Qubit portrait of the photon-number tomogram and separability of two-mode light states // Journal of Russian Laser Research. 2009. Vol. 30, no. 1. Pp. 55-72.

119. Filippov S. N., Man'ko V. I. Spin tomography and star-product kernel for qubits and qutrits // Journal of Russian Laser Research. 2009. Vol. 30, no. 2. Pp. 129-145.

120. Filippov S. N., Man'ko V. I. Distances between quantum states in the tomographic-probability representation // Physica Scripta. 2010. Vol. T140. P. 014043.

121. Filippov S. N., Man'ko V. I. Inverse spin-s portrait and representation of qudit states by single probability vectors // Journal of Russian Laser Research. 2010. Vol. 31, no. 1. Pp. 32-54.

122. Filippov S. N., Man'ko V. I. SIC-POVM: star product and relation to other probability representations // Book of abstracts, International Conference on Quantum Information and Computation (October 4-8, 2010, Stockholm, Sweden). ISBN 978-91-7415-727-7 / Ed. by I. Bengtsson, G. BjSrk, M. Bourennane. Stockholm: Kungliga Tekniska Hogskolan, 2010. P. P2.15.

123. Filippov S. N., Man'ko V. I. Symmetric informationally complete positive operator valued measure and probability representation of quantum mechanics // Journal of Russian Laser Research. 2010. Vol. 31, no. 3. Pp. 211-231.

124. Filippov S. N., Man'ko V. I. Measuring microwave quantum states: Tomogram and moments // Physical Review A. 2011. Vol. 84. P. 033827.

125. Filippov S. N., Man'ko V. I. Mutually unbiased bases: tomography of spin states and star-product scheme // Physica Scripta. 2011. Vol. T143. P. 014010.

126. Filippov S. N., Man'ko V. I. Optical tomography of Fock state superpositions // Physica Scripta. 2011. Vol. 83. P. 058101.

127. Filippov S. N., Man'ko V. I. Unitary and non-unitary matrices as a source of different bases of operators acting on Hilbert spaces // Journal of Russian Laser Research. 2011. Vol. 32, no. 1. Pp. 56-67.

128. Filippov S. N., Man'ko V. I. Star product and ordered moments of photon creation and annihilation operators // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2012. Vol. 45, no. 1. P. 015305.

129. Filippov S. N., Rybär T., Ziman M. Local two-qubit entanglement-annihilating channels // Physical Review A. 2012. Vol. 85. P. 012303.

130. Filippov S. N., Ziman M. Probability-based comparison of quantum states // arXiv:1202.1015vl [quant-ph], 2012.

131. Fuchs C. A. Distinguishability and accessible information in quantum theory (Ph.D. Dissertation, University of New Mexico, 174 pages) // arXiv:quant-ph/9601020. 1996.

132. Gerrits T., Thomas-Peter N., Gates J. C. et al. On-chip, photon-number-resolving, telecommunication-band detectors for scalable photonic information processing // Physical Review A. 2011. Vol. 84, no. 6. P. 060301.

133. Glauber R. J. Coherent and incoherent states of the radiation field // Physical Review. 1963. Vol. 131, no. 6. Pp. 2766-2788.

134. Golub G., Van Loan C. F. Matrix computations. 3rd ed. Baltimore: The Johns Hopkins University Press, 1996. P. 694. ISBN: 0-8018-5413-X.

135. Gracia-Bondia J. M.. Värilly J. C. Algebras of distributions suitable for phase-space quantum mechanics. I // Journal of Mathematical Physics. 1988. Vol. 29, no. 4. Pp. 869-879.

136. Hall M. J. W. Random quantum correlations and density operator distributions // Physics Letters A. 1998. Vol. 242, no. 3. Pp. 123-129.

137. Haroche S., Raimond J.-M. Exploring the Quantum: Atoms, Cavities, and Photons. New York: Oxford University Press, 2006. P. 605. ISBN: 978-0-19-850914-1.

138. Heinosaari T., Ziman M. The Mathematical Language of Quantum Theory. Cambridge: Cambridge University Press, 2012. P. 327. ISBN: 9780521195836.

139. Heisenberg W. Uber den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik // Zeitschrift für Physik. 1927. Vol. 43, no. 3. Pp. 172-198.

140. Heiss S., Weigert S. Discrete Moyal-type representations for a spin // Physical Review A. 2000. Vol. 63, no. 1. P. 012105.

141. Herzog U. Generating-function approach to the moment problem for the density matrix of a single mode // Physical Review A. 1996. Vol. 53, no. 4. Pp. 2889-2892.

142. Hirschmanl. I. A note on entropy // American Journal of Mathematics. 1957. Vol. 79. Pp. 152-156.

143. Hofmann H. F., Takeuchi S. Quantum-state tomography for spin-Z systems // Physical Review A. 2004. Vol. 69, no. 4. P. 042108.

144. Holevo A. S. Entanglement-breaking channels in infinite dimensions // Problems of Information Transmission. 2008. Vol. 44, no. 3. Pp. 3-18.

145. Horodecki M., Horodecki P. Reduction criterion of separability and limits for a class of distillation protocols // Physical Review A. 1999. Vol. 59, no. 6. Pp. 4206-4216.

146. Horodecki M., Horodecki P., Horodecki R. Separability of mixed states: necessary and sufficient conditions // Physics Letters A. 1996. Vol. 223, no. 1-2. Pp. 1-8.

147. Horodecki M., Shor P. W., Ruskai M. B. Entanglement breaking channels // Reviews in Mathematical Physics. 2003. Vol. 15. Pp. 629-641.

148. Horodecki R., Horodecki P., Horodecki M., Horodecki K. Quantum entanglement // Reviews of Modern Physics. 2009. Vol. 81, no. 2. Pp. 865-942.

149. Houck A. A., Schuster D. I., Gambetta J. M. et al. Generating single microwave photons in a circuit // Nature. 2007. Vol. 449. Pp. 328-331.

150. Hradil Z. Quantum-state estimation // Physical Review A. 1997. Vol. 55, no. 3. Pp. R1561-R1564.

151. Husimi K. Some formal properties of the density matrix // Proceeding of the Physico-Mathemat-ical Society of Japan. 1940. Vol. 22. Pp. 264-314.

152. Ibort A., Man'ko V. I., Marmo G. et al. An introduction to the tomographic picture of quantum mechanics // Physica Scripta. 2009. Vol. 79, no. 6. P. 065013.

153. Zyczkowski K., Horodecki P., Horodecki M., Horodecki R. Dynamics of quantum entanglement // Physical Review A. 2001. Vol. 65, no. 1. P. 012101.

154. Ivanovic I. D. Geometrical description of quantal state determination // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1981. Vol. 14. Pp. 3241-3245.

155. Jamiolkowski A. Linear transformations which preserve trace and positive semidefiniteness of operators // Reports on Mathematical Physics. 1972. Vol. 3, no. 4. Pp. 275-278.

156. Jordan P. Der Zusammenhang der symmetrischen und linearen Gruppen und das Mehrkörperproblem // Zeitschrift für Physik. 1935. Vol. 94, no. 7. Pp. 531-535.

157. Jozsa R. Fidelity for mixed quantum states // Journal of Modern Optics. 1994. Vol. 41, no. 12. Pp. 2315-2323.

158. Kampermann H., Veeman W. S. Quantum computing using quadrupolar spins in solid state NMR // Quantum Information Processing. 2002. Vol. 1, no. 5. Pp. 327-344.

159. Kano Y. A new phasespace distribution function in the statistical theory of the electromagnetic field // Journal of Mathematical Physics. 1965. Vol. 6, no. 12. Pp. 1913-1915.

160. Kim M. S. Quasiprobability functions measured by photon statistics of amplified signal fields // Physical Review A. 1997. Vol. 56, no. 4. Pp. 3175-3179.

161. Klimov A. B., Chumakov S. M. Quasi-probability distributions for the simplest dynamical groups // Journal of the Optical Society of America A. 2000. Vol. 17, no. 12. Pp. 2315-2318.

162. Klose G., Smith G., Jessen P. S. Measuring the quantum state of a large angular momentum // Physical Review Letters. 2001. Vol. 86, no. 21. Pp. 4721-4724.

163. Konrad T., de Melo F., Tiersch M. et al. A factorization law for entanglement decay // Nature Physics. 2008. Vol. 4. Pp. 99-102.

164. Korennoy Y. A., Man'ko V. I. Optical tomography of photon-added coherent states, even and odd coherent states, and thermal states // Physical Review A. 2011. Vol. 83, no. 5. P. 053817.

165. Kraus K. General state changes in quantum theory // Annals of Physics. 1971. Vol. 64, no. 2. Pp. 311-335.

166. Laiho K., Cassemiro K. N., Gross D., Silberhorn C. Probing the negative Wigner function of a pulsed single photon point by point // Physical Review Letters. 2010. Vol. 105, no. 25. P. 253603.

167. Landau L. Das Dämpfungsproblem in der Wellenmechanik // Zeitschrift für Physik. 1927. Vol. 45, no. 5. Pp. 430-441.

168. Lee C. T. Moment problem for a density matrix and a biorthogonal set of operator bases // Physical Review A. 1992. Vol. 46, no. 9. Pp. 6097-6099.

169. Lemmens P. W. H., Seidel J. J. Equiangular lines // Journal of Algebra. 1973. Vol. 24. Pp. 494-512.

170. Leonhardt U. Measuring the Quantum State of Light. New York: Cambridge University Press, 1997. P. 193. ISBN: 0-521-49730-2.

171. Leonhardt U., Munroe M., Kiss T. et al. Sampling of photon statistics and density matrix using homodyne detection // Optics Communications. 1996. Vol. 127, no. 1-3. Pp. 144-160.

172. Leonhardt U., Raymer M. G. Observation of moving wave packets reveals their quantum state // Physical Review Letters. 1996. Vol. 76, no. 12. Pp. 1985-1989.

173. Li J.-G., Zou J., Shao B. Entanglement evolution of two qubits under noisy environments // Physical Review A. 2010. —Oct. Vol. 82, no. 4. P. 042318.

174. Livine E. R. Notes on the qubit phase space and discrete symplectic structures // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2010. Vol. 43. P. 075303.

175. London P., Firstenberg O., Shuker M., Ron A. All-optical reconstruction of atomic ground-state population // Physical Review A. 2010. Vol. 81, no. 4. P. 043835.

176. Lvovsky A. I., Raymer M. G. Continuous-variable optical quantum-state tomography // Reviews of Modern Physics. 2009. Vol. 81, no. 1. Pp. 299-332.

177. Mallet F., Castellanos-Beltran M. A., Ku H. S. et al. Quantum state tomography of an itinerant squeezed microwave field // Physical Review Letters. 2011. Vol. 106, no. 22. P. 220502.

178. Mallet F., Ong F. R., Palacios-Laloy A. et al. Single-shot qubit readout in circuit quantum electrodynamics // Nature Physics. 2009. Vol. 5. Pp. 791-795.

179. Mamedov T. N., Duginov V. N., Grebinnik V. G. et al. Investigation of the behaviour of the impurity atoms in Si by /¿"SR-method // Hyperfine Interactions. 1994. Vol. 86, no. 1. Pp. 717-722.

180. Mancini S., Man'ko V., Tombesi P. Symplectic tomography as classical approach to quantum systems // Physics Letters A. 1996. Vol. 213, no. 1-2. Pp. 1-6.

181. Mancini S., Tombesi P., Man'ko V. I. Density matrix from photon number tomography // Euro-physics Letters. 1997. Vol. 37, no. 2. Pp. 79-83.

182. Man'ko M. A., Man'ko V. I., Mendes R. V. Tomograms and other transforms: a unified view // Journal of Physics A: Mathematical and General. 2001. Vol. 34, no. 40. Pp. 8321-8332.

183. Man'ko O. V. Quantum tomography of current and voltage states in nanoelectric circuits // American Institute of Physics Conference Proceedings. 2012. Vol. 1424. Pp. 221-233.

184. Man'ko O. V., Man'ko V. I. Fidelity for qubits and photon states in tomographic probability representation // Fortschritte der Physik. 2009. Vol. 57, no. 11-12. Pp. 1064-1070.

185. Man'ko O. V., Man'ko V. I., Marmo G. Alternative commutation relations, star products and tomography // Journal of Physics A: Mathematical and General. 2002. Vol. 35, no. 3. Pp. 699—719.

186. Man'ko O. V., Man'ko V. I., Marmo G., Vitale P. Star products, duality and double Lie algebras // Physics Letters A. 2007. Vol. 360, no. 4-5. Pp. 522-532.

187. Man'ko V., Man'ko O., Safonov S. Describing spinors using probability distribution functions // Theoretical and Mathematical Physics. 1998. Vol. 115, no. 2. Pp. 520-529.

188. Man'ko V., Marmo G., Simoni A., Ventriglia F. A possible experimental check of the uncertainty relations by means of homodyne measuring field quadrature // Advanced Science Letters. 2009. Vol. 2, no. 4. Pp. 517-520.

189. Man'ko V. I., Marmo G., Porzio A. et al. Homodyne estimation of quantum state purity by exploiting the covariant uncertainty relation // Physica Scripta. 2011. Vol. 83, no. 4. P. 045001.

190. Man'ko V. I., Marmo G., Simoni A. et al. On the meaning and interpretation of tomography in abstract Hilbert spaces // Rhysics Letters A. 2006. Vol. 351. Pp. 1-12.

191. Man'ko V. I., Marmo G., Simoni A. et al. A tomographic setting for quasi-distribution functions // Reports on Mathematical Physics. 2008. Vol. 61, no. 3. Pp. 337-359.

192. Man'ko V. I., Marmo G., Sudarshan E. C. G., Zaccaria F. Positive maps of density matrix and a tomographic criterion of entanglement // Physics Letters A. 2004. Vol. 327, no. 5-6. Pp. 353-364.

193. Mariantoni M., Menzel E. P., Deppe F. et al. Planck spectroscopy and quantum noise of microwave beam splitters // Physical Review Letters. 2010. Vol. 105, no. 13. P. 133601.

194. Menzel E. P., Deppe F., Mariantoni M. et al. Dual-path state reconstruction scheme for propagating quantum microwaves and detector noise tomography // Physical Review Letters. 2010. Vol. 105, no. 10. P. 100401.

195. Moravciková L., Ziman M. Entanglement-annihilating and entanglement-breaking channels // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2010. Vol. 43, no. 27. P. 275306.

196. Morenzoni E., Khasanov R., Luetkens H. et al. Surface and thin film studies with polarized low energy muons // Journal of Neutron Research. 2006. Vol. 14, no. 3. Pp. 269-278.

197. Moyal J. E. Quantum mechanics as a statistical theory // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1949. Vol. 45, no. 01. Pp. 99-124.

198. Newton R. G., Young B. Measurability of the spin density matrix // Annals of Physics. 1968. Vol. 49, no. 3. Pp. 393-402.

199. Oliveira I. S., Bonagamba T. J., Sarthour R. S. et al. NMR Quantum Information Processing. Amsterdam: Elsevier, 2007. P. 264. ISBN: 978-0-444-52782-0.

200. Orlowski A., Paul H. Phase retrieval in quantum mechanics // Physical Review A. 1994. Vol. 50, no. 2. Pp. R921-R924.

201. Ou Z. Y., Pereira S. F., Kimble H. J., Peng K. C. Realization of the Einstein-Podolsky-Rosen paradox for continuous variables // Physical Review Letters. 1992. Vol. 68, no. 25. Pp. 3663-3666.

202. Peres A. Separability criterion for density matrices // Physical Review Letters. 1996. Vol. 77, no. 8. Pp. 1413-1415.

203. Pozar D. M. Microwave Engineering. 3 edition. John Wiley & Sons, Inc., 2005. P. 700. ISBN: 0-471-44878-8.

204. Castaños O., López-Peña R., Man'ko M. A., Man'ko V. I. Kernel of star-product for spin tomograms // Journal of Physics A: Mathematical and General. 2003. Vol. 36, no. 16. P. 4677-4688.

205. Rényi A. Probability Theory. New York: American Elsevier Publishing Company, 1970. P. 666.

206. Richter T. Determination of field correlation functions from measured quadrature component distributions // Physical Review A. 1996. Vol. 53, no. 2. Pp. 1197-1199.

207. Robertson H. P. The uncertainty principle // Physical Review. 1929. Vol. 34, no. 1. Pp. 163-164.

208. Rosenfeld W., Volz J., Weber M., Weinfurter H. Coherence of a qubit stored in Zeeman levels of a single optically trapped atom // Physical Review A. 2011. Vol. 84, no. 2. P. 022343.

209. Rudnicki L. Shannon entropy as a measure of uncertainty in positions and momenta // Journal of Russian Laser Research. 2011. Vol. 32, no. 4. Pp. 393-399.

210. Ruskai M. B. Entanglement breaking channels // arXiv:quant-ph/0207100v2. 2002.

211. Ruskai M. B., Szarek S., Werner E. An analysis of completely-positive trace-preserving maps on M2 // Linear Algebra and its Applications. 2002. Vol. 347, no. 1-3. Pp. 159-187.

212. Scala M., Migliore R., Messina A., Sánchez-Soto L. L. Robust stationary entanglement of two coupled qubits in independent environments // The European Physical Journal D - Atomic, Molecular, Optical and Plasma Physics. 2011. Vol. 61, no. 1. Pp. 199-205.

213. Schiller S., Breitenbach G., Pereira S. F. et al. Quantum statistics of the squeezed vacuum by measurement of the density matrix in the number state representation // Physical Review Letters. 1996. Vol. 77, no. 14. Pp. 2933-2936.

214. Schrodinger E. Discussion of probability relations between separated systems // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1935. Vol. 31. Pp. 555-563.

215. Schwinger J. On angular momentum // Quantum Theory of Angular Momentum, Ed. by L. C. Biedenharn, H. V. Dam. New York: Academic Press, 1965.

216. Scott A. J., Grassl M. Symmetric informationally complete positive-operator valued measures: A new computer study // Journal of Mathematical Physics. 2010. Vol. 51. P. 042203.

217. Scott D. W. On optimal and data-based histograms // Biometrika. 1979. Vol. 66, no. 3. Pp. 605-610.

218. Shan C.-J., Liu J.-B., Cheng W.-W. et al. Entanglement dynamics of two-qubit system in different types of noisy channels // Communications in Theoretical Physics. 2009. Vol. 51, no. 6. Pp. 1013-1016.

219. Shapiro J., Wagner S. Phase and amplitude uncertainties in heterodyne detection // IEEE Journal of Quantum Electronics. 1984. Vol. 20, no. 7. Pp. 803-813.

220. Shor P. W. Additivity of the classical capacity of entanglement-breaking quantum channels // Journal of Mathematical Physics. 2002. Vol. 43. Pp. 4334-4340.

221. Sinayskiy I., Ferraro E., Napoli A. et al. Non-Markovian dynamics of an interacting qubit pair coupled to two independent bosonic baths // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2009. Vol. 42, no. 48. P. 485301.

222. Smithey D. T., Beck M., Raymer M. G., Faridani A. Measurement of the Wigner distribution and the density matrix of a light mode using optical homodyne tomography: Application to squeezed states and the vacuum // Physical Review Letters. 1993. Vol. 70, no. 9. Pp. 1244-1247.

223. Stinespring W. F. Positive functions on C*-algebras // Proceedings of the American Mathematical Society. 1955. Vol. 6, no. 2. Pp. 211-216.

224. Sudarshan E. C. G. Equivalence of semiclassical and quantum mechanical descriptions of statistical light beams // Physical Review Letters. 1963. Vol. 10, no. 7. Pp. 277-279.

225. Sudarshan E. C. G., Mathews P. M., Rau J. Stochastic dynamics of quantum-mechanical systems // Physical Review. 1961. Vol. 121, no. 3. Pp. 920-924.

226. Tiersch M., de Meló F., Buchleitner A. Entanglement evolution in finite dimensions // Physical Review Letters. 2008, —Oct. Vol. 101, no. 17. P. 170502.

227. Trifonov D. A. State extended uncertainty relations // Journal of Physics A: Mathematical and General. 2000. Vol. 33, no. 32. Pp. L299-L304.

228. Uhlmann A. The "transition probability" in the state space of a *-algebra // Reports on Mathematical Physics. 1976. Vol. 9, no. 2. Pp. 273-279.

229. Vogel K., Risken H. Determination of quasiprobability distributions in terms of probability distributions for the rotated quadrature phase // Physical Review A. 1989. Vol. 40, no. 5. Pp. 2847-2849.

230. von Neumann J. Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik // Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. 1927. Pp. 245-272. URL: http://www. digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=GDZPPN002507277.

231. W. Vogel D.-G. W. Quantum Optics. 3rd edition. Berlin: Wiley-VCH, 2006. P. 508. ISBN: 978-3-527-40507-7.

232. Walker N. G., Carroll J. E. Simultaneous phase and amplitude measurements on optical signals using a multiport junction // Electronics Letters. 1984. Vol. 20, no. 23. Pp. 981-983.

233. Wallentowitz S., Vogel W. Unbalanced homodyning for quantum state measurements // Physical Review A. 1996. Vol. 53, no. 6. Pp. 4528-4533.

234. Weigert S. Simple minimal informationally complete measurements for qudits // International Journal of Modern Physics B. 2006. Vol. 20. Pp. 1942-1955.

235. Werner R. F. Quantum states with Einstein-Podolsky-Rosen correlations admitting a hidden-variable model // Physical Review A. 1989. Vol. 40, no. 8. Pp. 4277-4281.

236. Weyl H. Quantenmechanik und Gruppentheorie // Zeitschrift für Physik. 1927. Vol. 46, no. 1. Pp. 1-46.

237. Wigner E. On the quantum correction for thermodynamic equilibrium // Physical Review. 1932. Vol. 40, no. 5. Pp. 749-759.

238. Wootters W. K., Fields B. D. Optimal state-determination by mutually unbiased measurements // Annals of Physics. 1989. Vol. 191. Pp. 363-381.

239. Wünsche A. Reconstruction of operators from their normally ordered moments for a single boson mode // Quantum Optics: Journal of the European Optical Society Part B. 1990. Vol. 2, no. 6. Pp. 453-466.

240. Wünsche A. Tomographic reconstruction of the density operator from its normally ordered moments // Physical Review A. 1996. Vol. 54, no. 6. Pp. 5291-5294.

241. Wünsche A. Ordered operator expansions and reconstruction from ordered moments // Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. 1999. Vol. 1, no. 2. Pp. 264-288.

242. Yu T., Eberly J. H. Sudden death of entanglement // Science. 2009. Vol. 323, no. 5914. Pp. 598-601.

243. Yuen H. P., Chan V. W. S. Noise in homodyne and heterodyne detection // Optics Letters. 1983. Vol. 8, no. 3. Pp. 177-179.

244. Zavatta A., Parigi V., Kim M. S. et al. Experimental demonstration of the bosonic commutation relation via superpositions of quantum operations on thermal light fields // Physical Review Letters. 2009. Vol. 103, no. 14. P. 140406.

245. Zavatta A., Viciani S., Bellini M. Quantum-to-classical transition with single-photon-added coherent states of light // Science. 2004. Vol. 306, no. 5696. Pp. 660-662.

246. Zavatta A., Viciani S., Bellini M. Non-classical field characterization by high-frequency, time-domain quantum homodyne tomography // Laser Physics Letters. 2006. Vol. 3, no. 1. Pp. 3-16.