Оценки констант Харди для областей, обладающих специальными свойствами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Шафигуллин, Ильнар Касыймович

• Шафигуллин, Ильнар Касыймович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Шафигуллин, Ильнар Касыймович

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ 3 Глава

ДЕКАРТОВЫ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ И ТЕЛА

ВРАЩЕНИЯ

§1.1 Оценки констант для декартовых произведений областей

§1.2 Геометрическая интерпретация формального доказательства

§1.3 Случай П х

§1.4 Оценки констант для тел, полученных вращением произвольной

фигуры вокруг прямой

Глава

ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ КОНСТАНТ ХАРДИ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ С

РЕГУЛЯРНОЙ ГРАНИЧНОЙ ТОЧКОЙ

§2.1 Предварительные результаты

§2.2 Известные определения регулярных граничных точек

§2.3 Э-регулярные граничные точки

§2.4 Точные нижние оценки сильной константы Харди

Глава

НИЖНИЕ ОЦЕНКИ КОНСТАНТЫ ХАРДИ ДЛЯ

ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

§3.1 Случай произвольной плоской области

§3.2 Пространственный случай

§3.3 Обобщение на случай Ьр

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценки констант Харди для областей, обладающих специальными свойствами»

ВВЕДЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена исследованию констант в неравенствах типа Харди. В рамках данной работы рассматривается лишь случай интегральных неравенств.

Неравенства типа Харди дают связь, в одномерном случае, между функцией и ее производной, а в многомерном случае — между функцией и модулем ее градиента.

Приведем основной вид такого рода неравенств, полученных и опубликованных Г.-Х. Харди в начале 20 века (см. [44]):

где / — абсолютно непрерывная функция / : [0, оо) —> М такая, что /(0) = 0, / ф 0, /' е Ь2(0, оо). В данном неравенстве константа 4 является точной, но не существует экстремальной функции / ф 0, на которой достигается равенство (см. [44]).

Актуальность темы. Существует множество направлений, в которых обобщались одномерные неравенства типа Харди вида (0.0.1). Так, например, Дж. Таленти [73] и Дж. Томаселли [75] получили условия на весовые функции в одномерных неравенствах типа Харди, которые необходимы и достаточны для выполнения соответствующего неравенства с некоторой конечной константой. Ряд других интересных и важных результатов по одномерным неравенствам типа Харди получили В.Г. Мазья [59], В.Д. Степанов [14], [72], А. Куфнер [10] и Л.Э. Перссон [52], В. Левин [56], Ф.Г. Авхадиев и К.-Й. Вире [22], [24], Д.В. Прохоров [12] и другие (например,

Бурное развитие теории неравенств типа Харди обусловлено, в первую очередь, ее широким применением в различных областях математики и математической физики. В частности, данные неравенства широко

00

оо

(0.0.1)

0

0

[67], [64], [63]).

используются в теории вложения функциональных пространств (см. [13]), также С.Л. Соболев применял их при оценке потенциала Рисса. Ф.Г. Авхадиев в [2] использовал неравенства типа Харди при оценке жесткости кручения. С изучением отрицательности спектра двумерного оператора Шредингера связаны результаты А. Лаптева и Т. Вейдла из статьи [54]. Работы А. Балинского и А. Лаптева по тематике неравенств типа Харди связаны с проблемой существования резонансных состояний. Более подробно с приложениями неравенств типа Харди можно ознакомиться в работах [13],

[26], [36], [38], [40], [47], [48], [65], [76], [78], [79], [1], [5], [32], [50], [51], [69].

Неравенствам типа Харди посвящено множество современных работ различного содержания. Но есть и множество нерешенных задач. Особенно это касается многомерного случая. Некоторым из этих нерешенных задач посвящена данная диссертационная работа.

Наиболее существенным обобщением (0.0.1) стали неравенства типа Харди в многомерных областях:

где О, — произвольная область из евклидова пространства Мп, 5 = 5(х) = сИв^х, д£1) — функция расстояния до границы области, V/ — градиент функции / : О, —> К. Ввиду того, что в неравенстве присутствует функция расстояния до границы области, вводится естественное ограничение на область £7 ^ Мп, иначе <5(х) = оо и неравенство потеряет смысл.

Если вопрос с константой в одномерном неравенстве вида (0.0.1) исчерпан, т. е. константа найдена, и она точна, то в многомерном случае (0.0.2) значение этой константы, вообще говоря, зависит от вида области. Большинство известных результатов в данном направлении получены для отдельных классов областей, обладающих некоторой особенностью. Так, например, рядом математиков различными способами было показано, что для любой выпуклой области Г2 С Мп константа Сп(Г2) равна 4 (см. Е.Б. Дэвис [37], Т. Матскевич и П.Е. Соболевский [60], X. Брезис и М. Маркус [33], М. Хоффманн-Остенхоф, Т. Хоффманн-Остенхоф, А. Лаптев [46]).

Достаточно распространен подход, при котором для классификации

(0.0.2)

областей используются функционально-геометрические особенности областей. Так, например, для областей с локально липшицевой границей показано, что константа Харди существует и конечна (см. К. Бэндл и М. Флечер [27], Е.Б. Дэвис [36], В. Опик и А. Куфнер [68] и другие). Однако липшицевость границы не является необходимым условием конечности константы Харди. Доказаны неравенства типа Харди и при более общих условиях на границу множества. В этом направлении работали А. Анкона [20], X. Брезис и М. Маркус [33], [34], Е.Б. Дэвис [36], [39], П. Коскела и X. Цонг [49], Й.Л. Льюис [57], В.Г. Мазья [59], А. Ваннебо [77], Ф.Г. Авхадиев [21], А. Лаптев и A.B. Соболев [55], Р.Бануэлос [31], Г. Барбатис [29], [30], С. Филиппас [41], [42] и другие математики (см., например, [11], [15], [16], [17], [23], [25], [28], [35], [74]). Кроме того, известен подход, когда для классификации областей используются свойства специально введенных на них функционалов. Так, например, в [62] вводится понятие изопериметрического профиля, который далее используется для получения двусторонней оценки константы Харди. В этом направлении также работали математики: Й.Л. Льюис [57], В.Г. Мазья [59], В.М. Миклюков и М.К. Вуоринен [62] и многие другие.

Выделим два важных для нашей диссертационной работы результата. В работе [21] Ф.Г. Авхадиевым доказана теорема А.

Теорема А. Пусть Q с Rn, п > 2, О, ф Rn. Если l<p<oonn<s<oo, то для любой функции f Е Со (П)

является точной и не может быть в общем случае заменена меньшим числом.

Особо следует отметить, что в данной теореме нет каких-либо ограничений на область £1, то есть результат получен сразу для всех областей. Более того, существуют области, на которых она является точной, т. е. в

п

где S = dist(x, сЮ). При этом константа

общем случае не может быть заменена меньшей постоянной. Однако для отдельных классов областей постоянная может быть уменьшена. В первой главе будет предложен новый класс областей, для которых константа Харди < (р/(л—п))р, т. е. аналог теоремы А справедлив с лучшей константой.

Следующим важным для нашей работы результатом является гипотеза Е.Б. Дэвиса, которую он сформулировал в работе [37] в 1995 году. Он предположил, что для любой области константа в неравенстве типа Харди (0.0.2) не может быть меньше, чем 4, то есть, так же, как и в случае п = 1, когда такая оценка является следствием классического результата Г.Х. Харди [44]. А именно, Дэвис предполагает, что в неравенстве вида (0.0.2) оптимальной оценкой снизу для константы Сп(0,) будет число 4 независимо от вида области.

Однако гипотеза Дэвиса в общем случае оказалась неверной, хотя при п = 2 и п = 3 мы не имеем контрпримеров, опровергающих эту гипотезу. При п > 4 такой пример существует. Впервые на существование такого примера обратили внимание математики Маркус, Митцель и Пинховер в статье [61] [см. также [22]]. Известно неравенство [27]:

/ ^^ йх < 1 |У/(*)|2с*г, V/ 6 С'(К").

К" К™

С учетом того, что для О = Мп\{0} расстояние до границы области будет выражаться в виде <Из1(х,д£1) = 5(х) = мы можем переписать это неравенство в следующем виде

/ / |У/(Ж)|2Л;' V/6 Со'(К"\{0}).

К"\{0} Е"\{0}

А это значит, что при п > 4 будет выполняться неравенство:

4

Сп " (п - 2)2 < 4'

где

Сп = т£ сп( Ш

Таким образом, гипотеза, выдвинутая Е.Б. Дэвисом, оказывается неверной для п > 4 и должна быть уточнена. Исходя из анализа гипотезы Дэвиса и контрпримера из [61], мы предлагаем следующую гипотезу.

Уточненная гипотеза Дэвиса: инфимум констант Харди по областям, не совпадающим со всем пространством, равен

4

С2 = 4, с3 = 4, сп = _ \/п > 4.

Исследование этой гипотезы проводится нами в третьей главе диссертационной работы.

Цель работы — получить новые оценки констант Харди. Исследование ведется с использованием трех различных подходов.

Первый подход реализован в первой главе диссертации и связан с исследованием неравенств типа Харди на "производных областях", то есть областях, полученных при помощи каких-либо операций из уже известных областей. Рассматривается поведение констант Харди при декартовом умножении области на интервал или прямую. Кроме того, получены результаты для областей, образованных вращением плоской фигуры вокруг внешней прямой. В следующих параграфах приведены обобщения этих конструкций. Результатом является ответ на вопрос — для каких классов областей в неравенстве теоремы А будут иные ограничения на константы.

Второй подход связан с исследованием неравенств типа Харди на классе областей, обладающих одной регулярной граничной точкой. Получены как некоторые обобщения результатов Е.Б. Дэвиса, так и новый геометрический критерий для классификации областей с точной нижней оценкой константы Харди.

Третий подход связан с исследованием неравенств типа Харди на произвольных областях без каких-либо ограничений на них. Частично доказана уточненная гипотеза Дэвиса. Получены нижние оценки констант Харди в случае п > 2, точные по порядку при п —> оо.

Научная новизна. В диссертационной работе получены новые оценки констант Харди, частично доказана гипотеза Дэвиса. Получены точные нижние оценки для новых широких классов областей с простым геометрическим критерием принадлежности области к этому классу.

Необходимо отметить, что использованы подходы и идеи доказательств из статей [3], [21], [37].

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Однако результаты, полученные в диссертации, могут послужить некоторым инструментом для дальнейших теоретических исследований в теории вложения весовых функциональных пространств и в теории краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции "Prom Carthage to the World: the Isoperimet-ric Problem of Queen Dido and its Mathematical Ramifications" (Тунис, 24-29 мая 2010), на итоговых научных конференциях Казанского университета (2010 — 2013 гг.), на международных Казанских летних научных школах-конференциях "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2009, 2011, 2013 гг.), II Международной конференции "Геометрический анализ и его приложения" (Волгоград, 26-30 мая 2014 г.).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [4], [8], [6], [7], [19], [18].

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 104 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав и списка литературы из 79 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе получены константы Харди для областей, полученных как декартово произведение произвольной области на прямую или на интервал. Изучены области, которые получаются вращением произвольно плоской фигуры вокруг внешней прямой. Для таких областей получены двусторонние оценки константы Харди.

Хорошо известен тот факт, что если Q — выпуклая область, то аналог теоремы А будет верен с постоянной (p/(s — 1))р. Мы обнаружили новые классы областей, для которых постоянная (р/(s — п))р может быть заменена меньшей, а именно, рассмотрены n-мерные области, представимые как декартово произведение Г2 = f2i х (а, Ь)к, где к £ N. Показано, что для таких областей постоянная Харди в аналоге теоремы А может быть взята как (р/(s — п + к))р.

Это является основным результатом первого параграфа. Он сформулирован в виде следующей теоремы.

Теорема 1.1.1. Пусть П = х (а, Ъ)к с где — произвольное открытое множество в и п — к > 2, О, ф Шп~к. Если 1 < р < оо и п — к < в < оо, то для любой функции / Е Сд(Г2)

) 5* - +к-п; ] б8~р п п

где 6 = сИб^х, сЮ).

Далее приводится исследование геометрической природы такого результата, а именно: вводится понятие "существенного граничного элемента"и изучается поведение таких граничных элементов при декартовых произведениях областей на интервал. Показывается, что именно размерность этих граничных элементов области влияет на константу Харди. Полученный результат представлен в виде теоремы 1.2.1.

В следующем параграфе исследуется более общее неравенство типа Харди, включающее некоторые весовые функции.

I ф(5Шс1х < Ср(0,\ <£>; ф) I V/ е Со(П), (0.0.3)

п п

где (р : (0, оо) —М+ и ф : (0, оо) —>• — непрерывные функции,

принимающие положительные значения.

Получены исчерпывающие результаты для областей вида ^ = х Точнее, показано, что если для произвольной области С Кп выполнено неравенство (0.0.3), и константа Ср(Г21; у; ф) является точной, то и для области вида = х ^ аналогичное неравенство с константой ср(0,1;(р;ф) будет справедливо, и константа будет точна для этих областей. Этот факт приведен в виде теоремы 1.3.1.

Теорема 1.3.1. Пусть 1 < р < оо, — произвольная область в Мт;

Ф Мт. Если 0.2 = х где тп и к е то имеет место равенство

ср(Г2ь щ ф) = ср(П2, щ ф).

Отметим, что доказательство теоремы состоит из двух независимых этапов, связанных с доказательством неравенств ср(0,1,(р, ф) > ср(С12,(Р,Ф) и

В первой главе уделено также внимание оценкам констант Харди для тел, полученных вращением произвольной фигуры вокруг прямой. Простейшим примером такого рода тел является тор. Его можно получить, вращая круг вокруг некоторой внешней прямой, т. е. прямой, не имеющей общих точек с рассматриваемым кругом, но лежащей в той же плоскости. В зависимости от положения оси вращения мы можем получить как вырожденный тор, так и тор с большим расстоянием от границы до оси вращения. Эти параметры определим как г\ и Г2, а именно, через г\ будем обозначать радиус основания наибольшего цилиндра, не имеющего общих точек с полученным тором, с осью, совпадающей с осью вращения. Через 7*2 будем, соответственно, обозначать радиус основания наименьшего цилиндра, полностью содержащего в себе полученный тор, с осью, совпадающей с осью вращения. Данные параметры влияют на оценки констант Харди для таких тел. Этот вопрос исследуется не только для торов, но и для тел, полученных вращением произвольных фигур.

Теорема 1.4.1. Пусть 5\ — функция расстояния до границы области П1 и для любой функции / е Со(Г21) справедливо неравенство

где сриф — некоторые непрерывные весовые функции, принимающие положительные значения, а 5\ — функция расстояния до границы множества 0.1. Тогда для всех функций из класса Сд(Г2) справедливо следующее неравенство

где 6 — функция расстояния до границы множества Г2. При этом константы в этих неравенствах будут связаны следующим соотношением

При этом получено обобщение этого результата на произвольное количество вращений вокруг различных внешних прямых.

Доказаны некоторые геометрические особенности таких конструкций. Во второй главе получен новый широкий класс областей с точными нижними оценками константы Харди. Особенностью является простота проверки критерия принадлежности области этому классу.

Первый параграф этой главы посвящен изложению вспомогательных фактов, которые необходимы при доказательстве ряда последующих теорем. Эти утверждения сформулированы в виде трех лемм.

Ключевым пунктом этой главы является введение определения S-регулярной граничной точки.

Точку у £ дО, области О С Шп назовем S—регулярной, если существует точка жо G 1", постоянные £б(0,|)и(7>0 такие, что для любого е £ (0, его) выполняются условия:

1) Sy{xQ,e) С Q;

2) для любой точки х £ Sy(xо, г) должно выполняться двустороннее неравенство для функции расстояния до границы области

го — \х — xq\ < dist(ar, dq) < Го(1 + се) — \х — xq\,

где го = \у — хо\, а Sy(xо,г) — усеченный шаровой конус. Приведем его определение. Пусть е £ (0, пусть у и хо — точки Rn, го := \xq — у\ > 0. Определим усеченный шаровой конус Sy(xо,е) как множество точек х G Rn, удовлетворяющих двум следующим условиям:

{1г0(1-2у/ё) < \х-х0\ <г0, < < 1-

Мы доказываем следующий геометрический признак того, что точка является S-регулярной, а именно: обоснована теорема 2.3.1.

Теорема 2.3.1 Если для точки у е ВО, существуют два шара В± со свойствами

В+ С Q, В~ С Шп\П 11

то у — Б-регулярная точка.

Далее мы вводим понятие граничной точки, "двусторонне достижимой шарами". Упрощенно говоря, то, что хо является точкой, двусторонне достижимой шарами, означает, что хо — общая граничная точка двух шаров, один из которых целиком лежит внутри, а второй — вне рассматриваемой области. Строгое определение граничной точки, двусторонне достижимой шарами, указано чуть выше, в теореме 2.3.1, дающей достаточное условие 5—регулярности точки.

В следующем параграфе этой главы мы исследуем неравенство типа Харди вида:

Ключевыми результатами этой главы являются теоремы, данные в последнем параграфе. Первая теорема дает точную нижнюю оценку для константы в неравенстве (0.0.4), для случая, когда р = 5 = 2иОсМ2 — область, обладающая 5—регулярной граничной точкой. В указанных ограничениях на параметры р и 5 неравенство (0.0.4) приобретает вид

Далее в предположении, что существует наименьшая из возможных постоянная С2,г(^) € (0, оо), доказана следующая теорема.

Теорема 2.4.2 Пусть О — область в М2, существует 5—регулярная граничная точка у Е <9П. Тогда

V/ е Со1^), (0.0.4)

где сР:8(0,) является оптимальной константой, т. е.

СЙ|2(П) > 4.

В следующей теореме приведено параметрическое обобщение, а именно:

пусть дано неравенство

СрАП) I ^ йх уи Е С^П),

тогда для него будет справедлива теорема 2.4.3.

Теорема 2.4.3 Пусть р Е [1,оо),5 Е (1,оо) и О, — область в М2, существует 5—регулярная граничная точка у Е дО,. Тогда

Две приведенные теоремы относятся к константам Харди на плоских областях. Нами также доказана теорема, которая обобщает полученный результат на случай, когда О, является областью в п-мерном пространстве.

Теорема 2.4.1. Пусть р Е [1, оо), 5 Е (1, оо) и пусть — область в Мп; существует Б—регулярная граничная точка у Е дП. Тогда

Ценность приведенных теорем в том, что они описывают новый широкий класс областей, для которых найдена точная нижняя оценка константы Харди. Более того, данный класс обладает очень простым геометрическим условием проверки принадлежности области этому классу областей. Так, для сравнения, хорошо известный результат, что для любой выпуклой области константа Харди равна (р/(в — 1))р, может быть доказан как простое следствие приведенных теорем, так как очевидно, что любая выпуклая область обладает граничной точкой, двусторонне достижимой шарами. Более того, легко показать, что множество точек, двусторонне достижимых шарами, является всюду плотным на границе рассматриваемой выпуклой области. В условиях же теорем, приведенных выше, требуется наличие лишь одной такой точки.

Третья глава посвящена исследованию констант Харди для произвольных областей без каких-либо ограничений на них. Частично доказана гипотеза Е.Б.Дэвиса — найдены оценки констант Харди для п> 2, точные по порядку при п —> оо.

В этой главе речь также идет о неравенствах вида (0.0.4), однако в данном случае нас будет интересовать значение константы ср,5(П) не для конкретного класса областей, а для произвольной области, без каких-либо ограничений на нее, кроме естественного ограничения О, ф Мп.

Другими словами, нас интересует следующая величина

сп= т£ Срв(П) = т£ эир

/Л .— ГТ1 !Г> Г\ /ТТЛ т * ' ^ ' — ТТ1 / ТТЛ г>

п

П

где п — размерность рассматриваемого нами пространства.

Полученные результаты представлены следующими теоремами. Теорема 3.1.1. Пусть С М2 и П ф М2 и дано неравенство

/ - С2'2(0) / V е « (0.0.5)

п п

Тогда константа удовлетворяет неравенству:

2

с2 = т£ с2,2(^) >

' Ътт2'

Теорема 3.2.1. Пусть С К3 и П ф М3 и дано неравенство

/ ~ С2'2^} / ^ е (0-0-6) п п

Тогда константа Сз удовлетворяет неравенству:

2(тг2 - 4)

с3 = Ы с2,2(П) >

57Г2(7Г2 — 1) '

Теорема 3.2.2. Пусть п > 4, О, С Мп и О ф Мп и дано неравенство / - С2'2(п) / ^ е <«(«)■

Тогда константа сп удовлетворяет неравенству:

2тг2

сп = С2,2(П) >

пса»,п^а» ' 5(8 + п(п + 1)7г2)'

Получены следующие обобщения этих результатов на случай пространства Ьр, где ре (1, оо).

Теорема 3.3.1. Пусть О С 1" и ^ ^ 1" и дано неравенство

I " Ср>р{п) I е сш

п п

где р > 1. Тогда константа сР)П удовлетворяет неравенству:

в(п,р)р(р + 1)р

ср,п = п ЬД _ СрАП) >

^ Ь2((В(п,р)р)р +Р + 1)р

где В(п,р) — бета функция Эйлера.

Кроме того, обосновано обобщение на случай, когда функция расстояния до границы присутствует в обеих частях неравенства.

Теорема 3.3.2. Пусть 1 < р < оо, 1 < в < р. Пусть, далее, С Ш.п и О, и дано неравенство

(1/1р ^ ^ г

йх < с^(О) I <1х V/ 6 СоЧП).

J б8

п п

Тогда константа сРг?1П удовлетворяет неравенству:

В (щр)р(р+1)Р

пскм^к» " 2р-85Ц{в{п,р)р)р +р + 1)р

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Авхадиеву Фариту Габидиновичу за поддержку, ценные советы, критические замечания и постоянное внимание к работе.

Глава 1

ДЕКАРТОВЫ

ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

Неравенства типа Харди, содержащие степени функции расстояния до границы, изучаются уже достаточно длительное время. Наша цель — выделить класс областей, обладающих специальными свойствами, и исследовать неравенства на этом классе множеств.

В этой главе мы исследуем константы Харди на декартовых произведениях областей, а также для областей, полученных при вращении произвольной фигуры вокруг внешней прямой.

§1.1 Оценки констант для декартовых произведений областей

Пусть О, — область в евклидовом пространстве R", Г2 ф Rn. Через 5(х) обозначим расстояние от некоторой точки х £ Г2 до границы области £1, а именно,

5 = ¿(я) = min dist(a:, у).

■уедП

Рассмотрим неравенство типа Харди

где 1<р<оо, 1<5<оо, а — оптимальная константа, при которой

неравенство (1.1.1) верно для всех функций из Сд(П). Строго константу

V/ е Сд(П), (1.1.1)

можно определить следующим образом:

Во введении к диссертационной работе мы приводили теорему А, доказанную Ф.Г. Авхадиевым [21]. В этой теореме утверждается, что неравенство (1.1.1) будет справедливо для любой области О, С Мп, константой

при условии, что 5 > п > 2. При этом указанная константа является точной, т. е. не может быть в общем случае заменена меньшим числом. Точность в данном случае следует понимать следующим образом: существуют экстремальные области, для которых данное неравенство превратится в равенство с константой (р/(в — п))р. Однако, при этом существуют классы областей, причем достаточно обширные, для которых эта константа может быть заменена меньшей величиной с сохранением справедливости неравенства Харди. Так, например, многими математиками было доказано, что при условии р = в, для выпуклых областей неравенство (1.1.1) будет справедливо с константой (р/(р — 1))р (см., например, [61], [60]). Само же неравенство (1.1.1) для выпуклых областей будет справедливо с константой (р/(в — 1 ))р (см., например, [7]).

С учетом анализа приведенных фактов нами была поставлена задача — описать новый класс областей, для которого константа (р/(з — п))р может быть уменьшена.

В силу геометрических особенностей, которые мы опишем в следующем параграфе, нами для исследования был выбран класс областей вида = Ох х (а,Ь)к, где — некоторая произвольная область, к Е N. Очевидно, что если исходная область Ох является невыпуклой, то и область х (а, Ъ)к также будет невыпуклой областью, т. е. этот класс не является подклассом семейства выпуклых областей.

Для такого класса областей справедлив следующий аналог теоремы А.

Теорема 1.1.1. Пусть п ик £N,71 — к >2, и пусть 0 = 0хХ (а, Ъ)к С где Ох — произвольное открытое множество в Жп~к, ф Ш.п~к. Если 1 < р < оо и п — к < Б < оо, то для любой функции / € С*о(Г2)

где 5 = с?25£(:г,Ш).

Доказательство. Будем пользоваться методом, разработанным в статьях [21] и [3] для доказательства теоремы А. Мы используем также некоторые обозначения и неравенства из доказательства теоремы А в статьях [21] и [3]. Но потребуются некоторые изменения, которые мы укажем в ходе доказательства.

Пусть / £ Со(Г2), через вирр/ будем обозначать носитель этой функции. Как показано в [21] и [3], для выбранной функции / неравенство типа Харди достаточно установить для областей О11, составленных из кубиков и сколь угодно точно аппроксимирующих заданную область О.

С учетом специального вида Г2 = х (а,Ь)к можно считать, что замыкание аппроксимирующей области имеет вид

где к2 = [О, н]п к + къп к — кубики из Мп к, причем существует достаточно малое число /го > 0 такое, что

= и0<Л<йоК), 8прр/ С и^ [К} х (а, Ь)к] УН £ (0, /г0).

Отметим, что в статьях [21] и [3] рассматриваются области Он, составленные из кубиков размерности п, мы здесь незначительно изменили выбор аппроксимирующих областей.

Таким образом, неравенство Харди достаточно доказать для области вида Он = 0,1 х (а, Ь)к. Поскольку константа Харди инвариантна при линейных преобразованиях, мы будем считать, что Л = 1.

Очевидно, что граница области вида О1 представляет собой объединение граней параллелепипедов вида Щ х (а, Ь)к, причем граней двух типов, а

0Ь = 0}х [а, Ъ]к = [К] х [а, Ъ]к]

именно: граней Б размерности п — 1 вида 5 = Б(у°) = {(х',у®) : х' Е П}}, где уо - граничная точка куба (а, Ь)к, а также граней вида 5 = 5' х (а, Ъ)к, где Б' - грань размерности т! (т' = 0,1,..., п — к — 1) некоторого кубика Щ. Следовательно, грани второго типа могут иметь размерность т = к, к + 1,...,п- 1.

Следуя [21] и [3], для каждой грани Б описанного типа рассмотрим множество К (Я), состоящее из всех точек х = (х',у) Е Г21, обладающих свойством:

х = (ху) Е К [Б) тогда и только тогда, когда существует г 6 5, для которой сНб^я^сЮ1) = \х — г\.

Очевидно, что область О,1 представляет собой объединение конечного числа множеств К (Б). Кроме того, для К (Б) в [21] и [3] получено следующее неравенство

[Щ*<( р У (Щь,

] 53 - + т- п) J 58~р

К(Б) ЩБ)

где т - размерность грани Б, 5 = сНв^а:, сЮ1).

Поскольку к < т < п — 1 (и в этом состоит второе отличие нашего доказательства от приведенного в [21] и [3]), будем иметь

тах (—I—У < (—I—У.

сИт5=ш + т — пу + к — п)

Отсюда следует, что для любой области вида Г21

р У Г мг*

] 63 ~ \s-\-k-nJ } 63~р

а1 ю1

где б = <ИБЬ(х,д01), так как Г21 = а пересечение двух

различных К(Б) является ограниченным множеством (если быть более точным, оно представляет собой кусок некоторой поверхности второго порядка), размерность которого меньше п.

Этим и завершается доказательство теоремы 1.1.1.

Замечание. Утверждение теоремы остается справедливым и в том случае, когда интервал (а, Ъ) заменен на всю прямую (—оо, со) или лучи вида (—со, Ь), (а, со).

1.2 Геометрическая интерпретация

формального доказательства

В данном параграфе мы постараемся подробнее разобраться в вопросе: как именно структура областей вида Q = х (а, Ь)к влияет на константу Ср)Я(П) и почему для этого класса областей константу удается уменьшить. Приведенные в этом параграфе рассуждения носят эвристический характер.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шафигуллин, Ильнар Касыймович, 2014 год

Литература

[1] Авхадиев, Ф.Г. Решение обобщенной задачи Сен-Венана / Ф.Г. Авхадиев // Матем. сборник. - 1998. - Т. 189. - № 12. - С. 3-12.

[2] Авхадиев, Ф.Г. Неравенства для интегральных характеристик областей / Ф.Г. Авхадиев. - Казань: КГУ, 2006. - 140 С.

[3] Авхадиев, Ф.Г. Неравенства типа Харди в плоских и пространственных открытых множествах / Ф.Г. Авхадиев // Тр. МИАН. - 2006. - Т. 255. - С. 8-18.

[4] Авхадиев, Ф.Г. Неравенства типа Харди со степенными и логарифмическими весами в областях евклидова пространства / Ф.Г. Авхадиев, Р.Г. Насибуллин, И.К. Шафигуллин // Известия вузов. Матем. - 2011. - № 9. - С. 90-94.

[5] Авхадиев, Ф.Г. Введение в геометрическую теорию функций: учебное пособие / Ф.Г. Авхадиев - Казань: Казан, ун-т. - 2012. - 140 е.: ил. 19

[6] Авхадиев, Ф.Г. Оценки констант Харди при трубчатом расширении множеств и в областях с конечными граничными моментами / Ф.Г. Авхадиев, И.К. Шафигуллин // Математические труды. - 2013. - том 16 - №2 - С. 3-12

[7] Авхадиев, Ф.Г. Точные оценки констант Харди для областей со специальными граничными свойствами / Ф.Г. Авхадиев, И.К. Шафигуллин // Известия вузов. Матем. - 2014. - № 2. - С. 1-5.

[8] Авхадиев, Ф.Г. Вариационные неравенства на декартовых произведениях областей / Ф.Г. Авхадиев, И. К. Шафигуллин // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва. - 2011. - Т. 43. - С. 9-10.

[9] Зорич, В.А. Математически анализ / В.А. Зорич — Тр. М.: ФАЗИС; Наука; 4.1. - 1997, 568с.; Ч.Н. - 1984, 640с.

[10] Куфнер, А. Замечание о неравенствах Харди k-го порядка / А. Куфнер // Тр. МИАН. - 2005. - Т. 248. - С. 144-152.

[И] Насибуллин, Р.Г. Неравенства типа Харди с логарифмическими и степенными весами для специального семейства невыпуклых областей / Р.Г. Насибуллин, A.M. Тухватуллина // Уфимский математический журнал. - 2013. - Т. 5. - №2. - С. 43-55.

[12] Прохоров, Д.В. Неравенство Харди с мерами, случай 0 < р < 1 / Д.В. Прохоров // Матем. заметки. - 2009. - 86. Т. 6 - С. 870-883

[13] Соболев, J1.C. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных производных / JI.C. Соболев. - М.: Наука, 1989. - 254 С. ISBN 5-02-000052-3.

[14] Степанов, В.Д. Об одном весовом неравенстве типа Харди для произволдных высших порядков / В.Д. Степанов // Труды Математического института АН СССР. - 1989 - Т. 187. - С. 178-200.

[15] Тимербаев, М.Р. Неравенство Харди с точечно сингулярными внутри области весом / М.Р. Тимербаев , Н.В. Тимербаева // Учен. зап. Казан, гос. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2012. - Т. 154. - №3. - С. 173-179.

[16] Тухватуллина, A.M. Достаточное условие регулярности области и его применение в неравенствах типа Харди / A.M. Тухватуллина // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва. - 2009. - Т. 38. - С. 285-287.

[17] Тухватуллина, A.M. Неравенства типа Харди для специального семейства невыпуклых областей / A.M. Тухватуллина // Учен. зап. Казан, гос. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2011. - Т. 153. - №1. - С. 211-220.

[18] Шафигуллин, И.К. Неравенства типа Харди в областях с конечными граничными моментами / И.К. Шафигуллин // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва. - 2011. - Т. 44. - С. 317-318.

[19] Шафигуллин, И.К. Нижние оценки константы Харди для произвольной области / И.К. Шафигуллин // Материалы II Международной конференции Геометрический анализ и его приложения.

- Волгоград: Изд-во Волгоградского государственного университета. -2014.- С. 148-150.

[20] Ancona, A. On strong barriers and an inequality of Hardy for domains in Rn / A. Ancona //J. London Math. Soc.(2). - 1986. - V. 37. - P. 274-290.

[21] Avkhadiev, F.G. Hardy type inequalities in higher dimensions with explicit estimate of constants / F.G. Avkhadiev // Lobachevskii J. Math. - 2006. -V. 21. - P. 3-31.

[22] Avkhadiev, F.G. Unified Poincare and Hardy inequalities with sharp constants for convex domains / F.G. Avkhadiev, K.-J. Wirths // Z. Angew. Math. Mech. - 2007. - V. 87. - No. 8-9. - P. 632-642.

[23] Avkhadiev, F.G. Weighted Hardy inequalities with sharp constants / F.G. Avkhadiev, K.-J. Wirths // Lobachevskii J. Math. - 2010. - V. 31.

- No. 1. - P. 1-7.

[24] Avkhadiev, F.G. Sharp Hardy-type inequalities with Lamb's constants / F.G. Avkhadiev, K.-J. Wirths 11 Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin. -2011. - V. 18. - P. 723-736.

[25] Avkhadiev, F.G. Hardy inequalities for nonconvex domains / F.G. Avkhadiev, A. Laptev // International Mathematical Series "Around Research of Vladimir Maz'ya, I Function Spaces, Laptev A. (Ed.). - 2010. -V. 11. - P. 1-12.

[26] Balinsky, A. Generalized Hardy inequality for the magnetic Dirichlet forms

/ A. Balinsky, A. Laptev, A.V. Sobolev // J. of Statistical Physics. - 2004.

- V. 116. - No. 1-4. - P. 507-521.

[27] Bandle, C. Table of inequalities in elliptic boundary value problems In "Recent Progress in Inequalities / C. Bandle, M. Flucher. - V.Milovanovic (ed.) 1998, Kluwer Academic Publ., 97-125.

[28] Barbatis, G. A unified approach to improved U* Hardy inequalities with best constants / G. Barbatis, S. Filippas, A. Tertikas // Trans.Amer. Math.Soc.

- 2004. -V. 356:6. - P. 2169-2196.

[29] Barbatis, G. Refined geometric № Hardy inequalities / G. Barbatis, S. Filippas, A. Tertikas // Communications in Contemporary Mathematics.

- 2003. - V. 5. - No. 6 - P. 869-881.

[30] Barbatis, G. Series expansion for 1/ Hardy inequalities / G. Barbatis, S. Filippas, A. Tertikas // Indian Univ.Math.J. - 2003. - V. 52. - No 1.

- P. 171-190.

[31] Banuelos, R. Four unknown constants / R. Banuelos // J. of Statistical Physics. - 2004. - V. 116. - No. 1-4. - P. 507-521.

[32] Banuelos, R. Torsional rigidity and expected lifetime of Brownian motion / R. Banuelos, M.Van den Berg, T. Carroll //J. London Math. Soc. (2). -2002. - V. 66. - P. 499-512.

[33] Brezis, H. Hardy's inequality revisited / H. Brezis, M. Marcus // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci." (4). - 1997. - V. 25. - No. 1-2. - P. 217-237.

[34] Brezis, H. Extremal functions for Hardy's inequality with weight / H. Brezis, M. Marcus, I. Shafrir // J. Funct. Anal. - 2000. - V. 171. - P. 177-191

[35] Dan Sua, On the best constants of Hardy inequality in Rn~k x (R+)k and related improvements / Dan Sua, Qiao-Hua Yangb // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2012. - V. 389. - P. 48-53.

[36] Davies, E.B. A Review of Hardy Inequalities / E.B. Davies // The Maz'ya anniversary Collection, Vol.2 // Oper.Theory Adv. Appl. 110 - 1999. - P. 5567.

[37] Davies, E.B. The Hardy constant / E.B. Davies // Quart. J. Math. Oxford (2) - 1995. - V. 46:4. - P. 417-431.

[38] Davies, E.B. Spectral Theory and Differential Operators / E.B. Davies // -Cambridge: Cambridge Univ. Press. - Cambridge Studies in Advanced Mathematics. - 1995. - V. 42. - 186 P.

[39] Davies, E.B. Heat Kernels and Spectral Theory / E.B. Davies - Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1989.

[40] Devyver, B. Optimal Hardy-type inequalities for elliptic operators / B. Devyver, M. Fraas, Y. Pinchover // C. R. Acad. Sc. Paris. - 2012. -V. 350. - P. 475-479.

[41] Filippas, S. On a question of Brezis and Marcus / S. Filippas, V.G. Maz'ya, A. Tertikas // Calc. Var. Partial Differential Equations. - 2006. - V. 25. -No. 4. - P. 491-501.

[42] Filippas, S. Optimizing Improved Hardy inequalities / S. Filippas, A. Tertikas // Journal of Functional Analysis. - 2009. - V. 256. - P. 2741-2745.

[43] Garnett, J.B. Harmonic Measure / J.B. Garnett, D.E. Marschall. - Cambridge University Press, Cambridge, 2005.

[44] Hardy, G.H. Inequalities / G.H. Hardy, J.E. Littlewood, G. Polya. - Cambridge University Press, Cambridge, 1973.

[45] Hardy, G.H. Note on a theorem of Hilbert / G.H. Hardy // Math. Zeitschr.

- 1920. - V. 6. - P. 314-317.

[46] Hoffmann-Ostenhof, M. A geometrical version of Hardy's inequality / M. Hoffmann-Ostenhof, T. Hoffmann-Ostenhof, A. Laptev //J. Funct. Anal.

- 2002. - V. 189. - No. 2. - P. 539-548.

[47] Hoffmann-Ostenhof, M. Many Particle Hardy Inequalities / M. Hoffmann-Ostenhof, T. Hoffmann-Ostenhof, A. Laptev, J. Tidblom //J. Lond. Math. Soc. (2). - 2008. - V. 77. - No. 1. - P. 99-114.

[48] Kawashima, S. Hardy type inequality and application to the stability of degenerate stationary waves / S. Kawashima, M. Kurata //J. Func. Anal. -2009. - V. 257. - P. 1-19.

[49] Koskela, P. Hardy inequality and the boundary size / P. Koskela, X. Zhong 11 Proc. Amer. Math. Soc. - 2002. - V. 131. - No. 4. - P. 1151-1158.

[50] Kufner, A. The Hardy inequality. About its history and some related results / A. Kufner, L. Maligranda, L.-E. Persson // Vydavatelsky Servis, Plzen 2007.

[51] Kufner, A. The prehistory of the Hardy Inequality / A. Kufner, L. Maligranda, L.-E. Persson // The American Mathematical Monthly. -2006. - V. 113. - No. 8. - P. 715-732.

[52] Kufner, A. Weighted inequalities of Hardy type / A. Kufner, L.-E. Persson -World Scientific Pub Co Inc., 2003, P. 376.

[53] Landau, E. A note on a theorem concerning series of positive terms / E. Landau // The Journal of the London Mathematical Society. - 1926. -V. 1. - P. 38-39.

[54] Laptev, A. Hardy inequalities for magnetic Dirichlet forms / A. Laptev, T. Weidl // Operator Theory: Advances and Applications. - 1999. - V. 108. - P. 299-305.

[55] Laptev, A. Hardy inequalities for simply connected planar domains / A. Laptev, A.V. Sobolev // Spectral theory of differential operators, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 225, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2008) P. 133-140.

[56] Levin, V. Notes on inequalities. II. On a class of integral inequalities / V. Levin // Rec. Math., Moscou, N.s. 4, 309.

[57] Lewis, J.L. Uniformly fat sets / J.L. Lewis // Trans. Amer. Math. Soc. -1988. - V. 308. - No. 1. - P. 177-196.

[58] Chan, Ling-Yau Some extensions of Hardy's inequality / Ling-Yau Chan // Canad. Math. Bull. - 1979. - V. 22 (2). - P. 165-169.

[59] Maz'ya, V.G. Sobolev Spaces / V.G. Maz'ya. - Springer-Verlag, Berlin, New York, 1985.

[60] Matskewich, T. The best possible constant in a generalized Hardy's inequality for convex domains in Rn / T. Matskewich, P.E. Sobolevskii // Nonlinear Anal. - 1997. - V. 28. - No 9. - P. 1601-1610.

[61] Marcus, M. On the best constants for Hardy's inequality in Rn / M. Marcus, V.J. Mizel, Y. Pinchover // Trans. Amer. Math. Soc. - 1998. - V. 350. - P. 3237-3250.

[62] Miklyukov, V.M. Hardy's inequalities for WqP - functions on Riemannian manyfolds / V.M. Miklyukov, M.K. Vuorinen // Proc. Amer. Math. Soc. -1999. - V. 127. - No. 9. - P. 2745-2754.

[63] Muckenhoupt, B. Hardy's inequality with weights / B. Muckenhoupt // Stud, math. - 1972. - V. 44. - No 1. - P. 31-38 .

[64] Pachpatte, B.G. A note on certain inequalities related to Hardy's inequality / B.G. Pachpatte // Indian J. pure appl. Math. - 1992. - V. 23 (11). - P. 773-776.

[65] Pinchover, Y. Existence of minimizers for Schroedinger operators under domain perturbations with application to Hardy's inequality / Y. Pinchover, K. Tintarev // Indiana Univ. Math. J. - 2005. - V. 54. - P. 1061-1074.

[66] Pecarid, J.E. Still more generalization of Hardy's inequality / J.E. Pecaric, E.R. Love 11 J. Austral. Math. Soc. (Series A). - 1995. - V. 59. - P. 214-224.

[67] Del Pino, M. A logarithmic Hardy inequality / M. Del Pino, J. Dolbeault, S. Filippas, A. Tertikas 11 Journal of Functional Analysis. - 2010. - V. 259. - P. 2045-2072.

[68] Opic, V. Hardy-type Inequalities / V. Opic, A. Kufner // Pitman Research Notes in Math. - 1990. - V. 219.

[69] Lewisa, Roger T. A geometric characterization of a sharp Hardy inequality / Roger T. Lewisa, Junfang Lia, Yanyan Lib // Journal of Functional Analysis.

- 2012. - V. 262. - P. 3159-3185.

[70] Shum, D.T. On integral inequalities related to Hardy's / D.T. Shum // Canad. Math. Bull. - 1971. - V. 14 (2). - P. 225-230.

[71] Solomyak, M. A remark on the Hardy inequalities / M. Solomyak // Integr Equat Oper Th. - 1994. - V. 19. - P. 120-124.

[72] Stepanov, V.D. The weighted Hardy's inequality for nonincreasing functions / V.D. Stepanov // Transactions of the american mathematical society. -1993. - V. 338. - No. 1. - P. 173-186.

[73] Talenti, G. Osservazione sopra una classe di disuguaglianze / G. Talenti // Rend. Semin. mat. efis. Milano. - 1969. - V. 39. - P. 171-185.

[74] Tidblom, J. A geometrical version of Hardy's inequality for W01,p(f2) / J. Tidblom // Proc. Amer. Math. Soc. - 2004. - No 132. - P. 2265-2271.

[75] Tomaselli, G. A class of inequalities / G. Tomaselli // Boll. Unionemat. ital.

- 1969. - Ser. 4. - No 6. - P. 622-631.

[76] Vancostenoble, J. Hardy inequalities, observability and control for the wave and Schrdodinger equations with singular potentials / J. Vancostenoble, E. Zuazua // SIAM J. Math. Anal. - 2009. - V. 41. - P. 1508-1532.

[77] Wannebo, A. Hardy Inequalities / A. Wannebo // Proc. Amer. Math. Soc.

- 1990. - V. 109 - No. 1. - P. 85-95.

[78] Zhen-Qing Chen Hardy inequality for censored stable processes / Zhen-Qing Chen and Renming Song // Tohoku Math. J. - 2003. - V. 55.

- P. 439-450.

[79] M. Van den Berg Heat content and a Hardy inequality for complete rieman-nian manifolds / M. Van den Berg, P.B. Gilkey 11 Bull. London Math. Soc. - 2004. - V. 36. - P. 577-586.