Динамика и статистические свойства квантовых систем в представлении фазового пространства тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Манько, Ольга Владимировна

• Манько, Ольга Владимировна
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Манько, Ольга Владимировна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. СЖАТЫЕ КОРРЕЛИРОВАННЫЕ СОСТОЯНИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ

1.1 Одномерный параметрический осциллятор

1.2 Параметрический осциллятор с возбуждением Кронига-Пенни

1.3 Осциллятор с дельта-толчком частоты с учетом затухания

1.4 Параметрический затухающий осциллятор с возбуждением Кронига-Пенни

1.5 Параметрический джозефсоновский контакт

1.6 Многомодовый параметрический осциллятор

1.7 Цепочка осцилляторов

1.8 Сжатые коррелированные состояния цепочки затухающих 60 осцилляторов

1.9 Квантовая цепочка осцилляторов с дельта-толчком частоты

1.10 Сжатые коррелированные состояния системы из двух связанных затухающих осцилляторов с дельта-толчком частоты

ГЛАВА 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ ПО ЧИСЛУ ФОТОНОВ В ЧИСТЫХ И СМЕШАННЫХ СОСТОЯНИЯХ

2.1 Функция распределения вероятности по числу фотонов для одномодового смешанного состояния, задаваемого функцией 75 Вигнера общегауссова типа

2.2 Функция распределения вероятности по числу фотонов в многомодовом гауссовом состоянии

2.3 Функция распределения вероятности по числу фотонов в двухмодовом сжатом коррелированном состоянии

2.4 Функция распределения вероятности по числу фотонов в четных и нечетных когерентных состояниях

2.5 Гауссовы функции Вигнера и полиномы Эрмита

ГЛАВА 3. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ

3.1 Общая схема построения универсальных инвариантов

3.2 Универсальные инварианты параксиальных оптических пучков

3.3 Поведение универсальных инвариантов в неквадратичных 120 средах

3.4 Универсальные инварианты для джозефсоновского контакта

ГЛАВА 4. КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ В ТОМОГРАФИЧЕСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ

Часть I: Спиновая томография

4.1 Матрица плотности и томограммы спиновых систем

4.2 Инвариантная форма спиновой томографии

4.3 Вероятностное представление спиноров

4.4 Примеры томограмм для спина 1/2 и

4.5 Преобразование спиновых томограмм при повороте системы координат в пространстве

4.6 Разложение спиновых томограмм по сферическим функциям

4.7 Томографическая энтропия для томограмм спиновых состояний

Часть II: Симплектическая томография

4.8 Квантовое состояние непрерывных переменных в вероятностном представлении квантовой механики

4.9 Наблюдаемые величины как функции

4.10 Томографический пропагатор

4.11 Квантовые переходы

4.12 Квадратичная система

4.13 Ион в ловушке

4.14 Симплектическая томография иона в ловушке

4.15 Двухмодовые чистые состояния в вероятностном представлении квантовой механики

4.16 Уравнение Паули для томограмм

Часть III: Томография счета фотонов

4.17 Томография счета фотонов одномодовых гауссовых состояний

4.18 Томография счета фотонов многомодовых гауссовых состояний

ГЛАВА 5. ТОМОГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ И ЗВЁЗДОЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

5.1 Функции и операторы

5.2 Символ Вейля

5.3 Звёздочное произведение в-упорядоченных символов

5.4 Наблюдаемые как вероятности

ГЛАВА 6. КЛАССИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В

ТОМОГРАФИЧЕСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ И СВЯЗЬ КВАНТОВОГО И КЛАССИЧЕСКОГО ПОДХОДОВ

6.1 Томография в классической статистической механике

6.2 Неравенства Белла и явление перепутанности состояний

6.3 Томограммы классических и квантовых состояний

6.4 Условие сепарабельности квантовых состояний

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика и статистические свойства квантовых систем в представлении фазового пространства»

Квантовая теория, основанная на уравнении Шредингера для волновой функции [1],[2], а также уравнении фон Неймана для матрицы плотности, введенной в работах [3],[4], позволила объяснить широкий круг физических явлений. В последние два десятилетия появились проблемы, требующие более глубокого понимания квантовой теории. Одной из таких проблем являются попытки сформулировать квантовую теорию наиболее близким образом к формулировке классической теории, предпринимавшиеся с самого начала развития квантовой механики. Так была введена функция Вигнера [5], являющаяся аналогом функции распределения в фазовом пространстве для классической частицы в классической статистической механике. Для этой функции было получено уравнение эволюции [6], похожее на уравнение эволюции классической функции распределения в фазовом пространстве, но содержащее постоянную Планка и всю информацию, полностью эквивалентную информации, содержащейся в уравнении на матрицу плотности. С аналогичными целями были введены и другие представления для матрицы плотности [7]-[11], называемые представлениями фазового пространства и объединяемые общей конструкцией звездочного произведения (см., например, работы [12]-[16]).

В последнее десятилетие появился еще один подход к описанию состояния частицы, названный томографическим подходом [17]-[21] и, как было показано в работах [22],[23], являющийся новым вариантом метода звездочного квантования, связанного с представлением фазового пространства. Теория томографического представления квантовых состояний развивалась из способа реконструкции функции Вигнера, исходя из измеряемой оптической томограммы, предложенного в работах [24],[25] и реализованного экспериментально для состояний фотона в работах [26],[27]. Важными состояниями фотона являются так называемые сжатые состояния [28]-[30], обладающие характерной фотонной статистикой, привлекшие к себе внимание после работы [31] в связи с задачей о квантовом пределе сверхточных измерений (см., например, работы [32]-[37]). Анализ квантовых состояний и их эволюции связан с анализом интегралов движения [38],[39], в частности, с интегралами движения, зависящими от времени явно, как квадратичными по операторам координаты и импульса [40], так и линейными [41]-[48]. Квантовые системы обладают также универсальными инвариантами аналогами классических инвариантов Пуанкаре-Картана) [49],[50], теория которых развита и применена в работах [51]-[55]. Диссертация посвящена тем новым и актуальным аспектам квантовой теории, рассматриваемым в представлении фазового пространства, которые связаны с использованием и применением зависящих от времени интегралов движения в моделях, описываемых нестационарными гамильтонианами, а также обсуждению томографического подхода и явления запутанности квантовых состояний.

Цель диссертационной работы теоретически исследовать сжатые коррелированные состояния различных параметрических осцилляторных моделей, обсудить статистические свойства и функции распределения вероятностей по числу фотонов в различных состояниях электромагнитного поля, найти универсальные инварианты параксиальных оптических пучков, обсудив их сохранение по мере распространения пучков, рассмотреть динамику и статистические свойства квантовых систем в представлении фазового пространства (томографическое представление квантовой механики), обсудив как непрерывный случай (симплектическая томография), так и дискретный случай (метод спиновой томографии и томографии счета фотонов).

Используемый подход основан на применении метода интегралов движения для квадратичных систем. Квадратичными квантовыми системами мы называем системы, для которых гамильтониан является произвольной нестационарной квадратичной формой по операторам координат и импульсов. Число степеней свободы может быть как конечным, так и бесконечным. Интегралом движения называется такой оператор, действующий в пространстве состояний физической системы, среднее значение которого не меняется в процессе эволюции системы. Задача нахождения всех независимых интегралов движения системы эквивалентна нахождению оператора эволюции системы, удовлетворяющего уравнению Шредингера. Квадратичный интеграл движения для классического осциллятора с переменной частотой был найден в работе [56] и заново получен для квантового параметрического осциллятора в [40]. Теория зависящих от времени интегралов движения для квантовых систем была предложена и развита в работах [40]-[47],[57], в которых построены линейные и квадратичные интегралы движения для квадратичных систем. Эти интегралы движения в картине Шредингера явно зависят от времени.

Осциллятор с постоянной частотой, возбуждаемый нестационарной силой, рассматривался в работах Фейнмана [58] и Швингера [59]. Одномерный квантовый осциллятор с переменной частотой исследовался в работе Хусими [60], где получены точное решение уравнений Шредингера, функция Грина и матричные элементы оператора эволюции в виде рядов. В книге [47] приведены все линейные интегралы движения параметрического осциллятора, построены когерентные состояния, и с их помощью определены амплитуды и вероятности переходов между энергетическими уровнями. Иным способом эта задача решалась в работах [61]-[63]. Осциллятор с зависящей от времени частотой рассматривался в работах [41],[64]-[74]. Впервые возможность получить путем параметрической раскачки состояния осциллятора с дисперсиями, меньшими чем в основном состоянии, подробно исследована в работах [75],[76].

Связь максимальных коэффициентов сжатия и корреляции с энергиями квантовых флуктуаций изучалась в работе [77]. Эффект сжатия в системе двух связанных параметрических осцилляторов рассматривался в работах [78]-[80]. Задача о многомерной квантовой системе, описываемой общей квадратичной формой с линейными членами по операторам координат и импульсов с зависящими от времени коэффициентами этой формы, подробно изучалась во многих работах (см., например, [47]). Эта задача важна в таких эффектах, как нестационарный эффект Казимира (см., например, [81]) и поведение атомов в нестационарных полях [82]). Решение квантовой задачи полностью задается решением классической задачи, выражаемым действительной симплектической матрицей размерности 2^x2^, где N - число степеней свободы, а также действительным А^-мерным вектором, отвечающим сдвигу в неоднородном симплектическом преобразовании. Именно эти параметры задают 2И независимых, линейных по операторам координат и импульсов, интегралов движения. Однако, параметры неоднородного симплектического преобразования (или классическую траекторию параметрического многомерного осциллятора) находить в явном виде не всегда удается. Специфика физически интересных квантовых систем, моделируемых многомерным осциллятором, как раз заключается в том, что для них можно решить классическую задачу до конца, тем самым получая явно ответ и для квантовой задачи. Рассмотрение таких систем является одной из целей диссертационной работы и ей посвящена первая глава диссертации. Интересными объектами являются квантовые цепочки осцилляторов с зависящими от времени параметрами, рассмотренные в данной диссертационной работе [83]-[92]. Надо отметить, что различные виды осцилляторных цепочек рассматривались также в работах [93]-[101], где кроме того обсуждались возможности моделирования данными системами различных физических процессов.

В связи с изучением новых возможностей генерации неклассического света, одной из которых является параметрическое возбуждение системы, представляет интерес изучение процессов, происходящих при параметрическом воздействии на осциллятор (моделирующий джозефсоновский контакт, ион в ловушке) и цепочку осцилляторов (моделирующих систему связанных джозефсоновских контактов и систему ионов). Кроме того представляет интерес рассмотреть специальные виды параметрического воздействия в виде очень коротких по времени импульсов, аппроксимируемых ¿-зависимостью частот от времени. Такая зависимость, рассмотренная в данной диссертационной работе, позволяет точно решить классические уравнения движения и явно получить параметры сжатия и корреляции в системе связанных квантовых осцилляторов. Движение частицы в одном и нескольких дельта-потенциалах изучалось в работах [102]-[108]. Параметрический осциллятор, подвергнутый периодическому воздействию в виде коротких импульсов, моделируемых серией ¿-толчков частоты (параметрическая раскачка типа Кронига-Пенни) рассматривался в работе [109]. Короткие импульсы в виде временных ¿-функций обсуждались также в задачах о двухмодовом сжатии и квантовом хаосе [78],[110]. На невозможность появления эффекта сжатия для свободно движущейся частицы при одном ¿-толчке частоты указано в работе [111]. В работах [112],[113] показано, что ион в ловушке Паула описывается моделью осциллятора с зависящей от времени частотой. В работе [114] рассматривалась возможность использования джозефсоновского перехода [115] (моделируемого квантовым колебательным контуром) для генерации сжатого электромагнитного излучения. Генерация сжатых коррелированных состояний квантового .контура при помощи параметрической раскачки путем изменения плазменной частоты перехода была предложена в работах [116]-[120]. В связи с возможными приложениями к описанию квантовых колебательных контуров конечной добротности, моделирующих джозефсоновские контакты с неравным нулю омическим сопротивлением, интересно также рассмотреть затухание в квантовых системах.

В диссертационной работе затухание описано с использованием модели Калдирола-Канаи. Гамильтониан квантового затухающего осциллятора впервые был написан независимо друг от друга Калдиролой [121] в 1941 г. и Канаи [122] в 1948 г. С тех пор появилось много работ, в которых изучается и используется эта модель [85],[123]-[145]. В работах [92],[146] рассматривался квантовый колебательный контур, описываемый аналогом гамильтониана Калдрола-Канаи. Параметрические осцилляторные цепочки с учетом затухания рассматривались в работах [84],[89]. Одномерный затухающий осциллятор с дельта-толчком частоты в режиме сильного и слабого затухания рассматривался в работе [147], где кроме того было установлено, что кратковременное воздействие в виде одного дельта-толчка частоты, действующее на свободно движущуюся частицу с затуханием не может вызвать эффект сжатия, как и в случае без затухания [111]. Полученные в работе [147] результаты были распространены на двумерный случай в работе [148]. Параметрический затухающий осциллятор, подвергнутый периодическому воздействию в виде коротких импульсов, моделируемых серией 5-толчков частоты (параметрическая раскачка типа Кронига-Пенни с учетом затухания), рассматривался в работах [149],[150].

В последнее время возник интерес к изучению различных неклассических состояний света в связи с проблемой создания гравитационных антенн, развитием теории неразрушающих квантовых измерений и теории квантовой информации и методов квантовой криптографии, изучением новых возможностей генерации неклассического света. Большое внимание стало уделяться анализу статистических свойств неклассического электромагнитного поля, рассмотрению многомерных функций распределения фотонов в многофотонных неклассических состояниях электромагнитного поля, поэтому в диссертации подробно рассмотрены различные неклассические состояния квадратичных квантовых систем.

Когерентные состояния как термин и понятие были введены Глаубе-ром в 1963 г. [9] при рассмотрении состояний осцилляторов электромагнитного поля и изучении их статистических свойств. По существу когерентные состояния квантового осциллятора электромагнитного поля оказались совпадающими с гауссовыми волновыми пакетами в координатном представлении, изучавшимися для квантового осциллятора Шредингером в связи с исследованием связи квантового осциллятора с классическим. В последующие годы появилось большое количество работ по изучению когерентных состояний, их связи с квантовыми интегралами движения и динамическими симметриями и применению к различным физическим процессам [43],[44],[151]-[157]. Квазиклассическое приближение изложено в работе [158]. Волновые пакеты и траекторно-когерентные состояния рассмотрены в работах [159]-[161]. Когерентные состояния многомерных осцилляторов изучались в работах [162]-[165]. Различные релятивистские уравнения, основанные, в частности, на осцилляторных моделях и моделях волчков представлены в работах [1бб]-[170]. Эти модели обладают симметриями. Симметрии простейших квантовых систем найдены в работах [171]-[173]. Скрытая симметрия n-мерного атома водорода обнаружена в работе [174]. Подход к изучению свойств квантовых систем, основанный на их симмет-риях, развивался в работах [175]-[178]. Свойства когерентных состояний и их применений обсуждены в работах [179]-[184].

Когерентные состояния обладают замечательным свойством: они минимизируют соотношение неопределенностей Гейзенберга [185],[186] для канонически-сопряженных переменных таким образом, что обезразмеренные стандартные отклонения этих переменных равны и минимальны. Почти сразу после введения когерентных состояний появились их различные обобщения. Описание различных неклассических состояний света дано в работе [187], а подробный обзор неклассических состояний, являющихся суперпозициями когерентных состояний, приведен в работе [188]. Результаты и обзор по суперпуассоновским статистикам и сжатым состояниям были представлены в публикациях [189]-[199]. Сжатые состояния отличаются от глауберовских когерентных состояний тем, что обезразмеренные стандартные отклонения в них не равны, а могут сильно отличаться. Исследованию таких состояний посвящены работы [200],[201]. В силу специфических свойств эти состояния оказались полезными при решении конкретных физических вопросов, связанных в первую очередь с проблемой регистрации гравитационных волн, с различными задачами теории электромагнитных волн и квантовой оптики [202]-[208]. Эффект сжатия в степенях свободы, связанных с поляризацией электромагнитного поля, изучался в работах [209]-[215]. В работе [216] выдвинута концепция нового типа квантовых состояний - коррелированных когерентных состояний, включающая в себя как частные случаи обычные (глауберовские) когерентные состояния и сжатые состояния.

Коррелированные состояния минимизируют соотношение неопределенностей Шредингера-Робертсона [217],[218] и описываются двумя параметрами (коэффициентом сжатия и коэффициентом корреляции). Обобщенные коррелированные состояния обсуждались в работе [219], где рассматривалась их связь с симплектической группой симметрии и многомодо-выми соотношениями неопределенностей. Четные и нечетные когерентные состояния были введены в работах [47],[220]. В этих работах термин "четные и нечетные когерентные состояния "был дан четным и нечетным суперпозициям двух гауссовых пакетов, описывающих когерентные состояния. В работе [187] данные состояния обсуждались как подкласс более общего множества неклассических состояний. Экспериментальная схема получения четных и нечетных состояний иона в ловушке была предложена в работе [221]. Эта схема дает возможность изучения явления квантовой интерференции со значительно более высокой стабильностью, нежели реализация четных и нечетных когерентных состояний в квантовой оптике. Кроме того, четные и нечетные когерентные состояния могут использоваться как альтернатива сжатым состояниям света в гравитационно-волновых детекторах [222]. Для больших амплитуд в суперпозиции двух когерентных состояний эти состояния и их модификации были интерпретированы как "состояния шредингеровских котов"в работе [223], где рассматривалось их получение по отношению к распространению изначально когерентного света в среде Керра. В работе [224] отмечено, что состояния шредингеровских котов являются специфическим случаем обобщенных когерентных состояний [225],[226].

Изучение статистических свойств света в различных неклассических состояниях до сих пор является интенсивно исследуемой проблемой и ей посвящена вторая глава диссертации. Статистика света в когерентном состоянии [227] является статистикой Пуассона, поэтому эти состояния считаются наиболее близкими к классическим и часто называются классическими. Неклассическими состояниями считаются такие состояния света, статистики которых не являются пуассоновскими. Такими состояниями являются сжатые когерентные состояния [206], сжатые коррелированные состояния [216], четные и нечетные когерентные состояния [220]. Функции распределения вероятностей по числу фотонов в сжатых когерентных, сжатых коррелированных, четных и нечетных когерентных состояниях являются непуассоновскими. Необходимо уточнить, что в отличие от функции распределения вероятностей по числу фотонов в четных и нечетных когерентных состояниях [220], функция распределения вероятностей по числу фотонов в состоянии, предложенном в работе [223], является пуассонов-ской. В работе [228] указано на осцилляции функции распределения вероятностей по числу фотонов в коррелированных состояниях. Этот факт для сжатых состояний был установлен в работах [229],[230] и в ряде других работ, и вызвал большой поток публикаций по статистическим свойствам сжатого света. В последние годы статистические свойства четных и нечетных когерентных состояний являлись предметом экспериментальных и теоретических исследований и до сих пор остаются предметом обсуждения [231]-[240]. Многомодовые четные и нечетные когерентные состояния рассматривались в работе [241], где была получена в явном виде формула для функции распределения вероятностей по числу фотонов и функция Вигнера. В работе [242] сконструированы многомодовые состояния шре-дингеровских котов для многомодовых параметрических осцилляторов.

Проблема нахождения функции распределения вероятностей по числу фотонов в смешанном гауссовом квантовом состоянии одномодового электромагнитного поля, которое описывается функцией Вигнера общегауссова типа, рассматривалась во многих работах [243]-[246]. В работах [247]-[251] рассмотрены функции распределения вероятностей по числу фотонов в некоторых частных случаях гауссовых состояний квантовых систем. В основном в этих работах явные выражения для функции распределения вероятностей по числу фотонов получены в виде бесконечных рядов. Наиболее простое выражение для функции распределения вероятностей по числу фотонов в виде конечной суммы из произведений полиномов Ла-герра получено в работе [245]. Функция распределения вероятностей по числу фотонов для одномодового смешанного состояния света, задаваемого функцией Вигнера общегауссова типа, найдена в работе [252], в которой показано, что выражения для функции распределения вероятностей по числу фотонов в моде, полученные в виде рядов в статьях [243]-[246], могут быть существенно упрощены, если учесть связь между этими рядами и полиномами Эрмита от двух переменных с равными индексами. Кроме того в работе [252] получено явное выражение для функции распределения вероятностей по числу фотонов в одномодовом смешанном гауссовом состоянии света через полиномы Эрмита от двух переменных с равными индексами, показано, что выражения для функции распределения вероятностей по числу фотонов, полученные ранее для когерентного света [227], сжатого света [32],[200],[203],[205], сжатого коррелированного света [216], состояния термодинамического равновесия и сжатого температурного состояния [246]-[250], являются частными случаями выражения для функции распределения вероятностей по числу фотонов, полученного в работе [252], где функция распределения вероятностей по числу фотонов выражена через пять, имеющих ясный физический смысл параметров, а именно, через две дисперсии, ковариацию и два средних значения квадратурных компонент фотонов. Кроме того, в работе [252] было проведено исследование двух комбинаций этих параметров, а именно энергии квантовых флукту-аций и параметра смешанности квантового состояния, который отличает смешанное квантовое состояние от чистого квантового состояния. Найдено явное выражение для полиномов Эрмита от двух переменных с равными индексами и исследованы различные частные случаи этого выражения. Полученные математические формулы для полиномов Эрмита использованы для нахождения функций распределения вероятностей по числу фотонов в частных случаях одномодовых смешанных состояний света, задаваемых функциями Вигнера общегауссова типа, а именно, в случае состояния термодинамического равновесия и в случае состояния термодинамического равновесия, подвергнутого сдвигу. В работе [252] исследованы различные частные случаи чистых квантовых состояний одномодового света (сжатое вакуумное состояние, сжатое коррелированное состояние и когерентное состояние), обсуждены свойства функции распределения вероятностей по числу фотонов в этих состояниях, показаны отличия в свойствах функций распределения вероятностей по числу фотонов в смешанном состоянии и в чистом состоянии, исследовано влияние явления сжатия на вероятности наблюдения четного и нечетного числа фотонов и на осциллирующее поведение функции распределения вероятностей по числу фотонов как в чистом, так и в смешанном состоянии, получена асимптотическая формула для функции вероятностей по числу фотонов в случае больших значений числа фотонов. В работе [253] исследовано поведение функции распределения вероятностей по числу фотонов в сжатом коррелированном состоянии света при различных температурах, коэффициентах сжатия и корреляции, показано, что осцилляции функции распределения вероятностей по числу фотонов в сжатых коррелированных состояниях ослабевают с ростом температуры.

В квантовой механике хорошо развиты методы исследования многомо-довых гауссовых состояний, основанные на теории линейных канонических преобразований [254]-[259] и квантовых интегралов движения [41]-[43],[47],[48]. В работах [260]-[262] при помощи теории линейных канонических преобразований и квантовых интегралов движения найдены матричные элементы произвольного гауссова оператора плотности в дискретном базисе как функции от полиномов Эрмита многих переменных. Функция распределения вероятностей по числу фотонов является диагональным матричным элементом матрицы плотности в фоковском базисе, поэтому в работе [263] функция распределения вероятностей по числу фотонов в мно-гомодовом гауссовом состоянии общего типа выражена через многомерные полиномы Эрмита с равными парами индексов, проведена параметризация гауссовых состояний через коэффициенты симплектического канонического преобразования квадратурных компонент и исследована разница между функциями распределения вероятностей по числу фотонов в смешанных и чистых многомодовых состояниях. В случае А^-модового смешанного гауссова состояния света вся информация о сжатии в модах, статистической зависимости между модами, влиянии теплового шума содержится в действительных параметрах. Физический смысл этих параметров зависит от представления оператора плотности, выбранного при рассмотрении проблемы. В представлении Вигнера все параметры имеют наиболее ясный физический смысл, а именно, 2Ы из них - это средние значения квадратурных компонент, а 2№+ЛГ параметров выражаются через матричные элементы матрицы дисперсий квадратурных компонент [263]-[265].

Двухмодовый свет характеризуется большим числом параметров, чем одномодовый, что связано со статистическими свойствами четырех, а не двух квадратурных компонент. Статистические свойства сжатого двухмо-дового света обсуждались в работах [266] ,[267]. Функция распределения вероятностей по числу фотонов в двухмодовом сжатом состоянии рассматривалась в случае специального выбора параметров в работах [268]-[270]. Функция распределения вероятностей по числу фотонов в двухмодовом состоянии сжатого вакуума исследовалась в работе [271], и для нее получено явное выражение как через полиномы Эрмита, так и через полиномы Лежандра, исследована ее зависимость от коэффициентов сжатия и углов поворота в фазовом пространстве квадратурных компонент мод. В работах [272]-[274] исследованы статистические свойства двухмодового сжатого коррелированного состояния света, описываемого гауссовой волновой функцией, зависящей в явном виде от наиболее естественных и простых параметров. Функция распределения вероятностей по числу фотонов в двухмодовом сжатом коррелированном состоянии выражена в явном виде как через полиномы Эрмита от двух переменных, так и через полиномы Эрмита от четырех переменных, зависящих в обоих случаях от двух параметров сжатия, относительной фазы между двумя осцилляторами, их ориентации и четырехмерного сдвига в фазовом пространстве квадратурных компонент. Были продемонстрированы осцилляции функции распределения вероятностей по числу фотонов в двумерном сжатом коррелированном состоянии. Кроме того, получена формула для функции Вигнера двухмодо-вого сжатого коррелированного состояния и вычислены средние значения и дисперсии числа фотонов в модах. В работе [274] функция распределения вероятностей по числу фотонов двухмодового сжатого коррелированного состояния усреднена по одной из мод, усредненная функция распределения вероятностей по числу фотонов выражена через двумерные полиномы Эрмита, вычислен фактор Фано и исследован тип статистики фотонов.

В работах [274]-[276] исследованы статистические свойства неклассических состояний, в том числе четных и нечетных когерентных состояний, приведены их функции Вигнера и функции распределения вероятностей по числу фотонов. Функции распределения вероятностей по числу фотонов в четных и нечетных когерентных состояниях усреднены по одной из мод и найдены усредненные функции распределения вероятностей по числу фотонов, приведены дисперсии, средние числа фотонов в модах и факторы Фано в четных и нечетных когерентных состояниях, показано, что функция распределения вероятностей по числу фотонов в четном когерентном состоянии всегда является суперпуассоновской, а в нечетном когерентном состоянии - субпуассоновской.

Интересным примером применения теории нестационарных квадратичных систем является рассмотрение распространения оптических параксиальных пучков в линейных оптических системах. Теория оптических пучков в параксиальном приближении обладает двумя интересными свойствами. Первое свойство - это существование математической аналогии между квантово-механическим уравнением Шредингера и параболическим уравнением Леонтовича-Фока [277]-[279], являющимся аппроксимацией волнового уравнения в параксиальном приближении. Движение параксиальных атомных пучков в поле излучения изучено в рамках параболического уравнения в работах [280],[281]. Второе свойство - это аналогия между эволюцией параксиальных оптических пучков, распространяющихся в линейных оптических системах, и квантовыми системами, описываемыми квадратичными по операторам координат и импульсов гамильтонианами. В обоих случаях эволюция систем может быть описана при помощи симплектиче-ских преобразований [48],[50],[282]. Присутствие симплектической структуры приводит к существованию в обоих случаях величин, которые мы называем универсальными инвариантами. Универсальные инварианты сохраняются по мере эволюции квантовой системы, или по мере распространения пучка вдоль оптической оси и не зависят от конкретных коэффициентов квадратичной формы в квантовом гамильтониане (для квантовых систем) или от параметров линейной оптической системы. Различные универсальные инварианты находились независимо многими авторами в квантовой механике [283],[284], в теории пучков классических частиц [285]-[288], в теории оптических пучков [289]-[293]. Наиболее общая теория универсальных инвариантов развита в работе [49], где показано, что для некоторых классов гамильтонианов, а именно, для любых неоднородных многомерных нестационарных квадратичных форм от операторов, коммутаторы и антикоммутаторы между которыми являются с-числами, существуют универсальные инварианты, зависящие от начального состояния и конкретной алгебры (т. е. вида коммутационных соотношений), но совершенно не зависящие от того, чему равны коэффициенты соответствующих квадратичных или линейных форм.

В работе [49] получены для произвольных систем операторов неравенства, обобщающие соотношения неопределенностей, некоторые из которых имеют непосредственное отношение к введенным универсальным инвариантам. В связи с этим, необходимо отметить, что для квантовых дисперсий операторов координат и импульсов систем, рассмотренных в первой главе диссертации (квантовый, параметрический осциллятор и параметрические квантовые цепочки осцилляторов), выполняются некоторые соотношения неопределеннностей аналогичные полученным в работе [49]. В работах [51]-[55] общая теория применена к параксиальным оптическим пучкам и получены универсальные инварианты параксиальных оптических пучков, а также исследовано их сохранение в условиях неквадратичности среды. В третьей главе диссертации универсальные инварианты получены для двух систем: джозефсоновских контактов (рассмотренных в первой главе), моделируемых квантовым колебательным контуром [92],[116], и оптических пучков, распространяющихся в световодах (параксиальное приближение Леонтовича-Фока) [51],[52]. Кроме того обсужден вопрос о сохранении введенных универсальных инвариантов в случае неквадратичности среды и в случае невозможности моделирования джозефсоновского контакта квадратичной системой; показано как использовать данные универсальные инварианты для проверки квадратичности среды и исследования области применимости аппроксимации джозефсоновского контакта квантовым колебательным контуром.

В квантовой механике любая система всегда обладает неустранимыми квантовыми флуктуациями, которые невозможно описать совместным распределением вероятностей координаты и импульса в связи с принципом неопределенности. Как следствие в квантовой механике по отношению к классической механике понятие "состояние системы "радикально изменено. В классической статистической механике функция распределения вероятностей в фазовом пространстве является основным инструментом для описания состояния частицы. В стандартной квантовой механике чистое состояние описывается комплексной волновой функцией [2]. Смешанные квантовые состояния описываются эрмитовой матрицей плотности [3],[4]. Квантовая механика принимает во внимание соотношения неопределенностей, найденное Гейзенбергом [185], Шредингером [217] и Робертсоном [218]. Из-за соотношения неопределенностей координата и импульс не могут быть измерены одновременно. Следовательно, классически-подобная траектория частицы в фазовом пространстве не определена, и совместное распределение вероятностей координаты и импульса не существует для квантовой системы. Однако имеет место много попыток перевода квантовой картины на классический язык.

И. Феньеш [294] предлагал теоретико-вероятностное истолкование квантовой механики и показал, что некоторые процессы, рассматриваемые в квантовой механике, являются по сути марковскими процессами специального вида. Дж. Мойал [6] ввел квантовое эволюционное уравнение для функции квазираспределения, и это уравнение похоже на классическое стохастическое уравнение. Функция, которая удовлетворяет уравнению Мой-ала, является функцией квазирасиределения, которая была введена Вигне-ром [5]. Она аналогична классической функции распределения, но может принимать отрицательные значения. Данное свойство указывает на то, что эта функция не может быть функцией распределения вероятностей, которая должна быть неотрицательной функцией. Другие квазираспределения были предложены в работах [7]-[10],[295],[296], они имитируют различные аспекты классической функции распределения. Все эти функции зависят от переменных дири нормированы, а для отдельных квантовых состояний (например, осциллятора при температуре Т) похожи на классические функции распределения в фазовом пространстве. Однако все эти функции не являются распределениями вероятностей, что очевидно, поскольку соотношение неопределенностей координаты и импульса не позволяет измерить одновременно эти сопряженные величины, и поэтому для квантовой системы (например, квантового осциллятора) не существует функции распределения вероятностей в фазовом пространстве.

В этой связи функции Вигнера, Глаубера-Сударшана, Хусими-Кано, задающие полностью квантовое состояние и связанные друг с другом и матрицей плотности в координатном представлении обратимыми интегральными преобразованиями, названы квазираспределениями. Как квазивероятность Вигнера [5],'так и квазивероятность Глаубера-Сударшана [9],[10], задающие квантовое состояние, хотя и похожи на положительные функции распределения для некоторых квантовых состояний, но они принимают отрицательные значения для многих квантовых состояний, и тем самым не описывают вероятность в обычном ее определении. Функция квазивероятности Хусими-Кано [8],[295], зависящая от двух переменных д и р, нормирована и принимает только положительные значения. В этой связи она могла бы интерпретироваться как распределение вероятностей, однако эта функция не является функцией распределения в фазовом пространстве системы, поскольку ее аргументы д и р не являются одновременно измеримыми величинами (координатой и импульсом) в силу соотношения неопределенностей. Бом предложил в работе [297] подход со скрытыми переменными. В качестве аналога классической функции распределения Д. И. Блохинцев предложил ввести смешанную матрицу плотности [7].

Различные попытки дать классическую интерпретацию квантового состояния и его эволюции были предприняты в работах [297]-[299]. Недавно выяснилось, что можно описывать квантовые состояния системы не только квазивероятностями, но и настоящими функциями распределения вероятностей (см. обзор [300]). Измеримыми величинами в квантовой механике являются величины типа координаты, импульса, энергии. Но возможна и такая физическая постановка вопроса: как измерить само квантовое состояние системы (т. е. функцию Вигнера, матрицу плотности)? При решении этого вопроса удалось показать, что можно задавать состояние квантовой системы не только квазираспределениями, например, функцией Вигнера, но и настоящими распределениями вероятностей. Наряду со случайной физической величиной они зависят также от дополнительных параметров, описывающих разные системы отсчета в классическом фазовом пространстве системы.

В последние годы задача измерения квантового состояния интенсивно исследовалась теоретически и экспериментально. Так в работах [25],[24] найдена связь функции Вигнера [5] с измеримым распределением вероятностей для гомодинной наблюдаемой, являющейся повернутой на заданный угол координатой в фазовом пространстве системы. Функция Вигнера одномерной системы была выражена через эту измеримую нормированную положительную функцию распределения с помощью преобразования Радона [25] (с интегрированием по углу поворота в фазовом пространстве), используемого в обычной медицинской томографии. В этой связи схема измерений квантового состояния для непрерывной наблюдаемой типа координаты или импульса была названа схемой оптической томографии, и эта схема была применена в экспериментах по реконструкции квантового состояния моды электромагнитного излучения [26] и в молекулярной спектроскопии [301]. Эксперименты по воспроизводимому измерению сжатого вакуумного состояния света, генерируемого оптическим параметрическим осциллятором были выполнены в работе [27]. Резонансная флуоресценция была предложена для изменения квантового состояния иона в работе [302].

Схема оптической томографии была модифицирована в работах [17]-[20],[303] в схему, в которой используется для реконструкции квантового состояния нормированная и положительная функция распределения для непрерывной наблюдаемой, являющейся координатой, измеренной не в одной системе отсчета в фазовом пространстве, а в ансамбле систем отсчета, связанных друг с другом линейными преобразованиями поворота и изменения масштаба. Реконструкция однофотонного фоковского состояния была реализована экспериментально в работе [304].

Обратимое отображение функции Вигнера квантового состояния на положительное маргинальное распределение вероятностей для непрерывных наблюдаемых величин (координаты и импульса) было использовано в работах [17]-[20],[305], чтобы дать формулировку квантовой динамики как классического статистического процесса. С этой точки зрения, подход Мой-ала [6] к квантовой эволюции как статистическому процессу был усовершенствован в том смысле, что вместо функции квазираспределения Мой-ала (функции Вигнера), которая может принимать отрицательные значения, было введено положительное распределение вероятностей измеримых переменных, описывающее произвольное квантовое состояние и его эволюцию. Тогда понятие квантового состояния может быть похожим на понятие состояния частицы, используемое в рамках классической статистической механики.

По существу томографические схемы для измерения квантового состояния используют новое представление в квантовой механике, отличающееся от представлений Вигнера [5], Глаубера-Сударшана [9],[10] и Хусими-Кано [8],[295] тем, что состоянию системы в этом представлении взаимо-одназначно сопоставляется не квазираспределение, а настоящая функция распределения вероятностей измеримой физической величины. Данный подход к проблеме описания квантово-механических систем был назван "вероятностным представлением11 квантовой механики, и было показано, что в рамках нового "вероятностного представления "квантовой механики существует функция распределения вероятностей, названная томограммой, такая, что квантовое состояние может быть описано с помощью положительного измеримого распределения вероятностей (томограммы), как в классической статистической механике. Этот результат получен благодаря тому, что в дополнение к рассмотрению измеримой физической наблюдаемой в фиксированной системе отсчета в фазовом пространстве были рассмотрены различные системы отсчета в фазовом пространстве. Дополнительные параметры, различающие разные системы отсчета, заменяют информацию, закодированную фазой волновой функции.

Схема оптической томографии сформулирована в инвариантной, независящей от используемого квантовомеханического представления, форме в работе [306], в которой через измеряемое распределение вероятностей получено выражение для оператора плотности. Инвариантное выражение для оператора плотности в схеме симплектической томографии дано в работе [19] и использовано в работе [17] для получения классически-подобного уравнения эволюции для квантового состояния, описываемого положительной томограммой (распределением вероятности непрерывной наблюдаемой) эквивалентного уравнению Шредингера для волновой функции. В рамках введенной классической формулировки квантовой механики рассмотрены различные квантовые системы, такие как свободное движение квантовой частицы [20], квантовый гармонический осциллятор [303],[305], ион в ловушке Паула и Пеннинга [307], процесс вынужденного комбинационного рассеяния [276], процесс рассеяния Мандельштамма-Бриллюэна [308],[309]. Возможные схемы симплектической томографии для измерения состояний ионов в ловушках Паула и Пеннинга обсуждены в работах [310]-[315]. В работах [311],[314] рассмотрены нелинейные когерентные состояния иона в ловушке и найдены томограммы данных состояний. В работе [221] показано, что ион в ловушке Паула, освещенный бихроматическим лазерным светом, находится в стабильном состоянии, являющимся суперпозицией двух когерентных состояний, представляющей четное и нечетное когерентное состояние (состояние шредингеровского кота). Состояния шредингеровского кота иона в ловушке рассмотрены в работах [307],[314]. Томографический пропагатор квантовых систем введен в работах [21],[316]-[319]. В качестве примеров рассмотрены процессы, моделируемые квадратичными квантовыми системами. Например, получены пропагаторы для процесса вынужденного комбинационного рассеяния [319], для иона в ловушке Паула [317]-[319] и для иона в ловушке Пеннинга [317],[319]. Реконструкция четных и нечетных когерентных состояний [220] иона в ловушке [320] обсуждалась в работах [221],[321],[322]. Такие состояния найдены экспериментально для иона в ловушке [323] и для моды электромагнитного поля [324].

В диссертации рассмотрена в вероятностном представлении квантовой механики такая чисто квантовая наблюдаемая величина как спин. Для этой квантовой величины также важна физическая задача — как измерить квантовое состояние спиновой степени свободы? Задача о спине связана с описанием поведения спинора, она отличается от задачи о квантовой системе с одной степенью свободы, описываемой непрерывной наблюдаемой, например, квантового гармонического осциллятора [303],[305]. Попытка ввести описание состояний дискретной квантовой наблюдаемой, типа спина, с помощью классического распределения сделана в работе [325]. Положительная функция распределения вероятностей, описывающая произвольное состояние спина, введена в работах [326]-[328]. Схема спиновой томографии в неинвариантной форме (т. е. связь спиновой матрицы плотности с тограммой состояния произвольного спина) кратко обсуждалась в работах [326],[327], где для произвольного спина предложена схема измерения его квантового состояния аналогичная схеме симплектической томографии, используемой для измерения квантовых состояний, связанных с непрерывными наблюдаемыми типа координаты и импульса, и приведен вывод инвариантной формы для оператора плотности спинового состояния через интеграл по углам, задающим ось квантования, от произведения измеримой вероятности значений проекции спина на выделенное направление и шаровых функций, суммированных с коэффициентами Клебша-Гордана.

При обсуждении квантовой задачи о спине в вероятностном представлении квантовой механики в работах [326]-[328] использован тот факт, что диагональные элементы матрицы плотности квантового состояния произвольного спина являются неотрицательными числами, и их сумма равна единице. Физический смысл этих элементов состоит в том, что они являются вероятностями обнаружить значение проекции спина на фиксированную ось в пространстве. Поэтому диагональные элементы матрицы плотности квантового состояния спина были отождествлены со спиновыми томограммами, которые зависят от значений проекции спина частицы на фиксированную ось в пространстве и от углов Эйлера как параметров. В этих работах получена формула, с помощью которой, если известна спиновая томограмма квантового состояния частицы с произвольным спином, можно восстановить матрицу плотности данного состояния спина. Томограммы спиновых состояний обсуждались также в работах [329]-[331]. В работе [329] найдено уравнение эволюции для спиновой томограммы, являющееся аналогом уравнения Паули для частицы со спином 1/2. Поскольку квантовые состояния спина связаны с неприводимыми представлениями группы вращений [332]-[334], отображение, которое было получено в работах [326]-[328], дает возможность сформулировать теорию представлений этой группы, используя положительные распределения вероятностей. В работе [335] введена новая формулировка построения неприводимых представлений группы вращений, роль спиноров в которой играют положительные функции распределения проекции спина, параметризованные с помощью координат точек на сфере единичного радиуса (семейство функций распределения). В этой работе также приведены примеры распределений вероятностей для известных состояний со спином 1/2 и 1. Возможность восстановления матрицы плотности стационарного состояния квантового волчка, если известно измеримое маргинальное распределение симметричного волчка, продемонстрирована в работе [336], где приведены примеры томограмм для волчка. Томографическая схема для изучения состояния двух спинов предложена в работах [336],[337]. В работе [338] получена инвариантная форма спиновой томографии и томографическая схема развита для состояний кварков в работах [338],[339]. Томография поляризационных состояний света рассматривалась в публикациях [340],[341].

Томограммы квантового состояния являются стандартными функциями распределения вероятностей, следовательно, все характеристики функций распределения вероятностей, известные в теории вероятности, могут быть исследованы и для томограмм квантовых состояний. Наиболее важными характеристиками, связанными с функциями распределения вероятностей, являются энтропия и информация [342]. Связь между симплек-тическими томограммами и энтропией исследована в работах [21],[343]. В работе [344],[345] введены понятия томографической энтропии и информации. Томографическая энтропия была исследована для спиновых состояний, как в случае спинового состояния одной частицы, так и в случае состояния нескольких частиц. В классической теории вероятности понятие энтропии Шэннона [346] является основополагающим. В квантовой механике фон Нейман [4] ввел понятие энтропии, связав ее с оператором плотности (смотри, например [347]). В работе [344] исследована связь между томографической энтропией, информацией Шэннона и энтропией фон Неймана. В работах [348],[349] введены другие понятия классико-подобной энтропии в квантовой механике.

Еще одна модификация томографического метода измерения квантового состояния рассмотрена в работах [350]-[352]. В этой схеме измеряется распределение по дискретному числу квантов (фотонов) в исследуемой моде, дополнительно зависящее от контролируемых фазы и амплитуды внешнего классического поля, накладываемого на поле сигнала, находящегося в квантовом состоянии. Данная схема в работе [352] была названа "томография счета фотонов"в связи с тем, что в рамках этого метода оператор плотности может быть восстановлен из измеряемой экспериментально статистики фотонов. Томография счета фотонов отличается от симплек-тической томографии [17]-[19], в которой измеряемая величина является непрерывной. В томографии счета фотонов измеряемая величина (число фотонов) является дискретной величиной, изменяющейся в бесконечных пределах, в отличие от измеряемой величины в методе спиновой томографии [326],[327], значение которой лежит в конечном интервале. В работе [353] показано, что томограмма счета фотонов смешанного гауссова состояния является функцией распределения вероятностей по числу фотонов для состояния, описываемого функцией Вигнера со сдвинутыми аргументами. В работе [353] томограмма счета фотонов для смешанного одномодового гауссова состояния выражена через полиномы Эрмита от двух переменных. Томограмма счета фотонов для многомодового смешанного гауссова состояния получена в виде функции от полиномов Эрмита от 2И переменных. Кроме того, в работе [353] исследованы необходимые и достаточные условия положительной определенности матрицы плотности. В работе [354] получена .томограмма счета фотонов для двухмодовых гауссовых состояний как функция от полиномов Эрмита от четырех переменных, и подробно исследованы, основываясь на развитии схемы подхода [272],[273] томограммы счета фотонов для двухмодового сжатого коррелированного состояния. В работах [274],[275] получена томограмма счета фотонов для двухмодовых четных и нечетных когерентных состояний.

В классической механике все наблюдаемые величины задаются некоторыми функциями. Умножение таких функций определяется стандартным арифметическим правилом поточечного умножения значений функций в каждой точке фазового пространства. Стандартное произведение двух функций дает новую функцию з(я) = ЛМЛМ = / ЛМЛО^Жя - XI)5{х - х2) &х 1 <Ь2.

Можно ввести определение правила умножения функций, задав интегральное ядро К(х\, х2, х) = 5(х — х\)5{х — х2), а именно,

Ь{х) = / Ь{х{)!2(х2)К(хъ х2, х) (1X1 &х2.

С помощью других интегральных ядер можно определять произведения функций отличные от поточечного. Если потребовать только ассоциативность умножения, отказавшись от требования коммутативности (ассоциативное произведение функций), можно найти различные формы ядра К(х 1, Х2, х). Ассоциативное произведение функций, отличающееся от обычного, называется звездочным. Звездочное произведение находится во взаимооднозначном соответствии с обычным правилом умножения операторов, реализуемом в каком-либо представлении, и обычным умножением матриц этих операторов. Квантовая механика отличается от классической, в частности, тем, что наблюдаемые величины в обычной формулировке квантовой механики описываются операторами. Замена функций операторами для физических наблюдаемых величин при переходе от классической к квантовой механике (квантование) делает язык описания квантовой механики отличным от языка классической физики. Идея квантования с помощью звездочного произведения заключается в том, что, так как матричные элементы матриц операторов представляют собой функции, то можно отождествить и в квантовой механике с наблюдаемыми величинами обычные функции, снабдив их звездочным правилом умножения. Квантование при помощи звездочного произведения изучалось в работах [13],[15]. В работах [22],[23] обсуждено обратимое отображение квантовых наблюдаемых величин, описываемых операторами в гильбертовом пространстве, и числовых функций (символов операторов) в фазовом пространстве, подчиняющихся правилам звездочного произведения. В работах [23],[355] показано, что симплектическое томографическое преобразование наблюдаемых величин является обратимым преобразованием от операторов к их символам в формализме звездочного квантования, и найдено ядро, задающее звездоч-ное произведение томограмм. Формализм звездочного произведения для томографических символов спиновых операторов введен в работах [22],[23]. Переход от операторов к их символам в формализме звездочного произведения для спиновой томографии изучен в работе [331].

Попытки описания классической механики на языке, аналогичном языку квантовой механики, были предприняты в работах [345],[356]-[358]. Возможность введения единой схемы описания квантовых и классических явлений предложена в работе [359]. Возможность описания состояния комплексной волновой функцией и матрицей плотности в классической статистической механике обсуждена в работе [357]. Кроме того в работах [357]-[358] исследованы томограммы как для квантовой, так и для классической систем.

Ряд квантовых состояний близок к классическим, другие состояния не имеют классического аналога. Примером квантовых состояний, не имеющих классического аналога, являются запутанные (несепарабельные) состояния составных систем, которые имеют чисто квантовую природу корреляций между подсистемами. Проблема запутанности состояний интенсивно изучается (смотри, например, [360]-[364]). Критерий сепарабельности, основанный на свойствах матрицы плотности, исследовался в работах

365],[366]. В работе [367] критерий сепарабельности Переса-Городецких [365],

366] применен при исследовании перепутанности состояния двухмодового электромагнитного поля. Сепарабельность многомодовых квантовых состояний и преобразование изменения масштаба обсуждены в работах [368]-[371]. Соотношения неопределенностей и сепарабельность двухмодовых квантовых состояний на примере процесса вынужденного комбинационного рассеяния, моделируемого двухмодовым квантовым осциллятором обсуждались в работах [372],[373].

Неравенства Белла [374] обычно используются, чтобы продемонстрировать отличие состояний в квантовой механике от состояний в классической механике. Вероятностная природа этих неравенств широко обсуждается в современной литературе [375]-[379]. При этом для расчета средних и корреляций квантовых величин используется формализм матрицы плотности и квантовая процедура вычислений средних значений и корреляций. В классической механике используются стандартные формулы вычисления, основанные на функции распределения вероятностей. Получающиеся отличия (нарушение неравенств Белла) трактуется как квантовая нелокальность. При подобном анализе сравниваются результаты, полученные различными способами; одни, основываясь на использовании волновой функции (матрицы плотности), другие, основываясь на использовании стандартной теории вероятностей. Данная асимметрия в подходах связана с тем, что считается, что в квантовой механике невозможно задать состояние стандартной функцией распределения вероятностей, а концептуально необходимо использовать либо вектор состояния в гильбертовом пространстве (чистые состояния), либо матрицу плотности (смешанные состояния). Однако в вероятностном представлении квантовой механики квантовые состояния, как показано в четвертой главе диссертации, можно задавать обычными функциями распределения вероятностей, как в классической статистике. Поскольку в вероятностном представлении квантовой механики квантовые состояния ассоциируются с обычными вероятностями, естественно использовать это представление для анализа неравенств Белла. Частично такие попытки предпринимались в работе [380]. Неравенства Белла и связь их нарушения с явлением перепутанности состояний системы рассматривались в вероятностном представлении квантовой механики в работе [381].

В диссертационной работе были поставлены следующие задачи:

• исследовать возбуждение сжатых коррелированных состояний под действием параметрической раскачки в цепочках квантовых осцилляторов при произвольной зависимости частоты от времени, применить полученные результаты к параметрическому джозефсоновскому контакту, движению иона в ловушках.

• исследовать параметрическое воздействие на квантовый осциллятор при специальной зависимости частоты от времени типа модели Кронига-Пенни. Обсудить зависимость энергии квантовых флуктуаций от силы дельта-толчков, периода между ними и числа толчков. Рассмотреть влияние затухания на эффекты сжатия и корреляции в рамках модели Калдирола-Канаи.

• получить в явном виде функции распределения вероятностей по числу фотонов в состояниях одномодового, двухмодового и многомодового квантованного электромагнитного поля для чистых и смешанных состояний, описываемых гауссовой функцией квазираспределения Вигнера.

• построить и исследовать универсальные инварианты для параксиальных оптических пучков, распространяющихся в слабонеоднородных средах.

• построить томографическое представление для операторов, зависящих от непрерывных переменных, как квантование с использованием звездоч-ного произведения, найти ядро звездочного произведения в явном виде.

• изучить проблему перепутанности состояний и ее связь с соотношениями неопределенностей.

• исследовать связь между неравенствами Белла и явлением перепутанности квантовых состояний.

• создать и развить схему спиновой томографии, получить ее инвариантную форму, ввести понятие томографической энтропии как характеристики спиновых состояний, исследовать связь спиновой томографии со схемой звездочного квантования.

• ввести томографическое представление в классической статистической механике.

Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения, включающего в себя защищаемые положения и библиографию.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Манько, Ольга Владимировна

ВЫВОДЫ

В диссертации решена задача возбуждения сжатых коррелированных состояний в параметрических осцилляторных моделях и исследована зависимость характеристик сжатия и корреляции от параметров воздействия, а также обсуждено описание состояний квадратичных систем и их статистических свойств в вероятностном представлении квантовой механики.

Новизна работы заключается в следующем:

Найден ранее неизвестный в теоретической физике класс сохраняющихся величин в параксиальной оптике - универсальные инварианты параксиальных оптических пучков;

Предложена схема спиновой томографии;

В рамках симплектической томографии для состояний непрерывных наблюдаемых величин обсужден томографический пропагатор;

Метод симплектической томографии применен к движению ионов в ловушке Паула;

Установлена связь томографического представления со звездочным произведением;

Введено понятие томографической энтропии и информации;

Получено новое необходимое условие сепарабельности квантовых состояний.

Получены следующие основные научные результаты

1. Для квантового осциллятора, который подвергается параметрической периодической раскачке (временной аналог модели Кронига-Пенни), аналитически определены энергия квантовых флуктуаций, коэффициенты сжатия и корреляции. Исследована их зависимость от характеристик воздействия (силы дельта-толчков частоты, их периода и числа).

2. В результате применения известного метода квантовых интегралов движения к модели цепочки параметрических осцилляторов аналитически определены дисперсии координат и импульсов, коэффициенты корреляции и сжатия как для случая произвольной зависимости частот от времени, так и для случая специальной временной зависимости частоты в виде серии дельта-толчков и проанализирована возможность генерации сжатых состояний.

3. Подробно исследована модель двух взаимодействующих гармонических осцилляторов, собственная частота которых и частота взаимодействия подвергаются дельта-толчкам. Показано, что при дельта-толчке собственных частот возникает больший эффект сжатия, чем при дельта-толчке частоты взаимодействия.

4. Аналитически получены новые универсальные инварианты параксиальных оптических пучков, распространяющихся в слабонеоднородных средах. Проанализировано поведение универсальных инвариантов в случае неквадратичности среды и указан способ проверки квадратичности среды по степени несохранения универсальных инвариантов.

5. Функции распределения вероятностей числа фотонов в одномодовом, двухмодовом и многомодовом сжатых и коррелированных состояниях света получены в явном виде и выражены через полиномы Эрмита от двух, четырех и 2Ы переменных, соответственно.

6. Получена инвариантная форма спиновой томографии.

7. Получены новые формулы для специальных функций, связанных с многомерными полиномами Эрмита.

8. Вычислены томограммы счета фотонов для одномодовых, двухмодо-вых и многомодовых гауссовых состояний в виде функций от многомерных полиномов Эрмита.

9. Введено понятие томографической энтропии как характеристики квантового состояния и получена томографическая энтропия для одномодовых, двухмодовых и многомодовых гауссовых состояний, описываемых томограммами счета фотонов.

10. Найдено новое необходимое условие сепарабельности многомодовых состояний фотонов.

На защиту выносятся следующие положения

1. Нахождение в явном виде новых интегралов движения, содержащих явную зависимость от времени для систем (цепочек) параметрических осцилляторов с затуханием, возбуждаемых короткими импульсами (дельта-толчками) и нахождение с их помощью явного вида решений уравнений Шредингера, отвечающих сжатым состояниям, получение пропагаторов и вероятностей переходов между энергетическими состояниями (без использования теории возмущений).

2. Получение в явном виде функций распределения вероятностей по числу фотонов в одномодовом, двухмодовом и многомодовом квантованном электромагнитном поле для сжатых и коррелированных чистых и смешанных состояний, описываемых гауссовыми функциями квазираспределения Вигнера и выраженных через специальные функции - многомерные полиномы Эрмита, а также исследование статистических характеристик и их изменения для сжатых состояний фотонов, таких как средние значения чисел фотонов, их дисперсии и корреляции в случаях слабого и сильного сжатия, а также для высоких и низких температур.

3. Построение и применение квантовых универсальных инвариантов для параксиальных оптических пучков света, распространяющихся в неоднородных средах с параболическим профилем показателя преломления, а также исследование изменения универсальных инвариантов для пучков света, распространяющихся в неоднородных средах с непараболическим профилем показателя преломления.

4. Построение вероятностного представления (томографического представления) для спиновых состояний и обнаружение связи спиновой томографии со схемой квантования с использованием звездочного произведения. Введение новых понятий томографической энтропии и томографической информации как характеристик спиновых состояний и установление их связи с энтропией фон Неймана.

5. Построение томографического представления для операторов, зависящих от непрерывных переменных (координаты, импульса), как квантования с использованием звездочного произведения, нахождение в явном виде ядра звездочного произведения, исследование в новом представлении таких задач, как заряженная частица со спином 1/2, движущаяся в магнитном поле, и ион в ловушке.

6. Исследование томографического представления по числу квантов (фотонов) и получение в явном виде томограмм гауссовых сжатых состояний многомодового электромагнитного поля с установлением связи фотонной статистики с соотношениями неопределенностей для квадратурных компонент фотонов.

7. Введение томографического представления в классической статистической механике и исследование (получение) классического предела квантовых уравнений эволюции в томографическом представлении.

8. Нахождение нового подхода к проблеме сепарабельности квантовых состояний и формулировка этой проблемы как свойства совместной функции распределения вероятностей, а также получение нового необходимого условия сепарабельности многомодового электромагнитного поля.

Работа выполнена в Физическом институте имени П. Н. Лебедева РАН.

Выражаю глубокую благодарность за постоянное внимание и помощь в работе Виктору Васильевичу Додонову и Владимиру Ивановичу Манько.

Считаю приятным долгом поблагодарить Владимира Алексеевича Исакова, руководителя отдела, в котором была выполнена настоящая работа, за постоянное внимание и поддержку.

Приношу благодарность моим соавторам В. А. Андрееву, Д. Арсеновичу, М. Божич, А. Вюнше, Т. Ф. Георгу, И. М. Дремину, Ф. Закария, А. В. Климову, С. В. Кузнецову, А. С. Кюсеву, С. Манчини, Дж. Мармо, Л. Йе, К. Йеону, П. Г. Полынкину, Л. Роза, С. С. Сафонову, Ю. Ф. Смирнову, Е. С. Г. Сударшану, В. А. Толстому, П. Томбези, С. И. Уму, Н. В. Чернеге, А. Шажи, Г. Шраде, Е. В. Щукину за приятное сотрудничество и плодотворные дискуссии.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе общая схема исследования нестационарных осцилляторных моделей исиользована для описания явлений, возникающих в различных физических объектах иод действием параметрической раскачки. В частности, данная схема применена к джозефсоновскому контакту и к движению ионов в ловушках. Кроме того, общая схема исследования нестационарных осцилляторных систем применена к распространению гармонических волновых полей в слабонеоднородных средах, основываясь на математической аналогии уравнения Гельмгольца для компонент поля в параксиальном приближении Леонтовича-Фока и нестационарного уравнения Шредингера. Для параксиальных оптических пучков, распространяющихся в среде с произвольно изменяющимся вдоль пучка параболическим поперечным профилем диэлектрической проницаемости, найдены универсальные инварианты, т. е., определенные интегральные величины, сохраняющиеся вдоль оси пучка независимо от продольного изменения диэлектрической проницаемости. Обсуждено влияние на указанные инварианты эффекта непараболичности среды. Для параметрического джозеф-соновского контакта построены сохраняющиеся величины, независящие от конкретного вида изменения параметров систем.

В диссертационной работе построены решения уравнения Шредингера для квантового осциллятора и квантового затухающего осциллятора, подвергшихся периодическому воздействию, аналогичному известному периодическому потенциалу типа Кронига-Пенни. Показано, что в результате этого воздействия осциллятор переходит в сжатое коррелированное состояние, и вычислены коэффициенты сжатия и корреляции. Кроме того, основываясь на асимптотическом поведении и свойствах полиномов Чебышева второго рода, исследована зависимость энергии квантовых флуктуаций, которая определяет максимально возможные эффекты сжатия и корреляции, от силы дельта-толчков, периода между ними и количества толчков. Исследовано влияние параметров дельта-толчков и затухания на коэффициенты сжатия в рамках аналога феноменологической модели Калдирола-Канаи для параметрической цепочки осцилляторов с затуханием.

Исследованы статистические свойства квадратичных квантовых систем, находящихся в чистых и смешанных гауссовых состояниях. Системы рассмотрены как в представлении Вигнера, так и в вероятностном представлении квантовой механики. Показано, что рассмотренные томографические схемы являются примерами квантования с использованием звездочного произведения. В вероятностном представлении квантовой механики обсужден допустимый класс томограмм. Обсуждено квантовоподобное представление классической статистической физики. Неравенство Белла, а также связь между нарушениями неравенства Белла и перепутанностью квантовых состояний рассмотрены в вероятностном представлении квантовой механики. Обсуждены условия сепарабельности квантовых состояний.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Манько, Ольга Владимировна, 2006 год

1. Е. Schrödinger, Naturwissenchaften, Bd. 14, S. 664 (1926)

2. E. Schrödinger, Ann. Phys. (Leipzig), 79, p. 489 (1926)

3. L. D. Landau, Z. Physik, 45, p. 430 (1927)

4. J. von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Springer, Berlin (1932)

5. E. Wigner, Phys. Rev., 40, p. 749 (1932)

6. J. E. Moyal, Proc. Cambridge Philos. Soc., 45, p. 99 (1949)

7. D. I. Blokhintsev, J. Phys., 2, p. 71 (1940)

8. K. Husimi, Proc. Phys. Math. Soc. Jpn, 23, p. 264 (1940)

9. R. J. Glauber, Phys. Rev. Lett., 10, p. 84 (1963)

10. E. С. G. Sudarshan, Phys. Rev. Lett, 10, p. 277 (1963)

11. К. Е. Cahill, R. J. Glauber, Phys. Rev., 177, p. 1882 (1969)

12. C. JI. Стратонович, ЖЭТФ, 31, p. 1012 (1957)

13. I. A. Batalin, I. V. Tyutin, J. Math. Phys., 34, p. 369 (1993)

14. И. В. Тютин, ТМФ, 127, с. 253 (2001)

15. M. A. Vasiliev, Fortschr. Phys., 36, p. 33 (1988)

16. F. Bayen, M. Flato, C. Fronsdal, A. Lechnerovicz, D. Sternheimer, Lett. Math. Phys., 1, p. 521 (1975)

17. S. Mancini, V. I. Man'ko, P. Tombesi, Phys. Lett. A, 213, p. 1 (1996)

18. S. Mancini, V. I. Man'ko, P. Tombesi, Quantum Semiclass. Opt., 7, p. 615 (1995)

19. G. M. D'Ariano, S. Mancini, V. I. Man'ko, P. Tombesi, J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt., 8, p. 1017 (1996)

20. S. Mancini, V. I. Man'ko, P. Tombesi, Found. Phys., 27, p. 801 (1997)

21. О. V. Man'ko, V. I. Man'ko, J. Russ. Laser Research, 18, p. 407 (1997)

22. О. V. Man'ko, V. I. Man'ko, G. Marmo, Phys. Scripta, 62, p. 446 (2000)

23. О. V. Man'ko, V. I. Man'ko, and G. Marmo, J. Phys. A: Math. Gen., 35, p. 699 (2002)

24. J. Bertrand, P. Bertrand, Found. Phys., 17, p. 397 (1989)

25. K. Vogel, H. Risken, Phys. Rev. A, 40, p. 2847 (1989)

26. D. T. Smithey, M. Beck, M. G. Raymer, A. Faridani, Phys. Rev. Lett., 70, p. 1244 (1993)

27. S. Shiller, G. Breitenbach, S. F. Pereira, T. Muller, J. Mlynek, Phys. Rev. Lett., 77, p. 2933 (1996)

28. Squeezed Light, (R. Loudon, P. L. Knight, eds.), J. Mod. Opt., 34, special issue No 6/7 (1987)

29. Squeezed States of the Electromagnetic Field, (H. J. Kimble, D. F. Walls, eds.), JOSA B, 4, feature issue No 10 (1987)

30. В. П. Быков, УФН, 161, с. 145 (1991)

31. С. M. Caves, Phys. Rev. D, 23, N 8, p. 1693 (1981)

32. В. В. Додонов, В. В. Кулагин, В. И. Манько, В. Н. Руденко, "Вебе-ровский детектор с оптическим преобразованием в режиме квазине-возмущающих измерений", в: Экспериментальные тесты по теории гравитации, Издательство Московского Университета, с. 75 (1989)

33. В. Б. Брагинский, УФН, 156, с. 93 (1998)

34. М. Б. Менский, УФН, 173, выпуск И, с. 1199 (2003)

35. В. В. Додонов, В. И. Манько, В. Н. Руденко, Квантовая электроника, 7, с. 2124 (1980)

36. Ю. Л. Воронцов, УФН, 164, с. 89 (1994)

37. П. Л. Грищук, М. В. Сажин, ЖЭТФ, 84, с. 1937 (1983)

38. Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков, Введение в теорию квантованных полей, Наука, Москва, 600 с. (1984)

39. Д. JI. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механика, Наука, Москва, 752 с. (1974)

40. Н. R. Lewis, W. В. Reisenfeld, J. Math. Phys., 10, p. 1458 (1969)

41. I. A. Malkin, V. I. Man'ko, D. A. TYifonov, J. Math. Phys., 14, p. 576 (1973)

42. I. A. Malkin, V. I. Man'ko, D. A. Trifonov, Phys. Lett. A, 30, p. 4141969)

43. I. A. Malkin, V. I. Man'ko, and D. A. TVifonov, Phys. Rev. D, 2, p. 13711970)

44. I. A. Malkin, V. I. Man'ko, Phys. Lett. A, 31, N 4, p. 243 (1970)

45. И. А. Малкин, В. И. Манько, Д. А. Трифонов, ЖЭТФ, 58, р. 721 (1970)

46. W. В. Campbell, P. Finkler, С. Е. Jones, М. N. Misheloff, Nuovo Cimento В, 31, p. 219 (1976)

47. И. А. Малкин, В. И. Манько, Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем, Наука, Москва, 320 с. (1979)

48. В. В. Додонов, В. И. Манько, Инварианты и эволюция нестационарных квантовых систем, Труды ФИАН, 183, 288 с. (1987)

49. R. Simon, К. B. Wolf, JOSA A, 17, p. 342 (2000)

50. В. В. Додонов, О. В. Манько, "Универсальные инварианты параксиальных оптических пучков", Компьютерная оптика, Международный центр по Научной и Технологической информации, Москва, с. 84 (1987)

51. V. V. Dodonov, О. V. Man'ko, JOSA A, 17, N 12, p. 2403 (2000)

52. V. V. Dodonov, О. V. Man'ko, J. Russ. Laser Research, 21, N 5, p. 438 (2000)

53. П. Ермаков, Университетские известия, Киев, т. 20, N 9, с. 1 (1880)

54. V. G. Bagrov, I. L. Buchbinder, D. М. Gitman, J. Phys. A: Math. Gen., 9, p. 1955 (1976)

55. R. P. Feynman, Rev. Mod. Phys., 20, p. 367 (1948)

56. Ю. Швингер, Теория квантованных полей, Иностранная Литература, Москва (1965)

57. К. Husimi, Progr. Theor. Phys., 9, N 4, p. 381 (1953)

58. A. M. Переломов, В. С. Попов, ЖЭТФ, 56, с. 1375 (1969)

59. А. И. Базь, Я. Б. Зельдович, А. М. Переломов, Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике, Наука, Москва (1971)

60. А. М. Perelomov, УФН, 123, с. 23 (1977)

61. V. V. Dodonov, I. A. Malkin, V. I. Man'ko, Int. J. Theor. Phys., 14 p. 37 (1975)

62. V. V. Dodonov, О. V. Man'ko, V. I. Man'ko, J. Soviet Laser Research, Plenum Press, New York, 13, p. 196 (1992)

63. V. V. Dodonov, Т. F. George, О. V. Man'ko, С. I. Urn, К. H. Yeon, J. Soviet Laser Research, Plenum Press, New York, 13, p. 219 (1992)

64. R. J. Glauber, in: Quantum Measurements in Optics, (P. Tombesi, D. F. Walls, eds.), Plenum Press, New York (1992)

65. G. S. Agarwal, S. A. Kumar, Phys. Rev. Lett., 67, p. 3665 (1991)

66. L. S. Brown, Phys. Lett., 66, p. 527 (1991)

67. V. V. Dodonov, О. V. Man'ko, et al., J. Phys. A: Math. Gen., 128, p. 197 (1995)

68. В. В. Додонов, В. И. Манько, О. В. Манько, Квантовый нестационарный осциллятор, Труды ФИАН, Наука, Москва, 191, с. 171 (1989)

69. В. В. Додонов, В. И. Манько, О. В. Манько, Коррелированные когерентные состояния и излучения квантовых систем, Труды ФИАН, Наука, Москва, 192, с. 105 (1988)

70. I. Averbukh, В. Sherman, Phys. Rev. А, 50, p. 5301 (1994) ^

71. Т. Kiss, P. Adam, J. Janszky, Phys. Lett. A, 192, p. 311 (1994)

72. H. Takahasi, Adv. Comm. Syst., 1, p. 227 (1965)

73. M. T. Raiford, Phys. Rev. A, 2, N 4, p.1541 (1970)

74. В. В. Додонов, А. Б. Климов, В. И. Манько, Труды ФИАН, Наука, Москва, 200, с. 57 (1991)

75. Y. S. Kim, V. I. Man'ko, Phys. Lett. A, 157, p. 226 (1991)

76. C. F. Lo, Phys. Lett. A, 162, p. 299 (1992)

77. О. V. Man'ko, Leehwa Yeh, Phys. Lett. A, 189, p. 268 (1994)

78. V. V. Dodonov, A. V. Dodonov, J. Russ. Las. Res., 26, N 6, p. 445 (2005)

79. N. B. Narozgny, A. M. Fedotov, Yu. E. Lozovik, Phys. Rev. A, 64, p. 053807 (2001)

80. О. V. Man'ko, "Correlated states of quantum chain," in: Proceedings of the XVIII International Colloquium on Group Theoretical Methods in Physics Moscow, 1990], Lecture Notes in Physics, Springer-Verlag, 382, p. 461 (1991)

81. V. V. Dodonov, T. F. George, О. V. Man'ko, С. I. Um, К. H. Yeon, J. Soviet Laser Research, Plenum Press, New York, 12, p. 385 (1991)

82. В. В. Додонов, В. И. Манько, О. В. Манько, Нестационарная параметрическая цепочка осцилляторов, Труды ФИАН, Наука, Москва, 208, с. 174 (1992)

83. V. V. Dodonov, О. V. Man'ko, V. I. Man'ko, Nuovo Cimento A, 107, N 5, p. 513 (1992)

84. О. V. Man'ko, "Quantum parametric chain in Wigner representation," in: Proceedings of the Second International Wigner Symposium Goslar, 1991], World Scientific, p. 496 (1993)

85. О. V. Man'ko, "Squeezed states of damped oscillator chain," in: Proceedings of Workshop on Harmonic Oscillators College Park, Maryland, USA, 1992], (D. Han, Y. S. Kim, W. W. Zachary, eds.), NASA, Conference Publication, 3197, p. 171 (1993)

86. О. V. Man'ko, "Correlated states of a quantum oscillator chain acted by short pulses," in: Proceedings of the II International Workshop Squeezed states and Uncertainty Realtions Moscow, 1992], p. 399 (1993)

87. В. В. Додонов, В. И. Манько, О. В. Манько, "Коррелированные состояния квантового осциллятора и квантовой цепочки осцилляторов с ¿-толчком частоты", Препршт ФИАН, N 139, 34 с. (1992)

88. В. В. Додонов, В. И. Манько, О. В. Манько, Коррелированные состояния и гравитационный волновод, Труды ФИ АН, Наука, Москва, 200, с. 155 (1991)

89. Е. Henley, W. Thirring, Elementary Quantum Field Theory, McGraw-Hill, N. Y. (1962)

90. M. Razavy, Canad. J.Phys., 57, p. 1731 (1979)

91. Ч. Киттель, Введение в физику твердого тела, Физматгиз, Москва, 696 с. (1962)

92. Alvaro De Souza Dutra, Phys. Lett A, 145, p. 391 (1990)

93. M. S. Abdalla, Phys. Rev. A, 35, p. 4160 (1987)

94. F. Michelot, Phys. Rev. A, 45, p. 4271 (1992)

95. Fan-Hong-Yi, Phys. Rev. A, 42, p. 4377 (1990)

96. R. F. Alvarez-Estrada, Phys. Lett. A, 159, p. 118 (1991)

97. W. G. Christian, A. G. Law, W. F. Martens, A. L. Mullikin, M. B. Sledd, J. Math. Phys., 17, p. 146 (1976)

98. J. F. Peading, J. 1. Sigal, Phys. Rev. B, 5, p. 556 (1972)

99. S. M. Al-Jafer, W. C. Henneberger, Nuovo Cimento B, 107, N 1, p. 231992)

100. J. R. Farias, Phys. Rev. A, 22, p. 765 (1980)

101. R. K. Yanev, Z. Mavic, Phys. Lett. A, 46 , p. 313 (1974)

102. H. E. Moses, Studies in Applied Mathematics, 60, p. 177 (1979)

103. W. C. Damert, Amer. J. Phys., 43, p. 531 (1975)

104. M. J. Goovaerts, F. Broeckx, SIAM J. Appl. Math., 45, p. 479 (1985)

105. V. V. Dodonov, О. V. Man'ko, V. I. Man'ko, Phys. Lett. A, 175, p. 11993)

106. Г. Карнер, В. И. Манько, JL Штрайт, Нестационарная параметрическая цепочка осцилляторов, Труды ФИАН, Наука, Москва, 208, с. 226 (1992)

107. D. J. С. Fernandez, В. Mielnik, J. Math. Phys., 35, p. 2083 (1994)

108. G. Schrade, V. I. Man'ko, W. P. Schleich, R. J. Glauber, J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt., 7, p. 307 (1995)

109. B. Yurke, JOSA, 4, N 10, p. 1557 (1987)

110. B. D. Josephson, Adv. Phys., 14, N 56, p. 419 (1965)

111. О. В. Манько, В. В. Додонов, "Коррелированные и сжатые состояния джозефсоновских переходов, универсальные инварианты", в Трудах конференции: Современный групповой анализ: методы и приложения Баку, 1989], с. 75 (1989)

112. О. V. Man'ko, J. Korean Phys. Soc26, N 4, p.l (1993)

113. V. V. Dodonov, О. V. Man'ko, V. I. Man'ko, J. Soviet Laser Research, Plenum Publ., 10, N 5, p. 413 (1989)

114. В. В. Додонов, В. И. Манько, О. В. Манько, Измерительная техника, N 2, с. 7 (1990)

115. P. Caldirola, Nuovo Cimento, 18, p. 393 (1941)

116. E. Kanai, Progr. Theor. Phys., 3, p. 440 (1948)

117. H. Dekker, Phys.Repts., 80, p. 1, (1981)

118. M. D. Kostin, J. Chem. Phys, 57, N 9, p. 3589 (1973)

119. J. Messer, Acta Phys. Austr., 50, N 1, p. 75 (1979)

120. P. Exner, J. Math. Phys., 24, N 5, p. 1129 (1983)

121. J. R. Ray, J. L. Reid, Phys. Lett. A, 74, p. 23 (1979)

122. L. F. Landovitz, A. M. Levin, W. M. Schreiber, J. Math. Phys., 21, p. 2159 (1980)

123. R. K. Colegrave, E. Kheyrabady, Phys. Rev. A, 34, p. 634 (1986)

124. V. V. Dodonov, V. I. Man'ko, Nuovo Cimento B, 44, p. 265 (1978)

125. A. D. Jannussis, C. N. Brodimas, A. Streclas, Phys. Lett. A, 74, p. 6 (1979)

126. P. Caldirola, L. Lugiato, Physica A, 116, p. 248 (1982)

127. R. W. Hasse, J. Math. Phys., 16, p. 2005 (1975)

128. L. H. Buch, H. H. Denman, Amer. J. Phys., 42, p. 304 (1974)

129. V. W. Myers, Amer. J. Phys., 27, p. 507 (1959)

130. H. P. CßHHbHH, TM®, 27, c. 270 (1976)

131. J. Aliaga, J. L. Gruver, A. N. Proto, N. A. Cerdeira, Phys. Lett. A, 185, p. 355 (1994)

132. H. S. Abdalla, R. K. Collegrave, Phys. Lett. A, 181, p. 341 (1993)

133. G. J. Papadopolos, J. Phys. A, 6, p. 1479 (1973)

134. H. G. Oh, H. R. Lee, T. F. George, C. I. Um, Phys. Rev. A, 39, p. 5515 (1989)

135. D. Schuch, Int. J. Quantum Chemi., 24, p. 767 (1990)

136. E. Kerner, Canad. J. Phys., 36, p. 371 (1958)

137. G. G. Ghosh, R. W. Hasse, Phys. Rev. A, 24, N 3, p. 1621 (1981)

138. P. Havas, Nuovo Cimento SuppL, 5, p. 363 (1957)

139. G. Dattoli, V. Loreto, C. Mari, M. Richetta, A. Torre, Nuovo Cimento B, 106, N 12, p. 1357 (1991)

140. K. W. H. Stevens, Proc. Phys. Soc. London, 72, Pt. 6, N 468 (1958)

141. О. V. Man'ko, J. Russ. Laser Research, 16, N 4, p. 333 (1995)

142. О. V. Man'ko, Nuovo Cimento B, 111, N 9, p. 1111 (1996)

143. И. А. Малкин, В. И. Манько, ЖЭТФ, 59, р. 1746 (1970)

144. V. V. Dodonov, I. A. Malkin, V. I. Man'ko, Physica, 59, p. 241 (1972)

145. И. А. Малкин, В. И. Манько, ЖЭТФ, 55, р. 1014 (1968)

146. A. Feldman, А. Н. Kahn, Phys. Rev. В, 1, p. 4584 (1970)

147. V. V. Dodonov, E. V. Kurmyshev, V. I. Man'ko, Труды ФИАН, 176, с. 169 (1988)

148. V. V. Dodonov, О. V. Man'ko, V. I. Man'ko, P. G. Polynkin, L. Rosa, J. Phys. A: Math. Gen., 28, p. 197 (1995)

149. R. J. Glauber, Phys. Rev., 131, N 6, p. 2766 (1963)

150. V. P.Maslov, M. V. Fedoriuk, Semi-Classical Approximation in Qunatum Mechanics, Reidel, Dordrecht, 1981

151. M. В. Карасев, E. M. Новикова, ТМФ, 108, с. 339 (1996)

152. V. G. Bagrov, V. V. Belov, A. Y. Trifonov, Ann. Phys., 246, p. 231

153. В. Г. Багров, В. В. Белов, И. М. Тернов, ТМФ, 50, с. 390 (1982)

154. A. Holz, Lett. Nuovo Cimento, 4, p. 1319 (1970)

155. J. S. Langer, Phys. Rev., 167, p. 183 (1968)

156. J. W. B. Kibble, J. Math. Phys., 9, p. 315 (1968)

157. W. G. Tam, Physica, 54, p. 557 (1997)

158. E. Majorana, Nuovo Cimento, 9, p. 333 (1932)

159. В. Л. Гинзбург, И. E. Тамм, ЖЭТФ, 17, с. 227 (1947)

160. Н. Yukawa, Phys. Rev, 77, p. 219 (1950)

161. M. A. Markov, Nuovo Cimento SuppL, 3, N 4, serie X, p. 760 (1956)

162. M. А. Марков, ЖЭТФ, 10, выпуск 12, с. 1311 (1940)

163. J. М. Jauch, Е. L. Hill, Phys. Rev, 57, p. 641 (1940)

164. G. A. Baker, Phys. Rev., 103, p. 1119 (1956)

165. Ю. H. Демков, ЖЭТФ, 26, с. 757 (1954)

166. С. П. Аллилуев, ЖЭТФ, 17, с. 250 (1963)

167. Т. М. Махвиладзе, Л. А. Шелепин, Ядерная физика, 15, с. 601 (1972)

168. В. П. Карасев, Л. А. Шелепин, ТМФ, 45, с. 54 (1980)

169. R. М. Mir-Kasimov, J. Phys. А, 24, p. 4283 (1991)

170. А. V. Chizhov, В.К. Murzakhmetov, Phys. Lett. A, 176, p. 33 (1993)

171. R Глаубер, Оптическая когерентность и статистика фотонов. Квантовая оптика и квантовая радиофизика, Мир, Москва, с. 91 (1966)

172. Дж. Клаудер, Э. Сударшан, Основы квантовой оптики, Мир, Москва, 428 с. (1970)

173. M. Tsujii, Т. Nishiyama, Progr. Teor.Phys., 57, N 1, p. 12 (1977)

174. F. Mancini, Physica, 77, N 2, p. 311 (1974)

175. J. C. Botke, D. J. Scalapino, R. L. Sugar, Phys. Rev. D, 10, N 5, p. 1604 (1974)

176. R. J. Glauber, in: Proceedings of a NATO Advanced Research Workshop on Quantum Measurement in Optics Cortina D'Ampezzo, Italy, 1991], Plenum Press, N. Y., London, p. 3 (1991)

177. W. Heisenberg, Z. Phys., 43, p. 172 (1927)

178. В. Гейзенберг, УФН, 122, N 4, с. 657 (1977)

179. M. M. Nieto, D. R. Truax, Phys. Rev. Lett., 71, p. 2843 (1993)

180. V. Buzek, G. Adam, G. Drobny, Ann. Phys., 245, p. 37 (1996)

181. Д. Ф. Смирнов, А. С. Трошин, УФН, 153, с. 233 (1987)

182. С. А. Ахманов, А. С. Чиркин, А. В. Белинский, Оптика и спектроскопия, 66, с. 738 (1989)

183. С. А. Ахманов, А. В. Белинский, А. С. Чиркин, Квантовая электроника, 15, с. 873 (1988)

184. Ф. Попеску, А. С. Чиркин, Письма в ЖЭТФ, 69, с. 481 (1999)

185. Ю. В. Голубев, И. В. Соколов, ЖЭТФ, 60, с. 234 (1988)

186. А. Н. Ораевский, ЖЭТФ, 95, с. 59 (1998)

187. Д. Н. Клышко, А. В. Масалов, УФН, 165, с. 1249 (1995)

188. А. В. Белинский, А. С. Чиркин, ЖЭТФ, 98, с. 407 (1990)

189. А. В. Белинский, Квантовая электроника, 19, с. 891 (1992)

190. Ю. М. Голубев, В. Н. Горбачев, Оптика и Спектроскопия, 60, с. 483 (1986)

191. С. Я. Килин, Квантовая оптика, Наука и оптика, Минск 1990.

192. D. Stoler, Phys. Rev. D, 1, N 12, p. 3217 (1970)

193. J. N. Hollenhorst, Phys. Rev. D, 19, N 6, p. 1669 (1979)

194. E. Y. C. Lu, Lett. Nuovo Cimento, 3, N 14, p. 585 (1972)

195. P. P. Bertrand, К. Moy, E. A. Mishkin, Phys. Rev. D, 4, N 6 (1971)

196. H. P. Yuen, Phys. Lett. A, 51, N 1, p. 1 (1975)

197. H. P. Yuen, Phys. Rev. A, 13, N 6, p. 2226 (1976)

198. D. F. Walls, Nature, 306, p. 141 (1983)

199. W. Becker, M. 0. Scully, M. S. Zubairy, Phys. Rev. Lett., 48, N 7, p. 475 (1982)

200. H. J. Garmichael, G. J. Milburn, D. F. Walls, J. Phys. A, 17, N 2, p. 469 (1984)

201. V. P. Karassiov, J. Phys. A: Math. Gen., 190, p. 387 (1994)

202. N. V. Korolkova, A. S. Chirkin, J. Mod. Opt, 43, p. 869 (1996)

203. A. S. Chirkin, V. V. Volokhovsky, Journal of nonlinear optical physics and materials, 6, p. 455 (1997)

204. A. P. Alodjants, S. M. Arakelian, A. S. Chirkin, Appl. Phys. B, 66, p. 53 (1998)

205. А. С. Чиркин, А. А. Орлов, Д. Ю. Паращук, Квантовая электроника, 20, с. 999 (1993)

206. D. N. Klyshko, JETP, 84, р. 1065 (1997)

207. V. P. Karassiov, А. V. Masalov, J. Opt. В: Quantum Semiclass. Opt., 4, p. S366 (2002)

208. V. V. Dodonov, E. V. Kurmyshev, V. I. Man'ko, Phys. Lett. A, 79, N 2/3, p. 150 (1980)

209. E. Schrodinger, Ber. Kgl. Akad. Wiss, Berlin, 24, S. 296 (1930)

210. H. P. Robertson, Phys. Rev. A, 35, N 5, p. 667 (1930)

211. Е. С. G. Sudarshan, Ch. В. Chiu, G. Bhamathi, Phys. Rev. A, 52, p. 43 (1995)

212. V. V. Dodonov, I. A. Malkin, V. I. Man'ko, Physica, 72, p. 597 (1974)

213. R. L. de Matos Filho, W. Vogel, Phys. Rev. Lett., 76, p. 608 (1996)

214. N. A. Ansari, L. Di Fiori, M. A. Man'ko, V. I. Man'ko, S. Solimeno, F. Zaccaria, Phys. Rev. A, 49 2151 (1994)

215. B. Yurke, D. Stoler, Phys. Rev. Lett., 57, 13 (1986)

216. V. Spiridonov, Phys. Rev. A, 52, p. 1909 (1995)

217. U. M. Titulaer, R. J. Glauber, Phys. Rev., 145, p. 1041 (1966)

218. Z. Bialynicka-Birula, Phys. Rev., 173, p. 1207 (1968)

219. J. R. Klauder, B. S. Skagerstam, Coherent States Applications in Physics and Mathematical Physics, Singapore, World Scientific, 1985

220. В. В. Додонов, А. Б. Климов, В. И. Манько, Препринт ФИАН, N 178, Москва, 24 с. (1988)

221. W. Schleih, A. Wheeler, JOSA В, 4, N 10, р. 1715 (1987)

222. G. S. Agarwal, G. Adam, Phys. Rev. A, 39, N 12, p. 6259 (1989)

223. M. Brune, S. Haroche, J.M. Raimond, L. Davidovich, N. Zugary, Phys. Rev. A, 45, p. 5193 (1992)

224. V. Buzek, A. Vidiella-Baranco, P. L. Knight, Phys. Rev. A, 45, p. 6570 (1992)

225. M. D. Reid, L. Krippner, Phys. Rev. A, 47, p. 552 (1993)

226. С. C. Gerry, E. E. Hash III, Phys. Lett. A, 174, p. 185 (1993)

227. G. V. Varada, G. S. Agarwal, Phys. Rev. A, 48, p. 4062 (1993)

228. S. M. Chumakov, A. B. Klimov, J. J. Sanches-Mondragon, Phys. Rev. A, 49, p. 4972 (1994)

229. G. S. Agarwal, R. R. Puri, R. P. Singh, Phys. Rev. A, 56, p. 2249 (1997)

230. D. Vitali, P. Tombesi, Int. J. Mod. Phys. B, 11, p. 2119 (1997)

231. H. Moya-Cessa, S. Wallentowitz, W. Vogel, Phys. Rev. A, 59, p. 2920 (1999)

232. F. de Martini, M. Fortunato, P. Tombesi, D. Vitali, Phys. Rev. A, 60, p. 1636 (1999)

233. N. A. Ansari, V. I. Man'ko, Phys. Rev. A, 50, p. 1942 (1994)

234. V. V. Dodonov, V. I. Man'ko, D. E. Nikonov, Phys. Rev. A, 51, p. 3328 (1995)

235. G. S. Agarwal, J. Mod. Opt., 34, p. 909 (1987)

236. G. S. Agarwal, G. Adam, Phys. Rev. A, 38, p. 750 (1988)

237. S. Chaturvedi, V. Srinivasan, Phys. Rev. A, 40, p. 6095 (1989)

238. P. Marian, T. A. Marian, Phys. Rev. A, 47, p. 4474 (1993)

239. A. Vourdas, Phys. Rev. A, 34, p. 3466 (1986)

240. A. Vourdas, R. M. Weiner, Phys. Rev. A, 36, p. 5866 (1987)

241. H. Fearn, M. J. Collett, J. Mod. Opt., 35, p. 553 (1988)

242. M. S. Kim, F. A. M. de Oliveira, P. L. Knight, Phys. Rev. A, 40, p. 2494 (1989)

243. G. Adam, Phys. Lett. A, 171, p. 66 (1992)

244. V. V. Dodonov, O. V. Man'ko, V. I. Man'ko, Phys. Rev. A, 49, p. 2993 (1994)

245. V. V. Dodonov, O. V. Man'ko, V. I. Man'ko, L. Rosa, Phys. Lett. A, 185, p. 231 (1994)

246. K. B. Wolf, J. Math. Phys., 15, p. 1295 (1974)

247. P. Kramer, M. Moshinsky, T. H. Seligman, in: Group Theory and its Applications (E. M. Loebl, ed.), Academic, New York, p. 249 (1975)

248. R. Simon, E. C. G. Sudarshan, N. Mukunda, Phys. Rev. A, 29, p. 3273 (1984)

249. R. Simon, E. C. G. Sudarshan, N. Mukunda, Phys. Rev. A, 37, p. 3028 (1988)

250. B. L. Schumaker, Phys. Rep., 135, p. 317 (1986)

251. R. G. Littlejohn, Phys. Rep. 138, p. 193 (1986)

252. V. V. Dodonov, V. I. Man'ko, V. V. Semjonov, Nuovo Cimento B, 83, p. 145 (1984)

253. M. Kauderer, J. Math. Phys., 34, p. 4221 (1993)

254. V. I. Man'ko, in:Proceedings of Workshop "Harmonic Oscillators" College Park, Maryland, USA, 1992], (D. Han, Y. S. Kim, W. W. Zachary, eds.), NASA Conference Publication, 3197, p. 129 (1993)

255. V. V. Dodonov, 0. V. Man'ko, V. I. Man'ko, Phys. Rev. A, 50, p. 813 (1994)

256. C. M. Caves, B. L. Schumaker, Phys. Rev. A, 31, p. 3068 (1985)

257. S. M. Barnett, P. L. Knight, JOSA B, 2, p. 67 (1985)

258. C. M. Caves, Chang Zhu, G. J. Milburn, W. P. Schleich, Phys. Rev. A, 43, p. 3854 (1991)

259. M. Artoni, U. P. Ortiz, J. L. Birman, Phys. Rev. A, 43, p. 3954 (1991)

260. M. Selvadoray, M. Sanjay Kumar, R. Simon, Phys. Rev. A, 49, p. 4957 (1994)

261. G. Schrade, V. M. Akulin, V. I. Man'ko, W. P. Schleich, Phys. Rev. A, 48, p. 2398 (1993)

262. О. V. Man'ko, G. Schrade, J. Russ. Laser Res., 18, p. 511 (1997)

263. О. V. Man'ko, G.Schrade, Phys. Scr., 58 p. 228 (1998)

264. S. V. Kuznetsov, A. V. Kusev, О. V. Man'ko, Proc. SPIE, 5402, p. 314 (2004)

265. С. В. Кузнецов, А. В. Кюсев, О. В. Манько, Н. В. Чернега, Известия РАН, Серия физическая, 68, с. 1239 (2004)

266. S .V. Kuznetsov, О. V. Man'ko, Proc. SPIE, 5402, p. 302 (2004)

267. M. А. Леонтович, Изв. АН СССР, 8, с. 16 (1944)

268. М. А. Леонтович, В. А. Фок, ЖЭТФ, 16, с. 557 (1946)

269. J. A. Arnaud, Beam and Fiber Optics, Academic, New York (1976)

270. В. В. Климов, В. С. Летохов, Лазерная физика, 13,с. 339 (2003)

271. В. В. Климов, В. С. Летохов, Письма в ЖЭТФ, 70, выпуск 10, с. 654 (1999)

272. К. В. Wolf, SIAMJ. Appl. Math., 40, p. 419 (1981)

273. В. Remaud, E. S. Hernández, Phys. Lett. A, 75, p. 269 (1980)

274. R. E. Turner, R. F. Snider, Cañad. J. Phys., 59, p. 457 (1981)

275. D. D. Holm, W. P. Lysenko, J. C. Scovel, J. Math. Phys., 31, p. 1610 (1990)

276. F. Neri, G. Rangarajan, Phys. Rev. Lett., 64, p. 1073 (1990)

277. A. J. Dragt, F. Neri, G. Rangarajan, Phys. Rev. A, 45, p. 2572 (1992)

278. J. Serna, R. Martínez-Herrero, P. M. Mejías, JOSA A, 8, p. 1094 (1991)

279. D. Onciul, JOSA A, 10, p. 295 (1993)

280. Q. Lin, S. Wang, J. Alda, E. Bernabeu, Opt. Lett., 18, p. 669 (1993)

281. D. Dragoman, JOSA A, 11, p. 2643 (1994)

282. J. Yang, D. Fan, JOSA A, 16, p. 2488 (1999)

283. I. Fényes, Zs. Phys., 132, p. 81 (1952)

284. Y. Kano, J. Math. Phys., 6, p. 1913 (1986)

285. Я. П. Терлецкий, ЖЭТФ, 7, с. 1290 (1937)

286. D. Bohm, Phys. Rev., 85, p. 166; p.180 (1952)

287. E. Madelung, Zs. Phys., 40, p. 332 (1926)

288. L. De Broglie, Compt. rend., 183 p. 447 (1926)

289. I. J. Dunn, I. A. Walmsley, C.Mukamel, Phys. Rev. Lett., 74, p. 884 (1995)

290. S. Wallentowitz, W. Vogel, Phys. Rev. Lett, 75, p. 2932 (1995)

291. V. I. Man'ko, "Quantum Mechanics and Classical Probability Theory, in: Symmetries in science IX, Plenum Press, New York, p. 215 (1997)

292. A. I. Lvovsky, H. Hansen, T. Aichele, O. Benson, J. Mlynek, S. Shiller, Phys. Rev. Lett., 87, N 5, p. 050402-1 (2001)

293. V. I. Man'ko, "Energy levels of quantum system in classical formulation of quantum mechanics," in: Proceedings of the Second International A. D. Sakharov Conference on Physics Moscow, 1996], World Scientific, Singapore, p. 486 (1997)

294. Oviedo, Spain, 1996., Foundamental Theories of Physics (M. Ferrero, A. van der Merwe, eds), Kluwer Academic Publishers, Netherland, p. 225 (1997)308. 0. V. Man'ko, N. V. Tcherniega, J. Russ. Laser Research, 22, N 3, p. 201 (2001)

295. S. V. Kuznetsov, A. V. Kusev, O. V. Man'ko, in: Proceedings of Wigner Centential Conference Pecs, Hungary, 2002], The Official Electronic Proceedings, paper 32, Acta Physica Hungarica B, series Quantum Electronics, 20/1, p. 11 (2004)

296. O. V. Man'ko, "Symplectic tomography of nonclassical states of traped ion", Preprint ICTP, IC/96/39

297. O. V. Man'ko, J. Russ. Laser Research, 17, N 5, p. 439 (1996)

298. O. V. Man'ko, Phys. Lett. A, 228, p. 29 (1997)

299. O. V. Man'ko, "Tomography of a trapped ion", Group 21. Physical Applications and Mathematical Aspects of Geometry, Groups and Algebras Goslar, Germany], v. 2, World Scientific, Singapore, eds. M. D. Doebner, W. Scherer, C. Schulte, p. 760 (1997)

300. O. V. Man'ko, Proc. SPIE, 3736, p. 68 (1998)

301. O. V. Man'ko, J. Russ. Laser Research, 20, N 1, p. 67 (1999)

302. O. B. MaHbKo, TMO, 121, N 2, c. 285 (1999)

303. О. V. Man'ko, Fortschritte der Physik, 48, N 5-7, p. 463 (2000)

304. О. В. Манько, Известия РАН, серия физическая, 63, N 6, с. 1095 (1999)

305. R. L. de Matos Filho, W. Vogel, Phys. Rev. A, 54, p. 4560 (1996)

306. P. J. Bardroff, C. Leichte, G. Schrade, W. P. Schleich, Phys. Rev. Lett., 77, p. 2198 (1996)

307. M. M. Nieto, Phys. Lett. A, 219, p. 180 (1996)

308. D. M. Meekhof, G. Monroe, В. E. King, W. M. Itano, D. Wineland, Phys. Rev. Lett., 76, p. 1796 (1996)

309. S. Haroche, Nuovo Cim. B, 110, p. 545 (1995)

310. U. Leonhardt, Phys. Rev. A, 53, p. 2998 (1996)

311. V. V. Dodonov, V. I. Man'ko, Phys. Lett. A, 229, p. 335 (1997)

312. В. И. Манько, О. В. Манько, ЖЭТФ, 85, с. 430 (1997)

313. О. V. Man'ko, in: Proceedings of International Conference "Symmetries in Science X"

314. Bregenz, Austria, 1997., (B. Gruber, M. Ramek, eds.), Plenum Press, N. Y. p. 207 (1998)

315. S. Mancini, О. V. Man'ko, V. I. Man'ko, P. Tombesi, J. Phys. A: Math. Gen., 34, p. 3461 (2001)

316. V. A. Andreev, О. V. Man'ko, V. I. Man'ko, S. S. Safonov, J. Russ. Laser Research, 19, p. 340 (1998)

317. O. Castanos, R. Lopes-Pena, M. A. Man'ko, V. I. Man'ko, J. Phys. A: Math. Gen., 36 A, 4677 (2003)

318. L. C. Biedenharn, J. D. Louck, Angular momentum in quantum physics. Theory and applications, in: Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, Addison-Wesley, Reading, MA, 8 (1981)

319. Д. П. Желобенко, Компактные группы JIu и их представления, Наука, Москва (1970)

320. А. Н. Лезнов, М. В. Савельев, Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем, Наука, Москва (1985)

321. В. И. Манько, О. В. Манько, С. С. Сафонов, ТМФ, 115, N 2, с. 185 (1998)

322. В. И. Манько, С. С. Сафонов, Ядерная физика, 62, N 4, с. 658 (1998)

323. В. А. Андреев, В. И. Манько, ЖЭТФ, 114, с. 437 (1998)

324. А. В. Klimov, О. V. Man'ko, V. I. Man'ko, Yu. F. Smirnov, V. N. Tolstoy, J. Phys. A: Math. Gen., 35, p. 6101 (2002)

325. О. V. Man'ko, in: Proceedings of Wigner Centential Conference Pecs, Hungary, 2002], The Official Electronic Proceedings, paper 30, Acta Physica Hungariea A, series Heavy Ion Physics, 19/3-4, p. 313 (2004)

326. Yu. I. Bogdanov, M. V. Chekhova, L. A. Krivitsky, S. P. Kulik, A. N. Penin, A. A. Zhukov, L. C. Kwek, С. H. Oh, M. K. Tey,Phys. Rev. A, 70, p. 042303 (2004)

327. Ю. И. Богданов, JI. А. Кривицкий, С. П. Кулик, Письма в ЖЭТФ, 8, с. 804 (2003)

328. Е. С. Wentzel, Probability Theory, 4th edition, Nauka, Moscow (1969)

329. M. A. Man'ko, J. Russ. Laser Research, 22, p. 168 (2001); S. De Nicola, R. Fedele, M. A. Man'ko, V. I. Man'ko, Eur. Phys. J. B, 36, p. 385 (2003)

330. О. V. Man'ko, V. I. Man'ko, "Probability representation entropy for spinstate tomogram", quant-ph/04113 (2004)

331. О. V. Man'ko, V. I. Man'ko, J. Russ. Laser Research, 25, N 2, p. 115 (2004)

332. С. E. Shannon, Bell Systems Technical Journal, 27, p. 379 (1948)

333. A. S. Holevo, Statistical structure of quantum theory, Springer LNP 67; Russ. Math. Surveys, 53:6, p. 1295 (1998)

334. A. Stotland, A. A. Pomeransky, E. Bachmat, D. Cohen, "The information entropy of quantum mechanical states," quant-ph/040121, (2004).

335. D. Collins, S. Popescu "Frames of Reference and the Intrinsic Directional Information of a Particle with Spin," quant-ph/0401096,(2004).

336. K. Banaszek, K. Wodkiewicz, Phys. Rev. Lett., 76, p. 4344 (1996)

337. S. Wallentowitz, W. Vogel, Phys. Rev. A, 53, p. 4528 (1996)

338. S. Mancini, V. I. Man'ko, P. Tombesi, Europhys. Lett., 37, p. 79 (1997)

339. О. V. Man'ko, V. I. Man'ko, J. Russ. Laser Research, 24, N 5, p. 497 (2003)

340. О. V. Man'ko, V. I. Man'ko, G. Marmo, in: Proceedings of Second International Symposium on Quantum Theory and Symmetries Krakow, Poland, 2001], (E. Kapuschik, A. Morzela, eds), World Scientific, p. 126 (2001)

341. J. G. Muga, R. F. Snider, Europhys. Lett., 19, p. 569 (1992)

342. Olga Man'ko, V. I. Man'ko, J. Russ. Laser Research, 22, p.f49. (200f)

343. Olga Man'ko, V. I. Man'ko, "Classical mechanics is not the h —> 0 limit of quantum mechanics", Los Alamos ArXiv, quant-ph/0407183 (2004)

344. Ю. M. Широков, ТМФ, 28, с. 806 (1976)

345. M. V. Fedorov, M. A. Efremov, A. V. Kazakov, K. W. Chan, С. K. Law, and J. H. Eberly, Phys. Rev. A, 69, p. 052117-1 (2004)

346. M. V. Fedorov, M. A. Efremov, P. A. Volkov, and J. H. Eberly, J. Phys. B, 39, p. 3 (2006)

347. M. V. Fedorov, et.al., Phys. Rev. A, 72, p. 032110 (2005)

348. А. В. Прохоров, А. П. Алоджанц, С. M. Аракелян, Оптика и спектроскопия, 94, с. 55 (2003)

349. А. В. Чижов, Письма в ЖЭТФ, 80, с. 839 (2004)

350. A. Peres, Phys. Rev. Lett, 77, p. 1413 (1996)

351. M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki, Phys. Lett. A, 223, p. 8 (1996); Los Alamos ArXiv, quant-ph/9605038

352. R. Simon, Phys. Rev. Lett., 84, p. 2726 (2000)

353. О. V. Man'ko, V. I. Man'ko, G. Marmo, A. Shaji, E. C. G. Sudarshan, F. Zaccaria, Phys. Lett. A, 339, p. 194 (2005)

354. О. V. Man'ko, V. I. Man'ko, G. Marmo, E. C. G. Sudarshan, F. Zaccaria, "Does the uncertainty relation determine the quantum state", quant-ph/0604044vl, Phys. Lett. (2006) (в печати)

355. О. V. Man'ko, J. Russ. Laser Research, 26, N 2, p. 109 (2005)

356. О. В. Манько, H. В. Чернега, Известия РАН, 70, N 4, p. 514 (2006)

357. О. В. Манько, Н. В. Чернега, "Томографический подход и сепарабельность квантовых состояний двухмодовых систем", лекция на Meoic-дупародной школе-семинаре для молодых ученых "Квантовые измерения и физика мезоскопических систем"

358. Суздаль, 2-4 февраля 2005., Известия РАН, 70, N 3, р. 382 (2006)

359. J. S. Bell, Physics, 1, p. 195 (1964)

360. А. Ю. Хренников, Неколмогоровские теории вероятности и квантовая физика, Физматлит, Москва (2003)

361. A. S. Holevo, Statistical Structure of Quantum Theory, Springer, BerlinHeidelberg (2001)

362. L. Accardi, Y. G. Lu, I. V. Volovich, Quantum Theory and Its Stohastic Limit, Springer, Berlin-Heidelberg (2002)

363. I. Volovich, Ya. Volovich, quant-ph/0009058

364. A. Khrennikov, Found. Phys., 32, p. 1159 (2002)

365. А. В. Андреев, В. И. Манько, ТМФ, 140, р. 284 (2004)

366. В. А. Андреев, В. И. Манько, О. В. Манько, Б. В Щукин, в Трудах международного рабочего совещания "Классические и квантовые интегрируемые системы," Дубна, 24-28 января 2005, ТМФ, 146, N 1, р. 172 (2006);

367. Olga V. Man'ko, Vladimir I. Man'ko, J. Phys. Conf. Ser., 35, p. 137 (2006)

368. R. Kronig, W. Penney, Proc. Roy. Soc., 130, p. 499 (1931)

369. P. Schnupp, Phys. Status Solidi, 21, p. 567 (1967)

370. D. Sengupta, P. K. Ghosh, Phys. Lett. A, 68, N 1, p. 107 (1978)

371. S. Albeverio, F. Gesztesy, R. Hoegh-Krohn, H. Holden, Solvable models in quantum mecnanics, Springer-Verlag, N. Y., Berlin , Heldenberg, Londen, Paris, Tokyo (1988); Русский перевод: Решаемые модели в квантовой механике, Мир, Москва, 566 с. (1991)

372. A. Maitland,;M. Н. Dunn, Laser Physics, North Holland, AmsterdamLondon, Appendix E. (1969)

373. G. Szego, Orthogonal Polynomials, American Mathematical Society, Colloquium Publications, New York, XXIII (1959)

374. A. Widom, G. Megaloudis, T. D. Clark, H. Prance, R. J. Prance, J. Phys. A: Math.Gen., 15, p. 3877 (1982)

375. T. P. Spiller, T. D. Clark, R. J. Prance, H. Prance, D. A. Poulton, Nuovo Cimento B, 105, N 1, p. 43 (1990)

376. R. Onofrio, Phys. Lett. A, 148, N 1, 2 (1990)

377. С. E. Павлов, А. В. Прохоров, Физика твердого тела, 33, N 8, с. 2460 (1991)

378. F. X. Kaertner, P. Rasser, Phys. Rev. A, 42, N 9, p. 5601 (1990)

379. К. К. Лихарев, Введение в динамику джозефсоновских переходов, Наука, Москва, 320 с. (1985)

380. R. Movshovich, В. Yurke, P. G. Kaminsky, A. D. Smith, A. H. Sikver, R. W. Simon, M. V. Schneider, Phys. Rev. Lett., 65, N 12, p. 1419 (1990)

381. С. E. Коршунов, ЖЭТФ, 95, N 3, с. 1058 (1989)

382. P. W. Anderson, Many Body Problem, Acad. Press., N. Y., p. 113 (1964)

383. А. А. Голуб, О. В. Гримальский, ЖЭТФ, 94, N 2, с. 296 (1988)

384. С. В. Лемпитский, ЖЭТФ, 94, N 11, с. 331 (1988)

385. G. Т. Moore, J. Math. Phys., 11, N 9, p. 2679 (1970)

386. V. V. Dodonov, О. V. Man'ko, V. I. Man'ko, J. Soviet Laser Research, 13, N 3, p. 196 (1992)

387. В. В. Додонов, В. И. Манько, В. Н. Руденко, Труды ФИАН, 152, Москва, Наука (1983)

388. S. G. Krivoshlykov, Preprint PhlAN, N 276, 17 p. (1978)

389. E. P. Wigner, in: Perspectives in Quantum Theory, (W.Yourgrau, A. van der Merwe, eds), MIT Press, Cambridge, Mass., p. 25 (1971)

390. M. Hillery, R. F. O'Connell, M. O. Scully, E. P. Wigner, Phys. Rep., 106, p. 121 (1984)

391. V. V. Dodonov, V. I. Man'ko, Proceedings of Lebedev Physics Institute, Nova Science Publ., New York 167, p. 7 (1987)

392. Bateman Manuscript Project: Higher Transcendental Functions, (A.Erdelyi, ed.), McGraw-Hill, New York (1953)

393. V. V. Dodonov, A. B. Klimov, V. I. Man'ko, Phys. Lett. A, 134, p. 211 (1989)

394. В. И. Татарский, УФН,139, p. 587 (1983)

395. F. Bopp, Ann. Inst. Henri Poincare, XV, p. 81 (1956)

396. I. S. Gradsteyn, I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series and Products, Academic, New York (1970).

397. V. I. Man'ko, "Introduction to quantum optics," in: Proceedings of Latin-American School of Physics, XXX ELAF, Group Theory and Its Applications Mexico, 1995], AIP Conference Proceedings, AIP, New York, 365, p. 337 (1996)

398. V. I. Man'ko, A. Wünsche, J. Opt B: Quantum Semiclass. Opt., 9, p. 381 (1997)413414415416417418419420421422423424425426

399. F. R. Gantmakher, The Theory of Matrices, Nauka, Moscow (1966)

400. S. Chountasis, A. Vourdas, Phys. Rev. A, 58, p. 1794 (1998)

401. A. O. Barut, R. R^czka, Theory of Group Representations and Applications, World Scientific, Singapore (1986)

402. V. V. Dodonov, V. I. Man'ko, D. V. Zhivotchenko, Nuovo Cimento B, 108, p. 1349 (1993)

403. R. Simon, E. C. G. Sudarshan, N. Mukunda, Phys. Rev. A, 31, p. 2419 (1985)

404. R. Simon, N. Mukunda, E. C. G. Sudarshan, Opt. Commun., 65, p. 322 (1988)

405. E. Collett, E. Wolf, Opt. Commun., 32, p. 27 (1980) D. Dragoman, Appl. Opt., 34, p. 3352 (1995)

406. M. W. Sasnett, "Propagation of multimode laser beams the M2 factor," in: Physics and Technology of Laser Resonators (R. Hall, P. E. Jackson, eds.), Hilger, Bristol, p. 132 (1989)

407. A. E. Siegman, Proc. SPIE, 1224, p. 2 (1990)

408. M. W. Sasnett, T. F. Johnston, Jr., Proc. SPIE, 1414, p. 21 (1991)

409. A. E. Siegman, IEEE J. Quantum Electron., QE-27, p. 1146 (1991)

410. P. A. Belanger, Opt. Lett., 16, p. 196 (1991)

411. R. Martínez-Herrero, P. M. Mejías, M. Sanchez, J. L. H. Neira, Opt. Quantum Electron., 24, p. S1021 (1992)

412. G. Nemes, A. E. Siegman, JOSA A, 11, p. 2257 (1994)

413. R. Martínez-Herrero, P. M. Mejias, Opt. Commun., 140, p. 57 (1997)

414. T. F. Jonston, M. W. Sasnett, J- L. Doumont, A- E. Siegman, Opt. Lett., 17, p. 198 (1992)

415. M. A. Porras, Opt. Commun., 109, p. 5 (1994)

416. H. J. Baker, D. R. Hall, A. M. Hornby, R. J. Morley, M. R. Taghizadeh, E. F. Yelden, IEEE J. Quantum Electron., QE-32, p. 400 (1996)

417. C. Martinez, F. Encinas-Sanz, J. Serna, P. M. Mejias, R. Martínez-Herrero, Opt. Commun., 139, p. 299 (1997)

418. F. Encinas-Sanz, J. Serna, C. Martínez, R. Martínez-Herrero, P. M. Mejias, IEEE J. Quantum Electron., QE-34, p. 1835 (1998)

419. K. B. Wolf, Opt. Commun., 132, p. 343 (1996)

420. A. L. Rivera, N. M. Atakishiyev, S. M. Chumakov, K. B. Wolf, Phys. Rev. A, 55, p. 876 (1997)

421. Q. Cao, X. M. Deng, Opt. Commun., 142, p. 135 (1997)

422. V. I. Man'ko, J. Russ. Laser Research, 17, p. 579 (Plenum Press, 1996)

423. V. I. Man'ko, G. Marmo, E. C. G. Sudarshan, F. Zaccaria, J. Russ. Laser Research, 24, p. 507 (2003)

424. V. I. Man'ko, G. Marmo, E. C. G. Sudarshan, F. Zaccaria, "f-Oscillators," in: Proceedings of the Fourth Wigner Symposium Guadalajara, Mexico, 1995], (N. M. Atakishiyev, T. H. Seligman, K. B. Wolf, eds.), World Scientific, Singapore, p. 421 (1996)

425. V. I. Man'ko, G. Marmo, E. C. G. Sudarshan, F. Zaccaria, Phys. Scripta, 55, p. 528 (1997)

426. S. Mancini, V. I. Man'ko, P. Tombesi, J. Mod. Opt., 44, p. 2281 (1997)

427. G. M. D'Ariano, Acta Physica Slovaca, 49, p. 513 (1999)

428. C. Brif, A. Mann, Phys. Rev., 59, p. 971 (1999)

429. V. I. Man'ko, G. Marmo, Phys. Scripta, 58, p. 224 (1998)

430. V. I. Man'ko, G. Marmo and P. Vitale, Phys. Lett. A, 334, 1 (2005)

431. G. M. D'Ariano, S. Mancini, V. I. Man'ko, P. Tombesi, J. Opt B: Quantum Semiclass. Opt, 8, p. 1017 (1996)

432. P. Aniello, V. I. Man'ko, G. Marmo, F. Zaccaria, J. Opt B: Quant Semiclass. Opt., 21 (2000)

433. V. I. Man'ko, G. Marmo, E. C. G. Sudarshan, F. Zaccaria, J. Russ. Laser Res., 20, p. 421 (1999)

434. V. I. Man'ko, G. Marmo, E. C. G. Sudarshan, F. Zaccaria, Int. J. Mod. Phys. B, 11, p. 1281 (1997)

435. R. F. Werner, Phys. Rev., 40, p. 4277 (1989)

436. V. I. Man'ko, G. Marmo, E. C. G. Sudarshan, F. Zaccaria, Phys. Lett. A, 327, p. 353 (2004)

437. A. J. Bracken, J. G. Wood, "Nonpositivity of Groenewold operator" Los Alamos ArXiv, quant-ph/0407052 (2004); Phys. Rev. A, 73, p. 012104 (2006); A. J. Bracken, J. Phys. A: Math. Gen., 36, p. L392 (2003)

438. Schrodinger E., Naturwissenschaften, 23, p. 823 (1935).