Исследование преобразований квантовых состояний в томографическом представлении при унитарной и неунитарной эволюции в квантовой оптике и квантовой механике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Дудинец Иван Васильевич

• Дудинец Иван Васильевич
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Дудинец Иван Васильевич

1.0.1 Вектор состояния

1.0.2 Операторы

1.0.3 Когерентные состояния

1.0.4 Матрица плотности

1.1 Функции распределения квазивероятности в фазовом пространстве

1.1.1 Функция Вигнера

1.1.2 Функция Хусими

1.2 Составные системы

1.2.1 Сенарабельные и запутанные состояния

1.2.2 Сепарабельность и запутанность гауссовских состояний

1.3 Квантовые томограммы

1.3.1 Симилектическая и оптическая томограммы

1.3.2 Томограмма счета фотонов

1.3.3 Спиновая томограмма

1.4 Вероятностное представление матрицы плотности кубита

1.5 Энтропия фон Неймана. Томографические энтропии

2 Частица, движущаяся в дельта потенциале, в вероятностном представлении квантовой механики

2.1 Томограмма и функция Хусими связанного состояния

2.2 Плотность вероятности координаты и импульса частицы

2.3 Частица, движущаяся в ноле двух дельта- потенциалов, в вероятностном представлении квантовой механики

2.4 Задача о встряхивании

3 Томограмма центра масс

3.1 Звездочное произведение

3.1.1 Связь между различными отображениями

3.1.2 Дуальная схема звездочного произведения

3.1.3 Симнлектичеекое отображение

3.1.4 Отображение центра масс

3.1.5 Связь симнлектичеекого отображения и отображения центра масс

3.1.6 Отображение Вейля

3.2 Кластерная томограмма

3.3 Совместное распределение вероятности дня томограммы центра масс

3.4 Томограмма центра масс состояний шредингеровских котов

4 Метод реплик и энтропия смеси когерентных состояний

4.1 Метод реплик в квантовой оптике и квантовой механике

4.2 Энтропия фон Неймана смеси двух глауберовских когерентных состояний

4.3 Энтропия смеси двухмодовых шредингеровских котов

5 Квантовые корреляции системы двух связанных осцилляторов, взаимодействующих с двумя тепловыми банями

5.1 Введение

5.2 Система связанных квантовых осцилляторов

5.3 Сепарабельность связанных осцилляторов

5.4 Приближение Вайсконфа-Вигнера

5.5 Квазиравновесное состояние системы двух связанных осцилляторов

6 Томограммы /-осцилляторов

6.1 Классический и квантовый /-осцилляторы

6.1.1 Классический /-осциллятор

6.1.2 Квантовый /-осциллятор и /-когерентные состояния

6.2 Примеры /-осцилляторов

6.3 Томограммы для /-осциллятора

6.4 Энтропийные неравенства дня обобщенных полиномов Лагерра

6.5 Специальные деформации дня двух мод

6.6 Суперпозиция двухмодовых нелинейных когерентных состояний

6,7 Соотношение неопределенностей дня деформированных операторов координаты и импульса

7 Нелинейное кубитное отображение в вероятностном представлении

7,1 Относительная энтропия Тсаллиса преобразованных состояний

Заключение

Список используемых обозначений

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование преобразований квантовых состояний в томографическом представлении при унитарной и неунитарной эволюции в квантовой оптике и квантовой механике»

Введение

Диссертационная работа посвящена исследованию свойств квантовых систем с дискретными (кубиты) и непрерывными (линейные и нелинейные осцилляторы) переменными в рамках вероятностного представления квантовой механики, В работе исследовано движение частицы в ноле дельта-функции Дирака, Рассмотрены квантовые корреляции в открытой системе связанных осцилляторов, а также нелинейных /—осцилляторов. Впервые применен метод реплик для определения энтропийных характеристик смеси когерентных (глауберовских) состояний.

Актуальность темы диссертации. В связи с развитием квантовых технологий в научной среде возникает интерес в исследовании основ квантовой механики, а также свойств квантовых систем и поиск новых закономерностей в их поведении. Дня получения информации о квантовой системе необходимо оцепить ее состояние.

Состояние квантовой системы может быть задано стандартным способом с помощью волновой функции |1| или оператора плотности |2; 3|, Существует альтернативный способ определения квантового состояния через функции распределения квазивероятности в фазовом пространстве, таких как функции Вигнера |4|, Хуси-ми |5| или Глаубера-Сударшана |6; 7|, Ввиду соотношения неопределенностей координаты и импульса данные функции не обладают всеми свойствами распределения вероятности,

В томографическом (вероятностном) представлении |8—10| (см, также обзорные статьи |11; 121) состояния квантовых систем идентифицируются с функциями распределения вероятности, называемыми квантовыми томограммами. Важность представления обусловлена возможностью экспериментального измерения томограмм |13— 18|, Матрица плотности системы связана с томографическими распределениями вероятности при помощи обратимых интегральных преобразований |19| (томограмма чистого состояния найдена в 120; 211). Следовательно, матрица плотности может быть восстановлена но измеренной в эксперименте томограмме, В использовании

матрицы плотности системы нет необходимости, так как все необходимые физические величины (например, средние значения, дисперсии, высшие моменты физических наблюдаемых) могут быть в явном виде найдены через томограммы |22|, Кроме того, уравнения, описывающие эволюцию квантовой системы, могут быть написаны как уравнения дня томограмм состояний |19; 23|. Томографическое представление дает возможность единым образом описывать классические и квантовые системы |24|, Неотрицательность томограмм позволяет использовать их в моделировании |25; 26|,

В связи с новой формулировкой квантовой механики возникает необходимость в исследовании квантовых систем в вероятностном представлении. Были расмот-рены свободное движение частицы |27|, гармонический |28|, параметрический |29; 301 осцилляторы, вынужденные колебания |31| (см. также работу |32|), движение в электрическом |33| и магнитном |34| нолях, В настоящей диссертационной работе изучается движение квантовой частицы в дельта-потенциале в томографическом представлении. Некоторые аспекты данной задачи были рассмотрены в |35|,

Дня исследования состояний многочастичных систем была введена томограмма центра масс [36; 37]. Система с N степенями свободы описывается комплексной матрицей плотности с 2М переменными. Томограмма центра масс является неотрицательной функцией 2М + 1 переменных (эффективно зависит от 2М переменных ввиду свойства однородности). Настоящая диссертационная работа посвящена развитию формализма томограммы центра масс и ее обобщению — кластерной томограммы.

Запутанные состояния с непрерывными переменными имеют большое значение в квантовой теории информации (см, например, |38|). Взаимодействие системы с окружающей средой приводит к деградации |39| или возникновению |40| запутанности в системе. Окружающая среда может моделироваться тепловыми резервуарами, состоящими из независимых квантовых осцилляторов |40—51| (см. также недавние работы |52—60|). В диссертационной работе изучаются квантовые корреляции в системе из двух связанных квантовых осцилляторов, каждый из которых взаимодействует со своей тепловой баней, характеризуемых своей собственной температурой. Каждая из (зшзь моделируется бесконечным набором независимых гармонических осцилляторов. Данная система была рассмотрена в работе |41|, Было показано, что система в процессе эволюции достигает равновесного состояния, которое не является гиббсовским и характеризуется температурами обоих бань.

Нелинейности играют важную роль в различных областях физических явлений

(см., например, |61; 62|). Нелинейные колебания могут быть связаны с деталями энергетических спектров атомов и молекул. Примером нелинейных колебаний в классической и квантовой механиках является /-осциллятор [63]. Зависимость частоты колебаний /-осциллятора от амплитуды определяется функцией /. Частным случаем /-осциллятора является ^-осциллятор [64—69], описывающий нелинейные колебания с экспоненциальной зависимостью частоты вибраций от их энергии. Нелинейный осциллятор представляет интерес в связи с изучением некласеичееких фотонных состояний в квантовой оптике |70—74|.

С квантовыми /-осцилляторами связано понятие /-когерентных состояний. Неклассические свойства /-когерентных состояний исследовались в [73; 75; 76]. Были предложены способы реализации нелинейных когерентных состояний |77—791 и их суперпозиции [80—84]. /-осциллятор и /-когерентные состояния встречаются в различных физических моделях и явлениях [73; 85—91]. /-осцилляторы рассматривались в рамках симилектичеекой томографии |92; 93|, В данной диссертационной работе в рамках повой формулировки квантовой механики рассматриваются нелинейные колебания (/-осцилляторы).

Томографическое представление было развито дня систем с дискретными переменными |94; 95|, Недавно было предложено специального вида вероятностное описание состояний (квантовый супрематизм) |96|, В этом представлении оператор плотности спина—1/2 (кубита) параметризуется тремя вероятностями проекции спина + 1/2 на три перпендикулярные направления в пространстве. Другие виды параметризаций матриц плотности были рассмотрены в |97—99|. Вероятностное описание было обобщено па системы с более высокими размерностями (кутриты, кудиты) 1100; 1011. Преимущество вероятностного описания заключается в возможности получения различных энтропийных неравенств дня элементов матрицы плотности 11011. Представляет интерес дальнейшее развитие вероятностного описания и его применения к конкретным задачам квантовой теории информации.

Изменение квантового состояния в результате физического процесса может быть описано линейным вполне положительным отображением — квантовым каналом |102|, Однако, существуют отображения, которые могут не быть вполне положительными 11031. В настоящей диссертационной работе рассматривается нелинейное отображения матрицы плотности (нелинейный канал) 1104; 1051 в вероятностном представлении. Данное отображение является кваптово-мехапическим аналогом эскорт распределения |106|, применяющегося в различных областях физики 1106; 107|, Отоб-

ражепие похожего вида было недавно рассмотрено в |108|.

Цель диссертационной работы. Целью диссертационной работы является развитие вероятностного представления квантовой механики и квантовой оптики, а также изучение свойств квантовых систем в этом представлении.

Дня достижения цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Исследовать движение квантовой частицы, движущейся в дельта-потенциале в вероятностном (томографическом) представлении квантовой механики. Получить явные выражения дня функций квазивероятпости (функций Хусими, Вигпера) и томограмм (оптической и симн.нектической) дня связанного состояния частицы и исследовать их связь. Найти вероятность ионизации при изменении параметров потенциала, используя полученные функции и томограммы. Проверить выполнение энтропийного неравенства дня оптической томограммы связанного состояния,

2. Получить формулу дня энтропии фон Неймана смеси когерентных состояний с использованием метода реплик. Применить полученную формулу дня нахождения энтропии состояния смеси шредипгеровских котов,

3. Изучить состояния мпогомодового электромагнитного ноля в вероятностном (томографическом) представлении. Использовать формализм кваптайзеров и декваптайзеров дня нахождения связи центра масс и кластерной томограмм. Получить формулу дня ядра звездочпого произведения кластерной схемы,

4. Рассмотреть нелинейные колебания (/-осцилляторы) и соответствующие нелинейные (/-когерентные) состояния в вероятностном (томографическом) представлении, Вывести общие выражения дня симн.нектической, оптической томограмм, томограммы счета фотонов и функции Хусими /-когерентного состояния, Использовать известные энтропийные неравенства дня квантовых систем, а также полученное выражение дня томограммы счета фотонов дня вывода новых неравенств дня полиномов Лагерра,

5. Исследовать квантовые корреляции связанных квантовых осцилляторов, взаимодействующих с тепловыми резервуарами.

6. Изучить действие нелинейного канала (нелинейного отображения) па матрицы плотности кубитов в вероятностном представлении квантовой механики.

Научная новизна.

1, Впервые получена формула для функции Хусими связанного состояния частицы, движущейся в дельта-потенциале, исследованы ее свойства, связь с соответствующими функцией Вигпера, оптической и симилектичеекой томограммами. Рассмотрена задача о вероятности ионизации частицы при изменении параметров потенциала,

2, Впервые применен метод реплик дня нахождения энтропии фон Неймана смеси двух когерентных (глауберовских) состояний, а также смеси шредипгеровских котов. Независимым способом проверена достоверность полученных форму::,

3, Найдены формулы дня ядра звездочпого произведения кластерной схемы, связи томограммы центра масс и кластерной томограммы,

4, Доказана сепарабельность состояния связанных квантовых осцилляторов, каждый из которых помещен в тепловой резервуар, поддерживаемый при своей температуре, Найдены функция Вигпера и матрица плотности состояния, к которому приходят осцилляторы с течением времени (квазиравповеспого состояния). Проверено, что в сну чае равенства температур резервуаров квазиравновесное состояние является гиббсовским,

5, Получены общие выражения дня симплектичеекой, оптической томограмм, томограммы счета фотонов и функции Хусими /-когерентного состояния. Найдены повое семейство неравенств дня обобщенных полиномов Лагерра, Подробно исследованы свойства /-осцилляторов,

6, Впервые изучено нелинейное отображение (нелинейный капан) матриц плотности кубитов и его свойства в вероятностном представлении квантовой механики.

Практическая значимость. Полученные в данном диссертационном исследовании результаты играют важную роль дня совершенствования вероятностного (томографического) представления, а также развития основ квантовой механики. Значимость развития фундаментальных аспектов квантовой механики обусловлена тем, что па ее принципах основываются различные квантовые технологии. Методы и формулы, полученные в данном диссертационном исследовании, нашли свое применение в работах 1109: 1101.

Основные положения, выносимые на защиту:

1, получено явное выражение для функции Хуеими связанного состояния квантовой частицы, движущейся в дельта потенциале;

2, получена явная формула для энтропии фон Неймана смеси двух когерентных состояний с использованием метода реплик;

3, найдены выражение дня ядра звездочного произведения кластерной схемы и формулы дня связи кластерной томограммы и томограммы центра масс;

4, доказана сепарабельность квазиравновесного состояния связанных квантовых осцилляторов, каждый из которых поддерживается при своей температуре;

5, получены новые соотношения дня обобщенных полиномов Лагерра с помощью известных энтропийных неравенств дня квантовых систем;

6, исследовано нелинейное отображение (нелинейный канал) матрицы плотности кубита в вероятностом представлении квантовой механики

Апробация работы. Результаты работы представлены в докладах па 6 всероссийских и международных конференциях:

• Дудипец И,В, «Связанные состояния частицы в дельта-потенциале в вероятностном представлении квантовой механики» 55-ая научная конференция МФТИ «Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических паук

в современном информационном обществ» (^Долгопрудный, 19-25 ноября 2012 г.),

• Дудипец И,В, «Квазираснреденепия Хуеими и Глаубера-Сударшана дня частицы, движущейся в дельта-потенциале» 56-ая научная конференция МФТИ «Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических паук в современном информационном обществе» (^Долгопрудный, 25-30 ноября 2013 г.).

• Дудипец И,В., Манько В,И, «Метод реплик в квантовой механике» 57-ая научная конференция МФТИ «Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических паук в современном информационном обществе» ( г, Долгопрудный, 24-29 ноября 2014 г.).

• Dudinets I.V, «Two coupled quantum oscillators interacting with two heat baths», Probability Theory and Mathematical Statistics, International Conference, (Казань, 7-10 ноября, 2017)

• Дудннед И,В., Манько В,И, «f-осцилляторы в квантовой механике» 60-ая всероссийская научная конференция МФТИ (г, Долгопрудный, 20-26 ноября 2017 г.).

• Dudinets I.V. «Nonlinear map in probability representation as purification method of qubit states» MIPT (PhysTech)-QUAXT, International Conference, ( г, Долгопрудный, 9-15 сентября, 2018)

Личный вклад. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором. Постановка большинства задач была выполнена научным руководителем. Обсуждения результатов работы проводились совместно с соавторами.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 7 статьях |111—117| в научных изданиях, индексируемых международными реферативными базами Scopus и Web of Science:

• Dudinets I. V., Man'ko V. I. Bound State of a Particle in the Dirac Delta Potential in the Tomographic-Probability Representation of Quantum Mechanics // Journal of Russian Laser Research. — 2013. — T. 34, J\'a 6. — C. 593—602.

• Dudinets I. V., Man'ko V. I. Optical Tomograms and Husimi Q-Function for a Particle Moving in the Dirac Delta Potential // Journal of Russian Laser Research.

- 2014. - T. 35, Л* 5. - C. 470-477.

• Dudinets I. V., Man'ko V. I. Center-of-Mass Tomography and Wigner Function for Multimode Photon States // International Journal of Theoretical Physics. — 2018.

- C. 1-14.

• Dudinets I. V., Man'ko V. I., Marmo G,, Zaccaria F. Tomography on f-oscillators // Physica Scripta. - 2017. - T. 92, Л» 11. - C. 115101.

• Dudinets I. V., Man'ko V. I. The replica method and entropy for a mixture of two mode even and odd Schrodinger cat states // Journal of Russian Laser Research. -2015. - T. 36, Л* 3. - C. 251-257

• Dudinets I. V,, Man'ko V, I. Characterization of the nonlinear qubit map using the probability parametrization // EPL (Enrophysics Letters), — 2018, — T, 123, .T\"a5. - С. 50004.

• Dndinetc I. V., Manko V. I. Quantum correlations for two coupled oscillators interacting with two heat baths // Canadian Journal of Physics. — 2020. — T. 98, JY2 4. — C. 327-331.

Структура диссертационной работы.

Диссертация состоит из введения, семи глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 127 страниц, включая 13 рисунков. Список литературы содержит 239 наименований.

Вероятностное представление квантовой механики

1.0.1 Вектор состояния

С каждой изолированной квантовой системой связывают пространство Гильберта Н — векторное пространство над полем комплексных чисел С со скалярным произведением, Элементами пространства Гильберта, также называемого пространством состояний системы, являются вектора состояний системы, обозначаемые |-0) («кет»

Н

дочеппое отображение двух элементов этого пространства па комплексное число. Например, скалярное произведение векторов € Н и |<^) € Н обозначается (через (<^| обозначен вектор, двойственный вектору |<^) и называемый «бра» вектором Дирака). Скалярное произведение обладает свойствами:

• неотрицательность ^ 0, равенство достигается тогда и только тогда, когда [ф) = 0

• ЛИНеЙНОСТЬ (^1(с11ф1) + С2 |^2)) = + С2(^|^2)

• эрмитовая симметричность =

Обычно волновые вектора выбирают нормированными на единицу, то есть = 1.

Временная эволюция вектора состояния описывается уравнение Шредипгера. Вектор состояния обладает двумя характеристиками — модулем и фазой. Квадрат модуля вектора определяет амплитуду вероятности. Два вектора состояний егв |<^) и где 0 — действительная постоянная, оба нормированы и статистика измерений, предсказанная дня этих двух состояний, одинакова. Поэтому предполагается, что состояния,

отличающиеся общим фазовым множителем, являются физически эквивалентными. Однако, при рассмотрении суперпозиции состояний, например с11ф1) + с21ф2), важную роль играет относительная фаза, которая описывает процесс интерференции состояний. Далее мы предполагаем, что размерность пространства Н равна т.е. Н € Сй. Произвольный вектор состояния можно разложить по базисным векторам [фг) пространства Н следующим образом

л

№) = £

г=1

Здесь Сг являются коэффициентами разложения вектора состояния в данном базисе. Минимальное нетривиальное пространство Гильберта соответствует й =2, Соответствующая квантовая система называется кубитом. Обозначим базисные состояния кубита |0) и |1). Произвольный нормированный вектор состояния кубита может быть представлен в виде

1ф) = а|0) + &|1), |а|2 + |Ь|2 = 1,

где а и Ь — комплексные числа. Примером кубита является двухуровневая система с основным и возбужденным уровнями |0) и |1) или частица со спином 1/2 (в этом случае |0) и |1) представляют собой состояния со спином вниз | и вверх | вдоль некоторой выделенной оси),

1.0.2 Операторы

Пусть А — оператор, действующий в Н с базисными векторами г = 1,2,..., Оператор может быть представлен в виде матрицы размера й х й с элементами а^ =

ШМз )■

Определение. Следом оператора А называется величина Тг^4 = ^^=0 ац. След оператора не зависит от выбора базиса.

Определение. Оператор А называется эрмитово-сопряженным к оператору А, если для любых 1ф), |<^) € Н, справедливо соотношение ф) = (Аф1ф).

Матрицей эрмитово-сопряженного оператора является матрица с элементами а*^. Таким образом, матрица оператора А^ есть матрица, полученная из матрицы оператора А с помощью транспонирования и комплексного сопряжения. Определение. Оператор А называется эрмитовым, если А = А. Определение. Собственным вектором оператора А называется вектор 1ф), удо-

влетворяющий уравнению А^) = А|-0), |-0) = О, Число А называется собственным значением оператора А.

Известно, что для произвольного эрмитового оператора А существует ортонорми-рованный базис из собственных векторов которым соответствуют вещественные собственные значения Aj, Оператор А представим в виде

d

i = £ Ш)М|.

г=1

Определение. Оператор А называется положительно определенным и обозначается А ^ 0 если для любого |-0) е Н выполняется ^ О,

Собственные значения положительно определенного оператора неотрицательны.

1.0.3 Когерентные состояния.

Определение. Когерентным (глауберовским) состоянием |а) называется собственный вектор оператора уничтожения [7; 118] 4 = (х + ip)/л/2, оде ж и р операторы координаты и импульса,

4 |а) = а |а). (1.1)

Собственные значения а в общем случае являются комплексными, так как оператор а неэрмитов.

Утверждение. Разложение когерентного состояния по состояниям с определенным числом фотонов |п) [119] (фоковским состояниям, 4+а |n) = п |п)) имеет вид

I«) = е- 1W2 £ —= |п). (1.2)

Vn!

Утверждение. Когерентные состояния образуют полный набор |119|

1 = ^У d2a |а)(а|, (1.3)

где сРа = d(Rea) d(Ima), 1 — единичный оператор.

Утверждение. Скалярное произведение и модуль скалярного произведения фо-ковских состояний |119|

(ß |«) = е-^ - ^(1.4) И12 = е-|а-^2. (1.5)

Когерентные состояния |а) и |/) практически ортогональны при |а — /1 ^ 1, Из условия полноты (1.3) следует, что любое состояние можно разложить но когерентным состояниям.

Утверждение. Состояние |а) = .О (а) |0) является когерентным [119]. О (а) =

,а а+ — а* а

оператор сдвига, |0) — основное состояние осциллятора, а |0) = 0.

Пусть квантовый осциллятор Н = а+а + 2 в начальный момент времени нахо-

| а)

времепи имеет вид

|а(£)) = ехр

■ I 1

—г £(а+а + -

|а) = ехР ( — 2|а|2

х ехр

п=0

—1[П +2

а

л/й!

ехр

2

—— >|ае

(1.6)

Из последней формулы видно, что с течением времени когерентное состояние оета-ется когерентным, а его амплитуда меняется по закону а е , то есть совершает вращение в комплексной плоскости. Присутствие фазового множителя е"^ обусловлено энергией нулевых колебаний осциллятора.

В координатном представлении оператор уничтожения равен а = ^ (ж + Л) - Из дифференциального уравнения (1.1) можно найти волновую функцию когерентного состояния (см., например, [120]) (га = Н = ш =1).

Утверждение. Волновая функция когерентного состояния имеет вид |119|

( х2 | а |2 а2 \ фа(х) = (х|а) = к-1/4 ехр ( — — + v/2аж--—---— \ .

(1.7)

Утверждение. Когерентное состояние (1.7) минимизирует соотношение неопределенности (восстановлена постоянная Планка)

Н2

<Дх2> < V) = ^.

(1.8)

Определив. Состояния котов Шредингера.

Состояниями котов Шредингера называются четная и нечетная суперпозиции

| а ) | — а )

|а±) = Ж±(|а) ± | — а)), Ж-2 = (2 ± 2е-2|а|2)

(1.9)

Эти состояния могут быть определены действием четной и нечетной комбинацией операторов сдвига на вакуумное состояние

Ю = ± £(-а))|0>. (1.10)

Утверждение. Состояния |а±> ортогональны и являются собственными состояниями квадрата оператора уничтожения |121|

а2|а±> = а2|а±>. (1.11)

Четная (нечетная) суперпозиция когерентных состояний раскладывается только но состояниям с четным (нечетным) числом фотонов.

Суперпозиция произвольных когерентных состояний была рассмотрена в |124|, Мпогомодовые четная и нечетная суперпозиции когерентных состояний были введены в 1125; 126|. Свойства суперпозиции когерентных состояний обсуждены в 1123: 127—134|. Для двух мод состояния имеют вид

|а±> = N±(|а!,«2> ± | - «i, - «2>), = (2 ± 2е-2|а1|2-2|а212). (1.12)

1.0.4 Матрица плотности

Открытая квантовая система или подсистема, являющаяся частью некоторой большей системы, может не иметь вектора состояния. В подобных случаях применяется формализм матрицы плотности.

Определение. Оператор плотности. Пусть квантовая система может находиться в состояниях с вероятностями р^ оде Рг ^ 0 и Х^Рг = 1- Оператор р = ^Рг |фг)(Фг| называется оператором плотности [102].

Утверждение. Оператор р является оператором плотности тогда и только тогда, когда выполняются условия 11021

• эрмитовость р+ = р,

• единичный след Тгр = 1,

• р — неотрицательно определенный оператор, р ^ 0.

Определение. Чистое состояние. Если квантовая система описывается вектором состояния то такое состояние называется чистым [102].

1.1. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КВАЗИВЕРОЯТНОСТИ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Утверждение. Оператор плотности чистого состояния обладает свойствами

• Р2 = P,

• Тгр2 = Тгр = 1

Утверждение. Если р — оператор плотности, то Тгр2 ^ 1. Равенство достигается тогда и только тогда, когда р описывает чистое состояние [102].

Определение. Смешанное состояние. Состояние, описываемое оператором р, называется смешанным, если Тгр2 < 1 [102].

Определение. Параметром чистоты р состояния, которое описывается оператором плотности р, называется величина р = Тгр2.

Определение. Средним значением оператора А в состоянии р называется вели-

1.1 Функции распределения квазивероятности в фазовом пространстве

В классической механике состояние точечной частицы определяется ее положением

гократпое хаотичное столкновение частиц среды с рассматриваемой частицей, что приводит к случайным изменениям координаты и импульса последней. Для задания состояния частицы в этом случае вводится нормированная неотрицательная функции распределения ¡(д,р) в фазовом пространстве.

В квантовой механике с состоянием частицы ассоциируется комплексные волновая функция или матрица плотности р(х,х'). Диагональные элементы матрицы плотности интерпретируются как плотность вероятности координаты частицы. Однако недиагональпые элементы не имеют интуитивно ясной интерпретации. Предпринимались попытки |4—7| найти описание квантовых состояний, схожее с вероятностным описанием состояний в классической механике.

1.1.1 Функция Вигнера

Определение. Функцией Вигнера квантового состояния р(х,х') = (х|р|х') называется функция [4]

(1.13)

1.1. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КВАЗИВЕРОЯТНОСТИ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ_

Матрица плотности может быть восстановлена с помощью функции Вигнера. Утверждение. Матрица плотности р(х,х') состояния, определяемого функцией Вигнера Ш(д,р), равна

1 f™ р{х,х ) = /

elp{x-x')dр.

(1.14)

Функция Вигнера обладает свойствами, схожими с классической функцией распределения: при интегрировании ее но импульсу (координате) полу чается плотность вероятности но координате (импульсу)

W (q 'p)2tt = ^

(1.15)

W (q 'p)2tt = ^

(1.16)

Функция Вигнера нормирована (соответствующий оператор плотности предполагается нормированным)

Г Ип Ип

(1.17)

W (q ,р) ^ = 1.

2tt

Функция Вигнера, в отличие от классичсской функции распределения, может принимать отрицательные значения. Поэтому функцию Вигнера называют функцией квазираспределения вероятности. Объем отрицательной части функции Вигнера может быть рассмотрен как мера неклаееичпоети соответствующего квантового состояния 11351. Пример состояния, дня которого функция Вигнера может быть отрицательной— одно из связанных состояний частицы, движущейся в потенциале двух дельта ям |111|. Было рассмотрено обобщение функции Вигнера дня систем с дискретными переменными |136—139| (см. также недавние работы |140—1421)

Утверждение. Параметр чистоты состояния, задаваемого функцией Вигнера W(q,р), равен [119]

М = Trp2 = W 2(q 'Р)

Функция Вигнера дня двух мод имеет вид

(1.18)

W (xi'P i'X2'P 2 ;t)

duidU2 i(Plu1+P2u2) / x _ui x

4 t2

X1 - т 'X2 - 2

m

X1 + ^ 'X2 + . (1.19)

2

2

В последней формуле мы восстановили зависимость оператора плотности и соответ-

1.1. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КВАЗИВЕРОЯТНОСТИ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ_

етвующей функции Вигпера от времени. Преобразование, обратное к (1.19), дается

формулой

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дудинец Иван Васильевич, 2021 год

Список литературы

1. Schröding er E. Quantisierung als Eigenwertproblem // Annalen der Physik, -

1926. - T. 384, A'ä 6. - C. 489-527.

2. Landau L. Das dampfungsproblem in der wellenmeehanik // Zeitschrift fur Physik. -

1927. - T. 45, № 5/6. - C. 430-441.

3. Von Neumann J. Wahrscheinlichkeitstheoretischer aufbau der quantenmeehanik // Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen, MathematischPhysikalische Klasse. - 1927. - T. 1927. - C. 245-272.

4. Wigner E. On the quantum correction for thermodynamic equilibrium // Physical Review A. - 1932. - T. 40, A* 5. - C. 749.

5. Hu-simi K. Some Formal Properties of the Density Matrix // Proceedings of the Physieo-Mathematieal Society of Japan. - 1940. - T. 22, A» 4. - C. 264-314.

6. Glauber R. J. Photon Correlations // Phys. Rev. Lett. - 1963. - T. 10. - C. 84-86.

7. Sudar.shan E. C. G. Equivalence of Semielassieal and Quantum Mechanical Descriptions of Statistical Light Beams // Phys. Rev. Lett. - 1963. - T. 10. - C. 277-279.

8. Mancini S., Mariko V. I., Tombe.si P. Wigner function and probability distribution for shifted and squeezed quadratures // Quantum and Semielassieal Optics: Journal of the European Optical Society Part B. - 1995. - T. 7, A* 4. - C. 615-623.

9. Mancini S., Man!Ko V., Tombe.si P. Sympleetie tomography as classical approach to quantum systems // Physics Letters A. — 1996. — T. 213, JYa 1/2. — C. 1—6.

10. Mancini S., Man'ko V. /., Tombest P. Classical-like description of quantum dynamics by means of sympleetie tomography // Foundations of Physics. — 1997. — T. 27, A'a 6. - C. 801-824.

11. An introduction to the tomographic picture of quantum mechanics / A. Ibort |n AP.| // Physiea Scripta. - 2009. - T. 79, A* 6. - C. 065013.

12. Quantum Tomography twenty years later / M, Asorey |n // Physica Seripta, -2015. - T. 90, № 7. - C. 074031.

13. Quantum state reconstruction of the single-photon Fock state / A. I. Lvovsky |n AP.| // Physical Review Letters. - 2001. - T. 87, A* 5. - C. 050402.

14. Babichev S., Appel J., Lvovsky A. Homodyne tomography characterization and nonlocality of a dual-mode optical qubit // Physical review letters. — 2004. — T. 92, A'a 19. - C. 193601.

15. Measurement of the Wigner distribution and the density matrix of a light mode using optical homodyne tomography: Application to squeezed states and the vacuum / D. Smithey |n aP.| // Physical review letters. - 1993. - T. 70, A* 9. - C. 1244.

16. Homodyne estimation of quantum state purity by exploiting the covariant uncertainty relation / V. I. Man'ko |n // Physica Seripta. — 2011. — T. 83, A'a 4. -

C. 045001.

17. Measurement of the Wigner distribution and the density matrix of a light mode using optical homodyne tomography: Application to squeezed states and the vacuum /

D. T. Smithey |n AP-I // Physical Review Letters. - 1993. - T. 70, A* 9. - C. 1244.

18. Lvovsky A. /., Rayme.r M. G. Continuous-variable optical quantum-state tomography // Reviews of Modern Physics. - 2009. - T. 81, A* 1. - C. 299.

19. Mancini S., Manko V. I., Tombesi P. Sympleetie tomography as classical approach to quantum systems // Physics Letters A. — 1996. — T. 213, A'a 1. — C. 1—6.

20. Manko V., Moshinsky M., Sharma A. Diffraction in time in terms of Wigner distributions and tomographic probabilities // Physical Review A. — 1999. — T. 59, № 3. - C. 1809.

21. Man'ko V. I., Me.nde.s R. V. Xon-eommutative time-frequency tomography // Physics Letters A. - 1999. - T. 263, A* 1. - C. 53-61.

22. Amosov G.. Korennoy Y. A., Man'ko V. Description and measurement of observables in the optical tomographic probability representation of quantum mechanics // Physical Review A. - 2012. - T. 85, A* 5. - C. 052119.

23. Korennoy Y. A., Manko V. I. Probability representation of the quantum evolution and energy-level equations for optical tomograms // Journal of Russian Laser Research. - 2011. - T. 32, A* 1. - C. 74.

24. Introduction to tomography, classical and quantum / M, Man'Ko |n // II nuovo cimcnto C. - 2013. - T. 36, A* 3. - C. 163-182.

25. Lozovik Y. E., Sharapov V., Arkhipov A. Simulation of tunneling in the quantum tomography approach // Physical Review A. - 2004. - T. 69, A* 2. - C. 022116.

26. Arkhipov A., Lozovik Y. E. Xew method of quantum dynamics simulation based on the quantum tomography // Physics Letters A. — 2003. — T. 319, A'a 3/4. -C. 217-224.

27. Mariko V. I., Ventriglia F. Classical and quantum free motions in the tomographic probability representation // International Journal of Geometric Methods in Modern Physics. - 2012. - T. 9, A* 02. - C. 1260015.

28. Cherne.ga V. N.. Manko V. I. Wave function of the harmonic oscillator in classical statistical mechanics // Journal of Russian Laser Research. — 2007. — T. 28, A'a 6. -C. 535-547.

29. Cherne.ga V. N.. Mariko V. I. The wave function of the classical parametric oscillator and the tomographic probability of the oscillator's state // Journal of Russian Laser Research. - 2008. - T. 29, A* 4. - C. 347-356.

30. Cherne.ga V. N.. Manko 0. V. Coherent states of parametric oscillators in the probability representation of quantum mechanics // Journal of Russian Laser Research. -2020. - C. 1-12.

31. Le.meshe.vskiy D. B., Manko V. I. The driven-oseillator evolution in the tomographie-probability representation // Journal of Russian Laser Research. — 2012. — T. 33, № 2. - C. 166-175.

32. Manko 0. V., Manko V. I. Probability Representation of Quantum States // Entropy. - 2021. - T. 23, A* 5. - C. 549.

33. Mariko V., Shchukin E. A charged particle in an electric field in the probability representation of quantum mechanics // Journal of Russian Laser Research. -2001. - T. 22, № 6. - C. 545-560.

34. Manko V., Zhe.brak E. Tomographic probability representation for states of charge moving in varying field // Optics and Spectroscopy. — 2012. — T. 113, A'a 6. -C. 624-629.

35. Manko V., Chikhachev A. Classical-like description of quantum states and propagator for particles in time-independent and dispersing

Nuclei. - 2001. - T. 64, A* 8. - C. 1457-1463.

36. Arkhipov A. S., Lozovik Y. E., Mariko V. I. Tomography for several particles with one random variable // Journal of Russian Laser Research. — 2003. — T. 24, A'a 3. -C. 237-255.

37. Arkhipov A. S., Manko V. I. Quantum transitions in the eenter-of-mass tomographic probability representation // Physical Review A. - 2005. - T. 71, A* 1. - C. 012101.

38. Braunstein S. L., Van Loock P. Quantum information with continuous variables // Reviews of Modern Physics. - 2005. - T. 77, A* 2. - C. 513.

39. Li G. X., Wu S. P., Huang G. M. Generation of entanglement and squeezing in the system of two ions trapped in a cavity // Physical Review A. — 2005. — T. 71, A - 6. C. 063817.

40. Castro A. de., Sique.ira /?.. Dodonov V. Effect of dissipation and reservoir temperature on squeezing exchange and emergence of entanglement between two coupled bosonie modes // Physics Letters A. - 2008. - T. 372, A* 4. - C. 367-374.

41. Glauber R., Man!ko V. Damping and fluctuations in coupled quantum oscillator systems // Sov. Phys. JETP. - 1984. - T. 60. - C. 450-457.

42. Chakravarty S., Le.gge.tt A. J. Dynamics of the two-state system with ohmie dissipation // Physical review letters. - 1984. - T. 52, A* 1. - C. 5.

43. Dodonov V., Man!ko 0., Man!ko V. Quantum nonstationary oscillator: models and applications // Journal of Russian Laser Research. — 1995. — T. 16, A'a 1. — C. 1—56.

44. Tatarskii V. I. Example of the description of dissipative processes in terms of reversible dynamic equations and some comments on the fluctuation-dissipation theorem // Soviet Physics Uspekhi. - 1987. - T. 30, A* 2. - C. 134-152.

45. Liu K. L., Goan H. S. Non-Markovian entanglement dynamics of quantum continuous variable systems in thermal environments // Physical Review A. — 2007. — T. 76, № 2. - C. 022312.

46. Martinez E. A., Paz J. P. Dynamics and thermodynamics of linear quantum open systems // Physical review letters. - 2013. - T. 110, A* 13. - C. 130406.

47. Freitas J. N.. Paz J. P. Dynamics of Gaussian discord between two oscillators interacting with a common environment // Physical Review A, — 2012, — T, 85, № 3. - C. 032118.

48. Dorofeyev I. Quasi-equilibrium relaxation of two identical quantum oscillators with arbitrary coupling strength // Canadian Journal of Physics. — 2014. — T. 93,

7. - C. 750-759.

49. Dorofeyev I. Relaxation of two coupled quantum oscillators to quasi-equilibrium states based on path integrals // Canadian Journal of Physics. — 2014. — T. 92, №- 10. - C. 1208-1222.

50. Dorofeyev I. Dynamics and stationarity of two coupled arbitrary oscillators interacting with separate reservoirs // Journal of Statistical Physics. — 2016. — T. 162, A'a 1. -

C. 218-231.

51. Amosov G.. Moke.e.v A., Pe.che.n A. Noneommutative graphs based on finite-infinite system couplings: Quantum error correction for a qubit coupled to a coherent field // Physical Review A. - 2021. - T. 103, A* 4. - C. 042407.

52. Trushe.c.hkin A. S. Deeoherenee and Coherence Preservation in the Solutions of the GKSL Equation in the Theory of Open Quantum Systems // Mathematical Notes. - 2019. - T. 106, № 5. - C. 986-993.

53. Trushe.chMn A. Higher-order corrections to the Redfield equation with respect to the system-bath coupling based on the hierarchical equations of motion // Lobaehevskii Journal of Mathematics. - 2019. - T. 40, A* 10. - C. 1606-1618.

54. Trushe.chMn A. On the General Definition of the Production of Entropy in Open Markov Quantum Systems // Journal of Mathematical Sciences. — 2019. — T. 241, № 2. - C. 191-209.

55. Trushe.c.hkin A. On the Proof of Existence of Microscopic Solutions to the Boltzmann-Enskog Kinetic Equation // Physics of Particles and Nuclei. — 2020. — T. 51, A'a 4. - C. 791-796.

56. Yangalie.v D. N.. Krainov V. P., Tolstikhin 0. I. Quantum theory of radiation by nonstationary systems with application to high-order harmonic generation // Physical Review A. - 2020. - T. 101, A* 1. - C. 013410.

57. Trushe.chMn A. Unified Gorini-Kossakowski-Lindblad-Sudarshan quantum master equation beyond the secular approximation // Physical Review A, — 2021, — T, 103, № 6. - C. 062226.

58. Morzhin O. V., Pechen A. N. Minimal time generation of density matrices for a two-level quantum system driven by coherent and incoherent controls // International Journal of Theoretical Physics. - 2021. - T. 60, A* 2. - C. 576-584.

59. Kozyrev S. V. Quantum transport in degenerate systems // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. - 2018. - T. 301, A* 1. - C. 134-143.

60. Amosov G. G., Moke.ev A., Pechen A. Xon-eommutative graphs and quantum error correction for a two-mode quantum oscillator // Quantum Information Processing. -2020. - T. 19, № 3. - C. 1-12.

61. Akhmanov S., Sukhorukov A., Chirkin A. Xonstationary phenomena and spacetime analogy in nonlinear optics // Sov, Phys, JETP. — 1969. — T. 28. — C. 748— 757.

62. Akhmanov S. A., Chirkin A. S. Statistical phenomena in nonlinear optics // Radiophysies and Quantum Electronics. - 1970. - T. 13, A* 6. - C. 619-648.

63. f-Oseillators and nonlinear coherent states / V. I. Man'ko |n // Physiea Seripta, -1997. - T. 55, № 5. - C. 528.

64. Biedenharn L. C. The quantum group SU q (2) and a q-analogue of the boson operators // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1989. — T. 22, № 18. - C. L873.

65. Macfarlane A. J. On q-analogues of the quantum harmonic oscillator and the quantum group SU(2) q // Journal of Physics A: Mathematical and General. -1989. - T. 22, № 21. - C. 4581.

66. Daskaloyannis C. Generalized deformed oscillator corresponding to the modified Poschl-Teller energy spectrum // Journal of Physics A: Mathematical and General. -1999. - T. 25, № 8. - C. 2261.

67. Clemente.-Gall ardo J., Marmo G. Towards a definition of quantum integrability // International Journal of Geometric Methods in Modern Physics. — 2009. — T. 6, № 01. - C. 129-172.

68. Physical nonlinear aspects of classical and quantum q-oseillators / V, I, Man'ko |n Ap,| // International Journal of Modern Physics A, — 1993, — T, 8, 20, -C. 3577-3597.

69. Correlation functions of quantum q-oseillators / V, I, Man'ko |n Ap,| // Physics Letters A. - 1993. - T. 176, A* 3/4. - C. 173-175.

70. Faghihi M. J., Tavas.soly M. K. Xumber-phase entropie squeezing and nonelassieal properties of a three-level atom interacting with a two-mode field: intensity-dependent coupling, deformed Kerr medium, and detuning effects // J. Opt. Soe, Am. B. -2013. - T. 30, № 11. - C. 2810-2818.

71. Faghihi M. J., Tavas.soly M. K.. Hooshmandasl M. R. Entanglement dynamics and position-momentum entropie uncertainty relation of a A-tvpe three-level atom interacting with a two-mode cavity field in the presence of nonlinearities // J. Opt. Soe. Am. B. - 2013. - T. 30, A* 5. - C. 1109-1117.

72. AH S. T.. Gaze.au J., He.lle.r B. Coherent states and Bayesian duality // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2008. - T. 41, A* 36. - C. 365302.

73. Matos Filho R. L. de., Voge.l W. Xonlinear coherent states // Physical Review A. -1996. - T. 54, № 5. - C. 4560.

74. Kilin S. Y.. Mikhalyc.he.v A. B. Single-atom laser generates nonlinear coherent states // Physical Review A. - 2012. - T. 85, A* 6. - C. 063817.

75. Roy B., Roy P. Xew nonlinear coherent states and some of their nonelassieal properties // Journal of Optics B: Quantum and Semielassieal Optics. — 2000. -T. 2, № 1. - C. 65.

76. Safae.ian O., Tavas.soly M. K. Deformed photon-added nonlinear coherent states

and their non-classical properties // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. -2011. - T. 44, № 22. - C. 225301.

77. Yan Y.. Zhu J. P., Li G. X. Preparation of a nonlinear coherent state of the mechanical resonator in an optomechanical mieroeavity // Opt. Express. — 2016. -T. 24, № 12. - C. 13590-13609.

78. Kilin S. Y.. Mikhalyc.he.v A. Single-atom laser generates nonlinear coherent states // Physical Review A. - 2012. - T. 85, A* 6. - C. 063817.

79. Harouni M. B., Roknizadeh il.. Naderi M. H. Q-deformed description of excitons and associated physical results // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. - 2009. - T. 42, A* 9. - C. 095501.

80. Karimi A., Tavas.soly M. Production of the superposition of nonlinear coherent states and entangled nonlinear coherent states // Communications in Theoretical Physics. - 2015. - T. 64, A» 3. - C. 341.

81. Generalized Sehrodinger cat states and their classical emulation / A. Perez-Leija |h AP-I // Physical Review A. - 2016. - T. 93, A* 5. - C. 053815.

82. Karimi A., Tavas.soly M. K. Production, entanglement and polarization of nonlinear excited entangled coherent states of some realizations of the SU (1, 1) and SU (2) groups // International Journal of Theoretical Physics. — 2016. — T. 55, A'a 1. -C. 563-576.

83. Af.shar D., Anbaraki A. Xonelassieal properties and entanglement of superposition of two-mode separable nonlinear coherent states // JOSA B. — 2016. — T. 33, Aa 4. - C. 558-565.

84. Honarasa G., Bagheri A., Gharaati A. Entanglement of Photon-Added Xonlinear Coherent States Via a Beam Splitter // Reports on Mathematical Physics. -2016. - T. 78, A"a 2. - C. 245-252.

85. Harouni M. B., Roknizadeh /?.. Naderi M. H. Spatial confinement effects on a quantum harmonic oscillator: nonlinear coherent state approach // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2008. - T. 42, A* 4. - C. 045403.

86. Darareh M. D.. Harouni M. B. Xonelassieal properties of a particle in a finite range trap: The f-deformed quantum oscillator approach // Physics Letters A. — 2010. -T. 374, A"a 40. - C. 4099-4103.

87. Darareh M. D., Harouni M. B. A single trapped ion in a finite range trap // Annals of Physics. - 2011. - T. 326, A* 4. - C. 968-978.

88. Harouni M. B., Va.seghi M. Preparation of vibrational quantum states in nanomeehanieal graphene resonator // Laser Physics. — 2016. — T. 26, A'a 11. — C. 115204.

89. Amir N.. Iqbal S. BarutGirardello Coherent States for Xonlinear Oscillator with Position-Dependent Mass // Communications in Theoretical Physics. — 2016. -T. 66, Aa 1. - C. 41.

90. Mahdifar A., Roknizadeh R., Naderi M. Geometric approach to nonlinear coherent states using the Higgs model for harmonic oscillator // Journal of Physics A: Mathematical and General. - 2006. - T. 39, A* 22. - C. 7003.

91. Pen-son K., Solomon A. Xew generalized coherent states // Journal of Mathematical Physics. - 1999. - T. 40, A* 5. - C. 2354-2363.

92. A tomographic setting for quasi-distribution functions / V. Man'ko |n Ap,| // Reports on Mathematical Physics. - 2008. - T. 61, A* 3. - C. 337-359.

93. Manko V. I., G M., Zaccaria F. Moyal and tomographic probability representations for f-oseillator quantum states // Physiea Seripta, — 2010. — T. 81, A'a 4. -C. 045004.

94. Dodonov V., Man'ko V. Positive distribution description for spin states // Physics Letters A. - 1997. - T. 229, A* 6. - C. 335-339.

95. Manko V., Man'ko 0. Spin state tomography // Journal of Experimental and Theoretical Physics. - 1997. - T. 85, A* 3. - C. 430-434.

96. Che.rne.ga V. N.. Man'ko 0. V., Man'ko V. I. Triangle Geometry of the Qubit State in the Probability Representation Expressed in Terms of the Triada of Malevieh's Squares // Journal of Russian Laser Research. — 2017. — T. 38, A'a 2. — C. 141—149.

97. Parametrizations of density matrices / E. Briining |n Ap,| // Journal of Modern Optics. - 2012. - T. 59, A"a 1. - C. 1-20.

98. Zyc.zkow.ski K.. Somme.r.s H.-J. Induced measures in the space of mixed quantum states // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2001. — T. 34, A'a 35. - C. 7111.

99. Squaring parameterization of constrained and unconstrained sets of quantum states / X. Il'in |n Ap,| // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2018. -T. 51, A"a 8. - C. 085301.

100. Che.rne.ga V. N.. Man'ko 0. V., Man'ko V. I. Triangle Geometry for Qutrit States in the Probability Representation // Journal of Russian Laser Research. — 2017. -T. 38, Aa 5. - C. 416-425.

101. Che.rne.ga V. N.. Manko 0. V., Manko V. I. Quantum suprematism picture of Triada of Maleviehs squares for spin states and the parametric oscillator evolution in the probability representation of quantum mechanics. — 2018.

102. Nielsen M. A., Chuang I. L. Quantum computation and quantum information, -Cambridge university press, 2010,

103. Carteret H. A., Te.rno D. /?... Zyczkowski K. Dynamics beyond completely positive maps: Some properties and applications // Physical Review A, — 2008, — T, 77, № 4. - C. 042113.

104. Mariko V. /., Puzko R. S. Xonlinear channels of Werner states // Journal of Russian Laser Research. - 2014. - T. 35, A* 4. - C. 362-368.

105. Mariko V., Puzko R. Entropie and information inequality for nonlinearly transformed two-qubit X-states // EPL (Europhysies Letters). — 2015. — T. 109, A'2 5. -C. 50005.

106. Beck C., Schlogl F. Thermodynamics of Chaotic Systems. An Introduction, Cambridge Xonlinear Science Series, Vol. 4. — Cambridge University Press Cambridge (UK), 1993.

107. Tsallis C., Plastino A. /?... Alvarez-Estrada R. F. Escort mean values and the characterization of power-law-decaying probability densities // Journal of Mathematical Physics. - 2009. - T. 50, A* 4. - C. 043303.

108. Quantum state identification of qutrits via a nonlinear protocol / P. Pyshkin |n Ap.| // Journal of Russian Laser Research. — 2018. — T. 39, A'a 5. — C. 456—464.

109. Figue.ire.do E., Malbouisson J. A note on the time evolution of a density operator interpolating between pure and mixed states // The European Physical Journal B. - 2020. - T. 93, № 10. - C. 1-6.

110. Arqand A., Me.marzade.h L., Mancini S. Quantum capacity of a bosonie dephasing channel // Physical Review A. - 2020. - T. 102, A* 4. - C. 042413.

111. Dudine.ts I. V., Manko V. I. Bound State of a Particle in the Dirae Delta Potential in the Tomographie-Probability Representation of Quantum Mechanics // Journal of Russian Laser Research. — 2013. — T. 34, A'a 6. — C. 593—602.

112. Dudine.ts I. V., Mariko V. I. Optical Tomograms and Husimi Q-Function for a Particle Moving in the Dirae Delta Potential // Journal of Russian Laser Research. -2014. - T. 35, № 5. - C. 470-477.

113. Dudine.ts I. V., Manko V. I. Center-of-Mass Tomography and Wigner Function for Multimode Photon States // International Journal of Theoretical Physics. -2018. - C. 1-14.

114. Tomography on f-oseillators / I. Dudinets |и др,| // Physica Seripta, — 2017, -T. 92, Л2 11. - С. 115101.

115. Dudinets I. V., Manko V. I. The replica method and entropy for a mixture of two-mode even and odd Sehrodinger cat states // Journal of Russian Laser Research. -2015. - T. 36, Л2 3. - С. 251-257.

116. Dudinets I., Man'ko V. Characterization of the nonlinear qubit map using the probability parametrization // EPL (Europhysics Letters). — 2018. — T. 123, JY2 5. - C. 50004.

117. Dudine.tc I., Manko V. I. Quantum correlations for two coupled oscillators interacting with two heat baths // Canadian Journal of Physics. — 2020. — T. 98, JY2 4. -C. 327-331.

118. Glauber R. J. Coherent and incoherent states of the radiation field // Physical Review. - 1963. - T. 131, Л2 6. - С. 2766.

119. Schleich W. P. Quantum optics in phase space. — John Wiley, Sons, 2011.

120. Dodonov V., Man'ko V. I. Theory of Xon-Classieal States of Light. — Francis Group, London, 2003.

121. Dodonov V. V., Malkin I. A., Man'ko V. I. Even and odd coherent states and excitations of a singular oscillator // Physica. — 1974. — T. 72, JY2 3. — C. 597—615.

122. Buze.k V., Vidie.lla-Barranco A., Knight P. L. Superpositions of coherent states: Squeezing and dissipation // Phys, Rev. A. — 1992. — T. 45, вып. 9. — С. 6570— 6585.

123. Sanders В. С. Review of entangled coherent states // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2012. - T. 45, Л2 24. - C. 244002.

124. Cahill К. E., Glauber R. J. Density Operators and Quasiprobability Distributions // Phys. Rev. - 1969. - T. 177, вып. 5. - С. 1882-1902.

125. Ansari N. A., Man'ko V. I. Photon statistics of multimode even and odd coherent light ¡I Phys. Rev. A. - 1994. - T. 50, вып. 2. - С. 1942-1945.

126. Dodonov V., ManKo V., Nikonov D. Even and odd coherent states for multimode parametric systems // Physical Review A. — 1995. — T. 51, JY2 4. — C. 3328.

127. Gerry С. С., Grobe. R. Xonclassical properties of correlated two-mode Sehrodinger cat states // Physical Review A. - 1995. - T. 51, Л2 2. - C. 1698.

128. Dodonov V. Xonelassieal'states in quantum optics: asqueezed'review of the first 75 years // Journal of Optics B: Quantum and Semielassieal Optics, — 2002, — T, 4, № 1. - Rl.

129. Ki.s Z., Voge.l W., Davidovich L. Xonlinear coherent states of trapped-atom motion // Physical Review A. - 2001. - T. 64, A* 3. - C. 033401.

130. Chountasis S., Vourdas A. Weyl functions and their use in the study of quantum interference // Physical Review A. - 1998. - T. 58, A* 2. - C. 848.

131. Mancini S., Mariko V. I. The survival of quantum coherence in deformed-states superposition // EPL (Europhysies Letters). — 2001. — T. 54, A'a 5, — C, 586.

132. Perina J. Quantum Statistics of Linear and Xonlinear Optical Phenomena (Dordrecht: Reidel) // Chap. - 1984. - T. 5. - C. 148.

133. Gerry C. C., Hack III E. E. Generation of even and odd coherent states in a competitive two-photon process // Physics Letters A. — 1993. — T. 174, A'a 3. -C. 185-189.

134. Applications of the Jaynes-Cummings model for the detection of nonorthogonal quantum states / M, Sasaki |n Ap,| // Physical Review A. — 1996. — T. 53, A'a 3. -C. 1273.

135. Kenfack A., Zyczkowski K. Negativity of the Wigner function as an indicator of non-elassieality // Journal of Optics B: Quantum and Semielassieal Optics. — 2004. -T. 6, № 10. - C. 396.

136. Le.onhardt U. Discrete Wigner function and quantum-state tomography // Physical Review A. - 1996. - T. 53, A* 5. - C. 2998.

137. Wigner functions for arbitrary quantum systems / T. Tilma |n Ap.| // Physical review letters. - 2016. - T. 117, A* 18. - C. 180401.

138. Le.onhardt U. Quantum-state tomography and discrete Wigner function // Physical review letters. - 1995. - T. 74, A* 21. - C. 4101.

139. Van de.r Je.ugt J. A Wigner distribution function for finite oscillator systems // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2013. — T. 46, A'a 47. -C. 475302.

140. Borisov L., Orlov Y. Generalized Evolution Equation of Wigner Function for an Arbitrary Linear Quantization // Lobachevskii Journal of Mathematics, — 2021, -T. 42, A2 1. - C. 63-69.

141. McCaul G.. Peahen A., Bondar D. I. Entropy nonconservation and boundary conditions for Hamiltonian dynamical systems // Physical Review E. — 2019. -T. 99, A2 6. - C. 062121.

142. Borisov L. A., Orlov Y. N. On the generalization of moyal equation for an arbitrary linear quantization // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. - 2021. - T. 24, A2 1. - C. 2150003-212.

143. Cahill K. E., Glauber R. J. Ordered Expansions in Boson Amplitude Operators // Phys. Rev. - 1969. - T. 177, buii. 5. - C. 1857-1881.

144. Agarwal G.. Wolf E. Calculus for functions of noncommuting operators and general phase-space methods in quantum mechanics. II. Quantum mechanics in phase space // Physical Review D. - 1970. - T. 2, A'2 10. - C. 2187.

145. Davidovic D., Lalovic D. When does a given function in phase space belong to the class of Husimi distributions? // Journal of Physics A: Mathematical and General. - 1993. - T. 26, A2 19. - C. 5099.

146. A transformational property of the Husimi function and its relation to the Wigner function and symplectic tomograms / V. A. Andreev |n AP-I // Theoretical and Mathematical Physics. - 2011. - T. 166, A2 3. - C. 356.

147. Quantum entanglement / R. Horodecki |n AP-| // Reviews of modern physics. -2009. - T. 81, A"2 2. - C. 865.

148. Horodecki R., Horodecki P., Horodecki M. Violating Bell inequality by mixed spin-12 states: necessary and sufficient condition // Physics Letters A. — 1995. — T. 200, A"2 5. - C. 340-344.

149. Horodecki R., Horodecki P. Quantum redundancies and local realism // Physics Letters A. - 1994. - T. 194, A2 3. - C. 147-152.

150. Horodecki R., Horodecki P., Horodecki M. Quantum a-entropv inequalities: independent condition for local realism? // Physics Letters A. — 1996. — T. 210, A2 6. -

C. 377-381.

151. Information-theoretic aspects of inseparability of mixed states / R. Horodecki |n AP.| // Physical Review A. - 1996. - T. 54, A2 3. - C. 1838.

152. Peres A. Separability criterion for density matrices // Physical Review Letters, -1996. - T. 77, Л* 8. - С. 1413.

153. Horode.cki M., Horodecki P., Horodecki R. Separability of mixed states: necessary and sufficient conditions // Physics Letters A. — 1996. — T. 223, JY2 1. — C. 1—8. -ISSX 0375-9601.

154. St0rmer E. Positive linear maps of operator algebras // Acta Mathematica, -1963. - T. 110, Л* 1. - С. 233-278.

155. Woronowicz S. L. Positive maps of low dimensional matrix algebras // Reports on Mathematical Physics. - 1976. - T. 10, Л* 2. - С. 165-183.

156. Horodecki M., Horodecki P. Reduction criterion of separability and limits for a class of distillation protocols // Physical Review A. - 1999. - T. 59, Л* 6. - C. 4206.

157. Bre.ue.r H. P. Optimal Entanglement Criterion for Mixed Quantum States // Phys, Rev. Lett. - 2006. - T. 97, вып. 8. - С. 080501.

158. Hall W. A new criterion for indeeomposability of positive maps // Journal of Physics A: Mathematical and General. - 2006. - T. 39, Л* 45. - C. 14119.

159. Horodecki P. Separability criterion and inseparable mixed states with positive partial transposition // Physics Letters A. — 1997. — T. 232, JY2 5. — C. 333—339.

160. Rudolph 0. Some properties of the computable cross-norm criterion for separability // Physical Review A. - 2003. - T. 67, Л* 3. - C. 032312.

161. Chen К.. Wu, L.-A. A matrix realignment method for recognizing entanglement // arXiv preprint quant-ph/0205017. - 2002.

162. Horodecki P., Le.wenste.in M. Bound entanglement and continuous variables // Physical review letters. - 2000. - T. 85, Л* 13. - C. 2657.

163. Brufi D., Peres A. Construction of quantum states with bound entanglement // Physical Review A. - 2000. - T. 61, Л* 3. - C. 030301.

164. Horodecki M., Horodecki P., Horodecki R. Separability of mixed quantum states: linear contractions and permutation criteria // Open Systems & Information Dynamics. -2006. - T. 13, Л* 1. - C. 103-111.

165. Doherty А. С., Parrilo P. A., Spe.dalie.ri F. M. Distinguishing separable and entangled states // Physical Review Letters. - 2002. - T. 88, Л* 18. - C. 187904.

166. Giihne 0., Toth G. Entanglement detection // Physics Reports, — 2009, — T, 474, A2 1-6. - C. 1-75.

167. Simon R. Peres-Horodecki separability criterion for continuous variable systems // Physical Review Letters. - 2000. - T. 84, A2 12. - C. 2726.

168. Adesso G.. Serafini A., Illuminati F. Extremal entanglement and mixedness in continuous variable systems // Physical Review A. — 2004. — T. 70, A2 2. -C. 022318.

169. Towards higher precision and operational use of optical homodyne tomograms / M. Bellini |n AP-| // Physical Review A. - 2012. - T. 85, A'2 5. - C. 052129.

170. Xew uncertainty relations for tomographic entropy: application to squeezed states and solitons / S. De Xicola |n AP-| // The European Physical Journal B-Condensed Matter and Complex Systems. - 2006. - T. 52, A2 2. - C. 191-198.

171. Interference and entanglement: an intrinsic approach / V. I. Man'ko |n AP-| // J-Phys. A: Math. Gen. - 2002. - T. 35, A2 33. - C. 7137.

172. Reconstructing the density operator by using generalized field quadratures / G. D'Ariano |n AP-| // Quantum and Semiclassical Optics: Journal of the European Optical Society Part B. - 1996. - T. 8, A2 5. - C. 1017.

173. Dodonov V. V., Manko V. I. Invariants and Evolution of Xonstationary Quantum Systems. T. 183. — Proc, Lebedev Physics Institute, 1989.

174. Introduction to tomography, classical and quantum / M. M. A |n AP-I // Xuovo Cim. C. - 2013. - T. 36. - C. 163.

175. Mancini S., Tombe.si P., Man'ko V. I. Density matrix from photon number tomography // EPL (Europhysics Letters). - 1997. - T. 37, A2 2. - C. 79.

176. Wallentowitz S., Voge.l W. Unbalanced homodyning for quantum state measurements // Physical Review A. - 1996. - T. 53, A2 6. - C. 4528.

177. Bana.sze.k K.. Wodkie.wicz K. Direct probing of quantum phase space by photon counting // Physical review letters. — 1996. — T. 76, A2 23. — C. 4344.

178. Man'ko M. A., Man'ko V. I. Tomographic entropic inequalities in the probability representation of quantum mechanics // AIP Conf. Proc. (Mexico). T. 1488. -AIP. 2012. - C. 110-121.

179. Mariko 0. V., Mariko V. /., Marmo G. Alternative commutation relations, star products and tomography // Journal of Physics A: Mathematical and General, -2002. - T. 35, № 3. - C. 699.

180. Mariko M. A. Joint probability distributions and conditional probabilities in the tomographic representation of quantum states // Physiea Seripta, — 2013. — T. 2013, T153. - C. 014045.

181. Newton R. G.. Young B. L. Measurability of the spin density matrix // Jingshin Theoretical Physics Symposium In Honor Of Professor Ta-You Wu, — World Scientific. 1998. - C. 238-247.

182. Amiet J.-P., We.ige.rt S. Coherent states and the reconstruction of pure spin states // Journal of Optics B: Quantum and Semielassieal Optics. — 1999. — T. 1, A'a 5. -C. L5.

183. Amiet J.-P., We.ige.rt S. Reconstructing the density matrix of a spin s through Stern-Gerlaeh measurements // Journal of Physics A: Mathematical and General. -

1998. - T. 31, № 31. - C. L543.

184. Amiet J.-P., We.ige.rt S. Reconstructing a pure state of a spin s through three Stern-Gerlaeh measurements // Journal of Physics A: Mathematical and General. -

1999. - T. 32, A'a 15. - C. 2777.

185. Amiet J.-P., We.ige.rt S. Coherent states and the reconstruction of pure spin states // Journal of Optics B: Quantum and Semielassieal Optics. — 1999. — T. 1, A'a 5. -C. L5.

186. Amiet J.-P., We.ige.rt S. Reconstructing the density matrix of a spin s through Stern-Gerlaeh measurements: II // Journal of Physics A: Mathematical and General. -1999. - T. 32, № 25. - C. L269.

187. We.ige.rt S. Quantum time evolution in terms of nonredundant probabilities // Physical review letters. - 2000. - T. 84, A'2 5. - C. 802.

188. Amiet J.-P., We.ige.rt S. Discrete Q-and P-symbols for spin s // Journal of Optics B: Quantum and Semielassieal Optics. — 2000. — T. 2, A'a 2. — C. 118.

189. He.is.s S., We.ige.rt S. Discrete Moyal-type representations for a spin // Physical Review A. - 2000. - T. 63, A'2 1. - C. 012105.

190. Metrie on the space of quantum states from relative entropy. Tomographic reconstruction / V, I, Man'ko |n Ap,| // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, — 2017. - T. 50, № 33. - C. 335302.

191. Man'ko 0., Man'ko V. I. Quantum states in probability representation and tomography // Journal of Russian Laser Research. — 1997. — T. 18, 5. — C. 407—444.

192. Symplectic entropy / S. DeXicola |n AP-| // Journal of Physics: Conference Series. T. 70. - IOP Publishing. 2007. - C. 012007.

193. Landau L. D., Lifshitz E. M. Quantum mechanics: non-relativistic theory. T. 3. -Elsevier, 2013.

194. Grad.shteyn I., IM R. Table of Integrals, Series, and Products. — Academic Press, 1980.

195. Wünsche A. Ordered moments and relation to Radon transform of Wigner quasiprobability // Journal of Modern Optics. - 2000. - T. 47, A* 1. - C. 33-56.

196. Man'ko V., Rosa L., Vitale P. Time-dependent invariants and Green functions in the probability representation of quantum mechanics // Physical Review A. — 1998. - T. 57, A'a 5. - C. 3291.

197. Arkhipov A. S., Lozovik Y. E., Man'ko V. I. Center of mass tomography for reconstructing quantum states of multipartite systems // Physics Letters A. — 2004. - T. 328, A'a 6. - C. 419-431.

198. Man'ko V. I., Marmo G.. Vitale P. Phase space distributions and a duality symmetry for star products // Physics Letters A. - 2005. - T. 334, A'a 1. - C. 1-11.

199. The quantum-to-classical transition: contraction of associative products / A. Ibort |n AP-I // Physica Scripta. - 2016. - T. 91, A'a 4. - C. 045201.

200. Hole.vo A. S. Statistical structure of quantum theory. T. 67. — Springer Science & Business Media, 2003.

201. Dotse.nko V. An introduction to the theory of spin glasses and neural networks. T. 54. - World Scientific, 1995.

202. Quantum entropic characterization of Gaussian optical transformations using the replica method / C. Gagatsos |n AP-I // arXiv preprint quant-ph/1408,5062, — 2014.

203. Entropy generation in Gaussian quantum transformations: applying the replica method to continuous-variable quantum information theory / C, X, Gagatsos |n Ap,| // npj Quantum Information, — 2016, — T, 2, — C, 15008,

204. Tsallis C. Possible generalization of Boltzmann-Gibbs statistics // Journal of statistical physics. - 1988. - T. 52, A* 1/2. - C. 479-487.

205. Re.nyi A. Probability Theory. — Xorth-Holland, Amsterdam, 1970.

206. Callan C., W-ilc.yk F. On geometric entropy // Physics Letters B. — 1994. — T. 333, A'a 1/2. - C. 55-61.

207. Me.zard M., Parisi G.. Virasoro M. Spin glass theory and beyond: An Introduction to the Replica Method and Its Applications. T. 9. — World Scientific Publishing Company, 1987.

208. Raimond J.-M., Haroche S. Exploring the quantum // Oxford University Press. -2006. - T. 82. - C. 86.

209. Glauber R. Coherence and quantum detection. — 1969. — C. 15.

210. Glauber R. J. Quantum theory of optical coherence: selected papers and lectures. -John Wiley & Sons, 2007.

211. Gordon J., Walker L., Louisell W. Quantum statistics of masers and attenuators // Physical Review. - 1963. - T. 130, A'a 2. - C. 806.

212. Weisskopf V., Wigne.r E. Berechnung der natürlichen linienbreite auf grund der diraesehen liehttheorie, — 1997.

213. Se.bawe. M. A. Anisotropie time-dependent coupled oscillators // Physical Review A. - 1990. - T. 41, A'a 7. - C. 3775.

214. Thermal vacuum state for the two-coupled-oscillator model at finite temperature: Derivation and application / X. X. Xue |n Ap,| // Chinese Physics B. — 2013. -T. 22, A2 9. - C. 090302.

215. Streate.r R. The representations of the oscillator group // Communications in Mathematical Physics. - 1967. - T. 4, A* 3. - C. 217-236.

216. Brandt R. A., Gre.enbe.rg 0. Generalized Bose operators in the Foek space of a single Bose operator // Journal of Mathematical Physics. — 1969. — T. 10, A'a 7. -C. 1168-1176.

217. Odaka K.. Kishi T.. Kame.fuchA S. On quantization of simple harmonic oscillators // Journal of Physics A: Mathematical and General, — 1991, — T, 24, A'a 11, — C, L591,

218. Mizrahi S. S., Camargo Lima J. P., Dodonov V. V. // Journal of Physics A: Mathematical and General. - 2004. - T. 37, A* 11. - C. 3707.

219. Trapped ions in laser fields: a benchmark for deformed quantum oscillators / V. Manko |n AP-| // Physical Review A. - 2000. - T. 62, A'a 5. - C. 053407.

220. Remarks on the q-quantization / A. Jannussis |n AP-| // Lettere A1 Xuovo Cimento (1971-1985). - 1981. - T. 30, A'2 4. - C. 123-127.

221. Kulish P., Dama.skinsky E. On the q oscillator and the quantum algebra suq (1, 1) // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1990. — T. 23, A'a 9. -C. L415.

222. Jannussis A., Brodimas G.. Mignani R. Quantum groups and Lie-admissible time evolution // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1991. — T. 24, № 14. - C. L775.

223. Agarwai G.. Tara K. Xonclassical properties of states generated by the excitations on a coherent state // Physical Review A. — 1991. — T. 43, A'a 1. — C. 492.

224. Sivakumar S. Photon-added coherent states as nonlinear coherent states // Journal of Physics A: Mathematical and General. - 1999. - T. 32, A'2 18. - C. 3441.

225. De. los Santos-Sanchez 0., Recamier J. Xonlinear coherent states for nonlinear systems // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2011. — T. 44, A"2 14. - C. 145307.

226. Recamier J., Jdure.gui R. Construction of even and odd combinations of Morselike coherent states // Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. -2003. - T. 5, № 3. - S365.

227. Osborn T.. Marzlin K.-P. Moyal phase-space analysis of nonlinear optical Kerr media // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2009. — T. 42, № 41. - C. 415302.

228. Temporally stable coherent states for infinite well and Poschl-Teller potentials / J. P. Antoine |n AP-| // Journal of Mathematical Physics. — 2001. — T. 42, A'a 6. -C. 2349-2387.

229. Mariko M. A., Mariko V. I. Properties of nonnegative Hermitian matrices and new entropie inequalities for noneomposite quantum systems // Entropy, — 2015, — T, 17, A* 5. - C. 2876-2894.

230. Lie.b E. II.. Ruskai M. B. Proof of the strong subadditivity of quantum-mechanical entropy // Journal of Mathematical Physics. — 1973. — T. 14, A'a 12. — C. 1938— 1941.

231. Heisenberg W. Uber den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Meehanik // Zeitschrift fiir Physik. - 1927. - T. 43, A* 3/4. - C. 172-198.

232. Schrodinger E. // Sitzungsber, Preuss. Akad. Wiss. — 1930. — T. 14. — C. 296.

233. Robertson H. P. A general formulation of the uncertainty principle and its classical interpretation // Physical Review. — 1930. — T. 35. — C. 667.

234. A possible experimental check of the uncertainty relations by means of homodyne measuring field quadrature / V. I. Man'ko |n Ap.| // Advanced Science Letters. -2009. - T. 2, № 4. - C. 517-520.

235. Mariko V. I., Tino G. M. Experimental limit on the blue shift of the frequency of light implied by a q-nonlinearity // Physics Letters A. — 1995. — T. 202, A'a 1. -C. 24-27.

236. Agarwai G. S., Tara K. Xonelassieal properties of states generated by the excitations on a coherent state // Phys, Rev. A. — 1991. — T. 43, bmii, 1. — C. 492—497.

237. Violation of the Robertson-Schrodinger uncertainty principle and noneommutative quantum mechanics / C, Bastos |n Ap,| // Physical Review D, — 2012, — T, 86, № 10. - C. 105030.

238. Abe S. Xonadditive generalization of the quantum Kullbaek-Leibler divergence for measuring the degree of purification // Physical Review A. — 2003. — T. 68, A'a 3. -C. 032302.

239. Kim S. Operator entropy and fidelity associated with the geometric mean // Linear Algebra and its Applications. - 2013. - T. 438, A* 5. - C. 2475-2483.