Исследование гипотезы Коуза тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Флерова, Анна Юрьевна

• Флерова, Анна Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Флерова, Анна Юрьевна

Введение.

Глава I. Модель рынка товаров длительного пользования.

1.1. Монополия и конкуренция: обозначения.

1.2. Описание рынка товаров длительного пользования.

Глава II. Монополистический лизинг.

2.1. Экспоненциальное выбытие.

Постановка задачи.

Замечание 1. Расчёт дохода монополиста.

Замечание 2. Ловушка Коуза.

Выводы.

2.2. Товары с фиксированным сроком службы.

2.3. Необходимые условия оптимальности (общий случай).

Необходимые условия оптимальности в задаче о товарах с экспоненциальным выбытием.

Необходимые условия оптимальности в задаче о товарах с фиксированным сроком службы.

Выводы.

Глава III. Монополист и вторичный рынок товаров длительного пользования.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Обоснование фазовых ограничений.

3.3. Задача с фазовыми ограничениями.

Решение задачи оптимального импульсного управления с фазовыми ограничениями.

3.4. Модели Канна, Тепо, Осадчего.

3.5. О виде фазовых ограничений.

3.6. Влияние вторичного рынка.

3.7. Дополнение: вторичный рынок товаров с фиксированным сроком службы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование гипотезы Коуза»

Известный американский экономист Рональд Коуз (Ronald Coase) предположил, что, монополист, производящий товары бесконечно длительного пользования (совершенно долговечные товары) или владеющий ими изначально, теряет свою монопольную власть. В результате он вынужден продавать товары длительного пользования по конкурентной цене. Конкуренция может возникнуть, даже если существует только один поставщик.

Согласно Коузу, товар, проданный вчера, является совершенным заменителем товара, купленного сегодня, т.е. производимый сейчас товар конкурирует с товаром, произведённым и проданным ранее. Получается, что с монополистом конкурирует тот, кого он не одолеет никогда: он сам. По мысли Коуза, эта конкуренция совершенна.

В своей работе Durability and monopoly [1] Коуз выдвинул следующее интуитивное предположение: монополист насытит рынок, продавая товар по монопольной цене, но не остановится на этом, когда спрос на товар по монопольной цене станет равным нулю, так как имеет возможность продать ещё дополнительное количество товара по более низкой цене. Чем больше товара он будет выбрасывать на рынок, тем быстрее будет падать цена. Если процесс продолжается, то цена упадёт до конкурентной цены. Зная это, покупатели не будут приобретать товар, пока цена не достигнет конкурентной. Справедливость своей гипотезы Коуз обосновывал с помощью результатов статической модели монополии, тогда как постановка задачи требует применения динамической теории.

Потребитель, покупающий товар длительного пользования сегодня, вряд ли купит такой же товар завтра. Таким образом, товары, которые предлагает монополист в два различных периода, представляют собой заменители, а не дополнители.

Приведём иллюстрацию гипотезы Коуза для самого простого статического случая [2]. Предположим, что существуют семь потребителей. Эти потребители имеют «готовность платить» или «оценку» v = l,2,.,7 соответственно; v -настоящая дисконтированная стоимость потока услуг, начиная с момента покупки и далее. Каждый потребитель может извлечь полезность только из одной единицы товара длительного пользования. Предположим, что никаких затрат на производство этого товара не требуется и сам товар долговечен.

Допустим сначала, что монополист делает в первом периоде предложение раз и навсегда. Монополист назначает монопольную цену 4 (при .этом монополист получает максимально возможную монопольную прибыль, равную 16). Теперь рассмотрим многопериодную модель. Предположим, что монополист назначает цену 4 в первом периоде, а потребители с оценкой не ниже 4 принимают её. В начале второго периода остаточный спрос монополиста составляют потребители с оценками от 1 до 3. В этом случае монополист склонен назначить более низкую цену для второго периода. Например, если второй период является последним периодам продаж монополиста, он назначает монопольную цену, соответствующую остаточному спросу, т.е. цену 2. Теперь рассмотрим, что произойдёт, когда потребители в первом периоде понимают, что у монополиста ex post появится стимул снизить цену во втором периоде. Потребители с высокими оценками, возможно, всё ещё будут согласны платить цену 4, так как они склонны приобрести товар. Тем не менее, потребитель с оценкой 4, например, не купит товар, поскольку он получил бы нулевой излишек, тогда как, подождав какое-то время, он мог бы получить положительный излишек. Таким образом, ожидание будущего снижения цены вызывает снижение спроса в первом периоде.

Гибкость, которой обладает монополист для регулирования цен во времени, на самом деле, причиняет ему ущерб. Действительно, для него было бы лучше, если бы он мог ex ante принять на себя обязательство не торговаться, т.е. не снижать цены после того, как потребители с высокой оценкой купят товар. Это объясняется тем, что потребители ждут того момента, когда монополист снизит цену. Потери прибыли монополиста в условиях отсутствия обязательств становятся очень высокими при частых ценовых корректировках. Гипотеза, выдвинутая Коузом, утверждает, что при нарастающей частоте ценовых корректировок прибыль монополиста стремится к нулю. Все торговые операции совершаются практически мгновенно по ценам, близким к предельным затратам (как в случае конкуренции).

Монополист может сократить количество товара, переходящего в следующий период, снижая продолжительность срока службы товара. При этом увеличивается остаточный спрос, а, следовательно, и цена следующего периода.

Р. Коуз указал две стратегии возвращения монопольной власти:

1. особые договорные и институциональные соглашения. Например, монополист обязуется не продавать товар сверх количества, соответствующего монопольной цене, или принимает решение не продавать товар, а сдавать его в аренду (монополистический лизинг), что позволяет закрепить товар за покупателем;

2. снижение долговечности товара.

Действительно, монополистический лизинг «ликвидирует» вторичный рынок товаров длительного пользования, и единственным продавцом товара остаётся монополист. А снижение долговечности товара заставляет потребителей чаще приобретать товар, что увеличивает объёмы продаж и доходы монополиста.

Гипотеза Коуза превратилась в аргумент юридической практики. Вот какие выводы делает американский судья Ричард Познер: «Профессор Коуз доказал, что политика монополистического лизинга такого монополиста товара длительного пользования, как United Machinery Corporation, может быть предназначена для преодоления трудностей, встречающихся при попытке назначить монополистическую цену за товар длительного пользования. Возможно, монополистический лизинг следовало бы запретить на этом основании».

Компания «Белл» в 1877 г. приняла решение не продавать телефонные аппараты, а сдавать их в аренду. Компания United Machinery Corp., производившая оборудование для изготовления обуви, не продавала своё оборудование, а сдавала в аренду сроком на 17 лет. К монополистическому лизингу прибегали корпорации IBM и Xerox. В декабре 2005 года компания Honda представила свою новую разработку: робота - помощника в офисе, согласно заявлениям компании, робот не поступит в продажу, но в скором времени его можно будет взять в лизинг.

Возможно, действия этих компаний были вызваны не столько противостоянием угрозе снижения цен из-за отказа потребителей покупать товар иначе как по конкурентной цене, сколько стремлением ликвидировать или монополизировать рынок подержанной продукции и прикрепить к себе потребителей на весь период использования товаров длительного пользования в части послепродажного обслуживания. Кроме того, монополистический лизинг позволяет осуществлять ценовую дискриминацию первого рода путём назначения более высокой арендной платы более активным пользователям.

Под влиянием работ Коуза были внесены поправки в федеральное антимонопольное законодательство США, запрещающие монополистический лизинг товаров длительного пользования.

Дж. Бюлоу (Bulow, 1982, 1986) [3,4] рассматривает простую двухпериодную дискретную модель рынка товаров длительного пользования для различных типов предприятий. Решается задача максимизации прибыли монополиста за два периода. Автор рассмотрел возможность выбытие товаров и наличия вторичного рынка (во второй период товар может продавать не только монополист, но и купившие товар в первый период). Показано, что доход монополиста, продающего товары, ниже дохода монополиста, сдающего товары в аренду. Чтобы повысить свой доход, монополист, продающий товары, специально уменьшает срок службы товаров, что заставляет покупателя чаще делать покупки.

Вопрос об оптимальной продолжительности срока службы товара для случая монополистического лизинга рассматривается в работе [5]. Опираясь на тот факт, что монополист является владельцем запаса товаров длительного пользования в каждый момент времени, автор делает выводы о том, что у монополиста есть стимул выбирать долговечность, чтобы минимизировать межвременные производственные затраты. «Запланированное устаревание» отсутствует, монополист не производит товар с нерентабельно коротким жизненным циклом для того, чтобы вынудить потребителей совершать покупки.

Н. Стоки (Stokey, 1982) показала [6], что исследовать гипотезу Коуза можно только в непрерывном времени. Покупатель будет считать товар, проданный завтра, совершенным заменителем товара, проданного сегодня, если не придётся терпеть убытки в ожидании до завтра, чтобы купить товар, т.е. только если момент «завтра» - следующий момент продаж, наступает через бесконечно малое время. Рассмотрена динамическая модель с бесконечным горизонтом планирования, для этой модели найдено равновесие, которое является пределом (единственных) равновесий в вариантах этой модели с конечным горизонтом планирования. Опираясь на предположение о рациональности потребительских ожиданий, Стоки показала, что в равновесном состоянии цены на товар бесконечно длительного пользования становятся конкурентными (т.е. равными предельным издержкам, которые считаются постоянными). Т.е. рынок наполняется «в мгновенье ока» и торговля прекращается.

Вслед за Бюлоу, Буковецки и Хилтон [7] показывают, что поведение монополиста зависит от отсутствия угрозы входа в отрасль. Монополист продал бы некоторое количество товара, если бы он пытался сдержать вход соперника. Продажи снижают потенциальный спрос для новичка, тогда как аренда не обязывает потребителей оставаться с укоренившейся фирмой в случае входа новой фирмы.

В работе [8] приведен вывод гипотезы Коуза, когда оценки покупателей отличаются от производственных затрат монополиста. В данном случае гипотеза Коуза говорит о том, что монополист продаёт по цене, близкой к самой низкой оценке покупателя.

Ж. Тепо (Thepot, 1988) [9] приводит прямое доказательство гипотезы Коуза с использованием теории оптимального управления и динамического программирования для случая нулевых предельных издержек и абсолютно долговечных товаров. Рассматриваются два вида монополии: монополия, пользующаяся доверием, и монополия, непользующаяся доверием. В работе [10] Ч. Кан (Kahn, 1986) строит динамическую модель рынка товаров длительного пользования и делает попытку доказать, что в случае возрастающих предельных издержек гипотеза Коуза несправедлива. М.С. Осадчий [11], опираясь на модели Кана и Тепо, исследует рынок более подробно, используя средства математической экономики, рассматривая различные варианты поведения монополиста. Аналогичную задачу, но с учётом возможности амортизации товара, пытается решить и JI. Карп (Кагр, 1996) [12], используя понятие «сильного марковского абсолютного равновесия» (Strong Markov Perfect

Equilibrium). Однако в этих четырёх работах можно указать неточности в применении математических методов.

В работе С. Рейнольдса (Reynolds, 2002) [13] описана экспериментальная проверка гипотезы Коуза: рассмотрен случай одного продавца-монополиста и четырёх покупателей. В эксперименте принимали участие студенты экономических школ, которые, в качестве покупателей, могли приобрести единицу товара или не приобретать товар в течение одной сессии. Мотивацией к покупке товара служила возможность последующей «перепродажи» товара «экспериментатору» по заранее оговорённой цене. Результаты этой проверки подтверждают гипотезу Коуза: как для больших, так и для малых периодов, в которые осуществляется торговля, цены на товары длительного пользования оказались значительно ниже, чем на обычные товары в той же модели.

Большой класс работ посвящен рассмотрению гипотезы Коуза с теоретико-игровой точки зрения.

Гуль, Зонненшайн и Уилсон [14] (Gul, Sonnenschein and Wilson, 1986), в предположениях, аналогичных Стоки, представляют доказательство гипотезы Коуза при условии, что покупатели используют «стационарные стратегии» (принимают решения, зависящие только от текущей цены). Однако в этой работе показано, что в модели с бесконечным горизонтом планирования может быть найден континуум равновесных состояний, отличных от «равновесия Коуза».

Осабел и Денекер [15] (Ausubel, Deneckere, 1989) в своей работе показали, что равновесие Коуза можно использовать для доказательства существования другого нестационарного равновесия: как только монополист откланяется от этого гипотетического равновесия, он теряет доверие покупателей и возвращается к равновесию Коуза, что приводит к уменьшению его дохода. Т.е. это случай, пользующейся доверием монополии, когда монополист связывает себя дополнительными обязательствами.

Багноли, Салан и Швербинский [16] (Bagnoli, Salant and Swierzbinski, 1989) рассматривают случай конечного числа покупателей: это разумно с точки зрения постановки эксперимента, но в этом случае монополист имеет возможность различать покупателей с точки зрения назначения цены, и таким образом, получать большую прибыль.

Основная задача данной работы - исследовать поведение монополиста на рынке товаров длительного пользования. С целью проверки гипотезы Коуза построена динамическая модель рынка товаров длительного пользования. Проанализированы предположения Коуза о восстановлении монопольной силы. В диссертационной работе исследованы не только товары с «классической» экспоненциальной функцией выбытия, но и товары с фиксированным сроком службы.

Актуальность работы. Актуальным является анализ механизмов восстановления монопольной власти на рынке товаров длительного пользования, проведённый на языке математических моделей.

Практическая г{енность. Исследование рынка товаров длительного пользования необходимо для совершенствования антимонопольного законодательства и формирования политики регулирования государственного вмешательства на этом рынке.

Научная новизна. Коуз основывал свою теорию на интуитивных предположениях, тогда как полный анализ данной гипотезы требует математической чёткости. Достаточно обширный класс работ, посвященных анализу гипотезы Коуза, основан на простых двухпериодных моделях. В литературе встречаются попытки построить и динамические модели рынка товаров длительного пользования. В числе наиболее известных и широко цитируемых из таких работ можно назвать работы Кана [9] (Kahn С., 1986), Тепо [10] (Thepot J., 1998), М.С. Осадчего (2002) [11] и некоторых других авторов, основывающих свои исследования на результатах этих трудов. В диссертации показано, что формализация задач, описывающих модели, предложенные в этих работах, проведена некорректно1. В диссертационной работе предложены модели для корректного исследования гипотезы Коуза. Эти модели формализованы задачами оптимального импульсного управления. С помощью этих моделей было показано, что выполнение гипотезы Коуза зависит от характеристик товара длительного пользования: для товаров с фиксированным сроком службы гипотеза нашла свое подтверждение (при определённых начальных условиях), а в случае

1 Подробнее см. главу III. экспоненциального выбытия выполнение гипотезы зависит от соотношения нормы выбытия и ставки процента.

Вопреки предположениям Коуза, даже используя монополистический лизинг, монополист может оказаться в условиях конкуренции. В работе показано, что наличие вторичного рынка не оказывает принципиального влияния на поведение монополиста.

Апробация работы. В основу диссертационной работы положены результаты, полученные автором в ходе исследований, проводимых в рамках научно-исследовательской работы по проектам:

• плана научно-исследовательской работы отдела математического моделирования экономических систем ВЦ РАН № 01.2.007 01866

• аналитической ведомственной целевой программы РНП.2.2.1.1.2467;

• РФФИ (проект № 08-07-00158-а, 07-01-12024-офи, 05-01-00942, 05-01-08045-офиа, 02-01-00854-а);

• РГНФ (проект № 08-02-00347а, 05-02-02349а),

• программы по поддержке ведущих научных школ НШ-2982.2008.01, НШ-5379.2006.1,

• программы фундаментальных исследований РАН № 16 «Математическое моделирование и интеллектуальные системы», программ фундаментальных исследований ОМН РАН № 3 (п. 3.14), РАН № 14 (п. 1.11).

Научные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

• XLVI, научная конференция МФТИ, Москва-Долгопрудный, 2003г.

• XLVII научная конференция МФТИ, Москва-Долгопрудный, 2004г.

• I международная конференция «Системный анализ и информационные технологии» САИТ-2005, Переславль-Залесский, 2005.

• V Московская международная конференция по исследованию операций (ORM2007). Москва, 2007.

• Вторая Международная конференция «Математическое моделирование социальной и экономической динамики» (MMSED-2007), Москва, 2007.

• II Всероссийская научная конференция с молодёжной научной школой «Математическое моделирование развивающейся экономики», посвященная 90-летию со дня рождения Н.Н. Моисеева. ЭКОМОД-2007, Киров, 2007.

• Вторая международная конференция «Системный анализ и информационные технологии» САИТ-2007, Обнинск, 2007.

• L научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», Москва, 2007.

• VII международная конференция «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'08. Москва, 2008.

• Вторая ежегодная конференция "Современные подходы к исследованию и моделированию в экономике, финансах и бизнесе". Санкт-Петербург, 2008.

• научный семинар под руководством академика А.А. Петрова в ВЦ РАН им. А.А. Дородницына, Москва, 2007.

Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Флерова, Анна Юрьевна

Заключение

Коуз выдвинул гипотезу о том, что монополист на рынке товаров длительного пользования теряет свою монопольную власть и оказывается в условиях конкуренции, и предположил, что монополист может вернуть монопольную власть, используя монополистический лизинг.

Гипотеза Коуза нашла свое полное подтверждение только для совершенно долговечных товаров (товаров без выбытия). Действительно, при нулевой функции выбытия торговля происходит только в первый момент времени, рынок мгновенно насыщается до конкурентного значения и торговля прекращается. Однако это состояние конкуренции достигается при монополистическом лизинге, т.е. предположение Коуза о том, что монополистический лизинг помогает монополисту избежать конкуренции, не нашло подтверждения даже в этом тривиальном случае.

В ходе исследования удалось установить следующий важный факт. Большое влияние на поведение монополиста оказывает вид выпускаемого товара длительного пользования, характеризуемый функцией выбытия. В случае товаров с фиксированным сроком службы, запас товаров у потребителей всегда находится на конкурентном уровне (при нулевых начальных условиях) в согласии с гипотезой Коуза. В этой ситуации монополистический лизинг не влияет на поведение монополиста так, как предполагал Коуз. Снижение долговечности товара также не помогает избежать конкуренции, однако увеличивает доход монополиста, заставляя покупателей чаще приобретать товар.

На рынке товаров, описываемых экспоненциальным законом выбытия, справедливость гипотезы Коуза зависит от соотношения коэффициента выбытия /1 и банковской процентной ставки г. Для этой задачи доказана теорема о магистрали в сильнейшей форме. Магистраль определяется особым режимом, и причем она монотонно смещается при изменении параметра — от 0 до со от г значения выпуска при совершенной конкуренции к значению монопольного выпуска. Это означает, что гипотеза Коуза справедлива, если ju«r. Монополист может оказаться в условиях конкуренции, сдавая товары в аренду. Однако, снижая долговечность товара (увеличивая параметр ju), монополист действительно может избежать совершенной конкуренции, приблизив свой выпуск к монопольному.

Итак, из представленного исследования гипотезы Коуза можно сделать следующие основные выводы: справедливость гипотезы Коуза зависит от закона выбытия товаров длительного пользования, в рассмотренных случаях монополист мог оказаться как в условиях конкуренции, так и монополии; монополистический лизинг товаров длительного пользования не позволяет вернуть монопольную власть вопреки предположению Коуза; снижение долговечности товара не позволяет понизить уровень запасов товаров у потребителей, однако приносит дополнительный доход, так как покупатели чаще приобретают новый товар.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Флерова, Анна Юрьевна, 2008 год

1. Coase R.H. Durability and monopoly // Journal of Law and economics. 1972. V.15. P.143-149.

2. Тироль Ж. Рынки и рыночная власть: теория организации промышленности. СПб.:

3. Экономическая школа, 2000.

4. Bulow J. Durable-goods monopolists // Journal of Political Economy. 1982. V.90. P.314332.

5. Bulow J. An economic theory of planned obsolescence // Quarterly Journal of Economics.1986. V. 101, N 4. P. 112-128.

6. Swan P., Optimum Durability, Second Hand Markets, and Planned Obsolescence, Journal of

7. Political Economy. V. 80. 1972. P. 575-585.

8. Stokey N.L. Rational expectation and durable goods pricing // Bell Journal of Economics. 1981. V. 12, N 1. P. 112-128.

9. Thepot J. A direct proof of the Coase conjecture // Journal of Math. Economics. 1998. V.29.1. P.57-66.

10. Kahn C. Durable goods monopolist and consistency with increasing costs // Econometrica. 1986. V.54,N2. P.275-294.

11. Осадчий M.C. Динамическая монополия и конкуренция на рынке товаров длительного пользования // Сибирский журнал индустриальной математики. Октябрь-декабрь, 2002. том V. № 4 (12). С. 92-109.

12. Karp L. Depreciation erodes the Coase Conjecture // European Economic Review. 1996. V.40. P.473-490.

13. Reynolds S. An Experimental Investigation Of Coase's Conjecture on Durable-Goods Monopoly Pricing // Research in Experimental Economics, Vol. 9: Experiments Investigating Market Power, Elsevier Science Ltd., 2002. P.139-163.

14. Gul F., Sonnenschein II, Wilson R. Foundations of dynamic monopoly and the Coase conjecture // Journal of Economic Theory. 1986. V.39. P.155-190.

15. Ausubel L., Deneckere R. Reputation in bargaining and durable goods monopoly // Econometrica. 1989. V.57, N 3. P.511-531.

16. Bagnoli M., Salant S., & Swierzbinski J. Durable-Goods Monopoly with Discrete Demand // Journal of Political Economy. 1989. V.97. P. 1459-1478.

17. Дыхта В.А., Самсонюк O.H. Оптимальное импульсное управление с приложениями. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000.

18. Дыхта В.А. Необходимые условия оптимальности импульсных процессов при ограничениях на образ управляющей меры // Изв. вузов: Математика. 1996. №12. С.1-9.

19. Куржанский А.Б. Оптимальные системы с импульсными управлениями. Дифференциальные игры и задачи управления. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1975, с. 131-156.

20. Куржанский А.Б., Осипов Ю.С. К управлению линейной системой обобщенными воздействиями. Дифференциальные уравнения. 1969. Т.5. N 8, с. 1360-1370.

21. Миллер Б.М., Рубинович Е.Я. Оптимизация динамических систем с импульсными управлениями. М.: Наука, 2005.

22. Завалищин С.Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы:. модели и приложения. М.: Наука, 1991.

23. Ащепков JI.T. Оптимальное управление разрывными системами. Новосибирск: Наука, 1987. 226 с.

24. A. Bressan, F. Rampazzo. Impulsive Control Systems with Commutative Vector Fields. J. of Optimization Theory and Applications, vol. 71 (1991), pp.67-83.

25. F.M.F.L. Pereira and G.N. Silva. Necessary conditions of optimality for vector-valued impulsive control problems. Systems and Control Letters 40, 2000, pp. 205-215.

26. G.N. Silva and R.B. Vinter. Necessary conditions for optimal impulsive control problems. SI AM J. Control Optim., 35 (1997), pp. 1829-1846.

27. R.B. Vinter and F.M.F.L Pereira. A maximum principle for optimal processes with discontinuous trajectories. SIAM J. Control Optim., 26 (1988), pp.205-229.

28. Ашманов С.А. Линейное программирование. M.: Наука, 1981.

29. Dorfman R., Samuelson P. A., Solow R. M. Linear programming and economic analysis. N.Y.: McGrow Hill, 1958.

30. БекларянЛ.А. Групповые особенности дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Введение в линейную теорию // Матем. заметки, 1998, 63(4), 483—493.

31. Бекларян Л.А. Групповые особенности дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и связанные с ними метрические инварианты// ВИНИТИ. 1999. Т.67. С.161-182.

32. Бекларян Л.А. Задача оптимального управления для систем с отклоняющимся аргументом и ее связь с конечно-порожденной группой гомеоморфизмов R, порожденной функциями отклонения// ДАН СССР. 1991. Т. 317, N6, С. 1289-1294.

33. Бекларян Л.А. Об одном методе регуляризации краевых задач для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом// ДАН СССР. 1991. Т. 317, N5, С. 1033-1038.

34. Бекларян Л. А. Уравнения опережающе-запаздывающего типа и решения типа бегущей волны для бесконечномерных динамических систем СМФН, 2003, 1, с. 1829.

35. Харатишвили Г. Л., Тадумадзе Т. А. Формулы вариации решения дифференциального уравнения с запаздывающими аргументами и разрывным начальным условием. Матем. сб., 2005,196:8, с. 49-74.

36. Харатишвили Г. Л., Тадумадзе Т. А. Нелинейные оптимальные системы управления с переменными запаздываниями. Матем. сб., 1978, 107(149):4(12). С. 613-633.

37. Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования. Т.1. М.:Мир, 1991.

38. Арутюнов А.В., Тынянский Н.Т. О принципе максимума в задаче с фазовыми ограничениями. Известия АН СССР. Серия техническая кибернетика. 1984. №4. С. 60-68.

39. Арутюнов А.В. К теории принципа максимума в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями. ДАН СССР. Т. 304, 1989. № 1. С. 11-14.

40. A. Arutyunov, D.Karamzin, F. Pereira. A nondegenerate maximum principle for the optimal control problem with state constraints. 2005. SIAM J.Control Optim. V.43. №5. p.1812-1843.

41. D. Yu. Karamzin. Necessary extremum conditions in the optimal control problem with state constraints. Computational Mathematics and Mathematical Physics, Vol. 47, No. 7, 2007, pp. 1073-1100.

42. F.M.F.L. Pereira. A maximum principle for impulsive control problems with state constraints // Computational and Applied Mathematics. Vol.19. N.2. 2000. pp. 137-155.

43. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Задачи на экстремум при наличии ограничений. Доклады Академии наук СССР. 1963. том 149. №4. С.759-762.

44. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962.

45. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

46. Дмитрук А.В., Милютин А.А., Осмоловский Н.П. Принцип максимума в оптимальном управлении. МГУ, Мех-Мат. 2004.