Вероятностные представления квантовой механики и неклассические состояния поля излучения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Коренной, Яков Александрович

• Коренной, Яков Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Коренной, Яков Александрович

1 ВВЕДЕНИЕ

2 ОСНОВЫ ВЕРОЯТНОСТНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ. ОПЕРАТОРЫ И ИХ СИМВОЛЫ В ВЕРОЯТНОСТНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ

2.1 Томограммы состояний квантовой системы и их связь с функцией Вигнера и матрицей плотности.

2.2 Операторы в томографическом представлении

2.3 Символы операторов в томографическом представлении.

2.4 Дуальные символы операторов в виде регулярных обобщенных функций

2.5 Критерий чистоты состояния квантовой системы в представлении оптической томографии

2.6 Соотношение неопределенностей в томографической форме.

2.7 Вероятности квантовых переходов в томографическом представлении

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вероятностные представления квантовой механики и неклассические состояния поля излучения»

Актуальность работы. Еще на заре создания квантовой механики принимались неоднократные попытки ее построения в форме динамической теории классических траекторий. [1, 2, 3, 4]. Р. Фейнман предложил рассмотрение квантовой механики в терминах интегралов по траекториям [5].

При решении задачи нахождения адекватного вероятностного описания квантовых "состояний, различными авторами было предложено множество функций квазивероятности, таких как функция Вигнера [6], функция Хусими [7], функция Глаубера-Сударшана [8, 9], которые позже были объединены в однопараметрическое семейство [10]. Но благодаря принципу неопределенностей Гейзенберга, в отличие от классической вероятности, все эти функции квазивероятности не описывают распределений измеримых переменных на фазовой плоскости.

В квантовой механике объекты всегда имеют квантовые флуктуации, поэтому невозможно описать квантовую систему распределением вероятности координаты и сопряженного ей импульса, так как этого не позволяет принцип неопределенности Гейзенберга — основной принцип квантовой механики, содержащий в себе постоянную Планка. Таким образом, принцип описания состояния квантовой системы кардинально отличается от принятого в классической механике и классической статистической механике, где функция распределения вероятности в фазовом пространстве является универсальным инструментом описания состояния частицы.

Формулировка квантовой механики, похожая на классическую стохастическую механику, была предложена Мойалом [11], но введенное им уравнение эволюции было уравнением для функции квазивероятности (функции Вигнера), не являющейся распределением вероятности.

В 1987 году Дж. Бертраном и П. Бертраном [12] для применения в квантово-оптических измерениях была введена оптическая томограмма ю(Х,в), имеющая смысл функции распределения измеряемой квантово-оптическим балансным гомодинным детектором квадратурной компоненты Хо = + в~гва3)/у/2, где в - фаза локального осциллятора и ая - оператор уничтожения для моды сигнала. Эта томограмма, содержащая всю доступную информацию о квантовом состоянии, является результатом (в одномерном случае) преобразования Радона [13] от функции Вигнера (см. [14]).

Оптическая томограмма и ее связь с функцией Вигнера были использованы в экспериментах по гомодинному детектированию квантовых состояний фотонов [15] (см. обзорную статью [16]), в которых измерение оптической томограммы применялось в качестве технического инструментария для реконструкции функции Вигнера.

В работе [20] была введена функция распределения, позже названная симплектиче-ской томограммой [21]. Было показано, что симплектическая томограмма М(Х, ц, и), являющаяся неотрицательной функцией распределения гомодинной квадратурной компоненты Х^, зависящей от внешних действительных параметров //иг/, связана с оптической томограммой, и эта связь дает возможность реконструирования функции Вигнера из симплектической томограммы при помощи преобразования Фурье.

Полученный результат обусловлен рассмотрением квантовой системы наряду с фиксированной системой отсчета также и в различных других координатных системах. В квантовом случае, дополнительные параметры, определяющие различные системы отсчета, кодируют информацию, содержащуюся в матрице плотности или волновой функции.

В работах [22], [23] предложена новая формулировка квантовой механики, названная вероятностным представлением квантовой механики (см. недавние обзоры [24], [25]). Уровни энергии квантового гармонического осциллятора были описаны в рамках симплектической томографии в работах [26, 27]. Вероятностное представление развивалось в ряде работ [28], [29], [30]. В вероятностном представлении квантовые состояния описываются непосредственно функциями распределения вероятности, называемыми квантовыми томограммами или томографическими распределениями вероятности. Томограммы содержат всю доступную информацию о квантовом состоянии и связаны с операторами плотности посредством обратимых преобразований. Вообще говоря, существует множество видов томограмм, связанных с операторами плотности различными обратимыми преобразованиями. Например, в работе [31] рассмотрена так называемая томография центра масс.

Развитое сначала для непрерывных переменных, томографическое представление затем было обобщено на случай дискретных спиновых переменных (спиновая томография [32, 33, 34]) и на случай дискретной переменной числа фотонов (томография числа фотонов [35, 36]).

Неотрицательность томографической функции распределения вероятности является весьма привлекательным свойством для компьютерного моделирования квантовых систем [37].

С другой стороны, в современных экспериментальных исследованиях широко применяется именно оптическая томография, и поэтому дальнейшее развитие представления оптической томографии является особенно актуальным.

Квантовая оптическая томография, реализуемая посредством балансного гомодин-ного детектирования, на сегодняшний день является основным инструментом экспериментальных исследований неклассических состояний поля излучения.

Такие состояния являются перспективными для создания новых устройств, обладающих чувствительностью, существенно превышающей стандартный квантовый предел [38], для оптической передачи информации [39], квантовой криптографии [40] и других применений. В связи с этим в последние два десятилетия исследовались различные виды неклассических фотонных состояний (см., например, обзор [41]).

Наиболее распространенные примеры включают сжатые состояния [42], коррелированные состояния [43], четные и нечетные когерентные состояния [44, 45] или шредин-геровские коты [46]. Все эти состояния имеют как субпуассоновскую, так и суперпуас-соновскую статистику фотонов, в отличии от статистики когерентных фотонов [8], [9], [47], которая описывается функцией распределения Пуассона. Когерентные состояния считаются классическими.

В сжатых состояниях дисперсия одной из двух квадратурных компонент имеет меньшее значение, чем в когерентном состоянии, и обычно удовлетворяется соотношение неопределенности Гейзенберга [48]. Коррелированные состояния [43] минимизируют соотношение неопределенности Шредингера - Робертсона [49], которое содержит дополнительный физический параметр, характеризующий состояние осциллятора электромагнитного поля, — коэффициент корреляции между квадратурными компонентами. Для большого сжатия, как в одномодовом [50], так и в многомодовом [51] случае, функция распределения фотонов имеет осциллирующий характер. Похожие осцилляции функции распределения наблюдаются для коррелированного света [52], а также для четного и нечетного состояния [45].

С математической точки зрения, когерентные состояния получаются действием так называемого оператора сдвига [8] на основное состояние осциллятора, а сжатые (коррелированные) состояния получаются действием оператора со/сатия на когерентное состояние. Представляют определенный интерес результаты воздействия этих операторов на состояния, отличные от основного. Действие оператора сдвига на состояние с не равным нулю числом фотонов приводит к смещенным фоковским остояниям, свойства которых исследованы в [53]. Их дальнейшее обобщение — это сэ/сатые фоковские состояния и смещенные и сжатые фоковские состояния [54]. В работе [55] рассмотрен другой класс неклассических состояний, являющихся континуальной суперпозицией когерентных состояний. Функции распределения фотонов всех этих состояний также являются осциилирующими для некоторых значений параметров.

Еще один интересный класс неклассических состояний - состояния с добавленными фотонами [56], являющиеся результатом элементарных процессов усиления квантового сигнала [57]. Некоторые из этого класса состояний были экспериментально реализованы в недавних работах [57[, [58], [59], [60], [61], в частности, в связи с тестированием квантовых коммутационных соотношений бозонных операторов рождения и уничтожения.

Состояния с добавленными фотонами зависят от дополнительного дискретного параметра - числа добавленных фотонов т, который влияет на статистику фотонов и коэффициент сжатия.

Практическая значимость состояний с добавленными фотонами и недавние эксперименты по их реализации предопределяют актуальность их исследований.

Кроме того, по нашему мнению, особенно перспективным является распространение методов квантовой томографии и квантовой оптики классических и пеклассических состояний на квантовые системы атомов и ионов в ловушках [62], являющиеся основой экспериментов по созданию так называемых «атомных лазеров», прототипы которых реализованы в настоящее время во многих странах мира [63, 64].

Ввиду вышесказанного, исследование и развитие вероятностного подхода в его применении к квантовым системам, а также изучение неклассических состояний поля излучения, является актуальной задачей, представляющей научный и практический интерес.

Целью диссертационной работы является дальнейшее развитие вероятностного представления квантовой механики и исследование неклассических состояний поля излучения.

Основными задачами работы являются:

Развитие рассматриваемого ранее вероятностного представления квантовой механики в терминах оптической томографической функции распределения вероятности, имеющей равное с матрицей плотности число степеней свободы, и доказательство возможности вероятностного представления квантовой механики без увеличения мерности задачи, введения дополнительных переменных и скрытых параметров.

Получение явных выражений для операторов в представлении оптической томографии и их дуальных символов в виде регулярных обобщенных функций.

Вывод динамического уравнения и уравнения стационарных состояний квантовых систем в представлении оптической томографии для произвольных многомерных гамильтонианов; получение уравнения Лиувилля в представлении оптической томографии.

Получение уравнения для пропагатора оптической томограммы квантовой системы с произвольным гамильтонианом; нахождение интегральных выражений связи оптического пропагатора и квантового пропагатора для матрицы плотности; нахождение явного выражения пропагатора оптической томограммы произвольной квадратичной квантовой системы.

Исследование свойств неклассических состояний с добавленными фотонами для параметрической квантово-оптической системы; получение явных выражений для параметрически возбужденных когерентных состояний с добавленными фотонами, четных/нечетных состояний с добавленными фотонами, а также температурных состояний с добавленными фотонами; предложение дополнительных тестовых выражений для оценки точности получаемых в квантово-оптических экспериментах томограмм состояний.

Исследование оптических томограмм стационарных состояний водородоподобных атомов и ионов.

Развитие обобщения вероятностного представления на случай релятивистских квантовых систем; нахождение релятивистского уравнения Лиувилля в представлении оптической томографии и динамического уравнения для оптической томограммы слаборелятивистской бесспиновой квантовой частицы в достаточно слабых полях.

Научная новизна результатов, представленных в настоящем исследовании, состоит в следующем:

1. Развито рассматриваемое ранее вероятностное представление квантовой механики в терминах оптической томографической функции распределения вероятности, имеющей равное с матрицей плотности число степеней свободы, и тем самым доказано, что возможно вероятностное представление квантовой механики без увеличения мерности задачи, введения дополнительных переменных и скрытых параметров. Проиллюстрировано применение разработанного формализма на примерах конкретных квантовых систем и состояний.

2. Получены явные выражения для операторов в представлении оптической томографии. Найдены дуальные символы операторов в представлении оптической томографии в виде регулярных обобщенных функций.

3. Выведены динамическое уравнение и уравнение стационарных состояний квантовых систем в представлении оптической томографии для произвольных многомерных гамильтонианов. Получено уравнение Лиувилля в представлении оптической томографии.

4. Получено уравнение для пропагатора оптической томограммы квантовой системы с произвольным гамильтонианом. Найдены интегральные выражения связи пропагатора для оптической томограммы и квантового пропагатора для матрицы плотности. Найдено явное выражение для пропагатора оптической томограммы произвольной квадратичной квантовой системы.

5. Исследованы свойства неклассических состояний с добавленными фотонами для параметрической квантово-оптической системы. Получены явные выражения для параметрически возбужденных когерентных состояний с добавленными фотонами, четных/нечетных состояний с добавленными фотонами, а также температурных состояний с добавленными фотонами. Предложены дополнительные тестовые выражения для оценки точности получаемых в квантово-оптических экспериментах томограмм состояний.

6. Исследованы оптические томограммы стационарных состояний водородоподобных атомов и ионов.

7. Развито обобщение вероятностного представления на случай релятивистских квантовых систем. Найдено релятивистское уравнение Лиувилля в представлении оптической томографии и динамическое уравнение для оптической томограммы слабо-релятивистской бесспиновой квантовой частицы в достаточно слабых полях.

Практическая значимость полученных результатов: Результаты диссертации вносят заметный вклад в работы по дальнейшему развитию квантовой механики и исследованию состояний квантовых систем.

В диссертации развито предложенное ранее вероятностное представление квантовой механики в терминах оптической томографической функции распределения вероятности (оптической томограммы). Важность такого представления для теоретических и экспериментальных исследований обусловлена возможностью непосредственного экспериментального измерения оптической томограммы состояния квантовой системы.

Применение полученных в диссертации результатов при рассмотрении состояний квантовых систем (в частности, в квантовой оптике) в теоретических исследованиях и анализе получаемых в экспериментах оптических томограмм, позволяет проводить дополнительные тесты оценки точности экспериментов, а также вычислять значения практически любых интересующих наблюдаемых физических величин квантовых состояний непосредственно из оптических томограмм с помощью найденных в работе символов операторов без использования представления квазивероятности или представления матрицы плотности.

Пропагатор и динамическое уравнение для оптической томограммы, найденные в диссертации, позволяют осуществлять мониторинг состояния квантовой системы в процессе эволюции. Динамическое уравнение для оптической томограммы и уравнение стационарных состояний в представлении оптической томографии допускают достаточно эффективное применение итерационных численных алгоритмов.

Дуальные символы операторов в виде регулярных обобщенных функций наряду с динамическим уравнением и уравнением стационарных состояний и другими результатами диссертации в представлении оптической томографической функции распределения вероятности, когда в функции распределения содержится вся доступная информация о квантовом состоянии, причем без всяких дополнительных «скрытых» параметров и другого рода переопределений (увеличений размерности задачи), предоставляют современной физике эффективный новый инструментарий для активного использования во многих приложениях.

По мнению автора, полученные результаты, несомненно, найдут применение, в частности, в прецизионных исследованиях фундаментальных аспектов квантовой механики.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Вероятностное представление квантовой механики в терминах оптической томографической функции распределения вероятности, имеющей равное с матрицей плотности число степеней свободы, доказывающее, что возможно вероятностное представление квантовой механики без увеличения мерности задачи, введения дополнительных переменных и скрытых параметров. Иллюстрация применения разработанного формализма на примерах конкретных квантовых систем и состояний.

2. Аналитические явные выражения для операторов в представлении оптической томографии, дуальные символы операторов в представлении оптической томографии в виде регулярных обобщенных функций.

3. Динамическое уравнение и уравнение стационарных состояний квантовых систем в представлении оптической томографии для произвольных многомерных гамильтонианов; уравнение Лиувилля в представлении оптической томографии.

4. Уравнение для пропагатора оптической томограммы квантовой системы с произвольным гамильтонианом; интегральные выражения связи пропагатора для оптической томограммы и квантового пропагатора для матрицы плотности; явное выражение для пропагатора оптической томограммы произвольной квадратичной квантовой системы.

5. Результаты исследования свойств неклассических состояний с добавленными фотонами для параметрической квантово-оптической системы; явные выражения для параметрически возбужденных когерентных состояний с добавленными фотонами, четных/нечетных когерентных состояний с добавленными фотонами, а также температурных состояний с добавленными фотонами; дополнительные тестовые выражения для оценки точности получаемых в квантово-оптических экспериментах томограмм состояний.

6. Оптические томограммы стационарных состояний водородоподобных атомов и ионов.

7. Результаты обобщения вероятностного представления на случай релятивистских квантовых систем; релятивистское уравнение Лиувилля в представлении оптической томографии и динамическое уравнение для оптической томограммы слабо-релятивистской бесспиновой квантовой частицы в достаточно слабых полях.

Эти результаты являются новыми и достоверными.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинаре отделения теоретической физики Физического института имени П.Н.Лебедева по квантовой теории поля, на общепредметном семинаре кафедры теоретической физики Московского физико-технического института.

Кроме того, результаты диссертации направлены и будут докладываться методом заочного содоклада на 12-й международной конференции по союатым состояниям и соотношениям неопределенностей ICSSUR 2011, Foz do Iguagu, Brazil, May 02-06, (2011).

Публикации. Результаты диссертационного исследования были опубликованы в 7 научных работах (см. Список публикаций). Из приведенного перечня 5 статей опубликовано в рецензируемых научных журналах [Al, А2, A3, А4, А6], две статьи опубликованы в архиве Лос-Аламоса [А5, А7]. Кроме того, статья [А5] принята 15 апреля 2011 года к публикации в журнале Physical Review А.

Личный вклад автора состоял в нахождении представленных аналитических результатов, построении графиков, написании программных кодов, необходимых для численного исследования полученных аналитических результатов, в предложениях методологического характера по существу выполняемых работ. Вклад соискателя в получение результатов является определяющим.

Структура и объем диссертации. Представленная диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа включает в себя более 120 страниц, более 10 иллюстраций и более 110 цитирований литературы. В конце каждой главы содержатся выводы, в которых сформулированы основные результаты исследований.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Коренной, Яков Александрович

5 заключение

Таким образом, в диссертационном исследовании решены все поставленные задачи, а именно:

Развито вероятностное представление квантовой механики в терминах оптической томографической функции распределения вероятности, имеющей столько же переменных, сколько и матрица плотности, и тем самым доказано, что возможно вероятностное представление квантовой механики без всяких дополнительных переменных и скрытых параметров, а также проиллюстрировано применение разработанного формализма на примерах конкретных квантовых систем и состояний.

Исследованы свойства оптических томограмм, найдены явные выражения для операторов и их дуальных символов в представлении оптической томографии, выведены динамическое уравнение и уравнение стационарных состояний в представлении оптической томографии, представлено уравнение для пропагатора оптической томограммы и найдена связь оптического пропагатора с квантовым пропагатором для матрицы плотности.

Исследованы оптические томограммы стационарных состояний водородоподобных атомов и ионов.

Исследованы свойства параметрически возбужденных когерентных состояний с добавленными фотонами, четных/нечетных состояний с добавленными фотонами, а также температурных состояний с добавленными фотонами; предложены дополнительные тестовые выражения для оценки точности получаемых в квантово-оптических экспериментах томограмм состояний.

Развито обобщение вероятностного представления на случай релятивистских квантовых систем. Найдено релятивистское уравнение Лиувилля в представлении оптической томографии и динамическое уравнение для оптической томограммы слабо-релятивистской бесспиновой квантовой частицы в достаточно слабых полях.

Решением указанных задач достигнута основная цель диссертационного исследования: развитие вероятностного представления квантовой механики и исследование неклассических состояний поля излучения.

В заключении хочу выразить глубокую благодарность своему научному руководителю Манько Владимиру Ивановичу за руководство работой, постоянное внимание и полезные обсуждения. Также хочу выразить глубокую благодарность всем своим коллегам из научного сообщества за ценные замечания и конструктивную критику.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Коренной, Яков Александрович, 2011 год

1. L. De Broglie, Compt. Rend., 183, 447 (1926).

2. L. De Broglie, Compt. Rend., 184, 273 (1927).

3. L. De Broglie, Compt. Rend., 185, 380 (1927).

4. D. Bohm, Phys. Rev., 85, 166 (1952); Phys. Rev., 85, 180 (1952).

5. Р. Фейнман, А Хибс, Квантовая механика и интегралы по траекториям, Москва: Мир, (1968).

6. Е. Wigner, Phys. Rev., 40, 749 (1932).

7. К. Husimi, Ptoc. Phys. Math. Soc. Jpn, 23, 264 (1940).

8. R. J. Glauber, Phys. Rev. Lett, 10, 84 (1963).

9. E. C. G. Sudarshan, Phys. Rev. Lett., 10, 277 (1963).

10. К. E. Cahill and R. J. Glauber, Phys. Rev., 177, 1882 (1969).

11. J. E. Moyal, Ptoc. Cambridge Philos. Soc., 45, 99 (1949).

12. J. Bertrand and P. Bertrand, Found. Phys., 17, 397 (1987) .

13. J. Radon, Ber. Verh. Sachs. Akad., 69, 262 (1917).

14. K. Vogel and H. Risken, Phys. Rev. A, 40, 2847 (1989).

15. D. T. Smithey, M. Beck, M. G. Raymer, A. Faridani, Phys. Rev. Lett., 70, 1244 (1993).

16. A. I. Lvovsky and M. G. Raymer, Rev. Mod. Phys., 81, 299 (2009).

17. D. Kalamidas, С. C. Gerry and A. Benmoussa, Phys. Lett. A 372, 1937 (2008).

18. M. Aspelmeyer, S. Groblacher, K. Hammerer and N. Kiesel, J. Opt. Soc. Am. В 27, A189 (2010).

19. S. Sivakumar, e-print arXiv:quant-ph/1101.3855vl.

20. S. Mancini, V. I. Man'ko and P. Tombesi, J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt., 7, 615 (1995).

21. G. M. D'Ariano, S. Mancini, V. I. Man'ko and P. Tombesi, J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt., 8, 1017 (1996).

22. S. Mancini, V. I. Man'ko and P. Tombesi, Phys. Lett. A, 213, 1 (1996).

23. S. Mancini, V. I. Man'ko, and P. Tombesi, Found. Phys., 27, 801 (1997).

24. A. Ibort, V. I. Man'ko, G. Marmo, A. Simoni, and F. Ventriglia, Phys. Scr., 79, 065013 (2009).

25. M. A. Man'ko and V. I. Man'ko, Found. Phys., 41, 330 (2011).

26. V. I. Man'ko, J. Russ. Laser Research, 17, 579 (1997).

27. О. В. Маиько, Динамика и статистические свойства квантовых систем в представлении фазового пространства, дис. д-ра физ.-мат. наук (2006).

28. Г. Г. Амосов, Вероятностные и когомологические характеристики квантовых динамических систем, дис. д-ра физ.-мат. наук (2008).

29. О. В. Пилявец, Некоторые вопросы применения вероятностного представления в квантовой механике и теории бозонных квантовых каналов с памятью, дис. канд. физ.-мат. наук (2009).

30. A. S. Arkhipov, Yu. Е. Lozovik and V. I. Man'ko, Phys. Lett. A, 328, 419 (2004).

31. V. V. Dodonov, V. I. Man'ko, Phys. Lett. A., 229, 335 (1997).

32. В. И. Манько, О. В. Манько, ЖЭТФ, 112, 796 (1997).

33. S. Weigert, Phys. Rev. Lett., 84, 802 (2000).

34. S. Mancini, V. I. Man'ko, and P. Tombesi, J. Mod. Opt., 44, 2281 (1997).

35. S. Mancini, P. Tombesi and V. I. Man'ko, Europhys. Lett., 37, 79 (1997).

36. Yu. E. Lozovik, V. A. Sharapov, A. S. Arkhipov., Phys. Rev. A., 69, 022116 (2004).

37. M. О. Скалли, M. С. Зубайри, Квантовая оптика, Москва: Физматлит, (2003).

38. G. M. D' Ariano, F. M. Zacchi, Optics communications, 149, 152 (1998).

39. M. Hillery, Phys. Rev. A, 61, 022309 (2000).

40. V. V. Dodonov, J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt., 4, RI (2002).

41. D. Stoler, Phys. Rev. D 4, 1925 (1971); J. N. Hollenhorst, Phys. Rev. D 19, 1669 (1979); M. M. Nieto and D. R. Truax, Phys. Rev. Lett. 71, 2843 (1993).

42. V. V. Dodonov, E. V. Kurmyshev, and V." I. Man'ko, Phys. Lett. A 79, 150 (1980).

43. V. V. Dodonov, I. A. Malkin, and V. I. Man'ko, Physica 72, 597 (1974).

44. V. V. Dodonov, V. I. Man'ko, and D.E.Nikonov, Phys. Rev. A 51, 3328 (1995).

45. B. Yurke and D. Stoler, Phys. Rev. Lett. 57, 13 (1986).

46. J. R. Klauder, J. Math. Phys. 5, 177 (1964).

47. W. Heisenberg, Z. Phys. 43, 172 (1927).

48. E. Schrodinger, Ber. Kgl. Akad. Wiss. Berlin 24, 296 (1930); H. P. Robertson, Phys. Rev. 35, 667 (1930).

49. W. Schleich and J. A. Wheeler, JOSA B 4, 1715 (1987); A. Vourdas and R. M. Weiner, Phys. Rev. A 36, 5866 (1987).

50. C. M. Caves, Chang Zhu, G. J. Milburn, and W. Schleich, Phys. Rev. A 43, 3854 (1991); M. Artoni, U. P. Ortiz, and J. L. Birman, Phys. Rev. A 43, 3954 (1991); G. Schrade, V. M. Akulin, V. I. Man'ko, and W. Schleich, Phys. Rev. A 48, 2398 (1993).

51. V. V. Dodonov, A. B. Klimov, and V. I. Man'ko, Phys. Lett. A 134, 211 (1989); V. V. Dodonov, O. V. Man'ko, V. I. Man'ko, and L. Rosa, Phys. Lett. A 185, 231 (1994).

52. M. Boiteux and A. Levelut, J. Phys. A 6, 589 (1973); S. M. Roy and Virendra Singh, Phys. Rev. D 25, 3413 (1982); M. Venkata Satyanarayana, Phys. Rev. D 32, 400 (1985).

53. H. P. Yuen, Phys. Rev. A 13, 2226 (1976); M. S. Kim, F. A. M. de Oliveira, and P. L. Knight, Phys. Rev. A 40, 2494 (1989); C. F. Lo, Phys. Rev. A 43, 404 (1991).

54. J. Janszky and An. V. Vinogradov, Phys. Rev. Lett. 64, 2771 (1990).

55. G. S. Agarwal, K. Tara, Phys. Rev. A, 43, 492 (1991).

56. A. Zavatta, S. Vicinai, M. Bellini, Science, 306, 660 (2004).

57. V. Parigi, A. Zavatta, M. Kim, S. Vicinai, M. Bellini, Science, 317, 1890 (2007).

58. M. Barbieri, N. Spagnolo, M. G. Genoni, F. Ferreyrol, R. Blandino, M. G. A. Paris, P. Grangier, R. Tualle-Brouri, Phys. Rev. A, 82, 063833 (1-5) (2010).

59. A. Zavatta, V. Parigi, M. S. Kim, M. Bellini, Phys. Rev. Lett., 103, 140406 (2009).

60. T. Kiesel, W. Vogel, M. Bellini, A. Zavatta, Los Alamos arhiv, arXiv:1101.1741vl quant-ph] (2011).

61. W. Ketterle, Rev. Mod. Phys., 74, 1131 (2002).

62. M. O. Mewes, M. R. Andrews, D. M. Kurn, D. S. Durfee, C. G. Townsend, W. Ketterle, Phys. Rev. Lett., 78, 582 (1997).

63. I. Bloch, T. W. Hansch, T. Eslinger, Phys. Rev. Lett., 82, 3008 (1999).

64. S. Bose, K. Jacobs, P. L. Knight, Phys. Rev. A 56, 4175 (1997).

65. S. Haroche, Nuovo Cim. B 110, 545 (1995).

66. Z. Zhang, H. Fan, Phys. Lett. A 165, 14 (1992).

67. V. V. Dodonov, V. I. Man'ko, Invariants and Evolution of Nonstationary Quantum Systems, Proceedings of the Lebedev Physics Institute Vol. 183, edited by M. A. Markov (Nova Science, Commack, NY, 1989).

68. V. V. Dodonov, V. I. Man'ko, in Modern Nonlinear Optics, Advances in Chemical Physics Series Vol. LXXXV, edited by M.Evans and S. Kielich (Wiley, New York, 1994), Part 3, p.499.

69. S. Mancini, V. I. Man'ko and P. Tombesi, Los Alamos arhiv, arXiv: 9609026 quant-ph], (1996).

70. Bateman Manuscript Project: Higher Transcendental Functions, edited by A. Erdelyi (McGraw-Hill, New York, 1953).

71. G. Szego, Orthogonal Polynomials (American Mathematical Society, Providence, RI,---- 1959). --------------------- - — - —---- ---

72. I. A. Malkin, V. I. Man'ko, Phys. Lett. A 31, 243 (1970).

73. И. А. Малкин, В. И. Манько, Динамические Симметрии и Когерентные Состояния Квантовых Систем (Наука, Москва, 1979).

74. V. V. Dodonov, I. A. Malkin, V. I. Man'ko, Int. J. Theor. Phys. 14, 37 (1975).

75. V. V. Dodonov, V. I. Man'ko, P. G. Polynkin, Phys. Lett. A 188, 232 (1994).

76. L. Mandel, Opt. Lett. 4, 205 (1979).

77. P. Appel, J. Kampe de Feriet, Fonetions Hypergeometriques and Hyperspheriques. Polynomes d'Hermite (Gauthier-Villars, Paris, 1926).

78. V. V. Dodonov, V. I. Man'ko, J. Math. Phys. 35, 4277 (1994).

79. V. V. Dodonov, V. I. Man'ko, V. V. Semjonov, Nuovo Cimento В 83, 145 (1984).

80. G. S. Agarwal, S. Arun Kumar, Phys. Rev. Lett. 67, 3665 (1991); V. V. Dodonov, V. I. Man'ko, D. V. Zhivotchenko, J. Sov. Laser Research 14, 127 (1993).

81. V. V. Dodonov, at al, J. Math. Phys. 34, 2742 (1993).

82. Н. P. Yuen, Phys. Rev. Lett. 56, 2176 (1986); G. Bjork, Y. Yamamoto, Phys. Rev. A 37, 4229 (1988); G. S. Agarwal, Quantum Opt. 2,1 (1990).

83. M. N. Mahran, A. -S. F. Obada, Phys. Rev. A 42, 1718, (1990).

84. V. V. Dodonov, A. B. Klimov, D. E. Nikonov, Phys. Rev. A 47, 4422 (1993).

85. V. V. Dodonov, A. B. Klimov, Phys. Rev. A 53, 2664 (1996).

86. V. V. Dodonov, I. A. Malkin, V. I. Man'ko, Physica A 82, 113 (1976); J. Stat. Phys. 16, 357 (1977); V. V. Dodonov, V. I. Man'ko, Physica A 94, 403 (1978); Phys. Rev. A 20, 550 (1979).

87. G. Schrade, V. I. Man'ko, W. P. Schleich and R. J. Glauber, Quantum Semiclass. Opt. 7, 307 (1995).

88. M. Brune, J. M. Raimond, P. Goy, L. Davidivich and S. Haroche, Phys. Rev. Lett. 59, 1899 (1987).

89. G. Rempe, F. Schmidt-Kaler and H. Walther, Phys. Rev. Lett. 64, 2783 (1990).

90. V. V. Dodonov, Ya. A. Korennoy, V.I. Man'ko, E. A. Moukhin, J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt. 8, 413 (1996).

91. V. V. Dodonov, I. A. Malkin, V. I. Man'ko, Physica 72, 597 (1974).

92. N. A. Ansari, V. I. Manko, Phys. Rev. A 50, 1942 (1994).

93. E. T. Jaynse, F. W. Cummings, Proc. IEEE 51, 89 (1963).

94. B. W. Shore, P. L. Knight, J. Mod. Opt. 40, 1195 (1993).

95. H. Ghosh, C. C. Gerry, J. Opt. Soc. Am. B 14, 2782 (1997).

96. D. G. Welsch, M. Dakna, L. Knöll, T. Opartny Los Alamos arhiv, quant-ph/9708018 (1997).

97. M. Band, J. Mod. Opt. 43, 1281 (1996).

98. M. Dakna, T. Anhut, T. Opartny, L. Knöll, D. G. Welsch, Phys. Rev. A 55, 3184 (1997).

99. M. Dakna, L. Knöll, D. G. Welsch, Opt. Comm. 145, 309 (1998).

100. W. Vogel, R. L. de Matros Filho, Phys. Rev. A 52, 4214 (1995).

101. R. L. de Matros Filho, W. Vogel, Phys. Rev. Lett. 76, 608 (1996).

102. D. M. Meekhof, G. Monroe, B. E. King, W. M. Itano, D. J. Wineland, Phys. Rev. Lett. 76, 1796 (1996).

103. G. Monroe, D. M. Meekhof, B. E. King, D. J. Wineland, Science 272, 1131 (1996).

104. J. F. Poyatos, J. I. Cirac, P. Zoller, Phys. Rev. Lett. 77, 4728 (1996).

105. S. Mancini, V. I. Man'ko, P. Tombesi, "Classical-like description of symplectic tomography,"Los Alamos Repot No. quant-ph/9609026.

106. S. Mancini, V. I. Man'ko, P. Tombesi, Europhys. Lett., 37, 79 (1997);

107. V. I. Man'ko and O. V. Man'ko, "Tomography of spin states," Zh. Eksp. Theor. Fiz. (1997, to appare).

108. V. I. Man'ko, "Quantum mechanics and classical probability theory," in: B. Gruber and M. Ramek (eds.), Symmetries in Science IX, Plenum Press, New York (1997), p. 215.

109. E. Schrödinger, Ann. d. Physik, 79, 489 (1926).

110. E. Madelung, Zeits. f. Physik, 40, 332 (1926).

111. Ya. P. Terletskii and A. A. Gusev (eds.), Problems of Causality in Quantum Mechanics, Inostrannaya Literatura, Moscow (1995).

112. S. Wallentowitzand W. Vogel, Phys. Rev. A, 55, 4438 (1997).

113. A. Wünsche, J. Mod. Opt. (1997).

114. L. D. Landau, Z. Physik, 45, 430 (1927).

115. J. von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Springer, Berlin (1932).

116. U. Leonhardt, Phys. Rev. A, 53, 2998 (1996).

117. О. V. Man'ko, "Symplectic tomography of nonclassical states of trapped ion," Preprint IC/96/39, ICYP, Trieste (1996); Los Alamos Report No. quant-ph/9604018; J. Russ. Laser Res., 17, 439 (1996).

118. M. M. Nieto, Phys. Lett. A, 219, 180 (1996).

119. О. V. Man'ko, Phys. Lett. A, 228, 29 (1997).

120. JI. Д. Ландау, E. M. Лифшиц, Квантовая механика, Москва, "НАУКА" (1989).

121. И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов, Обобщенные функции и действия над ними. Выпуск первый, Москва: Добросвет (2007).

122. V. V. Dodonov, О. V. Man'ko, and V. I. Man'ko, Phys. Rev. A, 50, 813 (1994).

123. V. I. Man'ko, G. Marno, E. C. G. Sudarshan, and F. Zaccaria, Phys. Scr., 55, 528 (1997).

124. О. V. Man'ko, Phys. Lett. A, 228, 29 (1997).

125. R. L. de Matos Filho and W. Vogel, Phys. Rev. A, 54, 4560 (1996).

126. Olga Man'ko, V. I. Man'ko, J. Russ. Laser Research, 18, 407 (1997).

127. В. V. Gnedenko, The theory of Probability, Chelsea Publishing Company, New York (1962).

128. C. W. Gardiner, Handbook of Stochastic Methods, Springer, Heidelberg (1985).

129. C. Wetterich, Phys. Rev. E, 56, 2687 (1997).

130. В. В. Додонов, E. В. Курмышев, В. И. Манько, Уточненное соотношение неопределенности и коррелированные когерентные состояния, Теоретико-групповые методы в физике: Тр. Междунар. семинара, Звенигород, 1979. М.:Наука, Т. 1, С.227-232 (1979).

131. С. Е. Shannon, A mathematikal theory of communication, Bell Syst. Techn. J., Vol. 27, N 3. P.379-423; N 4. P.623-656 (1948).

132. JI. Бриллюэн, Наука и теория информации, М.: Физматгиз, 392 (1960).

133. I. I. Hirschman, Amer. J. Math., 79, 152 (1957).

134. Д. А. Бочвар, И. В. Станкевич, А. Л. Чистяков, ДАН СССР, 149, 68 (1963).

135. V. V. Dodonov, Phys. Scr., 82, 038105 (2010).

136. А. А. Власов, Теория многих частиц (1950).

137. С. Т. Беляев, Г. И. Будкер, ДАН СССР, 107, 806 (1956).

138. Ю. Л. Климонтович, ДАН СССР, 87, 927 (1952); Тр. Московского авиационного технологического института, 26 (1955).

139. Ю. Л. Климонтович, ЖЭТФ, 37, 735 (1959).

140. Н. Н. Боголюбов, Проблемы динамической теории в статистической физике, Го-стехиздат (1946).

141. Р. С. Clemmov, A. J. Willson, Proc. Roy. Soc. A 237, 117, (1956); Proc. Cambr. Phil. Soc., 53, 222 (1957).

142. Ю. Jl. Климонтович, ЖЭТФ, 38, 1212 (1960).

143. N. Cufaro-Petroni, C. Dewdney, P. Holland, T. Kyprianidis and J. P. Vigier, Phys. Lett. A 106, 368 (1984).

144. S. de Groot, La transformée de Weyl et la fonction de Wigner: une forme alternative de la mecanique quantique (Les press de l'universite de Montreal), (1974).

145. S. de Groot, W. A. van Leenwen and C. G. Van Weert, Relativistic kinetic theory (Noth Holland, Amsterdam), (1980).

146. P. R. Holland, A. Kyprianidis, Z. Marie and J. P. Vigier, Phys. Rev. A 33, 4380 (1986).

147. О. I. Zavialov, A. M. Malokostov, Los Alam. arXiv: hep-th/9812054, (1998).

148. J. Mourad, Los Alam. arXiv: hep-th/9307135, (1993).

149. C. Dewdney, P. R. Holland, A. Kyprianidis, Z. Marie and J. P. Vigier, Phys. Lett. A 113, 359 (1986).

150. B. M. Галицкий, Б. M. Карнаков, В. И. Коган, Задачи по квантовой механике, Москва (1981).

151. S. Mancini, V. I. Man'ko and P. Tombesi, Los Alam. arXiv: quant-ph/9806035, (1998).

152. Л. Д. Ландау, E. M. Лифшиц, Теоретическая физика T II, Москва, «Наука» (1988).

153. V. N. Chernega, V. I. Man'ko, J. Russ. Laser Res., 29, 43 (2008).

154. A. S. Arkhipov, V. I. Man'ko, J. Russ. Laser Res., 25, 468 (2004).

155. В. Б. Берестецкий, E. M. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Теоретическая физика Т IV, Москва, «Наука» (1989).