Характеристические свойства некоторых классов интегральных операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Ушакова, Елена Павловна

• Ушакова, Елена Павловна
• доктор физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Ушакова, Елена Павловна

содержание

Стр.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 Классы операторов с монотонными ядрами

1.1 Ограниченность из 17 в Ья

1.1.1 Вспомогательные утверждения

1.1.2 Условия ограниченности

1.1.3 Примеры

1.2 Преобразования Лапласа и Стилтьеса из № в Ь'1

1.2.1 Ограниченность и компактность

1.2.1.1 Условия компактности преобразования Лапласа

1.2.1.2 Условия компактности преобразования Стилтьеса

1.2.2 Оценки норм Шаттена-фон Неймана в случае р = д = 2

1.2.3 Оценки на аппроксимативные числа преобразования Лапласа—

1.2.3.1 Предварительные оценки

Случай 1 < р,д < оо

Случай 0<д< 1 <р< оо

1.2.3.2 Нормы типа Шаттена

Случай р > 1

Случай р = 1

1.2.3.3 Асимптотическое поведение

ГЛАВА 2 Операторы типа Харди-Стеклова

2.1 Методы и вспомогательный материал

2.1.1 Блочно-диагональный метод

2.1.2 Оценки на нормы операторов типа Харди

2.1.3 Фарватер-функция

2.2 Ограниченность и компактность из V в Ьч

2.2.1 Оператор Харди-Стеклова

2.2.2 Обобщенный оператор Харди-Стеклова

2.3 Приложения

2.3.1 Ьр — Ьч неравенства на монотонных функциях

2.3.2 № — Ьч неравенство для оператора геометрического среднего типа Харди-Стеклова

2.3.3 Вложения весовых пространств Соболева в весовое Ьд

2.3.3.1 Конструкция Ойнарова Отелбаева

2.3.3.2 Принцип двойственности

2.3.3.3 Условия непрерывности вложений

2.4 Оценки норм Шаттена-фон Неймана

2.4.1 Основной результат

2.4.1.1 Предварительные оценки

2.4.1.2 Обозначения и технические леммы

2.4.1.3 Нижние и верхние оценки на нормы Шаттена

2.4.2 Альтернативные верхние оценки

ГЛАВА 3 Многомерные операторы Харди из LP в Lq

3.1 Двумерное весовое неравенство Харди

3.2 n-мерное неравенство Харди с условиями на весовые функции —

3.2.1 Случай 1 < р < q < ос

3.2.2 Случай 1 < q < р < оо

3.3 Предельное весовое неравенство Харди для га-мерного оператора геометрического среднего

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

N — множество натуральных чисел

Z — множество целых чисел

R — действительная ось (—оо, +оо)

М+ — неотрицательная полуось [0, +оо)

М+ — множество К+ х

" N-v-'

п раз

(-, ■) — любой из промежутков (■, •), [•, ■], [•, ■) или (•, ■]

||Т||х->г — норма оператора Т из функционального простран-

ства X в функциональное пространство Y

А В или В — выражения вида А < сВ или А > сВ с константами

с, зависящими только от числовых параметров

А « В — выражение вида А В А

Хе — характеристическая функция множества Е С М+

х = f~l(y) — обратная функция к у = f(x)

jj{М С Z} — счетная функция множества М С Z

/ 4- (/ t) — невозрастающая (неубывающая) функция / > О

АС(1) — множество абсолютно непрерывных на I С (0, оо)

функций

и, v, D0, Vi, w — неотрицательные весовые функции (веса) на М+

р' — параметр, сопряженный к р > 0 и равный ^у

г — параметр, равный ^ = где p,q> О

п.в. — почти всюду

:= или =: — значки для определения новых величин

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Характеристические свойства некоторых классов интегральных операторов»

введение

Данная работа охватывает ряд задач функционального анализа, изучающих свойства линейных преобразований функциональных пространств как отображений. В качестве таких преобразований рассматриваются интегральные операторы Т в пространствах функций одной или нескольких переменных, а изучаемые свойства включают ограниченность, компактность и поведение аппроксимативных чисел Т, действующих из одного функционального пространства X в другое У, где X и У могут совпадать. В подавляющем большинстве случаев X и У пространства Лебега № (О < р < оо) на или их подклассы. И только в одном из разделов мы переходим к функциональным пространствам Соболева И^ на К+.

В качестве Т в основном рассматриваются одномерные операторы вида / —> /о°° кт{х, ?/)/(?/) , х > 0, с неотрицательными и измеримыми на М^ ядрами кт(х,у). Среди них — класс преобразований типа Вольтерра с кт(х,у) = д'(0,х){у)к{х, у), представителем которого при к(х, у) = 1 является оператор Харди, преобразования Лапласа (кт(х,у) = е~'ху) и Стилтьеса (кт(х,у) = 1/(х + у)), а также оператор Харди-Стеклова с кт{х,у) — Х(а(х),ь(х))(у)- Дополняют наше исследование несколько результатов об ограниченности из № в Ьч многомерных аналогов оператора Харди. Кроме В. Вольтерра, Г. X. Харди, П.-С. Лапласа, Т. И. Стилтьеса и В. А. Стеклова указанные отображения изучались в работах Ж. Лиувилля, Э. И. Фредгольма, Дж. фон Неймана, И. Ц. Гохберга, М. Г. Крейна, В. Б. Короткова и многих других (см., например, [4, 9, 13, 21, 26, 27, 29, 34, 44, 47, 58, 59, 64, 65, 68] и ссылки там же).

Свойства линейных преобразований Т, изучаемые в настоящей работе, являются основой для приложений рассматриваемых классов операторов к решениям дифференциальных и интегральных уравнений [56, 58]. Они также находят применение в спектральной теории [22], теории приближений [24] и других областях.

Вопрос (А) об ограниченности оператора Т из X в У является традиционно первоочередным и исследуется в нашей работе в эквивалентной формулировке. Задача (В), равноценная данной для линейного преобразования Г, состоит в характериза-ции неравенства вида

где константа С — наименьшая и не зависит от /, а символ || • || обозначает (квази)-норму функции / в X или ее образа Г/ в У. Характеризация таких неравенств в данной работе осуществляется с помощью метода В. Д. Степанова [23, 85, 87]. Сам метод заключается в получении двусторонних оценок на С — ||Г||а'-)-г вида

\\Tf\W < СМх (/ > 0)

(0.0.1)

а ■ F < ||Г||Х_У </3-в

(0.0.2)

функционалами F и G, не зависящими от /. Константы а и /3 в (0.0.2) подразумеваются либо абсолютными, либо зависящими только от числовых параметров. При наличии оценки (0.0.2) конечность функционалов F и G формирует, соответственно, необходимое и достаточное условие выполнения неравенства (0.0.1) (либо, эквивалентно, необходимое и достаточное условие ограниченности оператора Т из X в У). Ситуация, когда функционалы F и G равны, является наиболее предпочтительной, так как при этом извлекается точный критерий ограниченности Т из X в У, a F = G становится эквивалентом операторной нормы ||Т||х->г, который не зависит от /.

К сожалению, оценки вида (0.0.2) удается получить не всегда. В таких случаях мы ограничиваемся только одной из двух частей неравенства (0.0.2), извлекая при этом либо только достаточные, либо только необходимые условия ограниченности Т.

Как уже было отмечено, задачи (А) и (В) эквивалентны друг другу, если речь идет о линейных Т. Чтобы подчеркнуть этот факт, мы используем обозначение (А) = (В) в соответствующих ситуациях и рассматриваем только вопрос (В), если Т нелинеен.

Иногда бывает полезным рассмотреть задачу (С) о характеризации неравенства (0.0.1) на подклассах функций. Такой подход нередко приводит к несколько другим результатам. Так, например, в работе [30, р. 728] был найден пример весового неравенства Харди, которое выполняется на подклассе неотрицательных невозрастающих функций, в то время как соответствующий функционал F — G ~ С (см. (0.0.1) и (0.0.2)) все еще не является конечной величиной. Этот факт, а также некоторые другие, говорит в пользу отдельного изучения неравенств типа (0.0.1), суженных на подклассы функций, имеющих важное прикладное значение. В нашей работе подобная задача на монотонных функциях решена для оператора Харди-Стеклова. В качестве основного метода при этом используется критерий Э. Сойера [79].

Для изучения (D) свойств компактности Т : X Y в работе используется метод представления исходного преобразования Т в виде суммы компактного оператора То и операторов с малой нормой. Для доказательства компактности Т0 применяются классические теоремы современного анализа [9, 25, 32], а полученные нами результаты представляют собой необходимые и достаточные условия компактности Т : X —Y. При этом, когда X и Y — банаховы, эти условия совпадают, формируя точные критерии, выраженные в терминах ядер исследуемых операторов, а также числовых характеристик пространств, в которых эти операторы действуют.

Поведение аппроксимативных чисел (Е) компактных операторов Т : X —> Y исследуется в нашей работе в терминах норм типа Шаттена (Е1) и в виде асимптотических оценок (Е2) па последовательность {апСГ)}пем. Напомним, что величину

ап (Т) = inf{||T - P\\x-*y : Р : X Y, rank Р < п) (n € N)

называют n-ым аппроксимативным числом линейного преобразования Т из X в Y. Последовательности аппроксимативных чисел являются невозрастающими и выра-

жают степень (погрешность) аппроксимации Т : X —> У операторами Р конечного ранга. В гильбертовом случае аппроксимативные числа оператора Т совпадают с его сингулярными числами а'п(Г) = Хп(у/Т*Т) (см. [1, 6]), а в общем — тесно связаны с другими характеристическими величинами такими, как числа Гельфанда, Колмогорова, Вейля, Гильберта, энтропийные и т. д. (см. [38, 55, 74, 91]). В зависимости от поведения {а„}пек вполне непрерывные линейные операторы можно разделить на классы. Так множества всех компактных операторов Т : X У, удовлетворяющих условию

(оо \ -3-

5>£СГ)Г<оо (0 < « < оо), (0.0.3)

71 = 1 '

образуют классы Шаттена-фон Неймана §„ по а > 0 (см. [5, Гл. 11], [6, Гл. 3], [55], [74]). Если (0.0.3) выполнено для а = 2, то Т является оператором Гильберта-Шмидта. Если ||Т||з] < оо, то Т — ядерный оператор. Более общие, чем классы Шаттена-Лоренца определяются следующим образом [70]:

:= |Т: ||Г||^ := (¿>£"Ч(Г)) ° < 00} (0 < а,/5 < оо). (0.0.4)

В нашей работе оценки типа (0.0.2) на нормы Шаттена ЦГЦз^ = ЦТЦэ,,^ и получены для трех классов интегральных операторов в пространствах Лебега на полуоси: преобразований типа Лапласа Стилтьеса и оператора Харди-Стеклова. Задача (Е2) об асимптотическом поведении последовательности {ап(Т)}пеи рассматривается только для преобразования . В исследовании аппроксимативных чисел мы опираемся на методы, разработанные в [26, 40-42, 61] для решения аналогичных задач в случае весового оператора Харди (0.0.5). Однако, особенности преобразований Т, изучаемых в этой работе, потребовали их серьезной доработки и адаптации к свойствам ядер к?, отличных от кц(х,у) = Х(о,х){у)-

Исследование интегральных операторов Т как отображений одного функционального пространства X в другое У, предложенное в настоящей работе, можно назвать комплексным и в то же время детальным анализом преобразований Т с точки зрения их ограниченности и компактности из X в У, особенностей поведения последовательностей {ап(Т)}г,еи, а также некоторых приложений Т для решения смежных задач. Такой подход помогает лучше понять поведение Т, действующих на различные классы функций из X. Он же формирует и основную цель нашего исследования, которая состоит в получении точных критериев (или точных необходимых и достаточных условий) выполнения тех или иных свойств для классов интегральных преобразований, полезных в анализе и его приложениях.

Подобное исследование проводилось в отношении немногих классов интегральных операторов. Среди них — преобразование <3 на Ь2(Ш+) вида С}/(х) = /0°° ^>(шах{ж, у})/(у) с1 у [26], весовой оператор Римана-Лиувилля 11а/(х) = го(х)

у)а~1/(у)у(у)Лу [12, 21, 75, 84], а также еще один класс весовых интегральных операторов типа Вольтерра с неотрицательным ядром Ойнарова к(х,у) (см. [16, 46, 60, 88, 113]). Несомненным лидером по количеству результатов, касающихся ограниченности и компактности в функциональных пространствах Лебега и не только, является интегральный оператор Харди

Этот оператор имеет массу приложений в анализе, смежных с ним дисциплинах и многих других областях. Свойства ограниченности и компактности Н из Ьр в Ьч изучались очень многими авторами (см. [14, 19, 40-44, 49, 57-59, 61, 73, 86]). Интегральные преобразования, изучаемые в данной работе, так или иначе связаны с оператором Н. Однако, как показывает наше исследование, их свойства и способы исследования существенно отличаются от таковых для (0.0.5).

Перейдем к более детальному изложению результатов работы.

Диссертация состоит из введения и трех глав, каждая из которых разбита на параграфы и подчиненные им пункты. Нумерация рисунков, определений, примеров, теорем и других утверждений — двухуровневая, то есть внутренняя для каждой главы. Счетчики формул имеют три уровня и являются внутренними для каждого параграфа. Все обозначения, кроме общего списка на стр. 4, а также установленных во введении, действуют в пределах только той главы, в которой они определены. Для удобства чтения в диссертации приводятся известные результаты, используемые в доказательствах. Эти материалы, а также работы автора вне обозначенных рамок, приводятся в основном тексте в виде ненумерованных определений, теорем, лемм и т. д. с обязательным указанием имен авторов и источников цитирования.

Главы диссертации посвящены изучению свойств (А), (В), (С), (Б) и (Е) трех классов интегральных преобразований:

(1) с ядрами, удовлетворяющими условиям монотонности;

(2) типа Харди-Стеклова;

(3) многомерным операторам Харди.

Свойства (А), (В), (С), (Б) и (Е) вышеуказанных операторных классов изучены в нашей работе в разной степени. Так, например, в главе I, посвященной интегральным преобразованиям типа (1), задача (А) = (В) решена в общем виде, в то время как вопросы (Э) и (Е) рассматриваются только в отношении двух представителей класса (1), а именно, преобразований Лапласа и Стилтьеса. Задача (С) обсуждается в нашей работе только в главе II, посвященной операторам типа Харди-Стеклова (2), где не затрагивается вопрос (Е2), однако, представлен материал об интересных

(х > 0).

(0.0.5)

приложениях некоторых из полученных там результатов. Глава III содержит ответы только на вопрос (А)=(В) относительно многомерных операторов Харди (3). Остальные задачи по разным причинам не вошли в данную диссертацию.

Обзор литературы по теме работы частично представлен во введении, а также в начале каждой главы или в тексте параграфов, непосредственно перед изложением соответствующего материала.

Для перечисления полученных результатов введем несколько обозначений.

Пусть I CR. Мы говорим, что / £ LP(I) для 0 < р < оо, если ||/||р,/ < оо, где

В случаях, когда / = М+, мы пишем V := ЬР(Ш+). Если I — открытое множество, то / 6 Ь^ос(1), если / е ЬР(Г) для любого компактного подмножества V в I. Для О < р, 5 < сю определим параметр г таким образом, что

1 _ 1 _ 1 г <7 р

и заметим, что 1 /г = 1/р' — 1/д', где р' :— р/{р - 1) и д' := — 1).

Пусть весовые функции ур' и хич локально интегрируемы на (0, оо). В ГЛАВЕ I изучаются свойства (А) = (В), (Б) и (Е) классов операторов

/■ОО

К/{х): =у){х) к(х,у)/(у)у{у)<1у {х > 0) (0.0.6)

Jo

из в Ьч с неотрицательными ядрами к(х,у), невозрастающими по одной или двум неременным х и у. Два основных результата первого параграфа (§ 1.1) данной главы относятся к случаю, когда функция к(х,у) в определении К не возрастает по у, и дают ответы на вопрос (А) = (В) для операторов такого типа из ЕР в Ья.

Теорема 0.1. (см. теорему 1.1 на стр. 35) Пусть измеримая на функция 0 < к(х, у) < 1 убывает по у, причем

11/11.

| р ■

11/11

p,i

(JJ/WI'dtr', Р«*>, esssupt€/|/(i)|, р = оо.

Тогда для нормы ||ä'||lp->l4 выполняются следующие оценки:

(0.0.7)

если 1 < р < д < ос; при 1 < д < р < оо

роо Г РОС 1 - г р1 1

/ / /сч(з:,£)г(;9(ж)аж / (у) ау ./О |_Л) ] [-/о

<

/ ьр'{у)Ау

.3о

(0.0.8)

для 0<д<1<р<оо

/-оо Г /-оо

/ / /с9(:с, г)ш9(а;) (1х чЛ) 1.-/0

< НяЦ^р-^«

(/•оо г /-оо -1 | Г /-4

J I кч{х,1)Шч{х)<1х I Ур\у)^у

и в случае 0 < д < 1 = р

^ кЦх^^йхУу^) < \\К\\^Ья

ур'{1)М

е.чн вир I ¿>о \7о

<

/

./0

евэ вир у (у)

1 О<у<Ь

ч-1

кч(х,^"(х) ах

1—г

Теорема 0.2. (см. теорему 1.2 на стр. 37) Пусть к(х,у) > 0 убывает по у, причем Нш^оо /0°° кч(х, у)тч(х) ёх = 0. Тогда правые оценки в (0.0.7) и (0.0.8), соответственно, нужно заменить на следующие:

\\К\\ЬР^ЬЧ < 8ир ( [ к4(х,у)тч(х)(1х оо \7о ио

(у) йу) " [ / ур' (г) <1г

¡1 «

Р

кч(х, у)гич{х) ё.х ^ ур' (у) ёу

о

-Г7-1

ЯР

ур (г) сЬ (¿) а«

Тем же способом, что и в § 1.1, можно получить аналогичные результаты для оператора К из 1У в Ьч с ядром к(х,у), неубывающим по переменной у, или с функцией к(х, у), неубывающей/невозрастающей по переменной х.

Толчком к изучению свойств ограниченности операторов (0.0.6) послужила работа Г. Сшшамона [82], в которой изучались преобразования К с к(х,у) = кф(х,у) = ф(у/Ь(х)) — ф(у/а(х)) > 0, где ф — невозрастающая функция, а а и Ь, а < Ь, не убывают на М+. Однако, ядра операторов К, изучаемых в § 1.1 нашей работы, не имеют пересечений с кф. Примерами интегральных операторов, удовлетворяющих нашим условиям монотонности, являются преобразования Лапласа к(х,у) = е~ху, Стилтьеса к(х,у) = \/{х + у) и Гильберта к{х,у) — 1/{х — у), последнее из которых

- и -

может быть разбито на два оператора с к(х, у), принимающими определенные знаки.

В общем случае необходимые и достаточные условия ограниченности К из 1/ в Ьч, найденные в теоремах 0.1 и 0.2, различны. Но при некоторых дополнительных требованиях на кк{х,у) := ги{х)к{х,у)у{у) их можно преобразовать в критерии (см. примеры 1.1 и 1.2 на стр. 37 и 38), которые являются гораздо более удобными в использовании. Поэтому, вторая половина первой главы, а именно § 1.2, посвящена двум представителям класса (0.0.6) с монотонными ядрами, которые как раз и являются отображениями такого типа. В § 1.2 в качестве К мы рассматриваем преобразование Лапласа

ПСХ>

Jo

и преобразование Стилтьеса

•/о

xя + ?/•

{х > 0)

{х > 0)

(0.0.9)

(0.0.10)

с <7 > 0. Преобразования (0.0.9) и (0.0.10) тесно связаны друг с другом ( см. (1.2.28)) и имеют большое прикладное значение (см., например, гл. 5 в книге Д. Л. Крайдера, Р. Г. Куллера, Д. Р. Остберга, Ф. В. Перкинса [56] и работу К. Ф. Андерсена [27]).

Свойства ограниченности операторов и 5? изучались в работах С. Блума [35], К. Ф. Андерсена [27] и Г. Синнамона [80]. С учетом теоремы 0.1 и примеров 1.1 и 1.2 на стр. 37 и 38, условия ограниченности преобразований (0.0.9) и (0.0.10) из Ьр в Ьч для 1<р<оои0<<7<ос представлены в § 1.2.1 нашей работы в следующем виде.

Теорема 0.3. (см. теорему 1.4 на стр. 41) Следующее верно для \\Л?\\ьр-уьч:

1 /Р'

\т

евввир^о езз8ир0<г/<£ у (у),

* г/я' \ 1/г

1 < р < д < оо, 1 — Я < Р < 1 < д < р < оо, 1 < д < р = оо, 1 = р < д < оо, 1 < р < д = оо;

если 0<д<1<р<оог то

(у)сЫ

при 0 < д < 1 = р

евЗБирг ч г;(£) < ||-2?|и ¿>0

(Г

í 1-<Г

евв зирг;(?/)

0 <у<Ь

1-ч

с!£

ч

v(t) At

для Q<q<l<p — ос

poo / roo г ft

/ r*v{t) dt < lljgfUz,«,^, ( / r< / u(y)dy io Vo Uo

Теорема 0.4. (см. теорему 1.6 на стр. 43) Для \\У\\lp->li справедливо: if1 г,', л , í [™wq{x)dx\*

\\у\\ь^ья « sup

t>0 \JО

ШуТ{1

xw

+ sup

í>0 \Jt

[°°vr'(y)dy\

Jt V* )

[ wq{x) J o

da;

1 < p < q < oo;

ll^ll

+

r\f v^{y)áyY\f Jo Uo J IJt

ПГ-

wq(x) da;

x«

P wq{t)dt í«

v1' {y) dy

wq(x) da;

wq{t)dt ) , O < q < oo, p > 1;

1И1

esssupv(y)

L O<y<t

1-9

i:

wq(x) da;

хЯ

^ wq{t) dt\ ^

-

+

f

J o

t ç ess sup v (y)

t<y<oо

II^IUi-^1 « sup t>0

ess sup v

L 0<y<t

и/

l-ч

го

f wq(x)

Jo

dx

_2_

1-,

tu9(i) dt

4

0 < q < 1 = p;

(a;) dx

+ supi

ess sup гд

Xя Í>0 LtCyCoo j J0

(y)] f

J io

p = ç = 1.

Решение задачи (D) о компактности преобразований Лапласа Jг? и Стилтьеса ^ из L? в Lq представлено в нашей работе во второй части § 1.2.1.

Теорема 0.5. (см. теорему 1.7 на стр. 45) Если 1 < p < q < ос, то оператор : L? -4 L4 компактен тогда и только тогда, когда он ограничен, то есть

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Ушакова, Елена Павловна, 2013 год

список литературы

Аллахвердиев Д. Э. О скорости приближения вполне непрерывных операторов конечномерными операторами // Уч. зап. Азерб. ун-та. — 1957. — Т. 2. — С. 2735.

Батуев Э. Н. Весовые неравенства типа Харди и их приложения : дис. .. .к-та физ.-мат. наук. — Хабаровск, 1991.

Батуев Э. Н., Степанов В. Д. О весовых неравенствах типа Харди // Сиб. матем. журнал. - 1989. - Т. 30. - С. 13-22.

Бирман М. Ш., Соломяк М. 3. Оценки сингулярных чисел интегральных операторов // Успехи мат. наук. — 1977. - Т. 32, № 1. - С. 17-84. Бирман М. Ш., Соломяк М. 3. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. — 264 с.

Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. — М.: Наука, 1965. — 448 с. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1984. - 752 с.

Короткое В. Б. Интегральные операторы. — Новосибирск: Наука, 1983. — 218 с.

Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. — М.: Наука, 1966. - 499 с.

Ломакина Е. Н. Оценки аппроксимативных чисел одного класса интегральных операторов I // Сиб. матем. журн. — 2003. - Т. 44, № 1. - Р. 178-192. Ломакина Е. Н. Оценки аппроксимативных чисел одного класса интегральных операторов II // Сиб. матем. журн. — 2003. — Т. 44, № 2. - Р. 372-388. Ломакина Е. Н., Степанов В. Д. Оценки аппроксимативных и энтропийных чисел одновесового оператора Римана-Лиувилля // Матем. тр. — 2006. — Т. 9, № 1. — Р. 1-49.

Мазья В. Г. О некоторых интегральных неравенствах для функций многих переменных //В кн.: Проблемы мат. анализа. — Л., 1972. — Вып. 3. — С. 3368.

Мазья В. Г. Пространства Соболева. — Л.: ЛГУ, 1985. — 416 с.

Мынбаев К. Т., Отелбаев М. О. Весовые функциональные пространства и

спектр дифференциальных операторов. — М.: Наука, 1988. — 288 с.

Ойнаров Р. Двусторонние оценки нормы некоторых классов интегральных операторов // Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. — 1993. — Т. 204. — С. 240— 250.

Ойнаров Р. Весовая оценка промежуточного оператора на конусе неотрицательных функций // Сиб. матем. журн. - 2002. — Т. 43, № 1. - С. 161-173. Ойнаров Р, Отелбаев М. Критерии дискретности спектра общего оператора Штурма-Лиувилля и теоремы вложения, связанные с ними // Дифференц. уравнения. - 1988. - Т. 24, № 4. - С. 584-591.

Прохоров Д. В. Неравенство Харди с тремя мерами // Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. - 2006. - Т. 255. - С. 233-245.

Прохоров Д. В., Степанов В. Д. О неравенствах с мерами типа теорем вложения Соболева на открытых множествах действительной оси // Сиб. матем. журн.

- 2002. - Т. 43, № 4. - С. 864-878.

Прохоров Д. В., Степанов В. Д. Весовые оценки для операторов Римана-Лиувилля и приложения // Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. — 2003.

- Т. 243. - С. 278-301.

Садовничий В. А. Теория операторов. — М.: Высшая школа, 1999. — 368 с. Степанов В. Д. Двухвесовые оценки интегралов Римана-Лиувилля // Известия АН СССР, Сер. матем. - 1990. - Т. 54, № 3. - С. 645-656. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. — М.: МГУ, 1976.

- 304 с.

Adams R. A. Sobolev Spaces. — Academic Press, New York. — 1975. — xviii+268 pp.

Alexandrov А. В., Janson S., Peller V. V., Rochberg R. An interesting class of operators with unusual Schatten-von Neumann behaviour // In: Function spaces, Interpolation Theory and Related Topics. Proceedings of the International Conference in honor of Jaak Peetre on his 65th birthday (Lund, Sweden, 17-22 Aug. 2000). — Walter de Gruyter, Berlin/ New York, 2002. - P. 61-149. Andersen K. F. Weighted inequalities for the Stieltjes transformation and Hilbert's double series // Proc. Roy. Soc. Edinburgh, Sect. A. - 1980. — Vol. 86, N 1-2. -P. 75-84.

Andersen K. F., Heinig H. P. Weighted norm inequalities for certain integral operators // SIAM J. Math. Anal. - 1983. - Vol. 14. - P. 834-844. Ando T. On compactness of integral operators // Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. 65 = Indag. Math. - 1962. - Vol. 24. - P. 235-239.

Arino A., Muckenhoupt B. Maximal functions on classical Lorentz spaces and Hardy's inequality with weights for non-increasing functions // Trans. Amer. Math. Soc. - 1990. - Vol. 320, N 2. - P. 727-735.

Barza S. Weighted multidimensional integral inequalities and applications: Doctoral Thesis. — Lulea University of Technology, Department of Mathematics. — 1999. — N 1999:30. - 134 pp.

Bennett C., Sharpley R. Interpolation of operators. — Pure Appl. Math. 129. — Academic Press, New York, 1988. — 469 pp.

Bernardis A. L., Martin-Reyes F. J., Ortega Salvador P. Weighted weak type inequalities for generalized Hardy operators //J. Inequal. Appl. — 2006. - Art. ID 62426. - 10 pp.

Bernardis A. L., Martin-Reyes F. J., Ortega Salvador P. Weighted inequalities for Hardy-Steklov operators // Canad. J. Math. - 2007. - Vol. 59, N 2. - P. 276-295. Bloom S. Hardy integral estimates for the Laplace transform // Proc. Amer. Math. Soc. - 1992. - Vol. 116, N 2. - P. 417-426.

Bloom S., Kerman R. Weighted norm inequalities for operators of Hardy type // Proc. Amer. Math. Soc. - 1991. - Vol. 113. - P. 135-141.

Bradley J. S. Hardy inequalities with mixed norms // Canad. Math. Bull. — 1978. - Vol. 21. - P. 405-408.

Carl B., Stephani I. Entropy, compactness and the approximation of operators. — Cambridge Tracts in Mathematics 98. — Cambridge University Press, Cambridge, 1990. - x+277 pp.

Chen T., Sinnamon G. Generalized Hardy operators and normalizing measures // J. Ineq. Appl. - 2002. - Vol. 7. - P. 829-866.

Edmunds D. E., Evans W. D., Harris D. J. Approximation numbers of certain Volterra integral operators //J. London Math. Soc. — 1988. — Vol. 37, N2. -P. 471-489.

Edmunds D. E., Evans W. D., Harris D. J. Two-sided estimates for the approximation numbers of certain Volterra integral operators // Studia Math. — 1997. - Vol. 124, N 1. - P. 59-80.

Edmunds D. E., Evans W. D., Lang J. Two-sided estimates for the approximation numbers of Hardy-type operators in L°° and L1 // Studia Math. — 1998. — Vol. 130, N 2. - P. 171-192.

Edmunds D. E., Gurka P., Pick L. Compactness of Hardy-type integral operators in weighted Banach function spaces // Studia Math. — 1994. - Vol. 109. — P. 73-90. Edmunds D. E., Kokilashvili V., Meskhi A. Bounded and compact integral operators. — Mathematics and Its Applications 543. — Kluwer Academic Publishers, Dordrecht / Boston / London, 2002. — xvi+643 pp.

Edmunds D. E., Stepanov V. D. The measure of non-compactness and approximation numbers of certain Volterra integral operators // Math. Ann. — 1994. - Vol. 298. - P. 41-66.

Edmunds D. E., Stepanov V. D. On the singular numbers of certain Volterra integral operators // J. Funct. Anal. - 19D5. — V. 134, N 1. - P. 222-246. Erdelyi A. The Stieltjes transformation on weighted LP spaces // Appl. Anal. — 1978. - Vol. 7. - P. 213-219.

Eveson S. P. Compactness criteria for integral operators in L°° and Ll spaces // Proc. Amer. Math. Soc. - 1995. - Vol. 123. - P. 3709-3716. Gogatishvili A., Kufner A., L.-E. Persson, Wedestig A. An equivalence theorem for integral conditions related to Hardy's inequality // Real Anal. Exchange — 2003/04.

- Vol. 29, N 2. - P. 867-880.

Gogatishvili A., Lang J. The generalized Hardy operators with kernel and variable integral limits in Banach function spaces //J. Inequal. Appl. — 1999. — Vol. 4. — P. 1-16.

Goldman M. L., Heinig H. P., Stepanov V. D. On the principle of duality in Lorentz spaces // Can. J. Math. - 1996. - Vol. 48. - P. 959-979.

Harper Z. Weighted norm inequalities for convolution operators and links with the Weiss Conjecture // J. Evol. Equ. - 2005. - Vol. 5. - P. 387-405. Heinig H. P., Sinnamon G. Mapping properties of integral averaging operators // Studia Math. - 1998. - Vol. 129. - P. 157-177.

Kokilashvili V., Meskhi A., Persson L.-E. Weighted norm inequalities for integral transforms with product kernels. — Nova Science Publishers, New-York, 2009. — 342 pp.

König H. Eigenvalue distribution of compact operators. — Birkhäuser, Boston, 1986.

- 262 pp.

Kreider D. L., Kuller R. G., Ostberg D. R., Perkins F. W. An introduction to linear analysis. — Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Reading, Mass.-Don Mills, Ont., 1966. - xvii-i-773 pp.

Kufner A., Maligranda L., Persson L.-E. The Hardy inequality. About its history and some related results. — Vydavatelsky Servis, Plzen, 2007. — 162 pp. Kufner A., Persson L.-E. Weighted inequalities of Hardy type. — World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 2003. — xviii+357 pp.

Lifshits M. A., Linde W. Approximation and entropy numbers of Volterra operators with applications to Brownian motion. — Mem. Amer. Math. Soc. 157(745). — AMS, 2002. — 87 pp.

Lomakina E., Stepanov V. On the Hardy-type integral operators in Banach function spaces // Publ. Mat. - 1998. - Vol. 42. - P. 165-194.

Lomakina E. N., Stepanov V. D. On asymptotic behaviour of the approximation numbers and estimates of Schatten-von Neumann norms of the Hardy-type integral operators // In: Function spaces and applications (Delhi, 1997). — Narosa: New

Delhi, 2000. - P. 153-187. [62] Maz'ya V. G. Conductor inequalities and criteria for Sobolev type two-weight imbeddings // J. Comput. Appl. Math. - 2006. - Vol. 194, N 1. - P. 94-114. McCarthy C. A. cp // Israel J. Math. - 1967. - Vol. 5. - P. 249-271. Muckenhoupt B. Hardy's inequality with weights // Studia Math. — 1972. — Vol. 44.

- P. 31-38.

Nowak K. Schatten ideal behavior of a generalized Hardy operator // Proc. Amer. Math. Soc. - 1993. - Vol. 118, N 2. - P. 479-483.

Oinarov R. On weighted norm inequalities with three weights //J. London Math. Soc. - 1993. - Vol. 48, N 2. - P. 103-116.

Oinarov R. Reversion of Holder type inequalities for sums of weighted norms and additive weighted estimates of integral operators // Math. Inequal. Appl. — 2003.

- Vol. 6, N 3. - P. 421-436.

Oinarov R. Boundedness of integral operators from weighted Sobolev space to weighted Lebesgue space // Complex Var. Elliptic Equ. — 2011. — Vol. 56, N 1-2.

- P. 1021-1038.

Opic B., Kufner A. Hardy-type inequalities. — Pitman Research Notes in Mathematics Series 219. — Longman Scientific & Technical, Harlow, 1990. — vii + 333 pp.

Peller V. V. Hankel operators and their applications. — Springer Monographs in Mathematics. — Springer-Verlag, New York, 2003. — 784 pp. Persson L.-E., Prokhorov D. Integral inequalities for some weighted geometric mean operator with variable limits // Arch. Ineq. Appl. — 2004. — Vol. 2. — P. 475-482. Persson L.-E., Stepanov V. D. Weighted integral inequalities with the geometric mean operator // J. Inequal. Appl. - 2002. - Vol. 7. - P. 727-746. Persson L.-E., Stepanov V. D., Wall P. Some scales of equivalent weight characterizations Hardy's inequality: the case q < p // Math. Inequal. Appl. — 2007. - Vol. 10, N 2. - P. 267-279.

Pietsch A. Eigenvalues and s-numbers. — Cambridge Studies in Advanced Mathematics 13. — Cambridge University Press, Cambridge, 1987. — 360 pp. Prokhorov D. V. On the boundedness and compactness of a class of integral operators // J. London Math. Soc. - 2000. - Vol. 61, N 2. - P. 617-628. Rafeiro H., Samko S. Dominated compactness theorem in Banach function spaces and its applications // Compl. Anal. Oper. Theory. — 2008. — Vol. 2. — P. 669-681. Riemenschneider S. D. Compactness of a class of Volterra operators // Tohoku Math. J. - 1974. - Vol. 26. - P. 385-387.

Sawyer E. Weighted inequalities for two-dimensional Hardy operator // Studia

Math. - 1985. - Vol. 82, N 1. - P. 1-16.

Sawyer E. T. Boundedness of classical operators on classical Lorentz spaces // Studia Math. - 1990. - Vol. 99. - P. 135-158.

Sinnamon G. A note on the Stieltjes transformation // Proc. Roy. Soc. Edinburgh, Sect. A. - 1988. - Vol. 110, N 1-2. - P. 73-78.

Sinnamon G. J. Weighted Hardy and Opial-type inequalities //J. Math. Anal. Appl. - 1991. - Vol. 160. - P. 434-445.

Sinnamon G. Hardy-type inequalities for a new class of integral operators // In: Analysis of Divergence, Control and Management of Divergent Processes. — Birkhauser, Boston, 1999. - P. 297-307.

Sinnamon G., Stepanov V. D. The weighted Hardy inequality: new proofs and the case p = 1 // J. London Math. Soc. - 1996. - Vol. 54, N 2. - P. 89-101. Solomyak M. Estimates for the approximation numbers of the weighted Riemann--Liouville operator in the spaces Lp // In: Complex Analysis, Operators, and Related Topics. — Oper. Theory Adv. Appl., Vol. 113. — Birkhauser, Basel, 2000.

- P. 371 383.

Stepanov V. D. Weighted inequalities for a class of Volterra convolution operators

// J. London Math. Soc. - 1992. - Vol. 45, N 2. - P. 232-242.

Stepanov V. D. The weighted Hardy's inequality for nonincreasing functions //

Trans. Amer. Math. Soc. - 1993. - Vol. 338, N 1. - P. 173-186.

Stepanov V. D. Weighted norm inequalities of Hardy type for a class of integral

operators // J. London Math. Soc. - 1994. - Vol. 50, N 2. - P. 105-120.

Stepanov V. D. On the lower bounds for Schatten-von Neumann norms of certain

Volterra integral operators //J. London Math. Soc. — 2000. — V. 61, N 2. —

P. 905-922.

Tomaselli G. A class of inequalities // Boll. Unione Mat. Ital. — 1969. — Vol. 2. — P. 622-631.

Wedestig A. Weighted inequalities of Hardy-type and their limiting inequalities: Doctoral Thesis. — Lulea University of Technology, Department of Mathematics.

- 2003. - N 2003:17. - 106 pp.

Weyl H. Inequalities between the two kinds of eigenvalues of a linear transformation // Proc. N.A.S. - 1949. - Vol. 35, N 7. - P. 408-411.

Wedestig A. Weighted inequalities for the Sawyer two-dimensional Hardy operator and its limiting geometric mean operator //J. Inequal. Appl. — 2005. — Vol. 4. — P. 387-394.

Zemanian A. H. Generalized integral transformations. — Pure and Applied Mathematics, Vol. XVIII. — Interscience Publishers [John Willey & Sons, Inc.], New York-London-Sydney, 1968. — 300 pp.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[94] Степанов В. Д., Ушакова Е. П. Об интегральных операторах с переменными пределами интегрирования // Труды Матем. ин^га им. В. А. Стеклова. — 2001.

- Т. 232. - С. 298-317.

[95] Степанов В. Д., Ушакова Е. П. Об интегральных операторах с переменной областью интегрирования // Доклады АН. — 2003. — Т. 393, № 5. — С. 600604.

[96] Степанов В. Д., Ушакова Е. П. Весовые оценки для интегральных операторов на полуоси с монотонными ядрами // Сиб. матем. журнал. — 2004. — Т. 45, № 6. - С. 1378-1390.

[97] Ushakova Е. P. Integral operators with variable domain of integration // Тезисы докладов Международной школы-конференции по анализу и геометрии, Новосибирск, 23 августа - 2 сентября 2004 г. — Новосибирск: ИМ СО РАН, 2004. — С. 254.

[98] Перссон Л.-Э., Степанов В. Д., Ушакова Е. П. Об интегральных операторах с монотонными ядрами // Доклады АН. — 2005. — Т. 403, № 1. — С. 11-14.

[99] Степанов В. Д., Ушакова Е. П. Весовые оценки норм операторов с двумя переменными пределами интегрирования // Доклады АН. — 2008. — Т. 421, № 3.

- С. 1-3.

[100] Степанов В. Д., Ушакова Е. П. Об операторе геометрического среднего с переменными пределами интегрирования // Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. - 2008. - Т. 260. - С. 264-288.

[101] Ushakova Е. P. On a certain class of kernel operators with variable limits of integration // Тезисы докладов Международной конференции "Современные проблемы анализа и геометрии", Новосибирск, 14-20 сентября 2009 г. — Новосибирск: ИМ СО РАН, 2009. - С. 164.

[102] Ушакова Е. П. О сингулярных числах обобщенного преобразования Стилтьеса // Доклады АН. - 2010. - Т. 431, 2. - Р. 175-176.

[103] Ушакова Е. П. Оценки сингулярных чисел преобразований типа Стилтьеса // Сиб. матем. журнал. - 2011. - Т. 52, № 1. - С. 201-209.

[104] Ушакова Е. П. Принцип двойственности в пространствах Соболева // Тезисы докладов 4-ой Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования", Москва, 24-29 марта 2013 г. — Москва: РУДН, 2013. — С. 133-134.

[105] Stepanov V. D., Ushakova Е. P. Hardy operator with variable limits on monotone functions // J. Funct. Spaces Appl. - 2003. - Vol. 1, N 1. - P. 1-15.

[106] Ushakova E. P. Norm Inequalities of Hardy and Polya-Knopp types: Doctoral Thesis. — Lulea University of Technology, Department of Mathematics. — 2006. —

N 2006:53. - URL: http://epubl.ltu.se/1402-1544/2006/53/LTU-DT-0653-SE.pdf

- 152 pp.

[107] Ushakova E. P. On the Hardy-type operators with variable limits // Research Report. — 2006. — Luleä University of Technology, Department of Mathematics.

- N 2006:09. - 26 pp.

[108] Ushakova E. P. Some multi-dimensional Hardy-type integral inequalities // Research Report. — 2006. - Luleä University of Technology, Department of Mathematics. — N 2006:10. — 29 pp.

[109] Persson L.-E., Ushakova E. P. Some multi-dimensional Hardy type integral inequalities //J. Math. Inequal. - 2007. - Vol. 1, N 3. — P. 301-319.

[110] Ushakova E. P. Hardy inequalities with both variable limits of integration on subclasses of monotone functions // Abstracts of the International Conference "Mathematical inequalities and applications 2008", Split-Trogir, June 8-14, 2008.

- 2008. - Zagreb: Element. - P. 139-140.

[111] Stepanov V. D., Ushakova E. P. Kernel operators with variable intervals of integration in Lebesgue spaces and applications // Research Report. — 2008. — Uppsala University, Department of Mathematics. - N 2008:30. — 52 pp.

[112] Ushakova E. P. On boundedness and compactness of a certain class kernel operators // Research Report. — 2008. — Uppsala University, Department of Mathematics.

- N 2008:46. - 27 pp.

[113] Stepanov V. D., Ushakova E. P. Alternative criteria for the boundedness of Volterra integral operators in Lebesgue spaces // Math. Inequal. Appl. — 2009. — Vol. 12, N 4. - P. 873-889.

[114] Ushakova E. P. Schatten-von Neumann ideal behaviour of a generalized Stieltjes transformation in Lebesgue space // Research Report. — 2009. — Uppsala University, Department of Mathematics. — N 2009:14. — 11 pp.

[115] Stepanov V. D., Ushakova E. P. Kernel operators with variable intervals of integration in Lebesgue spaces and applications // Math. Inequal. Appl. — 2010. — Vol. 13, N 3. - P. 449-510.

[116] Stepanov V. D., Ushakova E. P. On boundedness of a certain class of Hardy-Steklov type operators in Lebesgue spaces // Banach J. Math. Anal. — 2010. — Vol. 4, N 1.

- P. 28-52.

[117] Ushakova E. P. On boundedness and compactness of a certain class of kernel operators // J. Funct. Spaces Appl. - 2011. - Vol. 9, N 1. - P. 67-107.

[118] Ushakova E. P. On upper estimates for approximation numbers of a Laplace type transformation // Abstracts of the 8th Congress of the International Society for Analysis, its Applications, and Computation (ISAAC), Moscow, August 22-27, 2011. — 2011. — Moscow: Peoples' Friendship University of Russia. — P. 207.

[119] Ushakova E. P. Mapping properties of a Laplace type transform in Lebesgue spaces on the semi-axis // Abstracts of the International Conference on Function Spaces and Variable Exponent Analysis, CRM Bellaterra, Barcelona, September 26-30, 2011. - 2011. - CRM. - P. 29.

[120] Ushakova E. P. On compactness of Laplace and Stieltjes type transformations in Lebesgue spaces // Preprint. — 2011. — URL: arxiv.org/abs/1109.3304 — 26 pp.

[121] Ushakova E. P. On upper estimates for approximation numbers of a Laplace type transformation // Preprint. — 2011. — URL: arxiv.org/abs/1109.3305 — 25 pp.

[122] Ushakova E. P. On Schatten-von Neumann ideal behaviour of Hardy-Steklov operators in Lebesgue spaces // Abstracts of ICNPAA 2012 World Congress: 9th International Conference on Mathematical Problems in Engineering, Aerospace and Sciences (Special Session (SS6): "Harmonic Analysis. Inequalities, Hoinogenization Theory and Applications"), Vienna, July 10-14, 2012. - 2012. — URL: icnpaa.com/index.php/icnpaa/2012/paper/view/875. — 1 p.

[123] Ushakova E. P. On estimates of Schatten-von Neumann norms of Hardy-Steklov operator // Preprint. — 2012. — URL: arxiv.org/abs/1203.2152v3 — 21 pp.

[124] Ushakova E. P. On compactness of Laplace and Stieltjes type transformations in Lebesgue spaces // J. Operator Theory. — 2013. — Vol. 69, N 2. — P. 511-524.

V *