Метод квантовой томографии в проблемах квантовой оптики и неклассических состояний тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Базрафкан Махмуди Мохаммадреза

• Базрафкан Махмуди Мохаммадреза
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Базрафкан Махмуди Мохаммадреза

Введение

1 Обзор литературы

2 Представления квантовых состояний

2.1 Вектор состояния и оператор плотности.

2.2 Некоторые представления оператора плотности

2.3 Функция Вигнера.

2.4 Другие распределения в фазовом пространстве

2.5 Гомодинное измерение квантового состояния света.

2.6 Оптическая томография.

2.7 Симплектичесая томография квантовоых состояний и новая формулировка квантовой механики

2.7.1 Определение симплектической томографии.

2.7.2 Реконструкция оператора плотности с помощью симплектеческой томограммы

2.7.3 Общая идея томографии квантовых состояний.

2.7.4 Уравнение Шредингера-фон Неймана в томографическом представлении

2.8 Томография по числу фотонов

2.9 Формализм звездочного произведения в квантовой механике.

2.10 Томография состояний спина.

3 Неклассические состояния света

3.1 Четные и нечетные когерентные состояния.

3.2 Биномиальные состояния.

3.3 Представление биномиальних состояний в фазовом пространстве.

3.4 Квантовый интеграл движения.

3.5 Системы с квадратичными гамильтонианами.

4 Томография и неклассические состояния

4.1 Интерференция квантовых состояний

4.1.1 Формулировка принципа суперпозиции оператором плотности.

4.1.2 Томография и интерференция.

4.1.3 Томограммы некоторых суперпозиционных состояний.

4.2 Томография состояний с добавленным и убранным фотоном.

4.2.1 Томографическое распределение когерентного состояния с добавленным фотоном

4.2.2 Сжатое фоковское состояние с добавленным и убранным фотоном

4.2.3 Томографические символы сжатых фоковских состояний с добавленным фотоном и с убранным фотоном

4.2.4 Математическое дополнение.

4.3 Функции Грина.

4.3.1 Функция Грина уравнения Шредингера-фон Неймана и Мойла.

4.3.2 Функция Грина для томографического распределения

4.3.3 Класс формул для реконструкции функции Вигнера через томограмму

4.3.4 Соотношение между классическим пропагатором и пропагатором уравнения Мойала.

4.3.5 Некоторые примеры.

4.4 Томография биномальних состояний.

4.4.1 Симплектическая томография биномальних состояний.

4.4.2 Томография по числу фотонов для биномиальных состояний.

4.4.3 Неклассичность биномиальных состяний.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод квантовой томографии в проблемах квантовой оптики и неклассических состояний»

Актуальность темы

При появлении квантовой механики, несмотря на ее блестящие успехи в разных областях физики, понятие состояния квантовых систем оказалось непривычным. Из-за принципа неопределенности в квантовой механике, понятие траектории в пространстве - времени теряет свой смысл. В результате этого основателям квантовой механики понадобилось описать квантовое состояние непривычными понятиями такими, как волновая функция или матрица плотности. Благодаря тому, что при рождении квантовой механики математический аппарат, касающийся волновой функции или матрицы плотности, был достаточно знаком физикам, квантовая механика развивалась на основе этих понятий. Однако, потом начали появляеться другие эквивалентные описания квантового состояния. Основная идея была получить описание квантового состояния функцией "распределения вероятностей" в фазовом пространстве системы.

Попытки преодолеть эту проблему предпринимались по разным направлениям. Математически они свелись к тому, чтобы найти новые представления матрицы плотности, способные облегчить решение задач квантовой динамики и квантовой оптики. К примеру, всем хорошо известны функции распределения квазивероятности разного типа в квантовой оптике такие, как функция Вигнера [9], Р-функция Глаубера-Сударшана [17] и Q- функция Хусими [15]. Теоретически было желание сформулировать квантовую механику в классически-подобном виде. Формулировка с использованием звездочного произведения служит одним из примеров этих попыток.

В последние годы после появления разных экспериментальных способов измерения квантовых состояний некоторых квантовых систем таких, как одномодовое квантовое поле излучения (методом квантовой томографии),[24] и ион в электромагнитной ловушке, интерес к этой теме резко повысился.

Уже не только доказано, что можно определить квантовое состояние обычной функцией распределения вероятности, но и доказано, что можно предложить новую формулировку квантовой механики, не использующую понятия волновой функции или матрицы плотности [31]. Такая формулировка интересна не только физикам-теоретикам, но и экспериментаторам, желающим, измерить или контролировать квантовые процессы, например, в области квантовых компьютеров и квантовой химии.

В этой работе исследованы свойств некоторых известных неклассических состояний фотонов в рамках новой вероятностной формулировки квантовой механики. Были изучены некоторые суперпозиции квантовых состояний в рамках нового томографического представления. Были рассмотрены примеры неклассических состояний, таких как суперпозиционные когерентные состояния, состояния, генерируемые в среде Керра и состояния кристаллизованных "котов Шредингера". Была изучена детально формула сложения томографических вероятностей для суперпозиции двух чистых состояний. Были изучены сжатые когерентные состояния с добавленным (и убранным) фотоном. Также были изучены сжатые фоковские состояния с добавленным (и убранным) фотоном и биномиальные состояния света, являющиеся промежуточными между классическими состояниями и неклассическими состояниями. Было изучено соотношение между про-пагаторами уравнения Мойала для функции Вигнера и уравнения временной эволюции томографического распределения вероятностей.

Цель диссертационной работы

Целью настоящей диссертационной работы является изучение новой вероятностной формулировки квантовой механики (и квантовой оптики), в которой квантовые состояния задаются обычной функцией распределения вероятности вместо волновой функции й матрицы плотности.

Предполагается также исследовать свойства некоторых семейств неклассических состояний фотонов в рамках данной вероятностной формулировки.

Научная новизна работы

Впервые исследованы томографические распределения вероятностей для состояния кристаллизованных "котов Шредингера", сжатых фоковских состояний с добавленным (и убранным) фотоном, и для сжатых когерентных состояний с добавленным фотоном. При этом впервые объяснилось влияние неоднозначности отображения между функциями Вигнера и томографическими распределениями вероятностей на явное выражение для классического пропагатора.

Научная и практическая значимость работы

Работа актуальная и имеет научное и практическое значение, поскольку полученные в ней результаты могут быть применены в таких новых областях исследований, как создание квантовых компьютеров, квантовых коммуникационных систем и новых технологий.

Защищаемые положения

На защиту выносятся следующие оригинальные результаты автора диссертации;

1. Детальное изучение принципа суперпозиции на примере различных типов неклассических состояний фотонов в рамках вероятностного представления квантовой механики и квантовой оптики с использованием формализма звездочного произведения. Впервые получены и изучены томографические функции распределения вероятностей для суперпозиционных состояний фотона, кристаллизованных "котов Шредингера " и состояний, возникающих в нелинейной среде Керра.

2. Получены и изучены оптические и симплектические томограммы специального типа неклассических состояний фотонов, а именно сжатых и коррелированных когерентных состояний с добавленными фотонами и состояний с убранными фотонами. Также получены в явном виде томографические функции распределения вероятностей сжатых фоковских состояний с добавленными и убранными фотонами, реализуемые в задаче о параметрическом возбуждении осциллятора электромагнитного поля.

3. Изучена природа многозначности связи между симплектическими томограммами и функциями Вигнера квантовых состояний. Проведен анализ влияния этой многозначности на соотношение между функциями Грина эволюционного уравнения Мойала для функции Вигнера и эволюционного уравнения для томограммы состояния.

4. Подробно изучены биномиальные (неклассические) состояния электромагнитного поля и получены явные выражения для томографических функций распределения вероятностей. При этом получены в явном виде как симплектические томограммы, так и томограммы по числу фотонов. Изучены асимптотические выражения для полученных томограмм при предельных значениях параметров биномиального состояния фотонов.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы представлялись на конференциях: 10th Iranian Researchers Conference in Europe (Birmingham, England) July2002, 12th Iranian Researchers Conference in Europe (Manchester, England) July2004, и на семинарах (I.L.C.) в МГУ.

Публикации

Основные результаты диссертационной работы изложены в четырех печатных работах и на конференциях, список которых приведен в [90] - [93].

Личный вклад

Все использованные в диссертации результаты получены автором лично или при его определяющем участии.

Структура и содержание рвботы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Полный объем работы: 138 страниц, включая 13 рисунков. Библиография содержит 95 наименований, в том числе и работы автора.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Базрафкан Махмуди Мохаммадреза

Заключение

1. Впервые, получены и изучены томографические функции распределения вероятностей для суперпозиционных состояний фотона, кристаллизованных "котов Шредингера" и состояний, возникающих в нелинейной среде Керра.

2. Получены и изучены оптические и симплектические томограммы сжатых и коррелированных когерентных состояний с добавленными фотонами и состояний с убранными фотонами. Также получены в явном виде томографические функции распределения вероятностей сжатых фоковских состояний с добавленными и убранными фотонами.

3. Изучена природа многозначности связи между симплектическими томограммами и функциями Вигнера квантовых состояний. Проведен анализ влияния этой многозначности на соотношение между функциями Грина эволюционного уравнения Мойала для функции Вигнера и эволюционного уравнения для томограммы состояния.

4. Подробно изучены биномиальные состояния электромагнитного поля и получены явные выражения для томографических функций распределения вероятностей. При этом получены в явном виде как симплектические томограммы, так и томограммы по числу фотонов. Изучены асимптотические выражения для полученных томограмм при предельных значениях параметров биномиального состояния фотонов

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Базрафкан Махмуди Мохаммадреза, 2004 год

1. W. Heisenberg, Uber den anschaulichen Inhalt der quanten teoretischen Kinematik und Mechanik , Ztschr. Phys. Bd.43.S p.172-198 (1927)

2. E. Schrodinger , Sitzungsber. Preuss Acad. Wiss (1930) p.296

3. H. P. Robertson , Phys. Rev. 35 (1930) p.667 ; 46 (1934)p.794

4. E. schrodinger , Ann. Physik, 79 ,489 (1926)

5. P. A. M. Dirac , The Principles of quantum Mechanics, 4th edition, Pergamon,Oxford (1958)

6. J. von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantummechanik, Springer ,Berlin (1932)

7. L.D.Landau, Z. Physik , 45, 430, (1930)

8. D.F. Styer et al. Amer. J. Phys. Vol.70, p.288-295 (2002)

9. E. Wigner , Phys. Rev. ,77, 711 (1932)

10. H. Weyl, Z. Phys. 46, 1 (1927).

11. Feynman R. 1987 Quantum Implications ed B. J. Hiley and F. D. Peats (London: Routledge and Kegan)

12. J. E. Moyal , Proc. Cambridge Philos. Soc. Vol. 45 , p.99-124 (1949)

13. С. Zachos , In. J. Mod. Phys. A17(3) , p.297-316 (2002)

14. F. Bayen , M. Flato , C. Fronsdal, A.Lichnerowicz , D. Sternheimer, Ann. Phys. (N.Y.) Ill, 61, 111 (1978)

15. K. Husimi, Proc. Phys. Mat. Soc. Japan, 23 , 264 (1940)

16. Y. Kano , J. Math. Phys. ,6, 1913 (1965)

17. E. C. G. Sudarshan , Phys. Rev. Lett. ,10, 277, (1965); C. L. Mehta and E. C. G. Sudarshan , Phys. Rev. В , 138, 274(1965)

18. R. J. Glauber , Phys. Rev. ,131, 2766 (1963)

19. R. J. Glauber , Phys. Rev. Lett. ,10, 84 (1963)

20. L. Mandel and E. Wolf Optical Coherence and Quantum Optics Cambridge University Press (1995)

21. M. O. Scully and M. S. Zubairy Quantum Optics Cambridge University Press (1997)

22. R. L. Stratonovich (1956) Zh. Eksp. Teor. Fiz. 31, pl012 (Engl. Transl. 1957 Sov. Phys. JETP 4 ,p891)

23. K. Vogel and H. Risken, Phys. Rev. A, 40, 2847 (1989)

24. D. T. Smithey , M. Beck, M.G. Raymer, and A. Faridani, Phys. Rev. Lett. , 70 ,1244 (1993)

25. J. Bertrand and P. Bertrand (1987) Found. Phys. 17 , 397

26. S. Schiller, G. Breitenbach, S. F. Pereira, T. Mikker and J. Mlynek, Phys. Rev. Lett., 77, 2933 (1996).

27. S Mancini, V. I. Man'ko and P. Tombesi ,(1997), J.Mod. Opt. 44 2281

28. J. Radon, Berichte iiber die Verhandlungen der Koniglich-Sachsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Physische Klasse, 69, 262 (1917).

29. F. Nattarer, The Mathematics of Computerized Tomography (Wiley,Stuttgart, 1986).

30. Pauli W. 1958 ,Encyclopedia of physics vol 5 (Berlin: Springer) p 17

31. S. Mancini , V. I. Man'ko , and P. Tombesi (1996) Phys. Lett. A 213 pi

32. S. Mancini, V. I. Man'ko and P. Tombesi, Quantum Semiclass. Opt., 7,615 (1995).

33. G. M. D'Ariano, S. Mancini, V. I. Man'ko and P. Tombesi, Quantum Semiclass. Opt., 8, 1017 (1996).

34. A. Wunsche, J. Mod. Opt., 47, 33 (2000).

35. G. G. Amosov and V. I. Man'ko, J. Russ. Laser Res. 25 No.3 (2004)

36. S. Mancini , O.V. Man'ko, V. I. Man'ko and P. Tombesi, J. Phys.A: Math. Gen. 34 p.3461-3476 (2001)

37. S. Wallentowitz and W. Vogel, Phys. Rev. A, 53, 4528 (1996).

38. K. Banaszeck and K. Wodkiewicz, Phys. Rev. Lett., 76, 4344 (1996).

39. S. Mancini, V. I. Man'ko and P. Tombesi, Europhys. Lett., 37, 79 (1997).

40. V. V. Dodonov and V.I. Man'ko , Phys. Lett. A , 229 , p.335 (1997)

41. V. I. Man'ko and О. V. Man'ko, JETP, 85, p.430 (1997).

42. V. A. Andreev, О. V. Man'ko, V. I. Man'ko and S. S. Safonov, J. Russ. Laser Res., 19, 340(1998)

43. V. A. Andreev, V. I. Man'ko, JEPT, 87,239(1998)

44. U. Leonhardt , Phys. Rev. A , 53 , p.2998 (1996)

45. A. B. Klimov, О. V. Man'ko, V. I. Man'ko, Yu. F. Smirnov and V. N.Tolstoy, J. Phys. A: Math. Gen., 35, 6101 (2002).

46. O. Castanos, R. L6pez-Pena, M. A. Man'ko and V. I. Man'ko, J. Phys. A: Math. Gen., 36, 4677 (2003); J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt.,5, 227 (2003).

47. S. Mancini, V.I. Man'ko ,and P. Tombesi, "Classical-like description of quantum dynamics by means of symplectic tomography", Found. Phys. , 27, p801 (1997)

48. V. I. Man'ko, J. Russ. Laser Research, 17, p.579 (1996).

49. V.I. Man'ko /'Classical description of quantum states and tomography" , talk at the Fifth International Conference "Squeezed States and Uncertainty Relations" (Balatonfured, Hungary, May 1997), (published in NASA Conference Publication, 1998).

50. О. V. Man'ko , and V. I. Man'ko , J. Russ. Laser Res. , 18, 407 (1997)

51. О. V. Man'ko , Teor. Mat. Fiz. , 121 ,285 (1999)

52. V. I. Manko, G. Marmo , E. C. G. Sudarshan and F. Zaccaria, J. Phys.A: Math. Gen. 35 p.7137-7157 (2002)

53. О. V. Man'ko , V. I. Manko and G. Marmo,Phys. Scr. , 62 ,446 (2000)

54. О. V. Man'ko , V. I. Manko and G. Marmo, J. Phys. A,

55. V. I. Man'ko, V. A. Sharapov, E. V. Shchukin, quant-ph/0305119

56. V.V. Dodonov , I. A. Malkin , and V. I. Man'ko , Physica, 72, p597 (1974)59. "even and odd coherent states" R. L. de Matos Filho and W. Vogel, Phys. Rev. Lett. ,76, p608 (1996)

57. O. Castanos, R. Lopez, M. A. Man'ko, V. I. Man'ko, quant-ph/0408110

58. О. V. Man'ko , V. I. Manko , quant-ph/0401131

59. A. S. Arkhipov, Yu. E. Lozovik, V. I. Manko , quant-ph/0310028

60. R. J. Glauber, Phys. Rev. 130, 2529 (1963).

61. R.J. Glauber, in Quantum Optics and Electronics, eds. C. DeWitt, A. Blandin and C. Cohen-Tannoudji (Gordon and Breach, New York, 1965).

62. M. Freyberger, P. Bardroff, C. Leichtle, G. Schrade, and W. Schleich, The art of measuring quantum, states, Phys. World 10(11), 14 (1997).

63. Т. J. Dunn, I, A. Walmsley, and S. Mukamel, Experimental determination of the quantummechanicalstate of a molecular vibrational mode using fluorescence tomography, Phys. Rev. Lett. 74, 884 (1995).

64. G. Breitenbach, S. Schiller, and J. Mlynek, Measurement of the quantum states of squeezed light, Nature 387, 471 (1997).

65. D. Leibfried, D. M. Meekhof, В. E. King, C. Monroe, W. M. Itano, and D. J. Wineland, Experimental determination of the motional quantum state of a trapped atom, Phys. Rev. Lett. 77, 4281 (1996).

66. C. Kurtsiefer, T. Pfau, and J. Mlynek, Measurement of the Wigner function of an ensemble of helium atoms, Nature 386, 150 (1997).

67. W. H. Louisell , Radiation and Noise in Quantum Electronics, McGraw-Hill Book company (1964)

68. R.Loudon , The Quantum Theory of Light, Clarendon, Oxford, (1973).

69. A. Wunsche , App. Phys. B, 60, Si 19 (1995).

70. V.V. Dodonov, О. V. Man'ko, V. I. Man'ko and A. Wunsche, J. Mod. Opt., 47, 633(2000).

71. V.V. Dodonov, О. V. Man'ko, V. I. Man'ko and A. Wiinsche, Los Alamos ArXiv, quant-ph/9810085.

72. B. Yurke and D. Stoler, Phys. Rev. Lett. , 57, 13 (1986)

73. V. V. Dodonov and V. I. Manko, Invariants and Evalution on Nonstationary Quantum System, Proc. Lebedev Physics Institute vol.183 (New York : Nova Science 1989).

74. I. A. Malkin, V. I. Manko, Invariants and coherent states of arbitrary quantum systems, Prepr. P. N. Lebedev Phys. Inst. N 15. M. , (1971).

75. V. I. Mank'o , G. Marmo, E. C. G. Sudarshan, and F. Zaccaria, J. Russ. Laser Res., 20, 421(1999).

76. V. I. Mank'o , G. Marmo, E. C. G. Sudarshan, and F. Zaccaria, Phys. Lett. A, 273, 31, (2000).

77. C. Brif and A. Mann , Phys. Rev. A, 59, 971 (1999).

78. O. Castanos and R. L6pez-Pena, J. Phys. A: Math. Gen., 25 6685 (1999).

79. V. V. Dodonov, A. B. Klimov and V. I. Man'ko ,J. Sov. Laser Res. 12 439 (1991).

80. G. S. Agarwal and К. Тага , Phys. Rev. A 43, 492 (1991).

81. I. A. Malkin and V. I. Man'ko , Phys. Lett. A 32, 243 (1970)

82. В. П. Быков, УФН, T.161 ,10, 145(1991)

83. V. V. Dodonov and A. B. Klimov , Phys. Rev. A 53, 2664 (1996).

84. H. Bateman and A. Erdelyi Higher Transcendental functions vol.2 (New York: McGraw-Hill) (1953).

85. A. V. Barranco and J. Roversi, Phys. Rev. A, 50,5233(1994)

86. M. R. Bazrafkan, V. I. Man'ko , J. Russ. Laser Res. , Vol. 24, No. 1 , p.80-94 (2003).

87. M. R. Bazrafkan, V. I. Man'ko , J.Opt. B: Quantum Semiclas.l Opt. , Vol. 5, p.357-363 (2003).

88. M. R. Bazrafkan, V. I. Man'ko , J. Russ. Laser Res., Vol. 25, No. 2 , p.123-137 (2004)

89. M. R. Bazrafkan, V. I. Man'ko , J. Russ. Laser Res. Vol. 25, No. 5 , p.453-467 (2004).

90. M.R.Bazrafkan, V.I. Man'ko, 10th Iranian Researchers Conference in Europe (Birmingham, England, July2002).

91. M.R.Bazrafkan, V.I. Man'ko, 12th Iranian Researchers Conference in Europe (Manchester, England, July2004).