Оптимальное восстановление аналитических функций по приближенно заданным граничным значениям тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор наук Акопян Роман Размикович

• Акопян Роман Размикович
• доктор наук
• 2021

Оглавление диссертации доктор наук Акопян Роман Размикович

класса

§ 3.2. Оптимальное восстановление по сужению спектральной

функции

Заключение

Список литературы

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

N Ж, Ъ+, К, С — соответственно множества натуральных, целых, целых неотрицательных, вещественных и комплексных чисел.

Ие г, 1т г — вещественная и мнимая части числа г € С.

О — область комплексной плоскости С; конкретные области:

Вг = {г € С : |г| < г} — открытый круг радиуса г с центром в нуле; В = А;

Сгд = {г € С : г < |г| < Я} — кольцо с центром в нуле, внутренним и внешним радиусами, соответственно, г и Я;

П+ = {г € С : 1т г > 0} — верхняя полуплоскость;

Пу = {г € С : 0 < 1т г < У} — полоса.

1Г = {г € С : |г| = г} — окружность радиуса г с центром в нуле.

д(г, () — классическая функция Грина области О с логарифмической особенностью в точке г = (;

Р(г, С) = — плотность гармонической меры относительно области дп

О в точке г - производная функции Грина по внутренней, для области О, нормали к границе области;

^(г,7,О) — гармоническая мера подмножества 7 границы Г = дО относительно области О в точке г.

Пусть 7 либо измеримое подмножество спрямляемой кривой, либо промежуток прямой на плоскости С; ^ — неотрицательная измеримая функция на

Щ7),р > 0, — множество измеримых функций / : 7 ^ С таких, что |/суммируема на 7. Функции f и д определяют один и тот же элемент Щ7) (эквивалентны), если /(г) = д(г) для почти всех г € 7. При ^ = 1 обозначаем ^(7) = Щ7).

II/11^(7) = I/^)|Р ^— и -средние функции / на

^(7), 1 < р < то, — пространство Лебега с нормой || • (7).

) — пространство измеримых, существенно ограниченных функций / : 7 ^ С с нормой ||/= вээвир{|/(г)| : г Е 7} . Функции / и д определяют один и тот же элемент ) (эквивалентны), если

/(г) = д(г) для почти всех г Е

Классы аналитических (голоморфных) функций:

А(О) — множество аналитических в области О функций;

А = А (С) — множество целых функций;

Аа = Аа(С), а > 0, — множество целых функций экспоненциального типа, не превосходящего а;

N (О) — класс Неванлинны функций / Е А(О), для которых 1п+ |/1 имеет гармоническую мажоранту на области О;

N^(0) — класс Смирнова (универсальный класс Харди) функций / Е N (О), для которых гармоническая мажоранта 1п+ |/1 представима по формуле Грина;

НР(О),р > 0, — классы Харди функций / Е А(О), для которых |/|Р имеет гармоническую мажоранту на области О;

Нто(0) — класс Харди аналитических и ограниченных в области О функций;

Н = Нг,д(О; 70,^0; 71,^1) — класс функций / Е N^(0) таких, что их некасательные (угловые) предельные граничные значения на 7^, к = 0,1, имеют конечные, соответственно, V, V -нормы с весом ^;

с2 = срл(О; 70,^0; 71,^1) — класс функций / Е Н, которые удовлетворяют неравенству ||/Ц^(70) < 1;

Ц = (О; 70,^0; 7ъ^,1) — класс функций, определённых почти всюду на 71, состоящих из предельных граничных значений на 71 функций класса с ;

Hp(G; — класс функций f G N*(G) таких, что их некасательные (угловые) предельные граничные значения на Г имеют конечную L -норму с весом

Hp(G) — класс Hp(G; 1) в случае веса тождественно равного единице;

Qp(G,Yi,^) — класс функций f G Hp(G; таких, что ||f < 1;

Qp(ny ) = Qp(ny, R, 1);

Qp(DR, N), Qp(Cr,R,N) — классы функций f G Hp(DR) или, соответственно, f G Hp(Cr,R), которые удовлетворяют неравенству ||f ||Lp (1r) < N; фд = (2nR)x; "

Qp(G) — класс Qp(G, 1) в случае, когда параметр N равен единице;

Qn = Qm(n+) — класс Харди-Соболева функций f G НР(П+), для которых f(n) G НР(П+) и для всех п > 0 справедливо ||f(n) ||Lp(R+in) < 1;

dmQ — множество производных порядка m функций класса Q;

Aр = Aaf) НР(П+) — множество целых функций экспоненциального типа, не превосходящего а, сужение которых на верхнюю полуплоскость принадлежит НР(П+).

Пусть X, Y — банаховы пространства; обозначения множеств операторов из X в Y :

F = F(X, Y) — множество всех однозначных отображений;

L = L(X, Y) — множество линейных операторов;

B = B(X, Y) — множество линейных ограниченных операторов;

B(N) = B(N; X, Y), N > 0, — множество линейных ограниченных операторов из X в Y, норма которых не превосходит числа N.

Пусть A : X ^ Y некоторый оператор с областью определения D(A) с X; Q — класс элементов из D(A).

^(6) = ^(6; A,Q) = sup {||Af ||y : f G Q, ||f ||x < 6} , 6 > 0, — модуль непрерывности оператора A на классе Q.

U(T) = sup{||Af — Tf||Y : f G Q} — приближение оператора A оператором T на классе Q;

E(N) = E(A,Q; N) = inf {U(T) : T G B(N)} — наилучшее приближение оператора A множеством B(N) линейных ограниченных операторов, норма которых не превосходит числа N, на классе Q.

U(T, 5) = U(T,5; A, Q) = sup {||Af — Tg||y : f G Q, g G X, ||f — g||x < 5} — погрешность восстановления оператора A на классе Q по элементам, заданным с погрешностью 5 > 0, с помощью метода T;

Er(5) = Er(5; A, Q) = inf {U(T, 5) : T G R} — величина оптимального восстановления значений оператора A на классе Q по элементам, заданным с известной погрешностью 5, с помощью множества методов восстановления R(X, Y).

U[T,m, a,n]Y = sup{ ||f(m) — T(/af)||Y : f G Q^} — погрешность восстановления методом T оператора дифференцирования порядка m (функции, при m = 0 ) на классе Qn(n+) по сужению спектральной функции на (—£, а);

ER[m,a, n]Y = inf {U[T, m,a, n]Y : T G R} — величина оптимального восстановления оператора дифференцирования порядка m (функции, при m = 0 ) на классе Qn(n+) по сужению спектральной функции на (—£, а) с помощью множества методов восстановления R.

E(f,Q) B = inf {||f — q||B : q G Q} — наилучшее приближение f множеством Q по норме пространства B;

E(Qi,Q2) b = sup{E(qi,Q2)B : qi G Q1} — наилучшее приближение класса Q1 классом Q2 по норме пространства B.

Введение

В работе исследуются задачи оптимального восстановления аналитической (голоморфной) в области функции и производной по некасательным предельным значениям функции на части границы области, заданным с погрешностью, взаимосвязанные точные неравенства, задачи Стечкина наилучшего приближения неограниченных операторов ограниченными, задачи наилучшего приближения одного класса аналитических функций другим. Исследуется задача оптимального восстановления аналитической в полуплоскости функции и производных по сужению её спектральной функции и связанная задача наилучшего приближения целыми функциями экспоненциального типа.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальное восстановление аналитических функций по приближенно заданным граничным значениям»

Актуальность темы.

Множеством единственности для функций, аналитических в области О с границей - спрямляемой кривой Жордана, является подмножество положительной меры 7 границы области. Это утверждение известно как теорема единственности И. И. Привалова (1919), см., например, [23, Гл.Х, §2]. Первый результат о методе восстановления аналитической функции по её (точным) значениям на части границы получил Т. Карлеман [82] (1926) для некоторого специального вида областей. Г. М. Голузин и В. И. Крылов [24] (1933) обобщили идею Т. Карлемана. Для функции /, представи-мой в односвязной области О интегралом Коши, метод восстановления по её (точным) граничным значениям на 7 даёт следующая формула Карлемана - Голузина - Крылова [24] (см. также [1, Гл.1, §1], [55, Гл. II, §5, 5.9])

'(г) = Лт. ¿1 I ^СШ' г € О, (0.0.1)

где ф — произвольная аналитическая и ограниченная в О функция, удо-

влетворяющая условиям

|Ф(С)| = 1, С Е дО \ 7; |ф(г)| > 1, г Е О.

Формулам Карлемана - Голузина - Крылова, восстанавливающим аналитические функции по их значениям на части границы, и их обобщениям посвящено множество работ - см., например, монографию [1], обзоры [72, §3, п.3], [77, §2, п.8-9], статьи [94,100,101] и приведённую там библиографию. Об их применениях в различных задачах комплексного анализа, теории функций, теории управления, теоретической и математической физике, обработке сигналов см. [1,16,17,71,80] и приведённую там библиографию.

Задача восстановления аналитической функции в области по её предельным значениям, заданным с погрешностью, на части границы (аналитического продолжения с части границы области) является неустойчивой (некорректно поставленной). Методы её регуляризации исследовалась М. М. Лаврентьевым [31], [32, Гл.11, §1, п.4-5] (см. также [1, Гл.1, §2]), для решения были предложены регуляризирующие операторы, которые имеют в качестве ядра функции, названные функциями Карлемана, и являющиеся по сути аппроксимациями ядра Коши. В частности, в качестве примера такого регуляризующего оператора (метода восстановления) М. М. Лаврентьев рассмотрел конструкцию, основанную на формуле (0.0.1). Регуля-ризирующий метод Яа здесь имеет следующий вид

Целью первой и второй глав диссертации является построение наилучших (оптимальных) методов восстановления, соответственно, функции и её производной для некоторых классов (корректности) аналитических функций. Рассматриваемые задачи являются частными случаями следующей задачи оптимального восстановления оператора на классе элементов банахова пространства по неточной информации.

Пусть X, Y - банаховы пространства; A : X ^ Y - некоторый оператор с областью определения D(A) С X; Q - класс элементов X, принадлежащий D(A). Рассматривают три случая множества методов восстановления. А именно, в качестве множества методов восстановления R, из которых выбирается оптимальный, рассматривают множество F = F(X, Y) всех возможных, множество L = L(X, Y) линейных, или множество B = B(X, Y) линейных ограниченных операторов из X в Y. Для числа 5 > 0 и метода T G R величина погрешности восстановления оператора A на классе Q по элементам, заданным с погрешностью 5, с помощью метода T, определяется равенством

U(T, 5) = U(T, 5; A, Q) = sup {|| Af — Tg||y : f G Q, g G X, ||f — g||x < 5} . Тогда

er(5) = er(5; A, Q) = inf {U(T, 5) : T G R} (0.0.2)

есть величина оптимального восстановления значений оператора A на классе Q по элементам, заданным с известной погрешностью 5, с помощью множества методов восстановления R. Задача состоит в вычислении величины er(5), 5 > 0, и построении оптимального метода восстановления - экстремального оператора (последовательности операторов), на котором в (0.0.2) достигается нижняя грань.

Задача (0.0.2) есть частный случай задачи оптимального восстановления операторов на классе элементов банахова пространства по неполной (в частности, неточной) информации об элементах; общие результаты в этой тематике и дальнейшие ссылки можно найти в [4,6-8,37,53,90,92].

Задачи оптимального восстановления на классах аналитических функций исследовали К. Ю. Осипенко, Ш. Мичелли, Т. Ривлин, С. Д. Фишер, К. Вилдероттер, Б. Боянов, М. И. Стесин, О. Г. Парфенов, М. П. Овчин-цев и др., см. монографию [92], статьи [50-52,83,85,93] и приведённую там библиографию. Задачи оптимального восстановления по предельным гра-

ничным значениям, заданным с погрешностью, на части границы ранее не изучались.

В первой и второй главах изучаются конкретные варианты задачи оптимального восстановления (0.0.2) на классах аналитических функций. Перейдем к их формулировке.

В дальнейшем О - конечносвязная область комплексной плоскости, ограниченная кривой Г, которая является жордановой спрямляемой кривой или объединением таких непересекающихся кривых. Пусть 71 - измеримое подмножество Г положительной меры, и 70 - дополнение 71 до Г, т.е. 70 = Г \ 71. Пусть ) - классическая функция Грина области

О, а дд/дп - производная функции Грина по внутренней, для области О, нормали к кривой Г. Производную функции Грина по нормали также называют плотностью гармонической меры относительно области О в точке г; в дальнейшем для неё будем использовать обозначение Р). Соответственно, гармоническая мера 7,О) измеримого подмножества 7 спрямляемой границы Г относительно области О в точке г представима по формуле

Подробнее о гармонической мере см., например, [23, гл. VIII, § 4], а также [84]. Понятие гармонической меры, возникшее [91] в связи с оценками модуля аналитической функции внутри области, через оценки модуля на границе области, используется в решении и других экстремальных задач, см., например, [25,28,34,35] и приведённые там ссылки.

Через Ж* (О) обозначают класс функций / из класса Неванлинны N (О) - аналитических в О функций ограниченного вида (ограниченной характеристики), для которых гармоническая мажоранта функции 1п+ |/1 представима по формуле Грина. Класс Ж* (О) называют классом Смирнова или универсальным классом Харди; класс был введён В. И. Смирно-

вым [57]; для класса Ж* (С) используют несколько эквивалентных определений (см. [66, §4, 4.2; 68; 72, §2, 1] и приведённую там библиографию). Функции класса N (С) и, следовательно, класса N (С) имеют почти всюду на Г некасательные (угловые) предельные граничные значения. Удобно обозначать функцию и её граничные значения одинаково. Обозначим через ^к неотрицательные измеримые функции на ^к, к = 0,1. Будем предполагать суммируемость функций 1п ^к с плотностью гармонической меры. Эти функции в дальнейшем называем весовыми функциями или весами. Введем класс Н = (С; 70, ^>0; 7ъ Г Я ^ 1, аналитических в области С функций из Ж* (С) таких, что их некасательные предельные граничные значения на 7к, к = 0,1, имеют конечные, соответственно, V, V -нормы с весом ^к , т.е.

Если показатель нормы равен бесконечности, то конечна соответствующая -норма

Отметим, что частным случаем Н является класс Харди Ия(С) аналитических в области С функций /, обладающих свойством: субгармоническая функция |/Iя имеет в области С гармоническую мажоранту. Точнее, критерием принадлежности функции / классу Ия(С) являются условия, что f € Ж*(С) и предельные граничные значения функции |/|я на Г суммируемы с плотностью гармонической меры Р(¿о,С) ( - произвольная фиксированная точка области С ), т.е.

/ 1к~(7*) =ей8 8ир {|/(С)| : с € 7к} .

Это утверждение является аналогом теоремы Полубариновой - Кочиной о характеризации функций пространства Харди Н4 в круге (см. [57], [55, §6, 6.4], [66, §4, 4.3]). Отсюда в случае г = д и весов ^>к(() = щР(г0,(), С Е 1к, Щ > 0,к = 0,1, класс Н является классом Харди Н(О).

В Н выделим класс 2 = (О; 70,^0; 71,^1) функций /, которые удовлетворяют неравенству ||/\\ьг (70) < 1. В качестве информации о функции / Е 2 будем рассматривать /71 / - её некасательные предельные граничные значения на 71. Класс Ц = Цг,я(О; 70,^0; 7ъ^,1) функций, определённых почти всюду на 71, состоит из предельных граничных значений на 71 функций класса 2. Ясно, что справедливо вложение Ц С Ь^ (71). Так как 71 является множеством единственности, то информация о функции полная, т.е. отображение 111 является биекцией классов 2 и Ц .В дальнейшем будем классы 2 и Ц обозначать одинаково, через Ц. Пусть К - подмножество области О. В качестве У будет рассматриваться В = В (К) - некоторое банахово пространство функций, определённых на множестве К, с нормой || • ||в, такое, что имеет место вложение Ц С В (К). В качестве оператора А рассматривается либо оператор Т°К, который ставит в соответствие значениям на 71 функции / её значение на подмножестве К области О, либо оператор ТК, который сопоставляет граничным значениям на 71 функции / её производную /' на К.

Величина (0.0.2) исследуется с помощью и вместе с взаимосвязанными задачами о модуле непрерывности оператора и наилучшего приближения оператора линейными ограниченными операторами.

Функцию переменной 6 > 0, определяемую равенством

и(6) = и(6; А,Ц) = 8пр {||А/||у : f Е Ц, ||/||х < 6} , (0.0.3)

называют модулем непрерывности оператора А на классе Ц. Из определения (0.0.3) следует, что для оператора ТК и функций из Н справедливо

13

точное неравенство

UTK f IIb < II/||ljo Ы ш( f^) . (0.0.4)

Vf Hl^o(yo)/

Оценки модуля значения аналитической функции (производной) в точке области через её предельные граничные значения исследовали Г. Се-гё, Э. Ландау, К. Каратеодори и Л. Фейер, Ф. Рисс, И. Шур, С. Какей, Ф. Неванлинна и Р. Неванлинна, Г. Пик, С. Такенака, Г. М. Голузин, Н. И. Ахиезер, Я. Л. Геронимус, А. И. Макинтайр, В. В. Рогозинский, Г. С. Шапиро, С. Я. Хавинсон, В. П. Кабайла, С. А. Гельфер, Л. В. Крес-някова, В. П. Важдаев, В. М. Терпигорева (в случае, когда область есть круг или односвязная область); М. Хейнс и Р. М. Робинсон (круговое кольцо), Г. Грунский, Л. Альфорс, С. Я. Хавинсон, 3. Нехари, П. Р. Гарабедян, X. Уидом, Т. С. Кузина (многосвязная область) и многие др. Об исследованиях задач, близких к (0.0.4), см. в работах [29,69,72-74,87,89,98] и приведённую там библиографию. В отличие от классических постановок, в (0.0.4) рассматриваются ограничения на (вообще говоря, различные) (70) и L^ (71) -нормы на произвольных измеримых подмножествах границы области Yk, k = 0,1.

Задача наилучшего приближения линейного неограниченного оператора множеством B(N) = B(N; X, Y) линейных ограниченных операторов из X в Y, норма которых не превосходит числа N > 0, (задача Стеч-кина) на классе элементов банахова пространства Q появилась в работе С. Б. Стечкина [60] в 1965 году. В статье [61] 1967 года была дана постановка задачи и получены первые принципиальные результаты. Точная постановка задачи следующая. Величина

U(T) = sup{||Af - Tf ||у : f e Q} является уклонением оператора T e B(N) от оператора A на классе Q.

Соответственно,

Е(Ж) = Е(Ж; А, Ц) = 1п£ {и(Т) : Т Е )} (0.0.5)

есть наилучшее приближение оператора А множеством ) линейных ограниченных операторов, норма которых не превосходит числа Ж, на классе Ц. Задача состоит в том, чтобы вычислить величину Е(Ж), Ж > 0, и найти экстремальный оператор (последовательность операторов), на котором в (0.0.5) достигается нижняя грань.

Этой задаче к настоящему времени посвящено большое число исследований С. Б. Стечкина, В. В. Арестова, В. И. Бердышева, А. П. Буслаева,

B. Н. Габушина, Ю. Н. Субботина, Л. В. Тайкова, О. А. Тимошина, В. Г. Тимофеева, М. А. Филатовой и др. (см. обзорные работы [7,8], а также [27, 13; 78, 10, 14, 79], и приведённую в них библиографию). В частности, известна взаимосвязь задачи Стечкина с задачей оптимального восстановления оператора и модулем непрерывности оператора. Эта взаимосвязь будет существенно использоваться в данном исследовании и выражается следующим образом. Введем обозначения

Д(Ж)=вир {ы(6) - : 6 > 0} , 0; (0.0.6)

£(6) = 1п£ {Е(Ж) + : 0} , 6 > 0. (0.0.7)

Следующее утверждение, оценивающее наилучшее приближение оператора (0.0.5) через его модуль непрерывности (0.0.3) содержится в статье

C. Б. Стечкина [61].

Теорема Л. Если А - однородный оператор, Ц - выпуклый уравновешенный класс, то имеют место неравенства

Е(Ж) > Д(Ж), 0; (0.0.8)

ы(6) < £(6), 6 > 0. (0.0.9)

В следующей теореме приведено уточнение неравенства (0.0.9), связывающее задачу о модуле непрерывности оператора и задачу Стечкина с задачами оптимального восстановления (см. [8]).

Теорема Б. Если А - однородный оператор, Ц - выпуклый уравновешенный класс, то имеют место неравенства

^(5) < Ет(5) < Е£(5) = Ев(5) < £(5), 5 > 0. (0.0.10)

Известно (см. [58, 18, 21, 6, 37; 8,92] и приведённую там библиографию), что в задаче оптимального восстановления линейного функционала на выпуклом уравновешенном классе с помощью множества Т всех возможных функционалов существует наилучший линейный ограниченный функционал и сама величина уклонения равна модулю непрерывности восстанавливаемого функционала, и, следовательно, справедливы равенства

ЕТ (5 ) = Е£(5) = Ев (5) = и(5). (0.0.11)

Кроме того, для задач (0.0.2) и (0.0.5) взаимосвязь (см. [48, 49, 21; 7,8; 92] и приведённую там библиографию) выражается в следующих соотношениях

Е (Ж ) = Д(Ж); ы(5)= £(5). (0.0.12)

В настоящее время в задаче Стечкина (0.0.5) о наилучшем приближении неограниченного оператора линейными ограниченными операторами на классе элементов банахова пространства, кроме общих результатов, получены точные решения ряда задач для конкретных операторов в классических функциональных пространствах. Наиболее полно исследовано наилучшее приближение операторов дифференцирования порядка к на классе п раз дифференцируемых функций (0 < к < п) в пространствах V на числовой оси и полуоси. Для функций многих переменных перечисленные задачи исследованы заметно меньше. Однако, и здесь имеется ряд точных, интересных результатов (см. [7,8] и приведённую там библиографию).

16

Задача Стечкина о наилучшем приближении неограниченных операторов ограниченными операторами на классах аналитических функций решена лишь в некоторых частных случаях. В первых двух главах рассматриваются задачи наилучшего приближения операторов ТК, 5 = 0,1, множеством линейных ограниченных операторов на классе Ц = Цг,я(О; 70, 71, ^1).

Задача приближения одного класса функций другим является классической для теории приближения. Пусть в линейном пространстве два класса

, 3 = 1, 2, и банахово пространство В удовлетворяют условию: для любого /1 Е Ц1 существует такое /2 Е Ц2, что /1 — /2 Е В. Наилучшим приближением класса Ц1 классом Ц2 по норме пространства В называется величина

Е(ц1,ц2)в = ^р {Е(/1,ц2)в : /1 Е Ц1} , (0.0.13)

где Е(/1,ц2)в - наилучшее приближение /1 классом Ц2 - задаётся равенством

Е(/1,ц2)в = ^ {||/1 — /2|в : /2 Е ОД .

Известны двойственная взаимосвязь задачи о модуле непрерывности неограниченного оператора на классе с соответствующей задачей наилучшего приближения одного класса другим в сопряжённых пространствах и взаимосвязь задачи Стечкина приближения неограниченного оператора ограниченными операторами на классе с соответствующей задачей наилучшего линейного приближения одного класса другим (см. [2]). Наиболее обстоятельно исследована взаимосвязь задачи Стечкина о наилучшем приближении операторов дифференцирования ограниченными операторами с задачей наилучшего приближения одного класса дифференцируемых функций вещественной переменной другим классом более гладких функций (подробнее см. [3; 9; 8, §7; 13, §7.5-7.6]).

Обозначим через , Ж) класс функций / из класса Харди

Нр(£д), аналитических в круге Дд = {г Е С : | < Л}, чьи предельные

17

граничные значения на окружности /д = {г € С : | = Л} удовлетворяют неравенству \\/(/д) < Ж, фд = (2пЛ)-1; через ) - класс, состоящий из производных функций класса , 1), т.е. дЦр(Лд) =

: $ € , 1)} . Рассматриваются также аналогичные классы функ-

ций, аналитических в кольце Сг,д = {г € С : г < | < Л} , 0 < г < Л.

В параграфе 1.6 обобщаются результаты Л. В. Тайкова [63] - исследуется задача наилучшего приближения класса = 1) классом ), Ж > 0, по норме пространства Ьр(/Г) , 0 < г < р < Л, 1 < Р < то . Аналогичная задача исследуется для функций, аналитических в кольцах. В параграфе 2.4 рассматривается задача наилучшего приближения класса классом ), Ж > 0, по норме пространства ), 0 < г < р < Л, 1 < р < то, и аналогичная задача для функций, аналитических в кольцах. Двойственная связь задач явно не используется. Однако для построения линейного метода, доставляющего наилучшее приближение класса классом, и исследования его свойств существенно используются идеи построения экстремального оператора в соответствующей задаче Стечкина.

Третья глава посвящена исследованию экстремальных задач на классах функций, аналитических в полуплоскости. Изучается конкретная задача оптимального восстановления, отличная от задачи (0.0.2). А именно, задача оптимального восстановления функции и её производных на классе Харди -Соболева по точной (но не полной) информации о функции - сужению её спектральной функции на интервал.

Пусть НР(П+), 1 < р < то, - пространство аналитических в верхней полуплоскости П+ функций /, для которых ограничена величина \\/\\ьр(м+гУ), У > 0. Пространство НР(П+) наделено нормой

\\нр(П+) = яиР { \\ьр(М+гу) : У > 0} ,

которая, как известно (см., например, [30, Гл. VI]), совпадает с V -нормой

18

предельных граничных значений на вещественной прямой. Для целого неотрицательного п введем класс ЦП = Цп(П+) функций из НР(П+), для которых производная порядка п (сама функция, при п = 0) также принадлежит НР(П+) и её норма ограничена единицей, т.е. ЦП = {/ Е НР(П+) : /(п) Е НР(П < 1 .

Обозначим через I,, а > 0, информационный оператор, который сопоставляет функции / из НР(П+) сужение (локальный элемент) её спектральной (вообще говоря, обобщённой) функции на интервал (—£,а), а > 0, £ > 0. Спектральная функция имеет носитель в [0, и, сле-

довательно, её сужение не зависит от £. В качестве множества методов восстановления Я рассматриваем либо множество Т всех возможных, либо С - линейных отображений, определённых на I,ЦП, в пространство У. В качестве пространства У будет рассматриваться НР(П+) и ЬР(Ш + ¿у), у > 0. Для т Е а > 0 и метода Т Е Я величи-

на погрешности восстановления значений оператора дифференцирования порядка т (функции, при т = 0) на классе ЦП по информации I, с помощью метода Т определяется равенством

и[Т,т,а,п]у = 8ир{ ||/(т) — Т(I,/)||у : / Е ЦП} .

Тогда

Ея[т, а, п]у = inf {и[Т, т, а, п]у : Т Е Я} (0.0.14)

есть величина оптимального восстановления значений оператора дифференцирования порядка т (функции, при т = 0) на классе ЦП по информации I, с помощью множества методов восстановления Я. Задача состоит в вычислении величины (0.0.14) и построении оптимального метода восстановления — экстремального оператора (последовательности операторов), на котором в (0.0.14) достигается нижняя грань.

Восстановление функции (сигнала, передаточной функции системы) по информации о её частотных характеристиках - одна из основных про-

блем во многих прикладных задачах. Задачи оптимального восстановления функции и производных по информации о её спектре изучались в цикле работ Г. Г. Магарил-Ильяева и К. Ю. Осипенко, см. [38-45].

Близкой к задаче (0.0.14) является задача оптимального восстановления функции / и её производных на классе Харди -Соболева функций, аналитических в единичном круге, по информации I/ = (/(0), /'(0),..., /(М-1)(0)) (или, что тоже самое, по коэффициентам Тейлора функции / ), см. [90, пример 4.6; 92] и приведённую там библиографию.

В третьей главе также рассматривается связанная с (0.0.14) задача наилучшего приближения класса Харди-Соболева ЦП и класса дтЦП, состоящего из производных порядка т функций из ЦП, пространством целых функций экспоненциального типа, не превосходящего а, и принадлежащих пространству НР(П+). Приближения рассматриваются по норме пространств НР(П+) и ЬР(М + гу), у > 0.

Целые функции экспоненциального типа являются классическим аппаратом приближения функций как вещественной, так и комплексной переменной. Таким приближениям посвящена обширная литература (см., например, монографии [11, 26] и приведённую там библиографию). Хорошо известно (см., например, [11, гл. V]), что для наилучшего приближения на числовой оси класса Соболева = {/ € ¿р(М) : /(п) € ЬР(М), \\/(п)\\ьр(М) < 1} целыми функциями экспоненциального типа, не превосходящего а, справедливо неравенство

4 ~ (— 1)к(п+1)

Е^Л)ЬР(М) < сп а-п, Сп = -Е(2к^1)п+1.

к=0

В случаях р = то и р =1 в последнем неравенстве имеет место равенство. Более того, в работе Г. Г. Магарил-Ильяева [36], в которой введены и исследованы средние поперечники, в частности, показано, что средние V -поперечники по Колмогорову классов Соболева в случаях р = то, р = 2 и р =1 реализуются на пространстве Аа Р| V(М), а =

Близкая к исследуемой, задача для функций, аналитических в круге, хорошо изучена. Пусть ЦП(Д) - класс Харди - Соболева функций из пространства Харди НР(Д), аналитических в единичном круге Д, у которых производная порядка п также принадлежит НР(Д) и ее норма ограничена единицей. Для наилучшего приближения по норме пространства НР(Д) класса ЦР(Д) пространством 1 алгебраических многочленов степени не более N — 1 справедливо равенство

Ш - п)!

Е(0П(Я), Рм—Оя^) = ( 1Ч, ) , п < N, 1 < р <то. (0.0.15)

В случае р = то это доказано в работе К. И. Бабенко [15]; в случае 1 < р < то - в работе Л. В. Тайкова [62]. Более того, в статьях В. М. Тихомирова [64] (р = то) и Л. В. Тайкова [62] (1 < р < то) показано, что величина (0.0.15) является N -мерным поперечником класса ЦР(Д) в пространстве НР(Д), 1 < р < то. Результаты, относящиеся к поперечникам классов аналитических функций, см. [92, Гл. 4; 70; 19], и ссылки там.

В работе для класса Харди-Соболева ЦР(П+), 1 < р < то, аналитических в полуплоскости П+ функций получены аналоги описанных выше результатов для класса Харди - Соболева ЦР(Д) функций, аналитических в круге Д. Точнее, найдено наилучшее приближение класса ЦР(П+) пространством А,, построен линейный метод наилучшего приближения; вычислены средние поперечники по Колмогорову и Бернштейну, средний линейный поперечник класса.

Цель работы.

Исследование задач оптимального восстановления аналитической функции и её производной по приближённо заданным предельным значениям функции на части границы. Решение родственных задач Стечкина наилучшего приближения неограниченных операторов линейными ограниченными операторами. Решение задачи оптимального восстановления аналитической в полуплоскости функции и производных класса Харди - Соболева по

сужению её спектральной функции и связанной с ней задачи наилучшего приближения класса целыми функциями экспоненциального типа.

Методы исследования. В работе используются методы математического анализа и теории функций, в частности - теории функций комплексного переменного, теории приближений.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и основные из них состоят в следующем.

1. Исследована задача оптимального восстановления аналитической в области функции по её предельным значениям на измеримой части границы области, заданным с весовой V -погрешностью, на классе функций с ограниченной весовой V -нормой предельных значений на дополнительной части границы; исследована взаимосвязанная задача Стечкина наилучшего приближения оператора аналитического продолжения функции с части границы линейными ограниченными операторами. Точные решения задач получены в случаях: (а) восстановление значения функции в точке односвязной области при 1 < д,г < то для естественного широкого класса весов; (б) аналогичная задача для двусвязной области с погрешностью 5П, где 5П - геометрическая прогрессия с целым показателем; (в) восстановление аналитической в односвязной области функции на подмножестве линии уровня гармонической меры, при д = г = то; (г) восстановление аналитической в полосе функции на внутренней прямой по её значениям на одной граничной прямой на классе функций с ограниченной нормой на другой граничной прямой, для V -норм на трёх прямых, 1 < д < то; (д) восстановления аналитической в кольце функции на внутренней окружности по её значениям, заданным с погрешностью 5 , где 5 - целые степени отношения радиусов граничных окружностей, на одной граничной окружности, на классе функций с ограниченной нормой на другой граничной окружности, для V -норм на трёх окружностях, 1 < д < то. Получено

неравенство между значением аналитической функции в конечносвязной области и её весовыми нормами граничных значений на двух измеримых подмножествах границы области, являющееся аналогом теоремы братьев Неванлинна о двух константах при 0 < д,г < то.

2. Исследована задача оптимального восстановления производной аналитической в области функции по предельным значениям функции, заданным с -погрешностью на измеримой части границы, на классе функций с ограниченной -нормой предельных значений на дополнительной части границы; исследована взаимосвязанная задача Стечкина наилучшего приближения оператора дифференцирования линейными ограниченными операторами. Точные решения задач получены в случаях: (а) восстановление производной в точке односвязной области при р = то; (б) восстановление производной аналитической в полосе функции на внутренней прямой по заданным с погрешностью 5 значениям функции на одной граничной прямой, на классе функций с ограниченной нормой на другой граничной прямой, для -норм на трёх прямых, 1 < р < то, и достаточно большого 11п5|; (в) восстановление производной аналитической в кольце функции на внутренней окружности по значениям функции на одной граничной окружности, заданным с погрешностью 5п, где 5п - целые степени отношения радиусов граничных окружностей и 11п5п| достаточно большой, на классе функций с ограниченной нормой на другой граничной окружности, для

-норм на трёх окружностях, 1 < р < то.

3. На классах Харди-Соболева функций, аналитических в полуплоскости, с ограниченной НР -нормой, 1 < р < то, производной порядка п решена задача оптимального восстановления производной порядка к, 0 < к < п, по сужению спектральной функции на интервал. Решена связанная задача наилучшего приближения класса Харди -Соболева пространством целых функций конечного экспоненциального типа. Вычислены средние поперечники класса.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Акопян Роман Размикович, 2021 год

ва - -

При этом оператором наилучшего приближения является Т^, определённый равенством (0.0.32), в котором параметр 5 задаётся соотношением 1п 5 = а—.

В параграфе 2.3 рассматривается случай, аналогичный изучаемому в параграфе 1.6, но для оператора Т1 , сопоставляющего предельным граничным значениям на окружности /г функции, аналитической в кольце Сг>д, её производную на окружности /р, 0 < г < р < Л. Точнее, исследуются задачи (0.0.25), (0.0.26) и (0.0.27) для оператора Т1 на классе Я = (0->д), в которых область С есть кольцо Ог>д, 70 = /д, 71 = /г, весовые функции тождественно равны величинам, обратным к длинам окружностей, К = /р и В (К) = Ьф (/р), фр = (2пр)-1, 1 < р < то.

Определим оператор (свертки) Т = Т^[р,г], V £ Ж, п £ К, из (/г) в (/р) формулой

1 /*2п

(Т1 >п/)(регх) = е- - у Л!,^(х - *)/(гей) ^ (0.0.34)

с ядром

д то Aj,n(t) = r-veivt (Aj(t) + n) , Ai(t) = -pvAj(t) = Ai,° + 2£ A^coskt;

k=1

коэффициенты Ajk задаются равенствами

A1 _ Pv-1 vln(p/R) + 1 A1 _ pv-1 (V + k)(p/R)k - (v - k)(R/p)k 0 Av'° _P ln(r/R) ,Av'k _ P (r/R)k - (R/r)k ,k _0.

Для функций f из пространства Харди Hp(Cr,R), с представлением в виде ряда Лорана, оператор T можно выписать следующим образом

(TJvf ) (рО = fei(v-1)x + e-ix £ A^fkrk-veikx, f (z)= £ fk zk

k=—то k=—oo

d

Пусть (t) = — pVA0(t) и отрезок SV = [п-,П+] имеет граничные точки П- = max minj-AV(t)^(t)} = min тах{-А^(t)^(t)}.

tG[0,2n] tG[0,2n]

Следующие две теоремы являются основными результатами параграфа. Теорема 2.3.1. При произвольных p, 1 < p < то, и = (r/R)V, где v G Z удовлетворяет условию

|v| * ЩЩ sin-1 (Щ/^) , (0.0.35)

для величин оптимального восстановления (0.0.25) и модуля непрерывности (0.0.26) оператора Y1 на классе Q = Qp(Cr,R) справедливы равенства

ш (ÎV ) = Ef (îv ) = ) = Eb (5v ) = |v |pV-1/RV.

В этом случае линейный ограниченный оператор T^0, определённый равенством (0.0.34), является оптимальным методом восстановления, а функция (z) = czVR-V, |c| = 1, - экстремальной.

Теорема 2.3.3. При произвольных р, 1 < р < то, параметра N имеющего представление

1

1

^ = — |А1/>о + п| = —

г

Г V

—1 V 1п(р/Д) + 1 + п

Р 1 / / л \ + ''

1п(г/Я)

в котором V £ Ж удовлетворяет условию (0.0.35) и п £ ^, для наилучшего приближения (0.0.27) оператора Т1 на классе Q = Яр(Сг>д) справедливо равенство

1

1

Е №>п) = Ко — ПI =

Я

V— 1 V 1п(г/р) — 1 п

р —гтт~\--п

1п(Я/г

В этом случае оператор Т, определённый равенством (0.0.34),

является оператором наилучшего приближения.

В случае, когда V £ Ж удовлетворяет условию (0.0.35), оператор Т^ п, определённый формулой (0.0.34), для произвольного п £ ^ также является методом оптимального восстановления. Однако эти операторы не дают новых случаев решения задачи оптимального восстановления. Точнее, справедливо равенство Ы(Т^ п, ^) = IVр—1Я^.

В параграфе 2.4 рассматривается задача (0.0.13) наилучшего приближения класса дQp(Dp), состоящего из производных функций класса Харди в круге другим классом Харди Qp(Dд, N), N > 0, функций, аналитических в круге Дд большего радиуса, по норме пространства Ьфф (1Г), 0 < г < р < Я, 1 < р < то. Для произвольной аналитической в кольце СГ0= {г £ С: г0 < | < р} , 0 < г0 < г, функции / , представимой в СГ0>р рядом Лорана, и целого числа V определим функцию Р формулой

+то +то

Р(г) = £ Ук /к / (г)= £ /к/,

к=—то к=—то

V 1п р — V 1п г — 1 (V — к)р2к — (V + к)г2к ¿.-¿о

V 1п Я — 1п г ' V Я2к — г2к '

45

Определим линейный оператор V^ равенством

K1nf) (z)_ F(z) - fzv-1. (0.0.36)

Теорема 2.4.1. Пусть числа r, p, R удовлетворяют неравенствам 0 < r < p < R. Тогда при произвольном p, 1 < p < то, справедливы следующие утверждения.

1. Имеет место порядковое равенство

E (dQp(Dp), N))Lp (/r) х N-в/а ln1/a N, при N ^ +то,

в котором

ln R - ln p ^ ln p - ln r

ln R - ln r ln R - ln r

2. Если положительное число N представимо в виде

Rv-1 / v ln p — v ln r — 1 \ N- _ "7" ( ln R -inr--(00.37)

где v есть произвольное натуральное число, удовлетворяющее неравенству (0.0.35), и п - произвольное число из отрезка Sv, то имеет место равенство

rv-1 /v ln R —v ln p +1 \ E (dQp(Dp), Nv,,))if(ir) _ — ^ ^ R_lnp + + „ j . (0.0.38)

При этом линейный метод, определённый равенством (0.0.36), доставляет наилучшее приближение класса классом.

Аналогичное (0.0.38) равенство справедливо для величины E (dQp(Cr0,p), Hp(Cr,R, Nv,^))lp (lr), где величина определяется

формулой (0.0.37), в которой v - произвольное целое число, удовлетворяющее (0.0.35), и п - произвольное число из отрезка Sv.

Глава 3 посвящена исследованию экстремальных задач на классах функций, аналитических в полуплоскости П+. Изучаются: задача (0.0.14)

оптимального восстановления функции и производных функции класса по сужению её спектральной функции, и задача наилучшего приближения класса пространством целых функций экспоненциального типа.

В параграфе 3.1 рассматривается задача наилучшего приближения класса Харди-Соболева ОП и класса дтОП пространствами А, целых функций экспоненциального типа, не превосходящего а, и А, = А, Р| НР(П+). Приближения рассматриваются по норме пространств НР(П+) и ^(К + ¿у), у > 0.

Пусть функция I чётная, имеет носитель [—а, а] и на отрезке [0,а] задаётся равенством /(£) = 1— £п-т(2а—¿)т-пе-2у(а"0; I - преобразование Фурье функции I. Определим оператор Р(т) равенством

г

(Р(т)/)(г)=/ ?т)(г — ()/(С) ¿С, г = х + ¿у.

— 00

Образ оператора Р(т)/ зависит только от сужения спектральной функции функции / на интервал (—£,а),£> 0. Обозначим через Ф отображение, определяемое равенством = Р(т)/.

Полученные в теоремах 3.1.1, 3.1.2 и 3.1.4 результаты сформулированы в следующем утверждении.

Теорема 3.1.(1,2,4). Для произвольных 1 < р < то, а > 0, п,т £ 0 < т < п, справедливы равенства

Е(дтОП, А,)ьР(К+гу) = Е(дтОП, А)ьР(К+гу) = ат—п е-^, у > 0,

Е(дтОП, А )н = Е(дтОП, А, )н = ат—

Линейный оператор Ь(т) является методом наилучшего приближения. Показано, что пространство А, и построенный метод реализуют средние поперечники по Колмогорову и Бернштейну, средний линейный поперечник класса ОП по норме пространства ^(К + ¿у), у > 0.

В параграфе 3.2 исследуется задача (0.0.14) оптимального восстановления аналитической в полуплоскости П+ функции и её производных на прямой К + ¿у, у > 0, по известной информации о функции - сужении её спектральной функции на (—£,а). В качестве априорной информации рассматривается принадлежность функции классу ОП = ОП(П+).

Полученные в теоремах 3.2.1 и 3.2.2 результаты сформулированы в следующем утверждении.

Теорема 3.2.(1,2). Пусть т, п Е 0 < т < п, а,у > 0 и 1 < р < то. Тогда для величины оптимального восстановления (0.0.14) справедливы равенства

Е^-[т, а, п]ЬР(М+гу) = Е£[т, а, п]ЬР(М+гу) = ат—п е-уа, (0.0.39)

Е^[т, а, п]нр = Е£[т, а, п]н = ат—п.

Оптимальным методом восстановления является метод Ф.

В Теореме 3.2.3 для случая 0 < п<т и у> 0 показано существование такого а0 = а0 (т — п), что для произвольных а > а0 для величины оптимального восстановления (0.0.14) справедливы равенства (0.0.39). Оптимальным методом восстановления является метод Ф.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному консультанту профессору, д.ф.-м.н. Виталию Владимировичу Арестову за постоянное многолетнее внимание к работе, полезные обсуждения и поддержку.

Глава 1. Оптимальное восстановление аналитической функции по неточно заданным значениям на части границы

В главе исследуется задача оптимального восстановления (0.0.16) аналитической в области О функции (оператора Т^ ) по некасательным предельным значениям функции, заданным с погрешностью на части границы 71, на классе О = (О;70,^>0;71,^1), и взаимосвязанные задачи о модуле непрерывности (0.0.17) оператора Т^ на классе О, и наилучшего приближения (0.0.18) оператора Т*К множеством линейных ограниченных операторов ) на классе О.

§ 1.1. Оптимальное восстановление значения в точке аналитической в односвязной области функции

Далее в параграфе О - односвязная область комплексной плоскости, ограниченная жордановой спрямляемой кривой Г. Пусть 71 - измеримое подмножество Г положительной меры, и 70 - дополнение 71 до Г, т.е. 70 := Г \ 71.

Функции всех рассматриваемых классов N (О), Ж* (О), НР(О) обладают свойством суммируемости логарифма модуля их предельных граничных значений по гармонической мере, т.е. /г 11п |/(()|| Р(г0,() | < [66, §4, 4.1]. Особо важным далее будет класс Харди Н 1(О), который совпадает (см. [57], [72, §2], [65]) с классом аналитических в области О функций, представимых через свои граничные значения по формуле Грина

/(*) = ^ /(С) Р(г, С) к|, г е О.

В этом параграфе на классе О изучаются экстремальные задачи (0.0.16), (0.0.17), (0.0.18) для функционала Т° , который ставит в соответствие граничным значениям на 71 функции / её значение f (г0) в

49

точке области С.

Приведём явно формулировки решаемых здесь задач. Основной является задача оптимального восстановления значения аналитической в области С функции в точке (функционала Т° ) по заданным с известной погрешностью 5 по норме Ь^ (71) её граничным значениям на 71 и дополнительной информации принадлежности функции классу О. Более точно, пусть для неизвестной функции / из класса О задана функция д £ Ь^(71) такая, что справедливо неравенство ||/ — дЦь^(71) < 5. Мы хотим найти наилучший (оптимальный) способ восстановить по д значение функции /(г°), £ С, для всех таких пар функций / и д. В качестве множества методов восстановления, из которых выбирается оптимальный, достаточно рассматривать только множество Т всех возможных функционалов на Ь^ (71). Как обсуждалось выше, в задаче оптимального восстановления линейного функционала на выпуклом уравновешенном классе с помощью множества Т всех возможных функционалов существует наилучший линейный ограниченный функционал, величина уклонения равна модулю непрерывности восстанавливаемого функционала, и справедливы равенства (0.0.11). Формальная постановка задачи такова. Для числа 5 > 0 и метода восстановления Т £ Т величина

и(Т,5) = зир{|/(г°) — Тд| :

1 , (1.1.1)

/ £ ^ д £ Ь^1 (71^ — д^ (71) < 5|

является погрешностью восстановления значения в точке функций класса О по их граничным значениям на 71, заданным с ошибкой 5 по норме Ь^ (71) , методом Т . Тогда

Ет(5) = 1п£ {и(Т, 5) : Т £ Т} (1.1.2)

есть величина оптимального восстановления значения в точке (или, что то же самое, оптимального восстановления функционала Т°о ) функ-

50

ций класса О по их 5 -приближённым граничным значениям на 71 с помощью методов восстановления Т. Задача состоит в вычислении величины Е^(5) и определении оптимального метода восстановления - функционала, на котором в (1.1.2) достигается нижняя грань.

Функцию переменной 5 > 0, определяемую равенством

и(5) = и(5;Т00,<Э) = 8ир{|/(*>)| : / е О, II/1кЫ < 5}, (1.1.3)

называют модулем непрерывности функционала Т° на классе О. Из определения (1.1.3) следует, что для функций из Н справедливо точное неравенство

|/(*>)|<||/Нь^о(70) ш(. (1.1.4)

В случае д = г = то величина (1.1.3) и, соответственно, неравенство (1.1.4) следуют из хорошо известной теоремы братьев Неванлинна о двух константах (см. [91; 23, Гл. VIII, §4, Теорема 1]). А именно, неравенство (1.1.4) в этом случае принимает вид

|/(г0)| < Н/Н^(71) Н/11 Ьо°С(70),

где а = ^(г0,71,О) - гармоническая мера 71 относительно области О в точке 20.

С задачами (1.1.2) и (1.1.3) тесно связана задача наилучшего приближения функционала Т° линейными ограниченными функционалами. Точная постановка задачи такова. Пусть ) есть множество линейных ограниченных функционалов на Ь^ (71), норма которых не превосходит числа N > 0. Величина

и(Т) = 8ир{/(*,) — Т/1 : / е О} (1.1.5)

является уклонением функционала Т е В(Ж) от функционала Т° на классе функций О. Соответственно, величина

Е(Ж) = 1п£ {и(Т) : Т е )} (1.1.6)

51

есть наилучшее приближение функционала Т0 множеством линейных

ограниченных функционалов ) на классе Задача состоит в том, чтобы вычислить величину Е(Ж) и найти экстремальный функционал, на котором в (1.1.6) достигается нижняя грань.

1.1.1 Основные результаты

По функциям ^, к = 0,1, для 5 > 0 определим на границе Г области С функцию фя по формуле

в которой величины а и в, соответственно, равны гармонической мере 71 и 70 относительно области С в точке ¿0, то есть определяемые равенствами

В равенстве (1.1.7) и в дальнейшем, если г и/или д равны бесконечности, то считаем, что величины 1/г и/или 1/д, соответственно, равны нулю.

Весовые функции ^, к = 0,1, удовлетворяют условию суммируемости функций 1п ^ с плотностью гармонической меры, т.е. условию

Эти ограничения для всех 5 > 0 обеспечивают существование аналитической в области С функции йя, имеющей почти всюду на Г некасательные предельные граничные значения, модуль которых равен значениям функции фя. При требовании йя Е Ж^(С) условия (1.1.8) являются и необходимыми. Действительно, вследствие ограничений (1.1.8) на функции ^

(1.1.7)

к = 0,1.

(1.1.8)

для произвольного значения параметра 6 > 0 функция 1п -ф* является суммируемой на Г с плотностью гармонической меры. Тогда (см. [57,66]) требуемой функцией й* € является функция (функция Сегё, функ-

ция максимального модуля, внешняя функция), определяемая по функции -ф* равенством

й*(г) = ехр(и*(г) + гг*(г)), г € С, (1.1.9)

где функция

и*(г) = ^ Р(г, ()1п(() К|, г € С,

является гармонической в области С, а г* - функция, гармонически сопряжённая к и*. Функция г* однозначная в силу односвязности области С, и единственная с точностью до вещественной аддитивной константы, выбор значения которой нам не важен.

На пространстве Р^ (71) определим функционал Т* формулой

Т*я = 1 Р(го,С)^ Ж) КI, я € р^(71). (1.1.10)

Далее будет использоваться величина С = С(го;7о, Тъ^О, определяемая равенствами

С = е1/9(71, Ы £1/г(7о, Ы «-а/<?в-в/г,

Г Р(го £) (1.1.11)

Фк) = ехр / Р(го, С)1п р^^ КI, к = 0,1.

(С)

Основными результатами данного параграфа являются следующие два утверждения.

Теорема 1.1.1. Пусть функции , к = 0,1, удовлетворяют условию (1.1.8). При произвольном 6 > 0 для величины (1.1.2) имеет место равенство

(6) = С 6а.

При этом экстремальными в (1.1.3) являются функции вида css, |c| = 1; в задаче (1.1.2) оптимальным методом восстановления является линейный ограниченный функционал Ts •

Для функций пространства H справедливо точное неравенство

I/(zo)| < С ||f ||L»1 (11) ||/11^(7о). (1.1.12)

Неравенство (1.1.12) обращается в равенство на функциях вида css, 6 > 0, c G C.

Теорема 1.1.2. Пусть функции , k = 0,1, удовлетворяют условию (1.1.8). Для произвольного N > 0 для величины (1.1.6) справедливо равенство

E (N ) = С1/в N-а/в.

При этом в задаче (1.1.6) функционалом наилучшего приближения является функционал TS, у которого параметр 6 определён равенством

6 = С1/e a1/e N-1/в.

Заметим, что для весов ) = в-1P(z0,Z) и ^(С) = a-1P(z0,Z) величина С равна единице. В этом случае неравенство (1.1.12) для функций класса H ( аналога класса Харди ) примет вид

|f(zo)| < ||f(yi) ||f(70).

1.1.2 Свойства экстремальной функции и функционала

В этой части будут исследованы некоторые свойства экстремальных функции ss и функционала Ts,6 > 0, определённых равенствами (1.1.9) и (1.1.10).

Вначале убедимся, что функция ss, 6 > 0, принадлежит классу Q. По определению (1.1.9) функция ss является аналитической и не обращаю-

щейся в нуль в области С. Для её модуля имеем равенство

|й*(г)| = ехр ^ Р(г, С) 1п(С) I, г € С.

По построению функция й* € имеет почти всюду на Г [57,66] нека-

сательные предельные граничные значения и для их модуля справедливо равенство

|й* (С )1 = (С).

Используя это равенство и определение (1.1.7) функции , получим

У5* ы = 11^* 11^(71) =6 (а I Р(го,С) К^ =6;

II5* 1к0(70) = 11^* ^(7с) = (1 ^ Р(го,С) К^ = 1.

Следовательно, функция й* принадлежит Н, и более того, классу Вычислим абсолютное значение функции й* в точке го :

|й*(го)| =ехр^ Р(го, С) 1п(С) кI = = ехр/ Р(го,С^1п6 + -1п- - 1па^ Шх (1.1.13)

Л1 V я ^1(С) я )

х ехрI Р) (11п- ^в

В обозначениях (1.1.11) равенство (1.1.13) можно переписать в виде

|5* (го) | = С 6а. (1.1.14)

Суммируя описанные выше свойства функции й* получим следующее утверждение.

Лемма 1.1.1. Для величины (1.1.3) модуля непрерывности функционала Т° на классе Q имеет место оценка снизу

ш(6) >С6а. (1.1.15)

Доказательство. Функция йя принадлежит классу Ц и, следовательно, по определению модуля непрерывности (1.1.3) справедливо неравенство

^(5) > |йя(¿о)|.

Теперь из равенства (1.1.14) следует утверждение Леммы 1.1.1. □

Лемма 1.1.2. Имеет место неравенство

Е(Ж) > С1/вваа/в. (1.1.16)

Доказательство. В силу леммы 1.1.1 для величины (0.0.6) справедлива оценка снизу

Д(Ж) > вир {С5а - N5 : 5 > 0} = С1/вваа/вN-а/в.

Откуда, используя неравенство (0.0.8), получим оценку снизу (1.1.16) наилучшего приближения функционала. □

Лемма 1.1.3. Для произвольной функции / Е Ц функция //^я принадлежит классу Харди Н 1(С).

Доказательство. Функции / и йя аналитичны в области С, при этом йя в С не обращается в нуль, поэтому отношение //^я также является аналитической в области С функцией. Более того, функции / и 1/йя принадлежат классу Ж*(С). Действительно, / Е Ж*(С) по определению класса Ц, а функция 1/йя является функцией Сегё (максимального модуля), построенной по функции ф-1, и так как 1пфя (а значит и 1п ф-1 ) суммируем на Г с плотностью гармонической меры, следовательно, как отмечалось ранее, 1/йя Е Ж*(С). Тогда из неравенства 1п+ |/(¿)/йя(г)| < 1п+ |/(г)| + 1п+ |1/зя(г)| по определению класса Ж*(С) следует, что функция //^я также принадлежит классу Ж*(С). Теперь для

56

доказательства принадлежности //^ классу Харди Ндостаточно показать, что граничные значения суммируемы с плотностью гармонической меры на Г. Будем отдельно рассматривать интегралы на измеримых частях , к = 0,1. Подставляя граничные значения функции на 71 и используя принадлежность граничных значений /, как функции класса пространству Р. (7^, получим оценку сверху

'71

Ж) ^ (С)

Р («0.С ЖС! = Г »/^ Р («0.С М! =

'71

йР(го, с)

= а1^-1 / {|/(С)|^1/9(С)}Р1-1/<?(20,0К!<

< «1А'й-1II/У«,ы

Аналогично, на 70 имеем

р (20, С) К!

1-1/?

^ 1у/^ (71).

'71

'7о

/ (С)

^ (С)

Р ( ^) 1ЛЛ Г !/(С )!в1/г (С) р ( .) р(го,С) К! = -„1/г, -р(20,С) К!

'7о

р1/г(20, С)

в1/г / {/(С)!<А0а(С)} Р1-1/г(20, С) №!

<

<

/ (70)

\ 1-1/г

Р(20, С) К0 = вII/ 11^оы.

'7о

Итак, функция принадлежит классу Ж*(С) и её граничные зна-

чения суммируемы с плотностью гармонической меры на Г. Согласно аналогу теоремы Полубариновой - Кочиной функция принадлежит

классу Харди Н 1(С). Лемма доказана. □

Теперь исследуем свойства функционала Т, определённого на пространстве (71) соотношением (1.1.10). Убедимся, что функционал Т является ограниченным, вычислим его норму и уклонения (1.1.1) и (1.1.5).

Лемма 1.1.4. Имеют место равенства

||Тя || = аС 5-в, (1.1.17)

и (Тя) = вС 5а, (1.1.18)

и (Тя ,5) = С5а. (1.1.19)

Доказательство. Рассмотрим случай 1 < д < то. Для произвольной функции д Е (71) имеем оценку

|Тя д| =

[ р(„,<)^д(С)МС|

<

< |йя(го)| [ (^тВОт^) (^^(С)) кI < (1.1.20)

АЛ (с )|йя (с }

( / \ 1/(1-1/?) \ 1-1/9

<|йя (ПД мс|] ||д'к-

Функция йя почти всюду на границе Г области С, имеет некасательные предельные граничные значения такие, что |йя(()| = фя(С), в частности для точек 71 справедливо равенство

1/9

Подставив это выражение |йя(()| в подынтегральную функцию в правой части (1.1.20), запишем её новое представление в степени 1 - 1/д :

/^) = Р^)а1/"^(С) = 5-у/,р(¿о, С).

^ (С )кя (С )| (С )5Р1/9 (го, С)

Используем последнее равенство в оценке (1.1.20), получим при 1 < д < то оценку

|Тяд| < |йя(го)|а5-1 Уд^ (71).

Такая же оценка справедлива при q = 1. Действительно, имеем

Tg|<jf P(zo,Z))l |dZI =

= |ss(zo)^ / a¿-1|g(C)|^i(C) |dC1 = |ss(zo)|a¿-1 ||gHl^(7l).

Jyi

Теперь, учитывая равенство (1.1.14), для произвольного q, 1 < q < то, имеем оценку нормы функционала сверху

||Ts|| < aCSа-1 = aC.

С другой стороны, рассмотрев в качестве g граничные значения функции £-1ss на Yi, используя (1.1.14), получим

Ts (¿-1ss) = (zo)| = aC,

что даёт обратное неравенство для нормы функционала и, как следствие, равенство (1.1.17).

По лемме 1.1.3 функция f/ss принадлежит классу Харди H 1(G). Поэтому она представима по формуле Грина через свои граничные значения и справедливо равенство

/М= / p (zo,C) fgldCI.

ss(zo) Jr ss (Z)

Откуда имеем представление

f (zo) - Tsf = J P(zo,Z) "(j) f (Z) IdZ|.

Теперь, рассуждая аналогично доказательству равенства (1.1.17), нетрудно получить и равенство (1.1.18). Верхняя грань в (1.1.5) вновь достигается на функции ss.

Равенство (1.1.19) следует из следующих стандартных рассуждений. Для произвольных функций f Е Q и g Е L^ (71) имеем

|f (zo) - Tsg| < |f (zo) - Tsf I + ITs(f - g)| < U(Ts) + ||Ts|| ||f - g||L, 1 (7i).

59

Теперь из равенств (1.1.17) и (1.1.18) для уклонения (1.1.1) получаем оценку сверху

и(Т,, 6) < вС6а + аС6-в • 6 = С6а.

Для оценки снизу достаточно рассмотреть конкретные функции / и д. Выбрав / = й, и д = 0, получим неравенство

и(т,,6) > ^(20) - 0! = с6а.

Лемма доказана. □

1.1.3 Доказательство теорем 1.1.1 и 1.1.2

Доказательство теоремы 1.1.1. В силу неравенства (1.1.15) леммы 1.1.1, равенства (0.0.11) и равенства (1.1.19) леммы 1.1.4 имеет место соотношение

С6а < ы(6) = (6) < и(Т, 6) = С6а. Отсюда следуют утверждения теоремы 1.1.1. □

Доказательство теоремы 1.1.2. Положим N = ЦТ,|| = аС6-в. В этом случае 6 = С1/в а1/в N-1/в. Тогда в силу (1.1.17) и (1.1.18) для величины наилучшего приближения (1.1.6) справедлива оценка сверху

Е(Ж) < и(Т,) = вС6а = С1/вваа/вN-а/в.

Оценка снизу получена в неравенстве (1.1.16) леммы 1.1.2. Теорема 1.1.2 доказана. □

Замечание 1.1.1. Рассмотренные в параграфе задачи конформно инвариантны. Пусть отображение £ = £(2) конформно переводит область С в жорданову область С, при этом 7к = £(7^), к = 0,1, и £0 =

£(20). Весовые функции связаны равенством <7(£(2))!£'(2) = (2), к = 0,1. Тогда величины оптимального восстановления (1.1.2) функционалов Т°о и Т0о, соответственно, на классах (С; 70,^>0; Тъ^) и (С; 70, <70; 7ъ 70 равны. Аналогичные равенства имеют место для величин модуля непрерывности (1.1.3) и наилучшего приближения (1.1.6). Экстремальные функции и функционалы отличаются лишь заменой переменных £ = £ (2).

§ 1.2. Явный вид экстремалей в случаях полуплоскости и круга

Обозначим через Н = НР(С,^>), 1 < р < то, класс функций / е Ж*(С) с граничными значениями из (Г) с весом Таким образом класс НР(С,^>) есть класс НР'Р(С; 70,^0; 71,^1), в котором показатели совпадают и равны р, а весовые функции ^ являются сужениями функции ^ на 7к, к = 0,1. Пусть Ц = ^Р(С,71, - подкласс функций / е Н

таки^ что Ц/ Ць^(7о) < 1.

В параграфе на классе ЦР(С,71,^) в задаче оптимального восстановления (1.1.2) значения функции в точке 20 е С по её приближённо заданным предельным граничным значениям на 71 по норме £^(71) и во взаимосвязанной задаче (1.1.6) наилучшего приближения функционала линейными ограниченными функционалами для случаев, когда область С является полуплоскостью и кругом, а подмножество 71 границы области, соответственно, промежутком и дугой, явно выписаны решения - экстремальная функция, оптимальный метод восстановления, функционал наилучшего приближения. В частности, вычислена константа С неравенства (1.1.12), определённая равенством (1.1.11). В теоремах 1.1.1 и 1.1.2 получено решение этих задач в более общей постановке. Однако нахождение явного аналитического вида решений (экстремальных функции и функционала, константы точного неравенства), вообще говоря, затруднителен. Рас-

сматриваемые случаи являются примерами, когда это возможно сделать. Отметим, что с помощью приведённых формул можно получить явный вид решений в аналогичных задачах для односвязных жордановых областей С, если явно записана функция, задающая конформное отображения области С на полуплоскость или круг. Это следует из замечания 1.1.1.

Приведем конструкции некоторых функций. Зададим функцию 1 в области С равенством

К1х (г) = ехр{и(г) + )},

в котором и (г) = и (г, 71, С) - гармоническая мера 71 относительно области С в точке г, и - гармонически сопряжённая к и функция, которая определена и единственна с точностью до аддитивной (вещественной) константы, выбор которой нам не важен. Функция ^71 является ограниченной аналитической, не обращается в нуль в области С и удовлетворяет равенствам

|Л71 (г)| = е^, г е П+; (()| = е, С е 71; К (х)| = 1, С е 7с

Для фиксированной точки е С определим функцию соотношением

Ф^ (г) = ехр{^(г) + )}, в котором гармоническая в С функция V является интегралом

Ф) = У Р(г, С)1пр(2Ь,С) К|,

г

а й - функция, гармонически сопряжённая к V и для которой выбор аддитивной постоянной нам также не важен. Функция Ф^ является аналитической и не обращается в нуль в области С, принадлежит классу N(С). Граничные значения модуля функции Ф^ почти всюду совпадают с плотностью гармонической меры, т. е.

Фо(С)1 = р(«>,С), с е г.

62

Третья функция будет построена по весовой функции Пусть неотрицательная измеримая функция ^ удовлетворяет условию: 1п ^ является суммируемой функцией на Г по гармонической мере. Аналитическую в области С функцию Ф из класса Ж* (С) определим равенством

Ф(2) = ехр{и(2) + ¿7(2)},

в котором гармоническая в С функция и является интегралом

+то

и(2) = Р(2, с)1п ^(Ж) К!,

-то

а 7 - функция, гармонически сопряжённая к и. Функция Ф не обращается в нуль в области С, а граничные значения модуля функции Ф почти всюду совпадают с функцией 1/^>, т.е.

!Ф(С)! = 1/<Ж), С е Г.

Используя введённые выше функции , и Ф, функцию , определённую формулой (1.1.9), можно представить в виде произведения

(2) = в-1/Р ^ (2)Ф10/Р(2)Ф1/Р(2), 2 е С, (1.2.1)

в котором

а = 1п6 + 1/р 1пв/а, а = ^(20,71,С), в = 1 - а = и>(20,70,С),

и 1 < р < то. Если р = то, то величину 1/р считаем равной нулю. В этом случае (р = то ) функция й, = ^, а = 1п 6, не зависит от точки 20.

Когда область С является полуплоскостью и кругом, хорошо известны явный вид плотности гармонической меры и, соответственно, гармонической меры промежутка на граничной прямой и дуги граничной окружности. Используя их и представление (1.2.1) функции й,, далее будут выписаны явные решения (экстремальные функция и функционал, константа точного неравенства) рассматриваемых задач.

63

1.2.1. Явный вид экстремалей в случае полуплоскости

Через П+ обозначим верхнюю полуплоскость; I - промежуток граничной прямой R, в качестве которого будет выступать либо конечный интервал (a, b), либо полупрямая (0, В дальнейшем ln z = ln |z| + i arg z, 0 < arg z< 2п, и zz = exp{Z ln z}, z, Z G C, z = 0.

Для плотности гармонической меры (ядра Пуассона) полуплоскости справедливо равенство

P(z,£) = r4--^| = -t-1^-2, z = x + iy, £ G R.

(in z — e J п (x — £)2 + У2

Для гармонической меры w(z)= w(z, I, П+) промежутка I относительно полуплоскости П+ в точке z G П+ справедливы равенства

/ / 1 z — b , , ч^ч п — arg z

w (z, (a, b), n+) = -axg-; w (z, (0, П+) =-—. (1.2.2)

п z — a п

Вид функции hi зависит от промежутка I. Точнее, в случае I = (a, b) справедливо равенство

h<"'»(z)=(t-f) =exp{—П ln( f-^)};

а в случае I = R+ - равенство

hR+ (z) = ezi/n = exp jl + - lnzj.

Для функции имеет место равенство

.-г. / \ Уо 1 т

(z) = —7-—2, Уо = Im z0.

п (z — zo)2

Нетрудно проверить, что сужение модуля функции на вещественную ось совпадает с плотностью гармонической меры (ядром Пуассона), т. е. |Ф*,(x)| = P(zo,x), x G R.

Пусть ^ - весовая функция, определённая и неотрицательная на вещественной прямой К, для которой конечна величина

+то

(1.2.3)

] х2 + 1

—то

В качестве примера весовых функций ^ и соответствующих им аналитических функций Ф приведем "степенные" веса:

= Р(21,х)=(^ — ^2 + ^ , = Х1 + ^ £ П+, ^ £

Ф(2) = Ф—^(2) = (У1/ПГ (2 — 2^, 2 £ П+;

^(х) = |х — х1|—, х1 £ К, V £ К,

Ф(2) = (2 — Х1 )2^, 2 £ П+.

Напомним, что для произвольной точки £ П+ и веса ф1(х) = Р(г1,ж) класс Нр(П+,ф1) совпадает с классом Харди НР(П+).

Далее, используя выписанные выше функции ^я, и функцию Ф, получим представление экстремальной функции -( по формуле (1.2.1), а также константу С = |-Д20)| неравенства (1.1.12) и экстремальный функционал Т(, задаваемый равенством

1 / У0 5(5 (2о)

П ] (хо — х)2 + уО -((х)

Т/ = ^ / --/(х) ¿х, / £ ^(1). (1.2.4)

I

Экстремальные функция и функционал для I = (а, Ь). В случае, когда промежутком I является интервал (а,Ь), для гармонических мер имеем

0

а = и (20, (а, Ь), П+) = —,

п

в = и (20, К \ (а,Ь), П+) = ^, 0 = а^ Ь,

п 20 — а

где 0 - угол при вершине 20 треугольника с вершинами в точках а, Ь и 20.

Экстремальная функция (1.2.1) имеет вид

/ у \1/Р 1 / г а \»/п(1п 5+1/р 1п(п/0-1))

«« = (П^) (Г-^ (т-Й ^),

где го = Хо + гуо.

Функционал (1.2.4) оптимального восстановления (наилучшего приближения) Т для случая I = (а, Ь) примет вид

ь

T f = K

i

1 Уо

1-i/p

и(x) f (x) dx,

п (x — xo)2 + Уо.

а

где функция и(x) = u(z0,p, x) с модулем, тождественно равным единице, задаётся равенством

и (x) = exp i { 2 arctg l p

2 x„ Уо п .

_----r

- p x — x0 p

1 /_ _ 1. п — V\ |zo — a|(b — x) 1 ^

+- ln ¿ + - ln —— ln-^-— - arg(Ф(x)) \.

п\ p v / |z0 — b|(x — a) p J

и величина K - равенством

^ = ГФм (у-^11/Р

\ 4пу0 Чп - §) ] . Соответственно, точное неравенство (1.1.12) для функций класса Н = Нр(П+,^>) примет вид

|/Ы| < С II/Г4,ь) II/Ц^^. / е ^

величина C задаётся равенством

=

Г |Ф(^о)| / V \ 11/p

\ 4yo (п — V) V п — V

Экстремальные функция и функционал для I = (0, В слу-

чае, когда промежуток I является полупрямой R+ = (0, для гар-

монических мер имеем

а = w (z0, R+, П+) = ———, ß = w (z0, R+, П+) = —, = argz0.

пп

66

Экстремальная функция (1.2.1) имеет вид

ss(z) = ( У0 У/Р ^ zi/n(lnJ—1/pln(n/^0-1)) ф1/р)

^ — 00^ (2 — 20)2/р

20 = 1201 е'^0 = Ж0 + ¿У0.

Функционал (1.2.4) оптимального восстановления (наилучшего приближения) Т( для полуоси примет вид

T f = K

П 1-1/p

1 У0

п (x - Хо)2 + Уо.

^>1/p(x) и(x) f (x) dx,

где функция и(x) = u(z0,p, x) с модулем, тождественно равным единице, задаётся равенством

/ч . Г2 , Уо п .

u(x) = exp W - arctg----+

[p x — x0 p

1 Л г ^0 V Ы 1

+- ln J + - ln-^ ln —--arg (ФЫН ,

п V p п — §0 J x p I

и величина K - равенством

=

f Ф(20) /П — 00\

1/p

\ 4пу0 V 00 .

Соответственно, точное неравенство (1.1.12) для функций класса Н Нр(П+,^>) примет вид

I/(20)1 < С II/11^,0)/"1—/ £ Н1'^ ^

величина С задаётся равенством

с= ( |Ф(20)| (П — 00^о/п —П1/р

400 У<Л 00

1.2.2. Явный вид экстремалей в случае круга