Интегральные неравенства, родственные теореме Харди и принципу неопределенности Гейзенберга тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Макаров Руслан Валерьевич

• Макаров Руслан Валерьевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Макаров Руслан Валерьевич

§1.1 Неравенство Харди

1.1.1 Дискретный случай

1.1.2 Интегральный случай

§1.2 Принцип неопределенности Гейзенберга

1.2.1 Классическое неравенство

1.2.2 Модификации подхода Гейзенберга

§1.3 Связь между известными интегральными неравенствами

Глава

Неравенства Харди в областях с выпуклым дополнением и принцип неопределенности Гейзенберга

§2.1 Обозначения и вспомогательные результаты

§2.2 Обобщение теоремы Хадвигера

§2.3 Оценки констант в интегральных неравенствах

§2.4 Неравенства, связанные с принципом неопределенности Гейзенберга

Глава

Неравенства типа харди, связанные с параметрическим уравнением типа Лэмба

§3.1 Неравенства типа Харди. Одномерный случай

3.1.1 Монотонность специальной функции, зависящей от функции Бесселя

3.1.2 Неравенства типа Харди, содержащие модули функции и ее производной

3.1.3 Интегральные неравенства типа Харди в Ьр при р >

§3.2 Неравенства типа Харди. Многомерный случай

3.2.1 Неравенства, содержащие модули функции и ее градиента

3.2.2 Неравенства в пространстве Ьр

Глава

Неравенства типа Харди с дополнительными слагаемыми

§4.1 Дополнительные свойства функции Бесселя

§4.2 Интегральные неравенства в конечных интервалах

§4.3 Неравенства на отрезке вещественной оси в пространствах суммируемых и суммируемых со степенью р функций

§4.4 Ьр неравенства в выпуклых областях

Заключение

Литература

Введение

Диссертационная работа посвящена интегральным неравенствам, родственным теореме Харди и принципу неопределенности Гейзенберга.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегральные неравенства, родственные теореме Харди и принципу неопределенности Гейзенберга»

Актуальность работы

Хорошо известно, что квантовая механика успешно развивается благодаря плодотворному сотрудничеству математиков и физиков. Одним из примеров связи между физикой и чистой математикой является связь между принципом неопределенности Гейзенберга и интегральными неравенствами типа Харди в евклидовых пространствах. Эта связь указана в известной монографии Рида и Саймона по методам современной математической физики (см. [18]).

Настоящая диссертация посвящена исследованию в этой области и получению результатов, являющихся необходимыми обобщениями и дополнениями интегральных неравенств типа Харди, а также неравенств принципа неопределенности Гейзенберга.

Неравенства типа Харди и принцип неопределенности Гейзенберга получили широкое применение в теоремах вложения функциональных пространств, исследовании спектра операторов и многих других сферах математики и математической физики.

Впервые неравенство Харди было опубликовано и доказано в заметках самого Харди еще в 1920 году, в которых автор упрощал доказательство теоремы Давида Гильберта о двойных рядах. Была разработана богатая теория с исходными неравенствами на (0,1), которая в дальнейшем была расширена и уточнена во многих направлениях, и литература по ней весьма обширна.

Сейчас неравенства типа Харди широко применяются в математическом анализе, в теории дифференциальных уравнений, а также в математической

физике. В частности, С.Л. Соболев [19] использовал их в теории вложенных пространств и применял при оценке потенциала Рисса. Ф.Г. Авхадиев в своей работе [5] использовал неравенство типа Харди для оценки жесткости кручения. Результаты А. Балинского, А. Лаптева, А.В. Соболева, Т. Вейдла из работ [32], [65] применяются при изучении отрицательности спектра двумерного оператора Шредингера и связаны с проблемой существования резонансных состояний.

Стоит отметить, что неравенства типа Харди используются в теории интерполяции, в анализе Фурье, в теории аппроксимации пространств функций, в нелинейном анализе и в теории дифференциальных уравнений эллиптического типа с вырождениями. Они применяются также в качестве инструмента в исследовании спектра эллиптических операторов, при доказательстве существования и единственности решения в теории вязкой несжимаемой жидкости.

Неравенства типа Харди связывают в одномерном случае функцию и ее производную, а в многомерном случае — функцию и модуль ее градиента.

Основное неравенство Харди для абсолютно непрерывной функции f : [0, то) ^ R, такой, что f (0) =0 и f' £ L2(0, то), выглядит следующим образом

Постоянная 4 является неулучшаемой, хотя и не существует экстремальной функции $ ф 0, на которой достигается равенство (см., например, [55]).

Принцип неопределенности был открыт Вернером Гейзенбергом в 1927 году [58]. Сейчас это — один из фундаментальных принципов в квантовой механике, который описывает некоммутирующие операторы (например, координаты и импульса, тока и напряжения, электрического и магнитного поля) и устанавливает предел точности одновременного определения пары характеризующих систему квантовых наблюдаемых. Говоря проще: чем точнее измеряется одна характеристика частицы, тем менее точно можно измерить вторую. Соотноше-

ние неопределенностей задает нижний предел для произведения среднеквадратичных отклонений пары квантовых наблюдаемых.

В квантовой механике принцип неопределенности может быть записан в

виде:

Ах •Ар ^ П/ 2,

где Ах — величина среднеквадратического отклонения координаты, Ар — сред-неквадратическое отклонение импульса, П — постоянная Планка.

Принцип неопределенности в общем случае применим не только к координате и импульсу (как это показал Гейзенберг), он может быть применим к парам сопряженных переменных. В общем случае, в отличие от случая координаты и импульса, нижняя граница произведения «неопределённостей» двух сопряжённых переменных зависит от состояния системы. Принцип неопределённости становится тогда теоремой в теории операторов.

Принцип неопределенности Гейзенберга оказывает прямое влияние на различные области математического анализа, например, используется при изучении свойств функций с ограничениями на носителе и их свойствах при преобразовании Фурье.

Цель исследования

Целью диссертационной работы является установление новых неравенств, родственных теореме Харди и принципу неопределенности Гейзенберга.

Научная новизна

В работе доказаны новые утверждения на основе принципа неопределенности Гейзенберга и неравенств типа Харди. Полученные результаты могут быть использованы для дальнего изучения интегральных неравенств.

Практическая и теоретическая ценность

Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации, могут послужить некоторым инструментом для дальнейших теоретических исследований в теории вложения весовых функциональных пространств

и в теории краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений эллиптического типа.

Положения, выносимые на защиту:

1. Установлено обобщение теорем аппроксимации Хадвигера на случай выпуклого неограниченного множества.

2. Получено новое интегральное неравенство типа Харди, родственное принципу неопределенности Гейзенберга.

3. Доказаны новые Ь\ и Ьр интегральные неравенства типа Харди с константами, зависящими от постоянной Лэмба, в частных случаях установлена точность констант.

4. Получены многомерные интегральные неравенства, связывающие функцию и модуль ее градиента, с весами, содержащими функции расстояния до границы.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на следующих конференциях:

1. XIII Международная школа-конференция «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», Казань, КФУ, 21.08.2017 - 27.08.2017.

2. Международная конференция «Современные проблемы математики и механики», посвященная 60-летию Института математики и механики, Баку, 23.10.2019 - 25.10.2019.

3. XVIII Всероссийская молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения — 2019», Казань, КФУ, 25.11.2019 - 30.11.2019.

4. Международная конференция по алгебре, анализу и геометрии 2021, Казань, КФУ, 23.08.2021 - 27.08.2021.

5. Международная научная конференция «Уфимская Осенняя Математическая Школа — 2022», Уфа, БашГУ, 28.09.2022 - 1.10.2022.

6. Международная научная школа-конференция «Экстремальные проблемы теории функций», посвященная 75-летию профессора Ф.Г. Авхадиева, Казань, КФУ, 29.10.2022 - 30.10.2022.

Публикации

Основные результаты диссертации отражены в десяти работах автора: [7], [12]—[16], [27], [67]—[69], 4 из которых изданы в журналах, индексируемых Web of Science и Scopus, а также рекомендованных ВАК, 6 — в трудах конференций и тезисах докладов.

Личный вклад

Содержание диссертации является итогом самостоятельной работы автора. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами. Постановки задач в совместных работах принадлежат, в основном, Ф.Г. Авхадиеву и Р.Г. Насибуллину. Доказательство всех теорем и утверждений, выносимых на защиту, принадлежит автору работы. Объем и структура работы

Диссертационная работа изложена на 102 страницах машинописного текста и состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 88 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение содержит обоснование актуальности темы исследования, обзор литературы по теме диссертации и краткое изложение основных результатов.

В первой главе приведен дискретный случай неравенства Харди, который был получен самим Харди, а также интегральные аналоги, необходимые в дальнейшем для получения новых результатов.

Само неравенство типа Харди может быть записано в следующем виде:

[ |У/(х)|р^ ^ ^(П) / V/ е С0(П), (0.0.1)

где С0(П) — семейство гладких вещественных функций с компактными носителями на множестве П = Кп, р е [1, то), й е (-то, то), V/ обозначает градиент функции / : П ^ К, П) - расстояние от точки х е П до границы мно-

жества, константа опрз(П) е [0, то) предполагается максимально возможной.

Приводятся также некоторые известные определения и классическое неравенство Гейзенберга, а также некоторые его обобщения в пространстве Ьр. Кроме того, показаны модификации подхода Гейзенберга для пространства Шварца. Само же классическое неравенство выглядит следующим образом:

//|/(х)|2¿х £2|/(£)|2> ¿(^ I/(^)|22 ,

где / е Ь2(Ж), / — преобразование Фурье функции /.

В этой главе указана связь между неравенством Харди, неравенством принципа неопределенности, а также другими известными соотношениями.

Вторая глава посвящена многомерным неравенствам типа Харди и неравенствам, которые связаны с принципом неопределенности Гейзенберга.

Существует много оригинальных работ по многомерным неравенствам типа Харди (см., например, [2], [3], [10], [23], [25], [30], [34], [39], [45], [46], [51], [59], [70], [71], [73]). Подробное доказательство основных результатов по неравенствам типа Харди можно найти в книге [33]. Существует несколько родственных результатов о неравенствах типа Реллиха, тесно связанных с неравенствами типа Харди (см., например, [6], [22], [43], [80]).

В этой главе доказаны обобщения двух следующих теорем Хадвигера для выпуклых тел.

Теорема 0.0.1. (Первая теорема аппроксимации Хадвигера). Если А е Кп — выпуклое тело и задано е > 0, то можно найти два таких выпуклых

многогранника Р, ( € Рп, что Р С А С (, причем distя(А,Р) < £ и ^я(А, () < е.

Теорема 0.0.2. (Вторая теорема аппроксимации Хадвигера). Если А € Кп — выпуклое тело и задано Л > 1, то можно найти такой выпуклый многогранник Р € Рп, что Р С А С ЛР при условии, что 0 € А и 0 € дА.

Пусть О — п-мерная выпуклая область с конечным внутренним радиусом ¿0, определенным как 60 = 60(О) = вирже^ 6(х), где 6(х) — расстояние от точки х € О до границы дО области О, т.е.

6(х) = ^1;(х,дО) = т^ |х — у|,Ух € О.

Через СО (О) будет обозначено семейство непрерывных дифференцируемых функций / : О ^ К с компактным носителем, лежащим в О.

Неравенство (0.0.1) подробно изучено Харди, когда п = 1 и О = (0, то) С К. В этом случае dist(x,дО) = |х|. Харди отдельно рассмотрел три ситуации, когда р = в = 2, в > 1 и в < 1. В следующей теореме приведена унифицированная версия результатов Харди в форме, подходящей для их приложений к многомерным неравенствам.

Теорема 0.0.3. (см. [55]). Пусть р € [1, то) и в € К, тогда для любой функции / : (0, то) ^ К, удовлетворяющей условиям / € С0((0, то)) и / ф 0, справедливо следующее неравенство

/ТОМ^ /ТО|М£А, (0.0.2)

где константа |в — 1|р/рр точная. А именно, для любого е > 0 существует функция / : (0, то) ^ К, / € С0((0, то)), такая, что

Гто ЖА < (+ Л Гто ЩР Л г- V р! ) л V

Доказано обобщение следующей теоремы Ф.Г. Авхадиева для случая, когда О — открытое множество такое, что К := Кп \ О — непустой компакт.

Теорема 0.0.4. (см. [8] и [23]). Пусть п > 2, р е [1, то), в е [п, то), П С Мп открытое множество такое, что П = Мп, тогда

да > (в—г и да е С01(П),

^ 65—р(х) - рр ^ (х) где константа (в — п)р/рр оптимальна, т.е. существуют области П С Мп, П = Мп, для которых величина (в — п)р/рр является наилучшей.

В этой главе также получено неравенство, родственное принципу неопределенности для случая п = 2.

В следующей теореме мы рассматриваем функции / : К2 \ {0} ^ К и используем комплексную переменную и полярные координаты, принимая за г = х + гу = гвг°, 0 < г = ^| < то, 0 < 9 < 2п, /(г) = /(твгв).

Теорема 0.0.5. Пусть в е К. Тогда справедливо следующее неравенство П V(г)|2 ^ |в — 2|2 П /2(г)

¿хАу >--— -¿хЛу+

/м2 Г5 2 4 ууМ2 г5

1 Г2п

'м2 \ 2п Л " ~ 7 г5

1 [2п V ЫУ ^Г г гЛ (ш2

+ //__ (/(г) /(ге*)^) V/ е С (М2 \ {0})

где г = |, г = х + гу = гвгв.

Третья глава посвящена неравенствам типа Харди с дополнительными слагаемыми для гладких функций с компактными носителями на открытых множествах в евклидовом пространстве. Получены новые неравенства с весовыми функциями, зависящими от функции расстояния до границы области. Доказаны одномерные Ь1 и Ьр неравенства и их многомерные аналоги. Доказываются такие пространственные неравенства в открытых выпуклых областях с конечным внутренним радиусом. Константы в этих неравенствах зависят от корней параметрического уравнения Лэмба для функции Бесселя и в некоторых частных случаях оказываются точными.

В этой главе мы обобщаем следующее точное неравенство, доказанное Ф.Г. Авхадиевым и К.Й. Вирцем в [29]: Если т > 0, 0 < V < 1/т и П —

выпуклая область с конечным внутренним радиусом

60(П) = йир{^(ж) : х Е П}, то для любого / Е С^П) имеет место следующее точное неравенство

/ ^+ ^ / ^<** < / IV/(х)|2*, (0.0.3)

П П П

где С = С (т) константа, удовлетворяющая уравнению

—С) + 2СУ„(—С^ = 0 (0.0.4)

\т ) \ т )

для функции Бесселя порядка V.

Как и в статьях [28] и [29], величина С (т), определенная как первый положительный корень уравнения (0.0.4), называется константой Лэмба (см. также [17] и [78]), а уравнения вида (0.0.4) — уравнениями Лэмба.

Неравенство (0.0.3) справедливо и для функций, принадлежащих замыканию Н0(П) семейства С0(П) гладких функций с конечным интегралом Дирихле и носителями в П. Следует также подчеркнуть, что многомерное неравенство (0.0.3) является мостом между неравенствами Харди и Пуанкаре и имеет некоторые особенности, такие как дополнительный член и точные константы (дополнительную информацию см. в [29]).

М. Хоффманн-Остенхоф, Т. Хоффманн-Остенхоф и А. Лаптев [59] доказали, что для любого / Е Н0(П) выполняется следующее неравенство типа Харди

IIV/(х)|^х > 4 I Ы<1х + 4Кр 11/(х)|2йх (0.°.5)

П П П

выполняется, где П — выпуклая область в (п > 2), |§п_1| — площадь поверхности единичной сферы §п_1 в евклидовом пространстве |П| — объем множества П и

к (п)=п ()2/".

Константа 1/4 является оптимальной.

В [85] Д. Тидблом доказал неравенство для функций / из соответствующего пространства Соболева

РЧ ¿р(х) Г( )Г(п) \иЩ ) ] 1 ( л 1 <

< ^ I V/(х) |р^ж, (0.0.6) п

где р > 1, О — выпуклая область на (п > 2), | §п-1 | — площадь поверхности единичной сферы §п-1 в евклидовом пространстве | О| — объем множества О, Г — гамма-функция Эйлера и

-=(?)'.

Константа ср является лучшей. Стоит обратить внимание, что неравенство (0.0.6) является обобщением неравенства (0.0.5) для р =2 на случай произвольного р > 1.

Как было упомянуто выше, получено обобщение и расширение (0.0.3). А именно, доказана Ьр версия неравенства для р > 1. Хорошо известно, что для Ьр пространств с 0 < р < 1 неравенство Харди не выполняется для произвольных неотрицательных измеримых функций. Несмотря на это, неравенства типа Харди для 0 < р < 1 также известны для некоторых неотрицательных невозрастающих функций (см. [40]-[42]).

Пусть константа с^ (т) удовлетворяет условию

(1 - 2А)Л( — с^(т))+2с^(т)^( — с^(т) ) = 0 и — с^(т) е (0,З), \т ) \ т ) т

где Зу — первый положительный нуль функции Бесселя Зу порядка V. В данной

работе будет принято, что су(т) — первый корень уравнения.

Ясно, что если А = 0, то последнее уравнение совпадает с уравнением (0.0.4), которое Ф.Г. Авхадиев и К.Й. Вирц использовали в [29]. Доказаны неравенства с константами, зависящими от корней параметрического уравнения Лэмба для функции Бесселя.

Рассмотрены 2 частных случая этих условий.

Случай 0.0.1. Если z = m cv (m), v > 0, m > 0 и Л = (1 — mv )/2, то эти условия принимают вид

vJv(z) + zJ(z) = 0 и z E (0, j v).

Поскольку имеет место следующее тождество для функции Бесселя

vJv(z) + zJ(z) = zJv—i(z), z > 0, v > 0,

то постоянная Лэмба cv (m) = mrz = mrjv—1.

Случай 0.0.2. Если v =1/2 и z = mcv(m), то эти условия принимают вид

2mz cos z — (4Л + m — 2) sin z = 0 и z E (0,n).

Важно заметить, что в [28], Ф.Г. Авхадиев и К.Й. Вирц доказали, что постоянная Лэмба z = Л v (p) определяемая как первый положительный корень уравнения

pJv (z ) + 2zJV (z) = 0

как функция от переменной p может быть найдена как решение задачи Коши для дифференциального уравнения

dz 2z

dp p2 — 4v2 + 4z2

В частности, в этой главе получены следующие результаты. Пусть Q — открытое выпуклое множество на Rn с конечным внутренним радиусом ¿0 = ¿0(^). Если p > 1, m > 1,v E [0,1/m] и Л E [0, , то для любой функции f E C0(^) справедливо Lp неравенство

(1 2 2) f lf(x)|pd , 4p (c2(m) + (m — 1)(Л — Л2)) Г |f(x)|p d (1 — pv2m2) ro. . dx +------- ———dx <

v 1 J J ¿2(x) ¿m J ¿2—m(x) <

Q Q

< pP (2(1 + vm) — 4Л2)р í dx

¿2—p(x)

Q

если т > 1, V е [0,1/т) и А е [0, 1+2та], то для любой функции / е С0(О)

и если т > 1, V е [0,1/т) и

Г |/(х)|р , ■ 4р (с2(т) + (т - 1)(А - А2)) Г |/(ж)|р ,

У д2(ж) + (1 - V2т2)^т У д2-™(ж)<

п п

р ( 2 4А2 )р [ |/'(х)|р 7

< рр ^--^-^ ' 2 \ ¿ж.

\1 - vm 1 - v2m2/ у д2 р(ж)

п

Кроме того, если т> 1, V е [0,1/т] и А е [0, , то верно Ь2 неравенство

1 - V2т2 [ |/(ж)|2 ,г + с2(т) + (т - 1)(А - А2) Г |/(ж)|2 ,г

4 У д2(ж) + ¿у У д2-»(ж) <

п п

< - А2) / V(ж)|2^.

п

Если сравнивать последнее неравенство и точное неравенство (0.0.3), то ясно, что при т > 1, V е [0,1/т], А е [0, Цр] и Цр - А2 < 1/4, первая константа (1 - V2т2)/4 точная и

с2(т) + (т - 1)(А - А2) < С,2(т).

В четвертой главе получены новые взвешенные неравенства типа Хар-ди, а именно, обобщаются результаты из предыдущей главы.

В этой главе получено обобщение и расширение неравенств, доказанных Ф.Г. Авхадиевым и К.Й. Вирцем в работе [30]. Например, они показали, что для любой абсолютно непрерывной функции / : [0,1] ^ К, удовлетворяющей условиям /(0) = 0 и ж1/4-в/4/' е Ь2(0,1) верно следующее неравенство

[1 //2( ) ¿ж 1 - V2д2 Г1 /2(ж) ¿ж +

Л / (ж)Ф#(ж) -5 4 у0 ж2 Ф^-1(ж) +

+ 5д2АУ(2/д) Г1 /(ж) ¿ж (0 0 7)

+ 4 Л ж2-« ф-Чж) (0.0Л)

верно, где и д — положительные числа, Ф^(ж) = у^ж^ (А^(2/д)ж«/2) и г = А^(2/д) — константа Лэмба, определенная как первый положительный корень уравнения Лэмба

^ (г) + д^ (г) = 0. 15

Это уравнение трудно решить напрямую, потому что оно включает функцию Бесселя и ее производную, которые определяются через сходящийся ряд. Поэтому в [28] Ф.Г. Авхадиев и К.Й. Вирц доказали, что константа Лэм-ба z = Л v (p), определяемая как первый положительный корень уравнения pJv(z) + 2zJ'(z) = 0 как функция от p может быть найдена как решение начальной задачи для дифференциального уравнения

dz 2z

dp p2 — 4v2 + 4z2

Хорошо известны различные численные методы решения этой задачи.

Следует обратить внимание, что неравенство (0.0.7) имеет некоторые особенности, такие как дополнительный член, весовые функции, зависящие от функций Бесселя, и точные константы (см. также [17], [28], [33], [47], [59], [78], [85], [86]). Стоит отметить, что неравенства Харди с дополнительными слагаемыми впервые были получены В.Г. Мазьей в [72], а возобновление интереса к неравенствам типа Харди с дополнительными неотрицательными членами последовало после работы Х. Брезиса и М. Маркуса [39].

В [30], Ф.Г. Авхадиев и К.Й. Вирц получили пространственные неравенства в n-мерной выпуклой области с конечным внутренним радиусом. А именно, для любого f Е Cq(^) доказали следующее неравенство

/ 1 Vf (Х 1 2 Sinl—s (ä) dx ^ s4j / I f (x) 1 2 sin1- (g) dX

где Vf = (df/dx1,..., df/dxn) — градиент функции f и s положительное число.

Если s = 1, то пространственный аналог (0.0.7) строит мост между неравенствами типа Харди классической формы и точными оценками первого собственного значения лапласиана при краевом условии Дирихле для n-мерных выпуклых областей (дополнительную информацию см. в [28], [29]).

В этой главе сначала получены L1 неравенства, которые в дальнейшем использованы для получения аналогов в Lp, с p Е [1, то). На самом деле, L1

неравенства также представляют собой самостоятельный интерес. Константы в этих неравенствах зависят от корней параметрического уравнения Лэмба для функции Бесселя. Например, изучены следующие случаи. Предположим, что в и д — положительные числа. Если / — абсолютно непрерывная функция на [0,1] такая, что f (0) = 0, то

4 - q2 Г Щ! 4 ./о x2

2-q

x 4 sin I Cqx2

1- s

dx+

+ q c

,2 I If (x)|

x

2-q

2-q

x 4 sin I cqx2

1-s

'1 I

< (2 + q)

If '(x)|

x

dx <

2-q .

x 4 sin ( cqx2

1s

dx,

где константа cq удовлетворяет условиям

2qcq cos cq — (q — 2) sin cq = 0 и cq G (0,n).

Далее получено прямое обобщение неравенства (0.0.7). А именно, показано, что для абсолютно непрерывной функции f, удовлетворяющей условию f (0) = 0, верно следующее L2 неравенство

12

f /2(x) dx

xr—1 Fs—1 (x) ~

•ÁJ ^ v,r,q V /

s(r2 — v2q2) f1 f2(x) dx

12

>

+

'о xr+1 (x)

sq2A2(2r/q) f1 f2(x) dx

+

4 Л q+1 (x)'

где Fv,r,q(x) = x2 Jv (Лv(2r/q)x2) , x Е [0,1] и z = Л^(2r/q) — константа Лэмба, определенная как первый положительный корень уравнения Лэмба

r Jv (z) + qzJv (z) = 0.

Неравенство строгое, если f ф 0 и s < s0, где

r — vq

so = —-.

r + vq

Пусть s > s0, тогда равенство достигается тогда и только тогда, когда f (x) = CFrsvq(x), где C константа. Это неравенство обобщает неравенство (0.0.7) и соответствующее точное неравенство из [28].

q

Также в этой главе приведен один пример применения одномерного неравенства для получения Ьр аналога. В последнем разделе даны некоторые замечания о распространении одномерных неравенств на п-мерные выпуклые области. Для установления пространственных неравенств использован метод из [8], [9], [23].

Стоит заметить, что, вообще говоря, неясно, точны ли константы в неравенствах. Константы оказываются точными в некоторых частных случаях (например, см. следствие 4.2.6 ниже).

Глава 1

Неравенства Харди и Гейзенберга

В данной главе приводятся известные результаты по неравенствам типа Харди, классическое неравенство Гейзенберга, а также его модификации. Указана связь между неравенством Харди и принципом неопределенности Гейзенберга.

§1.1 Неравенство Харди

1.1.1 Дискретный случай

Неравенство Харди названо в честь английского математика Г.Х. Харди. Изначально Харди стремился найти простое доказательство слабого неравенства Гильберта, опубликованного в 1906 году [63]:

то то то то ,

£ а; < то, £ & < то (а„ > 0Д„ > 0) ^ ££ ^

1 1 1 1 т + П

П=! Ш=! П=! Ш=!

Через несколько лет это неравенство было обобщено и получен дискретный аналог теоремы Харди. Доказательство вывел Г.Харди [57], но не смог дать точную оценку для константы в этом неравенстве. Точная оценка была получена позднее Э. Ландау [66].

Теорема 1.1.1. Пусть р > 1, ап ^ 0 и Ап = а + а2 + ... + ап, п = 1, 2,____

Тогда

£ (А)' < (р-т)' £ а;

п=! 4 ' 4 ' п=!

кроме того случая когда ап = 0, Уп. Константа в этом неравенстве наилучшая.

Доказательство. Пусть ап = ^. Через ап выразим ап.

а; = (а! + ... + а;-! + ап) - (а! + ... + ап_!) = Ап - Ап_! = пап - (п - 1)_п-ь Тогда

р р р-! _ р р р-! / / 1 \ \ _

_п _п ап _п _п (пап (п 1) —!)

р - д р - д

= V (1 пр \ р(п - 1) р-!

а п I 1 7 ) + 1 а п а п—!.

V р - V р -1

Используя неравенство Юнга, имеем

р Л пР V р(п - 1) р-! ^

1--- +--— аП !ап-! <

V р -1 р -1

< «(1 - а п+р а;-!

= пап (1 - р-у) + ап-! = р-11((п -1)ап-!- ^^

откуда

^^ N 1 _ „ _р

£ ап - £ ап-!ап < £ — ((п - 1)0- - пап) = < 0.

р - 1 р - 1 р - 1

п=1 п=1 п=1

Применяем неравенство Гельдера

X N / N \ !/р / N \ !/р'

£<р^£Л<р^(£<) (£

п=1 п=1 п=1 п=1

Разделим получившееся неравенство на последний множитель в правой части, который всегда является положительным. И после возведения получившегося результата в степень р наше неравенство примет следующий вид

' / р \р ^

£ _п < Д £ «п .

п=1 - п=1

Далее переходим к пределу при N ^ то и находим, что ряд ^ ар сходит-

ся.

Равенство достигается в случае, когда an и an пропорциональны, то есть an = Can для Vn и где C не зависит от n. Откуда

А

a = C«i = C— = Cai ^ C = 1,

а значит An = nan, что возможно лишь в случае, когда все a равны между собой. Но тогда ряд £ a,n не является сходящимся. Следовательно, у нас имеется строгое неравенство

n=1 4 ' 4 ' n=1

□

1.1.2 Интегральный случай

Следующая теорема Харди [56] является интегральным аналогом теоремы 1.1.1. Теорема 1.1.2. Если р > 1, f (ж) > 0 и

пX

^(х)= / /(*) ,/0

то

кроме случая, когда / = 0. При этом константа в неравенстве является наилучшей.

Доказательство. Рассмотрим наш интеграл на промежутке [£,Х], где 0 < £ < X. Функция Ер является абсолютно непрерывной и потому можем проинтегрировать по частям. Будем иметь

X X

i (^^P dx =--— i ^(x)^(x1-p) dx =

j \ x ) p — 1 J dx

e £

X

£l—?FP(£) X1—PFP(X/xi—PFP—i(x)f(x)dx.

p — 1 p — 1 p — 1

£

Так как fp интегрируема, то при £ ^ 0 имеем £1—pFp(e) ^ 0 . Откуда получаем

X X

/ (^)' dx - pp—, / (^1 f (x) dx -

0 0

/X \ 1/p' /X \ 1/p

- p—i (/(P dx) (/ fp(x)dx

Если / ф 0 в интервале (0,X), то левая часть неравенства положительна, из этого следует, что

/ (™)' * - (i)' I /«-

00

Переходим к пределу при X ^ то.

с» с»

/Ш' dx - fc)7 fP(x) dx. 00 А значит, интеграл в левой части является конечным. Исходя из этого

следует конечность интегралов в неравенстве

С» С»

I (®)' dx - p—,1 (^ )'"'/d. -

00

OO \ 1/p / TO \ 1/p

p

- T—, 7 dx I U /p(x) dx

Причем равенство возможно тогда и только тогда, когда и /Р

пропорциональны. Но это означает, что / является степенью х и тогда / /Р -х — расходящийся. Значит имеет место строгое неравенство

00 /00 \ 1/р' / 00 \ 1/Р

I т ¿х<р-г (/ (^ V-А (1 ях, ¿х

00

кроме случая, когда / = 0. После возведения правой части получившегося неравенства в степень р мы получим утверждение нашей теоремы. □

В более общем случае неравенство Харди может быть записано в следующем виде, когда весовая функция находится в левой и в правой части неравенства [55].

Теорема 1.1.3. Пусть р > 0,й > 1,р € [1, |). Тогда для любой абсолютно непрерывной функции / : [0,р] ^ К такой, что |/'(х)|Р/хв-Р € Ь1(0,р) и /(0) = 0 выполняется следующее неравенство

(Р«-х < (-л- V Гр ^хИР -х.

Л х5 < Vs - 1) Л х5-Р

Доказательство. Рассмотрим наше неравенство в промежутке [£,р], £ > 0 и проведем интегрирование по частям

р р

! ^ -х = - ^ :/<х.|р 2£! -х =

£ £

Р

£1-Р1/(£)|р Р1-Р1/(р)1Р , Р Г 1_ 5

й — 1 Й — 1 Й — 1„

£

+ х1—5|/(х)|Р|/'(х)|-х.

При £ ^ 0 имеем, что £! р|/(е)|р ^ 0. Следовательно,

р р

{ М-Х = -/С + ^ / (т/)Мт <

0 0

р

< ^ I т!-5|/(т)|р|/'(т)|-т. 0

Используя неравенство Гельдера для интегралов, получаем р / р \ !-!/р / р \ !/р

р И-ж< (Г И-ж) ( /К-ж

У т5 " 5 - 1 ^ т5 / \] т5-р

Откуда и следует утверждение нашей теоремы. □

Многомерным аналогом вышеприведенной теоремы является следующее утверждение, доказанное Ф.Г. Авхадиевым в [8].

Теорема 1.1.4. Пусть 1 < р < то и п < й < то, и пусть П открытое множество в Кп, П = Кп. Тогда имеет место неравенство

I< (й-п)/п У/ - (1.1.1)

где 5 = 5(г) = &81(£,дП). Существуют области, для которых постоянная (р/ (й - п))р не может быть уменьшена.

Доказательство. Пусть П — открытое множество в Кп и П = Кп. Возьмем покрытие Кп кубами

= [0,г]п + ¿г, г е Жп, г е (0,1).

Рассмотрим конечное множество

Жп(П,г) = г е Жп : С П П т е : |т| < 1/г, тогда замыкание аппроксимирующей области П примет следующий вид

П = и^^ад^м. 24

Рис. 1: Приближение кубами множества О.

На рисунке 1 представлено приближение кубами множества О. Для функции / € С, (О) достаточно будет доказать (1.1.1) для О = О^

и

у € (0,1). Введем замену переменных у = х/£, х € О^ и заметим, что (1.1.1) для О = О^ и О = Ох равнозначны. Значит для области

Oi = um=i([0,1]n + Zj), Zj g zn

нам следует доказать неравенство (1.1.1).

Возьмем Т грань куба размерности д и Т с дО1. Рассмотрим подмножество О1 такого вида

ОД = {х € мп : х' € Т, В(х, |х — х'| с О1)}.

Здесь за В(х, |х — х'|) взят следующий шар: {у € мп : |у — х| < |х' — х|}.

Пусть £(£) = 0, что всегда справедливо, когда у Т размерность (п — 1) и Т с дО1. Для множества £(£) = 0 верно х' + /(х — х') € £(Т) для ух' € Т и |х — х'| = dist(x, дО1) и х € £(Т) для всех / € (0,1). Даже для £(£) с Т х м

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Макаров Руслан Валерьевич, 2023 год

Литература

[1] Авхадиев, Ф.Г. Введение в геометрическую теорию функций (II издание) / Ф.Г. Авхадиев. — Казань: Казанский (Приволжский) федеральный университет, 2019. — 133 с.

[2] Авхадиев, Ф.Г. Геометрическое описание областей, для которых константа Харди равна 1/4 / Ф.Г. Авхадиев // Известия Российской академии наук. Серия математическая. — 2014. — Т. 78. — №5. — С. 3-26; англ. пер.: Avkhadiev, F.G. A geometric description of domains whose Hardy constant is equal to 1/4 / F.G. Avkhadiev // Izvestiya: Mathematics. — 2014. — V. 78. — P. 855-876.

[3] Авхадиев, Ф.Г. Интегральные неравенства в областях гиперболического типа и их применения / Ф.Г. Авхадиев // Математический сборник. — 2015. — Т. 206. — № 12. — С. 3-28; англ. пер.: Avkhadiev, F.G. Integral inequalities in domains of hyperbolic type and their applications / F.G. Avkhadiev // Sbornik: Mathematics. — 2015. — V. 206. — Is. 12. — P. 1657-1681.

[4] Авхадиев, Ф.Г. Конформные инварианты плоских областей гиперболического типа / Ф.Г. Авхадиев, Р.Г. Насибуллин, И.К. Шафигуллин // Уфимский математический журнал. — 2019. — Т. 11. — С. 3-18; англ. пер.: Avkhadiev, F.G. Conformal invariants of hyperbolic planar domains / F. G. Avkhadiev, R. G. Nasibullin, I. K. Shafigullin // Ufa Mathematical Journal. — 2019. — V. 11. — Is. 2. — P. 3-18.

[5] Авхадиев, Ф.Г. Неравенства для интегральных характеристик областей / Ф.Г. Авхадиев. — Казань: КГУ, 2006. — 140 с.

[6] Авхадиев, Ф.Г. Неравенства типа Реллиха в областях евклидова пространства / Ф.Г. Авхадиев // Известия высших учебных заведений. Математика. — 2016. — № 1. — С. 69-73; англ. пер.: Avkhadiev, F.G. Rellich type inequalities in domains of the Euclidean space / F. G. Avkhadiev // Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika) — 2016. — V. 60. — Is. 1. — P. 60-63.

[7] Авхадиев, Ф.Г. Неравенства типа Харди на открытых множествах с выпуклым дополнением / Ф.Г. Авхадиев, Р.В. Макаров // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. — Казань, 2019. — Т. 58. — С. 7-8.

[8] Авхадиев, Ф.Г. Неравенства типа Харди в плоских и пространственных открытых множествах / Ф.Г. Авхадиев // Труды Математического института имени В. А. Стеклова. — 2006. — Т. 255. — С. 8-18; англ. пер.: Avkhadiev F.G. Hardy-type inequalities on planar and spatial open sets / F.G. Avkhadiev // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. — 2006. — V. 255. — P. 2-12.

[9] Авхадиев, Ф.Г. Неравенства типа Харди в произвольных областях с конечным внутренним радиусом / Ф.Г. Авхадиев, Р.Г. Насибуллин // Сибирский математический журнал. — 2014. — T. 55. — № 2. — C. 239-250; англ. пер.: Avkhadiev F.G. Hardy-type inequalities in arbitrary domains with finite inner radius / F.G. Avkhadiev, R.G. Nasibullin // Siberian Mathematical Journal. — 2014. — V. 55. — Is. 2. — P. 191-200.

[10] Авхадиев, Ф.Г. Точные оценки констант Харди для областей со специальными граничными свойствами / Ф.Г. Авхадиев, И.К. Шафигуллин // Известия высших учебных заведений. Математика. — 2014. — T. 2. — C. 69-73; англ. пер.: Avkhadiev, F.G. Sharp estimates of Hardy constants for domains with special boundary properties / F.G. Avkhadiev, I.K. Shafigullin // Russian

Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika). — 2014. — V. 58. — Is. 2. — P. 58-61.

[11] Авхадиев, Ф.Г. L^-версии одного конформно инвариантного неравенства / Ф.Г. Авхадиев, Р.Г. Насибуллин, И.К. Шафигуллин // Известия высших учебных заведений. Математика. — 2018. — Т. 8. — C. 88-92; англ. пер.: Avkhadiev, F.G. Lp-versions of one conformally invariant inequality / F.G. Avkhadiev, R.G. Nasibullin, I.K. Shafigullin // Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika). — 2018. — V. 62. — Is. 8. — P. 76-79.

[12] Макаров, Р.В. Интегральные неравенства, родственные принципу неопределенности Гейзенберга / Р.В. Макаров // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. — Казань, 2017. — Т. 54. — С. 246-248.

[13] Макаров, Р.В. Неравенства типа Харди с дополнительными слагаемыми и параметрические уравнения типа Лэмба / Р.В. Макаров // Материалы международной научной конференции "Уфимская осенняя математическая школа — 2022". — РИЦ БашГУ, 2022. — Т. 1. — С. 131-133.

[14] Макаров, Р.В. Неравенства Харди с дополнительными слагаемыми и уравнения типа Лэмба / Р.В. Макаров // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. — Казань, 2021. — Т. 60. — C. 246-248.

[15] Макаров, Р.В. Неравенства Харди с дополнительными слагаемыми и уравнения типа Лэмба / Р.В. Макаров, Р.Г. Насибуллин // Сибирский математический журнал. — 2020. — Т. 61. — №. 6. — С. 1377-1397; англ. пер.: Makarov, R.V. Hardy's Inequalities with Remainders and Lamb-Type Equations / R.V. Makarov , R.G. Nasibullin // Siberian Mathematical Journal. — 2020. — V. 61. — Is. 6. — P. 1102-1119.

[16] Макаров, Р.В. Связь между неравенствами Харди и принципом неопреде-

ленности Гейзенберга / Р.В. Макаров // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. — Казань, 2022. — Т. 64. — С. 12-13.

[17] Насибуллин, Р.Г. Точные интегральные неравенства типа Харди с весами, зависящими от функции Бесселя / Р.Г. Насибуллин // Уфимский математический журнал. — 2017. — Т. 9. — № 1. — С. 89-97; англ. пер.: Nasibullin, R.G. Sharp Hardy type inequalities with weights depending on Bessel function / R.G. Nasibullin // Ufa Mathematical Journal. — 2017. — V. 9. — Is. 1. — P. 89-97.

[18] Рид, М. Методы современной математической физики. Т.2. Гармонический анализ. Самосопряженность. / М. Рид, Б. Саймон. — М.: Мир, 1978. — 394 с.

[19] Соболев, С.Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных производных / Л.С. Соболев. — М.: Наука, 1989. — 254 с.

[20] Abramowitz, M. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables / M. Abramowitz, I.A. Stegun. — Washington, D.C.: National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, Government Printing Office, 1964. — 1046 pp.

[21] Alvarez, V. Isoperimetric inequalities in Riemann surfaces of infinite type / V. Alvarez, D. Pestana, J. M. Rodriguez // Revista MatemAtica Iberoamericana. — 1999. — P. 353-425.

[22] Avkhadiev F.G. Hardy-Rellich inequalities in domains of the Euclidean space / F.G. Avkhadiev // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2016. — V. 442. — P. 469-484.

[23] Avkhadiev F.G. Hardy type inequalities in higher dimensions with explicit estimate of constants / F.G. Avkhadiev // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2006. — V. 21. — P. 3-31.

[24] Avkhadiev F.G. Selected results and open problems on Hardy-Rellich and Poincare-Friedrichs inequalities / F.G. Avkhadiev // Analysis and Mathematical Physics. — 2021. — V. 11. — Is. 3. — P. 291-301.

[25] Avkhadiev F.G. Sharp Hardy constants for annuli / F.G. Avkhadiev // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2018. — V. 466. — P. 936-951.

[26] Avkhadiev F.G. Hardy inequalities for nonconvex domains / F.G. Avkhadiev, A.A. Laptev // International Mathematical Series "Around Research of Vladimir Maz'ya, I". Function Spaces. — 2010. — V. 11. — P. 1-12.

[27] Avkhadiev F.G. Hardy type inequalities on domains with convex complement and uncertainty principle of Heisenberg / F.G. Avkhadiev, R.V. Makarov // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2019. — V. 40. — Is. 9. — P. 1250-1259.

[28] Avkhadiev F. G. Sharp Hardy-type inequalities with Lamb's constants / F.G. Avkhadiev, K.-J. Wirths // Bulletin of the Belgian Mathematical Society, Simon Stevin. — 2011. — V. 18. — Is. 4. — P. 723-736.

[29] Avkhadiev F. G. Unified Poincare and Hardy inequalities with sharp constants for convex domains / F.G. Avkhadiev, K.-J. Wirths // ZAMM Journal of applied mathematics and mechanics: Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik. — 2007. — V. 87. — P. 632-642.

[30] Avkhadiev F. G. Weighted Hardy Inequalities with Sharp Constants / F.G. Avkhadiev, K.-J. Wirths // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2010. —V. 31. — Is. 1. — P. 1-7.

[31] Bakula, M.K. On the Jensen's inequality for convex functions on the coordinates in a rectangle from the plane. / M.K. Bakula, J. Pecaric. // Taiwanese Journal of Mathematics - 2006. - V. 10. — Is. 5 - P. 1271-1292.

[32] Balinsky, A.A. Generalized Hardy inequality for the magnetic Dirichlet forms /

A. Balinsky, A. Laptev, A.V. Sobolev // Journal of Statistical Physics. — 2004. —V. 116. — P. 507-521.

[33] Balinsky, A.A. The Analysis and Geometry of Hardy's Inequality / A.A. Balinsky, W.D. Evans, R.T. Lewis. — Springer, Heidelberg-New York-Dordrecht-London. — 2015. — 263 pp.

[34] Bandle, C. Table of inequalities in elliptic boundary value problems, C. Bandle, M. Flucher In "Recent Progress in Inequalities". V. Milovanovic (ed.), Kluwer Academic Publ. — 1998. — P. 97-125.

[35] Beckner, W. Inequalities in Fourier analysis / W. Beckner. // Annals of Mathematics - 1975. - V. 102. — Is. 1. - P. 159-182.

[36] Beckner, W. Pitt's inequality and the uncertainty principle / W. Beckner // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1995. — V. 123. — P. 1897-1905.

[37] Begue, M. The Uncertainty Principle: A Brief Survey / M. Begue // Expository Paper. — 2012.

[38] Benedetto, J.J. Uncertainty principles and weighted norm inequalities / J.J Benedetto, M. Dellatorre // Contemporary Mathematics. - 2017. - V. 693. -P. 55-78.

[39] Brezis, H. Hardy's inequalities revisited / H. Brezis, M. Marcus // Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze. — 1997. — V. 25. — Is. 4. — P. 217-237.

[40] Burenkov, V.I. Function spaces. Main integral inequalities related to Lp-spaces. Peoples' Friendship University, Moscow, 1989 (in Russian).

[41] Burenkov, V.I. On the exact constant in the Hardy inequality with 0 < p < 1

for monotone functions / V.I. Burenkov // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. — 1993. — V. 194. — Is. 4. — P. 59-63.

[42] Burenkov, V.I. Hardy-type inequality for 0 < p < 1 and hypodecreasing functions / V.I. Burenkov, A. Senouci, T.V. Tararykova // Eurasian mathematical journal. — 2010. — V. 1. — Is. 3. — P. 27-42.

[43] Caldiroli, P. Rellich inequalities with weights / P. Caldiroli, R. Musina // Calculus of Variations and Partial Differential Equations. — 2012. — V. 45. — P. 147-164.

[44] Coles, P.J. Entropic Uncertainty Relations and their Applications / P.J. Coles, M. Berta, M. Tomamichel, S. Wehner. // QuTech, Delft University of Technology, 2628 CJ Delft, Netherlands. - 2017. - 65 pp.

[45] Davies, E.B. A Review of Hardy inequalities / E.B. Davies // The Maz'ya anniversary Collection. Vol. 2. Operator Theory: Advances and Applications. — 1999. —V. 110. — P. 55-67.

[46] Davies, E.B. The Hardy constant / E.B. Davies // The Quarterly Journal of Mathematics. — 1995 — V. 46. — Is. 2. — P. 417-431.

[47] Evans, W.D. Hardy and Rellich inequalities with remainders / W. D. Evans, R. T. Lewis // Journal of Mathematical Inequalities. — 2007. — V. 1. — Is. 4. — P. 473-490.

[48] Fernandez, J.L. Domains with Strong Barrier / J. L. Fernández // Revista Matematica Iberoamericana. — 1989. — V. 5. — Is. 2. — P. 47-65.

[49] Fernandez, J.L. The exponent of convergence of Riemann surfaces, bass Riemann surfaces / J.L. Fernández, J.M. Rodriguez // Annaleg Academic Scientiarum Fennic^. Series A. I. Mathematica. — 1990. — V. 15. — P. 165-183.

[50] Fernandez-Bertolin, A. Dynamical versions of Hardy's uncertainty principle: A survey / A. Fernandez-Bertolin, E. Malinnikova // Bulletin of the American Mathematical Society. — 2021. — V. 58. — Is. 3. — P. 357-375.

[51] Fillippas, S. On a question of Brezis and Marcus / S. Fillippas, V. Maz'ya, A. Tertikas // Calculus of Variations and Partial Differential Equations volume. — 2005. — V. 25. — Is. 4. — P. 491-501.

[52] Folland, G.B. The uncertainty principle: a mathematical survey / G.B. Folland, A. Sitaram // The Journal of Fourier Analysis and Applications. — 1997. — V. 3. — Is. 3. — P. 207-238.

[53] Hadwiger, H. Vorlesungen über Inhalt, Oberflächer und Isoperimetrie / H. Hadwiger. — Springer, Berlin-Gottingen-Heidelberg, 1957. — 312 pp.

[54] Han, Y. Adaptive Estimation of Shannon Entropy / Y. Han, J. Jiao, T. Weissman // 2015 IEEE International Symposium on Information Theory (ISIT). - 2015. - P. 1372-1376.

[55] Hardy, G.H. Inequalities / G.H. Hardy, J.E. Littlewood, G. Polya. — Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1934. — 324 pp.

[56] Hardy, G.H. Notes on some points in the integral calculus, LI. On Hilbert's double-series theorem, and some connected theorems concerning the convergence of infinite series and integrals / G.H. Hardy // Messenger of Math. — 1919. — V. 48. — P. 107-112.

[57] Hardy, G.H. Notes on some points in the integral calculus, XLI. On the convergence of certain integrals and series / G.H. Hardy // Messenger of Math. — 1915. — V. 45. — P. 163-166.

[58] Heisenberg, W. Uber den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen

Kinematic und Mechanik / W. Heisenberg // Zeitschrift für Physik. — 1927. — P. 172-198.

[59] Hoffmann-Ostenhof, M. A Geometrical Version of Hardy's Inequality / M. Hoffmann-Ostenhof, T. Hoffmann-Ostenhof, A. Laptev // Journal of Functional Analysis. — 2002. — V. 189. — P. 539-548.

[60] Kamke, E. Differentialgleichungen. Lüsungsmethoden und Lüsungen. Stuttgart: Teubner, 1977. — 700 pp.

[61] Kennard, E.H. Zur quantenmechanil einfacher bewegungstypen / E.H. Kennard // Zeitschrift für Physik. — 1927. — V. 44. — P. 326-352.

[62] Kombe, I. Improved Hardy and Rellich inequalities on Riemannian manifolds / I. Kombe, M. Ozaydin // Transactions of the American mathematical society. — 2009. - V. 361. — Is. 12. — P. 6191-6203

[63] Kufner, A. The prehistory of the Hardy inequality / A. Kufner, L. Maligranda, L.-E. Persson // The American Mathematical Monthly. — 2006. — V. 113. — Is. 8. — P. 715-732.

[64] Lamb, H. Note on the induction of electric currents in a cylinder placed across the lines of magnetic force / H. Lamb // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1884. — V. 15. — P. 270-274.

[65] Laptev, A. Hardy inequalities for magnetic Dirichlet forms / A. Laptev, T. Weidl // Operator Theory: Advances and Applications. — 1999. — V. 108. — P. 299-305.

[66] Laptev, A. A. Hardy inequalities for simply connected planar domains / A. Laptev, A.V. Sobolev // American Mathematical Society Translations: Series 2. — 2008. — V. 225. — P. 133-140.

[67] Makarov, R.V Hardy type inequalities and parametric Lamb equation / R.V. Makarov, R.G. Nasibullin // Indagationes Mathematicae. - 2020. — V. 31. — Is. 4. — P. 632-649.

[68] Makarov, R.V. Hardy type inequalities with additional nonnegative terms / Makarov R.V, Nasibullin R.G. // Proceedings of the International Conference Modern Problems of "Mathematics and Mechanics"devoted to the 60th anniversary of the Institute of Mathematics and Mechanics. — 2019. — P. 327-329.

[69] Makarov, R.V Weighted Hardy Type Inequalities and Parametric Lamb Equation/ R.V. Makarov, R.G. Nasibullin, G.R. Shaymardanova // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2020. — V. 41. — Is. 11. — P. 2198-2210.

[70] Marcus, M. On the best constant for Hardy's inequality in Rn / M. Marcus, V. J. Mitzel, Y. Pinchover // Transactions of the American mathematical society. — 1998. — V. 350. — P. 3237-3250.

[71] Matskewich, T. The best possible constant in a generalized Hardy's inequality for convex domains in Rn / T. Matskewich, P.E. Sobolevskii // Nonlinear Analysis. — 1997. — V. 28. — P. 1601-1610.

[72] Maz'ya, V.G. Sobolev spaces / V. G. Maz'ya. — Springer, 1985.

[73] Miklyukov, V.M. Hardy's inequality for W01,p-functions on Riemanni an manifolds / V.M. Miklyukov, M.K. Vuorinen // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1999. — V. 9. — Is. 127. — P. 2145-2154.

[74] Moszynska, M. Selected Topics in Convex Geometry / M. Moszynska Birkhauser, Boston-Basel-Berlin, 2006. — 226 pp.

[75] Nasibullin, R.G. A geometrical version of Hardy-Rellich type inequalities /

R.G. Nasibullin // Mathematica Slovaca. — 2019. — V. 69. — Is. 4. — P. 785-800.

[76] Nasibullin, R.G. Brezis-Marcus type inequalities with Lamb constant /

\

R.G. Nasibullin // Sibirskie Elektronnye Matematicheskie Izvestiya. — 2019. — V. 16. — P. 449-464.

[77] Nasibullin, R.G. Multidimensional Hardy Type Inequalities with Remainders / R.G. Nasibullin // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2019. — V. 40. — Is. 9 — P. 1383-1396.

[78] Nasibullin, R.G. Hardy type inequalities with weights dependent on the Bessel functions / R.G. Nasibullin // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2016. — V. 37. — Is. 3. — P. 274-283.

[79] Psaradakis, G. L Hardy inequalities with weights / G. Psaradakis // Journal of Geometric Analysis . — 2013. — V. 23. — Is. 4. — P. 1703-1728.

[80] Rellich, F. Perturbation theory of eigenvalue problems / F. Rellich. — New York-London-Paris: Gordon and Breach, 1969. — 127 pp.

[81] Rupert, L.F. Sobolev inequalities and uncertainty principles in mathematical physics. Part 1. / L.F. Rupert. // Lecture note. — 2011. — P. 35.

[82] Shum, D.T. On a class of new inequalities / D.T. Shum // Transactions of the American mathematical society. — 1975. — V. 204 — P. 299-341.

[83] Soltani, F. Pitt's inequality and logarithmic uncertainty principle for the Dunkl transform on R / F. Soltani. // Acta Mathematica Hungarica — 2014. — V. 143. — P. 480-490.

[84] Tertikas, A. Best constants in the Hardy-Rellich inequalities and related improvements / A. Tertikas, N.B. Zographopoulos // Advances in Mathematics. — 2007. — V. 209. — Is. 2. — P. 407-459.

[85] Tidblom, J. A geometrical version of Hardy's inequality for W01,:p(^) / J. Tidblom // Proceedings of the American Mathematical Society. — 2004. — V. 132. — P. 2265-2271.

[86] Tidblom, J. A Hardy inequality in the half-space / J. Tidblom // Journal of Functional Analysis. — 2005. — V. 221. — Is. 2. — P. 482-495.

[87] Watson, G.N. A treatise on the theory of the Bessel Functions / G.N Watson. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1966. — 804 pp.

[88] Weyl, H. Gruppentheorie und quantenmechanik / H. Weyl. — S. Hirzel, Leipzig, 1928. — 288 pp.