Неравенства типа Харди с весами, имеющими степенные и логарифмические особенности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Насибуллин, Рамиль Гайсаевич

• Насибуллин, Рамиль Гайсаевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Насибуллин, Рамиль Гайсаевич

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ 4 Глава

СОЧЕТАНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ И СТЕПЕННЫХ

ОСОБЕННОСТЕЙ

§1.1 Неравенства с весами, имеющими логарифмические особенности

1.1.1 Одномерные неравенства

1.1.2 Многомерный случай

§1.2 Точность констант в трех неравенствах

§1.3 Весовые функции со степенными особенностями

1.3.1 Одномерные неравенства и вспомогательные результаты

1.3.2 Пространственный случай

1.3.3 Улучшение оценок в случае выпуклых областей

Глава

ПРИМЕНЕНИЯ К ОБЛАСТЯМ, РЕГУЛЯРНЫМ В СМЫСЛЕ

Е.Б. ДЭВИСА

§2.1 Функции, заданные на отрезке числовой прямой

§2.2 Весовые функции в областях, зависящие от расстояния по

направлению

§2.3 Упрощения для выпуклых областей

§2.4 Применения к невыпуклым областям

§2.5 Случай регулярных областей и весов с логарифмами

Глава

ВЕСОВЫЕ ФУНКЦИИ, СОДЕРЖАЩИЕ МОДУЛИ

ЛОГАРИФМОВ

§3.1 Одномерные неравенства

§3.2 Случай весов с итерированными логарифмами

§3.3 Неравенства в евклидовом пространстве

§3.4 Доказательство точности двух констант

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неравенства типа Харди с весами, имеющими степенные и логарифмические особенности»

ВВЕДЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена неравенствам типа Харди. Рассматриваемые неравенства связывают в одномерном случае функцию и ее производную, а в многомерном случае — функцию и модуль ее градиента. Стоит отметить, что неравенства типа Харди могут быть дискретными, то есть вместо интегралов от функций используются конечные или бесконечные суммы членов числовой последовательности (см., например, Г.Х. Харди, Дж.Е. Литтлвуд, П. Полна [60], Г.Х. Харди [61]).

Основное неравенство Харди для абсолютно непрерывной функции / : [0, со) —> К такой, что /(0) = 0, /' € Ь2(0, оо), / ф 0, можно записать следующим образом:

00 оо

J ^¿х < 4 J f'2dx. (0.0.1)

о о

Константа 4 является точной, но не существует экстремальной функции, на которой достигается равенство (см. [60]).

Актуальность темы. Одномерные неравенства Харди вида (0.0.1) обобщались в различных направлениях такими авторами, как Дж. Таленти [90], Дж. Томаселли [92], Б. Макенхоупт [79], В.Г. Мазья [75], В.Д. Степанов [24], [89], А. Куфнер и Л.Э. Перссон [68], В. Левин [72], Ф.Г. Авхадиев и К.-И. Виртц [32], [35], Д.В. Прохоров [22] и ряд других математиков. Например, Дж. Таленти [90] и Дж. Томаселли [92] получили условия на весовые функции в одномерных неравенствах типа Харди, которые необходимы и достаточны для выполнения соответствующего неравенства.

Широкое развитие получили неравенства типа Харди в многомерных областях:

I < сп(П) I\Vf\4x, (0.0.2)

п п

где £1 — произвольная открытая область из евклидова пространства Мп, причем П ф М71, 6 = 5(х) — (^(ж, Ш) — функция расстояния до границы

области, V/ — градиент функции / : Q, —> R.

Известно, что для любой выпуклой области Ü, С Мп константа сп(Г2) равна 4 (см. Е.Б. Дэвис [49], Т. Матскевич и П.Е. Соболевский [76], X. Брезис и М. Маркус [45], М. Хоффманн-Остенхоф, Т. Хоффманн-Остенхоф, А. Лаптев [62]). Для области с локально липшицевой границей константа Харди существует и конечна (см., например, К. Бэндл и М. Флечер [39], Е.Б. Дэвис [48], В. Опик и А. Куфнер [85]). Однако, липшицевость границы не является необходимым условием конечности константы Харди. Доказаны неравенства типа Харди при более общих условиях на границу множества. В этом направлении работали А. Анкона [30], X. Брезис и М. Маркус [45], Е.Б. Дэвис [48], [51], П. Коскела и X. Цонг [65], Й.Л. Льюис [73], В.Г. Мазья [75], В.М. Миклюков и М.К. Вуоринен [78], А. Ваннебо [94], Ф.Г. Авхадиев [31], А. Лаптев и A.B. Соболев [71], и другие математики.

Такому бурному развитию неравенств типа Харди способствовало их широкое применение в различных областях математики и математической физики. Например, С.Л. Соболев (см. [23]) использовал неравенства типа Харди в теории вложений функциональных пространств и также применял их при оценке потенциала Рисса. Ф.Г. Авхадиев в [2] использовал неравенства тина Харди при оценке жесткости кручения. Результаты А. Лаптева и Т. Вейдла из статьи [70], А. Балинского, А. Лаптева и A.B. Соболева из работы [38] могут применяться при изучении отрицательности спектра двумерного оператора Шредингера и связаны с проблемой существования резонансных состояний.

Не останавливаясь на подробностях, отметим, что неравенства типа Харди используются в теории аппроксимации функций, в анализе Фурье, в теории интерполяции, в нелинейном анализе и в теории дифференциальных уравнений эллиптического типа с вырождениями. Неравенства Харди также применяются в качестве инструмента в исследовании спектра эллиптических операторов и используются в доказательстве существования и единственности решения в теории вязкой несжимаемой жидкости. Более подробно с приложениями неравенств типа Харди можно ознакомиться в работах [9], [10], [23], [38], [48], [50], [52], [63], [64], [81], [93], [95], [96].

Литература, связанная с различными обобщениями и приложениями неравенств типа Харди, весьма обширна. Далее приведем краткий исторический обзор развития неравенств типа Харди связанных с темой данной работы. В 1920 году при попытке упростить неравенства Гильберта (см. [60, с. 272]), X. Харди в статье [61] получил утверждение: если р > 1 и ряд а?п сходится, то ряд

£ (т)' ■

где Ап = + й2 + ••• + ап, также сходится.

Соответствующим интегральным аналогом вышеприведенного утверждения при р > 1 является следующее неравенство (см. [60], [61]):

оо

туу Г(х)с1х,

< ^^-Г ) I (0.0.3)

а

где /(£) — неотрицательная, интегрируемая по Лебегу функция, а > 0 и

X

Р{х) = I та.

Неравенство (0.0.3) является критерием сходимости интеграла от функции в зависимости от сходимости интеграла ее производной. Другими словами, интеграл в неравенстве (0.0.3), который стоит с левой стороны, сходится, если сходится интеграл стоящий справа.

Более общее одномерное неравенство Харди в том случае, когда весовая функция находится в левой и в правой части неравенства, записывается в следующем виде (см. [60, с. 296]):

00 оо

о о

где /(ж) — неотрицательная измеримая функция, определенная на [0, оо), а

\smdt 3> 1,

Р{х) = { о, (0.0.5)

// б<1.

. х

Константа pP\s — 1\~р при р > 1 не может быть заменена в общем случае меньшей постоянной. Несмотря на то, что константа неулучшаема, не существует функции, на которой эта константа достигается. Необходимо отметить, что соотношение (0.0.3) с конечной постоянной показал X. Харди [61], а неравенство с точной константой установил Э. Ландау [69].

Приведем далее некоторые известные результаты связанные с дальнейшим развитием и обобщением одномерных неравенств типа Харди. Обобщения неравенств Харди связаны, например, с появлением дополнительных слагаемых (см. [32], [35], [87]), с добавлением новых весовых функций (см. [74], [80], [82]) или с увеличением порядка производной подинтегральной функции (см. [11], [24]). Например, результат Д.Т. Шама (D.T. Shum) из статьи [87] связан с появлением дополнительного слагаемого: пусть р > l,s ф 1 и f{x) — неотрицательная, интегрируемая по Лебегу на [0,Ь] или на [а, оо] соответственно при s > 1 или s < 1, где а > 0, Ь > 0. Тогда если F(x) определена как (0.0.5),

í x~s{xf)pdx < +оо Jo

и

roo

/ x~s(xf)pdx < +оо, j а

то имеют место неравенства:

Сx~sFpdx + -^—Fp(b) < (JLX [bx-s(xf)pdx (s > 1) Jo 8-1 \s — IJ Jo

u 00 P oo

Г x~sFpdx + Fp{a) < í \ Г x~s{xf)pdx (s < 1). ja l — s \l — s j j a

Равенство в неравенствах возможно только при / = 0. Константы точны.

Уточнение неравенства (0.0.4) с помощью дополнительного слагаемого

является ожидаемым и естественным. Как было выше указано, константа

неравенства (0.0.4) является точной, но не существует функции, на

которой эта точная константа достигается. При доказательстве точности

константы в неравенствах типа Харди приходится строить минимизирующую

последовательность. Этот факт объясняет возможность уточнения

неравенства (0.0.4) каким-нибудь образом, например, путем добавления дополнительного слагаемого.

Легко заметить, что неравенство (0.0.4) при 5 = 1 теряет смысл. Особенность, возникающую при в = 1, в статье [74] Л.-И. Чан устранил с помощью весов, содержащих логарифмические особенности. Б.Г. Пачпатте в статье [80] обобщил утверждение Л.-Й. Чана из [74] добавив в определение функции F(x) весовой множитель.

В работах [4], [60], [82] также можно увидеть примеры использования весов с логарифмами в одномерных неравенствах типа Харди. Добавим, что в [4] и [60] получены неравенства Харди, включающие повторные или иначе, кратные логарифмы.

Неравенство (0.0.4) при я > 1 иногда (см., например, [10]) называют прямым неравенством Харди, поскольку при в > 1 в определении функции ^ интегрирование ведется от 0 до а:, а при й < 1 — обратным неравенством Харди, так как в определении функции Р при я < 1 интегрирование ведется от х до оо. Результат, полученный Ю.А. Дубинским в статье [9], связан с тем, что он содержит как прямое неравенство Харди, так и обратное:

Теорема 0.0.1. Пусть / : (0,+оо) —М1 — локально интегрируемая функция такая, что интеграл

оо

I \/(г)\ргр~Чг, р> 1,

О

сходится. Тогда для любого Я > 0

г

о

я

р оо

р

! \}{г)\ргр~Чг. (0.0.6)

Обратим внимание на то, что в неравенстве (0.0.6) логарифм находится под знаком модуля. Примеры использования логарифмов под знаком модуля в неравенствах типа Харди можно увидеть в статьях [53] - [55], [74], [80]. Необходимо отметить, что базовые результаты по одномерным неравенства Харди более подробно изложены в работах [60], [66], [67], [85].

Для упрощения дальнейшего изложения запишем оригинальное неравенство Харди (см. [60]) следующим равносильным образом

-+оо

МОР

<

р

-+оо

|5 - II

а-р

4г

(0.0.7)

для р > 1, в е I, в ф 1 и любой абсолютно непрерывной функции и : [0, оо) -»• М, и'/Г/Р-1 £ Ц'{0,оо), такой, что и{0) = 0 в случае б > 1, и и(+со) = 0 в случае й < 1.

Отметим, что неравенство (0.0.7) можно трактовать как следующую теорему о вложениях весовых пространств функций (см. [23], [25]):

¿;^_р(0,оо) С 2^.(0, оо),

где

Ьр1/х8(0,оо) = { и :

и

+оо ]

0

+оо

\и\

хь

-¿X < СО

Ь1 = < и

-

\и

/I р

хз-р

-¿х < оо

Как было сказано выше, неравенства Харди обобщены многими путями. Далее рассмотрим неравенства типа Харди в пространственном случае, предполагающие, что область интегрирования О, — собственное открытое подмножество Мп, функция и и ее производная и' заменены функцией / £ Сд(Г2) и ее градиентом V/, а степени £ заменены степенями 5 = 8{х) — сНв^х, д£1) — функции расстояния до границы области.

При исследовании многомерных вариационных неравенств типа Харди константы являются специальными функционалами, зависящими от области и числовых параметров задачи. Основной трудностью является оценка этих констант.

Пусть — открытое собственное подмножество Мп. Запишем функционал следующего вида:

ср(з, О) = вир

53/Р

ЬР(П)

■ / е С0°°(^),

= 1

ЬР{П)

где Со°(Г2) — множество непрерывно дифференцируемых функций с компактным носителем в П, а 6 = 5(х) = сНв^я, <9Г2) — функция расстояния до границы области.

Далее приведем известные результаты значений и оценок константы О) в зависимости от вида области и используемых параметров 5, п

и р.

Хорошо известно, что при р 6 [1, со) избК

Ср(5,М"\{0}) = г-г, Ф,Н) =

— п\ к — 1|

где Н — полупространство в Еп (см. [39], [75], [85]). В статьях [51], [75], [77] рассмотрен случай, когда Л является выпуклой областью. Оказывается, что при р > 1 для любой выпуклой области О, С Кп, О ^ Мп, верно равенство

ср{р, П) = —.

р — 1

Получены также оценки ср(з, для невыпуклых областей. А именно, если Г2 — односвязная плоская область, то

с2(2,П) <4

(см. [1], [30], [44], [48]).

В случае, когда Г2 — область с гладкой границей, С Кп, константа

Ср(р,Ю) >р/{р- 1)

(см. [48] и [77]). Хорошо известно также, что ряд многомерных аналогов классического неравенства Харди оказываются справедливыми в областях с локально липшицевыми границами (см. [39], [48], [85]).

Й.Л. Льюис в работе [73] доказал, что если р > п, то постоянная ср(р, конечна для любой области С Мп, О ф то есть никаких ограничений на границу области не требуется. А. Ваннебо в статье [94] обобщил утверждение Й.Л. Льюиса, показав, что существует число е > О, зависящее разве лишь от показателя р и от размерности пространства п и такое, что условия

р > п, в > р — £ 10

гарантируют существование конечной постоянной cp(s, Г2) для любой области Q С Rn, fi Rn. Ф.Г. Авхадиев в статье [31] получил более общий результат, а именно, если s > п, то для любой открытой области С Rn, О, Rn; верна оценка

р

Cp(s, Q) <-.

s — п

Причем, в общем случае константу p/(s — n) нельзя улучшить (см. [2], [3], [5]).

Отметим, что доказательству неулучшаемости констант в неравенствах типа Харди многие авторы уделяют большое внимание. Это связано с приложениями неравенств Харди, например, в такой области как спектральная теория. Получению точных констант посвящены следующие статьи: [32], [34], [35], [37], [40], [46], [47], [77].

Дополнительную информацию про константы Харди можно найти в статье Р. Бануэлоса [43].

Далее рассмотрим случай, когда s = п. Оказывается, что при s = п существуют области, для которых соответствующая постоянная Харди равна бесконечности, например, при любом р > 1

Cp(n, Rn \ {0}) = сю.

То есть при s = п приходится накладывать некоторые дополнительные ограничения на границу множества. Из работ, относящихся к этой тематике отметим статью Ф.Г. Авхадиева [31], А. Анконы [30], X. Поммеренке [84], Е.Б. Дэвиса [48], А. Лаптева и A.B. Соболева [71], П. Коскела и X. Цонг [65], В.М. Миклюкова и М.Р. Вуоринена [78], В.Г. Мазьи [75]. Приведем результат Ф.Г. Авхадиева из статьи [31]. Этот результат дает необходимое и достаточное условие конечности константы Ср(2, Q): если l<p<oouQ<Z R2, причем Q ф R2; тогда

min{2,р}М0(П) < ср(2,Q) < 4р2 (кМ0{П) + ^^ ' ^ ,

где

М„(П) :=snpilog

а супремум берется по кольцам А таким, что

A = {ze С : r{A) <\z- zq\ < Я(А)} С Г2, z0 G дП.

Оказывается, что константа Мо(^) конечна для множеств с равномерно совершенной границей (см., например, [5], [58]). Другими словами, ср(2,0) конечно тогда и только тогда, когда граница множества О, равномерно совершенна (см. [2], [5], [31]).

Другой подход, относящийся к случаю в — п, связан с добавлением весовых множителей. Например, Ф.Г. Авхадиев, используя веса с логарифмическими особенностями, для произвольной области О,, при р > 1 и для любой функции / £ Со(^) показал, что выполнено следующее неравенство:

То есть логарифмический вес помогает обойти особенности, возникающие при в = п. Можно сказать, что логарифмический вес компенсирует "плохое" поведение границы области (подробнее см. [3]). Примеры использования весов с логарифмическими особенностями в неравенствам типа Харди можно увидеть, например, в таких работы как [4], [9], [15], [16], [19], [20], [40], [41],

Добавим, что непосредственным многомерным аналогом неравенства (0.0.7) является следующее неравенство (см. [2], [3], [5], [31]):

где Г2 — произвольная открытая подобласть К71, Со°(Г2) — пространство непрерывно дифференцируемых функций с компактным носителем в Г2, а 5 = 8{х) = сНв^я;, сЮ) — функция расстояния до границы области.

Как было отмечено выше, константа рР^ — п)~р является точной, то есть в общем случае константу рР(в — п)~р нельзя улучшить. Но обнаружено интересное явление: возможно уточнение неравенства (0.0.9) путем добавления дополнительного слагаемого в областях с конечным внутренним радиусом. Неравенствам типа Харди с дополнительными слагаемыми посвящено множество работ. Отметим работы X. Брезиса и М. Маркуса [45], М. Хоффман-Остенхоф, Т. Хоффман-Остенхофа, А. Лаптева [62], Ж. Тидблома [91], Ф.Г. Авхадиева [3], Ф.Г. Авхадиева и

(0.0.8)

[42], [62], [83], [88].

Б > П.

(0.0.9)

К.-Й. Виртца [32], [35], Г. Барбатиса, С. Филиппаса и А. Тертикаса [40] - [42], С. Филиппаса, В.Г. Мазьи, А. Тертикаса [56], С. Филиппаса, А. Тертикаса [57]. Отметим, что постановка задачи о выделении дополнительного слагаемого принадлежит X. Брезису и М. Маркусу [45].

Приведем результат М. Хоффман-Остенхоф, Т. Хоффман-Остенхофа, А. Лаптева из статьи [62]: в произвольной выпуклой области О и для любой функции f £ Н1 {О) имеет место неравенство

Г 1 Г \п(т\\2 П(п~2)/пс2/" г

у > \ у м^-лг + 4|пр;г у нх)\чх,

где 5 = 5(х) = сИв^х, дО,) — функция расстояния до

границы области, зп—1 — |§п_1| — площадь поверхности единичной сферы, — мера области П.

В статье [62] также получены неравенства с дополнительными слагаемыми, веса которых содержат логарифмические множители.

Неравенствам типа Харди посвящено множество современных работ различного содержания. Но есть и много нерешенных задач. Некоторым из этих нерешенных задач посвящена данная диссертационная работа.

Цель работы — получить новые неравенства типа Харди. Исследование ведется в трех направлениях. Первое направление связано с неравенствами типа Харди в произвольных областях в терминах функции расстояния до границы области. Здесь рассматриваются два вопроса. Первый вопрос — существуют ли другие веса для которых будет выполнено соответствующее неравенство типа Харди при в — п при наличии некоторых дополнительных геометрических ограничений на область? Второй естественный вопрос — существует ли аналог неравенства (0.0.9) в случае, когда параметр я £ (—оо, п)?

Второе направление наших исследований относится к неравенствам с дополнительными слагаемыми в областях, регулярных в смысле Е.Б. Дэвиса. Доказываются неравенства с весами, имеющими степенные и логарифмические особенности. Наши результаты обобщают соответствующие утверждения Ж. Тидблома из статьи [91] и результат М. Хоффман-Остенхоф, Т. Хоффман-Остенхофа, А. Лаптева из статьи [62].

Третье направление связанно с неравенствами типа Харди в форме

Ю.А. Дубинского (см. [9], [53]- [55]). Рассматриваются новые неравенства типа Харди с весами, содержащими модули логарифма. При доказательстве соответствующих моментов используем идеи [9] и [80].

Научная новизна. В диссертационной работе доказаны новые неравенства типа Харди. Особенностью полученных неравенств является наличие в весах степенных и логарифмических особенностей. Сначала мы получаем новые одномерные неравенства и распространяем их каким-нибудь известным методом на случай многомерных областей. Рассматриваем соответствующие неравенства в произвольных и выпуклых областях, в областях регулярных по Е.Б. Дэвису, во всем евклидовом пространстве Мп. Каждое полученное неравенство можно рассматривать как теорему о вложениях функциональных пространств с соответствующей нормой.

Необходимо отметить, что использованы подходы и идеи доказательств из статей [3], [9], [31], [62], [80], [91].

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации, могут послужить некоторым инструментом для дальнейших теоретических исследований в теории вложения весовых функциональных пространств и в теории краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Отдельные результаты диссертации докладывались на итоговых научных конференциях Казанского университета (2010 — 2013 гг.), на молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения — 2010" (Казань), на международных Казанских летних научных школах-конференциях "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2011, 2013 гг.), на всероссийском конкурсе научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук в рамках Всероссийского фестиваля науки (Москва, 2011), на Открытом конкурсе научных работ студентов и аспирантов им. Н.И. Лобачевского (Казань, 2012 г.).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [4], [7], [15] - [19].

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 117

t

страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав и списка литературы из 96 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение содержит обоснование актуальности темы исследования с некоторыми примерами, обзор литературы по теме диссертации и краткое изложение основных результатов.

В первой главе получены неравенства типа Харди в произвольных пространственных областях из Мп, но при наличии дополнительного условия:

50 = 6о(П) — sup{5(:r) : х £ Г2} < оо.

Доказываются новые неравенства с весами, содержащими степени и логарифмы функции расстояния до границы области. Полученные неравенства являются аналогами неравенства (0.0.9) в случае, когда параметр s < п и s = п. При s = п имеем неравенства с логарифмическими весами, а при s < п — неравенства со степенной особенностью.

В пункте 1.1.1 доказаны новые одномерные "¿^-неравенства" с логарифмическими весами, частные случаи которых, будут использованы для получения основных результатов, //-версии неравенств получаем с помощью LP-леммы:

Лемма 1.1.5. Предположим, что О, является открытым множеством п > l,w\ — wi(x) > 0,16*2 = W2{x) > 0 на il и J : Сд(Г2) —» R — некоторый функционал. Если для любой функции f £ Сд(Г2)

J(f) + / \f\widx < с / \Vf\w2dx, с = const > 0, Jn JQ.

то для любого р £ (1,оо), для любого I £ [1 ,р] и для любой функции f £ ^(fi)

иш) + [ I/IW* < (сру [\fri\vf\iw\-iwi2dx.

Jsi Jn

Пункт 1.1.2 посвящен пространственным случаям неравенств.

Для целых к > 0 положим

е0 = 1, ek+i = expefc, \щх = х, \nk+i(x) = \п\пк(х).

Отметим, что корректная определенность области определения функции при соответствующем к достигается за счет

Пусть — открытое собственное подмножество Мп, Сд(Г2) — семейство неирерывио-дифференцируемых функций с компактным носителем в 17 и 6 = 8(х) = — функция расстояния до границы области.

Основные результаты параграфа §1.1 приведены в следующих четырех теоремах.

Теорема 1.1.5. Пусть 17 — произвольное открытое множество в Мп, причем 17 ф Мп; < оо, и пусть к е N и р € [1,оо). Если I Е [1 ,р\, то

для любой функции / € Со (О) веРН0 следующее неравенство типа Харди

причем точная, т.е наименьшая из возможных постоянных Ар^{0) в этом неравенстве допускает оценку

Теорема 1.1.6. Пусть к е N и р 6 [1, оо). Если I е [1,р] и /3 е (1, оо), то для произвольного открытого множества из Ж71 (О ф Мп,#о(17) < оо) и для любой функции / б Сд(17) верно неравенство

(0.0.10)

где

и

Ар,1(П)<р1.

где

1

т=(ы 1п* ,

причем наименьшая из возможных констант в этом неравенстве допускает оценку

/ \1

Теорема 1.1.7. Пусть к £ N и р £ [1,оо). Если I £ [1,р] и ¡3 £ (0,1), то для произвольного открытого множества О, из (О ф Мп, < сю) и

для любой функции / € Сд(Г2) верна оценка

[ тР£(5)(1х < НРг1(0,П) (

/ 8п — Р'1^' ^ / §п-1

П П

где

8(8) =

1

и

80ек 8оек ( 8оек\Р

причем для точной константы верно следующее неравенство

/ \1

1-р; •

Теорема 1.1.8. Пусть р £ [1,оо) и I £ [1,р]. Если г £ (1,оо) и д € (0,1), то для произвольного открытого мноэюества из Мп (О, Ф М™, < оо)

и для любой функции / Е Сд(Г2) имеет место следующее неравенство

^ (Г(1 - <?))' Л/М^г

СШИт < Р (Г(1 " [ |/Г |У/|У(.Шг

] 8п

п гг

где

9(1-1)

Цель параграфа §1.2 — показать, что константы в теоремах 1.1.5, 1.1.6 при I — 1 и 1.1.7 в общем случае нельзя заменить меньшими постоянными, то есть существуют экстремальные области Г2о> и Для которых соответственно выполнены равенства

А именно, доказывается, что для любого £о > 0 существуют область По и функция из пространства Сд (Г2о) такие, что соответствующее неравенство (0.0.10) не будет выполнено при заменер1 п&р1 — £о- Аналогичное утверждение покажем для константы 1)рд(/3,Г2) и константы ЯрД/3, Г2). Отметим, что неравенство теоремы 1.1.6 при I = 1 является точным для шара с проколотым центром.

В параграфе §1.3 рассматриваются новые весовые неравенства в произвольных открытых множествах, содержащие степенные особенности, и приводятся аналоги этих неравенств для выпуклых областей. Отметим, что степенные "¿^-неравенства" в выпуклых областях являются точными.

Для произвольной открытой области имеет место

Теорема 1.3.2. Пусть ОсКп - произвольное открытое множество с конечным внутренним радиусом ¿>о(Г2), причем п> 1, 5 := Если

1 < р < оо, I е [1,р] и —оо < в < п, то

В случае выпуклых областей справедлива

Теорема 1.3.3. Пусть Г2 С Мп — открытое множество, компоненты которого являются выпуклыми множествами, с конечным внутренним радиусом и пусть 5 := (Ив^х, дО,). Если 1 < р < оо и —оо < в < 1, то

П

Во второй главе получены новые весовые неравенства типа Харди в областях регулярных по Е.Б. Дэвису. Сначала доказываются неравенства в произвольных областях, далее показывается, что неравенства принимают существенно простой вид в выпуклых областях и в областях с регулярной границей (см. [26] - [28]).

Доказанные в этой главе неравенства со степенными весами являются аналогами соответствующих результатов М. Хоффман-Остенхоф, Т. Хоффман-Остенхофа, А. Лаптева [62], Ж. Тидблома [91].

В параграфе §2.1 рассматриваются неравенства для функций, заданных на отрезке числовой прямой, приводятся вспомогательные утверждения и необходимые определения. Одномерные неравенства используются нами для доказательства многомерных аналогов неравенств.

Верна следующая теорема.

Теорема 2.1.1. Пусть и 6 Со°(а, 6). Тогда при р > s > 1 имеем

где

pit) = dist(t, R \ [a, b}) = min(i -a,b-t).

В параграфе §2.2 получен аналог неравенства теоремы 2.1.1 в многомерном случае. В доказанных неравенствах используются весовые функции, зависящие от расстояния по направлению.

Пусть О, — открытая область в Rn. Следуя Е.Б. Дэвису [50] (также см. [62]), обозначим через tv{x) — расстояние между точкой х 6 Q и ближайшей точкой, принадлежащей границе 8Q по направлению вектора и G Sn_1:

rv{x) = min{s > 0 : х + sv е О}.

Определим также расстояние до границы множества pv и диаметр множества Dv вдоль направления v следующим образом:

pv{x) = тт{г_г/(ж),тгУ(ж)}, Dv{x) = т„(х) + т-„(х).

Пусть

8(х) = т£ Ту(х) = (^(^¿Ю), Пх = {у Е а : ж + % - х) е п, V* € [0,1]}.

При вышеприведенных обозначениях верна следующая теорема.

Теорема 2.2.1. Для произвольной открытой области 17 С Ш"1 и произвольной функции и е Со°(17) при р > з > 1 верно следующее неравенство типа Харди:

Л , Г \cosiu, Х7и(х))\р J J -р3~Р(х)--

О З"-1

8™-1 П /

где

а(р, в) = ( — V Р

В §2.3 показывается, что в случае выпуклой области 17 С Мп неравенство теоремы 2.2.1 может быть существенно упрощено.

В параграфе §2.4 представлен специальный класс невыпуклых областей, для которых существуют аналоги неравенства теоремы 2.2.1.

Следуя Е.Б. Дэвису (см. [50]) определим псевдодистанцию т(х) от точки х до границы области 17:

1 _ 1 г ¿б71'1 {¡у) т2{х) 18"-1! У т*{х) '

§п-1

Введем понятие регулярной области в пространстве Мп (см., например, [28], [50]). Будем говорить, что область 17 С Мп — регулярная область, если существует конечная константа с > 0 такая, что

¿(ж) < т(х) < с8(х) Ух е П.

Константу с назовем константой регулярности области 17.

Теорема 2.4.1. Пусть П с Кп — произвольная регулярная область с константой регулярности с, и Е Со°(П) — произвольная функция. Тогда при р > 5 > 1 справедливо неравенство

[\Т7и(х)\Р. Г\и(х)\*

'-Ах >К21 ^Щ^Лх + К3 ! \и(х)\Чх,

где

} Я3 (х)

п п п

„ а(р,в) 2*/» кз = -

с5

= а(р, б)(р- 1)

п|П|

и

Вр(0,) := вир рР(х), х е Г2,

^еЗ™-1

Г(ж) — гамма функция Эйлера.

Параграф §2.5 посвящен неравенствам в регулярных областях с весами, имеющими логарифмические множители. Сначала доказываются вспомогательные утверждения и вводятся необходимые обозначения. Для целых г > О положим

бо = 0, 61 = 1, вг+1 = ехр вг, 1По X = X, 1Пг+1 X = 1п(1г1г х).

Определим функции ^ при целых к > 0 следующим образом

1 . < Х'6/г (е^ — 1п х) 1п(е^ — 1п х) • ... • \щ{ек — 1п х)' ~~

Отметим, что корректная определенность областей определения функций 1пг и (р{ при соответствующих г и к достигается за счет Имеют место следующие теоремы.

Теорема 2.5.1. Для произвольной открытой области О С Мп и произвольной функции и Е С™ (О,) при целом к > 0 верно следующее неравенство типа Харди:

I - / >

п п

И""1 4

4 У У Р2ЛХ)

где

Теорема 2.5.2. Пусть П С 1" - регулярная область с константой регулярности с и 0 < а < 2. Тогда для произвольной функции и £ Сд°(Г2) при целом к > 0 верно неравенство

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Насибуллин, Рамиль Гайсаевич, 2013 год

Литература

[1] Авхадиев, Ф.Г. Решение обобщенной задачи Сен-Венана / Ф.Г. Авхадиев // Матем. сборник. - 1998. - Т. 189. - № 12. - С. 3-12.

[2] Авхадиев, Ф.Г. Неравенства для интегральных характеристик областей / Ф.Г. Авхадиев. - Казань: КГУ, 2006. - 140 С.

[3] Авхадиев, Ф.Г. Неравенства типа Харди в плоских и пространственных открытых множествах / Ф.Г. Авхадиев //Тр. МИ АН. - 2006. - Т. 255.

- С. 8-18.

[4] Авхадиев, Ф.Г. Неравенства типа Харди со степенными и логарифмическими весами в областях евклидова пространства / Ф.Г. Авхадиев, Р.Г. Насибуллин, И.К. Шафигуллин // Известия вузов. Матем. - 2011. - № 9. - С. 90-94.

[5] Авхадиев, Ф.Г. Введение в геометрическую теорию функций: учебное пособие / Ф.Г. Авхадиев - Казань: Казан, ун-т. - 2012. - 140 е.: ил. 19

[6] Авхадиев, Ф.Г. Вариационные неравенства на декартовых произведениях областей / Ф.Г. Авхадиев, И. К. Шафигуллин // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва. - 2011. - Т. 43.

- С. 9-10.

[7] Авхадиев, Ф.Г. Неравенства типа Харди в областях с ограниченным внутренним радиусом / Ф.Г. Авхадиев, Р.Г. Насибуллин// Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва. -2012. - Т. 45. - С. 3-4.

[8] Авхадиев, Ф.Г. Неравенства типа Харди в произвольных областях с конечным внутренним радиусом / Ф.Г. Авхадиев, Р.Г. Насибуллин // Сиб. матем. журн. - в печати

[9] Дубинский, Ю.А. Об одном неравенстве типа Харди и его приложениях / Ю.А. Дубинский // Тр. МИАН. - 2010. - Т. 269 - С. 112-132.

[10] Дубинский, Ю.А. Двусторонние шкалы неравенств Харди и их приложения к некоторым задачам математической физики / Ю.А. Дубинский // СМФН. - 2012. - Т. 46. - С. 49-91.

[11] Куфнер, А. Замечание о неравенствах Харди k-го порядка / А. Куфнер // Тр. МИАН. - 2005. - Т. 248. - С. 144-152.

[12] Михлин, С.Г. Линейные уравнения в частных производных / С.Г. Михлин. - М., «Высш. школа», 1977. - 431 С.

[13] Насибуллин, Р.Г. Точность констант логарифмических неравенств типа Харди в открытых многомерных областях / Р.Г. Насибуллин // Учен. зап. Казан, гос. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - в печати

[14] Насибуллин, Р.Г. Обобщения неравенств типа Харди в форме Ю.А. Дубинского / Р.Г Насибуллин // Мат. заметки - в печати

[15] Насибуллин, Р.Г. Неравенства типа Харди с логарифмическими и степенными весами для специального семейства невыпуклых областей / Р.Г. Насибуллин, A.M. Тухватуллина // Уфимский математический журнал. - 2013. - Т. 5. - №2. - С. 43-55.

[16] Насибуллин, Р.Г. Неравенства типа Харди, включающие повторные логарифмы / Р.Г. Насибуллин // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва. - 2011. - Т. 43.

- С. 262-263.

[17] Насибуллин, Р.Г. О точности двух констант в неравенствах типа Харди / Р.Г Насибуллин // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского.

- Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва. - 2013. - Т. 46. - С. 331-333.

[18] Насибуллин, Р.Г. Логарифмические особенности в неравенствах типа Харди / Р.Г. Насибуллин // Сборник материалов Открытого конкурса

научных работ студентов и аспирантов им. Н.И. Лобачевского - Казань: Изд-во: Научный Издательский Дом. - 2012. - С. 78-79.

[19] Насибуллин, Р.Г. Неравенства типа Харди с логарифмическими особенностями в ядре / Р.Г. Насибуллин // Сборник научных трудов победителей всероссийского конкурса научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук в рамках Всероссийского фестиваля науки. - М.: Изд-во РГСУ. - 2011. - С. 199-209.

[20] Насибуллин, Р.Г. Некоторое обобщение неравенства Харди / Р.Г. Насибуллин // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. -Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва. - 2011. - Т. 44. - С. 221-222.

[21] Натансон, И.П. Конструктивная теория функций / И.П. Натансон. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1949. - 688 С.

[22] Прохоров, Д.В. Неравенство Харди с мерами, случай 0 < р < 1 / Д.В. Прохоров // Матем. заметки. - 2009. - 86. Т. 6 - С. 870-883

[23] Соболев, Л.С. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных производных / Л.С. Соболев. - М.: Наука, 1989. - 254 С. ISBN 5-02-000052-3.

[24] Степанов, В.Д. Об одном весовом неравенстве типа Харди для произволдных высших порядков / В.Д. Степанов // Труды Математического института АН СССР. - 1989 - Т. 187. - С. 178-200.

[25] Тимербаев, М.Р. Неравенство Харди с точечно сингулярными внутри области весом / М.Р. Тимербаев , Н.В. Тимербаева // Учен. зап. Казан, гос. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2012. - Т. 154. - №3. - С. 173-179.

[26] Тухватуллина, A.M. Достаточное условие регулярности области и его применение в неравенствах типа Харди / A.M. Тухватуллина // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва. - 2009. - Т. 38. - С. 285-287.

[27] Тухватуллина, A.M. Распространение критерия регулярности области Дэвиса на многомерные области и его применение в неравенствах типа Xapdu / A.M. Тухватуллина // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского.

- Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва. - 2011. - Т. 43. - С. 350-351.

[28] Тухватуллина, A.M. Неравенства типа Харди для специального семейства невыпуклых областей / A.M. Тухватуллина // Учен. зап. Казан, гос. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2011. - Т. 153. - №1. - С. 211-220.

[29] Шафигуллин, И.К. Неравенства типа Харди в областях с конечными граничными моментами / И.К. Шафигуллин // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва. - 2011. - Т. 44.

- С. 317-318.

[30] Ancona, A. On strong barriers and an inequality of Hardy for domains in Rn / A. Ancona // J. London Math. Soc.(2). - 1986. - V. 37. - P. 274-290.

[31] Avkhadiev, F.G. Hardy type inequalities in higher dimensions with explicit estimate of constants / F.G. Avkhadiev // Lobachevskii J. Math. - 2006. -V. 21. - P. 3-31.

[32] Avkhadiev, F.G. Unified Poincare and Hardy inequalities with sharp constants for convex domains / F.G. Avkhadiev, K.-J. Wirths // Z. Angew. Math. Mech. - 2007. - V. 87. - No. 8-9. - P. 632-642.

[33] Avkhadiev, F.G. Schwarz-Pick type inequalities / F.G. Avkhadiev, K.-J. Wirths // Birkhauser, Boston-Berlin-Bern, 2009.

[34] Avkhadiev, F.G. Weighted Hardy inequalities with sharp constants / F.G. Avkhadiev, K.-J. Wirths // Lobachevskii J. Math. - 2010. - V. 31. -No. 1. - P. 1-7.

[35] Avkhadiev, F.G. Sharp Hardy-type inequalities with Lamb's constants / F.G. Avkhadiev, K.-J. Wirths // Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin. - 2011.

- V. 18. - P. 723-736.

[36] Avkhadiev, F.G. Hardy inequalities for nonconvex domains / F.G. Avkhadiev, A. Laptev // International Mathematical Series "Around Research of Vladimir Maz'ya, I Function Spaces, Laptev A. (Ed.). - 2010. -V. 11. - P. 1-12.

[37] Avkhadiev, F.G. On the best constants for the Brezis-Marcus inequalities in balls / F.G. Avkhadiev, K.-J. Wirths // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2012. - V. 396. - P. 473-480.

[38] Balinsky, A. Generalized Hardy inequality for the magnetic Birichlet forms / A. Balinsky, A. Laptev, A.V. Sobolev // J. of Statistical Physics. - 2004. -V. 116. - No. 1-4. - P. 507-521.

[39] Bandle, C. Table of inequalities in elliptic boundary value problems In "Recent Progress in Inequalities / C. Bandle, M. Flucher. - V.Milovanovic (ed.) 1998, Kluwer Academic Publ, 97-125.

[40] Barbatis, G. A unified approach to improved LP Hardy inequalities with best constants / G. Barbatis, S. Filippas, A. Tertikas // Trans.Amer. Math.Soc. -2004. -V. 356:6. - P. 2169-2196.

[41] Barbatis, G. Refined geometric LP Hardy inequalities / G. Barbatis, S. Filippas, A. Tertikas // Communications in Contemporary Mathematics. -2003. - V. 5. - No. 6 - P. 869-881.

[42] Barbatis, G. Series expansion for LP Hardy inequalities / G. Barbatis, S. Filippas, A. Tertikas // Indian Univ.Math.J. - 2003. - V. 52. - No 1. -P. 171-190.

[43] Banuelos, R. Four unknown constants / R. Banuelos // J. of Statistical Physics. - 2004. - V. 116. - No. 1-4. - P. 507-521.

[44] Banuelos, R. Torsional rigidity and expected lifetime of Brownian motion / R. Banuelos, M.Van den Berg, T. Carroll // J. London Math. Soc. (2). - 2002. - V. 66. - P. 499-512.

[45] Brezis, H. Hardy's inequality revisited / H. Brezis, M. Marcus // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. (4). - 1997. - V. 25. - No. 1-2. - P. 217-237.

[46] Brezis, H. Extremal functions for Hardy's inequality with weight / H. Brezis, M. Marcus, I. Shafrir // J. Funct. Anal. - 2000. - V. 171. - P. 177-191

[47] Dan Sua, On the best constants of Hardy inequality in Rn~fc x (R+)k and related improvements / Dan Sua, Qiao-Hua Yangb // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2012. - V. 389. - P. 48-53.

[48] Davies, E.B. A Review of Hardy Inequalities / E.B. Davies // The Maz'ya anniversary Collection, Vol.2 // Oper.Theory Adv. Appl. 110 - 1999. - P. 5567.

[49] Davies, E.B. The Hardy constant / E.B. Davies // Quart. J. Math. Oxford (2) - 1995. - V. 46:4. - P. 417-431.

[50] Davies, E.B. Spectral Theory and Differential Operators / E.B. Davies // -Cambridge: Cambridge Univ.Press. - Cambridge Studies in Advanced Mathematics. - 1995. - V. 42. - 186 P.

[51] Davies, E.B. Heat Kernels and Spectral Theory / E.B. Davies - Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1989.

[52] Devyver, B. Optimal Hardy-type inequalities for elliptic operators / B. Devyver, M. Fraas, Y. Pinchover // C. R. Acad. Sc. Paris. - 2012. - V. 350. - P. 475-479.

[53] Dubinskii, Yu.A. Hardy Inequalities with Exceptional Parameter Values and Applications / Yu.A. Dubinskii // Doklady Mathematics. - 2009. - V. 80. -No. 1. - P. 558-562.

[54] Dubinskii, Yu.A. Hardy Inequalities with a Piecewise Power Weight and Their Applications / Yu. A. Dubinskii // Doklady Mathematics. - 2009. -V. 80,- No. 2. - P. 637-641.

[55] Dubinskii, Yu.A. On a Scale of Hardy Type Integral Inequalities / Yu.A. Dubinskii // Doklady Mathematics. - 2010. - V. 81. - No. 1. - P. 111-114.

[56] Filippas, S. On a question of Brezis and Marcus / S. Filippas, V.G. Maz'ya, A. Tertikas // Calc. Var. Partial Differential Equations. - 2006. - V. 25. - No. 4. - P. 491-501.

[57] Filippas, S. Optimizing Improved Hardy inequalities / S. Filippas, A. Tertikas // Journal of Functional Analysis. - 2009. - V. 256. - P. 2741-2745.

[58] Garnett, J.B. Harmonic Measure / J.B. Garnett, D.E. Marschall. - Cambridge University Press, Cambridge, 2005.

[59] Hadwiger, H. Vorlesungen über Inhalt, Oberfläsche und Isoperimetrie / H. Hadwiger // Springer - Verlag, 1957.

[60] Hardy, G.H. Inequalities / G.H. Hardy, J.E. Littlewood, G. Polya. - Cambridge University Press, Cambridge, 1973.

[61] Hardy, G.H. Note on a theorem of Hilbert / G.H. Hardy // Math. Zeitschr.

- 1920. - V. 6. - P. 314-317.

[62] Hoffmann-Ostenhof, M. A geometrical version of Hardy's inequality / M. Hoffmann-Ostenhof, T. Hoffmann-Ostenhof, A. Laptev //J. Funct. Anal.

- 2002. - V. 189. - No. 2. - P. 539-548.

[63] Hoffmann-Ostenhof, M. Many Particle Hardy Inequalities / M. Hoffmann-Ostenhof, T. Hoffmann-Ostenhof, A. Laptev, J. Tidblom //J. Lond. Math. Soc. (2). - 2008. - V. 77. - No. 1. - P. 99-114.

[64] Kawashima, S. Hardy type inequality and application to the stability of degenerate stationary waves / S. Kawashima, M. Kurata //J. Func. Anal. -2009. - V. 257. - P. 1-19.

[65] Koskela, P. Hardy inequality and the boundary size / P. Koskela, X. Zhong // Proc. Amer. Math. Soc. - 2002. - V. 131. - No. 4. - P. 1151-1158.

[66] Kufner, A. The Hardy inequality. About its history and some related results / A. Kufner, L. Maligranda, L.-E. Persson // Vydavatelsky Servis, Plzen 2007.

[67] Kufner, A. The prehistory of the Hardy Inequality / A. Kufner, L. Maligranda, L.-E. Persson // The American Mathematical Monthly. - 2006.

- V. 113. - No. 8. - P. 715-732.

[68] Kufner, A. Weighted inequalities of Hardy type / A. Kufner, L.-E. Persson -World Scientific Pub Co Inc., 2003, P. 376.

[69] Landau, E. A note on a theorem concerning series of positive terms / E. Landau // The Journal of the London Mathematical Society. - 1926. -V. 1. - P. 38-39.

[70] Laptev, A. Hardy inequalities for magnetic Dirichlet forms / A. Laptev, T. Weidl // Operator Theory: Advances and Applications. - 1999. - V. 108.

- P. 299-305.

[71] Laptev, A. Hardy inequalities for simply connected planar domains / A. Laptev, A.V. Sobolev // Spectral theory of differential operators, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 225, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2008) P. 133-140.

[72] Levin, V. Notes on inequalities. II. On a class of integral inequalities / V. Levin // Rec. Math., Moscou, N.s. 4, 309.

[73] Lewis, J.L. Uniformly fat sets / J.L. Lewis // Trans. Amer. Math. Soc. -1988. - V. 308. - No. 1. - P. 177-196.

[74] Chan, Ling-Yau Some extensions of Hardy's inequality / Ling-Yau Chan // Canad. Math. Bull. - 1979. - V. 22 (2). - P. 165-169.

[75] Maz'ya, V.G. Sobolev Spaces / V.G. Maz'ya. - Springer-Verlag, Berlin, New York, 1985.

[76] Matskewich, T. The best possible constant in a generalized Hardy's inequality for convex domains in Rn / T. Matskewich, P.E. Sobolevskii // Nonlinear Anal. - 1997. - V. 28. - No 9. - P. 1601-1610.

[77] Marcus, M. On the best constants for Hardy's inequality in Rn / M. Marcus, V.J. Mizel, Y. Pinchover // Trans. Amer. Math. Soc. - 1998. - V. 350. - P. 3237-3250.

[78] Miklyukov, V.M. Hardy's inequalities for - functions on Riemannian manyfolds / V.M. Miklyukov, M.K. Vuorincn // Proc. Amer. Math. Soc. -1999. - V. 127. - No. 9. - P. 2745-2754.

[79] Muckenhoupt, B. Hardy's inequality with weights / B. Muckenhoupt // Stud, math. - 1972. - V. 44. - No 1. - P. 31-38 .

[80] Pachpatte, B.G. A note on certain inequalities related to Hardy's inequality / B.G. Pachpatte 11 Indian J. pure appl. Math. - 1992. - V. 23 (11). - P. 773-776.

[81] Pinchover, Y. Existence of minimizers for Schroedinger operators under domain perturbations with application to Hardy's inequality / Y. Pinchover, K. Tintarev // Indiana Univ. Math. J. - 2005. - V. 54. - P. 1061-1074.

[82] Pecaric, J.E. Still more generalization of Hardy's inequality / J.E. Pecaric, E.R. Love // J. Austral. Math. Soc. (Series A). - 1995. - V. 59. - P. 214-224.

[83] Del Pino, M. A logarithmic Hardy inequality / M. Del Pino, J. Dolbeault, S. Filippas, A. Tertikas // J. Funct. Anal. - 2010. - V. 259. - P. 2045-2072.

[84] Pommerenke, Ch. Uniformly perfect sets and the Poincare metric / Ch. Pommerenke // Arch. Math. - 1979. - V. 32. - P. 192-199.

[85] Opic, V. Hardy-type Inequalities / V. Opic, A. Kufner // Pitman Research Notes in Math. - 1990. - V. 219.

[86] Lewisa, Roger T. A geometric characterization of a sharp Hardy inequality / Roger T. Lewisa, Junfang Lia, Yanyan Lib // Journal of Functional Analysis. - 2012. - V. 262. - P. 3159-3185.

[87] Shum, D.T. On integral inequalities related to Hardy's / D.T. Shum // Canad. Math. Bull. - 1971. - V. 14 (2). - P. 225-230.

[88] Solomyak, M. A remark on the Hardy inequalities / M. Solomyak // Integr Equat Oper Th. - 1994. - V. 19. - P. 120-124.

[89] Stepanov, V.D. The weighted Hardy's inequality for nonincreasing functions / V.D. Stepanov // Transactions of the american mathematical society. - 1993.

- V. 338. - No. 1. - P. 173-186.

[90] Talenti, G. Osservazione sopra una classe di disuguaglianze / G. Talenti // Rend. Semin. mat. efis. Milano. - 1969. - V. 39. - P. 171-185.

[91] Tidblom, J. A geometrical version of Hardy's inequality for W01,p(i7) / J. Tidblom // Proc. Amer. Math. Soc. - 2004. - No 132. - P. 2265-2271.

[92] Tomaselli, G. A class of inequalities / G. Tomaselli // Boll. Unione mat. ital.

- 1969. - Ser. 4. - No 6. - P. 622-631.

[93] Vancostenoble, J. Hardy inequalities, observability and control for the wave and Schrdodinger equations with singular potentials / J. Vancostenoble, E. Zuazua // SIAM J. Math. Anal. - 2009. - V. 41. - P. 1508-1532.

[94] Wannebo, A. Hardy Inequalities / A. Wannebo // Proc. Amer. Math. Soc.

- 1990. - V. 109 - No. 1. - P. 85-95.

[95] Zhen-Qing Chen Chen Hardy inequality for censored stable processes / Zhen-Qing Chen and Renming Song // Tohoku Math. J. - 2003. - V. 55.

- P. 439-450.

[96] M. Van den Berg Heat content and a Hardy inequality for complete rieman-nian manifolds / M. Van den Berg, P.B. Gilkey // Bull. London Math. Soc.

- 2004. - V. 36. - P. 577-586.